E J E R C I C I O S G E N E R A L E S

1. Sea ^ = f l , 2, j l , 2, 3| ¡. Determinar la verdad o la falsedad de las s iguientes a f i r ­maciones:

)̂ e) |2j C ^ • W 2 e 4 [) {3\

3eA g) |1,2! C A C A h) ¡1 ,2 ,31 C A

2. Corlsidérense los conjuntos siguientes: ^ = ( J : Ix es un repti l \C = \x\x es un cocodrilo j . • Q = {x\x es un quelonio \ ¡ G = j X f̂ x es un ofidio |. : M= {x\x es un mo lusco ) . G = I XIX es u n cefalópodo |.

A — j x|x es un arácnido |. = j X IX es un artrópodo ¡.

B = l x | x es un batracio }. / = jx|x es un insecto |. r= j x|x es un invertebrado |. S = j x | x es un anf ib io ¡.

Determinar las posibles inclusiones propias que existen entre ellos (Consúltese).

3. Sea X = I 1, 2, 3, 4, 5 i. E s c r i b i r 5 sub-conjuntos de X que tengan 3 elementos y 4 subconjuntos de X que contengan 4 ele­mentos.

4. Representar u t i l i zando diagramas de Venn las siguientes relaciones: a) 1 e A , I 1, 2| C (B n o , A CB y 2^ A

b) ¡ 2, 3 i C C, A n B = 1 2 1, B - A j 4, 5 I y A U B = I 2, 3, 4, 51 r\ r P P. n r. ^ d> y A r-, r ^ a> áy M C {NnK),P C N,R C K, P D K = 4, y Rn N = 0 ' • e) A C (B - C),D C (C - B ) , EnA^,t>yEnD7^,ti'

5. Determinar cuáies de los siguientes con­juntos son vacíos: a) |x|x es un di» que tiene duración de 30 horas ¡. i)) !,x¡.\s nombre de un me^ uw- tiene co­mo letra i n i c i a l F |. c) \x\x nombre de una nota mus i ca l que empieza p o r P l . d) ( A n B) n ( A p i BY e) (A - A) u (Bn B') 6. Determinar cuáles de los siguientes con­juntos son iguales: A = t i , 2, 3! B = I X - 1 = 11 U I X 2 = 5 I 1J I 1 ! C = ¡x e N ] x < 4', D = (| 1, 2, 3, 4, 5| n I 2, 3, 6, 7!) i j 1 1| 7. Sean A = ¡ 1 , 2, 3, 4 ¡, B = (2, 4, 6, 8 j y C =• I 3, 4, 6, 8 I. H a l l a r y representar mediante diagramas de Venn los resultados:

e) A n C 1) C - B f) B n c m) (A n C) U B g) A - B n) (A n B) U c h) B - A 0) (B - C) n A i) A - C P) B - ( C n A) j) C - A q) A - (B - C) k) B - C

8. Sean U = \ b, r, d. e\, A = í a, 6, d 1 y B = 1 6, d, e 1. H a l l a r : a) A ' n B b) A U B' c) An B' d) B' - A e) (A - B') U (B - AY f) I (A - B) n ( B - A)] ' g) (A - BY U (B - AY h) (A n BY - (A' n B'Y

9. Repre.sentar mediante diagramas de Venn los l i terales: a), b), c) y d) ael ejercicio an-terior.

a) A U B

h) A'_: C c) B i d) A i

C

B

10. Dibujar un diagrama de Venn que cum­pla con las siguientes condiciones: A n B = A y A ? i B

11. Dibujar un diagrama de Venn que cum­pla con las siguientes condiciones: A'ZU, B ^V. ADB?^ 4> y A (IB

12. Sean: U = \ es estudiante del cole­gio 1, A = I x| X es estudiante del colegio con an ­teojos I, B = |x|x es estudiante del colegio con cor­bata (. Colorear en un diagrama de Venn , la región que corresponda con cada uno de los s iguien­tes conjuntos: a) j x|x es estudiante del colegio con an­teojos y corbata |, b) j x|x es estudiante del colegio con anteo­jos y sin corbata ¡. c) |x|x es estudiante del colegio s in an­teojos y sin corbata j . d) |x|x es estudiante del colegio s in anteo­jos ¡. e) |x|x es estudiante del colegio sin an­teojos y con corbata I,

22

10. Sab¡endoqu8el#(A) = 20y#O'>*3S, lna(leÍ<:AU 6Wi:' a) A n B = <b b) # (A o B) = 5

\. Una compañía tiene 350 empleados de los cuales 160 obtuvieron un aumento de salario, 100 fueron promovidos y 60 obtuvieron un aumento de salario y fueron promovidos, a) ¿Cuántos empleados obtuvieron un aumento pero no fueron promovidos?.

^ b) ¿Cuántos empleados no obtuvieron ni aumento de salario ni promoción?

12. En una prueba de tiro al blanco cada participante hizo dos disparos, de los cuales se conoce: 52 acertaron el primer tiro, 20 acertaron los dos tiros, 18 fallaron los dos tiros, 88 acertaron un solo tiro. ¿Cuál fue el número de participantes?.

13. E n un examen fueron propuestos dos problemas y se sabe que 413 acertaron el primer problema, 199 erraron el segundo problema, 230 acertaron los dos problemas, 485 acertaron un problema. ¿Cuál fue el número de alumnos que presentaron el examen?.

14. En los conjuntos A y B, # (A) =15, # (A n B) = 5, # (A U B) = 30. Detemiine # (B).

15. A l entrevistar a 100 familias se observa que 75 de ellas tienen suscr ipciones al periódico "E l Tiempo", 55 al "Espectador", y 10 a ninguno de ellos. ¿Cuántas familias están suscr i tas a ambos periódicos?.

16. En el siguiente diagrama de Venn subraye la respuesta que corresponda a la parte sombreada.

U

a) {{A n B) U (B n C)} - B b) {B (A U C)} - (A o C) c) Ninguna

17. E n el siguiente diagrama de Venn subraye la respuesta que conesponda a la parte sombreada.

.,'^!?777777^- B |U

a) B U (A B) b) C U (A r, C) c) A - (B U C) d) A ' U (A U B) e) A U (B n C)

18. E n el siguiente diagrama los conjuntos A , R y F representan el número de estudiantes que hablan Alemán, Francés y Ruso respectivamente. El número de estudiantes que hablan a lo más de dos idiomas es:

a) 155 b) 85 d) 160 e) 75

19. S e a : . U = Conjunto de alumnos de la universidad. F = Conjunto de alumnos que juegan fútbol. A = Conjunto de alumnos que juegan ajedrez. B = Conjunto de alumnos que juegan baloncesto.

• „ Utilizando diagramas de Venn señalar:

/

Ejercicio 1.4

1, Soluciona las desigualdades siguientes:

2 - a

L'

Í .Ü + ZJJ¿ <--I ^' 3 2

<j) > 2 v - 6

" 4 5 a) 3 f - 2 < 5

b) -3m+2.<5+m g) | < ^ •

h) <5

i) i L ± l < 6 y-2

i, 2. _ 4 < 4- + 1

k)

I)

n - 4

3 /+1

- L _ < 3

O) J < - ^

Ejercicio 1.6 I

Resuelve las siguientes desigualdades cuadráticas:

a) - 6 < n , i) (fa-3){6 + 4)<0 q) J l i . S - 4 f - 3

b) j) 0̂ + c < 12 r) h{h +5) ^ Q h-3

c) / i * < 1 0 ~ 3 / » k) s) JUñ 2 1 n + 4

d) x 2 - 8 x SO 1) a(a + 6)SíO t) 3

e) nf*5m ¿ 0 m) e ^ S 4e u) S / ' - 8 2 2 4 / - 5

f) n) , v) 5^-3520

jr ^ + 4 2 4z o) 6k S/<2+9 w)

h) + 4 < y p) X*--144 2 0 x) f + 2

Ejercicio 1,5 |

Halla el valor o valores de xen los siguientes ejercicios:

ai | 3 x - 5 | = 6 f) | l 2 - 3 x | s 3

b) | 7 - 4 x | = 4 g) Í 3 - 5 x | S 5

c) ! 3 x + 2 Í = | 5 x - 3 | h) | 3 x - 2 | s | 4 x + 2 !

d) |2x+4|<3

e) | x - 6 | < 2

i) U±2 \2x+ 1

5 - 2 x 3+ X

<;4

<2

k)

I)

m)

n)

o)

JÍ-±2J <4 2 x - 6

3 - 2 x X +4 x - 2

2 x - 3

5x + 4 3x4-2

<5

<6

<.7

<8 5 x - 3

3 5 = {x : X real y * >5}

Escribir cada uno de los siguientes conjuntos, con la notación utilizada en el texto para intervalos. Catalogúelos según sean abiertos, semiabiertos o ce­rrados. '

g_ {x : X real y 1 < X <5 } IQ {X : X real, X > 1 ) . -

11 {x : X real,-10< X <N/21, 12. {x : x real, x > 10}

13 {x : X real, X <0} 14. {x ; x real, x <0}

15. {x :x real, N/ Í^X <5] 15. {x : x real, - 2 < x < VT}

Escribir los siguientes Intervalos con la notación de conjuntos;

17. ( - "« .8 ) IB. <-3, 4]

19. <-2,- 1) 20. (4, « )

21. <- 8) 22. i-'".

23. (3, V ^ ] 24. [- 1.0)

25. 1-1. ~>

S i > í = l 0 . 1], fl = ( - « « , O), C = (1 ,«>) ,D=(^- | - , 12

el conjunto R. de los rwjmeros reales, encontrar:

y el universal referencial

26. 27. AUC

28. AUBUC 29. /4 n o

30. 31. e n D

32. « U C • Z3. A'UB'

34. A-D 35. {A-0)n B'

36. w n s ) U ( c n D ) U ( f l n D i '

Escribir los siguientes conjuntos con la notación de intervalos y las operacio­nes con conjuntos;

37. « = { x ; x r e a l , 1 < x < 2 V x > 5 }

38. Af = {x rxreal, x < 3 A x >-• 2}

39. L ={x : X real, x <3 A x < 1}

40. r = {x : X real, X <7 V x > 0} ,,• . ; '

41. M= {x ; X real, x < 7 A x > O}

2.2 SOLUCION DE DESIGUALDADES

Resolver una desigualdad es hallar el conjunto de todos los núme­ros reales que la satisfacen.

a) Desigualdades lineales

Ejemplo 1 . •, „