2011

Analyse 24/06/11, 10hrGroep A, reeks A2, Vandewalle   oefeningen:  -twee reeksen zijn gegeven: som(n^alpha*log(sinh(n))) en som(n*log(1+n^beta)).  Welke waarden kunnen alpha en beta aannemen zodat de reeksen convergeren?    oplossing: integraaltest.  Voor n gaande naar oneindig zal sinh(n) = e^x/2 en dus is zijn de termen in de eerste som assymptotisch equivalent met n^(alpha+1)-(n^alpha)*log2. Voor convergentie moet dus alpha+1<-1 en dus is alpha   -2.De tweede had ik niet maar op het mondeling zei hij dat je kan zeggen dat log(1+n^beta) assymptotisch equivalent is met n^beta.   En dus word dit de som van n^(beta+1) dus beta+1<-1 => beta<-2.    -Een stuk van een cylinder in en bol. Parametrisatie opstellen van dit oppervlak en normaalvector berekenen. Oppervlakte van dit oppervlak berekenen + een oppervlakteintegraal met f(x,y,z) gegeven.   oplossing: gewoon zoals bij de oefeningen bij hs 8    -a) extremaalprobleem zonder beperkingen. Vinden van alle kritische punten+ hun aard bepalen   b) zelfde f(x,y) maar met beperking g(x,y)=x^2+y^2-1=0   c) teken niveaulijnen van f(x,y) met nadruk op de niveaulijnen door de zadelpunten.    oplossing: a) afleiden naar x en y en stelsel oplossen.    Dan met procedure rechtstreeks gekopieerd uit de maple bestanden alle deltas berekent en d^2f/dx^2 om aard te bepalen

  b) kan met lagrange vermenigvuldigers maar ik heb dit opgelost door de parametrisatie voor de cirkel x=cos(theta), y=sin(theta) te gebruiken, dit in de doelfunctie te stoppen om f(theta) te bekomen en dan afleiden naar theta en oplossen.   Dan nog aard bepalen van oplossingen met f"(theta).  Vandewalle zei dat dit de mooiste oplossing was dat hij al gezien had en dat ik de enige was dat het op deze manier had gedaan :)  c) gebruik contourplot en gebruik uw artistieke vaardigheden om dit zo goed mogelijk na te tekenen. Een tip is om gewoon zoveel mogelijk te kopieeren uit de maple files, omdat dit onmiddelijk een mooi prentje oplevert.    Theorie:  -fisische interpretatie van divergentiebijvraag: uw oplossing s'(t)=s(t)*divF is een differentiaalvgl. Werk deze verder uit.  -stabiele differentiaaloperatoren.  Over het algemeen een pareltje van een examen. Sappige theorievragen en relatief simpele oefeningen.  =======================================================================================================  1.conservatieve vectorvelden: geef de eigenschappen (geen bewijzen hiervoor), en bewijs behoud van energie.2. Geef de convolutiestelling en bewijs. En wat is het verband tussen de convolutiestelling en lineare tijdsinvariante systemen.  Oefeningen: 1) Waarde van een parameter geven waarvoor een integraal convergent/divergent is2) Oppervlakintegraal (parametrisatie, berekenen en oppervalkintegraal van rotor)3) Extrema van een functie zoeken (zonder beperking, met beperking en tekening van niveaulijnen)  =======================================================================================================Theorie:1) Leibniz (stelling, bewijs, toepassing)2) Convolutie (stelling, bewijs, toepassing lineaire systemen) 

  =======================================================================================================Groep A   Theorie: Leibniz convergentie bewijzen + vb van een abs convergente en een voorw convergente LEIBNIZreeks +  andere eigenschappen (dat was: als je de reeks ergens afbreekt kan de fout nooit groter zijn als u_n+1 of zoiets).   Euleur-Lagrange afleiden + toepassing brachistochroon uitleggen: hoe men tot de dvgl komt (vgl zelf hoefd niet uitgewerkt te worden).   =======================================================================================================Groep A6 14/06/2011:  Theorie:- Convolutiestelling bij Laplace: bewijs en toepassingen bij lineaire tijdsinvariante systemen- Conservatieve vectorvelden: wat? eigenschappen? bewijs behoud van energie.  Oefeningen:- Convergentie van integraal: int((tan(x)^a)/(x*sqrt(x)), x=0..Pi/2)- Gemeenschappelijk volume bol (x≤+y≤+z≤=6) en kegel (x≤+y≤=z≤) met Gauss (De grafiek is een soort ijsje).- Kritische punten van veelterm in x en y berekenen, met en zonder vwde, schets contourlijnen.  =======================================================================================================Groep A:  Theorie:- Formuleer en bewijs stelling van Green.- Een voorwerp start in de oorsprong A(0,0), en glijdt, zonder wrijving, naar punt B(a,b). Bepaal de snelst mogelijke  manier waarop dit gebeurt.  =======================================================================================================Groep B:  Oefeningen: 

 - gegeven een oneigelijke integraal, voor welk interval van waarden van a convergeert de integraal? - een hyperboloÔde met gegeven vergelijking, stel de parametrisatie op, bereken de normaalvector, bereken het debiet door het oppervlak  en beredeneer of de vloeistof naar of weg van de z-as stroomt. - een extremaal probleem, geef kritische punten zonder beperking en bepaal de aard. bereken het min. en max. op de beperking. teken de    niveaulijnen.  Theorie:  - bewijs de formule voor de lengte van een kromme en bewijs de formule voor de massa van een kromme ( integraal over de kromme met  

 gegeven massadichtheid per lengte-eenheid) + uitbreiding naar poolcoords. - geef en bewijs de belangerijkste eigenschappen van de Gamma- en de Beta-functie.   =======================================================================================================GROEP A 20/06/2011 14u  oefeningen:  - gegeven een oneigenlijke integraal, voor welk interval van waarden van a convergeert de integraal? - bereken de oppervlakte die buiten de cirkel ligt met vgl x^2 + y^2 = 9/4 en binnen de cardioÔde r = 1 + cos(theta) met behulp van de stelling van green - gegeven een kormme die een deel van een sfeer is met vergelijking x^2 + y^2 + z^2 = 1, gelegen in het eerste octant (x>=0,y>=0,z>=0) a) stel een parametrisatie op van deze sfeer en bereken de normaalvector

b) bereken de totale massa, als de massa per oppervlakte-eenheid gegeven is door f(x,y,z) = 1 + x^2 + y^2   bereken ook het zwaartepunt  theorie:  - formuleer en bewijs de convolutiestelling bij Laplacetransformaties en bespreek in detail het belang bij lineair tijdsinvariante systemen

(bijvraag: wat is er lineair aan? wat is er tijdsinvariant?) - bespreek een soepele ketting die ophangt in de punten A = (0,0) en B=(a,0). Geef en bewijs de formule.  ===========================================================================================================GROEP A 20/06/2011 8u

  oefeningen: -los volgende diff vergelijking op: y'(t)- integraal[y(t-u)*cosh(u)du, u=0..t)] = 3*sin(t) oplossing: 7-6*cos(t)-2t^2  -gegeven kegel y=2-sqrt(x^2+z^2) en de vlakken y = 0 en y = 1 - z/4

geef parametrisatie van het oppervlak begrensd door kegel en deze twee vlakken bereken de massa en de coˆrdinaten van het massacentrum als de dichtheid wordt gegeven door sqrt(x^2+z^2) oplossing: x = u * cos(t)   y = 2- u met t = 0..2*Pi en u= 1/(1-sin(t)/4)..2   z = u * sin(t) massa was iets met sqrt(2) * Pi int totaal was da 20,.... massacentrum was x= 0, y was lichtjes positief +- 0.3 en z negatief = -0.02 ofzoiets dachtek, zelf invoeren in maple   -extremaalprobleem van functie (x-y^2+3)*(x+1) a)geef kritische punten + aard b)beperking 2*y=x+2 c)schets de niveaulijnen van de functie, speciale aandacht voor punten berekend in a en b  oplossing: (1,0) minimum, (-1,2) en (-1,-2) zadelpunten   (0,1) maximum en (-6,-2) minumum (kan zijn da het omgekeerd was van max en min, weet het ni meer)   Maple contourplot van f en da gewoon overtekenen  Ik had een 10/10 van mijn oefeningen zei Vandewalle dus oplossingen zijn juist  Theorie:  -Leibnizreeks+eigenschappen+voorbeeld absolute en voorwaardelijk convergente leibnizreeks  bijvraag: wat is de som van je absolute convergente ?   Eerst def leibnizreeks overpennen van formularium, dan bewijs, eigenschap |s-sn|<un+1 => benadering voor s voorwaardelijk= harmonische wisselreeks, absolute: 1/(n^p) met p>1  -Flux doorheen een kromme + oppervlak,wat zegt het teken (+,-) van de integraal over de stroomrichting+ Hoe flux berekenen bij onsamendrukbare vloeistof(2dimensionaal). 

flux zie hb, + ==> richting normaalvector, - ==> tegengestelde richting,onsamendrukbaar = div(F(M,N)) = 0 ==> gradientfunctie voor flux

= grad f(N,-M)==> flux= verschil fctiewaarde eindpunten kromme   echt wel makkelijk examen al bij al. Jammer voor de stuk of tien man van de A1groep die zo'n easy examen hebben geskipt...  ==========================================================================================================================20/06Groep B:  Oefeningen:  - convergentie onderzoeken van 2 reeksen, denk Sum(1-cos(1/sqrt(n+sqrt(n))),1..infinity)   en de Leibnizreeks daarvan (me (-1)^k ervoor dus)- differentiaalvgl oplossen met Laplace (t*y''(t)+2*y't()+t*y(t)=0 denk ik), gelijkaardig aan die uit de les met Bessel als oplossing,  maar nu was de oplossing iets met sin(t)/t- kritische punten van de functie (x^2 - 4 )*(y^2 - x^2 ) zoeken, eerst zonder en daarna met   beperking x^2 + y^2 = 1 en schets van niveaulijnen maken   Theorie:  - definitie + uitleg + afleiding van lengte van kromme en integraal over kromme   + afleiding lengte met poolcoordinaten- bewijs dat de lijnintegraal in een gradientveld enkel afhankelijk is van de eindpunten van de kromme.  wat is conservatief vectorveld en bewijs dat het irrotationeel is  ==========================================================================================================================groep B 23/06:oefeningen: -besselfuntie, letterlijk zyn voorbeeld van in de klas-toepassing op Green met opp berekenen tss cirkel en ng iets-funstie van de dichtheid gegeven, opp S gegeven gevraagd: massa, massadichtheid, parametrisatie S (stond byna letterlijk in formularium) en normaalverctor geven  theorie:-kleinste kwadratenvgl-absolute en voorwardelijke convergentie by integralen en in verband brengen met absolute en vw convergentie byreeksen  ==========================================================================================

================================ 2012

GROEP A 13/6/2012 - 13uOEFENINGEN- Voor welke waarden van a convergeert deze integraal? Int((sqrt(x^2 - sqrt(x^4 - 1))/x^a),x=2..infinity)- Oppervlak van x^2 + y^2 = z^2 + 16 en z <= 3 en x,y,z liggen in 1e kwadrant. Parametrisatie en normaal aan dit oppervlak opstellen. Dan massa en zwaartepunt bepalen.- Kritische punten van iets zoals (x - y - 1)*(x + y - 1), extrema zoeken met cirkel x^2 + y^2 = 2 en al deze punten schetsen op een grafiekTHEORIE- Leibniz formule bewijzen, beschrijven- vloeistofdebiet bewijzen, andere manier om flux te berekenen,...============================================================Groep A 11/06/2012 oefeningen:- bepaal a zodat int( tan(x)^(a)/(x*sqrt(x)),x=0..2*Pi) convergeert- volume van een kegel in een bol met gaus- extremaalprobleem zoals in de oefeningen theorie:- stabiliteit van differentiaal operatoren: bewijs! (Zie da ge da goed snapt wat dat is)- bespreek convergentie van machtreeksen, 2 afleidingen van convergentiestraal (pikante vraag: waarom 1 interval? waarom geen meerdere met verschillende grotes?) Aangezien dit al geweest is, komt het toch nietmeer terug. ===========================================================Groep A 12/06/2012  oefeningen:-integraal, voor welke waarden van a convergeert deze? x^a*sin(x/(sqrt(x+x^3)) van 0..infinity-oppervlakte berekenen tussen twee krommen: x^2+y^2=1 en r=2*sin(3*theta) mbv de stelling van Green-stroomlijnen: gegeven, een vectorveld en 2 punten, gevraagd: arbeid geleverd om van punt A naar punt B te gaan, teken de stroomlijnen. Bereken de waarde van de stroomfunctie in elk punt theorie:-Leibnizreeks: bewijs de convergentie, bespreek eigenschappen, geef voorbeelden van een absolute en voorwaardelijk convergerende Leibnizreeks-Bespreek de convolutiestelling en bespreek gedetailleerd de toepassing ervan in lineaire

  tijdsinvariante systemen=========================================================GROEP A 13/6/2012OEFENINGEN- Convergentiegebied bepalen van (n*x^n)/((4^n)*(n^2+1)) en van (n!*x^n!)/(2^n!)of iets in die stijl- Normaal op sfeer beperkt door een cilinder, massa bepalen met lijnintegraal, stelling van Stokes- Laplacetransformatie (pas op voor verschuivingen)THEORIE- Conservatieve velden, bespreek definitie en eigenschappen + bewijs behoud van massa in een conservatief veld- Kleinste kwadratenrechten volledig bewijzen + uitleggen (kent het tot in de details!) ==========================================================================================================================GROEP B 09/06/2012Theorie:Bewijs de convergentie van de Maclaurinreeks van exp(x) Wanneer bereikt een functie een zadelpunt (zowel voor twee veranderlijken als willekeurig) Oefeningen- oneigenlijke integraal van 0 --> ∞ ∫x^a * exp(-1/x) dx - diffvgl met veranderlijken - Krachtenveld (2-D) :a. rotorb en c. arbeid berekenen me twee parametrisaties (verschillende methode verplicht)==========================================================Groep B 11/06/12 Oefening:Laplace transformatie van een integraal. (Convulutie stelling)Totale Massa bepalen.Extremaalprobleem. Theorie:Abs convergentie en vw convergentie van een oneingelijke integraal en leg de link met reeksen.Kleinste kwadraten rechten. =========================================================== Groep B 12/0/2012 Oefeningen

- Laplace integraal uitwerken- gegeven oppervlak, bepaal parametrisatie en normaal en bereken de massa (geg functie van massadichtheid)- geg functiea) bepaal kritische puntenb) minima bepalen met gegeven beperkingc) teken grafiek  Theorie:- Kleinste kwadratenrechte- Geef definitie met duidelijke uitleg en voorbeelden van absolute en voorwaardelijke convergentie van oneigenlijke integralen en leg het verband met convergentie van reeksen.=========================================================GROEP B 12/06/2012OEFENINGEN- Laplace-integraal-  normaal van deel van sfeer, massa van deel van sfeer, massacentrum- opp tussen 2 krommen berekenen mbv GreenTHEORIE- Alle mogelijke manieren om convergentie van wisselreeksen te bespreken (Een stuk of 4 volgens den Dierckx) en bewijzen- Extremen van een functie bij ongelijkheidsvoorwaarde bewijzen =========================================================GROEP B 13/6/2012 - 8u THEORIE- Convolutiestelling + link met tijdsinvariante systemen- Oppervlakte van een oppervlak en de functie over kromme (vb massa gebogen plaat)! de link met normaalvector duidelijk uitleggen en hoe men van som naar integraal gaat =========================================================Groep B 14/6/2012 - 10u theorie:- geef en bewijs fysische interpretatie van de rotor- bespreek en bewijs de methode van de Lagrangevermenigvuldigers oefeningen:1) int(x^a*(1-cos(1/sqrt(x^2+1))),x=0..infinity) bepaal a waarvoor dit con/divergeert 2) t*y''(t)+y'(t)+t*y(t)=0 en y(0)=1 y'(0)=0 via laplace oplossen en Maclaurinreeks ervoor geven 3) volume berekenen als toepassing van stelling van Gauss, D is bepaald door z=x^2+y^2 0<z<1 en z=2-sqrt(x^2+y^2) 1<z<2

 oplossing:1) asymptotisch equivalentie zoeken voor x in 0 en infinity en dan via int(1/x^p) de a eruit hale 2) omzette naar laplace, dan differentiaalvgl in laplace oplossen en invers laplace (zie besselfunctie, hadde we in de les opgelost, blijkbaar), over de maclaurinreeks zei em niks, dus geen idee wa het moest zijn 3) elk parametriseren, F kieze waarvoor div F = 1, invulle en maple ant werk zette