Fundamenten van de Wiskunde - UAntwerpen · 2013. 7. 4. · Moderne wiskundigen zouden zeggen dat...

Fundamenten van de Wiskunde

Prof.dr. Jacques Tempere

Faculteit Wetenschappen, departement Fysica

Inhoudsopgave

Inleiding vii

1 Verzamelingenleer en logica 11.1 Basisnotatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 De logica van verzamelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Unie, doorsnede en verschil . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2 De logische implicatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.3 Contrapositief, omgekeerde en negatie . . . . . . . . . . . 61.2.4 Axiomatische wiskunde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.5 Produkt van verzamelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Relaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.1 Equivalentierelaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.2 Ordeningsrelaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4 Functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5 Bewerkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6 Terug naar het getal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Intermezzo op vertrouwd terrein 232.1 Open en gesloten lijnstukken in R . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2 Limieten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.1 Convergentie van een rij getallen . . . . . . . . . . . . . . 252.2.2 Cauchy-convergente rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.3 Volledigheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 Continuïteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4 Einstein heeft méér nodig (en Feynman ook) . . . . . . . . . . . 30

3 Metrische ruimten 333.1 De metriek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 Open en gesloten delen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.1 Open en gesloten bollen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2.2 Afsluiting van een verzameling . . . . . . . . . . . . . . . 393.2.3 Inwendige van een verzameling . . . . . . . . . . . . . . . 413.2.4 Eigenschappen van open verzamelingen . . . . . . . . . . 423.2.5 Geïsoleerde punten en ophopingspunten . . . . . . . . . . 44

iii

iv INHOUDSOPGAVE

3.3 Limieten en convergentie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.4 Continuïteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.5 Kwantumgravitatie heeft méér nodig . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4 Topologie: leven zonder lat 534.1 Definitie van topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2 Taxonomie van punten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2.1 Open omgevingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.2.2 Convergentie en limieten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3 Basis van een topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.4 Continuïteit van functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.5 Topologische equivalentie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.6 Topologische invarianten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Voorwoord

Deze cursus vult een nood die door fysica studenten ervaren werd om dieper inte gaan op fundamentele wiskunde, niet zozeer om de wiskundige structuren inalle detail te beheersen, dan wel om de mentale “klik” te kunnen maken naarhet wiskundig abstraheren en het leren redeneren via stelling en bewijs. Dat isgeen simpele opgave. Het vereist kennis van enkele basisconcepten en vooral veeloefening. In deze cursusnota’s vind je de basisconcepten uitgelegd, en achteraanstaan enkele voorbeeld-oefeningen die we in de les gemaakt hebben.

v

vi PREFACE

Inleiding

Wiskunde is een studie die, startend vanuit zijn meest vertrouwde noties, intwee tegengestelde richtingen kan uitgebouwd worden. De meest gebruikelijkerichting is constructief en leidt tot steeds toenemende complexiteit: van gehelegetallen naar breuken naar reële getallen, naar complexe getallen; van optellenen vermenigvuldigen naar afleiden en integreren, en zo voort. De andererichting, die minder gekend is, analyseert de begrippen en leidt tot steedstoenemend niveau van abstractie en logische eenvoud. In plaats van zich afte vragen wat afgeleid kan worden vanuit de beginselen, gaat het zich afvragenof die beginselen niet geabstraheerd en uitgezuiverd kunnen worden, en welkealgemenere, dieperliggende ideëen en principes er achter liggen, zodat we deeerdere aannames en beginselen als hieruit afgeleid kunnen beschouwen. Het isdie richting van diepere abstractie die we gaan volgen.

We gaan hiertoe vertrekken van twee concepten die je uit de wiskunde vanhet secundair onderwijs kent: limieten en continuïteit van functies. We gaandie concepten lichten uit hun vertrouwde omgeving —de reële functies— en laagjeper laagje strippen van de concrete invulling die ze hadden in die vertrouwdeomgeving. Met elke laag komt een heel vakgebied van de wiskunde overeen,waarvan zelfs een rudimentair overzicht een ganse eigen cursus zou beslaan.Maar in plaats van die laag te verkennen, duiken we dieper, verbazen we onsover de vreemde wezens die we tegenkomen tijdens die verticale duik in dediepzee.

vii

viii INLEIDING

De structuur van de cursus is geschetst in bovenstaande figuur. Deruggegraat, of zuurstoflijn, naar de oppervlakte is de verzamelingenleer ende logica. Hierin zit veel van de taal van de wiskunde vervat, het is nietslechter om nog eens even de grammatica ervan te bekijken alsook een beetjebasisvocabularium. Dat doen we in hoofdstuk 1, waar we ook een voorbeeldgeven van de abstractie door te zoeken naar de oorsprong van de natuurlijkegetallen. De eigenlijke reis vertrekt in hoofdstuk 2, en bereikt kruissnelheid inhoofdstuk 3. Gewapend met de kennis en de kunde uit dat hoofdstuk gaanwe dan in hoofdstuk 4 de diepste laag van abstractie bekijken, en hopelijk wattopologie zonder traantjes bereiken.

Hoofdstuk 1

Verzamelingenleer en logica

Er zijn linguisten die beweren dat er stammen aboriginals in Australiëleven die geen woorden hebben voor getallen groter dan twee1. Dat maakthet bijzonder moeilijk om grote kuddes schaapjes (of kangoeroes) te tellen.Toch hebben primitieve herders aller tijden —voornamelijk van de tijd vóór deuitvinding van de wiskunde— een simpele manier om te zien of hun kudde volledigis: verzamelingenleer. Van dat leer maken ze een tas, en wanneer de kudde erop uit trekt, doen ze voor elk schaap dat uit de kraal weggaat, een steentje in detas. Wanneer de kudde terugkeert, halen ze er per schaap dat terug binnenkomteen steentje weg uit de tas. Blijven er op het eind nog stenen in de tas, danontbreken er schapen.

1B. J. Blake, "Australian aboriginal languages: a general introduction"(Second Edition,University of Queensland Press, Brisbane (1991) ISBN 978-0702223532) heeft het net nietgehaald als aangeraden studiemateriaal bij deze cursus.

1

2 HOOFDSTUK 1. VERZAMELINGENLEER EN LOGICA

Moderne wiskundigen zouden zeggen dat deze oermensen een bijectiegemaakt hebben tussen de verzameling stenen en de verzameling schapen. Enze zouden er aan toevoegen dat “het bestaan van een bijectie tussen tweeverzamelingen” een equivalentierelatie is, en dat zo’n equivalentierelatie deverzameling verzamelingen partitioneert, en dat aan elke partitie een kenteken,een getal, kan toegekend worden. Ze zouden hun betoog concluderen door opte merken dat op die manier getallen kunnen gedefinieerd worden. Waaropde oermensen waarschijnlijk hun stenen naar de moderne wiskundigen zoudengooien, want in vele gevallen was kannibalisme nog niet helemaal verdwenen inprimitieve beschavingen, en mens of schaap, zo nauw kwam het niet voor hetavondeten, en niemand heeft goesting om dat verloren schaap te gaan zoekenals er een goed doorvoede wiskundige voorhanden is.In dit hoofdstuk gaan we proberen de laatste woorden van de moderne

wiskundigen te begrijpen.

1.1 Basisnotatie

Notaties verschillen van boek tot boek, het is dus niet onnuttig om hieroverafspraken te maken. We gebruiken hoofdletters A,B,C, ... om verzamelingenaan te duiden, en kleine letters a, b, c, ... om de objecten of “elementen”in de verzameling aan te duiden. Soms ga ik ook over verzamelingen vanverzamelingen spreken, die ga ik dan met ronde letters A,B, C, ... proberenaan te duiden, wanneer het nodig is te benadrukken dat de elementen dus zelfverzamelingen zijn. Er zijn uitzonderingen voor beroemde verzamelingen. Deverzameling van alle reële getallen wordt met R aangeduid, die van de rationelegeatllen met Q, die van de gehele getallen met Z en die van de natuurlijkegetallen met N.Als een element a behoort tot een verzameling A, dan noteren we dit als

a ∈ A (1.1)

en als het er niet toe behoort, dan noteren we dit feit als

a /∈ A (1.2)

Schrijven we a = b dan bedoelen we dat de notaties a en b naar hetzelfdeobject verwijzen, als het verschillende objecten zijn schrijven we a 6= b. Deobjecten kunnen bvb. reële getallen zijn, of steentjes, of schapen, dat proberenwe juist te abstraheren. We kunnen deelverzamelingen identificeren (bvb allerode steentjes). Wanneer elk element van A ook een element van B is, dan is Aeen deelverzameling van B, wat we noteren als

A ⊂ B (1.3)

Een vaak voorkomende “verzameling van verzamelingen” is de verzameling P(A)van alle mogelijke deelverzamelingen van een gegeven A.

1.1. BASISNOTATIE 3

Om een verzameling te specifiëren, gaan we vaak de elementen ervanoplijsten, A = {a, b, c}, hoewel dat natuurlijk alleen maar lukt voor kleineverzamelingen. Soms is een voorschrift gemakkelijker, zoals

B = {x|x is een even geheel getal} (1.4)

Je kan de accolades {} hier vertalen als “de verzameling van alle”, en het streepje| als “waarvoor geldt dat”. Dus hierboven staat: B is de verzameling van alle x,waarvoor geldt dat x een even geheel getal is. Soms zal ik er toe verleid wordenom te schrijven B = {0, 2, 4, 6, 8, ....} maar dat is natuurlijk niet zo rigoureus.Nog een verduidelijking over de notaties: we maken een onderscheid tussen

het object a, dat een element is van de verzamelingA, en {a} dat een verzamelingmet maar één element is. Ter illustratie, voor A = {a, b, c} noteren we

a ∈ A (1.5)

{a} ⊂ A (1.6)

{a} ∈ P(A) (1.7)

Een van de doelen van het abstraheren is om de Nederlandse zin die nogin het voorschrift staat te gaan vervangen door wiskundige symbolen, met huneigen grammatica. Zo wordt “voor alle” geschreven als ∀, en “er bestaat” wordt∃ (deze symbooltjes noemt men de quantoren). We gaan in wat volgt nog eenhele trits van die symbolen tegenkomen, de taal van de wiskunde, en het isbelangrijk om hun preciese betekenis goed te onthouden. Het vervangen van deNederlandse woordjes vervangt door symbolen is erg handig als je met Russischeof Chinese wiskundigen wil praten. De wiskundige taal moet bovendien ook zoontworpen worden dat het alle dubbelzinnigheid vermijdt, wat niet kan gezegdworden van andere spreektalen. Soms ga ik niet alle woordjes vervangen: hoewelhet symbool ∧ gebruikt wordt voor het Nederlandse “en”, en het symbool ∨ voor“of” ga ik voor deze twee woordjes een uitzondering maken.

Figuur 1.1: Unie, doorsnede en verschil van verzamelingen, getoond viaVenn-diagrammen.


1.2 De logica van verzamelingen

De eenvoudige bewerkingen om van verzamelingen nieuwe te maken, namelijkvia unies, doorsnedes, complementen en verschillen, vereisen concepten als “en”,“of”, en “niet”: dit is de basis van de zogenaamde Booleaanse logica.

1.2.1 Unie, doorsnede en verschil

De unie van twee verzamelingen en de betekenis van “of” — De unie van tweeverzamelingen is duidelijk voor verzamelaars, namelijk

A ∪B = {x|x ∈ A of x ∈ B}. (1.8)

We hebben in dit wiskundig voorschrift het woordje “of” gebruikt. We moetendat preciseren, want in alledaags Nederlands is het ambigu. De vraag “Wil jewijn of bier?” gaat er van uit dat je het een of het ander kiest, maar niet allebei.Dit is een “exclusieve of” in de wiskundige betekenis, en niet de gewone “of” diehier gebruikt wordt. Het element x mag behoren tot A, of tot B, of tot allebei!

Dat brengt ons naar de doorsnede van twee verzamelingen, dit zijn deelementen die ze gemeenschappelijk hebben:

A ∩B = {x|x ∈ A en x ∈ B}. (1.9)

Het is duidelijk dat de doorsnede een deel van de unie is, (A ∩B) ⊂ (A ∪ B).Nu kan het gebeuren dat de verzamelingen A en B geen enkel element gemeenhebben (we noemen de verzamelingen in dat geval disjunct). Om dit ookwiskundig te kunnen noteren, moeten we de lege verzameling invoeren, ∅,zodat we kunnen schrijven dat A en B disjunct zijn als en slechts dan als A∩B =∅. Trouwens, “als en slechts dan als” vervangen we ook door een symbool, ⇔.

Ten slotte kunnen we ook het verschil nemen van twee verzamelingen,gedefinieerd als

A−B = {x|x ∈ A en x /∈ B}, (1.10)

dit zijn alle elementen die enkel in verzameling A zitten en niet in B. Dit wordtook het complement van B ten opzichte van A genoemd.Dit nieuwe concept, de lege verzameling, wordt gedefinieerd door te zeggen

dat voor alle x moet gelden dat x /∈ ∅. Hieruit volgt natuurlijk dat A ∪∅ = Aen A ∩ ∅ = ∅. Maar hoe zit het met ∅ ⊂ A ? Is dat waar of niet? Zit elkelement dat in de lege verzameling zit ook in de verzameling A? Maar er zit geenenkel element in de lege verzameling, wat betekent dat dat? Niet verwonderlijkdat de oermensen met stenen gooien naar de moderne wiskundigen. Om dit tebeantwoorden moeten we eerst de “logische implicatie” bekijken.

1.2. DE LOGICA VAN VERZAMELINGEN 5

1.2.2 De logische implicatie

Om er uit te geraken moeten we kijken naar de logische als-dan constructie:“als P, dan Q”, zoals

als x > 0 dan x3 6= 0

P en Q staan hier voor willekeurige uitspraken, die waar of onwaar kunnen zijn.Het eerste deel x > 0, is de hypothese, en het tweede deel “x3 6= 0” is het gevolg.We noteren dit ook als

x > 0⇒ x3 6= 0

Deze uitspraak is waar. Maar, in het Nederlands hebben uitspraken zoals“als P dan Q” nog een dubbelzinnigheid die we moeten wegwerken als we hetoverbrengen naar de taal der wiskunde. Die dubbelzinnigheid illustreren we aande hand van de volgende uitspraken:

• Als je geen dessert genomen hebt, dan kan je koffie krijgen.

• Als je minder dan 50% haalt op deze cursus, dan ben je gebuisd.

In de eerste zin is het impliciet dat als je wél dessert genomen hebt, je mogelijkstoch ook koffie kan krijgen. Maar in de tweede zin gaan de meeste studentener (misschien onterecht) van uit dat als ze meer dan 50% halen, ze níet gebuisdzijn. Voel je het verschil tussen beide uitkomsten? Wiskunde kiest om steeds deeerste zin te volgen: “als P dan Q” betekent dat als P waar is, dan Q ook waarmoet zijn. Maar als P onwaar is, dan mag Q zijn wat het wil, het doet er niettoe, koffie of niet. Met andere woorden, de zotte bewering voor reële getallen,

x2 < 0⇒ x = 23

is wiskundig waar! Het is waar omdat geen enkel reëel getal ooit een negatiefkwadraat heeft. P kan nooit voldaan zijn, dus Q mag waar of onwaar zijn. Eenbeetje vreemd, maar dat is de prijs om de ambiguïteit weg te nemen. Nu geldtook zonder ambiguïteit de uitspraak (x ∈ ∅)⇒ (x ∈ A), dit is een beetje zoalsons voorbeeld, maar het is mathematisch hetzelfde als de uitspraak ∅ ⊂ A. Dusde lege verzameling is een deelverzameling van elke verzameling.Merk op dat we nu voor de voorbeeldverzameling A = {a, b, c} eindelijk

P(A) kunnen opschrijven, namelijk

P(A) = {X|X ⊂ A} (1.11)

= {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} (1.12)

Soms wordt de verzameling van alle deelverzamelingen van een verzameling Aook 2A genoteerd. Kan je bedenken waarom?


1.2.3 Contrapositief, omgekeerde en negatie

Nu weten we al dat de spreuk

"Als de eikelen vallen voor Sinte Michiel dan snijdt de winter doorlijf en ziel"

niets zelgt over de strengheid van de winter als de eikels aan de bomen blijventot Sint Michiel, 29 september. De enige manier waarop we de spreuk kunnenontkrachten is dus door op te merken dat de eikels vallen voor Sint Michiel(zodat de hypothese P waar is), maar dat het toch een milde winter is (Qonwaar). De spreuk is dus equivalent met

"Als de winter zacht is dan moeten de eikels aan de bomen zijngebleven tot minstens Sinte Michiel"

ofte, niet(Q)⇒ niet(P). De twee beweringen zijn volledig equivalent, de tweederijmt alleen niet. De tweede versie noemt men het “contrapositief” van deeerste ersie.

Als de winter wél door lijf en ziel snijdt, dan weten we in principe nog nietsover hoe lang de eikelen aan de bomen gebleven zijn. Met andere woorden, onzeweerspreuk P⇒Q impliceert niet noodzakelijk het omgekeerde Q⇒P,

"Snijdt de winter door lijf en ziel, dan zijn de eikelen gevallen voorSinte Michiel."

Het is een bijzonder vaak gemaakte logische denkfout dat de echte weerspreukook deze versie zou impliceren! Nemen we het contrapositief, dan zien we datbovenstaande bewering ook inhoudt dat

"Als de eikelen niet vallen voor Sinte Michiel dan zal het een zachtewinter zijn"

Vaak denken mensen (door de ambiguïteit van als-dan in het Nederlands) dat deoorspronkelijke P⇒Q (eerste versie) inhoudt dat niet(P)⇒niet(Q) (de laatsteversie van de spreuk), maar dat hoeft in wiskundige logica helemaal niet hetgeval te zijn! In het geval dat P⇒Q én Q⇒P wél beide waar zijn, dan sprekenwe van een equivalentie,

P⇔ Q

in Nederlands ook wel “als en slechts dan als” uitgesproken.

Om het contrapositief te kunnen maken, hebben we de negatie, niet(P),nodig. Het Nederlandse woordje “niet” is te streekgebonden, het wordt vaakvervangen door het symbool ¬ en dus ¬P. Over het algemeen is het duidelijkhoe je de negatie moet maken, maar soms is er verwarring rond het maken vande negatie als de quantoren “voor alle” ∀ of “er bestaat” ∃ er bij betrokken zijn.Beschouw de samengestelde bewering “voor alle x in verzameling A geldt dat


de bewering P(x) waar is”, in ons wiskundige symbolenschrift dat de Chinezenook begrijpen:

∀x ∈ A : P(x) (1.13)

We kunnen deze stelling ontkrachten door een tegenvoorbeeld te vinden, eenelement x ∈ A, waarvoor P(x) onwaar is. Dus de negatie van stelling (1.13) is

∃x ∈ A : ¬P(x) (1.14)

Dat omflippen van de quantoren werkt ook in de andere richting. De beweringdat er een x bestaan in de verzameling A waarvoor Q(x) geldt,

∃x ∈ A : Q(x)

ga je tegenspreken door alle elementen van A te checken, en te zien dat voorgeen enkel element Q geldt. Deze ontkenning of negatie is dus

∀x ∈ A : ¬Q(x)

1.2.4 Axiomatische wiskunde

De Booleaanse logica gaat er van uit dat elke uitspraak ofwel waar, ofwel onwaaris, maar niets er tussenin. Er zijn andere logica’s bedacht, maar daar gaan wein deze inleiding niet op in. Verder zitten er in de Booleaanse logica een aantalregels, zoals ((P⇒ Q) en (Q⇒ R))⇒ (P⇒R) waarmee je uit ware beweringennieuwe ware beweringen kunt maken of bewijzen.De axiomatische tak van de wiskunde houdt zich bezig met het zoeken van

een zo klein mogelijk stelsel ware beweringen, waarvan alle andere ware stellingkunnen worden afgeleid (bewezen) via de regels van de logica. Euclidischemeetkunde is een goed voorbeeld: Euclides stelt vijf axioma’s (beweringen diewe vanaf de start als waar beschouwen), en gaat daarmee duizenden stellingenover driehoeken en parallelle lijnen en al dat moois bewijzen. Dat is een mooieoverwinning voor de axiomatische wiskunde, en de hoop van Euclides was is dieooit alle mogelijke stellingen kon bewijzen (of hun tegendeel kon bewijzen).Maar de axiomatiek krijgt een serieuze klap van de wiskundige Kurt Gödel.

Die slaagt er in om aan te tonen dat, ongeacht hoeveel axioma’s je voor waaren als startpunt aanneemt, er altijd een bewering kan geconstrueerd worden,waarvan je niet kan bewijzen dat het waar of onwaar is. Het programma vanEuclides moet ooit een stelling tegenkomen die het niet aankan... Gödel zelfwas er niet goed van, hij werd paranoïde, dacht dat men hem ging vergiftigen,en is aan de hongerdood gestorven opgesloten in zijn kantoor in Princeton.

Een voorbeeld.

Stelling:A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C) (1.15)


Bewijs:Laten we het rechterlid uitwerken:

(A ∪B) ∩ (A ∪ C) = {x|x ∈ (A ∪B) en x ∈ (A ∪ C)}= {x| (x ∈ A of x ∈ B) en (x ∈ A of x ∈ C)} (1.16)

Beschouw de bewering

((x ∈ A of x ∈ B) en (x ∈ A of x ∈ C)) (1.17)

Als x ∈ A, dan moet de bewering voldaan zijn. Stel dat x niet in A zit, maar inB. Opdat de bewering voldaan moet zijn, moet x dan tegelijk ook in C zitten.Dus ofwel zit x in A, ofwel zit x zowel in B als in C. De bewering is equivalentaan

x ∈ A of (x ∈ B en x ∈ C) . (1.18)

Dus is kunnen we (1.17) door (1.18) vervangen in (1.16) en vinden we

(A ∪B) ∩ (A ∪C) = {x|x ∈ A of (x ∈ B en x ∈ C)} (1.19)

Aangezien (B ∩ C) = {x|x ∈ B en x ∈ C} geldt dus

(A ∪B) ∩ (A ∪ C) = {x|x ∈ A of x ∈ (B ∩C)} (1.20)

En de verzameling in het rechterlid herkennen we:

(A ∪B) ∩ (A ∪C) = A ∪ (B ∩C) (1.21)

QED. Dat schrijven wiskundigen vaak onder de laatste lijn van een bewijs,latijn voor “Quod erat demonstrandum” (vertaling: “hetgeen bewezen moestworden”). Diegenen die geen latijn kennen zetten soms onder hun bewijs eenzwart vierkantje.

Uitdagingetje: kan je de “regels van De Morgan” bewijzen,

A− (B ∪C) = (A−B) ∩ (A− C) (1.22)

A− (B ∩C) = (A−B) ∪ (A− C) (1.23)

1.2.5 Produkt van verzamelingen

Je kan nieuwe verzamelingen creëren door unies, doorsnedes en complementente nemen van verzamelingen, maar je kan dat ook doen door verzamelingente ‘vermenigvuldigen’, door hun elementen te combineren tot nieuwe,samengestelde elementen. Beschouw als voorbeeld, twee verzamelingen A ={a1, a2, a3} en B = {b1, b2} . Nu kan je koppels maken, waarbij je eerst een


Figuur 1.2: Voorbeeld van een produktverzameling

element uit A kiest, en dan een element uit B, bijvoorbeeld (a3, b2). Deverzameling van alle mogelijke koppels die je op die manier kan maken is het‘cartesisch produkt’ van A en B. In het algemeen definiëren we dit als

A×B = {(a, b)|a ∈ A en b ∈ B} (1.24)

Hierin veronderstellen we dat het koppel geordend is, dit wil zeggen dat heteerste element steeds uit A komt en het tweede uit B.Een voorbeeld dat zo’n produkten verheldert is het x-y vlak uit de

meetkunde. Elk punt van het vlak heeft twee coördinaten, x en y, en de volgordeis van belang om het punt te situeren. Het vlak is R×R (ook wel R2 genoteerd),waarbij R de verzameling reële getallen is. Deze produktverzameling heeft dusals voorschrift

R×R = {(x, y)|x ∈ R en y ∈ R} . (1.25)

In figuur 1.2 zien we de verzameling A = {x|x ∈ [1, 3]} deelverzameling van Rbestaande uit de getallen die voldoen aan 1 6 x 6 3, en B = {y|y ∈ ]1, 2[ }is de verzameling reële getallen die voldoen aan 1 < y < 2. Dan is A × B eenrechthoekje in het x-y vlak, waarbij we moeten oppassen aan de randen: deverticale randen zijn inbegrepen in de verzameling, de horizontale randen niet.Het laatste voorbeeld van een produktverzameling is het schaakbord: je

hebt rijen R = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} en kolommen K = {a, b, c, d, e, f, g, h}. Deproduktverzameling ¢ = K×R is het schaakbord zelf, je duidt de positie van destukken aan via de combinatie van een letter en een cijfer, bijvoorbeeld koningop e5 (wij zouden dit (e, 5) noteren hierboven).


Figuur 1.3: Twee mogelijke voorstellingen, met Venn-diagrammen, van eenrelatie: pijltjes tussen A en B, en de relatie als deelverzameling van deproduktverzameling A×B.

1.3 Relaties

Een relatie is een verband tussen elementen van (vaak meerdere) verzamelingen.

Bijvoorbeeld een link tussen een kleur en een dier, uit de verzamelingen

A = {rood,wit, zwart},B = {konijn, schaap}

Hiermee kunnen we een relatie

R = {(wit,konijn), (wit,schaap), (zwart,schaap)}

definiëren die de verbanden tussen kleur en dier geeft (voor de niet-geslachtedieren van boer van Paemel2). We hebben twee verzamelingen waaruit wekoppels maken, we noemen dit een ‘tweeplaatsige relatie’. Hebben we Nverzamelingen dan is het natuurlijk een N -plaatsige relatie. In onze voorbeeldengaan we ons gewoonlijk beperken tot tweeplaatsige relaties. Hoe kunnen we nuhet begrip ‘relatie’ op de meest abstracte manier definiëren? Merk op dat alleelementen van de relatie R eigenlijk elementen van A×B zijn. Relaties wordengedefinieerd als deelverzamelingen van A×B.

Heel vaak gaan we relaties beschouwen waarin A = B, dus waarbij wegeordende koppels maken uit eenzelfde verzameling. Dit zijn de relaties tussenelementen van een gegeven verzameling. Er zijn van dat type twee heelbelangrijke soorten relaties: equivalentierelaties, ordeningsrelaties.

2Het gezin van Paemel, uit Het verzameld werk van Cyriel Gustave Emile Buysse(uitgeverij Manteau, 1974).

1.3. RELATIES 11

1.3.1 Equivalentierelaties

We gaan deze relatie niet aanduiden met R, en de elementen van de relatie nietschrijven als (a, b) ∈ R. Er is een standaardnotatie voor deze belangrijke soortrelaties: de tilde. Als (a, b) ∈ R met R een equivalentierelatie, dan schrijven wea ∼ b, en we spreken dit uit als “a is equivalent met b”. OK, nu zijn we klaarvoor de definitie:

Definitie — Een equivalentierelatie in een verzameling A is een relatie ∼ opA die de volgende drie eigenschappen heeft:

1. Reflexief : ∀a ∈ A : a ∼ a

2. Symmetrisch: ∀a, b ∈ A : a ∼ b⇒ b ∼ a

3. Transitief : ∀a, b, c ∈ A : a ∼ b en b ∼ c⇒ a ∼ c

Als we de relatie uitbeelden met pijltjes in een Venn-diagram, zoals in figuur1.4, dan betekent reflexief dat elk element een pijl naar zichzelf heeft (een lusje).Symmetrisch wil zeggen dat voor elke pijl de omgekeerde pijl ook bestaat. Entransitief ten slotte wil zeggen dat als er een pijl van a naar b en dan naar cgaat, er ook een rechtstreekse pijl van a naar c gaat. Een voorbeeld van eenequivalentierelatie op de verzameling mensen is ‘weegt evenveel als’. Je weegtduidelijk evenveel als jezelf. Als je evenveel weegt als Julius Caeser dan weegt hijook evenveel als jij. En ten slotte als Caesar evenveel weegt als Leonid Breznev,dan weeg ook ook jij evenveel als Breznev. Jullie zijn allemaal ‘equivalent’ quagewicht.

Alternatieve definitie — Een van de hobby’s van wiskundig ingesteldegeesten is om een concept (zoals ‘equivalentierelatie’) op alternatieve manierente definiëren, en aan te tonen dat die verschillende definities gelijkwaardig zijn.Zulke alternatieve definities zijn soms bruikbaar in nieuwe situaties, voor nieuwebewijzen. Bijvoorbeeld het concept ‘equivalentierelatie’ kunnen we evengoeddefiniëren als een relatie die reflexief, symmetrisch is en als derde eigenschapvoldoet aan


Figuur 1.4: Voorbeeld van een equivalentierelatie op de verzameling A.

3b Euler eigenschap: ∀a, b, c ∈ A : a ∼ b en a ∼ c⇒ b ∼ c

Bemerk het subtiel verschil met de transitiviteit. Transitief zegt: “jij bent evenzwaar als Caesar en Caesar is even zwaar als Breznev, dan ben jij even zwaarals Breznev”. Maar de Euler eigenschap zegt “als jij even zwaar bent als Caesaren Breznev, dan zij die twee ook even zwaar als elkaar”. Om te bewijzen dat1-2-3 en 1-2-3b equivalente definities van de equivalentierelatie zijn (no punintended), moeten we aantonen dat uit 1-2-3 eigenschap 3b kan afgeleid worden(dat is één richting), en dat uit 1-2-3b eigenschap 3 kan afgeleid worden (deandere richting).Eigenlijk is dit niet zo moeilijk. De symmetrie-eigenschap zegt dat als a ∼ b

dan ook b ∼ a (en vice versa natuurlijk). Maar als we dit op de Euler eigenschaptoepassen, dan verandert die in de Transitiviteit-eigenschap!

a ∼ b en a ∼ c⇒ b ∼ cSymmetrisch m want (a ∼ b)⇔ (b ∼ a)

b ∼ a en a ∼ c⇒ b ∼ c

De onderste lijn is hier niets anders dan de transitiviteit: denk er aan dat je inplaats van a, b, c eender wat kan plaatsen (bvb jijzelf, Caesar en Breznev) omeen element aan te duiden, het zijn maar namen.

Equivalentieklassen — Uit het voorbeeld getoond in figuur 1.4 valt ietsop te merken: de verzameling wordt netjes opgedeeld in verbonden stukken.We kunnen in de verzameling “mensheid” bijvoorbeeld iedereen opsnorrendie evenveel weegt als jij, dat is dan jouw equivalentieklasse. Met anderewoorden, een equivalentieklasse wordt gedefinieerd als de deelverzameling vanA waarvan de punten door de equivalentierelatie verbonden worden

Ex = {y|y ∼ x} . (1.26)

Het is duidelijk dat Ex ⊂ A. Nu hebben equivalentieklassen een interessanteeigenschap:

1.3. RELATIES 13

Stelling: Twee equivalentieklassen Ex en Ez zijn ofwel disjunct ofwelgelijk aan elkaar.

Bewijs : In de vorige sectie hebben we geleerd dat twee verzamelingen (Ex enEz) disjunct zijn enkel en alleen indien ze geen enkel element gemeen hebben.Laten we er even van uitgaan dat dit niet zo is. Om de stelling te bewijzen,moeten we aantonen dat dan de twee verzamelingen (Ex en Ez) dan gelijkmoeten zijn. We hadden de stelling immers ook kunnen formuleren als “alstwee equivalentieklassen Ex en Ez niet disjunct zijn, moeten ze gelijk zijn”.OK, als Ex en Ez niet disjunct zijn, dan wil dat zeggen dat hun doorsnede nietleeg is:

Ex,Ez niet disjunct⇒ ∃a : a ∈ Ex ∩Ez. (1.27)

Dat is ons startpunt. Om aan te tonen dat de twee verzamelingen hetzelfdezijn, moeten we aantonen dat elk element van Ex ook in Ez zit, en andersom,want Ex = Ez ⇔ Ex ⊂ Ez en Ez ⊂ Ex. Kies een willekeurig element b ∈ Ez.Daarvoor geldt:

b ∈ Ez ⇒ b ∼ a (1.28)

Aangezien a ∈ Ex (want a ∈ Ex ∩Ez) is geldt ook

a ∈ Ex ⇒ a ∼ x (1.29)

Nu gebruiken we transitiviteit:

b ∼ a en a ∼ x⇒ b ∼ x (1.30)

Maar als b ∼ x dan is b ook een element van Ex! Immers,

b ∼ x⇒ b ∈ Ex (1.31)

Om het wat overzichtelijk te maken zet ik het bewijs voor b ∈ Ez ⇒ b ∈ Ex nogeens op een rijtje

Gegeven: a ∈ Ex ∩Ez ⇒ a ∼ x en a ∼ z

(en dus ook z ∼ a)

waarmee

b ∈ Ez ⇒ b ∼ z

m z ∼ a en transitiefb ∈ Ez ⇒ b ∼ z ⇒ b ∼ a

m a ∈ Ex ⇒ a ∼ x en transitiefb ∈ Ez ⇒ b ∼ z ⇒ b ∼ a⇒ b ∼ x⇒ b ∈ Ex

Het bewijs andersom b ∈ Ex ⇒ b ∈ Ez loopt helemaal analoog. Elk element vanEx is een element van Ez en vice versa, dus zijn de verzamelingen gelijk! Quoderat demonstrandum. Ons tweede officieel wiskundig bewijs van een stelling isgeleverd.


Wat is het gevolg van die stelling? Dat is dat een equivalentierelatie gebruiktkan worden om een verzameling op te delen zoals een taart die in partjes wordtopgesplitst. We kunnen de mensheid opsplitsen in een groep die 65 kg weegt,een groep van 66 kg, etc. In figuur 1.4 zien we duidelijk 4 elementen van departitie, de vier equivalentieklassen. Dit noemen we het partitioneren van eenverzameling in deelverzamelingen. Meer precies:

Definitie: Een partitie van een verzameling A is een verzameling Avan niet-lege deelverzamelingen van A, die allen onderling disjunctzijn, en waarvan de unie A is.

De studie van equivalentierelaties is niets anders dan de studie van de manierenom een verzameling A te partitioneren. Gegeven een partitie A van deverzamelingA is er een unieke equivalentierelatie waarvan de equivalentieklassende elementen van A zijn. Deze equivalentierelatie is niet moeilijk te vinden: hetis de relatie die zegt “a ∼ b als a en b tot hetzelfde element van de partitie Abehoren.” Dat dit een equivalentieklasse is, is niet moeilijk te bewijzen en laatik voor uw rekening.

1.3.2 Ordeningsrelaties

Wanneer we over getallen spreken, bijvoorbeeld reële getallen, dan is zijnconcepten als “kleiner dan”, “groter dan”, “strikt kleiner dan”, etc. ergvertrouwd. Maar —in ons eerste voorbeeld van een abstractie van een vertrouwdbegrip— we zoeken een definitie die ook van toepassing zal zijn op de elementenvan een willekeurige verzameling, niet juist N of R. Laten we eens kijken hoewe <, “strikt kleiner dan”, kunnen abstraheren.Dat abstraheren gebeurt vaak door de essentiële kenmerken van het te

abstraheren begrip aan te duiden. Wat weten we allemaal van de “strikt kleinerdan” ? Vooreerst dat het een tweeplaatsige relatie is, een verband tussen 2elementen van een verzameling. Welke eigenschappen heeft deze relatie in devertrouwde context (van de getallen)? Het zijn er heel wat. Bijvoorbeeld: alsx < y dan kan het niet dat ook y < x. En als x < y en y < z dan is ook x < z.Zo kunnen we nog wel een tijdje doorgaan. De kunst bestaat er uit om uit delijst van al die kenmerken een zo klein mogelijke selectie te maken die nog inovereenstemming is met de andere kenmerken — en die liefst zo veel mogelijkandere eigenschappen als (bewijsbaar) gevolg heeft.

Voor “strikt kleiner dan” hebben we genoeg aan 2 eigenschappen. De formeledefinitie is dat een relatie die voldoet aan

1. Transitief : ∀x, y, z ∈ A : x < y en y < z ⇒ x < z

2. Trichotoom: ∀x, y ∈ A : slechts één van de volgende uitspraken is waar:x < y, y < x, x = y.

1.4. FUNCTIES 15

een strikte totale ordeningsrelatie “<”is. Bij de tweede definiërende eigenschapmag dus slechts 1 van de gevallen gelden, niet twee: ofwel x < y, ofwel y < xen als ook dat niet voldaan is dan moet x = y.

Opmerking 1 — De eigenschappen “transitief” en “trichotoom” hebben alsgevolg dat de strikte totale orde antireflexief is: geen enkel element is striktkleiner dan zichzelf. A ja, als x = y dan kan het niet meer dan x < y. Hethoudt ook antisymmetrie in: als x < y dan kan het niet meer dat y < x.Je ziet, met die twee eigenschappen kan je er een heleboel andere construeren.Maar de grote kracht van deze formele definitie is dat we nu ook van relatiesop abstracte verzamelingen kunnen nagaan of ze een ordening brengen op dieverzameling!

Opmerking 2 — De keuze van de eigenschappen 1,2 om de strikte totale ordete definiëren is niet uniek. Dat hebben we gezien met de equivalentierelatie, erzijn in het algemeen wel heel wat mogelijke en equivalente definities.

Opmerking 3 — Er zijn nog andere types orderelaties, we kunnen het ‘strikt’laten vallen (6) of het ‘totaal’ vervangen door ‘partiëel’ waarmee we bedoelendat we niet elk koppel elementen met elkaar kunnen vergelijken (er zijn x, yverschillend waarvoor noch x < y, noch y < x). Dat hele zootje orderelatiesis het onderzoeksdomein van de zogenaamde ‘ordetheorie’. Voor deze cursusis het belangrijker dat je weet dat deze relaties, vertrouwd uit het werken metgetallen, kunnen geabstraheerd worden naar andere verzamelingen.

1.4 FunctiesJe bent het concept ‘functie’ al zo vaak tegengekomen dat het niet nodig is omje te vertellen dat het erg centraal staat in de wiskunde!Functies van R naar R kan je beschouwen als een geordend koppel waarvan

het eerste element x is en het tweede element f(x), de functiewaarde. Verzamelje al die koppels (x, f(x)) dan vormen die natuurlijk een deelverzameling van R×R, dus een relatie tussen reële getallen. Als we R×R beschouwen als het x-y vlakdan is deze verzameling koppels niets anders dan de curve van de functiegrafiek!De curve is een deelverzameling van het vlak. Maar kunnen we het begrip functieveralgemenen? Aan welke eigenschappen moet een relatie tussen willekeurigeverzamelingen A en B voldoen opdat we die relatie een ‘functie’ mogen noemen?Een functie, zoals ‘sin’ op een ouderwets technisch rekenmachientje, geeft

één getal terug en slechts één. Dit is de essentie van een functie van A naar B,nemen we eenzelfde input a ∈ A, dan mag er van daaruit slechts 1 pijl vertrekkennaar (dus slechts) 1 element van B. Dit gebruiken we als definitie.

Definitie: een functie f van A naar B is een relatie uit A×B waarbijelk element van A maximaal 1 maal voorkomt als eerste element vaneen koppel (a, b) ∈ f .


Figuur 1.5: Drie soorten functies (het zijn allemaal functies want uit deverzameling zwarte punten vertrekt niet meer 1 pijl per punt). Hoeveel pijlener aankomen per rood punt bepaalt of het een injectie, surjectie of bijectie is.

Het kan dus ook zijn dat er niet vanuit alle elementen van A een pijl vertrekt.De deelverzameling D ⊂ A van de punten waaruit een pijl vertrekt is hetdomein van f . Verder kan het ook zijn dat er niet overal 1 pijl aankomtin B. De deelverzameling I ⊂ B van de punten waar een pijl aankomt is hetbeeld van f . Dus voor f : A→ B is

domein(f) = {a|∃b ∈ B : (a, b) ∈ f}, (1.32)

beeld(f) = {b|∃a ∈ A : (a, b) ∈ f}. (1.33)

Samenstelling van functies — Gegeven twee functies f : A → B eng : B → C kan je een samengestelde functie h : A → C maken, die we noterenals h = g ◦ f (‘h is g na f ’), en die formeel wordt gedefinieerd door

h = {(a, c)|∃b ∈ B : (a, b) ∈ f en (b, c) ∈ g}. (1.34)

Soorten functies — Een functie f : A→ B is ...

• injectief wanneer er geen twee pijlen in hetzelfde beeldpunt aankomen.Anders gesteld: in elk punt van B komt er komt maximaal 1 pijl aan.

• surjectief wanneer er geen punt van B is zonder aankomende pijl. Andersgesteld: in elk punt van B komt minstens 1 pijl aan.

• bijectief wanneer er in elk punt vanB precies 1 pijl aankomt, dus wanneerde functie zowel injectief als surjectief is. We spreken dan van een “één opéén afbeelding”.

Functies inverteren — Het onderscheid tussen soorten functies isbelangrijk wanneer we de inverse bestuderen. Als f : A → B een relatie is,dan is de inverse relatie:

f−1 = {(b, a)|(a, b) ∈ f}. (1.35)

1.5. BEWERKINGEN 17

Niet elke inverse relatie van een functie is zelf een functie! Opdat f−1 zelfeen functie zou zijn, moet gelden dat er uit elk punt van het domein van f−1

slechts 1 pijl vertrekt. Dit zal zo zijn wanneer er in f ten hoogste 1 pijl in hetbeeld aankwam, dus als f injectief is. Nu kan het nog steeds dat er punten zijnvan waaruit geen pijl vertrekt, vaak moeten we domein en beeld van de inversefunctie goed bestuderen en komen ze niet overeen met beeld en domein van defunctie... Daarom zijn bijecties zo aangenaam om mee te werken: de inverserelatie is een inverse functie en is ook een bijectie! Je vindt de inverse functiedan door alle pijlen van A naar B gewoon om te draaien.Maar ook als de inverse relatie geen functie is, is het nog nuttig om een

invers beeld of pre-beeld te definiëren. Voor een functie f : A→ B, en eendeelverzameling D ⊂ B van de beeldruimte, is het pre-beeld van D gedefinieerddoor

f−1(D) = {a ∈ A|f(a) ∈ D} (1.36)

In het geval dat D = {b} maar uit 1 punt bestaat, en dat f een injectieve functieis, is f−1(b) de inverse functie.Oefening baart kunst om relaties, equivalentierelaties, ordeningsrelaties en

functies te herkennen en te onderscheiden, en om de soorten functies van elkaarte onderscheiden.

1.5 Bewerkingen

Tot nu toe hebben we enkel tweeplaatsige relaties onderzocht, die elementen vantwee verzamelingen met elkaar verbinden. Maar ook drieplaatsige relaties zijnbelangrijk! Een drieplaatsige relatie op A,B,C is een deelverzameling geordendetripels (a, b, c) ∈ A × B × C. Bewerkingen zoals de optelling, het verschil,de vermenigvuldiging of de deling zijn typische voorbeelden: ze nemen tweeelementen (in een bepaalde volgorde: 2/3 6= 3/2) en verbinden dat met eenderde element.Het voorbeeld van de optelling van reële getallen is verhelderend. In onze

invalsboek over relaties kan je 2 + 3 = 5 zien als andere notatie zien voor hetelement (2, 3, 5) van een drieplaatsige relatie uit R × R × R. Voor elementena, b, c, uit A en een willekeurige drieplaatsige relatie R ⊂ A×A×A kunnen wedie notatie veralgemenen naar

(a, b, c) ∈ R 7−→ noteer: “a ∗ b = c” (1.37)

ook voor een abstracte bewerking en een abstracte verzameling. Je hoeftnatuurlijk niet het ∗ symbooltje te gebruiken, je kan er evengoed een ander,zelfbedacht tekentje voor gebruiken.De ons zo vertrouwde bewerkingen, optelling en vermenigvuldiging, voldoen

aan een aantal interessante eigenschappen. Het zal steeds interessant blijkenom na te gaan of een willekeurige drieplaatsige relatie er ook aan voldoet! Eersteens oplijsten wat die eigenschappen zijn.


• Inwendigheid: niet elke drieplaatsige relatie is geschikt als bewerking,net zoals niet elke tweeplaatsige relatie een functie is. We willen nu dat metelk geordend koppel inputs (a,b) er slechts één derde element overeenkomt,en dat moet ook in A zitten:

∀a, b ∈ A : a ∗ b ∈ A (1.38)

• Associatief : de volgorde doet er niet toe,

∀a, b, c ∈ A : (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) (1.39)

• Er bestaat een Neutraal element, waarvoor geldt

∃e ∈ A : ∀a ∈ A : e ∗ a = a ∗ e = a (1.40)

• Er bestaat een Symmetrisch element voor elk element, waarvoor geldt

∀a ∈ A : ∃a ∈ A : a ∗ a = a ∗ a = e (1.41)

• Commutatief : de volgorde inputs kunnen omgewisseld worden, dus

∀a, b ∈ A : a ∗ b = b ∗ a (1.42)

We kunnen deze eigenschappen aan de hand van de eerste letter van hetvetgedrukte woord gezamelijk als IANSC aanduiden. Een verzameling met eenbewerking die aan de IANSC eigenschappen voldoet, zoals de reële getallenvoorzien van de optelling, noemen we een commutatieve groep. Nu is datnogal een sterke hoop eigenschappen, het zou kunnen dat we een bewerkinghebben die alleen IANS heeft, dan is het een niet-commutatieve groep. Enals we alleen IAN hebben, dan noemen we dat een monoïde. Ten slotte als weenkel IA hebben dan is dat een halfgroep3.Een voorbeeld: beschouw de natuurlijke getallen N met de optelling:

daarvoor geldt IAN, dat is dus een monoïde. Het neutraal element is 0, maarer zijn geen symmetrische elementen: je zou bij 5 het getal −5 moeten optellenom nul te krijgen, maar −5 /∈ N. De natuurlijke getallen zonder nul, N0 met deoptelling, vormen slechts een halfgroep want we hebben het neutraal element erook uit geknikkerd.

3En sommigen, waaronder Nicolas Bourbaki, gaan verder en noemen een bewerkingwaarvoor enkel I moet gelden een magma

1.6. TERUG NAAR HET GETAL 19

1.6 Terug naar het getalNu ben je gewapend met de nodige concepten om alledaagse begrippen teabstraheren, wat we in de rest van de cursus gaan doen. Maar vooraleer wedaaraan beginnen, laat ons even terugkeren naar het verhaal waarmee we dithoofdstuk begonnen zijn. Hiermee kunnen we op zoek gaan naar een definitievan de natuurlijke getallen. Hiertoe moeten we kijken naar de verzamelingvan alle verzamelingen, noteer die even als A. Dat is een waarlijk cosmischperspectief. De verzameling schapen in de kudde, K, is er een element van, deverzameling steentjes die onze herder meedraagt, S, is er ook een element van.Wat doet de herder eigenlijk? Hij maakt een relatie r ⊂ S × K tussen de

verzameling steentjes en de verzameling schapen. Dat doet hij door aan elkschaap een steentje toe te kennen, namelijk dat steentje s ∈ S dat hij in of uitde zak haalt wanneer schaap k ∈ K voorbijkomt. Dan geldt (s, k) ∈ r. Is dezerelatie een functie? Ja, want hij mag slechts 1 steentje in (of uit) de zak halenper schaap. Is deze functie een bijectie? Enkel als er precies evenveel schapenals stenen zijn! De test ‘er is een bijectief verband’ leert hem of er nog steedsevenveel schapen zijn.Nu kan je een uitdagende stap nemen, van de verzamelingen S en K gaan

we naar de verzameling der verzamelingen, een conceptueel niveau hoger. Wekunnen nu een relatie hierop definiëren: N ⊂ A×A, dit wil zeggen, we trekkenpijltjes tussen verzamelingen in plaats van tussen elementen. De relatie die webeschouwen is

(A,B) ∈ N ⇔ “er bestaat een bijectie tussen A en B”.

Het is duidelijk dat de verzameling van de schapen K en van de steentjes Stot deze relatie behoren, want de herder heeft een bijectie geconstrueerd. Warener niet evenveel schapen als stenen dan was het onmogelijk om een bijectie tussenK en S te vinden.Welk soort relatie is N , “er bestaat een bijectie tussen” ? Ik beweer dat het

een equivalentierelatie is:

• Reflexief: Het is nogal wiedes dat je een bijectie van een verzameling metzichzelf kan maken, je associeert met elk element datzelfde element!

• Symmetrisch: De inverse functie van een bijectie is terug een bijectie!Wanneer we een bijectie f : A → B vinden, dan hebben we dus voordezelfde prijs een bijectie f−1 terug.

• Transitief: Hebben we een bijectie f : A → B en g : B → C, dan ish = f ◦ g een bijectie van A naar C, zodat (A,C) ook een element is vande relatie.

Maar wie equivalentierelatie zegt, zegt equivalentieklassen! We kunnende verzameling van verzamelingen partitioneren. Elke partitie bevat deverzamelingen met evenveel elementen volgens de steentjestelmethode van deherder.


Nu kunnen we de getallen definiëren4 als de equivalentieklassen van A onderde relatie N . We kiezen dan typische verzamelingen om de aparte getallen tedefiniëren. Het getal "1"kunnen we zien als de equivalentieklasse waartoe deverzameling met 1 steentje behoort. Omdat steentjes arbitrair zijn, bouwenwiskundigen systematisch de getallen op als volgt:

• “nul” is de equivalentieklasse waartoe de lege verzameling 0 = ∅ behoort.

• “één” is de equivalentieklasse waartoe ook de verzameling “1” = {0}behoort, i.e. de verzameling met maar één element (en dat ene element iszelf de verzameling “0” waarin enkel ∅ zit).

• “twee” is de equivalentieklasse waartoe ook 2 = {0, 1} behoort,

• “drie” is de equivalentieklasse waartoe ook 3 = {0, 1, 2} behoort,enzovoort.

Het voordeel van deze keuze is dat het procédé om de getallen op te bouweninductief is: je definieert de volgende verzameling compleet aan de hand vanwat je ervoor al gedefinieerd hebt. Merk op dat onze verzameling 3 niet hetgetal drie is: het getal drie is de equivalentieklasse E3.Met de schapenhoeder en zijn steentjes zijn we nu geraakt tot bij het begin

van de getallenleer, de openingshoofdstukken van de “Principia Mathematica”van Bertrand Russell5 . Je ziet dat we al heel wat uit de kast hebben moetenhalen, over verzamelingen, relaties en functies om een intuïtief begip zoals eengetal enigszins formeel te kunnen definiëren. Hiermee ontleden we de wiskundezoals een biologiestudent een vis ontleedt. Het programma voor de rest van decursus is om dat te doen met de vertrouwde begrippen van limiet en continuïteitvan een functie. We gaan proberen die begrippen te ontdoen van alle bagage,en tot hun essentie te distilleren.

4Er zijn nog andere manieren, deze definitie leidt tot de zogenaamde “kardinaalgetallen”5 Je ziet de bui eigenlijk al hangen: hoe zit het met oneindig grote verzamelingen? Zijn er

verschillende soorten oneindig? Zo, ja, welke? Dit en andere interssante vragen vallen buitenhet bestek van deze cursus, daartoe ga je best getalleer volgen of een heerlijk populariserendboekje van Russell halen, Introduction to Mathematical Philosophy.

1.6. TERUG NAAR HET GETAL 21

Hoofdstuk 2

Intermezzo op vertrouwdterrein

Nu we een beetje wiskundige woordenschat hebben opgebouwd, kunnen we debrave vertrouwde omgeving van reële functies van reële getallen gaan herbekijkenin het zicht van deze nieuwe woordjes.

• Op de reële getallen hebben we optelling en vermenigvuldiging alsvertrouwde bewerkingen. Met elk van deze bewerkingen apart vormt Reen commutatieve groep. Aan de hand van de symmetrische elementenvan de optelling kunnen we ook het verschil definiëren, en aan de handvan de symmetrische elementen van de vermenigvuldiging is duidelijk watde deling is.

• We hebben een vertrouwde strikte orderelatie, <, “kleiner dan”. Ook> “groter dan” is een strikte orderelatie. De relaties ≤ “kleiner dan ofgelijk” en ≥ “groter dan of gelijk” zijn wel orderelaties maar geen strikteorderelaties.

• We willen reële functies bestuderen, f : R→ R,

• We kunnen deelverzamelingen onderzoeken, dat zal nuttig zijn als webijvoorbeeld domeinen of beelden van functies onderzoeken, vaak zijn ditlijnstukken langs de reële as.

We gaan in dit hoofdstuk de concepten opsommen die we willen gaanabstraheren in de latere hoofdstukken (dat zullen de vetgedrukte woordjeszijn). Je wordt verondersteld reeds vertrouwd te zijn met reële functies, enfunctiegrafieken te kunnen tekenen, alsook limieten berekenen en continuïteitnagaan, maar al was het maar om de notatie en terminologie duidelijk af tespreken, gaan we deze concepten hier kort aanhalen.

23

24 HOOFDSTUK 2. INTERMEZZO OP VERTROUWD TERREIN

2.1 Open en gesloten lijnstukken in RLijnstukken langs de reële as heb je in het secundair onderwijs opgedeeld inverschillende soorten, naargelang het eindpunt van het lijnstuk er bij hoort ofniet. Dit werd gedefinieerd aan de hand van de orderelaties:

• Een open lijnstuk ]a, b[= {x|a < x < b} (dit is een deelverzameling vanR),

• Een gesloten lijnstuk [a, b] = {x|a ≤ x ≤ b} , wanneer b = a trekt zichdit samen tot een geïsoleerd punt.

• Noch open, noch gesloten : [a, b[= {x|a ≤ x ≤ b} en ]a, b] = {x|a < x ≤ b}.

Dit is handig om functies te definiëren die als beeld of als domein maar eenstukje uit R hebben. Bijvoorbeeld f(x) = sin(x), dat heeft als beeld slechtshet lijnstuk B = [0, 1]. Beschouwd als een functie van R naar B is het eensurjectie, maar als we ook het domein vernauwen tot A = [0, 2π[, dan is defunctie beschouwd van A → B een bijectie! Merk op dat we het punt 2πniet mogen meenemen, omdat het hetzelfde beeld heeft als 0 en dus zouden weopnieuw een surjectie hebben.

Soorten punten — Of een lijnstuk open is, of gesloten, of geen van detwee hangt hier af van wat er gebeurt aan de rand. Wanneer de verzamelingrandpunten Rand = {a, b} een deelverzameling is van het lijnstuk L, (dus deeluitmaakt van het lijnstuk, Rand ⊂ L), dan is het lijnstuk gesloten. De puntenvan het lijnstuk die geen randpunten zijn, noemen we inwendige punten,Inw = L − Rand. Het komt voor dat er geen inwendige punten zijn, wanneerhet lijnstuk zich samentrekt tot een enkel punt (a = b), in dat geval spreken wevan een geïsoleerd punt.

2.2 LimietenDe Griekse filosoof Zeno heeft een theoretisch excuus bedacht om overal te laatte komen. Volgens hem mochten zijn vrienden nog blij zijn dat hij überhauptop de afspraak geraakt, want hij moest daarvoor een oneindig lange ‘to-do’ lijstafwerken. Immers, eerst moet hij halfweg geraken (tot x1 = 1/2). Dan moet hijvan het resterend stuk nog eens halfweg geraken (tot in x2 = 1/2+ 1/4 = 3/4).Daarna moest hij van dat stuk dat dan rest, ook nog halfweg geraken (tot 7/8).En zo voort, oneindig lang. Zeno had niet veel vrienden.

2.2. LIMIETEN 25

2.2.1 Convergentie van een rij getallen

In deze sectie beschouwen we een oneindig lange rij getallen x1, x2, x3, x4, ...die we labelen met natuurlijke getallen. We noteren dat als (xn)n∈N . InZeno’s voorbeeld zijn dat zijn tussenstops: x1 = 1/2, x2 = 3/4, x3 = 7/8, ...,xn = 2

n−1/2n, ... . Merk op dat Zeno steeds dichter bij het doel x = 1 geraakt.Is er een manier om te zeggen dat de rij getallen neigt naar een eindpunt?Ja, we zeggen dat de rij (xn)n convergeert als je willekeurig dicht bij

de limiet x kan geraken door maar ver genoeg in de rij te gaan. Dit wordtgenoteerd als (xn)n → x Beter uitgedrukt:

(xn)n → x ⇔∀ε > 0 : ∃n0 : ∀n > n0 : |x− xn| < ε.

(2.1)

Leer deze hiërogliefen-zin in het Nederlands uitspreken:

formeel uitspraak in het Nederlands∀ε > 0 : Voor elke positieve epsilon (hoe klein ook!) geldt dat∃n0 : er een natuurlijk getal n0 bestaat zodat∀n > n0 : voor alle n’s groter dan n0 geldt dat|x− xn| < ε de afstand tussen xn en x kleiner is dan ε.

En leer om dat in een tweede stap wat losser te vertellen tegen jezelf:

formeel proza∀ε > 0 ’t Is eender hoe klein een afstandje ik ook kies∃n0 er is altijd een plaats in de rij∀n > n0 zodat alle elementen verderop in de rij|x− xn| < ε dichter bij x zitten dan mijn willekeurig klein afstandje.

Ik heb ook nog geprobeerd er een valentijn-haiku van te maken maar dat is meniet gelukt. Mijn punt is dat je, als je goed wil zijn in wiskundig abstraherenen bewijzen, je goed moet worden in het over en weer switchen tussen proza(betekenis) en formeel (symbolen manipuleren).Wat is de negatie (zoals gezien in het vorig hoofdstuk) van deze wiskundige

zin? Met andere woorden, wanneer kunnen we spreken over een rij die nietconvergeert naar x? Laat me nu even van het proza vertrekken. Ik moet eenafstandje ε vinden, zodat —eender hoe ver in de rij getallen ik ook ga kijken— ernog wel verderop ergens een getal is dat terug verder weg ligt van x.

proza formeelEr moet een afstandje zijn zodat ∃ε > 0 :—eender hoe ver in de rij— ∀n0 :er nog wel een element verderop te vinden is ∃n > n0 :dat verder weg ligt van x. |x− xn| > ε

Als de rij nergens naartoe convergeert, dan spreken we van divergente rij.


Figuur 2.1: Vanaf een bepaald element (nummer N(ε)) zijn alle daaropvolgendeelementen van de rij binnen het lichtgroene gebied (het venster x± ε). Kiezenwe een kleiner venster δ (donkergroene gebied x±δ), dan moeten we iets verderin de rij huppelen (tot N(δ)) vooraleer de daaropvolgende punten er allemaalin liggen. Eender hoe klein we het venster nemen, we vinden altijd een elementzodat de daaropvolgende allemaal in ’t venster liggen.

2.2.2 Cauchy-convergente rijen

Bekijken we even de rij (xn)n met xn = 1/n. Het is duidelijk dat deze rijconvergeert naar 0, nul is de limiet. Hoe klein we ε ook kiezen, vanaf n0 = 1/εzitten alle daaropvolgende elementen van de rij dichter bij nul, want voor n > n0is 1/n < 1/n0 = ε.Nu gaan we weer onze verzamelingenmagie bovenhalen. Stel dat we in plaats

van de reële getallen R, als verzameling het lijnstuk L =]0, 1] nemen, dit is eendeelverzameling L ⊂ R. Dat is dus het lijnstuk van nul naar 1 op de reëleas, waarbij we het punt 0 niet meenemen, en het punt 1 wel (we hebben eenlijnstuk dat noch open, noch gesloten is). We kunnen nu rijen van elementenvan L beschouwen, alsof we enkel van het bestaan van die elementen afweten.De rij (xn)n met xn = 1/n is een voorbeeld hiervan, elke xn ∈ L. Maar delimietwaarde bestaat niet in L! Door sluw het element 0 weg te knikkeren uitde verzameling, hebben we —in de context van die verzameling— en rij gemaaktdie geen limiet heeft. Vooral de Franse wiskundige Augustin Louis Cauchy vonddat geen manier van doen, intuïtief voelde die aan dat zo’n rijen ook op een ofandere manier iets van convergentie hebben1, al hebben ze geen limiet.

1Er zijn nog andere soorten convergentie (zoals ‘adherentie’, ‘absolute convergentie’) maardie gaan we hier niet bekijken, we geven onze volle aandacht aan Augustin Louis. Je gaatdie ingenieur van Napoleon nog vaak tegenkomen, hij heeft zowat eigenhandig de calculus vanfuncties van complexe getallen op poten gezet.

2.2. LIMIETEN 27

Daarom definieert hij cauchy convergentie:

(xn)n is cauchy convergent ⇔∀ε > 0 : ∃n0 : ∀n,m > n0 : |xm − xn| < ε.

(2.2)

Merk de subtiele en sublieme manier waarop Cauchy te werk gaan om niet meerte hoeven spreken van een limiet: hij zegt dat een rij cauchy convergeert alsen slechts als de elementen steeds dichter en dichter bij elkaar komen te zitten.Nauwkeuriger gezegd:

formeel proza∀ε > 0 ’t Is eender hoe klein een afstandje ik ook kies∃n0 er is altijd een plaats in de rij∀n,m > n0 zodat eender welke twee elementen verderop|xm − xn| < ε dichter bij elkaar zitten dan mijn willekeurig klein afstandje.

Nu denken veel mensen foutief dat als die elementen altijd maar dichter endichter bij elkaar gaan zitten (cauchy convergent), er wel een limiet zal zijn.Dat is zo niet, ons voorbeeld —enigszins gekunsteld— aan het begin van de sectietoont dit aan. Als we werken binnen de reële getallen is dat wel zo, maar denk eraan dat we deze begrippen willen abstraheren naar willekeurige verzamelingen,en dan is één voorbeeld van het tegendeel —hoe gekunsteld ook— genoeg om tetonen dat cauchy convergentie niet impliceert dat er gewone convergentie is!Hoe zit het met de pijl andersom, als een rij convergent is, is ze dan ook

cauchy convergent? Dat is wel zo, gewone convergentie is een sterkere eis dancauchy convergent in die zin dat het cauchy convergentie impliceert. Je kanintuïtief aanvoelen dat als de punten van een rij altijd maar dichter en dichterbij een limietpunt komen, ze dan ook dichter bij elkaar moeten komen. Maarintuïtie is soms verraderlijk en we hebben een formeler bewijs nodig!

Stelling: (xn)n → x⇒ (xn)n is cauchy convergentBewijs:

We moeten dus (2.2) aantonen, en mogen (2.1) gebruiken. De strategie zal erin moeten bestaan dat we |xm − xn| (uit het gezochte stuk) op een of anderemanier linken aan |xm − x| en |xn − x| (uit het gegeven stuk). Die link is dedriehoeksongelijkheid:

|xm − xn| 6 |xm − x|+ |x− xn| (2.3)

die zegt dat als ik van xm naar xn ga via een omweg langs x, de afstandwel eens langer kan zijn dan rechtstreeks. De driehoeksongelijkheid zoals hierneergeschreven is een eigenschap van de absolute waarde | . . . | .Kies eerst een willekeurig kleine (maar strikt positieve) ε. Dat is de eerste

stap die we in (2.2) specifiëren. Maar, we kunnen al meteen het gegeven (2.1)gebruiken met ε/2, dat zegt ons dat er een n0 bestaat zodat ∀n > n0 : |x−xn| <ε/2. Kiezen we zowel n als m groter dan n0, dan weten we uit het gegeven (2.1)


dat |x− xn| < ε/2 en |x− xm| < ε/2. Maar dan is

|xm − xn| 6 |xm − x|+ |x− xn| < ε/2 + ε/2

⇔ |xm − xn| < ε. (2.4)

Dus, om de plaats te vinden (in een convergente rij) vanaf waar in de rij depunten dichter bijeen liggen dan ε/2, volstaat het om de plaats te vinden vanafwaar de punten dichter dan ε/2 bij de limiet liggen. A ja, als ze allebei opmaximaal een afstand van ε/2 liggen van x, dan liggen ze ook maximaal ε uitelkaar. QED.

2.2.3 Volledigheid

We zien dat hoewel convergente rijen steeds Cauchy convergent zijn, hetomgekeerde niet steeds waar hoeft te zijn. Of het waar is of niet, hangt af uitwelke verzameling de elementen van de rij geplukt worden: mogen we plukkenuit gans R dan zal wel elke cauchy convergente rij ook gewoon convergentzijn. Mogen we enkel plukken uit L =]0, 1], dan is dat niet zo. Er is, watconvergentie van rijen betreft een fundamenteel verschil tussen de verzamelingR en de verzameling L. We gaan dat een naam geven: volledigheid.

Definitie: Een verzameling is volledig wanneer elke cauchyconvergente rij elementen van die verzameling ook gewoonconvergent is

Een equivalente manier om dit te zeggen is dat een verzameling volledig iswanneer elke cauchy covergente rij een limiet heeft binnen die verzameling.

2.3 Continuïteit

Het andere begrip dat als een rode draad door de rest van de cursus loopt om teabstraheren, is continuïteit van een functie. Functies, zoals we zagen, zijn nietbeperkt tot relaties van R naar R, en we willen het idee van continue functiesuitbreiden naar functies tussen willekeurige verzamelingen — ook schapen ensteentjes. We beginnen echter op vertrouwd terrein, en herbekijken de definitievan continuïteit voor een reële functie, zoals je dat in het secundair onderwijsgezien hebt.

f : R→ R is continu in het punt a ⇔∀ε > 0 : ∃δ > 0 : ∀x : |x− a| < δ ⇒ |f(x)− f(a)| < ε

(2.5)

We zeggen dat een functie continu is, als die continu is in alle punten van zijndomein. Dit is al wat ingewikkelder dan de definitie van convergentie, maar we

2.3. CONTINUÏTEIT 29

Figuur 2.2: Vinden we voor elk mogelijk venstertje B rond het beeldpunt f(a)een venstertje D rond het oorspronkelijk punt a, dan is de functie continu. Dezefiguur toont een voorbeeld voor B, en een D wiens beeld in B ligt.

gaan het toch weer in proza vertalen.

formeel proza∀ε > 0 ’t Is eender hoe klein een afstandje ik ook kies,∃δ > 0 er is altijd een venstertje te vinden∀x zodat voor alle punten geldt|x− a| < δ liggen ze in het venstertje rond a,.⇒ |f(x)− f(a)| < ε dan ligt hun beeld dicht bij ’t beeld van a,.

dichter dan ’t willekeurig klein afstandje dat ik koos.

Zelfs in proza is dit nog uitdagend. Wat we hier doen is vertrekken van het punta en het beeldpunt f(a) ervan. We maken dan een willekeurig klein venstertjerond het beeldpunt f(a):

B = ]f(a)− ε, f(a) + ε[

= {alle f(x) uit ’t beeld waarvoor |f(x)− f(a)| < ε} . (2.6)

Wat we nu moeten testen om na te gaan of de functie continu is, is het volgende:bestaat er in het domein een venstertje rond het oorspronkelijk punt a,

D = ]a− δ, a+ δ[

= {alle x waarvoor |x− a| < ε} ,

zodat dat domeinvenstertje door de functie f volledig wordt afgebeeld binnenhet beeldvenster B. Als dat geldt voor een willekeurig klein venstertje B (alswe dus het venstertje B kunnen dichtknijpen), dan is de functie continu in a.


Figuur 2.3: Hoe klein we D rond a ook kiezen, er is altijd een stukje links van adat ‘te laag’ wordt afgebeeld en buiten B blijft. Deze functie is discontinu in a.

Dit wordt getoond in figuur 2.2.In figuur 2.3 wordt een voorbeeld getoond vaneen functie die discontinu is in a. Hoe klein we ’t venstertje D ook kiezen, er isaltijd een stukje dat door de functie wordt afgebeeld op iets dat buiten B ligt.Er is met andere woorden geen enkele δ > 0 te vinden om er voor te zorgendat f(x) binnen B ligt, en de functie is discontinu. Je hebt ongetwijfeld ookandere definities gezien van continuïteit, zoals het feit dat de linkerlimiet en derechterlimiet dezelfde moeten zijn. Wat reële functies betreft zijn dat equivalentedefinities. Maar, wanneer we het begrip continuïteit willen veralgemenen, danis de definitie die we hier hanteren best wel handig. Het idee van een ‘venstertje’waarvan het beeld een deelverzameling is van een ‘beeldvenstertje’ is iets watzich mooi leent tot verzamelingenleer en dus algemene verzamelingen. Maar wehebben nog een hele weg af te leggen.

2.4 Einstein heeft méér nodig (en Feynman ook)

Waarom ons het leven moeilijk maken, waarom al die veralgemening?Onversneden wiskundig genot is voor een hard-core fysicus niet altijd genoegreden.Merk op dat we, om onze venstertjes te definiëren, om of convergentie te

definiëren, gebruik hebben gemaakt van (de absolute waarde van) verschillenvan twee reële getallen. Als we willen uitdrukken dat de punten in een cauchyconvergente rij dichter bij elkaar komen, dan hebben we |xn − xm| vergelekenmet ε. Een venstertje D = ]a− ε, a+ ε[ hebben we gedefinieerd als deverzameling punten waarvoor |x− a| < ε. En zelfs de definitie van een open eneen gesloten lijnstuk rust hier eigenlijk op, want eigenlijk zijn onze venstertjes

2.4. EINSTEIN HEEFT MÉÉR NODIG (EN FEYNMAN OOK) 31

Figuur 2.4: De afstand tussen de rode punten is |6− 3| = 3 op het recht lijnstuk,maar als we de lintmeter oprollen kunnen de twee rode punten dichter bijeenkomen dan de lintmeter lijkt uit te dragen...

(zoals D) een prototype open lijnstuk.Het essentiële ingrediënt hier is dat we de afstand tussen twee punten (zoals

xn en xm) hebben gedefinieerd als

afstand(xm, xn) = |xn − xm| . (2.7)

Dat moeten we laten varen. Einstein heeft meer nodig; je hebt ongetwijfeld algehoord dat zijn theorie van de zwaartekracht berust op gekromde ruimtes. Ingekromde ruimtes kom je met je rechte meetlat niet ver.Een voorbeeldje van een ééndimensionale gekromde ruimte wordt getoond in

figuur 2.4. Op een lintmeter van 7 centimeter (waardeloos om kleding te makendus) zijn twee punten getekend, bijvoorbeeld xn en xm. Ligt de lintmeter vlak,dan is de afstand nogal wiedes: |xn − xm| zoals voorheen. Maar als de lintmetergekromd is, dan is het niet meer zo duidelijk wat we met afstand bedoelen, en hetkan best zijn dat er een andere afstandsmaat nodig is, bijvoorbeeld het rechtlijntje dat de punten verbindt op de cirkel. Willen we algemene relativiteitbestuderen, en werken met gekromde ruimtes2, dan moeten we ons begrip vanafstand gaan veralgemenen. Enkel op die manier kunnen we ook in de buurtvan een zwart gat onderzoeken of een functie continu is of niet, en of rijenconvergeren!Ook Feynman heeft meer nodig. Hij beschrijft de kwantummechanische

werkelijkheid als een gewogen uitmiddeling over alle mogelijke gescheidenissen,of paden van deeltjes x = f(t). In die beschrijven moeten we ook afstandentussen functies kunnen nagaan! En we willen ook convergentie van eenrij functies bekijken. Machientjes die een functie nemen en een reëel getaluitspuwen noemen we functionalen, en ook daarvan willen we een notie vancontinuïteit invoeren... Dat vereist andermaal een veralgemening van het begripafstand naar een willekeurige verzameling elementen.

2 of zelfs alleen maar voor kromlijnige coördinaten in vlakke ruimtes...

Hoofdstuk 3

Metrische ruimten

“Tie pol is een fierkent! Naa moe, hoe kèn dat nou?” (die bol iseen vierkant, moeder, hoe kan dat?) — Uitspraak, in streektaal,van een medestudent toen ik de cursus metrische ruimten volgde alseerstejaars fysicastudent, en die de algemene gemoedstoestand bijde studenten treffend kenmerkte.

3.1 De metriekIn het vorige hoofdstuk hebben we het concept van afstand tussen tweeelementen van een verzameling gebruikt om limieten, convergentie encontinuïteit te definiëren. De afstandsmaat die we gebruikt hebben voor R(of deelverzamelingen van R) was heel eenvoudig de absolute waarde van hetverschil van twee getallen. Nu is niet op elke verzameling een bewerking zoalsverschil gedefinieerd, of zelfs geschikt. Hoe moeten we het begrip “afstand tussentwee elementen” abstraheren?In het eerste hoofdstuk hebben we gezien dat het abstraheren vaak gebeurt

door de essentiële kenmerken van het te abstraheren begrip aan te duiden.Vooreerst zien we dat een “afstand” in de verzameling twee elementen uitA neemt, en een positief, reëel getal teruggeeft. Dus, afstand is een functied : A×A→ R+. Welke kenmerken kennen we toe aan het concept afstand ?

• De afstand van een element tot zichzelf willen we graag gelijk aan nulhebben (in symbolen a = b ⇒ d(a, b) = 0). En sterker nog, het enigeelement dat op afstand nul ligt van element a, is element a zelf, (insymbolen d(a, b) = 0⇒ a = b). Samengevat:

∀a, b ∈ A : d(a, b) = 0⇔ a = b. (M1)

• De afstand afstand heen en weer is gelijk:

∀a, b ∈ A : d(a, b) = d(b, a). (M2)

33

34 HOOFDSTUK 3. METRISCHE RUIMTEN

Figuur 3.1: Pablo Picasso verlaat duidelijk de Cartesische metriek ofafstandsmaat in “Les demoiselles d’Avignon” (1907, olie op canvas). In ditallereerste schilderij dat het kubisme aankondigt is Picasso op zoek naarmetrieken die het mogelijk maken om informatie uit meerdere gezichtspuntentegelijk weer te geven. Daarin gaat hij veel extremer te werk dan Cézanne.De vervormde gezichten komen voor uit een samenbrengen van verschillendegezichtspunten. Hij wil zo een veel authentieker beeld scheppen dan de mooigepolijste schilderijen van de klassieke kunstenaars. Evenzo geven voor PicassoAfrikaanse maskers in al hun ruwheid toch een authentieker, intenser portretdan wat mogelijk is met een traditionele metriek en realistisch perspectief (merkop dat de twee dames rechts zo’n masker aan hebben).

3.1. DE METRIEK 35

• Stel, ik ben op weg van a naar b. Als ik in mijn GPS een via-punt (puntc) invoer, neemt de totale afstand mogelijk toe. Een omwegje maken, datis de driehoeksongelijkheid:

∀a, b, c ∈ A : d(a, b) 6 d(a, c) + d(c, b). (M3)

We gebruiken deze drie eigenschappen (M1)-(M3) als definitie voor afstand, datgeven we ook een mooiere naam, namelijk de metriek:

Definitie: Voor een onderliggende verzameling A is een functied : A × A → R+ een metriek als ze voldoet aan eigenschappen(M1), (M2), (M3). De verzameling, samen met zijn metriek, noemenwe een metrische ruimte (A, d). Het positieve reële getal d(a, b)noemen we de afstand tussen a en b.

Enkele voorbeeldjes zijn nuttig.

Voorbeeld 1 — het vertrouwde terrein. De verzameling R, voorzien vand(x, x0) = |x − x0| is een metrische ruimte. Is het de enige metrische ruimtevoor R ? Nee, er zijn er oneindig veel, wat je kan oneindig veel afstandsfunctiesmaken. Ook d2(x, x

0) = (x − x0)2 is een goede metriek. Onze goede ouded(x, x0) = |x− x0| noemen we de Euclidische metriek.

Voorbeeld 2 — Als verzameling nemen we het vlak R2. De elementen ervanzijn geordende koppels (x, y) die we als coördinaten van vectoren r = xex+ yeyzouden kunnen beschouwen. Wat is een goede afstand in het x-y vlak ? Degoede oude Cartesische afstand werkt:

d(r1, r2) =p(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2. (3.1)

Dit is de afstand die je met een meetlat op het vlak kunt aflezen, zoalsgeïllustreerd op figuur (3.2). Dit is een goede metriek, want (1) de cartesischeafstand tussen twee punten is nul dan en slechts dan als de punten samenvallen,(2) de meetlat omdraaien geeft dezelfde afstand, (3) de driehoeksongelijkheidgeldt, nemen we een omweg, dan maken we een driehoek en de som van de tweezijden is steeds groter dan de derde zijde.

Voorbeeld 3 — Voor dezelfde verzameling R2 gaan we nu eens zot doen.We bekijken de supremum metriek

dS(r1, r2) = max [|x2 − x1|, |y2 − y1|] . (3.2)

We nemen als afstand dus langste van de twee afstanden langs de assen, zoalsgetoond in figuur (3.3). Wanneer deze nul is, moet zowel de afstand langs de x-asals de afstand langs de y-as nul zijn, en moeten de punten weerom samenvallen.Omwisselen van (x1, y1) met (x2, y2) verandert de afstand niet, want de absolute


Figuur 3.2: De cartesische metriek d(r1, r2) =p(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 op het

vlak R2 wordt hier geïllustreerd. De cirkel rechts toont de plaats van de puntendie op vaste afstand van (x0, y0) liggen, het ingekleurde gebied zijn de puntendie dichter dan R liggen tot bij (x0, y0).

waarden geven hetzelfde resultaat in de formule voor dS . Tot slot moeten wenagaan of (M3) voldaan is. Aangezien voor de Euclidische afstand (langs de as)geldt dat

|x2 − x1| 6 |x2 − x3|+ |x3 − x1||y2 − y1| 6 |y2 − y3|+ |y3 − y1|

geldt ook dat het maximum van de linkerleden kleiner is dan het maximumvan de eerste termen in het rechterlid plus het maximum van de tweede termenin het rechterlid. Dus vormt

¡R2, dS

¢ook een metrische ruimte. Het is niet

omdat de afstand wat bizar is dat die geen goede afstandsmaat is. We kunnenmet deze afstand evengoed ‘supremum’ convergentie en ‘supremum’ continuïteiddefiniëren, wat verderop wel duidelijk wordt.

Voorbeeld 4 — Voor de abstracte verzameling A = {papier,schaar,steen}kunnen we ook een metriek definiëren. Er moet voor (M1) gelden dat

d(papier,papier) = d(schaar,schaar) = d(steen,steen) = 0.

Verder kunnen we wat afstanden kiezen, rekening houdend met (M2):

d(papier,schaar) = d(schaar,papier) = 2,

d(papier,steen) = d(steen,papier) = 3,

d(steen,schaar) = d(schaar,steen) = 4.

Aangezien de som van eender twee van deze afstanden groter is dan de derde,hebben we opnieuw de driehoeksongelijkheid, en is (M3) voldaan. Dus is d eengoede metriek, en (A, d) een metrische ruimte, waarvoor we convergentie en

3.1. DE METRIEK 37

Figuur 3.3: De supremum metriek dS op het vlak R2 wordt hier geïllustreerd.Het vierkant rechts toont de plaats van de punten die op vaste afstand van(x0, y0) liggen, het ingekleurde gebied zijn de punten die dichter dan R liggentot bij (x0, y0).

continue functies gaan kunnen definiëren zoals in de volgende secties zal wordenuitgelegd. Hadden we echter gekozen voor d(steen,schaar) = d(schaar,steen) = 6dan was dat geen goede metriek! Immers, d(schaar,steen) > d(schaar,papier) +d(papier,steen) waardoor (M3) niet voldaan is.

Afstand van een punt tot een deelverzameling — We kunnen metde metriek niet enkel de afstand bepalen tussen twee punten in een metrischeruimte, we kunnen ook de afstand bepalen tot een verzameling punten. Stel datA, d een metrische ruimte is , a ∈ A een willekeurig element van A, en D ⊂ Aeen deelverzameling van A. Dan is de afstand tussen a en X gedefinieerd als

d(a,D) = inf {d(a, x)|x ∈ D} . (3.3)

Hier staat “inf” voor infimum: het grootste getal dat kleiner is dan alle getallenin de verzameling. Waarom volstaat het niet om “min” te gebruiken, en dezeafstand te definiëren als de kleinste afstand tot een willekeurig punt van deverzameling D ? Omdat we willen dat de afstand van het punt 0 tot het openlijnstuk ]0, 1[ gelijk is aan nul! In het open lijnstuk is er geen kleinste punt, wantvoor elke kandidaat x kan je een punt x/2 vinden dat nóg kleiner is. Maar, eris wel een infimum: 0.Om de definitie te vervolledigen moeten we ook specifiëren wat de afstand

is tot de lege verzameling. Een verzameling zonder enig element heeft namelijkniet alleen een gebrek aan een minimum, maar het heeft ook geen infimum. Dusleggen we op dat

d(a,∅) =∞ (3.4)

.


3.2 Open en gesloten delenDe secties van dit hoofdstuk gaan parallel aan de secties van het vorigehoofdstuk. Sectie 2 van het vorige hoofdstuk was “open en gesloten lijnstukkenin R”. Dat gaan we nu veralgemenen, door gebruik te maken van onze abstracteafstand.

3.2.1 Open en gesloten bollen

We beginnen met open en gesloten bollen:

Definitie: Als (A, d) een metrische ruimte is, en a ∈ A, dan is eenopen bol met middelpunt a en straal r ∈ R+ de verzameling B ⊂ Amet als voorschrift:

B(a, r) = {b ∈ A|d(a, b) < r} . (3.5)

Definitie: Als (A, d) een metrische ruimte is, en a ∈ A, dan is eengesloten bol met middelpunt a en straal r ∈ R+ de verzamelingB∗ ⊂ A met als voorschrift:

B∗(a, r) = {b ∈ A|d(a, b) 6 r} . (3.6)

Kijken we nu even terug naar onze vier voorbeelden van metrische ruimten uitde vorige sectie, en gaan we daar na wat open en gesloten bollen zijn.Voorbeeld 1 — het vertrouwde terrein — Voor R met de euclidische metriek

d(x, x0) = |x − x0| hebben we dat open bollen open lijnstukken zijn. B(a, r) isdan het open lijnstuk ]a− r, a+ r[. Doet dat je aan iets denken? We hebben ditbij de definitie van continuïteit voor reële functies een “venstertje” genoemd.De gesloten bol B∗(a, r) is het lijnstuk [a− r, a+ r].Voorbeelden 2,3 — Voor de verzameling R2 zijn open en gesloten bollen

getoond in figuur (3.2) voor de Cartesische metriek, en in figuur (3.3) voorde supremum metriek. In de Cartesische metriek is een bol ook wat je in hetgewone leven een bol zou noemen. Als de rand (dikke lijn) er bij zit, dan ishet een gesloten bol, als die rand er niet bij is en we kijken enkel naar hetingekleude gebied dan is het een gesloten bol. Maar de naam ‘bol’ is hier ruimop te vatten, de verzameling hangt af van de metriek, en zo zie je dat met desupremum metriek de open en gesloten bol een vierkant is, respectievelijk zonderen met de randpunten er bij!Voorbeeld 4 — Ten slotte, voor onze voorbeeldmetriek voor

A = {papier,schaar,steen} (3.7)

hebben weB(papier, 3) = {papier,schaar}, (3.8)

enB∗(papier, 3) = {papier,schaar,steen}. (3.9)

3.2. OPEN EN GESLOTEN DELEN 39

Figuur 3.4: Als voorbeeld metrische ruimte beschouwen we het vlak R2 metde cartesische metriek. Links: “inzoomen” op (x0, y0) doen we door een rijopen bollen te beschouwen die samentrekken rond dat punt. Rechts: eendeelverzameling D ⊂ R2. Een volle dikke lijn langs de rand geeft aan datrandpunten mee in D zitten, en stippenlijn toont waar de randpunten niet meein D zitten. Er wordt en ingezoomd op verschillende punten al dan niet in D.

3.2.2 Afsluiting van een verzameling

Nu kunnen we beginnen inzoomen op een willekeurig element a van eenmetrische ruimte (A, d). Dit doen we door een rij steeds kleiner wordende openbollen te beschouwen met als centrum a, zoals de schietschijf getoond op delinkerkant van figuur (3.4). Merk op dat als we een andere metriek gebruiken(bvb de supremum metriek) we hier een schietschijf met vierkantjes zoudenmoeten tekenen.We definiëren afsluitingspunten als volgt:

Definitie: In een metrische ruimte (A, d) is een punt x ∈ A eenafsluitingspunt van de deelverzameling D ⊂ A wanneer de afstandtot A nul is,

d(x,D) = 0. (ap1)

We illustreren dat in figuur (3.4) voor een deelverzameling D in de metrischeruimte

¡R2, d

¢. De gekleurde punten zijn de elementen van D. De volle lijn

toont aan welke punten aan de rand wel in D liggen, de stippenlijn behoortniet tot D. Dat is dus het analogon van de notatie ]x, y] voor een lijnstuk datwel het rechter-eindpunt maar niet het linker-eindpunt bevat. Uit de figuuris het duidelijk dat zowel a, c en d afsluitingspunten zijn. Inderdaad, a en czijn elementen van D, en aangezien d(a, a) = 0 = d(c, c) is d(a,A) = 0 end(c,A) = 0. Ook d is een afsluitingspunt, al ligt het niet in D. Het ligt op derand en heeft cartesische afstand nul tot het gekleurde gebied. Het punt b isgeen afsluitingspunt.Op elk van die punten wordt ingezoomd en we zien iets opmerkelijks. Voor

een afsluitingspunt is de doorsnede van eender welke open bol met A verschillend


van nul. Enkel punt b, dat geen afsluitingspunt is, heeft een aantal open bollen(de middelste regionen van de schietschijf) waarvoor B(b, r) ∩ D = ∅. Weontwaren een equivalente definitie voor een afsluitingspunt:

Definitie: In een metrische ruimte (A, d) is een punt x ∈ A eenafsluitingspunt van de deelverzameling D ⊂ A dan en slechts danals

∀r > 0 : B(x, r) ∩D 6= ∅. (ap2)

Dat (ap1) en (ap2) inderdaad equivalente definities zijn moeten we ook formeelbewijzen. Eerst tonen we aan dat

d(x,D) = 0⇒ ∀r > 0 : B(x, r) ∩D 6= ∅ (3.10)

Kies een r, en beschouw B(x, r) = {y|d(x, y) < r}. Die open bol bevat dus allepunten waarvoor de afstand tot x kleiner is dan r. Nu, aangezien d(x,D) =inf {d(z, x)|z ∈ D} = 0 wil dat zeggen dat er een z ∈ D bestaat zodat d(z, x) <r. Moest dat niet zo zijn, dan is de kleinste afstand van x tot D gelijk aan r,en niet gelijk aan nul. Maar als d(z, x) < r dan behoort z ook tot B(x, r). Ermoet dus een punt z bestaan dat zowel tot D als tot B(x, r) behoort, en is dedoorsnede alvast niet leeg.Dan tonen we de omgekeerde weg aan

∀r > 0 : B(x, r) ∩D 6= ∅⇒ d(x,D) = 0 (3.11)

De bewering d(x,D) = inf {d(z, x)|z ∈ D} = 0 is waar als er voor elke ε > 0,hoe klein ook, een z ∈ D kan gevonden worden waarvoor d(z, x) < ε. Is dat zo?Kies je ε > 0 hoe klein je maar wil. Beschouw dan B(x, ε). Nu weten we datB(x, ε) ∩D 6= ∅, want dat is het linkerlid van onze pijl. We kunnen dus altijdeen element z vinden in de doorsnede, z ∈ B(x, ε) ∩D. Van dat punt z wetenwe dat d(x, z) < ε en dat z ∈ D, precies wat we zochten. Voor elke ε hoe kleinook kunnen we zo’n punt z vinden, en dus is d(x,D) = 0 waar. QED.

Verzamelingen afsluiten — Het is handig om halfslachtige lijnstukken zoals]x, y] netjes te kunnen afsluiten tot een gesloten lijnstuk [x, y]. Ook het gebiedD in figuur (3.4) zouden we graag netjes kunnen afsluiten zodat de rand meeis. Dat kunnen we doen aan de hand van de volgende definitie:

Definitie: Stel (A, d) een metrische ruimte met een deelverzamelingD ⊂ A. De verzameling

D̄ := {x ∈ A|x is een afsluitingspunt van D} (3.12)

noemt men de afsluiting van D.

Gesloten verzamelingen — Sommige verzamelingen moeten niet meerafgesloten worden, ze bevatten al hun afsluitingspunten al! Dat verdient eenbloemetje en een eigen benaming:


Definitie: Stel (A, d) een metrische ruimte met een deelverzamelingD ⊂ A. Men noemt de verzameling D gesloten als D̄ = D.

3.2.3 Inwendige van een verzameling

We hebben ons in de vorige subsectie toegespitst op het afsluiten vanverzamelingen, de rand meenemen dus, maar we kunnen ook proberen om juistvan de rand af te geraken. Kijken we eerst terug naar figuur (3.4). Enkel hetpunt a zit in binnenin D, en ligt niet op de rand. Kijk naar de schietschijvenbij a, dan zie je dat daar iets uniek aan is. Het is het enige punt uit de lijsta, b, c, d waarvoor, naarmate de bollen kleiner worden ze helemaal in D zitten.Voor de punten op de rand heb je steeds een deel van de bol die buiten D valt,hoe dicht je ook bij de roos komt. Daarom:

Definitie: In een metrische ruimte (A, d) is een punt x ∈ A eeninwendig punt van de deelverzameling D ⊂ A dan en slechts danals

∃r > 0 : B(x, r) ⊂ D. (3.13)

Dit zegt dus: er is een straal te vinden (dan kan wel eens heel klein zijn...),waarvoor een bol met die straal en x als centrum volledig valt in D. Net zoalsvoorheen is het ook handig om halfslachtige lijnstukken zoals ]x, y] netjes tekunnen openen tot een open lijnstuk ]x, y[, zoiets doen we in het algemeendoor:

Definitie: Stel (A, d) een metrische ruimte met een deelverzamelingD ⊂ A. De verzameling

D◦ := {x ∈ A|x is een inwendig punt van D} (3.14)

noemt men het inwendige van D.

Er zullen ook weer verzamelingen zijn die we niet meer moeten villen om hetinwendige te vinden, omdat ze helemaal uit inwendige punten bestaan. Diekrijgen ook een eigen woordje:

Definitie: Stel (A, d) een metrische ruimte met een deelverzamelingD ⊂ A. Men noemt de verzameling D open als D◦ = D.

Merk op dat de meeste verzamelingen noch open, noch gesloten zijn, en D◦ ⊂D ⊂ D̄, zoals ook te zien in figuur (3.5).


Figuur 3.5: Rechts, een deelverzameling D ⊂ R2. We gebruiken de cartesischemetriek. In het midden wordt D̄, de afsluiting van D getoond. Links staat D◦,het inwendige vanD. Een volle dikke lijn langs de rand geeft aan dat randpuntenmee in de verzameling zitten, en stippenlijn toont waar de randpunten niet meein de verzameling zitten.

Figuur 3.6: We keren weer terug naar onze voorbeeld-verzameling D in demetrische ruimte (R2, d). Het vinden van het inwendige kan gebeuren in driestappen: complement nemen, afsluiten, en terug complement nemen.

3.2.4 Eigenschappen van open verzamelingen

Omdat de open verzamelingen voor het geval van R met de euclidische metriekovereenkomt met de venstertjes uit het vorig hoofdstuk, heb je al door dat zewel een belangrijke rol gaan spelen in de rest van het verhaal. Daarom lijstenwe wat eigenschappen op:

Eigenschap: In een metrische ruimte (A, d) is het inwendige van Dook gegeven door A−

¡A−D

¢Dit wordt geïllustreed in figuur (3.6). Als x ∈ A −

¡A−D

¢, dan is dus x /∈¡

A−D¢per definitie van het complement. Dit wil zeggen dat d(x,A−D) = r0

met r0 strikt groter dan nul. Nu kunnen we daar een open bol B op plakkendie ook op een afstand van A−D zal blijven, bijvoorbeeld door straal r = r0/2


te kiezen. Dat wil zeggen dat B(x, r) ∩ (A−D) = ∅ en dus B(x, r) ⊂ D. Wevinden dus x ∈ A−

¡A−D

¢⇒ ∃r > 0 : B(x, r) ⊂ D.

Ook de omgekeerde richting is waar: Vooreerst,

∃r > 0 : B(x, r) ⊂ D

⇒ B(x, r) ∩ (A−D) = ∅

maar B(x, r) bevat alle punten op afstand korter dan r van x. Dus volgt uitbovenstaande

⇒ d(x,A−D) > r

⇒ x /∈ A−D

⇒ x ∈ A−¡A−D

¢.

Zonder woorden.

Unies en doorsnedes van open verzamelingen — de volgendeeigenschappen zijn belangrijk om uit een gekend lijstje open verzamelingennieuwe te maken:

Eigenschap ED: Als C en D open zijn, dan is ook C ∩D open

Eigenschap OU: Als alle verzamelingen D in een (mogelijk oneindiggrote) verzameling van verzamelingen D open zijn dan is ook ∪Dopen.

Met ∪D bedoelen we de unie van alle verzamelingen in D. Dan kan dus eenoveraftelbaar groot aantal verzamelingen zijn... Voor de doorsnedes mogen weslechts een eindige aantal doorsnedes nemen. Vandaar dat ik de eigenschapenmet Eindige Doorsnedes (ED) en Oneindige Unies (OU) aangeef. We geven dezeeigenschappen hier zonder bewijs.Bewijs voor OU : Kies een willekeurig punt x in ∪D. Het feit dat het in deunie zit, wil zeggen dat er minstens één element D ∈ D bestaat waarvoor x ∈D. Aangezien D open is, is x noodzakelijk een inwendig punt van D, zodat∃r > 0 : B(x, r) ⊂ D. Maar dat wil ook zeggen dat B(x, r) ⊂ ∪D. Uniesnemen voegt alleen maar elementen toe, neemt er geen weg. Maar aangezien∃r > 0 : B(x, r) ⊂ ∪D is x een inwendig punt van ∪D. We hebben aangetoonddat alle punten van ∪D inwendig zijn, dus is ∪D open.

Bewijs voor ED : Kies een willekeurig punt x ∈ C ∩ D. Dit zit in C en is duseen inwendig punt voor C, x ∈ C◦ ⇒ ∃rc > 0 : B(x, rc) ⊂ C. Idem is er eenrd waarvoor B(x, rd) ⊂ D. Kies nu r = min(rc, rd). Stel dat rc de kleinsteis (ander verwissel je de c’s en d’s in wat volgt), dan is B(x, rc) ⊂ B(x, rd) ⊂D, zodat B(x, rc) ⊂ D en we hadden reeds B(x, rc) ⊂ C, waaruit volgt datB(x, rc) ⊂ C ∩D. En dus is x ∈ (C ∩D) ◦. Elk element van de doorsnede zitin het inwendige van de doorsnede! En dus is de doorsnede open.Uit dit bewijs voor ED zie je waarom er maar een eindig aantal doorsnedes

mag zijn. We moeten immers de kleinste straal kiezen, en als we een oneindige


lijst hebben zoals rn = 1/n dan is er geen kleinste straal (wel een infimum, nul).De doorsnede van alle open bollen rond x is zelf niet open...

De kleinste en de grootste — Hoe zit het met de lege verzameling enmet de verzameling A zelf? De lege verzameling is per definitie een deel van A,maar is het een open deel? Om de lege verzameling te ‘openen’ passen we deeerste eigenschap toe:

∅◦ = A−¡A−∅

¢= A−A

Aangezien voor elk element a ∈ A geldt dat d(a, a) = 0 is ook d(a,A) = 0, en iselk element van a ook een deel van A. Dus is A = A (de volledige verzamelingis gesloten) en is ∅◦ = ∅. De lege verzameling is open. Maar het verhaal is nogniet af! Immers,

A◦ = A−¡A−A

¢= A−∅

Nu hebben we voor alle ementen a ∈ A dat d(a,∅) = ∞ (blader terug naaruitdrukking (3.4)). Dat wil zeggen dat er geen enkel element in de afsluitingvan ∅ zit, en dus is ∅ = ∅. De lege verzameling is gesloten. En dus is A◦ = Aen is A open.Ja, je leest het goed: open en gesloten zijn niet noodzakelijk tegengesteld:

zowel A als ∅ zijn tegelijk open en gesloten.

3.2.5 Geïsoleerde punten en ophopingspunten

Je voelt aan dat open en gesloten is goed voor deelverzamelingen die eenzekere uitgebreidheid hebben, maar voor geïsoleerde punten moeten we watvoorzichtiger zijn. We weten wel wat we bedoelen wanneer we met de euclidischemetriek werken langs de reële as, of met de cartesische metriek in het vlak, maarin het algemeen moeten we het concept geïsoleerd punt duidelijk en formeelkunnen definiëren. Dat doen we in twee stappen:

Definitie: Een punt x ∈ A is een ophopingspunt van D ⊂ A als xeen afsluitingspunt is van D − {x}.

Even verduidelijken: beschouw D ⊂ R gegeven door D = ]0, 2] ∪ {3}. Dit wilzeggen dat D bestaat uit twee losse stukken, het lijnstuk ]0, 2] en het punt {3}.Dan is x = 3 géén ophopingspunt van D. Immers, de afsluiting van D − {3}is [0, 2] en daar zit {3} niet meer in. Wanneer we dus het punt kunnen eerstwegnemen, en het keert niet terug bij afsluiten, dan is het geen ophopingspunt.Het punt 0 is wél een ophopingspunt, D − {0} = D en hoewel 0 /∈ D geldt weldat 0 ∈ D̄.De verzameling van alle ophopingspunten noteren we D0, dus

D0 = {x ∈ A|x ophopingspunt van D} (3.15)

Nu kunnen we geïsoleerde punten identificeren:


Figuur 3.7: Georges Seurat — Dimanche d’été à la Grande Jatte (1886, olieop canvas). Seurat zag dat eenzelfde kleur verf veel helderder lijkt wanneer hetomgeven is door wit dan door een andere kleur. Hij schildert daarom slechts metgeïsoleerde punten verf: rond elk verfpunt is er in zijn schilderij een minusculeopen bol te vinden die geen enkel ander verfpunt bevat, en dus door wit omgevenis. Dat zie je niet als je veraf staat, en daar word je toe gedwongen door deomvang van het schilderij, dat 2 op 3 meter meet. Het inwendige van Seuratsschilderij is leeg, en toch heeft de toeschouwer de indruk van een inwendigelichtbron. Deze postimpressionistische techniek noemt men het pointillisme.


Definitie: x ∈ A is een geïsoleerd punt van D ⊂ A als x ∈ D−D0.

Terug naar ons voorbeeld, D = ]0, 2] ∪ {3}. Dan is D0 = [0, 2] en we vinden datD−D0 = {3} een geïsoleerd punt is. Uit figuur (3.4) zien we dat als we punt bvoegen bij D, dit ook een geïsoleerd punt zou zijn. Een punt is geïsoleerd in Dals we er een open bol rond kunnen vinden, misschien heel klein, maar zodanigdat er geen enkel ander punt van D in zit. Dat is meteen een equivalentedefinitie, in termen van open bollen:

Definitie: x ∈ D ⊂ A is een geïsoleerd punt van D als en slechtsdan als

∃r > 0 : B(x, r) ∩ (D − {x}) = ∅, (3.16)

en x ∈ D ⊂ A is een ophopingspunt als

∀r > 0 : B(x, r) ∩ (D − {x}) 6= ∅. (3.17)

Voor dit laatste hebben we gewoon de definitie van afsluitingspunt in termenvan open bollen gebruikt.

Vraag — kan een verzameling, die alleen maar uit geïsoleerde puntenbestaat, wel een ophopingspunt hebben? Ja! Dat brengt ons naar de convergenterijen. Beschouw de rij (xn)n met xn = 1/n. We zetten nu elk van de punten inde rij samen in een verzameling V ⊂ R gegeven door

V =

½1

n|n ∈ N0

¾(3.18)

Elk punt in deze verzameling is geïsoleerd. Rond elk punt 1/m kunnen we eenopen bolletje vinden zo klein dat het geen enkel ander punt van V bevat. Destraal van dat bolletje moet kleiner zijn dan de afstand tot het meest naburigepunt,

r < 1/(m+ 1)− 1/m ⇒ B(1/m, r) ∩ (V − {1/m}) = ∅⇒ {1/m} /∈ V − {1/m}

En dus is het punt 1/m per definitie geen ophopingspunt.Geen enkele van de punten uit de verzameling V is een ophopingspunt, maar

misschien is er een punt dat niet tot V behoort en dat wel een ophopingspuntis. Dat is het geval voor het punt 0. Inderdaad, voor elke r > 0 kunnenwe binnen de bol B(0, r) zelfs oneindig veel punten uit V vinden. Kies p hetkleinste natuurlijk getal dat strikt groter is dan 1/r, dan is 1/p ∈ B(0, r), en1/p ∈ V = V − {0}. Dus is B(0, r)∩ (V − {0}) 6= ∅, en is 0 een ophopingspunt.De punten uit de rij (xn)n met xn = 1/n hopen zich op bij 0.

Hemel, al negen bladzijden open en gesloten lijnstukjes aan hetveralgemenen, ’t wordt hier dringend tijd dat we naar de convergentie en decontinuïteit gaan!

3.3. LIMIETEN EN CONVERGENTIE 47

Figuur 3.8: Een rij elementen uit R2, met de Cartesische metriek. Elk elementis een punt in het vlak, en we hebben er een label bij gezet die de plaats van datpunt in de rij geeft. Vanaf element n0 = 5 zitten alle elementen n = 6, 7, 8... > n0binnen de bol met straal ε6, etc.

3.3 Limieten en convergentieWe kunnen weerom een rij elementen beschouwen, allemaal geplukt uit eenabstracte metrische ruimte (A, d). Waar we in het vorig hoofdstuk de Euclidischeafstand op de reële as gebruiken, gaan we dat nu vervangen door onze nieuweafstand, de metriek. We zeggen dat de rij (xn)n als limiet x heeft enkel en alleenindien

(xn)n → x ⇔∀ε > 0 : ∃n0 : ∀n > n0 : d(x, xn) < ε.

(3.19)

Gemakkelijk. Merk op dat we dit even goed met open bollen kunnen definiëren:

(xn)n → x ⇔∀ε > 0 : ∃n0 : ∀n > n0 : xn ∈ B(x, ε).

(3.20)

Dit wil zeggen dat we, hoe klein we ε ook kiezen, vinden dat vanaf een bepaaldpunt n0 in de rij alle daaropvolgende elementen van de rij (i) op afstand korterdan ε zitten van x of, equivalent (ii) binnen een open bol met straal ε encentrum x zitten.Dit wordt illustreerd in figuur (3.8) voor een rij punten in R2voorzien van de Cartesische metriek. Deze rij convergeert naar (x0, y0), wanthoe klein we de open bol ook kiezen, vanaf een bepaald punt in de rij zittenalle daaropvolgende elementen van de rij binnen de open bol. Hoe hard we ookinzoomen op (x0, y0), we zien steeds oneindig veel elementen, de staart van de


rij. Dit wil zeggen dat een limiet een ophopingspunt is voor V = {xn|n ∈ N0},ons voorbeeld aan het einde van de vorige sectie maakt dit al duidelijk.Op dezelfde manier, door |xn − xm| < ε te vervangen door d(xn, xm) <

ε kunnen we ook Cauchy convergentie veralgemenen naar een willekeurigemetrische ruimte (A, d) :

(xn)n is cauchy convergent ⇔∀ε > 0 : ∃n0 : ∀n,m > n0 : d(xm, xn) < ε.

(3.21)

Dit begrip is weerom nuttig als we een metrische ruimte zoals (R − {0}, d)beschouwen, een ruimte waar we dus punten uit hebben weggelaten. Of, wekunnen bijvoorbeeld werken in Q, de verzameling rationele getallen, en een rijconstrueren die convergeert naar π, wat een irrationeel getal is (niet behoort totQ). Die rij, met de euclidische metriek, is Cauchy convergent in Q maar heeftgeen limiet in Q. Opnieuw noemen we een metrische ruimte (A, d) volledigwanneer elke cauchy convergente rij in A ook een limiet in A heeft.

3.4 ContinuïteitNu kunnen we eindelijk functies beschouwen van een metrische ruimte(A, d)naar de metrische ruimte (A, d),

f : (A, d)→ (A, d) (3.22)

Onze definitie eenvoudig gaat triviaal uit te breiden zijn naar functies tussentwee aparte metrische ruimten, maar we houden het simpel. Dan kunnen wezeggen dat

f : (A, d)→ (A, d) is continu in het punt a ∈ A ⇔∀ε > 0 : ∃δ > 0 : ∀x : d(x, a) < δ ⇒ d [f(x), f(a)] < ε.

(3.23)

Met deze definitie kan je zelfs de continuïteit nagaan van functies op{schaar, papier, steen}, of functies op gekromde ruimten, of op willekeurigeverzamelingen voorzien van een of andere metriek.Kunnen we ook dit herformuleren met open bollen? Ja, immers per definitie

B(a, δ) = {x|d(x, a) < δ} (3.24)

B(f(a), ε) = {y|d(y, f(a)) < ε} (3.25)

Dus, versie twee:

f : (A, d)→ (A, d) is continu in het punt a ∈ A ⇔∀ε > 0 : ∃δ > 0 : ∀x : x ∈ B(a, δ)⇒ f(x) ∈ B(f(a), ε).

(3.26)

We hebben tot nu toe f(a) geschreven voor het beeldpunt van a. Maar wekunnen ook het beeld van een verzameling punten beschouwen:

f(D) = {f(x)|x ∈ D} . (3.27)

3.4. CONTINUÏTEIT 49

Figuur 3.9: Een continue functie op een metrische ruimte. Voor elke openbol B(f(a), ε) rond het beeldpunt f(a) is er een open bol B(a, δ) rond hetoorspronkelijk punt te vinden, dat helemaal binnen B(f(a), ε) wordt afgebeeld.

Onze eis voor continuïteit zegt nu dat voor alle punten die in de oorspronkelijkbol B(a, δ) zitten, het beeldpunt in B(f(a), ε) moet zitten. Dit wil zeggen dathet beeld van de ganse oorspronkelijke bol B(a, δ) in B(f(a), ε) moet zitten.Dat brengt ons tot versie drie:

f : (A, d)→ (A, d) is continu in het punt a ∈ A ⇔∀ε > 0 : ∃δ > 0 : f [B(a, δ)] ⊂ B(f(a), ε).

(3.28)

Of, terug wat in proza: f is continu in een punt a als voor elke open bolrond het beeldpunt f(a) geldt dat er een open bol is rond a die er helemaal inwordt afgebeeld. Blader eens terug naar figuur (2.2), die we hernemen hier.alsfiguur (3.9). Daar is het “venstertje B” een open bol rond het beeldpunt,B(f(a), ε). De functie is continu als we een “venstertje” in het domein vindendat er helemaal in wordt afgebeeld, dat is D = B(a, δ). De donker gekleurdeband toont waar f(B(a, δ)) ligt, en je ziet dat dit binnen de licht gekleurde bandligt, f(B(a, δ)) ⊂ B(f(a), ε).Met de definitie voor pre-beeld, uitdrukking (1.36), kunnen we continuïteit

in a op nog een vierde manier definiëren, door te zeggen er in het pre-beeld vanelke open bol rond f(a) terug een open bol in te passen valt :

f : (A, d)→ (A, d) is continu in het punt a ∈ A ⇔∀ε > 0 : ∃δ > 0 : B(a, δ) ⊂ f−1 [B(f(a), ε)] .

(3.29)

Inderdaad, zeggen dat f [B(a, δ)] binnen B(f(a), ε) ligt is hetzelfde als zeggendat B[a, δ] in het pre-beeld of het “origineel” van B[f(a), ε] ligt.


3.5 Kwantumgravitatie heeft méér nodigPrachtig, denk je dan, nu weten waaraan een meetlat moet voldoen (namelijk deeigenschappen (M1),(M2),(M3) opdat het een metriek vormt). En nu kunnenwe voor elke verzameling voorzien van een meetlat, hoe gek of gekromd ook,gaan bepalen of rijen elementen uit die verzameling convergeren, en of functiesin die verzameling continu zijn of niet. Algemener dan dat kan toch niet?En toch wel. We kunnen ook proberen het zonder meetlat te doen — dan

pas hebben we de begrippen convergentie en continuïteit van al hun wereldsepraal ontdaan, en hen tot op het bot geabstraheerd. De sleutel tot dat verhaalzijn de open bollen. Het is je misschien opgevallen dat we de eisen voorconvergentie en continuïteit, die gemakkelijk neer te schrijven zijn met d(x, y)hebben herschreven op zo’n manier dat we enkel open bollen gebruiken. Stel nudat er helemaal geen metriek is, maar dat we toch nog een lijstje ter beschikkingzouden hebben van alle open deelverzamelingen, dan kunnen we die definitiesnog steeds gebruiken. En ook voor een verzameling zonder afstandsmaat hetconcept convergentie en continuïteit gebruiken.Opnieuw zal de minder wiskundig gerichte ziel zich afvragen waarom we

ons aan deze verdere marteling blootstellen. Het blijkt echter nodig inpogingen om de algemene relatieviteit (spelen met metrieken) te verzoenen metkwantumtheorie. Volgens de kwantummechanica kan je niet tegelijk plaats enimpuls van een deeltje kennen, en aangezien een afstand een relatieve plaats vaneen deeltje ten opzichte van een ander is, komen we in problemen met metrieken.Op de kleinste schaal, de Planck-lengteschaal (van de orde 10−35 meter), isde metriek kwantummechanisch zodanig aan het fluctueren dat we niet meerkunnen werken met een ruimtelijke afstand. Er zijn nog wel gebeurtenissen tekatalogiseren, een lijst van interacties tussen deeltjes, die we als elementen ineen verzameling kunnen duwen, maar we hebben geen metriek om ruimtetijdafstanden tussen die gebeurtenissen te bepalen. Wat dan gezongen, wanneerruimte zelf ambigu wordt? Topologie.

3.5. KWANTUMGRAVITATIE HEEFT MÉÉR NODIG 51

Figuur 3.10: In “On white - II” (1923, olie op canvas) loopt Kandinsky voor ophet abstract expressionisme. De elementen van een schilderij (punten, lijnen,cirkels, halfcirkels, vlakken, driehoeken) worden niet langer via een metriek(vervormd) in relatie gebracht met een waarneming van de wereld rond ons,zoals bij de kubisten. Nee, de elementen worden eerst los samengegooid ineen verzameling. De appreciatie voor het werk komt niet door de elementenzelf, maar door de relaties tussen de elementen, de keuzes voor groepering indeelverzamelingen. Aan de toeschouwer om zijn of haar topologie te kiezen.

Hoofdstuk 4

Topologie: leven zonder lat

4.1 Definitie van topologieWe hebben gezien dat de open delen van een verzameling X een belangrijkerol spelen. In het bijzonder spelen de open bollen een belangrijke rol bijde classificatie van punten, en kunnen we de open bollen ook gebruiken ombegrippen als convergentie en continuïteit te veralgemenen. Maar hebben weecht wel een metriek of afstandsfunctie nodig om “open bollen” of “open delen”te kunnen definiëren? Nee! Hier valt een nieuw niveau van abstractie te rapen.We gaan te werk zoals we eerder hebben gedaan om relaties zoals ‘kleiner

dan’ en ‘afstand’ te veralgemenen. We kiezen een aantal eigenschappen vanopen delen die we essentiëel vinden en die niet afhangen van de metriek, en wegebruiken die om in het algemeen “open delen” te herdefiniëren. Op die manierbehouden we wat we reeds hadden in het geval dat er wel een metriek is, maarkunnen we het begrip ook gebruiken als er geen metriek is. De eigenschappenvoor open deelverzamelingen die we als essentieel gaan beschouwen zijn devolgende:

1. De volledige verzameling A en de lege verzameling zijn open.∅,

2. Eigenschap OU (oneindige unies van open delen zijn open), en ten slotte

3. Eigenschap ED (eindige doorsnedes van open delen zijn open)

Dat is een slimme keuze want in geen enkele van die eigenschappen hebben wede metriek vermeld!Hoe gaan we nu verder te werk? In plaats van de verzameling en

een metriek te specifiëren, (A, d), gaan we nu een verzameling en eentopologie specifiëren (A,T ). De “topologie” is een verzameling verzamelingen(vandaar het calligrafische lettertype), allemaal deelverzamelingen van A. Diedeelverzamelingen die element van T zijn gaan we promoveren tot de “opendelen”. De andere deelverzamelingen zijn dan niet open. We hebben met anderewoorden een selectie gemaakt, en zelf aangeduid uit de keuze van alle mogelijke

53

54 HOOFDSTUK 4. TOPOLOGIE: LEVEN ZONDER LAT

deelverzamelingen welke precies de “open delen” zijn. De selectie mag nietvolledig random zijn, het moet voldoen aan een aantal eisen, met name aande essentiële eigenschappen die we hierboven opgelijst hebben. Met anderewoorden:

Definitie: Beschouw een niet-lege verzameling A. Een topologie T is eenverzameling van deelverzamelingen van A die voldoet aan de volgende drieeigenschappen:

• De volledige verzameling en de lege verzameling behoren tot T ,

A ∈ T en ∅ ∈ T (T1)

• De unie van alle elementen van een willekeurige deelverzameling van Tbehoort ook tot T ,

∀B ⊂ T :

Ã [Ai∈B

Ai

!∈ T (T2)

(dit is hetzelfde als eisen dat een unie van een willekeurig aantal elementenvan T ook tot T behoort).

• De doorsnede van eender welke 2 elementen van T behoort ook tot T ,

∀B,C ∈ T : B ∩ C ∈ T (T3)

Eens we voor een verzamelingA een topologie T hebben gekozen, spreken we van(A, T ) als een topologische ruimte. Net zoals we voor eenzelfde verzameling veelverschillende metrieken konden kiezen, kunnen we voor eenzelfde verzamelinggewoonlijk veel verschillende topologiën kiezen. De topologie is de verzamelingvan alle open delen, en we kunnen die vrij definiëren, zolang onze keuze voldoetaan (T1)-(T3). Welke zijn dan de gesloten verzamelingen? Als we nog steedshet regeltje D◦ = A −

¡A−D

¢uit het vorig hoofdstuk willen gebruiken, dan

zijn we gediend met de volgende definitie: de gesloten verzamelingen zijn alleverzameling waarvan het complement open is. Met andere woorden, als (A, T )een topologische ruimte is, dan geldt:

een deel D ⊂ A is open ⇔ D ∈ T ,een deel D ⊂ A is gesloten ⇔ A−D ∈ T . (4.1)

Voorbeeld: BeschouwA = {a, b, c} (4.2)

We kunnenT1 = {∅, {a, b, c}, {a}, {b, c}} (4.3)

kiezen. Even checken: ∅ en A zelf zitten in T1. Prima. Als ik de unie van eenderwelk aantal van de elementen neem, zit dat opnieuw in T1. Bijvoorbeeld {a} ∪

4.1. DEFINITIE VAN TOPOLOGIE 55

{b, c} = A zit in T . En als ik de doorsnede van eender welke 2 elementen neem,zit dat ook in T . Bijvoorbeeld {a}∩{b, c} = ∅ zit in T1. Dus is T1 inderdaad eentopologie. Niet alle keuzes zijn goed, bijvoorbeeld G = {∅, {a, b, c}, {a}, {b}} isgéén topologie want de unie van {a} en {b} is geen element van G. In detopologische ruimte (A, T1) kan ik voortaan de vier elementen van T1 als “opendelen van A” aanspreken, en zijn alle andere deelverzamelingen van A (zoals{a, b}) niet open. Ze hoeven daarom nog niet gesloten te zijn: in dit specialegeval T1 zijn toevallig alle open delen tegelijk ook gesloten! Zie je waarom?

Natuurlijk is T1 niet de enige mogelijke keuze. Ook

T2 = {∅, {a}, {a, b}, {a, b, c}} (4.4)

is prima. In (A, T2) zijn de gesloten delen {{a, b, c}, {b, c}, {c},∅}. Er zijn eenpaar keuzes die altijd werken: de triviale topologie, met enkel ∅ en A zelf — inons voorbeeld

T0 = {∅, {a, b, c}} (4.5)

en de discrete topologie, de verzameling van alle mogelijke deelverzamelingenvan A, die we in het verleden 2A genoemd hebben,

Tmax = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} (4.6)

Dat zijn echter nogal flauwe keuzes. De triviale bevat zo min mogelijk elementen,de discrete noemt alles wat er is een open deelverzameling. We kunnen wel eensoort hiërarchie ontwaren.

Fijnere en grovere topologien — Merk op dat we de topologiën partiëelkunnen ordenen: we zeggen dat een topologie TA groffer (of kleiner) is dan TBals TA ⊂ TB . We zeggen dan ook dat TB fijner (of groter) is dan TA. Aangezienin onze voorbeelden T0 ⊂ T1 ⊂ Tmax is T1 fijner dan de triviale topologie engrover dan de discrete topologie. Maar T1 en T2 zijn niet vergelijkbaar (wantnoch T1 ⊂ T2, noch T2 ⊂ T1 is waar). Daarom is de ordening slechts partiëel.

Metriseerbare ruimten — Als we over een metriek beschikken d, dankunnen we daarmee steeds een topologie Td construeren. We kunnen aande hand van die metriek nagaan of een deelverzameling D open is, volgensdie metriek. Dat hebben we in het vorige hoofdstuk gedaan. Nu kunnenwe de lijst opstellen van alle open delen volgens de metriek d, en die in Tdsteken. Zo construeren we de topologie geïnduceerd door een gegeven metriek.Andersom is moeilijker: gegeven een topologische ruimte (A,Td) een metriekd vinden die precies die topologie oplevert is niet altijd mogelijk! Je kan duswel uit elke metriek een topologie brouwen, maar je kan niet uit elke topologieeen metriek distilleren. Wanneer dat (in principe) wel kan, noemen we deruimte metriseerbaar — en er zijn allerlei metriseerbaarheidsstellingen die aanwiskundigen vertellen wat de voorwaarden zijn opdat een ruimte metriseerbaaris. Equivalente metrieken zijn metrieken die dezelfde open delen hebben (dusdezelfde topologie induceren). X


Figuur 4.1: Hetzelfde als figuur 3.4, maar nu met omgevingen van een punt (enmatrioshkas) in plaats van open bollen rondom een punt.

4.2 Taxonomie van punten

4.2.1 Open omgevingen

Wat we met open bollen kunnen definiëren, kunnen we ook met openverzamelingen definiëren! Dat geldt in het bijzonder voor de soorten puntendie we hadden. Beschouw een topologische ruimte (A, T ). Beschouw eendeelverzameling D ⊂ A, net zoals die in figuur 3.4. We kunnen nu in plaats vanmet open bollen, werken met al de open verzamelingen die we opgelijst hebbenin T , en deze gebruiken, bijvoorbeeld zoals in figuur 4.1 waar de open bollenvervangen zijn door willekeurige open delen die het punt bevatten. We noemeneen open deel G ∈ T dat het punt a bevat, a ∈ G, een open omgeving van a. Erzijn gewoonlijk heel veel mogelijke omgevingen G1, G2, G3 , ... — ze gaan de rolvan open bollen overnemen wanneer we geen metriek voorhanden hebben. Netzoals we een sequentie van kleinere en kleinere bolstralen hebben, kunnen we nueen sequentie ... ⊂ G3 ⊂ G2 ⊂ G1 bekijken van omgevingen die in elkaar passenen steeds kleiner worden. Hoe fijner de topologie, hoe meer omgevingen en hoefijner we de mazen van het net rond een punt kunnen sluiten. Voila, inzoomenop een punt, zonder meetlat.Even terug de speciale punten op een rijtje zetten. Stel dat D ⊂ A een

deelverzameling is, zoals in de figuur 3.4, en x ∈ A is een punt waarvan we derelatie tot D willen bepalen. In een metrische ruimte (A, d) hebben we openbollen

In een metrische ruimte (A, d) geldt:x is inwendig punt van D ⇔ ∃r > 0 : B(x, r) ⊂ Dx is afsluitingspunt van D⇔ ∀r > 0 : B(x, r) ∩D 6= ∅x is ophopingspunt van D⇔ ∀r > 0 : B(x, r) ∩ (D − {x}) 6= ∅

Verder hebben we de afsluitingspunten die geen ophopingspunten zijn,geïsoleerde punten genoemd. In een topologische ruimte gaan we bollen

4.3. BASIS VAN EEN TOPOLOGIE 57

vervangen door open omgevingen Gx van x. Om de notatie netjes te houden,gaan we eerst de omgevingen van x bijeen zetten in een nieuwe verzameling vanverzamelingen. We definiëren de open omgevingenverzameling Gx via

Gx := {G|G ∈ T en x ∈ G} (4.7)

Het is duidelijk dat Gx ⊂ T . We hebben alle elementen van T geselecteerd dieook x bevatten. Nu hebben we het equivalent van de open bollen rond een punt,en kunnen we de definities veralgemenen:

In een topologische ruimte (A, T ) geldt:x is inwendig punt van D⇔ ∃G ∈ Gx : G ⊂ Dx is afsluitingspunt van D⇔ ∀G ∈ Gx : G ∩D 6= ∅x is ophopingspunt van D ⇔ ∀G ∈ Gx : G ∩ (D − {x}) 6= ∅

(4.8)

Opnieuw gaan we de afsluitingspunten die geen ophopingspunten zijn,geïsoleerde punten noemen.

4.2.2 Convergentie en limieten

Nu kunnen we op de meest abstracte manier limieten invoeren. Al wat we nodighebben is een verzameling A en een keuze T voor de lijst van alle open delen.Nu kunnen we kijken naar rijtjes (xn)n van punten xn ∈ A uit die verzameling.Wanneer convergeert de rij? Vervang opnieuw de open bollen door omgevingen:

(xn) → x

⇔ ∀G ∈ Gx : ∃n0 : ∀n > n0 : xn ∈ G (4.9)

Nu hebben we zelfs geen afstandsmaat nodig.Door de veralgemening kunnen er soms tegen-intuïtieve zaken gebeuren...

Zo kunnen rijen naar meerdere verschillende punten convergeren! Een extreemvoorbeeld treedt op voor de triviale topologie T0 = {∅, A}. Elk punt heeftslechts 1 open omgeving, namelijk A zelf. In symbolen geschreven is dit ∀x ∈ A :Gx = {A}. Maar daarmee is de voorwaarde voor convergentie altijd voldaan:elke rij convergeert, en convergeert naar elk punt.

4.3 Basis van een topologie,of de speciale rol van open bollen

Het is vaak moeilijk om al de open verzamelingen op te lijsten, zelfs in eenvertrouwd geval. Neem als voorbeeld R met de euclidische metriek dE(x, x0) =|x − x0|. Dit is een metrische ruimte, maar we kunnen het ook als eenmetriseerbare topologische ruimte bekijken als we de topologie TdE opstellendie door deze metriek wordt geïnduceerd. Wat zijn de open delen die in (R,TdE)zitten? Gedwongen om snel te antwoorden zou je misschien denken dat het alleopen lijnstukken zijn. Maar nee, er zit veel meer in TdE dan de open lijnstukken


Figuur 4.2: Een opvulling is een overdekking die niet buiten de lijntjes kleurt,en ’t lijntje zelfs niet aanraakt (voor een opvulling van een open verzamelingmet open bollen). Je wordt soms gedwongen om kleinere en kleinere bollen tegebruiken om alles in te kleuren.

alleen. Bijvoorbeeld, de unie ]0, 1[∪]4, 5[ is ook open. Nochtans spelen openlijnstukken een speciale rol, dat voel je wel aan: de open delen in (R,TdE) kanje construeren uit combinaties van open lijnstukken.Ook de open bollen lijken een speciale rol te spelen binnen de verzameling

van alle open delen. Kijken we naar het vlak, met de topologie geïnduceerddoor de Cartesische metriek,

¡R2,TdC

¢, dan is het duidelijk dat er ontzachlijk

veel meer open verzamelingen zijn dan dat er open bollen zijn. Toch kunnen wemet de open bollen alle open verzamelingen construeren door unies te nemen.Bijvoorbeeld, een driehoek waarvan de rand niet meetelt (een open driehoek)kunnen we helemaal opvullen met open bollen (steeds kleinere en kleinere omalle gaatjes te pluggen) zoals in figuur (4.2). We hebben voor de meeste definitieseigenlijk niet álle open delen nodig, alleen die open bollen die een speciale rolspelen. Om dat wat te benadrukken, definiëren we een basis van een topologie.

Definitie: In een topologische ruimte (A, T ) is een verzameling vanopen deelverzamelingen B ⊂ T een basis enkel en alleen als elk opendeel G ∈ T te schrijven is als een unie van elementen Bj ∈ B.

We zien dat dit soms een oneindige unie is. Bijvoorbeeld: de open lijnstukkenvormen een basis voor (R,TdE). En in het algemeen: als je een metriek d hebt,dan vormen de open bollen die je met deze metriek maakt een basis voor Td.Kan je inzien (of bewijzen) dat onze definities van speciale punten ook geldt

als we voor de omgeving enkel basiselementen gebruiken, dus als we Gx :={B|B ∈ B en x ∈ G} hadden gebruikt in plaats van de uitdrukking (4.7) ? Datde definitie van inwendig punt ook klopt als we basiselementen gebruiken, isniet moeilijk om te zien als je beseft dat elke G ∈ T minstens één basiselementmoet bevatten. Dit heeft ook tot gevolg dat:

Eigenschap: Voor elk punt p ∈ G dat behoort tot een open deelG ∈ T is er een basiselement B ∈ B zodat p ∈ B ⊂ G.

4.4. CONTINUÏTEIT VAN FUNCTIES 59

Hiermee is de cirkel naar de metrieken rond, en hebben we terug dat opendelen worden gelinkt aan open bollen. Er zijn meerdere basissen mogelijk voordezelfde topologische ruimte: de verzameling van alle open rechthoekjes in hetR2 vlak is ook een basis voor

¡R2,TdC

¢.

4.4 Continuïteit van functiesNu we open bollen veralgemeend hebben naar omgevingen om de soorten puntenen convergentie te kunnen definiëren zonder meetlat, rest er ons nog continuïteitvan functies om te veralgemenen — een voornaam einddoel van deze cursus.Daarom, eerst even alles op een rijtje zetten.In het algemeen kunnen we functies beschouwen van een topologische ruimte

(A1, T1) naar een andere topologische ruimte (A2, T2):

f : (A1, T1)→(A2, T2) (4.10)

Zo’n functie, herinner u, is een relatie, dus een deelverzameling uit A1 ×A2, ofeen verzameling geordende koppels (a1, a2) waarbij het eerste element uit A1geplukt wordt en het tweede uit A2. Om een functie te zijn mag bovendienhet eerste punt in een koppel maar éénmaal voorkomen in de lijst koppels. Als(a1, a2) ∈ f , dan noteren we dat ook als f(a1) = a2. Analoog kunnen we hetbeeld van een deelverzameling D ⊂ A1 definiëren als

f(D) = {f(a1)|a1 ∈ D} (4.11)

definiëren als de verzameling beeldpunten die we bekomen wanneer f inwerktop alle elementen in D. Voor zo’n beeld geldt natuurlijk f(D) ⊂ A2. Ten slottehebben we ook het pre-beeld van een deelverzameling B ⊂ A2 gedefinieerd als

f−1(B) = {a1 ∈ A|f(a1) ∈ B} (4.12)

als de verzameling punten waarvan het beeld f(a1) in B valt. Hiervoor geldtnatuurlijk f−1(B) ⊂ A1. Voor al dit moois hebben we geen metriek nodig, enkelde verzamelingen en een functie zoals in figuur (4.3).

Laten we eerst teruggrijpen naar de laatste definitie van continuïteit die webereikt hebben in het vorige hoofdstuk, steunend op metrieken. Definitie (3.29)kwam er op neer dat er in het pre-beeld van elke open bol rond f(a) terug eenopen bol ingepast kan worden:

f : (A, d)→ (A, d) is continu in het punt a ∈ A ⇔∀ε > 0 : ∃δ > 0 : B(a, δ) ⊂ f−1 [B(f(a), ε)] .

(4.13)

Nu zoeken we een nieuwe definitie, in de context van topologische ruimten, dienog steeds compatibel is met bovenstaand voorschrift. Immers, in het geval detopologische ruimte metriseerbaar is willen we geen twee elkaar tegensprekende


Figuur 4.3: Illustratie van een functie, een beeld f(D) en een pre-beeld f−1(B).

definities van continuïteit. Eerst bekijken we continuïteit in een punt a1 ∈ A1,dat wordt afgebeeld op a2 = f(a1) ∈ A2. Voor het punt a1 kunnen we deverzameling open omgevingen G(1)a1 opstellen in (A1, T1). En ook voor het punta2 = f(a2) kunnen we de verzameling open omgevingen G(2)a2 opstellen. Dangeldt:

f : (A1,T1)→(A2,T2) is continu in het punt a1 ∈ A1 ⇔∀G2 ∈ G(2)f(a1)

: ∃G1 ∈ G(1)a1 : G1 ⊂ f−1 (G2) .(4.14)

Een functie is continu in a1, als het pre-beeld van eender welke open omgevingvan a2 = f(a1) een open omgeving van a1 bevat. Vervang in deze zin openomgeving door open bol en je hebt de voorgaande definitie. Wanneer je inplaats van de verzameling van alle open enkel de open omgevingen die basissenzijn gebruikt (net zoals in de vorige sectie), dan zie je de overeenkomst nogbeter.

Wanneer is een functie overal continu ? Als het in elk punt a1 ∈ A1 continuis. Maar dan moet gelden dat het pre-beeld van elke open verzameling (uit T2) inelk punt een open omgeving (uit T1) bevat — met andere woorden: het pre-beeldvan elke open verzameling (uit T2) bestaat enkel uit inwendige punten. Of nog:het pre-beeld van elke open verzameling (uit T2) is een open verzameling (uitT1). Gaat het je duizelen, dan is de wiskundige notatie een rots in de branding:

f : (A1, T1)→(A2, T2) is overal continu ⇔G2 ∈ T2 ⇒ f−1 (G2) ∈ T1

(4.15)

Dit is een heel compact en krachtig voorschrift! Een functie is continu enkelen alleen indien de pre-beelden van open delen uit (A2, T2) ook open delen van(A1, T1) zijn.

Laat me benadrukken hoe straf dat wel is: we hebben het begrip continuïteit,dat je kent van reële functies, ontdaan van elk reëel getal en van elke notie van

4.5. TOPOLOGISCHE EQUIVALENTIE 61

Figuur 4.4: Van koffiekop tot torus (gekend als doughnut in de volkstaal) viaeen continue vervorming.

afstand. Het is herleid tot zijn essentie. Al wat we nodig hebben zijn eenbeeldverzameling en een lijst open delen ervan, en een domein-verzameling eneen lijst open delen ervan. De lijsten open delen moeten aan wat voorwaardenvoldoen, namelijk (T1),(T2),(T3) om een topologie te vormen.

Dit laat ons toe om continuïteit van functies na te gaan op heel exotischeverzamelingen, de verzameling van alle gebeurtenissen bijvoorbeeld, zonder datwe die in een metrische ruimte-tijd moeten plaatsen. Het kan zijn dat demetriek tevoorschijn komt uit de topologie, maar dat hoeft niet. Een van demogelijke richtingen om kwantumgraviteit te ontwikkelen bestaat er in om dewerkelijkheid te beschrijven als een interferentie tussen alle mogelijke topologiënop de verzameling van gebeurtenissen — een gewogen gemiddelde, met hetgewicht zodanig dat de klassieke ruimtetijd eruit emergeert op grote schaal.

4.5 Topologische equivalentie

In de kinderboekskes over topologie kom je vaak prenten zoals figuur (4.4)tegen, waarbij gezegd wordt dat je de koffiekop continu kan vervormen toteen doughnut zonder dat je de boetseerklei moet openbreken of scheuren ofsamensmelten. Dan zijn de koffiekop en de doughnut ‘topologisch equivalent’.Ondertussen hebben we topologie gedefinieerd met al die open verzamelingen,maar in deze subsectie gaan we dit verhaal tussen aanknopen met die prent uitje kindertijd.Tussen eender welke twee topologische ruimtes (A1, T1) en (A2, T2) zijn er

een gigantisch aantal functies mogelijk. Je zou dan denken dat er ook altijdwel continue, bijectieve functies tussen zitten. Maar dat is niet waar! Er zijngevallen waarbij er geen enkele continue, bijectieve functie mogelijk is!Opdat de functie bijectief zou zijn, moet er een één-op-één verband gelegd

worden tussen A1 en A2. Dat hebben we in het allereerste, inleidende hoofdstuk


Figuur 4.5: Allerlei cartografische projecties... er is altijd wel een discontinuïteit.

gebruikt om het kardinaalgetal te definiëren. Twee verzamelingen waartusseneen bijectieve functie mogelijk is, hebben hetzelfde kardinaalgetal. Maar eenshet kardinaalgetal aftelbaar of overaftelbaar oneindig is, is er weer niet veelonderscheid. Zo hebben [0, 1] × [0, 1] (de verzameling punten in een vlakvierkantje) en S2 (de verzameling punten op een sferisch oppervlak) dezelfdekardinaliteit: allebei bevatten ze overaftelbaar oneindig veel punten.Maar tussen R2 en S2 (voorzien van de gebruikelijke metriek) kan geen enkele

continue bijectie bedacht worden! Dit is het probleem van de cartograaf: je kangeen vlakke kaart van de aarde maken die geen discontinuïteiten bevat. Voorelke kaart is het zo dat er een continue wandeling op het aardoppervlak te vindenis, waarbij je op de kaart discontinu verspringt. Vaak is dat bij de zuidpool ofnoordpool: wandel je over de pool heen, dan verspringt je stipje op de kaart vande ene kant naar de andere. Ook de datumlijn is een probleem: vaar je rustigzonder sprongen over de datumlijn, dan verspring je discontinu van de ene kantvan de kaart naar de andere. Topologische ruimtes waartussen wél een continuebijectie gemaakt kan worden hebben een speciale band met elkaar:

Definitie: Twee topologische ruimten (A1, T1) en (A2, T2) zijnhomeomorf of topologisch equivalent als er een bijectie f :(A1, T1) → (A2, T2) kan gevonden worden zodat f en f−1 continuzijn. Deze continue bijectie noemen we een homeomorfisme.

4.6. TOPOLOGISCHE INVARIANTEN 63

Als f een bijectieve functie is, dan is ook f−1 een bijectieve functie, en we eisendan meteen de continuïteit in beide richtingen.

Nu jullie toch experts zijn in het abstraheren en veralgemenen, gaan weeven op metaniveau denken: het “homeomorf zijn” is zelf een relatie tussentopologische ruimtes. Wat soort relatie is dit?

• Een topologische ruimte is homeomorf met zichzelf — we kunnen deidentiteit beschouwen, de functie die elk element op zichzelf afbeeldt. Hetzal dan ook alle open delen op open delen afbeelden en vice versa, dus deidentiteit is steeds continue. “Homeomorf zijn” is reflexief.

• Als (A1, T1) homeomorf is met (A2, T2), dan wil dat zeggen dat er eencontinue bijectie f bestaat van (A1,T1) → (A2,T2). De inverse functief−1 is per definitie van homeomorfisme ook continu, dus wil dat zeggendat de relatie symmetrisch is en (A2, T2) ook homeomorf is met (A1, T1).

• Ten slotte, als (A1, T1) homeomorf is met (A2, T2) via een functie f1→2,en (A2, T2) is homeomorf met (A3,T3) via een functie f2→3, dan kan jesteeds de functie f1→3 = f2→3 ◦ f1→2 construeren. Dit is ook een bijectie,en aangezien het pre-beeld van een pre-beeld van een open deel nu ookopen is, is het continu. Dus... “homeomorf zijn” is transitief.

Hieruit besluiten we dat “homeomorf zijn” een equivalentierelatie is op de(meta)verzameling van alle mogelijke denkbare topologische ruimtes. Het zaldus deze metaverzameling opdelen of partitioneren in equivalentieklassen. Ditzijn de topologische equivalentieklassen. De koffiekop en al de vervormingentot doughnut, met de gebruikelijke metrische topologie, behoren tot dezelfdeequivalentieklasse. Dat is wat die simpele prent (4.4) beoogt te illustreren.

4.6 Topologische invarianten

We verlaten hier het pad dat we gevolgd hebben voor deze inleidende wandeling,en gaan niet dieper het bos in — net zoals we niet dieper in de zijsporen in hetbos van metrische ruimten gegaan zijn.

Maar, ter afsluiting kunnen we nog wel opmerken dat het wiskundigvakgebied topologie zich verder voornamelijk gaat bezighouden met hetbestuderen van topologische invarianten. Dit zijn kengetallen diebewaard worden onder homeomorfismen, en die dus kunnen gebruikt wordenom de equivalentieklassen aan te duiden. Een voorbeeld is het reedsaangehaalde aantal hendels of gaten, zoals voor de plasticine-vormen infiguur (4.4). Ook onderzoeken en klassificeren wiskundigen graagtopologischinvariante eigenschappen: dit zijn eigenschappen die bewaard blijven onderhomeomorfisme. Een viertal heel belangrijke voorbeelden zijn:


• Telbaarheid : Verzamelingen met een verschillende kardinaliteit (bvb.eindig, aftelbaar en overaftelbaar) kunnen nooit topologisch equivalentzijn. Maar “telbaarheid” werd ruimer onderzocht, en slaat ook opeigenschappen zoals: heb je met een aftelbaar aantal open basiselementengenoeg om de topologie te bouwen?

• Separabiliteit : Zijn er tussen elke twee willekeurige punten nog oneindigveel andere punten? In de taal van open delen wordt dit als volgtgeformuleerd: kan je voor elke twee willekeurige punten steeds een openverzameling vinden die het ene punt wel en het andere niet omvat?Dat is een voorbeeld van een type “separabiliteit” (“separeren” = vanelkaar scheiden). Separabiliteitseigenschappen worden ook behouden doortopologische equivalentie.

• Geconnecteerdheid : Een ruimte is geconnecteerd als het niet geschrevenkan worden als de unie van twee open delen die geen enkel elementgemeenschappelijk hebben (twee disjuncte open delen). Ook deze definitiekunnen we verfijnen en in specifiekere deelgevallen onderscheiden, net zoalsseparabiliteit.

• Compactheid : Als we een verzameling overdekken (helemaal overplakkenmet open delen zoals in figuur (4.2) rechts, zoals de posters tijdensverkiezingstijd de posters van een ander helemaal overdekken), dan kunnenwe uit zo’n overdekking steeds een eindig aantal open delen vindenwaarmee we genoeg hebben. Klinkt ingewikkeld, maar komt er intuïtiefop neer dat de ruimte op een bepaalde manier zowel begrensd als geslotenis. Ook compactheid wordt behouden onder topologische equivalentie.

Topologische invarianten, de behouden kengetallen, zijn ook van fysischbelang. Aangezien de (gebruikelijke) wetten van de dynamica de tijdsevolutieals iets continu zien, betekent dat ook deze topologische invarianten behoudenblijven naarmate de tijd doorloopt. De ruimte —of een ordeparameter zoalsdichtheid— kan nooit geen “gaten” ontwikkelen tenzij er iets abrupt, discontinugebeurt. Dat betekent dat sommige toestanden “topologisch beschermd zijn”,en niet zomaar op continue wijze kunnen vervallen. Een hot topic van hetmoment in de vaste stoffysica zijn topologische isolatoren. De stromen in zulkematerialen blijven behouden omdat ze topologisch beschermd zijn, geen enkelecontinue verandering van de parameters kan de stroom doen verdwijnen.

De bespreking van zulke effecten, en zelfs van topologische invarianten, valtver buiten het bestek van deze cursus. Wel heb je nu een voorproevertje gekregenvan de verschillende gerechten, en ben je gewapend met genoeg basiskennis omje drempelvrees voor verdere vakken hieromtrent te overwinnen. Ik hoop dat jede smaak te pakken hebt om verder theoretische fysica te verorberen.

Fundamenten van de Wiskunde - UAntwerpen · 2013. 7. 4. · Moderne wiskundigen zouden zeggen dat...

Documents

Transcript of Fundamenten van de Wiskunde - UAntwerpen · 2013. 7. 4. · Moderne wiskundigen zouden zeggen dat...