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0 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516

INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK

GBI Tutorium 22

Roman Langrehr, 4. Tutorium am 17.11.2015

KIT – Universität des Landes Baden-Württemberg undnationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu

Organisatorisches

PhysikerInnen bitte am Ende der Stunde zu mir.

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Vollständige Induktion

Für n ∈ N0 sei An eine Aussage.Ziel: Für alle n ∈ N0 An beweisen.

Wir zeigen:A0 (Indukationsanfang, IA)Wenn An gilt (Induktionsvorraussetzung, IV), dann auch An+1(Induktionsschritt, IS) (n ∈ N0).

Für n ∈ N0 sei An eine Aussage.Ziel: Für alle n ∈ N0 An beweisen.Wir zeigen:

A0 (Indukationsanfang, IA)Wenn An gilt (Induktionsvorraussetzung, IV), dann auch An+1(Induktionsschritt, IS) (n ∈ N0).

Beispiel

x0 := 0

Für alle n ∈ N0 : xn+1 := xn + 2n + 1

Behauptung: Für alle n ∈ N gilt xn = n2

Beweis:I.A: n = 0 : x = 0 = 02

I.V: Für ein beliebiges, aber festes n ∈ N gelte xn = n2

I.S: n n + 1

xn+1 = xn + 2n + 1 =I.V .

n2 + 2n + 1 = (n + 1)2

Beispiel

x0 := 0

Für alle n ∈ N0 : xn+1 := xn + 2n + 1

Beweis:I.A: n = 0 : x = 0 = 02

I.S: n n + 1

xn+1 = xn + 2n + 1 =I.V .

n2 + 2n + 1 = (n + 1)2

Beispiel

x0 := 0

Für alle n ∈ N0 : xn+1 := xn + 2n + 1

Beweis:I.A: n = 0 : x = 0 = 02

I.S: n n + 1

xn+1 = xn + 2n + 1 =I.V .

n2 + 2n + 1 = (n + 1)2

Beispiel

x0 := 0

Für alle n ∈ N0 : xn+1 := xn + 2n + 1

Beweis:I.A: n = 0 : x = 0 = 02

I.S: n n + 1

xn+1 = xn + 2n + 1 =I.V .

n2 + 2n + 1 = (n + 1)2

Vollständige InduktionVarianten

Mehrere Induktionsanfänge

Späterer InduktionsanfangZurückgreifen auf alle Aussagen A0,A1, ...,An im Induktionsschritt

Mehrere InduktionsanfängeSpäterer Induktionsanfang

Zurückgreifen auf alle Aussagen A0,A1, ...,An im Induktionsschritt

Mehrere InduktionsanfängeSpäterer InduktionsanfangZurückgreifen auf alle Aussagen A0,A1, ...,An im Induktionsschritt

AufgabeSei A ein Alphabet und R : A∗ → A∗ definiert durch:

R(ε) := ε

Für w ∈ A∗ und x ∈ A : R(xw) := R(w)x

Beweise, dass für w ∈ A∗ die Aussage |R (w) | = |w | gilt.

AufgabeAlice und Bob feiern ihren Hochzeitstag. Auf ihrer Party befinden sichn ∈ N+ Paare. Dabei begrüßen sich alle Paare mit Ausnahme deseigenen Partners. xi bezeichne die Anzahl der Begrüßungen für i ∈ N+.Gebe eine geschlossene Formel für xi an und beweise diese.

Formale Sprache

DefinitionSei A ein Alphabet. Dann nennt man L ⊆ A∗ eine (formale) Sprache überdem Alphabet A

Konkatenation formaler Sprachen

DefinitionEs seien L1 und L2 formale Sprachen. Dann nennt man

L1 · L2 := {w1 · w2|w1 ∈ L1 und w2 ∈ L2}

BeispielEs sei A := {a,b} ein Alphabet und L1 := {a,aa} L2 := {ε,b} formaleSprachen. Dann ist:

L1 · L2 = {a,aa,ab,aab}

Satz (Assoziativität der Konkatenation von formalen Sprachen)

L1 · (L2 · L3) = (L1 · L2) · L3

L1 · L2 := {w1 · w2|w1 ∈ L1 und w2 ∈ L2}

L1 · (L2 · L3) = (L1 · L2) · L3

L1 · L2 := {w1 · w2|w1 ∈ L1 und w2 ∈ L2}

L1 · (L2 · L3) = (L1 · L2) · L3

L1 · L2 := {w1 · w2|w1 ∈ L1 und w2 ∈ L2}

L1 · (L2 · L3) = (L1 · L2) · L3

Potenzen formaler Sprachen

DefinitionFür eine formale Sprache L definiere wir:

L0 := {ε}Für alle k ∈ N0 : Lk+1 := L · Lk

BeispielEs sei A := {a,b} ein Alphabet und L := {a,aba}. Dann ist:

L0 = {ε}L1 = {a,aba}L2 = {aa,aaba,abaa,abaaba}L3 = {aaa,aabaa,abaaa,abaabaa,aaaba,aabaaba,abaaaba,abaabaaba}

AufgabeEs sei L eine formale Sprache über einem Alphabet A mit |L| ∈ N0. Wasist |Ln| für n ∈ N0?

Lösung|L|n, wobei 00 =: 1.

AufgabeEs sei L eine formale Sprache über einem Alphabet A mit |L| ∈ N0. Wasist |Ln| für n ∈ N0?

Lösung|L|n, wobei 00 =: 1.

AufgabeWelche Eigenschaft muss eine formale Sprache L über einem AlphabetA erfüllen, damit

L0 ⊆ L1 ⊆ L2 ⊆ L3 ⊆ ...

gilt, erfüllen?

LösungL0 ⊆ L1 ⊆ L2 ⊆ L3 ⊆ ... gilt genau dann, wenn ε ∈ L gilt.

AufgabeWelche Eigenschaft muss eine formale Sprache L über einem AlphabetA erfüllen, damit

L0 ⊆ L1 ⊆ L2 ⊆ L3 ⊆ ...

gilt, erfüllen?

LösungL0 ⊆ L1 ⊆ L2 ⊆ L3 ⊆ ... gilt genau dann, wenn ε ∈ L gilt.

Konkatenationsabschluss formaler Sprachen

DefinitionFür eine formale Sprache L über einem Alphabet A definieren wir denKonkatenationsabschluss L∗ als:

L∗ :=⋃

i∈N0

BeispielEs sei A := {a,b} ein Alphabet und L := {aa,ab}. Dann ist

L∗ = {ε,aa,ab,aaaa,aaab,abaa,abab, ...}

L∗ :=⋃

i∈N0

L∗ :=⋃

i∈N0

ε-freier Konkatenationsabschluss formalerSprachen

DefinitionFür eine formale Sprache L über einem Alphabet A definieren wir denε-freien Konkatenationsabschluss L+ als:

L+ :=⋃

i∈N+

L+ = {aa,ab,aaaa,aaab,abaa,abab, ...}

L∗ = L0 ∪ L+ = {ε} ∪ L+

L+ :=⋃

i∈N+

L∗ = L0 ∪ L+ = {ε} ∪ L+

L+ :=⋃

i∈N+

L∗ = L0 ∪ L+ = {ε} ∪ L+

L+ :=⋃

i∈N+

L∗ = L0 ∪ L+ = {ε} ∪ L+

Konkatenationsabschlüsse formaler Sprachen

AufgabeEs sei A := {a,b} ein Alphabet. Drücke durch Konkatenationsabschlüssedie formale Sprache

L := {w ∈ A∗|w 6∈ {w ∈ A∗|w = u · ab · v mit u, v ∈ A∗}}

Lösung

L = {b}∗ · {a}∗

AufgabeEs sei A := {a,b} ein Alphabet. Drücke durch Konkatenationsabschlüssedie formale Sprache

L := {w ∈ A∗|w 6∈ {w ∈ A∗|w = u · ab · v mit u, v ∈ A∗}}

Lösung

L = {b}∗ · {a}∗

AufgabenEs sei A := {a,b}. Beschreiben Sie unter Benutzung nur der Symbole{, },a,b, ε,∪,∗ und +, sowie runde Klammer auf, runde Klammer zu undKomma, die folgenden formalen Sprachen:

die Menge aller Wörter über A, die das Teilwort ab enthalten;

Lösung

{a,b}∗ {ab} {a,b}∗

die Menge aller Wörter über A, deren vorletztes Zeichen ein b ist;

Lösung

{a,b}∗ {b} {a,b}

Lösung

{a,b}∗ {ab} {a,b}∗

Lösung

{a,b}∗ {b} {a,b}

Lösung

{a,b}∗ {ab} {a,b}∗

Lösung

{a,b}∗ {b} {a,b}

Lösung

{a,b}∗ {ab} {a,b}∗

Lösung

{a,b}∗ {b} {a,b}

die Menge aller Wörter über A, in denen nirgends zwei b’s unmittelbarhintereinander vorkommen.

Lösung

{a,ba}∗ {b, ε}

die Menge aller Wörter über A, in denen nirgends zwei b’s unmittelbarhintereinander vorkommen.

Lösung

{a,ba}∗ {b, ε}

AufgabeWähle ein Alphabet und beschreibe eine formale Sprache über diesemAlphabet, die alle ganzen Zahlen (Z) in Dezimalschreibweise (ohneführende Nullen) beschreibt.

LösungEs sei A := {−,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} das Alphabet. Dann beschreibt

L := {ε,−} ·({0} ∪

({1,2,3,4,5,6,7,8,9} · {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}∗

AufgabeWähle ein Alphabet und beschreibe eine formale Sprache über diesemAlphabet, die alle ganzen Zahlen (Z) in Dezimalschreibweise (ohneführende Nullen) beschreibt.

LösungEs sei A := {−,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} das Alphabet. Dann beschreibt

L := {ε,−} ·({0} ∪

({1,2,3,4,5,6,7,8,9} · {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}∗

AufgabeEs sei A ein Alphabet und L eine formale Sprache über A. ZeigeL∗ · L = L+

AufgabeKann ε ∈ L+ gelten? Wenn ja, wann?

LösungJa. ε ∈ L+ gilt genau dann, wenn ε ∈ L.

AufgabeWas ist ∅∗? Was ist ∅+?

Lösung

∅∗ = {ε}∅+ = ∅

Lösung

∅∗ = {ε}∅+ = ∅

Lösung

∅∗ = {ε}∅+ = ∅

Lösung

∅∗ = {ε}∅+ = ∅

Dezimaldarstellung von Zahlen

DefinitionSei Z10 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ein Alphabet. Dann definieren wir:

num10 : Z10 → N0

0 7→ 0

1 7→ 1

2 7→ 2

3 7→ 3

4 7→ 4

5 7→ 5

6 7→ 6

7 7→ 7

8 7→ 8

9 7→ 9

Dezimaldarstellung von Zahlen

DefinitionDesweiteren definieren wir Num10 : Z ∗

10 → N0 durch:

Num10 (ε) := 0

Für w ∈ Z ∗10 und x ∈ Z10 : Num10 (wx) := 10 · Num10 (w) + num10 (x)

DefinitionSei x, y ∈ N0. Dann bezeichne x div y das Ergebnis der ganzzahligenDivision von x durch y.

Beispiel

4 div 2 = 2

5 div 3 = 1

DefinitionSei x, y ∈ N0. Dann bezeichne x div y das Ergebnis der ganzzahligenDivision von x durch y.

Beispiel

4 div 2 = 2

5 div 3 = 1

DefinitionSei x, y ∈ N0. Dann bezeichne x mod y den Rest der ganzzahligenDivision von x durch y.

Beispiel

4 mod 2 = 0

5 mod 3 = 2

DefinitionSei x, y ∈ N0. Dann bezeichne x mod y den Rest der ganzzahligenDivision von x durch y.

Beispiel

4 mod 2 = 0

5 mod 3 = 2

k-äre Darstellung von Zahlen

DefinitionenSei Zk ein Alphabet mit k Ziffern, denen je genau eine Zahl aus Zkeineindeutig zuzuordnen ist.numk : Zk → Zk bezeichne diese Zahl für jede Ziffer.reprk : Zk → Zk : i 7→ num−1

k (i) ist die zugehörige Umkehrfunktion.

Desweiteren definieren wir Numk : Z ∗k → N0:

Numk (ε) := 0

Für w ∈ Z ∗k und x ∈ Zk : Num10 (wx) := k · Numk (w) + numk (x)

Reprk : N0 → Z ∗k : n 7→

{reprk (n) falls n < kReprk (n div k) · reprk (n mod k) falls n ≥ k

k (i) ist die zugehörige Umkehrfunktion.Desweiteren definieren wir Numk : Z ∗

k → N0:

Numk (ε) := 0

Reprk : N0 → Z ∗k : n 7→

k (i) ist die zugehörige Umkehrfunktion.Desweiteren definieren wir Numk : Z ∗

k → N0:

Numk (ε) := 0

Reprk : N0 → Z ∗k : n 7→

Wichtige Zahlendarstellungen

BinärdarstellungMit Z2 := {0,1} und num2 (0) =: 0 und num2 (1) =: 1

HexadezimaldarstellungMit Z16 := (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F ) mit

num16 (0) =: 0...

num16 (9) =: 9

num16 (A) =: 10

num16 (B) =: 11

num16 (C) =: 12

num16 (D) =: 13

num16 (E) =: 14

num16 (F ) =: 15

Wichtige Zahlendarstellungen

BinärdarstellungMit Z2 := {0,1} und num2 (0) =: 0 und num2 (1) =: 1

HexadezimaldarstellungMit Z16 := (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F ) mit

num16 (0) =: 0...

num16 (9) =: 9

num16 (A) =: 10

num16 (B) =: 11

num16 (C) =: 12

num16 (D) =: 13

num16 (E) =: 14

num16 (F ) =: 15

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