Herhaling kansrekenen ?!?Voor het bereken van kansen moet je weten hoeveel mogelijke uitkomsten er zijn voor het gekozen experiment en vervolgens hoeveel van deze uitkomsten er gunstig zijn.

Hiervoor is het goed als je handig kan tellen en de rekenformules van de combinatoriek goed kent en beheerst. Het volgende schema kan hier handig bij zijn

Herhaling toegestaan

Herhaling niet toegestaan

Volgorde niet van belang

Volgorde wel van belang

nPr

nCr

kn)!(

!

kn

n

)!(!

!

knk

n

k

n

k

kn 1

•Permutatie (volgorde) :Een eerder gekozen element n mag niet weer gekozen worden. De volgorde van de gekozen k elementen maakt wel uit.•Herhalings permutatie : Een eerder gekozen element n mag wel weer gekozen worden. De volgorde van de gekozen elementen k maakt wel uit.•Combinatie (groepje) :Een eerder gekozen element mag niet weer gekozen worden. De volgorde van de gekozen elementen k maakt niet uit.•Herhalingscombinatie:Een eerder gekozen element mag wel weer gekozen worden. De volgorde van de gekozen elementen k maakt niet uit.

Voorbeelden

•Pin code•Afspelen van 9 nummers van een CD•Toto voor een competitie met 13 wedstrijden•Voorzitter,secretaris en penningmeester van vereniging bestaande uit 28 leden•Groepsvertegenwoordiging van 3 uit 28•Bestellen opnemen van een ober van 3 mensen met een keuze uit 4 dranken•Gironummers bestaande uit 8 cijfers die niet met een nul mogen beginnen•Scoreverloop van een voetbalwedstrijd met eind uitslag 4-6•Meerkeuze(4) toets bestaande uit 15 vragen •Verdeling van de kaarten bij klaverjassen•4 rings’combinatieslot ‘ ?!?

4

15

7

13

4

10

!8!8!8!8

!32

4

4

1064

109

363

314

328

3Pr28

3

!9

10

uitslag

nCr

nCr

n

Kansen en combinaties Is bij het kiezen van 4 dingen uit 7 dingen de volgorde niet van belang, dan spreken we van het aantal combinaties van 4 uit 7

Het aantal combinaties van 4 uit 7 noteren we als

Spreek uit : 7 boven 4

Het aantal manieren om k dingen uit n dingen te kiezen zonder op de volgorde te letten, dus het aantal combinaties van r uit n,

is

7 4

n k

9.1

Kansen en combinaties

Ook bij het pakken van knikkers uit een vaas heb je met combinaties te maken.P(2r, 2w, 1b) = ?Volgens de kansdefinitie van Laplace is die kans

Het aantal mogelijke uitkomsten is het aantal manieren om 5 knikkers uit de totaal 15 knikkers te pakken.

Dat kan op manieren.

Het aantal gunstige uitkomsten is het aantal manieren om 2r uit de 8r, 2w uit 4w en 1b uit 3b te pakken.

Dat kan op

P(4r, 1w, 2b) = ≈ 0,168

aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten

15 5

8 2

4 2

3

18 2

4

2

3 1

15 5

. .

manieren

8+4+3=15

2+2+1=5

P(G) =

. .

9.1

Vaas met 3 Rode 6 Blauw en 7 witte knikkers.Wat is de kansverdeling voor X= aantal Blauwe knikkers als Eline 3 knikkers pakt?

P(0 blauw) =

P(1 blauw) =

P(2 blauw) =

P(3 blauw) =

103

16 3

≈

opgave 5

102

16 3

≈

101

16 3

≈

100

16 3

≈

6 1

6 2

6 3

Het vaasmodelBij veel kansberekeningen kan het handig zijn het kansexperiment om te zetten in het pakken van knikkers uit een geschikt samengestelde vaas vaasmodel

9.1

probleemGloeilampen in dozen van 20 stuks.Willekeurig worden 4 lampen uit de doos gecontroleerd.Alle 4 goed dan wordt de doos goedgekeurd.In een doos zitten precies 2 defecte lampen.

vaasmodelVaas met 20 knikkers waarvan 2 rood (de defecte lampen) en 18 groen.

antwoord

P(goedkeuring) = P(4 goed) =

18 4

20 4

≈ 0,632

opgave 9

probleem500 appels wordt verpakt in 20 dozen van elk 25 stuks.Bij deze 500 appels zijn er 10 met een rotte plek.Bereken de kans dat alle appels in de doos gaaf zijn.

vaasmodelVaas met 500 knikkers waarvan 10 rood (de appels met een rotte plek) en 490 groen, je pakt 25 knikkers uit de vaas.

antwoord

P(alle appels gaaf) = P(geen rode) =

490 25

500 25

≈ 0,596

opgave 10

probleemIn een restaurant zijn bij de ingang 20 kapstokken.Er komt een gezelschap van 18 personen binnen.Willekeurig worden de jassen opgehangen.Hoe groot is de kans dat de kapstokken 3 en 12 leeg blijven.

vaasmodelVaas met 20 knikkers waarvan 2 rood (de nummers 3 en 12) en 18 groen.

antwoord

P(3 en 12 blijven leeg) =

2 0

20

18

≈ 0,005

18

18

.

opgave 11

De somregel

Als de gebeurtenissen geen gemeenschappelijke uitkomsten hebben,

dus als de gebeurtenissen elkaar uitsluiten dan geldt de somregel .Hebben twee gebeurtenissen wel gemeenschappelijke uitkomsten,dan geldt de somregel niet. Zo is als we kijken naar het aantal ogen bij het gooien van tweedobbelstenen P(som is 4 of product is 4) niet gelijk aan,P(som is 4) + P(product is 4) want de gebeurtenissen ‘som is 4’ en ‘product is 4’ hebben de uitkomst gemeenschappelijk

Voor elkaar uitsluitende gebeurtenissen G1 en G2

geldt de somregel:

P(G1 of G2) = P(G1) + P(G2)

9.2

In een vaas zitten 4 rode, 2 blauwe en 4 groene knikkers,Nancy pakt 3 knikkers uit de vaas.a P(2 of 3 rood) = P(2 rood) + P(3 rood)

b P(minder dan 2 groen) = P(0 groen) + P(1 groen)

4

210 3

6

1.

4

310 3

6

0.

= + ≈ 0,333

4 0

10 3

6

3.

4

1

10 3

6

2.

= + ≈ 0,667

opgave 20

De complementregel

P(gebeurtenis + P(complement-gebeurtenis) = 1

P(gebeurtenis) = 1 – P(complement-gebeurtenis)

P(minder dan 8 witte) = P(0 w) + P(1 w) + P(2 w) + P(3 w) +P(4 w) + P(5 w) + P(6 w) + P(7 w) = 1 – P(8 witte)

9.2

Vaas met 60 knikkers waarvan 4 rood (de glazen met een barst).Aafke pakt 12 knikkers (de doos met de 12 glazen).

a P(minstens 1 glas met barst) = 1 – P(geen glas met een barst)

= 1 –

b P(alle kapotte glazen in de doos) =

60 12

56 12

≈ 0,601

4 4

60 12

56 8

.≈ 0,001

opgave 29

9.2

Vaas met 30 knikkers waarvan 20 rood (minder dan 10 km van school).P(minstens 6 minder dan 10 km van school) = P(6) + P(7) + P(8)

=

20 6

30 8

10 2

. 20 7

30 8

10 1

.

+ ≈ 0,452

20 8

30 8

10 0

.

+

opgave 35a

Vaas met 30 knikkers waarvan 12 rood (de jongens).P(minder dan 7 jongens) = 1 – (P(7 jongens) + P(8 jongens))

=

12 7

30 8

18 1

. 12 8

30 8

18 0

.

+

opgave 35b

Vaas met 30 knikkers waarvan 13 rood.(de meisjes die minder dan 10 km van school wonen)P(3 meisjes die minder dan 10 km van school wonen)

=

13 3

30 8

17 5

≈ 0,302

opgave 35c

De productregelVoor de gebeurtenis G1 bij het ene kansexperiment en de

gebeurtenis G2 bij het andere experiment geldt :

P(G1 en G2) = P(G1) · P(G2)

9.3

KansbomenBij het uitvoeren van 2 of meer kansexperimenten kun je een kansboom gebruiken.Je gaat als volgt te werk :• Zet de uitkomsten bij de kansboom.• Bereken de kansen van de uitkomsten die je nodig hebt.• Vermenigvuldig daartoe de kansen die je tegenkomt als je de kansboom doorloopt

van START naar de betreffende uitkomst.

9.3

Draaiende schijven

Welke kansboom hoort er bij het draaien van de schijven?

Oefenopgave 1

a P(ba,ba,ba) = 2/4 × 1/3 × 1/4= 2/24 ≈ 0,083

b P(ke,ke,ke) = 1/4 × 1/3 × 1/2 = 1/24 ≈ 0,042

c P(ci,ci,ba) = 1/4 × 1/3 × 1/2= 1/24 ≈ 0,042

d P(ci,ci,ci) = 1/4 × 1/3 × 0= 0

opgave 2

a P(geen banaan) = P(bbb)

= 2/4 × 2/3 × 3/5= 12/60 = 0,2

b P(2 citroenen en 1 banaan)= P(ccb) + P(cbc) + P(bcc)= 1/4 × 1/3 × 2/5 + 1/4 × 1/3 × 2/5 + 2/4 × 1/3 × 2/5= 8/60 ≈ 0,133

c P(3 dezelfde) = P(bbb) + P(ccc) + P(kkk)= 2/4 × 1/3 × 2/5 + 1/4 × 1/3 × 2/5 + 1/4 × 1/3 × 1/5= 7/60 ≈ 0,117

d P(2 keer kersen) = P(kkk) + P(kkk) + P(kkk)= 1/4 × 1/3 × 4/5 + 1/4 × 2/3 × 1/5 + 3/4 × 1/3 × 1/5= 9/60 = 0,15

e P(1 banaan) = P(bbb) + P(bbb) + P(bbb)= 2/4 × 2/3 × 3/5 + 2/4 × 1/3 × 3/5 + 2/4 × 2/3 × 2/5= 26/60 ≈ 0,433

Een experiment 2 keer of vaker uitvoeren

Het 4 keer gooien met een dobbelsteen is een voorbeeld van het herhaald uitvoeren van hetzelfde kansexperiment.Ook in zo’n situatie gebruik je de productregel om kansen teberekenen.

De productregel gebruik je ook als je hetzelfde kansexperiment 2 of meer keren uitvoert.

9.3

Oefen opgave 3

a P(3 rode) = P(r r r)= 2/5 × 2/5 × 2/5 = 0,064

b P(geen rode) = P(r r r)= 3/5 × 3/5 × 3/5 = 0,216

c P(2 rood en 1 blauw) = P(r r b) + P(r b r) + P(b r r)= 3 × 2/5 × 2/5 × 1/5 = 0,096

d P(2 rood) = P(r r r) + P(r r r) + P(r r r)= 3 × 2/5 × 2/5 × 3/5 = 0,288

= · (2/5)2 · (3/5)1

2 rood van de 53 niet rood van de 52 rood van de 5

1 blauw van de 5

2 rood van de 5

3 niet rood van de 5

De schijf wordt drie keer rondgedraaid.

31

opgave 46De kansen dat ze op rood staan is achtereenvolgens 0,4 ; 0,7 en 0,2.a P(3 keer doorlopen)

= P(r, r, r)= (1 - 0,4) x (1 - 0,7) x (1 - 0,2)= 0,144

b P(één keer wachten, niet voor de derde)= P(r, r, r) + P(r, r, r)= (0,4 x 0,3 x 0,8) + (0,6 x 0,7 x 0,8)= 0,432

- - - -

- - -

a P(tweejarige wordt 4)= 0,40 x 0,25 = 0,1

b P(pasgeboren muis gaat op driejarige leeftijd dood)= 0,42 x 0,60 x 0,40 x (1 – 0,25)≈ 0,076

c P(pasgeboren muis wordt geen 3 jaar)= 1 – P(pasgeboren muis wordt 3 jaar)= 1 – 0,42 x 0,60 x 0,40≈ 0,899

leeftijd in jaren 0 1 2 3 4

kans 0,42 0,60 0,40 0,25 0,05

opgave 48

Experimenten herhalen totdat succes optreedt

In het volgende voorbeeld pak je één voor één knikkers uit de vaas met 3 rode en 5 witte knikkers. Je gaat net zo lang door tot je een rode knikker pakt. Elke keer pak je als het ware uiteen nieuwe vaas. De kansen in de kansboom veranderen daardoorper keer.

9.3

a P(Sanne wint in 2 sets)= P(SaSa)= 0,6 · 0,6= 0,36

b P(Johan wint de 1e en Sanne de volgende twee sets)= P(JSS)= 0,4 · 0,6 · 0,6= 0,144

c P(de partij duurt 3 sets)= P(SJS) + P(SJJ) + P(JSS) + P(JSJ)= 0,6 · 0,4 · 0,6 + 0,6 · 0,4 · 0,4 + 0,4 · 0,6 · 0,6 + 0,4 · 0,6 · 0,4= 0,48

opgave 60

start

S

S

S

S

S

S

S

S

toelatings- examen

eerste herkansing

tweede herkansing

derde herkansing

0,6

0,4

0,3

0,3

0,3

0,7

0,7

0,7

a P(bij de 2e herkansing slagen)= P(S S S)= 0,4 · 0,7 · 0,3 = 0,084

b P(definitief afgewezen)= P(S S S S)= 0,4 · 0,7 · 0,7 · 0,7 ≈ 0,137

opgave 62

opgave 65

Kansen en formules

In vaas I zitten 11 knikkers. Daarvan zijn er x rood. De rest is zwart.In vaas II zitten 6 knikkers. Daarvan zijn er x rood. De rest is zwart.

a P(rr) =

b P(zr) =

c Voer in y1 =

Maak een tabel:Je ziet dat dat y1 maximaal 0,4545 is bij x = 5 en x = 6.

Dus bij 5 rode en 6 zwarte knikkers in vaas I en5 rode en 1 zwarte knikker in vaas II.En bij 6 rode en 5 zwarte knikkers in vaas I en6 rode en geen zwarte knikkers in vaas II.

2

11 6 66

x x x

211 (11 ) 11

11 6 66 66

x x x x x x

211

66

x x

Trekken met en zonder terugleggen

9.4

a P(2r) = P(2r en 3w) = ≈ 0,417

b P(2r) = P(2r en 3w) = ≈ 0,316

c P(2r) = P(2r en 3w) = ≈ 0,309

d P(2r) = P(2r en 3w) = ≈ 0,309

32

73

105

302

703

1005

3002

7003

10005

.

.

.

opgave 73

30002

70003

100005

.

9.4

Kleine steekproef uit grote populatie

Bij een kleine steekproef uit een grote populatie mag jetrekken zonder terugleggen opvattenals trekken met terugleggen.

9.4

opgave 75

a P(geen bijtende stoffen) = 0,8510 ≈ 0,197

b P(8 brandende en 2 bijtende) = · 0,608 · 0,152 ≈ 0,017

c P(minstens 9 brandbare) = P(9 brandbare) + P(10 brandbare)

= · 0,609 · 0,40 + 0,6010 ≈ 0,046

108

109

9.4

opgave 79

a P(één van de twee) = · 0,18 · 0,82 ≈ 0,295

b P(minstens 2 van de 8) = 1 – P(0 of 1) = 1 – (P(0) + P(1))

= 1 – (0,828 + · 0,18 · 0,827) ≈ 0,437

c 20% van 85 is 0,2 · 85 = 17

P(17 van de 85) = · 0,1817 · 0,8268 ≈ 0,096

21

81

8517