1.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO · 2020. 9. 26. · LÍMITES Y CONTINUIDAD PROFESOR: RAFAEL...

1º BACHILLERATO (LOMCE) – MATEMÁTICAS CC SS – TEMA 3 (2ª PARTE).- FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES

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1.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

Tomemos, por ejemplo, la función f dada por la expresión y = 2x 1 , si x 3

1, si x 3

x 3

− <

> − Concepto de límite por la izquierda

Supongamos que queremos averiguar a qué valor tiende la “y” cuando tomamos valores de x

menores que 3, cada vez más próximos a 3.

Para averiguarlo podemos hacer una tabla de valores:

Observamos que y tiende a 5.

Se dice entonces que cuando “x” tiende a 3, por la izquierda, la”y” tiende a 5.

Se simboliza así: −→

=x 3

lim f(x) 5 . Se lee “límite de f(x), cuando x tiende a 3 por la izquierda, es igual a 5”

En general, el límite de una función cuando x tiende a “a” por la izquierda es el valor al que tiende la

“y” cuando se toman valores de “x” menores que “a” cada vez más próximos a “a”.

En caso de que exista, el límite puede ser un número, ∞ ó – ∞. Se representa así: −→x a

lim f(x)

Concepto de límite por la derecha


mayores que 3 y cada vez más próximos a 3

Para averiguarlo podemos hacer una tabla de valores:

Observamos que y tiende a ∞.

Se dice entonces que cuando “x” tiende a 3, por la derecha, la”y” tiende a ∞

Se simboliza así: +→

= ∞x 3

lim f(x) . Se lee “límite de f(x), cuando x tiende a 3 por la derecha, es igual a ∞”

En general, el límite de una función cuando x tiende a “a” por la derecha es el valor al que tiende la

“y” cuando se toman valores de “x” mayores que “a” cada vez más próximos a “a”.

En caso de que exista, el límite puede ser un número, ∞ ó – ∞ . Se representa así: +→x a

lim f(x)

Los límites por la izquierda y por la derecha se llaman límites laterales

Interpretación sobre la gráfica

Gráficamente significa que:

- La gráfica que hay a la izquierda de 3 tiende al punto de valor y = 5 al acercarnos cada vez más al 3

- La gráfica que hay a la derecha de 3 se dirige hacia arriba al acercarnos cada vez más al 3

x → 3– 2,8 2,9 2,99 …

como x < 3� y = 2x – 1 4,6 4,8 4,98 …

x → 3+ 3,01 3,001 3,0001 …

como x > 3� y = −�

� � 10 100 1000 …


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- Página 2 -

Límite de una función f en un punto x = a

Decimos que una función f tiene límite en un punto x = a cuando los límites laterales coinciden:

−→x a

lim f(x) = +→x a

lim f(x)

El límite de la función f cuando x tiende a “a”, →x alim f(x) , es el valor común de los límites laterales.

En la función del ejemplo anterior, ∃ →x 3lim f(x) pues los límites laterales no coinciden:

−→=

x 3

lim f(x) 5 , +→

= ∞x 3

lim f(x)

Observaciones

- Si sólo se puede calcular uno de los límites laterales, diremos que la función tiene límite.

- Para poder calcular los límites laterales en el punto x = a no es necesario que exista f(a).

Fíjate que en la función del ejemplo no existe f(3).

Asíntotas verticales

Decimos que una función f tiene una asíntota vertical en un punto x = a si alguno de los límites

laterales, o los dos, son ∞ ó –∞. La ecuación de la asíntota vertical es A.V : x = a

En el ejemplo anterior, la recta de ecuación x = 3 es una asíntota vertical, pues +→

= ∞x 3

lim f(x)

Ejercicio 1 Halla los siguientes límites y, si hubiese alguna asíntota vertical, escribe su ecuación:

a)

−→

1x

2

lim f(x) b) →−x 2lim f(x) y

→x 4lim f(x)

c) →x 0lim f(x) d)

X

Y

3

2-2

5

→−x 2lim f(x) y

→x 3lim f(x)


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- Página 3 -

Practica tú

1 Mediante tablas de valores calcula los límites puntuales que se indican.

En caso de haber alguna asíntota vertical, escribe su ecuación.

a) f(x) =

2

3x 10, si x 2

7, si x 2

x x 2 , si x 2

+ > −

= −

+ + < −

, →−x 2lim f(x) b) f(x)=

x2 si x 0

3 si 0 x 1

5 x si x 1

≤

< ≤ >

,→lim f(x)x 0

y →x 1lim f(x)

c) f(x) = 12

x

−,

→x 0lim f(x) y

→−x 6lim f(x) d) f(x) =

2x 7x 0 x 5

105 x 8

x 5

− + ≤ < ≤ ≤

−

si

si

→x 5lim f(x) y

→x 0lim f(x)

2 Halla los límites indicados. En caso de haber alguna asíntota vertical, escribe su ecuación.

a)

→x 0lim f(x)

b)

→x 0lim f(x)

→x 3lim f(x)

c) -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

X

Y

→−x 4lim f(x)

→x 1lim f(x) d)

-1 1 2-1

1234567

X

Y

→x 0lim f(x)

e) →x 1lim f(x) f)

X

Y

→x 0lim f(x)

g) X

Y

→x 0lim f(x) h) ,

→−x 3lim f(x) y

→x 0lim f(x)


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- Página 4 -

i) →x 0lim f(x) ,

→x 4lim f(x) y

→x 8lim f(x) j) X

Y

3

2

→x 3lim f(x)

k)

X

Y

5

,→x 5lim f(x) l)

X

Y

4

→x 4lim f(x)

m)

→x 3lim f(x) n)

→x 2lim f(x) ñ)

→−x 3lim f(x)

o) →x 1lim f(x) p)

X

Y

10

2

-2

5

→−x 2lim f(x) y

→x 0lim f(x)

q)

X

Y

1

→x 0lim f(x) r)

X

Y

3-6

-2

5

→−x 2lim f(x) y

→x 3lim f(x)


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- Página 5 -

Cálculo de límites puntuales usando la fórmula

Si la función f viene dada por la fórmula, para calcular →x alim f(x) , se sustituye “x” por “a”.

Por ejemplo, →−

− = − − = −� ��

* Si la función es constante entonces el límite es el mismo número. Por ejemplo, →

=� ��

Ejercicio 2 Halla los siguientes límites: a) →− +��

��

� �

b) −

→− !

! "#$% &' () c)

−

→

* +

* +,-. /

Practica tú

3 Calcula los siguientes límites: a) →−

−+

0

1 2

3456

7 38 b)

+

→ −+ 9 :;

; 9<=> ?@ AB

* Si la función es definida a trozos y “a” es el punto donde cambia de expresión la función, tenemos

calcular los límites laterales y ver si ambos coinciden.

Ejercicio 3 Dada la función f(x) =

− > −

= − − < −

21 x , si x 3

5 , si x 3

2x 2 , si x 3

, calcula→ −� C�� D � ,

→E FGHI JK LM y

→ −� N�� D �

Practica tú

4 Calcula los límites que se indican: a)

− < −= = − + > −

O P QR O S

TU OV W P QR O S

O W P QR O S

,→ −X YZ[\ ]̂_ ̀

b) f(x) =

< −− + − ≤ < − <

3x , si x 2

x 3 , si 2 x 5

3x 17 , si 5 x

,→E FGHI JK LM,

→ −� �� D � y

→E aGHI JK LM

* Si al calcular →x alim f(x) , sustituyendo “x” por “a”, obtenemos

b

c , siendo L ≠ 0, debemos calcular los

límites laterales y ver si ambos coinciden.

Los valores de los límites laterales siempre van a ser ∞ ó – ∞ pues al dividir un número no nulo, L,

entre números que tienden a cero obtenemos valores que tienden a ∞ ó a –∞.

Ejercicio 4 Halla los siguientes límites: a) →

−−d e

fghi

j k b)

→ − −lm n

opqr

s t

c) →

−

− +uv w

xy z{|}

y ~y �

d) f(x) =

−≤ − −

− < < +

2

3x 4, si x 1

x 1

1, si 1 x 2

x 1

, → −� �� y

→E �GHI JK LM


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Practica tú

5 Calcula los límites indicados:

a) → −

− −+

�

� �

� ��

� � b)

→ −

−

+ +��

��

� ��

c) → −

+

+

�

��

¡¢£¤

¥

d) →

−−

¦

§ ¨

©ª ª«¬

ª ®

e) → −¯ °

±²³´

µ ¶ f)

→ −

−+m ·

¸s ¹pqr

s º g)

→−

» ¼

½¾¿À ÁÂ Ã

Ä h)

→ − + ÅÆ Å

ÇÈÉÊ

ËÌ ÇÍ

i) → − +Î Ï

ÐÑÒÓÔ

Ñ Õ

j) → −Ö×

Ø

ÙÚÛÜ

ÝÙ Þ k)

→+

ßà á

âãäå æâ ç

è

l) →

−

− éê ë

ìíîï

ðñ òó

m)

−< − +

> − + +

=

2

2

x 1, si x 2

x 2

1, si x 2

x 4x 4

f(x) , → −ô õö÷ø ùú ûü

n)→ − →− →ý þ ý ÿ ý ÿ�� , siendo

−< − +

> − + −

=

2

2

x 1, si x 2

x 2

1, si x 2

x x 2

f(x)

ñ) f(x) =

2(x 1) , si x 0

1, si 0 x 2

xx

, si 2 x 84

+ ≤

< <

< <

, → �� ,

→ −� �� ,

→ �� y

→ ��

o)

<+= ≤ <−

− ≥

�� !" � #

$ �%&�' !" # � $

$ �

� $ !" � $

, →( )*+, -./0 y

→ 1�� 2��

2.- RELACIÓN ENTRE LÍMITE PUNTUAL Y CONTINUIDAD

Continuidad a partir del límite puntual

Recuerda que para que una función sea continua, su gráfica no puede tener ninguna rotura.

Por ejemplo, la siguiente función no es continua en x = a porque las ramas no “conectan” , fíjate que

los límites laterales en x = a son distintos, o dicho de otra forma, no existe →x alim f(x)


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- Página 7 -

Tampoco es continua, en x = a, la siguiente función, porque aunque las ramas conectan (existe

→x alim f(x)= b), no coincide con f(a). Por eso su gráfica tiene un “agujero”

Luego, para que una función f sea continua en x = a se debe cumplir que

→x alim f(x)= f(a)

O lo que es lo mismo, se tienen que dar las siguientes condiciones:

C1: Debe existir f(a) C2: −→x a

lim f(x) =+→x a

lim f(x)= f(a)

Se puede demostrar que todas las funciones, que no sean definidas a trozos, son continuas en su

dominio de definición.

Tipos de discontinuidades

Discontinuidad asintótica o de salto infinito

Se da cuando −→

= ±∞x a

lim f(x) y/o +→

= ±∞x a

lim f(x) .

Ejemplos:

−→= ∞

x a

lim f(x) −→

= −∞x a

lim f(x) −→

= −∞x a

lim f(x)

+→

=x a

lim f(x) L +→

= −∞x a

lim f(x) → +

= ∞x alim f(x)

( ∃ f(a) ) ( ∃ f(a) ) (f(a) = b )

En todos los casos, la asíntota vertical es la recta de ecuación A.V. : x = a


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- Página 8 -

Discontinuidad de salto finito

Se da cuando −→

=x a

lim f(x) b , +→

=x a

lim f(x) c , pero b ≠ c

Ejemplos:

−→=

x a

lim f(x) b −→

=x a

lim f(x) b −→

=x a

lim f(x) b

+→

=x a

lim f(x) c +→

=x a

lim f(x) c +→

=x a

lim f(x) c

(f(a) = c ) ( ∃ f(a) ) (f(a) = d )

Discontinuidad evitable

Se da cuando →

=x alim f(x) b , pero b ≠ f(a)

Ejemplos:

−→=

x a

lim f(x) b −→

=x a

lim f(x) b

+→

=x a

lim f(x) b +→

=x a

lim f(x) b

(f(a) = c) ( ∃ f(a) )

Ejercicio 5 Estudia la continuidad de las siguientes funciones. En caso de discontinuidad, clasifícala.

a) f(x) = +

+ −2

5x 1

2x 5x 3 b) f(x) =

+

+3

x 3

x 64 c) f(x) =

++

2x 3x

x 2 d) f(x) =

− ≥ + − < < + ≤ −

x 4 , para x 1

2x 3 , para 2 x 1

5x 9 , para x 2

e) f(x) =

≠ −+

= −

5, si x 4

x 4

16 , si x 4

f) f(x) =

+< −

+ > − + +

3

2

x 8, si x 1

x 1

3, si x 1

x 2x 1

g)

<+= ≤ <−

− ≥

345 6 78 5 9

: 5;< 5= 6 78 9 5 4

: 5

5 4 6 78 5 4

Ejercicio 6 Calcula el valor de los parámetros para que las funciones sean continuas:

a) f(x) = − < −

− ≥ −

2

mx 5 , si x 2

x m , si x 2 b) ( )

2

x

x ax si x 1

f x b si x 1

2 si x 1

− <

= =

>


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- Página 9 -

Ejercicio 7 La función f(x) = < ≤

+ >

2

2x , si 0 x 40

kx 3000 , si x 40 expresa el precio, en euros, que hay que pagar

por x carpetas en un comercio al por mayor. Calcula el valor de k para que la función sea continua

Practica tú

6 Clasifica las discontinuidades de las funciones discontinuas del ejercicio propuesto 2

7 Estudia la continuidad de las siguientes funciones y, en caso de discontinuidad, indica de qué

tipo es:

a) y = −+

> ?

@> A b) y =

+−

BC DC

C E c) y =

+

− +F

G H

G IG J

d) y = −

+ K

L

ML NO

e) y = +

− P

Q R

SQ Q

f) f(x) =

2x 4x 7 x 2

4x 2

x 2

− + ≤

>−

si

si

g) f(x) =

x2 , si x 1

2, si x 1

x

<

≥

h) 2

2

9 x si x 3f (x)

2x 16x 30 si x 3

− <=− + − >

i) f(x) =

2x , si x 1

1 x , si 1 x 2

(x 3) 2 , si x 2

≤

< ≤ − >

j) 2

2

5 , si x 2

f (x) x 6x 10 , si 2 x 5

2x 10, si x 5

x 10x 25

≤= − + < ≤ + > − +

8 Calcula el valor de los parámetros para que las siguientes funciones sean continuas:

a) f(x) = x

2 , si x 1

2x mx 5 , si x 1

≤

+ + > b) ( )

− ≤

2ax 2x +1 si x 1

3a+ln x si x > 1f x = c) f(x) = 2

4x 3 , si x 1

2x 1 , si 1 x 1

k 2, si x 1

x

− − ≤ −

− − < < + ≥

d) ( )

2

2

ax 2x si x 1

f x 4x ax b si 1 x 2

3x b si x 2

− ≤

= + + ≤ < + ≥

e)

2ax b si x 0

f(x) x a si 0 x 1

ab si 1 x

x

+ <

= − ≤ < + ≤

f) ( )

2ax 2 si x 2

f x b si 2 x 2

x si x 2

− ≤ −

= − < ≤ >

9 Sea la función 2

2

2 3 1( )

6 5 1

x ax si xf x

ax x si x

− − + ≤=

− + >

a) Calcula el valor de a para que f sea continua en x = 1.

b) Para a = 1, representa su gráfica y, a la vista de ella, indica las coordenadas de sus extremos

relativos.

10 Se estima que el beneficio de una empresa, en millones de euros, para los próximos 10 años

viene dado por la función

≤<

≤≤−=

106si2

60si)(

2

tt

ttattB , siendo t el tiempo transcurrido en años.

a) Calcula el valor del parámetro a para que B sea una función continua.

b) Para a = 8 representa su gráfica e indica en qué momento se obtiene el máximo beneficio en los

primeros 6 años y a cuánto asciende su valor.


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3.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN EL INFINITO

Concepto de límite en +∞

Sea f la función dada por la expresión y = +TU V

WU

Supongamos que queremos averiguar a qué valor tiende la “y” cuando tomamos valores de x muy

grandes y cada vez más grandes.

Para averiguarlo podemos hacer una tabla de valores

x → ∞ 100 200 300 …

y = +TU V

WU 2,0033 2,0017 2,0011 …

Observamos que y tiende a 2.

Se dice entonces que cuando “x” tiende a ∞, la ”y” tiende a 2.

Se simboliza así: → ∞

=xlim f(x) 2 . Se lee “límite de f(x), cuando x tiende a ∞, es igual a 2”

En general, el límite de una función cuando x tiende a ∞ es el valor al que tiende la “y” cuando se

toman valores de “x” infinitamente grandes.

En caso de que exista, el límite puede ser un número, ∞ ó – ∞. Se representa así: → ∞xlim f(x) .


X

Y

2

Gráficamente significa que la gráfica, por el extremo de la derecha, se aproxima cada vez más a la

recta horizontal de ecuación y = 2.

Concepto de límite en – ∞

Sea f la función dada por la expresión y = 3x2


negativos y que en valor absoluto sean muy grandes y cada vez más grandes.

Para averiguarlo podemos hacer una tabla de valores

x → – ∞ –100 –200 –300 …

y = 3x2 30 000 120 000 270 000 …

Observamos que y tiende a ∞.

Se dice entonces que cuando “x” tiende a –∞, la ”y” tiende a ∞.

Se simboliza así: → −∞

= ∞xlim f(x) . Se lee “límite de f(x), cuando x tiende a –∞, es igual a ∞”

En general, el límite de una función cuando x tiende a –∞ es el valor al que tiende la “y” cuando se

toman valores de “x” negativos e infinitamente grandes en valor absoluto.

En caso de que exista, el límite puede ser un número, ∞ ó – ∞. Se representa así: → −∞xlim f(x) .


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- Página 11 -


X

Y

Gráficamente significa que la gráfica, por el extremo de la izquierda, tiende hacia arriba

Asíntotas horizontales

Decimos que una función f tiene una asíntota horizontal si alguno de los límites en ∞ ó –∞, o los dos,

son un número, L. La ecuación de la asíntota horizontal es A.H : y = L

Por ejemplo, la función X

Y

2

tiene una asíntota horizontal, que es la

recta de ecuación A.H.: y = 2 , porque → ∞

=xlim f(x) 2

Ejercicio 8 Usando tablas de valores, obtén los límites en ∞ y en – ∞ de

3

2

x

x, si x 1

x 1f(x)

1, si x 1

3

<

+= >

Ejercicio 9 Determina los límites en ∞ y en – ∞ y escribe las ecuaciones de las asíntotas verticales y

horizontales, si las hay:

a) X

Y

10

2-2

5

b)

X

Y

1

c)

Ejercicio 10 Construye una gráfica que cumpla:

f(0) = – 2 , f(1) = 0 , +→

=x 0

lim f(x) 1 , −→

=∞x 0

lim f(x) , → ∞

= − ∞xlim f(x) ,

→ −∞=

xlim f(x) 0

Practica tú

11 En las siguientes funciones, obtén los límites en ∞ y en – ∞, usando tablas de valores:

a) f(x) = – 5x3 – 2x + 1 b)

>

= −

<

2

2

x

x, si x 4

f(x) x 3

2 , si x 4


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- Página 12 -

12 Determina los límites en ∞ y en – ∞ y escribe las ecuaciones de las asíntotas horizontales y

verticales, si las hay:

a)

X

Y

1 b)

c)

X

Y

32-2

5

d)

X

Y

4

5

e) X

Y

2

1

4

13 Construye una gráfica en cada apartado que se ajuste a lo que se pide:

a) f(1) = 0 , +→

= ∞x 1

lim f(x) , −→

=x 1

lim f(x) 2 , → ∞

=xlim f(x) 3 ,

→ −∞= − ∞

xlim f(x)

b) f(0) = – 3 , f(2) = – 2 , +→

= − ∞x 2

lim f(x) , −→

=− ∞x 2

lim f(x) , → ∞

= ∞xlim f(x) ,

→ −∞= ∞

xlim f(x)

c) f(– 1) = 4 , f(–3) = – 2 , +→−

=x 3

lim f(x) 0 , −→−

=x 3

lim f(x) 2 , → ∞

= ∞xlim f(x) ,

→ −∞=

xlim f(x) 0

d) f(0) = 0 , +→

=∞x 0

lim f(x) , −→

=− ∞x 0

lim f(x) , → ∞

=xlim f(x) 2 ,

→ −∞=

xlim f(x) 0

Límite en el infinito de una función polinómica

Fíjate: → ∞

− + −X

YZ[\ ] ^_ `_ ab =

→ ∞

− + −c

c

cd

ef gf hijk l f

f

= → ∞

− + −

mm

m m mn

op qp rstu v p

p p p

=

→ ∞

− + −

w

x wy

z {|}~ � � �

� �

=→ ∞

−�

��

En general, → ∞ → ∞

= n n

x xlim p(x) lim ax , siendo ax el término de mayor grado de p(x)

Razonando de igual forma: → −∞ → −∞

= n n

x xlim p(x) lim ax , siendo ax el término de mayor grado de p(x)

Por ejemplo, → −∞ → −∞

− + − = − = − −∞ = − −∞ = ∞� � �

� ��

Como → ∞

= ±∞�� , las funciones polinómicas no tienen asíntotas


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- Página 13 -

Límite en el infinito de una función racional

Fíjate: → ∞

− + −

− +

� �

�

¡¢ £¢ ¤¥¦§

£¢ ¢ ¨

= → ∞

→ ∞

− + −

− +

© ª

«

¬

«

®¯ ° ±² ³² ´µ

®¯°³² ² ¶µ

=→ ∞

→ ∞

−©

«

¬

«

®¯ ° ±² µ

®¯ °³² µ

=→ ∞

−·

¸¹

º»¼½¾

¿»

En general, si f(x) =p(x)

q(x) es una función racional, y “axm”, “bxn” son los términos de mayor grado de los

polinomios p(x), q(x), respectivamente, entonces: → ∞ → ∞

=m

nx x

p(x) axlim lim

q(x) bx

Razonando de igual forma: → −∞ → −∞

=m

nx x

p(x) axlim lim

q(x) bx

En general: =→ ±∞

ÀÁÂÃÄÅÆ

ÇÁÂÃÂ

< =

= = ±∞ >

È É ÊË Ì Í ÎÍ ÏÊÐÏ ÑÒÊÓÉ ÔÒ ÒÊÕÍÐÓÐÒ ÖÓ×ËØÓÍÐÒÔ ÏÊ ÔÒ ×ÏÑÐÒ ÙÏ ÏÑÚÒÑËÛÍ Ü È

Ò ÒÉ ÊË Ì Í ÎÍ ÏÊÐÏ ÑÒÊÓÉ ÔÒ ÒÊÕÍÐÓÐÒ ÖÓ×ËØÓÍÐÒÔ ÏÊ ÔÒ ×ÏÑÐÒ ÙÏ ÏÑÚÒÑËÛÍ Ü

Ý Ý

ÒÞß àÉ ÊË Ì Í ÎÍ ÏÊÐÏ ÑÒÊÓÉ ÍÓ ÖÒÜ ÒÊÕÍÐÓÐÒ ÖÓ×ËØÓÍÐÒÔ

Ý

Ejercicio 11 Determina los límites en ∞ y en – ∞ y escribe las ecuaciones de las asíntotas verticales y

horizontales, si las hay, para las siguientes funciones:

f(x) = − + −

−

2

2

2x 5x 1

3x 3

g(x) = − + −

+

2x 3x 1

x 2 h(x) =

> −

+

− + < − +

3

2

3

x, si x 1

x 1

x 2x 1, si x 1

x 1

Ejercicio 12 Se sabe que las siguientes funciones no tienen máximos ni mínimos, calcula sus

asíntotas verticales y horizontales y dibuja de forma aproximada su gráfica:

a) f(x) =3

5 x

−−

b) f(x) =8x 1

3x 3

++

Ejercicio 13 En el mar hay una mancha producida por una erupción submarina.

La superficie afectada, en km2, viene dada por la función +

=+

2

2

33t 20f(t)

3t 2, siendo t el tiempo

transcurrido desde que empezamos a observarla.

a) ¿Cuál es la superficie afectada inicialmente?

b) ¿Cuál es el límite de la extensión de la superficie de la mancha?

Ejercicio 14 Estudia las asíntotas horizontales y verticales de las funciones de proporcionalidad

inversa, las exponenciales y las logarítmicas.


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 14 -

Practica tú

14 Calcula los límites en ∞ y –∞, las asíntotas horizontales y verticales de las siguientes funciones, si

las hay:

a) = − + +á

âã äå æä çä è b) = + −é ê

ëì íî ïí í ðí c) − +

=−

ñ

ñ

òó ôóõö ó÷

ó ø

d) f(x) = 2

2x 1

x 3

−+

e) −

=+ −

ù

ú ù

û üýþ üÿ

ü ü ûü

f) f(x) =3

2

1 x

x 4

−

− g) f(x) =

2

2

3x 1

5x 5x

− +

+ h)

1( )

2 1

xf x

x

−=

−

i)2

( ) 12

f xx

= −+

j) f(x) = 3x

1x2

+−

k) 2x 3

f (x)3x 1

+=

− l)

2si 0

2( )

2si 0

2

xx

f x

xx

− ≤ −= > +

m) f(x) =

>−+

≤+−

0xsi,3x2x

0xsi,1x

3x2

2

n)

2( 1) , 1

( ) 4, 1

x si x

f xsi x

x

+ ≤

= >

ñ)

2x, 0

( ), 0

1

x si x

f x xsi x

x

+ <

= ≥ +

o)

23 4 si 2

( ) 14 si 2

x x x

f xx

x

− + ≤

= − >

p)

2 , 1

( ) 2, 1

xsi x

f xsi x

x

<

= ≥

q)

2

2

, 0( ) 1

2 1 , 0

xsi x

f x x

x x si x

>

= + + + ≤

r) 2

2

2, 1

( ) 1

3 2 , 1

xsi x

f x x x

x x si x

+ >= − +− + − ≤

15 Se sabe que las siguientes funciones no tienen máximos ni mínimos, calcula y dibuja todas sus

asíntotas y después esboza de forma aproximada su gráfica:

a) f(x) =3

2 x− b) g(x) =

2x 3

3x 3

+−

c) h(x) =2x

x3

−−

d) 1 2

( )2

xh x

x

+=

− e)

2 3( )

4

xm x

x

+=

−

16 La función que relaciona el número (y) de pulsaciones por minuto de una persona que está

aprendiendo a teclear en un ordenador en función de las horas (x) empleadas es del siguiente tipo

+=

+800x 400

y2x 20

a) ¿Cuántas pulsaciones por minuto dará al cabo de 2,5 horas?

b) ¿Cuántas horas debe practicar para dar 300 pulsaciones por minuto?

c) Según esta fórmula, ¿cuál es el número máximo de pulsaciones por minuto que podría alcanzar a

dar si el número de horas tiende a infinito?

17 Las pérdidas/ganancias (en miles de euros) de una empresa en función del tiempo x (en años)

vienen dadas por la fórmula −

=+

2x 6y

x 1 Determina:

a) Las pérdidas que tenía la empresa en el momento inicial

b) El momento (valor de x) a partir del cual la empresa tendrá ganancias

c) La ganancia máxima previsible en el futuro (o sea cuando x tiende a infinito)


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 15 -

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS PARA EL ALUMNO

4 ∃1 �� x 0

f (x); por la izda:1 , por la dcha:3lim→

∃x 1


∃��x 0 x 6

f (x); por la izda: , por la dcha: f (x) 2lim lim→ →−

∞ −∞ = ∃��x 5 x 0

f (x); por la izda:10 , por la dcha: f (x) 0lim lim→ →

∞ =

2 ∃2 �� x 0

f (x); por la izda: , por la dcha:2lim→

−∞ ∃x 3


∃��x 4

f (x); por la izda:3 , por la dcha:0lim→−

∃x 1

f (x); por la izda:5 , por la dcha:1

1

lim→

∃� �x 1


∞ −∞

∃

��

�x 3

f (x); por la izda: 4 , por la dcha:4lim→−

− ∃x 0

x 0 x 4 x 8


f (x) 0 ; f (x) 6 ; f (x) 0 ;

lim

lim lim lim

→

→ → →= = = ∃��

x 3f (x); por la izda: , por la dcha:2lim

→∞ −∞ ∞

∃

��

��x 3

f (x); por la izda: , por la dcha: 2lim→

−∞ ∞ −∞ ∃�� x 1

x 2


f (x) 2

lim

lim

→

→−= ∃��

x 0f (x); por la izda: , por la dcha:lim

→−∞ ∞ ∃��

x 0

x 2

f (x); por la izda:1 , por la dcha:

f (x)

lim

lim

→

→−

−∞

=∞ ∃��x 3

f (x); por la izda:5 , por la dcha: 6lim→

−

x 0

1 11

2 16f (x) 3lim

→

− = ∃3 4�� x 2 x 5

f (x); por la izda: 8 , por la dcha:5 f (x) 2lim lim→− →

− =−

∃5 �� ; por la izda: , por la dcha:−∞ ∞ −∞ ∃�� ; por la izda: , por la dcha:∞ −∞ ∞

∃

�

!� ; por la izda: , por la dcha:−∞ ∞ ∃"� ; por la izda: , por la dcha:∞ −∞ ∃#� ; por la izda: , por la dcha:∞ −∞ ∞

∃

$�

%� ; por la izda: , por la dcha:∞ −∞ ∃&� ; por la izda: , por la dcha:−∞ ∞ ∞ −∞

∃

'� (�

)�x 3 x 2 x 2

1

4; por la izda: , por la dcha: f (x) 8 f (x) f (x)lim lim lim

→− →− →−∞ ∞ =− =−∞ =

∃

*�

+�x 0 x 3 x 2 x 8

1

2f (x); por la izda:1 , por la dcha: f (x) 4 f (x) f (x) 2lim lim lim lim

→ →− → →∞ = = =

∃,�x 0

g(x); por la izda:0 , por la dcha:1lim→

∃x 1

g(x); por la izda: , por la dcha:0lim→

∞

Asintótica en x 0 ; De salto finito en x 3 De salto finito en x 4 y en x 1

De salto finito en x 2, 1, 0, 1, 2, 3 De salto finito en x 3 y en x 0 Evitable en x 4 Asintótica en x 3

Asin tótica en x 5 Asin tótica en x 4 Asin tótic

= = =− =

=− − =− = = =

= =

6 -. /.

0. 1. 2. 3.

4. 5. 6. a en x 3 De salto finito en x 1

Evitable en x 2 y asin tótica en x 0 Asin tótica en x 0 Asintótica en x 2 y de salto finito en x 3

= =

=− = = =− =

7.

8. 9. :.


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Página 16 -

4 1 2, x 3 33

0, x 3 2 3

Asintótica en x Asin tótica en x Asin tótica en x Asin tótica en x

Asin tótica en x Asin tótica en x Continua Evitable en x

Continua en x 1 ; De salto finito en x 2 De salto finito en x 2 ; Asin tó

− = −

=

= = = =

= = =

= = =

7 ;< =< >< ?<

@< A< B< C<

D< E< 5tica en x=

1

2m 4 a k 1 a 5, b 6 a 1, b 1 a 1, b 2

a 1 Doy sólo los extremos: Máx.:( 1, 4) Mín.:(3, 4)

a 8 No doy la gráfica ; A los 4 años, con un beneficio de 16 millones de euros

−=− = =− =− =− = =− = =

= − −

=

8

9

10

FG HG IG JG KG LG

FG HG

FG HG

x x x x

x x x x

x x

f (x) ; f (x) f (x) 1 ; A.H.:y 1; f (x) 0 ; A.H.:y 0

f (x) ; f (x) 0 ; A.H.:y 0 f (x) ; f (x) ; A.H.:y 0

f (x) ; f (x) 5 ; A.H.:y 5 ; A.V.:x

lim lim lim lim

lim lim lim lim

lim lim

→∞ →−∞ →∞ →−∞

→∞ →−∞ →∞ →−∞

→∞ →−∞

=−∞ =∞ = = = =

=∞ = = =−∞ =−∞ =

=−∞ = =

11

12

MN ON

MN ON

PNx x

x x

2 f (x) ; f (x) ; No hay asíntotas

f (x) 1 ; A.H.:y 1; f (x) ; A.V.:x 2

lim lim

lim lim

→∞ →−∞

→∞ →−∞

=− =∞ =−∞

= = =−∞ =

QN

RN

Puestas en hoja aparte y en web del profesor13

x x x x

x x x

x x

f(x) f (x) ; f (x) f (x) 2 ; A.H.:y 2 ; A.V.:x 2

f (x) ; f (x) ; A.V.:x 3 f(x) 0 ; A.H.:y 0 ; A.V.:x 0 , x 1 , x 2

f (x) ; f (x) ; A.V.:x

lim lim lim lim

lim lim lim

lim lim

→±∞ →∞ →−∞ →±∞

→∞ →−∞ →±∞

→∞ →−∞

=−∞ =∞ =−∞ =− =− =

=∞ =−∞ =− = = = = =−

=−∞ =∞ =

14 ST UT VT

WT XT

YTx

x x x

x x

3 3

5 5

1 1 11 1 2 2 2 3

2 2 2

2 2 1

3 3 3

2 , x 2 f (x) ; A.H.:y ; A.V.:x 0 , x 1

f (x) ; A.H.:y ; A.V.:x f (x) ; A.H.:y ; A.V.:x f (x) ; A.H.:y ; A.V.:x

f (x) ; A.H.:y ; A.V.:x f (x

lim

lim lim lim

lim lim

→±∞

→±∞ →±∞ →±∞

→±∞ →±∞

− −

− −

=− = = = =−

= = = = = = = = =

= = =

ZT

[T \T ]T

^T _Tx x

x x x x x x

x x

) 0 ; A.H.:y 0 f (x) ; f (x) 2 ; A.H.:y 2 ,A.V. x 1

f (x) 0 ; A.H.:y 0; f (x) f (x) 1 ; A.H.:y 1; f (x) f (x) 4 ; A.H.:y 4; f (x)

f (x) 0 ; A.H.:y 0

lim lim

lim lim lim lim lim lim

lim lim

→∞ →−∞

→∞ →−∞ →∞ →−∞ →∞ →−∞

→±∞ →

= = =∞ = = =−

= = =∞ = = =∞ = = =∞

= =

`T

aT bT cT

dT eTx x x

f (x) ; f (x) f (x) 0 ; A.H.:y 0; f (x)lim lim lim∞ →−∞ →∞ →−∞

=∞ =−∞ = = =−∞fT

Puestas en hoja aparte y en web del profesor15

96 pulsaciones 28 horas 400 pulsaciones 6000 € x 3 (años) 2000 €=16 17gh ih jh gh ih jh


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- Página 17 -

13 a)

b)


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- Página 18 -

c)

d)


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- Página 19 -

15 a)

b)


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- Página 20 -

c)

d)

e)

1.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO · 2020. 9. 26. · LÍMITES Y CONTINUIDAD PROFESOR: RAFAEL...

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