Wiskunde In zicht

een cursus wiskunde voor

studierichtingen met component wiskundederde graad algemeen secundair onderwijs

geschreven door

Koen De Naeghel

Deel XIV Kansrekenen 2 en verklarende statistiek

06/08/2015

Wiskunde In zicht

een cursus wiskunde voor

studierichtingen met component wiskundederde graad algemeen secundair onderwijs

geschreven door

Koen De Naeghel

Deel XIV Kansrekenen 2 en verklarende statistiek

CREATIVE COMMONS

Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0(CC BY-NC-SA)

Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie.De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode

De gebruiker mag:

het werk kopieren, verspreiden en doorgevenRemixen - afgeleide werken maken

Onder de volgende voorwaarden:

Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam tevermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik vanhet werk).Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerciele doeleinden gebruiken.Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfdelicentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.

Met inachtneming van:

Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden metvoorafgaande toestemming van de rechthebbende.Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijkewetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze beınvloed door de licentie.Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht:

• Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet.

• De morele rechten van de auteur.

• De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals hetportretrecht of het recht op privacy.

Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aanderden. De beste manier om dit te doen is door middel van een link naar de webpaginahttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/ .

Gepubliceerd door: Online uitgever Lulu.com

Auteursrecht omslagfoto: stylephotographs/123RF Stockfoto http://nl.123rf.com/profile stylephotographs

Tekstzetsysteem: LATEX

Royalty percentage: 0%

c© 2013 Koen De Naeghel

Gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0

Druk 6 augustus 2015

Inhoudsopgave Wiskunde In zicht

Voorwoord v

Wat is wiskunde? vii-xii

Parate kennis bij aanvang van de derde graad xiii-xxi

I Precalculus 1 I,i-ii,1-138

II Goniometrie en precalculus 2

III Matrices

IV Complexe getallen

V Logica

VI Rijen

VII Limieten, asymptoten en continuıteit

VIII Afgeleiden

IX Telproblemen

X Kansrekenen 1

XI Integralen

XII Ruimtemeetkunde

XIII Beschrijvende statistiek

XIV Kansrekenen 2 en verklarende statistiek XIV,i,1-39

XV Vectorruimten

XVI Getaltheorie

XVII Analytische meetkunde

XVIII Differentiaalvergelijkingen

XIX Reeksen

G Computermeetkundepakket GeoGebra

M Computerrekenpakket Maple S,1-15

Po Portfolio wiskunde Po,1-4

Pr Practicum wiskunde

Ps Problem Solving wiskunde Pr,1-12

+∞ Topics uit de wiskunde +∞,1-5

Referentielijst, bibliografie en websites xxii-xxvi

iii

Ω

pi = P (G)P

R

X

xi

pX

G

X

xi pi

x1 p1

x2 p2

......

xn pn

1

Deel XIV

Toegepaste wiskunde -Kansrekenen 2 en verklarende statistiek

XIV

Inhoudsopgave Deel Kansrekenen 2 en verklarende

statistiek

1 Stochasten 1

1.1 Discrete stochasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Definitie stochast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Verwachtingswaarde en variantie van een discrete stochast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Rekenen met stochasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Onafhankelijke stochasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Toepassing 1 - De Sint-Petersburg-paradox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Toepassing 2 - Wet van de grote aantallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 Continue stochasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Inzicht in psychologie - Gokverslaving en martingaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Bijzondere kansverdelingen 21

2.1 Discrete stochasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Uniforme kansverdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Bernoulli-kansverdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Binomiale kansverdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Continue stochasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Uniform verdeelde stochasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Normale verdeelde stochasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Som van normaal verdeelde stochasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Toepassing 1 - Steekproefgemiddelden en voorspellingsintervallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Toepassing 2 - De centrale limietstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Toepassing 3 - Betrouwbaarheidsinterval voor het populatiegemiddelde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Toepassing 4 - De binomiale kansverdeling benaderen met de normale verdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Toepassing 5 - Som van uniform verdeelde stochasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Inzicht in psychometrie - Giscorrectie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Antwoorden op geselecteerde oefeningen 37

Hoofdstuk 1

Stochasten

A students nightmare of statistics tends to build up at theintroduction of the stochastic variable and its calculus.

de auteur

In de statistiek kan men vanuit twee gezichtspunten aandacht besteden aan de uitkomsten van experimenten. In deeerste plaats is er het terrein van de beschrijvende statistiek, waarbij het gaat om het bewerken en presenteren vanbeschikbare waarnemingen. Deze waarnemingen werden op een empirische manier verkregen. Anderzijds kan mende verklarende statistiek aanwenden om kwantitatieve variabelen op een theoretische manier te behandelen.Dat gebeurt met het begrip stochast. Het accent ligt er juist op de nog te verschijnen uitkomsten. Men kan daaromstellen dat bij beschrijvende statistiek bepaalde bewerkingen achteraf worden verricht, terwijl bij verklarende statistiekjuist vooraf bepaalde uitspraken worden gedaan over mogelijk te verschijnen uitkomsten. Om deze reden is de stochastwellicht het belangrijkste onderwerp binnen het vakgebied van de (verklarende) statistiek.

In wat volgt wordt eerst uiteengezet wat stochasten zijn, welke bewerkingen daarmee kunnen worden uitgevoerd enwat daarvan de invloed is op gemiddelde uitkomst van een stochast. We maken het onderscheid tussen discrete encontinue stochasten.

1.1 Discrete stochasten

Definitie stochast

Met een rode en een wittedobbelsteen zien we in datde gebeurtenis (1, 1) “slechtseen keer voorkomt” in deuitkomstenverzameling Ω.

3 Op ontdekking. Saartje gooit met twee eerlijke dobbelstenen, een rode en eenwitte. De uitkomstenverzameling is (vul aan)

Ω = . . .

Omdat de dobbelstenen eerlijk zijn, heeft elke enkelvoudige gebeurtenis dezelfdekans. Dus de kansmaat is uniform (zie Deel Kansrekenen 1), met als functie-voorschrift

P : D(Ω)→ [0, 1]

(r, w) 7→ P (r, w) = . . .

We stellen de kansmaat P schematisch voor:

Saartje is jarig vandaag en krijgt van haar vriend “het totaal aantal ogen maal twintig” euro.

Wat is de kans dat Saartje 120 euro krijgt?

Oplossing. We hebben (vul aan)

P (het totaal aantal ogen maal twintig is 120) = P (het totaal aantal ogen is . . . )

= . . .

XIV-1

Eigenlijk gaan we hier als volgt te werk. We zien “het totaal aantal ogen maal twintig” als een nieuwe functie X

X : Ω→ R(r, w) 7→ X(r, w) = . . .

We stellen de functie X schematisch voor:

We noemen zo’n functie X een stochast. In dit voorbeeld is het beeld (bereik) van de stochast X gelijk aan

ber(X) = . . .

Deze elementen noemen we de waarden van de stochast. Omdat we in dit geval alle waarden kunnen opsommen 1

in een rij (hier zelfs een eindige rij) noemen we de stochast X discreet.

Om te weten wat de kans is op de waarde xi = 120, hechten we aan elke waarde xi van de stochast een kans.We doen dit met de zogenaamde kansverdelingsfunctie van de stochast X

pX

: ber(X)→ [0, 1]

xi 7→ pX

(xi)︸ ︷︷ ︸pi

def= . . .

We kunnen de kansverdelingsfunctie voorstellen met een tabel van functiewaarden: de zogenaamde kansverdelingvan de stochast X. Dat laatste kunnen we grafisch weergeven in een (kans)histogram. Vul aan:

X

waarden kansxi pi

40 . . .

60 . . .

80 . . .

100 . . .

120 . . .

140 . . .

160 . . .

180 . . .

200 . . .

220 . . .

240 . . .

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 xi

(waarden)

pi

(kans)

136

236

336

436

536

636

1Een verzameling waarbij alle elementen kunnen opgesomd worden in een rij noemt men een aftelbare verzameling. Dus een stochast Xis discreet als de verzameling ber(X) aftelbaar is. Voorbeelden van aftelbare verzamelingen zijn eindige verzamelingen en de verzamelingenN, Z en Q. Een verzameling die bevat is in een aftelbare verzameling, is op zijn beurt aftelbaar. De verzameling van de reele getallen isniet aftelbaar, alsook elk interval van de vorm [a, b] met a < b.

XIV-2

Algemeen is er sprake van een stochast wanneer de volgende situatie zich voordoet:

1. beschouw een (kans)experiment met uitkomstenverzameling Ω en

2. ken aan elke uitkomst ω ∈ Ω precies een reeel getal toe.

In dit proces herkennen we het begrip functie (of afbeelding): aan elk element in Ω wordt een element in R geassocieerd.Dit leidt tot onze definitie van stochast.

3 Definitie (stochast). Gegeven een (kans)experiment met uitkomstenverzameling Ω. Een stochast (of stochastischeveranderlijke, kortweg s.v., of kansvariabele) X van dat experiment is een functie die aan de uitkomsten reelegetallen associeert

X : Ω→ Rω → X(ω)

Het bereik van de stochast X is de verzameling

ber(X) = X(ω) | ω ∈ ΩElementen van het bereik noemen we waarden van de stochast.

3 Definitie (discrete stochast). Gegeven een (kans)experiment met uitkomstenverzameling Ω. Een stochast Xis discreet als men de waarden van de stochast kan opsommen in een rij:

ber(X) = x1, x2, x3, . . .In dat geval noteren we een willekeurige waarde van de stochast X met xi. Voor een kansmaat P van hetexperiment is de kansverdelingsfunctie (of kansfunctie) van een discrete stochast X de functie

pX

: ber(X)→ [0, 1]

xi 7→ pX

(xi)def= P (G) waarbij G = X−1(xi)

We schrijven in plaats van pX

(xi) ook wel P (X = xi) of p(xi) of pi. Merk op dat∑

i

pi = 1.

Een discrete stochast X met bijhorende kansverdelingsfunctie pX

kunnen we schematiseren zoals op onderstaandefiguur (links). Noteren we alle waarden xi samen met de kansen pi in een tabel, dan verkrijgen we de kansverdelingvan de stochast X (rechts).

Ω

pi = P (G)P

R

X

xi

pX

G

X

xi pi

x1 p1

x2 p2

......

xn pn

1

In de praktijk is het lastig om meteen de kansverdeling van een stochast te geven. Handig is het aanwenden van volgend

Stappenplan voor het bepalen van de kansverdeling van een stochast X.

1. Beschijf het experiment in woorden.

2. Geef de uitkomstenverzameling Ω in symbolen.

3. Beschijf de stochast X in woorden.

4. Bouw bovenstaand schema van de stochast X op:

(a) Neem een specifieke uitkomst ω ∈ Ω en bepaal X(ω) = xi.

(b) Veralgemeen om op die manier de linkerkolom van de kansverdeling van X te verkrijgen.

(c) Bepaal de gebeurtenis G = X−1 (xi).

(d) Bereken de kans p(ω) met behulp van P (G).

(e) Veralgemeen om op die manier de rechterkolom van de kansverdeling van X te verkrijgen.

XIV-3

We werken twee modelvoorbeelden uit.

3 Modelvoorbeeld 1. Jeroen gooit met twee eerlijke dobbelstenen (een rode en een witte). Daarna leest hij hetaantal ogen af van de hoogste steen. Noem X de stochast die het aantal ogen van de hoogste steen geeft.

(a) Stel de stochast X schematisch voor en geef de kansverdeling.

(b) Geef het bereik van X.

(c) Bepaal P (X ≤ 2).

Oplossing.

(a) We volgen het stappenplan op de voorgaande pagina (vul aan).

Experiment: gooien met twee dobbelstenen.

Uitkomstenverzameling Ω = . . .

Stochast X: het aantal ogen van de hoogste steen.

Schematisch: Kansverdeling:

Ω

. . . p(. . .) = P (. . .P

R

X

. . .

pX

X

xi pi

x1 p1

x1 p1

x2 p2

......

xn pn

1

(b)

(c)

Publieke telefooncel in hetVerenigd Koninkrijk,

ontworpen door Sir GilesGilbert Scott 1924.

3 Modelvoorbeeld 2. Aan een telefooncel staan drie personen voor ons aan teschuiven. Onderzoek heeft uitgewezen dat elke man (gemiddeld) 5 minuten ge-bruik maakt van de telefooncel en elke vrouw 10 minuten. Stel de kansverdelingen kanshistogram op van de stochast die de wachttijd in minuten weergeeft. Gaervan uit dat de kans op een man of een vrouw onder de wachtenden even grootis.

Oplossing.

XIV-4

Verwachtingswaarde en variantie van een discrete stochast

3 Op ontdekking (vervolg). We hernemen het voorbeeld van Saartje dat gooit met twee eerlijke dobbelstenenen van haar vriend “het totaal aantal ogen maal twintig” euro krijgt. Wat is de winst die Saartje gemiddeld kanverwachten?

Oplossing. De stochast X is “het aantal ogen maal twintig euro” en op pagina XIV-2 vonden we als kansverdeling

Xxi 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240

pi = pX

(xi)136

236

336

436

536

636

536

436

336

236

136

Onderstel eerst dat Saartje n keer mag gooien. Noem ni het aantal keer dat ze xi euro wint. De gemiddeldewinst per worp is dan de totale winst gedeeld door het aantal worpen:

Wgem =Wtot

n=n1x1 + n2x2 + · · ·+ n11x11

n=n1nx1 +

n2nx2 + · · ·+ n11

nx11

Als n→ +∞ dan zal nin → pi dus de winst die Saartje gemiddeld kan verwachten is

p1x1 + p2x2 + · · ·+ p11x11 =1

36· 40 +

2

36· 60 + · · ·+ 1

36· 240 = 140

Daarom noemen we 140 de verwachtingswaarde E(X) van de stochast X.

3 Definitie. Gegeven een experiment met uitkomstenverzameling Ω en kansmaat P . De verwachtingswaarde 2

van een discrete stochast X gelijk aan

µX

= E(X)def=∑

i

pi · xi

en de variantie is gelijk aan

σ2X

= Var(X)def=∑

i

pi · (xi − µX )2

De standaardafwijking is σX

=√

Var(X).

telefooncel uit Belgie

3 Modelvoorbeeld 2 (vervolg). Aan een telefooncel staan drie personen voorons aan te schuiven. Onderzoek heeft uitgewezen dat elke man (gemiddeld) 5minuten gebruik maakt van de telefooncel en elke vrouw 10 minuten.

(a) Bereken algebraısch de wachttijd die we gemiddeld kunnen verwachten,vooraleer het onze beurt is.

(b) Bereken algebraısch variantie van de wachttijd.

Controleer nadien je resultaten met behulp van je grafische rekenmachine.

Oplossing.

Controle met behulp van de grafische rekenmachine.

2Het concept verwachtingswaarde werd voor het eerst expliciet behandeld door Pierre-Simon Laplace in 1814. De notatie E(X) gaatterug naar William Allen Whitworth 1901, als eerste letter van de Engelse term ‘Expected value’. Ook op het vasteland werd de notatieE(X) aangenomen, met Duitse term ‘Erwartungswert’ en Franse term ‘Esperance mathematique’. Merk op dat de verwachtingswaardeniet noodzakelijk het gemiddelde is van alle waarden xi. Ook hoeft de verwachtingswaarde niet voor te komen als waarde van X, zieModelvoorbeeld 2 (vervolg). De term variantie werd geıntroduceerd door Ronald Fisher in 1918.

XIV-5

Rekenen met stochasten

3 Op ontdekking (vervolg). We hernemen het voorbeeld van Saartje dat gooitmet twee eerlijke dobbelstenen en van haar vriend het totaal aantal ogen maaltwintig euro krijgt. De bijhorende stochast X heeft als kansverdeling

X

xi pi

40 1/36

60 2/36

80 3/36

......

240 1/36

1

(a) De papa van Saartje vindt het gedoe met de dobbelstenen nogal flauw en geeft Saartje 71 euro, ongeachtde uitkomst van de worp. Ook dit kan beschreven worden in een stochast, met slechts een waarde (71). Degeldsom die Saartje van Jeroen en papa samen krijgt kan nu beschreven worden met een nieuwe stochast,die we logischerwijze met X + 71 noteren. De kansverdeling van X + 71 ligt voor de hand:

X

xi pi

40 1/36

60 2/36

80 3/36

......

240 1/36

1

71

71 1

1

X + 71

xi + 71 pi

40 + 71 1/36

60 + 71 2/36

80 + 71 3/36

......

240 + 71 1/36

1

Wat vermoed je voor de verwachtingswaarde en de variantie van de geldsom die Saartje nu krijgt? Vul aan:

E(X + 71) = . . . en Var(X + 71) = . . .

(b) De mama wil het toch wat spannend maken en heeft een nieuw voorstel: in plaats dat papa 71 euro geeft,krijgt Saartje de waarde van de hoogste dobbelsteen maal zestien euro. We associeren dit met een nieuwestochast Y . De geldsom die Saartje van Jeroen en mama samen krijgt kan nu beschreven worden met eennieuwe stochast, die we logischerwijze met X + Y noteren. Maar ditmaal ligt de kansverdeling van X + Yhelemaal niet voor de hand:

. De waarden van X + Y : in principe zijn alle combinaties xi + yj mogelijk!

. De kans van xi + yj : er bestaat geen regel om deze onmiddellijk uit de kansverdeling van X en Y af teleiden!

Het vereist dus wat moeite om de kansverdeling van X + Y op te stellen (ga na):

X

xi pi

40 1/36

60 2/36

80 3/36

......

240 1/36

1

Y

yj qj

16 1/36

32 3/36

48 5/36

......

96 11/36

1

X + Y

xi + yj ?

40 + 16 1/36

60 + 32 2/36

80 + 32 1/36

......

240 + 96 1/36

1

Wat vermoed je voor de verwachtingswaarde van de geldsom die Saartje nu krijgt? Vul aan:

E(X + Y ) = . . .

XIV-6

3 Definitie. Gegeven een (kans)experiment met uitkomstenverzameling Ω. Zij X,Y stochasten en a ∈ R.

(a) De somstochast X + a is de stochast

X + a : Ω→ R

ω → (X + a)(ω)def= X(ω) + a = xi + a

Analoog definieert men de productstochast a ·X.

(b) De somstochast X + Y is de stochast

X + Y : Ω→ R

ω 7→ (X + Y )(ω)def= X(ω) + Y (ω) = xi + yj

Analoog definieert men de productstochast X · Y en de kwadraatstochast X2.

In termen van de kansverdeling3 van een stochast kunnen we deze bewerkingen catalogeren onder:

3 ‘eenvoudig af te leiden uit de oorspronkelijke stochasten’: de nieuwe stochasten X + a, a ·X en X2

X

xi pi

x1 p1x2 p2...

...xn pn

X + a

xi pi

x1 + a p1x2 + a p2

......

xn + a pn

a ·Xaxi pi

ax1 p1ax2 p2

......

axn pn

X2

x2i pi

x21 p1x22 p2...

...x2n pn

3 ‘moeilijk4 af te leiden uit de oorspronkelijke stochasten’: de nieuwe stochasten X + Y en X · Y

X

xi pi

x1 p1x2 p2...

...xn pn

Y

yi qi

y1 q1y2 q2...

...ym qm

X + Y

xi + yj ?

x1 + y1 ?x1 + y2 ?

......

x2 + y1 ?x2 + y2 ?

......

xn + ym ?

X · Yxi · yj ?

x1 · y1 ?x1 · y2 ?

......

x2 · y1 ?x2 · y2 ?

......

xn · ym ?

De verwachtingswaarde en variantie van som-en productstochasten voldoen aan heel wat eigenschappen. Enkeledaarvan komen aan bod in de volgende

3 Op ontdekking (vervolg). We hernemen het voorbeeld van Saartje dat gooitmet twee eerlijke dobbelstenen en van haar vriend “het totaal aantal ogen maaltwintig” euro krijgt.

(a) Bereken de verwachtingswaarde E(X) en de variantie Var(X).

(b) Geef de kansverdeling van de nieuwe stochast X2 en bereken E(X2).

(c) Bereken E(X2)− (E(X))2. Wat merk je op?

Oplossing.

3Bij onze schrijfwijze voor de kansverdeling van de somstochast X+Y kunnen dezelfde waarden meerdere keren voorkomen, bijvoorbeeldals x1+y3 = x5+y2. In dat geval kan men de kansverdeling vereenvoudigen door de waarden die meerdere keren voorkomen slechts eenmaalte schrijven en de bijhorende kansen op te tellen. Daarbij moet men dan wel realiseren dat kansen zoals P (X + Y = 3), P (X + Y = 1 + 2)en P (X + Y = 2 + 1) elk hun specifieke betekenis blijven behouden: P (X + Y = 1 + 2) hoeft niet gelijk te zijn aan P (X + Y = 2 + 1) enbeiden dragen bij tot P (X + Y = 3). Analoog voor de productstochast X · Y .

4 De bijhorende kansen kunnen berekend worden door middel van voorwaardelijke kansen. Indien de stochasten onafhankelijk zijn, dankunnen deze kansverdelingen wel eenvoudig uit de kansverdelingen van X en Y afgeleid worden, zie pagina XIV-9.

XIV-7

3 Eigenschappen. Gegeven een experiment met uitkomstenverzameling Ω en kansmaat P .

Voor discrete stochasten X en Y geldt (waarbij a ∈ R)

1. Var(X) = E[(X − E(X))2

]

2. Var(X) = E(X2)− (E(X))2

3. E(X + a) = E(X) + a en Var(X + a) = Var(X)

4. E(a ·X) = a · E(X) en Var(a ·X) = a2 ·Var(X)

5. E(X + Y ) = E(X) + E(Y )

Merk op dat we eigenschap 5 kunnen uitbreiden voor discrete stochasten X1, X2, . . . , Xn

E(X1 +X2 + . . .+Xn) = E(X1) + E(X2) + . . .+ E(Xn)

Bewijs 5 van 1 en 2.

straatlantaarn te Brugge

3 Modelvoorbeeld 3. In een bepaalde stadswijk valt gedurende een maandeen aantal straatlantaarns uit. Dit aantal X volgt een bepaalde kansverdeling,gegeven in de volgende tabel.

xi 0 1 2 3 4 5

P (X = xi) 0, 15 0, 25 0, 30 0, 15 0, 10 0, 05

Eenmaal per maand gaat de monteur op controlebezoek in de wijk en vervangtdefecte lampen. De kosten van deze controletocht bedragen 50 euro en verdermoet voor iedere vervangen lamp 10 euro worden betaald.

(a) Bereken de verwachtingswaarde en de variantie van de stochast X.

(b) Druk de stochast Y : “rekening van de monteur” uit in functie van destochast X.

(c) Hoe groot is het verwachte bedrag van de rekening van de monteur? En devariantie? Bepaal dit met behulp van het antwoord dat je vond op vragen(a) en (b).

Oplossing.

5Voor de bewijzen van eigenschappen 3, 4 en 5 verwijzen we naar de oefeningen.

XIV-8

Onafhankelijke stochasten

3 Op ontdekking. We gooien twee keer met een eerlijk muntstuk. De stochastX telt hoeveel keer we in het totaal kop gegooid hebben. Stochast Y heeft alsuitkomst 0 indien we twee verschillende worpen hadden en 1 indien we twee keerhetzelfde gegooid hebben.

(a) Stel de stochasten X en Y schematisch voor en bepaal hun kansverdeling.

(b) Stel de stochast X + Y schematisch voor en bepaal de kansverdeling. Be-denk hierbij dat kansen als P (X+Y = 2 + 1) berekend kunnen worden alsP (X = 2 en Y = 1).

(c) Is P (X = 1 en Y = 1) = P (X = 1) · P (Y = 1)?

Oplossing.

3 Definitie. Gegeven zijn twee discrete stochasten X en Y van een experiment met uitkomstenverzameling Ωen kansmaat P . Voor elke waarde xi ∈ ber(X) en yj ∈ ber(Y ) geldt

P (X = xi en Y = yj) = P (X−1(xi) ∩ Y −1(yj))

= P (X−1(xi)) · P (Y −1(yj))indien de gebeurtenissen X−1(xi)

en Y −1(yj) onafhankelijk zijn

= P (X = xi) · P (Y = yj)

Met andere woorden, als de kans op het al dan niet optreden van een waarde xi niet afhangt van het al dan nietoptreden van een waarde van yj , dan is

P (X = xi en Y = yj) = P (X = xi) · P (Y = yj)

Indien dit waar is voor alle waarden xi van X en alle waarden yj van Y , dan zeggen we dat de stochasten X enY onafhankelijk zijn.

3 Eigenschappen (vervolg). Gegeven een experiment met uitkomstenverzameling Ω en kansmaat P .

Voor discrete onafhankelijke stochasten X en Y geldt

6. E(X · Y ) = E(X) · E(Y )

7. Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y )

Merk op dat we eigenschap 7 kunnen uitbreiden voor discrete onderling onafhankelijke stochasten X1, X2, . . . , Xn

Var(X1 +X2 + . . .+Xn) = Var(X1) + Var(X2) + . . .+ Var(Xn)

Bewijs.

6. Uitschrijven van de kansverdelingen van de stochasten X, Y en X · Y levert alvast

X

xi pi

x1 p1x2 p2...

...xn pn

Y

yi qi

y1 q1y2 q2...

...ym qm

X · Yxi · yj ?

x1 · y1 ?x1 · y2 ?

......

xn · ym ?

XIV-9

Omdat X en Y onafhankelijk zijn, is

P (X · Y = xi · yj) = P (X = xi en Y = yj)!= P (X = xi) · P (Y = yj) = piqj

Op die manier kennen we de kansverdeling van de stochast X · Y

X

xi pi

x1 p1x2 p2...

...xn pn

Y

yi qi

y1 q1y2 q2...

...ym qm

X · Yxi · yj piqj

x1 · y1 p1q1x1 · y2 p1q2

......

x2 · y1 p2q1x2 · y2 p2q2

......

xn · ym pnqm

en hieruit volgt de laatste gelijkheid in de volgende berekening:

E(X) · E(Y ) =

(∑

i

pixi

)·

∑

j

qjyj

= (p1x1 + p2x2 + . . .+ pnxn) · (q1y1 + q2y2 + . . .+ qmym)

= p1q1x1y1 + p1q2x1y2 + . . .+ pnqmxnym

=∑

i,j

piqjxiyj

= E(X · Y )

7. We berekenen (vul telkens de verantwoording aan)

Var(X + Y ) = E[(X + Y − E(X + Y ))2

]wegens . . .

(X + Y − E(X + Y ))2

= (X − E(X) + Y − E(Y ))2

= (X − E(X))2 + 2(X − E(X)) · (Y − E(Y )) + (Y − E(Y ))2

= E[(X − E(X))2 + 2(X − E(X)) · (Y − E(Y )) + (Y − E(Y ))2

]

= E[(X − E(X))2

]+ E [2(X − E(X)) · (Y − E(Y ))] + E

[(Y − E(Y ))2

]wegens . . .

E [2(X − E(X)) · (Y − E(Y ))]

2E [(X − E(X)) · (Y − E(Y ))] wegens. . .

= 2E [X − E(X)] · E [Y − E(Y )] want. . .

= 2

(E(X)− E [E(X)]

)·(E(Y )− E [E(Y )]

)wegens. . .

= 2 (E(X)− E(X))) · (E(Y )− E(Y ))) want. . .

= 0

= E[(X − E(X))2

]+ E

[(Y − E(Y ))2

]

= Var(X) + Var(Y ) wegens . . .

XIV-10

Toepassing 1 - De Sint-Petersburg-paradox 3

Peterhof, Sint-Petersburg

3 Probleem. Veronderstel dat je met een eerlijk muntstuk een ‘kop-of-munt’-spelspeelt. Dus bij iedere worp zijn de kansen op ‘kop’ en op ‘munt’ gelijk aan 50%.Als er bij de eerste worp een ‘kop’ valt, krijg je 2 euro. Als er bij de tweede worpvoor de eerste maal ‘kop’ verschijnt, dan ontvang je 2 × 2 euro = 4 euro. Valt‘kop’ voor de eerste maal bij de derde worp, dan ontvang je 2× 2× 2 euro = 8euro. Valt ‘kop’ voor het eerst bij de n-de worp, dan ontvang je 2n euro. Hoeveelinzet ben je bereid om te betalen voor een deelname aan dit spel?

Oplossing. We stellen de stochast X “het aantal uit te betalen euro’s” schema-tisch voor en bepalen de kansverdeling:

Voor de verwachtingswaarde geldt dus (vul aan):

E(X) =∑

i

pi · xi = pX

(2) · 2 + pX

(4) · 4 + pX

(8) · 8 + pX

(16) · 16 + . . .

= . . .

= . . .

Deze reeks divergeert naar +∞. Dit betekent dat de verwachte opbrengst van dit spel oneindig groot is!

Antwoord. Ongeacht hoe hoog de inzet is bij deelname aan dit spel, verwacht men bij herhaaldelijk spelen dat detotale winst de totale inzet zal overtreffen, als men maar voldoende aantal keer het spel herhaalt. Een resultaatdat gevoelsmatig niet lijkt te kloppen, omdat het in strijd is met onze intuıtie.

3 Opheffen van de paradox. De meestgebruikte benadering om deze paradox op te heffen gebeurt aan dehand van de economische nutstheorie. De naıeve strategie om de verwachte opbrengst te maximaliseren, wordtvervangen door de strategie om het verwachte nut te maximaliseren. Het achterliggende idee is de wet van deafnemende meeropbrengsten (ook wel grensnut genoemd). Deze wet zegt dat een twee keer zo’n hoge opbrengstniet overeenkomt met een twee keer zo hoog nut. Zo is het winnen van twee miljoen euro minder dan twee keerzo nuttig als het winnen van een miljoen euro. Introduceren we als nutsfunctie bijvoorbeeld

u(x) = C · 2log x waarbij C ∈ R+0

dan is het verwachte nut van het spel gelijk aan

EU(X) =∑

i

piu(xi) =∑

i

C · 2log(2i−1

)

2i=∑

i

C · i− 1

2i= C < +∞

Het verwachte nut is dus eindig en afhankelijk van de constante C die gekozen wordt. Is deze constante C groterdan het nut van de inlegging, dan verhoogt men zijn nut door het spel te spelen. De grootte van C hangt, onderandere, af van de rijkdom van de speler: voor een arm iemand zal een winst van 1000 euro van veel hoger nutzijn, dan voor een miljonair.

Een alternatief om de paradox op te heffen steunt op het idee dat mensen zeer zeldzame gebeurtenissen zullennegeren. In deze paradox is de verwachte opbrengst oneindig groot, juist door zulke zeer zeldzame gebeurtenissen.Dan geven we bij de berekening van de verwachte opbrengst de zeldzame gebeurtenissen, bijvoorbeeld met eenkans kleiner dan een op duizend, kans nul. Door deze aanpassing wordt de verwachte opbrengst 4, 50 euro, eenstuk lager dus. Wanneer de grens bij een op een miljoen gelegd wordt, is de verwachte opbrengst 9, 50 euro.

6Deze paradox kreeg grote bekendheid door Daniel Bernoulli en draagt de naam van de plaats waar hij deze voorgedragen heeft.De paradox is in 1738 gepubliceerd door de Keizerlijke Academie der Wetenschappen te Sint-Petersburg. De paradox is echter al 25 jaareerder, in 1713 beschreven door Daniels neef Nicolaus I Bernoulli in een serie brieven aan Pierre Raymond de Montmort . Het ideeom de paradox op te heffen met behulp van een logaritmische nutsfunctie komt van D. Bernoulli, het alternatief waarin men zeer zeldzamegebeurtenissen kans nul toekent is toe te schrijven aan N. Bernoulli. Deze aanpak is later bekritiseerd omdat de meeste mensen de kans opzeldzame (maar niet onmogelijke) gebeurtenissen juist overschatten, in plaats van onderschatten. Getuige de populariteit van kansspelenzoals de lotto.

XIV-11

Toepassing 2 - Wet van de grote aantallen

De wet van de grote aantallen vormt de basis voor onze intuıtieve opvatting van het begrip kans, namelijk dat derelatieve frequentie van een gebeurtenis op de lange duur naar een limiet lijkt te convergeren (zie Deel Kansrekenen 1).Zo zien we dat bij herhaaldelijk werpen met een eerlijke dobbelsteen de relatieve frequentie van de worp 6 op de langeduur dicht in de buurt van de waarde 1/6 komt te liggen. Het begrip stochast laat ons toe om deze wet in termen vanverwachtingswaarde en variantie te formuleren.

We starten met een

3 Op ontdekking. Een zak nootjes weegt gemiddeld 300 gram en heeft een variantie van 100 vierkante gram.Men verpakt deze zakken per 25 in een kartonnen doos.

(a) Noem Xi de stochast die hoort bij het gewicht van het i-de zakje. Bepaal het gemiddelde en de variantievan Xi.

(b) Noem Y de stochast die hoort bij het gewicht van een doos. Bereken het gemiddelde en de variantie van Y .

(c) Noem Z de stochast die hoort bij het gewicht van een gemiddeld zakje in een doos. Men noteert Z als X.Bereken het gemiddelde en de variantie van X.

(d) Stel men verpakt de zakken nootjes per n = 50 in een doos. Wat is E(X) en Var(X) dan? En wat alsn = 100?

Oplossing.

3 Stelling (wet van de grote aantallen) 7. Gegeven zijn discrete stochasten X1, X2, . . . , Xn, onderling onaf-hankelijk en met dezelfde verwachtingswaarde µ en variantie σ2.

Beschouw de gemiddelde stochast Xdef=

1

n(X1 +X2 + . . .+Xn). Dan geldt

E(X) = µ en Var(X) =σ2

n

Deze formules drukken uit dat de gemiddelde stochast rond µ is concentreerd, met een spreiding van σX

= σ/√n.

Naarmate n toeneemt zal σX

naderen naar nul, zodat de stochast X zich meer en meer in de omgeving van µophoopt. De wet van de grote aantallen volgt uit de zogenaamde centrale limietstelling, een meer algemeenresultaat dat wij in hoofdstuk 2 zullen behandelen.

Experiment: relatievefrequentie van munt f in

functie van het aantalworpen n ≤ 100.

3 Voorbeeld. We gooien n keer een eerlijk muntstuk op. Noem Xi de stochastdie bij de i-de worp de waarde 0 bij kop heeft en waarde 1 bij munt. Destochasten X1, X2, . . . , Xn zijn duidelijk onafhankelijk van elkaar en hebbenelk verwachtingwaarde µ = 0, 5. Volgens de wet van de grote aantallen is

E(X) = µ = 0, 5

Eigenlijk stelt de stochast X het gemiddeld aantal keren munt voor. Zo kunnenwe verwachten dat de relatieve frequentie van munt f in functie van n (hetaantal keer dat we gegooid hebben) zal evolueren naar 0, 5. Op die manierlevert de limietwaarde van deze relatieve frequentie de theoretische kans opmunt, namelijk P (M) = lim

n→+∞f = 0, 5.

7In de literatuur maakt men onderscheid tussen de experimentele, zwakke en sterke wet van de grote aantallen. De formulering die wijhier gebruiken is zwakker dan deze vormen, maar volstaat voor onze doeleinden. De eerste bekende vermelding van deze wetmatigheidwerd opgetekend door de Jakob Bernoulli 1713. Na hem heeft Simeon Denis Poisson de wetten verder uitgewerkt.

XIV-12

1.2 Continue stochasten

schietschijf

3 Op ontdekking. Saartje schiet een pijl af naar een schietschijf. Daarnameet haar vriend de afstand van de pijl tot de roos (het middelpunt van deschijf). In deze context is

. Experiment: Saartje schiet een pijl af naar een schietschijf.Uitkomstenverzameling8(noem r de straal van de schietschijf):

Ω = (x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ r2

. Stochast X: afstand van de pijl tot de roos.Schematisch:

Het bereik van de stochast X is ber(X) = [0, r]. In dit geval kunnen we de waarden van de stochast nietopsommen 9 in een rij. Daarom noemen we de stochast X continu.

(a) Wat is de kans dat de pijl precies op afstand r1 van de roos komt?

(b) Wat is de kans dat de pijl op een afstand tussen r1 en r2 van de roos komt?

Oplossing.

(a) Hiervoor moeten we de kans P (X = r1) berekenen. Dit is echter een onzinnige vraag. Immers, mochtP (X = r1) 6= 0 dan zou P (0 ≤ X ≤ r) = +∞! We weten echter dat P (0 ≤ X ≤ r) = 1. Daarom stelt menper definitie

P (X = r1)def= 0

(b) Hiervoor moeten we de kans P (r1 ≤ X ≤ r2) berekenen. Welnu,

P (r1 ≤ X ≤ r2) = . . .

Men noemt de functie fX

(x) = 2x/r2 de kansdichtheidsfunctie voor de stochastX. We hebben de eigenschapdat

P (r1 ≤ X ≤ r2) =

∫ r2

r1

fX

(x) dx

Zo is bijvoorbeeldP (0 ≤ X ≤ r) = . . .

8We nemen aan dat Saartje voldoende bedreven is in de boogschutterskunst, zodat haar pijl altijd in de schijf landt. Stilzwijgend nemenwe ook aan dat Saartje mikt naar de schijf, maar niet naar de roos. Bijgevolg is de kans dat de pijl in een bepaald gebied van de schietschijflandt in verhouding met de oppervlakte van dat gebied.

9Een verzameling waarbij het niet mogelijk is om alle elementen op te sommen in een rij noemt men niet-aftelbaar of overaftelbaar.Dus een stochast is continu als de verzameling ber(X) overaftelbaar is. Voorbeelden van overaftelbare verzamelingen zijn R en C, alsookelk interval van de vorm [a, b] met a < b. Een verzameling die een overaftelbare verzameling bevat, is op zijn beurt overaftelbaar.

XIV-13

3 Definitie (continue stochast). Gegeven een (kans)experiment met uitkomstenverzameling Ω. Een stochastX is continu als men de waarden van de stochast niet kan opsommen in een rij. In het vervolg nemen we aandat het bereik van een continue stochast steeds een gesloten interval is:

ber(X) = [a, b]

In dat geval noteren we een willekeurig deelinterval van het bereik als [x1, x2]. Voor een kansmaat P van hetexperiment is de kansdichtheidsfunctie van een continue stochast X een functie

fX : [a, b]→ Rx 7→ f

X(x)

die voldoet aan de volgende voorwaarden 10

1. f is continu over [a, b]

2. ∀x ∈ [a, b] : fX

(x) ≥ 0

3. ∀x1, x2 ∈ [a, b] : P (x1 ≤ X ≤ x2) =

∫ x2

x1

fX

(x) dx

Merk op dat∫ bafX

(x) dx = 1. Een continue stochast X kunnen we als volgt schematiseren (linkerfiguur), waarbijkansen berekend worden met behulp van kansdichtheidsfunctie f

Xvan de stochast X (rechterfiguur):

Ω

P (x1 ≤ X ≤ x2) = opp.

=

∫ x2

x1

fX (x) dx

P

a bx1 x2 R

X

y

x

y = fX(x)

a bx1 x2

We werken twee modelvoorbeelden uit.

3 Modelvoorbeeld 1. Julia heeft een afspraakje met Romeo die, zoals het een trouwe minnaar past, hoogstens15 minuten te laat komt. De grafiek van de kansdichtheidsfunctie is een dalende rechte (zie figuur).

y

x

y = fX(x)

15

a

(a) Bepaal het voorschrift van de kansdichtheidsfunctie.

(b) Wat is de kans dat Romeo minder dan 3 minuten te laat is?

Oplossing.

Om in voorgaand voorbeeld de verwachtingswaarde E(X) te bepalen, benaderen we de grafiek van de kansdichtheids-functie f

Xdoor het kanshistogram van een discrete stochast. Dan is de verwachtingswaarde van deze discrete stochast

gelijk aan (duid aan op bovenstaande figuur)∑

i

pixi =∑

i

xi · P (xi−1 ≤ X ≤ xi) =∑

i

xi · fX (xi)∆xi

zodat na limietovergang de verwachtingswaarde van X gelijk is aan (vul aan)

E(X) =

∫ 15

0

x · fX

(x) dx = . . .

10 Met de notatie P (x1 ≤ X ≤ x2) bedoelen we P(X−1([x1, x2])

)= P (ω | x1 ≤ X(ω) ≤ x2). In de praktijk gaat men op zoek naar de

geschikte kansdichtheidsfunctie fX . De kunst bestaat er dan in om een functie te construeren die voldoet aan deze drie voorwaarden.

XIV-14

3 Definitie. Gegeven een experiment met uitkomstenverzameling Ω en kansmaat P . De verwachtingswaarde (ofgemiddelde) van een continue stochast X met bereik ber(X) = [a, b] gelijk aan

µX

= E(X)def=

∫ b

a

x · fX

(x) dx

en de variantie is gelijk aan

σ2X

= Var(X)def=

∫ b

a

(x− µX

)2 · fX

(x) dx

De standaardafwijking is σX

=√

Var(X).

Men kan aantonen dat de eigenschappen op pagina’s XIV-8-XIV-9 ook gelden ook voor continue stochasten.

3 Eigenschappen. Gegeven een experiment met uitkomstenverzameling Ω en kansmaat P .

Voor continue stochasten X en Y geldt (waarbij a ∈ R)

1. Var(X) = E[(X − E(X))2

]

2. Var(X) = E(X2)− (E(X))2

3. E(X + a) = E(X) + a en Var(X + a) = Var(X)

4. E(a ·X) = a · E(X) en Var(a ·X) = a2 ·Var(X)

5. E(X + Y ) = E(X) + E(Y )

Zijn de stochasten X en Y onafhankelijk, dan geldt bovendien11

6. E(X · Y ) = E(X) · E(Y )

7. Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y )

telefooncentrale (1967)

3 Modelvoorbeeld 2. Een telefooncentrale is een installatie waarmee het moge-lijk is telefoontoestellen zo te verbinden dat een gesprek mogelijk wordt. NoemX de stochast die het tijdsverloop tussen het ontvangen van een oproep in detelefooncentrale en het tot stand komen van de verbinding. Onderzoek heeftuitgewezen dat de kansdichtheidsfunctie voor de stochast X in een bepaaldecentrale tijdens de daltijden gegeven wordt door

fX

(x) =3

2e−

32 x

waarbij x uitgedrukt wordt in seconden.

(a) Ga na dat P (X ≥ 0) = 1. Noteer je werkwijze.

(b) Bereken de kans dat men, bij het tot stand brengen van de verbinding, hoogstens twee seconden moetwachten.

(c) Bereken de verwachtingswaarde en de variantie van de stochast.

(d) Door een technologische verbetering wordt de wachttijd ingekort met factor 3. Bereken de nieuwe verwach-tingswaarde en variantie.

Oplossing.

11Onafhankelijkheid van continue stochasten wordt op een analoge manier ingevoerd als de onafhankelijkheid van discrete stochasten.De formele definitie valt buiten het bestek van deze cursus.

XIV-15

Oefeningen

1 Stochasten Basis Verdieping Uitbreiding

1.1 Discrete stochasten 123

4567

8910

311

1213

14 15 16

1.2 Continue stochasten 1718

19 20 2122

23 24 25

Oefeningen bij §1.1

B Oefening 1. Een panel van tien wijnexperts voor een tijdschrift over wijn wordt gevraagd een nieuwe witte wijn teproefen en deze een cijfer van 0, 1, 2 of 3 toe te kennen. Er wordt dan een score verkregen door de cijfers van de tienexperts bij elkaar op te tellen. Bepaal het bereik van deze stochastische variabele.

B Oefening 2. Een brik melk bevat gemiddeld 1 liter en heeft een variantie van 5 vierkante centiliter. Men verpaktdeze brikken per 12 in een kartonnen doos. Bepaal de verwachtingswaarde en de variantie van de inhoud van eengemiddelde brik melk in zo’n doos.

Oefening 3. Onderzoekers onderzochten langdurige droogteperiodes in een bepaald gebied. Als we de stochast Xdefinieren als het aantal jaren dat het duurt tot de volgende langdurige droogte, dan wordt de kansverdeling van Xvastgelegd door de formule

pX(x) = (0, 3)(0, 7)x−1 waarbij x = 1, 2, 3, . . .

B (a) Bepaal P (X = 3) en P (X ≤ 3).

V (b) Bewijs dat∑i pi = 1.

B? Oefening 4. In het casino van Knokke wordt een gokspel gespeeld. Je werpt met een dobbelsteen. Is het aantal ogenoneven, krijg je 2 euro. Is het aantal ogen 2 of 4, dan krijg je 3, 5 euro. Is het aantal ogen 6, dan krijg je 5 euro. Omdeel te nemen aan het spel betaal je 3 euro. Is dit spel verlieslatend of winstgevend voor de speler? Verklaar aan dehand van een berekening.

B? Oefening 5. Een munstuk wordt net zo vaak opgeworpen tot er kop verschijnt, of tot er drie keer na elkaar muntverschijnt. Bepaal de verwachtingswaarde en de variantie van het aantal worpen.

B? Oefening 6. Roulette is een gokspel dat men in casino’s speelt. De Amerikaansevariant “double zero roulette” telt 38 vakjes (de getallen van “zero” 0 tot en met 36en “double zero” 00). Twee vakjes hebben een groene kleur (“zero” 0 en “double zero”00), de overige even getallen zijn rood en de oneven getallen zijn zwart. Een spelerkiest voor de inzetmogelijkheid “straight up” als hij op een nummer inzet (inclusief“zero” en “double zero”). Komt het nummer uit, dan wint de speler. Hij mag hetingezette fiche houden en ontvangt 35 fiches van de bank. Verliest de speler, dan ishij de ingezette fiche kwijt. Stel een speler zet 100 euro op een nummer in. Berekende verwachte winst voor de speler.

B? Oefening 7. Een verzekeringsmaatschappij verkoopt aan verzekerden met een bepaald profiel een levensverzeke-ringspolis van 10 000 euro met een looptijd van een jaar, voor een jaarpremie van 290 euro. Dit betekent: als deverzekerde binnen het jaar sterft, ontvangen de nabestaanden 10 000 euro en de kostprijs van de polis bedraagt 290euro. Volgens de actuariele tabellen is de kans dat een persoon die de leeftijd, het geslacht, de gezondheid enzovoortvan het profiel heeft, binnen een jaar sterft, gelijk aan 0, 1%. Wat is de verwachte winst (het bedrag dat door deverzekeringsmaatschappij wordt verdiend) voor een polis van dit type? Verklaar aan de hand van een berekening.

B?? Oefening 8. In het casino kun je het spel “Gooi je rijk” spelen. Hierbij gooit de speler met een dobbelsteen enontvangt evenveel euro als de dobbelsteen aangeeft. Beschouw als stochast de winst van de speler.

(a) Stel de stochast schematisch voor.

(b) Geef de kansverdeling en teken het kanshistogram.

(c) Hoe groot moet de inzet van een speler zijn om zeker te zijn dat het casino op lange termijn geen verlies lijdtmet dit spel? Verklaar met een berekening.

XIV-16

B?? Oefening 9. Op weg naar school komt Saartje voorbij drie verkeerslichten. Jarenlang noteerde zij hoe vaak elk lichtop rood stond. Zij kwam tot de volgende conclusies.

. Licht A: 50% kans op rood.

. Licht B: 30% kans op rood.

. Licht C: 10% kans op rood.

Noem X de stochast “aantal keer dat Saartje op weg naar school moet stoppen”.

(a) Stel de stochast X schematisch voor.

(b) Geef de kansverdeling en teken het kanshistogram.

(c) Hoe vaak zal Saartje gemiddeld moeten stoppen?

B?? Oefening 10. We gooien twee keer met een dobbelsteen. De stochast X geeft de waarde van de hoogste worp, destochast Y de waarde van de laagste worp.

(a) Stel de stochasten X, Y en X + Y schematisch voor.

(b) Bepaal de kansverdeling van de stochasten X, Y en X + Y .

(c) Is E(X + Y ) = E(X) + E(Y )? Verklaar.

(d) Is Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y )? Verklaar.

V Oefening 11. Saartje is net 18 jaar en rijdt met een “klassebak”. Zij wil haar auto verzekeren voor 12 500 euro. Deverzekeringsmaatschappij heeft nagetrokken dat bij dit type auto en leeftijd van de verzekerde de kans op een “totalloss” 0, 2% is, de kans op 6250 euro vergoeding 1% is en de kans op 3125 euro kosten gelijk is aan 10%. Welke premiemoet de maatschappij vragen om gemiddeld 25% winst te maken per verzekerde?

V? Oefening 12. Een vliegtuigmaatschappij huurt 40 plaatsen bij SN Brussels Airlines voor zakenvluchten op Barcelona.Er wordt zoals steeds aan overboeking gedaan: men schrijft tot 42 reizigers in. De kans dat een klant die boekt dezakenreis effectief meevliegt wordt geschat op 90%. Bepaal de kansverdeling van de stochast die het aantal reizigerstelt die effectief meevliegen. Bereken ook de verwachtingswaarde van deze stochast.

gokautomaat

V? Oefening 13. Een computerspel in een lunapark werkt als volgt. Jij moet op eenwitte of een zwarte knop drukken. Onafhankelijk van jouw keuze selecteert de com-puter ook wit of zwart. Indien beide kleuren wit zijn, win jij een jeton. Zijn beidekleuren zwart, dan win jij drie jetons. Maar als beide kleuren verschillend zijn danverlies jij twee jetons aan de machine.Het computerprogramma is zo ingesteld dat de kans op het weergeven van wit doorde computer een getal a is.

(a) Geef de kansverdeling van de stochast X die staat voor jouw winst.

(b) Bereken de gemiddelde winst (in functie van de constante a).

(c) Toon aan dat men de waarde van a zo kan instellen dat jij op lange termijn verliest.

V?? Oefening 14. In Nigeria is zowat 1− p = 5% van de bevolking seropositief. Om de kostprijs te drukken, mengt menhet bloed van b personen (met b ∈ N0) en voert men daarop de test uit. Is de test negatief, dan weet men dat geenvan de b personen seropositief is. Is de test positief, dan moet men nadien de b stalen afzonderlijk testen.

(a) Neem b = 10. Is deze werkwijze kostenbesparend? Verklaar met een berekening.

(b) Bepaal algebraısch de waarde van b waarvoor de nieuwe werkwijze het meest kostenbesparend is.

(c) Bepaal algebraısch alle waarden van p waarvoor de nieuwe werkwijze in vergelijking met de klassieke manier ookdaadwerkelijk kostenbesparend is.

U? Oefening 15 (eigenschappen van verwachtingswaarde en variantie van discrete stochasten). Gegeveneen experiment met uitkomstenverzameling Ω en kansmaat P . Bewijs voor discrete stochasten X en Y de volgendeeigenschappen vermeld op pagina XIV-8 (waarbij a ∈ R).

3. E(X + a) = E(X) + a en Var(X + a) = Var(X)

4. E(a ·X) = a · E(X) en Var(a ·X) = a2 ·Var(X)

5. E(X + Y ) = E(X) + E(Y )

XIV-17

U?? Oefening 16 (kansverdelingsfunctie van een discrete stochast). Gegeven een experiment met uitkomstenverza-meling Ω en kansmaat P . Voor een (discrete) stochast X definieert men de kansverdelingsfunctie (of distributiefunctie)van X als de (reele) functie

FX

: R→ Rx 7→ F

X(x)

def= P (X ≤ x)

(a) Beschouw het experiment “eenmaal gooien met een eerlijke dobbelsteen” en de stochast X “aantal ogen maaltien euro”. Schets de grafiek van de kansverdelingsfunctie van X.

(b) Beschouw het experiment “driemaal gooien met een eerlijk muntstuk” en de stochast X “aantal keer kop”.Schets de grafiek van de kansverdelingsfunctie van X.

(c) Bewijs dat de kansverdelingsfuncie van een willekeurige stochast X een niet-dalende functie is, dat wil zeggenFX

(x1) ≤ FX

(x2) voor elke x1, x2 ∈ R met x1 ≤ x2.

(d) Bewijs dat voor elke a, b ∈ R met a ≤ b geldt: P (a < X ≤ b) = FX

(b)− FX

(a).

Oefeningen bij §1.2

B Oefening 17. Geef bij elke stochastische variabele aan of deze discreet of continu is en bepaal telkens het bereik.

(a) De tijdsduur tussen het binnenkomen van twee opeenvolgende patienten in een ziekenhuis.

(b) Het aantal intekeningen bij een uitgifte van obligaties.

(c) Het aantal consumenten in een steekproef van 500 dat de voorkeur geeft aan een bepaald product boven deconcurrerende producten.

(d) De hoeveelheid frisdrank die in een blikje van 0, 33l terechtkomt bij het vullen van het blikje.

(e) De diepte waarop een succesvolle olieboring voor het eerst olie aanboort (noem c de maximaal haalbare diepte).

B Oefening 18. Gegeven is de functie

f : [−2, 1]→ R

x 7→ f(x) =

1

3x+

2

3als x ∈ [−2, 0]

−2

3x+

2

3als x ∈ ]0, 1]

(a) Ga na dat f de kansdichtheidsfunctie van een continue stochast X voorstelt.

(b) Bereken P

(−1 ≤ X ≤ 1

2

).

B? Oefening 19. Een continue stochast X heeft als kansdichtheidsfunctie

fX

: [0, 2]→ R

x 7→ 3

4(2x− x2)

(a) Maak een grafische voorstelling van de kansdichtheidsfunctie fX

.

(b) Toon aan dat P (X ≥ 0) = 1.

(c) Bereken de kansen P (0, 5 < X < 1, 5), P (X > 1, 2) en P (X = 0, 4).

(d) Bepaal de verwachtingswaarde µ en de standaardafwijking σ.

MATH PRB 1:randB?? Oefening 20. Je grafische rekenmachine genereerteen willekeurig reeel getal tussen 0 en 1 via het com-mando12rand .

(a) Genereer met behulp van dit commando eenwillekeurig reeel getal tussen 100 en 200.

(b) NoemX de stochast die de waarde uit (a) weer-geeft. Geef het functievoorschrift en de grafiekvan de kansdichtheidsfunctie.

(c) Hoe groot is de kans dat het getal uit (a) kleiner dan 178 is? Toon aan met behulp van stochasten.

(d) Bereken de verwachtingswaarde en de standaardafwijking van de stochast uit (a).

12Om je at random generator te personaliseren, ga je als volgt te werk: tik je telefoon of GSM-nummer in (9 of 10 opeenvolgende cijfers),dan sto, MATH, PRB, 1:rand, ENTER. Opgelet: dit mag je slechts een keer uitvoeren.

XIV-18

V Oefening 21. Bepaal algebraısch de exacte waarde van de constante c ∈ R waarvoor de functie

f :

[−1

2,

1

2

]→ R

x 7→ c√1− x2

kan geınterpreteerd worden als de kansdichtheidsfunctie van een continue stochast X.

V Oefening 22. Bepaal algebraısch de waarde(n) van de constante c ∈ R waarvoor de functie

f : [0,+∞[→ Rx 7→ ce−cx

kan geınterpreteerd worden als de kansdichtheidsfunctie van een continue stochast X.

U Oefening 23 (kansverdelingsfunctie van een continue stochast). Gegeven een experiment met uitkomstenverza-meling Ω en kansmaat P . Voor een (continue) stochast X definieert men de kansverdelingsfunctie (of distributiefunctie)van X als de (reele) functie

FX

: R→ R

x 7→ FX

(x)def= P (X ≤ x)

(a) Julia heeft een afspraakje met Romeo die, zoals het een trouwe minnaar past, hoogstens 15 minuten te laat komt.De kansdichtheidsfunctie heeft als voorschrift

fX

(x) = − 2

225x+

2

15

Geef het functievoorschrift van de kansverdelingsfunctie FX

.

(b) Bewijs dat de kansverdelingsfuncie van een willekeurige stochast X een niet-dalende functie is, dat wil zeggenFX

(x1) ≤ FX

(x2) voor elke x1, x2 ∈ R met x1 ≤ x2.

(c) Bewijs dat voor elke a, b ∈ R met a ≤ b geldt: P (a ≤ X ≤ b) = FX

(b)− FX

(a).

U? Oefening 24 (passingsproblemen). Een typische toepassing van verschilvariabelen treffen we aan bij de zoge-naamde passingsproblemen, die men oplost met de verschilstochast X − Y .Een ring moet passen om een staaf, dat wil zeggen: de binnendiameter van de ring moet groter zijn dan de diametervan de staaf. Bij de productie van de ringen hangt de precieze waarde van de binnendiameter X van het toeval af.Bij de productie van de staven hangt de precieze diameter van de staaf Y ook van het toeval af; zowel X als Y zijnstochastische variabelen. De waarden van X en Y worden uitgedrukt in millimeter. De ring past om de staaf als Xgroter is dan Y , of anders gezegd: als X − Y positief is. Er is gegeven dat E(X) = 45, Var(X) = 0, 3 en E(Y ) = 44,Var(Y ) = 0, 4. Bovendien worden de ring en de staaf onafhankelijk van elkaar gemaakt.

(a) Bepaal de verwachtingswaarde en de standaardafwijking van de verschilstochast X − Y .

(b) Men beslist om de ring met factor 1, 2 en de staaf met factor 1, 15 groter te maken. Bepaal de nieuwe verwach-tingswaarde en standaardafwijking van de nieuwe verschilstochast.

U?? Oefening 25 (eigenschappen van verwachtingswaarde en variantie van continue stochasten). Gegeveneen experiment met uitkomstenverzameling Ω en kansmaat P . Bewijs voor continue stochasten X en Y de volgendeeigenschappen vermeld op pagina XIV-8 (waarbij a ∈ R).

1. Var(X) = E((X − E(X))2

)

2. Var(X) = E(X2)− (E(X))2

3. E(X + a) = E(X) + a en Var(X + a) = Var(X)

4. E(a ·X) = a · E(X) en Var(a ·X) = a2 ·Var(X)

XIV-19

Inzicht in psychologie

Pathologisch gokken, beter bekend als gokverslaving, is een psychiatrische stoornis

die in het DSM13is ingedeeld bij de stoornissen in de impulsbeheersing. Wie aandeze aandoening lijdt, kan geen weerstand bieden aan de drang om te gokkenen vertoont een dwangmatig gedrag. Een typisch symptoom van aanhoudend enherhaaldelijk problematisch gokgedrag is het stelselmatig verhogen van de inzet.Dat kan het gevolg zijn van een bewuste strategie om alle voorgaande verliezen ineen klap te compenseren. In de kansrekening staat zo’n strategie bekend als eenmartingaal: de speler verhoogt na elke nederlaag zijn inzet zodanig, dat hij bij deeerste winst alle vorige verliezen recupereert. Het begrip stochast geeft inzicht inde werking van zo’n matingaal.

3 Voorbeeld. Een beroepsgokker heeft als motto ‘verdubbel je inzet tot je wint en stop dan’. Concreet trekthij elke avond naar het casino met 700 euro op zak. Bij de eerste worp (met een eerlijke munt) zet hij 100euro in op kop en stopt als hij wint. Als hij verliest, zet hij bij de tweede worp 200 euro in op kop en stopt alshij wint. Als hij opnieuw verliest, zet hij zijn laatste 400 euro in op kop bij de derde worp. Als hij wint, is deuitbetaling gelijk aan het dubbele van zijn inzet. In deze context is:

. Experiment: gooien met een muntstuk tot er kop verschijnt, of tot er drie keer na elkaar munt verschijnt.

Uitkomstenverzameling:Ω = K,MK,MMK,MMM

. Stochast X: (netto) winst voor de beroepsgokker.Om in te zien wat de waarden van de stochast zijn, gaan we bij elke uitkomst na wat de (netto) winstvoor de speler is. Dat kan bijvoorbeeld met onderstaande tabel:

uitkomst K MK MMK MMM

inzet 100 100 + 200 100 + 200 + 400 100 + 200 + 400

uitbetaald 200 0 + 400 0 + 0 + 800 0 + 0 + 0

netto winst 100 100 100 −700

Schematisch voorstellen van de stochast X en kansverdeling:

Ω

p(100) = P (K,MK,MMK)= 1/2 + 1/4 + 1/8

P

R

X

100−700

pX

MMKMK

K

X

xi pi

−700 1/8

100 7/8

1

Verwachtingswaarde:

E(X) =∑

i

pixi =7

8· (−100) +

1

8700 = 0

We besluiten dat deze strategie op lange termijn winstgevend noch verlieslatend is.

Als gokstrategie is een martingaal een omgekeerde verzekeringspolis: de gokker heeft een grote kans om over de heleavond lichtjes positief te eindigen en daarnaast een kleine kans om compleet failliet te gaan. Deze strategie wordtvaak gepresenteerd als een ijzersterke truc waarmee men altijd zou winnen. Het vereist echter met iedere inzetrondetenminste een verdubbeling van de vorige inzet om eerdere verliezen te compenseren. Een martingaalspeler zalderhalve een lange adem en een flinke portemonnee moeten meenemen, want bij inzet van 1 euro bedraagt de inzetna 10 keer verliezen al 512 euro. Bovendien werken sommige casino’s met inzetmaxima waardoor een martingaal naverloop van tijd niet meer werkt. Een martingaalstrategie is derhalve zeer riskant en kan zelfs het opstapje vormennaar gokverslaving.

13Diagnostic and Statistical Manual of Mental Disorders (kortweg DSM) is een Amerikaans handboek voor diagnose en statistiek vanpsychische aandoeningen dat in de meeste landen als standaard in de psychiatrische diagnostiek dient. Voor de beschrijving van dit inzichtwerd beroep gedaan op [134, Pathologisch gokken, Martingaal], het voorbeeld is ontleend aan [50, p.61].

XIV-20

Hoofdstuk 2

Bijzondere kansverdelingen

In dit hoofdstuk bespreken we enkele veelvoorkomende kansverdelingen van stochasten1: discrete stochasten metuniforme, Bernoulli- of binomiale kansverdeling; continue stochasten met uniforme of normale kansverdeling.

2.1 Discrete stochasten

Uniforme kansverdeling

Een discrete stochast heeft uniforme kansverdeling (of Laplace kansverdeling) als elke waarde xi dezelfde kans heeft.

3 Voorbeeld. Saartje werpt een keer met een eerlijke dobbelsteen en krijgt als winst het aantal ogen maal tieneuro. Stel een kansverdeling en kanshistogram op. Wat is de verwachtingswaarde?

Oplossing. We stellen de stochast schematisch voor:

De kansverdeling en kanshistogram van de stochast X wordt gegeven door (vul aan):

waarden kansxi pi

10 . . .

20 . . .

30 . . .

40 . . .

50 . . .

60 . . .

1

10 20 30 40 50 60xi

(waarden)

pi

(kans)

16

Omdat elke waarde xi dezelfde kans heeft, noemen we de kansverdelingsfunctie pX

een uniforme kansverdeling.We berekenen de verwachtingswaarde

E(X) =∑

i

pi · xi = . . .

3 Eigenschap. Gegeven een stochast X met uniforme kansverdeling. Dan is

E(X) =1

n

∑

i

xi met n het aantal waarden van de stochast.

1Andere voorbeelden van kansverdelingen zijn binomiale, negatief binomiale, Poisson en geometrische (discreet) en exponentieel, gamma,normaal, lognormaal, Laplace, chi-kwadraat, student-t en Fisher (continu). Deze verdelingen vallen buiten het bestek van deze cursus, metuitzondering van de Poisson- en exponentiele verdeling, die kort beschreven worden in Oefening 13 en Oefening 22.

XIV-21

Bernoulli-kansverdeling

Sommige toevalsexperimenten hebben slechts twee mogelijke uitkomsten, zoals ja-nee, goedgekeurd-afgekeurd, etc. diewe algemeen zullen schrijven als succes-mislukking2. Zo’n experiment noemen we een Bernoulli-experiment. Nemenwe als stochast

X : Ω 7→ Rsucces→ 1

mislukking→ 0

dan noemt men een kansverdeling van X een Bernoulli-kansverdeling.

3 Voorbeeld. Op training trapt Jeroen een keer een strafschop. Onderzoekdoor de trainer heeft uitgewezen dat de kans op succes (Jeroen maakt een goal)gelijk is aan p = 0, 7. Stel een kansverdeling en kanshistogram op. Wat is deverwachtingswaarde?

Oplossing. Omdat het experiment “Jeroen trapt een keer een strafschop”maar twee mogelijke uitkomsten heeft (succes en mislukking), betreft het eenBernoulli-experiment.

We stellen de stochast schematisch voor:

De kansverdeling en kanshistogram van de stochast X is (vul aan):

waarden kansxi pi

0 . . .

1 . . .

1

1

1 xi

(waarden)

pi

(kans)

We berekenen de verwachtingswaarde

E(X) =∑

i

pi · xi = . . .

3 Eigenschap. Gegeven een stochast X met Bernoulli-kansverdeling, met p de kans op succes en q de kans opmislukking. Dan is

E(X) = p en Var(X) = p q

Bewijs.

2De termen ‘succes’ en ‘mislukking’ zijn enkel namen voor de gebeurtenissen en moeten niet letterlijk geınterpreteerd worden.

XIV-22

Binomiale kansverdeling

Toevalsexperimenten die bestaan uit n onafhankelijke herhalingen van een Bernoulli-experiment leiden tot een stochastX met binomiale kansverdeling is. Men schrijft dan X ∼ B(n, p) waarbij p staat voor de kans op succes.

3 Voorbeeld. De voetbalcoach vindt dat Jeroen best wel wat training kan gebruiken. Hij laat Jeroen vijfstrafschoppen trappen. Bij elke strafschop is de kans op succes (Jeroen maakt een goal) gelijk aan p = 0, 7. Steleen kansverdeling en kanshistogram op. Wat is de verwachtingswaarde?

Oplossing. Het experiment “Jeroen trapt vijf keer een strafschop” is een herhaling3 van vijf afzonderlijkeBernoulli-experimenten. Bij elke uitkomst telt de stochast X het aantal keren succes. We stellen de stochastschematisch voor:

Het experiment bestaat uit een herhaling van 5 Bernoulli-experimenten, daarom noemen we de stochast Xbinomiaal 4 verdeeld en we schrijven X ∼ B(5, 0.7). Om de kansverdeling en het kanshistogram te bepalen,berekenen we de volgende kansen (vul aan):

P (X = 0) = kans op 0 keer succes = P (mmmmm) = . . .

P (X = 1) = kans op 1 keer succes = P (smmmm) + P (msmmm) + P (mmsmm) + P (mmmsm) + P (mmmms)

= . . .

P (X = 2) = kans op 2 keer succes = . . .

P (X = 3) = kans op 3 keer succes = . . .

P (X = 4) = kans op 4 keer succes = . . .

P (X = 5) = kans op 5 keer succes = . . .

In het algemeen is dus

P (X = k) = Ckn pk (1− p)n−k

De kansverdeling en kanshistogram van de stochast X is

waarden kansxi pi

0 . . .

1 . . .

2 . . .

3 . . .

4 . . .

5 . . .

0.5

1.0

0 1 2 3 4 5 xi

(waarden)

pi

(kans)

3We gaan ervan uit dat de uitkomsten van elk van deze Bernoulli-experimenten elkaar niet beınvloeden.4De naam ‘binomiaal’ duidt op de verwantschap met de binomiaalcoefficienten Ck

n.

XIV-23

We kunnen de kansen pi ook met behulp van de grafische rekenmachine berekenen:

2ND DISTR 0:binompdf(

We berekenen de verwachtingswaarde

E(X) =∑

i

pi · xi = . . .

3 Eigenschap. Gegeven een stochast X met binomiale kansverdeling (n herhalingen) met p de kans op succes enq de kans op mislukking. Dan is

E(X) = np en Var(X) = npq

Bewijs. Het experiment bestaat uit een samenstelling van n Bernoulli-experimenten. Bij het i-de Bernoulli-experiment hoort een stochast Xi en uit het onderstaand schema volgt

X = X1 +X2 + . . .+Xn

Wegens eigenschap 5 op pagina XIV-8 is

E(X) = E(X1 +X2 + . . .+Xn)

= E(X1) + E(X2) + . . .+ E(Xn)

= p+ p+ . . .+ p︸ ︷︷ ︸n keer

= np

Omdat de Bernoulli-experimenten elkaar niet beınvloeden zullen de stochasten X1, X2, . . . , Xn onafhankelijkzijn, zodat wegens eigenschap 6 op pagina XIV-9

Var(X) = Var(X1 +X2 + . . .+Xn)

= Var(X1) + Var(X2) + . . .+ Var(Xn)

= p q + p q + . . .+ p q︸ ︷︷ ︸n keer

= n p q

XIV-24

2.2 Continue stochasten

Uniform verdeelde stochasten

Continue stochasten waarvan de uitkomsten over het hele bereikt even waarschijnlijk zijn, noemen we uniformverdeelde stochasten. Als er bijvoorbeeld ergens een kortsluiting in een kabel van 5 meter is, is de kans wat dezein een bepaald stuk kabel van 1cm voorkomt even groot voor elk kabelsegment van 1cm, waar dit zich ook in de kabelbevindt. Of als een veiligheidsinspecteur een willekeurig tijdstip tijdens vier werkuren in de middag uitkiest om eenonverwacht bezoek te brengen aan een bepaalde afdeling van een fabriek, dan heeft elk tijdsinterval van 1 minuut indeze periode van vier uur een even grote kans om gekozen te worden als tijdstip voor het bezoek.

3 Voorbeeld. Ann wacht in een restaurant op Pieter. Hij zal aankomen tussen 19 u. en 19.20 u. waarbij elktijdstip even waarschijnlijk is. Noem X de stochast die de aankomsttijd van Pieter (in minuten) aangeeft. Stelde kansdichtheidsfunctie f

Xop. Wat is de verwachtingswaarde?

Oplossing.

Omdat de kansdichtheidsfunctie fX

een constante functie is, noemen we de stochast X uniform verdeeld. Webepalen de verwachtingswaarde en de variantie

E(X) =

∫ 20

0

x · fX

(x) dx = . . .

Var(X) =

∫ 20

0

(x− µ)2 · fX

(x) dx = . . .

3 Eigenschap. Gegeven een continue stochast X die uniform verdeeld is op [a, b]. Dan wordt de kansdichtheids-functie gegeven door

fX

: [a, b]→ R

x 7→ fX

(x) =1

b− aen de verwachtingswaarde en variantie worden gegeven door

E(X) =a+ b

2en Var(X) =

(b− a)2

12

Bewijs.

XIV-25

Normale verdeelde stochasten

De normale verdeling speelt een zeer belangrijke rol in de theoretische statistiek en in de praktijk. Bij veel toevalligeverschijnselen kan de kansverdeling van de relevante stochast goed worden benaderd door een normale verdeling.Geınspireerd door de studie van de normale verdeling in Deel Beschrijvende statistiek vermelden we volgende definitieen eigenschap.

3 Definitie. Een continue stochast X noemt men normaal verdeeld indien de kansdichtheidsfunctie de volgendevorm aanneemt

fX

: R→ R

x 7→ fX

(x) =1√2πσ

e−12 ( x−µσ )

2

voor zekere µ ∈ R en σ ∈ R+0 . In dat geval schrijven we X ∼ N(µ, σ2).

3 Eigenschap. Gegeven een continue stochast X die normaal verdeeld is, dus X ∼ N(µ, σ2). Dan is

E(X) = µ en Var(X) = σ2

Som van normaal verdeelde stochasten

Men kan aantonen dat de som van een aantal normaal verdeelde stochasten die onderling onafhankelijk zijn zelf ooknormaal verdeeld is. Een bijzonder geval leidt tot de volgende

3 Eigenschap. Gegeven zijn stochasten X1, X2, . . . , Xn die normaal verdeeld zijn, onderling onafhankelijk en

met dezelfde verwachtingswaarde µ en variantie σ2. Beschouw de somstochast Xsomdef= X1 +X2 + . . .+Xn.

Dan geldt:

1. de somstochast is normaal verdeeld 5,

2. E(Xsom) = nµ ,

3. Var(Xsom) = nσ2 .

Bewijs van 2 en 3.

3 Modelvoorbeeld. Een wereldreiziger koopt ten behoeve van zijn videocamera 25 batterijen waarvan de levens-duur kan worden beschreven door een normale verdeling met µ = 20 uur en σ = 2 uur. Bereken de kans dat detotale draaitijd als geheel niet aan de norm van 480 uur voldoet.

Oplossing.

3 Opmerking. Vorig voorbeeld illustreert dat bij opeenstapeling van variabelen de standaardafwijking relatiefminder hard groeit dan de verwachtingswaarde van de som. Anders gezegd: bij een gemiddelde van 20 uur iseen standaarddeviatie van 2 uur relatief groter dan bij een standaarddeviatie van 10 uur bij een gemiddelde van500 uur. Dit komt nog meer tot uiting bij de volgende Toepassing 1.

5Een voor de hand liggende manier om dit te bewijzen is door het integraalvoorschrift van de kansdichtheidsfunctie Xsom, verkregendoor een oneigenlijke convolutie-integraal, met behulp van enkele geschikte substituties te herleiden naar het voorschrift van een normaleverdeling.

XIV-26

Toepassing 1 - Steekproefgemiddelden en voorspellingsintervallen

Aangezien de som van een aantal normaal verdeelde stochasten zelf ook normaal verdeeld is, zal het gemiddelde (deelde som door het aantal) zelf ook normaal verdeeld zijn. In het bijzonder geldt

3 Eigenschap. Gegeven zijn stochasten X1, X2, . . . , Xn die normaal verdeeld zijn, onderling onafhankelijk enmet dezelfde verwachtingswaarde µ en variantie σ2.

Beschouw de gemiddelde stochast Xdef= 1

n (X1 +X2 + . . .+Xn). Dan geldt:

1. de gemiddelde stochast X is normaal verdeeld,

2. E(X) = µ ,

3. Var(X) =σ2

n.

Bewijs van 2 en 3. Wegens de eigenschap op pagina XIV-26 is

E(X) = E

(1

n·Xsom

)=

1

n· E(Xsom) =

1

n· nµ = µ

en

Var(X) = Var

(1

n·Xsom

)=

1

n2·Var(Xsom) =

1

n2· nσ2 =

σ2

n

Dit besluit het bewijs.

De formule σX

= σ/√n drukt uit dat, bij een serie waarnemingen, de spreiding van de gemiddelde stochast een

factor√n kleiner is dan die van een ‘losse waarneming’ (individuele stochast Xi). In de literatuur noemt men

deze formule soms de wortel-n-wet. Deze eigenschap is voor de praktische statistiek van buitengewoon belang.We illustreren met volgend

3 Modelvoorbeeld 1. Een variabele X is normaal verdeeld met µX

= 100 en σX

= 10. We doen van dezevariabele 25 waarnemingen.

(a) Hoe groot is de kans dat een afzonderlijke waarneming Xi meer dan 4 afwijkt van 100?

(b) Hoe groot is de kans dat het gemiddelde van de 25 waarnemingen meer dan 4 afwijkt van 100?

Oplossing.

(a) Met behulp van het commando normalcdf vinden we P (X < 96) ≈ 0, 3446, zodat P (X < 96 of X >104) ≈ 68, 92%. Dus ongeveer 69% van de individuele uitkomsten wijken minstens 4 eenheden af van het100.

(b) Het gemiddelde X van een serie van 25 waarnemingen is normaal verdeeld met

µX

= µX

= 100 en σX

=σX√n

= 2

De kans dat het gemiddelde van de 25 waarnemingen meer dan 4 afwijkt van 100 is dus

P (X < 96) + P (X > 104) ≈ 0, 0456 = 4, 56%

Op precies dezelfde manier als bij het bepalen van voorspellingsintervallen van normaal verdeelde variabelen (zie DeelBeschrijvende statistiek) kunnen we ook voor de gemiddelde variabele X een voorspellingsinterval construeren.

3 Modelvoorbeeld 2. De tijd die nodig is voor het lossen en opnieuw laden vaneen containerschip wordt beschreven door een variabele die normaal verdeeld ismet µ = 180 minuten en σ = 20 minuten. Bepaal een 95%-voorspellingsintervalvoor het gemiddelde van een steekproef van n = 25 waarnemingen voor deafhandeltijd van een willekeurig containerschip (dus een interval waarin metkans 95% het gemiddelde van een nog te nemen steekproef zal liggen).

Oplossing.

XIV-27

Toepassing 2 - De centrale limietstelling

In Toepassing 1 vonden we dat het gemiddelde van een aantal normaal verdeelde stochasten zelf ook normaal verdeeldis. Een van de krachtigste resultaten in de statistiek is dat in het geval de stochasten niet normaal verdeeld zijn, ditresultaat nog steeds waar is. De bekendste formulering hiervan is de volgende

3 Stelling (centrale limietstelling van Lindeberg-Levy6).

Gegeven zijn stochasten X1, X2, . . . , Xn die identiek7 verdeeld zijn, onderling onafhankelijk en met dezelfdeverwachtingswaarde µ en variantie σ. Beschouw de gemiddelde stochast X = 1

n (X1 +X2 + . . .+Xn). Dangeldt:

als n→ +∞ dan is X normaal verdeeld met gemiddelde µ en variantie σ2/n

Bewijs. Valt buiten het bestek van deze cursus.

3 Opmerking. De centrale limietstelling kan - onder geschikte voorwaarden - ver-algemeend worden voor willekeurige stochasten X1, . . . , Xn, die dus niet identiekverdeeld hoeven te zijn. Zo’n veralgemening verklaart meteen waarom bepaaldefenomenen normaal verdeeld zijn. Denken we bijvoorbeeld aan de heupomtrekvan volwassen vrouwen, dan is deze bepaald door tal van factoren (leeftijd, ge-wicht, erfelijkheid, voeding, milieu, etc.). De heupomtrek van volwassen zaldus - de som van tal van stochasten zijnde - wegens de centrale limietstellingnormaal verdeeld zijn.

Een andere toepassing is volgend

3 Applet. Op de website http://www.stat.sc.edu/∼west/javahtml/CLT.html is een java-applet beschikbaardat de centrale limietstelling demonstreert door het meermaals opgooien van dobbelstenen. In de volgende afdrukwerden vijf dobbelstenen 10000 keer opgegooid. Het gemiddelde van deze 10 000 stochasten neigt duidelijk naareen normale verdeling.

3 Voorbeeld. Als men 300 willekeurige decimale getallen eerst tot op de dichtstbijzijnde eenheid afrondt envervolgens optelt, wat is de kans dat de verkregen som ten hoogste vijf eenheden afwijkt van de werkelijke somvan de decimale getallen?

Oplossing. De fout die door afronding wordt gemaakt kan worden opgevat als een stochast die uniform verdeeldis over het interval [−0, 5; 0, 5]. Met andere woorden, stellen we stochast Xi: “afrondingsfout bij het i-de getal”,dan is Xi uniform verdeeld met verwachtingswaarde en variantie (bereken):

E(Xi) = . . .

Var(Xi) = . . .

zodat µ = 0 en σ2 = 1/12. De totale fout kan dan beschreven worden door de stochast Xsom = X1 + X2 +. . .+X300. Wegens de centrale limietstelling is de totale fout Xsom normaal verdeeld met gemiddelde µ = 0 envariantie 300 · σ2 = 25. De kans dat de verkregen som ten hoogste vijf eenheden afwijkt van de werkelijke somis dan (vul aan)

P (|Xsom| < 5) = P (−5 < Xsom < 5) = . . .

6De centrale limietstelling kent een rijke geschiedenis. Een eerste versie werd gepostuleerd door Abraham de Moivre 1733, waarhij de normale verdeling gebruikte om, bij een lange reeks worpen van een eerlijk muntstuk, het aantal keer kop te benaderen. In 1812breidde Pierre-Simon Laplace dit resultaat uit door de binomiale verdeling te benaderen met behulp van de normale verdeling, zieToepassing 3. Het resultaat werd onderkend tot Aleksandr Lyapunov in 1901 het belang hiervan inzag en een meer algemene versievan de centrale limietstelling bewees. In 1920 vond Jarl Waldemar Lindeberg onafhankelijk een analoog resultaat. De term ‘centralelimietstelling’ is afkomstig van George Polya 1920, die met ‘centraal’ het belang van dit resultaat in de kansrekening onderstreepte.Essentiele bijdragen werden ook geleverd door Cauchy, Bessel, Poisson, Mises, Khinchin, Levy, Cramer, Chebyshev, Markov, Turing, Rice,Feller e.a.. Tenslotte vermelden we dat Olav Kallenberg in 1997 een ‘zes-regel-bewijs’ van de centrale limietstelling opstelde, steunendop inverse Fourier-transformaties.

7Met identiek verdeeld bedoelen we dat de stochasten Xi allen dezelfde kansverdelingsfunctie hebben.

XIV-28

Toepassing 3 - Betrouwbaarheidsinterval voor het populatiegemiddelde

Voor een variabele waarvan de verwachtingswaarde µ en standaardafwijking σ bekend zijn, kunnen we voorspellingendoen voor waarden en parameters van een nog uit te voeren steekproef.

3 Voorspellingsinterval bij een normale verdeling. Als de variabele normaal verdeeld is en als µ en σbekend zijn, dan kan vooraf een interval bepaald worden waarbij we met 95% zekerheid kunnen zeggen dateen steekproef met een waarde in dat interval ligt. Zo’n interval noemen we een 95%-voorspellingsinterval (zieDeel Beschrijvende statistiek) en de formule wordt gegeven door het tweesigma-gebied [µ− 2σ, µ+ 2σ]. Ook bijandere bijzondere kansverdelingen bestaan er formules voor zo’n voorspellingsinterval.

3 Voorspellingsinterval voor het steekproefgemiddelde. Als µ en σ bekend zijn, dan kan vooraf een intervalbepaald worden waarbij we met 95% zekerheid kunnen zeggen dat het steekproefgemiddelde van een steekproef indat interval ligt. Inderdaad, wegens de centrale limietstelling uit Toepassing 2 volgt dat de kansverdeling van hetgemiddelde x normaal verdeeld is met verwachtingswaarde µ en standaardafwijking σ/

√n, waarbij n staat voor de

grootte van de steekproef. We kunnen met 95% zekerheid voorspellen dat het steekproefgemiddelde behoort tot[µ− 2σ/

√n, µ+ 2σ/

√n]. Zo’n interval noemen we een 95%-voorspellingsinterval voor het steekproefgemiddelde

(zie Toepassing 1).

In de praktijk zal de verwachtingswaarde µ van de populatie onbekend zijn. Als we een voldoende grote steekproefnemen, waarvan we aannemen dat deze aselect is, dan kunnen we de onbekende parameter µ “schatten” door hetsteekproefgemiddelde x. Maar in welke mate kunnen we deze schatting betrouwen? Dat wordt uitgedrukt met eenzogenaamd betrouwbaarheidsinterval.

Wegens de centrale limietstelling uit Toepassing 2 is het steekproefgemiddelde x voordat we de steekproef nemen bijbenadering normaal verdeeld met verwachtingswaarde µ en standaardafwijking σ/

√n. Uit de voorgaande bespreking

over voorspellingsintervallen volgt dan:

95% is de kans dat x ∈[µ− 2

σ√n, µ+ 2

σ√n

]

⇒ 95% is de kans dat µ− 2σ√n≤ x en x ≤ µ+ 2

σ√n

⇒ 95% is de kans dat µ ≤ x+ 2σ√n

en x− 2σ√n≤ µ

⇒ 95% is de kans dat µ ∈[x− 2

σ√n, x+ 2

σ√n

]

Het interval [x− 2σ/√n, x+ 2σ/

√n] noemen we een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor µ: het is een regel die ons

zegt hoe we uit de steekproef een interval moeten berekenen dat de waarde van µ met een waarschijnlijkheid van 95%bevat. Meestal kennen we ook de waarde van de populatiestandaardafwijking σ niet. Maar voor grote steekproevenvolstaat het om σ te vervangen door de standaardafwijking s van de steekproef.

3 Modelvoorbeeld. Een grote bank wil een schatting maken van het verwachte bedrag dat de bank tegoedheeft van nalatige debiteuren (debiteuren die meer dan twee maanden met hun betaling achterlopen). Daartoeneemt de bank een steekproef van 100 achterstallige rekeningen en verkrijgt als steefproefgemiddelde 233, 28euro en standaardafwijking 90, 34 euro. Bepaal een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de verwachting van alleachterstallige tegoeden.

Oplossing. Een 95%-betrouwbaarheidsinterval van het populatiegemiddelde µ wordt gegeven door

[x− 2

s√n, x+ 2

s√n

]=

[233, 28− 2

90, 34√100

, 233, 28 + 290, 34√

100

]= [215, 57; 250, 99]

Kunnen we er in voorgaand voorbeeld zeker van zijn dat µ, de werkelijke verwach-tingswaarde, in het interval [215, 57; 250, 99] ligt? We kunnen er niet zeker van zijn,maar we kunnen er wel redelijk veel vertrouwen in hebben. Dit vertrouwen is geba-seerd op de wetenschap dat als we herhaaldelijk aselecte steekproeven van honderdmeetwaarden uit deze populatie zouden nemen en iedere keer zo’n interval zouden vor-men, in ongeveer 95% van de gevallen µ binnen het interval zal liggen. Nevenstaandefiguur laat zien wat er gebeurt als er verschillende steekproeven uit een populatieworden getrokken en er steeds een betrouwbaarheidsinterval voor µ wordt berekend(horizontale lijnstukken). Die intervallen worden telkens vergeleken met de werkelijkeverwachtingswaarde µ (verticale lijn). De uitkomsten van de betrouwbaarheidsinter-vallen verschillen van steekproef tot steekproef - meestal bevatten ze µ maar somsook niet. Op den duur zal 95% van de intervallen µ wel bevatten en 5% niet.

XIV-29

Toepassing 4 - De binomiale kansverdeling benaderen met de normale verdeling

Het berekenen van kansen bij de binomiale verdeling gebeurt in principe door de formule van deze verdeling toe tepassen (zie pagina XIV-23):

als X ∼ B(n, p) dan is P (X = k) = Cknpk(1− p)n−k

Indien de omvang n groot is, dan dreigen er moeilijkheden. Niet alleen wordt de uitdrukking Ckn uitermate lastig teberekenen, maar ook de getallen p en 1 − p zullen tot hoge machten moeten worden gebracht. Precies om dit soortmoeilijkheden te omzeilen heeft men methoden ontwikkeld om de binomiale verdeling met andere kansverdelingen tebenaderen, bijvoorbeeld met behulp van de normale verdeling 8. Deze benadering heeft ook theoretisch belang.

3 Voorbeeld. Een postorderbedrijf weet dat 60% van de gezinnen die een catalogus hebben aangevraagd ookdaadwerkelijk een bestelling plaatsen. Na het verschijnen van de advertentie worden 20 exemplaren van decatalogus aangevraagd. Noem de stochast X: het aantal klanten dat een bestelling doet.

(a) Bepaal het kanshistogram van de stochast X.

(b) Bereken de kans dat minstens 15 van de 20 klanten een bestelling plaatsen:

. met behulp van de binomiale verdeling,

. met behulp van de benaderde normale verdeling.

Oplossing. De stochast X is binomiaal verdeeld, waarbij n = 20 en p = 0, 6. Dus X ∼ B(20, 0.6).

. Lijst met waarden 0, 1, . . . , 20 invoeren (stelt aantal keer succes voor): 2ND LIST OPS

. Lijst met kansen P (X = k) invoeren (stelt kans op k keer succes voor): seq(binompdf(20,0.6,A),A,0,20)

. Kanshistogram van de binomiale verdeling plotten:

Het valt ons op dat de vorm van het kanshistogram sterke gelijkenis vertoont met de grafiek van een normaleverdeling. We moeten ons hierbij evenwel realiseren dat de binomiale verdeling discreet is, terwijl de normaleverdeling een continu karakter heeft. Behalve de optische gelijkenis is er ook nog een ander argument dat onsbrengt tot de normale verdeling. In Toepassing 2 noemden we reeds de centrale limietstelling, die zegt datbij een lange serie identieke experimenten de verdeling van de som (of het gemiddelde) van de uitkomsten eenkansvariabele is die bij benadering normaal verdeeld is.

Om de passende normale verdeling te vinden, hante-ren we de formules op pagina XIV-23:

µ = E(X) = np = 12 en σ2 = Var(X) = npq = 4, 8

zodat µ = 12 en σ =√

4, 8 ≈ 2, 19. Ter controleplotten we de grafiek van de normale verdeling.

Tenslotte berekenen we de kans dat minstens 15 van de 20 klanten een bestelling plaatsen (een overschrijdingskans):

. met behulp van de binomiale verdeling: 1− binomcdf( 20, 0.6, 14) = . . .

. met behulp van de benaderde normale verdeling: normalcdf( 14.5, E99, 12, 2.19) = . . .

8Een andere bekende benadering is de zogenaamde poissonverdeling, zie Oefening 13.

XIV-30

Toepassing 5 - Som van uniform verdeelde stochasten

Beschouw een aantal identiek verdeelde stochasten X1, X2, . . . , Xn, onderling onafhankelijk, met somstochast Xsom

gemiddelde stochast X. Wegens de centrale limietstelling zal voor n→ +∞ gemiddelde stochast X normaal verdeeldzijn. Dat betekent dat ook de somstochast Xsom normaal verdeeld is. Maar dat betekent geenszins dat een eindigesom ook normaal verdeeld is. In het geval de stochasten Xi uniform verdeeld zijn, kan men de gemiddelde stochast Xprecies beschrijven.

3 Eigenschap. Gegeven zijn stochasten X1, X2, . . . , Xn die uniform verdeeld zijn, onderling onafhankelijk enmet hetzelfde bereik [0, 1]. Dan heeft de somstochast X = Xsom = X1 +X2 + . . .+Xn als kansdichtheidsfunctiede zogenaamde Irwin - Hall distributie9

fX

(x, n) =1

2(n− 1)!

n∑

k=0

(−1)k · Ckn · (x− k)n−1 · sign(x− k)

Bewijs. Valt buiten het bestek van deze cursus.

Onderstaande figuur geeft de kansdichtheidsfuncties voor de gevallen n = 1, 2, 3 en 4 weer. Naarmate n groter wordt,neigt de vorm grafiek naar de Gausskromme. Aan de hand van deze kleine gevallen kan lezer patronen ontdekken,waaronder het feit dat

voor x ∈ [0, 1] geldt fX

(x, n) =1

(n− 1)!xn−1

1

1

y

x

fX(x, 1)

Xsom = X1

fX(x, 1) =

1 als 0 ≤ x ≤ 1

0 elders

1

1 2

y

x

fX(x, 2)

Xsom = X1 +X2

fX(x, 2) =

x als 0 ≤ x ≤ 1

2− x als 1 ≤ x ≤ 2

0 elders

1

1 2 3

y

x

fX(x, 3)

Xsom = X1 +X2 +X3

fX(x, 3) =

1

2x2 als 0 ≤ x ≤ 1

1

2(−2x2 + 6x− 3) als 1 ≤ x ≤ 2

1

2(x2 − 6x+ 9) als 2 ≤ x ≤ 3

0 elders

1

1 2 3 4

y

x

fX(x, 4)

Xsom = X1 +X2 +X3 +X4

fX(x, 4) =

1

6x3 als 0 ≤ x ≤ 1

1

6(−3x3 + 12x2 − 12x+ 4) als 1 ≤ x ≤ 2

1

6(3x3 − 24x2 + 60x− 44) als 2 ≤ x ≤ 3

1

6(−x3 + 12x2 − 48x+ 64) als 3 ≤ x ≤ 4

0 elders

9Opgesteld door Joseph Oscar Irwin en Philip Hall in 1927.

XIV-31

Oefeningen

2 Bijzondere kansverdelingen Basis Verdieping Uitbreiding

2.1 Discrete stochasten 1234

56

789

1011

12 13

2.2 Continue stochasten 141516

1718

192021

22 23 24 25

Oefeningen bij §2.1

B Oefening 1. Geef bij elk experiment aan wat de bijzondere kansverdeling van de corresponderende discrete stochastis (uniform, Bernoulli of binomiaal).

(a) Opgooien van een eerlijk muntstuk.

(b) Geslacht van 10 pasgeboren kinderen.

(c) Al dan niet groen zijn van iemands ogen.

(d) Levensvatbaarheid van een mug nadat er insecticide is gespoten.

B Oefening 2. Geef aan welke van de volgende beweringen niet waar is voor een binomiale kansverdeling.

© De succeskans p is constant bij iedere poging.

© Het aantal successen in n pogingen is constant.

© De verwachtingswaarde is np.

© De variantie is np(1− p).

B Oefening 3. Van een groep scholieren is bekend dat slechts 20% het huiswerk maakt voor een bepaald vak. Deleerkracht besluit het werk van zes willekeurig gekozen leerlingen te controleren. Hoe groot is de kans dat hierbijslechts twee leerlingen zijn die hun huiswerk gemaakt hebben?

B Oefening 4. Bij het toedienen van een geneesmiddel is er 15% kans op maagklachten. Bereken de kans dat bij tienwillekeurige patienten er minstens twee met maagklachten zijn.

B? Oefening 5. Men heeft vastgesteld dat er bij tests met een leugendetector 20% kans is dat een persoon als leuge-naar aangewezen wordt, terwijl hij toch de waarheid spreekt. Een groep van 25 sollicitanten voor een baan bij destaatsveiligheid wordt onderworpen aan een dergelijke test. Veronderstel dat al die sollicitanten eerlijk zijn.

(a) Hoe groot is de kans wat de leugendetector geen enkele sollicitant als leugenaar aanwijst?

(b) Hoe groot is de kans dat de leugendetector ten minste 3 leugenaars vindt?

B? Oefening 6. Om de kwaliteit van twee merken van achterknipperlichten te toetsen, gaat men in n (onafhankelijke,identieke) auto’s links een knipperlicht van merk A en rechts een knipperlicht van merk B installeren. Noem succes alsin een auto knipperlicht A langer meegaat dan B (en mislukking omgekeerd). Stel dat de beide knipperlichten juisteven goed zijn (dus de kans op succes is 50%).

(a) Stel n = 10. Hoe groot is de kans op 7 of meer successen?

(b) Stel n = 100. Hoe groot is dan de kans op 70 of meer successen?

B?? Oefening 7. Op een autoweg zijn de verkeerslichten zo geregeld dat ze 65% vande tijd op groen staan en 35% van de tijd op rood. Iemand moet dagelijks de 7kruispunten met verkeerslichten passeren. Bereken de kans dat deze persoon

(a) vijf keer kan doorrijden,

(b) minstens vier keer kan doorrijden,

(c) minder dan vier keer kan doorrijden.

XIV-32

B?? Oefening 8. Een multiplechoice-examen bestaat uit tien vragen die elk drie antwoordmogelijkheden kennen, waarvaner precies een correct is. Een kandidaat die volstrekt niet weet wat hij moet antwoorden, kruist naar willekeur bij elkvan de tien vragen een antwoord aan.

(a) Bereken de kans op respectievelijk nul, een of twee antwoorden goed.

(b) Bereken de kans dat hij slaagt (en dus minstens vijf antwoorden goed heeft).

(c) Welk resultaat mag de kandidaat verwachten?

wasmachine uit 19de eeuw

B?? Oefening 9. In sommige dozen waspoeder zit een bon waarmee je bij de volgendeaankoop vier euro korting krijgt. Bij een op vijf dozen zit zo’n bon.

(a) Wat is de kans dat je bij aankoop van drie dozen in totaal twee bonnen aantreft?

(b) Wat is de kans dat je bij aankoop van 10 dozen minder dan 3 bonnen aantreft?

(c) Wat is de kans dat je bij aankoop van 10 dozen meer dan 4 bonnen aantreft?

(d) We gaan ervoor en kopen ineens 20 dozen waspoeder. Hoeveel bonnen mag jeverwachten?

V Oefening 10. Een vliegtuigmaatschappij huurt 40 plaatsen bij SN Brussels Airlinesvoor zakenvluchten op Barcelona. Er wordt zoals steeds aan overboeking gedaan:men schrijft tot 42 reizigers in. De kans dat een klant die boekt de zakenreis effectiefmeevliegt wordt geschat op 90%. Hoe groot is de kans dat door deze overboeking nietalle opgedaagde passagiers kunnen vertrekken?

V Oefening 11. Van een bloembollensoort is bekend dat 5% van de bollen niet opkomt. De bollen worden verpaktin dozen van tien stuks met de garantie dat ten minste negen van de tien bollen zullen opkomen. De bollen komenonafhankelijk van elkaar al dan niet op.

(a) Bereken de kans dat van een doos alle bollen opkomen.

(b) Bereken de kans dat een aselect gekozen doos de gegarandeerde eigenschap niet heeft.

V? Oefening 12. Bij 10 worpen naar de ring is de kans dat een basketspeler 9 maal scoort even groot als de kans dathij 10 maal scoort. We nemen hierbij aan dat de uitkomsten van de worpen elkaar niet beınvloeden. Wat is kans opsucces bij een worp?

U? Oefening 13 (Poissonverdeling). Een type kansverdeling dat vaak bruikbaar is voor het beschrijven van hetaantal gebeurtenissen dat in een bepaalde tijdsperiode of in een bepaald oppervlak of volume zal optreden, is dePoissonverdeling10

pX(x) =λxe−λ

x!waarbij λ > 0 staat voor het aantal gebeurtenissen in een bepaalde eenheid van tijd, oppervlakte, volume enzovoort.Met behulp van de grafische rekenmachine kunnen we pX(x) berekenen via 2nd DISTR B:poissonpdf(λ, x). Men kanaantonen dat voor een poissonverdeelde stochast X geldt dat E(X) = λ en Var(X) = λ. Voorbeelden van stochastenwaarvoor de Poissonverdeling een goed model is, zijn:

. het aantal bedrijfsongevallen in een maand in een fabriek,

. het aantal zichtbare oppervlaktedefecten dat door kwaliteitsinspecteurs op een nieuwe auto wordt gevonden,

. het aantal parts per million (ppm) van een giftige stof die in het afvalwater of in de afvalgassen van een fabriekwordt gevonden,

. het aantal klanten dat in een bepaalde tijdseenheid de kassa van een supermarkt passeert,

. het aantal fouten in 100 facturen in de boekhouding van een onderneming.

Het aantal medewerkers van een onderneming dat op maandag afwezig is, wordt beschreven door een stochast X diePoissonverdeeld is. Gemiddeld zijn er 2, 6 medewerkers op maandag afwezig.

(a) Bepaal de verwachtingswaarde en de standaardafwijking van het aantal medewerkers dat op een bepaalde maan-dag afwezig is.

(b) Bepaal de kans dat precies vijf medewerkers op een maandag afwezig zijn.

(c) Bepaal de kans dat minder dan twee medewerkers op een maandag afwezig zijn.

(d) Bepaal de kans dat meer dan vijf medewerkers op een maandag afwezig zijn.

10 Simeon Denis Poisson 1837. Een bekende praktische toepassing van deze verdeling werd bescheven door Ladislaus Bortkiewiczin 1898, toen hem gevraagd werd het aantal soldaten uit het Pruisische leger te tellen die verongelukten door de stamp van een paard.

De Poissonverdeling kan afgeleid worden als limietgeval van een binomiale verdeling met n herhalingen en kans op succes bij een pogingp = λ/n, wanneer n naar oneindig gaat.

XIV-33

Oefeningen bij §2.2

B Oefening 14. Veronderstel dat de tijdsduur X tussen opeenvolgende keren opladen van een mobiele telefoon eennormale verdeling heeft met verwachting van tien uur en een standaardafwijking van 1, 5 uur. Bepaal een 95%-voorspellingsinterval voor het gemiddelde van een steekproef van 30 waarnemingen voor de tijdsduur tussen opeenvol-gende keren opladen van de mobiele telefoon.

B Oefening 15. Van een bepaald type batterij heeft de gebruiksduur een standaardafwijking van 5 uur, maar is degemiddelde gebruiksduur onbekend. Men neemt een aselecte steekproef van 100 batterijen en bepaalt de gebruiksduur.Dit levert een steekproefgemiddelde van 46 uur op. Bepaal de uitkomst van een 95%-betrouwbaarheidsinterval voorhet populatiegemiddelde.

B Oefening 16. Een aselecte steekproef van 70 waarnemingen wordt getrokken uit een normaal verdeelde populatie.Het steekproefgemiddelde bedraagt 26, 2 en de steekproefstandaardafwijking 4, 1. Bepaal de uitkomst van een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor µ.

B? Oefening 17. Een fabrikant van autoaccu’s beweert dat de verdeling van de levensduur van zijn type accu eenverwachtingswaarde van 54 maanden heeft, met een standaardafwijking van 6 maanden. Stel dat een consumen-tenorganisatie besluit om deze bewering te toetsen door een steekproef van 50 van dit type accu’s te kopen en hunlevensduur te bepalen.

(a) Als we aannemen dat de bewering van de fabrikant juist is, wat is dan de kans dat de 50 accu’s van de consu-mentenorganisatie een gemiddelde levensduur van 52 of minder maanden hebben?

(b) Stel dat de steekproef van de consumentenorganisatie een gemiddelde van 52 maanden oplevert. Als we aanne-men dat de standaardafwijking van de fabrikant juist is, bepaal dan een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor deverwachting van alle autoaccu’s.

B? Oefening 18. De researchafdeling van een staalfabrikant denkt dat een van de walsen van het bedrijf staalplatenmet uniform varierende dikte produceert, waarbij de dikte een uniforme verdeling heeft met mogelijke waarden tussen150mm en 200mm. Platen met een dikte van minder dan 160mm vallen af, omdat ze voor de afnemer niet meeracceptabel zijn.

(a) Bereken en interpreteer de verwachting en de standaardafwijking van de dikte van de platen die door dezemachine wordt geproduceerd.

(b) Maak een grafiek van de kansverdelingsfunctie en geef de verwachting op de horizontale as aan. Geef ook hetinterval met waarden aan die hoogstens 1 standaardafwijking van de verwachting liggen.

(c) Bereken de fractie staalplaten uit deze machine die moeten afvallen.

B?? Oefening 19. De tijd die een vertegenwoordiger nodig heeft voor het bezoeken van een klant wordt weergegeven doorde stochast X. Op grond van ervaring is bekend dat X normaal verdeeld is met µ = 45 minuten en σ = 10 minuten(in de tijdsduur X is ook de reistijd opgenomen). De tijdsduren van bezoeken zijn onderling onafhankelijk.

(a) Hoe groot is de kans dat een willekeurig bezoek meer dan 60 minuten vergt?

(b) Hoe groot is de kans dat acht bezoeken meer dan 6, 5 uren vergen?

(c) De vertegenwoordiger moet op zekere dag tien klanten bezoeken. Hoeveel tijd T moet hij reserveren om met95% kans de tien bezoeken binnen de tijdsduur T te kunnen afhandelen?

magnetische geheugenchip

B?? Oefening 20. Een groothandel in geheugenchips levert partijen ‘tweede soort’ diegemiddeld 20% defecte exemplaren bevatten.

(a) Hoe groot is de kans dat bij vijf willekeurig gekozen geheugenchips precies eendefect exemplaar is?

(b) Bereken de kans op 0, 1, 2, 3, 4 en 5 defecte exemplaren bij de steekproef vanvijf stuks.

(c) Een afnemer wil bij de groothandel een partij ‘tweede soort’-geheugenchipsbestellen. De afnemer heeft 50 deugdelijke geheugenchips nodig. Rekening hou-

dend met de mogelijkheid dat een aantal exemplaren defect is, besteld hij een partij ‘tweede soort’ van 60stuks. Bereken de kans dat de bestelde partij minstens 50 deugdelijke geheugenchips bevat door de binomialekansverdeling te benaderen met de normale verdeling.

XIV-34

B?? Oefening 21. De montagetijd van een apparaat is een fabriek is te beschouwen als een variabele die normaal verdeeld ismet een verwachtingswaarde van 40 minuten en een standaardafwijking van 4 minuten. Na het invoeren van een nieuwsysteem voor de montage is de chef van de afdeling benieuwd of de gemiddelde montagetijd hierdoor korter is geworden.Voor een aantal montages (noem dit aantal n) vond hij als gemiddelde montagetijd 36 minuten. We gaan ervan uit datde montagetijden nog steeds normaal verdeeld zijn met σ = 4 minuten. Bereken een 95%-betrouwbaarheidsintervalvoor µ in de volgende gevallen.

(a) Als n = 16 waarnemingen zijn gebruikt voor het berekenen van x = 36 minuten.

(b) Als n = 100 waarnemingen zijn gebruikt voor het berekenen van x = 36 minuten.

(c) Als n = 4 waarnemingen zijn gebruikt voor het berekenen van x = 36 minuten.

V Oefening 22. Een kansvariabele X volgt een uniforme verdeling op het interval [0, 1]. Van deze variabele doen wetwaalf (onderling onafhankelijke) trekkingen. Bereken de kans dat de som van die twaalf trekkingen meer dan 8 is.

V? Oefening 23. Een automobilist rijdt elke werkdag over een secundaire weg waarvoor een maximumsnelheid geldt van70 kilometer per uur. Langs deze weg staat een flitspaal opgesteld waarmee de snelheid van auto’s wordt gemeten.Deze flitspaal functioneert gemiddeld een op de tien dagen. Onze automobilist rijdt op deze weg met een snelheid dienormaal verdeeld is met µ = 68 kilometer per uur en σ = 4 kilometer per uur.

(a) Hoe groot is de kans dat de automobilist op zekere dag harder rijdt dan 70? En harder dan 75?

(b) Er wordt pas een boete van 50 euro gegeven indien voor de auto minstens een snelheid van 75 wordt gemeten.Hoe groot is naar verwachting het boetebedrag per jaar (250 dagen) van de automobilist (gegeven het feit datde flitspaal lang niet altijd werkt)?

(c) Indien de gemeten snelheid 80 kilometer per uur is of hoger, volgt een boete van 100 euro. Bereken opnieuw hetjaarlijks te verwachten boetebedrag.

U? Oefening 24 (exponentiele verdeling). De tijd die verstrijkt tussen de aankomst van opeenvolgende klanten bijeen drive-throughrestaurant, het tijdsinterval tussen storingen in een productiemachine en het tijdsinterval tussenopeenvolgende registraties van claims bij een kleine verzekeringsmaatschappij zijn allemaal voorbeelden van gebeurte-nissen in een bedrijf waarop we kansrekening zouden willen toepassen. Het tijdsinterval tussen opeenvolgende toevalligegebeurtenissen zoals deze, kan vaak worden beschreven door exponentiele verdeling (of wachttijdverdeling)

fX

: R+ → Rx 7→ f

X(x) = λe−λx

waarbij λ > 0. Men kan aantonen dat voor een exponentieel verdeelde stochast X geldt dat E(X) = 1/λ en Var(X) =1/λ. Uit Deel Integralen volgt onmiddellijk dat voor a ∈ R+

P (X ≥ a) = e−λa

magnetronbuis

Een fabrikant van magnetrons probeert te bepalen welke garantieperiode hij moetgeven voor de magnetronbuis, het meest kritische onderdeel van de oven. Voorlopigetests hebben uitgewezen dat de levensduurX (in jaren) een exponentiele kansverdelingheeft met λ = 0, 16.

(a) Bepaal de verwachtingswaarde en de standaardafwijking van de stochast X.

(b) Stel dat er op de magnetronbuis een garantie van vijf jaar wordt gegeven. Welkpercentage magnetronbuizen moet de fabrikant dan vervangen, gesteld dat hetexponentiele model met λ = 0, 16 juist is?

(c) Bepaal de kans dat de levensduur van een magnetronbuis binnen het intervalµ− 2σ tot µ+ 2σ ligt.

U?? Oefening 25 (stochastische betekenis van het getal e). Beschouw het experiment waarbij je een willekeurig reeelgetal x1 kiest in het interval [0, 1]. Is x1 < 1, kies dan een tweede reeel getal x2 in het interval [0, 1]. Is x1 + x2 < 1,kies dan een derde reeel getal x3 in het interval [0, 1]. Enzovoort, zodat je een eindige rij x1, x2, . . . , xt bekomt waarbijx1 + x2 + . . .+ xt ≥ 1 en x1 + x2 + . . .+ xt−1 < 1. Noem X de stochast die met elke uitkomst x1, x2, . . . , xt van hetexperiment het aantal stappen t associeert.

(a) Bewijs met behulp van de kansverdeling van de stochast X dat

1 =1

2!+

2

3!+

3

4!+

4

5!+ . . .

(b) Bewijs dat de verwachtingswaarde van de stochast X gelijk is aan het getal van Euler, neem hierbij aan dat

e = 1 +1

1!+

1

2!+

1

3!+

1

4!+

1

5!+ . . .

XIV-35

Inzicht in psychometrie

Een meerkeuzevraag (ook wel multiplechoicevraag genoemd), is een vraag waarbij uit een beperkt aantal antwoor-den kan worden gekozen. De aangeboden antwoorden worden in deze context alternatieven genoemd. Behalve bijschoolexamens worden meerkeuzetoetsen gebruikt bij quizzen, rijexamens en psychodiagnostische tests. Een meer-keuzevraag is een meetinstrument waarbij men peilt naar de kennis van de respondent en derhalve onderwerp vanstudie in de psychometrie11, een tak van de toegepaste psychologie.

Op een schaakbord heb-ben tegenoverliggende hoe-ken hetzelfde kleur.

3 Voorbeeld. Beschouw

I. een acht-bij-acht schaakbord;

II. een acht-bij-acht schaakbord waarbij twee tegenoverliggende hoekenverwijderd zijn;

III. een acht-bij-acht schaakbord waarbij de vier hoeken verwijderd zijn.

Welke van deze vormen kan betegeld worden met twee-bij-een dominostenen,zonder overlappingen of gaten?

A. Enkel I.

B. Enkel II.

C. Enkel I en II.

D. Enkel I en III.

E. I, II en III.

Voor het toekennen van de punten maken we onderscheid tussen twee evaluatiesystemen.

Klassieke evaluatieBij een klassieke evaluatie kent men aan elk goed ant-woord 1 punt toe en aan een fout of blanco antwoord 0punten. Noemen we X de stochast die het aantal pun-ten weergeeft bij het gissen van een vraag met N = 5alternatieven (rechterfiguur), dan verkrijgen we als ver-wachtingswaarde

E(X) =∑

i

pixi =4

5· 0 +

1

5· 1 =

1

5= 20%

Een respondent die zonder nadenken blindelings alter-natieven aankruist, heeft in dit evaluatiesysteem statis-tisch gezien toch een positieve goedscore.

Ω

p(0) = P (fout)

= 4/5

P

R

X

0 1

pX

fout

goed

X

xi pi

0 4/5

1 1/5

1

GiscorrectieOm het gissen tegen te gaan, zal men de klassieke eva-luatie corrigeren door c punten af te trekken bij eenfoutief antwoord. Deze evaluatie staat bij studenten be-kend onder de term giscorrectie. De meest rechtvaar-dige manier van giscorrectie bepalen we door te zorgendat de gissende respondent statistisch gezien geen goed-score, maar ook geen foutscore heeft. Noemen we Y destochast die het aantal punten weergeeft bij het gissenvan een vraag met N = 5 alternatieven (rechterfiguur),dan wordt onze eis uitgedrukt in E(Y ) = 0 waaruit dewaarde van c volgt

Ω

p(−c) = P (fout)

= 4/5

P

R

Y

−c 1

pY

fout

goed

Y

yj qj

−c 4/5

1 1/5

1

E(Y ) =∑

j

qjyj =4

5· (−c) +

1

5· 1 = 0 ⇒ c =

1

4

Bij vragen met N keuzemogelijkheden bestaat de meest rechtvaardige manier van giscorrectie erin om voor elk goedantwoord 1 punt te geven, voor elk blanco antwoord 0 punten te geven en voor elk fout antwoord 1/(N − 1) puntenaf te trekken. Of, na herschalen:

Bij een meerkeuzevraag met N keuzemogelijkheden is de meest rechtvaardige giscorrectie:

goed antwoord: N − 1 punten, blanco antwoord: 0 punten, fout antwoord: −1 punten

11Psychometrie is een wetenschap die zich bezighoudt met de technieken van het meten van psychologische fenomenen zoals kennis, vaar-digheden, attituden, eigenschappen en persoonskenmerken. Voorbeelden van psychometrische instrumenten zijn het intelligentiequotient engestandaardiseerde lees- en rekenvaardigheidstesten. Een eerste gefundeerde bespreking van de meest rechtvaardige giscorrectie is afkomstigvan Alexander Calandra 1941.

XIV-36

Antwoorden op geselecteerde oefeningen

Hoofdstuk 1

(1) Het bereik van de stochast X is berX = 0, 1, 2, . . . , 30.

(2) De verwachtingswaarde is 1 liter, de variantie is 0, 4166 . . . vierkante centiliter.

(3) (a) 14, 7%

(4) noch verlieslatend, noch winstgevend

(5) E(X) = 1, 75 worpen, Var(X) = 0, 6875

(6) −5, 2631 . . . euro

(7) 280 euro

(8) (c) De inzet van de speler moet minstens 3, 5 euro zijn.

(9) (c) Saartje zal gemiddeld 0, 9 keer moeten stoppen.

(11) 533, 33 . . . euro

(12) E(X) = 37, 8

(13) (c) Voor3

5< a <

2

3is E(X) < 0.

(14) (b) b = 20

(c)1

e1/e< p

(17) (a) continu, berX = R+0

(b) discreet, berX = N(c) discreet, berX = 0, 1, 2, . . . , 500(d) continu, berX = [0; 0, 33] (uitgedrukt in liter)

(e) continu, berX = [0, c]

(18) (b) 75%

(19) (c) 68, 75%, 35, 2% en 0

(d) µ = 1 en σ = 0, 4472 . . .

(20) (a) 100 + 100 · rand(1)

(c) 78%

(d) verwachtingswaarde 150, standaardafwijking 28, 86 . . .

(21) c = 3/π

(22) c ∈ R+0

(23) (a) FX

(x) =

0 als x < 0

− 1/225x2 + 2/15x als 0 ≤ x ≤ 15

1 als x > 15

(24) (a) verwachtingswaarde 1mm, variantie 0, 7mm2

(b) verwachtingswaarde 3, 4mm, variantie 0, 961mm2

XIV-37

Hoofdstuk 2

(1) (a) Bernoulli en uniform

(b) binomiaal

(c) Bernoulli

(d) Bernoulli

(3) 24, 576%

(4) 45, 57 . . .%

(5) (a) 0, 3777 . . .%

(b) 90, 1774 . . .%

(6) (a) 17, 1875 . . .%

(b) 0, 003925 . . .%

(7) (a) 29, 84 . . .%

(b) 80, 01 . . .%

(c) 19, 98 . . .%

(8) (a) 1, 73 . . .%, 8, 67 . . .%, 19, 50 . . .%

(b) 21, 31 . . .%

(c) 3, 33 . . . juiste antwoorden

(9) (a) 9, 6%

(b) 67, 77 . . .%

(c) 3, 27 . . .%

(d) 4 bonnen

(10) 6, 78 . . .%

(11) (a) 59, 87 . . .%

(b) 8, 61 . . .%

(12) De kans op succes bij een worp is 0% of 90, 90 . . .%.

(13) (a) E(X) = 2, 6 medewerkers, Var(X) = 2, 6

(b) 7, 35 . . .%

(c) 26, 73 . . .%

(d) 4, 90 . . .%

(14) [9, 452 . . . ; 10, 547 . . .]

(15) [45, 47]

(16) [25, 219 . . . ; 27, 180 . . .]

(17) (a) 0, 9211 . . .%

(b) [50, 302 . . . ; 53, 697 . . .]

(18) (a) µ = 175mm, σ = 14, 43 . . .mm

(c) 20%

(19) (a) 6, 68 . . .%

(b) 14, 44 . . .%

(c) T = 502, 01 . . . minuten

(20) (a) 40, 96%

(b) 32, 768%, 40, 96%, 20, 48%, 5, 12%, 0, 64%, 0, 032%

(c) 25, 93 . . .%

XIV-38

(21) (a) [34, 38]

(b) [35, 2; 36, 8]

(c) [32, 40]

(22) 2, 27 . . .%

(23) (a) 30, 85 . . .%, 4, 00 . . .%

(b) 50, 07 . . . euro

(c) 51, 08 . . . euro

(24) (a) E(X) = 6, 25 jaar, Var(X) = 6, 25

(b) 55, 06 . . .%

(c) 95, 02 . . .%

XIV-39

Referentielijst, bibliografie en websites

[1] M. Aigner, G.M. Ziegler, Proofs from the book, Springer, 1998.

[2] M. Alonso, E.J. Finn, Fundamentele natuurkunde deel 1 Mechanica, Delta Press, 1994.

[3] M. Alonso, E.J. Finn, Fundamentele natuurkunde deel 2 Elektromagnetisme, Delta Press, 1994.

[4] M. Alonso, E.J. Finn, Fundamentele natuurkunde deel 3 Golven, Delta Press, 1994.

[5] D. Arnold, M. Butler, M. Haley, D. Harrow, A. Ives, S. Jackson, C. Kutil, T. Matsumoto, J.M. Prystowsky, T.Olsen, D. Tuttle, B. Wagner, Intermediate Algebra, College of the Redwoods Department of Mathematics, 2007.

[6] E. Aronson, T.D. Wilson, R.M. Akert, Social Psychology, Pearson Education, Limited, 2010.

[7] M. Artin, Algebra, Pearson Prentice Hall, 1991.

[8] F. Ayres , E. Mendelson, Schaum’s Outline of theory and problems of differential and integral calculus, McGraw-Hill, 1990.

[9] D. Batens, Logicaboek: praktijk en theorie van het redeneren, Antwerpen - Apeldoorn Garant, zevende druk, 2008.

[10] F. Beukers, Getaltheorie voor beginners, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2000.

[11] J. Billiet, H. Waege, Een samenleving onderzocht: Methoden van sociaal-wetenschappelijk onderzoek, UitgeverijDe Boeck nv, Antwerpen, 2005.

[12] P. Bogaert, F. Geeurickx, E. Willockx, R. Van Nieuwenhuyze, M. De Feyter, Van Basis tot Limiet 5 leerweg 6/8leerboek analyse 1: reele functies, Die Keure.

[13] D. Bollaerts, Wiskundige toelatingsexamens, Standaard Educatieve Uitgeverij, 1991.

[14] J. Bossaert, Curiosa Mathematica, (2014) 360 pagina’s.

[15] P. E. Bourne, Ten Simple Rules for Making Good Oral Presentations PLoS Comput Biol 3(4): e77.doi:10.1371/journal.pcbi.0030077 (2007).

[16] A. Buijs, Statistiek om mee te werken, Wolters-Noodhoff, 2008.

[17] A. Clarysse en K. De Naeghel, Onderzoekscompetenties met Wiskunnend Wiske, Uitwiskeling 30/3 (2014), 4-15.

[18] P. Coppens, V. Descheemaeker, G. Gijbels, T. Jansen, P. Janssen, S. Janssens, P. Matthijs, F. Michiels, F.Roggeman, J. Schepers, Pienter leerboek wiskunde voor het derde jaar 5, Van In, 2006.

[19] P. Coppens, G. Finoulst, G. Gijbels, F. Roggeman, J. Schepers, R. Vanbuel, Pienter leerboek integraalrekeningen differentiaalvergelijkingen voor het zesde jaar 6/8, Van In, 2006.

[20] M. de Gee, Wiskunde in werking, deel 1, Epsilon Uitgaven 48, 2002.

[21] M. de Gee, Wiskunde in werking, deel 2, Epsilon Uitgaven 49, 2002.

[22] M. de Gee, Wiskunde in werking, deel 3, Epsilon Uitgaven 50, 2002.

[23] H.G. Dehling, J.N. Kalma Kansrekening, Epsilon Uitgaven 36, 2005.

[24] G. Delaleeuw, Mathematiseren en oplossen van problemen voor de derde graad tso/kso, Cahiers T3 Europe Vlaan-deren nr.9 (2006).

[25] K. De Naeghel, Enkele didactische wenken voor wiskundeonderwijs in de derde graad, print-on-demand onlinepublishing Lulu.com (2012) 110 pagina’s.

[26] K. De Naeghel, Het practicum wiskunde: coperatief aanleren van vaardigheden en attitudes, print-on-demandonline publishing Lulu.com (2013) 188 pagina’s.

xxii

[27] K. De Naeghel, Benaderingen van het getal pi doorheen de geschiedenis van de wiskunde, 15 augustus 2013(aanvaard voor publicatie in Wiskunde & Onderwijs).

[28] K. De Naeghel, Giscorrectie en optimaliseren van slaagkansen, Uitwiskeling 30/1 (2014), 2-7.

[29] K. De Naeghel, L. Van den Broeck, SOHO Wiskunde PLantyn Lineaire Algebra I, Plantyn, 2014.

[30] K. De Naeghel, L. Van den Broeck, SOHO Wiskunde PLantyn Lineaire Algebra II, Plantyn, 2014.

[31] I. De Pauw, B. Masselis Wiskunde voor IT, Lannoo Campus, 2010.

[32] I. De Pauw, B. Masselis Wiskunde voor multimedia, Lannoo Campus, 2009.

[33] A. Depover, W. Herreman, N. Persoone, A. Vandekerckhove, Foton 4.3 - Elektriciteit, magnetisme, trillingen,Uitgeverij Pelckmans, 1988.

[34] A. Depover, W. Herreman, N. Persoone, A. Vandekerckhove, Fysica Vandaag 5.2/3, Uitgeverij Pelckmans, 1988.

[35] J. Deprez, H. Eggermont, E. Van Emelen, Met de krant in de hand, Uitwiskeling 23, Nr. 4, 14-49 (2007).

[36] J. Deprez, G. Verbeeck, Onderzoekscompetenties wiskunde in de derde graad, 03/03/2010, DPB Brugge.

[37] K. Devlin, Wiskunde Wetenschap van patronen en structuren, Natuur & Techniek, SEGMENT Uitgeverij, Beek,1998.

[38] D. Domen, G. Finoulst, G. Gijbels, H. Put, J. Schepers, A. Vertenten, P. Weyenberg, Pienter leerboek reelefuncties precalculus voor het vijfde jaar 6/8, Van In, 2004.

[39] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R.Vereecke, Richting: Telproblemen - Kansrekening - Statistiek, Uitgeverij Pelckmans, 1993.

[40] T. Dorissen, W. Jacquet, G. Sonck, Wiskundige basisvaardigheden, Uitgeverij VUBPRESS, 2008.

[41] W. Dunham, Euler: The master of us all, Dolciani Mathematical Expositions 22, 1999.

[42] W. Dunham, Journey through genius, Penguin books, 1990.

[43] W. Dunham, The calculus gallery, Princeton University Press, 2005.

[44] M. Du Sautoy, De getalmysteries, Uitgeverij Nieuwezijds, 2011.

[45] G. Finoulst, G. Gijbels, S. Janssens, H. Put, J. Schepers, A. Vertenten, P. Weyenberg, Pienter leerboek rijen enafgeleiden voor het vijfde jaar 6/8, Van In, 2005.

[46] P. Gevers, J. De Langhe, e.a. Delta 5/6 Analytische meetkunde A (6-8 lesuren), Mechelen (Wolters Plantyn)(2006).

[47] M. Gardner, Sphere Packing, Lewis Carroll and Reversi, Cambridge University Press, 2009.

[48] G. Gijbels, E. Goemaere, D. Taecke, S. Wellecomme, Pienter leerwerkschrift voor de derde graad 2/3/4, Van In,2005.

[49] G. Gijbels, E. Govaert, M. Jaenen, S. Janssens, B. Sevenhant, I. Vanderstichel, P. Weyenberg, Pienter leerboekstatistiek I voor de derde graad 6/8, Van In, 2005.

[50] G. Gijbels, E. Govaert, M. Jaenen, S. Janssens, B. Sevenhant, I. Vanderstichel, P. Weyenberg, Pienter leerboektelproblemen en kansrekening statistiek II voor de derde graad 6/8, Van In, 2005.

[51] G. Gijbels, M. Jaenen, S. Janssens, B. Sevenhant, I. Vanderstichel, P. Weyenberg, Pienter leerboek ruimtemeet-kunde voor de derde graad 6/8, Van In, 2005.

[52] E. Goetghebeur, Statistiek, Universiteit Gent, uitgave 1997-1998.

[53] M. Goossens, F. Mittelbach, A. Samarin, The LATEX Companion, Addison-Wesley Publishing Compagny, 1994.

[54] R.L. Graham, D.E. Knuth, O. Patashnik, Concrete Mathematics, Addison-Wesley, 1994.

[55] E. Hairer, G. Wanner, Analysis by its history, Springer, 2000.

[56] G.H. Hardy, Apologie van een wiskundige, Uitgeverij Nieuwezijds, 2011.

[57] J. Havil, Gamma, Princeton University Press, 2003.

[58] J. Havil, The irrationals, Princeton University Press, 2012.

xxiii

[59] S. Hawking, God created the integers: The mathematical breakthroughs that changed history, Penguin Books, 2005.

[60] C. Impens, Analyse I, Universiteit Gent, uitgave 1996-1997.

[61] K. Ireland en M. Rosen, A classical introduction to modern number theory, Springer-Verlag, 1990.

[62] K. Janich, Linear Algebra, Springer-Verlag, 1994.

[63] D.W. Jordan, P. Smith, Mathematical techniques, Oxford University Press, 2002.

[64] D. Keppens, Algebra voor ingenieurs, Uitgeverij Acco, 2007.

[65] D. Keppens, Analyse voor ingenieurs, Uitgeverij Acco, 2006.

[66] M. Kindt, E. de Moor, Wiskunde in een notendop, Uitgeverij Bert Bakker, 2008.

[67] L. Kirkup, Experimental methods: An introduction to the analysis and presentation of data, Singapore, 1994.

[68] H. Kopla, P.W. Daly A guide to LATEX, Addison-Wesley Publishing Compagny, 1993.

[69] S. Lehoczky, R. Rusczyk, The art of problem solving: Volume 1: the Basics, AoPS Incorporated, 2008.

[70] S. Lipschutz, Schaum’s Outline of linear algbebra, McGraw-Hill, 1991.

[71] J. Lyczak, Q. Puite, B. van Dalen, Finaletraining Nederlandse wiskunde olympiade met uitwerkingen, ISBN978-90-357-1800-5, 2011.

[72] M. Mashaal, Bourbaki, Veen Magazine, Amsterdam, 2009.

[73] E. Mathijs, Schrijfstijl wetenschappelijke tekst, KU Leuven, 2006.

[74] J.T McClave, P.G. Benson, T. Sincich, S. Knypstra, Statistiek: een inleiding, elfde editie, Pearson EducationBenelux, 2011.

[75] R. Mersch, Oogklepdenken, De Bezige Bij Antwerpen, 2012.

[76] B. Michels, Getaltheorie een introductie, 2015.

[77] M. Nachtegael, Data-Analyse I: Wiskundige Principes, Faculteit Geneeskunde en Gezondheidswetenschappen,Universiteit Gent, 2009.

[78] E. Nauwelaerts, Basiswiskunde voor informatica 2, Universiteit Hasselt, 2002.

[79] E. Nauwelaerts, Redeneren en structureren, Universiteit Hasselt, 2005.

[80] I. Newton, Method of fluxions, 1736.

[81] B.M. Oliver, Heron’s remarkable triangular area formula, Mathematics Teacher 86 (1993), pp. 161-163.

[82] J.M.H. Olmsted, C.G. Townsend, On the Sum of Two Periodic Functions, The Two-Year College MathematicsJournal, Vol. 3, No. 1 (Spring, 1972), pp. 33-38.

[83] L. Papula, Wiskunde voor het hoger technisch onderwijs deel 1, Academic Service, 2009.

[84] L. Papula, Wiskunde voor het hoger technisch onderwijs deel 2, Academic Service, 2009.

[85] J.A. Paulos Ongecijferdheid, Uitgeverij Ooievaar Amsterdam, 1999.

[86] C.A. Pickover, Het wiskunde boek, Librero Nederland, 2010.

[87] G. Polya, How to solve it, Princeton University Press, 1945.

[88] H. Reuling, J. Reuling, Tandwielen en overbrengingen wiskunde D havo-5, 2010.

[89] S.E. Rigdon, E.J. Purcell, D. Varberg, Calculus, Pearson Prentice Hall, 2007.

[90] J. Rosenhause, The Monty Hall problem, Oxford University Press, 2009.

[91] R. Rusczyk, The art of problem solving: Precalculus, AoPS Incorporated, 2009.

[92] R. Rusczyk, M. Crawford, The art of problem solving: Intermediate Algebra, AoPS Incorporated, 2008.

[93] N.J. Schons, Exercices d’arithmologie, La Procedure, Namur, 1938.

[94] N.J. Schons en C. De Cock, Leerboek der rekenkunde voor het middelbaar onderwijs, De Procedure, Namen, 1962.

xxiv

[95] M.R. Spiegel, Schaum’s Outline of theory and problems of advanced calculus, McGraw-Hill, 1962.

[96] E. Steiner, The Chemestry Maths Book, Oxford University Press, 2008.

[97] I. Steward, Concepts of modern mathematics, Dover Publication, 1975.

[98] D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde, Het Spectrum, 1990.

[99] K. Sydsæter, P. Hammond, Essential Mathematics for Economic Analysis, Prentice Hall, 2006.

[100] J. Tinbergen, Vertragingsgolven en levensduurgolven, Strijdenskracht door Wetensmacht pp. 143 - 150 (1938).

[101] J. van de Craats, Vectoren en Matrices, Epsilon Uitgaven 45, Utrecht, 2005.

[102] J. van de Craats, R. Bosch Basisboek wiskunde, Pearson Education, 2010.

[103] M. Van den Berghe, Inleiding tot zelfstandig onderzoek, Onze-Lieve-Vrouwecollege Assebroek, 2006.

[104] M. Van den Berghe, OZo! Onderzoeken doe je zo, Plantyn , Mechelen, 2014.

[105] V. van der Noort, Getallen zijn je beste vrienden, Athenaeum - Polak & Van Gennep, Amsterdam, 2011.

[106] J. Van Geel, Commutatieve ringtheorie, Universiteit Gent, 1997.

[107] Th.M. van Pelt, R.B.J. Pijlgroms, W.V. Smeets, J.L. Walter, Wiskunde voor het hoger onderwijs deel 1, Wolters-Noordhoff, 2006.

[108] P. Wauters, Wiskunde Deel 1, Faculteit Toegepaste Economische Wetenschappen, Universiteit Hasselt, 2002.

[109] D.T. Whiteside, The Mathematical Papers of Isaac Newton, Vol. 1, 1664-1666, Ed. Cambridge University Press,New York, 1967.

[110] A.J. Wiles, Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem, Annals of Mathematics, 141 (1995), pp. 443-551.

[111] Website ADSEI, http://statbel.fgov.be/ .

[112] Website American Mathematical Association of Two-Year Colleges - Students Mathematics League,http://www.amatyc.org/SML/ .

[113] Website American Mathematics Competitions, http://amc.maa.org/ .

[114] Website D. Arnold, M. Butler, M. Haley, D. Harrow, A. Ives, S. Jackson, C. Kutil, T. Matsumoto, J.M. Prysto-wsky, T. Olsen, D. Tuttle, B. Wagner, Intermediate Algebra http://facweb.northseattle.edu/dli/IntAlgebraText/

.

[115] Website arXiv, http://xxx.lanl.gov/ .

[116] Website J. Bossaert, http://users.ugent.be/∼jebossae/ .

[117] Website carrieretijger, http://www.carrieretijger.nl/ .

[118] Website C. Cambre, http://users.telenet.be/chris.cambre/chris.cambre/ .

[119] Website J. Claeys, http://home.scarlet.be/math/ .

[120] Website M. Davidson, J. Dethridge, H. Kociemba, T. Rokicki, God’s Number is 20, http://www.cube20.org/ .

[121] Website K. De Naeghel, http://www.koendenaeghel.be/ .

[122] Website GeoGebra, http://www.geogebra.org/ .

[123] Website GeoGebraTube, http://www.geogebratube.org/ .

[124] Website kennislink.nl, http://www.kennislink.nl/publicaties/wiskundige-bijsluiter-van-opiniepeilingen .

[125] Website Leerplan A derde graad ASO: studierichtingen met component wiskunde D/2004/0279/019,http://ond.vvkso-ict.com/leerplannen/doc/Wiskunde-2004-019.pdf .

[126] Website leren.nl, http://www.leren.nl/cursus/leren−en−studeren/portfolio/wat-is-portfolio.html/ .

[127] Website leren.nl, http://www.leren.nl/cursus/professionele-vaardigheden/presentatie/ .

[128] Website Nederlandse Wiskunde Olympiade, http://www.wiskundeolympiade.nl/ .

[129] Website niutec.nl Tandwielen, http://www.niutec.nl/Mechanica/HTML5/tandwielOverbrenging.htm/ .

xxv

[130] Website McGraw-Hill Professional, http://www.mhprofessional.com/templates/index.php?cat=145/ .

[131] Website ticalc.org voor het downloaden van programma’s op de grafische rekenmachine,http://www.ticalc.org/pub/83plus/basic/math/ .

[132] Website USolv-IT, http://www.usolvit.be/ .

[133] Website Vlaamse Wiskunde Olympiade, http://www.vwo.be/ .

[134] Website Wikipedia, http://en.wikipedia.org/ en http://en.wikipedia.org/ .

[135] Website wiskunde B-dag, http://www.fisme.science.uu.nl/wisbdag/ .

xxvi

c© 2013 Koen De Naeghelroyalty percentage: 0%

0610987813269

ISBN 978-1-326-06109-890000

Wiskunde In zicht is een cursus wiskunde bestemd voor leerlingen vande derde graad algemeen secundair onderwijs in de studierichtingen metzes of acht wekelijkse lestijden wiskunde. Het werd ontworpen vanuit debehoefte aan een natuurlijke en correcte, maar toch haalbare benaderingvan basisconcepten in de wiskunde. Er werd bewust gekozen voor

3 een invulcursus, zodat de leerling ervaart hoe bepaalde oplossingsme-thoden opgebouwd worden, terwijl de leerkracht nog voldoende vrijheidheeft die methoden op zijn of haar eigen manier aan te brengen;

3 differentiatie door de oefeningen in verschillende niveaus op te delen,zodat de leerling zelfstandig kan werken, afgestemd op eigen niveau enwerktempo (Deel Portfolio wiskunde);

3 ontwikkelen van vaardigheden en attitudes waarbij getracht werdde kwaliteit van de wiskunde te respecteren (Deel Problem Solvingwiskunde, Deel Practicum wiskunde, Deel GeoGebra en Deel Maple).