ministerie van verkeer en waterstaat I l l f i v V V Q l v l I w i

01:

BIBLIOTHEEK DIRECTIE SLUIZEN E H S T U W E N V A N DE MJ KSWATERSTAAT NR. <? t <n VlSZcsp

Enkele aspekten van g o l f v o o r t p l a n t i n g in e l a s t i s c h e m a t e r i a l e n .

i r . B. van Zwol

BRS 82-07

mei 1982

INHOUD B i z .

I n l e i d i n g . 1

B a s i s v e r g e l i j k i n g e n voor e l a s t i s c h e , homogene en

i so t rope l i chamen. 2

V lakke e l a s t i s c h e go l ven . 5

Toepassing van de t h e o r i e . 13

Geraadpleegde l i t e r a t u u r . 15

- 1 -

I n l e i d i n g .

In de voor l iggende rapportage wordt een b e s c h r i j v i n g gegeven van het ve r -

s c h i j n s e l van g o l f v o o r t p l a n t i n g e n i n e l a s t i s c h e media. Ook het v e r s c h i j n s e l

van het terugkaatsen van de golven aan de randen en oppervlakken van het

ma te r iaa l komt t e r sprake .

De a a n l e i d i n g voor deze s tud ie was het konstateren van enkele geva l l en

van het a f sp r ingen van be tonscho l len aan de onderkant van een p laa tkon -

s t r u k t i e . Op sommige p laa tsen waren aan de onderkant van de p l aa t stukken

beton losgeraak t en a f g e v a l l e n , zodat de wapening b loo t was komen te

l i g g e n . Het geheel maakte de indruk dat er gedacht moet worden aan een

v a i l end voorwerp op de p l a a t k o n s t r u k t i e . Door het v a l l e n d voorwerp kunnen

spanningsgolven i n de p l a a t k o n s t r u k t i e onts taan d i e z i c h naar beneden

voor tp lan ten en aan de onderkant van de p laa t te ruggekaats t worden.

Daardoor kunnen t rekspanningen onts taan d i e het los raken van de beton­

s c h o l l e n zouden kunnen v e r k l a r e n .

Qm het een en ander beter te begr i j pen was i n z i c h t nodig i n het v e r ­s c h i j n s e l van g o l f v o o r t p l a n t i n g i n vas te s t o f f e n . H ie rvoor i s de nodige s t u d i e v e r r i c h t en enkele r e s u l t a t e n daarvan z i j n vastge legd i n deze

rappor tage.

Na deze i n l e i d i n g v o l g t een hoofdstuk dat de b a s i s v e r g e l i j k i n g e n voor

de beweging, vervormingen van en spanningen i n e l a s t i s c h e , homogene en

i s o t r o p e l ichamen behandel t .

Het daarop volgendehoofdstuk behandelt , u i tgaande van de b a s i s v e r g e l i j k i n g e n ,

het v e r s c h i j n s e l van de v lakke e l a s t i s c h e golven i n vas te s t o f f e n .

Tens lo t t e v o l g t een hoofds tuk je met een toepass ing van de behandelde

t h e o r i e . De toepass ing i s g e r i c h t op een (grove) benadering van het

s p a n n i n g s g o l f v e r s c h i j n s e l i n een p laatvormige kons t ruk t i e ten gevolge van

een op d ie p laa t v a l l e n d volkomen s t a r voorwerp.

- ? -

B a s i s v e r g e l i j k i n g e n voor e l a s t i s c h e , homogene en i so t rope l i chamen.

Een e l a s t i s c h l ichaam heef t een unieke n a t u u r l i j k e t oes tand , waar in het

l ichaam a l t i j d te rugkeer t wanneer a l l e externe be las t i ngen worden v e r -

w i j d e r d . A l l e spanningen, rekken en ve rp laa ts ingen worden berekend ten

opz i ch te van deze n a t u u r l i j k e t oes tand ; hun waarden worden a l s nul gerekend

i n d i e toes tand .

Er z i j n twee manieren om een vervormd l ichaam te b e s c h r i j v e n : de " m a t e r i e l e "

manier en de " r u i m t e l i j k e " manier , r e s p e c t i e v e l i j k ook wel "Lagrange-" en

" E u l e r - " b e s c h r i j v i n g e n genoemd, alhoewel beide van Eu le r a fkomst ig z i j n .

We beschouwen h i e r de Eu le r b e s c h r i j v i n g .

De beweging van een continuum wordt beschreven door het momentane s n e l -

he idsve ld v-(xxt

xz> Om de rek i n het l ichaam te besch r i j ven wordt een v e r p l a a t s i n g s v e l d

u.(xl3 x 2 t x . j t ) g e s p e c i f i c e e r d dat de v e r p l a a t s i n g van een d e e l t j e

op de p l a a t s x.s xz, x3 op t i j d s t i p t ten opz i ch te van de oorspronke-

1 i j k e p o s i t i e van dat d e e l t j e i n de n a t u u r l i j k e toestand weergeef t .

D ive rse "rek"maten kunnen gede f i n i ee rd worden voor het v e r p l a a t s i n g s v e l d .

De Almansi rek. tensor wordt a l s v o l g t i n uMs-t9 xz, »$J t) u i t g e d r u k t .

au . du. ou« au, J . . £ _ ~ J£

dx . ox . 3a? • 3a:. t- J * J J

(1)

De ve rp laa t s i ngen van de d e e l t j e s z i j n f u n k t i e s van de t i j d en de

p l a a t s . De " s n e l h e i d " van de d e e l t j e s wordt bepaald door de " m a t e r i a a l " -

a f g e l e i d e van het v e r p l a a t s i n g s v e l d

3u . 3u . (2)

^ at o ox. J

De " v e r s n e l l i n g " van de d e e l t j e s wordt bepaald door de " m a t e r i a a T ' - a f g e l e i d e

van de sne lhe id

dv . 3v .

- 3 -

De beweging van het l ichaam moet voldoen aan de c o n t i n u i t e i t s v e r g e l i j k i n g

* a(pVs)

en ook aan de beweg ingsverge l i j k i ng

8 a . . + (5) p a . =

Naast deze v e l d v e r g e l i j k i n g e n (4) en (5) i s de t heo r i e van de l i n e a i r e

e l a s t i c i t e i t , g e b a s e e r d op de wet van Hooke, van toepass ing . Voor een

homogeen i so t roop mate r iaa l l u i d t deze wet

a.. = \en1 5> •+ 2<Je .. (6) ^ J kk t j ^ J

H i e r i n z i j n A en G konstanten en z i j n ona fhanke l i j k van de r u i m t e l i j k e

kobrd ina ten . Met be t rekk ing to t v e r g e l i j k i n g e n (4) en (5) kan nog meege-

deeld worden dat p de d i c h t h e i d van het mate r iaa l i n kg/m 3 v o o r s t e l t .

X. i s de l i chaamskrach t .

De bekende n i e t l i n e a i r e termen i n ( 1 ) , (2) en (3) z i j n de oorzaken van

de voornaamste moe i l i j kheden i n de e l a s t i c i t e i t s t h e o r i e .

Om toch v o o r u i t te kunnen z i j n we gedwongen te gaan l i n e a r i s e r e n door k l e i n e

ve rp laa ts ingen en k l e i n e snelheden te beschouwen, dus ons te beperken t o t

waarden van u . en v . d i e zo k l e i n z i j n dat de n i e t l i n e a i r e termen i n

v e r g e l i j k i n g e n ( 1 ) , (2) en (3) verwaar loosd mogen worden.

In een d e r g e l i j k e g e l i n e a r i s e e r d e t heo r i e g e l d t :

e . . = h(u . . + u. .) (7)

en

au.

^ at

aV . V

^ at

(8)

(9)

In de verdere behandel ing wordt op deze g e l i n e a r i s e e r d e t heo r i e voo r t -

gebouwd. Ge lukk ig kunnen hiermee nogal wat b ru ikbare r e s u l t a t e n behaald

worden.

De v e r g e l i j k i n g e n (1) to t en met (6) of (4) t o t en met (9) vormen in

t o t a a l 22 v e r g e l i j k i n g e n voor de 22 onbekenden a^, e.. en a ^ . .

In de i n f i n i t e s i m a l e v e r p l a a t s i n g s t h e o r i e kan a . , gee l im ineerd worden door

v e r g e l i j k i n g (6) i n v e r g e l i j k i n g (5) te subs t i t ue ren en daarna (7) te

gebruiken om de bekende Nav ier v e r g e l i j k i n g af te l e i den ,

- 4 -

Gu. .. + (\+G)u. ..+ X. =p7rrr ( 1 0 ) ^ J < 7 J J J ^ - «• 3 * 2

D i t kan ook geschreven worden i n de vorm

3 V .

G V 2 u . * (\+G)eH +X. = p ^ C")

waarm e = u . .

3*3 en

De groo the id e i s de d i v e r g e n t i e van de v e r p l a a t s i n g s v e c t o r

V 2 i s de Laplace opera to r .

(12)

V 2 u . = u, . . (13)

- 5 -

V lakke e l a s t i s c h e go l ven .

Enkele eenvoudige typen van golven i n een e l a s t i s c h medium worden beschouwd,

De ve rp laa t s i ngen u.{i=l,2,3) worden a l s k l e i n beschouwd, zodat a l l e ve r -

gel i j k i n g e n g e l i n e a r i s e e r d kunnen worden.

De b a s i s v e r g e l i j k i n g i s de v e r g e l i j k i n g van Nav ie r . B i j a fwez ighe id van

1ichaamskrachten l u i d t deze:

3 2

P W = **tM + a + G ) *$.H C14)

We z u l l e n e e r s t aantonen dat de beweging

ux= Asin (xx + at), uz= 0 en u 3 - 0 (15)

waar in A, I en a konstanten z i j n , moge l i j k i s wanneer a de s p e c i a l e

waarde

(l+v)(l-2v)p v ;

aanneemt.

D i t kan d i r e k t g e v e r i f i e e r d worden door (15) en ^14) te subs t i t ue ren .

U i t (15) vo lg t dan

—-]= + a — T o s^n -r (x\ + at) at2 tr I

u = -A^rr sin ^ tej + at)

A l l e andere a f g e l e i d e n z i j n n u l .

S u b s t i t u t i e h ie rvan in de Nav ier v e r g e l i j k i n g (14) gee f t

_ p A i l l a

2

Sin 2* (Xx + at ) = - (\+2G) A ̂ sin If (x, * at)

H i e r u i t vo l g t

- pe 2 = - (X+2G)

U i t deze v e r g e l i j k i n g e n v o l g t

— pc 2 - - (X+2G)

,

a = X+M (16)

- 6 -

Het patroon van de beweging voorges te ld door de v e r g e l i j k i n g e n (15)

i s onve rande r l i j k wanneer xx + at konstant b l i j f t .

Dus, a l s het min^teken zou worden geb ru i k t zou het patroon met een

sne lhe id a i n de a ^ - r i c h t i n g bewegen wanneer de t i j d t toeneemt.

De konstante e , wordt de " fase s n e l h e i d " van de golfbeweging genoemd.

In v e r g e l i j k i n g (15) i s I de g o l f l e n g t e van de go l fbeweging. D i t v o l g t

u i t het s i n u s o i d a l e patroon van 2^ a l s f u n k t i e van as, op i ede r t i j d s t i p .

De sne lhe id van de d e e l t j e s b i j het bewegingspatroon vo l gens v e r g e l i j k i n g

(15) i s i n deze l f de r i c h t i n g a l s de g o ! f v o o r t p l a n t i n g , namel i jk de

a ^ - r i c h t i n g . Deze beweging vormt een t r e i n van " l o n g i t u d i n a l e " go l ven .

Aangezien op i ede r ogenbl ik de go l f toppen i n evenwi jd ige v lakken l i g g e n ,

wordt de beweging voorges te ld door v e r g e l i j k i n g (15) een t r e i n van v lakke

golven genoemd.

Vervolgens wordt de volgende beweging beschouwd

Uj = 0, u2 = A sin (xx + at), u 3 - 0 (17)

D i t s t e l t een t r e i n van v lakke go lven met g o l f l e n g t e I voor d ie z i c h i n

a : i - r i c h t i n g v o o r t p l a n t met een sne lhe id a.

Wanneer (17) i n (14) wordt gesubs t i t uee rd vo lg t h i e r u i t dat a de waarde

<?_ moet hebben, waarb i j

(18)

U i t (17) v o l g t namel i j k

(x,+ at)

(xx + at)

A l l e andere a f g e l e i d e n z i j n n u l .

S u b s t i t u t i e h ie rvan in de Nav ie r v e r g e l i j k i n g (14) gee f t

H i e r u i t v o l g t

- pa2= - G

U i t deze v e r g e l i j k i n g e n vo lg t

- pa

- 7 -

o f (18)

De d e e l t j e s s n e l h e i d ( i n de x 2 - r i c h t i n g ) b i j deze beweging s t aa t loodrech t

op de r i c h t i n g van de g o l f v o o r t p l a n t i n g (de a ^ - r i c h t i n g ) . Deze beweging

wordt daarom een " t r a n s v e r s a l e " g o l f genoemd.

De snelheden aT en om worden de k a r a k t e r i s t i e k e l o n g i t u d i n a l e g o l f s n e l h e i d L 1

en t r a n s v e r s a l e g o l f s n e l h e i d genoemd.

Ze z i j n a f h a n k e l i j k van de e l a s t i s c h e konstanten en de d i c h t h e i d van

het m a t e r i a a l . De verhouding a fa i s a f h a n k e l i j k van de dwarskon t rak t ie v .

Op s o o r t g e l i j k e w i j z e a l s (17) s t e l t de volgende beweging een t r a n s v e r s a l e

g o l f voor waar in de d e e l t j e s i n de a ? 3 - r i c h t i n g bewegen (de g o l f v o o r t -

p l an t i ng i s i n a ^ - r i c h t i n g ) .

Het v l a k , evenwi jd ig waaraan de d e e l t j e s bewegen ( zoa l s het a? 2 -v lak

voor v e r g e l i j k i n g (17) en het xx% a ; 3 - v lak voor v e r g e l i j k i n g (20)) wordt

het " p o l a r i s a t i e v l a k " genoemd.

Vlakke golven z o a l s h ie rvoor besproken kunnen a l l e e n maar bestaan i n

een onbegrensd e l a s t i s c h kontinuum. In een e i n d i g l ichaam za l een v lakke

g o l f wanneer d i e een grens r a a k t , te ruggekaats t worden. A l s er een ander

e l a s t i s c h medium ach te r de grens voor komt, onts taan er r e f r a c t i e g o l v e n

i n het tweede e l a s t i s c h e medium. De v e r s c h i j n s e l e n van r e f l e c t i e en

r e f r a c t i e l i j k e n _ v e e l op d ie in de akoes t iek en de o p t i k a .

Het b e l a n g r i j k s t e v e r s c h i l i s dat i n het algemeen een o o r s p r o n k e l i j k

l o n g i t u d i n a l e g o l f gere f1ec teerd en ge re f rac tee rd wordt a l s een kombinat ie

van l o n g i t u d i n a l e en t r a n s v e r s a l e go l ven .

Evenzo wordt een o o r s p r o n k e l i j k t r a n s v e r s a l e g o l f ook g e r e f l e c t e e r d

en ge re f rac tee rd a l s een kombinat ie van l o n g i t u d i n a l e en t r a n s v e r s a l e

go lven .

(19)

u = 0, u2 = 03 u 3 - A sin —(&x ± (20)

- 3 -

Naast deze v lakke e l a s t i s c h e golven i n een l ichaam komen ook nog

golven voor d i e z i c h langs de opperv lak te van het l ichaam voo r tp l an ten .

De bekensten van d i t soor t golven z i j n de Ray le igh golven en Love go lven .

Deze worden h i e r verder bu i ten beschouwing g e l a t e n .

A l s er een v e r s t o r i n g p l a a t s v i n d t i n een punt van een e l a s t i s c h medium

ver lopen er s t r a a l s g e w i j z e go lven vanu i t d i t punt i n a l l e r i c h t i n g e n .

Op voldoende a fs tand van het centrum van de v e r s t o r i n g echter kunnen

zu lke golven a l s v lakke golven worden beschouwd die zowel een l o n g i t u d i n a a l

a l s een t r a n s v e r s a a l ka rak te r kunnen hebben.

A l s we l o n g i t u d i n a l e golven beschouwen en we nemen de X j - a s i n de r i c h t i n g

van de g o ! f v o o r t p l a n t i n g dan g e l d t dat u 2 - u 3 - 0 en dat ux een f u n k t i e

i s van xx en t a l l e e n . De N a v i e r v e r g e l i j k i n g e n (14) gaan dan over i n

p ^ = a + - 2 G ) ^ (21) at2 ox\

Door middel van s u b s t i t u t i e kan aangetoond worden dat e l ke f u n k t i e van

de gedaante f(xx+at) een op loss i ng i s van v e r g e l i j k i n g (21) . Evenzo i s

e l ke f u n k t i e van de gedaante f l ( x l - o t ) een o p l o s s i n g . Deze twee o p l o s s i n g s -

f u n k t i e s hebben een nog algemenere vorm dan de op loss ing beschreven i n (15).

U i t de s u b s t i t u t i e v o l g t dat de konstante a g e l i j k moet z i j n aan

\i \+2G J E(l-V) ( 9 ? \

De algemene o p l o s s i n g van (21) kan dan geschreven worden a l s

U l = f(xx+at) + f x ( x r a t ) (23)

Deze algemene o p l o s s i n g s t e l t twee golfbewegingen voor d ie z i c h langs de

X i - a s i n tegengeste lde r i c h t i n g e n voortbewegen met een konstante sne lhe id

a waarvan de waarde gegeven wordt door (22) .

A l s we de beweging d i e z i c h voo r tp l an t i n de p o s i t i e v e X j - r i c h t i n g ,

voorges te ld door de f u n k t i e f 1 ( x i - a t ) a l l e e n , beschouwen, dan g e l d t voor

de sne lhe id van de m a t e r i e d e e l t j e s .

- 9 -

au. = - o f[(V (24)

waar in

5 s «, -at (25)

en

/ ' (V (26)

De rekkomponenten z i j n

• u » / : ^ ( 2 7 )

A l l e andere rekkomponenten z i j n g e l i j k aan m i l .

Op grond van de gegenera l i seerde wet van Hooke, v e r g e l i j k i n g ( 6 ) , v o l g t

voor de spanningskomponenten

(28) a u - (X+2G) e u

a 22 = a 3 3 = X e n

A l l e andere spanningskomponenten z i j n n u l .

U i t (28) v o l g t

^22 _ a 3 3 _ * _ V /29) a i l a i l X + 2 G 2 ~ V

De spanningen ozz en a 3 3 z i j n o n g e l i j k aan nul om er voor te zorgen dat

e22 en e

3 3 g e l i j k aan nul z i j n . U i t kombinat ie van de v e r g e l i j k i n g e n ( 2 8 ) , ( 2 7 ) , (24) en (22) v o l g t dat

a M - - paiij. (30)

A l s we de beweging d i e z i c h voo r tp l an t i n de negat ieve a ^ - r i c h t i n g ,

voo rges te ld door de f u n k t i e f(xl+at) a l l e e n , hadden beschouwd, waren de

min- tekens i n (24) en (30) veranderd i n p l u s - t e k e n s .

De f u n k t i e s / en f moeten voor e l k spec iaa l geval bepaald worden u i t

de beginvoorwaarden op het t i j d s t i p t=Q. Voor dat t i j d s t i p g e l d t volgens

(23)

- 10 -

t=0 = f(xx> + fx(xx) (31)

- a [fl(xx) - f[(xx)]

Neem b i j voo rbee ld aan dat de i n i t i e l e sne lhe id nul i s en dat er aan

i n i t i e l e v e r p l a a t s i n g vol gens de onderstaande be t rekk ing i s

In d i t geval wordt de i n i t i e l e v e r p l a a t s i n g dus i n twee he ! f t en gedeeld

d i e z i c h a l s go lven i n twee tegengeste lde r i c h t i n g e n voo r tp l an ten .

V e r g e l i j k i n g (21) d i e de l o n g i t u d i n a l e g o l f v o o r t p l a n t i n g b e s c h r i j f t i s

l i n e a i r . B i j op loss ingen mogen we dus het beg inse l van de s u p e r p o s i t i e

toepassen, z i e (23) .

Wanneer twee golven d i e i n tegengeste lde r i c h t i n g voortbewegen e l kaa r

ontmoeten, worden de resu l t an ten van de spanning en de d e e l t j e s s n e l h e i d

verkregen door s u p e r p o s i t i e .

A l s beide go lven b i j voo rbee ld kompressiegolven z i j n en ze ontmoeten e l kaa r

dan wordt de resu l te rende drukspanning door eenvoudige o p t e l l i n g gevonden,

de resu l te rende d e e l t j e s s n e l h e i d door a f t r e k k e n . Nadat ze e l kaa r gepasseerd

z i j n nemen de golven hun o o r s p r o n k e l i j k e vorm weer aan.

Beschouw een kompress iego l f d i e i n xx-richting voortbeweegt en een t r e k -

g o l f met deze l f de leng te en deze l f de abso lu te spanningsgroot te d ie i n

tegengeste lde r i c h t i n g beweegt. Wanneer de golven e l k a a r ontmoeten, hef fen

de t r e k - en drukspanningen e l k a a r op. In het gedee l te waar de twee golven

gesuperponeerd z i j n , heers t een spanning n u l .

= F(xx) (32) t=0

Aan de beginvoorwaarden (31) wordt dan voldaan door het volgende

f(xx) = fx(xx) = &(xx) (33)

- 11 -

m

r i

L I > , j

n

m

!

1

c i n

T e g e l i j k e r t i j d i s de sne lhe id van de d e e l t j e s i n d i t gedee l te van het

l ichaam verdubbe ld . Nadat ze e l k a a r gepasseerd z i j n nemen de golven

hun o o r s p r o n k e l i j k e vorm weer aan. D i t i s i n bovenstaande f i g u u r ve r -

d u i d e l i j k t . In een symmetriedoorsnede m-n i s op e l k t i j d s t i p de spanning

g e l i j k aan n u l .

D i t symmetr ievlak m-n kan ook a l s een v r i j opperv lak van het l ichaam

worden beschouwd. De gevo lg t rekk ing i s dat i n het geval van een v r i j

v l a k oppervlak een kompress iego l f d i e daar loodrech t op i n v a l t , a l s een

g e l i j k v o r m i g e t r e k g o l f wordt te ruggekaats t en omgekeerd.

Wanneer twee i d e n t i e k e golven d i e naar e l k a a r toe bewegen e l kaa r ontmoeten,

za l de spanning verdubbelen en i s de d e e l t j e s s n e l h e i d nul i n het gedee l te

van het l ichaam waar de golven gesuperponeerd z i j n .

- 12 -

m

cr- 1 n

m CT- . cr

n

In een symmetriedoorsnede m-n i s dan op e l k t i j d s t i p de sne lhe id van

de m a t e r i e d e e l t j e s g e l i j k aan n u l .

Deze doorsnede b l i j f t dus v o l l e d i g onbeweegl i jk b i j het passeren van de

go lven . Een v o l l e d i g g e f i x e e r d o f ingeklemd v lak oppervlak van een

l ichaam kaa ts t een loodrecht i n v a l l e n d e g o l f dus onveranderd t e rug .

- 13 -

Toepassing van de t h e o r i e .

Tot nu toe hebben we het v e r s c h i j n s e l van de g o l f v o o r t p l a n t i n g i n een

e l a s t i s c h medium beschouwd. De oorzaak van z o ' n g o l f kan b i j voo rbee ld

een " i n s l a g " van een l ichaam of een voorwerp op het opperv lak van

het e l a s t i s c h e medium z i j n .

De voo r t p l an t i ng en eventuele te rugkaa ts ing van een spannings- en rek -

g o l f d i e h i e r het gevolg van i s , zeker wanneer het l ichaam n i e t de vorm

van een rech te s t a a f d i e i n l e n g t e r i c h t i n g wordt g e t r o f f e n , h e e f t , i s een

komplex probleem dat z i c h n i e t zo gemakkel i jk l a a t op lossen .

Wi l men toch door middel van een handberekening een idee k r i j g e n van de

g roo t te van de spanningen d i e i n de spanningsgolven op t reden, dan za l

men r igo reuze vereenvoudigende aannamen moeten doen.

Veronders te l nu eens dat een voorwerp op een p laatvormige kons t ruk t i e

bestaande u i t 1 i n e a i r - e l a s t i s c h , homogeen en i so t roop mate r iaa l v a l t .

Thoman Young heef t gekonkludeerd dat a l s een volkomen s t a r l ichaam met een

sne lhe id v het u i t e i n d e van een s taa fvormig e l a s t i s c h l ichaam t r e f t ,

e r i n dat s taa fvormige l ichaam een spann ingsgo l f on ts taa t waar in de g roo t te

van de spanningen door de volgende be t rekk ing wordt gegeven

H i e r i n i s E - de e l a s t i c i t e i t s m o d u l u s van het mate r iaa l waaru i t de s taa f b e s t a a t ,

v - de sne lhe id waarmee het s t a r r e voorwerp de s t a a f t r e f t en dat

i s ook de sne lhe id van de m a t e r i e d e e l t j e s van de s taa f i n de

spann ingsgo l f ,

s - de v o o r t p l a n t i n g s s n e l h e i d van de g o l f i n de s t a a f .

Voor de v o o r t p l a n t i n g s s n e l h e i d van de spann ingsgo l f i n de eendimensionale

s t a a f g e l d t :

D i t v o l g t u i t be t rekk ing (22 ) . Met behulp van (35) kan (34) ook geschreven

worden a l s

Deze bet rekk ing komt wat de vorm b e t r e f t overeen met be t rekk ing (30) d ie

voor een meerdimensionale s i t u a t i e g e l d t .

(34)

(35)

o - pav (36)

- 14 -

Men zou h i e r u i t kunnen konkluderen dat a l s een volkomen s t a r voorwerp

van "voldoende" afmetingen de bovenkant van een v lakke e l a s t i s c h e

p l a a t k o n s t r u k t i e t r e f t , h i e r i n een spann ingsgo l f on ts taa t d i e z i c h

naar beneden toe voo r tp l an t en waar in de g roo t te van de spanning wordt

gegeven door

a x i = pav (37)

H i e r i n i s

a n - de spanningskomponent i n de r i c h t i n g waar in de spannings­

g o l f z i c h v o o r t p l a n t ,

p - d e d i c h t h e i d van het mate r iaa l waaru i t de kons t ruk t i e

b e s t a a t , a - d e v o o r t p l a n t i n g s s n e l h e i d van de spanningsgolven i n het

e l a s t i s c h e m a t e r i a a l ,

v - d e v a l s n e l h e i d waarmee het volkomen s t a r r e voorwerp de

k o n s t r u k t i e t r e f t en dat i s ook de sne lhe id van de mater ie-

d e e l t j e s i n de spann ingsgo l f .

De g o l f v o o r t p l a n t i n g s s n e l h e i d wordt gegeven door de volgende be t rekk ing .

° Mi*i>]7i-*>) P~ ( 3 8 ) • H i e r i n i s

E - d e e l a s t i c i t e i t s m o d u l u s ,

v - d e d w a r s k o n t r a k t i e k o e f f i c i e n t ,

p - d e d i c h t h e i d van het mate r iaa l

De drukspann ingsgo l f wordt aan de onderkant van de p l a a t a l s t rek-

spann ingsgo l f te ruggekaa ts t .

In deze t rekspann ingsgo l f hebben de spanningen deze l fde abso lu te

waarde a l s i n de drukspann ingsgo l f .

- 15 -

Geraadpleegde l i t e r a t u u r .

Fung, Y . C . , "Foundat ions of S o l i d Mechan ics " , P r e n t i c e - H a l l I n c . , 1965.