Havo A deel 1 Uitwerkingen Moderne wiskunde Hoofdstuk 8 ...

⁄128

Hoofdstuk 8 - De normale verdeling

bladzijde 216

1a Staafdiagram 3 want te verwachten is dat er elke maand ongeveer evenveel mensen jarig zijn. Dat is meteen ook de reden waarom de andere drie niet voldoen.

b Februari bestaat uit vier weken dus zal 25% van de in februari geboren mensen naar verwachting in de eerste week jarig zijn.

c December bevat 31 dagen dus zal in de eerste week naar verwachting 731 100 22 6⋅ ≈ , %

jarig zijn.

2a Iemand met een lengte van 177,3 cm valt in klasse C. b

perc

enta

ge

lengte in cm175

5

10

20

25

30

170165 180 185 190 190

y

15

x

c De lengte wordt afgerond naar hele centimeters. Een lengte van 167,5 tot 172,5 wordt afgerond van 168 tot en met 172.

d Niet precies maar je mag er vanuit gaan dat de lengten regelmatig over deze klassen zijn verdeeld.

e Deze klasse verloopt van 177,5 tot 182,5 en is dus vijf cm breed. Van 177,5 tot 181,5 is vier cm breed dus zal bij een gelijkmatige verdeling 4

5 deel van de mannen binnen klasse C kleiner zijn dan 181,5 cm.

f 2,7% 8,6% 16,6% 45+ + + × ≈26 6 49 2, % , % zal naar verwachting kleiner zijn dan

181,5 cm.

bladzijde 217

3a De klassengrenzen zijn 39,5 en 42,5. De klasse is dus 3 cm breed. 0 53

16

, = deel

≈ 0 17, van de klasse dus 17% van de mannen uit de klasse 40-42 cm heeft een schouderbreedte van meer dan 42 cm.

b 0 17 342 184 37 279, × + + ≈ mannen hebben een schouderbreedte meer dan 42 cm. c Van 39,5 tot 40,5 is 1 cm dus 1

3 deel ofwel ongeveer 33% van de mannen in klasse 40-42 cm heeft een schouderbreedte van minder dan 40,5 cm.

4ab

perc

enta

ge

gewicht in kg60

5

10

20

25

30

5550 65 70 75 80

y

15

x

Als klassenmidden van de eerste en laatste klasse is 50 en 80 gekozen.

Opm_MW9_HavoAdl1-Uitw.indd 128 14-9-07 10:42:0

Havo A deel 1 Uitwerkingen Moderne wiskunde

© Wolters-Noordhoff bv

⁄129


c De klasse waar 61,6 kg in ligt loopt van 57,5 tot 62,5 cm dus vijf breed. Het deel wat minder weegt dan 61,6 kg is dan 61 6 57 5

54 15 0 82, , , ,− = = . Het percentage vrouwen dat

minder weegt is dan 13 1 20 7 0 82 26 2 55 3, , , , , %+ + × ≈ . d Het zal wat meer zijn omdat het percentage richting gemiddelde toeneemt.

5a voetlengte in cm 20-21 22-23 24-25 26-27 28-29percentage 1,1 25,6 61,3 11,6 0,4

b

perc

enta

ge

voetlengte in cm2320

10

20

40

50

60

70

2221 24 25 26 27 28 29

y

30

x

c 21 2 19 521 5 19 5

54 46, ,, ,

−−

× ≈ vrouwen hebben een voetlengte van minder dan 21,2 cm.

d De doelgroep heeft dus een voetlengte van 21 tot 27 cm. Deze doelgroep bevat 1

43454 1282 3065 578 4 794× + + + × = vrouwen.

4 7945 000 100 95 9× ≈ , % van deze vrouwen valt binnen de doelgroep.

bladzijde 218

6a Als de klassenbreedte kleiner wordt gaat het staafdiagram meer op een berg lijken. b Omdat het totaal aantal waarnemingen verdeeld wordt over meer staven zullen de

staven minder hoog zijn. c Bij tien criminelen zul je waarschijnlijk geen evenwichtige verdeling krijgen.

Bij 3 000 criminelen is die kans wel heel groot. d m SD− = − =65 5 2 6 62 9, , , en m SD+ = + =65 5 2 6 68 1, , , Bij een lengte van 63 inch hoort een klasse van 62,5 tot 63,5. Van deze

klasse ligt 0,6 deel binnen de grenzen. Van de klasse 67,5 tot 68,5 ligt ook 0,6 deel binnen de grenzen. Dus tussen 62,9 en 68,1 zitten 0 6 317 393 462 458 413 0 6 264 2075, ,× + + + + + × ≈ criminelen. Dat is 2 075

3000 100 69× = % .

bladzijde 219

7a 50% is langer dan het gemiddelde b De langste 20% is groter dan 181 + 6 = 187 cm.

Dit komt doordat de klokvorm symmetrisch is.

8a Het gemiddelde zit bij de top van de klokvorm en is ongeveer 141 mm. bc De frequenties tussen 141 – 5,5 = 135,5 mm en 141 + 5,5 = 146,5 mm zijn ongeveer

105 106 126 150 142 141 145 125 121 115 92+ + + + + + + + + + = 11378 . 1378

2 000 100 69× ≈ % . Dit klopt redelijk met de eerste vuistregel.




⁄130


d Het ziet er naar uit dat hier sprake is van een normale verdeling. Voor alle zekerheid zou je ook de tweede vuistregel moeten controleren.

9a Gemiddelde, mediaan en modus zijn bij een normale verdeling gelijk. b A: Nee, je hebt uitschieters naar rechts (zeer hoge inkomens) B: Ja. C: Ja. D: Nee, je krijgt twee toppen. E: Nee, er zijn veel meer baby’s dan 100-jarigen.

bladzijde 220

10a lengte in cm 100,5 101,5 102,5 103,5 104,5 105,5 106,5 107,5 108,5 109,5percentage rollen 0,5 0,75 1,5 9,25 23 30,5 15,5 12,5 5 1,5

perc

enta

ge

lengte in meters106100

10

20

40

104102 108 110

y

30

x

b De kromme lijkt aardig op een klokvorm dus de verdeling kan normaal zijn. c Invoeren van de klassenmiddens en hun bijbehorende frequenties op de GR geeft

een gemiddelde van 105,6 meter en een standaarddeviatie van 1,5 meter (1,5215124) d Tussen 104,1 en 107,1 ligt 0 9 23 30 5 15 5 0 1 12 5 68, , , , , %× + + + × ≈ dus aan vuistregel

één is voldaan. Tussen 102,6 en 108,6 ligt 0 4 1 5 9 25 23 30 5 15 5 12 5 0 6 5 94, , , , , , , %× + + + + + + × ≈ dus

ook vuistregel twee voldoet redelijk. Je mag dus concluderen dat de lengte normaal verdeeld is.

e Gemiddeld zit er 105,6 meter op één rol en dat is 5,6 meter teveel. Per dag zal er dus 9000 5 6 50400× =, meter stof teveel worden afgeleverd.

bladzijde 221

11 De helft van de leerlingen heeft een cijfer lager dan 5,9 (het gemiddelde) wat aangeeft dat de verdeling symmetrisch is.

Tussen 4,2 en 7,6 zitten 0 3 110 248 273 136 0 1 100 700, ,× + + + + × = leerlingen dus 70%.

Tussen 2,5 en 9,3 zitten 38 110 248 273 136 100 0 8 51 946+ + + + + + × =, leerlingen dus 95%.

Aan beide vuistregels is redelijk voldaan dus mag je spreken van normale verdeling.

12a Nee, want door de 357 bezoekers in klasse [170, 190] kan het frequentiepolygoon nooit symmetrisch zijn.

b Bij punt twee van de vorige bladzijde in je boek staat dat als het frequentiepolygoon geen klokvorm is, dat het zeker geen normale verdeling is.




⁄131


13a De leeftijd waarop men dienstplichtig was verschilde. Vanaf 1986 is de dienstplicht opgeheven en kon men alleen vrijwillig in dienst.

b Je gaat er dan vanuit dat de lengtes gelijkmatig over de klasse zijn verdeeld. Dit is een redelijke veronderstelling.

c 0 1 0 8 3 3 0 9 11 5 14 6, , , , , , %+ + + × ≈ is kleiner dan 174 cm in 1987. d Tussen 167,3 en 180,7 zit 0 44 17 3 28 3 27 0 0 24 14 4 66 4, , , , , , , %× + + + × ≈ . Tussen 160,6 en 187,4 zit 0 78 6 17 3 28 3 27 0 14 4 0 58 4 5 94 3, , , , , , , , %× + + + + + × ≈ . Aan beide vuistregels is redelijk voldaan dus mag je aannemen dat de lengte in 1950

normaal verdeeld is.

bladzijde 222

14a

200 210205

b 50% zal een nettogewicht van meer dan 205 gram hebben. c Tussen 200 en 210 gram zit volgens vuistregel één 68%.

Dus zal 32 2 16% %÷ = een nettogewicht hebben van minder dan 200 gram. d Het gebied tussen 200 en 205 gram wordt steeds groter.

Tussen 200 en 202,5 gram zit dus minder dan 17%. Dit zal ongeveer 15% zijn. e Volgens vuistregel twee zal 2 1

2 % minder wegen dan 200 gram.

15 Volgens vuistregel één en de symmetrie ligt er tussen m en m s− de helft van 68% dus 34%. Dat geldt ook voor het gebied van m tot m s+ .

Volgens vuistregel twee ligt 95% tussen m s− 2 en m s+ 2 . Haal daar 68% vanaf en je houdt 27% over. Dus tussen m s− 2 en m s− en tussen m s+ en m s+ 2 ligt12 27 13 5× = , % . Links van m s− 2 en rechts van m s+ 2 blijft dus nog 1

2 5 2 5× = , % over.

bladzijde 223

16a m s− = − ⋅ =12

124 07 0 12 4 01, , , . Op bladzijde 222 kun je aflezen dat links van m s− 1

2 ; 15 9 4 5 2 5 31+ + + =, , % ligt.

b Tussen m s− 1 12 en m s+ 1 1

2 ligt 100 2 4 5 2 2 5 86− × − × =, , %. c Ongeveer 29% zal een gewicht onder de 4,00 kg hebben.

17a 38,21% is kleiner dan –0,3 b 100 38 21 61 79− =, , % is groter dan –0,3 c 84,13% is kleiner dan 1,0 en 15,87% is kleiner dan –1,0 d Tussen –1,0 en 1,0 ligt 84 13 15 87 68 26, , , %− = . Dit komt overeen met vuistregel één.




⁄132


18a Met vuistregel twee vind je dat 97,5% van de leerlingen een temperatuur vindt van 2 °C of lager.

b Uit de tabel volgt dat 34,46% een lagere temperatuur vindt dus 65,24% vindt een hogere temperatuur dan –0,4 °C.

c 81 59 24 20 57 39, , , %− = van de leerlingen vindt een temperatuur tussen –0,7 °C en 0,9 °C.

d Tussen –0,5 °C en 0,5 °C ligt 69 15 30 85 38 3, , , %− = .

bladzijde 224

19a

4,00 4,07

b De ondergrens is nul en de bovengrens is vier kg. Je mag als ondergrens ook –1099 nemen. c TI: Normalcdf(0; 4; 4,07; 0,12)=0,2798 Casio : STAT-DIST-NORM-Ncd ; Lower = 0; Upper = 4; s = 0,2; m = 4,07 geeft

prob=0,2798 27,98% van de pakken heeft een gewicht minder dan 4,00 kg.

bladzijde 225

20a TI: normalcdf(-E99; 160; 181,3; 7)=0,0012 Casio: Ncd: Lower = -EXP99; Upper = 160; s = 7; m = 181,3 geeft prob=0,0012 0,12% was kleiner dan 160 cm. b TI: normalcdf(200; E99; 181,3; 7)=0,0038 Casio: Ncd: Lower = 200; Upper = EXP99; s = 7; m = 181,3 geeft prob=0,0038 0,38% is groter dan 200 cm. c 100 0 12 0 38 99 5− − =, , , %werd niet afgekeurd op hun lengte.

21a TI: normalcdf(49,9; 50,8; 50,6; 0,4)=0,6514 Casio: Ncd: Lower = 49,9; Upper = 50,8; s = 0,4; m = 50,6 geeft prob=0,6514 65,14% van de flesjes bevat tussen 49,9 en 50,8 cl. b TI: normalcdf(51; E99; 50,6; 0,4)=0,1587 Casio: Ncd: Lower = 51; Upper = EXP99; s = 0,4; m = 50,6 geeft prob=0,1587 15,87% van de flesjes bevat minder dan 51cl. c TI: normalcdf(-E99; 50,1; 50,6; 0,4)=0,1056 Casio: Ncd: Lower = -EXP99; Upper = 50,1; s = 0,4; m = 50,6 geeft prob=0,1056 10,56% van de flesjes bevat minder dan 50,1 cl.




⁄133


22a Op grond van de redelijke klokvorm kun je beredeneren dat de longcapaciteit vrijwel normaal verdeeld is.

b TI: normalcdf(-E99; 2 900; 4 100; 400)=0,0013 Casio: Ncd: Lower = -EXP99; Upper = 2 900; s = 400; m = 4 100 geeft prob=0,0013 0,13% van deze studenten zal een longcapaciteit kleiner dan 2 900 cm3 hebben. c 0 0013 1633 2, × ≈ dus gaat het om ongeveer twee studenten. d TI: normalcdf(2 300; 5 300; 4 100; 400)=0,9986 Casio: Ncd: Lower = 2 300; Upper = 5 300; s = 400; m = 4 100 geeft prob=0,9986 99,9% van de studenten heeft een longcapaciteit tussen 2 300 en 5 300 cm3.

23a TI: normalcdf(-E99; 797; 800; 2)=0,0668 Casio: Ncd: Lower = -EXP99; Upper = 797; s = 2; m = 800 geeft prob=0,0668 6,7% van de planken is onbruikbaar. b 1 000 planken komt dan overeen met 100 6 7 93 3− =, , % . Er moeten dus

100093 3 100 1072, × = planken gezaagd worden om 1 000 goede over te houden.

c Vanwege de symmetrie is ook 6,7% van de planken te lang dus zijn er 0 067 1 072 72, × = planken die op maat moeten worden gemaakt.

Winst: 928 3 25 72 2 75 72 2 3 070× + × − × =, , . ,€ - d TI: normalcdf(-E99; 797; 801; 2)=0,0228 Casio: Ncd: Lower = -EXP99; Upper = 797; s = 2; m = 801 geeft prob=0,0228 Er moeten dan dus 1000

97 7 100 1024, × = planken gezaagd worden. TI: normalcdf(803; E99; 801; 2)=0,1587 Casio: Ncd: Lower = 803; Upper = EXP99; s = 2; m = 801 geeft prob=0,1587 Er moeten dan dus 0 1587 1024 163, × = planken op maat worden gemaakt. Winst: ( ) , , . ,1000 163 3 25 163 2 75 24 2 3 120 50− × + × − × = € dus is er meer winst en

zijn er minder planken nodig. e TI: normalcdf(7-E99; 797; 902; 2)=0,0062 Casio : Ncd : Lower=-EXP99; Upper = 797; s = 2; m = 802 geeft prob=0,0062 In deze situatie moeten er 1000

99 4 100 1006, × = planken worden gezaagd. TI: normalcdf(803 ; E99 ; 802 ; 2)=0,3085 Casio : Ncd : Lower = 803 ; Upper = EXP99 ; s = 2; m = 802 geeft prob=0,3085 Er moeten nu 0 3085 1006 310, × = planken op maat worden gemaakt. Winst: ( ) , , . ,1000 310 3 25 310 2 75 6 2 3 083− × + × − × = € - dus bij deze instelling wordt

minder winst gemaakt.

bladzijde 226

24a Na 6 000 uur zal 50% moeten worden vervangen. b

6000g

10%

500




⁄134


c TI: Invnorm(0,10; 6 000; 500)=5 359,2 Casio: Stat-Dist – Norm – InvN – Area = 0,10; s = 500; m = 6 000 geeft 5 359,2 Na 5 359 uur zal 10% van de lampen kapot zijn.

bladzijde 227

25a TI: Invnorm(0,07; 6 000; 500)=5 262,1 Casio: InvN: Area = 0,07; s = 500; m = 6 000 geeft 5 262,1 Na 5 262 uur worden alle lampen vervangen. b TI: Invnorm(0,15; 2 500; 200)=2 292,7 Casio: InvN: Area = 0,15; s = 200; m = 2 500 geeft 2 292,7 Na 2 293 uur is 15% kapot. c Dat betekent dat 26% kapot is. TI: Invnorm(0,26; 2 500; 200)=2 371,3 Casio: InvN : Area = 0,26; s = 200; m = 2 500 geeft 2 371,3 Na 2 371 uur brandt nog maar 74%.

26a Als 13% van de pakken hoort bij het hoogtste vetgehalte heeft 87% een lager vetgehalte.

TI: Invnorm(0,87; 3,50; 0,02)=3,5225 Casio: InvN : Area = 0,87; s = 0,02; m = 3,50 geeft 3,5225 13% van de pakken heft een vetgehalte van minstens 3,52%. b TI: Invnorm(0,29; 3,50; 0,02)=3,4889 Casio: InvN : Area = 0,29; s = 0,02; m = 3,50 geeft 3,4889 29% van de pakken heft een vetgehalte minder dan 3,49%. c

3,5

20%

g1 g2

40% 40%

0,02

TI: Invnorm(0,40; 3,50; 0,02)=3,4949 Casio: InvN : Area = 0,40; s = 0,02; m = 3,50 geeft 3,4949 De linkergrens is dus 3,49% vet en vanwege de symmetrie is de rechtergrens dus

3,51% vet.

27a Een redelijke schatting is natuurlijk 19,15 cm. b TI: Normalcdf(19; 19,5; 19,15; 1,06)=0,1856 Casio: Ncd : Lower = 19; Upper = 19,5; s = 1,06; m = 19,15 geeft prob=0,18563 0 18563 182 34, × ≈ leerlingen vinden een omtrek tussen 19,0 en 19,5 cm. c TI: Invnorm(0,45; 19,15; 1,06)=19,016 Casio: InvN : Area = 0,45; s = 1,06; m = 19,15 geeft 19,016




⁄135


De linkergrens is 19,02 cm en gezien de symmetrie moet de rechtergrens dan 19,28 cm zijn.

De 10% leerlingen die het dichtst bij het gemiddelde zitten meten een omtrek van 19,02 tot 19,28 cm.

d TI: Normalcdf(-E99; 17,15; 19,15; 1,06)=0,0296 Casio : Ncd : Lower = -EXP99 ; Upper = 17,15 ; s = 1,06; m = 19,15 geeft 0,029595 Vanwege de symmetrie meet ook 2,96% meer dan 21,15.

2 2 96 5 92× =, , % van de leerlingen moet de meting twee keer uitvoeren. e Deze kromme geeft aan hoe groot de fout is die bij een meting wordt gemaakt. f

0

1,06

28a Als de gegevens alleen geheel zijn kan het frequentiepolygoon dus geen continue normaalkromme zijn.

b Door het grote aantal van 1 874 kandidaten mag je de normale verdeling toch toepassen.

c Je moet als grens 54,5 nemen. TI: normalcdf(-E99; 54,5; 51; 16)=0,5866 Casio : Ncd : Lower = -EXP99 ; Upper = 54,5 ; s = 16; m = 51 geeft 0,58657 0 5866 1874 1099, × ≈ kandidaten behaalden minder dan 55 d TI: invnorm(0,93; 51; 16)=74,612 Casio: InvN : Area = 0,93; s = 16; m = 51 geeft 74,612 De beste 7% haalden geen score van 75 of meer.

bladzijde 228

29a TI: normalcdf(-E99; 800; 850; 38)=0,0941 Casio: Ncd : Lower = -EXP99; Upper = 800; s = 38; m = 850 geeft prob=0,094122 9,41% van de flessen moeten opnieuw gevuld worden. b gemiddelde 860 865 870 875 880 885 890

percentage flessen minder dan 800 ml 5,72 4,36 3,27 2,42 1,76 1,26 0,89

c Bij een gemiddelde van 889 ml moet de fabrikant hoogstens 1% van de flessen opnieuw vullen. Bij een gemiddelde van 888 ml vind je nog 1,03%.

bladzijde 229

30a Hoe kleiner de standaarddeviatie des te smaller en hoger de klokvorm, des te kleiner het percentage links van 1 000 gram.




⁄136


b Standaarddeviatie 6,5 6,4 6,3 6,2 6,1 6,0Percentage 6,2 5,9 5,6 5,3 5,1 4,8

Uit de tabel blijkt dat de standaarddeviatie 6,0 gram gekozen moet worden om te zorgen dat hoogstens 5% van de pakken minder dan 1 000 gram bevat.

31

m 850

S = 30 gram

1%

Volgens de tweede vuistregel moet m kleiner zijn dan 850 2 30 790− × = . Gemiddelde 785 784 783 782 781 780

Percentage 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 0,98

Als het gemiddelde 780 gram wordt gekozen is niet meer dan 1% van de broden zwaarder dan 850 gram.

32a

m 500

S = 15 ml

0,2%

Volgens de tweede vuistregel moet m kleiner zijn dan 500 2 15 470− × = ml.Gemiddelde 460 459 458 457 456Percentage 0,38 0,31 0,26 0,21 0,17

Als het gemiddelde 456 gram is zal minder dan 0,2% van de kuipjes overstromen. b

456450

4%

Volgens vuistregel twee is de afstand tussen 450 en 456 ml minder dan twee keer de standaarddeviatie.Standaarddeviatie 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5Percentage 2,6 3,0 3,5 3,9 4,3

De standaarddeviatie mag hoogstens 3,4 ml zijn.




⁄137


33a TI: normalcdf(-E99; 50; 43,1; 6,6)=0,8521 Casio: Ncd : Lower = -EXP99; Upper = 50; s = 6,6; m = 43,1 geeft 0,85209 Inderdaad rijdt 85% niet harder dan 50 km/uur. b TI: normalcdf(55; E99; 43,1; 6,6)=0,0357 Casio: Ncd : Lower = 55; Upper = EXP99; s = 6,6; m = 43,1 geeft 0,035691 Bij 0 0357 1200 43, × = metingen mag je een snelheid van meer dan 55 km/uur

verwachten. c

20

85%

S = 2,1

m

Gemiddelde 18,0 17,9 17,8Percentage 0,830 0,841 0,853

De gemiddelde passeersnelheid bij dit type drempels is 17,8 km/uur.

bladzijde 230

34a

72 8030

SD = 16 gram

puree

export

binnenland

Binnenland: TI: normalcdf(30; 80; 72; 16)=0,6871 Casio: Ncd : Lower = 30; Upper = 80; s = 16; m = 72 geeft prob=0,68713 Puree: TI: normalcdf(-E99; 30; 72; 16)=0,0043 Casio : Ncd : Lower = -EXP99; Upper = 30; s = 16; m = 72 geeft prob=0,00433 Dus 0,43% is voor de puree, 68,71% is voor binnelands gebruik en

100 0 43 68 71 30 85− − =, , , % is voor de export. b Binnenland: TI: normalcdf(30; 80; 80; 16)=0,4991 Casio: Ncd : Lower = 30; Upper = 80; s = 16; m = 80 geeft prob=0,49911 Puree: TI: normalcdf(-E99; 30; 80; 16)=0,0009 Casio : Ncd : Lower = -EXP99; Upper = 30; s = 16; m = 80 geeft prob=0,00089 Nu is 0,09% voor de puree; 49,91% voor binnenlands gebruik en

100 0 09 49 91 50− − =, , % is voor de export.




⁄138


35a TI: normalcdf(8,7; 9,7; 9,2; 0,6)=0,5953 Casio: Ncd : Lower = 8,7; Upper = 9,7; s = 0,6; m = 9,2 geeft prob=0,59534 In 05953 100 60× = jaar van een eeuw verwacht je een temperatuur die minder dan

een halve graad afwijkt van het gemiddelde. b TI: normalcdf(-E99; 8,5; 9,2; 0,6)=0,1217 Casio: Ncd : Lower = -EXP99; Upper = 8,5; s = 0,6; m = 9,2 geeft prob=0,12167 In 0 1217 90 11, × ≈ jaar verwacht je een temperatuur met een gemiddelde onder de

8,5 °C. Dit is dus iets minder dan de dertien. c TI: normalcdf(10,3; E99; 9,2; 0,6)=0,0334 Casio : Ncd : Lower = 10,3; Upper - = EXP99 ; s = 0,6; m = 9,2 geeft prob=0,033376 Je kunt per eeuw dus ongeveer 0 0334 100 3, × = uitzonderlijke jaren verwachten. d

10,2 g1

10%

0,6

90%

TI: Invnorm(0,9; 10,2; 0,6)=10,97 Casio: InvN : Area = 0,9; s = 0,6; m = 10,2 geeft x = 10,968. De 10% warmste jaren hebben een gemiddelde temperatuur van meer dan 10,97 °C.

bladzijde 231

36a profieldiepte (mm) aantal percentage[1,33; 1,43> 2 1[1,43; 1,53> 8 4[1,53; 1,63> 25 12,5[1,63; 1,73> 62 31[1,73; 1,83> 65 32,5[1,83; 1,93> 27 13,5[1,93; 2,03> 9 4,5[2,03; 2,13> 1 0,5[2,13; 2,23> 1 0,5

perc

enta

ge

profieldiepte in mm190

10

20

40

170150 210 230

y

30

x

b Met de klassenmiddens en de frequenties bepaal je met de grafische rekenmachine dat het gemiddelde 1,73 mm en de standaarddeviatie 0,13 mm is.

Vuistregel één: Tussen 1,60 en 1,86 ligt 0 3 12 5 31 32 5 0 3 13 5 71, , , , , %× + + + × ≈ . Vuistregel twee: Tussen 1,47 en 1,99 ligt

0 6 4 12 5 31 32 5 13 5 0 6 4 5 9 5, , , , , , , %× + + + + + × ≈ . Er wordt redelijk aan de vuistregels voldaan.




⁄139


c TI: normalcdf(1,6; 2,0 ; 1,75 ; 0,1)=0,9270 Casio : Ncd : Lower = 1,6 ; Upper = 2,0 ; s = 0,1; m = 1,75 geeft prob=0,92689 Dus 92,7% van de banden heeft een profile tussen 1,6 en 2,0 mm. d TI: normalcdf(-E99; 1,6; 1,75; 0,1)=0,0668 Casio : Ncd : Lower = -EXP99 ; Upper = 1,6 ; s = 0,1; m = 1,75 geeft prob=0,066807 Na de test moet 6,7% afgekeurd worden. e TI: Invnomr(0,75; 1,75; 0,1)=1,82 Casio: InvN : Area = 0,75; s = 0,1; m = 1,75 geeft x = 1,8174 De beste 25% banden hebben een profile van minstens 1,82 mm. f Hier is sprake van een binomiale verdeling met n = 4 en p = 0,067 (zie onderdeel d). P(minstens één band wordt afgekeurd) = 1 – P(geen enkele band wordt afgekeurd) =

1 0 933 0 24224− ≈, ,

bladzijde 232

I-1a Je kunt aan het nummer zien dat het over 403 leerlingen gaat. b De variabelen schoenmaat, lengte, taille, armspan, handspan, schedel en gewicht zijn

lichaamsmaten. c De klassenbreedte is 10 en er zijn 7 klassen. d In de klasse van 80 tot 90. e Je krijgt natuurlijk steeds meer en smallere staafjes. In het midden zitten de meeste

waarnemingen. Hoe verder je vanuit het midden naar links of rechts gaat, des te minder waarnemingen per klasse.

f De klasse loopt van 7,85 tot 79,5.

I-2a Alleen bij de variabele sexe zie je geen klokvorm. b Naarmate de afstand tot het gemiddelde groter wordt neemt het aantal

waarnemingen af.

bladzijde 233

I-3a Als je werkt met 11 klassen en klassenmiddens 142; 147; …; 192, dan is het gemiddelde 166,26 en de standaarddeviatie 8,27.

b gem sd gem+sd gem-sd gem+2·sd gem-2·sd166 8,3 174,3 157,7 182,6 149,4

Tussen 157,7 en 174,3 liggen ( ) ( ), , , ,159 5 157 75

174 3 169 5559 90 96 75 2− −⋅ + + + ⋅ ≈ 779

waarnemingen. Dat is 279403 100 69⋅ ≈ %.

Tussen 149,4 en 182,6 liggen 0 15

182 6 179 556 17 59 90 96 75 34 18, , ,( )⋅ + + + + + + + ⋅ ≈− 3382

waarnemingen. Dat is 382403 100 95⋅ ≈ %. De vuistregels gelden hier.

I-4 Het gemiddelde is 7,2 en de standaardafwijking is 1,9. Tussen 5,3 en 9,1 liggen 0 7 68 83 59 68 0 1 39 262, ,× + + + + × ≈ waarnemingen.

Dat is 262403 100 65⋅ ≈ %.

Tussen 3,4 en 11,0 liggen 0 6 15 35 68 83 59 68 39 26 387, × + + + + + + + ≈ waarnemingen. Dat is 387

403 100 96⋅ ≈ %. Ook nu is redelijk aan de vuistregels voldaan.




⁄140


I-5 De grafiek die hoort bij de normale benadering komt minder hoog maar is meer symmetrisch.

I-6 Open hiervoor het bestand dat hoort bij opdracht 2a. Voeg een kolom toe met de klassenmiddens dus 142, 147, ….

Kies onder OPTIES weer de normale benadering waarbij je voor Waarnemingsgetallen de klassenmiddens kiest en voor Frequentie kies je Freq.

Kies dan optie GRAFIEK en laat weer voor zowel de frequentie als de normale benadering een lijngrafiek plotten.

Er is weinig verschil. De grafiek van de normale benadering is iets meer symmetrisch.

bladzijde 234

I-7a TI: normalcdf(-E99; 2 800; 3 000; 250)=0,2119 Casio: Ncd : Lower = -EXP99; Upper = 2 800; s = 250; m = 3000 geeft prob=0,21185. Dus 21,2% is kapot na 2 800 uur. Op dezelfde manier vind je dat 5,5% kapot is na 2 600 uur. b De kans links is inderdaad 0,0548. c Door bij kans links 0,1 te kiezen krijg je als grens 2 679,6 121. Het duurt dus 2 680 uur voordat 10% kapot is.

bladzijde 235

I-8a Kies eerst voor twee grenzen. Kies dan als linkergrens 0 en als rechtergrens 190. De kans dat een leerling groter is

dan 190 cm is dan 0,0019. 0,2% is dus langer dan 190 cm. b Kies als linkergrens 160 en als rechtergrens 170. Bij Kansmidden staat dan 0,4502. 45% van de leerlingen heeft een lengte tussen 160 en 170 cm. c Kies voor één grens en dan voor kans links 0,9. De 10% langste leerlingen zijn groter

dan 176,6 cm.

I-9a Kies voor twee grenzen. Kies als linkergrens nul en als rechtergrens 51. De kans is 0,1587.

Het percentage flesjes dat meer dan 51 cl cola bevat is 15,9%. b Kies als linkergrens 49,9 en als rechtergrens 50,8. Het gevraagde percentage is 65,1%.

I-10a Kies voor één grens en als kans links 0,29. De 29% pakken met het laagste vetgehalte hebben een vetgehalte van maximaal 3,49%.

b Kies nu voor kans links 0,87. Deze 13% pakken hebben een vetgehalte van minstens 3,52%.

I-11a Kies voor één grens en m = 45 en kans links 0,24. Schuif nu op de kromee de standaarddeviatie tot bij de grens 30 staat.

De gevraagde standaarddeviatie is 21,2 punten.




⁄141


b Kies nu kans links 0,97 en schuif de standaarddeviatie tot bij de grens 75 staat. De gevraagde standaarddeviatie is 16,0.

bladzijde 238

T-1a

aant

al k

oeie

n

vetgehalte in %4

20

40

80

100

120

3,53 4,5 5 5,5

y

60

x

b Deze klasse loopt van 3,75 tot 4,15%. Minder dan 4% is dan 4 3 754 15 3 75 100 62 5−

− × =,, , , %.

c Je gaat er vanuit dat de vetgehaltes gelijkmatig over de gehele klasse zijn verdeeld. Aangezien deze klasse veel gegevens bevat is dit een redelijke veronderstelling.

d Van deze 400 koeien gaven er ongeveer 11 29 91 0 625 120 206+ + + × =, melk met een vetgehalte van minder dan 4%.

e 3,45% ligt in de klasse van 3,35 tot 3,75%. Uit deze klasse doet 3 75 3 453 75 3 35

34

, ,, ,

−− = deel mee.

4,75% ligt in de klasse van 4,55 tot 4,95%. Uit deze klasse doet de helft mee want4 75 4 554 95 4 55

12

, ,, ,

−− = .

Het gaat dus over 0 75 91 120 102 37 30912, × + + + × ≈ koeien. 309

400 100 77× ≈ % van de koeien geeft melk met een vetgehalte tussen 3,45% en 4,75%.

T-2a De grafiek is klokvormig. b Het gemiddelde is 1 66 1 78

2 1 72, , ,+ = meter. c De standaarddeviatie is 1 72 1 66 0 06, , ,− = meter. d Tussen 1,66 en 1,78 ligt 68%. De 32% die overblijft is vanwege de symmetrie gelijk

verdeeld dus 16% is langer dan 1,78 m. e Het gemiddelde min twee keer de standaarddeviatie is 1,60 m. Volgens vuistregel

twee is 2,5% kleiner dan 1,60 m. 97,5% van de vrouwen is dus groter dan 1,60 m.

T-3a 2754 900 100 5 6× = , % van de onderzochte vrouwen heeft maat 38.

b klassenmidden percentage87 1,190 1,493 3,196,25 5,6100 10,4104 15,4108,25 20,2113 18,2118 13,1123 7,8128 2,8133 0,8138 0,2




⁄142


c

perc

enta

ge

heupomvang in cm110

5

10

20

25

10090 120 130 140

y

15

x

d Vuistregel één: Tussen 100 en 118 cm zit 0 5 10 4 15 4 20 2 18 2 0 5 13 1 65 6, , , , , , , , %× + + + + × ≈

Vuistregel twee: Tussen 91 en 127 zit 16 1 4 3 1 5 6 10 4 15 4 20 2 18 2 13 1 7 8× + + + + + + + +, , , , , , , , , ++ × ≈0 5 2 8 95 4, , , %

Aan beide vuistregels wordt redelijk voldaan.

bladzijde 239

T-4a

50,5 50,8 51,150,249,9

2,5%2,5%13,5% 13,5%

34% 34%

b Uit de klokvorm is af te leiden dat 16% van de flessen een inhoud van meer dan 50,8 cl heeft.

c Uit de klokvorm blijkt dat 2,5% van de flessen een inhoud heeft minder dan 49,9 cl. Net iets meer dan 2,5% bevat dus minder dan een halve liter.

d De gemiddelde inhoud per flesje is 50,5 cl. Per twintig flesjes kun je dus inderdaad 20 0 5 10× =, cl meer verwachten.

T-5a TI: normalcdf(7,45; E99; 7,4; 0,2)=0,4013 Casio : Ncd : Lower=7,45 ; Upper = EXP99 ;s = 0,2; m = 7,4 geeft prob=0,40129 Dus ongeveer 40% van de mensen heeft een pH-waarde van minstens 7,45. b TI: normalcdf(-E99; 7,25; 7,4; 0,2)=0,2266 Casio: Ncd : Lower = -EXP99; Upper = 7,25; s = 0,2; m = 7,4 geeft prob=0,22662 22,7% van de mensen heeft een pH-waarde kleiner dan 7,25. c TI: normalcdf(7,30; 7,55; 7,4; 0,2)=0,4648 Casio : Ncd : Lower = 7,30 ; Upper = 7,55 ; s = 0,2; m = 7,4 geeft prob=0,46483 Bij 46,5% van de mensen ligt de pH-waarde tussen 7,3 en 7,55.




⁄143


T-6a

9

35%

4,0065

TI: invnorm(0,65; 65; 9)=68,47 Casio: InvN : Area = 0,65; s = 9; m = 65 geeft x = 68 467, De 35% zwaarste vrouwen wegen 68,5 kg of meer. b

65

40%

g1 g2

SD = 9

TI: invnorm(0,3; 65; 9)=60,28 Casio: InvN : Area = 0,3; s = 9; m = 65 geeft x = 0,68. Vanwege de symmetrie geldt dan dat g2 69 72= , . De gewichten van de 40% vrouwen die rond het gemiddelde liggen lopen van 60,3

tot 69,7 kg.

T-7a TI: normalcdf(-E99; 985 ; 1 003 ; 12)=0,0668 Casio : Ncd : Lower = -EXP99; Upper = 985; s = 12; m = 1003 geeft prob=0,066807 In 6,7% van de pakken zal minder dan 985 gram zitten. b Deze fabrikant voldoet niet aan de EG-norm want dan mag slechts 2,5% minder dan

985 gram bevatten. c Dit gemiddelde zal volgens vuistregel twee net iets meer moeten zijn dan

985 2 12 1009+ × = .gemiddelde 1 009,1 1 009,2 1 009,3 1 009,4 1 009,5 1 009,6 1 009,7percentage 2,23 2,19 2,14 2,10 2,06 2,02 1,98

Bij een gemiddelde van minstens 1 009,7 gram is aan de EG-norm voldaan. d De afstand van 985 tot 1 003 is 18 dus zal de standaarddeviatie ongeveer 9 zijn.

standaarddeviatie 8,9 8,8 8,7percentage 2,16 2,04 1,92

Bij een standaarddeviatie van hoogstens 8,7 gram is aan de EG-norm voldaan.




Havo A deel 1 Uitwerkingen Moderne wiskunde Hoofdstuk 8 ...

Documents

Transcript of Havo A deel 1 Uitwerkingen Moderne wiskunde Hoofdstuk 8 ...