Hoofdstuk 2 - Differentiërenbgnuitwerkingen.wdfiles.com/local--files/h5wib/H2.pdf ·...

⁄23

Hoofdstuk 2

Voorkennis: De afgeleide

bladzijde 32

V-1a Na 50 seconden. De grafiek verandert daar van B in C en het dalen gaat ineens langzamer.

b De raaklijn gaat ongeveer door de punten (2, 4000) en (7, 3800). De valsnelheid is

het verschil in hoogte per tijdsinterval, dus v ht

= ∆ = −−

= − = −∆

3800 40007 2

2005

40 m/s.

Het minteken wijst erop dat de snelheid naar beneden gericht is. c De raaklijn op t = 20 valt samen met lijn B, die door de punten (20, 3000) en

(40, 1600) gaat.

De valsnelheid is v ht

= ∆ = −−

= − = −∆

1600 300040 20

140020

70 m/s, ofwel 70 m/s naar beneden.

d De parachutist komt op de grond neer met de snelheid die bij lijn C hoort. De lijn gaat door de punten (100, 500) en (180, 0).

Zijn snelheid is v ht

= ∆ = −−

= − = −∆

0 500180 100

50080

6 25, m/s.

Dat is 6,25 ∙ 3,6 = 22,5 km/h

V-2a De raaklijn gaat door de punten (–3, –11) en (3, 7). De helling bepaal je altijd over het grootst mogelijke interval dat je kunt aflezen. Afleesfouten werken dan het minst door in het bepalen van de helling. Het interval is in dit geval [–3, 3] en de helling

van de raaklijn is ∆∆

yx

f f= − −− −

= − − = =( ) ( )( )

( )3 33 3

7 116

186

3

b Het differentiequotiënt op het interval [1; 1,001] is

∆∆

yx

f f= −−

= − =( , ) ( ),

,,

,1 001 11 001 1

1 001 10 001

13 3 0003003001 10 001

0 0030030010 001

3 003001− = =,

,,

,

c Voor het punt (1, 1) is x = 1 . De helling van de raaklijn voor x = 1 is f '( )1 3 1 32= ⋅ = d In het punt (0, 0) is x = 0 . De helling van de raaklijn voor x = 0 is f '( )0 3 0 02= ⋅ =

In het punt (–1, –1) is x = −1 . De helling van de raaklijn voor x = −1 is f '( ) ( )− = ⋅ − =1 3 1 32

In het punt (2, 8) is x = 0 . De helling van de raaklijn voor x = 2 is f '( )2 3 2 122= ⋅ =

bladzijde 33

V-3a f x x( ) = 100 d l x x( ) = −2 94 2 f x x'( ) = 100 99 l x x'( ) = ⋅ −2 4 03 , ga na dat 92 een constante is;

b g x x( ) = 6 3 de waarde is onbelangrijk voor de afgeleide! g x x x'( ) = ⋅ =6 3 182 2 l x x'( ) = 8 3

c h x x( ) = + 2 e k x x( ) ,= −6 0 3 10 h x'( ) = +1 0 k x x'( ) ,= − ⋅0 0 3 10 9 h x'( ) = 1 k x x'( ) = −3 9

f m x x( ) = +3 6 m x'( ) = +3 0 m x'( ) = 3

Hoofdstuk 2 - Differentiëren

MW9_havobb_wiskb_2_1-Uitw.indd 23 31-03-2008 10:53:20

Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen havo B deel 2 © Noordhoff Uitgevers bv© N

oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄24


V-4a s t= ( )5 2 s t t= ⋅ =5 252 2 2

dd

st

is hetzelfde als s t'( ) , dus

dd

st

s t t t= = ⋅ ='( ) 25 2 50

b s t= −13

4 5( ) s t= − ⋅1

34 1

35

dd

st

t= ⋅ −13

34 0

dd

st

t t= = 13

43

3 31

c s t= +3 5( ) s t= +3 15

dd

st

= 3

d s t t= + −( )( )3 3 s t t t t= − + + ⋅− = −2 23 3 3 3 9

dd

st

t= 2

V-5a f x x'( ) = 2 g x x'( ) = −2 In het punt P(2, 4) is x = 2 .

De helling in P van f is f '( )2 2 2 4= ⋅ = De helling in P van g is g '( )2 2 2 4= − ⋅ = − b

Plot Invoer: Y1 = X2

Y2 = 8–X2

Venster: Standaardinstellingen Functie g is functie f maar dan gespiegeld in de x-as en 8 omhoog verschoven. In P

is de helling van g dus ook gespiegeld ten opzichte van f. De verschuiving is niet van belang. De grootte blijft door de spiegeling ongewijzigd.

c In het punt Q(3, 9) is x = 3. De helling in Q van f is f '( )3 2 3 6= ⋅ = d De helling van g moet –6 zijn, dus g x x'( ) = − = −2 6 . Oplossen geeft x = 3.

De y-waarde op de grafiek van g is g( )3 8 3 12= − = − . Het punt is dus (3, –1) e De helling van g moet 6 zijn, dus g x x'( ) = − =2 6 . Oplossen geeft x = –3.

De y-waarde op de grafiek van g is g( ) ( )− = − − = −3 8 3 12 . Het punt is dus (–3, –1)



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄25


V-6a dd

st

s t t t= = ⋅ ='( ) , ,4 9 2 9 8 . Voor t = 2 geeft dit 9 8 2 19 6, ,⋅ = m/s

b De snelheid in meter per seconde op tijdstip t = 2 seconde. c Los op: s t= =4 9 502,

t 2 50 4 9= : , t = ≈50 4 9 3 19: , , seconde. De oplossing t ≈ −3 19, s heeft geen betekenis.

d Na 3,19 seconde is de snelheid van de steen v s( , ) '( , ) , , ,3 19 3 19 4 9 2 3 19 31 3= = ⋅ ⋅ = 31,3 m/s

2.1 Veeltermfuncties differentiëren

1a ss s

'( )( , ) ( )

, ( ),− ≈ − − −

− − −= −

21 999 21 999 2

7 997999 −− − =( ),

,8

0 0012 001

ss s

'( )( , ) ( )

,,

,3

3 001 33 001 3

27 012001 270 00

≈ −−

= −11

12 001= ,

b ff f

'( )( , ) ( )

, ( ),− ≈ − − −

− − −= −2

1 999 21 999 2

3 996001 440 001

3 999,

,= −

gg g

'( )( , ) ( )

, ( ), (− ≈ − − −

− − −= − −

21 999 21 999 2

11 994 −− =120 001

6)

, f g'( ) '( ) , ,− + − = − + =2 2 3 999 6 2 001 , klopt met s'( )−2

ff f

'( )( , ) ( )

,,

,3

3 001 33 001 3

9 006001 90 001

≈ −−

= − = 66 001,

gg g

'( )( , ) ( )

,,

,3

3 001 33 001 3

18 006 180 001

6≈ −−

= − =

f g'( ) '( ) , ,3 3 6 001 6 12 001+ = + = , klopt met s'( )3 c f x x'( ) = 2 en g x'( ) = 6 . Als de optellingen hierboven in het algemeen kloppen zou

moeten gelden s x f x g x x'( ) '( ) '( )= + = +2 6 d v x f x g x x x( ) ( ) ( )= − = −2 6

vv v

'( )( , ) ( )

, ( ),− ≈ − − −

− − −=2

1 999 21 999 2

15 990001 −− = −160 001

9 999,

,

vv v

'( )( , ) ( )

,, ( )

,3

3 001 33 001 3

8 999999 90

≈ −−

= − − −0001

0 001= ,

ff f

'( )( , ) ( )

, ( ),− ≈ − − −

− − −= −2

1 999 21 999 2

3 996001 440 001

3 999,

,= −

gg g

'( )( , ) ( )

, ( ), (− ≈ − − −

− − −= − −

21 999 21 999 2

11 994 −− =120 001

6)

,

f g'( ) '( ) , ,− − − = − − = −2 2 3 999 6 9 999 , klopt met v'( )−2

ff f

'( )( , ) ( )

,,

,3

3 001 33 001 3

9 006001 90 001

≈ −−

= − = 66 001,

gg g

'( )( , ) ( )

,,

,3

3 001 33 001 3

18 006 180 001

6≈ −−

= − =

f g'( ) '( ) , ,3 3 6 001 6 0 001− = − = , klopt met v'( )3

f x x'( ) = 2 en g x'( ) = 6 . Als de aftrekkingen hierboven in het algemeen kloppen zou moeten gelden v x f x g x x'( ) '( ) '( )= − = −2 6



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄26


2a s x x x( ) = + +2 8 3 e h x f x s x p x( ) ( ) ( ) ( )= − + s x x'( ) = + +2 8 0 Invullen van de functies uit de vorige opdrachten: s x x'( ) = +2 8 h x x x x x x x( ) ( )= − − + + + + −12 4 8 3 2 32 2 3 2

b f x x( ) = −12 4 2

h x x x x x x x( ) = − − − − + + −12 4 8 3 2 32 2 3 2 f x x'( ) = − ⋅0 4 2 h x x x x( ) = − − +2 2 9 93 2 f x x'( ) = −8 h x f x s x p x'( ) '( ) '( ) '( )= − +

c p x x x x( ) = + −2 33 2

Invullen van de uitkomsten hierboven geeft p x x x'( ) = ⋅ + ⋅ −3 2 3 2 12

h x x x x x'( ) ( )= − − + + + −8 2 8 6 6 12 p x x x'( ) = + −6 6 12

h x x x x x'( ) = − − − + + −8 2 8 6 6 12

d q x x x( ) ,= + +10 0 25 49 4

h x x x'( ) = − −6 4 92 q x x x'( ) ,= ⋅ + ⋅ +10 9 0 25 4 08 3

q x x x'( ) = +90 8 3

3a A t t= − +12

4 12

21 2

ddAt

t t= ⋅ − ⋅ +12

3 124 1 2 0

ddAt

t t= −2 33

b K t t t= − + −34

8 2

ddKt

t t= − ⋅ + −34

78 2 1

ddKt

t t= − + −6 2 17

c M t t t= + +4 3 3

ddMt

t t= + +4 3 33 2

d p at bt c= + +2 , (a, b en c zijn getallen; differentieer naar de variabele t)

ddpt

a t b= ⋅ + +2 0

ddpt

at b= +2

4a f x x x( ) = −4 22 f x x x'( ) = −4 43

b De helling is 0 als geldt f x'( ) = 0 . Oplossen geeft 4 4 03x x− = 4 1 02x x( )− = 4 0 1 02x x= − =of x x= =0 12of x x x= = = −0 1 1of of Voor de grafiek van f betekent dit dat de raaklijn hier horizontaal loopt.

c Een plot van f x x x'( ) = −4 43 toont een positieve waarde op de intervallen ⟨− ⟩1 0, en ⟨ →⟩1,

d Een plot van f x x x'( ) = −4 43 toont een negatieve waarde op de intervallen ⟨← − ⟩, 1 en ⟨ ⟩0 1,

e Als de helling negatief is daalt de grafiek van f.



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄27


bladzijde 35

5a ddht

t= −60 10 . Dit stelt de snelheid voor van de vuurpijl op tijdstip t in meter per seconde.

b Als ddht

> 0 is de snelheid op tijdstip t positief. De hoogte neemt toe met de tijd.

Als ddht

< 0 is de snelheid op tijdstip t negatief. De hoogte neemt af met de tijd.

c Het hoogste punt wordt bereikt als de richting van de snelheid omkeert van positief naar negatief. Dat betekent dat d

dht

= 0 . Oplossen geeft 60 10 0 6– t t= =; seconde d De beweging naar boven stopt na 6 seconden. De beweging naar beneden duurt

evenlang, dus ook 6 seconden, en na 12 seconden stort de pijl op de aarde. De snelheid is dan 60 10 12 60− ⋅ = − m/s. Dat is 60 m/s naar beneden gericht.

6a

1,5

1

16,1875

1

3Ox

y

Plot Invoer: Y1 = 3X^4–18X^3+27X2+1 Venster: Xmin = –2; Xmax = 7 Ymin = –1; Ymax = 20 b f x x x x'( ) = ⋅ − ⋅ + ⋅ +3 4 18 3 27 03 2

f x x x x'( ) = − +12 54 543 2

c 12 54 54 03 2x x x− + = 6 2 9 9 02x x x( )− + = 6 0 2 9 9 02x x x= − + =of (in 2 9 9 02x x− + = is a = 2 , b = −9 en c = 9 voor de abc-formule)

x = 0 of x b b aca

= − + − = + − ⋅ ⋅⋅

= =2 4

29 81 4 2 9

2 2124

3 of

x b b aca

= − − − = − − ⋅ ⋅⋅

= =2 4

29 81 4 2 9

2 264

1 5,

f x'( ) geldt dus voor x = 0 , x = 1 5, en x = 3 d f x'( ) < 0 als f daalt, dat is op de intervallen ⟨← ⟩, 0 en ⟨ ⟩1 5, ; 3

7a dd

gx

x x x x= ⋅ + ⋅ − = + −4 3 9 2 12 12 18 122 2

b dd

gx

= 0

12 18 12 02x x+ − = 12 1 5 1 02( , )x x+ − = ( , )( )x x− + =0 5 2 0 x x= = −0 5 2, of De y-waarden die hierbij horen zijn –3,25 en 28. De punten zijn dus (0,5; –3,25) en (–2, 28)

c Gebruik een plot van de functie om af te lezen waar de grafiek stijgt en daalt.

Voor dd

gx

> 0 vind je ⟨← − ⟩, 2 en ⟨ →⟩0 5, ;

Voor dd

gx

< 0 vind je ⟨− ⟩2 0 5; ,



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄28


2.2 Hellingen en raaklijnen

bladzijde 36

8a Na ongeveer 60 minuten loopt de grafiek het vlakst. Zijn snelheid is dan het laagst, dus daar heeft hij de top bereikt.

b De afstand na 40 minuten is 18 km. Zijn gemiddelde snelheid is dus 18 : 40 = 0,45 km/min c Zijn snelheid is de helling van de raaklijn op t = 40. De raaklijn gaat ongeveer door

de punten (10, 10) en (80, 30).

Zijn snelheid op t = 40 is dus ∆∆

st

= −−

= =30 1080 10

2070

0 29, km/min

d Na t = 40 zie je dat de lijn vlakker gaat lopen tot t = 60. Gedurende dat interval neemt de snelheid van de renner af. Na t = 60 gaat de grafiek steiler lopen en neemt z’n snelheid weer toe. De motor rijdt verder volgens de raaklijn in t = 40. De raaklijn snijdt de grafiek van de renner bij ongeveer 75 minuten, dan hebben ze dezelfde afstand afgelegd en haalt de wielrenner de cameraman dus weer in.

9a f x x x'( ) = −4 163 De helling in P(1, –7) is f '( )1 4 1 16 1 123= ⋅ − ⋅ = −

b De raaklijn is een rechte lijn en heeft de algemene vorm y ax b= + . Hierin is a het hellingsgetal en b de beginwaarde. Het hellingsgetal in P is gelijk aan –12, dus a = −12 en de algemene vorm is alvast y x b= − +12

c Invullen van de coördinaten x = 1 en y = −7 levert − = − ⋅ +7 12 1 b ofwel b = − + =7 12 5

d De vergelijking wordt hiermee y x= − +12 5 e Plot Y1 = X^4–8X^2 en Y2 = –12X+5. Zoom in rond (1, –7) en je ziet dat de lijn de

grafiek daar raakt.

bladzijde 37

10a f x x'( ) = − + 3 De helling van de raaklijn in P(6, 0) is f '( )6 6 3 3= − + = − . De vergelijking van de raaklijn is y x b= − +3 . De lijn gaat door de coördinaten van punt P. Invullen hiervan geeft 0 3 6= − ⋅ + b ; b = 18 , zodat de vergelijking van de raaklijn y x= − +3 18 wordt.

b De helling van de raaklijn in O(0, 0) is f '( )0 0 3 3= + = . De vergelijking van de raaklijn is y x b= +3 . De lijn gaat door de coördinaten van punt O. Invullen hiervan geeft 0 3 0= ⋅ + b ; b = 0 , zodat de vergelijking van de raaklijn y x= 3 wordt. De raaklijnen snijden elkaar als − + =3 18 3x x . Oplossen geeft 6 18 3x x= =; . De y-waarde hierbij is 3 ∙ 3 = 9. Het snijpunt is dus (3, 9)

c Rechte lijnen die evenwijdig aan elkaar zijn hebben hetzelfde hellingsgetal. Het hellingsgetal van de lijn y x= 4 is 4. De helling is ook de waarde van de afgeleide in x = p, dus moet gelden f p'( ) = 4

d Met f p'( ) = 4 is de vergelijking van de raaklijn al y x b= +4 . De waarde van p waarvoor dat geldt volgt uit f p p p'( ) = − + = = −3 4 1; . De y-waarde hierbij is f ( ) , ( ) ,− = − ⋅ − + ⋅− = −1 0 5 1 3 1 3 52 dus de raaklijn gaat door het punt (–1; –3,5).

Invullen van dit punt in y x b= +4 geeft − = ⋅ − + =3 5 4 1 0 5, ,b b; De vergelijking van de raaklijn wordt daarmee y x= +4 0 5,



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄29


11a In A is de helling gg g

'( )( , ) ( )

, ,

,

11 001 11 001 1

3 30 001

31 001 1

≈ −−

= − ≈ ,,30

In B is de helling gg g

'( )( , ) ( )

, ,

,

22 001 22 001 2

3 30 001

92 001 2

≈ −−

= − ≈ ,,89

b De helling invullen in de raaklijnvergelijking y ax b= + geeft y x b= +3 30, Het punt (1, –6) hierin invullen geeft − = ⋅ + = −6 3 30 1 9 30, ,b b; zodat de vergelijking luidt y x= −3 30 9 30, ,

c De helling invullen in de raaklijnvergelijking y ax b= + geeft y x b= +9 89, Het punt (2, 0) hierin invullen geeft 0 9 89 2 19 78= ⋅ + = −, ,b b; zodat de vergelijking luidt y x= −9 89 19 78, ,

12a f x x x'( ) = −4 123 2 De helling is 0 als geldt f x'( ) = 0 . Oplossen geeft 4 12 03 2x x− = 4 3 02x x( )− = 4 0 3 02x x= − =of

x x= =0 3of De bijbehorende y-waarden zijn f ( )0 0= en f ( )3 3 4 3 274 3= − ⋅ = − De punten zijn dus (0, 0) en (3, –27)

b De raaklijn met een helling 0 is een horizontale lijn ter hoogte van het punt. Voor (0, 0) is de vergelijking dus y = 0 en voor (3, –27) is de vergelijking y = −27

c De helling van de lijn is –9,5. De functie f heeft ook deze helling als geldt f x x x'( ) ,= − = −4 12 9 53 2 Gebruik voor de rekenmachine Y1 = 4X^3–12X2 en

Y2 = –9.5 en zoek het snijpunt voor x ≈ 2,6658 . Zowel de raaklijn als de functie hebben voor deze x dezelfde y-waarde, dus de lijn raakt hier inderdaad de grafiek van f.

d Met de rekenmachine vindt je dat f x x x'( ) ,= − = −4 12 9 53 2 drie oplossingen heeft. Er zijn dus drie raaklijnen over die evenwijdig lopen met y x= −9 5,

e De helling in (–1, 5) is f '( ) ( ) ( )− = ⋅ − − ⋅ − = − − = −1 4 1 12 1 4 12 163 2 De helling invullen in de raaklijnvergelijking y ax b= + geeft y x b= − +16 Het punt (–1, 5) hierin invullen geeft 5 16 1 5 16 11= − ⋅− + = − = −b b; zodat de vergelijking luidt y x= − −16 11

f De raaklijn in ( , ( ))2 2f heeft helling f '( )2 4 2 12 2 163 2= ⋅ − ⋅ = − . De hellingen zijn gelijk, dus lopen de lijnen evenwijdig.

13a f x x'( ) = −3 22 g x'( ) = 1 f x g x'( ) '( )= 3 2 12x − = 3 32x = x2 1= x x= = −1 1of



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄30


b Voor x = 1 : f ( )1 1 2 1 1 2 13= − ⋅ = − = − g( )1 1 2 3= + = Dus f x g x( ) ( )= geldt hier niet. Voor x = −1 : f ( ) ( )1 1 2 1 1 2 13= − − ⋅− = − + = g( )1 1 2 1= − + = Dus f x g x( ) ( )= geldt hier wel.

c

Plot Invoer: Y1 = X^3–2X

Y2 = X+2 Venster: standaardinstellingen g is de raaklijn aan f voor x = –1. Voor x = 1 heeft f een raaklijn die evenwijdig loopt

aan g. d Met de rekenmachine vind je dat f en g elkaar snijden voor x = 2. Uit de plot lees je

de intervallen voor de ongelijkheid af: ⟨← − ⟩ ⟨− ⟩, ,1 1 2en

14a f x x( ) sin= f x x'( ) cos=

De helling in (0, 0) is f '( ) cos0 0 1= = De helling invullen in de raaklijnvergelijking y ax b= + geeft y x b= + Het punt (0, 0) hierin invullen geeft 0 0 0= + =b b; zodat de vergelijking luidt y x=

b De sinusfunctie herhaalt zich na 2π , dus een verschuiving van de raaklijn over bijvoorbeeld − 2π π π, 2 en 4 geeft raaklijnen die evenwijdig aan de raaklijn in de oorsprong lopen. Voor x = −2π is de raaklijn in ( , )−2 0π : y x= + 2 Voor x = 2π is de raaklijn ( , )2 0π : y x= − 2π Voor x = 4π is de raaklijn ( , )4 0π : y x= − 4

c Voor x = 0 is de stijging van de sinusfunctie het grootst en is de helling 1. Voor x = π is de daling van de sinusfunctie het grootst en is de helling cos π = −1 . De waarden van de helling varieert dus tussen –1 en 1.



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄31


2.3 Maxima en minima

bladzijde 38

15a

Plot Invoer: Y1 = X^3–6X Venster: standaardinstellingen Met de rekenmachine vind je de maximale toppen door te gebruiken:

TI: CALC > maximum Casio: G-Solv > MAX en de minimale toppen door te gebruiken: TI: CALC > minimum Casio: G-Solv > MIN De rekenmachine vindt de coördinaten (–1,41; 5,66) en (1,41; –5,66)

b Op de toppen loopt de raaklijn horizontaal, dus los op: f x'( ) = 0 f x x'( ) = − =3 6 02 x2 2= x x= = −2 2en

c De y-coördinaat voor de maximale top is f ( ) ( )− = − − ⋅− = − ⋅− ⋅− + = ⋅− + = − +2 2 6 2 2 2 2 6 2 2 2 6 2 2 2 6 23 == 4 2

De y-coördinaat voor de minimale top is f ( ) ( )2 2 6 2 2 2 2 6 2 2 2 6 2 2 2 6 2 4 23= − ⋅ = ⋅ ⋅ − = ⋅ − = − = −

16a Los op: 3 16 18 04 3 2x x x− + = x x x2 23 16 18 0( )− + = x x x2 20 3 16 18 0= − + =of (hierin is a = 3 , b = −16 en c = 18 voor de abc-formule)

x x x= =+ − − ⋅ ⋅

⋅≈ =0

16 16 4 3 182 3

3 721162

of of( )

,−− − − ⋅ ⋅

⋅≈

( ),

16 4 3 182 3

1 6132

b

3 411,163 3,721

2–2 –1 O

10

20

30

–30

–20

–10

x

y

Plot Invoer: Y1 = 3X^4–16X^3+18X2

Venster: Xmin = –2 Xmax = 5 Ymin = –30 Ymax = 30



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄32


c De raaklijn is horizontaal als de helling ervan 0 is, dus als geldt f x'( ) = 0 f x x x x'( ) = − +12 48 363 2 12 48 36 03 2x x x− + = 12 4 3 02x x x( )− + = 12 0 4 3 02 2x x x= − + =of x x x= − − =0 1 3 0of ( )( ) x x x= = =0 1 3of of

d Aflezen in de grafiek geeft een stijging op ⟨ ⟩ ⟨ →⟩0 1 3, ,en e Aflezen in de grafiek geeft een daling op ⟨← ⟩ ⟨ ⟩, ,0 1 3en f De uiterste waarden zijn de functiewaarden die bij de maxima en minima

De uiterste waarde bij x = 0 is f ( )0 0= De uiterste waarde bij x = 1 is f ( )1 3 16 18 5= − + = De uiterste waarde bij x = 3 is f ( )3 3 3 16 3 18 3 274 3 2= ⋅ − ⋅ + ⋅ = −

bladzijde 39

17a ddOq

betekent hoeveel de opbrengst O verandert als het aantal machines verandert

rond het aantal q.

b ddOq

q q= − + +3 48 512 . Het maximum is een top van O en heeft daar een nulpunt voor

de afgeleide. Plot de afgeleide Y1 = –3X2+48X+51 en zoek hiervan de nulpunten met de rekenmachine. Je vindt de nulpunten bij q = −1 en q = 17 . De negatieve waarde voldoet niet want het aantal machines kan niet negatief zijn, dus bij 17 machines is de opbrengst maximaal.

c De maximale opbrengst bij q = 17 bedraagt − + ⋅ + ⋅ =17 24 17 51 17 28903 2 duizend euro, dus 2,89 miljoen euro.

d ddOq

= 0

ddOq

q q= − + + =3 48 51 02

− − − =3 16 17 02( )q q q q2 16 17 0− − = ( )( )q q− + =17 1 0 q q= = −17 1of q = −1 voldoet niet want het aantal machines kan niet negatief zijn. Bij 17 machines is de opbrengst dus maximaal. Hij had 5 machines, dus hij moet er 12 extra aanschaffen.

18a f x x x( ) = −2 3

f x x x'( ) = −2 3 2

2 3 02x x− = x x( )2 3 0− = x x= − =0 2 3 0of Plot x x= =0 2

3of Invoer: Y1 = X^2–X^3 De uiterste waarden zijn Venster: Xmin = –2.5 Xmax = 2.5 f ( )0 0= Ymin = –1 Ymax = 1 f ( ) ,2

3 0 148≈



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄33


b g x x x( ) = − +2 2 2 g x x'( ) = −2 2 2 2 0x − = x = 1 De uiterste waarde is g( )1 1= Plot Invoer: Y1 = X^2–2X+2 Venster: Xmin = –5 Xmax = 5 Ymin = –1 Ymax = 10 c h x x x( ) = − +4 4 4 h x x'( ) = −4 43

4 4 03x − = x3 1= x = 1 Plot De uiterste waarde is h( )1 1= Invoer: Y1 = X^4–4X+4 Venster: Xmin = –3 Xmax = 3 Ymin = –1 Ymax = 10 d m x x( ) = −6 7 m x'( ) = 6 m x'( ) = 0 heeft geen oplossing, er zijn geen uiterste waarden. Plot Invoer: Y1 = 6X–7 Venster: Standaardinstellingen

19a f x x x x( ) ( )= − +2 4 22 2 23

f x x x x( ) = − +8 1 44 13

3 2 f x x x x'( ) = − +32 4 83 2 32 4 8 03 2x x x− + = 4 8 2 02x x x( )− + = 4 0 8 2 02x x x= − + =of Alleen x = 0 voldoet, 8 2 02x x− + = heeft geen oplossingen want de discriminant is negatief. Een plot van f x( ) toont bij x = 0 een minimum.

b g x x x( ) ( )= −2 6 2 g x x x( ) = −12 2 3 g x x'( ) = −12 6 2 12 6 02− =x x2 2= x x= ≈ = − ≈ −2 1 41 2 1 41of, , Een plot van g x( ) toont bij x = −1 41, een minimum en bij x = 1 41, een maximum.

c h x x x( ) ( )( )= − +2 23 3 h x x x x( ) = + − −4 2 23 3 9 h x x( ) = −4 9 h x x'( ) = 4 3 4 03x = x = 0

Een plot van h x( ) toont bij x = 0 een minimum.



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄34


20a s x f x g x x x x x x( ) ( ) ( ) , ,= + = + − = − +1 5 6 4 52 3 2 2 3

s x x x'( ) = − +9 3 2

− + =9 3 02x x − − =3 3 0x x( ) − = − =3 0 3 0x xof x x= =0 3of Plot van s x( ) Een plot van s x( ) toont bij x = 0 een maximum. Invoer: Y1 = 4.5X^2+X^3 Venster: Xmin = –2 Xmax = 6 Ymin = –20 Ymax = 10

b De uiterste waarde bij x = 0 is 0. De uiterste waarde bij x = 3 is s( ) , ( ) ( ) ,3 4 5 3 3 13 52 3= − ⋅ + = −

c a) v x f x g x x x x x x x( ) ( ) ( ) , ( ) ,= − = − − = − + =1 5 6 1 5 62 3 2 2 3 2 77 5 2 3, x x− v x x x'( ) = −15 3 2

15 3 02x x− = 3 5 0x x( )− = 3 0 5 0x x= − =of x x= =0 5of invoer: Plot van v x( ) Een plot van v x( ) toont bij x = 0 een minimum. Invoer: Y1 = 7.5X2–X^3 b) De uiterste waarde bij x = 0 is 0. Venster: Xmin = –5 Xmax = 10 De uiterste waarde bij x = 5 is Ymin = –10 Ymax = 80 v( ) , ( ) ( ) ,5 7 5 5 5 62 52 3= ⋅ − =

21 f x x x x( ) = − +4 3 24 4 f x x x x'( ) = − +4 12 83 2

4 12 8 03 2x x x− + = 4 3 2 02x x x( )− + = 4 1 2 0x x x( )( )− − = 4 0 1 0 2 0x x x= − = − =of of Plot x x x= = =0 1 2of of Invoer: Y1 = X^4–4X^3+4X2

De uiterste waarde bij het minimum x = 0 is 0. Venster: Xmin = –2 Xmax = 4 De uiterste waarde bij het maximum x = 1 is 1. Ymin = –1 Ymax = 7 De uiterste waarde bij het minimum x = 2 is 2 4 2 4 2 04 3 2− ⋅ + ⋅ = . De lijn y = p heeft boven het maximum twee snijpunten met de grafiek van f.

De lijn y = p heeft door het maximum drie snijpunten. De lijn y = p heeft tussen het maximum en de minima vier snijpunten.

De lijn y = p heeft op door de minima twee snijpunten. De lijn y = p heeft onder de minima geen snijpunten.

In een schema:

p > 1 p = 1 0 < p < 1 p = 0 p < 12 snijpunten 3 snijpunten 4 snijpunten 2 snijpunten 0 snijpunten



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄35


22 f x x'( ) = +2 6 f x x x c( ) = + +2 6 is een functie die deze afgeleide kan hebben. De waarde

van de constante c is niet bekend want elke constante heeft 0 als afgeleide. Maar de grafiek gaat door P(2, 1), dus moet gelden f ( )2 1= . Invullen geeft 2 6 2 1 16 1 152 + ⋅ + = + = = −c c c; ; Het functievoorschrift is dus f x x x( ) = + −2 6 15

2.4 Buigpunten

bladzijde 40

23a De grafiek van f heeft een afnemende stijging tot x = 0 , daarna volgt een toenemende stijging.

De grafiek van g heeft een afnemende stijging. De grafiek van h heeft een constante stijging. b f x x'( ) ,= 0 3 2 en h x'( ) = 1

2

De hellingen zijn gelijk voor de waarde van x als de afgeleide van f en h voor x gelijk zijn. Dus los op: f x h x'( ) '( )= 0 3 2 1

2, x =

x2 0 50 3

53

= =,,

x x= ≈ = − ≈ −53

1 29 53

1 29of, ,

c Voor f x h x'( ) '( )> heeft de raaklijn van f een grotere helling dan de lijn. Bij de punten van opdracht b is de helling gelijk en lopen de grafieken even steil. Uit de afbeelding volgt dat de grafiek van f tussen deze punten vlakker loopt dan de grafiek van h, maar daarbuiten steiler. De oplossing zijn dus de intervallen ⟨← − ⟩; 1,29 en ⟨ →⟩1 29, ;

d Voor x = 4 is de helling van g ongeveer ∆∆

yx

g g= −−

=( , ) ( ),

4 001 44 001 4

2 4 001 2 4

0 0010 5

,,

,− ≈ .

Dat is gelijk aan de helling van 12 van h.

e Voor g x h x'( ) '( )> heeft de raaklijn van g een grotere helling dan de lijn. Bij x = 4 is de helling gelijk en lopen de grafieken even steil. Uit de afbeelding volgt dat de grafiek van g tussen x = 0 en x = 4 steiler loopt dan de lijn. Voor x = 0 heeft g een verticale raaklijn, dus die waarde voldoet niet. Blijft over als oplossing het interval ⟨ ⟩0 4, .

24a Grafiek 1 en 4 passen bij een lineair verband (rechte lijn). b Grafiek 2, 3, 5 en 6 kunnen delen van een berg- of dalparabool zijn, dus kunnen bij

een kwadratische functie behoren. Grafiek 2 en 6 kunnen ook bij een exponentiële functie horen (gespiegeld in de x-as en/of de y-as)

c Grafiek 2, 3, 5, en 6 kunnen ook delen zijn van de grafiek die bij een gebroken functie past (gespiegeld in de x-as en/of de y-as en/of verschoven)



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄36


25a Op ⟨← ⟩, 0 is er een afnemende stijging. b Het andere deel heeft een toenemende stijging. c Op het domein [ , ]−3 3 stijgt de grafiek steeds, dus de helling van de raaklijn is steeds

positief, dus de afgeleide is steeds positief. d f x x'( ) = +3 22

e Het kwadraat wordt nooit negatief. Je telt er altijd 2 bij op, dus de afgeleide is altijd groter of gelijk aan 2. Omdat de afgeleide altijd positief is moet de functie altijd stijgend zijn.

f f x'( ) is het kleinst als 3 02x = , dus als x = 0 g De grafiek gaat in het punt x = 0 over van afnemend stijgend naar toenemend

stijgend. h De helling van de grafiek van f is het kleinst waar de grafiek van f ' een minimum

heeft.

bladzijde 41

26a

Plot Invoer: Y1 = 0.5X^4–2X^3+3 Venster: Xmin = –3 Xmax = 5 Ymin = –15 Ymax = 10 Er is één uiterste waarde. b f x x x'( ) = −2 63 2

2 6 03 2x x− = 2 3 02x x( )− = 2 0 3 02x x= − =of x x= =0 3of Bij x = 0 hoort geen uiterste waarde want de grafiek varandert er niet van stijgend naar dalend of omgekeerd. Bij x = 3 is een minimum met een uiterste waarde.

c De grafiek van f x'( ) heeft zelf weer een uiterste waarde voor x = 0 en x = 2. De uiterste waarden zijn f '( )0 2 0 6 0 03 2= ⋅ − ⋅ = en f '( )2 2 2 6 2 83 2= ⋅ − ⋅ = −

d Voor x = 0 en x = 2 heeft de grafiek van f een buigpunt.

27a Bij een maximum gaat de grafiek van h van stijgend naar dalend. De afgeleide gaat dan van + naar –, en dat is het geval bij de oorsprong, dus bij x = 0. Bij een minimum gaat de grafiek van h van dalend naar stijgend. De afgeleide gaat dan van – naar +, en dat is het geval bij x = 2.

b Ja, h heeft een buigpunt waar de afgeleide een maximum of minimum heeft. De afgeleide h' heeft een minimum bij x = 1 dus bij x = 1 heeft f een buigpunt.



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄37


c

61 2 3 54–5 –4 –2–3 –1 O

1

2

3

4

–6

–5

–4

–3

–2

–1

x

y

De grafiek moet een top hebben bij x = 0 een dal bij x = 2 en door (1, –2) gaan. De grafiek is stijgend zijn voor x x< >0 2en want de afgeleide is daarvoor altijd positief. De helling van de raaklijn moet –3 zijn voor x = 1.

28a f x x x( ) = + +2 3 53 2 f x x x'( ) = +6 62 f x'( ) = 0 voor de extreme waarde. Oplossen geeft 6 1 0x x( )+ = x x= = −0 1of De extreme waarden zijn de functiewaarden hierbij. Dat zijn f f( ) ( ) ( ) ( )0 5 1 2 1 3 1 5 63 2= − = ⋅ − + − + =en

b De helling is minimaal als deze de kleinste waarde heeft, dus als f ' de kleinste waarde heeft.

De grafiek van f ' is een dalparabool en heeft de laagste waarde dus tussen de nulpunten x x= = −0 1en , dus voor x = −0 50,

c Je kent geen manier om de nulpunten van de derdegraadsfunctie 2 3 53 2x x+ + exact te berekenen.

d f ( ) ( ) ( )− = ⋅ − + ⋅ − + =2 2 2 3 2 5 13 2

e De grafiek is stijgend en f ( )−2 ligt boven de x-as. De grafiek moet dus vóór x = −2 de x-as doorsneden hebben, dus dat nulpunt moet links liggen van –2.

f De helling in (–2, 1) is f '( ) ( ) ( )− = ⋅ − + ⋅ − =2 6 2 6 2 122 De helling invullen in de raaklijnvergelijking y ax b= + geeft y x b= +12 Het punt (–2, 1) hierin invullen geeft 1 12 2 1 24 25= ⋅− + = + =b b; zodat de vergelijking luidt y x= +12 25

g Los op: y x= + =12 25 0 12 25x = − x = − ≈ −2 2 0831

12 , De coördinaten zijn dus A( , )−2 01

12

h De y-coördinaat op de grafiek is f ( ) ,− ≈ −2 0 064112 . Dat ligt onder de x-as, dus het

werkelijke snijpunt van f met de x-as ligt nog iets rechts van punt A.



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄38


2.5 Optimaliseren

bladzijde 42

29a Als de prijs met e 1,- daalt komen er 40 bezoekers meer, dus 170 + 40 = 210 bezoekers. Zijn inkomsten zijn dan 210 ∙ e 8,- = e 1680,- per dag.

b inkomsten I = prijs per kaartje × aantal bezoekers prijs per kaartje = 9 – p aantal bezoekers = 170 + 40p dus inkomsten I = (9 – p)(170 + 40p)

c Uitwerken van de haakjes geeft I p p p p p= + − − = − + +1530 360 170 40 40 190 15302 2 dd

Ip

p= − +80 190

Voor het maximum geldt dd

Ip

= 0 . Oplossen geeft − + = = =80 190 0 198

2 375p p; ,

Voor een prijs van 9 – 2,375 ≈ 6,63 euro is I maximaal en bedraagt (9 – 2,375)(170 + 40 ∙ 2,375) = 1755,63 euro per dag.

bladzijde 43

30 De oppervlakte O van de kippenren is nu breedte ∙ lengte = 2b x⋅ De lengte van het gaas is 20 meter dus 20 2= +b x waaruit volgt 2 20b x= − Invullen geeft voor de oppervlakte O b x x x x x= ⋅ = − ⋅ = −2 20 20 2( ) De afgeleide is O x x'( ) = −20 2 Bij een maximum voor de oppervlakte geldt O x x x'( ) = − = =0 20 2 0 10; ; De lengte is dan dus 10 meter en de breedte b is ( ) : ( ) :20 2 20 10 2 5− = − =x meter De oppervlakte is ook weer 10 ∙ 5 = 50 m2

31a Er zijn 4 ribben van 12 cm, 4 ribben van 24 cm en 4 opstaande ribben van h cm. Samen hebben ze een lengte van 180 cm. Voor de vier opstaande ribben is er 180 – 4 ∙ 12 – 4 ∙ 24 = 36 cm over, zodat h = 36 : 4 = 9 cm en de inhoud 12 ∙ 24 ∙ 9 = 2592 cm3 is.

b De opstaande ribbe heeft een lengte van 180 4 4 24

180 124

45 3− − ⋅ = − = −x x x x

c V x x x x= ⋅ − = −2 45 3 90 62 2 3( )

ddVx

x x= −180 18 2

Voor het maximum geldt ddVx

= 0

Oplossen geeft 180 18 02x x− = 18 10 0x x( )− = 18 0 10 0x x= − =of x = 0 of x = 10 x = 0 voldoet niet als zinnige afmeting, dus blijft over x = 10 cm Het volume is V = ⋅ ⋅ − ⋅ =2 10 45 3 10 30002 ( ) cm3 De hoogte is 45 – 3 ∙ 10 = 15 cm afmetingen zijn dus l b h× × = 10 20 15× × cm



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄39


d Los voor de nulpunten van V op: 90 6 02 3x x− = 6 15 02x x( )− = 6 0 15 02x x= =of x x= =0 15of In een plot van V zie je dat V tussen 0 en 15 positief is. De uitkomst is dus zinvol voor x op het interval ⟨ ⟩0 15,

e Het buitenoppervlak bestaat uit het voor- en achtervlak met elk oppervlakte 2x h⋅ , samen dus 4xh de twee zijvlakken met elk oppervlakte x h⋅ , samen dus 2xh het boven- en ondervlak met elk oppervlakte 2x x⋅ , samen dus 4 2x . In totaal is de oppervlakte dus 4 2 4 4 62 2xh xh x x xh+ + = + Voor h vond je eerder 45 – 3x. Invullen geeft tenslotte A x x x x x x x x= + − = + − = − +4 6 45 3 4 270 18 14 2702 2 2 2( )

f Bij een minimale oppervlakte geldt ddAx

= 0

ddAx

x= − + =28 270 0

x = ≈27028

9 64, cm

32a I r h= ⋅ ⋅π 2

h Ir

=⋅

=⋅

≈π π2 2

85010

2 71, cm

b De oppervlakte van het blik bestaat uit de cirkelvormige bodem en deksel en de cilindervormige wand. De oppervlakte van de bodem en deksel is elk π ⋅ r2 en de wand heeft oppervlakte 2π ⋅ ⋅r h De totale oppervlakte is dus 2 2 2 10 2 10 2 712 2⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ ≈π π π πr r h , 798,32 cm2

c De oppervlakte A van het blik bestaat uit de cirkelvormige bodem en deksel en de cilindervormige wand. De oppervlakte van de bodem en deksel is elk π ⋅ r2 en de wand heeft oppervlakte 2π ⋅ ⋅r h De totale oppervlakte A is dus 2 2 2 22 2⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = +π π π πr r h r rh .

Invullen van h Ir

=⋅π 2

uit opdracht a geeft

A r rh r r Ir

r r Ir

r= + = + = + ⋅ =2 2 2 2 2 2 22 22

22

2 ++ 2Ir

Voor I = 850 wordt dit A rr

rr

= + ⋅ = +2 2 850 2 17002 2

d A rr

r r= + ⋅ = + ⋅ −2 1700 1 2 17002 2 1π π

ddAr

r r= − −4 1700 2

Bij een minimale waarde geldt ddAr

= 0 , dus los op: 4 1700 02r r− =−

4 1700 2r r= −

4 17002r r⋅ =

r3 17004

=

r =

≈1700

45 13

13

π, cm

De hoogte hierbij is h Ir

=⋅

=⋅

≈π π2 2

8505 13

10 28,

, cm



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄40


33a Een punt dat op de lijn ligt heeft y-coördinaat 6 3− x . Tussen punt P(x, y) op de lijn en de oorsprong kun je een lijn trekken die de schuine zijde van een rechthoekige driehoek vormt. De onderzijde van de driehoek valt samen met de x-as en heeft heeft lengte x. De andere verticale kant vand e driehoek loopt van de x-as tot de lijn en heeft de lengte van de y-coördinaat, dus 6 3− x . De afstand van P tot de oorspring volgt uit de stelling van Pythagoras: d x y2 2 2= + d x x2 2 26 3= + −( ) d x x= + −2 26 3( )

b Als d2 minimaal is is d ook minimaal (d is een afstand dus altijd positief!) Noem d2 nu y om de functie een naam te geven die je kunt differentiëren.

c Bij het minimum van y geldt dd

yx

= 0

Om de afgeleide te berekenen werk je eerst de haakjes bij y uit: y x x x x x x x= + − = + − + = − +2 2 2 2 26 3 36 36 9 10 36 36( )

dd

yx

x= − =20 36 0

x = =3620

1 8,

De y-coördinaat hierbij is 6 3 1 8 0 6− ⋅ =, , . Het punt is dus (1,8; 0,6)

d De exacte afstand tot de oorspring is d = + =1 8 0 6 3 62 2, , ,

2.6 Gemengde opdrachten

bladzijde 44

34a f x x'( ) = −300 3 2 Bij de toppen geldt f x'( ) = 0 300 3 02− =x 3 3002x = x2 100= x x= = −10 10of De y-waarden zijn f ( )10 300 10 10 3000 1000 20003= ⋅ − = − = en

f ( ) ( )− = ⋅− − − = − − − = − +10 300 10 10 3000 1000 3000 1003 00 2000= − De coördinaten van de toppen zijn zijn (–10, –2000) en (10, 2000)

b De raaklijnen in de punten P en Q zijn evenwijdig als de raaklijnen in de punten dezelfde helling heeft, dus als de afgeleide in de punten hetzelfde is. De helling van de raaklijn in P is f a a a'( ) ( )= − = −300 3 300 32 2 De helling van de raaklijn in Q is f a a a'( ) ( )− = − − = −300 3 300 32 2 De hellingen zijn gelijk, dus de raaklijnen lopen evenwijdig.

35a Als x = 0 zijn alle termen van f x( ) nul want bij elke term wordt er vermenigvuldigd met 0. De som van de termen is dus ook steeds 0.



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄41


b Voor a = 0 wordt de functie f x x x( ) = −3 26 en de afgeleide f x x x'( ) = −3 122 Bij een minimum en maximum geldt f x'( ) = 0 Oplossen geeft 3 12 02x x− = 3 4 0x x( )− = 3 0 4 0x x= − =of x x= =0 4of De afgeleide is een dalparabool dus bij x = 0 gaat de afgeleide van + naar – en de grafiek van f van stijgend naar dalend. Bij x = 0 is dus een maximum. Bij x = 4 gaat de afgeleide van – naar + en de grafiek van f van dalend naar stijgend. Bij x = 4 is dus een minimum. De y-waarden zijn f ( )0 0= en f ( )4 4 6 4 323 2= − ⋅ = − Het maximum ligt op (0, 0) en het minimum op (4, –32)

c a = 12 wordt de functie f x x x x( ) = − +3 26 12 en de afgeleide f x x x'( ) = − +3 12 122 Bij de buigpunten heeft de afgeleide functie een maximum of minimum. Neem de afgeleide van de afgeleide om deze te vinden. De afgeleide van de afgeleide is 6 12x − . Voor x = 2 heeft deze een nulpunt, dus heeft de afgeleide daar een extreem en f een buigpunt. De helling bij x = 2 is f '( )2 3 2 12 2 12 02= ⋅ − ⋅ + = dus de raaklijn is horizontaal. f ( )2 2 6 2 12 2 83 2= − ⋅ + ⋅ = , de coördinaten van het buigpunt zijn dus (2, 8)

d De helling van de raaklijn is f x x x a'( ) = − +3 122 . Er is geen horizontale raaklijn als f x'( ) geen nulpunt heeft. f x'( ) is een dalparabool en heeft geen nulpunten als de discriminant D negatief is. Voor de discriminant moet dus gelden b ac2 4 0− < (waarin de letters a, b en c voor de getallen bij de abc-formule staan!) Hier geldt a = −12 , b = −12 en c a= Invullen geeft ( )− − ⋅ ⋅ <12 4 3 02 a 144 12 0− <a 144 12< a 12 < a a > 12 Voor a > 12 heeft f geen horizontale raaklijn.

36a Om meer gegevens te beschermen zullen er meer controles moeten worden uitgevoerd. Op het laatst zullen er ook controles op controles plaats moeten vinden om de grotere zekerheid te kunnen bieden. Elke controle brengt kosten met zich mee en nemen de kosten sterker toe naarmate de zekerheid toeneemt.

b Een beetje beveiliging voorkomt gemakkelijke diefstal dus in het begin daalt S sterk. Bij toenemende zekerheid wordt het steeds moeilijker om de gegevens te stelen maar vindt nog wel plaats. S wordt nooit 0 omdat 100% beveiliging nooit gegeven kan worden.

c Streven naar volledige bescherming brengt te hoge kosten met zich mee. De prijs van de gegevens weegt daar niet meer tegenop.

d T x S x B x x x x( ) ( ) ( ) ,= + = − + +42000 800 4 0 12 3 T x x x'( ) ,= − + +800 8 0 3 2 T x'( ) = 0 bij het minimum. Oplossen geeft − + + =800 8 0 3 02x x,

x = − + − ⋅ ⋅−⋅

= − + =8 8 4 0 3 8002 0 3

8 320 6

402 ,

, , of

x = − − − ⋅ ⋅−⋅

= − − = −8 8 4 0 3 8002 0 3

8 320 6

662

23

,, ,

, voldoet niet want x moet positief zijn.

Bij x = 40 zijn de totale kosten dus minimaal.



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄42


e Bij geen enkele bescherming wordt er voor 42 000 euro gestolen. Bij x = 40 zijn de totale kosten 42000 800 40 4 40 0 1 40 22 8002 3− ⋅ + ⋅ + ⋅ =, euro. Er wordt dus 42 000 – 22 800 = 19 200 euro bespaard.

bladzijde 45

37a

Plot Invoer: Y1 = –0.012X^3+0.18X2+1.6X Venster: Xmin = 0 Xmax = 12 Ymin = 0 Ymax = 30 Zij rijdt met vrijwel constante snelheid op de snelweg want de grafiek is bijna een

rechte lijn. Aan het eind loopt de grafiek iets vlakker, dus daar is haar snelheid iets lager.

b Haar snelheid in km/min op tijdstip t is de helling van de raaklijn op t, dus de waarde van de afgeleide op t. v t s t t t( ) '( ) , , ,= = − + +0 036 0 36 1 62 v is het grootst als v t'( ) = 0 v t t'( ) , ,= − +0 072 0 36 − + =0 072 0 36 0, ,t t = 5 Op t = 5 min is haar snelheid het grootst en bedraagt v( ) , , , ,5 0 036 5 0 36 5 1 6 2 52= − ⋅ + ⋅ + = km/min

c Een afstand van 2 ∙ 12 = 24 km d s t= ⋅2 e Los op: v t( ) = 2

− + + =0 036 0 36 1 6 22, , ,t t − + − =0 036 0 36 0 4 02, , ,t t 36 360 400 02t t− + = 9 90 100 02t t− + =

t =− − − ⋅ ⋅

⋅= − ≈

90 90 4 9 1002 9

90 450018

1 272( )

, min of

t =+ − − ⋅ ⋅

⋅= + ≈

90 90 4 9 1002 9

90 450018

8 732( )

, min

38a De kosten bij 100 kopjes zijn 100 ∙ 25 = 2500 eurocent De opbrengst bij 100 kopjes is 60 ∙ 100 = 6000 eurocent De winst bij 100 kopjes is 6000 – 2500 = 3500 eurocent

b Voor elke 5 eurocent minder verkopen ze 20 kopjes meer. Ze kunnen 40 kopjes meer maken dan 160, dus ze moeten 10 eurocent onder de 45 eurocent vragen, dat is 35 eurocent per kopje.

c Bij 35 eurocent hebben ze 35 – 25 = 10 eurocent winst per kopje. Op 200 kopjes hebben ze 200 ∙ 10 = 2000 eurocent winst. Dat is minder dan tot nu toe (3500 eurocent).



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄43


d Bij p = 60 lees je af 2500 eurocent op de rechte lijn en 6000 eurocent op de gebogen lijn. Vergelijk dat met de bedragen bij opdracht a en je ziet dat de rechte lijn de kosten zijn en de gebogen lijn de opbrengst. De winst is het verschil tussen de opbrengst en de kosten. Bij p eurocent per kopje is de winst dus de afstand tussen de gebogen lijn en de rechte lijn. Meet met een liniaal de plaats op waar de afstand tussen de grafieken maximaal is. Meet de afstand rechts van het snijpunt want de opbrengst moet groter zijn dan de kosten voor winst. Dat is ongeveer bij p = 55.

e Het verband tussen q en p is een lijn met vergelijking q ap b= + . Uit de tabel lees je af dat de lijn door de punten (45, 160) en (60, 100) gaat.

De helling a is dus 100 16060 45

4−−

= − . Invullen in de raaklijnvergelijking geeft q p b= − +4

Het punt (60, 100) hierin invullen geeft 100 4 60 340= − ⋅ + =b b; zodat de vergelijking luidt q p= − +4 340

f Kosten = kosten per kopje × aantal verkochte kopjes = 25 25 4 340 100 8500⋅ = − + = − +q p p( ) Opbrengst = prijs per kopje × aantal verkochte kopjes =p q p p p p⋅ = − + = − +( )4 340 4 3402

Winst TW = Opbrengst – Kosten = ( ) ( )− + − − + = − + + −4 340 100 8500 4 340 100 8502 2p p p p p p 00 4 440 85002= − + −p p g TW TW( ) ( ) ( ) (61 60 4 61 440 61 8500 4 602 2− = − ⋅ + ⋅ − − − ⋅ + 4440 60 8500 44⋅ − = −) cent.

De winst neemt af met 44 eurocent. h De winst is zo groot mogelijk als TW een maximum heeft, dus als de afgeleide 0 is.

ddTW

pp= − + =8 440 0 voor p = −

−=440

855 eurocent per kopje.

Dit vond je ook bij opdracht d. i De maximale winst is − ⋅ + ⋅ − =4 55 440 55 8500 36002 eurocent

ICT Maxima en minima

bladzijde 46

I-1a Om de lijn de parabool te laten raken in punt P moet je a = 4 en b = −6 kiezen. De vergelijking van de raaklijn is y x= −4 6

b De x-waarde voor punt P is 3. Als je 3 invult in het vakje nadat je de button aangeklikt hebt lees je af y = 6.00 en Helling = 4.0000. De raaklijn moet dus een lijn zijn met helling 4 die door punt (3, 6) gaat. De helling invullen in de raaklijnvergelijking y ax b= + geeft y x b= +4 Het punt (3, 6) hierin invullen geeft 6 4 3 6 12 6= ⋅ + = − = −b b; zodat de vergelijking luidt y x= −4 6

c Voor Q(2, 3) lees je af Helling = 2.0000 De helling invullen in de raaklijnvergelijking y ax b= + geeft y x b= +2 Het punt (2, 3) hierin invullen geeft 3 2 2 3 4 1= ⋅ + = − = −b b; zodat de vergelijking luidt y x= −2 1



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄44


Voor R(–1, 6) lees je af Helling = –4.0000 De helling invullen in de raaklijnvergelijking y ax b= + geeft y x b= − +4

Het punt (–1, 6) hierin invullen geeft 6 4 1 6 4 2= − ⋅ − + = − =b b; zodat de vergelijking luidt y x= − +4 2

Voor S(0, 3) lees je af Helling = –2.0000 De helling invullen in de raaklijnvergelijking y ax b= + geeft y x b= − +2 Het punt (0, 3) hierin invullen geeft 3 2 0 3= − ⋅ + =b b; zodat de vergelijking luidt y x= − +2 3

Voor T(1, 2) lees je af Helling = 0.0000 De helling invullen in de raaklijnvergelijking y ax b= + geeft y x b b= ⋅ + =0 Het punt (1, 2) hierin invullen geeft 2 2= =b b; zodat de vergelijking luidt y = 2

d In punt T. Dat is het laagste punt van de parabool.

I-2a Voor p = −1 414, en p = 1 414, loopt de raaklijn horizontaal. Met de button uit de vorige opdracht vindt je y = 5 66, en y = −5 66, hierbij. De punten zijn dus (–1,414; 5,66) en (1,414; –5,66)

b f x x'( ) = −3 62

c Los op: 3 6 02x − = 3 62x =

x2 2= x x= ≈ = − ≈ −2 1 414 2 1 414, ,of

d Op de intervallen ⟨← − ⟩; 1 414, en ⟨ →⟩1 414, ; is de helling positief. Op het interval ⟨− ⟩1 414, ; 1,414 is de helling negatief.

I-3a Voor x = 10 is de helling 0. b Voor alle andere waarden is de helling negatief. c Nee, de helling van de raaklijn verandert niet + naar – of omgekeerd.

I-4a Er zijn geen toppen. b Voor x = 10 is de helling 0. Dat is in het punt (10, 5). c Op de intervallen ⟨← ⟩,10 en ⟨ →⟩10, stijgt de grafiek en is de helling dus positief.

Er zijn geen intervallen met een negatieve helling.

bladzijde 47

I-5a Voor x = 0 . b f x x x x x x x'( ) = ⋅ − ⋅ − ⋅ = − −1

43 1

32 3 24 3 15 2 30

De raaklijn loopt horizontaal als f x'( ) = 0 . Dus los op: x x x3 2 30 0− − = x x x( )2 30 0− − =

x x x( )( )+ − =5 6 0 x x x= = − =0 5 6of of

c Gebruik de ‘Uitkomst en helling’ button om de functiewaarden van f te vinden. De uiterste waarde bij x = 0 is f ( )0 0= De uiterste waarde bij x = –5 is f ( ) ,− = −5 177 08 De uiterste waarde bij x = 6 is f ( )6 288= −



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄45


d Zoom uit om de extremen in beeld te krijgen. e Op de intervallen ⟨− ⟩5 0, en ⟨ →⟩6, stijgt de grafiek.

I-6a f x x x'( ) = −2 4 . De helling van de raaklijn in x = −1 is f '( ) ( )− = − − ⋅− = + =1 1 4 1 1 4 52

Gebruik de ‘Uitkomst en helling’ button om de functiewaarden van f te vinden. De y-waarde is f ( )− = −1 5 . De helling van de lijn is ook 5 en gaat gaat ook door punt (–1, –5) dus raakt de lijn inderdaad de grafiek van f.

b Voor een raaklijn met helling 5 geldt f x x x'( ) = − =2 4 5 . Oplossen geeft x x2 4 5 0− − = ( )( )x x− + =5 1 0 x x= = −5 1of

Er zijn in totaal dus twee lijnen met helling 5 die de grafiek van f raken. Voor x = −1 was de vergelijking y x= 5 al bekend.

Bij x = 5 hoort de functiewaarde –11. De raaklijn moet dus door (5, 11) gaan. De helling 5 invullen in de raaklijnvergelijking y ax b= + geeft y x b= +5 Het punt (5, –11) hierin invullen geeft − = ⋅ + = −11 5 5 36b b; zodat de vergelijking luidt y x= −5 36

c Bij een helling 0 geldt f x x x'( ) = − =2 4 0 . Oplossen geeft x x( )− =4 0 x x= =0 4of De bijbehorende functiewaarden zijn y = 0 en y = −13 33, De punten zijn dus (0, 0) en (4; –13,33)

d Bij x = 0 hoort de functiewaarde 0. De vergelijking voor de horizontale raaklijn is dus y = 0 Bij x = 4 hoort de functiewaarde –13,33. De vergelijking voor deze raaklijn is dus y = −13 33,

I-7 p > 5 p = 5 0 < p < 5 p = 0 –27 < p < 0 p = –27 p < –27snijpunten 2 2 4 2 2 0 0raakpunten 0 1 0 1 0 1 0

I-8a g x x x x x( ) ( )= − = −2 6 12 22 3

g x x'( ) = − =12 6 02 6 122x = x2 2= x x= = −2 2of In de grafiek is te zien dat bij x = 2 een minimum hoort en bij x = − 2 een maximum. De extreme waarden zijn g( ) ,− = −2 11 31 en g( ) ,2 11 31=

b h x x x x( ) ( )( )= − + = −2 2 43 3 9 h x x'( ) = =4 03

x = 0 In de grafiek is te zien dat bij x = 0 een minimum is. De extreme waarde is h( )0 9= −



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄46


c k x x x( ) = −5 35 k x x x'( ) = − =5 15 04 2

5 3 02 2x x( )− = 5 0 3 02 2x x= − =of x x x= = = −0 3 3of of In de grafiek is te zien dat bij x = 3 een minimum hoort en bij x = − 3 een maximum. Bij x = 0 is geen minimum of maximum. De extreme waarden zijn g( ) ,− =3 10 39 en g( ) ,3 10 39= −

Test jezelf

bladzijde 50

T-1a f x x x( ) = + −2 5 82 f x x'( ) = ⋅ + +2 2 5 0 f x x'( ) = +4 5

b g x x x( ) ,= − − −0 3 4 75 2 g x x x'( ) ,= − ⋅ − ⋅ −0 3 5 4 2 04 g x x x'( ) ,= − −1 5 84

c h x x x( ) ( )( )= − +3 2 5 , werk eerst de haakjes uit h x x x x x x( ) = + − − = − −2 5 6 15 2 152 2 h x x'( ) = −4 1

T-2a f x x g x'( ) '( )= =2 2; b f x g x'( ) '( )=

2 2x = x = 1

c Functie g heeft de vorm y ax b= + van een rechte lijn, dus g is een lijn. Voor x = 1 is de raaklijn aan de grafiek van f evenwijdig aan de lijn g want beide hebben dan de helling 2. Voor x = 1 gaat de grafiek van f door het punt (1, 1), evenals de lijn. De lijn valt dus samen met de raaklijn en dus is de grafiek van g een raaklijn aan de grafiek van f.

d De helling in (–2, 4) is f '( )− = ⋅− = −2 2 2 4 De helling invullen in de raaklijnvergelijking y ax b= + geeft y x b= − +4 Het punt (–2, 4) hierin invullen geeft 4 4 2 4 8 4= − ⋅ − + = − = −b b; zodat de vergelijking luidt y x= − −4 4

T-3a dd

;dd

fx

xgx

x x= − = −4 8 6 162

b Voor een horizontale raaklijn is de helling 0 dus los op: dd

fx

x= − =4 8 0

Dat geldt voor x = 2. c Bij de top is de raaklijn horizontaal, dus bij x = 2 . De y-coördinaat hierbij is

f ( )2 2 2 8 2 82= ⋅ − ⋅ = − . De coördinaten zijn (2, –8)



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄47


d Bij de extreme waarden is de raaklijn aan g horizontaal, dus geldt dd

gx

x x= − =6 16 02

plossen geeft 2 3 8 0x x( )− = 2 0 3 8 0x x= − =of

x x= = =0 83

2 23of

De extreme waarde bij x = 0 is g( )0 0= De extreme waarde bij x = 2 2

3 is g( ) ,2 18 9623 ≈ −

T-4a f x x x x'( ) = − +3 24 4 . De raaklijn loopt horizontaal bij f x'( ) = 0 , dus los op x x x3 24 4 0− + = x x x( )2 4 4 0− + = x x x( )( )− − =2 2 0 x x= − =0 2 0of x x= =0 2of f f( ) ( )0 0 2 2 2 2 2 11

44 4

33 2 1

3= = ⋅ − ⋅ + ⋅ =en De coördinaten zijn dus (0, 0) en ( , )2 1 1

3

b Bij de buigpunten is de afgeleide van de afgeleide 0. De afgeleide van de afgeleide is 3 4 2 4 3 8 42 2x x x x− ⋅ + = − + , dus los op 3 8 4 02x x− + = Met de abc-formule kriig je

x x=+ − − ⋅ ⋅

⋅= + = =

− − − ⋅8 8 4 3 42 3

8 46

28 8 4 32 2( ) ( )

of⋅⋅

⋅= − =

42 3

8 46

23

f ( )2 2 2 2 2 114

4 43

3 2 13= ⋅ − ⋅ + ⋅ = en f ( ) ,2

34481 0 543= ≈

De coördinaten zijn dus ( 23 ; 44

81 ) en (2, 1 13)

T-5a Driehoek APS en CRQ vormen samen een vierkant met zijde 2 cm, dus oppervlakte 4 cm2 Driehoek DSR en BQP vormen samen een rechthoek met zijde 10 – 2 = 8 cm en 6 – 2 = 4 cm, dus oppervlakte 8 4 32⋅ = cm2 De oppervlakte van de tegel is 10 6 60⋅ = cm2 Blijft over voor het parallellogram 60 – 4 – 32 = 24 cm2

b Driehoek APS en CRQ vormen samen een vierkant met zijde x cm, dus oppervlakte x2 Driehoek DSR en BQP vormen samen een rechthoek met zijde 10 – x en 6 – x, dus oppervlakte ( )( )10 6− −x x

De oppervlakte van de tegel is 10 6 60⋅ = cm2 Blijft over voor het parallellogram 60 10 6 2− − − −( )( )x x x in cm2 Vereenvoudigd wordt O x x x= − − − − =60 10 6 2( )( ) 60 60 10 6 2 2− − − + − =( )x x x x 60 60 16 2 2− − + − =( )x x x 60 60 16 2 2− + − − =x x x − +2 162x x

c De oppervlakte is maximaal als ddOp

= 0

ddOp

x= − + =4 16 0

x = 4 Als AP = 4 cm is de oppervlakte O maximaal.

d De maximale oppervlakte is O( )4 2 4 16 4 322= − ⋅ + ⋅ = cm2



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄48


bladzijde 51

T-6a f x x g x x'( ) '( )= =20 3 2; De helling van de grafiek van f in C is f '( )5 20 5 100= ⋅ = De helling van de grafiek van g in D is g '( )5 3 5 752= ⋅ =

b f ( )5 10 5 2502= ⋅ = en g( )5 5 1253= = . De grafiek van f loopt dus boven de grafiek van g. De afstand tussen de punten is f g( ) ( )5 5 250 125 125− = − =

c Bij opdracht a vond je dat de helling van de grafiek van f bij C groter is dan de helling van de grafiek van g bij D. De grafiek van f stijgt bij C dus meer dan de grafiek van g bij D. Bij een verschuiving van de lijn naar links wordt de afstand daarom kleiner en bij een verschuiving naar rechts groter.

d De afstand is f x g x x x( ) ( )− = −10 2 3 . De afstand is het grootst als deze formule een maximum heeft, dus als de afgeleide 0 is. De afgeleide is 10 2 3 20 32 2⋅ − = −x x x x . dus los op: 20 3 02x x− = x x( )20 3 0− = x x= − =0 20 3 0of

x x= = =0 203

6 23(voldoet niet) of

Voor x = 6 23 is de afstand het grootst.

T-7a f x x'( ) = 3 2 . De helling in A(1, 1) is f '( )1 3 1 32= ⋅ = De helling invullen in de raaklijnvergelijking y ax b= + geeft y x b= +3 Het punt (1, 1) hierin invullen geeft 1 3 1 1 3 2= ⋅ + = − = −b b; zodat de vergelijking van de raaklijn luidt y x= −3 2

b De helling van de raaklijn in B(4, 8) benaderen we met een klein differentiequotiënt:

de helling is ongeveer ∆∆

yx

g g= −−

≈( , ) ( ),

4 00001 44 00001 4

3

Dat is gelijk aan het hellingsgetal 3 voor de raaklijn uit opdracht a. De lijnen lopen dus evenwijdig.

c De helling aan de grafiek van g in het punt B(4, 8) is 3. De helling van k x( ) is de afgeleide, dus los op k x'( ) = 3 . Uitwerken van k geeft k x x x x x x( ) ( , ) , ,= − + = − + + = − +2 5 6 5 6 25 6 5 12 252 2 2 , dus k x x'( ) = −2 5 . Oplossen van k x x'( ) = − =2 5 3 geeft 2 8x = x = 4 De y-waarde hierbij is k( ) ( , ) ,4 4 2 5 6 8 252= − + = Het punt is dus (4; 8,25)

T-8a Voor 6000 vazen is q = 6. De kosten zijn K( ) , ,6 0 1 6 2 6 15 6 39 63 2= ⋅ − ⋅ + ⋅ = duizend = 39 600 Voor 12 000 vazen is q = 12 en K( ) , ,12 0 1 12 2 12 15 12 64 83 2= ⋅ − ⋅ + ⋅ = duizend = 64 800

b ddKq

q q= − +0 3 4 152,



oord

hoff U

itgev

ers

bv

⁄49


c Als K een extreme waarde heeft is daarbij de afgeleide 0. De afgeleide 0 3 4 152, q q− + is een kwadratische functie met discriminant D b ac= − = − − ⋅ ⋅ = −2 24 4 4 0 3 15 2( ) , . De discriminant is negatief dus er zijn geen nulpunten. De afgeleide kan dus nooit 0 zijn en K heeft geen extreme waarde. De afgeleide is een dalparabool zonder nulpunten. De parabool ligt dus geheel boven de horizontale as en heeft altijd positieve waarden. Bij een positieve waarde van de afgeleide hoort een stijgende functie, dus K is overal stijgend.

d Bij 12 000 vazen zijn de gemiddelde kosten per vaas K( )

,12

12 00064 80012 000

5 4= =

Bij 6000 vazen zijn de gemiddelde kosten per vaas K( )

,6

600039 6006000

6 6= = De kosten per vaas van 5,4 zijn lager dan 6,6.

e G qK q

qq q q

qq q( )

( ) ,,= = − + = − +0 1 2 15

0 1 2 153 2

2

G q q'( ) ,= −0 2 2 f Bij minimale waarde van G q( ) geldt G q'( ) = 0 . Dus los op: G q q'( ) ,= − =0 2 2 0

De oplossing is q = 10 , dus bij 10 000 vazen zijn de gemiddelde kosten per vaas minimaal. De minimale gemiddelde kosten per vaas is G( ) ( , )10 0 1 10 2 10 15 52= ⋅ − ⋅ + =

T-9a De functie f moet door (3, 0) gaan daar en een minimum of maximum hebben, dus (3, 0) is een top of een dal.

3Ox

y

b De formule voor de snelheid v t g t( ) = ⋅ is de afgeleide van de formule voor de afgelegde weg s t g t( ) = ⋅1

22 . Er geldt dus s t v t'( ) ( )= .



oord

hoff U

itgev

ers

bv

Hoofdstuk 2 - Differentiërenbgnuitwerkingen.wdfiles.com/local--files/h5wib/H2.pdf ·...

Documents

Transcript of Hoofdstuk 2 - Differentiërenbgnuitwerkingen.wdfiles.com/local--files/h5wib/H2.pdf ·...