電磁気学 I 演習-0: warming up 課題 10 Apr. ’18

0.1 xy 平面上にふたつの点電荷がある。一方は、電荷 +2Q で x 軸上の座標 (−3a, 0) に、もう一方は電

荷 −Q で x 軸上の座標 (3a, 0) にあるとする。このとき、座標 (5a, 4a) の位置の電場を求めよ。

0.2 上問と同じ設定で、電位が 0 の等電位面は xy 平面上のどのような図形になるか？ ただし、無限に遠

いところを電位の基準にとる。（つまり、そこでも電位 0。無限遠方以外にどこで電位が 0 になるかという問

題である。）

0.3 鉛直方向にふたつの平行な導線があり、どちらも上向きに電流 I1 および I2 が流れている。これらの

電流の単位長さあたりに働く力と、その向きを求めよ。ただし、導線間隔を d とする。

さらに、I1 = 10 [A], I2 = 6 [A] および d = 0.4 [m] のとき、ふたつの導線の中間点にできる磁束密度を求

めよ。

0.4 図のように、z > 0 の部分には紙面の奥方向に一様な磁場 B がかかっている。ここに、電荷 −e の電

子を壁の隙間から磁場と垂直な速度 v で打ち込んだとき、電子はどのような運動をするか調べよ。ただし、電

子の質量を m とする。

z

0v

⊗ B

この電子を再び z < 0 の領域に戻すためには壁のどこにもう一つの穴を開ければよいか？また、電子が

z > 0 に進入してから戻ってくるまでにかかる時間はどれだけか？

0.5 万有引力の法則は

F = Gm1m2

r2r (G = 6.673× 10−11[Nm2kg−2])

と表される。陽子と電子の間に働く電気力と、万有引力の比を求めよ。ただし、陽子の質量= 1.673×10−27[kg]

、電子の質量 9.019× 10−31[kg] である。

電磁気学 I 演習-1 17 Apr. ’18

学籍番号： 名前：

1.1 地球の電子の何パーセントが太陽に移動すると、（地球太陽間の）万有引力と電気力が等しくなるか。

ただし、地球の質量の半分が陽子、半分が中性子であるとし、電子の質量は無視して考えよ。（地球の質量

= 5.97× 1024[kg]、太陽の質量 = 1.99× 1030[kg]）

1.2 2つの点電荷 q が 2aだけ離れて置かれている。これらの垂直 2等分線上に電荷 q′ を置いて、それに

働く力が最大になる位置を求めよ。

電磁気学 I 演習-1 17 Apr. ’18

学籍番号： 名前：

1.3 電気双極子の電場を r−3 の次数まで求めよ。

1.4 積分公式∫ ∞

−∞

dz

(z2 + a2)3/2=

2

a2と

∫ ∞

0

rdr

(r2 + a2)3/2=

1

aを示せ。

電磁気学 I 演習-2 24 Apr. ’18

学籍番号： 名前：

2.1 無限に広い平面に、面密度 σ の電荷分布がある。この電荷分布による電場は、平面からの距離に依ら

ないことを示せ。

2.2 半径 a の円盤に電荷密度 σ が一様に分布している。この円盤の中心軸上の電場を、円盤からの距離 z

の関数として求めよ。また、a ≪ z、および a ≫ z の場合に電場はそれぞれどうなるかを調べ、その意味を考

えよ。

電磁気学 I 演習-2 24 Apr. ’18

学籍番号： 名前：

2.3 　半径 a の球の表面積および体積を多重積分により求めよ。

2.4 点電荷の「電荷密度」を表現するために、通常は Diracのデルタ関数が用いられる。この「関数」は

積分および通常の関数 f(x) を用いて、次のように定義される：∫ ∞

−∞f(x)δ(x)dx = f(0)、x = 0 に対して

δ(x) = 0 および δ(−x) = δ(x)。特に f(x) = 1(定数関数)の場合、∫ ∞

−∞δ(x)dx = 1 がわかる。

(1) デルタ関数は台形関数

gϵ(x) =

1/ϵ −ϵ/2 < x < ϵ/20 その他

を用いて、δ(x) = limϵ→0 gϵ(x)と定義できることを示せ。

(2) 原点に点電荷 q がただ一つある場合の「電荷密度」を表現せよ。

電磁気学 I 演習-3 8 May ’18

学籍番号： 名前：

3.1 線電荷密度 λ > 0で帯電した、半径 aの無限に細い環がある。

(i) この環の中心軸（z 軸とする）上の電場を求めよ。

(ii) z 軸上のみを動く点電荷 q < 0がある。輪の中心を原点にとったとき、点電荷は |z| ≪ aの範囲におい

て単振動することを示せ。また、その振動周期を求めよ。

3.2 半径 a の球の内部全体に、密度 ρ の一定電荷が分布しているときの、球内外の電場を Gauss の法則

を用いて求めよ。

電磁気学 I 演習-3 8 May ’18

学籍番号： 名前：

3.3 半径 a の無限に長い円柱内部全体に、密度 ρ の一定電荷が分布しているときの、円柱内外の電場を

Gauss の法則を用いて求めよ。

3.4 原点中心の単位球面を考える。この単位球面上にある領域をとったとき、その領域の面積を原点から

見たこの領域の「立体角」Ωと定義する。

1

Ω

(1) 立方体の頂点が作る立体角を求めよ。

(2) 原点に中心をもつ円錐が作る立体角を考える。円錐の頂角を大きくしていくと、円錐の高さは徐々に小さ

くなっていくが、円錐が完全に平面とみなせる場合の立体角を求めよ。

(3) 円錐の頂角が π/6, π/4, π/3の場合の立体角を求めよ。

電磁気学 I 演習-4 15 May ’18

学籍番号： 名前：

4.1 次のベクトル場の発散を求めよ。

(1) U1 = (x, y, z)

(2) U2 = (exy, sinxy, cos2 zx)

(3) U3 = grad ϕ ただし ϕ = x2y3z とする。

4.2 ベクトル場　 V =

(x− x0

r3,y − y0r3

,z − z0r3

)の発散を求めよ。ただし、r は定点 r0 = (x0, y0, z0)

から任意の位置 r = (x, y, z)までの距離である。このベクトル場で表現できる物理系の例を述べよ。

電磁気学 I 演習-4 15 May ’18

学籍番号： 名前：

4.3 問 3.2 で求めた、帯電した球体が作る電場について、微分型 Gaussの法則が成立していることを示せ。

4.4 ベクトル場 V = (x, x2) に対して、(−1, 0)から (1, 0)まで以下の経路に沿った線積分の値を求めよ。

(1) x軸に沿って。

(2) 原点中心、半径 1の半円に沿って（ただし半円は図に示すようにとる）。

(3) 図の経路に沿って。

(−1, 0) (1, 0)

(1, 1)

電磁気学 I 演習-5 22 May ’18

学籍番号： 名前：

5.1 次のベクトル場の回転を求めよ。

(1) U1 = (x, y, z)

(2) U2 = (exy, sinxy, cos2 zx)

(3) U3 = grad ϕ ただし ϕ = x2y3z。

5.2 球殻表面上に電荷が一様に分布しているとき、その内部の空洞部分では E = 0 であることを、ガウス

の法則を使わず、クーロンの法則を直接使って示せ。

電磁気学 I 演習-5 22 May ’18

学籍番号： 名前：

5.3 原点に電荷 q があるとき、図のような閉曲線に対して、直接 E を積分することによって「渦なしの法

則（rot E = 0)」を確かめよ。ただし、曲線は原点を中心とした円弧である。

O 1 2

√3

5.4 原点に関して球対称かつ放射状の電場を考える。電場の強さが r = aを境に

E⊥(r) =

r2

ε0(r < a)

0 (a < r)

となるような電荷分布を求めよ。

電磁気学 I 演習-6 29 May ’18

学籍番号： 名前：

6.1 電気双極子（電荷 ±q、間隔 d）の電位

ϕ(r) =1

4πε0

qd

r2z

r

から、電気双極子の電場を求めよ。

6.2 以下の条件のもとで、ラプラス方程式 ϕ = 0がそれぞれ与えられた形になることを示せ。

(1) 　電位が z 軸の周りで軸対称性をもつ場合

1

ρ

∂

∂ρ

(ρ∂

∂ρϕ

)+

∂2

∂z2ϕ = 0,

ただし ρは z 軸からの距離。

(2) 電位が原点の周りで球対称性をもつ場合

1

r2∂

∂r

(r2

∂

∂rϕ

)= 0,

ただし r は原点からの距離。

　

電磁気学 I 演習-6 29 May ’18

学籍番号： 名前：

6.3 半径 aの無限に長い円柱が、電荷密度 ρ(r) = 3Q(a− r)/πa3 (r < a)で軸対称に帯電している。ただ

し r は円柱の中心軸からの距離とする。

(1) この電荷分布によりつくられる電場を求めよ。

(2) 電場を積分することにより、静電ポテンシャルを求めよ。

(3) この静電ポテンシャルが Poisson方程式を満たすことを確かめよ。

6.4 水素原子は全体として電気的に中性であり、その静電ポテンシャルは

V (r) =q

4πϵ0

exp(−αr)

r

(1 +

αr

2

)のように与えられる。ここで rは原点からの距離、q, αはある定数である。これを用いて、水素原子の電荷分

布を求めよ。また、電気的に中性であることを示せ。

電磁気学 I 演習-7 5 Jun. ‘18

学籍番号： 名前：

7.1 半径 a の球内に一定の電荷密度 ρが分布しているときの静電ポテンシャルを、 Poisson 方程式を解く

ことにより求めよ。

7.2 半径 a の無限に長い円柱内部に一定の電荷密度 ρが分布しているときの静電ポテンシャルを、Poisson

方程式を解くことにより求めよ。

電磁気学 I 演習-7 5 Jun. ‘18

学籍番号： 名前：

7.3 軸対称系におけるラプラス方程式ϕ = 0を考える。

(1) 極座標を用いて ϕ =u(r)

rP (θ)の形に変数分離せよ。ただし分離定数は ℓ(ℓ+ 1)とする。

(2) 動径成分の方程式、 r2u′′ − ℓ(ℓ+ 1)u = 0を ℓが 0または正の整数の場合について解け。

7.4 前問において、角度成分の方程式1

sin θ

d

dθ

(sin θ

dP

dθ

)+ ℓ(ℓ+ 1)P = 0を考える。

(1) x = cos θ と変数変換すれば、この方程式は (1− x2)P ′′ − 2xP ′ + ℓ(ℓ+ 1)P = 0と書けることを示せ。

(2) ℓ = 0, 1, 2に対して、それぞれ P0(x) = 1, P1(x) = x, P2(x) =12 (3x

2 − 1)であることを示せ。

電磁気学 I 演習-8 12 Jun. ’18

学籍番号： 名前：

8.1 真空中に置かれた半径 aの導体球に電荷 Qを与えたときに、これがもつ静電エネルギーを、最初帯電

していなかった球に無限遠から少しずつ電荷を運んできてためたものとして、その仕事の総和として計算せ

よ。次に、電場の強さが E であるような空間はエネルギー密度 ε0E2/2をもつとして、帯電した導体球の周

りの空間の全エネルギーを求めよ。

8.2 特殊相対論によれば、エネルギーと質量は等価であり、エネルギー U と質量mには U = mc2 の関係

がある。この関係が電子の質量m = 9.1× 10−31[kg]と静電エネルギーの間に成立するものと仮定し、電荷は

球状の電子の表面にあるとしたとき、電子の半径を計算せよ（古典電子半径）。

電磁気学 I 演習-8 12 Jun. ’18

学籍番号： 名前：

8.3 半径 aおよび bをもつ同心導体球殻の間に電気伝導率 σ の物質を満たし、外球を接地し内球に電位 V

を与えたとき、両球間の抵抗および全電流を求めよ。

8.4 半径 aの球の表面に面密度 σ で一様に電荷が分布している。この球を、中心を通る軸の周りに角速度

ω で回転させたとき、球上の電流密度を求めよ。

電磁気学 I 演習-9 19 Jun. ’18

学籍番号： 名前：

9.1 z 方向の一様な磁場、y 方向の一様な電場があるとする。このとき、質量mをもつ点電荷 q の運動方

程式を解き、その運動の概念図を示せ。ただし、t = 0において点電荷は原点で静止しているものとする。

9.2 1 [A] の直線電流から 1 [cm] 離れたところの磁束密度と、地磁気 (0.3 [gauss]) の比を求めよ。。

電磁気学 I 演習-9 19 Jun. ’18

学籍番号： 名前：

9.3 半径 a の輪に一定の電流 I が流れている。輪の中心軸上の磁束密度を中心からの距離 z の関数として

求めよ。

9.4 辺の長さがそれぞれ 2a, 2b であるような長方形のコイルに電流 I を流すとき、コイルの中心にでき

る磁束密度の強さを求めよ。

電磁気学 I 演習-10 26 Jun. ’18

学籍番号： 名前：

10.1 一辺の長さ aの正三角形の導線回路に定常電流 I が流れているとき、この正三角形の重心 O から面

に垂直に z の位置につくられる磁束密度を求めよ。

10.2 半径 a、単位長さあたりの巻き数 n、長さが ℓのソレノイドに定常電流 I を流す。ソレノイドの中心

軸上につくられる磁束密度を求めよ。特にソレノイドの端の磁束密度の強さ Be と、中央の磁束密度の強さ

B0 は ℓ ≫ aのときどれくらい違うかを示せ。

電磁気学 I 演習-10 26 Jun. ’18

学籍番号： 名前：

10.3 半径の等しい２つの円形コイルを中心軸を共有するように置く。コイルには等しい強さの電流を同

じ向きに流すとき、中心軸上かつ２つのコイルの中間点付近で、中心軸に沿ってわずかに位置が変わっても

磁束密度の強さがほとんど変わらないためには、コイルの半径とコイル間隔を等しくすればよいことを示せ

（Helmholtz のコイル）。

10.4 無限に広く厚さの無視できる平面に一様な電流が流れている。この電流が作る磁束密度を、Biot-

Savart の法則から求めよ。

電磁気学 I 演習-11 3 Jul. ’18

学籍番号： 名前：

11.1 半径 aの導体球の表面に面密度 σ で一様に電荷が分布している。この球を中心を通る軸の周りに角

速度 ω で回転させたとき、導体球の内部の回転軸上につくられる磁束密度を求めよ (8.4 参照)。

11.2 間隔 2aを隔てて平行に置かれた 2本の導線に沿って、互いに反対方向電流 I が流れている。これら

の電流により任意の点に作られる磁束密度を、ベクトルポテンシャルを計算することにより求めよ。

電磁気学 I 演習-11 3 Jul. ’18

学籍番号： 名前：

11.3 原点を中心にもつ微小円形電流は磁気双極子モーメント m をもつと考えられ、これが遠方で作るベ

クトルポテンシャルは

A =µ0

4π

m× r

r3

である。これから磁場を求めると、電気双極子モーメントが作る電場と同じ形になることを示せ。

11.4 無限に長い直線状の導線と、半径 aの円形回路が同一平面内に置かれている。いずれも太さは無視で

きるものとする。円の中心から直線状の導線までの距離は d(> a)である。直線状導線に電流 I1、円形回路に

電流 I2 を流したとき、これらの間にはたらく力を求めよ。

電磁気学 I 演習-12 10 Jul. ’18

学籍番号： 名前：

12.1 外径 a、内径 bの無限に長い中空円筒状の導体に定常電流 I が一様な密度で流れている。このとき、

円筒外部、導体内部、および中心部の空洞における磁束密度を求めよ。

12.2 半径 a の輪に一定の電流 I が流れている。この中心軸を −∞ から +∞ まで行き、無限遠をまわっ

て −∞ に戻る閉曲線 C に対して、Ampere の法則を確かめよ。

電磁気学 I 演習-12 10 Jul. ’18

学籍番号： 名前：

12.3 閉曲線 C を一辺の長さ 2a の正方形とする。無限に長い直線電流が作る磁束密度について、C に

沿った Ampere の法則が成立することを確かめよ。ただし、C は電流に垂直な平面内にあり、電流はその中

心を通るものとする。

12.4 磁力線が z 軸を中心軸として渦巻いており、その磁束密度の強さ B は位置によらないとする。この

ときの電流密度の分布を求めよ。

電磁気学 I 演習 2018 - 期末レポート課題 1

学籍番号： 名前：

原点に点電荷 q がある。重心を原点にもつ 1辺 2a の立方体を考え、この立方体の表面で Gauss の法則

が成立することを確かめよ。

電磁気学 I 演習 2018 - 期末レポート課題 2

学籍番号： 名前：

原点に点電荷 q がある。重心を原点にもつ、半径 a、高さ 2dの円柱を考え、この円柱の表面で Gauss の

法則が成立することを確かめよ。