Marlin Nijhof, adviseur Rekenen

Handvatten voor

sterke rekenaars

op school

INLEIDING Op elke school zitten sterke rekenaars.

Leerlingen die ‘goed zijn in rekenen’. Dit kun-

nen leerlingen zijn die altijd als eerste klaar

zijn, maar ook rekenaars die een stuk langza-

mer werken. Leerlingen die rekenen-wiskunde

het allerleukste vak vinden, maar ook leer-

lingen die het saai vinden. En wellicht ook wel

een leerling waar je nu niet zo aan denkt met

een B of C-score op de CITO?

Onderstaande informatie geeft inzicht in sterke

rekenaars en enkele handvatten voor de prak-

tijk. De informatie is samengesteld vanuit ver-

schillende artikelen, lezingen en andere bron-

nen, welke achterin staan vermeld.

Een vlotte rekenaar of een begaaf-de rekenaar? Het is natuurlijk maar ‘welke naam je het

beestje geeft’, maar sterke rekenaars verschil-

len onderling. Grofweg zou je een indeling

kunnen maken tussen vlotte rekenaars en be-

gaafde rekenaars. Deze indeling is niet zo-

zeer af te lezen uit toetsscores of vaardig-

heids-scores. De taxonomie van Bloom (fig.1)

kan wel helpen het verschil duidelijk te ma-

ken.

Fig. 1 Taxonomie van Bloom

De taxonomie van Bloom werkt met ‘niveaus

van begrijpen en denken’. Een hoger niveau

omvat altijd de lager gelegen niveaus.

In een doorsnee rekenles uit een lesmethode

heb je de eerste drie niveaus nodig. Een leer-

ling moet zich een bepaalde vaardigheid of

strategie herinneren, begrijpen en kunnen

toepassen.

Bijvoorbeeld bij het berekenen van de opper-

vlakte; lengte maal breedte en daarbij natuur-

lijk hoe je die 3m. x 8m. uitrekent. De middel-

ste stap kan zelfs weggelaten worden in som-

mige ‘gesloten’ rekenlessen. De leerling ver-

menigvuldigt netjes alle maten met elkaar zo-

dat het antwoord (de oppervlakte) kloppend

is maar heeft geen idee waarom. Dit is natuur-

lijk niet wenselijk en hierin is de rol van de

leerkracht essentieel.

Een vlotte rekenaar rekent vlot en nagenoeg

foutloos op de eerste drie niveaus. Een be-

gaafde rekenaar zit daarbij ook op het niveau

van analyseren, evalueren en creëren.

De leerling wil graag in deze niveaus uitge-

daagd worden of zoekt hier zelf de uitdaging

in door naar vragen en antwoorden te zoeken.

Deze drie niveaus zijn echter lastig te vinden

in sommige lesmethoden.

Handvatten voor sterke rekenaars op school

1

Kenmerken van rekenkundig

begaafde leerlingen Goed in het leggen van verbanden

Goed in het analyseren

Maken van grote denksprongen

Interesse in rekenen en wiskunde

Oog voor structuren en patronen

Geneigd tot visualisatie van wiskundige

problemen

Convergent en divergent denkvermogen

Creativiteit; reken- en wiskunde kennis op

een nieuwe manier gebruiken

Leerbehoeften voor rekenkundig

begaafde leerlingen Open opdrachten

Complexe opdrachten

Betekenisvolle opdrachten

Beroep doen op creativiteit

Uitlokken tot een onderzoekende houding

Uitnodigen tot reflectie

Uitdagen tot denken op een hoger abstrac-

tieniveau

Beroep doen op metacognitieve vaardighe-

den

Beroep doen op zelfstandig leren en ‘leren

leren’

Behoefte aan topdown leren*

*Sterke rekenaars starten graag met het eind-

doel voor ogen. Oftewel; waar moet ik naartoe

werken? Waarom moeten we dit leren? Dit noe-

men we ‘topdown’ leren.

Mogelijke hobbels voor sterke

rekenaars

Automatiseren en memoriseren Sterke rekenaars kunnen vaak razendsnel re-

kenen. De noodzaak om bepaalde zaken te

memoriseren (zoals de tafels) hebben zij om

deze reden niet. Ze zien het nut er niet van in.

Daarnaast geven ze zichzelf een stukje meer

uitdaging door dit soort sommen steeds ra-

zendsnel uit te rekenen. Dat geeft meer vol-

doening dan het antwoord al te weten.

Dat kan ze verderop in de leerjaren juist in

de problemen brengen. Wat helpt is de leer-

lingen aan te geven waarom ze bepaalde

dingen gememoriseerd moeten hebben

(top down benadering).

Leren leren en het ‘ frustratiegevoel’ Doordat de lesstof in de klas veelal van een

relatief laag niveau is voor sterke rekenaars,

leren deze leerlingen minder snel hoe ze een

probleem dat ze niet kennen, op kunnen los-

sen. Ook zij hebben instructie nodig bij op-

drachten die een stapje te hoog zijn, met na-

me wat betreft de aanpak. Sommige leer-

lingen zijn geneigd deze vragen maar gewoon

over te slaan en leerkrachten denken dikwijls

dat de lesstof dan te moeilijk is en accepteren

dit. Bij goed verrijkingsmateriaal is een gezon-

de portie ‘frustratie’ nodig om het te volbren-

gen. Pas daarna, het moment van beheersing,

voelt prettig en ‘leuk’. Sommige sterke leer-

lingen zijn dit frustratiegevoel niet gewend.

Grote denksprongen maken, kleine

stappen opschrijven Het altijd moeten noteren van tussenstappen

bij het berekenen van een complexere som

kan nutteloos en frustrerend voelen voor ster-

ke rekenaars. Bij sommige sterke rekenaars

lukt het ook gewoon niet om kleinere tussen-

stappen op papier te krijgen.

Het noteren van tussenstappen hoeft zeker

niet altijd te gebeuren, maar leerlingen moe-

ten het wel kunnen. Zeker in het voortgezet

onderwijs hebben zij dit nodig. Leerlingen bij

wie dit niet lukt, hebben uw hulp daarbij no-

dig.

2

Lineair (schools) leren

Betekenisvol leren

Einddoel is onbekend of niet geheel duide-

lijk. Nadruk ligt op de tussenstap.

Leerproces is bij voorbaat opgedeeld in klei-

ne stappen

Instructie gericht op het vinden van het juis-

te antwoord

Einddoel is vertrekpunt en richtinggevend

Leerproces is nog open

Instructie gericht op herkennen en verwoor-

den van het probleem en wat er te leren is.

Een vertaling van behoeften naar

de praktijk Tussen de leerbehoeften van sterke rekenaars

en de gemiddelde rekenles op school kunnen

verschillen zitten.

De sterke rekenaars hebben meer behoefte

aan betekenisvol leren, hetgeen verschilt van

lineair leren. Dit blijkt uit het onderstaande

schema:

Om de rekenlessen ook voor sterke rekenaars

interessant en waardevol te houden/maken,

kunnen de volgende handvatten helpen.

Ze zijn opgedeeld in:

Schoolbreed

In de les

Materialen en ideeën

Sterke rekenaars; een visie, een lijn

uitzetten Wat wil het schoolteam met sterke rekenaars

op school? Zit er één visie in het team of zijn

er verschillende opvattingen? Het is belang-

rijk hier één lijn in te trekken.

Compacten en verrijken Voor de ‘oudere’ edities van lesmethoden

heeft het SLO ‘routeboekjes’ voor leerlingen

ontwikkeld. Hierin staat beschreven welke

lesstof en instructie de leerlingen wel moeten

volgen en welke niet. Zo wordt de lesstof

compacter.

Zie http://www.slo.nl/primair/publicaties/

compacten/rekenles/

Nieuwe edities van lesmethoden voorzien

hier veelal zelf in door op drie niveaus het

rekenonderwijs in te delen, waarbij er een

compactere en verrijkte route voor de sterke

rekenaars is.

De richtlijnen voor wat sterke rekenaars in

ieder geval niet mogen overslaan:

Belangrijke stappen in het leerproces

Overgang naar formele notaties

Reflectieve activiteiten

Belangrijke strategieën en werkwijzen

Constructieve/ontdekactiviteiten

Verrijkingsstof die wezenlijk moeilijker is

Activiteiten op tempo

Introductie van een nieuw thema

Het doel van het compacten is tweeledig: De leerling wel de basis laten oefenen/

herhalen

Tijd creëren voor verrijking

In plaats van de geschrapte lesstof moet een

verrijking aangeboden worden. Menig

‘plusboekje’ laat hierin nog wel eens te wen-

sen over. Het is belangrijk hier schoolbreed

één lijn in te trekken en hier is een taak weg-

gelegd voor de rekencoördinator of reken-

groep binnen de school.

Schoolbreed

3

Dit betekent niet dat iedereen hetzelfde moet

doen in de groep, maar wel dat:

Er een lijn zit in hoe de verrijking er op

school uitziet voor sterke rekenaars.

Er een lijn zit in welke leerlingen daarvoor

in aanmerking komen (wees hierin niet te

star met toetsscores, gebruik ze bijvoor-

beeld als richtlijn).

Het duidelijk is wat van zowel de leer-

lingen als de leerkrachten wordt verwacht.

Er ideeën worden uitgewisseld over de

inhoud van verrijking.

De opdrachten worden beoordeeld en op

het rapport vermeld. Dit geeft aan dat er

waarde aan gehecht wordt.

Plusklassen? Sommige scholen werken met zogenoemde

plusklassen waar sterke leerlingen in een be-

paalde frequentie bij elkaar komen voor extra

verdieping. Wanneer dit organisatorisch mo-

gelijk is, zijn er een aantal ‘eisen’ om dit goed

te laten verlopen:

Duidelijkheid over het doel van een plus-

klas bij iedereen.

Duidelijkheid over welke leerlingen deel-

nemen.

Een sterke leerkracht die tijd krijgt voor

een goede voorbereiding.

Overleg met de groepsleerkrachten over

wat er in de plusklas inhoudelijk aan de

orde komt.

Gericht op het leerproces, niet op het pro-

duct.

Ook gericht op het leren leren.

Er voor zorgen dat de verantwoordelijk-

heid voor de uitdaging die deze leerlingen

krijgen niet alleen bij de leerkracht van de

plusklas komt te liggen, maar dat ook de

eigen leerkrachten daar een rol in houden.

Reserveer tijd Reserveer tijd voor leerlingen die met andere

lesstof bezig zijn: je sterke rekenaars. Ook zij

hebben behoefte aan instructie, het uitwisse-

len van gedachten en een stuk aandacht en

erkenning. Dit is makkelijker gezegd dan ge-

daan in een volle klas, waar de aandacht toch

vaker uitgaat naar de zwakkere leerlingen.

Start met tenminste één moment in de week

(bijvoorbeeld 15 minuten op vrijdag) waarbij

je met je sterke rekenaars om tafel zit. Kijk

terug op rekenwerk dat gemaakt is en vooruit

naar rekenwerk dat gaat komen. Ga daarbij in

op de inhoud van het rekenwerk en niet al-

leen op welke sommen gemaakt moeten wor-

den en het aantal fouten. Gesprekspunten

kunnen zijn:

Wat vonden leerlingen lastig afgelopen

dagen en wat hebben ze toen gedaan?

Pik er zelf als leerkracht een opgave uit en

bereid enkele inhoudelijke vragen voor.

Verbind een rekenvaardigheid die gaat

komen aan de werkelijkheid; waarom zou-

den we dit moeten kunnen?

Vraag het de leerlingen zelf Bedenk niet vóór de sterke rekenaars wat ze

moeten doen, maar bedenk mét de sterke

rekenaars wat ze kunnen doen. Sterke reke-

naars kunnen vaak goed met je meedenken

hoe hun rekenonderwijs uitdagender kan

worden.

4

Wat wil jouw

sterke

rekenaar eigenlijk

zelf graag

leren?

In de les

Een vraag erbij, in plaats van

materiaal erbij We zoeken vaak naar materiaal waar de leer-

lingen zelfstandig mee aan de slag kunnen.

Maar ook zonder extra materiaal kun je uitda-

gen. Bedenk bij de rekenles een vraag uit de

hogere denkniveaus van Bloom (fig. 1, pag. 1)

en je daagt de leerling uit binnen de bestaan-

de rekenles. Je kunt de vraag ook door de

leerlingen zelf laten bedenken.

Enkele voorbeelden:

Haal de structuur weg Wanneer leerlingen vermenigvuldigsommen

oefenen, staan deze vaak in keurige rijtjes in

het rekenboek. Voor sterke rekenaars is het

uitdagender om de structuur van de rijtjes

weg te laten. ”Bedenk zoveel mogelijk keer-

sommen waar 24 uitkomt”, doet een beroep

op creativiteit terwijl leerlingen met dezelfde

rekeninhoud bezig zijn.

Een opgave bedenken voor elkaar Laat leerlingen een probleem/opgave beden-

ken voor elkaar. Eventueel kun je als leer-

kracht al richtlijnen bedenken waar de vraag

aan moet voldoen (bijvoorbeeld qua rekendo-

mein).

Optelsommen in

groep 3

Maak bij elke som (4+3=7) nog een som, maar nu met drie stapjes

waar hetzelfde antwoord uitkomt (…+…+…=7)

Meten (afstanden /

schaal) in de boven-

bouw

Welke hoofdstad in Europa ligt het verst weg van alle andere

hoofdsteden? Maak een top 3

Vermenigvuldigen en

delen in de midden-

bouw

Bedenk een keersom waar precies 100 uitkomt met 4 stapjes

(…x…x…x…=…) Hoeveel weet je er?

Betekenisvolle deelproblemen met bijvoorbeeld geld of vervoer.

5

Is uitdagend

rekenwerk voor uw

sterke rekenaars

hun ‘hoofdmaaltijd’

of een ‘toetje’ voor

na de les? C. Verbeek (KPC)

Waarom is

15 x 16

niet net zoveel als

14 x 17 ?

Compact en rijk 45 activiteiten voor ‘slimme kleuters’ voor

groep 1-2

http://url4u.nl/10820

Kien Per leerjaar 30 onderwerpen in een kopieer-

map voor groep 3 t/m 8

http://www.malmberg.nl/Basisonderwijs/

Methodes/Rekenen/Kien-rekenen.htm

Rekentijger Werkboekjes voor groep 3 t/m 8, wordt veelal

pittig gevonden

http://www.rekentijger.nl/zwijsen/show?

id=111555

Somplex

1000 werkbladen voor groep 3 t/m 8

http://www.mhr.nl/content.php?

view=3&productgroep=5

Somplextra

Gaat verder dan Somplex met 24 deelpro-

jecten voor groep 6,7,8. Gaat meer de meet-

kundige kant op binnen de wiskunde en wordt

veelal pittig gevonden

http://www.mhr.nl/index.php?

page=shop&productgroep=203

Plustaak

Werkboeken met 32 plustaken voor groep

2 t/m 8

http://www.delubas.nl/Onze-producten/

Methodes-en-lesmaterialen/Plustaak-Rekenen/

Rekenmeesters

Stenvertblokken met plustaken voor groep 3

t/m 8

http://www.schoolmaterialen.nl/contents/nl/d199_Stenvert-Rekenmeesters.html

Rekenweb

Rekenspelletjes op het web op alle niveaus voor groepen 1 t/m 2e klas VO http://www.fisme.science.uu.nl/rekenweb/

Acadin

Een digitale leeromgeving voor (hoog-)begaafde leerlingen http://www.acadin.nl/ Pittige Plustorens

Projectmatige aanpak gericht op onderzoeken, ontwerpen en presenteren vanaf groep 3 http://www.pittigeplustorens.nl/

Digitale Topschool Aanvullende opdrachten voor de bovenbouw van de basisschool. www.dedigitaletopschool.nl

Strategische spellen als SET, Rush Hour en an-dere, bijvoorbeeld van 999, zowel individueel als met meerdere leerlingen te spelen.

Vanaf welke groep kun je sterke

rekenaars verrijken? Verwondering is de basis van de wetenschap.

En laat dat nu juist een eigenschap zijn die

kinderen als geen ander bezitten. Vanaf groep

1 (en daarvoor) is deze eigenschap aanwezig

en daarom een goed uitgangspunt om leer-

lingen uit te dagen.

6

Kijk eens naar uw

komende blok van

rekenlessen.

Wat hiervan

beheersen uw sterke

rekenaars nog niet?

Materialen en ideeën

Elke leerling heeft een ‘zone van naaste ont-

wikkeling’.

Voor de zwakkere rekenaar weten we dat het

belangrijk is dat deze aangesproken wordt om

zo nieuwe dingen te leren.

Maar hetzelfde geldt voor een sterke reke-

naar, ook al vanaf groep 1.

Een kleuter uitdagen betekent niet direct dat

de lesstof van de volgende groep al aangebo-

den moet worden. Juist in de hogere denkni-

veaus van Bloom (figuur 1) kan hierin veel be-

reikt worden. Dit vergt voorbereiding van de

leerkracht waarbij open vragen op een hoger

niveau gesteld dienen te worden.

Ook het ontwikkelingsmariaal kan daarbij hel-

pen, of juist niet. Veel ontwikkelingsmateriaal

houdt op na de eerste drie denkniveaus

(onthouden, begrijpen en toepassen) en is in

die zin meer een testje (weet de leerling het?)

dan materiaal dat een sterke leerling verder

helpt ontwikkelen. Een kenmerk van goed ma-

teriaal is dat er een gezonde portie van de

eerder genoemde ‘frustratie’ nodig is.

Om ontwikkelingsmateriaal te kiezen dat

bruikbaar is om een paar stappen verder te

gaan, kunnen onderstaande handelingsvragen

helpen:

Zijn er moeilijkere handelingen mogelijk?

Zijn er toegevoegde handelingen mogelijk?

Zijn er aanvullingen van materialen moge-

lijk?

Zijn er geheel andere handelingen met het

materiaal mogelijk?

Zijn er toepassingshandelingen uit te voe-

ren?

Zijn er duo-opdrachten te maken?

Op deze wijze kan er veel meer uit hetzelfde

materiaal gehaald worden voor de sterkere

rekenaar.

Samengevat Weet als school wat je wilt met sterke reke-

naars.

Welke rol heeft de rekencoördinator op dit

gebied?

Weet wie je sterke rekenaars zijn.

Gebeurt wat je wilt met sterke rekenaars

ook echt in de praktijk?

Praat met elkaar over ideeën, tips, vraag-

stukken en materialen.

Let goed op of verrijking voor leerlingen

ook echt verrijking is.

Verrijken kan al door open vragen te stellen

en een beroep doen op onderzoeken, rede-

neren, ontwerpen, en evalueren.

Luister naar de leerlingen en laat ze mee-

denken.

Reserveer in de klas tijd voor sterke reke-

naars.

Vind het wiel niet steeds opnieuw zelf uit.

Informeer bij andere scholen, kijk in vakli-

teratuur of vraag een rekenspecialist.

Excellent rekenen. Suzanne Sjoers. Lezing

op de Panamaconferentie voorjaar 2012.

Slimme kleuters. Eleonoor van Gerven. Slim!

2008.

Waarheen leidt de weg die wij moeten gaan?

Dolf Janson. Tijdschrift Talent, februari

2011.

Je zal maar kleuter mogen zijn! Pendelen tus-

sen behoeftes en traditie. Dolf Janson. Tijd-

schrift Talent juni 2011.

Compacten en verrijken van de rekenles voor

(hoog)begaafde leerlingen in het basisonder-

wijs.

Dolf Janson en Anneke Nooteboom. SLO,

2004.

Kwaliteitskaart Effectief omgaan met goede

rekenaars. Ina Cijvat en Dorien Hamstra.

Projectbureau Kwaliteit, PO raad.

De rekenspecialisten van Expertis

Onderwijsasdivseurs helpen u graag verder!

Neem hiervoor contact op met Marlin Nijhof,

marlin.nijhof@expertis.nl

7

Bronnen

8

Notities

M.A. de Ruyterstraat 3 7556 CW Hengelo 074 - 8 516 516 www.expertis.nl info@expertis.nl Utrechtseweg 31b 3811 NA Amersfoort