H5 – De ruimte in

94

1 Ophetwerkbladvindjevierbouwplaten. Knipzeuitenzetzeinelkaar.Jekrijgtdriepirami-

deseneenkubusvormigedooszonderdeksel. aDedriepiramidespassenpreciesindedoos. Probeermaar. bMaakeentekeningvandekubusmetdepiramides

erin. cDeribbenvandedooszijn6cm.Watisdeinhoud

vanéénpiramide?

5.0 INTRO

Hoofdstuk 5 DE RUIMTE IN

95

Aanzichten

2 Hetbouwselhiernaastbestaatuitblokjesvan1bij

1bij1cm. Tekendedrieaanzichtenvanhetbouwseloproos-

terpapier.

3 Hieronderziejeeenruimtelijketekeningvaneeneenvoudighuisendaarnaasteenzijaanzichtvandathuis.Hethuisis6meterhoogen6meterbreed.Dezijgevelszijn8mbreeden4meterhoog.

aTekenhetzijaanzichtvanhethuisoproosterpapier.

Maakdaarindezijgevel4cmbreed. bBerekendeschaalvanjetekening. cTekenookhetvoor-enhetbovenaanzichtopde-

zelfdeschaal.Zetdematen(incm)erbij.

Dedakvlakkenzijnrechthoeken,waarvantweerandenhorizontaalzijnendeanderetweeschuinomhooglopen.Delengtevandehorizontaleran-denzijninhetzijaanzichteninhetbovenaanzicht4cm.Arnomeet1cmvooreenschuinoplopenderandin hetzijaanzichtenzegtdatdie2meterlangis.Annekemeet1,8cmvoordeschuinoplopende

randinhetvooraanzicht.Zijdenktdatdieinwer-kelijkheid3,6meterlangis.

dWieheeftgelijk,ArnoofAnne?Leguitwaarom.

3 Wegaaneenvoor-eneenzijaanzichtvaneen regelmatigezeszijdigepiramidetekenen.De hoekpunteninhetgrondvlakhetenA, B, C, D, EenFendetopT.

aTekenhetvooraanzichtenhetzijaanzichtophet

werkblad.Neemalshoogtevandepiramide5cm. bInhetvooraanzichtzijndeopstaanderibbenniet

allemaalevenlang.Hoekomtdat? cKunjeinhetvooraanzichtmetenhoelangde opstaanderibbeninwerkelijkheidzijn?Zoja,

schrijfophoejedatmoetdoen.

5.1 AANZICHTEN EN UITSLAGEN

Hetbouwselhieronderbestaatuit6blokjes.Webekijkenhetvandriekanten:vanvoor,vanopzijenvanboven. Watjedanzietishetvooraanzicht,hetzijaanzichten

hetbovenaanzicht.Hieronderzijndedrieaanzichtenvanhetbouwselgetekend

96

4 Hetmassievekubuskruishieronderiseen bouwselvankubusblokjesmetribbenvan1cm.

aTekenoproosterpapiereenbovenaanzichtvan hetbouwsel. bUithoeveelblokjesbestaathetbouwsel? Schrijfjeberekeningop. c Hoeveelgrensvlakken,ribbenenhoekpunten heefthetbouwsel(alleentellenwateraande buitenkanttezienis)?

4 Dedraadpiramidehieronderis4meterhoog.Hetgrondvlakiseenvierkantvan4bij4meterendeopstaanderibbenzijnevenlang.

aTekenhetbovenaanzichtvandepiramide. Neemschaal1:100. bTekenhetvooraanzichtvandepiramide. cDehelftvaneendiagonaalinhetbovenaanzicht

is2,8cmlang.Arnozegt:”Dusdelengtevaneenopstaanderibbeisongeveer2,8meter.”

WelkefoutmaaktArno?Isdeopstaanderibbelangerofkorterdan2,8m?

dFreekmeetinhetvooraanzichtdelengtevaneenschuinoplopenderand;hijmeet4,5cmenbeweertdatdeopstaandedakrand4,5meteris.Watdenkjedaarvan?

5 Vandekubushieronderiseenpuntafgezaagd.Hetzaagvlakgaatdoordemiddensvandrieribben.

Tekenoproosterpapiereenbovenaanzichtvande kubus.Deribbenvandekubuszijn4cmlang.



97

Uitslagen

6 Tekenoproosterpapiereenechtandereuitslagvandekubusdandiehierboven.

7 Inhoofdstuk1hebjenamenvanruimtelijkevormengeleerd.Hoehetendetwaalfvormenindefiguurhiernaast.Geefdevolledigenaam.

8 Kijkinhetplaatjehieronder. VanwelkeruimtelijkevormisAdeuitslag? VanwelkeB?EnvanwelkeC?

9 Vaneenregelmatigevierzijdigepiramidezijnalle

ribben3cmlang. Tekeneenuitslagopschaal1:1(dusopware

grootte)vandepiramide.Gebruikjepasseromdevierdriehoekigegrensvlakkentetekenen.

Hetishetgemakkelijkstommethetvierkantegrondvlaktebeginnen.

10aTekenopeenkladblaadjeeencirkelmetstraal4cm(dusmeteendiametervan8cm).

Neemdriekwartvandiecirkel.Tekenereenplakrandjeaan(zieplaatje).Plakereenkegelvan(zonderbodem).

Jekuntookhetkleineredeelvandecirkelnemen(zoalsjerechtsziet)enerweereenkegelvanplak-

ken. bWelkevandetweekegelsishethoogste?

Hiernaastisdeuitslagvaneenkubusgetekend.Eenuit-slagiseenbouwplaatzonderplakrandjes.

98

11aTekenonderstaandefiguurnaoproosterpapierenmaakereenuitslagvaneenbalkvan.

bMaakvandeuitslageenbouwplaatdoorerplak- randjesaantetekenen. Zetjebalkinelkaar. cWatisdeinhoudvandebalk?

12 Deuitslagenhieronderstaanookophetwerkblad.

Inelkeuitslagontbreektééngrensvlak. aTekentelkenshetontbrekendegrensvlak. bHetontbrekendegrensvlakkanopmeerdanéén

plaatsgetekendworden. Kleurdeandereribbenwaaraandatgrensvlakgete-

kendhadkunnenworden.

13 Hiernaastziejeeenruimtelijketekeningvaneenregelmatigevierzijdigepiramide.Erstaantweeverschillendeuitslagenvandiepiramidebij.

Detweeuitslagenstaanookophetwerkblad.Dehoekpuntenvandepiramidehebbennamen.DievanhetgrondvlakzijnA,B,CenD;detopheetT.

aKnipdeuitslagenophetknipbladuitenvouwzetotpiramides.OmdelettersAenBindegoedevolgordebijdehoekpuntentekrijgen,zoalsinderuimtelijketekeningvandepiramide,moetje‘naarbinnen’vouwen.DetweehoekpuntenmetdeletterBkomendanbijelkaar.

bSchrijfbijelkhoekpuntindeuitslagendejuisteletter.Sommigelettersmoetjemeerdanéénkeerzetten.

11 Vaneenkubuszijndeacht

hoekenafgezaagd.Watjekrijgt,ziejehiernaast.Hieronderiseenbeginvaneenuitslaggemaakt.Dietekeningstaatookophetwerkblad.

aMaakdeuitslagaf. bZetopindejuistevierkanten‘boven’en‘achter’.



A

D

B

B

A B

B

C

A

T

B

CD

99

Diagonalen

14aVerklaardenamenbinnen-enbuitendiagonaal. bTekennogwatbinnen-enbuitendiagonalenvande

kubusophetwerkblad.Maakdebinnendiagonalenrood,debuitendiagonalenblauw.

cHoeveelbinnendiagonalenheefteenkubus? Schrijfophoejedatgeteldhebt. dDoehetzelfdevoordebuitendiagonalenvande

kubus.

Dekubusheeftribbenvanlengte3cm.Debuiten-diagonalenvandekubuszijnallemaalevenlang.

eWaarinhetkubusplaatjekunjedelengtedaarvanmeten?

15 Omdelengtevaneenbinnendiagonaaltemeten,zagenwedemassievekubusdoormiddenzoalsin

hetplaatjehiernaast.Wegaannudeuitslagvanéénhelftmaken.Zo’nhelftheeftvijfgrensvlakken.Eénvandiegrensvlakkenishetzaagvlak.Datiseenrechthoek.Hiernaastiseendeelvandeuitslaggetekend.

aTekendatnaoproosterpapierenmaakhetaftot eenuitslagvanéénhelft.Kleurhetzaagvlak.

bControleerofjejouwuitslagtoteenhalvekubus samenkuntvouwen.

cDebinnendiagonalenvandekubuszijnallemaalevenlang.Inhetzaagvlakkunjedelengtevaneenbinnendiagonaalmeten.

Kleureenlijnstukdatjedaarvoormoetmeten. Meetdelengtedaarvanenschrijfhetresultaatinje

schrift.

16 Hetzaagvlakuitdevorigeopgaveishetzelfdealshet‘tussenschotje’indekubushiernaast.

Eenzelfdetussenschotjekunjeopmeermanieren indekubusplaatsen.Tekenophetwerkbladsteedsopeenanderemanier,inelkekubuseentussen-schotje.

5.2 ZAGEN

Hiernaastiseen(doorzichtige)kubusgetekend.Dehoekpuntenzijn:A,B,C,D,E,F,GenH.WesprekenvankubusABCD.EFGH.DeverbindingslijnvanAenG(indetekeninggestip-peld)noemenweeenbinnendiagonaalvandekubus.DeverbindingslijnvanBenGnoemenwe eenbuitendiagonaalvandekubus.

100

Zaagvlakken

17 Vandemassievekubushiernaastiseenhoekpuntafgezaagd.Hetzaagvlakgaatpreciesdoorhetmid-denvandrieribben.Hetzaagvlakiseendriehoek.

aWatvoorsoortdriehoekishet? bTekenoproosterpapiereenuitslagvandeafgezaag-

dekubus.Maakderibbenvandekubus3cmlang. Kleurhetzaagvlak.

18 Dekubusmetribbenvan3cmwordtintweeëngezaagd,eengrooteneenkleinstuk.Hetzaagvlak,gekleurdindefiguur,gaatdoordriehoekpuntenvandekubus.

aWatisdenaamvanhetkleinestuk? bWatvoorsoortdriehoekishetzaagvlak? cHetkleinestukheeftbehalvehetzaagvlaknogdrie

grensvlakken. Tekeneenuitslagvanhetkleinestukinjeschrift. Kleurhetzaagvlak.dHetgrotestukheeftdriehoekigeenvierkante grensvlakken. Hoeveeldriehoekige(vergeethetzaagvlakniet)? Hoeveelvierkante? eTekenoproosterpapiereenuitslagvanhetgrote

stuk.

19 Wezagen,steedsineenandererichting,eenstuk

vaneenkubusaf,ziehieronder.Allezaagvlakkengaandoorhoekpuntenvandekubusofmiddensvanderibben.

Geefvanelkzaagvlakdepassendenaam.

19 Dekubussenmetribbenvan6cmhieronderstaan ophetwerkblad.Tekenhoejezedoormoetzagen zodathetzaagvlak aeendriehoekismettweezijdenvan5cmen hoekpuntenMenN, beenvierkantis,maarhetzaagvlaknietevenwijdig aaneengrensvlakis, ceenruitismethoekpuntenPenQ, deentrapeziummethoekpuntenAenB,met evenwijdigezijdenwaarvandeeenvierkeerzo langisalsdeander, eeenvijfhoekis.

5.2 ZAGEN


Regelmatige veelvlakken

20 Hiernaastziejetweekeerdezelfdefigurenafge-beeld,éénkeermassiefenéénkeeralsdraadmodel.

aGeefaanwatbijwathoort.(Ahoortbij5bijvoor- beeld.) bOpdewerkbladenstaanbouwplatenvandeze figuren.Knipzeuit,zetzeinelkaarenbewaarze. ● Jekuntdebouwplatenookopdeinternetpagina

vandeWageningseMethodevinden.Hiervindjeookverwijzingennaarappletsoverregelmatigeveelvlakken.

● Misschienheeftdeschoolwelpolydron. Daarmeekunjediefigurenookmaken.

cVeelvlakEheeft: 12hoekpunten 20grensvlakken 30ribben Schrijfookvoordeandereveelvlakkenhetaantal hoekpunten,grensvlakkenenribbenop.

21 Vanelkvandezesfigurenhiernaastzijnderibben

evenlang.Tochzijndefigurennietregelmatig. Bisbijvoorbeeldnietregelmatigomdaterinsom-

migehoekpuntenzesvlakkensamenkomeneninanderedrie.

Zegvoorelkvandeanderevijffigurenwaaromhetgeenregelmatigeveelvlakis.

22 Hetaantalhoekpunten,ribbenengrensvlakkeninopgave20chebjemisschienmetveelmoeitekunnenvinden.Daarbijzuljewelsterkgebruikge-maakthebbenvandetekeningenvandedraadmo-dellen.Anneheefteenredeneringomhetaantalhoekpuntenvaneenkubusteberekenen.

Dieredeneringstaathiernaast. aLeesdieredeneringgoed.

101

Devijfveelvlakkenhierbovenzijnzeerbijzonder.Allegrensvlakkenzijnhetzelfdeeninelkhoekpuntkomenevenveelgrensvlakkensamen.Wenoemenhetdaaromregelmatigeveelvlakken.DeGrieksewis-kundigeEuclidesheeftlatenziendatermaarvijfzijn:hetregelmatigeviervlak,hetregelmatigezesvlak,hetregelmatigeachtvlak,hetregelmatigetwaalfvlakenhetregelmatigetwintigvlak.Zeworden(naardeGrieksewijsgeerPlato)ookwelPlatonischelichamengenoemd.

5.3 TELLEN IN DE RUIMTE

102

24 Vaneenregelmatigtwintigvlakwordendepuntenafgezaagd.Hieronderlinksisbijéénhoekpuntgetekendhoedatgaat.Inhetmiddenziejewater

bijéénkeerzagenvaneengrensvlakweggezaagdwordt.Rechtsziejedefiguurdieuiteindelijkont-

staat.

Diefiguurwordtbegrensddoorregelmatigevijf- hoekenenregelmatigezeshoeken. aVulin: Dezaagvlakkenzijnderegelmatige______,water

vandedriehoekigegrensvlakkenoverblijft,zijnderegelmatige______.

bBerekenhetaantalhoekpunten,grensvlakkenenribbenvandefiguurdieuiteindelijkontstaat.

bAnneheeftookeenredeneringomhetaantalrib-benvaneenkubusteberekenen.

VulderedeneringvanAnneaan.

23 Bereken,netalsAnne,hetaantalhoekpuntenenhetaantalribbenvaneen

aregelmatigachtvlak, bregelmatigtwaalfvlak, c regelmatigtwintigvlak. Kijkgoedhoeveelgrensvlakkenerineenhoekpunt samenkomen.

24 Defiguurlinksonderontstaatdooralleacht dehoekenvaneenkubusaftezagen.De

hoekpuntenvandezaagvlakkenzijnmiddensvanribben.Defiguurheeftalsgrensvlakkenregelma-tigedriehoekenenvierkanten

Berekenhetaantalhoekpunten,grensvlakkenenribbenvandeafgezaagdekubus.

25 Desterrechtsbovenontstaatdooropelkgrensvlak

vaneenkubuseenvierzijdigepiramideteplakken. Berekenhetaantalgrensvlakken,ribbenenhoek-

puntenvanderuimtelijkefiguur.(Degrensvlakkenvandekubuszijngeengrensvlakkenvandenieuwefiguurmeer!)Gebruikdateenkubuszesgrensvlak-

ken,twaalfribbenenachthoekpuntenheeft.



103

Diagonalen tellen

Indevolgendeopgavenhebbenwehetalleenmaaroverveelhoekenzonder‘inhammen’.

26aTekeneenvijfhoekmetdaarinallediagonalen. bTekeneenzeshoekmetdaarinallediagonalen. cHoeveeldiagonalenheefteenvijfhoek?Enhoeveel

diagonalenheefteenzeshoek? Hoemeerhoekpuntendeveelhoekheeft,hoe

moeilijkertezienisofallediagonalengetekendzijnenhoemoeilijkerhetisomzetetellen.

27 Inhoofdstuk2hebjegeleerdhoejehetaantal verbindingslijntjestussenpuntenkuntbere-

kenen. aTekenzevenpunteninjeschriftenallemogelijke

verbindingslijntjestussendezepunten.

Vanuitelkvandezevenpuntenkunjezesverbin-dingslijntjestekenen.Jezouzeggendatzijnerintotaal42.

bWaaromzijnermaar21?

Alsjeallediagonalenineenzevenhoektekent,hebjemetdezijdenerbijalleverbindingslijntjetussenzevenpunten.

cHoeveeldiagonalenheefteenzevenhoek? dBerekenhetaantaldiagonalenvaneendertienhoek. eHoeveelverbindingslijntjeskunjetussen100pun- tentekenen?Hoeveeldiagonalenheefteenhon-

derdhoek? 28aHoeveelbinnendiagonalenheefteenkubus? bHoeveelbuitendiagonalenheefteenkubus? cHoeveelribbenheefteenkubus? dAlsjedegetallendiejeina,bencbijelkaarop-

telt,vindjehetaantalverbindingslijntjestussen8punten,namelijk ⋅ 8⋅ 7=28.Legdatuit.

29 Hiernaastziejeeenvijfzijdigprisma.Datstaat ookophetwerkblad.

aTekenallebinnendiagonalenvanuitA. bKleurallebuitendiagonalenaandevoorkanten

ookallebuitendiagonalenaande‘rechterzijkant’ineenanderekleur

cBerekenhetaantalbuitendiagonalenvanhetprisma.

26aHoeveeldiagonalenkunjevanuitéénhoekpunt vaneenzevenhoektekenen?Hoeveeldiagonalen heefteenzevenhoek? bInhoofdstuk2hebjegeziendatje21verbindings-

lijntjes tussen7puntenkunttekenen.Sommigezijnzijdenvandezevenhoek,deanderediagona-len.Hoekunjehieruithetaantaldiagonalenvaneenzevenhoekberekenen?

cGeefeenformulewaarmeejehetaantaldiagonalen vaneenn-hoekkuntberekenen.

27 Hieronderiseenzeszijdigprismagetekend.

aHoeveelbinnendiagonalenkunjevanuitéénpunt tekenen? bHoeveelbuitendiagonalenkunjevanuitéénpunt tekenen?Onderscheidtweegevallen. cHoeveelbinnendiagonalenheefteenzeszijdig prismaintotaal?Enhoeveelbuitendiagonalen? dHoeveelribbenheefteenzeszijdigprisma? Alsjedeantwoordenincendbijelkaartelt, krijgjehettotaalaantalverbindingslijntjestussen twaalfpunten. eKloptdatmetdeformuleuithoofdstuk2?

Uithoofdstuk2:hetaantalverbindingslijntjestussennpuntenis: ⋅ n ⋅ (n - 1)

104

Vanuitelkhoekpuntaandevoorkantvanhet prismakunjetweebinnendiagonalentekenen. dHoeveelbinnendiagonalenheefthetprisma?

eHoeveelribbenheefteenvijfzijdigprisma?

Alsallesgoedisgegaan,vindje45alsjedege-tallenuitvraag29c,denebijelkaartelt.Ditisprecieshetaantalverbindingslijntjesdatjetussentienpunten(dehoekpuntenvanhetprisma)kunttekenen.

Routes tellen

30 Debalkhiernaastis1bij2bij4cm.EenmierlooptoverdegrensvlakkenderouteA-M-G-N-A.

(MenNzijnmiddensvanribben.) aNeemdeuitslagvandebalkoverinjeschriften

tekendaarinderoutevandemier. Tip.Zeteerstedejuistelettersbijdehoekpuntenindeuitslag. bEentweedemierlooptalleenoverderibbenvande

balk.HoeveelkortsterouteszijnervoordezemiermogelijkvanAnaarG?

cHoeveelrouteszijnervoordetweedemiervanA naarGendanweerterugnaarA?



28aHoeveelverbindinglijntjeskunjetussendehoek-puntenvaneenhonderdzijdigprismatekenen?

bHoeveelribbenheefteenhonderdzijdigprisma? Enhoeveelbuitendiagonalen?(Jekunthierde

formulegebruikendiejeinopgave27cgevondenhebt.)

Enhoeveelbinnendiagonalen? cAlsjededriegetallenuitvraagbbijelkaartelt,

vindjedanhetzelfdeantwoordalsina?

A

A

F

B

M

B

CN

C

ED

D

GH

105

5.4 EINDPUNT

aanzichten

Depiramideis2cmhoog.Deribbeninhetgrondvlakzijn2cm.Hieronderziejededrieaanzichten.RibbeTC kunjealleeninhetzijaanzichtmeten,ribbeACalleeninhetvooraanzicht.

diagonalen

Hiernaaststaateentorentje.AHenHCzijnbuitendiagonalen.EGenTCzijnbinnendiagonalen.

VanuitTkunjevierbinnendiago-nalentekenen.InvlakEFGHlig-gentweebinnendiagonalen.InbalkABCD.EFGHhebjevierbinnendiagonalen.Erzijndus10binnendiagonalen.Erzijn5·2=10buitendiagonalen.Erzijn16ribben.Duserzijn10+10+16=36ver-bindinglijntjestussendenegenpuntenvandetoren.Datkloptmetdeformuleuithoofdstuk2:hetaantalverbindingslijntjestussen9puntenis9·8:2=36.

regelmatigeveelvlakken

Euclidesbeweesdatervijfregelmatigeveelvlakkenzijn.•hetregelmatigeviervlak(eendriezijdigepiramide waarvanallezesderibbenevenlangzijn)•hetregelmatigezesvlak(dekubus)•hetregelmatigeachtvlak(hieronder)•hetregelmatigetwaalfvlak(hieronder)•hetregelmatigetwintigvlak(hieronder)

uitslagen

Hieronderziejeeenuitslagvaneendriezijdigepira-mide.Deribbenvanhetgrondvlakzijn2cmendeopstaanderibben2cm.Eenuitslagiseenbouwplaatzonderplakrandjes.

lengtesmeten

Jekuntdelengtevaneenverbindingslijntjenietaltijdineenruimtelijketekeningmeten(opgave4).Datkunjeweldooreenvlakwaardatlijntjeinligt,opwaregroottetetekenen.

VoorbeeldVerondersteldathetgrondvlakvanhettorentjehier-naast3bij3cmis,datvlakEFGHophoogte4cmligtenTophoogte7cm.AlsjedelengtevanEG wilweten,tekenjeeenvierkantvan3bij3cmenmeetdelengtevaneendiagonaal.JevindtEG =4,2cm.AlsjedelengtevanTC wilwetentekenjedriehoekACT.Dieis‘onderaandebasis’4,2cmbreed(wantAC isevenlangalsEG)enTligtdaarmiddenbovenophoogte7cm.Jevindt:TC=7,3cm

telleninderuimte

Jekuntineenruimtelijkefiguursystematischtellen.

VoorbeeldenHetaantalribbenineenregelmatigetwaalfvlakbere-kenjealsvolgt.Erzijn12vijfhoekigegrensvlakken.Elkgrensvlakheeft5ribben.Elkeribbeligtintweegrensvlakken.Hetaantalribbenvanhetregelmatigetwaalfvlakisdus5·12:2=30.

Hetaantalbuitendiagonalenvaneenzevenzijdigprismaberekenjealsvolgt.Ineenzevenhoekhebje7·6:2− 7=14diagonalen.Bovenhebjedus14diagonalen,onderook.Inelkrechthoekiggrensvlakhebjeer2.Intotaalhebje14+14+7·2=42buitendiagonalen.

2 cm

cm2 12

106

1 Vaneenkubusisdebovenstehelftgekleurd.Indeuitslagenishetgrensvlakdathelemaalgekleurdis,aangegeven.

Kleurophetwerkbladdedelenvandeanderegrensvlakkendieokermoetenzijn.

2 Alsjeeenboldoorzaagt,heefthetzaagvlakaltijdde

vormvaneencirkel. Welkevormenkunjevoorhetzaagvlakkrijgenals

jeeencilinderdoorzaagt?

3 Vaneenregelmatigevierzijdigepiramidewordtdetopafgezaagd.wenoemendefiguurdiezoontstaateenafgeknottepiramide.Hetzaagvlakgaatdoordemiddensvanderibbendienaardetoplopen.Hiernaastziejedepiramidemethetzaagvlak.

aTekenhetbovenaanzichtvandeafgezaagdepira-mide.Neemaandatalleribben4cmzijn.

Kleurhetzaagvlak. bMaakeenuitslagvandeafgeknottepiramide.

4 Devierplaatjeshiernaastzijnuitslagenvanruim-telijkefiguren:eenbalk,eendriezijdigepiramide,eenvierzijdigepiramideeneendriezijdigprisma.Maarinelkeuitslagzitéénfout.

Verbeterdefoutenophetwerkblad.

5 Inopgave26hebjehetaantalbinnen-enbuiten-diagonalenvaneenkubusberekend:12buitendia-gonalenen4binnendiagonalen.

Controleerdeaantallenmetbehulpvandeformulevoorhetaantalverbindingslijntjestussenpunten.

6 Hiernaastiseen‘dambord’van4bij4getekend.

Opelkvandezestienveldenisaangegevenhoeveelschijveneropelkaargestapeldstaan.Daarnaastisgetekendwatje‘vanvoor’ziet,duseenvooraan-zicht.Wenemenaandatdestenenevenbreedzijnalsdevelden.

aTekeneenzijaanzichtoproosterpapier.Neemvoordebreedtevaneensteen1cmenvoordehoogtecm.

bJekuntschijvenvanhetbordnemenzonderdathetvoor-enhetzijaanzichtverandert.

Hoeveelschijvenkunjemaximaalwegnemen?

5.5 EXTRA OPGAVEN


107

c Inplaatsvanschijvenwegtenemen,kunjeerookschijvenbijzettenzonderhetvoor-enhetzijaan-zichtteveranderen.

Zoekuithoeveelschijvenjeernogmaximaalbijkuntplaatsen.

7 Vaneendriezijdigeprismazijnalleribben4cmlang.

aTekeneenuitslagvanhetprisma.Gebruikdepas-ser.

bTekenplakrandjesaanuitslagenzethetinelkaar.

8 Dezefraaiesterkrijgjedooropelkgrensvlakvaneenregelmatigachtvlakeenregelmatigviervlakteplakken.

Hoeveelgrensvlakken,ribbenenhoekpuntenheeftdester?(Eenregelmatigachtvlakheeft12ribbenen6hoekpunten.)

9 Vandevierzijdigepiramidehiernaastishetgrond-vlakeenvierkantmetzijdenvanlengte4cm.Dehoogtevandepiramideis3cm.(Dusdetopvandepiramideligt3cmbovenhetgrondvlak.)

Wegaaneenuitslagvandepiramidemaken.MaardriehoekABTbijvoorbeeld,kunnenwenietdirecttekenen,wantwewetenniethoelangdeopstaanderibbenvandepiramidemoetenworden.Wekun-nendaarachterkomendooreerstdriehoekACTtetekenen.

aTekendriehoekACT.Geefduidelijkaanhoejetekeningtotstandgekomenis.

bJeweetnuhoelangdeopstaanderibbenvandepiramidemoetenzijn.

Maaknueenuitslagvandepiramide.

10 Jaapheeftvan27kubusjesééngrotegemaakt.Hijhaaltachtvande27kubussenopdehoekenweg.Hiernaastziejehoehetbouwseleruitzietnadateréénweggehaaldis.

Berekenhetaantalhoekpunten,ribbenengrens-vlakkenvandefiguurdieJaapkrijgt.

11 HiernaastisdeuitslageneenruimtelijkplaatjevanhetregelmatigeviervlakmethoekpuntenA,B,CenDgetekend.MishetmiddenvanABenNishetmiddenvanAM.

aZetindeuitslagophetwerkbladdegoedelettersbijdehoekpuntenengeefookdepuntenMenNaan(eventueelmeerderekeren).

108

Eenmierlooptoverdegrensvlakkenvanhetvier-vlak.HetstartpuntvanzijnrouteisM.EerstloopthijovergrensvlakABC.OverditvlakloopthijevenwijdigaanAC.DanloopthijovergrensvlakBDCenwelevenwijdigaanBD.DanloopthijovervlakACDevenwijdigaanACentenslotteovervlakABDevenwijdigaanDB.

bTekenophetwerkbladderoutevandemierinderuimtelijkefiguurenookindeuitslag.

Eenanderemierdoethetzelfdealsdeeerstemier,metditverschildathijinNstart.

cTekenderoutevandetweedemier(ineenanderekleur)inderuimtelijkefiguurenindeuitslag.

dWatkunjezeggenoverdelengtesvanderoutesvandetweemieren?

12 Hiernaastziejeeentekeningvaneenregelmatigtwaalfvlak.Aandeuitslagdaaronderontbreektnogééngrensvlak.Ditgrensvlakkanopvijfverschil-lendeplaatsengetekendworden.

aKleurophetwerkbladderibbenwaaraanditgrens-vlakgetekendkanworden.

Ineengrensvlakvanhettwaalfvlakkunnenvijfbuitendiagonalengetekendworden.Hettwaalfvlakheeft30ribbenen20hoekpunten.

bBerekenhetaantalbinnendiagonalenvanhetregel-matigetwaalfvlak.Schrijfjeberekeningop.

13 Destapelkogelsopdefotoheeftdevormvaneenregelmatigedriezijdigepiramide.

aHoeveelkogelsliggeneropdederdelaagvanbo-ven?

bHoeveelkogelsliggeneropdestapel?Schrijfophoejeaanjeantwoordkomt.

14 DezeonderzoeksvraagkomtuiteenprijsvraagdieprofessorH.Freudenthalplaatsteinjaargang10vanhettijdschriftPythagoras.

Eenschaakbordbestaatuiteenvierkant,verdeeldin64afwisselendzwarteenwittevelden.Opeenvandeveldenvanzo’nschaakbordligteendobbel-steenwaarvandegrensvlakkenpreciesopdeveldenvanhetschaakbordpassen.Jekuntdedobbelsteenoverhetschaakbordverplaatsendoorhemtekante-lenomeenvanzijnribben,zodathijpreciesopéénvandebuurveldenkomtteliggen.Doorachter-eenvolgendekantelingenkunjevanuitelkveldelkanderveldophetschaakbordbereiken.

Kieseenstartvelduitenlegdaardedobbelsteenneer.Kiesnueendoelveld.Kunjedoortekantelendedobbelsteenophetdoelveldkrijgenmetelkaantalogendatjewiltaandebovenkant?

5.5 EXTRA OPGAVEN


109

15 OokinPythagoras,40ejaargangnummer6,be-schrijftHermanAlinkdetetrakubuspuzzel.Ditiseenonderzoekjevoorknutselaars.Metvierku-busjeskunjeintotaalachtverschillendevormpjesmaken.Hiernaastzijnerviergetekend.

aTekendeandereviermogelijkheden.

Jehebtnudeachtmogelijketetrakubusjesgete-kend(tetrabetekentvierinhetGrieks).

Omditonderzoekjetedoenishetnoodzakelijkomdieookechttehebben.LeerlingendieaandeKangoeroewedstrijdvan2006meehebbengedaan,hebbenzealspresentjegekregen.Misschienheeftjeleraarzeookwel.Andersmoetjezezelfmaken.Daarvoorhebje32kubusjesnodig,tekopenineendoe-het-zelfzaakofhobbywinkel,diejemethoutlijmaanelkaarkuntplakken.

bAlsjeeenvandeachttetrakubusjeskiestenver-grootmetdefactor2,duszowelindelengte,debreedtealsdehoogtetweekeerzogrootmaakt,hoeveelkleinekubusjeshebjedannodig?

Hetzaljewellichtzijnopgevallendatjevoorzo’nvergrotingmetfactor2vaneenvandetetrakubus-jesnetzoveelkleinekubusjesnodighebtalsvoordeachttetrakubusjessamen.Inhetplaatjeziejezo’nvergroting.Dezeisgemaaktmetdeachtkleinetetrakubusjes(delaatstewordternognetaange-legd).

cLaatziendatjedeanderezevenvergrotingenookmetdeachtkleinetetrakubusjeskuntleggen.

16 Webekijkeneenbouwselvandertiendonkerenveertienlichtgekleurdekubusjes.

Eenkubuswormbevindtzichinhethartvanhetbouwsel.Hijheefthetplanzicheenwegdoordekubusteetenendaarbijelklichtenelkdonkerku-busjeéénkeeraantedoen.Hijbegintdusmethetdonkerekubusjeinhetmidden.Ganaofhetplanvandekubuswormuitvoerbaaris.Schrijfophoejehetantwoordgevondenhebt.

17aHoeveelribben,hoekpuntenengrensvlakkenheeftdeafgezaagdekubushiernaast?

bHoeveelbinnendiagonalenkunjevanuitéénpunttekenen?

cHoeveelbinnendiagonalenheeftdeafgezaagdekubusdus?

dHoeveelbuitendiagonalenheeftdeafgezaagdekubus?

eControleerjeantwoordenopdevorigevragenmet:aantalbinnendiagonalen+aantalbuitendiagonalen+aantalribben=aantalverbindingslijntjestussentwaalfpunten.

110

18 BalkABCD.EFGHis2bij2bij4cm.Debalkisdoorzichtig.Eenmierkruiptlangsdegrensvlakkenvandebalkomhoog.Haarwegisoveralevensteil.

HetpuntwaarzijribbeBFpasseertnoemenweP.Pligtop cmhoogte.

Deuitslagvandebalkisbijnaaf.Erontbreektnogééngrensvlak.

aTekendatgrensvlakerophetwerkbladbij. Schrijfbijelkhoekpuntdejuistenaam. bJehadhetontbrekendegrensvlakookaanandere

ribbenvastkunnentekenen. Kleurdieribben. cTekendewegdiedemiervolgtindeuitslag. dEenanderemierstartinhetmiddenvanribbe

ABenvolgteenwegmetdezelfdestijgingalsdeeerstemier.Tekendewegvandetweedemierindeuitslag.

e Indebalkiseendraadgespannen.Hiernaastziejehetvoor-enhetrechterzijaanzichtvandedraad.Tekendedraadheelpreciesindebalkophetwerk-blad.

19 VankubusABCD.EFGHmetribbenvan4cm

wordteenhoekafgezaagd.HetzaagvlakisdriehoekMNG, waarbijMenN middensvanribbenzijn.

aTekeneenvoor-eneenbovenaanzichtvandeafge-zaagdekubus.

bMaakhetplaatjeophetwerkbladaftoteenuitslagvandeafgezaagdekubus.Daarvoormoetennogdriegrensvlakkengetekendworden.

TekendiealledrieaangrensvlakABNMEvast. cZetbijelkhoekpuntdejuistenaam.

EénvandelichaamsdiagonalenvandeafgezaagdekubusheeftgrenspuntA.OmdelengtevandezediagonaaltebepalenbekijkenwerechthoekACGE.

dMaakeentekeningvanrechthoekACGE. Geefduidelijkaanhoejedebreedteendehoogtevandierechthoekgevondenhebt.

eMeetdelengtevandelichaamsdiagonaalmetgrenspuntA.

f HoeveellichaamsdiagonalenhebbengrenspuntM? Zijndieevenlang? gTekeneenrechthoekwaarinjedelengtevande

lichaamsdiagonalenvanuitpuntMkuntmeten.Zegprecieshoejedebreedteendehoogtevandierechthoekbepaaldhebt.

hHoeveellichaamsdiagonalenheeftdeafgezaagdekubus?

Devolgendeopgavezaljebeterafgaanalsjede applet5.1-Blokkengebruikt. GadaarvoornaardeinternetpaginavandeWage-

ningseMethode.

5.5 EXTRA OPGAVEN


111

20 Hiernaastziejeeenstapelvan27blokken.Dievormeneenkubus.Alsjeeenblokuitdestapelwegneemt,blijvendeblokkendaarbovenophunplaats.Doorblokkenwegtenemen,kunjeeenbouwwerkmetpreciesdeaanzichtendieeronderstaan.

aHoeveelblokkenkunjedanminimaalwegnemen? bHoeveelblokkenkunjemaximaalwegnemen?

21 HiernaastziejeeenmozaïekuitdeSanMarcokathedraalinVenetië.Hetstelteenregelmatigtwaalfvlakvoormetopdegrensvlakkenregelma-tigevijfzijdigepiramides.

Berekenhetaantalhoekpuntengrensvlakkenenribbenvandefiguur.

Jemaggebruikendateenregelmatigtwaalfvlak20hoekpuntenen30ribbenheeft.

112 Hoofdstuk 5 DE RUIMTE IN

maanwagentijdensdeApollo17missie

H5 – De ruimte in

Documents

Transcript of H5 – De ruimte in