Het Regge-Plus-Resonantie model voor pion- en ...inwpent5.ugent.be/docs/theses/SamAerts.pdf ·...

Sam Aerts

kaonproductie van het protonHet Regge-Plus-Resonantie model voor pion- en

Academiejaar 2010-2011Faculteit Ingenieurswetenschappen en ArchitectuurVoorzitter: prof. dr. Dirk RyckboschVakgroep Fysica en Sterrenkunde

Master in de ingenieurswetenschappen: toegepaste natuurkundeMasterproef ingediend tot het behalen van de academische graad van

Begeleiders: Pieter Vancraeyveld, Lesley De CruzPromotor: prof. dr. Jan Ryckebusch

Woord vooraf

Nog enkele woorden en deze thesis is geschreven. Zotte tijden. Ik kan mij amper nog voor-

stellen hoe het was om als achttienjarige de universiteit binnen te wandelen, en nu stap ik er

alweer buiten, met een hoofd vol fysica. Dit is mijn kers op een taart waarmee de voorbije

vijf jaar zoveel mensen mij hebben geholpen om ze te bakken. Merci.

Ik wil bij deze mijn promoter, prof. Ryckebusch, bedanken voor het vertrouwen en het grondig

verbeteren van dit werk. Een uitdaging, dat was het zeker. En in zekere zin ben ik blij dat

ik ze aangegaan ben. Uiteraard moet ik daarvoor Pieter en Lesley bedanken voor hun tijd,

antwoorden en oeverloze geduld. Elke keer kwam ik dankzij jullie iets dichter bij het begrijpen

van deze wondere, chaotische wereld.

Merci, ouders, voor de volledige bijna 23 jaar.

Merci, Joske, pour lamour. Speciaal voor jou, en toch volledig in de aard van deze thesis, een

vleugje romantiek: Youre the colour, youre the movement and the spin. The Notwist,

in ontegensprekelijk de mooiste vijf minuten ooit geschreven.

Allez, laat het leven maar komen.

Sam Aerts

Gent Juli 2011

Overzicht

Faculteit Ingenieurswetenschappen

Vakgroep Fysica en Sterrenkunde

Voorzitter: Prof. Dr. D. Ryckbosch

Reggemodel voor pionfotoproductie

aan het proton bij hoge energie

Sam Aerts

Promotor: Prof. Dr. J. Ryckebusch

Scriptie-begeleiders: L. De Cruz, P. Vancraeyveld

Scriptie voorgedragen tot het behalen van de graad van

Master in de Ingenieurswetenschappen: Toegepaste Natuurkunde

Academiejaar 20102011

Samenvatting

In het kader van het Regge-plus-resonantiemodel passen we Reggefenomenologie toe op een

isobaarmodel om de pionfotoproductie aan een proton te beschrijven bij hoge energie en voor-

waartse hoeken. Praktisch komt dit neer op het vervangen van Feynmanpropagatoren, die de

uitwisseling van een individueel hadron beschrijven, door Reggepropagatoren, die de uitwisse-

ling van een familie van hadronen beschrijven. We gaan uit van het werk van M. Guidal, maar

bepalen onze parameters aan de hand van een Bayesiaanse analyse van de bestaande data.

We vergelijken verschillende valabele modelvarianten en geven een diepgaande bespreking van

de resultaten van de beste variant. Tenslotte tonen we de bijdrage van ons Reggemodel in

het eerste resonantiegebied en maken een voorspelling omtrent de toepasbaarheid van een

Reggemodel als parametrisatie van de achtergrond in een Regge-plus-resonantiemodel.

Sleutelwoorden

Pionfotoproductie, Reggefenomenologie, Regge-plus-resonantiemodel, hoge energie

Regge model for pion photoproduction from theproton at high energies

Sam Aerts*

Supervisor(s): Jan Ryckebusch, Lesley De Cruz, Pieter Vancraeyveld

Abstract Extending the approach pioneerd by Guidal et al., a Reggemodel for positive pion photoproduction from the proton is developed, inwhich the few free parameters are determined by a Bayesian analysis of theexisting high energy data. We determine that a combination of a rotating trajectory and a constant trajectory describes the data the best, and findthat the assumption that double counting should not be taken into accountin a Regge-plus-resonance model to be justified.

Keywords pion photoproduction, high energy, Regge phenomenology,Regge-plus-resonance approach

I. INTRODUCTION

PION photoproduction is an ideal laboratory for the study ofthe strong interaction and has been studied extensively inthe past, theoretically as well as experimentally. In the late six-ties and early seventies a batch of particle accelerators made itpossible to study the reaction at energies above the resonanceregion. At these high energies the overlap of individual reso-nances results in a smooth amplitude. Standard isobar modelsfail in this region, but one can use Regge phenomenology toovercome their problems.

A Regge-model description of pion photoproduction in thehigh energy region has been performed by Guidal et al. [1]. Intheir work, one has tried to keep the number of fitting parametersto a strict minimum by basing them on theoretical grounds orusing them without apparent reason, independently of the avail-able data. Here, on the other hand, the parameters are optimizedto the data, using a Bayesian analysis [2].

II. ISOBAR MODEL

IN an isobar model one uses the tree level approximation: oneassumes that, for a certain interaction, the tree level ampli-tudes or first order Feynman diagrams, are dominant. The inter-mediate states of these diagrams are mesons (, , ...), baryons(n, p, ...) or resonances (N, ). The isobar model uses ef-fective Lagrangians, where every hadron is seen as an effectiveparticle with a certain mass, charge and form factor, and everyvertex has certain coupling constants.

The pole structure of a tree level diagram is determined bythe propagator of the exchanged particle, P 1q2m2 , with qthe four momentum and m the mass of the exchanged particle.Only in the case of a resonance does this propagator go throughhis pole resulting in a resonant structure in the observables. Con-servation of energy and momentum prevent the propagators ofall other diagrams to go through their poles. They therefore onlycontribute to a background.

Most of the high energy data is available at forward direc-tions, where the t-channel diagrams describing the exchange of

*E-mail: [email protected]

and mesons are dominant:

exchange (JP = 0)

M = ie

2gNNUn

(p (k p)

) /P05Up, (1)

with P0 = 1tm2 the spin-0 propagator, and gNN the pseu-doscalar pion-nucleon coupling constant.

exchange (JP = 1)

M = ie

2gm

gvNNUnk(k p)

P1[ + i

gtNNMn +Mp

(k p)]Up, (2)

with P1 de spin-1 propagator, gvNN the vector and gtNN =g

vNN the tensor coupling constant of the vertex NN , and

g the electromagnetic coupling constant of the vertex .The following combinations of coupling constants in these

amplitudes are free parameters in our model: gNN , ggvNNand ggtNN .

III. REGGE MODEL

A. Reggeization

An isobar model does not satisfy the Froissart boundary, anecessary condition for unitarity, and ultimately fails in the highenergy region. To overcome this problem one can reggeize theamplitudes given by the isobar model. Practically this meanssubstituting the Feynman propagators P0 and P1 in Eqs. (1)and (2), describing the exchange of a single particle, with Reggepropagators, describing the exchange of a family of particles:

exchange

1

tm2

(s

s0

)(t)1

sin((t))

(

1 or ei(t))

(1 + (t)), (3)

with (t) = 0.7 GeV2(tm2) the trajectory.

exchange

1

tm2

(s

s0

)(t)11

sin((t))

(

1 or ei(t))

((t)), (4)

with (t) = 1 + 0.8 GeV2(tm2) the trajectory.Since strong degenerate trajectories are assumed, two ad-

ditional (discrete) parameters are introduced, i.e. a rotating(ei(t)) or constant (1) Regge trajectory phase.

B. Gauge invariance

Composing a model with exhange without including a nu-cleon exchange term is meaningless. The latter is needed toensure gauge invariance is conserved. Thus, when reggeizingthe t channel exchange, one has to apply the exact same pro-cedure on the s channel nucleon exchange term. This results inthe following amplitude:

Mp(,+)n =MRegge+MRegge+M

elecp PRegge (tm2). (5)

C. Bayesian analysis

Contrary to the work of Guidal [1] the free parameters thecoupling constants and trajectory phases are determined by theexisting high energy data. Instead of a traditional 2 fit we usea Bayesian analysis.

IV. RESULTS AND DISCUSSION

A. Model variants

The three best model variants after the Bayesian analysis aresummarized in Table I, and a comparison of the resulting differ-ential cross section is shown in Fig. 1.

Model 1, with a combination of a rotating phase and a con-stant phase, is, according to Jeffreys Table, conclusively thebest model. In this model, both NN vertex coupling constantshave a negative sign relatively to gNN . The latter is in agree-ment with [1], while the former was not tested.

Model 1 Model 2 Model 3 phase R R R phase C R R2gNN 19.09 0.005 19.08 0.01 19.07 0.02

2ggvNN 9.48 0.07 4.41 0.17 2.65 0.202ggtNN 24.01 0.42 28.76 0.38 33.05 0.35

lnZ -20.7 1.4 -75.4 1.2

TABLE IPARAMETERS OF THE THREE BEST MODEL VARIANTS. lnZ IS THE

LOGARITHM OF THE EVIDENCE RATIOS, WITH | lnZ| > 5 MEANING THEEVIDENCE IS DECISIVE [2].

B. Resonance region

In order to assess the validity of the Regge model as aparametrisation of the background model in kaon production,we check whether or not duality (the sum of the resonance con-tributions being on average the same as the t channel contribu-tions) is a factor which should be accounted for, by applying ourRegge model for pion photoproduction in the resonance region.

Fig. 2 clearly shows no sign of duality. Thus, there is no dou-ble counting when adding individual resonance contributions tothe background and the original assumption in [4] is justified.

Fig. 1. Comparison of the differential cross section predicted by the three bestmodel variants after a Bayesian analysis. The rotating / constant combina-tion of Model 1 gives the best results. Data from [3].

Fig. 2. Results of our optimal Regge model in the resonance region. It isclear that the background in this region is marginal compared to the highlydominant individual resonances. Data from [5].

V. CONCLUSION

We have constructed a high energy Regge model for the reac-tion p(, +)n and determined the few free parameters from theexisting data, using a Bayesian analysis. We have found no evi-dence of duality in the resonance region and conclude that dou-ble counting is not an issue in a Regge-plus-resonance model.

REFERENCES[1] M. Guidal, Photoproduction de mesons sur le nucleon aux energies in-

termediaires, Universite de Paris-Sud, U.F.R. Scientifique dOrsay, 1997.[2] L. De Cruz, et al. Bayesian model selection for electromagnetic kaon pro-

duction on the nucleon., Phys. Lett. B 694, 3337, 2010[3] A. Boyarski, et al. 5 GeV - 16 GeV single + photoproduction from hydro-

gen., Phys. Rev. Lett. 20, 300303, 1968[4] T. Corthals Regge-plus-resonance approach to kaon photoproduction from

the proton, Universiteit Gent, 2007.[5] T. Fujii, et al. Photoproduction of charged mesons from protons and

neutrons in the energy range between 250 and 790 MeV, Nucl. Phys. B120, 395422, 1977

Inhoudsopgave

Woord vooraf iii

Overzicht v

Extended Abstract vii

Inhoudsopgave ix

1 De structuur van zichtbare materie 1

1.1 Deeltjesfysica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Klassieke periode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Mesonen en de sterke kracht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.3 The Eightfold Way . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.4 Het quarkmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.5 Het Standaardmodel en QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 De structuur van het nucleon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1 Het nucleonspectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.2 Identificatie van nucleonresonanties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.3 Studie van het nucleonspectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Korte schets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Pionfotoproductie 21

2.1 Het pion in de studie van de sterke wisselwerking . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.1 Geschiedenis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Kinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.1 Center of momentum-stelsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.2 Ongepolariseerde amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.3 Mandelstamvariabelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

x INHOUDSOPGAVE

2.3 Observabelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.1 Differentiele werkzame doorsnede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.2 Fotonpolarisatie-asymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.3 Target-polarisatie-asymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.4 Totale werkzame doorsnede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4 Isobaarmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4.1 Amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4.2 Beperkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5 Reggeformalisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5.1 Schets van de Reggeamplitude-afleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.6 Reggesatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.6.1 Spinloze deeltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.6.2 Ontaarde trajecten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.6.3 Deeltjes met intrinsieke spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.7 IJkinvariantie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.8 Uitbreiding Reggemodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.8.1 Regge-plus-resonanties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.9 Bayesiaanse analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3 p +n in de Reggelimiet 453.1 Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.1 Feynmanamplitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.1.2 Reggeamplitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1.3 Herstel van ijkinvariantie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.1.4 Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2 Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3 Bayesiaanse analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3.1 Resultaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3.2 Vergelijking van de beste modelvarianten . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.4 Resultaten Model 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.4.1 Differentiele werkzame doorsnede ddt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.4.2 Fotonasymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.4.3 Target-asymmetrie T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.4.4 Vergelijking met het model van Guidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.5 Conclusie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

INHOUDSOPGAVE xi

4 p +n in het RPR-model 73

5 Besluit 77

Appendices

A Conventies 79

B Werkzame doorsnede 81

C Feynmanregels 85

C.1 Vertices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

C.2 Propagatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

D Pseudovector- versus pseudoscalaire koppeling 89

E Verschil in conventies tussen dit werk en het werk van Guidal 93

Bibliografie 97

Hoofdstuk 1

De structuur van zichtbare materie

When the Nobel Prizes were first awarded in 1901 physicists knew something of

just two objects which are now called elementary particles: the electron and the

proton. A deluge of other elementary particles appeared after 1930: neutron,

neutrino, -meson, -meson, heavier mesons and various hyperons. I have heard

it said that the finder of a new elementary particle used to be rewarded by a

Nobel Prize, but such a discovery now ought to be punished by a $10000 fine.

Willis Lamb, speech ontvangst Nobelprijs 1955

1.1 Deeltjesfysica

1.1.1 Klassieke periode

We zouden ons verhaal 2500 jaar geleden kunnen beginnen, bij Anaxagoras, Leucippus en

Democritus, de bekendste Griekse atomisten. Hun inzicht dat alle materie zou bestaan uit

ondeelbare deeltjes die eeuwig en onveranderlijk waren, zogenaamde atomos, bleek uiteraard

niet ver van de waarheid en was ook de absolute waarheid tot eind de 19e eeuw , maar

hun metafysica stond mijlenver van onze moderne fysica.

De elementaire deeltjesfysica begint bij de ontdekking van het elektron door Sir Joseph John

Thomson (1856-1940) in 1897. Thomson vermoedde dat deze negatieve deeltjes essentiele

onderdelen van atomen waren en zag hen gelijkmatig verdeeld in een positieve brijachtige

omgeving om zo de neutraliteit van het atoom te behouden.

Dit atoombeeld werd grondig veranderd door Ernest Rutherford (1871-1937) in 1909. Onder

zijn supervisie werd het beroemde verstrooiingsexperiment uitgevoerd door Johannes Geiger

(1882-1945), mede-uitvinder van de geigerteller, en Sir Ernest Marsden (1889-1970) dat eruit

2 De structuur van zichtbare materie

bestond -deeltjes af te schieten op een goudfolie. Als de goudatomen diffuus waren, zoals

Thomson dacht, zouden de -deeltjes weinig verstrooid worden. Het experiment toonde echter

aan dat de meeste s gewoon door de folie vlogen zonder enige verstrooiing, terwijl andere

deeltjes zeer sterk verstrooid werden. Rutherford begreep hieruit dat de positieve lading en

zo goed als de volledige atoommassa geconcentreerd zat in een kleine kern de nucleus in

het midden van het atoom. De nucleus van het waterstofatoom noemde hij het proton.

In 1914 kwam Niels Bohr (1885-1962) op de proppen met een nieuw atoommodel voor

het waterstofatoom: een enkel elektron cirkelend in een baan rond een proton, een stabiel

systeem door de wederzijdse elektrische aantrekking. Gebruik makend van een prototype-

kwantummechanica berekende hij het spectrum van het waterstofatoom met indrukwekkende

resultaten als gevolg.

Met de ontdekking van het neutron in 1932 door James Chadwick (1891-1974) leek een belang-

rijk deel van de fysica afgesloten, namelijk de fundamentele vraag: Wat zijn de fundamentele

bouwstenen van alle materie?. Het antwoord in 1932 was eenvoudig: protonen, neutronen en

elektronen. Dit waren de elementaire deeltjes van die tijd. Helaas was dit niet het volledige

antwoord en zou het beeld van dan af enkel gecompliceerder worden. De eerste barsten wer-

den al zichtbaar nog voor het fundament goed en wel geplaatst was. Wat houdt de nucleus

bij elkaar? Wat met de negatieve-energieoplossingen van de Diracvergelijking? Hoe wordt

de energieverdeling van het -verval verklaard? De antwoorden op deze vragen zouden drie

nieuwe deeltjes opleveren, respectievelijk Yukawas meson, Diracs positron en Paulis neutrino.

1.1.2 Mesonen en de sterke kracht

Elke atoomkern of nucleus bestaat uit een aantal protonen en een aantal neutronen. Deze

nucleonen zitten zeer dicht op elkaar gepakt en de positief geladen protonen zouden elkaar

dus zeer sterk moeten afstoten wegens de Coulomb-kracht. Het feit dat er al stabiele kernen

zijn, wees op de aanwezigheid van een tot dan toe onbekende kracht, sterker dan de elek-

trische afstoting, die de nucleonen moest binden. Deze kracht werd inspiratieloos de sterke

kracht genoemd. Aangezien men in het dagelijks leven enkel krachten waarneemt die elektro-

magnetisch of gravitationeel van oorsprong zijn, speelt de sterke kracht duidelijk geen rol op

macroscopisch niveau, en moet ze dus een zeer klein bereik of korte dracht hebben.

In 1934 stelde Hideki Yukawa (1907-1981) voor de sterke kracht een veldentheorie voor. Net

zoals een elektrisch veld voor de aantrekking zorgt tussen elektron en nucleus, en een gra-

vitationeel veld voor de aantrekking tussen de maan en de aarde, zouden nucleonen elkaar

aantrekken door middel van een of ander veld. Analoog aan het foton zou er een bepaalde

1.1 Deeltjesfysica 3

krachtdrager zijn, een deeltje wiens uitwisseling de eigenschappen van de sterke kracht vast-

legde. De korte dracht wees op een zwaar deeltje in tegenstelling tot het foton dat massaloos

is gezien de oneindige reikwijdte van de elektromagnetische kracht met een massa van on-

geveer een zesde van die van het proton. Het deeltje werd meson van het Griekse mesos,

wat intermediair betekent genoemd. In dezelfde stijl werd het elektron een lepton licht

en nucleonen baryonen zwaar genoemd. Yukawas enige probleem was dat mesonen op

dat moment nog nooit waren waargenomen.

In 1937 identificeerde men uit kosmische straling deeltjes die voldeden aan Yukawas beschrij-

ving. Na verder onderzoek bleek echter dat ze een verkeerde levensduur hadden en veel lichter

waren dan het voorspelde deeltje. Daarenboven kwamen verschillende massametingen niet

overeen. Pas tien jaar later, in 1947, ontdekte men dat men te maken had gehad met twee

verschillende deeltjes met een gelijkaardige intermediaire massa, het pion Yukawas deeltje

en een nieuw lepton: het muon , een vervalproduct van het pion.

Opnieuw dacht men dat de belangrijkste problemen in de elementaire deeltjesfysica opgelost

konden worden aan de hand van de bekende deeltjes nu met toevoeging van het pion, het

positron en het neutrino. Enkel de rol van het muon in elk opzicht een zwaardere versie van

het elektron was nog niet opgeklaard. Who ordered that? zou Isidor Isaac Rabi (1898-

1988) zich luidop afgevraagd hebben. Deze quasi-stabiele toestand duurde echter niet lang.

Met behulp van cloud chambers of nevelkamers vond men in 1949 evidentie voor het bestaan

van kaonen zwaardere mesonen en daar stopte het niet bij. Integendeel, de mesonfamilie

werd uitgebreid met onder andere het , het , het en de s. Vanaf 1950 vond men deeltjes

die vervielen in een nucleon en een meson, en dus deel uitmaakten van de baryonfamilie, zoals

het , de s, de s en de s.

Het eenvoudige beeld dat men had van hadronfysica in de jaren 40 groeide in twintig jaar tijd

uit tot een ware chaos: een deeltjeszoo of -jungle. Men kon deze deeltjes, die alle te maken

hadden met de sterke wisselwerking, wel onderverdelen in twee grote families baryonen en

mesonen maar het feit dat ze te karakteriseren waren volgens massa, lading en vreemdheid

of strangeness kon niet onderbouwd worden. Deze situatie was gelijkaardig aan de periode

voor de invoering van het periodiek systeem der elementen, en al snel zou een eigen periodieke

systeem voor de chaos aan elementaire deeltjes volgen.

1.1.3 The Eightfold Way

Onafhankelijk van elkaar stelden Murray Gell-Mann (1929) en Yuval Neeman (1925-2006)

in 1961 een klassering voor, de zogenaamde Eightfold Way , die de mesonen en baryonen in


geometrische patronen rangschikte in functie van lading en vreemdheid.

Mesonen

De negen lichtste mesonen kan men onderbrengen in een hexagonaal diagram met in het

midden drie deeltjes, zoals gellustreerd in Fig. 1.1. Aangezien ze allemaal pseudoscalair

(JP = 0)1 zijn, noemt men dit het pseudoscalair mesonnonet. Voor de ontdekking van het

was dit een octet. Mesonen aan weerszijden, zoals het en het + van het diagram zijn

elkaars antideeltje. De deeltjes in het midden zijn hun eigen antideeltje.

Ook de pseudovector-mesonen (JP = 1) kan men in een dergelijke structuur onderbrengen,

zie Fig. 1.2.

Figuur 1.1: Pseudoscalair mesonnonet. De schuine lijnen stellen de lading voor, de horizontale de

vreemdheid.

Baryonen

Zoals blijkt uit Fig. 1.3, passen de acht lichtste baryonen (met JP = 1/2+) eveneens in

een hexagonaal diagram, nu met twee deeltjes in het midden. Men noemt deze groep het

baryonoctet. Hun antideeltjes vormen een antibaryonoctet.

Tien zwaardere baryonen met JP = 3/2+ vormen samen een decuplet, zie Fig. 1.4. Negen

ervan waren gekend in 1961, enkel het deeltje met lading Q = 1 en vreemdheid S = 3 wasnog niet waargenomen. Gell-Mann voorspelde het bestaan van het deeltje, noemde het het

1J is het totaal impulsmoment en P de pariteit van het deeltje.


Figuur 1.2: Pseudovector-mesonnonet. De schuine lijnen stellen de lading voor, de horizontale de

vreemdheid.

en vertelde er meteen bij hoe het op te sporen was. Hij kreeg zijn gelijk na de ontdekking

van het in 1964. Een triomf voor de Eightfold Way.

Figuur 1.3: Baryonoctet.

De Eightfold Way was een eenvoudige en esthetische manier om de toen ontdekte deeltjes

te catalogiseren. Elk hadron dat daarna ontdekt werd, vond zijn plaats in een of ander

supermultiplet, maar hoe het juist kwam dat men hadronen in zulke geometrische patronen

kon onderbrengen, wist men toen nog niet.


Figuur 1.4: Baryondecuplet.

1.1.4 Het quarkmodel

In de jaren vijftig toonde Robert Hofstadter (1915-1990) aan de hand van het eerste verstrooi-

ingsexperiment met hoogenergetische elektronen (500 MeV) aan dat het proton een eindige

grootte had van de orde 0.7 1015 m. In de betekenis van een object zonder afmetingenen zonder structuur, was het proton duidelijk geen puntdeeltje. Door de gelimiteerde energie

bleef men echter beperkt tot elastische verstrooiing, en ook al wist men dat het proton geen

puntdeeltje was, twijfelde men nog niet aan zijn elementariteit.

In 1964, drie jaar na de Eightfold Way, kwamen Gell-Mann en George Zweig (1937) onaf-

hankelijk op het idee dat hadronen bestonden uit elementaire bestanddelen. Het model van

Gell-Mann voorzag drie verschillende smaken (flavours) en hij noemde ze quarks (ontleend

aan James Joyces Finnegans Wake2), terwijl Zweig hen azen noemde omdat hij dacht dat er

vier verschillende smaken waren. Uiteindelijk is het voorstel van Gell-Mann algemeen inge-

burgerd in de wetenschappelijke wereld (met als drie smaken up, down en strange). Gebruik

makend van het feit dat quarks een fractionele lading hebben en ze gekarakteriseerd kunnen

worden volgens de Eightfold Way, zag men in dat baryonen uit drie quarks zijn opgebouwd

(antibaryonen uit drie antiquarks) en mesonen uit een quark en een antiquark.

Het grootste probleem waarmee het quarkmodel vanaf zijn geboorte te kampen had, was

het opmerkelijke feit dat individuele quarks nog nooit waren waargenomen. Hun fractionele

lading betekende nochtans dat ze eenvoudig geobserveerd zouden moeten kunnen worden. En

2Three quarks for Muster Mark!


als men een hadron hard genoeg raakte (bijvoorbeeld in een protonenversneller), zouden de

bestanddelen toch uit elkaar moeten vliegen? Helaas was niets minder waar. Voorstanders

van het model noemden dit quark confinement quarks zitten vast binnenin hadronen maar

theoretisch gezien was er geen verklaring voor.

Men kon quarks wel experimenteel bestuderen aan de hand van deep inelastic scattering (DIS)

experimenten die aan het einde van de jaren zestig uitgevoerd werden, zoals met hoogenergeti-

sche elektronen in het Stanford Linear Accelerator Center (SLAC). Deze experimenten gaven

resultaten die deden denken aan het Rutherford-experiment: de meeste inkomende deeltjes

gingen recht door het target , zonder enige interactie, terwijl andere sterk verstrooiden. In het

geval van het proton zat de lading blijkbaar geconcentreerd in drie kleine hoopjes. Feynman

en Bjorken leidden uit dit resultaat af dat nucleonen bestonden uit drie puntdeeltjes, die ze

partonen noemden. Het lag voor de hand om deze partonen te vereenzelvigen met Gell-Manns

quarks. De DIS-experimenten wezen dus sterk in de richting van het quarkmodel, maar een

sluitend bewijs bleef uit.

Theoretisch gezien leek er op het eerste zicht nog een probleem met het quarkmodel: schending

van het Pauli-uitsluitingsprincipe. Quarks hebben spin 1/2 en er zouden er dus maar twee

(spin up en spin down) dezelfde toestand mogen innemen. Het ++-deeltje zou echter drie u-

quarks bevatten, wat niet strookte met het Pauli-principe. Deze inconsistentie werd opgelost

door de invoering van kleuren: naast een smaak bezit elke quark ook een kleur, namelijk rood,

groen of blauw. De drie u-quarks in het ++ zouden elk een andere kleur bezitten en op die

manier wordt het Pauli-principe niet geschonden.

De invoering van de kleurenterminologie gaf de voorstanders van het quarkmodel ook een

gelegenheid het voorgaande probleem van confinement te omzeilen: enkel witte (rood +

groen + blauw of kleur + antikleur) deeltjes komen voor in de natuur.

De Eightfold Way kan men vergelijken met het periodiek systeem waarbij elk element een

grondtoestand van de sterke interactie voorstelt. Net zoals een atoom verschillende energieni-

veaus kan bezetten met eenzelfde combinatie van deeltjes (nucleus plus elektronen), kan ook

eenzelfde quarkcombinatie op verschillende manieren binden en op dergelijke manier aanlei-

ding geven tot verschillende energieniveaus. Omdat de verschillende energieniveaus bij een

welbepaalde quarkcombinatie zo ver uit elkaar liggen, spreekt men echter over verschillende

deeltjes.


1.1.5 Het Standaardmodel en QCD

Een van de grootste zoektochten in de moderne fysica is die naar een theorie die de vier

fundamentele krachten verenigt. Een grote stap voorwaarts was de unificatie van de elek-

tromagnetische (QED) en de zwakke kracht in de elektrozwakke kracht door Weinberg en

Salam in de jaren zestig en zeventig. Het Standaardmodel ging nog een stap verder en

voegde daar kwantumchromodynamica (QCD), de veldentheorie achter de sterke kracht, aan

toe. Veldentheoretisch gezien is het Standaardmodel gebaseerd op de ijksymmetriegroep

SU(3)C SU(2)L U(1), waarbij SU(3)C de kleurgroep is waarop QCD gebaseerd is, enSU(2)L U(1) de elektrozwakke unificatietheorie beduidt. Enkel de zwaartekracht blijft totnu toe buiten het bereik van een unificatie in een kwantumveldentheoretisch kader.

Door spontane symmetriebreking van elke groep binnen het Standaardmodel ontstaan er

voor elke kracht bosonen die koppelen aan de elementaire fermionen, en voor elk van de drie

verenigde krachten is een veldentheoretisch kader ontwikkeld die de koppeling tussen deze

bosonen en fermionen beschrijft. Tot op bepaalde hoogte zijn ze alledrie goed begrepen.

Vooral QED levert heel goede resultaten op en is tot nu toe het grootste succes wat de

veldentheoretische beschrijving van subatomaire deeltjes betreft. Dit heeft het te danken

aan zijn kleine fijnstructuurconstante, QED = 1/137, die de sterkte van de kracht bepaalt .

Aangezien (QED)N snel verwaarloosbaar klein wordt, convergeert een perturbatieve expansie

van de theorie zeer snel en wordt de werkelijkheid bijzonder goed benaderd, met als gevolg

dat QED indrukwekkend nauwkeurige resultaten oplevert.

Voor QCD ligt dit echter een pak moeilijker. In tegenstelling tot de elektromagnetische QED

en zwakke W blijkt de kleurenkoppelingsconstante S groter te worden naarmate de afstand

tussen de quarks groter wordt of de interacties bij lagere energie plaatsvinden:

s(E) =1

b log(E2/2QCD)

met QCD 200 MeV een schaalparameter, en b een constante die afhangt van het aantalsmaken die men in rekening brengt. Perturbatietheorie kan maar toegepast worden zodra

S 1 en dus E2 2QCD.

Bij lage energie en grote afstanden is de kleurenkoppeling zo sterk dat de quarks opgeslo-

ten worden binnenin het geobserveerde hadron confinement terwijl bij hoge energie de

koppeling zwak genoeg wordt om de quarks als vrije deeltjes te zien, een fenomeen dat men

asymptotische vrijheid noemt. Bij hoge energie kan men met andere woorden wel perturba-

tieve QCD (pQCD) toepassen, maar bij afstanden van de orde 1015 m de grootte van een

1.2 De structuur van het nucleon 9

nucleon is S nog te groot (S 1) om deze theorie te gebruiken. Voor de beschrijvingvan sterke interacties met nucleonen is men daarom aangewezen op meer fenomenologische

modellen.

1.2 De structuur van het nucleon

Een belangrijke regel in de deeltjesfysica is hoe hoger de energie, hoe kleiner de afstanden.

Met grotere en krachtigere deeltjesversnellers kan men elektronen, protonen en andere geladen

deeltjes tot alsmaar hogere snelheden en dus hogere energieen versnellen en zo steeds

kleinere structuren observeren. Of men ooit zal ontdekken dat quarks opgebouwd zijn uit nog

fundamentelere bouwstenen is nog maar de vraag, maar het zou ons in elk geval niet mogen

verbazen.

Voor het zover komt, heeft men echter nog veel te leren over het nucleon zelf. Eenzelfde

quarkcombinatie binnen een hadron kan namelijk net zoals eenzelfde elektronen-nucleus-

samenstelling binnen een atoom op verschillende manieren binden en dus verschillende ener-

gieniveaus bezetten3. Aangezien deze niveaus zo ver uit elkaar liggen, spreekt men wel over

verschillende deeltjes, maar het geheel blijft een spectrum. En net zoals het atoomspectrum

ons veel geleerd heeft over de samenstelling van en de interacties binnen het atoom, ver-

wacht men uit het nucleonspectrum de samenstelling van het nucleon en de fundamentele

eigenschappen van quarks en de sterke wisselwerking beter te begrijpen.

1.2.1 Het nucleonspectrum

Een nucleon bestaat uit een combinatie van drie up- en down-quarks. Beide quarks hebben

isospin I = 1/2 (met projectie I3 = +1/2 voor de up-quark en I3 = 1/2 voor de down-quark)en spin S = 1/2. De combinatie van twee up-quarks en een down-quark geeft het proton een

isospin I = 1/24, met I3 = +1/2 en een spin S = 1/2. Het nucleon, met twee down-quarks

en een up-quark heeft dezelfde spin en isospin, maar met I3 = 1/2. Men noemt het protonen het neutron daarom een isospin-doublet en men kan ze beschouwen als twee toestanden

van eenzelfde deeltje (als massaverschil en lading niet in rekening worden gehouden).

Geexciteerde toestanden van het nucleon nucleonresonanties worden gekarakteriseerd door

bepaalde intrinsieke eigenschappen, samengevat in de vorm L2I2J(W ). L is het impulsmo-

ment van het nucleon-pseudoscalair-mesonpaar waarin de resonantie vervalt, en men noteert

3Dit idealistisch constituentenquark-beeld, zie Paragraaf 1.2.3, werkt wel enkel bij lage energieen.4 12 1

2 1

2= 1

2 3

2, dus dit zou ook I = 3

2kunnen zijn. Een toestand met isospin I = 3/2 is een -toestand.


S, P,D, F voor L = 0, 1, 2, 3 enzovoort. I is de isospin, J = L+ S het totale impulsmoment

en W de massa (in MeV/c2) van de resonantietoestand.

Figuur 1.5: De laagstgelegen geexciteerde toestanden van het nucleon. Figuur uit Ref. [1].

In een constituentenquarkmodel wordt een nucleon beschouwd als een systeem waarin de

drie quarks zich in een harmonische oscillatorpotentiaal bevinden. Fig. 1.5 toont enkele

laagenergetische toestanden in een dergelijk model dat bijkomende spin-spin- en spin-baan-

afhankelijke interacties komende van gluon-uitwisselingstermen in acht neemt. De eerste

geexciteerde toestand, het , bevat drie quarks met parallelle spin en is dus door middel van

een spin-flip tot stand gebracht, zie Fig. 1.6. Enkel rekening houdend met de harmonische

oscillator zou deze toestand samen met de grondtoestand ontaard zijn. De afstotende spin-

spininteractie tussen de parallelle spins zorgt er echter voor dat hij een hoger energieniveau

bezet. De excitatie van een quark naar de p-schil, zie Fig. 1.7, resulteert in een L = 1

multiplet. De toestanden zijn in twee groepen gesplit door de spin-spinteractie en verder

door spin-baaninteracties, zoals te zien is in Fig. 1.5.


(a) (b)

Figuur 1.6: Harmonische oscillatorpotentiaal voor (a) het nucleon en (b) het . Figuren uit Ref.

[1].

(a) (b) (c)

Figuur 1.7: Excitatie van een quark naar de p-schil waarbij (a) de twee quarks in de s-schil een

tegengestelde spin of (b) een parallelle spin bezitten, en (c) alle quarkspins parallel zijn.

Figuren uit Ref. [1].

Aangezien nucleonresonanties via de sterke wisselwerking vervallen, is hun levensduur zeer

klein: van de orde 1023 s. Anders gezegd hebben ze een grote vervalbreedte: van de orde

100-300 MeV/c2. Dit zorgt ervoor dat de meeste resonanties een grote overlap hebben met

hun buren.

1.2.2 Identificatie van nucleonresonanties

Fig. 1.8 toont de totale werkzame doorsnede van de reactie (, p), de absorptie van een

foton door een proton. Een piek bij een bepaalde energie in de werkzame doorsnede betekent

dat bij deze energie een proton met een grotere waarschijnlijkheid een foton zal absorberen.

Bijvoorbeeld wanneer de fotonenergie overeenkomt met het verschil tussen de energieniveaus

van het proton/neutron en een van zijn resonanties. Een piek komt met andere woorden


overeen met een nucleonresonantie.

De drie duidelijkste pieken in de werkzame doorsnede in Fig. 1.8 bevinden zich bij fotone-

nergieen E (= labenergieen lab) van ongeveer 300, 700 en 1000 MeV, wat overeenkomt met

invariante massas W 1230, 1550 en 1700 MeV. De eerste piek is de zogenaamde deltapieken komt overeen met de P33(1232) -resonantie. Daarnaast is een bredere resonantiestructuur

zichtbaar bij W 1500 MeV. Deze structuur, die men het tweede resonantiegebied noemt, isafkomstig van de overlap van drie verschillende resonanties: P11(1440), D13(1520), S11(1535).

P11(1440) noemt men de Roper-resonantie en is tot op heden vrij controversieel omdat ze niet

past in het conventioneel quarkbeeld van een nucleon [2]. De D13(1520)-resonantie draagt

het meeste bij, terwijl S11(1535) vooral belangrijk is in de productie van het isoscalair meson

omdat deze resonantie via een s-golf (orbitaal impulsmoment L = 0) in N kan vervallen.

Bij W 1700 MeV is een derde resonantiegebied zichtbaar. Het zijn vooral de F15(1680)- enD33(1700)-resonanties die hiertoe bijdragen (de laatste is niet aanwezig op Fig. 1.8).

Fig. 1.9 geeft ten slotte een overzicht van de laagstgelegen resonanties die min of meer

aanleiding geven tot duidelijke pieken in de werkzame doorsnede. Merk op dat N niet

het enige vervalkanaal is. Van zodra hun respectievelijke drempelenergie bereikt is, dragen

ook andere vervalkanalen bij tot de werkzame doorsnede. Bepaalde resonanties zullen eerder

geneigd zijn met een bepaalde waarschijnlijkheid via N , N of zelfs N te vervallen. Deze

waarschijnlijkheid noemt men de branching ratio of vervalfractie. In geval van N vervalt

een geexciteerde toestand meestal eerst in de P33(1232)-toestand na emissie van een pion,

waarna die op zijn beurt in N vervalt.

1.2.3 Studie van het nucleonspectrum

Sinds de ontdekking van het (1232) in 1951 en de talloze daaropvolgende N en , is

de grootste drijfveer achter de sterke-wisselwerkingsfysica het vinden en begrijpen van het

volledige nucleonspectrum. En dit binnen een kader consistent met QCD, de algemene theo-

retische beschrijving van de sterke kracht in functie van de elementaire bestanddelen: quarks

en gluonen. Door de complexiteit van het probleem in het bijzonder de grootte van s

zijn exacte oplossingen voor energieen van de grootteorde typisch voor gewone materie (GeV) onmogelijk te verkrijgen.

Bij hoge energieen kunnen perturbatieve methoden (pQCD) een zeer goede beschrijving geven,

terwijl numerieke simulaties met behulp van lattice QCD (lQCD) een uitweg kunnen bieden

in het niet-perturbatieve energiedomein. Wat betreft de dynamica van reacties waarbij nu-


Figuur 1.8: De totale werkzame doorsnede van de reactie (, p) in functie van fotonenergie E en

totale energie in het c.o.m.-systeem W . Figuur uit Ref. [2]. De punten representeren

de data, de curves zijn fits van Breit-Wigner-vormen van nucleonresonanties(P33(1232),

P11(1440), D13(1520), S11(1535), F15(1680), en F37(1950))

en een gladde varierende

achtergrond.


Figuur 1.9: De laagstgelegend geexciteerde toestanden van het nucleon met isospin I = 1/2 en

I = 3/2. De pijlen tonen het verval via -, - en -emissie. De dikte van de pijlen geeft

een idee van de vervalfractie. Figuur uit Ref. [2].

cleonresonanties worden geproduceerd zoals de elektromagnetische productie van mesonen

zijn er anderzijds modellen ontwikkeld die gebruik maken van effectieve hadronische vrij-

heidsgraden, waarbij men de hadronen zelf als elementaire deeltjes beschouwt. Men noemt

deze hadrodynamische of hadronmodellen en voorbeelden hiervan zijn zogenaamde isobar en

coupled-channels models.

Lattice QCD

Lattice QCD (lQCD), vrij vertaald als kwantumchromodynamica op het rooster, werd door

Wilson [3] ontwikkeld in 1974. Het kan enigszins vergeleken worden met de FDTD5-methode

voor golfproblemen. Men discretiseert QCD op een vierdimensionaal rooster in Euclidische

ruimtetijd (ict,x), waarbij men quarks op de punten definieert, en gluonen op de verbindingen

5FDTD: Finite difference time domain-methode. Ruimte- en tijdscoordinaten worden gediscretiseerd op

een rooster, en partiele ruimte- en tijdsafgeleiden worden benaderd door een centraal verschil (central diffe-

rence) tussen twee roosterpunten.


ertussen. Door de spatiering a tussen twee roosterpunten wordt vanzelf een momentum-cutoff

1/a ingevoerd die de theorie op een natuurlijke manier regulariseert.

Met deze methode is het mogelijk nauwkeurige informatie over niet-perturbatieve QCD te

bekomen. Door in de limiet a naar 0 te laten gaan, benadert men continuum-QCD, maar dit

is zeer rekenintensief. Om de berekeningen te verlichten, was men in het begin beperkt tot

de beschrijving van statische variabelen (zie Refs. [4] en [5]) zoals baryonresonantiemassas

en vervalbreedtes, maar tegenwoordig kunnen ook dynamische fermionen gesimuleerd worden

(zie bijvoorbeeld Ref. [6]).

Aangezien een fundamentele QCD-oplossing tot nog toe uitgesloten is, en de beste kandidaat,

lQCD, nog niet op punt staat, is men voor de studie van nucleonspectra vandaag aangewezen

op effectieve modellen. In de toekomst hoopt men de resonantieparameters in een lQCD-kader

te kunnen beschrijven.

Effectieve quarkmodellen

Een hadron is in feite een zelf-interagerend systeem van quarks en gluonen. Effectieve quark-

modellen proberen de eigenschappen van hadronen te voorspellen door deze quarkzee te re-

duceren tot een systeem van twee of drie dressed quarks of constituentenquarks. Dergelijke

modellen worden daarom constituentenquarkmodellen (CQM) genoemd. Effectieve quark-

modellen modellen kunnen wel nucleonresonanties voorspellen, maar de uitbreiding naar dy-

namische modellen van verstrooiingsprocessen is zeer uitdagend. Daarom is men dikwijls

aangewezen op effectieve hadronmodellen.

Effectieve hadronmodellen

In plaats van quarks bevatten hadronmodellen effectieve vrijheidsgraden gebaseerd op de

eigenschappen van gekende hadronen (gebonden quarktoestanden). Dit heeft als voordeel dat

de interpretatie van de resultaten eenvoudiger wordt. Theoretisch werkt men met effectieve

Lagrangianen die de symmetrieen van de fundamentele theorie (QCD) incorporeren.

Men gebruikt hadronmodellen om de dynamica van een reactie te beschrijven. In tegenstelling

tot lQCD en pQCD kan men het nucleonspectrum niet rechtstreeks berekenen, maar extra-

heert men resonantieparameters uit de data. De meeste hadronmodellen zijn vergelijkbaar in

hun reproductie van laaggelegen nucleonspectra, maar zodra de energie omhoog gaat, voor-

spellen ze verschillende resonanties op verschillende plaatsen. Verder heeft men te kampen

met het zogenaamde missing resonance-vraagstuk. Het constituenten-quarkmodel dat uitgaat


van een drie-quarkcompositie van een nucleon voorspelt namelijk meer nucleonresonanties dan

er tot nu toe experimenteel zijn waargenomen. Momenteel zijn er twee mogelijke antwoorden

voor het probleem: of het beeld van het nucleon opgebouwd uit drie constituenten-quarks is

fout en de CQMs bevatten niet de correcte vrijheidsgraden, of het al dan niet voorkomen van

een resonantie hangt af van de reactie waarmee men het nucleonspectrum onderzoekt. In het

eerste geval zijn de CQMs verkeerd en bestaan de resonanties niet. Quark-diquarkmodellen

of modellen gebaseerd op alternatieve symmetrieschemas zouden hier soelaas kunnen bieden

(zie Ref. [7]). In het tweede geval bestaan ze wel, maar koppelen ze sterker met bepaalde

reactiekanalen en zijn ze misschien enkel in een bepaald reactiekanaal zichtbaar (zie onder

andere Refs. [8] en [9]).

De meeste informatie over het nucleonspectrum heeft men tot nu toe gehaald uit reac-

ties met een pion-nucleon finale toestand (zoals pionfoto- en pionelektroproductie en pion-

nucleonverstrooiing) omdat deze de laagste drempelenergie hebben en de grootste werkzame

doorsnede. Men voorspelt echter dat sommige ontbrekende geexciteerde toestanden zwak

koppelen aan het N -kanaal en met een grotere waarschijnlijkheid vervallen in andere finale

toestanden zoals K, K, N , N , N of N (zie bijvoorbeeld Ref. [10]).

Voor lage energieen (zoals in de buurt van de drempelenergie en in het resonantiegebied)

kan het gerechtvaardigd worden dat men de hadronen als elementaire deeltjes beschouwt.

Naarmate men echter naar hogere energieen gaat en men dus een betere resolutie verkrijgt,

wordt de interne quark-gluonstructuur van de interagerende deeltjes zichtbaar. Elk hadrody-

namisch model faalt dan ook in het hoge energiegebied: voor mesonproductie voorspellen ze

een stijging van de werkzame doorsnede met de energie, terwijl de experimentele werkzame

doorsnede langzaam daalt (zie Fig. 1.8).

Reggefenomenologie

Om het hoge energiegedrag van de werkzame doorsnede van een mesonproductiereactie te

beschrijven, zou men dus partonische vrijheidsgraden moeten invoeren. Een veelgebruikte

methode om dit te omzeilen is via Reggefenomenologie, een theoretisch kader uitgewerkt in de

jaren vijftig door Tulio Regge (1931) [11] in de context van kwantummechanische potentiaal-

verstrooiing. Reggefenomenologie laat toe om experimenten toch te beschrijven met hadronen

in een gebied waar partonen domineren.

In het licht van mesonproductie is de belangrijkste eigenschap van deze theorie de uitwisseling

van een familie van hadronen in plaats van individuele hadronen. De familieleden hebben

alle dezelfde kwantumgetallen, behalve hun spin, die evenredig is met hun massakwadraat.


Een dergelijke lineaire relatie tussen spin en massakwadraat wordt een Reggetraject genoemd,

en de grafische representatie ervan noemt men een Chew-Frautschiplot, zie Fig. 1.10. De

lineariteit van de Reggetrajecten is niet het enige opvallende kenmerk dat men uit een Chew-

Frautschiplot kan halen. Sommige trajecten blijken zo goed als dezelfde rechte te beschrijven

en dus samen te vallen. Men noemt deze trajecten ontaard.

Figuur 1.10: Chew-Frautschi -plot, met parametrisatie zoals in [12]. De zijn de opeenvolgende -

en b1-toestanden; 4 de - en a2-toestanden, de streepjeslijn (- -) toont het -traject,de volle lijn () het -traject. De massas van de deeltjes staan tussen haakjes in GeV.

Men kan Reggefenomenologie het eenvoudigst toepassen als uitbreiding van een isobaarmo-

del, een effectief hadronmodel. Men vervangt daarbij de uitwisseling van een individueel

baryon door de uitwisseling van een Reggetraject, wat overeenkomt met het vervangen van

Feynman- door Reggepropagatoren. We nemen aan dat de amplitude die men zo verkrijgt

enkel de achtergrond beschrijft. Dit correspondeert met het feit dat er bij fotonenergieen

boven 2 a 3 GeV zoveel geexciteerde toestanden mogelijk zijn dat men door overlap geen


individuele pieken meer kan zien. Door de dualiteitshypothese, die zegt dat de som van alle

resonantiebijdragen gemiddeld gelijk is aan de som van alle mogelijke uitwisselingen van me-

sonen uit de - en -families in het t-kanaal, zou men in dit geval de amplitude gemiddeld

kunnen beschrijven aan de hand van een achtergrondmodel met uitsluitend niet-resonante bij-

dragen. Het is echter duidelijk dat men enkel in het hoge energiegebied goede resultaten mag

verwachten, aangezien de werkzame doorsnede in het lage-energiegebied structuren vertoont

die men niet kan beschrijven met alleen achtergrondtermen. Men kan dit oplossen door een

aantal Feynmandiagrammen die intermediaire excitatietoestanden N en bevatten toe te

voegen aan de Reggeamplitudes. Zo krijgt men het Regge-plus-resonantie-model (RPR) dat

aan de Universiteit Gent is uitgewerkt door ondermeer Janssen [13] en Corthals [9].

1.3 Korte schets

Het RPR-model beschrijft tot nog toe enkel reacties met open vreemdheid. Dit zijn reac-

ties waarbij de finale toestand deeltjes vertoont die strange-quarks bevatten, zoals de reactie

p K+6. Deze reacties bevinden zich door hun hoge drempelenergie (threshold) vannature uit dicht bij het hoge energiegebied waar Reggefenomenologie van toepassing is. Pion-

nucleoninteracties, zoals de reactie p +n, worden uitvoerig gebruikt om de structuurvan het nucleon en de wisselwerking (zowel sterk als elektromagnetisch) tussen hadronen be-

ter te proberen begrijpen. Door de lage massa van het pion ligt ook de drempelenergie van

dergelijke reacties een pak lager waardoor men de laaggelegen nucleonresonanties, die nog

individueel zichtbaar zijn, kan bestuderen (zie Fig. 1.8).

De uitbreiding van een isobaarmodel dat de reactie beschrijft in het resonantiegebied naar

het hoge energiegebied aan de hand van Reggefenomenologie is echter minder vanzelfspre-

kend vanwege de grote weelde aan resonanties die bij hogere energieen kunnen optreden. Men

verwacht ook dat voor N -fotoproductie de bijdrage van de achtergrond dichtbij de drem-

pelenergie veel kleiner is dan het geval is bij vreemdheidsproductie. En dan is er nog de

vraag waar dat hoge energiegebied begint. Met andere woorden: vanaf welke energie kan men

Reggefenomenologie toepassen?

Aangezien we ons in dit werk vooral concentreren op het hoge energiegebied waar de Reg-

gefenomenologie geldt, baseren we ons op het werk van Guidal, die enkele werken over pion-

fotoproductie in de Reggelimiet heeft gepubliceerd [12, 14, 15]. In tegenstelling tot Guidal,

die de verschillende parameters voorspelt of aanneemt onafhankelijk van de data, worden de

parameters van ons model echter door de data zelf bepaald. We gaan na in hoeverre Guidals

6K+: us, : uds.

1.3 Korte schets 19

voorspellingen correct waren en welke aanpassingen er moeten gebeuren om het in het RPR-

model te incorporeren.

Daarnaast bekijken we ook de dualiteitshypothese nabij de drempelenergie. Op die manier

testen we of het Reggemodel bruikbaar is als achtergrondamplitude in het RPR-model.

In Hoofdstuk 2 wordt het formalisme gebaseerd op effectieve velden dat men gebruikt om de

p(, +)n-reactieamplitude te modelleren [13], beschreven. We definieren eerst de relevante

kinematische variabelen en de verschillende observabelen, zoals werkzame doorsnedes en po-

larisaties. Vervolgens wordt het isobaarmodel uit de doeken gedaan, de traditionele aanpak

voor pionfotoproductie in het resonantiegebied. Daarna beschrijven we hoe we dit model

uitbreiden naar hogere energieen. Deze aanpak noemt men reggesatie en komt neer op het

substitueren van Reggepropagatoren, die de uitwisseling van Reggetrajecten beschrijven, in

de plaats van Feynmanpropagatoren in het t-kanaal. We bespreken ook het concept ijkin-

variantie, een noodzaak voor een geldig model. En ten slotte beschrijven we de gebruikte

methode om de parameters te bepalen en tussen verschillende mogelijk modellen te kiezen:

de Bayesiaanse analyse.

Hoofdstuk 3 toont onze resultaten in de Reggelimiet, bij voorwaartse hoeken en hoge energie,

en de vergelijking met de resultaten van Guidal [12]. We vergelijken verschillende valabele

modellen betreffende tekens van koppelingsconstanten en de fases van de Reggetrajecten. Ten

slotte gaan we dieper in op de resultaten van ons beste model en het verschil met het model

van Guidal.

In Hoofdstuk 4 tonen we een voorspelling geleverd door ons Reggemodel in het eerste reso-

nantiegebied. Op die manier testen we of het gebruik van een Reggemodel als parametrisatie

van de achtergrond in het resonantiegebied gerechtvaardigd is.

Hoofdstuk 2

Pionfotoproductie

Kwantumchromodynamica is doorheen de jaren uitvoerig getest in reacties bij zeer hoge

energieen, waar perturbatieve methoden ons toelaten een nauwkeurige benaderende oplossing

te vinden. Een exacte beschrijving van hadronische processen daarentegen kampt met een

onoverkoombaar probleem. De grootteorde van nucleonen, 1015 m, zorgt er namelijk voor dat

de sterke koppelingsconstante S te groot wordt om perturbatietheorie toe te passen. Daarom

zoeken we onze toevlucht tot een fenomenologisch model gebaseerd op twee complementaire

theoretische kaders. Enerzijds hebben we het isobaarmodel, dat algemeen wordt toegepast

in het resonantiegebied, bij energieen tot enkele GeV, en anderzijds Reggefenomenologie,

waarmee processen bij hogere energie kunnen worden gemodelleerd. Deze modellen kunnen

worden gecombineerd in het Regge-plus-resonantiemodel (RPR) van Corthals [9]. Doel van

dit werk is in navolging van Guidal [12] de reactie p(, +)n te modelleren met behulp van

Reggefenomenologie en te bekijken welke bijdrage deze parametrizatie van de de achtergrond

levert in het resonantiegebied. Dit is een eerste stap om het RPR-model uit te breiden naar

pionproductie.

2.1 Het pion in de studie van de sterke wisselwerking

Als lichtste meson (en quarkcombinatie in het algemeen) gebruikt men het pion intensief

om de sterke wisselwerking beter te proberen begrijpen. Pion-nucleoninteracties, waaronder

pion-nucleonverstrooiing, pionfotoproductie en pionelektroproductie, zijn namelijk de meest

voor de hand liggende reacties door hun lage drempelenergie en grote werkzame doorsnede

zowel qua sterke als EM-interactie, om enerzijds te modelleren en anderzijds experimenteel

te observeren.

Het gebruik van het foton als sonde heeft als extra voordeel dat er geen bijkomende interacties

22 Pionfotoproductie

optreden in de initiele toestand (initial-state interactions). De extractie van de reactiemecha-

nismen, amplitudes en betrokken koppelingsconstanten is daardoor veel eenvoudiger dan het

geval is bij hadronische sondes. De grote hoeveelheid data stelt ons anderzijds ook in staat

zware beperkingen op te leggen aan de parameters van ons model.

IG JP massa (MeV) levensduur (s) Vervalmodes

+ 1 0 139.57 2.6 108 + 1+ 1 775.5 4.4 1024

Tabel 2.1: Eigenschappen en kwantumgetallen van het + en het +, de deeltjes die in dit werk aan

bod komen. I staat voor isospin, G voor G-pariteit, J = S+L is het totale impulsmoment,

met S het intrinsieke impulsmoment of spin en L het orbitale impulsmoment, en P is de

pariteit. Het is het lichtste meson en vervalt vooral via de zwakke (99.9 %) kracht,

vandaar zijn grote levensduur. Het daarentegen heeft een veel kortere levensduur door

zijn verval in hadronen ( 100%). Data afkomstig van Particle Data Group [16].

2.1.1 Geschiedenis

In 1949 werd pionproductie aan een nucleon voor het eerst geobserveerd in Berkeley. De

daaropvolgende jaren werd de productie van + en 0 aan het proton daar en in andere

Amerikaanse universitaire onderzoekscentra, zoals Cornell en MIT, uitvoerig bestudeerd vanaf

het threshold gebied tot 500 MeV fotonenergie [17].

De studie van elektromagnetische pionproductie heeft een lange weg afgelegd. In 1956 ont-

wikkelden Chew et al. [18] de dispersietheorie voor pionfotoproductie. Effectieve Lagrangi-

aanmodellen werden later ontwikkeld door onder anderen Peccei [19] in 1969. Toepassing van

de Reggefenomenologie in pionfotoproductie werd volop uitgewerkt eind jaren 60, begin jaren

70 in de vorm van absorption, evasion, conspiracy en Regge-cuts. De komst van nieuwe expe-

rimentele faciliteiten, zoals SAPHIR/ELSA, CLAS/JLab en LEPS/SPring-8, die het mogelijk

maakten hogere energieen en andere observabelen te onderzoeken, gaf Reggefenomenologie in

de jaren 90 een nieuwe boost, zie Rahnama & Storrow [20], Guidal [12] en Vanderhaeghen

et al. [21]. Recenter heeft men werken van Yu et al. [22], Laget [23] en Sibirtsev et al. [24].

2.2 Kinematica

De reactie waar het in deze thesis om gaat is

p(pp) + (k) +(p) + n(pn), (2.1)

2.2 Kinematica 23

met tussen haakjes de vierimpulsen van de deelnemende deeltjes.

2.2.1 Center of momentum-stelsel

Het is het eenvoudigst om in het center of momentum of c.o.m.-systeem (Fig. 2.1) te werken,

waarbij het foton invalt volgens de z-as, en de y-as loodrecht op het reactievlak (x, z) staat.

De vierimpulsen van de deelnemende deeltjes zijn:

pp = (Ep,k) , p = (E,p) ,

k = (,k) , pn = (En,p) ,

met

E =

m2 + |p|

2 , En =

M2n + |p|

2 , Ep =M2p +

2 , (2.2)

en |k| = , aangezien de fotonen reeel zijn en dus voldoen aan k2 = 0. De hoek waaronderhet pion verstrooid wordt, is .

Figuur 2.1: Het center of momentum-stelsel voor de reactie + p + + n, met het (x, z)-vlak alsreactievlak en het invallende foton langs de z-as.

|p| wordt volledig bepaald door behoud van energie ( + Ep = E + En):

+M2p + ||

2 =

m2 + |p|

2 +

M2n + |p|

2. (2.3)

De differentiele werkzame doorsnede voor de (ongepolariseerde) reactie wordt gedefinieerd als

d =

1

vrel22Ep

d3p(2)3

1

2E

d3pn(2)3

1

2En(2)4(4)(pp + k p pn)

1

2

1

2

1

2

=1

M12 2,(2.4)


metM1,2 de amplitude of het matrixelement van de reactie bij een welbepaalde foton- (),proton- (1) en neutron(2)polarisatie. Om de differentiele werkzame doorsnede te bepalen

middelt men deze uit over de initiele (1 en ) en sommeert men over de finale polarisatietoe-

standen (2). In het c.o.m.-systeem wordt dit uiteindelijk (zie Bijlage B voor de afleiding):(d

d

)com

=1

642|p|

1

(Ep + )21

4

12

M12 2. (2.5)2.2.2 Ongepolariseerde amplitude

De amplitudeM kan men schrijven als J, met de polarisatievector van het foton en Jde hadronische stroom van de reactie. Zo krijgt men:

1

4

12

M12 2 = 14 12

J12 2 (2.6)=

1

4

12

J

12 J

12 . (2.7)

Experimentele resultaten worden meestal uitgedrukt in functie van de fotonenergie in het

labsysteem, E of lab, omdat het net deze energie is die wordt gemeten, of in functie van de

invariante massa. Men kan lab schrijven in functie van via een Lorentz-transformatie:

lab =

Mp( + Ep) =

Mp

( +

M2p +

2), (2.8)

waarbij de totale c.o.m.-energie, + Ep, gelijk is aan de invariante massa W .

2.2.3 Mandelstamvariabelen

Fig. 2.2 toont het s-kanaal-Feynmandiagram van een willekeurige reactie a + b c + d, enFig. 2.3 toont de twee andere tree level diagrammen: het t-kanaal- en het u-kanaaldiagram.

Daarbij geldt dat een deeltje a met vierimpuls pa als antideeltje a heeft met vierimpuls pa.

Figuur 2.2: Het directe s-kanaal van de reactie a+ b c+ d.

2.2 Kinematica 25

(a) Het t-kanaal van de reactie

a+ b c+ d.(b) Het u-kanaal van de reactie

a+ b c+ d.

Figuur 2.3: Het (a) t- en het (b) u-kanaaldiagram.

Uit deze drie diagrammen kan men drie verschillende invariante variabelen halen, benoemd

naar hun kanalen (s, t en u). Dit zijn de zogenaamde Mandelstamvariabelen:

s = (pa + pb)2, het kwadraat van de vierimpuls van het uitgewisselde deeltje in het

s-kanaal (a + b c + d), zie Fig. 2.2, en tevens het kwadraat van de totale energie inhet c.o.m. systeem, W 2.

t = (pa pc)2, het kwadraat van de vierimpuls van het uitgewisselde deeltje in hett-kanaal (a+ c b+ d), zie Fig. 2.3a.

u = (pa pd)2, het kwadraat van de vierimpuls van het uitgewisselde deeltje in hetu-kanaal (a+ d b+ c), zie Fig. 2.3b.

met pi de vierimpulsen van de deelnemende deeltjes.

In het geval van pionfotoproductie (2.1) wordt dit

s = (k + pp)2 = W 2, (2.9a)

t = (k p)2, (2.9b)

u = (k pn)2. (2.9c)


De Mandelstamvariabelen voldoen aan de relatie

s+ t+ u =i

m2i = 2m2N +m

2 (2.10)

en zijn dus niet onafhankelijk.

2.3 Observabelen

2.3.1 Differentiele werkzame doorsnede

De differentiele werkzame doorsnede d/dt is een belangrijke observabele in het mediumener-

giegebied. Substitutie van vergelijking (??) in vergelijking (2.9b) levert de volgende uitdruk-

king voor t:

t = k2 + p2 2|k|(E |p| cos ), (2.11)

en dusddt

= 2d cos dt

=2

2|p||k|. (2.12)

Vergelijking (2.5) wordt zo(d

dt

)com

=1

64

1

|k|1

(Ep + )21

4

12

M12 2. (2.13)De fysische voorwaarde 1 cos 1 geeft twee uiterste waarden voor t:

tmin,max = m2 2(

m2 + |p|2 |p|), (2.14)

en dus is t altijd negatief.

2.3.2 Fotonpolarisatie-asymmetrie

Een reeel foton heeft spin S = 1 en heliciteit = 1. Men definieert de heliciteitsbasis als

=1 = 12

(ex iey). (2.15)

Wanneer men een bepaalde fotonpolarisatie of -heliciteit bekijkt, moet vergelijking (2.6) an-

ders geschreven worden, namelijk

1

4

12

M12 2 12 12

M12=12 = 12 12

=1J12 2. (2.16)Fotonen met impuls langs de z-as kan men eenvoudig lineair polariseren parallel aan of lood-

recht op het reactievlak (x, z), bepaald door de vectoren k en p, zie Fig. 2.1:

= x = (0, 1, 0, 0), = y = (0, 0, 1, 0). (2.17)

2.3 Observabelen 27

Men kan dan de fotonasymmetrie definieren als

=d/d

() d/d()

d/d() + d/d

()

, (2.18)

met d/d() en d/d

() de differentiele werkzame doorsneden voor fotonen respectievelijk

gepolariseerd loodrecht op en parallel aan het pionproductievlak.

2.3.3 Target-polarisatie-asymmetrie

Bekijkt men een bepaalde target-polarisatie, wordt vergelijking (2.6)

1

4

12

M12 2 12 2

M1=,, 2 2, (2.19)waarbij en respectievelijk staan voor een polarisatierichting van het target-nucleon parallelen anti-parallel aan de vector k p, die volgens de y-as gericht is, zie Fig. 2.1.

De fotonasymmetrie T definieert men als

T =d/d() d/d()

d/d() + d/d(), (2.20)

met d/d() en d/d() de differentiele werkzame doorsneden voor de polarisatie respec-

tievelijk parallel en anti-parallel aan de y-as.

2.3.4 Totale werkzame doorsnede

De totale werkzame doorsnede wordt gedefinieerd als

=

d

dd = 2

d

dd cos (2.21)

met de verstrooiingshoek van het pion.

De voornaamste kenmerken van de werkzame doorsnede voor (, p) inclusief, getoond in Fig.

1.8, zijn:

Een threshold - of drempelenergie waaronder er geen pionproductie is.

Een resonantiegebied met een aantal goed zichtbare pieken. De drie duidelijkste pieken

bevinden zich bij fotonenergieen E 300, 700 en 1000 MeV (W 1230, 1550 en 1700MeV). Zoals de benaming van het gebied doet vermoeden, komen deze pieken overeen

met verschillende resonantietoestanden van het nucleon.


Een vlak gebied zonder duidelijke structuur, waarin de werkzame doorsnede langzaam

afvlakt met de energie. De afwezigheid van pieken bij E 2 GeV wil allerminst zeggendat er in dit gebied geen resonanties meer voorkomen. Integendeel, bij deze energieen

zijn er zoveel geexciteerde toestanden mogelijk dat hun overlap zorgt voor een afvlakking

van de werkzame doorsnede.

Om de resonantiepieken te kunnen verklaren, heeft men in de loop van vier decennia ver-

schillende modellen voorgesteld. Sinds de jaren 50 en 60 worden er al partiele golfanalyses

(partial wave analysis) gedaan, zie Refs. [17, 25, 26], in de de laatste decennia vooral door

Arndt et al. [27, 28, 29] (SAID). Isobaarmodellen, zoals dat van Drechsel et al. [30] (MAID),

zijn gebaseerd op een effectieve Lagrangiaan in functie van hadronische vrijheidsgraden. Men

gaat er met andere woorden vanuit dat de hadronen de elementaire vrijheidsgraden zijn, en

men laat het feit dat ze zelf zijn opgebouwd uit quarks achterwege. Deze interne structuur

kan wel deels in rekening gebracht worden met vormfactoren.

De werkzame doorsnede in het energiegebied na het resonantiegebied kan fenomenologisch

beschreven worden met behulp van het Reggeformalisme.

2.4 Isobaarmodel

Om hadronreacties te beschrijven vormen quarks en gluonen niet de geschikte vrijheidsgraden.

In een eerste benadering zijn constituentenquarks (CQs), valentiequarks omgeven (dressed)

met een wolk van gluonen en quark-antiquarkparen, hiervoor meer geschikt. Aangezien de

eigenschappen van deze vrijheidsgraden niet volledig bepaald worden door de onderliggende

fundamentele veldtheorie, zijn het effectieve vrijheidsgraden. In het resonantiegebied van de

reactie p +n ziet men echter duidelijke structuren in de werkzame doorsnede die wijzenop de productie van individuele N en resonantietoestanden. In een tweede benadering

kan men dus volledige hadronen gezien als gebonden CQ-toestanden gebruiken. Hierop

zijn isobaarmodellen gebaseerd.

2.4.1 Amplitude

Een isobaarmodel maakt gebruik van de zogenaamde tree level benadering. Het beperkt zich

tot eerste-orde Feynmandiagrammen: diagrammen met zo min mogelijk interactievertices.

De intermediaire toestanden van deze diagrammen zijn mesonen (, ,K,K, ...), baryonen

(n, p,, ...), of resonanties (N,, ...). De theoretische beschrijving gebeurt aan de hand

2.4 Isobaarmodel 29

van effectieve Lagrangianen, waarbij elk hadron aanzien wordt als een deeltje met een massa,

lading, vormfactor en koppelingsconstanten.

De amplitude van de reactie p +n bevat de laagste-ordediagrammen getoond in Fign.2.4 en 2.5. Fig. 2.4 toont de verschillende Borntermen met als uitgewisseld intermediair

deeltje een hadron in de grondtoestand. Afhankelijk van de aard van dit deeltje spreekt men

over s- (nucleon of nucleonresonantie), t- (meson) en u- (nucleon) kanaaldiagrammen.

De poolstructuur van een tree level -diagram wordt bepaald door de propagator van het uit-

gewisselde deeltje P 1q2m2 , met q de vierimpuls en m de massa van dat deeltje. Alleenin het geval van een resonantie in het s-kanaal kan deze propagator effectief door zijn pool

gaan, waardoor men uiteraard een resonante structuur krijgt in de observabelen. Bij alle an-

dere diagrammen belet behoud van energie en impuls dat de polen van de propagator worden

bereikt. Zij vormen de zogenaamde achtergrondbijdragen.

De gebruikte Lagrangianen en propagatoren zijn gegeven in Bijlage C. Zie ook Guidal [12] en

Janssen [13] voor meer achtergrond.

(a) s-kanaal (b) t-kanaal (c) u-kanaal

Figuur 2.4: Borntermen.


(a) s-kanaal (b) t-kanaal (c) u-kanaal

Figuur 2.5: Niet-Borntermen.

2.4.2 Beperkingen

Effectieve-veldentheorieen zoals het isobaarmodel zijn meestal niet unitair. Unitariteit is

verbonden met behoud van waarschijnlijkheid. Het feit dat dit niet behouden wordt, is een

serieus nadeel voor dergelijke modellen.

Aangezien men zich beperkt tot eerste-ordediagrammen worden hogere-ordemechanismen,

zoals kanaalkoppelingen (channel couplings) en interacties tussen de deeltjes in de finale toe-

stand, genegeerd. Deze mogelijk beduidende effecten kunnen wel geabsorbeerd worden in

de effectieve koppelingen. De bekomen waarden moeten dus gezien worden als dressed of

geklede resultaten.

2.5 Reggeformalisme

Om pionfotoproductie te beschrijven vanaf het hoge energiegebied is het isobaarmodel niet

optimaal. Het voldoet immers niet aan de zogenaamde Froissart-grens, een nodige voorwaarde

voor unitariteit. Dit criterium stelt een bovengrens op voor het hoge-energiegedrag van een

werkzame doorsnede van een verstrooiingsproces: de totale werkzame doorsnede kan namelijk

niet sneller stijgen met de energie dan log2(ss0

). In een isobaarmodel stijgt de bijdrage van

de achtergrond echter met een positieve macht van s [13]. Tot een bepaalde energie wordt dit

gecompenseerd door destructieve interferentie met de resonante diagrammen, maar zodra de

c.o.m.-energie hoger is dan enkele GeV krijgt men te maken met niet-fysisch gedrag.

In 1959 stelde Regge [11] voor om in het kader van niet-relativistische potentiaalverstrooiing

het impulsmoment l te beschouwen als een complexe variabele. Hij toonde aan dat dit name-

2.5 Reggeformalisme 31

lijk bepaalde dispersie-eigenschappen van de verstrooiingsamplitudes kon verklaren. Enkele

jaren later bleek dat men deze methode ook in de hoge-energiefysica kon gebruiken met zeer

goede resultaten tot gevolg. In de jaren 60 en 70 werd Reggetheorie vooral in het domein

van mesonproductie aan nucleonen bestudeerd, zie bijvoorbeeld Childers & Holladay [31],

Cooper [32] en Halpern [33] voor pionfotoproductie, Ebata & Lassila [34] voor pionelektro-

productie, en Ball et al. [35] voor kaonfotoproductie. Door de alsmaar hogere energieen die

versnellers kunnen bereiken, heeft het Reggeformalisme de afgelopen twee decennia een boost

gekregen. Zie vooral Rahnama & Storrow [20], Donnachie & Landshoff [36], Guidal et al. [14]

en Corthals et al. [37], [9].

2.5.1 Schets van de Reggeamplitude-afleiding

De amplitude van een bepaalde reactie a+b c+d kan geschreven worden als een Legendre-reeks, de zogenaamde decompositie in partiele golven (partial wave decomposition):

Mabcd(s, t) =l=0

(2l + 1)Ml(s)Pl(cos s), (2.22)

met l het totale orbitale impulsmoment van de reactie, Ml(s) de partiele golfamplitudes en

Pl(cos s) de sferische harmonieken.

Men kan cos s schrijven in functie van de Mandelstam-variabelen s en t:

cos s = 1 +2t

s

im2i

, (2.23)

met mi de massas van de deelnemende deeltjes. Uitdrukking (2.22) is geldig in het fysische

gebied van het directe proces a+ b c+d, het s-kanaalproces, zie Fig. 2.2, waarin geldt dat:

s i

m2i , 1 cos s +1 of t tmax, (2.24)

waarbij volgens (2.14) tmax < 0.


Figuur 2.6: Het Mandelstamvlak voor een reactie a + b c + d, waarbij de massas mi van dedeelnemende deeltjes gelijk zijn verondersteld. De ingekleurde gebieden zijn de fysische

gebieden voor de s-, t- en u- kanaalprocessen; de pijlen geven de richting aan van stijgende

Mandelstamvariabelen; en de streepjeslijnen geven de drempelenergie van 4m2. Merk op

dat slechts twee van de drie Mandelstamvariabelen onafhankelijk zijn. Figuur uit [13].

Volgens crossing symmetry beschrijft dezelfde amplitude M(s, t) ook de fysica achter hetgekruiste proces a + c b + d. Meer specifiek is Ms(s, t) =Mt(t, s). In dat geval moet deamplitude in een ander deel van het Mandelstamvlak beschouwd worden:

Macbd(t, s) =l=0

(2l + 1)Ml(t)Pl(cos t), (2.25)

met

cos t = 1 +2s

t

im2i

. (2.26)

Stel nu dat het gekruiste t-kanaalproces a + c b + d gedomineerd wordt door een enkelepool, met spin l en massa ml. Dan wordt de amplitude gedomineerd door de overeenkomstige

partiele golf Ml(t) en kan M(s, t) benaderd worden als

M(s, t) gac(t)gbd(t)tm2l

Pl(cos t) (2.27)

met gac(t) en gbd(t) de vertexfuncties.

2.6 Reggesatie 33

Als men deze amplitude ze wil toepassen in het s-gebied moet men goed opletten voor niet-

fysisch divergent gedrag. Het is duidelijk dat wanneer (t, s) in het fysische gebied van het

t-kanaalproces

t i

m2i , 1 cos t +1 of s smax, (2.28)

met smax < 0, ligt (s, t) niet in het fysische domein van het s-kanaalproces ligt. Men verlaat

met andere woorden het convergentiegebied van de partiele-golfdecompositie van het t-kanaal

wanneer men deze toepast in gebied van het s-kanaal. Door de amplitudeMt echter analytischuit te breiden van het fysische gebied van het t-kanaal naar dat van het s-kanaal, kan men de

amplitude van het directe proces verkrijgen.

Praktisch kan men dit doen door eerst over alle partiele golven van het t-kanaal te sommeren

alvorens men de amplitude evalueert in een andere gebied van het Mandelstamvlak. Regge

stelde voor om de oneindige som over de discrete impulsmoment-eigenwaarden te vervangen

door een contourintegraal over het complexe-impulsmomentvlak. Men noemt dit ook de

Sommerfeld-Watsontransformatie (SW). Aangezien deze transformatie alle partiele golven in

rekening brengt, is de amplitude niet beperkt tot de uitwisseling van enkele gesoleerde polen,

maar wordt een hele familie deeltjes met dezelfde interne kwantumgetallen1, met uitzondering

van de spin, uitgewisseld. Om de wiskunde te vereenvoudigen, beperkt men zich meestal tot

de Reggelimiet: hoge s en kleine, negatieve t. Voor gedetailleerde afleidingen verwijzen we de

lezer naar de appendices van Guidal [12], Janssen [13] of Corthals [9].

2.6 Reggesatie

De reggesatie van de amplitudes verkregen in een isobaarmodel komt neer op het vervangen

van de Feynmanpropagator 1s/t/um2 in het s/t/u-kanaal door een Reggepropagator, die de

uitwisseling in het s/t/u-kanaal van een traject (een familie) van deeltjes met verschillende

spin voorstelt. Een Reggepropagator heeft bijgevolg polen voor alle deeltjes van dit traject,

terwijl een Feynmanpropagator slechts een enkele pool heeft voor een individueel deeltje. De

Reggepropagator voor elke traject wordt zo geconstrueerd dat hij gelijk is aan de isobaar-

Feynmanpropagator in de pool die overeenkomt met de eerste materialisatie van het traject

(het deeltje met de laagste spin en massa).

1Interne kwantumgetallen zijn afkomstig van interne symmetrieen zoals behoud van lading Q, baryon-

getal B, leptongetal L, vreemdheid S, hyperlading Y en isospin I.


In deze thesis beperken we ons tot t-kanaal-reggesatie. Merk op dat men in het fysische

s-kanaal t < 0 heeft. De individuele t-kanaalpolen worden met andere woorden nooit bereikt.

2.6.1 Spinloze deeltjes

De algemene vorm van de Reggeamplitude in het t-kanaal voor een spinloze eerste materiali-

satie is

M(s, t) = C

(s

s0

)(t)(t)

1

sin((t))

1 + ei(t)

2

1

(1 + (t)). (2.29)

Hierbij is (t) = J het zogenaamde Reggetraject dat de spin van een fysiek deeltje verbindt

met zijn massakwadraat. Zo is bijvoorbeeld (t = 0.7752 GeV2) = 1. Wanneer men dit

verband uitzet in een zogenaamde Chew-Frautschi -plot (zie Fig. 1.10), ziet men dat een

Reggetraject benaderd kan worden door een lineaire functie met algemene vergelijking

(t) = 0 + (tm20), (2.30)

waarbij 0 de spin is van de eerste materialisatie van het traject, m0 zijn massa, en het

blijkt dat 0.9 GeV2 voor de meeste trajecten. Voor lage impulstransfers |t| kan men delineaire benadering voor positieve t extrapoleren naar het negatieve t-gebied. Men hoopt dat

dit lineair gedrag met de bijna-universele constante als helling een maat is voor het gedrag

van de onderliggende quark/gluon-vrijheidsgraden van het nucleonspectrum.

We lichten nu de verschillende factoren in (2.29) toe:

1sin((t)) heeft polen bij gehele waarden van (t). Deze term is dus vergelijkbaar met1

tm2 in de Feynmanpropagator, alleen ziet men nu duidelijk dat het niet bij die ene

pool met massa m blijft, maar dat een serie polen (overeenkomstig met fysieke deeltjes)

wordt doorlopen.

De gammafunctie (x) wordt oneindig bij negatieve gehele waarden (en 0) van x (zie

Fig. 2.7). De factor 1(1+(t)) heeft dus nulpunten bij (t) = 1,2, . . . . Deze fe-nomenologische term elimineert bijgevolg de polen van 1sin((t)) overeenkomstig met

niet-fysische deeltjes ((t) < 0) in het traject, de zogenaamde nonsense-polen.

(ss0

)(t)bepaalt het asymptotisch gedrag in s van de Reggepool. De schaalfactor s0

wordt gebruikt om de factor dimensieloos te maken, en wordt meestal gelijkgesteld aan

1 GeV2. Voor t < 0 is (t) strikt negatief alleszins voor n = 0 wat leidt tot een

amplitude die daalt met de energie.

2.6 Reggesatie 35

Figuur 2.7: De gammafunctie (x).

1+ei(t)

2 , met = 1, is de zogenaamde signatuurfactor. = +1 komt overeen met deeven, en = 1 met de oneven partiele golven. Voor = +1 en oneven (t)-waardenwordt de teller namelijk 1+ei(2n+1) en is deze factor 0. Zo worden de oneven-spinpolen

van 1sin((t)) weggewerkt, en de Reggepropagator van een even-pariteitstraject heeft

dus enkel polen bij even waarden van (t). Analoog heeft de Reggepropagator van een

oneven-pariteitstraject enkel polen bij oneven waarden van (t).

C is een tot nader onbekende constante. Men kan C bepalen aan de hand van devergelijking van de Reggeamplitude met de Feynmanamplitude dicht bij de pool t =

m20 . In dat geval wordt de factor1

sin((t)) gelijk aan1

(tm20 ) cos(0)en dus evenredig

met de Feynmanpropagator. Met 0 = 0 wordt (2.29)

M(s, t) = C(t) 1(tm20)

. (2.31)

Als men nu de Reggeamplitude definieert als MRegge = PRegge (t), met (t) gelijkaan de residu van de Feynmanamplitude bij de pool, krijgt men

PRegge =C

(tm20)(2.32)

wat gelijk moet zijn aan de Feynmanpropagator

PFeynman =1

tm20. (2.33)


Dus moet C = .

Men vervangt in de Feynmanamplitude voor 0-uitwisseling enkel de 1tm20-propagator

door de bovenstaande Reggepropagator PRegge en behoudt de operatorstructuur vande vertices bepaald door middel van een effectieve Lagrangiaan. Als residu van de

Feynmanamplitude vertegenwoordigt (s, t) de koppeling van een uitgewisseld deeltje

met de externe deeltjes. Men kan voor de reactie a+ b c+ d

(s, t) = ac(s, t) bd(s, t) (2.34)

schrijven, waarbij men gebruik heeft gemaakt van factorisatie van een Feynmandiagram,

zie Fig. 2.8:

M ac P bd. (2.35)

ac en bd zijn met andere woorden de vertexfuncties en hangen enkel af van respec-

tievelijk de deeltjes a en c, en b en d. Het residu (s, t) bevat zowel de vertexkoppe-

lingsconstanten voor de eerste materialisatie van het uitgewisselde traject aangezien

de Reggeamplitude gelijk moet zijn aan de Feynmanamplitude voor de eerste materiali-

satie als de externe deeltjes en de structuur van de twee vertices. Deze functie is met

andere woorden dezelfde voor een heel traject, enkel de propagator (het uitgewisselde

deeltje) verandert.

Figuur 2.8: Factorisatie van een Feynmandiagram voor de reactie a+ b c+ d.

Hier werd het diagrammatisch recept van Guidal [12] overgenomen omdat de interpre-

tatie ervan eenvoudiger is. Niet elk Reggemodel neemt echter aan dat de residufunctie

2.6 Reggesatie 37

(t) de vertexkoppeling bevat. Yu et al. [22] en Sibirtsev et al. [24], onder anderen,

gaan ervan uit dat (t) bestaat uit kinematische factoren die de nullen van sin(t)

bij negatieve gehele waarden van (t) elimineren plus een aantal parameters die gefit

worden aan de data. Deze parameters zijn echter moeilijk in verband te brengen met

de vertexkoppelingsconstanten en maken het model bovendien complexer.

De stijging met de energie van de vertexfuncties in (s, t) wordt in de Reggeamplitude ge-

compenseerd door de daling met energie van de term(ss0

)(t), en de problematische stijging

van de amplitude voor stijgende s van isobaarmodellen wordt hiermee vermeden.

2.6.2 Ontaarde trajecten

Wanneer de even- en oneven-pariteitstrajecten (t) van een bepaald deeltje zo dicht bij me-

kaar liggen dat ze zo goed als hetzelfde zijn, zijn de trajecten ontaard. Als men naar Fig. 1.10

kijkt, bijvoorbeeld, ziet men dat het -traject ogenschijnlijk even en oneven spintoestanden

bevat. Het -traject () en het b1-traject (+) zijn ontaard.

Of een traject al dan niet ontaard is, is theoretisch niet uit te maken. Maar fenomenologisch

ziet men dat als een niet-ontaard traject een proces domineert, de differentiele werkzame

doorsnede nulpunten of minima vertoont. Bij voorwaartse hoeken is in de werkzame doorsnede

voor p n+ zon structuur niet te zien, en dus veronderstelt men dat de even ((t)+ =0, 2, 4, . . . ) en oneven ((t) = 1, 3, 5, . . . ) signatuurdelen van de - en - trajecten volledig

ontaard zijn.

We veronderstellen dat behalve de trajecten ook de vertexfuncties identiek zijn, de trajecten

zijn met andere woorden sterk ontaard. De amplitude voor het traject even of oneven met

de hoogstgelegen eerste materialisatie heeft dan dezelfde vorm als het andere traject one-

ven/even met de laagstgelegen eerste materialisatie. Deze laagstgelegen eerste materialisatie

wordt meteen de eerste materialisatie van het hele ontaarde traject. Een bijkomende parame-

ter is het relatieve teken positief of negatief tussen de even- en oneven-pariteitstrajecten.

De som van de twee ontaarde trajecten geeft namelijk

M(s, t) =

(s

s0

)(t)(t)

1

sin((t))

(1 of ei(t)

2

)

(1 + (t) n), (2.36)

aangezien

1 + ei(t)

2 1 e

i(t)

2=

1ei(t) . (2.37)


Men spreekt van een constante fase (1) of een roterende fase (ei(t)) voor de Reggepropa-

gator van een ontaard traject.

2.6.3 Deeltjes met intrinsieke spin

Men merkt op dat enkel in het geval 0 = 0, dus voor een scalair deeltje, de Reggeamplitude

(2.29) gelijk kan worden aan de Feynmanamplitude. Anders blijft er een factor s0 over in

de limiet t m2 en gaat bovenstaande redenering niet op. De amplitude (2.29) moet dusaangepast worden voor trajecten met als eerste materialisatie een deeltje met spin niet gelijk

aan nul, zoals het -traject. Praktisch kan men dit op twee manieren doen: (t) overal

vervangen door (t) 0, zoals Janssen [13]:

M(s, t) =

(s

s0

)(t)0(t)

1

sin((t) 0)1 + ei((t)0)

2

C(1 + (t) 0)

, (2.38)

of enkel in de ss0 -factor en in de -functie, zoals Guidal [12]:

M(s, t) =

(s

s0

)(t)0(t)

1

sin((t))

1 + ei(t)

2

C(1 + (t) 0)

. (2.39)

In de limiet t m2 valt de factor in s weg en verdwijnt derhalve de s-afhankelijkheid. Determen 1sin((t)) en

1sin((t)0) hebben nog steeds polen bij alle integere (t), maar de

1(1+(t)0) -functie heeft nu nulpunten bij (t) = n 1, n 2, . . . en elimineert dus iederepool waarvoor (t) < n. De fasefactor zorgt er op zijn beurt opnieuw voor dat de propagator

enkel polen heeft bij even (t)-waarden voor = +1, en bij oneven (t)-waarden voor = 1.

Voor vectormesonen (0 = 1) zoals het -meson geeft de factor sin( ) = sin() eenextra minteken. In het geval van een ontaard traject met een roterende fase heft de extra

factor ei = 1 dit extra minteken echter op en is er dus geen verschil tussen de tweemethoden. Een constante fase behoudt echter het relatieve minteken, en in het geval van een

niet-ontaard traject geeft de methode van Janssen niet de correcte polen.

Guidal [12] neemt uit het niets aan dat zowel het -traject als het -traject ontaard zijn met

roterende fasen. Uit kaonfotoproductie [9] blijkt echter dat het mogelijk is dat een van de twee

dominante trajecten constant is. In dit werk wordt daarom op voorhand niks verondersteld

over de fasen. Met behulp van een Bayesiaanse analyse, zie deel 3.3, zullen we bepalen of de

trajecten roterend of constant zijn. In ons werk worden de fasen met andere woorden bepaald

door de data.

2.7 IJkinvariantie 39

2.7 IJkinvariantie

Het probleem is dat het eenvoudige Reggemodel van hierboven met enkel t-diagrammen niet

ijkinvariant is. IJkinvariantie of gauge invariance is echter een fundamentele symmetrie en

komt overeen met behoud van lading. Elk realistisch model moet met andere woorden het

behoud van ijkinvariantie kunnen garanderen.

Hoe kunnen we nu ijkinvariantie opleggen aan ons model?

Een fotonveld bezit drie polarisatievrijheidsgraden. Een reeel foton heeft echter maar twee

polarisatietoestanden. We ku

Het Regge-Plus-Resonantie model voor pion- en ...inwpent5.ugent.be/docs/theses/SamAerts.pdf ·...

Documents

Transcript of Het Regge-Plus-Resonantie model voor pion- en ...inwpent5.ugent.be/docs/theses/SamAerts.pdf ·...