1

111Equation Chapter 1 Section 1BEPALING VAN DE WEERSTANDSCOËFFICIËNT VAN EEN

VALLENDE DRUPPEL

Bart Hesselmann

Begeleider: Julius van den Toorn

NATUURKUNDIG PRACTICUM

TU DELFT

INLEIDING EXPERIMENTEREN 2

DELFT, LABORATORIUM VOOR TECHNISCHE NATUURKUNDE

16-10-2012

2

SAMENVATTINGIn dit experiment is onderzocht hoe de luchtweerstandskracht afhangt van de snelheid en welke luchtweerstandscoëfficiënt daarbij geldt voor een vallende waterdruppel. Dit is onderzocht door middel van een valproef en een visualisatieproef.

Uit de theorie volgt de hypothese dat de weerstandskracht evenredig is met het kwadraat van de snelheid, mits de weerstandscoëfficiënt constant is. Uit de resultaten blijkt dat de weerstandscoëfficiënt 0.3689 (+/- 0.0297) is. Er zitten nauwelijks uitwijkingen in de resultaten, waaruit blijkt dat de coëfficiënt constant is. Dit bevestigt de hypothese.

3

InhoudsopgaveSAMENVATTING...................................................................................................................................2

1. INLEIDING..........................................................................................................................................4

2. THEORIE.............................................................................................................................................5

3.EXPERIMENTELE OPZET.................................................................................................................9

4. RESULTATEN...................................................................................................................................12

5. CONCLUSIE......................................................................................................................................14

6. LITERATUUR...................................................................................................................................13

7. AANHANGSEL.................................................................................................................................16

4

1. INLEIDINGOp vallende druppels wordt een weerstandskracht uitgeoefend. Het doel van dit experiment is het bepalen van de weerstandscoëfficiënt van een vallende druppel. De tijd die een vallende druppel doet over een bepaalde afstand wordt gemeten. De vorm van de zwevende druppel volgt uit een foto, hierdoor kan de weerstandscoëfficiënt worden bepaald. Aan de hand van de theorie kan er met de bepaalde weerstandscoëfficiënt bevestigd worden hoe de weerstandskracht afhangt van de snelheid van de druppel. Als de vorm van een vallende waterdruppel bevestigd kan worden kan er met meer zekerheid geëxperimenteerd worden. Dit onderzoek is gedaan naar aanleiding van een practicum wat uitgevoerd moest worden in het kader van het Practicum Inleiding Experimenteren 2 van het Natuurkundig Practicum van de Technische Universiteit Delft.

5

2. THEORIEDe volgende theorie komt uit de handleiding van het Natuurkundig Practicum van de Technische Universiteit Delft [1].

De bewegingvergelijking voor een vallende druppel is:

22\* MERGEFORMAT ()

Hierin is m de massa van de druppel, v de snelheid (relatief t.o.v. de lucht, neerwaarts is positief), g de zwaartekrachtsversnelling, FD de (lucht)weerstand (=drag) kracht en F0 de

opwaartse kracht. In het vervolg verwaarlozen we F0.

De vallende druppel ondervindt wrijving in de lucht. Algemeen wordt aangenomen voor de weerstandskracht dat deze kwadratische evenredig is met de snelheid van de stroming. De kracht wordt gegeven door:

33\* MERGEFORMAT ()

Waarin CD de weerstandscoëfficiënt, A⊥ het oppervlak dwars op de stroomrichting en ρ de luchtdichtheid is.De grootte van de weerstandscoëfficiënt hangt af van de vorm van de druppel, maar ook van de grootte van zijn snelheid.

In de vloeistofmechanica is het Reynoldsgetal (Re) een dimensieloos getal dat de verhouding aangeeft tussen visceuze krachten en traagheidskrachten in een stroming. Het geeft aan hoe ‘stroperig’ de stroming is. Die stroperigheid (viscositeit) is afhankelijk van een aantal factoren en is van grote invloed op het gedrag van de luchtstroming. Tevens wordt het Reynoldsgetal gebruikt om te bepalen of een stroming laminair of turbulent is. De vergelijking voor het getal is:

44\* MERGEFORMAT ()

Hier is d de diameter van de druppel van het frontale oppervlak en μ de dynamische viscositeit van lucht (1.79∗10−5 Ns/m2).

6

Om de diameter van de druppel te bepalen fotograferen we een zwevende druppel. Deze druppel heeft dezelfde vorm als de vallende druppel maar een andere massa.Dit is te verklaren doordat de druppel met een blower eronder een opwaartse kracht (Fb in figuur 1) erbij krijgt. Hierdoor moet de massa van de druppel veel groter worden om deze kracht te overbruggen.

Figuur 2. Weerstandscoëfficiënt als functie van het Re-getal voor een bol en een schijf

Figuur 2 geeft de variatie van de weerstandscoëfficiënt met het Re-getal voor een bol-vormig deeltje. Voor een laag Re-getal (Re < 1) geldt de wet van Stokes:

Figuur 1. Schematische weergave van een druppelpipet met en zonder blower.

7

55\* MERGEFORMAT ()

Hieruit volgt dat:

(Zie aanhangsel 1) 66\* MERGEFORMAT ()

Uit figuur 2 is te zien dat de weerstandscoëfficiënt constant is bij een Re-getal van 103 tot 106. Hieruit is te berekenen tussen welke afstand de weerstandskracht constant is en dus tussen welke afstand je metingen moeten zijn.

Een constante leidt tot de hypothese dat de weerstandskracht van de druppel evenredig is met het kwadraat van de snelheid:

77\* MERGEFORMAT ()

Invullen van vergelijking 7 in de bewegingsvergelijking voor de druppel 2 levert eendifferentiaalvergelijking in de snelheidvan de druppel:

88\* MERGEFORMAT ()

We nemen aan dat de snelheid van de druppel gelijk is aan de valversnelling keer de tijd:

99\* MERGEFORMAT ()

Dit is analytisch op te lossen (Zie aanhangsel 2).

Om de hypothese te bewijzen (de weerstandskracht van de druppel evenredig is met het

kwadraat van de snelheid) moeten we een valproef doen en daaruit bepalen of constant is.

Om te bepalen moeten we berekenen door middel van de volgende formules:

1010\* MERGEFORMAT ()Om onzekerheden in het begin van de val te elimeren, zullen we alle metingen op afstanden groter dan s0 (ordegrootte smin) betrekken op de meting bij de afstand s0. Dit resulteert in:

8

(Zie aanhangsel 2) 1111\* MERGEFORMAT ()

In de formule worden s0 en t0 niet meegenomen omdat geen betekenis heeft voor de resultaten. Voor de meetparen (si,ti), i ≠ 0 kun je testen of het rechterlid van formule 11 constant is. Door de massa m van de druppel te meten met een balans vind je β.

De weerstandscoëfficiënt hangt ook af van het frontale oppervlak van de vallende druppel, hiervoor hebben we de vorm nodig. De vorm lijkt op die van een M&M, dit heeft de vorm van een oblate sferoïde:

[2] 1212\* MERGEFORMAT ()Waarin V het volume, a de grootste straal en b de kleinste straal.

De diameter van de vallende waterdruppel is als volgt te bepalen uit de foto van de zwevende druppel.

(Zie aanhangsel 3) 1313\* MERGEFORMAT ()Hierin is d de diameter, V het volume, r2 de grootste straal en r1 de kleinste straal.

Het frontale oppervlak van de vallende waterdruppel:

1414\* MERGEFORMAT ()De luchtweerstandscoëfficiënt CD is te bepalen uit vergelijking 3 en 7:

1515\* MERGEFORMAT ()

Hierin is de dichtheid van lucht (1.2041 kg/m3) [4]

9

3.EXPERIMENTELE OPZETValproef:Om de weerstandscoëfficiënt te bepalen moet eerst de tijd bepaalt worden. Dit doen we met een valproef. Figuur 3 geeft een schets van de proef.

Figuur 3. Meetopstelling van de meting tijd

De meetopstelling is als volgt:Een druppelpipet wordt gemonteerd loodrecht boven twee optische detectoren. Deze detectoren zijn verbonden aan een oscilloscoop.

Met een pipet wordt een druppel gemaakt die door de optische detectoren valt (variabele afstand s van elkaar) en hierdoor wordt door middel van een oscilloscoop de tijd gemeten. Door de onderste detector te verschuiven kunnen we metingen doen op verschillende afstanden s.

10

Visualisatieproef:Om de vorm van de druppel te bepalen laten we een druppel zweven door middel van een ventilator boven de druppel te laten blazen. Als de druppel eenmaal zweeft kunnen we een foto maken en hieruit de vorm en massa bepalen.De opstelling bestaat uit een ventilator naar boven gericht met erboven een druppelpipet. De camera staat voor de ventilator opgesteld.

Figuur 4. Meetopstelling foto zwevende waterdruppel

Uit een aantal foto’s is de beste geselecteerd en de vorm bepaald:

Figuur 5. Foto van een zwevende druppel.

De afmetingen van de zwevende druppel zijn:- 4,0 mm in de hoogte- 6,0 mm in de breedte

Door deze lengtes kunnen we de diameter van de vallende druppel bepalen.

11

Werkformules:

1616\* MERGEFORMAT ()

1717\* MERGEFORMAT ()

Onzekerheden:Variabele Onzekerheidm (= massa) u(m) = 0.02*10-6 kg (= dichtheid water) u() = 0,00064 kg/m-3 [4]r1 (= lengte sferoïde) u(r1) = 0,0002 mr2 (= hoogte sferoïde) u(r2) = 0,0002 mt (= tijd) u(t) = 0,0005 ss (= afstand) u(s) = 0,0002 mg (= valversnelling) u(g) = 0,03 m/s2

Onzekerheidformules:V (= volume)

d (= diameter)

A (= frontale oppervlak)

(= parameter)

cd (= weerstandscoëfficiënt)

12

4. RESULTATENTabel 1. Meetresultaten van de tijd die de waterdruppel erover doet om s meter te vallen. tgem is de gemiddelde

tijd van de drie metingen. Onzekerheid u(t)=0,0002 s en onzekerheid u(s)=0,0002 m. β de

evenredigheidsconstante en u(β ) de onzekerheid in β .

s (m) t1 (s) t2 (s) t3 (s) tgem (s) β (10-6 kg/m/s²) u(β ) (10-8 kg/m/s²)1,10 0,499 0,497 0,498 0,498 - -1,15 0,508 0,509 0,508 0,508 0,60 0,401,20 0,519 0,522 0,519 0,520 2,67 1,751,25 0,536 0,533 0,532 0,534 4,89 3,191,30 0,542 0,545 0,545 0,544 4,23 2,761,35 0,553 0,553 0,552 0,553 3,14 2,041,40 0,560 0,563 0,563 0,562 2,69 1,751,45 0,573 0,572 0,574 0,573 2,99 1,941,50 0,584 0,582 0,583 0,583 2,95 1,911,55 0,593 0,595 0,593 0,594 3,12 2,021,60 0,603 0,604 0,602 0,603 2,98 1,92

Tabel 2. Metingen van de massa van waterdruppels uit het druppelsysteem. Onzekerheid balans u(m)=0,0002 gram.

Gemeten druppels m (mg) Massa per druppel (mg)20 425,4 21,2720 573,6 28,6820 480,2 24,0120 501,0 25,0520 538,4 26,92

Hieruit volgt dat de gemiddelde massa van een druppel: 25,2(+/- 0,02) mg.

13

Figuur 6.Grafiek weerstandscoëfficiënt en afstand (m) met onzekerheden.

Tabel 3. Resultaten van de berekende weerstandscoëfficiënt Cd met bijbehorende onzekerheid.

s (m) 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55

Cd 0,0732 0,3253 0,596 0,5161 0,3825 0,3282 0,3642 0,3600 0,3805 0,3634

u(Cd) 0,0059 0,0262 0,0479 0,0415 0,0308 0,0264 0,0293 0,0289 0,0306 0,0292

Uit de tabel blijkt dat de weerstandscoëfficiënt redelijk constant is op een aantal uitschieters na. De gemiddelde weerstandscoëfficiënt is 0.3689 (+/- 0.0297). Dit bevestigt de hypothese dat de weerstandskracht evenredig is met het kwadraat van de snelheid van de druppel.

DiscussieEr kan een fout zijn geweest in de oscilloscoop, want deze rond maar af op een bepaald aantal decimalen. Ook is de vorm van een druppel niet perfect een oblate sferoïde (er zitten onregelmatigheden in) en de grootte van druppels is niet constant.

14

5. CONCLUSIE

De weerstandscoëfficiënt die we hebben berekend uit de metingen heeft een gemiddelde waarde van 0.3689 (+/- 0.0297). De berekende waarden wijken nauwelijks uit en hieruit kunnen we concluderen dat het een constante is. Dit bevestigt de hypothese dat de weerstandskracht evenredig is met het kwadraat van de snelheid van de druppel.

Voor vervolgonderzoek kan onderzocht worden waarom zo’n grote uitschieter zit in de het begin van de berekende resultaten.

15

6. LITERATUUR

[1] TNW Natuurkundig Practicum Handleiding Inleiding Experimenteren 2

[2] Wikipedia.nl (2012), ‘Sferoïde’, Geraadpleegd op 2 november 2012 van: http://nl.wikipedia.org/wiki/Sferoïde

[3] Wikipedia.org (2012), ‘Density of air’, Geraadpleegd op 2 november 2012 van: http://en.wikipedia.org/wiki/Density_of_air

[4] J.B. Patterson en E.C. Morris, ‘Measurement of Absolute Water Density, 1°C to 40°C’, Metrologia, 1994

16

7. AANHANGSEL

Aanhangsel 1:

Aanhangsel 2:

Aanhangsel 3: