Ecuación de Schroedinger...

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Ecuación de Schroedinger tridimensional

Ee

zd

yd

xdh

r

Z

dddm 0

2

2

2

2

2

2

2

2

2

48

en coordenadas cartesianas x, y, z.

El operador Hamiltoniano (H), ahora es:

z

dy

dx

dhdddm

2

2

2

2

2

2

2

2

8

El primer término de esta ecuación es similar al operador Hamiltoniano de la partícula

en una caja tridimensional.

El segundó término de esta ecuación es el operador de la energía potencial del electrón.

r

Z e

0

2

4

Estructura de la Materia, FQ UNAM Semestre 2013-II, Grupo 21

2

y

z

x

r θ

cosrsenx

senrseny

cosrz

Como el campo de fuerzas coulombianas entre el núcleo y el electrón es de

simetría esférica, solo depende de r, es conveniente hacer un cambio de

coordenadas cartesianas a coordenadas esféricas, con base a la siguiente figura.

Entonces la ecuación de Schroedinger en coordenadas esféricas, se escribe como:

E

er

rh

r

Z

sensen

rsen

senm

0

2

2

2

2

22

2

4

11

8


3

Aunque la ecuación de Schroedinger en coordenadas esféricas, parece más

complicada, su solución es mas sencilla, y se puede mostrar que las funciones de

onda que son soluciones de la ecuación de Schroedinger, se puede expresar de la

manera siguiente.

),()( YR rLas funciones de onda se compone del producto de dos funciones de onda más simples.

Una de ellas solo depende la coordenada radial R(r) y la otra Y ( , ) que solo depende

las coordenadas angulares. La R(r) se denomina parte radial y la Y ( , ) parte angular

de la función de onda .

θ

θ

La función R(r) se denomina función de onda radial mientras que el producto

Θ(θ) Φ(φ) es la función de onda angular.

De forma general, la función de onda radial de orbitales hidrogenoides es una expresión

del tipo siguiente: Rnl(r) = f(r)(Z/a0)3/2 e-r/2 donde a0 es el radio de Böhr (0.53 Å) y r =

2Zr/na0 (n = número cuántico principal). Así, la principal diferencia entre distintos

orbitales se produce en f(r).

Ψn,l,ml = R n,l(r) Θl,ml (θ) Φml (φ)

La función de onda: Parte radial y parte angular; también se puede escribir de

la siguiente manera


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Tabla. Funciones de onda hidrogenoides:

),()( YR r

2p0=2pz, 2p+1=2px, 2p-1=2py Estructura de la Materia, FQ UNAM Semestre 2013-II, Grupo 21

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Tabla. Las 3 funciones de onda hidrogenoides 2p reales


6 Estructura de la Materia, FQ UNAM Semestre 2013-II, Grupo 21

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Función de onda radial (orbitales s) Función de onda radial (orbitales p)

•La función de onda 1s, 2s y 3s a r pequeñas

cercanas al núcleo presentan un valor muy

grande el cual disminuye y se vuelve asintótico

cuando r aumenta. Esta función de onda (1s) no

presenta nodos.

•La función de onda 2s, a medida que r aumenta

la función disminuye, pasa a valores negativos y

se vuelve asintótica, razón por la cual presenta

un nodo.

•La función de onda 3s a medida que r aumenta

la función disminuye, pasa a volores negativos,

vuele a subir a valores positivos, razón pro la

cual presenta dos nodos

•La función de onda 2p y 3p a r pequeñas

cercanas al núcleo presentan un valor cercano a

cero el cual aumenta a un valor determiando de

r, ambas presentan un máximo, el cual

disminuye conforme r va incrementándose y se

vuelve asintótico cuando r aumenta. La función

2p no presenta nodos.

•La función de onda 3p, a medida que r

aumenta, pasa a valores negativos y se vuelve

asintótica, razón por la cual presenta un nodo.

NODO. Lugar en el que la

probabilidad de encontrar al

electrón es nula. Estructura de la Materia, FQ UNAM Semestre 2013-II, Grupo 21

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Funciones de densidad radial y de probabilidad radial

para el orbital 1s

•La función de densidad radial para la

función de onda 1s, a valores pequeños

de r cercanas al núcleo presentan un

valor muy grande, el cual disminuye

conforme r va incrementándose y se

vuelve asintótico.

•Un grafico de 4πr2R2 con respecto a un

incremento de r, vemos que nos da

valores contrarios a la R2. Es decir

empieza (cerca de núcleo) con un valor

pequeño el cual se va incrementado

conforme r aumenta.

•Si a la función de densidad radial R2 la

multiplicamos por 4πr2, la función de

onda 1s empieza con un valor pequeño

el cual alcanza un máximo a a0/Z y va

disminuyendo a medida que r aumenta,

hasta volverse asintótica.

•Si el átomo fuera el H, que tiene un

solo electrón, la mayor probabilidad de

encontrar al electrón sería a un

distancia de un radio de Bohr (0.53

Angstrons).


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Función de probabilidad radial de los orbitales 2s y 2p

•La función de probabilidad radial

para la función de onda 2s presenta

dos valores máximo, uno a 0.8

Angstrons y otro a 5.2 Angstrons y

posteriormente se vuelve asintótica

conforme r va incrementándose. La

función 2p no presenta nodos.

•La función de onda 2p, a medida

que r aumenta, presenta un máximo

y después se vuelve asintótica. Esta

función no presenta nodos.


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Anteriormente vimos una gráfica donde aparecen representadas la función de

probabilidad radial. Debido a que para un orbital 1s la función de densidad

radial decae exponencialmente con la distancia al núcleo mientras r2 aumenta,

la función de probabilidad radial (4πr2R2) para dicho orbital posee un máximo

como se muestra en la figura. Es decir, existe una distancia r del núcleo en la

que existe una mayor probabilidad de que se "encuentre" el electrón (no se

olvide el principio de incertidumbre). Para un orbital 1s de un átomo

hidrogenoide el máximo de la función de probabilidad radial aparece a rmax =

(a0/Z), rmax = 0,529 Å. Este valor concuerda exactamente con el radio de Bohr.

La distancia más probable para encontrar al electrón aumenta con el valor de n

porque a medida que aumenta la energía del orbital existe una mayor

probabilidad de encontrar al electrón en zonas más alejadas del núcleo. Así

para el orbital 2s existen dos máximos de la función de probabilidad radial, uno

de menor intensidad a r = 0.8 a0 y otro, de mayor intensidad, a r = 5.2 a0.

También existe un nodo, donde la probabilidad de encontrar al electrón es cero,

para r = 2a0.


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Para la probabilidad de encontrar al electrón en una esfera de radio r y espesor dr.

El volumen de esta capa de espesor infinitesimal sería dV. Partiendo del volumen

de la esfera

V = 4πr3/3

dV = 4πr2dr

y multiplicando a ambos lados por la función de densidad radial, R2(r):

R2(r)dV = 4πr2 R2(r)dr

que se denomina función de probabilidad radial (o función de distribución radial). Este no es

más que el resultado de aplicar la condición de Bohr, pues la probabilidad de encontrar al

electrón en un elemento de volumen entre r y dr en un entorno esférico viene dada por la integral

de para cualquier valor de los ángulos

drrdrddsen Rrr )(422222

00

derivado el volumen d ela esfera,


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Las características de las funciones probabilidad radial se

pueden obtener en forma cualitativa de la siguiente manera:

1. A r=0 4 r2R2=0, en consecuencia el valor en el núcleo debe ser cero.

Obsérvese que la función matemática tiende a cero porque el volumen dv

tiende acero cuando r=0. Sin embargo hay densidad electrónica en el núcleo

para los orbitales s.

2. Para valores grandes de r, R se aproxima a cero y por lo tanto 4p r2R2

debe aproximarse a cero

3. Para valores intermedios de r, R tienen valores finitos, de manera que se

tendrá un máximo en la gráfica de probabilidad 4 r2R2 como una función

de r. Este máximo se presenta a r=a0, el cual es el valor del radio de Bohr.


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Figura. (a) Representación mediante nube de puntos de un orbital p

(b) diagramas de contorno de un orbital 2pz

(c) de un orbital 3pz.


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•Cundo se resuelve la ecuación de

Schoringer, haciendo el producto de

la función radial y las funciones

angulares se obtiene densidades de

probabilidad de la función de

onda correspondiente, en forma de

contornos.

•Así, la funciones de onda ns tienen

una forma esférica ( o circulares).

La función de onda np presentan

una forma de lóbulos por arriba o

por debajo de un plano, en cada una

de las direcciones x, y, z. La

funciones de onda nd, presentan

cinco distintas formas. Y las

funciones nf presentan 7 distintas

formas. Contorno de la función de onda 3dxz.



ORBITALES Y NUMEROS CUANTICOS

La solución de la ecuación de Schrodinger produce un conjunto de funciones

de onda con sus correspondientes energías, 1, 2, 3, N y E1,2 , 3, N.

Estas funciones 1, 2, 3, N se denominan orbitales.

Cada orbital describe un densidad específica de densidad electrónica

en el espacio, dada por su densidad de probabilidad.

El orbital de más baja energía del átomo de hidrógeno tiene una

energía de -2.18x10-18 J.

Orbital; Modelo de

la mecánica cuántica.

Orbita: Modelo

atómico de Bohr.

n; numero cuántico principal

l; numero cuántico azimutal

ml; numero cuántico magnético

s; sharp (forma)

p; principal (principal)

d; diffusse (difuso)

f; fundamental (fundamental)


Capa. Conjunto de orbitales que tienen el mimo valor de n.

Subcapa: Conjunto de orbitales que tienen el mimo valor de n y l.

Cada subcapa se designa con un nùmero (valor de n) y una letra s, p, d, f (que

corresponde al valor de l).

Orbital. Es un función de onda espefìfica

Valor de l 0 1 2 3

Letra s p d f

El valor de l para un orbital dado se designa con las letras s, p, d, f, que

corresponden a los valores de l igual a, 0, 1, 2, 3


Figura. Niveles de energía en el átomo de

hidrógeno (H).

Nota. Todos los orbitales con el

mismo valor para el número

cuántico principal n, tienen la

misma energía. Esto es válido

solo en los sistemas de un solo

electrón.

20

Orbitales s

Orbitales 2p


Representación de los orbitales atómicos.

(a) Contorno disperso

(b) Orbitales llenos

21

Orbitales 3d


22

Orbitales 4f


23

nZR

nh

ZemE 2

2

222

242

04

2

Energía permitidas del electrón de un átomo hidrogenoide

h

ZemR 22

242

04

2

La constante de Rydberg, con un valor de:

2.1798 x 10-18 J

13.065 eV (1 eV es 0.16022 x 10-18 J)

donde R es:


24

Diferencia de energías entre dos estados energéticos

nZR

nh

ZemE 2

2

222

242

04

2

A partir de la Energía:

Podemos obtener la diferencia de energías entre dos estados energéticos definidos por, n y m.

mnZREEE nm 22

2

)()(

11

Las energías para la serie de Lyman es:

mZREEE m 2

2

)1()(

11

mhR

2

11



a) Predecir el numero de subcapas que hay en la cuarta capa,

n=4; b) Especifique la desiganción de cada una de esas

subcapas; c) Cuántos orbitales en cada una de las subcapas?

EJERCICIO

Respuesta

a) Hay cuatro subcapas, con valores de l= 0, 1, 2, 3

b) La designación de las subcapas es; 4s, 4p, 4d, 4f; n=4 y l=

s, p, d, f.

c) Hay un orbital 4s, cuando l=0 y ml=0

Hay tres orbitales 4p, cuando l= 1, ml= 1, -1, 0

Hay cinco orbitales 4d, cuando l= 2, ml= 2, 1, 0, 1, 2

Hay siete orbitales 4f; cuando l= 3, ml= 3, 2, 1, 0, 1, 2,3


Modelo de Bohr para el átomo de hidrógeno

RH= Constante de Ryberg

RH= 2.179 x 10-18 J

= 13.605 eV

= 1.09737 x 107 m-1

= 109737 cm-1

Radio de Bohr= 0.53 A 0.53 x10-10m


En el caso del átomo de Hidrógeno los niveles de energía posibles estan dados por la fórmula

Ecuación empírica de Balmer

h=6.63 x 10 -34 J s Constante de Planck

R=1.0967 x 107 m-1 Constante de Rydberg

n= Numero cuántico principal

nnR

fi

H 22111


Serie Lyman

nf=5,4,3,2

ni=1

Serie Balmer

nf=5,4,3

ni=2

Serie Paschen

nf=5,4

ni=3

Serie Bracket

ni=4

Serie Pfunf

ni=5


La aproximación del orbital

Esta aproximación se describe matemáticamente asignando a cada electrón una función

de onda (hidrogenoide), de forma que para un átomo con N electrones la función de onda

del átomo es un producto de N funciones de onda:

Ψ = φ1φ2...φN

La carga nuclear efectiva

Zef = Z-s

s es la constante empírica del apantallamiento

Z número atómico

La magnitud de la carga puntual igual a la carga total dentro de una

esfera de radio igual a la distancia entre el punto de interés y el núcleo.

Entonces el electrón experimenta una carga nuclear efectiva, Zef, que

está determinada por la carga electrónica total de una esfera de radio

igual a la distancia entre el electrón y el núcleo.

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