ELECTRICITEITSLEER Hoofdstuk 1: BASIS BEGRIPPEN EN DE WETTEN VAN MAXWELL IN DE VRIJE RUIMTE 1.1 Inleiding 1.2 Basis begrippen 1.3 De wetten van Maxwell in de vrije ruimte: algemeen 1.4 De wetten van Maxwell in de vrije ruimte: integraalvorm 1.5 De wetten van Maxwell in de vrije ruimte: differentiaalvorm 1.6 De wet van Gauss 1.7 (Div Je) en (div Jm ) 1.8 De krachtenwet van Lorentz 1.9 De wetten van Maxwell in integraalvorm, uitgaande van de differentiaalvorm Op blz 18 t/m 20 zijn de wetten van Maxwell in integraal- en in differentiaal vorm gegeven. 1.1 Inleiding 1.11 Om de verschijnselen die wij waarnemen te verklaren, worden

grootheden en verbanden tussen grootheden gedefinieerd. Zo zijn “massa” en “zwaartekracht” ingevoerd om het vallen van lichamen en het draaien van bijvoorbeeld de maan om de aarde te verklaren. (Later werd door Albert Einstein middels zijn relativiteitstheorie een andere verklaring gegeven)

In verband met verschijnselen die wij thans “elektromag-netisch” noemen te verklaren, werden in de loop van de tijd ondermeer de begrippen “elektrische lading”, “elektrische veldsterkte”, “elektrische potentiaal” en “magnetische veldsterkte” ingevoerd. De onderlinge verbanden werden in eerste instantie gegeven door losse wetten, zonder samenhang tussen de wetten op het gebied van elektriciteit en die op het gebied van magnetisme (en optica). Tot genoemde wetten behoren o.a. die van Coulomb, Gauss, Kirchhoff, Ampère, Biot en Savart.

1.12 Vanaf het begin van de 19e eeuw (de jaren 1800 en daarna)

werd door natuurkundigen het verband gelegd tussen magnetische en elektrische verschijnselen.

Zo merkte men dat gelijkstroom door een draad (mogelijk

gemaakt door “voltaische cellen” = batterijen) een magneetnaald kon doen draaien.

FTeW Electriciteitsleer ; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 01; docent o. spong blz 2 uit 19 ============================================================ Dus: een elektrisch verschijnsel (stroom door een draad)

wekte een magnetisch verschijnsel op (te zien door een bewegende magneetnaald).

Deze actie is echter eenzijdig: het op deze manier ontstane magneetveld geeft geen aanleiding tot een elektrisch veld.

Zie o.a. ook: http://en.wikipedia.org/wiki/Galvanic_cell . Ook ontdekte men dat een magneet die snel in een spoel

bewogen werd, een spanningsverschil aan de uiteinden van de spoel veroorzaakte (inductie). Dus: een magnetisch verschijnsel (magneet in een spoel) wekte een elektrisch verschijnsel op (spanningsverschil tussen de uiteinden van de spoel. Deze actie is echter wederzijds: men kon later aantonen dat een snel wisselend elektrisch veld op zijn beurt een magnetisch veld opwekt. Kennelijk moeten wisselende elektrische en magnetische velden gelijktijdig (simultaan) worden opgelost. Zie o.a. ook http://en.wikipedia.org/wiki/Electromagnetic_induction.

Ook werd aangetoond dat “licht” een elektromagnetisch

verschijnsel is. Baanbrekend werk op het gebied van elektromagnetisme werd

onder andere verricht door de Engelse fysicus James Clerk Maxwell met zijn publicaties rond 1864 en in 1873. In zijn publicatie van 1873 werden de “wetten van Maxwell” in differentiaal-vorm gegeven. De wederzijdse beïnvloeding van elektrische en magnetische verschijnselen kwam daaruit duidelijk naar voren. Zie verder paragraaf 1.3

1.13 Het vak Elektriciteitsleer is bedoeld om de student kennis

te laten maken met genoemde Wetten van Maxwell en een begin te maken met het daaruit afleiden van de meest bekende andere wetten zoals genoemd in paragraaf 1.11 en met het oplossen van de vergelijkingen van o.a. La Place en van Poisson.

Het behoort tot de basisvakken binnen de elektrotechniek.

De verkregen inzichten worden bij toegepaste vakken gebruikt.

Tot de wiskundige gereedschappen behoort vooral de

vectoranalyse, met de nadruk op het bepalen van de gradiënt van scalarvelden, de divergentie en de rotatie van vectorvelden en combinaties van deze bewerkingen.

FTeW Electriciteitsleer ; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 01; docent o. spong blz 3 uit 19 ============================================================ 1.14 De basiswetten van de natuurkunde zoals de wet van behoud

van massa en energie, van behoud van elektrische lading etc, worden als een gegeven beschouwd.

In dit dictaat wordt geen rekening gehouden met het feit

dat twee waarnemers die ten opzichte van elkaar bewegen, verschillende situaties waarnemen. Zo kan voor de ene waarnemer een deeltje stilstaan, terwijl de andere waarnemer het deeltje ziet bewegen.

1.15 Dit hoofdstuk begint met het behandelen van de basis begrippen, waarna de wetten van Maxwell worden besproken. Eerst in de vorm van integralen, daarna in de vorm van differentiaalvergelijkingen. 1.16 Zie o.a. ook: www.mathpages.com/rr/rrtoc.htm: paragraaf 2.2: Force Laws and Maxwell's Equations. In verband met algemene begrippen: zie o.a. http://nl.wikipedia.org/wiki/Elektrotechniek_van_A_tot_Z 1.17 Zie verder i.v.m. de geschiedenis van elektromagnetisme o.a.: History of electromagnetic theory http://en.wikipedia.org/wiki/History_of_electromagnetic_ theory A Brief History of Electromagnetism http://faculty.uml.edu/cbyrne/EMHIST.pdf A Brief Outline of the History of Electromagnetism http://www.vuse.vanderbilt.edu/~rap2/papers/em_history.pdf 1.18 In de literatuur worden de wetten van Maxwell niet op een eenduidige manier behandeld. Met name: - wordt soms het H- veld en soms het B-veld als belangrijkste magnetisch veld beschouwd; - worden de wetten soms in integraalvorm en soms in differentiaalvorm als uitgangspunt gekozen. Dit dictaat volgt het deel van genoemde literatuur waar het

H-veld en de wetten van Maxwell in integraalvorm als uitgangpunt worden genomen.

FTeW Electriciteitsleer ; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 01; docent o. spong blz 4 uit 19 ============================================================ 1.19 In verband met (tot nu toe nooit aangetoonde) magnetische monopolen, zie o.a. : http://en.wikipedia.org/wiki/Magnetic_monopole http://www.sciencedaily.com/releases/2009/09/090903163725.htm 1.2 Basis begrippen 1.21 Elektrische lading: elektronen Wij nemen aan dat materie naast massa ook elektrisch lading

kan hebben. Met name nemen we aan dat atomen bestaan uit een positief geladen kern met daaromheen negatief geladen elektronen. De eenheid van lading wordt de coulomb genoemd.

Bij een neutraal atoom is de negatieve lading van alle elektronen samen in getalwaarde gelijk aan de positieve lading van de kern (met daarin o.a. positief geladen protonen).

De kleinste hoeveelheid elektrische lading (voortaan

“lading” genoemd) (als quarks en enkele andere elementaire deeltjes buiten beschouwing worden gelaten), is die van het elektron. In het SI stelsel geldt dat deze lading e bij benadering de waarde heeft van ( – 1,6022 10-19) coulomb.

Alle andere hoeveelheden lading (quarks en en enkele

andere elementaire deeltjes buiten beschouwing gelaten), worden geacht te bestaan uit een veelvoud van deze elementaire lading.

Zie o.a. ook: http://en.wikipedia.org/wiki/Electron NOOT 1: In het SI-systeem wordt niet de coulomb maar de

ampère als basiseenheid gebruikt. NOOT 2: Naast elektronen bestaan ook positronen:

deeltjes met dezelfde massa als een elektron, maar met tegengestelde lading. Hierop wordt verder niet ingegaan.

1.22 Elektrische lading: Ionen Onder bepaalde omstandigheden kan een elektrisch neutraal

atoom een elektron verliezen of juist opnemen. In het eerste geval ontstaan een min of meer vrij bewegende negatieve lading (het elektron) en een positief geladen atoom . In het tweede geval is het atoom negatief geladen. Zowel positief als negatief geladen atomen worden “ionen” genoemd.

FTeW Electriciteitsleer ; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 01; docent o. spong blz 5 uit 19 ============================================================ In vaste stoffen zijn de atomen onder normale

omstandigheden gebonden. In gassen en vloeistoffen kunnen atomen (en dus ook positief geladen atomen = ionen) zich bewegen.

Zie o.a. ook: http://nl.wikipedia.org/wiki/Ion_(deeltje) 1.23 Convectie-, conductie- en polarisatiestromen Bij beweging van geladen deeltjes in de vrije ruimte spreken we van convectie stromen. Bij bewegen van elektronen in een vaste stof (een geleider, meestal een metaal ) spreken we van conductie stromen. Bij halfgeleiders spreken we van “gaten” en elektronen. Tijdens het proces van polarisatie (zie verder hoofdstuk 4) treden en polarisatiestromen op. 1.24 Elektrische en magnetische velden Om de verschijnselen die we m.b.t. geladen deeltjes

waarnemen te verklaren, wordt ondermeer aangenomen dat er velden zijn die krachten op de geladen deeltjes uitoefenen. Met name onderscheiden we het elektrisch veld E en het magnetisch veld H. Omgekeerd nemen we aan dat elektrisch geladen deeltjes zowel elektrische als magnetische velden kunnen opwekken.

Voor een met snelheid v bewegende elektrische lading q geldt de krachtenwet van Lorentz: Fq = q[ E + μ0 v x H ] Fq is de kracht die op de lading q wordt uitgeoefend. μ0 is een natuurconstante (4π 10-7 ) NOOT 1: In de literatuur wordt vaak niet het veld H, maar het veld B de “magnetische veldsterkte” genoemd. Zonder magnetiseerbare media, zijn H en B verbonden door de relatie B = μ0 H , met μ0 een natuurconstante (met de dimensie Henry/meter).

FTeW Electriciteitsleer ; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 01; docent o. spong blz 6 uit 19 ============================================================ Alhoewel H en B niet dezelfde dimensie hebben, maakt het zonder magnetiseerbare media wiskundig bezien niet uit welk veld gekozen wordt. Zijn er WEL magnetiseerbare media, dan geldt: B = μ0 [H + M ], met M het magnetisatie- vectorveld. In dat geval is er een duidelijk verschil tussen B en H, maar ook dan hangt het resultaat van berekeningen niet af van de keuze van B of H als de magnetische veldsterkte. Dit dictaat volgt de literatuur waar het vectorveld H de magnetische veldsterkte wordt genoemd en het veld B de magnetische fluxdichtheid (vroeger: de magnetische inductie). Zie ook: http://nl.wikipedia.org/wiki/Magnetische_fluxdichtheid NOOT 2: Omdat de ladingdrager ook massa heeft, ondervindt het deeltje ook een kracht vanwege het zwaarte- krachtsveld. Hierop wordt in dit dictaat, behalve bij sommige voorbeelden, niet ingegaan. 1.25 Ruimtelading en ruimteladingsdichtheid Indien er in een ruimtelijk gebied vrije elektronen dan wel

vrije ionen zijn, dan ontstaat daar een netto lading (indien deze ladingen elkaar niet opheffen).

In verband met netto elektrische ladingen (elektrische

mono-polen) wordt ondermeer de ruimteladingsdichtheid ρVol,el(r) in coulomb/m3 ingevoerd.

Dit scalarveld krijgen we door om het meetpunt een volume-

elementje Δvol te kiezen met daarin de lading Δq . Dan geldt: ρVol,el = (Δq/ Δvol) in de limiet (Δvol -> 0).

De toevoeging “el” slaat op elektrisch. Later zullen we deze toevoeging weglaten. Van ρVol,el(r) zijn twee benaderingen afgeleid, met name:

FTeW Electriciteitsleer ; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 01; docent o. spong blz 7 uit 19 ============================================================ - de oppervlakteladingsdichtheid ρarea,el bij zeer dunne lagen, in coulomb/m2; de dikte van de laag wordt daarbij constant en verwaarloosbaar klein geacht; - de ladingsdichtheid ρline,el per lengte eenheid, in coulomb/m bij zeer dunne draden; de doorsnede van de draad wordt daarbij constant en verwaarloosbaar klein geacht. Soortgelijke scalar velden kunnen in principe ook worden

ingevoerd bij magnetische monopolen, maar deze zijn tot heden niet aangetoond.

Het is daarom gebruikelijk om bij “ladingen” alleen aan elektrische ladingen te denken en de toevoeging “el” weg te laten. Bij het invoeren van de wetten van Maxwell wordt in eerste instantie echter WEL rekening gehouden met magnetische ladingen (monopolen).

NOOT: Indien er in een deel van de ruimte gemiddeld N ladingsdragers per volume-eenheid zijn, elk met de lading q, dan geldt uiteraard: ρVol,el = (N q)) 1.26 Stromende ladingen: stroomdichtheidsvector J(r) en

stroomsterkte I 1.261 Algemeen Indien er vrije ladingsdragers (ladingen) zijn en deze zich

bewegen, dan voeren we twee grootheden in, met name de stroomdichtheidsvector J(r) en de stroomsterkte I of i (scalar).

Daarbij geldt: |J(r)| is de hoeveelheid lading in coulomb

per oppervlakte-eenheid en per tijdseenheid die een oppervlak loodrecht op de stroomrichting passeert. De dimensie is dus [coulomb/(sec m2)]

De stroomsterkte I wordt in paragraaf 1.263 nader bekeken. Indien de beweging in een geleider is, dan werken we als

regel met de stroomsterkte I. Is de beweging niet in een geleider dan zal als regel

gewerkt worden met J(r).

FTeW Electriciteitsleer ; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 01; docent o. spong blz 8 uit 19 ============================================================ 1.262 Stroomdichtheidsvector J(r) Indien we in het meetpunt de ladingsdichtheid ρVol,el(r) (in

coulomb/m3) hebben en de ladingen zich daar met de gemiddelde snelheid v(r) (vector) verplaatsen, dan vinden we |J(r)| door na te gaan hoeveel lading zich per seconde en per eenheid van oppervlak verplaatst door een vlak loodrecht op v(r).

Als ρVol,el(r) positief is, dan heeft J(r)de richting van

v(r) en in het andere geval de tegengestelde richting. Om |J(r)| te berekenen gaan we uit van een oppervlakte

elementje ΔA om het meetpunt in een vlak loodrecht op v(r). Per seconde gaat Δq coulomb door ΔA met

|Δq| = (|v(r)| ΔA )|ρVol,el| coulomb . Ga dat na ! Per oppervlakte eenheid passeert dus per seconde de lading:

|v(r)||ρVol,el|. Daaruit volgt: |J(r)| = |v(r)| |ρVol,el| [coulomb/(sec m2)] en ============================================ Stroomdichtheidsvector J(r) : J(r) = (ρVol,el) v(r) [coulomb/(sec m2) ] ============================================ Als (ρVol,el) negatief is, dan moeten we een negatief getal

invullen, zodat J(r) en v(r) dan tegengesteld gericht zijn.

Zijn er in het meetpunt meerdere onafhankelijke deeltjes

stromen, dan vinden we Jtot(r) door betreffende vectoren op te tellen. Een bijzonder geval krijgen we bij deeltjes met een positieve lading respectievelijk met een negatieve lading, elk met hun eigen ladingsdichtheid en gemiddelde snelheid.

We kunnen dan schrijven : Jtot(r) = (ρVol,el)+ v+(r) + (ρVol,el)- v-(r)

FTeW Electriciteitsleer ; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 01; docent o. spong blz 9 uit 19 ============================================================ NOOT : Bedenk dat een negatief geladen deeltje met snelheid v-(r)

wiskundig bezien gelijk is aan een positief geladen deeltje met tegengesteld gerichte snelheid.

1.263 Elektrische stroom I In geleiders en half-geleiders is de werklijn van de

verplaatsing van de lading vastgelegd door het materiaal waarin de lading stroomt en kunnen we alleen over “positieve” en “negatieve” richtingen spreken. Denk bijv. aan een stroomvoerende draad.

In dat geval is niet de lading per oppervlakte-eenheid,

maar de totale lading die per seconde door een dwars-doorsnede ΔA van de geleider stroomt, van belang. Deze hoeveelheid wordt de stroomsterkte I (een scalar) genoemd. De eenheid is [coulomb/sec], de Ampère.

Indien we toch over J(r) binnen een geleider spreken, dan geldt:

I = J(r).da , over het oppervlak A waardoor J(r) A stroomt, waarbij I, da en J dezelfde oriëntatie hebben, opgelegd door de geleider. Merk op dat J(r) een vector en I een scalar is. NOOT: In het SI-stelsel wordt niet de coulomb, maar de ampère als de basiseenheid gekozen in verband met elektrische ladingen !

1.3 De wetten van Maxwell in de vrije ruimte: algemeen 1.31 In de periode vanaf ca 1800 waren binnen de natuurkunde diverse wetten omtrent elektriciteitsleer en magnetisme bekend, maar zonder onderlinge samenhang. Dat kwam omdat tot die tijd vooral statische situaties

werden bekeken. Later zal blijken dat onder statische omstandigheden het elektrisch veld E en het magnetisch veld H onafhankelijk zijn van elkaar. Toen men stationaire en dynamische situaties (bijv. de constante dan wel de

FTeW Electriciteitsleer ; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 01; docent o. spong blz 10 uit 19 ============================================================

wisselende stroom in een draad) , ging beschouwen, kwam de wederzijdse wisselwerking aan het licht : een in de tijd veranderend elektrisch veld wekt een magnetisch veld op en omgekeerd.

Zie o.a. http://en.wikipedia.org/wiki/Michael_Faraday 1.32 Alhoewel het verband tussen elektrische en magnetische

verschijnselen niet door één persoon werd ontdekt, wordt in dit verband toch vooral de Schotse natuurkundige James Clerk Maxwell genoemd.

Zie o.a. http://en.wikipedia.org/wiki/James_Clerk_Maxwell Na zijn publicatie in 1864 (of 1865) van “a dynamical

theory of the electromagnetic field”, publiceerde MAXWELL in 1973 zijn boek “a treatise on electricity & magnetism” .

Vooral dit laatste boek wordt beschouwd als de basis van

de moderne inzichten in en het behandelen van elektrische en magnetische verschijnselen. Nog steeds worden voor het inzichtelijk maken van deze verschijnselen de “wetten van Maxwell” gebruikt. Uit deze wetten kunnen alle andere wetten die rond 1873 op het gebied van elektriciteit en magnetisme bekend waren, worden afgeleid. Dit laatste is natuurlijk niet verwonderlijk, omdat Maxwell bij het formuleren van zijn wetten de reeds bestaande wetten als uitgangspunt gebruikte.

Maxwell gaf zijn wetten in differentiaal vorm. Daaruit zijn

de wetten in integraalvorm af te leiden. Dit dictaat volgt echter het deel van de literatuur waarbij eerst begonnen wordt met genoemde wetten in integraalvorm, waarna de differentiaalvormen daaruit worden afgeleid.

1.32 Onder “vrije ruimte” wordt in het kader van dit dictaat

verstaan: ruimte zonder polariseerbare of magnetiseerbare materie. Later zullen we zien dat de invloed van polarisa-tie beschreven wordt middels het vectorveld P en die van magnetisatie middels het vectorveld M. In dit hoofdstuk gaan we er van uit dat deze beide vectoren nul zijn.

1.4 De wetten van Maxwell in de vrije ruimte: integraalvorm. 1.41 Gebruikmakend van de thans gangbare vectornotaties, worden

de wetten van Maxwell in de “vrije ruimte” in integraalvorm geformuleerd zoals op blz. 18 en 19 is gegeven.

FTeW Electriciteitsleer ; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 01; docent o. spong blz 11 uit 19 ============================================================ De omloopzin langs de gesloten randkromme S en de richting

van de normaalvector da op het door S opgespannen oppervlak, passen bij elkaar volgens de kurkentrekkerregel.

1.42 Merk op dat steeds de circulatie van een veld (E of H)

wordt gekoppeld aan de flux door het oppervlak dat door de randkromme wordt opgespannen, van een ander veld of twee andere velden.

1.43 In dit dictaat worden de vergelijkingen in integraalvorm

als een gegeven beschouwd. De volgende paragraaf geeft aan hoe daaruit de wetten van Maxwell in differentiaal vorm worden afgeleid. In sommige teksten wordt juist begonnen met de genoemde wetten in differentiaalvorm. Deze manier wordt in paragraaf 1.9 gevolgd.

Zowel de integraalvorm als de differentiaalvorm worden in

de volgende hoofdstukken gebruikt om wetten uit de elektriciteitsleer af te leiden en te behandelen.

1.44 Zoals al gesteld is, zijn magnetische monopolen (nog) niet

aangetoond, hoewel ze theoretisch wel kunnen bestaan. Indien er geen magnetische monopolen zijn, worden alle magnetische verschijnselen veroorzaakt door bewegende elektrische ladingen, waaronder die op atomaire schaal, zoals het “spinnen” van elektronen.

1.45 Alhoewel er nog geen magnetische monopolen zijn aangetoond,

zijn deze in theorie wel mogelijk. In de literatuur wordt

daarom soms de term [- Jm.da ]toegevoegd bij de relatie Ia (op de aparte bladzijde). Het minteken is nodig om voor de div H te verkrijgen: (ρVol,mag / μ0)

1.46 De wetten van Maxwell in integraal vorm moeten in feite nog

worden aangevuld met de wet van behoud van elektrische lading. Zie ook paragraaf 1.54 en paragraaf 1.9.

1.5 De wetten van Maxwell in de vrije ruimte:differen- tiaalvorm 1.51 Zie de bladzijden 18 en 19 met de wetten van Maxwell in integraalvorm.

FTeW Electriciteitsleer ; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 01; docent o. spong blz 12 uit 19 ============================================================ Door bij Ia de stelling van Stokes (basis variant) toe te passen op de lijnintegraal over lus S, vinden we:

[ (rot E).da ] = [- Jm.da ] - [dt μ0 H.da] A A A Iets soortgelijks voor Ib. Schrijf e.e.a. zelf op! Aangezien deze relaties voor elk oppervlak A correct zijn, moet kennelijk in ieder punt van de ruimte gelden: ================================================= IIa (rot E) = - Jm - (dt μ0 H ) IIb (rot H) = + Je + (dt ε0 E ) Aangezien magnetische monopolen nog niet zijn aangetoond, wordt Jm (vooralsnog) op nul gesteld. Kortheidshalve wordt geschreven E ipv E(r) etc. ====================================================== 1.52 Ga weer uit van de relatie Ia en laat de lus S steeds

kleiner worden, zonder dat het oppervlak A kleiner wordt. In de limiet gaat het linkerdeel van Ia naar nul en moeten we over gesloten oppervlakken integreren. We vinden dan:

Je.da + dt ε0 E.da = 0 A A Daaruit: t

ε0 E.da = [ Je.(-da)] dt A (t=-∞) A Het rechterdeel is de totale elektrische lading Q die vanaf

(t=-∞) tot het moment van meten het gesloten oppervlak A is binnengestroomd. Door uit te gaan van de wet van behoud van elektrische lading, is dit dus de totaal omvatte elektri-sche lading door A op het meetmoment.

Door op het deel links van het gelijkteken de stelling van

Gauss (basis variant) toe te passen, vinden we:

FTeW Electriciteitsleer ; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 01; docent o. spong blz 13 uit 19 ============================================================

ε0 div E dV = (totaal omvatte elektrische lading door A) = qomvat = ρVol,el dV.

Iets soortgelijks voor Ib. Schrijf e.e.a. zelf op! Aangezien deze relaties voor elk oppervlak A correct zijn, moet kennelijk in ieder punt van de ruimte gelden: ===================================================== IIc div E = (ρVol,el / ε0) IId div H = (ρVol,mag / μ0) = 0 Aangezien magnetische monopolen nog niet zijn aangetoond, wordt (ρVol,mag )(vooralsnog) op nul gesteld. ===================================================== NOOT: De relatie

Je.da + dt ε0 E.da = 0 A A wordt ook als uitgangspunt gebruikt bij: - het formuleren van de wet van Gauss - het berekenen van div J 1.53 De vier gevonden relaties (IIa, IIb, IIC en IId) worden de

wetten van Maxwell in differentiaalvorm genoemd. 1.54 Zoals gesteld is in paragraaf 1.52, is bij de afleiding van

div E uitgegaan van de wet van behoud van elektrische lading: we gaan er van uit dat de totaal door het oppervlak A naar binnengestroomde lading, op het meetmoment wordt omsloten door A: er is geen extra lading binnen A ontstaan en er is geen lading “verdampt”.

Indien er magnetische monopolen bestaan, geldt iets

soortgelijks voor div H. 1.6 De wet van Gauss Ga weer uit van de relatie van paragraaf 1.52:

FTeW Electriciteitsleer ; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 01; docent o. spong blz 14 uit 19 ============================================================ t

ε0 E.da = [ Je.(-da)] dt A (t=-∞) A Zoals al in paragraaf 1.52 gesteld werd, is het rechterdeel

de totale elektrische lading Q die vanaf (t=-∞) het gesloten oppervlak A is binnengestroomd, dus de totaal omvatte elektrische lading door A (wet van behoud van elektrische lading !).

Dus: ==============================================

ε0 E.da = Q omvat Deze relatie staat bekend als de wet van Gauss ================================================ Zie o.a. ook: http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss's_law NOOT 1 : Merk op dat we bij inleiding vectoranalyse in hoofdstuk 7 de stelling van Gauss hebben ingevoerd. Hierboven wordt de wet van Gauss gegeven. NOOT 2: Bij paragraaf 1.52 en bij paragraaf 1.6 gaan we uit van dezelfde relatie. We kunnen daarom de uitdrukking voor div E van paragraaf 1.52 zien als de wet van Gauss in differentiaal vorm. 1.7 (Div Je) en (div Jm ) 1.71 Ga weer uit van:

Je.da + dt ε0 E.da = 0 (paragraaf 1.52) A A Daaruit, met toepassen van de stelling van Gauss

(basisvariant) en gebruik makend van paragraaf 1.52:

(div Je) dV = [ - dt ρVe dV ]

FTeW Electriciteitsleer ; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 01; docent o. spong blz 15 uit 19 ============================================================ en op dezelfde manier:

(div Jm ) dV = [ - dt ρVm dV ]

1.72 Aangezien deze relaties voor elk volume V correct zijn, moet kennelijk in ieder punt van de ruimte gelden: ====================================================== IIIa (div Je ) = - dt [(ρVe)] en IIIb (div Jm ) = - dt [(ρVm)]

Bij ontbreken van magnetische monopolen is [(ρVm) nul ======================================================= De eerste relatie kan ook gezien worden als de wet van behoud van elektrische lading. 1.8 De krachtenwet van Lorentz De fysicus A. Lorentz toonde aan dat in de vrije ruimte op

een deeltje met elektrische lading qe (in Coulomb) een kracht wordt uitgeoefend door zowel een elektrisch veld E als een magnetisch veld H, volgens de relatie:

=================================================== Va Fe = qe [ E + μ0 (v x H) ] Newton Indien magnetische monopolen blijken te bestaan, dan zal de

kracht daarop volgens de literatuur moeten zijn: Vb Fm = qm [ H - ε0 (v x E )] Newton ==================================================== Daarbij zijn E en H de velden die er zijn zonder qe

respectievelijk qm: de velden die door qe en qm worden opgewekt worden NIET meegerekend.

NOOT: Zie o.a.: http://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_force http://nl.wikipedia.org/wiki/Hendrik_Lorentz#Licht_en_elekt romagnetisme

FTeW Electriciteitsleer ; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 01; docent o. spong blz 16 uit 19 ============================================================ 1.9 De wetten van Maxwell in integraalvorm, uitgaande van de differentiaalvorm Ga uit van de relaties IIa en IIb: IIa (rot E) = - Jm - (dt μ0 H ) IIb (rot H) = + Je + (dt ε0 E ) Door bij IIA links en rechts van het gelijkteken over een

oppervlak A te integreren en daarna op het linkerdeel de stelling van Stokes (basis variant) toe te passen met S de randkromme die A omsluit, vinden we:

E.ds = [- Jm - (dt μ0 H )]. da =

S A

- Jm . da - (dt μ0 H )]. da

A A Dit is de relatie Ia Op precies dezelfde wijze vinden we uit IIb:

[ H.ds ] = [+ Je.da ] + [dt ε0 E.da ] S A A Dit is de relatie Ib Opgemerkt zij dat de relaties IIc en IId niet nodig zijn om

de wetten van Maxwell in integraalvorm te vinden. Deze relaties worden echter toch bij de wetten in differen-tiaalvorm opgenomen om de wet van behoud van elektrische (en magnetische) lading expliciet tot uitdrukking te brengen en vanwege de volgende stelling:

Indien van een vectorveld F in elk punt van de ruimte rot F

en div F bekend zijn, en als zowel het aantal bronnen als de bronsterkten nul zijn in het oneindige, dan kan F in elk punt van de ruimte berekend worden. (Panofsky blz 2)

FTeW Electriciteitsleer ; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 01; docent o. spong blz 17 uit 19 ============================================================ Wetten van Maxwell in de vrije ruimte, in integraal vorm

Ia [ E.ds ] = [- Jm.da ] - [dt μ0 H.da ] volt S A A

Ib [ H.ds ] = [+ Je.da ] + [dt ε0 E.da ] ampere S A A ==================================================== Daarbij geldt: E = elekrische veldsterkte in [volt/meter] H = magnetische veldsterkte in [ampère/meter] Je = stroomdichtheidsvector elektrische monopolen in [ampère/m2] Jm = stroomdichtheidsvector magnetische monopolen in [volt/m2]; tot nog toe niet waargenomen ε0 = natuurkonstante ≈ 8,85419 10-12 (benadering) in [Farad/meter] : elektrische permittiviteit in de vrije ruimte μ0 = natuurkonstante = 4π 10-7 ( per definitie ), in [Henry/meter]: magnetische permeabiliteit in de vrije ruimte joule = [kg m2 s-2] coulomb = [ ampere seconde] = [A s] Volt = [joule/ coulomb] = [kg m2 A-1 sec-3] Farad = [coulomb/volt] Henry = [volt sec/ampère] Zie de figuur hieronder ivm de randkromme S en het

oppervlak A. (Wordt tijdens het college getekend)

FTeW Electriciteitsleer ; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 01; docent o. spong blz 18 uit 19 ============================================================ NOOT 1: merk de symmetrie op tussen de beide wetten van Maxwell.

Merk ook de mintekens op aan de rechterkant bij de eerste wet.

NOOT 2: Opgemerkt zij dat magnetische monopolen (nog ?) niet zijn

aangetoond en dat Jm daarom (vooralsnog)op nul wordt gesteld.

NOOT 3: Onder de “vrije ruimte” verstaan we in dit dictaat een

gebied zonder polariseerbare of magnetiseerbare materie. Bij het behandelen van de invloed van polariseerbare en/of magnetiseerbare materie, worden nog vier grootheden ingevoerd met name:

B = magnetische fluxdichtheid = μ0 [H + M ] {volt sec/m2] D = dielectrische verschuiving = [ε0 E + P] [A sec /m2]/ M = magnetisatie(vectorveld) (zelfde dimensie als H) P = polarisatie(vectorveld)

FTeW Electriciteitsleer ; collegejaar 2012-2013; hoofdstuk 01; docent o. spong blz 19 uit 19 ============================================================ Wetten van Maxwell in de vrije ruimte, in differentiaal vorm IIa (rot E) = - Jm - (dt μ0 H ) IIb (rot H) = + Je + (dt ε0 E ) IIc div E = (ρVol,el / ε0) IId div H = (ρVol,mag / μ0) = 0 (vanwege het ontbreken van

magnetische monopolen ======================================================== Veel gebruikte relaties

III ε0 E.da = Q omvat (Wet van Gauss) IV a (div Je ) = - dt [(ρVe)] en IV b (div Jm ) = - dt [(ρVm)]

Bij ontbreken van magnetische monopolen is [(ρVm) nul Voor een met snelheid v bewegende elektrische lading q geldt de krachtenwet van Lorentz: Va Fq = qe[ E + μ0 v x H} Newton Volgens de literatuur zal voor een magnetische monopool qm moeten gelden: Vb Fm = qm [ H - ε0 (v x E )] Newton (als er magnetische monopolen bestaan J(r) = (ρVol,el) v(r) [Ampere/m2) ]