Empirische benadering

Met ruitjespapier

Jonge kinderen kunnen het probleem ontdekken door voorbeelden te zoeken.

Zelfs heel jonge kinderen zou je, met een set van kartonnen tegeltjes en staafjes, kunnen vragen rechthoeken te vinden waarvoor het aantal tegeltjes gelijk is aan het aantal staafjes.

Een systematischere uitwerking van een empirische benadering en een opstap naar een bewijs door een tabel van “oppervlakte – omtrek”.

lengte

breedte

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7

-4 -4 -4 -4 -4 -4 -4-3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

-5 -4 -3 -2 -1 0 1

-9 -4 1 6 11 16 21

-6 -4 -2 0 2 4 6-7 -4 -1 2 5 8 11

-8 -4 0 4 8 12 16

yy

1xx

Opp neemt toe met yOmtr neemt toe met 2Opp - Omtr neemt toe met y - 2

lengte

breedte

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7

-4 -4 -4 -4 -4 -4 -4-3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

-5 -4 -3 -2 -1 0 1

-9 -4 1 6 11 16 21

-6 -4 -2 0 2 4 6-7 -4 -1 2 5 8 11

-8 -4 0 4 8 12 16

De tabel

• Toont de 3 oplossingen

• Is rijk aan “patronen”

• Kan de basis zijn van een rigoureus bewijs dat het de enige oplossingen zijn

• suggereert dat xy sneller toeneemt dan 2x + 2y, en dus een fundamenteel principe van dimensionaliteit

Dus, jonge kinderen kunnen het probleem al exploreren, en

• gaandeweg meer systematisch exploreren, patronen ontdekken

• begrijpen hoe oppervlakte sneller groter wordt dan omtrek

• een begrip opbouwen van wat een bewijs is

Algebraische benaderingen

Iemand die een beetje algebra kent, zal misschien routinematig de vergelijking schrijven:

xy = 2x + 2y

Maar wat dan? De uitdrukking moet herschreven worden om de gehele oplossingen te vinden.

Twee stappen kunnen “routinematig” worden gezet.

Mogelijkheid 1.

Druk één variabele uit in functie van de andere:

y = 2x / (x-2) of nog y = 2 + 4/(x-2)

Iemand kan inzien dat dit de vergelijking van een hyperbool is. De oplossingen kunnen dan snel gevonden worden, en ook het bewijs...

Mogelijkheid 2.

“Breng alles naar de linkerkant” :

xy - 2x - 2y = 0

Maar wat dan? Hier zou je analoog aan het “vervolledigen van het kwadraat (vierkant)” kunnen denken aan

“vervolledigen van de rechthoek” :

xy - 2x - 2y + 4 = 4

Dat geeft via factoriseren:

(x - 2)(y - 2) = 4

Nu kan je redeneren dat, als x - 2 e, y - 2 getallen zijn (als x en y gehele getallen zijn) de enige oplossingen zijn: 1 x 4, 2 x 2, 4 x 1

Het resultaat is duidelijk…

xy = 2x + 2y

y = 2 + 4/(x - 2)

(x - 2)(y - 2) = 4

xy - 2x - 2y = 0

Er zijn oneindig veel manieren om

xy = 2x + 2y

te herschrijven

De truuk is om nuttige manieren te vinden

Bijvoorbeeld: Wat is het nut van het herschrijven als :

yx + xy = 4x + 4y

Als je flexibel denkt dat y in yx en x in xy coëfficiënten zijn in plaats van variabelen, dan wordt uit de vergelijking

yx + xy = 4x + 4y

duidelijk dat x en y niet tegelijk groter dan 4 kunnen zijn … en zo kan je gaan bewijzen

xy = 2x + 2y

= 41/x + 1/y

2Of nog ….

Het harmonisch gemiddelde van x en y is 4x en y allebei 4of ene >4 en andere <4 uittesten van alle gevallen

xy = 2x + 2y

1/x + 1/y = 1/2

Of ….

Als x = y, dan volgt uit xy = 2x + 2y onmiddellijk dat x = y = 4 de oplossing is.

Als x ≠ y veronderstel je – zonder verlies aan algemeenheid – dat y < x.

Uit xy = 2x + 2y en y < x volgt dan dat

xy < 2x + 2x en dus dat y < 4. Er blijven dan nog drie gevallen te onderzoeken, opnieuw dus een bewijs door uitputting.

Deze vorm van uitdrukking met stambreuken geeft aan dat

Ofwel 1/x en 1/y allebei = ¼

Ofwel is de ene > ¼ en de andere < ¼ .

Er zijn dan nog weinig mogelijkheden, die je allemaal kan testen.

1/x + 1/y = 1/2

xy = 2x + 2y

y = 2 + 4/(x - 2)

(x - 2)(y - 2) = 4

xy - 2x - 2y = 0

= 41/x + 1/y

2

yx + xy = 4x + 4y

Meetkundige oplossingen

Idee: deel een figuur op in driehoeken en vierkanten die evenveel bijdragen tot de omtrek en de oppervlakte van de gehele figuur.

2

2

2

2

22

2

2

x

y

En nu mijn persoonlijke favoriet

“dikke omtrek”

Opp. = G + WOmtr. = G + 4If Area = PerimeterW = 4

x

y (x - 2)(y - 2)

Uitbreidingen

• Naar ruimtefiguren (balken, …), met oppervlakte = volume

• Naar andere vlakke figuren: driehoeken, cirkels, veelhoeken

• 2yz + 2zx + 2xy = xyz

• te herschrijven met stambreuken1/x + 1/y + 1/z = 1/2

• Dan geldt ofwel x = y = z = 6, óf, zonder aan algemeenheid in te boeten, x < 6

Surface area =

volume

Opp. = Omtr.

= 24

10

8

6

Bewijs mogelijk – maar redelijk lastig – op basis van de formule van Heron

zyxyxzxzyzyx (4

1

Oppervlakte =

Uitbreiding naar andere vlakke figuren mogelijk, bijv. elke regelmatige veelhoek met straal ingeschreven cirkel = 2 heeft de eigenschap (maar, voorzover we konden nagaan, heeft geen enkele ervan gehele zijden). De cirkel met straal twee is dus een limietgeval!

Dimensionaliteit

xy ‘groeit’ sneller dan 2x + 2y

In het bijzonder, als x en y beide verdubbelen, dan neemt xy toe met factor 4, terwijl 2x + 2y slechts verdubbelt.

DimensiesInzicht dat bij lineaire vergroting oppervlakte kwadratisch toeneemt en volume met derde macht

In eindtermenBlijkbaar zeer moeilijk voor leerlingen

(onterecht lineair redeneren)Zeer moeie toepassingen/voorbeelden in

(fysica/biologie)

Dimensionaliteit en biologie/fysica-Haldane (1982) : “On being the right size”

Ieder dier heeft zijn optimale grootte

Groter of kleiner worden ook zijn vorm moet veranderen!

Grote vogels hebben relatief grotere vleugels, oude bomen dikkere stammen, kleine vogels eten gans de tijd, …

Studie met leraren-in-opleiding

Antwerpen (N = 8) Johan Deprez

Brussel (N = 6) Roger Van Nieuwenhuyze

Hasselt (N = 17) Michel Roelens

Leuven (N = 8) Dirk Janssens

Deel 1

Los het probleem op en probeer meerdere bewijzen te vinden

Deel 2

Bestudeer de vijf bewijzen, rangschik ze volgens ‘kwaliteit’ (niet gedefinieerd) en becommentarieer

Ontbinden

Tegels

Grafiek

Deelbaarheid(x - 2) deelt 2x

Uitputting 2x/(x - 2)

Plus ...

Volledig Partieel

1

3

5

5

1

3

6

Een “betere” student!

Xander Verbeke (Leuven) vond niet minder dan 5 bewijzen, allemaal helder en volledig beargumenteerd. Naast het bewijs met ontbinden, tegels en deelbaarheid, produceerde hij er nog twee “nieuwe”.

Xanders vierde bewijs

De vierkantsvergelijking z2 - cz + 2c = 0 heeft wortels x en y zo dat xy = 2c en x + y = c (en bijgevolg geldt dat xy en 2(x+y) gelijk zijn!)

Opdat x en y natuurlijke getallen zouden zijn, moet c2 - 8c een volkomen kwadraat zijn. Voor welke waarden van c is c2- 8c een volkomen kwadraat?

Xanders vijfde bewijs

Stel de zijden a en a + x en maak opnieuw een vierkantsvergelijking waarvan de discriminant een volkomen kwadraat moet zijn

(Multiplicatieve varianten zijn mogelijk door de zijden gelijk te stellen aan a en ax, of 2m.a en 2n.b met a en b oneven getallen…)

Beoordelen van bewijzen

De studenten rangschikten de bewijzen (ontbinden, tegels, stambreuken, grafiek, tabel) van best (1) naar slechtst (5).

Wat werd bedoeld met “best” en “slechtst” werd opengelaten.

B

ALH

Factor

Graph

Unitfractions

Tiles

TableTable5

4

3

2

1

0

Commentaren bij de bewijzen

• Voorkeur van vele studenten voor algebraïsche bewijzen (ontbinden en stambreuken)

“Het bewijs met de stambreuken en met ontbinden in factoren zijn de beste. Je hebt er geen tekening voor nodig”

“De tegels zijn minder duidelijk. Enkel om het voor te stellen, is dat wel handig, maar je bewijst het pas echt via ontbinding of met stambreuken”.

• Verwerping van empirie

(a)Lage beoordeling van het bewijs met de tabel (in sommige gevallen werd het zelfs als bewijs verworpen).

(b) Verwarring tussen een bewijs door uitputting en “trial and error”.

“Bewijzen met een tabel lukt hier omdat men slechts een beperkt aantal mogelijkheden moet bekijken. In het algemeen is echter ‘bewijzen door opsomming’ geen goede techniek. Eigenlijk is het geen ‘mooi’ bewijs”.

• Ambivalente reacties op het bewijs met tegels

“Bewijs met tegels : Dit is een beter bewijs, omdat het duidelijk is en er van start tot einde netjes wiskundig geredeneerd wordt. Toch mis ik enkele vergelijkingen” (Xander)“Dit is een heel mooi bewijs : snel, je hoeft er geen ‘echte’ wiskunde voor te kennen. Anderzijds: het is heel erg toegespitst op het concrete probleem. Het is ad hoc, niet onmiddellijk te veralgemenen naar andere problemen”

• Emotionele en esthetische reacties

“Nagaan met ‘trial and error’ welk getal wél en niet kan [werken] vind ik niet aangenaam. Het is wel een bewijs, maar ik hou er niet van”

“Het bewijs met ontbinden in factoren is heel eenvoudig, helder én mooi”

“Het bewijs met de tegels komt een beetje speels over”, “Het bewijs met de stambreuken is vergezocht”

• Bewijzen die logisch correct zijn versus bewijzen die “verhelderen”

“Het bewijs met de tegels is het meest visuele: je bent niet enkel overtuigd van de juistheid ervan, het hebt ook het gevoel te ‘zien’ waarom het zo is”