INHOUD - OVSG | De gemeente maakt school · De kwaliteit van een school uit zich op de eerste...

INHOUD III

INHOUD

Voorwoord ................................................................................................................. VII

Visie op basisonderwijs .............................................................................................. IX

I Richtsnoer bij het leerplan wiskunde in de basisschool ................................... 1

Inleiding ................................................................................................................................ 3

Hoofdstuk I: Visie van OVSG op Wiskunde ................................................................ 5

Hoofdstuk II: Evaluatie in en van het wiskundeonderwijs ........................................ 15

Hoofdstuk III: Gebruik van het leerplan ...................................................................... 21

II Domeinoverschrijdende doelen en katernen ....................................................... 25

Hoofdstuk I: Domeinoverschrijdende doelen ............................................................ 27

1 Strategieën en probleemoplossende vaardigheden ..................................................... 28

2 Wiskundeattitudes ...................................................................................................... 40

Hoofdstuk II: Didactische katernen ............................................................................. 45

1 Werken met contexten ................................................................................................ 45

2 Ontluikende gecijferdheid........................................................................................... 64

III Domein 1: GETALLEN ................................................................................ 83

Hoofdstuk 1: Leerlijnen getallen ................................................................................ 85

A Getallenkennis ........................................................................................................... 86

1.1 Tellen .......................................................................................................................... 86

1.2 Getallen lezen en noteren ............................................................................................ 87

1.3 Getallen voorstellen en positiestelsel .......................................................................... 89

1.4 Vergelijken en ordenen ............................................................................................... 91

1.5 Functies van getallen .................................................................................................. 94

1.6 Delers en veelvouden .................................................................................................. 95

1.7 Patronen ...................................................................................................................... 98

1.8 Afronden (hoeveelheden schatten) ............................................................................. 99

IV OVSG-LEERPLAN WISKUNDE

B Bewerkingen ........................................................................................................... 100

1.9 Begripsvorming - Rekentaal ..................................................................................... 100

1.10 Optellen en aftrekken tot 10 ..................................................................................... 101

1.11 Optellen .................................................................................................................... 102

1.12 Aftrekken .................................................................................................................. 104

1.13 Maal- en deeltafels tot 100 ....................................................................................... 105

1.14 Vermenigvuldigen .................................................................................................... 106

1.15 Delen ........................................................................................................................ 109

1.16 Relatie tussen bewerkingen ...................................................................................... 111

1.17 Werken met numerieke verhoudingen ..................................................................... 112

1.18 Tabellen en grafieken ............................................................................................... 113

1.19 Schatten .................................................................................................................... 117

1.20 Cijferend optellen ..................................................................................................... 118

1.21 Cijferend aftrekken ................................................................................................... 119

1.22 Cijferend vermenigvuldigen ..................................................................................... 120

1.23 Cijferend delen ......................................................................................................... 121

1.24 Cijferen algemeen .................................................................................................... 122

1.25 De zakrekenmachine ................................................................................................. 123

Hoofdstuk II: Didactische katernen .............................................................................. 125

1 Rekenen tot 20.......................................................................................................... 125

2 Hoofdrekenen ........................................................................................................... 140

3 Automatiseren van de tafels ..................................................................................... 157

4 Breuken, kommagetallen, verhoudingen en procenten ............................................ 165

5 Tabellen en grafieken ............................................................................................... 183

6 Cijferalgoritmen ....................................................................................................... 191

7 De zakrekenmachine ................................................................................................ 203

IV Domein 2: METEN .................................................................................................... 213

Hoofdstuk 1: Leerlijnen meten .................................................................................. 215

2.1 Classificeren volgens kwalitatieve eigenschappen................................................... 216

2.2 Meten van lengte, gewicht, inhoud, oppervlakte, omtrek en volume ...................... 217

2.3 Schaal ....................................................................................................................... 223

2.4 Meten van tijd .......................................................................................................... 225

2.5 Meten van snelheid .................................................................................................. 229

2.6 Meten van temperatuur ............................................................................................ 230

2.7 Meten van hoeken .................................................................................................... 232

2.8 Geld .......................................................................................................................... 233

Hoofdstuk II: Didactisch katern meten ........................................................................ 235

1 Inleiding ................................................................................................................... 235

2 Fasen in de ontwikkelingslijn meten ........................................................................ 236

3 Meten van specifieke grootheden ............................................................................. 248

4 Meetstands................................................................................................................ 268

VII

V Domein 3: MEETKUNDE ....................................................................................... 277

Hoofdstuk I: Leerlijnen meetkunde .......................................................................... 279

A Vormleer .................................................................................................................. 280

3.1 Vormen beschrijven, herkennen, construeren, benoemen en classificeren............... 280

3.2 Vormen classificeren op grond van eigenschappen .................................................. 283

3.3 Puzzelen, bouwen, omstructureren, construeren ...................................................... 285

3.4 Relaties tussen geometrische figuren (meetkundige transformaties) ........................ 287

B Meetkundige wereldoriëntatie ............................................................................... 289

3.5 Positiebepaling .......................................................................................................... 289

3.6 Beweging en richting ................................................................................................ 291

3.7 Viseerlijnen en schaduw ........................................................................................... 293

Hoofdstuk II: Didactisch katern meetkunde ................................................................. 295

1 Inleiding .................................................................................................................... 295

2 Tendensen in de basisschool ..................................................................................... 295

3 Fasen in het meetkundig denken en didactische principes ....................................... 300

4 Groei van de meetkundige oriëntatie bij kleuters ..................................................... 304

5 Vormleer ................................................................................................................... 306

6 Meetkundige wereldoriëntatie .................................................................................. 312

7 Horizontale samenhang ............................................................................................ 318

8 Slot ............................................................................................................................ 322

VI Verklarende woordenlijst, materialen en bibliografie ................................. 325

1 Verklarende woordenlijst .......................................................................................... 327

2 Materialen ................................................................................................................. 331

3 Bibliografie ............................................................................................................... 333

VIII OVSG-LEERPLAN WISKUNDE

VOORWOORD

Met het decreet van 15 juli 1997 werden de ontwikkelingsdoelen en eindtermen voor het gewoon

basisonderwijs door de Vlaamse Regering bekrachtigd.

Hiermee bepaalt de overheid een minimumkwaliteitsnorm waaraan de schoolwerking moet voldoen

om te worden erkend.

Hoe deze minimumdoelen worden bereikt, hoe aan de eindtermen/ontwikkelingsdoelen wordt

gewerkt, bepaalt elke inrichtende macht zelf, onder meer via het ontwerpen van of via haar keuze

voor een bepaald leerplan.

Het niveaudecreet basisonderwijs van 25 februari 1997 bepaalt in artikel 45 dat ieder schoolbestuur

over een leerplan moet beschikken dat door de Vlaamse Regering goedgekeurd is.

In overleg met inrichtende machten werd ervoor geopteerd om binnen het OVSG een werking op te

zetten inzake ontwikkeling van leerplannen voor het gemeentelijk basisonderwijs.

Deze leerplannen werden opgevat als een leidraad voor leraren en schoolteams om speelleer- en

onderwijsleersituaties te creëren op basis van ontwikkelingsdoelen en eindtermen enerzijds en het

lokale pedagogische project anderzijds.

De leerplannen zijn samen met het lokale pedagogische project de basis voor de uitwerking van een

schoolwerkplan. Ze zijn een bron van informatie, op basis waarvan de leraren en schoolteams

worden aangezet tot reflectie op hun eigen klas- en schoolpraktijk.

Bij de aanmaak van de leerplannen werd rekening gehouden met een aantal belangrijke criteria:

* De leerplannen OVSG bevatten minimaal de ontwikkelingsdoelen en de eindtermen als te

bereiken doelen. Het verband tussen het leerplan en de na te streven ontwikkelingsdoelen en

eindtermen wordt duidelijk aangegeven.

* De leerplannen kunnen naast eindtermen en ontwikkelingsdoelen ook andere basis- en

uitbreidingsdoelen bevatten.

* De leerplannen bieden ten aanzien van het schoolteam voldoende informatie over:

- de visie op basisonderwijs;

- de visie op het leergebied.

* De leerplannen bieden mogelijkheden om differentiatie en zorgbreedte in de onderwijspraktijk in

te bouwen.

* De leerplannen moeten bruikbaar zijn bij andere groeperingsvormen dan het klassieke

leerstofjaarklassensysteem.

Ze zijn een belangrijk instrument voor de realisatie van continuïteit in de schoolloopbaan van de

kinderen.

IX

* De leerplannen leggen ook klemtonen op attitudes en waarden.

* De leerplannen zetten aan tot integratie van leergebieden en leerdomeinen.

* De leerplannen bevatten naast doelstellingen ook didactische suggesties.

* De leerplannen komen tegemoet aan het goedkeuringscriterium ‘studielast’ dat stelt dat een

leerplan realiseerbaar moet zijn binnen de daarvoor geraamde en noodzakelijk geachte tijd.

Er werd geopteerd voor een leergebiedoverschrijdende bijlage bij de leerplannen. Deze bijlage, in

de vorm van de brochure ‘Onderwijstijd: studielast van het leerplan en suggesties voor concreet

onderwijstijdgebruik’, moet dan ook samen met de leerplannen als één geheel worden gezien.

In mei 1993 werd met de leerplanwerking binnen OVSG gestart.

Er werd gewerkt binnen 7 commissies - in overeenstemming met de structuur van de leergebieden -

en in verschillende deelcommissies of werkgroepen.

Een 60-tal medewerkers werd bereid gevonden om naast hun dagelijkse onderwijswerkzaamheden

op een intensieve manier mee te werken aan de leerplannen van het gemeentelijk basisonderwijs.

Naast directies en leraren, afgevaardigd door verschillende inrichtende machten, participeerden

medewerkers uit de pedagogische centra van Gent en Antwerpen, leden van de stedelijke inspectie

en medewerkers uit de navorming en begeleiding van OVSG aan de werking.

Leden van de dienst Basisonderwijs van OVSG namen de coördinatie en de administratieve

ondersteuning op zich.

De werkzaamheden van deze commissies werden afgerond in februari 1997. Vanwege het arrest van

het Arbitragehof van 18 december 1996 tot vernietiging van het decreet van de Vlaamse

Gemeenschap van 22 februari 1995 betreffende de ontwikkelingsdoelen en eindtermen voor het

gewoon kleuter-/lager onderwijs waren wij ertoe genoodzaakt in de eerste druk geen verwijzingen te

maken naar de ontwikkelingsdoelen en eindtermen.

In deze tweede druk worden de verwijzingen naar de ontwikkelingsdoelen en eindtermen

toegevoegd op basis van het besluit van de Vlaamse regering tot bepaling van de

ontwikkelingsdoelen en eindtermen van het gewoon basisonderwijs d.d. 27 mei 1997 dat werd

bekrachtigd bij decreet van 15 juli 1997.

Het leerplan WISKUNDE VOOR DE BASISSCHOOL werd goedgekeurd op 20 april 1998 .

De Raad van Bestuur van OVSG wenst, in naam van alle inrichtende machten die dit leerplan

kiezen als leidraad voor de werking van hun schoolteam(s), alle medewerkers aan de

ontwikkeling van voorliggend leerplan uitdrukkelijk te bedanken.

Brussel, mei 1998

X OVSG-LEERPLAN WISKUNDE

VISIE OP BASISONDERWIJS

Inleiding

In deze tekst wordt op beknopte wijze de visie weergegeven van OVSG op het basisonderwijs. Deze

visie sluit nauw aan bij de 'uitgangspunten eindtermen basisonderwijs', zoals geformuleerd door de

Dienst voor Onderwijsontwikkeling.1

OVSG oordeelt dat de eindtermen basisonderwijs een rijk kader bieden voor het creëren van

kwalitatief onderwijs in de basisscholen. De eindtermen, als verplicht minimaal te bereiken

einddoelen, vormen als dusdanig de criteria voor belangrijke kwaliteitsparameters, zoals

bijvoorbeeld doelmatigheidsbeleving van leerkrachten, werkvoorwaarden, professionalisering van

leerkrachten en de mate waarin de beoogde doelen bereikt worden.

Kwaliteit voor een school betekent meer dan de mate waarin en de wijze waarop doelen worden

gerealiseerd. De kwaliteit van een school uit zich op de eerste plaats in het dagelijks pedagogisch

klimaat, het samenlevingsmodel dat de school uitbouwt, de leef- en werkcultuur die er heerst.

De kwaliteit heeft met andere woorden alles te maken met het pedagogisch project dat de

inrichtende macht vooropstelt en dat samen met de schoolgemeenschap concreet vorm krijgt. Vanuit

dit pedagogisch project werkt het lerarenteam op zodanige wijze aan de realisatie van de

vooropgestelde doelen, dat er recht wordt gedaan aan de kenmerken van goed basisonderwijs.

Deze kenmerken zijn:

. samenhang

. totale persoonlijkheidsontwikkeling

. zorgverbreding

. actief leren

. continue ontwikkelingslijn.

Samenhang

OVSG gaat ervan uit dat kinderen iets moeten kunnen doen met datgene wat ze op school leren.

Vanuit deze optiek is een leergebieden- of vakkengesplitste benadering van de realiteit niet

aanbevolen. Kinderen beleven en ervaren de realiteit immers niet in vakjes.

Wil de school kinderen competenter maken in het omgaan met bepaalde leefsituaties, dan zal zij

ervoor moeten zorgen leersituaties te creëren die voor hen herkenbaar zijn. Het pedagogisch project

1 DIENST VOOR ONDERWIJSONTWIKKELING, document ‘Uitgangspunten eindtermen basisonderwijs’

(16/11/93)

XI

is bepalend voor de uitbouw van deze leersituaties en de wijze waarop de kinderen begeleid worden.

Zowel in de concrete leersituaties als in de schoolorganisatie zullen de kinderen de centrale plaats

innemen.

De schoolgemeenschap dient er daartoe op de eerste plaats voor te zorgen dat de kinderen zich

veilig en goed voelen op de basisschool. Ten tweede zullen leraren leersituaties creëren die zoveel

mogelijk rekening houden met wat kinderen reeds kunnen, reeds ervaren hebben. De aangeboden

leerinhouden en leersituaties moeten de kinderen wegwijs maken in het geheel van onze

maatschappij vanuit de eigen wijze waarop zij deze maatschappij bekijken, betekenis geven en

kunnen hanteren.

Zo zal het schoolteam, via de realisatie van horizontale samenhangen binnen het onderwijsaanbod,

zo veel mogelijk betekenisvolle leersituaties creëren.

Samenhang binnen basisonderwijs betekent echter nog meer. De doelstellingen van het

basisonderwijs hebben niet enkel betrekking op kennis opdoen. Ook het verwerven van inzichten,

vaardigheden en attitudes met betrekking tot verschillende werkelijkheidsgebieden zijn belangrijke

doelstellingen. Daarnaast dienen 'leren leren', 'probleemoplossend denken' en 'sociale vaardigheden'

door de basisschool heen in verschillende leergebieden aandacht te krijgen.

In die zin wordt 'samenhang' als kenmerk voor 'basisvorming' het geheel van kennis, inzichten,

vaardigheden en attitudes die kinderen verwerven binnen voor het kind herkenbare leersituaties op

de basisschool.

Totale persoonlijkheidsontwikkeling

De vorming die de basisschool biedt, moet harmonisch zijn. Alle aspecten van de persoonlijkheid

dienen via de aangeboden vorming in hun ontwikkeling te worden gestimuleerd en dit op

evenwichtige wijze.

Vaardigheden die kinderen via de basisschool verwerven, hebben dus niet enkel te maken met het

cognitieve, maar liggen ook duidelijk op het vlak van het sociale, het psychomotorische, het

dynamisch-affectieve, het muzisch-creatieve.

Bij de keuze van doelen, leerprocessen, leerinhouden, werkvormen, groeperingsvormen,

leermiddelen, evaluatiewijzen ... houden schoolteamleden er rekening mee dat al deze facetten van

de leersituatie hun impact hebben op de persoonlijkheidsvorming die men vanuit de school

aanbiedt. Aandacht voor de totale persoonlijkheidsvorming houdt dan ook in dat het schoolteam

zich beraadt over een evenwichtig vormingsaanbod en een evenwichtige activiteitenplanning.

Elk kind is anders, reageert anders, heeft reeds een bepaalde persoonlijkheid ontwikkeld en brengt

andere ervaringen mee uit het eigen culturele en sociale milieu. Dit beïnvloedt het verloop en de

resultaten van de vorming die het kind op school wordt aangeboden.

Wil de school haar doel bereiken, namelijk het kind basisvaardigheden laten verwerven op

verschillende terreinen van zijn persoonlijkheid, dan houdt ze in haar aanbod niet alleen rekening

met de verschillende ontwikkelingsterreinen maar ook met de verschillen in

persoonlijkheidsontwikkeling.

Aandacht voor de totale persoonlijkheidsontwikkeling impliceert daarom een gerichtheid op

individualiserend onderwijs.

XII OVSG-LEERPLAN WISKUNDE

Zorgverbreding

Een veelheid van factoren (cognitieve, emotionele, sociale, economische, culturele, etnische) zorgen

ervoor dat het onderwijs voor een grote groep kinderen in meer of mindere mate problematisch

verloopt.

De verklaring van problemen mag echter niet alleen bij de kinderen worden gezocht. Ook

schoolfactoren en factoren uit de thuissituatie kunnen het probleemgedrag mee veroorzaken. Een

goede interactie tussen kind en leraar, die ook rekening houdt met de thuissituatie, is noodzakelijk

om tot succesvolle oplossingen te komen.

Zorgbreedte heeft te maken met de aandacht die de school aan kinderen wil geven, met de wijze

waarop ze omgaat met verschillen tussen kinderen.

Er worden twee aspecten onderscheiden in het begrip 'zorgbreedte'. Een eerste aspect heeft

te maken met de vraag of een school zich richt op een gedeelte van de kinderen dan wel

bekommerd is om ieder kind. Daarnaast heeft zorgbreedte betrekking op de mate waarin

een school, in aanpak en aanbod, alle ontwikkelingsdomeinen de ruimte geeft die hen

toekomt.2

Het concreet werken aan zorgbreedte noemen we zorgverbreding.

Binnen zorgverbreding kunnen we twee belangrijke facetten onderscheiden:

1/ het voorkomen van leer- en gedragsproblemen;

2/ het signaleren, analyseren, diagnosticeren en remediëren van leer- en/of gedragsproblemen bij

kinderen en het evalueren en eventueel bijsturen van de begeleiding.

Het eerste leerjaar vormt binnen vele scholen het grote struikelblok. Hoewel

ontwikkelingsachterstand reeds vroeger kan aanwezig zijn, treedt die bij de overgang van het

kleuter- naar het lager onderwijs sterker naar voren.

Enerzijds illustreert deze vaststelling de belangrijke educatieve rol van de kleuterschool. Anderzijds

leert ze ons dat bij het uitwerken van meer zorgverbreding zeker ook structureel moet gedacht

worden. Soepele overgangen van kleuterniveau naar lager onderwijs en tussen leeftijdsgroepen

dienen te worden gecreëerd. Doorbreken van het traditionele leerstofjaarklassensysteem in de lagere

school is mogelijk.

Voor het realiseren van zorgverbreding is de houding van het schoolteam een cruciale factor. De

schoolteamleden moeten overtuigd zijn van de belangrijke opdracht van het basisonderwijs: bij zo

veel mogelijk kinderen een brede basisvorming realiseren. Vanuit een gemeenschappelijke

gerichtheid op de doelen van het basisonderwijs - zoals weergegeven in het door de inrichtende

macht erkende leerplan en het eigen pedagogisch project - trachten de schoolteamleden hun

onderwijs af te stemmen op de mogelijkheden van de individuele kinderen die ze op school

begeleiden.

2

LAEVERS, F., Zorgverbreding in het kleuteronderwijs. Forum Basisonderwijs; Vlor, april 1994; pag. 129

XIII

Dit impliceert dat de school aan een aantal organisatorische voorwaarden voldoet:

overlegmogelijkheid, flexibele klasorganisatie, ... Daarnaast moeten de leraren de attitude hebben

om met elkaar over hun onderwijspraktijk te overleggen, systematisch te reflecteren op de eigen

praktijk, de ouders bij het schoolgebeuren te betrekken en open te staan voor nieuwe inhoudelijke

vormen van onderwijsondersteuning en -remediëring.

Zorgverbreding betekent ook afstappen van een te eenzijdig cognitief gerichte benadering.

Leermoeilijkheden bij kinderen zijn vaak niet op te lossen door orthodidactische en remediërende

werkvormen toe te passen rond de drie basisvaardigheden lezen, rekenen en schrijven. Zonder

hieraan afbreuk te doen, hebben kinderen met schoolachterstand vaak een ondersteuning nodig die

op een ander terrein ligt dan het cognitieve en waarmee ze meer gebaat zijn in relatie met hun

sociale omgeving, waartoe ook de school behoort.

Zorgen dat kinderen zich goed en geaccepteerd voelen op school, er gaan functioneren en er plezier

beleven, behoort tot de essentie van zorgverbreding.

Een school die werkt aan zorgverbreding, zal differentiatievormen inbouwen met het oog op het

ondersteunen van elk kind in zijn ontwikkelingsmogelijkheden. Differentiëren betekent op

organisatorisch vlak: klasoverschrijdend werken, leerlingen tijdelijk hergroeperen, werken met

niveaugroepen, individuele begeleiding binnen de taakklas, werken met een extra leraar binnen de

klasgroep.

Op het vlak van onderwijsinhouden betekent differentiëren: werken aan basis-, uitbreidings- en

verdiepingsdoelen en stimuleren van eigen leerprocessen bij kinderen via het invoeren van

pluriforme leeractiviteiten.

Op het vlak van evaluatie betekent differentiëren: in de school een systeem ontwikkelen om

kinderen systematisch op te volgen en wanneer nodig aangepaste remediëring en opvang zo vlug

mogelijk aan te bieden.

Actief leren

Men spreekt van ‘actief leren’ wanneer het kind zich in die mate betrokken weet bij het

onderwijsgebeuren dat het zelf het leerproces op gang brengt, initiatieven neemt en

gedragsveranderingen teweegbrengt.

Actief leren is dus voor het kind een productief proces. Het is leren dat van het kind zelf uitgaat en

door het kind spontaan als betekenisvol wordt ervaren. Het kind heeft belang bij wat het doet en

gaat daarom volledig op in het anticiperen en oplossen van problemen.

Het onderwijsgebeuren op school is bovendien een interactief proces tussen het kind en zijn

stimulerende omgeving. De sociale interactie tussen leraar en leerling en tussen leerlingen onderling

is een essentieel onderdeel van dit interactief proces.

Om actief leren op school te stimuleren, dienen realistische en betekenisvolle probleemsituaties

binnen de leersituatie te worden gecreëerd. De gekozen leerinhouden, de voorgestelde leerop-

drachten, de gehanteerde werkvormen, de groeperingsvormen, de voorgestelde leermiddelen en de

hulpbronnen maken hier deel van uit. Zij zullen bepalen of het kind al dan niet zijn eigen leren in

XIV OVSG-LEERPLAN WISKUNDE

handen neemt en op welke wijze.

Met het oog op actief leren is het wenselijk frontaal lesgeven te beperken. Bij voorkeur wordt

gekozen voor lessituaties, waarbij een grotere interactie tussen leerlingen onderling mogelijk wordt

en de interactie tussen leraar en leerling andere kenmerken krijgt. Ook vormen van zelfstandig

werken aan leertaken en een leerstofkeuze die gebaseerd is op waarneming in de onmiddellijke

omgeving, zullen de motivatie tot spontaan en actief leren ten goede komen.

Bij actief leren ligt de klemtoon eerder op het verwerken van, dan op de hoeveelheid aan

leerinhouden. Kennis en inzicht zijn in die mate belangrijk dat zij gekoppeld kunnen worden aan

denkhandelingen en strategische vaardigheden. Hierdoor worden ze voor het kind hanteerbaar

binnen probleemsituaties en worden ze hefbomen voor actief leren en ontwikkeling.

Onder denkhandelingen verstaan we onder meer: actief waarnemen, memoriseren, analyseren,

beoordelen, redeneren ...

Tot de strategische vaardigheden rekent men algemene probleemoplossende vaardigheden zoals

plannen, schematisch voorstellen, hoofd- en bijzaken onderscheiden, heuristiek hanteren,

vergelijken ... en meer specifieke vaardigheden die samenhangen met bepaalde aspecten van

leergebieden, zoals een rapport opstellen, een vraagstuk oplossen, expressief hardop lezen, een tekst

samenvatten ...

Het basisonderwijs schenkt met het oog op actief leren veel aandacht aan het verwerven van

strategische vaardigheden en denkhandelingen door kinderen.

Continue ontwikkelingslijn

Het aangeboden onderwijs wordt zowel naar moeilijkheidsgraad als naar inhoud afgestemd op de

ontwikkelingsmogelijkheden en -behoeften van de leerlingen. Dit vanuit de bekommernis het kind

continu ontwikkelingskansen te bieden.

Aandacht voor 'continuïteit' binnen onderwijs betekent ook dat men de drempels tussen de

verschillende fasen van de schoolloopbaan, tussen leergebieden (zie samenhang), tussen thuis- en

schoolervaringen van de leerlingen, zo laag mogelijk maakt.

De begeleiders van het kind door de basisschool moeten deze continuïteit nastreven. Voor de

schoolteamleden betekent dit gelijkgerichtheid, stimuleren van een doorlopende leer- en

ontwikkelingslijn, afspraken maken en nakomen: wie brengt welke leersituaties aan?

Schoolwerkplanning komt hier aan de orde. Bovendien zal veel aandacht gaan naar het bepalen van

de beginsituatie van de leerlingen. Informatie over hoe leerlingen leren en welke leerervaringen ze

reeds achter de rug hebben, moet de leraren helpen het kind adequaat verder te begeleiden in zijn

ontwikkeling. Deze informatie heeft niet alleen betrekking op leerinhouden, maar ook op werken

groeperingsvormen en op de emotionele draagkracht van het kind in verschillende leersituaties,

thuis en op school.

Afsluitend willen we opmerken dat de continuïteit binnen de basisschool moet doorgetrokken

worden naar het secundair onderwijs.

HOOFDSTUK 1 VISIE OP WISKUNDE 5 Geraadpleegde bronnen

DVO, Ontwerp visietekst eindtermen basisonderwijs, december 1992

DVO, Uitgangspunten eindtermen basisonderwijs, 16 november 1993

Het VLO in ontwikkeling, Informatieblad jrg. XXII, speciaal nummer, september 1987

OVSG, Pedagogisch project, brochure, 1992

OVSG, Maatregelen rond zorgverbreding, nota, 8 januari 1993

OVSG, Visie op zorgbreedte, Project zorgbreedte, brochure 1, september 1994

VLOR, Zorgverbreding: onze zorg, Forum Basisonderwijs, 30 april 1994

VLOR, Zittenblijven in het basis- en secundair onderwijs, advies, 1994

VLOR-Commissie Migranten, Doorstroming, document, 1992

VLOR-Raad Basisonderwijs, Aanbeveling: Eindtermen kleuter- en lager onderwijs,

RBO/PDL-JVW/AVW/001, Vlor, 8 februari 1994

6 OVSG - LEERPLAN WISKUNDE RICHTSNOER

HOOFDSTUK 1 VISIE OP WISKUNDE 7

INLEIDING

Met dit leerplan wil OVSG krachtlijnen uittekenen voor de optimalisering van het

wiskundeonderwijs in de basisscholen, autonome kleuterscholen en lagere scholen.

Dit leerplan wil in de eerste plaats een leidraad zijn voor de leraren, waarmee ze in de praktijk aan

de slag kunnen.

Door één leerplan te ontwerpen dat geldt voor zowel kleuter- als lager onderwijs, wordt aandacht

besteed aan de noodzakelijke 'doorlopende lijnen', waardoor - naar we hopen - de drempels tussen

de niveaus worden afgebouwd.

Dit leerplan biedt de mogelijkheid tot uitwerking ervan in een schoolwerkplan, een eigen

beleidsinstrument van en voor de school, dat over de verscheidene jaren wordt ontwikkeld en

waarbij rekening wordt gehouden met de lokale omstandigheden, de eigen prioriteiten en waarden.

Het laat aan iedere inrichtende macht de mogelijkheid om eigen accenten te leggen, naargelang het

pedagogisch project dat wordt nagestreefd.

De vertaling van dit leerplan naar een eigen schoolwerkplan, eventueel klaswerkplan, levert een

belangrijke bijdrage bij het zoeken naar mogelijkheden om alle kinderen van de school op weg te

zetten naar een actieve benadering van de wiskundige aspecten in de eigen leefwereld, ongeacht

leeftijd, begaafdheid, herkomst of sociale omstandigheden.

Het OVSG-leerplan wiskunde bestaat uit zes delen.

In het eerste deel, het ‘Richtsnoer bij het leerplan wiskunde in de basisschool’, wordt de OVSG-

visie op wiskunde - de basis voor dit leerplan - uiteengezet. Er wordt ingegaan op de

evaluatieproblematiek en op het gebruik van het leerplan.

Het tweede deel bevat de domeinoverschrijdende doelen en katernen.

De doelen - de strategieën en probleemoplossende vaardigheden enerzijds en attitudes

anderzijds - worden doorheen alle wiskundige activiteiten nagestreefd. Deze doelen zijn bovendien

niet leeftijdsgebonden; bepaalde aspecten van deze doelen kunnen bij verschillende leeftijdsgroepen

worden nagestreefd.

Bij de katernen treffen we 'Werken met contexten' en 'Ontluikende gecijferdheid' aan.

Het katern 'Werken met contexten' vormt de grondslag voor de vernieuwde aanpak van het

wiskundeonderwijs. In het katern 'Ontluikende gecijferdheid' wordt dieper ingegaan op aspecten, die

vooral in het kleuteronderwijs - doorheen de drie domeinen van wiskunde - aan bod komen.

In het derde, vierde en vijfde deel worden de drie domeinen van wiskunde - getallen, meten en

meetkunde - verder uitgewerkt. Deze indeling in drie domeinen werd gekozen omdat ze overeen-

komt met de domeinen zoals ze in de eindtermen zijn vastgelegd. Elk van deze delen is

onderverdeeld in twee hoofdstukken. Hoofdstuk I bestaat uit de leerlijnen of concrete doelen voor

dit domein. Het tweede hoofdstuk bevat de didactische katernen bij het overeenkomstige domein.

Deel zes tenslotte bestaat uit de verklarende woordenlijst, de materiaallijst en de bibliografie.


Hoofdstuk 1: VISIE VAN OVSG OP WISKUNDE

In de eindtermen voor het basisonderwijs worden voor wiskunde de minimumdoelstellingen

vermeld die op het einde van de basisschool door de meerderheid van de kinderen moeten worden

bereikt. OVSG werkt een leerplan wiskunde uit dat aangeeft hoe de gestelde eindtermen

gerealiseerd kunnen worden. Dat leerplan bevat een aantal leerlijnen waarin verschillende

tussendoelen omschreven worden. De doelen voor de kleuters komen in die leerlijnen dus voor als

tussendoel.

Iedere reeks tussendoelen leidt uiteindelijk tot de verwezenlijking van een einddoel. Zo ontstaat een

beeld van het leerproces voor wiskunde dat een kind doorloopt doorheen de basisschool. Dit beeld,

gevormd door de leerlijnen, wordt gekleurd door de visie van de samenstellers die actief zijn op het

leergebied in de basisschool. Die visie zal antwoord moeten geven op de vragen wat, hoe en

wanneer.

In dat visiestuk worden in een eerste paragraaf enkele inhoudelijke keuzes aangegeven: aan welke

criteria moeten onderwijsdoelen binnen het leergebied van de wiskunde voldoen om in het leerplan

van de basisschool opgenomen te worden?

Ook de volgorde waarin de geselecteerde doelen aangeboden worden - op welke leeftijd verwachten

we dat kinderen die doelen bereiken? - is zo'n inhoudelijke keuze. Die hangt ook samen met

didactische overwegingen: hoe leren kinderen wiskunde en hoe kan je daar als leraar best bij

aansluiten? Hierop wordt in een tweede paragraaf ingegaan.

De basisschool is per definitie zeer heterogeen. Er is immers geen preselectie, alle leerlingen

doorlopen de basisschool. Zowel inhoudelijk als didactisch zullen we hiermee rekening moeten

houden door verschillende vormen van differentiatie in het leerplan in te bouwen. De bekommernis

om de zorgbreedte binnen het wiskundeonderwijs zal doorheen de hele visietekst tot uiting komen.

Uiteindelijk leiden al deze overwegingen tot enkele uitgangspunten voor het wiskundeonderwijs in

de basisschool (paragraaf 3).

1 Doelen en inhouden

Een groot deel van de inhoudelijke keuze werd reeds bepaald bij de formulering van de

ontwikkelingsdoelen en eindtermen. Daarbij werden criteria gehanteerd van haalbaarheid en

noodzaak.

- Wat kunnen de meeste kinderen aan op wiskundig gebied op het einde van de kleuterschool

of van de lagere school?

- Wat is qua wiskunde voor henzelf en/of voor de maatschappij, waar de school hen op

voorbereidt, vereist om te leren?

Overwegingen van haalbaarheid zullen niet alleen de keuze van doelstellingen bepalen, maar ook

de volgorde. We moeten echter niet te strikt afbakenen wat kinderen van een bepaalde leeftijd

aankunnen. Dat is immers van zo veel factoren afhankelijk dat we daar moeilijk algemeen geldende

(voor alle leerlingen, voor alle scholen) uitspraken kunnen over doen. Bij de meeste doelstellingen

zullen we dan ook in een zekere leeftijdsspreiding voorzien.

Een leerdoel hoeft dus niet per se in een welbepaald leerjaar bereikt te worden. Op grond van de

haalbaarheid zal de school hier ook zelf beslissingen moeten nemen. Overigens kunnen we in het

kader van een leerplan ook uitbreidingsdoelstellingen opnemen waarvan we overtuigd zijn dat niet

HOOFDSTUK 1 VISIE OP WISKUNDE 9 de


meerderheid doch zelfs slechts een kleine minderheid van de leerlingen ze kan halen. Welke

doelstellingen daarvan in de klas(sen) nagestreefd zullen worden, en met welke leerlingen, wordt

dan ook weer een keuze van de leraren op schoolniveau.

Bij de keuze van wiskundige ontwikkelingsdoelen en eindtermen werd de noodzaak dat het

leerdoel moet bijdragen tot het maatschappelijk functioneren, als norm genomen. Daarnaast zullen

we ook nog doelstellingen opnemen die om een andere reden voor de leerling interessant of de

moeite waard zijn, ook al zijn ze niet strikt noodzakelijk. Of deze doeleinden door de meerderheid

van de leerlingen moeten gehaald worden (basisdoel) of niet (uitbreidingsdoel) zal dan afhangen

van twee criteria:

- Is het doel haalbaar?

- Is het inhoudelijk interessant en/of nuttig voor alle leerlingen?

Om tot haalbare en interessante doelen te komen, zal men rekening moeten houden met:

- de leerlingen uit de basisschool, hun mogelijkheden, hun ontwikkeling en de noden die

daarbij aansluiten;

- de wereld waarin zij leven, in de eerste plaats 'hier en nu', maar ook elke voorstelbare wereld

'daar en dan'. De school bereidt ook voor op een toekomstige maatschappij;

- de wiskunde als 'vak' of discipline (theoretisch) en haar toepassingsgebieden (praktisch).

Elk van deze drie punten werken we even uit, om de consequenties voor het leerplan te kunnen

aangeven.

1.1 Mogelijkheden en noden van de kinderen van de basisschool

Bij elke wiskundige activiteit op school zullen we rekening moeten houden met de beginsituatie

van de leerlingen. Daarbij houden we ook voor ogen dat die beginsituatie binnen de groep kinderen

met wie we werken, sterk verschillend kan zijn. Ze kan niet zonder meer afgeleid worden uit de

wiskundige activiteiten die voordien met de leerlingen gebeurd zijn (volgens het leerplan, het

schoolwerkplan of het handboek). Niet alle leerlingen zullen immers die voorafgaande activiteiten

op dezelfde manier verwerkt hebben. Bovendien zijn we er ons sterk van bewust dat ook heel wat

wiskunde geleerd wordt buiten de wiskundeactiviteiten of lessen.

Vooreerst wordt er veel intuïtieve of ervaringskennis opgedaan buiten de school en in het

thuismilieu. Het is belangrijk voor de school om op die spontaan verworven kennis voort te

bouwen, ze niet te negeren. Hetzelfde geldt voor leraren lager onderwijs t.a.v. de kleuterschool. De

basis van het wiskundig denken wordt (thuis en op school) op kleuterleeftijd gelegd. Denken we

maar aan het getalbegrip, het tellen, de ruimtelijke oriëntatie, ... .

Continuïteit in het leren van kinderen zal dan berusten op een weloverwogen volgorde in de

doelen die binnen een leerlijn van het leerplan voorgesteld worden, maar ook op een voortdurende

bijsturing t.a.v. de beginsituatie van de leerlingen waarmee je als leraar werkt.

Wiskunde is een leergebied dat we bij uitstek als cognitief kunnen omschrijven.

Cognitie verwijst in de eerste plaats naar denkprocessen en de resultaten daarvan. We zijn er ons

wel van bewust dat we dat denken onmogelijk kunnen stimuleren door (zeer resultaatgericht)

kinderen een reeks voor hen zeer ondoorzichtige procedures aan te leren. Wiskunde mag niet

gereduceerd worden tot kennis van de passende trucjes om tot een gewenste uitkomst te komen.

Daarom stellen we als basisprincipe voorop in dit leerplan enkel doelen op te nemen die vallen

binnen

HOOFDSTUK 1 VISIE OP WISKUNDE 11 de cognitieve mogelijkheden van een basisschoolkind.

Iedereen zal om die reden beseffen dat bv. het formeel uitvoeren van algebraïsche bewerkingen met

negatieve getallen ('min maal min is plus') buiten de basisschool gehouden wordt. Voor allerlei

andere begrippen en procedures is dat minder evident, omdat ze in vele gangbare leerplannen en

wiskundemethodes wel opgenomen waren.

Als we, vanuit het principe dat we enkel opnemen wat voor kinderen begrijpelijk is, beslissen

om een aantal zaken niet als basisdoel op te nemen, gaan we daarmee zeer bewust in tegen een

zekere traditie binnen het wiskundeonderwijs. We denken hier bv. aan

- het gros van de begrippen en bewerkingen uit de verzamelingen- en relatieleer ('moderne'

wiskunde);

- een aantal formules voor oppervlakte- en inhoudsberekening;

- een aantal meetkundige constructies met de passer, e.d..

Deze beperking lijkt ons onvermijdelijk omdat we expliciet op elk moment rekening willen houden

met de cognitieve mogelijkheden van de meerderheid van de leerlingen.

Datzelfde principe geldt niet alleen bij de selectie van leerdoelen, maar ook bij het vaststellen van

de volgorde ervan binnen een leerlijn. Wanneer zijn bv. kinderen cognitief voldoende ver gevorderd

om de procedure te begrijpen van de negenproef, die we wel als basisdoel behouden?

Selectie en volgordebepaling van leerdoelen, aansluitend bij de mogelijkheden van leerlingen,

gebeurt in een leerplan in een abstracte vorm, voor de niet bestaande gemiddelde school en leerling.

Dit betekent dat je het moet aanpassen aan de concrete situatie van jouw school en leerlingengroep.

Ook t.a.v. de keuze van uitbreidingsdoelen verwachten we dat je als leraar slechts aan die

uitbreidingsdoelen werkt, die minstens bevattelijk zijn voor dat deel van je groep aan wie je ze

aanbiedt.

Hoewel wiskunde dus in de eerste plaats een cognitief leergebied is, zou het toch een

veronachtzaming zijn van de noden van de kinderen als enkel doelstellingen van cognitieve aard

worden geformuleerd. Die kinderen zitten immers met hun totale persoonlijkheid en niet enkel met

hun hoofd in onze klas. Heel wat wiskundeactiviteiten bevatten trouwens ook affectieve, sociale,

muzische en fysisch-motorische aspecten.

Sommige daarvan zullen in andere leergebieden als expliciete doelstelling worden geformuleerd.

Waar mogelijk zullen we naar deze vakoverschrijdende doelen verwijzen. Andere nemen we toch

expliciet op als doel binnen het wiskundeonderwijs, al is de beslissing hierover wel wat arbitrair te

noemen.

In het leerplan van OVSG wordt ook aandacht besteed aan de ontwikkeling van zelfvertrouwen en

een positieve houding t.a.v. wiskunde. Zelfs het plezier vinden in wiskundeactiviteiten wordt

beschouwd als een belangrijk affectief doel. Leren samenwerken, overleggen en argumenteren over

wiskundeproblemen beantwoordt niet alleen aan een nood van de kinderen maar ook aan een

maatschappelijke behoefte.

Bij het muzische denken we niet alleen aan bv. het herkennen of realiseren van wiskundige patronen

in plastische en muzikale werken, maar evengoed aan het speels-creatieve oplossen van

wiskundeproblemen ('puzzels'), spel met wiskundige inslag (strategiespelen, zoals bv. dammen en

schaken), of het maken van schetsen en tekeningen binnen bv. het meetkundedomein.

Bij dit laatste voorbeeld stellen we ook de motorische vaardigheid om instrumenten als een passer

of een tekendriehoek te hanteren , als een wiskundig doel voorop.


Evenmin beperken we ons bij de formulering van wiskundedoelen tot kennis, inzichten en

vaardigheden die sterk inhoudelijk of leerstofgebonden zijn. Zo behoren eveneens tot het doel van

het wiskundeonderwijs:

- de ontwikkeling van breder toepasbare vaardigheden zoals bv. een heuristiek t.a.v.

probleemoplossing in het algemeen en wiskundeproblemen in het bijzonder;

- de uitbouw van bepaalde attitudes, zoals zin voor systematiek, nauwkeurigheid,

planmatigheid, reflectie, controle, e.d..

Dit was trouwens ook binnen de ontwikkelingsdoelen en eindtermen reeds aangegeven.

1.2 Wiskundige wereldoriëntatie

De wereld waarin we leven komt op ons af als een globale realiteit. Om daarin goed te kunnen

functioneren is het van belang die realiteit te begrijpen, o.m. door te analyseren.

Dit kan slechts door op het moment van reflectie

- afstand te nemen van de globaliteit;

- abstractie te maken van heel wat deelaspecten van de werkelijkheid;

- te proberen één deelaspect, bv. het wiskundige, wat dieper te doorgronden.

Binnen de wiskunde kan je ook nog zeer ver opsplitsen, maar dat lijkt ons voor het

wiskundeonderwijs niet opportuun. Het onderlinge verband tussen de deelaspecten en de band met

de realiteit waaruit ze gekomen zijn, dreigt daarbij verloren te gaan. Daarom houden we ons in dit

leerplan aan de drie grote domeinen die ook bij de eindtermen onderscheiden werden: getallen,

meten en meetkunde. Het onderlinge verband is ook belangrijk: bv. bij oppervlakteberekening (een

meting) worden bewerkingen op getallen uitgevoerd in functie van de vorm van een meetkundige

figuur.

In de leerlijnen die we weergeven in het leerplan zijn we vaak enkel met de wiskundige objecten uit

de drie domeinen bezig. Maar het blijft de primaire bedoeling van deze uitwerking dat het bereiken

van wiskundige doelen de kinderen helpt om de wiskundige aspecten van de hen omringende wereld

te begrijpen en er zo vat op te krijgen. Naar analogie met geletterdheid als doel van taalonderwijs,

zouden we dat gecijferdheid kunnen noemen. Dat is een bekwaamheid die maatschappelijk

functioneel is.

Leerlingen moeten eerst de wiskundige aspecten uit hun eigen leefwereld leren beheersen. We

dienen ze echter ook voor te bereiden op de maatschappelijke context waarin ze als volwassenen

moeten functioneren. Ook wiskundige aspecten uit de wereld van de volwassenen (voor zover ze

voor de basisschoolkinderen te begrijpen zijn) komen dus in het leerplan voor. Vandaar bv. de

leerlijn i.v.m. de zakrekenmachine.

We kunnen slechts van gecijferdheid spreken als wat wiskundig uitgewerkt is ook kan toegepast

worden in reële situaties. Het heeft bv. geen enkele zin kinderen procedures te leren om snel en

correct bewerkingen met getallen uit te voeren, als ze in een reële situatie niet weten welke

bewerking op welke getallen past. Het kunnen 'verwiskundigen' van realiteiten, inzicht verwerven in

de wiskundige aspecten van een context of situatie, is dus een algemeen doel van het

wiskundeonderwijs dat we ten zeerste op de voorgrond willen plaatsen.

Toch zit er in dit leerplan geen onderdeel 'vraagstukken'. Het is immers niet de bedoeling situaties

te selecteren waarbinnen de wiskundige inzichten, vaardigheden en attitudes afzonderlijk moeten

functioneren. We stellen dus niet dat leerlingen op een bepaalde leeftijd problemen moeten kunnen

oplossen van een bepaald type (bv. inkoop-verkoop-winst-verlies of bruto-tarra-netto e.d.). Wel

eisen we dat al de opgebouwde wiskundige kennis, die in het leerplan opgenomen werd, kan

toegepast worden in realistische contexten.

HOOFDSTUK 1 VISIE OP WISKUNDE 13 Het criterium voor deze contexten is dat ze relevant zijn voor de leerlingen, nu (eigen leefwereld) of

in de toekomst (maatschappelijk relevante contexten).

Het woord realistisch moet daarbij niet te strikt begrepen worden. Een fictieve wereld van bv.

heksen en kabouters kan in de leefwereld van basisschoolleerlingen even relevant zijn.

1.3 Oriëntatie in de wiskunde

In de vorige delen gaven we aan op grond van welke criteria we de wiskundedoelen in het leerplan

willen beperken:

- ze moeten binnen de mogelijkheden van de leerlingen vallen;

- die doelen moeten voor hen of voor de maatschappij relevant zijn;

- ze dienen een band te vertonen met de werkelijkheid.

Binnen deze beperking is het aannemelijk dat we naast de eindtermen en ontwikkelingsdoelen

weinig basisdoelstellingen toevoegen aan het leerplan. Wel zullen we via de leerlijnen basisdoelen

aangeven die de weg naar de eindtermen (gespreid over negen jaar basisonderwijs) kunnen

verduidelijken. Maar we willen het leerplan geenszins overladen.

Vandaar dat we ook niet in de eerste plaats ons leerplan afgestemd hebben op wat nu in het

secundair onderwijs gangbaar is als vertrekpunt voor de wiskundeleergangen. Toch zal het duidelijk

zijn dat leerlingen, die de basisdoelen uit dit leerplan bereiken, alle kansen hebben om in om het

even welke richting van het secundair onderwijs hun schoolloopbaan met succes voort te zetten.

De continuïteit is hier trouwens ook mede de verantwoordelijkheid van het vervolgonderwijs.

De logica van het wiskundig systeem heeft ook haar rechten bij leerplanontwikkeling, maar de

andere criteria geven daarvan de grenzen aan. Vanuit een puur wiskundig standpunt is het zeer

aannemelijk om te vertrekken vanuit de abstracte wiskundige structuur (bv. de verzameling) en alle

wiskundige kennis op te bouwen door ze in die verzamelingentheorie in te passen, ze er logisch

deductief uit af te leiden. Het sombegrip bv. wordt dan gedefinieerd als het kardinaalgetal van de

vereniging van twee gescheiden verzamelingen. Deze wiskundige lijn strikt volgen is in het

verleden niet haalbaar gebleken voor basisschoolleerlingen, wat aanleiding gaf tot allerlei

compromissen waarbij van de wiskundige structuur wel nog allerlei begrippen aan bod kwamen,

maar de logische samenhang verdween. Verzamelingen- en relatieleer werden zo een apart

vakonderdeel met te verregaande abstracties, hoewel men het in zijn schematische vorm (bv.

venndiagram) wel kan hanteren als een handig ordeningsmiddel, bv. in de vormleer.

Aangezien kinderen in hun cognitieve ontwikkeling eerder inductief en (zeker beneden de 12 jaar)

niet logisch-deductief kennis opbouwen, kunnen we dat laatste toch niet als enige basis voor de

aanmaak van leerlijnen blijven hanteren. De leerlijnen zullen wel moeten aansluiten bij de wijze

waarop kinderen wiskunde leren.

2 Wiskunde leren

In deze paragraaf zullen we ons algemeen uitgangspunt toelichten, nl. dat kennisverwerving en

vaardigheidsontwikkeling - ook op het wiskundig terrein - maar plaatsvinden wanneer het actief in

de geest van de lerende opgebouwd wordt. Deze idee van constructief leren zal in de klas moeten

ondersteund worden door de leerlingen te confronteren met reële problemen, die ze oplossen alleen

of in groep, waarbij die oplossingen overdacht en besproken worden met leraar en medeleerlingen.

In het oplossen van wiskundige problemen zit er een evolutie van concreet handelen naar abstract


denken, waarbij we kinderen bij die ontwikkeling kunnen helpen. Die hulp brengt ons bij de rol van

de leraar als begeleider van deze wiskundeactiviteiten.

2.1 Leren als constructief proces

Het meest gehanteerde onderwijsmodel op school is dat van de kennisoverdracht. De leraar geeft

informatie aan de leerlingen, toont de stappen van een procedure, verklaart en legt uit. Dat deze

overdracht van kennis niet altijd tot het gewenste resultaat leidt, weet elke leraar: er zal altijd een

verschil zijn tussen de leerstof die de leraar in de klas 'gezien' heeft en wat de leerlingen er nadien

nog van weten of kunnen. Leerlingen zijn geen lege vaten die je kan volgieten met leerstof. Als er in

hun hoofd niets gebeurt, geen mentale verwerking is van wat de leraar overdraagt, blijven de vaten

leeg.

Het leren van nieuwe kennis en vaardigheden is dus een actief proces, dat mentale inspanning en

concentratie vergt. De leerlingen moeten daartoe gemotiveerd zijn. Dit leerproces is ook cumulatief;

de mentale verwerking van nieuwe informatie gebeurt juist door het inpassen ervan in hetgeen de

leerling vooraf reeds weet en kan.

Goed wiskundeonderwijs zal er dus moeten voor zorgen dat leerlingen meer doen dan kijken en

luisteren. Hun voorkennis zal eerst moeten geactiveerd worden - niet alleen de schoolse voorkennis,

maar ook hun zogenaamd 'gezond verstand'. Als ze daarmee gewapend zijn, kunnen ze iets nieuws

verwerken en die nieuwe kennis tot hun persoonlijke eigendom maken.

Het klassieke model van de kennisoverdracht biedt weinig garantie voor die mentale activiteit van

de leerlingen. Die activiteit is er wel wanneer leerlingen zelf oplossingen zoeken voor wiskundige

problemen, oplossingen die niet voorgekauwd werden maar die ze zelf moeten construeren en

uitproberen. Constructief leren vergt dus probleemgericht onderwijs.

2.2 Wiskunde leren vertrekt vanuit reële problemen

Een probleem ontstaat in een situatie waarin iemand iets wil bereiken en niet onmiddellijk weet wat

hij moet doen om dat te verkrijgen. Niet elk probleem dat in wiskundelessen aan bod komt, is in die

zin een echt probleem voor de leerlingen. Vaak worden die problemen opgelost omdat de leraar dat

wil of omdat ze 'toevallig' als opdracht in het handboek staan.

In dat geval zijn de wiskundeproblemen geen probleem voor de leerling, het zijn de problemen van

iemand anders. Dan hebben we net als in kennisoverdrachtsituaties geen enkele garantie dat

leerlingen gemotiveerd en actief aan de oplossing van dat probleem zullen werken, geen garantie op

leren dus.

Daarom zouden de problemen waarmee we leerlingen in de wiskundelessen confronteren, door

henzelf als een probleem moeten ervaren worden, d.w.z. aan minstens enkele (en liefst zo veel

mogelijk) van de onderstaande criteria beantwoorden:

- het probleem wordt door leerlingen zelf gesteld;

- leerlingen willen het probleem oplossen omwille van de intrinsieke waarde ervan. Ze ervaren

het als de moeite waard, doen het niet alleen voor de 'schone ogen' van de leraar;

- het probleem is betekenisvol en begrijpelijk voor de leerlingen, niet alleen voor de leraar;

- het probleem heeft relevantie voor het dagelijks leven van de leerlingen binnen of buiten de

school. In dit verband spreken we van 'realistische' problemen, die met de wereld buiten de

wiskunde te maken hebben;

HOOFDSTUK 1 VISIE OP WISKUNDE 15 - de oplossingen en oplossingsmethoden zijn niet voor de hand liggend en er zijn er zelfs

verschillende mogelijk.

Aan het eerste criterium kan uiteraard slechts occasioneel tegemoetgekomen worden. Problemen die

door de leerlingen aangedragen worden, zullen niet beantwoorden aan de systematisch geplande

volgorde waarin we wiskundeleerlijnen willen laten verwerken.

Anderzijds zou het zeer jammer zijn dergelijke kansen op actief en betrokken leren te laten liggen,

door de leerlingproblemen af te doen als tijdverlies of als niet haalbaar omdat niet alle kinderen het

gestelde probleem al zouden aankunnen (“Ze kunnen dat niet, want we hebben dat nog niet

gezien.”). Het is juist bij de zelfaangebrachte problemen dat de kinderen actief hun voorkennis - ook

de informele, buitenschoolse - zullen inzetten om oplossingen te bedenken. Het werken rond reële

problemen is in deze visie zeker niet beperkt tot toepassen van wat voordien in de lessen aan bod is

gekomen. Het zelf oplossen van problemen leidt de kinderen juist tot nieuwe kennis en inzichten die

nadien in verdere wiskundige activiteiten kunnen uitgediept en ingeoefend worden.

Misschien lijkt het wel alsof we er voorstander van zijn dat elk kind voor zichzelf de wiskunde

opnieuw uitvindt. Dit is slechts ten dele waar, omdat we het leren binnen een probleemgerichte

onderwijscontext niet als een individueel proces, maar ook als een sociaal proces zien. Het is niet

omdat elke leerling zijn eigen kennis construeert dat hij niet kan leren van anderen.

2.3 Wiskundeonderwijs is interactief

Het is duidelijk dat wiskunde maar kan geleerd worden in interactie met anderen die meer bekwaam

zijn op dat vlak dan de lerende zelf. Anders kan je op de beperkte schooltijd onmogelijk komen tot

een geheel aan kennis en vaardigheden die de mensheid vele eeuwen gevergd heeft. Het zal in de

eerste plaats de taak van de leraar zijn om op het gepaste moment de leerlingen wiskundige

begrippen, symbolen en procedures aan te reiken, die hen van nut kunnen zijn bij de oplossing van

problemen.

In dit kader kan er geen sprake zijn van eenrichtingsverkeer van de leraar naar de leerling. De

leerlingen geven zelf hun oplossingswijzen, moeten hun denkprocessen verwoorden om de leraar de

kans te geven daarop in te spelen. Het kan ook de start zijn van een groepsdiscussie waarbij

leerlingen elkaars pogingen tot probleemoplossing vergelijken, over de verschillende

oplossingswijzen reflecteren en daaruit conclusies trekken. Zo leren ze ook in kleine groepjes of in

een klassengesprek van elkaar.

In een dergelijk interactief wiskundeonderwijs is er ook nog wel plaats voor individueel schriftelijk

werk, vooral in een inoefenfase waarbij bepaalde procedures die reeds verworven zijn, naar een

automatisme kunnen groeien of in een toetssituatie, waarin de leraar wil nagaan hoe ver elke

leerling gevorderd is in de verwerking van de wiskundeleerstof. Een te grote nadruk op dit

individueel schriftelijk werk, dat toch doorgaans veel tijd van de wiskundelessen inneemt, houdt

echter een aantal gevaren in, die slechts in interactie met leraar en medeleerlingen kunnen vermeden

worden. De kans is immers reëel dat bij een te lang individueel werken onhandige of zelfs foute

rekenprocedures ingeslepen worden.

Bovendien krijgt de leraar bij het nakijken van schriftelijk werk van de leerlingen enkel zicht op de

resultaten (product van het denken), maar niet op de wijze waarop die resultaten ontstaan zijn (het

denkproces zelf). Zijn eventuele hulp aan leerlingen die fouten maken moet nochtans op het proces

gericht zijn.


2.4 Didactische hulpmiddelen

Het wiskundig denken stoelt op concrete handelingen in de realiteit. Kinderen zullen geen sommen

kunnen maken als ze niet eerst dingen geteld en bij elkaar gevoegd hebben. Ze zullen niet kunnen

werken met breuken en verhoudingen als ze niet eerst concrete verdeelsituaties hebben

meegemaakt. Ze zullen eerst figuren bekeken, gevouwen, geknipt en getekend hebben voor ze deze

kunnen beschrijven en klasseren op grond van meetkundige eigenschappen, enzovoort.

Hoewel al deze concrete handelingen ook buiten de klas voorkomen, zullen we die in het

wiskundeonderwijs zelf moeten voorzien, om zeker te zijn dat we er voor alle leerlingen kunnen op

voortbouwen. Het is pas als deze ervaringskennis in voldoende mate aanwezig is, dat de stap naar

de mentale voorstelling en het zgn. 'verinnerlijkt' handelen met die mentale voorstellingen of met de

wiskundige symbolen die daarvoor staan, kan gezet worden.

Voor veel leerlingen is die stap niet gemakkelijk. Goed wiskundeonderwijs zal hen daarbij helpen

door tussen het concrete (de realiteit) en het abstracte (de wiskunde) een brug te slaan aan de hand

van schema's, voorgestructureerd didactisch materiaal en modellen. Voorbeelden van dergelijke

tussenstappen op weg naar de uitvoering van wiskundige operaties of denkprocessen zijn o.m. het

busmodel, getalbeelden, het honderdveld, de abacus, de verhoudingstabel, stroken en roosters... Bij

het aanbieden van deze schema's, modellen en materialen staat de leraar voor didactische keuzes:

welk materiaal zal hij aanbieden, aan wie, wanneer, enz.

In het kader van dit leerplan zullen we daar vooral op ingaan in de katernen met didactische

suggesties.

2.5 De rol van de leraar

Ook in een vernieuwd wiskundeonderwijs waar de activiteit en de eigen productie van de kinderen

aan belang winnen, blijft de leraar de spilfiguur, die de verantwoordelijkheid draagt voor de

wiskundige vorming van de kinderen. Hoewel hij niet meer in de eerste plaats zijn eigen wiskundige

kennis overdraagt aan de kinderen door uit te leggen en te demonstreren, is die kennis wel een eerste

vereiste. De leraar moet de verbanden zien binnen de wiskunde, hij stelt vragen die vanuit de

realiteit de wiskundige problemen oproepen, ... . Het is uiteraard ook de leraar die, geholpen door

een leerplan en eventuele handboeken, de systematiek en de volgorde van de wiskundeactiviteiten in

de klas zal bepalen.

Op de didactische rol van de leraar zijn we in de vorige paragraaf al even ingegaan in verband met

de keuze van didactische hulpmiddelen. Hoewel we er geen voorstanders van zijn om snel formele

regels en vaste procedures aan alle kinderen aan te leren, blijft het de beslissing van de leraar welke

kinderen hij welke hulp zal bieden bij het oplossen van wiskundige problemen. De tussenstappen en

procedures die daarbij aangereikt worden, mogen uiteraard de algemene doelstelling van het

wiskundeonderwijs (kinderen kunnen zelfstandig wiskundeproblemen oplossen die zich in de

werkelijkheid voordoen) niet tegengaan. Dat wil zeggen dat de hulp van de leraar erop moet gericht

zijn dat de kinderen met die hulp verder actief kunnen zoeken, niet dat het denken in hun plaats

gebeurt.Leerlingen met rekenmoeilijkheden zullen vaak terugvallen op een ‘veilige’ strategie: ze

werd hen door de leraar aangereikt, is vaak minder flexibel maar geeft hun toch de zekerheid om

ook tot een oplossing van het probleem te komen. Centraal bij deze benadering die erop gericht is

rekenproblemen te voorkomen, blijft dat ook zwakkere rekenaars recht hebben op (in)zicht op wat

ze aan het doen zijn. We mogen ons bij deze kinderen niet beperken tot inslijpen van algoritmes en

trucs die dan blind worden toegepast. Ze moeten zich bij de oefeningen die ze maken altijd iets

kunnen voorstellen.

Wiskundeonderwijs is, zoals reeds duidelijk werd gesteld, in sterke mate interactief. Dat betekent

HOOFDSTUK 1 VISIE OP WISKUNDE 17 dus


ook dat de leraar in de eerste plaats een gespreksleider is. Hij zorgt daarbij voor een ordelijk verloop

van het gesprek door een aantal regels af te spreken (niet door elkaar praten, hand opsteken als

iemand iets niet begrijpt, e.d.). Maar hij is vooral inhoudelijk de gespreksleider, door de vragen die

hij stelt aan de kinderen, door in te gaan op wat de kinderen aanbrengen, door de ideeën van

kinderen met elkaar te confronteren, door de discussie (dus goede verwoording van een wiskundige

gedachtegang) te stimuleren enz.

Terwijl de leerlingen alleen of in groep aan het werk zijn, heeft de leraar een observerende rol. Hij

kijkt daarbij niet alleen of een antwoord op een wiskundige opdracht juist of fout is, maar richt zich

in de eerste plaats op het achterhalen van hoe bij de kinderen de antwoorden totstandkomen.

Evaluatie en diagnose gaan hier samen. Dan pas kan hij specifieke hulp geven aan de kinderen die

dat nodig hebben. Die specifieke, gedifferentieerde hulp aan kinderen lijkt ons het belangrijkste

aspect van zorgbreedte in het wiskundeonderwijs. Die eerste remediëring van rekenmoeilijkheden

behoort tot de basisverantwoordelijkheid van de klasleraar. Hij stelt een handelingsplan voor waarin

activiteiten vermeld worden die het moeten mogelijk maken dat de leerling zo snel mogelijk

opnieuw aansluit bij het in de leerlijn geschetste leerproces. Bij de uitvoering van dat plan kan een

taakleraar ondersteuning bieden.

Samengevat kunnen we de rol van de leraar, als begeleider van het wiskundeleerproces van

kinderen, omschrijven als een samengaan van vijf functies:

- wiskundige

- didacticus

- gespreksleider

- observator

- helper.

Bij het vervullen van die meervoudige rol wil dit leerplan een hulp zijn voor de leraren.

3 Uitgangspunten van het onderwijs in wiskunde

De basisschool heeft de taak om haar leerlingen de basisvaardigheden i.v.m. rekenen en wiskunde

bij te brengen. De wijze waarop dit moet gebeuren is de laatste jaren onderwerp van heel wat

discussie. Een fundamenteel element in deze discussie is de tegenstelling rond het uitgangspunt van

het 'wiskunde-onderwijzen' op de basisschool.

Enerzijds kan je als uitgangspunt het logisch geordende wiskundesysteem nemen. Een getal is dan

bv. een voorstelling van de kardinale eigenschap van een verzameling. Een vierhoek is dan een

vlakke figuur gevormd door snijdende rechten. Logischerwijs wordt het getalinzicht dan ook

opgebouwd door te werken met hoeveelheden (elementen) geordend in verzamelingen. Het

meetkundeonderwijs start dan met de initiatie in begrippen als 'punt', 'rechte' en 'evenwijdig'. Het

schijnbare voordeel van deze onderwijsstrategie is dat leerlingen 'van meet af aan' de juiste, vaak

theoretische begrippen leren hanteren.

Het wiskundesysteem wordt op een logisch geordende manier verkend. Fouten van leerlingen

worden door de strikte structurering van de leerinhouden vermeden, terwijl ze juist van fouten leren

als ze actief, al experimenterend, een leerdomein verkennen. De realisatie van het inzicht in het

systeem wordt zonder 'overbodige' zijsprongen aangepakt. De dagelijkse realiteit, waarin kinderen

met wiskunde worden geconfronteerd, wordt zo veeleer als een stoorzender gezien. Het leerproces

van de leerlingen wordt dan in grote mate bepaald door de cursorische opbouw van het vak. Het

kind wordt aan het begin van het leerproces als een onbeschreven blad beschouwd.

HOOFDSTUK 2 EVALUATIE IN EN VAN HET WISKUNDEONDERWIJS 15

Anderzijds kan je als uitgangspunt de leefwereld van de kinderen nemen. Je reken-wiskundeonder-

wijs start dan met de vraag wat kinderen al kunnen en kennen. Voor welke begrippen en vaardighe-

den vertonen kinderen, rekening houdend met hun ontwikkeling, spontane belangstelling?

Volgens deze opvatting start de ontwikkeling naar getalbegrip bij het vaak spontane, intuïtieve

tellen van het kind. Het meetkundeonderwijs start met het bekijken van een aantal vormen die voor

kleine kinderen 'herkenbaar' zijn: het vierkant, de rechthoek, de cirkel. Theoretische begrippen

worden niet van meet af aan aangeboden maar moeten 'groeien' tijdens het leerproces. Er wordt

gestart vanuit situaties die in de leefwereld van de leerlingen 'voorstelbaar' zijn. Inzicht in het

wiskundesysteem kan pas ontstaan nadat het kind inzicht heeft in de context van de reken- of

wiskundesituatie. Dit leerproces wordt bepaald door de ontwikkeling van het kind en door zijn

eigen leefwereld. De leerinhouden van het wiskundesysteem vormen niet het uitgangspunt van het

onderwijs in de basisschool. De leraar organiseert het onderwijsleerproces zò dat het maximaal

aansluit bij de belangstelling van de leerlingen.

De leerlijnen, die door OVSG werden uitgewerkt, leunen dichter aan bij de tweede visie dan bij de

eerste. De keuze om te vertrekken bij de leefwereld van het kind kan verantwoord worden door

te verwijzen naar de uitgangspunten wiskunde zoals ze werden geformuleerd in het document

'Eindtermen' van de DVO. Ten overvloede wordt onderstreept dat in het basisonderwijs niet

gestreefd moet worden naar een grote 'wiskundekennis' bij de leerlingen. De kwantiteit zal in dit

verband eerder een belemmering zijn voor de kwaliteit van het wiskundeonderwijs.

Naast de basisvaardigheden die in ruime mate aan bod dienen te komen, moet vooral aandacht

besteed worden aan de wiskundige activiteit van de leerlingen, aan de band van het rekenen en de

wiskunde met de realiteit, aan het samen ontdekken van structuren, problemen en oplossingswijzen.

Dat wil niet zeggen dat de volgorde van doelen die we nastreven, niet mee door het wiskundig

systeem bepaald is, bv. bij de geleidelijke opbouw van het tiendelig talstelsel (van klein naar groot),

of in de volgorde van de bewerkingen (eerst begripsvorming in optellen en aftrekken, nadien

vermenigvuldigen en delen), ... .

Het wiskundig systeem is daarbij echter niet prioritair. We hechten meer belang aan hoe kinderen

cognitief ontwikkelen, hoe ze dus wiskunde kunnen leren en hoe we daarbij aansluitend wiskunde

kunnen onderwijzen.

16 OVSG-LEERPLAN WISKUNDE RICHTSNOER

Hoofdstuk 2: EVALUATIE IN EN VAN HET WISKUN-

DEONDERWIJS

In een leerplan wordt uitgestippeld welke algemene en concrete leerdoelen op welk moment bereikt

moeten worden. Het spreekt dan haast vanzelf dat daarbij ook aangegeven wordt op welke manier

een leraar kan nagaan of zijn leerlingen die doelen effectief bereikt hebben. We stelden trouwens

reeds eerder (Hfst. 1, 2.5.) dat observatie, evaluatie en diagnose expliciet tot de rol behoren van de

leraar die wiskunde onderwijst.

Deze problematiek is uiteraard niet nieuw. Leraren hebben altijd het toetsen van wiskundeprestaties

van hun kinderen tot hun opdracht gerekend en hadden daar weinig problemen mee. Heel wat

wiskundeleerstof is relatief makkelijk toetsbaar. In alle wiskundemethodes voor de basisschool

vinden we opgaven bedoeld om individueel en schriftelijk door de leerlingen te laten uitvoeren.

Deze kunnen ook als een toets beschouwd worden. Het probleem is wel dat ze zich meestal

beperken tot rekenfeitjes, cijferprocedures en standaardoplossingen bij toepassingsproblemen. In de

eindtermen - en derhalve ook uiteraard ook in dit leerplan - zijn echter ook heel wat andere doelen

geformuleerd. Deze andere doelen vergen een ander soort toetsing.

1 Nieuwe doelen, nieuwe toetsen

In de doelen van het wiskundeonderwijs kunnen we verschillende niveaus onderscheiden en bij elk

van die niveaus passen andere toetsen of toetsprocedures (Van Reeuwijk, 1994).

- Lagere doelen: de traditionele schoolwiskunde behoort tot deze categorie. Definities, feiten,

technische basisvaardigheden, standaardalgoritmes situeren zich op dit niveau. In het leerplan

zijn die terug te vinden in de domeingebonden leerlijnen, getallen, meten en meetkunde. Deze

doelen zijn eenvoudig te toetsen bv. via een rij kale sommen (schriftelijk) of via een tempotoets

(optellen en aftrekken tot 10, splitsingen, tafels,...)

- Middendoelen: integreren van verschillende leerstofgebieden, leggen van verbanden, oplossen

van problemen in toepassingssituaties. Dergelijke doelen komen in het leerplan vooral

domeinoverschrijdend voor (Strategieën en probleemoplossende vaardigheden, Deel II, hfst. 1,

1), maar zijn soms ook binnen één domein geformuleerd. Bv. grafieken (leerlijn 1.18 van domein

getallen - bewerkingen) en schaal (leerlijn 2.3 van domein meten) zijn weliswaar in één domein

ondergebracht, maar de meeste daar geformuleerde doelen vergen een integratie van doelen in de

drie domeinen, doen beroep op getallenkennis, meetvaardigheid en meetkundige inzichten.

Toetsen naar doelen op dit niveau zullen hoofdzakelijk vraagstukken bevatten die via

verschillende oplossingswegen en -strategieën kunnen opgelost worden.

- Hogere doelen: op dit niveau plaatsen we complexe doelen zoals wiskundig redeneren,

communiceren, ontwikkelen van een kritische houding, creativiteit, interpreteren, reflecteren,

mathematiseren... Deze hogere doelen zijn in het leerplan vooral bij de attitudes (Deel II, hfst. 1,

2.) terug te vinden. Toetsing van deze doelen zal naast schriftelijke individuele antwoorden op

open vragen, ook observatie vergen van de interactie in de klas bij het oplossen van problemen.

Niet elke toets die een leraar van de kinderen afneemt moet doelen bevatten op deze drie niveaus.

Maar het evaluatieprogramma van de school op jaarbasis zal toch moeten vermijden dat men zich te

eenzijdig concentreert op de lagere doelen. Het ontwikkelen van een evaluatieprogramma kan best

vertrekken van volgende principes (De Lange, 1992):

- toetsen moeten een geïntegreerd deel uitmaken van het leerproces, zodat het leren zelf erdoor kan

verbeteren;


- toetsen zouden eerder moeten laten zien wat leerlingen weten of kunnen, dan wat zij (nog) niet

weten (positieve toetsing);

- het geheel aan toetsen zou alle doelen van het wiskundeonderwijs moeten omvatten;

- de toetsvorm of inhoud zou niet in de eerste plaats bepaald mogen worden door de

mogelijkheden om gemakkelijk te corrigeren of objectief te scoren;

- toetsen moeten praktisch genoeg zijn in afnameprocedure om in de courante schoolpraktijk te

kunnen opgenomen worden.

Laten we eerst nog voorbeelden bekijken van vragen en opdrachten die de mogelijkheid in zich

houden om hogere doelen te toetsen. Wellicht zijn daar nog concrete aanwijzingen uit te halen voor

een meer evenwichtig toetsprogramma.

Voorbeeld 1: Uit: Jansen, 1996

p.6 Een beer weegt 500 kg

Hoeveel kinderen wegen samen net zoveel

als een beer?

Het antwoord dat de kinderen hier geven in het hokje is op zichzelf van weinig belang, er zijn

trouwens meerdere antwoorden mogelijk, afhankelijk van de veronderstelling die de leerling maakt

over het gemiddeld gewicht van een kind. Als de kinderen het algoritme van de staartdeling geleerd

hebben zal deze vraag wellicht vooral die rekenvaardigheid toetsen (doel op lager niveau). Maar de

vraag is zeer goed bruikbaar bij kinderen die dat nog niet kennen en het probleem op een andere

manier oplossen. Bij een dergelijke vorm van ‘vooruit-toetsen’ krijgt de leraar zicht op hun

strategieën en probleemoplossende vaardigheden, en op het niveau van hun wiskundig redeneren.

Door niet de uitkomst, maar de kladblaadjes te bekijken (de oplossingsweg) krijg je informatie over

middendoelen en weet je als leraar ook hoe je verder je onderwijs kan afstemmen op het wiskundig

functioneren van kinderen op dat moment.

(zie voorbeelden van kladblaadjes: afb. 2, Janssen, 1996, p.7)


Voorbeeld 2: (Schwartz, 1992)

Je kan van een toetsvraag die peilt naar een lager doel (cijferalgoritme bv. voor de aftrekking) ook

een vraag maken die eerder een beroep doet op inzicht in de betekenis van de aftrekking, dan op de

mechanische beheersing van de rekenprocedure.

In plaats van:

een vraag met één correct antwoord,

krijg je dan een vraag met zeer veel mogelijke correcte

(en wellicht nog veel meer foute) antwoorden.

Bereken 7 102

- 4 595

Hieronder zie je twee aftrekkingen. Schrijf nu een aftrekking op

waarvan het resultaat ligt tussen de uitkomsten van de twee gegeven

aftrekkingen

7 102 6 421

- 4 595 - 3 976


Zoals bij het voorbeeld van de beer zullen de kladblaadjes de leraar weer veel leren (bv. rekenen de

kinderen de twee aftrekkingen eerst uit?), al is er hier uit het antwoord zelf ook al een en ander af te

leiden over het inzicht en de inventiviteit van de leerlingen.

Dit voorbeeld toont aan dat deze hogere orde capaciteiten ook kunnen getoetst worden in domeinen

waar men vaak minst variatie mogelijk acht zoals het cijferen.

Het toetsen van echte hogere doelen (attitudes en wiskundige redeneringen) vergt dan weer wat

meer: een opdracht die veel eigen productie van de leerlingen noodzakelijk maakt, zowel in groep

als individueel. Kladblaadjes en schriftelijke notities zullen dan aangevuld moeten worden met

observatie van de interactie tussen de leerlingen.

Voorbeeld 3: (naar Treffers, De Moor en Feijs, 1989)

Na enkele lessen waarbij de leerlingen van het hoogste leerjaar gezocht hebben hoe groot de

oppervlakte van België is, volgt een toetsles vertrekkende van volgende probleemstelling: Zou de

hele Belgische bevolking in theorie op 1 km² kunnen staan? Zou de wereldbevolking in de provincie

Oost-Vlaanderen kunnen staan? De eerste vraag als groepswerk, de tweede individueel op te lossen.

Samenvattend kunnen we t.a.v. het wiskundetoetsprogramma voor een schooljaar stellen:

- Conventionele, individuele, schriftelijke toetsen blijven een belangrijk onderdeel van het

toetsprogramma.

- Deze toetsen kunnen door de leraar zelf opgesteld worden, uit de methodes gehaald worden of

verkregen bij instanties die grotere populaties toetsen (OVSG-eindtoets, CITO-toetsen,...).

- De toetsvragen voor de lagere doelen zijn vaak vragen met één correct antwoord, dat kort te

geven is. Meerkeuzevragen zijn in wiskundetoetsen vaak overbodig om ze objectief te kunnen

scoren. Enkel bij bepaalde onderdelen (schatten bv.) is deze vraagvorm interessant.

- Om midden en hogere orde doelen te kunnen toetsen moeten in het toetsprogramma ook opgaven

zitten waarbij meerdere antwoorden mogelijk zijn en waarbij naast het resultaat ook de

oplossingsweg in rekening gebracht wordt (‘kladblaadjes’ zijn een wezenlijk onderdeel van het

antwoord op de toetsopgave).

- Eigen productie van leerlingen als reactie op open probleemstellingen bieden de kans om hogere

doelen te toetsen. Die productie is zowel mondeling als schriftelijk, zowel individueel als in

groep. Observatie van interactie vormt dus een noodzakelijke aanvulling in een uitgebalanceerd

evaluatieprogramma.

2 Waarom toetsen?

Ook in het doel zelf van toetsen en evalueren is een verschuiving merkbaar. De reden waarom we

een wiskundetoets afnemen in de klas zal niet meer in de eerste plaats zijn dat je zo op een relatief

gemakkelijke en objectieve manier een rapportcijfer kan verkrijgen. Toetsen gaan we vooral

afnemen omdat je daarmee feedback kan geven aan de leerlingen zelf en hun ouders. Rapportering

blijft dus een evident vervolg van een toetsing. Maar je kan beter meer rapporteren dan enkel een

cijfer of een score. Die score krijgt meer betekenis wanneer je daarbij kan aangeven hoe die score

ontstaan is, voor welk toetsonderdeel (welk wiskundedoel) de prestatie boven of onder de

verwachting lag (vergeleken bij andere kinderen van de klas of van die leeftijdsgroep in geval je

werkt met genormeerde toetsen), wat de mogelijke oorzaken zijn van fouten in de toets en wat je

daar als leraar kan aan verhelpen...

Wanneer je als leraar deze gegevens aan een toetsscore toevoegt bij de rapportering heb je meteen

de basis gelegd voor je verdere didactisch handelen met de getoetste groep leerlingen. Want de

feedback voor de leraar zelf is natuurlijk de hoofdreden om toetsen in de klas af te nemen. Hoewel

de leraar door dagelijks met de kinderen te werken wel een globaal idee heeft over de sterke en

HOOFDSTUK 3 GEBRUIK VAN HET LEERPLAN 21

zwakke punten van hun wiskundig functioneren kan een toets heel wat bijkomende en meer

objectieve specifieke informatie opleveren, waarmee de leraar nadien aan de slag kan gaan.

Voor leerlingen die zwak presteren zal een periodieke beheersingstoets over de verschillende

onderdelen van de wiskundeleergang meestal niet volstaan. Voor een beperkte groep (bv. de 25%

zwakste presteerders op de beheersingstoets) moet de diagnose fijner zijn, om hen effectief te

kunnen helpen. Die verfijning kan de vorm aannemen van een diagnostische toets (een beperkt

onderdeel met vooral aandacht voor hoe fouten tot stand komen) eventueel aangevuld met een

individueel diagnostisch gesprek met de leerling om duidelijker te zien hoe hij te werk gaat en waar

zijn problemen liggen bij het oplossen van wiskundeopgaven. Op deze diagnostische gegevens kan

dan een handelingsplan gebaseerd worden: voor een groepje leerlingen (differentiatie) of voor een

individuele leerling (remediëring eventueel in samenwerking met een taakleraar).

Omdat het wiskunde leren in continuïteit verloopt kan de begeleiding door de leraren ook best een

continu proces vormen.

Daarom is het aangewezen de toetsgegevens van de leerlingen samen te brengen in een of ander

leerlingvolgsysteem, dat doorheen de hele basisschool bijgehouden wordt.

Minimaal is daarin de screening opgenomen voor alle leerlingen voor hun wiskundig functioneren.

Dat betekent dat minstens tweemaal per jaar een beheersingstoets wordt afgenomen, waarbij ook

aandacht is voor de hogere doelen van het wiskundeonderwijs. Voor de zwakste groep komen in het

leerlingvolgsysteem bijkomende diagnostische gegevens, acties ter remediëring en de resultaten van

die acties.

Op die manier zal een toetsingsprogramma doorheen de hele school het wiskunde leren van alle

kinderen ondersteunen, en kunnen we de zorgbreedte bereiken die we beogen.


Hoofdstuk 3: GEBRUIK VAN HET LEERPLAN

Om het leerplan efficiënt te kunnen gebruiken, geven we hierna enige verduidelijking bij:

- de domeinoverschrijdende doelen;

- de leerlijnen (voor de domeinen: getallen, meten en meetkunde);

- de didactische katernen.

1 Domeinoverschrijdende doelen

De domeinoverschrijdende doelen zijn niet leeftijdsgebonden. Aspecten van de doelen kunnen

zowel bij jongere als bij oudere leerlingen aan bod komen. Van deze doelen zijn daarom geen

leerlijnen gemaakt.

1.1 Strategieën en probleemoplossende vaardigheden

Voor de strategieën en probleemoplossende vaardigheden werd de volgende structuur gehanteerd.

1 doelstelling ⇐⇐⇐⇐ I

ET

Fase 1

⇑⇑⇑⇑ III

doelstelling ⇐⇐⇐⇐IV

Aspecten: ⇐⇐⇐⇐V

-

⇑⇑⇑⇑ II

Voorbeelden ⇐⇐⇐⇐ VI

I Nummer van de doelstelling en de doelstelling

II ET = eindterm

In deze kolom staat het nummer van de eindterm(en) waarmee de doelstelling overeenstemt.

Eindtermen die met een * zijn aangeduid, zijn na te streven doelen.

III Sommige doelen worden opgesplitst in fasen. In dergelijke gevallen krijgen de fasen een

nummering.

IV De doelstelling bij de overeenstemmende fase

V Elk doel omvat een aantal aspecten. De opsomming van de aspecten is niet limitatief.

VI Bij elk doel worden een aantal voorbeelden gegeven. Soms geven we voorbeelden van bij

jonge kinderen, soms van bij oudere kinderen. Bepaalde aspecten van bijna elk doel kunnen

zowel bij jongere als bij oudere leerlingen worden nagestreefd.

HOOFDSTUK 3 GEBRUIK VAN HET LEERPLAN 23

1.2 Wiskundeattitudes

In het kader wordt het doel met de verwijzing naar de overeenkomstige eindterm gegeven. In

de tekst onder het kader wordt het doel verduidelijkt en worden verschillende voorbeelden

gegeven.

2 Leerlijnen

Het eerste hoofdstuk binnen de domeinen getallen, meten en meetkunde geeft telkens de

leerlijnen voor het overeenkomstige gebied.

Hierna geven we de structuur die gehanteerd wordt bij de leerlijnen.

Domein ⇑⇑⇑⇑ I

OD

-

ET

⇑⇑⇑⇑ II

kleuters

⇑⇑⇑⇑ III

lagereschoolkinderen

⇑⇑⇑⇑ IV

1ste fase

2de fase

6j.

->

8j.

->

10j.

->

1.1 LEERLIJN ⇐⇐⇐⇐V

1 doelstelling ⇐⇐⇐⇐ VI

2 doelstelling

VII

3 doelstelling

VIII

IX

X

4 doelstelling ⇐⇐⇐⇐ XI

I Naam van het domein

De naam van het domein, eventueel aangevuld met een onderverdeling van het domein (bv.

domein getallen wordt onderverdeeld in getallenkennis en bewerkingen).

II OD = ontwikkelingsdoel; ET = eindterm

Het nummer verwijst naar het ontwikkelingsdoel of de eindterm.

Eindtermen die met een * zijn aangeduid, zijn na te streven doelen.

III De kleuterperiode wordt ingedeeld in twee ontwikkelingsfasen.

IV De lagereschoolperiode wordt ingedeeld volgens de leeftijd van de leerlingen.

XXIV OVSG-LEERPLAN WISKUNDE RICHTSNOER

V Nummer en naam van de leerlijn

Elk leerdomein telt verschillende leerlijnen.

VI Doelstelling en haar nummering binnen de leerlijn.

VII Grijsgetint vak links van een vak met een zwarte streep

De doelstelling kan in deze groep enkel bij die kinderen die eraan toe zijn worden

nagestreefd.

VIII Grijsgetint vak met onderaan een zwarte streep

De doelstelling wordt uitdrukkelijk bij deze groep(en) nagestreefd.

IX Grijsgetint vak rechts van een vak met een zwarte streep

De doelstelling zal waarschijnlijk door een groot deel van de leerlingen bereikt zijn, maar ze

wordt nog nagestreefd door leerlingen die ze nog niet (ten volle) hebben bereikt.

X Witte vakken rechts van grijsgetinte vakken

Er mag verwacht worden dat de overgrote meerderheid van de leerlingen de doelstelling

heeft bereikt.

XI Cursief gedrukte doelstelling

Dit is geen basisdoel maar een uitbreidingsdoel. Er worden dan ook geen vakken voorzien

met een zwarte streep. De school beslist zelf of en voor wie ze dit doel in hun werkplan

opneemt. De grijsgetinte vakken geven aan bij welke groepen leerlingen deze doelstellingen

eventueel kunnen worden nagestreefd.

3 Didactische katernen

De link tussen de leerlijnen en de verschillende didactische katernen verschilt van katern tot

katern.

Het katern 'Werken met contexten' is niet te koppelen aan een of meer leerlijnen. Contexten

vormen de rode draad doorheen het hele wiskundeonderwijs.

Het katern 'Ontluikende gecijferdheid' geeft specifieke suggesties voor het kleuteronderwijs.

De suggesties zijn te koppelen aan verschillende leerlijnen uit de drie domeinen van

wiskunde.

De andere katernen zijn volledig opgenomen binnen één van de drie domeinen van

wiskunde.

Voor de domeinen meten en meetkunde is telkens één katern voorzien.

Bij het domein getallen treffen we zeven katernen aan.

Sommige van deze katernen sluiten aan bij één leerlijn (bv. tabellen en grafieken), andere

geven suggesties bij verschillende leerlijnen uit dit domein (bv. katern cijferen bij de

leerlijnen 1.20 tot en met 1.24).

INHOUD - OVSG | De gemeente maakt school · De kwaliteit van een school uit zich op de eerste...

Documents

Transcript of INHOUD - OVSG | De gemeente maakt school · De kwaliteit van een school uit zich op de eerste...