I f ( )( x x ) lim i i i 1 - narod.ruonosan.narod.ru/gos_exams/17.pdfРассмотрим три...
Transcript of I f ( )( x x ) lim i i i 1 - narod.ruonosan.narod.ru/gos_exams/17.pdfРассмотрим три...
. Численное интегрирование
Квадратурные формулы прямоугольников
Пусть требуется найти значение интеграла I Римана
b
а
dx)x(fI для некоторой заданной на отрезке ]b,a[ функции
)x(f . Хорошо известно, что для функций, допускающих на
промежутке ]b,a[ конечное число точек разрыва первого рода, такое
значение существует, единственно и может быть формально получено
по определению:
]x,...,x,x[]b,a[
]xx[
)xx)((fI
n10
1iii
n
1i
1iii
n
lim
, (5.1)
где n
0iix - произвольная упорядоченная система точек отрезка
]b,a[ такая, что
n,0xb,xx,axmax n1ii0 ,
а i - произвольная точка элементарного промежутка ]xx[ 1ii .
Приближенные формулы для вычисления определенных
интегралов называют квадратурными формулами или формулами
численного интегрирования.
Геометрический смысл определенного интеграла состоит в
следующем: вычисление
b
а
dx)x(fI при 0)x(f равносильно
построению квадрата, равновеликого криволинейной трапеции с
основанием ]b,a[ и крышей )x(f .
Простые квадратурные формулы можно вывести
непосредственно из определения интеграла, т.е. из представления
(5.1). Зафиксировав некоторое 1n , будем иметь
n
1i
1iii )xx)((fI (5.2)
Это приближенное равенство назовем общей формулой
прямоугольников (площадь криволинейной трапеции приближенно
заменяется площадью ступенчатой фигуры, составленной из
прямоугольников, основаниями которых служат отрезки ]x,x[ i1i ,
а высотами – ординаты )(f i .
Чтобы из общей формулы (5.2) получить правило приближенного
вычисления интеграла, воспользуемся свободой расположения точек
ix , разбивающих промежуток интегрирования ]b,a[ на
элементарные отрезки ]x,x[ i1i , и свободой выбора точек i на
этих отрезках.
Условимся в дальнейшем пользоваться равномерным
разбиением отрезка ]b,a[ на n частей точками ix с шагом n
abh
, полагая
1n,...,2,1i,bx,hxx,ax n1ii0 (5.3)
При таком разбиении формула (5.2) принимает вид
n
1i
i1iii ]x,x[),(fhI (5.4)
Рассмотрим три случая расположения точек i на элементарных
отрезках ]x,x[ i1i .
1. Квадратурная формула левых прямоугольников.
Пусть 1ii x . Тогда из (5.4) получаем
n
1i
1i
л
пр )x(fhII (5.5)
2. Квадратурная формула правых прямоугольников
Пусть ii x . Тогда имеем
n
1i
i
п
пр )x(fhII (5.6)
3. Квадратурная формула средних прямоугольников
Пусть 2
hx,
2
hx),xx( ii1iii1i2
1i
.
Точка i берется посередине между точками 1ix и ix . отсюда
получаем
n
1i
i
n
1i
1i
ср
пр )2
hx(fh)
2
hx(fhII (5.7)
Остаточный член (глобальной погрешности) квадратурной
формулы средних прямоугольников имеет вид:
2
nпр h)(f24
ab)h(R , )b,a(n . (5.11)
Как видно из формулы (5.11), при увеличении числа n
элементарных промежутков, на которые разбивается промежуток
интегрирования ]b,a[ по формуле средней точки (5.7) убывает
пропорционально квадрату шага h . Нетрудно убедиться, что
погрешность численного интегрирования непрерывно
дифференцируемой функции по формулам левых и правых
прямоугольников (5.5), (5.6) убывает по линейному закону.
Квадратурные формулы Нютона-Котеса
Подстановка в интеграл
b
а
dx)x(f вместо функции )x(f ее
интерполяционного многочлена Лагранжа той или иной степени n
приводит к семейству квадратурных формул, называемых формулами
Ньютона-Котеса.
Как было показано в Главе 1, функция ]b,a[C)x(f1n
может быть единственным образом представлена в виде
)x(R)x(L)x(f nn , где
∏∑
≠ -
-n
0j
ij ji
jn
0i
in)xx(
)xx()x(f)x(L - интерполяционный многочлен
Лагранжа,
)x(П)!1n(
)(f)x(R 1n
)1n(
n
ξ-остаточный член,
)b,a(),xx(П)x(П i
n
0i1n
.
Если система узлов интерполирования n
0iix совпадает с
точками разбиения (5.3) отрезка ]b,a[ с шагом h , то замена
переменной qhxx 0 преобразует многочлен Лагранжа к виду
n
0i
iin
0niq
)nq)...(1q(q
)!in(1i
)x(f)1()qhx(L
(5.12)
Для того, чтобы использовать такое выражение )x(L n вместо
)x(f в
b
а
dx)x(f , нужно изменить границы интегрирования
(значению ax соответствует значение 0q , а bx - значение
nq ) и учесть, что hdqdx .
Таким образом, получаем
n
0
n
0i
iindq
iq
)nq)...(1q(q
)!in(1i
)x(f)1(hI .
Это равенство, переписанное в виде
n
0i
ii
b
a
)x(fK)ab(dx)x(fI (5.13)
и есть квадратурная формула Ньютона-Котеса, где
dq)iq(
)nq)...(1q(q
n
1
)!1n(!i
)1(K
n
0
in
i (5.14)
- коэффициенты Котеса.
Свойства коэффициентов Котеса.
n
0i
i 1K.1 , если 1)x(f , то 0]f[R n
ini KK.2
На самом деле, формулы (5.13)-(5.14) определяют семейство
квадратурных формул. Параметром этого семейства является число
n - степень интерполяционного многочлена, которым заменяется
подынтегральная функция.
Рассмотрим несколько простейших частных случаев,
соответствующих небольшим значениям n .
При этом конкретные квадратурные формулы будем получать как
на основе общих формул (5.13)-(5.14), используя для этой цели
свойства коэффициентов Котеса, так и используя вместо многочлена
Лагранжа (5.12) эквивалентный ему (в силу единственности) первый
интерполяционный многочлен Ньютона:
1. Квадратурная формула трапеций.
Пусть 1n , т.е. имеется всего две точки 0x и hxx 01 .
Заменим подынтегральную функцию )x(f многочленом
Лагранжа )x(L1 , построенным по двум узлам ( 10 x,x ).
)x(L)x(f 1 .
Используя свойства коэффициентов Котеса, находим:
2/1KKKK
1KK
1010
10.
Тогда формулы (5.13) дают следующее выражение
)yy(2
)xx(I
,)y2
1y
2
1)(xx(dx)x(f
1001
x
x
1001
1
0
Получена простейшая квадратурная формула трапеций, к
которой легко прийти и из геометрических соображений.
Остаточный член этой формулы найдем интегрированием
остаточного члена )x(R 1 формулы линейной интерполяции,
преобразованного к виду:
)1q(qh2
)(f)qhx(R)x(R
2
011
Имеем
)h(O]f[R
h)(f
dq)qq()(fh
dq)qq(h)(f
h)f(R
x
x
3
1
31
1
0
2
3
22
1
12-
22
ξ1
0
2. Квадратурная формула Симпсона (формула парабол).
Положим в (5.15) 2n , т.е. проинтерполируем функцию )x(f по
трем точкам: 0x , hxx 01 и h2xx 02 .
Заменим подынтегральную функцию )x(f многочленом
Лагранжа )x(L 2 , построенным по трем точкам ( 210 x,x,x ).
)x(L)x(f 2
Используя свойства коэффициентов Котеса, находим:
1KKK
KK
210
20
Из формулы (5.14) при 2n получаем
2
0
2
0
23
2
2
0
02
0
6
12
2
3
34
123
4
1
0
21
020
1
2
1)q
qq(dq)qq(dq
)q(
)q)(q(q
)!(!
)(K
и
6
4K,
6
1KK 120 .
Тогда формулы (5.13) дают следующее выражение
)f(R)yyy(h
)f(R)yyy)(xx(dx)x(f
x
x
22102210024
36
1
6
4
6
1-
2
.
Итак, )yy4y(3
hdx)x(f 210
x
x
2
0
. (5.17)
Полученное приближенное равенство называется простейшей
формулой Симпсона.
Остаточный член этой формулы найдем интегрированием
остаточного члена )x(R 2 формулы квадратичной интерполяции,
преобразованного к виду:
где ]xx[ 20 .
)2q)(1q(qh!3
)(f)qhx(R)x(R
3
022
ξ
Но здесь нельзя воспользоваться интегральной теоремой о
среднем при интегрировании остаточного члена )qhx(R 02 , как
это было в случае 1n (функция )2q)(1q(q меняет знак на
промежутке ]2,0[ ).
Остаточный член формулы Симпсона имеет вид:
5IV
2 h90
)(f)f(R
ξ, где )xx( 20
.
Составные квадратурные формулы
Применение формул Ньютона - Котэса высоких порядков, т.е. при
больших значениях параметра Nk может быть использовано при
достаточно высокой гладкости подынтегральной функции )x(f .
Более употребительными являются квадратурные формулы,
получающиеся путем дробления промежутка интегрирования на
большое число мелких частей, интегрирование на каждом из которых
производится с помощью простейших формул невысокого порядка
(формул трапеций и Симпсона).
1. Общая формула трапеций.
n
1i
n
1i
i
3n
1i
i1i
x
x
b
a
)(f12
h)yy(
2
hdx)x(fdx)x(f
i
1i
, где
)x,x( i1ii .
)h(O]f[R5
2 ≈
Отсюда следует, что искомое значение интеграла можно
приближенно найти по формуле
)y2
1y...yyy(
2
1
n
abdx)x(f nn210
b
a
. (5.18)
Погрешность формулы (5.18) равна
n
1i
i
3
тр )(y12
hR .
По обобщенной теореме о среднем значении функции на отрезке
существует такая точка )b,a(т , что
)ab)((f)(yh m
n
1i
i
Таким образом, остаточный член формулы трапеций (5.18) есть
)h(O]b,a[),(fh12
)ab(R
2
mm
2
тр . (5.19)
2. Составная формула Симпсона.
На основе простейшей формулы Симпсона (5.17) и ее
остаточного члена запишем равенство
)(f90
h)yy4y(
3
hdx)x(f i
IV5
i21i22i2
x
x
i2
2i2
, где
)x,x( i22i2i . (5.20)
Выполнив разбиение (5.3) так, чтобы число элементарных
промежутков m2n было четным, исходный интеграл представляем
суммой интегралов вида (5.20):
m
1i
i
IV5m
1i
m
1i
i21i22i2
x
x
b
a
)(f90
h)yy4y(
3
hdx)x(fdx)x(f
i2
2i2
Отсюда получается формула численного интегрирования
)yyy(h
)yyy(h
)yyy(h
dx)x(fmmm
b
a
212224322104
34
34
3
,
которая называется формулой Симпсона.
Остаточный член формулы Симпсона
)h(O]b,a[),(f)ab(h
)(hfh
Rcc
IV
m
i
i
IV
симпс
4
4
1
4
1802
180
(5.21)
Таким образом, можно сказать, что замена подынтегральной
функции )x(f на промежутке интегрирования ]b,a[ , разбитом на n
частей с шагом h , кусочно-линейной функцией приводит к
приближенному значению интеграла (5.18) с ошибкой, убывающей при
0h (согласно(5.19)) по квадратичному закону. Если же сделать
кусочно-квадратичную интерполяцию по сдвоенным элементарным
промежуткам ]x,x[],...,x,x[],x,x[ m22m24220 , то ошибка
получаемого приближенного равенства в соответствии с (5.20) будет
убывать уже пропорционально четвертой степени (5.21). Этим
обусловливается популярность формулы Симпсона, так как
повышение порядка точности интерполяции на единицу повлекло
повышение точности интегрирования на два порядка.