Wiskunde In zicht

een cursus wiskunde voor

studierichtingen met component wiskundederde graad algemeen secundair onderwijs

geschreven door

Koen De Naeghel

Deel XVII Vectorruimten en lineaire afbeeldingen(Hoofdstukken 1 en 2)

17/01/2016

CREATIVE COMMONS

Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0(CC BY-NC-SA)

Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie.De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode

De gebruiker mag:

het werk kopieren, verspreiden en doorgevenRemixen - afgeleide werken maken

Onder de volgende voorwaarden:

Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam tevermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik vanhet werk).Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerciele doeleinden gebruiken.Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfdelicentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.

Met inachtneming van:

Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden metvoorafgaande toestemming van de rechthebbende.Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijkewetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze beınvloed door de licentie.Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht:

• Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet.

• De morele rechten van de auteur.

• De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals hetportretrecht of het recht op privacy.

Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aanderden. De beste manier om dit te doen is door middel van een link naar de webpaginahttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/ .

Gepubliceerd door: Online uitgever Lulu.com

Auteursrecht omslagfoto: stylephotographs/123RF Stockfoto http://nl.123rf.com/profile stylephotographs

Tekstzetsysteem: LATEX

Royalty percentage: 0%

c© 2013 Koen De Naeghel

Gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0

Druk 17 januari 2016

Inhoudsopgave Wiskunde In zicht

Voorwoord iii

Wat is wiskunde? iv-xi

Parate kennis bij aanvang van de derde graad x-xviii

I Precalculus 1 I,i-ii,1-138

II Goniometrie en precalculus 2 II,i-ii,1-95

III Matrices III,i,1-81

IV Complexe getallen

V Logica

VI Rijen

VII Limieten, asymptoten en continuıteit

VIII Afgeleiden

IX Telproblemen

X Kansrekenen 1

XI Integralen

XII Ruimtemeetkunde

XIII Beschrijvende statistiek

XIV Kansrekenen 2 en verklarende statistiek XIV,i,1-39

XV Vectorvlak en Euclidisch vlak

XVI Getaltheorie (Hoofdstukken 1 en 2)

XVII Vectorruimten en lineaire afbeeldingen (H. 1 en 2) XVII,i,1-54

XVIII Analytische meetkunde

XIX Differentiaalvergelijkingen

XX Reeksen

G Computermeetkundepakket GeoGebra

M Computerrekenpakket Maple S,1-15

Po Portfolio wiskunde Po,1-4

Pr Practicum wiskunde

Ps Problem Solving wiskunde Pr,1-12

+∞ Topics uit de wiskunde +∞,1-5

Referentielijst, bibliografie en websites xix-xxvi

ii

−→e2

−→e1

T (−→e1)

T (−→e2)

[0 11 −1

]

Deel XVII

Algebra - Vectorruimten en lineaireafbeeldingen

XVII

Inhoudsopgave Deel Vectorruimten en lineaire afbeeldingen

1 Voorkennis en inleidende begrippen 1

1.1 Verzamelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Afbeeldingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Matrices en lineaire stelsels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Vrije vectoren in het vlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Vectorruimten 8

2.1 Definitie van een vectorruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Voorbeelden van vectorruimten - Deel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Voorbeeld 1 - De vectorruimte R,V2,+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Voorbeeld 2 - De vectorruimte R,V3,+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Voorbeeld 3 - De vectorruimte R,R2,+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Voorbeeld 4 - De vectorruimte R,Rn,+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Voorbeeld 5 - De vectorruimte R,Rm×n,+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Basiseigenschappen van een vectorruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 Voorbeelden van vectorruimten - Deel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Voorbeeld 6 - De triviale vectorruimte R, {0V },+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Voorbeeld 7 - De vectorruimte R,RN,+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Voorbeeld 8 - De vectorruimte R,R[X],+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Voorbeeld 9 - De vectorruimte R,RR,+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5 Deelruimten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.6 Lineaire combinaties en opspanning van vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.7 Voortbrengende vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.8 Lineair onafhankelijke vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.9 Basisvectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Reduceren van voortbrengende vectoren tot een basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Uitbreiden van lineair onafhankelijke vectoren tot een basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.10 Dimensie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.11 Dimensiestelling voor deelruimten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Doorsnede van deelruimten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Som van deelruimten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Directe som van deelruimten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Dimensiestelling voor deelruimten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.12 Toepassingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Toepassing 1 - Symmetrische en scheefsymmetrische matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Toepassing 1 - Expliciet voorschrift van de rij van Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Hoofdstuk 1

Voorkennis en inleidende begrippen

In dit eerste hoofdstuk1 definieren we enkele belangrijke begrippen en leggen we de notatie en terminologie vast die inhet vervolg van dit deel voortdurend zal gebruikt worden. We activeren ook wat voorkennis in verband met matricesen vectoren in het vlak. Dit hoofdstuk kan als zelfstudie aan de leerling worden overgelaten.

1.1 Verzamelingen

In deze paragraaf overlopen we de belangrijkste kenmerken van een van de meest fundamentele begrippen in dewiskunde: verzamelingen.

3 Afspraak. Een verzameling kan omschreven worden als een collectie objecten, die we haar elementen noe-men. Een verzameling heeft geen ordening en elk element kan hoogstens een keer voorkomen. We kunnen eenverzameling beschrijven door haar elementen in een willekeurige volgorde op te sommen. Het geheel van alleelementen wordt tussen accolades geplaatst. We stellen een verzameling schematisch voor aan de hand van eenVenndiagram2.

Voorbeeld. A = {−2, 1, 3} is een verzameling. Omdat een verzameling geen ordening heeft, zal bijvoorbeeld{3,−2, 1} dezelfde verzameling A zijn. De verzameling A kan als volgt worden voorgesteld:

A

−213

3 Notatie. Beschouw een verzameling A. Als een element a tot A behoort, dan schrijven we a ∈ A, wat we lezenals a is een element van A. In het andere geval schrijven we a /∈ A. Bevat A een eindig aantal elementen, dannoteren we dat aantal met #A.

3 Definitie. De unieke verzameling zonder elementen noemen we de lege verzameling, genoteerd met {} of met ∅.3 Definitie. De verzameling van de natuurlijke getallen is {0, 1, 2, 3, . . .} en wordt genoteerd met N. We maken

de afspraak dat 0 een element is van N en we noteren de verzameling {1, 2, 3, . . .} als N0. De verzameling van degehele getallen is {0, 1,−1, 2,−2, . . .}, genoteerd met Z.

In symbolen:

N = {0, 1, 2, 3, . . .}N0 = {1, 2, 3, . . .}Z = {0, 1,−1, 2,−2, 3,−3, . . .}

3 Afspraak. Een andere mogelijkheid om een verzameling te beschrijven is het geven van een of meerdereeigenschappen waaraan de elementen van die verzameling moeten voldoen. De verticale streep | wordt gelezenals waarvoor geldt.

Voorbeeld. De verzameling {a ∈ Z | a2 = 4} is dezelfde als {2,−2}.3 Definitie. Zij A en B verzamelingen. Dan zeggen we dat A een deelverzameling is van B, genoteerd met A ⊆ B,

indien elk element van A ook een element is van B.

In symbolen:

A ⊆ B ⇔ ∀x ∈ A : x ∈ BIn dat geval zeggen we: de verzameling B omvat de verzameling A. Is dat niet zo, dan schrijven we A 6⊆ B.

1Dit hoofdstuk is gebaseerd op [69] (met toestemming van beide auteurs) en andere of eerdere uitgaven van Wiskunde In zicht.2Genoemd naar John Venn 1880. Gelijkaardige diagrammen werden eerder gebruikt door Leonhard Euler 18e eeuw, Gottfried

Willhelm Leibniz 17e eeuw en Ramon Llull 13e eeuw.

XVII-1

Voorbeeld. Elk natuurlijk getal is een geheel getal, dus de verzameling van alle natuurlijke getallen is eendeelverzameling van de verzameling van alle gehele getallen. Anders gezegd: de verzameling van de gehelegetallen omvat de verzameling van de natuurlijke getallen. In symbolen: N ⊆ Z.

Schematisch:

N012. . .

Z

−1−2. . .

3 Opmerking. Beschouw een verzameling A. Omdat de lege verzameling geen enkel element bevat, is voldaanaan de uitspraak ∀x ∈ ∅ : x ∈ A. Dus ∅ ⊆ A, met andere woorden: elke verzameling omvat de lege verzameling.

Hierboven hebben we al aangegeven dat {−2, 1, 3} en {3,−2, 1} dezelfde verzameling voorstellen. De volgende definitiegeeft betekenis aan het begrip gelijkheid van verzamelingen. Daarnaast kunnen we met de bewerkingen doorsnede,unie en verschil nieuwe verzamelingen maken.

3 Definitie. Twee verzamelingen A en B zijn gelijk als A een deelverzameling is van B en als B een deelverzamelingis van A. We schrijven dan A = B. Is dat niet zo, dan schrijven we A 6= B.

3 Definitie. Zij A en B verzamelingen. De doorsnede van A en B is de verzameling van alle elementen die in Aen in B bevat zijn. We noteren die verzameling met A ∩B.

In symbolen:

A ∩B = {x | x ∈ A en x ∈ B}

Schematisch:

A ∩B

A B

3 Definitie. De unie van A en B, genoteerd met A ∪ B, is de verzameling van alle elementen die in A of in Bbevat zijn.

In symbolen:

A ∪B = {x | x ∈ A of x ∈ B}

Schematisch:

A ∪B

A B

3 Definitie. Het verschil van A met B is de verzameling van alle elementen die wel tot A maar niet tot B behoren.Die verzameling wordt met A \B genoteerd.

In symbolen:

A\B = {x | x ∈ A en x /∈ B}

Schematisch:

A\B

A B

XVII-2

3 Opmerking. De doorsnede en de unie van twee verzamelingen kan veralgemeend worden tot de doorsnede ende unie van een eindig aantal verzamelingen:

A1 ∩A2 ∩ · · · ∩An = {x | ∀i ∈ {1, 2, . . . , n} : x ∈ Ai}

A1 ∪A2 ∪ · · · ∪An = {x | ∃i ∈ {1, 2, . . . , n} : x ∈ Ai}

Een andere bewerking die we in dit deel zullen nodig hebben, is het cartesisch product van verzamelingen.

3 Definitie. Het cartesisch product van A met B is de verzameling van alle koppels (a, b) met a ∈ A en b ∈ B.We noteren die verzameling met A×B. In symbolen:

A×B = {(a, b) | a ∈ A en b ∈ B}

Voorbeeld. Het cartesisch product van A = {1, 2, 3} met B = {α, β} is

A×B = {(1, α), (2, α), (3, α), (1, β), (2, β), (3, β)}.

3 Opmerking. Het cartesisch product van twee verzamelingen kan veralgemeend worden tot het cartesisch productvan een eindig aantal verzamelingen A1, A2, . . . , An als de verzameling van alle geordende n-tallen (a1, a2, . . . , an)waarbij ai ∈ Ai:

A1 ×A2 × · · · ×An = {(a1, a2, . . . , an) | a1 ∈ A1 en a2 ∈ A2 en . . . en an ∈ An}

= {(a1, a2, . . . , an) | ∀i ∈ {1, 2, . . . , n} : ai ∈ Ai}.

In deze context is het gebruikelijk om in de beschrijving van de verzameling de specificatie ∀i ∈ {1, 2, . . . , n} wegte laten. We noteren dus ook:

A1 ×A2 × · · · ×An = {(a1, a2, . . . , an) | ai ∈ Ai}

Voorbeeld. We kunnen ook het cartesisch product nemen van een verzameling met zichzelf. Zo is R × R ={(x, y) | x, y ∈ R}. We noteren dikwijls R2 = R × R. Meer algemeen, is n ∈ N0 dan is de verzameling van allen-tallen reele getallen gelijk aan

Rn = {(a1, a2, . . . , an) | ai ∈ R}.

1.2 Afbeeldingen

We nemen het begrip reele functie als aanknopingspunt om tot de definitie van een afbeelding te komen. We herhalendaarom eerst enkele begrippen uit Deel Precalculus 1. De moderne, formele definitie van een functie, die dateert uit1837, hebben we we te danken aan Johann Dirichlet.

Johann Dirichlet(1805 - 1859)

Een reele functie f is een verband dat aan elk reeel getal x hoogstens een reeel getaly associeert, bijvoorbeeld y = 1/x2. Meestal is dat getal y afhankelijk van x, hetgeenwe uitdrukken met y = f(x). Een reele functie wordt dan genoteerd als f : R → R :x 7→ f(x) of nog:

f : R→ Rx 7→ f(x).

Het domein van een reele functie f is de verzameling van alle x-waarden waarbij ereen y-waarde hoort en het beeld (of het bereik) van f is de verzameling van alley-waarden die bereikt worden door f . In symbolen:

dom f = {x ∈ R | ∃y ∈ R : f(x) = y} = {x ∈ R | f(x) bestaat (in R)},

Im f = {y ∈ R | ∃x ∈ R : f(x) = y}.Is bijvoorbeeld f(x) = 1/x2, dan is dom f = R0 en Im f = R+

0 .

De gelijkheid van twee reele functies f en g wordt als volgt gedefinieerd:

f = g ⇔ dom f = dom g en ∀x ∈ dom f : f(x) = g(x).

XVII-3

Zijn X en Y verzamelingen, dan kunnen we op dezelfde manier een functie f van X naar Y definieren: een verbanddat aan elk element x ∈ X hoogstens een element y ∈ Y associeert (zie Figuur 1.1).

X

dom f

Y

Im f

f

Figuur 1.1: Schematische voorstelling van een functie f : X → Y

Een afbeelding van X naar Y , genoteerd als f : X → Y , is een functie waarvoor dom f = X. Met andere woorden, eenafbeelding van X naar Y is een verband dat aan elk element x ∈ X precies een element y ∈ Y associeert (zie Figuur1.2).

X = dom f Y

Im f

f

Figuur 1.2: Schematische voorstelling van een afbeelding f : X → Y

Zo is bijvoorbeeld f : R0 → R : x 7→ 1/x2 een afbeelding, maar g : R → R : x 7→ 1/x2 is geen afbeelding (maar weleen functie).

Een afbeelding f : X → Y kan ook beschouwd worden als een deelverzameling van de productverzameling X × Y ,namelijk

{(x, y) ∈ X × Y | y = f(x)}.Op die manier kan het begrip afbeelding formeel ingevoerd worden.

3 Definitie. Zij X en Y verzamelingen. Een afbeelding van X naar Y is een deelverzameling f van X × Y zodatvoor elke x ∈ X precies een element y ∈ Y bestaat zodat (x, y) ∈ f . Een afbeelding van X naar Y wordt ookwel een X-Y afbeelding genoemd. De verzameling van alle X-Y afbeeldingen noteren we met Y X .

Voorbeeld. Als we met elk getal n ∈ N de positieve vierkantswortel associeren, dan verkrijgen we de afbeelding

f = {(n,√n) | n ∈ N} ⊆ N× R.

We noteren die afbeelding als f : N→ R : n 7→ √n.

3 Opmerking. Elke X-Y afbeelding is een functie, zodat de definities van domein, beeld en gelijkheid van functieszich als volgt vertalen voor afbeeldingen f : X → Y en g : X → Y :

dom f = X,

Im f = {y ∈ Y | ∃x ∈ X : f(x) = y},

f = g ⇔ ∀x ∈ X : f(x) = g(x).

XVII-4

1.3 Matrices en lineaire stelsels

In deze paragraaf overlopen we enkele basisbegrippen en resultaten uit Deel Matrices die we in het vervolg zullennodig hebben.

Het begrip matrix zal vaak aan bod komen, alsook bewerkingen met matrices zoals de optelling en de vermenigvuldi-ging van matrices, samen met de bijbehorende eigenschappen. We zullen vaak steunen op het feit dat we elke matrixkunnen rijherleiden naar trapvorm (ook wel gereduceerde rij-echelonvorm, reduced row echelon form of rijcanoniekematrix genoemd). Zoals gebruikelijk is de rang van een matrix het aantal niet-nulrijen van de trapvorm van die matrix.

In dit deel is het niet nodig dat je het herleiden van matrix naar trapvorm handmatig kan uitvoeren. Daarvoor kan ge-paste software worden gebruikt, bijvoorbeeld de grafische rekenmachine of Maple. Daarom zullen we de tussenstappenvan de rijherleiding altijd weglaten. Bijvoorbeeld:

matrix A trapvorm van A

2 −1 5 100 1 1 21 −1 2 4

∼

1 0 3 60 1 1 20 0 0 0

.

Ook als de rechterkolom van een matrix bestaat uit onbekenden, kunnen we de trapvorm van die matrix met degrafische rekenmachine berekenen. Dat doen we door enkele kolommen toe te voegen die staan voor de coefficientenvan die onbepaalden. Zo is bijvoorbeeld

[4 −8 a−3 6 b

]∼[

1 −2 −b/30 0 a+ 4/3b

]

want [4 −8 1 0−3 6 0 1

]∼[

1 −2 0 −1/30 0 1 4/3

].

Op diverse plaatsen zullen we gebruik maken van het verband tussen het aantal oplossingen van een lineair stelsel ende rang van de uitgebreide matrix.

3 Stelling (hoofdeigenschap van aantal oplossingen van een lineair stelsel). Beschouw een lineair m×n-stelsel met uitgebreide matrix [A | b]. Dan heeft het stelsel

(i) geen oplossingen als rangA < rang [A | b],(ii) een unieke oplossing als rangA = rang [A | b] = n,

(iii) oneindig veel oplossingen als rangA = rang [A | b] < n.

Af en toe zullen we gebruik maken van determinanten. De determinant van een vierkante matrix A is een getaldat door zijn al dan niet nul zijn bepaalt of de matrix A inverteerbaar is. Ook determinanten kunnen met softwareberekend worden. We nemen dan ook de gewoonte aan geen tussenstappen te vermelden bij determinantberekeningen,bijvoorbeeld: ∣∣∣∣∣∣

2 +m n 2m 2 1m n −4

∣∣∣∣∣∣= 6mn− 12m− 2n− 16.

Ten slotte vermelden we de volgende versie van de hoofdstelling van vierkante matrices die vaak gebruikt zal worden.De equivalentie (iv)⇔(vi) maakt deel uit van de zogenaamde regel van Cramer.

3 Stelling (hoofdstelling van vierkante matrices). Zij A een n× n-matrix. Dan zijn de volgende uitsprakenequivalent:

(i) rangA = n,

(ii) de trapvorm van A is de eenheidsmatrix (en heeft dus geen nulrij),

(iii) het homogeen lineair stelsel A · x = 0 heeft een unieke oplossing (namelijk de nuloplossing),

(iv) voor elke n× 1-matrix b heeft het lineair stelsel A · x = b een unieke oplossing,

(v) de matrix A is inverteerbaar,

(vi) de determinant van matrix A is verschillend van nul.

XVII-5

1.4 Vrije vectoren in het vlak

We sluiten dit eerste hoofdstuk af met een korte beschrijving van vrije vectoren in het vlak. We zullen ze enkel nodighebben als een concrete voorstelling van het abstracte begrip vector. Voor een grondige behandeling van vectoren inhet vlak verwijzen we naar Deel XV Vectorvlak en Euclidisch vlak.

Net zoals een verschuiving wordt een vrije vector −→v in het vlak gekarakteriseerd door zijn lengte, richting en zin. Hetbeginpunt is niet van belang. De nulvector −→o correspondeert met de verschuiving over afstand nul: de lengte is nulen de richting en zin zijn niet gedefinieerd.

Vectoren worden in het vlak voorgesteld door een representant. Voor een vector −→v , verschillend van de nulvector, isdat een pijl met een concreet beginpunt, die de lengte, de richting en de zin van −→v heeft. Een representant van denulvector is een willekeurig punt: begin- en eindpunt vallen samen. Twee representanten van eenzelfde niet-nulvectorkunnen verbonden worden met een of twee parallellogrammen zoals op onderstaande figuur.

−→v

−→v

−→v

De verzameling van alle vectoren in het vlak noteren we met V2. Willen we twee vectoren −→u ,−→v ∈ V2 optellen, dankiezen we representanten van beide vectoren zo dat het eindpunt van de ene representant samenvalt met het beginpuntvan de andere. De pijl die we verkrijgen door het beginpunt van de eerste representant te verbinden met het eindpuntvan de tweede, is een representant van de som −→u +−→v , zie figuur hieronder.

−→u−→v

−→u +−→v

We kunnen nu ook vectoren in het vlak vermenigvuldigen met een reeel getal r. Is r 6= 0, dan heeft de vector r · −→vdezelfde richting als −→v en een lengte die |r| keer die van −→v is; voor r > 0 is de zin van r · −→v dezelfde als die van −→ven voor r < 0 is de zin tegengesteld. Is r = 0, dan is r · −→v = −→o .

−→v

2−→v

−1

2−→v

0−→v

We kunnen ook spreken over vectoren in de driedimensionale ruimte, zie Deel Ruimtemeekunde. De verzameling vandie vectoren wordt genoteerd met V3. Analoog als bij vectoren in het vlak kunnen nu ook vectoren in V3 wordenopgeteld en vermenigvuldigd met een reeel getal.

XVII-6

Oefeningen

1 Voorkennis en inleidende begrippen Basis Verdieping Uitbreiding? ?? ? ?? ? ??

1.1 Verzamelingen 1 23

45

6

1.2 Afbeeldingen 7

Oefeningen bij §1.1

B Oefening 1. Waar of vals? Beoordeel de volgende uitspraken. Verklaar telkens je antwoord.

(a) ∅ = {0}

(b) 6 ∈ {6}

(c) {2, 4, 6, 8, 10} ⊆ N

(d) ∅ = {∅}

(e) ∅ ∈ {∅}

(f) {1, 3, 6, 7, 8} ⊆ {1, 3, 6, 7, 9}

(g) ∅ ⊆ {3, 5, 7}

(h) {0} ∈ Z

B? Oefening 2. Beschrijf telkens de gegeven verzameling door opsomming.

(a) {y ∈ Z | 2y2 = 50}(b) {x ∈ N | ∃m ∈ Z : x = 2m− 5}(c) {a ∈ Z | 3a2 = −12}

B? Oefening 3. Zij X = {a, c} en Y = {b, c, e, f}. Beschrijf telkens de verzameling door opsomming.

(a) X × Y

(b) Y ×X

(c) X ×X ×X

(d) X × ∅

V Oefening 4. Zij A en B twee verzamelingen zodanig dat #(A×B) = 6 en {(1, 2), (2, 3), (3, 3)} ⊆ A×B. Bepaal alleelementen van A×B.

V Oefening 5 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987 eerste ronde).Als V = {a, b, {c, d}} dan geldt

(A) c ∈ V

(B) {c, d} ⊆ V

(C) {a, b, c, d} ⊆ V

(D) {{c, d}} ⊆ V

(E) {c} ∈ V

V? Oefening 6. Zij P en Q twee deelverzamelingen van R2 waarvoor P ∪Q = P . Wat kan je uit elk van de onderstaandegegevens besluiten over P en Q?

(a) P ∩Q = ∅

(b) P ∪Q = ∅

(c) P ∩ (R2 \Q) = ∅

(d) (R2 \ P ) ∪Q = ∅

Oefeningen bij §1.2

B? Oefening 7. Bepaal telkens het beeld van de gegeven afbeelding.

(a) f : [0, 4]→ R : x 7→ √x(b) f : {0, 1, 2, 3, 4} → R+ : x 7→ √x(c) f : [−1, 3]→ R : x 7→ 2x2 − 3x+ 4

(d) f : Z× N0 → R : (m,n) 7→ m/n

(e) f : {1, 3} × {2, 4, 6} → N : (a, b) 7→ a · b(f) f : {6, 5, 7} × {10} → N : (x, y) 7→ ggd(x, y)

XVII-7

Hoofdstuk 2

Vectorruimten

Stellen we een algemene 2 × 2-matrix voor met

[a bc d

]waarbij a, b, c, d ∈ R, dan kunnen we twee 2 × 2-matrices

optellen en een 2× 2-matrix vermenigvuldigen met een reeel getal (zie Deel Matrices):[a bc d

]+

[a′ b′

c′ d′

]=

[a+ a′ b+ b′

c+ c′ d+ d′

]en r ·

[a bc d

]=

[ra rbrc rd

].

Op die manier wordt de verzameling R2×2 van alle 2×2-matrices uitgerust met een optelling en een vermenigvuldigingmet een reeel getal, die aan welbepaalde eigenschappen voldoen: de optelling van matrices is associatief, de vermenig-vuldiging van een reeel getal met een matrix is distributief ten opzichte van de optelling van matrices, etc. Men zegtdat de verzameling R2×2 de structuur van een vectorruimte heeft.

Naast verzamelingen van matrices komen in het secundair onderwijs nog andere verzamelingen aan bod die de vec-torruimtestructuur hebben. Veeltermen, complexe getallen, rijen, afbeeldingen, krachtvectoren . . . alle gehoorzamenze aan dezelfde wetmatigheden. Men kan elk van deze objecten bundelen in een verzameling die uitgerust wordt meteen optelling en een vermenigvuldiging met een reeel getal. Doorzie je een van deze verzamelingen, voorzien van dezetwee vaste bewerkingen, dan doorzie je ze allemaal. Daarom loont het de moeite om het begrip vectorruimte op eenalgemene manier te bestuderen. De studie van de abstracte vectorruimtestructuur een hoeksteen van de hogere, zowelzuivere als toegepaste, wiskunde.

In dit hoofdstuk1 definieren we de vectorruimte en allerlei verwante begrippen zoals lineair afhankelijke en onafhan-kelijke vectoren, deelruimte, basis en dimensie en bewerkingen met deelruimten.

2.1 Definitie van een vectorruimte

Giuseppe Peano(1858 - 1932)

In deze paragraaf geven we de definitie van een vectorruimte. De ideeen die geleidhebben tot het concept vectorruimte gaan terug tot in de 17e eeuw, toen pijlen in hetvlak werden bestudeerd. In 1888 stelde Peano de abstracte definitie voor, opgebouwdvanuit acht basiseigenschappen, die axioma’s worden genoemd. Deze axioma’sdienen als grondslag om eigenschappen te bewijzen. Telkens we een eigenschapkunnen bewijzen door enkel te steunen op de acht axioma’s van een vectorruimte enandere eigenschappen die enkel uit die acht axioma’s volgen, dan zal deze eigenschapautomatisch gelden voor alle voorbeelden van vectorruimten, dat wil zeggen vooralle concrete wiskundige structuren die voldoen aan deze axioma’s. We noemen dezebenadering een axiomatische opbouw.

Vooraleer we de definitie van een vectorruimte kunnen geven, moeten we weten wateen bewerking tussen verzamelingen is.

3 Definitie. Zij X en Y verzamelingen. Een bewerking ∗ tussen X en Y is eenafbeelding die met elke twee elementen x ∈ X en y ∈ Y een nieuw element x ∗ yassocieert. We noemen een bewerking tussen X en Y inwendig in Y als hetbeeld een deelverzameling van Y is. Formeel:

∗ : X × Y → Y : (x, y) 7→ x ∗ y.Voorbeelden. Machtverheffing xn met x ∈ R0 en n ∈ N is een bewerking tussen R0 en N. Deze bewerking is nietinwendig in N. De (positieve) grootste gemene deler van twee gehele getallen beide verschillend van nul bepaalteen bewerking die inwendig is in Z0, in symbolen:

ggd : Z0 × Z0 → Z0 : (a, b) 7→ ggd(a, b).

1Dit hoofdstuk is gebaseerd op [69] (met toestemming van beide auteurs) en andere of eerdere uitgaven van Wiskunde In zicht.

XVII-8

3 Definitie (vectorruimte)2. Een (reele) vectorruimte R, V,+ is een niet-lege verzameling V , voorzien van tweeinwendige bewerkingen in V die we hierna optelling in V en scalaire vermenigvuldiging in V noemen:

+ : V × V → V

(u, v) 7→ u+ ven

· : R× V → V

(r, u) 7→ r · u,

zodat aan de volgende axioma’s is voldaan:

(1) de optelling in V is associatief: ∀u, v, w ∈ V : (u+ v) + w = u+ (v + w)

(2) er is een neutraal element voor de optelling in V : ∃0V ∈ V : ∀u ∈ V : u+ 0V = u = 0V + u

(3) elk element in V heeft een invers element voor optelling: ∀u ∈ V : ∃u′ ∈ V : u+ u′ = 0V = u′ + u

(4) de optelling in V is commutatief: ∀u, v ∈ V : u+ v = v + u

(5) de scalaire vermenigvuldiging in V is gemengd associatief: ∀r, s ∈ R,∀u ∈ V : (rs) · u = r · (s · u)

(6) de scalaire vermenigvuldiging in V is distributief ten

opzichte van de optelling in V :∀r ∈ R,∀u, v ∈ V : r · (u+ v) = r · u+ r · v

(7) de scalaire vermenigvuldiging in V is distributief ten

opzichte van de optelling in R:∀r, s ∈ R,∀u ∈ V : (r + s) · u = r · u+ s · u

(8) het reeel getal 1 is een neutraal element voor de scalaire

vermenigvuldiging in V :∀u ∈ V : 1 · u = u.

We noemen elementen u, v, . . . ∈ V vectoren en de getallen r, s, . . . ∈ R ook wel scalairen. Voor een vector v eneen scalair r zullen we de scalaire vermenigvuldiging r · v vaak noteren als rv.

3 Opmerkingen.

1. De optelling in V en scalaire vermenigvuldiging in V zijn bewerkingen die beide inwendig in V zijn. Insymbolen betekent dit:

∀u, v ∈ V : u+ v ∈ V en ∀r ∈ R,∀u ∈ V : r · u ∈ V.2. Axioma 5 stelt dat scalaire vermenigvuldiging gemengd associatief is. De term gemengd wijst er op dat

hier twee soorten vermenigvuldiging aan het werk zijn. Zo voert men bij de bewerking (rs) · u eerstde vermenigvuldiging rs uit (vermenigvuldiging in R) om daarna met u te vermenigvuldigen (scalairevermenigvuldiging in V ).

3. Een niet-lege verzameling V voorzien van een inwendige bewerking + : V × V → V die voldoet aan deaxioma’s 1, 2 en 3 noemt men een groep3, notatie V,+. Voldoet een groep V,+ bovendien aan axioma 4

dan spreekt men van een commutatieve (of abelse4) groep. Onderstaande figuur toont een overzicht van dehierboven besproken structuren op een verzameling V .

verzameling V

+ : V × V → V

axioma’s 1-3

groep V,+

axioma 4

commutatieve groep V,+

· : R× V → V

axioma’s 5-8

reele vectorruimte R, V,+

2Peano 1888. Men kan ook vectorruimten beschouwen over een ander veld dan R, zoals Q (het veld van de rationale getallen), C (hetveld van de complexe getallen), Zp met p priem (eindig veld met p elementen). Echter, in wat volgt bedoelen we met de term vectorruimtesteeds een reele vectorruimte. Vervangt men in de definitie van een reele vectorruimte de verzameling R door een ring, zoals Z, dan spreektmen over modulen in plaats van vectorruimten.

3De tak van de wiskunde (binnen de algebra) die zich bezighoudt met de studie van groepen luistert naar de naam groepentheorie.4Genoemd naar Niels Henrik Abel (1802 - 1829).

XVII-9

2.2 Voorbeelden van vectorruimten - Deel 1

In deze paragraaf komen een eerste reeks voorbeelden van vectorruimten aan bod: dat zijn telkens concrete verzame-lingen V voorzien van een optelling en een scalaire vermenigvuldiging die voldoen aan de acht axioma’s uit de definitievan een vectorruimte.

Voorbeeld 1 - De vectorruimte R,V2,+

3 Beschrijving. Neem voor

. verzameling V : de verzameling V2 van alle (vrije) vectoren in het vlak,

. optelling in V : de gewone optelling van vectoren in het vlak,

. scalaire vermenigvuldiging in V : de gewone scalaire vermenigvuldiging van een reeel getal met een vector.

Men kan aantonen dat de verzameling V2 voorzien van deze optelling en scalaire vermenigvuldiging, aan de achtaxioma’s van een vectorruimte voldoet. Dus R,V2,+ is een vectorruimte.

3 Voorbeeld. Gegeven zijn representanten voor de vectoren −→u en −→v . Teken een representant voor de vector−→u +−→v en een representant voor de vector 2−→u .

−→v−→u

Voorbeeld 2 - De vectorruimte R,V3,+

We kunnen de vectorruimte R,V2,+ als volgt veralgemenen.

3 Beschrijving. Neem voor

. verzameling V : de verzameling V3 van alle (vrije) vectoren in de ruimte,

. optelling in V : de gewone optelling van vectoren in de ruimte,

. scalaire vermenigvuldiging in V : de gewone scalaire vermenigvuldiging van een reeel getal met een vector.

Opnieuw is, met deze optelling en scalaire vermenigvuldiging, voldaan aan de acht axioma’s van een vectorruimte.

3 Voorbeeld. Nevenstaande figuur toont een kubus in de ruimte.

(a) Teken een representant van de vector −→u +−→v .

(b) Teken een representant van een invers element van −→u voor de op-telling in V3.

(c) Welke vectoren zijn van de gedaante r−→u + s−→v met r, s ∈ R?

Oplossing.

−→u

−→v

(c) De vectoren van de gedaante r−→u + s−→v hebben een representant inhet voorvlak van de kubus.

Enkel in de vectorruimten R,V2,+ en R,V3,+ zullen we de elementen (vectoren) voorzien van een pijl. We schrijvendus −→u ∈ V2 of −→u ∈ V3, terwijl we u ∈ V noteren voor een element u in een willekeurige vectorruimte R, V,+verschillend van V2 en V3.

XVII-10

Voorbeeld 3 - De vectorruimte R,R2,+

3 Beschrijving. Neem voor

. verzameling V : de verzameling R2 van alle koppels reele getallen

R2 = {(x, y) | x, y, z ∈ R}

. optelling in V : de componentsgewijze optelling (vul aan)

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2),

. scalaire vermenigvuldiging in V : de componentsgewijze scalaire vermenigvuldiging (vul aan)

r · (x, y) = (rx, ry).

Dan is R,R2,+ een vectorruimte. Bij wijze van voorbeeld zullen we dit hieronder expliciet nagaan. Dat is eenlange, maar typische oefening op de definitie van een vectorruimte.

3 Modelvoorbeeld. Bewijs dat R,R2,+ een vectorruimte is.

Oplossing. Eerst gaan we na of de optelling en scalaire vermenigvuldiging inwendig in R2 zijn: er geldt inderdaaddat (x1 + x2, y1 + y2) ∈ R2 voor elke x1, x2, y1, y2 ∈ R en dat (rx, ry) ∈ R2 voor elke r, x, y ∈ R.

Vervolgens gaan we de acht axioma’s van een vectorruimte na.

(1) Optelling in R2 is associatief, in symbolen: ∀u, v, w ∈ R2 : (u+ v) + w = u+ (w + v).

Neem u, v ∈ R2 willekeurig. Schrijven we u = (x1, y1), v = (x2, y2) en w = (x3, y3) dan volgt uit de definitievan de optelling in R2 enerzijds

(u+ v) + w =((x1, y1) + (x2, y2)

)+ (x3, y3)

= (x1 + x2, y1 + y2) + (x3, y3)

= ((x1 + x2) + x3, (y1 + y2) + y3)

terwijl anderzijds

u+ (v + w) = (x1, y1) +((x2, y2) + (x3, y3)

)

= (x1, y1) + (x2 + x3, y2 + y3)

= (x1 + (x2 + x3), y1 + (y2 + y3)).

Dat (x1 + x2) + x3 = x1 + (x2 + x3) volgt uit het feit dat de optelling in R associatief is en een analoogargument gaat op voor de andere component. We besluiten dat (u+ v) + w = u+ (v + w).

(2) Er is een neutraal element voor de optelling in R2,in symbolen: ∃0R2 ∈ R2 : ∀u ∈ R2 : u+ 0R2 = u = 0R2 + u.

Stel 0R2 = (0, 0). Dan is voor elke u = (x, y) ∈ R2

u+ 0R2 = (x, y) + (0, 0) = (x+ 0, y + 0) = (x, y) = u

waarbij we in de voorlaatste gelijkheid gebruik gemaakt hebben van het reeel getal 0 als neutraal elementvoor de optelling in R. Analoog is ook 0R2 + u = u.

(3) Elk element in V heeft een invers element voor optelling in V ,in symbolen: ∀u ∈ R2 : ∃u′ ∈ R2 : u+ u′ = 0R2 = u′ + u.

Neem u = (x, y) ∈ R2 willekeurig. Dan is u′ = (−x,−y) een invers element van u voor de optelling in R2

wantu+ u′ = (x, y) + (−x,−y) = (x+ (−x), y + (−y)) = (0, 0) = 0R2 .

Analoog is u′ + u = 0R2 .

(4) de optelling in R2 is commutatief, in symbolen: ∀u, v ∈ R2 : u+ v = v + u.

Neem u = (x1, y1) ∈ R2 en v = (x2, y2) ∈ R2. Dan is enerzijds

u+ v = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)

terwijl anderzijdsv + u = (x2, y2) + (x1, y1) = (x2 + x1, y2 + y1).

De optelling in R is commutatief zodat x1 + x2 = x2 + x1, enzovoort. We verkrijgen dat u+ v = v + u.

XVII-11

(5) de scalaire vermenigvuldiging in R2 is gemengd associatief,in symbolen: ∀r, s ∈ R,∀u ∈ R2 : (rs) · u = r · (s · u).

Neem r, s ∈ R en u = (x, y) ∈ R2 willekeurig. Dan is

(rs) · u = (rs) · (x, y) =((rs)x, (rs)y

)

enr · (s · u) = r ·

(s · (x, y)

)= r · (sx, sy) =

(r(sx), r(sy)

).

De vermenigvuldiging in R is associatief zodat (rs)x = r(sx) enzovoort, waaruit volgt dat (rs) ·u = r ·(s ·u).

(6) de scalaire vermenigvuldiging in R2 is distributief ten opzichte van de optelling in R2,in symbolen: ∀r ∈ R,∀u, v ∈ R2 : r · (u+ v) = r · u+ r · v.

Zij r ∈ R en u, v ∈ R3 willekeurig. Stellen we u = (x1, y1) en v = (x2, y2) dan is enerzijds

r · (u+ v) = r · (x1 + x2, y1 + y2)

=(r(x1 + x2), r(y1 + y2)

)

= (rx1 + rx2, ry1 + ry2)

terwijl anderzijds

r · u+ r · v = r · (x1, y1) + r · (x2, y2)

= (rx1, ry1) + (rx2, ry2)

= (rx1 + rx2, ry1 + ry2).

(7) de scalaire vermenigvuldiging in R2 is distributief ten opzichte van de optelling in R,in symbolen: ∀r, s ∈ R,∀u ∈ R2 : (r + s) · u = r · u+ s · u.

Nemen we r, s ∈ R en u = (x, y) ∈ R2, dan is

(r + s) · u = ((r + s)x, (r + s)y) = (rx+ sx, ry + sy) = r · u+ s · v.(8) het reeel getal 1 is een neutraal element voor de scalaire vermenigvuldiging in R2,

in symbolen: ∀u ∈ R2 : 1 · u = u.

Voor u = (x, y) ∈ R2 volgt uit de definitie van scalaire vermenigvuldiging dat 1 · u = (1x, 1y) = (x, y) = u.

In deze bewijzen hebben we veelvuldig gebruik gemaakt van eigenschappen van de optelling en vermenigvuldigingin R, zoals: de optelling in R is associatief, het reeel getal 0 is neutraal element voor de optelling in R enzovoort.De axioma’s van de vectorruimte R2 werden dus aangetoond op basis van gelijkaardige axioma’s van R. Ook in devolgende voorbeelden kan een soortgelijke overeenkomst worden opgemerkt.

Voorbeeld 4 - De vectorruimte R,Rn,+

We kunnen de vectorruimte R,R2,+ als volgt veralgemenen.

3 Beschrijving. Zij n ∈ N0 en beschouw als

. verzameling V : de verzameling Rn van alle geordende n-tallen reele getallen

Rn = {(a1, a2, . . . , an) | ai ∈ R}

. optelling in V : de componentsgewijze optelling (vul aan)

(a1, a2, . . . , an) + (b1, b2, . . . , bn) = (a1 + b1, a2 + b2, . . . , an + bn),

. scalaire vermenigvuldiging in V : de componentsgewijze scalaire vermenigvuldiging (vul aan)

r · (a1, a2, . . . , an) = (ra1, ra2, . . . , ran).

Op precies dezelfde manier als hierboven kunnen we aantonen dat deze verzameling Rn, voorzien van de boven-staande optelling en vermenigvuldiging, aan de axioma’s van een vectorruimte voldoet.

3 Modelvoorbeeld. Beschouw de vectorruimte R,R5,+ en de vectoren u = (1, 1,−2, 0, 3) en v = (0, 3,−1, 2,−4).

(a) Bereken de vectoren u+ v en (−2)u.

(b) Wegens axioma 2 is er een neutraal element voor de optelling in de vectorruimte R,R5,+. Geef zo’n element.

Oplossing.

(a) We hebben u+ v = (1, 4,−3, 2,−1) en (−2)u = (−2,−2, 4, 0,−6).

(b) 0R5 = (0, 0, 0, 0, 0)

XVII-12

Voorbeeld 5 - De vectorruimte R,Rm×n,+

Ook op de verzameling van m× n-matrices kan de structuur van een vectorruimte gelegd worden.

3 Beschrijving. Zij m,n ∈ N0 en beschouw als

. verzameling V : de verzameling van alle reele m× n-matrices5

Rm×n =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

am1 am2 . . . amn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣aij ∈ R

. optelling in V : de elementsgewijze optelling van matrices

a11 . . . a1n...

...am1 . . . amn

+

b11 . . . b1n...

...bm1 . . . bmn

=

a11 + b11 . . . a1n + b1n

......

am1 + bm1 . . . amn + bmn

. scalaire vermenigvuldiging in V : de elementsgewijze vermenigvuldiging van een matrix met een scalair

r ·

a11 . . . a1n...

...am1 . . . amn

=

ra11 . . . ra1n

......

ram1 . . . ramn

.

Opnieuw kunnen we nagaan dat Rm×n, voorzien van deze optelling en scalaire vermenigvuldiging, aan de axioma’svan een vectorruimte voldoet.

3 Modelvoorbeeld. Beschouw de vectorruimte R,R2×3,+ en de vectoren u =

[−1 0 42 2 6

]en v =

[2 0 09 5 −6

].

(a) Bereken de vectoren u+ v en (−2)u+ (−3)v.

(b) Geef een invers element van u voor de optelling in de vectorruimte R,R2×3,+.

(c) Bewijs dat de scalaire vermenigvuldiging in R,R2×3,+ gemengd associatief is.

Oplossing.

(a) We hebben u+ v =

[1 0 411 7 0

]en (−2)u+ (−3)v =

[−4 0 −8−31 −19 6

].

(b) u′ =

[1 0 −4−2 −2 −6

]

(c) We moeten aantonen dat ∀r, s ∈ R,∀u ∈ R2×3 : (rs) · u = r · (s · u).

Neem r, s ∈ R en u =

[a b cd e f

]∈ R2×3 willekeurig. Dan is enerzijds

(rs) · u = (rs) ·[a b cd e f

]=

[(rs)a (rs)b (rs)c(rs)d (rs)e (rs)f

]

terwijl anderzijds

r · (s · u) = r ·(s ·[a b cd e f

])= r ·

[sa sb scsd se sf

]=

[r(sa) r(sb) r(sc)r(sd) r(se) r(sf)

].

De vermenigvuldiging in R is associatief zodat (rs)a = r(sa) enzovoort, waaruit volgt dat (rs) ·u = r ·(s ·u).

5Voor definities, basisbegrippen en eigenschappen in verband met matrices (en later met oplossen van stelsels), verwijzen we naar DeelMatrices.

XVII-13

2.3 Basiseigenschappen van een vectorruimte

In deze paragraaf bewijzen we enkele eigenschappen die rechtstreeks uit de axioma’s van een vectorruimte volgen. Hetvoordeel is dat we deze eigenschappen maar een keer hoeven aan te tonen, om ze daarna in elk voorbeeld van eenvectorruimte te kunnen gebruiken.

3 Eigenschap (uniciteit van neutraal element en invers element).

Zij R, V,+ een vectorruimte. Dan gelden de volgende eigenschappen:

(i) er is juist een neutraal element voor de optelling in V :

∃! 0V ∈ V : ∀u ∈ V : u+ 0V = u = 0V + u

(ii) elk element in V heeft juist een invers element voor de optelling in V :

∀u ∈ V : ∃!u′ ∈ V : u+ u′ = 0V = u′ + u

Bewijs van (i). Wegens axioma 2 is er minstens een neutraal element voor de optelling in V . Dus er is een vector0V ∈ V waarvoor geldt:

∀u ∈ V : u+ 0V = u = 0V + u. (1)

We tonen nu aan dat er hoogstens een neutraal element bestaat. Stel daartoe dat er een tweede zou bestaan,met andere woorden dat ook voor een vector 0′V ∈ V geldt:

∀u ∈ V : u+ 0′V = u = 0′V + u. (2)

We moeten aantonen dat noodzakelijk 0V = 0′V . Welnu (vul aan en verlaar elke overgang):

0V = 0V + 0′V wegens (2) waar we u = 0V kiezen

= 0′V wegens (1) waar we u = 0′V kiezen.

We besluiten dat er juist een neutraal element voor de optelling in V is.

Bewijs van (ii). Neem u ∈ V . Wegens axioma 3 heeft u minstens een invers element u′ voor de optelling in V :

u+ u′ = 0V = u′ + u. (3)

Nemen we aan dat ook voor een vector u′′ ∈ V geldt dat

u+ u′′ = 0V = u′′ + u, (4)

dan is (vul aan en verklaar elke overgang):

u′ = u′ + 0V wegens axioma 2

= u′ + (u+ u′′) wegens (4)

= (u′ + u) + u′′ wegens axioma 1

= 0V + u′′ wegens (3)

= u′′ wegens axioma 2.

Bijgevolg heeft u juist een invers element voor de optelling in V .

De uniciteit van het neutraal element laat ons toe om over het neutraal element voor de optelling te spreken. Wespreken ook wel van de nulvector in V . Analoog spreken we van het invers element van een vector u ∈ V , ook wel detegengestelde vector van u genoemd. Die vector zullen we in het vervolg met −u noteren.

3 Definitie (verschil van vectoren). Zij R, V+ een vectorruimte. Het verschil van twee vectoren u, v ∈ V is desom van de vector u met de tegengestelde van v. In symbolen:

u− v def= u+ (−v)

XVII-14

3 Eigenschap (basiseigenschappen van een vectorruimte).

Zij R, V,+ een vectorruimte. Dan gelden de volgende eigenschappen:

(iii) ∀u, v, w ∈ V : u+ v = w + v ⇒ u = w, (schrappingswet)

(iv) ∀v ∈ V : 0 · v = 0V ,

(v) ∀r ∈ R : r · 0V = 0V ,

(vi) ∀r ∈ R,∀v ∈ V : r · v = 0V ⇔ r = 0 of v = 0V ,

(vii) ∀v ∈ V : (−1) · v = −v,

(viii) ∀r ∈ R,∀v ∈ V : (−r) · v = −(r · v) = r · (−v).

We bewijzen de eigenschappen (iii), (iv), (vi) en (vii). De bewijzenvan de eigenschappen (v) en (viii) worden als oefening voor de lezergehouden.

Bewijs van (iii). Neem u, v, w ∈ V en stel dat u+v = w+v. We zullen aantonen dat u = w (vul aan en verklaarelke overgang):

u+ v = w + v ⇒ (u+ v) + (−v) = (w + v) + (−v) wegens gelijke termen toevoegen

⇒ u+ (v + (−v)) = w + (v + (−v)) wegens axioma 1

⇒ u+ 0V = w + 0V wegens axioma 3

⇒ u = w wegens axioma 2.

Bewijs van (iv). Neem v ∈ V . We moeten aantonen dat 0 · v = 0V . We vinden:

0 · v = (0 + 0) · v ⇒ 0 · v = 0 · v + 0 · v wegens axioma 7

⇒ 0 · v + 0V = 0 · v + 0 · v wegens axioma 2

⇒ 0V = 0 · v wegens schrappingswet.

Bewijs van (vi). Neem r ∈ R en v ∈ V . Als r = 0 of v = 0V dan volgt uit de eigenschappen (iv) en (v)onmiddellijk dat r · v = 0V .

Omgekeerd, onderstel dat r · v = 0V . Om aan te tonen dat r = 0 of v = 0V onderscheiden we twee gevallen.

Geval 1: r = 0. Dan geldt overduidelijk r = 0 of v = 0V en in dit geval is het gestelde bewezen.

Geval 2: r 6= 0. We zullen aantonen dat v = 0V (vul aan en verklaar de overgangen):

r · v = 0V ⇒ 1

r· (r · v) =

1

r· 0V

1

r∈ R want r 6= 0

⇒(

1

rr

)· v = 0V wegens axioma 5 en eigenschap (v)

⇒ 1 · v = 0V

⇒ v = 0V wegens axioma 8.

Bewijs van (vii). Neem u ∈ V . Te bewijzen is dat (−1) · v = −v, of anders geformuleerd: het invers elementvan v voor de optelling in V is gelijk aan (−1) · v. Dat is inderdaad het geval, want (vul aan en verklaar deovergangen):

v + (−1) · v = 1 · v + (−1) · v wegens axioma 8

= (1 + (−1)) · v wegens axioma 7

= 0 · v

= 0V wegens eigenschap (iv).

Uit de commutativiteit van de optelling in V volgt ook dat (−1) · v + v = 0V .

Deze basiseigenschappen kunnen aangewend worden om aan te tonen dat een verzameling, voorzien van een optellingen scalaire vermenigvuldiging, geen vectorruimte is (zie Oefening 12).

XVII-15

2.4 Voorbeelden van vectorruimten - Deel 2

In deze paragraaf bespreken we een tweede en laatste reeks voorbeelden van vectorruimten. We starten met het meesteenvoudige voorbeeld van een vectorruimte.

Voorbeeld 6 - De triviale vectorruimte R, {0V },+3 Beschrijving. Neem voor

. verzameling V : een verzameling met een element V = {a},

. optelling in V : a+ a = a,

. scalaire vermenigvuldiging in V : ra = a voor elke r ∈ R.

Dan is de optelling en vermenigvuldiging inwendig in V . We laten het als oefening voor de lezer om na te gaandat er ook voldaan is aan de acht axioma’s van een vectorruimte. In het bijzonder is de nulvector in V gelijkaan het enige element van V , zodat a = 0V en we dan ook mogen noteren dat V = {0V }. We noemen dezevectorruimte de triviale vectorruimte.

Voorbeeld 7 - De vectorruimte R,RN,+

3 Definitie (reele rij). Een (reele) rij is een afbeelding van N naar R:

(an) : N→ Ri 7→ ai.

We noteren een rij (an) als (a0, a1, a2, . . .) waarbij ai ∈ R voor elke i ∈ N.

3 Beschrijving. Neem voor

. verzameling V : de verzameling van alle rijen

RN = {(a0, a1, a2, . . .) | ai ∈ R}

. optelling in V : de termsgewijze optelling van rijen (vul aan)

(a0, a1, a2, . . .) + (b0, b1, b2, . . .) = (a0 + b0, a1 + b1, a2 + b2, . . .)

. scalaire vermenigvuldiging in V : de termsgewijze scalaire vermenigvuldiging van rijen (vul aan)

r · (a0, a1, a2, . . .) = (ra0, ra1, ra2, . . .).

We kunnen nagaan dat de verzameling RN, voorzien van deze optelling en scalaire vermenigvuldiging, aan deaxioma’s van een vectorruimte voldoet.

3 Voorbeeld. Beschouw in de vectorruimte R,RN,+ de vectoren u = (1, 2, 3, 4, 5, . . .) en v = (1, 2, 1, 2, 1, . . .).

(a) Bereken de vectoren√

7u en 2u− v.

(b) Geef de nulvector in de vectorruimte R,RN,+.

(c) Geef de tegengestelde vector van u.

(d) Bewijs de volgende uitspraak:

∀r, s ∈ R : ru+ sv = 0RN ⇒ r = s = 0.

Oplossing.

(a) We vinden√

7u = (√

7, 2√

7, 3√

7, 4√

7, . . .) en 2u− v = (1, 2, 5, 6, 9, 10, . . .).

(b) 0RN = (0, 0, 0, 0, 0, . . .)

(c) −u = (−1,−2,−3,−4,−5, . . .)

(d) Om de uitspraak te bewijzen nemen we r, s ∈ R en veronderstellen we dat ru+ sv = 0RN . Dan vinden we:

ru+ sv = 0RN ⇒ r(1, 2, 3, 4, 5, . . .) + s(1, 2, 1, 2, 1, . . .) = (0, 0, 0, 0, 0, . . .)

⇒ (r + s, 2r + 2s, 3r + s, 4r + 2s, 5r + s, . . .) = (0, 0, 0, 0, 0, . . .)

⇒

r + s = 0

2r + 2s = 0

3r + s = 0

4r + 2s = 0

...

⇒ r = 0 en s = 0.

XVII-16

Voorbeeld 8 - De vectorruimte R,R[X],+

3 Beschrijving. Neem voor

. verzameling V : de verzameling van alle (reele) veeltermen in X (zie Deel Precalculus 1)

R[X] = {a0 + a1X + a2X2 + · · ·+ anX

n | n ∈ N en a0, a1, a2, . . . , an ∈ R}

. optelling in V : de klassieke optelling van veeltermen (vul aan)(a0 + a1X + a2X

2 + · · ·+ anXn)

+(b0 + b1X + b2X

2 + · · ·+ bmXm)

= (a0 + b0) + (a1 + b1)X + (a2 + b2)X2 + . . .

. scalaire vermenigvuldiging in V : de klassieke vermenigvuldiging van een veelterm met een scalair

r · (a0 + a1X + a2X2 + · · ·+ anX

n) = ra0 + (ra1)X + (ra2)X2 + · · ·+ (ran)Xn.

Deze optelling en scalaire vermenigvuldiging in R[X] voldoen aan de definitie van de vectorruimte.

Voorbeeld 9 - De vectorruimte R,RR,+

3 Beschrijving. Beschouw als

. verzameling V : de verzameling van alle R-R afbeeldingen (zie Hoofdstuk 1)

RR = {f | f : R→ R is een afbeelding}

. optelling in V : de puntsgewijze optelling (zie Deel Precalculus 1)

f + g : R→ R : x 7→ (f + g)(x) = f(x) + g(x)

. scalaire vermenigvuldiging in V : de puntsgewijze scalaire vermenigvuldiging (zie Deel Precalculus 1)

r · f : R→ R : x 7→ (r · f)(x) = rf(x).

Ook deze verzameling is, voorzien van deze bewerkingen, uitgerust met de structuur van een vectorruimte. Terillustratie bewijzen we twee axioma’s voor R,RR,+. De andere axioma’s worden als oefening voor de lezergelaten.

3 Modelvoorbeeld. Bewijs dat de optelling in RR voldoet aan axioma’s 2 en 3 van een vectorruimte.

Oplossing.

(2) We gaan na dat er een neutraal element voor de optelling in RR is. Als kandidaat nemen we de afbeeldingvan R naar R die elk getal x afbeeldt op het getal 0:

0RR : R→ Rx 7→ 0.

We moeten aantonen dat ∀f ∈ RR : f + 0RR = f = 0RR + f . Beschouw een willekeurige afbeelding f ∈ RR.Voor elke x ∈ R geldt, wegens de definitie van de optelling in RR (vul aan):

(f + 0RR)(x) = f(x) + 0RR(x) = f(x) + 0 = f(x).

Uit de definitie van gelijkheid van afbeeldingen volgt dat de R-R afbeeldingen f +0RR en f aan elkaar gelijkzijn. Analoog is ook f = 0RR + f .

(3) We tonen aan dat elk element f ∈ RR een invers element voor de optelling in RR heeft. Beschouw deafbeelding f ′ van R naar R die elk reeel getal x afbeeldt op het tegengestelde van het beeld van x onder deafbeelding f :

f ′ : R→ Rx 7→ −f(x).

Dan is f ′ een invers element van f voor de optelling in RR. Inderdaad, voor elke x ∈ R is (vul aan):

(f + f ′)(x) = f(x) + f ′(x) = f(x) + (−f(x)) = 0 = 0RR(x)

zodat f + f ′ = 0RR . Analoog is ook f ′ + f = 0RR .

Merk op dat het niet volstaat om de afbeelding −f als invers element van f voor te stellen, indien −f nieteerst gedefinieerd werd.

XVII-17

2.5 Deelruimten

In de wiskunde worden algebraısche structuren vaak bestudeerd door middel van hun deelstructuren. Dat is wat wein deze paragraaf zullen doen: kijken naar deelverzamelingen die de vectorruimtestructuur bezitten.

Zij R, V,+ een vectorruimte en W ⊆ V . Omdat elk element van W tot V behoort, noemen we de elementen van Wook vectoren en kunnen we de vectoren van W met elkaar optellen en met een reeel getal vermenigvuldigen. Op diemanier leiden de optelling en de scalaire vermenigvuldiging in V tot de twee bewerkingen:

+ : W ×W → V

(u, v) 7→ u+ ven

· : R×W → V

(r, u) 7→ r · u. (1)

Het is denkbaar dat voor u, v ∈ W de som u + v niet tot W behoort. In dat geval is de optelling niet inwendigin W en is W , voorzien van de bewerkingen (1), geen vectorruimte. Evenzo kan voor r ∈ R en u ∈ W de scalairevermenigvuldiging r · u buiten W vallen.

3 Voorbeeld. Neem de vectorruimte R,R2,+ en beschouw de deelverzameling

W = {(a, a+ 1) | a ∈ R}.

(a) Geef drie verschillende vectoren van W .

(b) Toon aan dat de optelling niet inwendig is in W .

Oplossing.

(a) Stellen we a achtereenvolgens gelijk aan 0, 1 en 2 dan vinden we (0, 1) ∈W , (1, 2) ∈W en (2, 3) ∈W .

(b) Nu is u = (0, 1) ∈W en v = (1, 2) ∈W maar u+ v = (1, 3) 6∈W . De optelling is dus niet inwendig in W .

Wil een niet-lege verzameling W voorzien van de bewerkingen (1) zelf een vectorruimte zijn, dan is het nodig dat dezebewerkingen inwendig in W zijn. Zo’n niet-lege deelverzameling noemen we voortaan een deelruimte. We zullen laterzien dat deze voorwaarden ook voldoende zijn opdat W de structuur van een vectorruimte zou hebben.

3 Definitie (deelruimte). Zij R, V,+ een vectorruimte en W ⊆ V . We noemenW een deelruimte van V als de volgende voorwaarden voldaan zijn:

(0) W 6= ∅,(1) ∀u, v ∈W : u+ v ∈W ,

(2) ∀r ∈ R,∀u ∈W : r · u ∈W .

Als W een deelruimte is van V dan noteren we W ≤ V en zullen dit somsschematiseren zoals op nevenstaande figuur. Is een deelverzameling W van Vgeen deelruimte, dan noteren we dit met W 6≤ V .

V

W

voorstelling van W ≤ V

3 Modelvoorbeeld 1. Neem de vectorruimte R,R2,+ en beschouw de deelverzameling

W = {(2a, 3a) | a ∈ R}.

Toon aan dat W een deelruimte van R2 is.

Oplossing. We gaan de drie voorwaarden in de definitie van deelruimte na.

(0) Is W 6= ∅? Stellen we a = 0 dan vinden we (0, 0) ∈W , zodat W 6= ∅.(1) Is ∀u, v ∈W : u+ v ∈W? Neem u, v ∈W willekeurig. We moeten bewijzen dat u+ v ∈W . Omdat u ∈W

is u = (2a, 3a) voor een zekere a ∈ R. Analoog is v = (2a′, 3a′) voor een zekere a′ ∈ R. Welnu,

u+ v = (2a, 3a) + (2a′, 3a′) = (2a+ 2a′, 3a+ 3a′) = (2(a+ a′), 3(a+ a′)) ∈W.

(2) Is ∀r ∈ R,∀u ∈ W : r · u ∈ W? Neem u ∈ W en r ∈ R willekeurig. We moeten bewijzen dat ru ∈ W .Omdat u ∈W is u = (2a, 3a) voor een zekere a ∈ R. Welnu,

ru = r(2a, 3a) = (2ra, 3ra) = (2(ra), 3(ra)) ∈W.

XVII-18

Dankzij de volgende eigenschap kan het schrijfwerk in zo’n oefening wat ingekort worden.

3 Eigenschap (criterium voor deelruimte). Zij R, V,+ een vectorruimte en W een niet-lege deelverzamelingvan V . Dan geldt:

W is een deelruimte van V ⇔ ∀u, v ∈W, ∀r, s ∈ R : ru+ sv ∈W

Bewijs. Stel eerst dat W een deelruimte van V is. We moeten aantonen dat ∀u, v ∈W, ∀r, s ∈ R : ru+ sv ∈W .Neem daartoe u, v ∈ W en r, s ∈ R willekeurig. Dan is ru ∈ W en sv ∈ W (waarom?). Nu volgt ook datru+ sv ∈W (waarom?).

Omgekeerd, stel dat∀u, v ∈W, ∀r, s ∈ R : ru+ sv ∈W. (∗)

We moeten bewijzen dat W voldoet aan voorwaarden (1) en (2) van de definitie van deelruimten.

Om (1) te bewijzen, moeten we aantonen dat ∀u, v ∈ W : u + v ∈ W . Neem daartoe u, v ∈ W willekeurig.Passen we (∗) toe met r = s = 1 dan vinden we

ru+ sv ∈W ⇒ 1 · u+ 1 · v ∈W

⇒ u+ v ∈Wwaarbij we gesteund hebben op axioma 8 voor de vectorruimte V .

Om (2) te bewijzen, moeten we aantonen dat ∀r ∈ R,∀u ∈ W : r · u ∈ W . Neem daartoe r ∈ R en u ∈ Wwillekeurig. Passen we (∗) toe met s = 1 en v = 0V dan vinden we

ru+ sv ∈W ⇒ ru+ 1 · 0V ∈W

⇒ ru+ 0V ∈W

⇒ ru ∈Wwaarbij we gesteund hebben op axioma’s 2 en 8 voor de vectorruimte V .

3 Modelvoorbeeld 2. Beschouw de vectorruimte R,R4,+ en de deelverzameling

W = {(2a, 0,−a, b) | a, b ∈ R}.Toon aan dat W een deelruimte is van R4.

Oplossing. Alvast is W 6= ∅ want voor a = b = 0 vinden we dat (0, 0, 0, 0) ∈W .

Vervolgens gaan we het criterium voor deelruimte na. Neem daartoe u, v ∈ W en r, s ∈ R willekeurig. Wemoeten aantonen dat ru + sv ∈ W . Omdat u ∈ W is u = (2a, 0,−a, b) voor zekere a, b ∈ R. Analoog isv = (2a′, 0,−a′, b′) voor zekere a′, b′ ∈ R. Welnu,

ru+ sv = r(2a, 0,−a, b) + s(2a′, 0,−a′, b′)

= (2ra, 0,−ra, rb) + (2sa′, 0,−sa′, sb′)

= (2ra+ 2sa′, 0,−ra− sa′, rb+ sb′)

= (2(ra+ sa′), 0,−(ra+ sa′), rb+ sb′) ∈W.

3 Modelvoorbeeld 3. Beschouw de vectorruimte R,R2×3,+ en de deelverzameling

U =

{[2a a+ b 0−b 0 3a

] ∣∣∣∣ a, b ∈ R}

Toon aan dat U een deelruimte is van R2×3.

Oplossing. Alvast is W 6= ∅ want voor a = b = 0 vinden we dat

[0 0 00 0 0

]∈ W . Vervolgens gaan we het

criterium voor deelruimte na.

Neem daartoe u, v ∈ W en r, s ∈ R willekeurig. We moeten aantonen dat ru + sv ∈ W . Omdat u ∈ W is

u =

[2a a+ b 0−b 0 3a

]voor zekere a, b ∈ R. Analoog is v =

[2a′ a′ + b′ 0−b′ 0 3a′

]voor zekere a′, b′ ∈ R. Welnu,

ru+ sv = r

[2a a+ b 0−b 0 3a

]+ s

[2a′ a′ + b′ 0−b′ 0 3a′

]

=

[2(ra+ sa′) (ra+ sa′) + (rb+ sb′) 0−(rb+ sb′) 0 3(ra+ sa′)

]∈W.

XVII-19

Hierna zien we enkele eigenschappen van deelruimten. De eerste eigenschap laat zien dat, op een triviale manier, elkevectorruimte minstens een deelruimte heeft. Het bewijs is eenvoudig en laten we als oefening voor de lezer.

3 Eigenschap (triviale deelruimten). Zij R, V,+ een vectorruimte. Dan geldt:

(1) {0V} is een deelruimte van V ,

(2) V is een deelruimte van V .

We noemen de deelruimte {0V} de nulruimte van V en de deelruimte V de volle ruimte van V . Dit zijn de zogenaamde

triviale deelruimten van V . Elke andere deelruimte van V wordt een eigenlijke deelruimte of echte deelruimte van Vgenoemd.

3 Eigenschap (basiseigenschappen van een deelruimte). Zij R, V,+ een vectorruimte en W een deelruimtevan V . Dan geldt:

(i) 0V∈W ,

(ii) ∀v ∈W : −v ∈W .

Bewijs van (i). Omdat W ≤ V , geldt ∀r ∈ R,∀u ∈ W : r · u ∈ W . Kies nu r = 0 en neem u ∈ W willekeurig(dat kan want W 6= ∅). Dan is

r · u ∈W ⇒ 0 · u ∈W ⇒ 0V ∈Wwaarbij we gesteund hebben op basiseigenschap (iv) voor de vectorruimte V .

Bewijs van (ii). Neem v ∈ W . Omdat W ≤ V , geldt ∀r ∈ R,∀u ∈ W : r · u ∈ W . Kies nu r = −1 en u = v.Dan is

r · u ∈W ⇒ (−1) · v ∈W ⇒ −v ∈Wwaarbij we gesteund hebben op basiseigenschap (vii) voor de vectorruimte V .

Deze basiseigenschappen zijn ook handig om te detecteren dat een deelverzameling van een vectorruimte geen deel-ruimte is. We geven toelichting met volgend

3 Modelvoorbeeld 4. Beschouw de vectorruimte R,R3,+ en de deelverzameling

W = {(x, y, z) ∈ R3 | 2x− 3y + 5z = 1}.Bewijs dat W geen deelruimte van R3 is door gebruik te maken van de vorige eigenschap.

Oplossing. Mocht W een deelruimte zijn van R3 dan zou wegens de vorige eigenschap de nulvector 0R3 = (0, 0, 0)tot W behoren. Maar (0, 0, 0) 6∈W want 2 · 0− 3 · 0 + 5 · 0 6= 1, zodat W geen deelruimte van R3 is.

Tot slot tonen we het hoofdresultaat uit deze paragraaf aan.

3 Stelling (hoofdeigenschap van deelruimte). Zij R, V,+ een vectorruimte en W een deelverzameling van V .Beschouw de bewerkingen + : W ×W → V en · : R×W → V . Dan geldt:

W is een deelruimte van V ⇔ R,W,+ is een vectorruimte

Bewijs. Stel eerst dat R,W,+ een vectorruimte is. We moeten aantonen dat W een deelruimte van V is. Alvastis W ⊆ V , zodat we enkel de drie voorwaarden in de definitie van deelruimte moeten nagaan.

Uit de definitie van vectorruimte volgt onmiddellijk dat W 6= ∅. Verder volgt uit de definitie ook dat de optellingen scalaire vermenigvuldiging inwendig in W zijn, hetgeen precies betekent dat ∀u, v ∈ W : u + v ∈ W en∀r ∈ R,∀u ∈W : r · u ∈W . We besluiten dat W een deelruimte van V is.

Omgekeerd, stel dat W een deelruimte is van V . We moeten aantonen dat R,W,+ een vectorruimte is. Wegensvoorwaarde (0) in de definitie van deelruimte is W een niet-lege verzameling. Voorwaarden (1) en (2) drukkenuit dat de optelling en scalaire vermenigvuldiging inwendig in W zijn. Vervolgens gaan we de acht axioma’s inde definitie van vectorruimte na.

Om axioma 1 te controleren, moeten we aantonen dat de optelling in W is associatief is, in symbolen:∀u, v, w ∈W : (u+ v) + w = u+ (w + v). Neem daartoe u, v, w ∈W . Omdat W ⊆ V , is ook u, v, w ∈ V . Nu isV een vectorruimte, zodat V voldoet aan axioma 1, dus (u+ v) + w = u+ (w + v).

Op dezelfde manier volgen axioma’s 1, 4, 5, 6, 7 en 8 onmiddellijk uit het feit dat V een vectorruimte is: omdatW ⊆ V en de optelling en scalaire vermenigvuldiging in W dezelfde zijn als in V , zullen deze axioma’s ook geldenvoor vectoren van W .

Om axioma 2 na te gaan, moeten we bewijzen dat er een neutraal element voor de optelling in W is, in symbolen:∃0W ∈ W : ∀u ∈ W : u + 0W = u = 0W + u. Omdat W een deelruimte is, volgt uit de basiseigenschappen vaneen deelruimte dat 0

V∈W . Omdat W ⊆ V zal ∀u ∈W : u+ 0

V= u = 0

V+ u.

Op dezelfde manier wordt axioma 3 nagegaan. We besluiten dat R,W,+ een vectorruimte is.

XVII-20

2.6 Lineaire combinaties en opspanning van vectoren

In deze paragraaf leren we hoe je met een beperkt aantal vectoren een deelruimte kan genereren.

3 Definitie (lineaire combinatie van vectoren). Beschouw een vectorruimte R, V,+ en een eindig aantalvectoren v1, v2, . . . , vn ∈ V . Elke vector van de gedaante

r1v1 + r2v2 + · · ·+ rnvn waarbij r1, r2, . . . , rn ∈ R

noemen we een lineaire combinatie van {v1, v2, . . . , vn}.

Voorbeeld. Beschouw de vectorruimte R,R3,+ en de vectoren v1 = (2, 0, 3) en v2 = (−1, 1, 0) van R3. Dan isbijvoorbeeld 3v1 + (−2)v2 = (8,−2, 9) een lineaire combinatie van {v1, v2}. Algemeen kunnen we een lineairecombinatie van {v1, v2} als volgt herschrijven (vul aan):

r1v1 + r2v2 = r1(2, 0, 3) + r2(−1, 1, 0)

= (2r1, 0, 3r1) + (−r2, r2, 0)

= (2r1 − r2, r2, 3r1),

waarbij r1, r2 ∈ R.

3 Definitie (opspanning van vectoren). Beschouw een vectorruimte R, V,+ en een eindig aantal vectorenv1, v2, . . . , vn ∈ V . De verzameling van alle lineaire combinaties van {v1, v2, . . . , vn} noemen we de opspanningvan {v1, v2, . . . , vn} die we noteren met Span{v1, v2, . . . , vn}.In symbolen:

Span{v1, v2, . . . , vn} = {r1v1 + r2v2 + · · ·+ rnvn | r1, r2, . . . , rn ∈ R}

Voorbeeld. Beschouw uit het vorige voorbeeld de vectorruimte R,R3,+ en de vectoren v1 = (2, 0, 3) en v2 =(−1, 1, 0). Dan kan de opspanning van {v1, v2} genoteerd worden als (vul aan):

Span{v1, v2} = {r1v1 + r2v2 | r1, r2 ∈ R}

= {(2r1 − r2, r2, 3r1) | r1, r2 ∈ R}.

Omdat elke lineaire combinatie van {v1, v2, . . . , vn} tot V behoort, is elk element van Span{v1, v2, . . . , vn} ook eenelement van V . Hieruit volgt dat Span{v1, v2, . . . , vn} een deelverzameling van V is. We zullen later aantonen datSpan{v1, v2, . . . , vn} ook een deelruimte van V is. Eerst laten we een typische oefening zien: nagaan of een vectorbehoort tot een opspanning van vectoren.

3 Modelvoorbeeld 1. Beschouw in de vectorruimte van reele veeltermen R,R[X],+ de vectoren

v1 = −2 + 2X −X2, v2 = 3 + 2X +X2, v3 = 5 + 2X2 en w = −12 + 2X − 5X2.

Ga na of de vector w behoort tot Span{v1, v2, v3}. Zo ja, schrijf w als een lineaire combinatie van {v1, v2, v3}.Oplossing. De vector w behoort tot Span{v1, v2, v3} enkel en alleen als w een lineaire combinatie van {v1, v2, v3}is, dus als en slechts als

∃r, s, t ∈ R : −12 + 2X − 5X2 = r(−2 + 2X −X2) + s(3 + 2X +X2) + t(5 + 2X2)

⇔ ∃r, s, t ∈ R : −12 + 2X − 5X2 = (−2r + 3s+ 5t) + (2r + 2s)X + (−r + s+ 2t)X2

⇔ ∃r, s, t ∈ R :

− 2r + 3s+ 5t = −12

2r + 2s = 2

− r + s+ 2t = −5.

We onderzoeken de oplosbaarheid van dit stelsel door de uitgebreide matrix te rijherleiden naar de trapvorm:

[A | b] =

−2 3 5 −12

2 2 0 2−1 1 2 −5

∼

1 0 −1 30 1 1 −20 0 0 0

.

Omdat rangA = rang [A | b] is het stelsel oplosbaar, zodat w ∈ Span{v1, v2, v3}. Een lineaire combinatie vindenwe door het stelsel verder op te lossen:

− 2r + 3s+ 5t = −12

2r + 2s = 2

− r + s+ 2t = −5.

⇔{r − t = 3

s+ t = −2

⇔

r = 3 + a

s = −2− at = a

(a ∈ R).

Kiezen we bijvoorbeeld a = 0, dan vinden we de lineaire combinatie w = 3v1 − 2v2.

XVII-21

Dat een opspanning van vectoren ook een deelruimte is, wordt bewezen in de volgende

3 Stelling (hoofdeigenschap van opspanning van vectoren).

Zij R, V,+ een vectorruimte en v1, v2, . . . , vn ∈ V . Dan geldt:

(i) v1, v2, . . . , vn ∈ Span{v1, v2, . . . , vn},(ii) Span{v1, v2, . . . , vn} is een deelruimte van V ,

(iii) als W een deelruimte is van V met {v1, v2, . . . , vn} ⊆ W , dan isSpan{v1, v2, . . . , vn} ⊆W .

Bewijs van (i). Omdat

Span{v1, v2, . . . , vn} = {r1v1 + r2v2 + · · ·+ rnvn | r1, r2, . . . , rn ∈ R}

en v1 = 1 · v1 + 0 · v2 + · · · + 0 · vn is v1 ∈ Span{v1, . . . , vn}. Analoog isv2, . . . , vn ∈ Span{v1, v2, . . . , vn}.

V

Wv1, . . . , vn ∈

Span{v1, v2, . . . , vn}

voorstelling van (iii)

Bewijs van (ii). Alvast is Span{v1, . . . , vn} niet leeg (waarom?). Vervolgens gaan we met het criterium voordeelruimte na dat Span{v1, . . . , vn} een deelruimte is van V .

Neem u, v ∈ Span{v1, . . . , vn} en r, s ∈ R. Dan is u = r1v1 + · · · + rnvn voor zekere r1, . . . , rn ∈ R env = s1v1 + · · ·+ snvn voor zekere s1, . . . , sn ∈ R. Bijgevolg is

ru+ sv = r(r1v1 + · · ·+ rnvn) + s(s1v1 + · · ·+ snvn) = (rr1 + ss1)v1 + · · ·+ (rrn + ssn)vn

een lineaire combinatie van {v1, . . . , vn} zodat ru+ sv ∈ Span{v1, . . . , vn}.

Bewijs van (iii). Zij W ≤ V en v1, . . . , vn ∈ W . Dan behoort elke lineaire combinatie van {v1, . . . , vn} tot W ,want R,W,+ is een vectorruimte (zie hoofdeigenschap van een deelruimte). Dus Span{v1, . . . , vn} ⊆W .

3 Afspraak. Zij R, V,+ een willekeurige vectorruimte. Deel (iii) van de voorgaande stelling karakteriseert deopspanning Span{v1, . . . , vn} als de kleinste deelruimte van V die de verzameling {v1, . . . , vn} omvat. Daaromis het natuurlijk om de opspanning van de lege verzameling ∅ te definieren als de kleinste deelruimte van V die∅ omvat. Dat is de nulruimte {0V }. We spreken dus af dat de opspanning van de lege verzameling gelijk is aande nulruimte {0V }. In symbolen:

Span{} = {0V }Omdat de opspanning van een deelverzameling staat voor alle lineaire combinaties van die deelverzameling, leidtSpan{} = {0V } tot de afspraak:

er is een lineaire combinatie van de lege verzameling, en die is gelijk aan de nulvector 0V

De hoofdeigenschap van opspanning van vectoren leidt tot een criterium om na te gaan wanneer twee opspanningenvan vectoren aan elkaar gelijk zijn.

3 Gevolg (criterium voor gelijkheid van opspanningen). Zij R, V,+ een vectorruimte, v1, . . . , vn ∈ V enw1, . . . , wm ∈ V . Dan geldt:

Span{v1, v2, . . . , vn} = Span{w1, w2, . . . , wm}m

v1, v2, . . . , vn ∈ Span{w1, w2, . . . , wm} en w1, w2, . . . , wm ∈ Span{v1, v2, . . . , vn}.

Bewijs. Veronderstel eerst dat Span{v1, . . . , vn} = Span{w1, . . . , wm}. Uit de hoofdeigenschap van opspanningvan vectoren volgt nu:

v1, . . . , vn ∈ Span{v1, . . . , vn} = Span{w1, . . . , wm}.

Analoog geldt w1, . . . , wm ∈ Span{v1, . . . , vn}.

Omgekeerd, stel dat v1, . . . , vn ∈ Span{w1, . . . , wm} en w1, . . . , wm ∈ Span{v1, . . . , vn}. Noemen weW = Span{w1, . . . , wm}, dan isv1, . . . , vn ∈W en uit de hoofdeigenschap van opspanning van vectoren volgt datSpan{v1, . . . , vn} ⊆W . Hieruit volgt:

Span{v1, . . . , vn} ⊆ Span{w1, . . . , wm}.

Een analoge redenering leidt tot Span{w1, . . . , wm} ⊆ Span{v1, . . . , vn}. Dit besluit het bewijs.

XVII-22

3 Modelvoorbeeld 2. Toon in de vectorruimte R,R[X],+ van alle reele veeltermen aan dat

Span{1 +X, 1−X} = Span{1, X}.

Oplossing. Wegens het criterium voor gelijkheid van opspanningen volstaat het om aan te tonen dat1 +X, 1−X ∈ Span{1, X} en dat 1, X ∈ Span{1 +X, 1−X}. De eerste bewering volgt uit

1 +X = 1 · 1 + 1 ·X ∈ Span{1, X} en 1−X = 1 · 1 + (−1) ·X ∈ Span{1, X}.

De tweede bewering volgt uit

1 =1

2(1 +X) +

1

2(1−X) ∈ Span{1 +X, 1−X} en X =

1

2(1 +X)− 1

2(1−X) ∈ Span{1 +X, 1−X}.

Tot dusver hebben we, om te bewijzen dat een deelverzameling van een vectorruimte ook een deelruimte is, telkensgebruik gemaakt van de definitie van deelruimte of van het criterium voor deelruimte. De hoofdeigenschap vanopspanning van vectoren biedt vaak een korter alternatief: is een deelverzameling te schrijven als de opspanning vanvectoren, dan is die deelverzameling noodzakelijk een deelruimte. We lichten dit toe aan de hand van twee voorbeelden.

3 Modelvoorbeeld 3. Beschouw de vectorruimte R,R3,+ en de deelverzameling

W = {(2s, 3s− t, s+ 5t) | s, t ∈ R} ⊆ R3.

Toon aan dat W een deelruimte van R3 is.

Oplossing. Door het scheiden van de parameters kunnenwe de deelverzameling W als volgt herschrijven:

W = {(2s, 3s− t, s+ 5t) | s, t ∈ R}

= {(2s, 3s, s) + (0,−t, 5t) | s, t ∈ R}

= {s(2, 3, 1) + t(0,−1, 5) | s, t ∈ R}

= Span{(2, 3, 1), (0,−1, 5)}.

Wegens de hoofdeigenschap van opspanning van vectorenis Span{(2, 3, 1), (0,−1, 5)} een deelruimte van R3. Dus Wis een deelruimte van R3.

Merk op dat Span{(2, 3, 1)} en Span{(0,−1, 5)} op hunbeurt deelruimten zijn van de vectorruimte R,W,+.Daarnaast is ook de nulruimte een deelruimte vande vectorruimte R,Span{(2, 3, 1)},+ en de vectorruimteR,Span{(0,−1, 5)},+. Het geheel kan geschematiseerdworden zoals op nevenstaande figuur. Merk op dat W ooknog andere deelruimten heeft (geef een voorbeeld).

R3

W = Span{(2, 3, 1), (0,−1, 5)}

Span{(2, 3, 1)} Span{(0,−1, 5)}

{(0, 0, 0)}

voorstelling van W < R3 en zijn deelruimten

3 Modelvoorbeeld 4. Beschouw de vectorruimte R,R[X],+ van alle reele veeltermen. Voor n ∈ N0 definierenwe de verzameling van reele veeltermen in X met graad kleiner dan n, samen met de nulveelterm, als

R[X]<n = {a0 + a1X + a2X2 + · · ·+ an−1X

n−1 | a0, a1, . . . , an−1 ∈ R}

Toon aan dat R[X]<n een deelruimte van R[X] is.

Oplossing. Door het scheiden van de parameters kunnen we de deelverzameling R[X]<n herschrijven als eenopspanning van vectoren:

R[X]<n = {a0 + a1X + a2X2 + · · ·+ an−1X

n−1 | a0, a1, . . . , an−1 ∈ R}

= {a0 · 1 + a1X + a2X2 + · · ·+ an−1X

n−1 | a0, a1, . . . , an−1 ∈ R}

= Span{1, X,X2, . . . , Xn−1},

zodat R[X]<n een deelruimte is van R[X].

XVII-23

2.7 Voortbrengende vectoren

In de vorige paragraaf leerden we dat je, vertrekkend van een eindig aantal vectoren, een vectorruimte kan opspannen.Omgekeerd kunnen we ons de vraag stellen of je, vertrekkend van een vectorruimte, steeds een eindig aantal vectorenkan vinden die deze gegeven vectorruimte opspannen.

3 Definitie (voortbrengend). Zij R, V,+ een vectorruimte en D een eindige deelverzameling van V . AlsSpanD = V dan noemen we D voortbrengend voor V .

Als er zo’n eindige deelverzameling van V bestaat, dan noemen we de vectorruimte R, V,+ eindig voortgebracht.

3 Voorbeeld. Beschouw de vectorruimte R,R2,+. Nu is

R2 = {(x, y) | x, y ∈ R} = {x(1, 0) + y(0, 1) | x, y ∈ R} = Span{(1, 0), (0, 1)}.

Dus de vectorruimte R,R2,+ wordt voortgebracht door D1 = {(1, 0), (0, 1)}. Bijgevolg is R2 een eindig voor-gebrachte vectorruimte. De verzameling voortbrengende vectoren D1 is zeker niet uniek. Zo is bijvoorbeeldook D2 = {(1, 1), (1,−1), (2,−1)} voortbrengend voor R2. Inderdaad, (1, 1), (1,−1), (2,−1) ∈ R = SpanD1 endaarnaast is (vul aan)

(1, 0) = (2,−1)− (1,−1) ∈ SpanD2 en (0, 1) = (1, 1) + (1,−1)− (2,−1) ∈ SpanD2.

Wegens het criterium voor gelijkheid van opspanningen is SpanD2 = SpanD1 = R2, zodat D2 inderdaadvoortbrengend voor R2 is.

3 Opmerking. Beschouw de triviale vectorruimte R, {0V },+. Dan is D1 = {0V } voortbrengend voor R, {0V },+want (vul aan):

SpanD1 = Span{0V } = {r · 0V | r ∈ R} = {0V }.Daarnaast is ook D2 = ∅ voortbrengend voor R, {0V },+ want wegens een eerder gemaakte afspraak is (vul aan):

SpanD2 = Span{} = {0V }.

Beide voortbrengende verzamelingen tonen aan dat de triviale vectorruimte een eindig voortgebrachte vector-ruimte is. We onthouden:

∅ is voortbrengend voor de triviale vectorruimte R, {0V },+

Het volgend voorbeeld laat zien hoe je nagaat of een gegeven verzameling van vectoren voortbrengend is voor eenvectorruimte V .

3 Modelvoorbeeld 1. Beschouw de vectorruimte R,R3,+ en de vectoren

v1 = (2,−1, 3), v2 = (3, 1,−3), v3 = (9,−2, 6) en v4 = (0, 5,−15).

Ga na of D = {v1, v2, v3, v4} voortbrengend is voor R3. Indien niet, geef dan een vector van R3 die geen lineairecombinatie van D is.

Oplossing. Wil D = {v1, v2, v3, v4} voortbrengend voor R3 zijn, dan moet elke vector van R3 een lineairecombinatie van D zijn. Een willekeurige vector v = (a, b, c) ∈ R3 is een lineaire combinatie van D als en slechtsals

∃r, s, t, u ∈ R : (a, b, c) = r(2,−1, 3) + s(3, 1,−3) + t(9,−2, 6) + u(0, 5,−15)

⇔ ∃r, s, t, u ∈ R :

2r + 3s+ 9t = a−r + s− 2t+ 5u = b3r − 3s+ 6t− 15u = c.

We onderzoeken de oplosbaarheid van dit lineair stelsel door rijoperaties toe te passen op de uitgebreide matrix:

2 3 9 0 a−1 1 −2 5 b

3 −3 6 −15 c

∼

1 0 3 −3 a/5 + c/50 1 1 2 a/5− 2c/150 0 0 0 b+ c/3

.

Op die manier zien we dat het oorspronkelijk stelsel oplossingen heeft als en slechts als b + c/3 = 0. Zo is bij-voorbeeld (0, 1, 0) 6∈ SpanD, zodat SpanD 6= R3. We besluiten dat de verzameling vectoren D = {v1, v2, v3, v4}niet voortbrengend is voor R3.

XVII-24

3 Stelling (hoofdeigenschap van voortbrengende vectoren). Zij R, V,+ een vectorruimte en D een eindigedeelverzameling van V . Dan geldt:

D is voortbrengend voor V

melke vector van V is op minstens een manier te schrijven

als een lineaire combinatie van D.

Bewijs. De stelling is waar voor D = ∅ (ga na) zodat we voor het vervolg mogen aannemen dat D 6= ∅. Schrijvenwe D = {v1, v2, . . . , vn} dan volgt uit de definitie van voortbrengendheid:

D is voortbrengend voor V ⇔ V = Span{D}

⇔ V ⊆ Span{D} want er geldt altijd dat SpanD ⊆ V

⇔ ∀v ∈ V : v ∈ Span{v1, v2, . . . , vn}

⇔ ∀v ∈ V : v is een lineaire combinatie van D = v1, v2, . . . , vn.

Is W een deelruimte van een vectorruimte V , dan is R,W,+ een vectorruimte zodat we ook kunnen nagaan of Weindig voortgebracht is. In dat geval kan men uit de beschrijving van W meestal voortbrengende vectoren afleidendoor het scheiden van de parameters, een techniek die al in de vorige paragraaf werd toegepast.

3 Modelvoorbeeld 2. Beschouw de vectorruimte R,R2×2,+ en de deelruimte

W =

{[a b− 2a0 3a− 5c

] ∣∣∣∣ a, b, c ∈ R}.

Toon aan dat W eindig voortgebracht is en bepaal een verzameling voortbrengende vectoren van W .

Oplossing. Om voortbrengende vectoren van W te vinden, schrijven we W als een opspanning van vectoren:

W =

{[a b− 2a0 3a− 5c

] ∣∣∣∣ a, b, c ∈ R}

=

{[a −2a0 3a

]+

[0 b0 0

]+

[0 00 −5c

] ∣∣∣∣ a, b, c ∈ R}

=

{a

[1 −20 3

]+ b

[0 10 0

]+ c

[0 00 −5

] ∣∣∣∣ a, b, c ∈ R}

= Span

{[1 −20 3

],

[0 10 0

],

[0 00 −5

]}.

Hieruit volgt dat

{[1 −20 3

],

[0 10 0

],

[0 00 −5

]}voortbrengend is voor W . Dus W is eindig voortgebracht.

Voegen we aan een voortbrengende verzameling vectoren toe, dan blijft die verzameling voortbrengend. Dat hulpre-sultaat zullen we later nog nodig hebben. Het bewijs is eenvoudig en laten we als oefening voor de lezer.

3 Lemma (uitbreiden van voortbrengde verzameling blijft voortbrengend). Zij R, V,+ een vectorruimteen D1 en D2 twee eindige deelverzamelingen van V waarbij D1 ⊆ D2. Als V wordt voortgebracht door D1, danwordt V ook voortgebracht door D2.

We sluiten deze paragraaf af met een belangrijk resultaat: niet elke vectorruimte is eindig voortgebracht. Het stan-daardvoorbeeld is de vectorruimte R,R[X],+ van alle reele veeltermen in X. Men kan aantonen dat ook de vector-ruimten R,RN,+ en R,RR,+ niet eindig voortgebracht zijn.

3 Eigenschap. De vectorruimte R,R[X],+ is niet eindig voortgebracht.

Bewijs. Veronderstel, uit het ongerijmde, dat de vectorruimte R,R[X],+ wel eindig voortgebracht is en zij{v1, . . . , vn} zo’n voortbrengende verzameling. Dan kan elke v ∈ R[X] geschreven worden als een lineaire com-binatie van {v1, . . . , vn}:

v = r1v1 + r2v2 + · · ·+ rnvn waarbij r1, r2, . . . , rn ∈ R.

Nemen we van beide leden de graad van de veelterm, dan verkrijgen we

gr v = gr(r1v1 + r2v2 + · · ·+ rnvn) ≤ max{gr v1, gr v2, . . . , gr vn}.Noem k = max{gr v1, gr v2, . . . , gr vn} en kies nu v = Xk+1. Dan leidt de vorige ongelijkheid tot k + 1 ≤ k, eenstrijdigheid. We besluiten dat de vectorruimte R,R[X],+ niet eindig voortgebracht is.

XVII-25

2.8 Lineair onafhankelijke vectoren

In een vectorruimte zijn voortbrengende vectoren meestal niet uniek. Beschouw bijvoorbeeld de vectorruimte R,R2,+en de voortbrengende vectoren v1 = (−3, 1), v2 = (−2, 5) en v3 = (0,−13). Dan geldt v3 = 2v1 − 3v2 zodat (ga na):

R2 = Span{v1, v2, v3} = Span{v1, v2}.In zekere zin wordt R2 efficienter voortgebracht door {v1, v2} omdat deze verzameling een element minder telt. De redendat we de voortbrengende verzameling D = {v1, v2, v3} van drie vectoren kunnen herleiden tot een voortbrengendeverzameling van twee vectoren is dat een vector uit D kan geschreven worden als lineaire combinatie van de anderevectoren uit D, bijvoorbeeld v3 = 2v1 − 3v2. Schrijven we de vectoren in hetzelfde lid, dan vinden we de betrekking

2v1 − 3v2 − v3 = 0R2

wat uitdrukt dat de nulvector geschreven kan worden als lineaire combinatie van D. Een lineaire combinatie van denulvector zullen we een lineaire relatie van D noemen. Uiteraard is er altijd de triviale lineaire relatie

0v1 + 0v2 + 0v3 = 0R2 .

Dus de reden dat een vector kan geschreven worden als lineaire combinatie van de andere vectoren en dus in zeker zinafhangen van elkaar, is dat de nulvector op meer dan een manier kan geschreven worden als een lineaire combinatievan D. Anders gezegd: er is meer dan een lineaire relatie van D. Dit leidt ons tot de volgende definities.

3 Definitie (lineaire relatie). Zij R, V,+ een vectorruimte en D een eindige deelverzameling van V . Eenlineaire relatie van D is een lineaire combinatie van D die gelijk is aan de nulvector.

Is D = {v1, . . . , vn} dan noemen we 0v1 + · · ·+ 0vn = 0V de triviale lineaire relatie van {v1, . . . , vn}.Is D = ∅ dan is er wegens een eerder gemaakte afspraak precies een lineaire combinatie van ∅ en die is gelijk aande nulvector. Die ene lineaire relatie zullen we de triviale lineaire relatie van ∅ noemen.

3 Definitie (lineair onhankelijk en lineair afhankelijk). Zij R, V,+ een vectorruimte en D een eindigedeelverzameling van V . Als de enige lineaire relatie van D de triviale is, dan noemen we D lineair onafhankelijk.Bestaat er daarentegen een lineaire relatie van D die niet triviaal is, dan noemen we D lineair afhankelijk.

Met de volgende voorbeelden laten we zien hoe je nagaat of vectoren lineair onafhankelijk zijn.

3 Modelvoorbeeld 1. Beschouw de vectorruimte R,R4,+ en de vectoren

v1 = (1, 3,−2, 5), v2 = (3, 2,−1, 7) en v3 = (−3, 5,−4, 1).

Ga na of D = {v1, v2, v3} lineair onafhankelijk. Zo niet, geef dan een niet-triviale lineaire relatie van D.

Oplossing. Om na te gaan of D = {v1, v2, v3} lineair onafhankelijk is, bepalen we alle lineaire relaties van D.Voor c1, c2, c3 ∈ R geldt:

c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0R4 ⇔ c1(1, 3,−2, 5) + c2(3, 2,−1, 7) + c3(−3, 5,−4, 1) = (0, 0, 0, 0)

⇔

c1 + 3c2 − 3c3 = 0

3c1 + 2c2 + 5c3 = 0

−2c1 − c2 − 4c3 = 0

5c1 + 7c2 + c3 = 0.

We weten dat c1 = c2 = c3 = 0 in elk geval een oplossing van dit homogeen stelsel is, maar opdat de gegevenvectoren lineair onafhankelijk zouden zijn, moeten we nagaan of de nuloplossing de enige oplossing is. Daartoelossen we het stelsel op door rijherleiden:

1 3 −3 03 2 5 0−2 −1 −4 0

5 7 1 0

∼

1 0 3 00 1 −2 00 0 0 00 0 0 0

.

Op die manier verkrijgen we:

c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0R4 ⇔

c1 = −3r

c2 = 2r

c3 = r

(r ∈ R).

Elke r ∈ R0 levert een niet-triviale relatie van D op. Zo vinden we bijvoorbeeld voor r = 1 de niet-triviale relatie

−3v1 + 2v2 + v3 = 0R3 .

Bijgevolg is de verzameling vectoren D = {v1, v2, v3} lineair afhankelijk. Merk op dat we de herschreven uit-drukking v3 = 3v1 − 2v2 rechtstreeks kunnen aflezen uit de trapvorm hierboven.

XVII-26

3 Modelvoorbeeld 2. Beschouw de vectorruimte van alle reele rijen R,RN,+ en de vectoren v1 = (1, 2, 3, 4, . . .)en v2 = (1,−2, 3,−4, . . .). Ga na of {v1, v2} lineair onafhankelijk. Zo niet, geef dan een niet-triviale lineairerelatie van {v1, v2}.Oplossing. Neem c1, c2 ∈ R, dan geldt:

c1v1 + c2v2 = 0RN ⇔ c1(1, 2, 3, 4, . . .) + c2(1,−2, 3,−4, . . .) = (0, 0, 0, 0, . . .)

⇔

c1 + c2 = 0

2c1 − 2c2 = 0

3c1 + 3c2 = 0

4c1 − 4c2 = 0

...

⇔ c1 = c2 = 0.

We besluiten dat {v1, v2} lineair onafhankelijk is.

3 Opmerking. Zij R, V,+ een willekeurige vectorruimte en D ⊆ V . Dan is D lineair onafhankelijk als en slechtsals de nulvector van V op juist een manier als een lineaire combinatie van D te schrijven is. Beschouw nu hetgeval D = ∅. Wegens een eerder gemaakte afspraak is er precies een lineaire combinatie van ∅ en die is gelijkaan 0V . Hieruit volgt:

∅ is lineair onafhankelijk

De volgende twee resultaten vertonen een treffende gelijkenis met die uit de vorige paragraaf. Dat wijst erop datde begrippen voortbrengende vectoren en lineair onafhankelijke vectoren in zekere zin enerzijds sterk verwant, maaranderzijds ook elkaars tegenpolen zijn. In de wiskunde zegt men wel eens dat deze begrippen elkaars duale zijn.

3 Stelling (hoofdeigenschap van lineair onafhankelijke vectoren). Zij R, V,+ een vectorruimte en D eeneindige deelverzameling van V . Dan geldt:

D is lineair onafhankelijk

melke vector van V is op hoogstens een manier te schrijven

als een lineaire combinatie van D.

Bewijs. Eerst gaan we na of de stelling waar is voor D = ∅. Wegens de opmerking hierboven is D lineair onafhan-kelijk. Anderzijds is, opnieuw wegens een eerder gemaakte afspraak, enkel de nulvector een lineaire combinatievan ∅ en dat op precies een manier. Dus elke vector in V is op hoogstens een manier te schrijven als een lineairecombinatie van D. Daarmee hebben we aangetoond dat de stelling waar is voor D = ∅.

Voor het vervolg mogen we aannemen dat D 6= ∅. Stel dat D lineair onafhankelijk is. Om te bewijzen dat elkevector v van V op hoogstens een manier te schrijven is als een lineaire combinatie van D, stellen we dat er tweemanieren zijn, dus v = r1v1 + · · ·+ rnvn en v = s1v1 + · · ·+ snvn met ri, si ∈ R. Dan geldt:

r1v1 + · · ·+ rnvn − s1v1 − · · · − snvn = 0V ⇒ (r1 − s1)v1 + · · ·+ (rn − sn)vn = 0V .

Deze lineaire relatie is noodzakelijk triviaal, want D is lineair onafhankelijk. Bijgevolg is ri − si = 0 en dusri = si voor i = 1, . . . , n.

Omgekeerd, stel dat elke vector van V op hoogstens een manier te schrijven is als een lineaire combinatie vanD. Dan is ook de nulvector op hoogstens een manier te schrijven als een lineaire combinatie van D. Andersgezegd, er is precies een lineaire relatie van D. Deze lineaire relatie moet de triviale relatie zijn, zodat D lineaironafhankelijk is.

Laten we van een lineair onafhankelijke verzameling vectoren weg, dan blijft de verzameling lineair onafhankelijk.Opnieuw is het eenvoudig bewijs een oefening voor de lezer.

3 Lemma (verminderen van lineair onafhankelijke verzameling blijft lineair onafhankelijk). Zij R, V,+een vectorruimte en D1 en D2 twee eindige deelverzamelingen van V waarbij D1 ⊆ D2. Als D2 lineair onafhan-kelijk is, dan is ook D1 lineair onafhankelijk.

XVII-27

2.9 Basisvectoren

In deze paragraaf combineren we de begrippen voortbrengendheid en lineaire onafhankelijkheid tot het begrip basis.

3 Definitie (basis). Zij R, V,+ een vectorruimte en D een eindige deelverzameling van V . Als D zowel lineaironafhankelijk als voortbrengend voor V is, dan noemen we D een basis van V .

3 Voorbeeld. Beschouw de vectorruimte R,R2,+. Dan is

R2 = {(x, y) | x, y ∈ R} = {x(1, 0) + y(0, 1) | x, y ∈ R} = Span{(1, 0), (0, 1)}.Dus de vectorruimte R,R2,+ wordt voortgebracht door D1 = {(1, 0), (0, 1)}. Deze deelverzameling is ook lineaironafhankelijk (ga na), zodat D1 een basis van R2 is. De basis D1 is zeker niet uniek. Zo is bijvoorbeeld ookD2 = {(1, 1), (1,−1)} een basis voor R2 (ga na).

3 Opmerking. In de triviale vectorruimte R, {0V },+ is de lege verzameling ∅ zowel lineair onafhankelijk alsvoortbrengend voor R, {0V },+ zodat:

∅ is een basis van de triviale vectorruimte R, {0V },+

Uit de hoofdeigenschap van voortbrengende vectoren en de hoofdeigenschap van lineair onafhankelijke vectoren volgtnu onmiddellijk de volgende

3 Stelling (hoofdsteling van basisvectoren). Zij R, V,+ een vectorruimte en D een eindige deelverzamelingvan V . Dan geldt:

D is een basis van V

melke vector van V is op precies een manier te schrijven

als een lineaire combinatie van D.

De volgende voorbeelden laten zien hoe je nagaat of een gegeven verzameling van vectoren een basis is voor eenvectorruimte V .

3 Modelvoorbeeld 1. In de vectorruimte R,R[X]<3,+ beschouwen we de vectoren

v1 = 1 + 5X −X2, v2 = 3 + 16X − 3X2 en v3 = 7− 8X − 8X2.

(a) Toon aan dat D = {v1, v2, v3} een basis van R3 is.

(b) Schrijf v = 2015− 2016X2 als een lineaire combinatie van de basis D.

Oplossing.

(a) We passen we de hoofdstelling van basisvectoren toe: een willekeurige vector a+ bX + cX2 ∈ R[X]<3 is opeen unieke manier te schrijven als een lineaire combinatie van D als en slechts als

∃! r, s, t ∈ R : a+ bX + cX2 = r(1 + 5X −X2) + s(3 + 16X − 3X2) + t(7− 8X − 8X2)

⇔ ∃! r, s, t ∈ R : a+ bX + cX2 = (r + 3s+ 7t) + (5r + 16s− 8t)X + (−r − 3s− 8t)X2

⇔ ∃! r, s, t ∈ R :

r + 3s+ 7t = a

5r + 16s− 8t = b

− r − 3s− 8t = c.

Om na te gaan of dit lineair stelsel voor elke a, b, c ∈ R een unieke oplossing heeft, passen we rijoperatiestoe op de uitgebreide matrix:

1 3 7 a5 16 −8 b−1 −3 −8 c

∼

1 0 0 152a− 3b+ 136c0 1 0 −48a+ b− 43c0 0 1 −a− c

.

Het oorspronkelijke stelsel heeft voor elke a, b, c ∈ R een unieke oplossing. We besluiten dat D een basisvan R,R[X]<3,+ is.

(b) Uit (a) volgt dat voor elke a, b, c ∈ R:

a+ bX + cX2 = (152a− 3b+ 136c)v1 + (−48a+ b− 43c)v2 + (−a− c)v3.Stellen we a = 2015, b = 0 en c = −2016 dan vinden we dat v = 32 104 v1 − 10 032 v2 + v3.

XVII-28

3 Modelvoorbeeld 2. Beschouw in de vectorruimte R,R3,+ drie vectoren

v1 = (2 +m,m,m), v2 = (n, 2, n) en v3 = (2, 1,−4)

waarbij m,n reele getallen zijn. Bepaal nodige en voldoende voorwaarden voor m,n opdat D = {v1, v2, v3} eenbasis van R3 is.

Oplossing. Een willekeurige vector v = (a, b, c) ∈ R3 is op een unieke manier te schrijven als een lineairecombinatie van D als en slechts als

∃! r, s, t ∈ R : (a, b, c) = r(2 +m,m,m) + s(n, 2, n) + t(2, 1,−4)

⇔ ∃! r, s, t ∈ R :

(2 +m)r + ns+ 2t = amr + 2s+ t = bmr + ns− 4t = c.

Dit is een lineair stelsel met evenveel vergelijkingen als onbekenden. De eis dat het stelsel een unieke oplossingheeft is gelijkwaardig met de eis dat de determinant van de coefficientenmatrix verschillend van nul is. Dus D iseen basis van R3 als en slechts als

∣∣∣∣∣∣

2 +m n 2m 2 1m n −4

∣∣∣∣∣∣6= 0 ⇔ 3mn− 6m− n− 8 6= 0.

Voor heel wat toepassingen is de volgorde waarin vectoren worden genoteerd niet van belang. Vandaar dat voort-brengende vectoren, lineair onafhankelijke vectoren en basisvectoren meestal in een verzameling worden genoteerd:{v1, v2, . . . , vn}. In het vervolg zullen we een verzameling basisvectoren noteren als B.

Is de volgorde van de vectoren wel van belang, dan vervangen we de verzameling door een geordend n-tal . We noterendit als (v1, v2, . . . , vn). Een geordend n-tal van basisvectoren noteren we als B.

3 Definitie (coordinaatvector). Zij R, V,+ een vectorruimte en B = {v1, v2, . . . , vn} een basis van V . Wegens dehoofdstelling van basisvectoren is elke vector v ∈ V op een unieke manier te schrijven als een lineaire combinatievan B, in symbolen:

∃!x1, x2, . . . , xn ∈ R : v = x1v1 + x2v2 + · · ·+ xnvn.

Het n-tal (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn noemen we de coordinaatvector van v ten opzichte van de (geordende) basisB = (v1, v2, . . . , vn). We noteren dat n-tal als coB(v). In symbolen:

coB(v) = (x1, x2, . . . , xn) ⇔ v = x1v1 + x2v2 + · · ·+ xnvn .

De getallen x1, x2, . . . , xn ∈ R noemen we de coordinaatgetallen van v ten opzichte van de (geordende) basis B.

3 Modelvoorbeeld 3. Beschouw in R,R2,+ de geordende basissen B = ((3,−1), (−2, 1)) en E = ((1, 0), (0, 1)).

(a) Bepaal de coordinaatvector van (−7, 3) ten opzichte van de basis B.

(b) Bepaal de coordinaatvector van (−7, 3) ten opzichte van de basis E .

(c) Bepaal de coordinaatvector van een willekeurige vector (x1, x2) ∈ R2 ten opzichte van de basis B.

(d) Bepaal de coordinaatvectoren van (3,−1) en (−2, 1) ten opzichte van de basis B.

Oplossing.

(a) Om de coordinaatvector van (−7, 3) ∈ R2 ten opzichte van de basis B te vinden, schrijven we (−7, 3) als enlineaire combinatie van B. Daartoe bepalen we a, b ∈ R waarvoor

(−7, 3) = a(3,−1) + b(−2, 1) ⇔{

3a− 2b = −7

− a+ b = 3⇔

{a = −1

b = 2.

Omdat (−7, 3) = −(3,−1) + 2 · (−2, 1) is coB((−7, 3)) = (−1, 2).

(b) Omdat (−7, 3) = −7 · (1, 0) + 3 · (0, 1) is coB((−7, 3)) = (−7, 3).

XVII-29

(c) Om de coordinaatvector van (x1, x2) ∈ R2 ten opzichte van de basis B te vinden, schrijven we (x1, x2) alsen lineaire combinatie van B. Daartoe bepalen we a, b ∈ R waarvoor

(x1, x2) = a(3,−1) + b(−2, 1) ⇔{

3a− 2b = x1

−a+ b = x2⇔

{a = x1 + 2x2

b = x1 + 3x2.

Omdat (x1, x2) = (x1 + 2x2)(3,−1) + (x1 + 3x2)(−2, 1) is coB((x1, x2)) = (x1 + 2x2, x1 + 3x2).

(d) Uit (c) volgt nu dat coB((3,−1)) = (1, 0) en coB((−2, 1)) = (0, 1). Dat konden we ook als volgt inzien:

(3,−1) = 1 · (3,−1) + 0 · (−2, 1) en (−2, 1) = 0 · (3,−1) + 1 · (−2, 1).

In R2 zal een vector meestal verschillen van zijn coordinaatvector. Zo is in het vorige voorbeeld

coB((7,−3)) 6= (7,−3)

terwijl voor de bijzondere basis E = ((1, 0), (0, 1))

coE((7,−3)) = (7,−3).

Men verwijst naar de basis E = ((1, 0), (0, 1)) als de standaardbasis van R2. We kunnen het begrip standaardbasisveralgemenen voor enkele andere eindig voortgebrachte vectorruimten.

3 Definitie (standaardbasis van Rn). Beschouw de vectorruimte R,Rn,+. Stellen we

e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, . . . , 0, 1)

dan is E = (e1, e2, . . . , en) een basis van Rn en

coE((x1, x2, . . . , xn)) = (x1, x2, . . . , xn).

Men noemt E de standaardbasis van Rn.

De volgende definitie kan uitgebreid worden voor Rm×n.

3 Definitie (standaardbasis van R2×3). Beschouw de vectorruimte R,R2×3,+. Stellen we

E11 =

[1 0 00 0 0

], E12 =

[0 1 00 0 0

], E13 =

[0 0 10 0 0

], E21 =

[0 0 01 0 0

], E22 =

[0 0 00 1 0

], E23 =

[0 0 00 0 1

]

dan is E = (E11, E12, E13, E21, E22, E23) een basis van R2×3 en

coE

([a b cd e f

])= (a, b, c, d, e, f).

Men noemt E de standaardbasis van R2×3.

De vectorruimte R,R[X],+ is niet eindig voortgebracht. Er bestaat dus geen eindige verzameling voortbrengendevectoren van R[X] en bijgevolg ook geen eindige verzameling basisvectoren van R[X]. De deelruimte R[X]<n is weleindig voortgebracht en heeft een voor de hand liggende standaardbasis.

3 Definitie (standaardbasis van R,R[X]<n,+). Beschouw de vectorruimte R,Rn,+.Dan is E = (1, X,X2, . . . , Xn−1) een basis van R[X]<n en

coE(a0 + a1X + a2X2 + · · ·+ an−1X

n−1) = (a0, a1, . . . , an−1).

Men noemt E de standaardbasis van R[X]<n.

XVII-30

Reduceren van voortbrengende vectoren tot een basis

3 Procedure. Beschouw de vectorruimte R,R4,+ en de deelruimte W opgespannen door de vectoren

v1 = (1, 3,−2, 5), v2 = (2, 6,−4, 10), v3 = (3, 2,−1, 7) en v4 = (0, 7,−5, 8).

De deelruimte W wordt voortgebracht door D = {v1, v2, v3, v4} maar deze verzameling is geen basis van W wantD is lineair afhankelijk: zo is bijvoorbeeld v2 = 2v1. Door uit de verzameling D een of meerdere vectoren wegte laten, kunnen we een basis van W vinden. Daarbij gaan we als volgt te werk: we ordenen de vectoren enoverlopen het viertal vectoren (v1, v2, v3, v4) van links naar rechts. Telkens een vector geschreven kan worden alseen lineaire combinatie van de voorgaande vectoren, verwijderen we die vector.

(1) {v1} is lineair onafhankelijk want v1 6= 0V . (Verklaar hoe dit uit v1 6= 0V volgt.)

(2) {v1, v2} is lineair afhankelijk want v2 = 2v1. Daarom is Span{v1, v2} = Span{v1}. Verwijder dus v2.

(3) {v1, v3} zijn lineair onafhankelijk (controleer dit).

(4) {v1, v3, v4} is lineair afhankelijk want v4 = 3v1 − v3 (ga na). Dus Span{v1, v3, v4} = Span{v1, v3}. Weverwijderen dus ook v4.

Omdat W = Span{v1, v2, v3, v4} = Span{v1, v3} en {v1, v3} lineair onafhankelijk is, verkrijgen we op die manierde basis {v1, v3} van W . Door de procedure hierboven te doorlopen, zeggen we dat we de voortbrengendeverzameling D = {v1, v2, v3, v4} reduceren tot een basis {v1, v3} van W .

Het idee hierachter kunnen we ook op andere vectorruimten toepassen. Daarvoor hebben we een hulpresultaat nodig.

3 Lemma. Zij R, V,+ een vectorruimte en D een lineair onafhankelijke deelverzameling van V . Dan geldt voorelke w ∈ V :

D ∪ {w} is lineair afhankelijk

mw ∈ SpanD.

Bewijs. Het lemma is waar voor D = ∅ (ga na) zodat we voor het vervolg mogen aannemen dat D 6= ∅.

Stel eerst dat D ∪{w} = {v1, v2, . . . , vn, w} lineair afhankelijk is. Dan bestaat er een niet-triviale lineaire relatievan D ∪ {w}, m.a.w.

c1v1 + c2v2 + · · ·+ cnvn + cw = 0V en c1, c2, . . . , cn, c ∈ R niet alle nul. (1)

Dan is c 6= 0, want mocht c = 0, dan zou (1) een niet-triviale lineaire relatie van D zijn, wat in strijd is met delineaire onafhankelijkheid van D. Zo kunnen we de lineaire relatie in (1) herschrijven als

w = −c1cv1 −

c2cv2 − · · · −

cncvn ∈ SpanD.

Omgekeerd, stel dat w = r1v1 + r2v2 + · · ·+ rnvn voor zekere r1, r2, . . . , rn ∈ R. Dit impliceert een niet-trivialelineaire relatie r1v1 + r2v2 + · · ·+ rnvn + (−1)w = 0V van D∪{w}, waaruit volgt dat D∪{w} lineair afhankelijkis.

3 Stelling (reduceren van voortbrengende vectoren tot basis). Zij R, V,+ een eindig voortgebrachtevectorruimte. Dan kan elke voortbrengende verzameling van V gereduceerd worden tot een basis van V .

Bewijs. Zij n het aantal elementen van de voortbrengende verzameling. We bewijzen de stelling voor alle n ≥ 0met inductie op n.

(i) Inductiebasis. Voor n = 0 is de voortbrengende verzameling van een vectorruimte R, V,+ de lege verzame-ling ∅. Dan kan V enkel de triviale vectorruimte {0V } zijn, omdat Span{} = {0V }. Aangezien ∅ lineaironafhankelijk is, is ∅ meteen ook een basis van V . Dus voor n = 0 is de stelling bewezen.

(ii) Stel dat de stelling waar is voor n = k (met k ≥ 0), dus dat elke voortbrengende verzameling van eenvectorruimte met k vectoren kan gereduceerd worden tot een basis van die vectorruimte. We moetenaantonen dat de stelling ook waar is voor een verzameling van k + 1 vectoren {v1, . . . , vk, vk+1} die eenvectorruimte R, V,+ voortbrengt.

XVII-31

Beschouw de deelruimte W = Span{v1, . . . , vk}. Dan is {v1, . . . , vk} een voortbrengende verzameling vande vectorruimte R,W,+. Wegens de inductiehypothese kan {v1, . . . , vk} gereduceerd worden tot een basis{w1, . . . , wl} van W (waarbij 0 ≤ l ≤ k). Er geldt dus: W = Span{v1, . . . , vk} = Span{w1, . . . , wl}. Voegenwe aan deze basis de vector vk+1 toe, dan is Span{w1, . . . , wl, vk+1} = Span{v1, . . . , vk, vk+1} = V . Weonderscheiden nu twee gevallen.

Geval 1: {w1, . . . , wl, vk+1} is lineair onafhankelijk. In dat geval is {w1, . . . , wl, vk+1} een basis van V ,gereduceerd uit de voortbrengers {v1, . . . , vk+1} van V .

Geval 2: {w1, . . . , wl, vk+1} is lineair afhankelijk. Het vorige lemma impliceert dat vk+1 een lineaire combi-natie is van {w1, . . . , wl}, zodat V = Span{w1, . . . , wl} (ga na). In dat geval is {w1, . . . , wl} een basis vanV , gereduceerd uit de voortbrengers {v1, . . . , vk+1} van V .

Uit (i) en (ii) volgt nu dat de stelling geldt voor alle n ≥ 0.

3 Gevolg. Elke eindig voortgebrachte vectorruimte heeft een basis.

We sluiten af met een modelvoorbeeld, waarin we de procedure van het reduceren nog eens expliciet laten zien.

3 Modelvoorbeeld. Beschouw in de vectorruimte R,R4,+ de vectoren

v1 = (2,−3, 4,−6), v2 = (−4, 6,−8, 12), v3 = (3,−4, 5,−7) en v4 = (0, 1,−2, 4).

Noem W = Span{v1, v2, v3, v4}. Reduceer de voortbrengende verzameling {v1, v2, v3, v4} tot een basis van W .

Oplossing. We ordenen de vectoren en overlopen het viertal vectoren (v1, v2, v3, v4) van links naar rechts. Telkenseen vector geschreven kan worden als een lineaire combinatie van de voorgaande vectoren, verwijderen we dievector.

(1) {v1} is lineair onafhankelijk want v1 6= 0R4 . We behouden v1.

(2) {v1, v2} is lineair afhankelijk want v2 = −2v1. Dus Span{v1, v2} = Span{v1}. Verwijder dus v2.

(3) Om na te gaan of {v1, v3} lineair afhankelijk of onafhankelijk is, volstaat het om na te gaan of v3 al danniet tot Span{v1} behoort. Er geldt:

v3 ∈ Span{v1} ⇔ ∃r ∈ R : v3 = rv1

⇔ ∃r ∈ R : (3,−4, 5,−7) = r(2,−3, 4,−6)

⇔ ∃r ∈ R :

2r = 3

−3r = −4

4r = 5

−6r = −7.

Dit stelsel heeft duidelijk geen oplossingen, zodat v3 6∈ Span{v1}. Zodoende is {v1, v3} lineair onafhankelijk.We behouden v3.

(4) Om na te gaan of {v1, v3, v4} lineair afhankelijk of onafhankelijk is, volstaat het om na te gaan of v4 al danniet tot Span{v1, v3} behoort. Er geldt:

v4 ∈ Span{v1, v3} ⇔ ∃r, s ∈ R : v4 = rv1 + sv3

⇔ ∃r, s ∈ R : (0, 1,−2, 4) = r(2,−3, 4,−6) + s(3,−4, 5,−7)

⇔ ∃r, s ∈ R :

2r + 3s = 0

−3r − 4s = 1

4r + 5s = −2

−6r − 7s = 4

⇔ ∃r, s ∈ R :

{r = −3

s = 2

zodat v4 ∈ Span{v1, v3}. Zodoende is {v1, v3, v4} lineair afhankelijk. We verwijderen v4.

Nu is W = Span{v1, v2, v3, v4} = Span{v1, v3} en {v1, v3} is lineair onafhankelijk. We besluiten dat {v1, v3} eenbasis van W is.

XVII-32

Uitbreiden van lineair onafhankelijke vectoren tot een basis

3 Procedure. Beschouw de vectorruimte R,R3,+ en de vectoren v1 = (3, 1, 5) en v2 = (2,−2,−10). Dan isD = {v1, v2} lineair onafhankelijk maar D is geen basis van R3 want D is niet voortbrengend voor R3 (gana). Door aan de verzameling D een of meerdere vectoren toe te voegen, kunnen we een basis van R3 vinden.Daarbij gaan we als volgt te werk. Beschouw een basis van R3, bijvoorbeeld de standaardbasis {e1, e2, e3} waarbije1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) en e3 = (0, 0, 1). Uitbreiden van een voortbrengende verzameling blijft voortbrengend:

R3 = Span{e1, e2, e3} = Span{v1, v2, e1, e2, e3}.Nu kunnen we deze voortbrengende verzameling {v1, v2, e1, e2, e3} reduceren tot een basis van R3. Daarvoor vol-gen we de procedure van hierboven, en reduceren zo het geordend n-tal voortbrengende vectoren (v1, v2, e1, e2, e3)tot de geordende basis (v1, v2, e2) van R3 (ga na). Merk op dat deze basis de vectoren v1 en v2 bevat. Dat komtomdat {v1, v2} lineair onafhankelijk is, zodat die in de procedure van het reduceren niet worden geschrapt. Doorhet toepassen van deze werkwijze zeggen we dat we de lineair onafhankelijke vectoren {v1, v2} uitbreiden tot eenbasis {v1, v2, e2} van R3.

Opnieuw kunnen we dit idee veralgemenen naar eindig voortgebrachte vectorruimten.

3 Stelling (uitbreiden van lineair onafhankelijke vectoren tot basis). Zij R, V,+ een eindig voortgebrachtevectorruimte. Dan kan elke lineair onafhankelijke verzameling uitgebreid worden tot een basis van V .

Bewijs. Zij {w1, . . . , wm} de gegeven lineair onafhankelijke verzameling van een vectorruimte R, V,+. Beschouwvervolgens een verzameling {v1, . . . , vn} die V voortbrengt. Uitbreiden van een voortbrengende verzameling blijftvoortbrengend zodat:

V = Span{v1, . . . , vn} = Span{w1, . . . , wm, v1, . . . , vn}.De verzameling {w1, . . . , wm, v1, . . . , vn} is voortbrengend voor V . Die kan gereduceerd worden tot een geordendebasis van V door een aantal van de vectoren v1, . . . , vn te verwijderen. De geordende basis zal zeker de vectorenw1, . . . , wm bevatten, aangezien deze lineair onafhankelijk zijn.

Met het volgend modelvoorbeeld illusteren we nogmaals de procedure van het uitbreiden.

3 Modelvoorbeeld. Beschouw in de vectorruimte R,R2,+ de vector v1 = (2,−1). Breid de lineair onafhankelijkeverzameling {v1} uit tot een basis van R2.

Oplossing. Beschouw de standaardbasis E = (e1, e2) van R2. Uitbreiden van een voortbrengende verzamelingblijft voortbrengend

R3 = Span{e1, e2} = Span{v1, e1, e2}zodat {v1, e1, e2} voortbrengend is voor R2. Nu reduceren we deze voortbrengende verzameling door de vectorente ordenen en het drietal vectoren (v1, e1, e2) van links naar rechts te overlopen. Telkens een vector geschrevenkan worden als een lineaire combinatie van de voorgaande vectoren, verwijderen we die vector.

(1) {v1} is lineair onafhankelijk (zie opgave). We behouden v1.

(2) Om na te gaan of {v1, e1} lineair afhankelijk of onafhankelijk is, volstaat het om na te gaan of e1 al danniet tot Span{v1} behoort. Er geldt:

e1 ∈ Span{v1} ⇔ ∃r ∈ R : e1 = rv1

⇔ ∃r, s ∈ R : (1, 0) = r(2,−1)

⇔ ∃r, s ∈ R :

{2r = 1

− r = 0.

Dit stelsel heeft duidelijk geen oplossingen, zodat e1 6∈ Span{v1}. Zodoende is {v1, e1} lineair onafhankelijk.We behouden e1.

(3) Om na te gaan of {v1, e1, e2} lineair afhankelijk of onafhankelijk is, volstaat het om na te gaan of e2 al danniet tot Span{v1, e1} behoort. Er geldt:

e2 ∈ Span{v1, e1} ⇔ ∃r, s ∈ R : e2 = rv1 + se1

⇔ ∃r, s ∈ R : (0, 1) = r(2,−1) + s(1, 0)

⇔ ∃r, s ∈ R :

{2r + s = 0

− r = 1

⇔ ∃r, s ∈ R :

{r = −1

s = 2

zodat e2 ∈ Span{v1, e1}. Zodoende is {v1, v2, e2} lineair afhankelijk. We verwijderen dus e2.

Nu is R2 = Span{v1, e1} en {v1, e1} is lineair onafhankelijk. We besluiten dat {v1, e1} = {(2,−1), (1, 0)} eenbasis van R3 is.

XVII-33

2.10 Dimensie

In de vorige paragraaf hebben we gezien dat elke eindig voortgebrachte vectorruimte een basis heeft. Op de trivialevectorruimte R, {0V },+ na hebben alle vectorruimten oneindig veel mogelijke basissen. Nu blijkt dat alle basissen vaneenzelfde vectorruimte precies evenveel vectoren bevatten. Deze fundamentele stelling, die in 1862 werd geformuleerden aangetoond door Hermann Grassmann, zullen we in deze paragraaf bewijzen.

De stelling van Grassmann kan elegant bewezen worden door te steunen op een hulpstelling, toegeschreven aan Steinitzdie het in 1910 in een meer algemene context heeft geformuleerd en bewezen.

Zowel in het onderstaande lemma als verder in dit hoofdstuk zullen we een willekeurige eindige deelverzameling vaaknoteren als {v1, v2, . . . , vn}. Als bijzonder geval kan zo’n deelverzameling ook de lege verzameling {} zijn. Dit komtovereen met n = 0.

Ernst Steinitz(1871 - 1928)

3 Lemma (Steinitz). Zij R, V,+ een eindig voortgebrachte vectorruimte enbeschouw twee deelverzamelingen {v1, v2, . . . , vn} en {w1, w2, . . . , wm} van V .Als {v1, v2, . . . , vn} voortbrengend is voor V en als {w1, w2, . . . , wm} lineaironafhankelijk is, dan is m ≤ n.

Bewijs. Alsm = 0 dan ism ≤ n en is aan de stelling voldaan. Stel nu datm ≥ 1.Dan is ook n ≥ 1 (ga na). Beschouw een lineaire relatie van {w1, w2, . . . , wm}:

c1w1 + c2w2 + · · ·+ cmwm = 0V . (1)

Enerzijds is {w1, w2, . . . , wm} lineair onafhankelijk, zodat de lineaire relatie (1)triviaal is. Dit betekent:

c1 = c2 = . . . = cm = 0. (2)

Anderzijds wordt V voortgebracht door {v1, . . . , vn}, zodat we de lineaire relatie(1) kunnen herschrijven in functie van de vectoren vi. Dat doen we door elk vande vectoren w1, . . . , wm te schrijven als lineaire combinatie van {v1, . . . , vn}:

w1 = a11v1 + a12v2 + · · ·+ a1nvn

w2 = a21v1 + a22v2 + · · ·+ a2nvn

...

wm = am1v1 + am2v2 + · · ·+ amnvn

voor zekere aij ∈ R. Substitutie in (1) geeft dan

(c1a11 + c2a21 + · · ·+ cmam1)v1 + · · ·+ (c1a1n + c2a2n + · · ·+ cmamn)vn = 0V . (3)

Deze betrekking is zeker waar wanneer de coefficienten van vi alle nul zijn, dus wanneer c1, c2, . . . , cm voldoenaan het stelsel

c1a11 + c2a21 + · · ·+ cmam1 = 0c1a12 + c2a22 + · · ·+ cmam2 = 0...c1a1n + c2a2n + · · ·+ cmamn = 0.

(4)

Veronderstel nu, uit het ongerijmde, dat m > n. Dan heeft het homogeen lineair stelsel (4) meer onbekendendan vergelijkingen, zodat dit stelsel nog andere oplossingen heeft dan de nuloplossing. Anders gezegd, er bestaangetallen c1, c2, . . . , cm niet alle nul waarvoor (3) en bijgevolg ook (1) geldt. Dit is in strijd met (2). We besluitendat m ≤ n.

Nu kunnen we de stelling van Grassmann bewijzen.

3 Stelling (Grassmann, dimensiestelling voor vectorruimten). Zij R, V,+ een vectorruimte en {v1, . . . , vn}en {w1, . . . , wm} twee basissen van V . Dan is m = n.

Bewijs. Omdat {v1, . . . , vn} voortbrengend voor V is en {w1, . . . , wm} lineair onafhankelijk is, volgt uit hetlemma van Steinitz dat m ≤ n. Passen we dit lemma toe op de voortbrengende verzameling {w1, . . . , wm} en delineair onafhankelijke verzameling {v1, . . . , vn}, dan verkrijgen we n ≤ m. We besluiten hieruit dat m = n.

XVII-34

Elke eindig voortgebrachte vectorruimte heeft een (eindige) basis en wegens de stelling van Grassmann heeft elke basishetzelfde aantal elementen. Dat geeft aanleiding tot de volgende

3 Definitie (dimensie). Zij R, V,+ een eindig voortgebrachte vectorruimte. Het aantal vectoren in een basis vanV noemen we de dimensie van V , genoteerd met dimV .

Eindig voortgebrachte vectorruimten noemen we eindigdimensionale vectorruimten. Een vectorruimte die nieteindig voortgebracht is, noemen we een oneindigdimensionale vectorruimte.

3 Voorbeeld 1. In de vorige paragraaf hebben we voor enkele vectorruimten een standaardbasis gegeven. Doortelkens het aantal vectoren in die standaardbasis te tellen, vinden we de dimensie van de vectorruimte. In hetbijzonder zijn deze vectorruimten eindigdimensionaal. Hierbij staan m,n voor positieve gehele getallen:

dimRn = n, dimRm×n = mn en dimR[X]<n = n

3 Voorbeeld 2. De vectorruimte R,R[X],+ is niet eindig voortgebracht en is dus een voorbeeld van een on-eindigdimensionale vectorruimte. Men kan aantonen dat ook de vectorruimte R,RN,+ van reele rijen en devectorruimte R,RR,+ van R-R afbeeldingen oneindigdimensionaal zijn.

3 Opmerking. In de triviale vectorruimte R, {0V },+ is de lege verzameling een basis. Die verzameling telt nulelementen, dus

dim{0V } = 0

In het bijzonder is de triviale vectorruimte eindigdimensionaal.

Combineren we het begrip dimensie met de procedures voor het reduceren van voortbrengende vectoren tot een basisen voor het uitbreiden van lineair onafhankelijke vectoren tot een basis (zie vorige paragraaf) dan verkrijgen we enkelebelangrijke vaststellingen.

3 Gevolg 1. Zij R, V,+ een eindigdimensionale vectorruimte.

(i) Zij {v1, v2, . . . , vp} voortbrengend voor V . Dan geldt:

(a) dimV ≤ p,(b) als dimV = p dan is {v1, v2, . . . , vp} een basis van V .

(ii) Zij {w1, w2, . . . , wq} lineair onafhankelijk. Dan geldt:

(a) q ≤ dimV ,

(b) als q = dimV dan is {w1, w2, . . . , wq} een basis van V .

We bewijzen enkel (i). Het bewijs van (ii) wordt als oefening voor de lezer gehouden.

Bewijs van (i). De voortbrengende verzameling {v1, v2, . . . , vp} kan gereduceerd worden tot een basis van V . Inelke basis van V is het aantal elementen gelijk aan dimV . Bijgevolg is p ≥ dimV . In het geval dat p = dimVgeeft eenzelfde redenering nu dat de verzameling {v1, v2, . . . , vp} zelf een basis vormt.

Is W een deelruimte van een eindig dimensionale vectorruimte V , dan is R,W,+ een vectorruimte zodat we ook kunnennagaan of W eindig dimensionaal is. In dat geval kan de dimensie van W vergeleken worden met de dimensie van V .Het resultaat is opnieuw een gevolg van de stelling van Grassmann.

3 Gevolg 2. Zij R, V,+ een eindigdimensionale vectorruimte en W een deelruimte van V . Dan geldt:

(i) W is eveneens eindigdimensionaal,

(ii) dimW ≤ dimV ,

(iii) als dimW = dimV dan is W = V .

Bewijs. We bouwen vector per vector een basis van W op, vertrekkend van de lege verzameling. OmdatSpan{} = {0V }, geldt Span{} ⊆ W . Is Span{} 6= W , dan nemen we een vector w1 ∈ W \ {0V }. Danis Span{w1} ⊆ W en bovendien is {w1} lineair onafhankelijk. Is Span{w1} 6= W , dan nemen we een vec-tor w2 ∈ W \ Span{w1}. Wegens het lemma uit de vorige paragraaf is {w1, w2} lineair onafhankelijk. IsSpan{w1, w2} 6= W , dan nemen we een vector w3 ∈ W \ Span{w1, w2}. Opnieuw impliceert het lemma uit devorige paragraaf dat {w1, w2, w3} lineair onafhankelijk is, enzovoort. Dit proces moet stoppen want als een ein-dige deelverzameling van V lineair onafhankelijk is, dan is het aantal elementen van die deelverzameling kleinerdan of gelijk aan dimV , zie Gevolg 1(ii) hierboven. Dus is W = Span{w1, w2, . . . , wk} voor een natuurlijk getalk ≤ dimV , waarbij w1, w2, . . . , wk lineair onafhankelijke vectoren zijn. Bijgevolg is {w1, w2, . . . , wk} een basisvan W zodat dimW = k ≤ dimV . Hiermee zijn (i) en (ii) bewezen.

Ten slotte, als k = dimV , dan zegt Gevolg 1(ii) hierboven dat {w1, w2, . . . , wk} een basis van V is, zodatV = Span{w1, w2, . . . , wk} = W . Dit bewijst (iii).

XVII-35

2.11 Dimensiestelling voor deelruimten

In deze paragraaf bestuderen we enkele manieren om uit twee bestaande deelruimten van eenzelfde vectorruimte tweenieuwe deelruimten te construeren: de doorsnede en de som. Het verband tussen de dimensies van deze vier deelruimtenis de zogenaamde dimensiestelling voor deelruimten.

Doorsnede van deelruimten

Herhaal uit Hoofdstuk 1 dat de doorsnede van twee verzamelingen U en W wordt gegeven door

U ∩W = {x | x ∈ U en x ∈W}

De volgende eigenschap zegt dat de doorsnede van twee deelruimten van een vectorruimte opnieuw een deelruimte is.

3 Eigenschap (doorsnede van deelruimten). Zij R, V,+ een vectorruimte en U en W deelruimten van V .Dan is U ∩W een deelruimte van V .

Bewijs. Omdat U en W deelruimten van V zijn, bevatten ze beide de nulvector 0V , zodat U ∩W 6= ∅. Metcriterium voor deelruimte gaan we na dat U ∩W een deelruimte van V is.

Neem v1, v2 ∈ U ∩W en r, s ∈ R. Dan is v1, v2 ∈ U zodat ook rv1 + sv2 ∈ U , want U ≤ V . Analoog is ookrv1 + sv2 ∈W , zodat rv1 + sv2 ∈ U ∩W .

Deze eigenschap kan veralgemeend worden: zijn U1, U2, . . . , Un een eindig aantal deelruimten, dan is de doorsnedeU1 ∩ U2 ∩ · · · ∩ Un opnieuw een deelruimte. Het bewijs hiervan is analoog.

3 Voorbeeld. Beschouw in de vectorruimte R,R[X],+ de deelruimte U1 van veeltermen die deelbaar zijn doorX − 1, de deelruimte U2 van veeltermen die deelbaar zijn door X − 2 en de deelruimte U3 van veeltermen diedeelbaar zijn door X−3. Dan bestaat U1∩U2∩U3 uit de veeltermen die deelbaar zijn door (X−1)(X−2)(X−3).

Als twee deelruimten eindigdimensionaal zijn, dan is ook de doorsnede eindigdimensionaal (waarom?). In dat gevalkan een basis van de doorsnede bepaald worden.

3 Modelvoorbeeld. Beschouw de vectorruimte R,R3,+ en de deelruimten

U = Span{(−1, 2, 2), (2,−1, 5)} en W = Span{(1,−2,−7), (2,−1, 4)}.Bepaal een basis voor de deelruimte U ∩W . Geef ook de dimensie van U ∩W .

Oplossing. Voor elke vector v ∈ R3 is:

v ∈ U ∩W ⇔ v ∈ U en v ∈W

⇔{∃a, b ∈ R : v = a(−1, 2, 2) + b(2,−1, 5) en

∃c, d ∈ R : v = c(1,−2,−7) + d(2,−1, 4)

⇔{∃a, b ∈ R : v = (−a+ 2b, 2a− b, 2a+ 5b) en

∃c, d ∈ R : v = (c+ 2d,−2c− d,−7c+ 4d)

−a+ 2b = c+ 2d

2a− b = −2c− d2a+ 5b = −7c+ 4d

⇔

−a+ 2b− c− 2d = 0

2a− b+ 2c+ d = 02a+ 5b+ 7c− 4d = 0

⇔

a− 1

5d = 0

b− d = 0

c+1

5d = 0

⇔

a =1

5r

b = r

c = −1

5r

d = r

(r ∈ R)

⇔

∃r ∈ R : v =

(−1

5r + 2r,

2

5r − r, 2

5r + 5r

)en

∃r ∈ R : v =

(−1

5r + 2r,

2

5r − r, 7

5r + 4r

)

⇔ ∃r ∈ R : v =

(9

5r,−3

5r,

27

5r

).

Hieruit volgt dat U ∩W =

{(9

5r,−3

5r,

27

5r

) ∣∣∣∣ r ∈ R}

= Span

{(9

5,−3

5,

27

5

)}= Span{(3,−1, 9)}.

Dus {(3,−1, 9)} is een basis van U ∩W en dim(U ∩W ) = 1.

XVII-36

Som van deelruimten

Herhaal uit Hoofdstuk 1 dat de unie van twee verzamelingen U en W wordt gegeven door

U ∪W = {x | x ∈ U of x ∈W}.Dat de unie van twee deelruimten U en W doorgaans geen deelruimte is, komt omdat de som van een vector inU en een vector in W niet noodzakelijk tot die unie behoort. Beschouw bijvoorbeeld in R,R2,+ de deelruimtenU = Span{(1, 0)} en W = Span{(0, 1)}. De unie van U en W is dan:

U ∪W = {(x, y) | x = 0 of y = 0}.Nu behoren u = (1, 0) en w = (0, 1) tot U ∪W , maar u + w = (1, 1) behoort niet tot U ∪W . Derhalve is aan dedefinitie van deelruimte niet voldaan, zodat de unie van de twee deelruimten U en W geen deelruimte van R2 is.

Willen we een echte deelruimte vinden die beide deelruimten omvat, dan moeten we het volgende begrip invoeren.

3 Definitie (som van deelruimten). Zij R, V,+ een vectorruimte en U en W deelruimten van V . De som vanU en W is de verzameling

U +W = {u+ w | u ∈ U en w ∈W}

De volgende eigenschap zegt dat de som van twee deelruimten van een vectorruimte wel een deelruimte is. Het tweededeel karakteriseert de som van twee deelruimten U en W als de kleinste deelruimte die U ∪W omvat.

3 Eigenschap (som van deelruimten). Zij R, V,+ een vectorruimte en U en W deelruimten van V . Dan geldt:

(i) U +W is een deelruimte van V ,

(ii) als Z een deelruimte van V is met U ∪W ⊆ Z, dan is U +W ⊆ Z.

Bewijs. (i) Omdat U en W deelruimten van V zijn, bevatten ze beide de nulvector 0V , zodat U +W 6= ∅. Omaan te tonen dat U +W een deelruimte van V is, gaan we het criterium voor deelruimte na.

Neem v1, v2 ∈ U +W en r, s ∈ R. Dan is vi = ui +wi voor zekere ui ∈ U en wi ∈W (i = 1, 2). Bijgevolg is

rv1 + sv2 = (ru1 + su2) + (rw1 + sw2) ∈ U +W.

Daarmee is aan het criterium voor deelruimte voldaan, zodat U +W ≤ V .

(ii) Voor elke u ∈ U is u = u + 0V ∈ U + W , zodat U ⊆ U + W . Analoog is ook W ⊆ U + W , waaruit volgtdat U ∪W ⊆ U +W .

Zij Z ≤ V met U ∪W ⊆ Z. We tonen aan dat U +W ⊆ Z. Neem daartoe v ∈ U +W willekeurig. Dan isv = u + w voor een zekere u ∈ U en w ∈ W . Maar dan zijn u,w ∈ U ∪W ⊆ Z. Omdat Z een deelruimtevan V is, geldt nu ook dat v = u+ w ∈ Z. Dit besluit het bewijs.

In het geval van eindigdimensionale deelruimten kunnen we het volgend resultaat noteren.

3 Stelling. Zij R, V,+ een vectorruimte en U en W eindigdimensionale deelruimten van V . Dan is U + Weindigdimensionaal en

dim(U +W ) ≤ dimU + dimW

Bewijs. Is {u1, . . . , uk} een basis van U en {w1, . . . , wl} een basis van W , dan volgt uit de definitie van opspanningvan vectoren (controleer dit):

U +W = Span{v1, . . . , vk}+ Span{w1, . . . , wl} = Span{v1, . . . , vk, w1, . . . , wl}zodat de som U+W eindigdimensionaal is. Omdat U+W voortgebracht wordt door een verzameling met k+ l =dimU + dimW elementen geldt, wegens Gevolg 1(i) uit de vorige paragraaf: dim(U +W ) ≤ dimU + dimW .

Het bewijs van deze stelling geeft aan hoe we in de praktijk een basis van de som van deelruimten kunnen bepalen.

3 Modelvoorbeeld. Beschouw de vectorruimte R,R3,+ en de deelruimten

U = Span{(−1, 2, 2), (2,−1, 5)} en W = Span{(0, 1, 3)}.Bepaal een basis voor de deelruimte U +W . Geef ook de dimensie van U +W .

Oplossing. We hebben alvast:

U +W = Span{(−1, 2, 2), (2,−1, 5)}+ Span{(0, 1, 3)} = Span{(−1, 2, 2), (2,−1, 5), (0, 1, 3)}.Daarna reduceren we de voortbrengende verzameling {(−1, 2, 2), (2,−1, 5), (0, 1, 3)} van U +W tot een basis vanU +W . We vinden de basis {(−1, 2, 2), (2,−1, 5)}. Hieruit leiden we af dat dim(U +W ) = 2.

XVII-37

Directe som van deelruimten

Met de hoofdeigenschap van basisvectoren in gedachte, kunnen we de vraag stellen wanneer elke vector van U +W opeen unieke manier te schrijven is als de som van een vector in U en een vector in W . Dit leidt tot een nieuw begrip.

3 Definitie (directe som van deelruimten). Zij R, V,+ een vectorruimte en U en W deelruimten van V . Alselke vector van U +W op een unieke manier kan geschreven worden als de som van een vector in U en een vectorin W , dan zeggen we dat U +W de directe som van U en W is. In dat geval schrijven we U +W als U ⊕W .

3 Voorbeeld 1. Beschouw in de vectorruimte R,RN,+ de deelruimte U van alle reele rijen waarvan de termenmet even rangnummer nul zijn en de deelruimte W van alle rijen waarvan de termen met oneven rangnummernul zijn:

U = {(0, a1, 0, a3, 0, a5, . . .) | ai ∈ R} en W = {(a0, 0, a2, 0, a4, 0, . . .) | ai ∈ R}.Elke reele rij kan op een unieke manier geschreven worden als de som van een rij in U en een rij in W , zodatRN = U ⊕W .

3 Voorbeeld 2. In de vectorruimte R,R3×3,+ beschouwen we de deelruimte U van de bovendriehoeksmatricesen de deelruimte W van de onderdriehoeksmatrices. Elke 3 × 3-matrix kan geschreven worden als de som vaneen element van U en een element van W , maar niet op een unieke manier. Zo is bijvoorbeeld (vul aan):

1 2 34 5 67 8 9

=

1 2 30 5 60 0 9

+

0 0 04 0 07 8 0

en

1 2 34 5 67 8 9

=

1 2 30 4 60 0 7

+

0 0 04 1 07 8 2

.

Dus in dit voorbeeld is U +W geen directe som.

Om in een eindigdimensionale vectorruimte na te gaan of een som van deelruimten een directe som is, kunnen we hetbegrip dimensie aanwenden.

3 Stelling (eerste criterium voor directe som). Zij R, V,+ een eindigdimensionale vectorruimte en U en Wdeelruimten van V . Dan geldt:

U +W is een directe som

mdim(U +W ) = dimU + dimW.

Bewijs. Neem een basis {u1, . . . , uk} van U en een basis {w1, . . . , wl} van W . Dan wordt U +W voortgebrachtdoor {u1, . . . , uk, w1, . . . , wl}.

Nu is U +W een directe som als en slechts als elke vector van U +W op een unieke manier te schrijven is als eenlineaire combinatie van {u1, . . . , uk, w1, . . . , wl}. Dit is equivalent met zeggen dat {u1, . . . , uk, w1, . . . , wl} lineaironafhankelijk is (hoofdeigenschap van lineair onafhankelijke vectoren), wat gelijkwaardig is met dim(U +W ) =k + l = dimU + dimW .

3 Modelvoorbeeld. Beschouw de vectorruimte R,R[X],+ en de deelruimten

U = Span{12, 7X + 2X2} en W = Span{3X, 4X + 5X2}.

Ga na of U +W de directe som van U en W is.

Oplossing. We gaan eenvoudig na dat {12, 7X + 2X2} een basis voor U is. Dus dimU = 2. Analoog isdimW = 2. Wegens het eerste criterium voor directe som is U + W de directe som van U en W als en slechtsals dim(U +W ) = 4.

Maar de deelruimten U en W behoren tot R[X]<3 zodat ook U + W ≤ R[X]<3. Dit impliceert de ongelijkheiddim(U +W ) ≤ 3. We besluiten dat U +W geen directe som is.

De definities voor som en directe som van twee deelruimten kunnen veralgemeend worden tot de som U1+U2+· · ·+Un ende directe som U1⊕U2⊕· · ·⊕Un van een eindig aantal deelruimten U1, U2, . . . , Un. Ook de bijbehorende eigenschappenen hun bewijzen zijn analoog.

XVII-38

Dimensiestelling voor deelruimten

In het algemeen geldt voor twee eindigdimensionale deelruimten U en W dat dim(U + W ) ≤ dimU + dimW . Hetmodelvoorbeeld bij som van deelruimten liet zien dat dim(U + W ) < dimU + dimW mogelijk is. De volgendebasisstelling zegt dat het verschil van beide leden precies de dimensie van de doorsnede is. Het was opnieuw Grassmanndie in 1862 dit resultaat wist te bewijzen.

Hermann GuntherGrassmann(1809 - 1877)

3 Stelling (Grassmann, dimensiestelling voor deelruimten). Zij R, V,+een eindigdimensionale vectorruimte en U en W deelruimten van V . Dan geldt:

dimU + dimW = dim(U +W ) + dim(U ∩W )

We zullen eerst een specifiek geval bewijzen. Het bewijs voor het algemeen gevalkan als zelfstudie aan de leerling worden overgelaten.

Bewijs voor het specifiek geval dimU = 2, dimW = 3 en dimU ∩W = 1.

We moeten aantonen dat dim(U + W ) = 4. Om dat te doen, leggen we eerstbasissen van de andere deelruimten vast.

. Omdat dim(U ∩W ) = 1, telt een basis van U ∩W een vector. Neem zo’nbasis {v1}.

. Omdat dimU = 2, telt een basis van U twee vectoren. Nu is v1 ∈ U ∩W ⊆U en {v1} is lineair onafhankelijk, dus we kunnen {v1} uitbreiden tot eenbasis van U , zeg {v1, u1}.

. Omdat dimW = 3, telt een basis van W drie vectoren. Nu is v1 ∈ U ∩ W ⊆ W en {v1} is lineaironafhankelijk, dus we kunnen {v1} uitbreiden tot een basis van W , zeg {v1, w1, w2}.

Nu is

U +W = Span{v1, u1}+ Span{v1, w1, w2} = Span{v1, u1, v1, w1, w2} = Span{v1, u1, w1, w2}

zodat U +W wordt voortgebracht door {v1, u1, w1, w2}. Om te bewijzen dat dim(U +W ) = 4, volstaat het omaan te tonen dat {v1, u1, w1, w2} lineair onafhankelijk is. Stel dus dat

r1v1 + s1u1 + t1w1 + t2w2 = 0V (1)

voor zekere r1, s1, t1, t2 ∈ R. Dan volgt:

t1w1 + t2w2︸ ︷︷ ︸∈W

= −r1v1 − s1u1︸ ︷︷ ︸∈U

zodat t1w1 + t2w2 ∈ U ∩W = Span{v1}. Dus

t1w1 + t2w2 = λ1v1 (2)

voor zekere λ1 ∈ R. Maar dan geeft (2) een lineaire relatie van de lineair onafhankelijke verzameling {v1}, zodatt1 = t2 = λ1 = 0. De lineaire relatie (3) herleidt zich dan naar de lineaire relatie

r1v1 + s1u1 = 0V

van de basis {v1, u1} van U , zodat ook r1 = s1 = 0. We hebben aangetoond dat {v1, u1, w1, w2} lineaironafhankelijk is, en dus een basis van U +W is. Bovendien bevat die basis 4 vectoren, zodat dim(U +W ) = 4.Dit besluit het bewijs voor het specifiek geval dimU = 2, dimW = 3 en dimU ∩W = 1.

XVII-39

Bewijs voor het algemeen geval. Omdat V eindigdimensionaal is, zijn de deelruimten U , W , U + W en U ∩Wook eindigdimensionaal, zodat we kunnen spreken over de dimensies van deze deelruimten.

Kies een basis {v1, . . . , vd} van U ∩W . Omdat U ∩W ≤ U kunnen we deze verzameling lineair onafhankelijkevectoren uitbreiden tot een basis {v1, . . . , vd, u1, . . . , uk} van U . Analoog kunnen we {v1, . . . , vd} uitbreiden toteen basis {v1, . . . , vd, w1, . . . , wl} van W . Met deze notaties is

dimU + dimW − dim(U ∩W ) = d+ k + l.

Om de stelling aan te tonen, volstaat het om een basis van U +W te geven die d+ k + l elementen telt.

We kunnen de deelruimte U +W schrijven als:

U +W = Span{v1, . . . , vd, u1, . . . , uk}+ Span{v1, . . . , vd, w1, . . . , wl}= Span{v1, . . . , vd, u1, . . . , uk, v1, . . . , vd, w1, . . . , wl}= Span{v1, . . . , vd, u1, . . . , uk, w1, . . . , wl}

zodat U +W wordt voortgebracht door {v1, . . . , vd, u1, . . . , uk, w1, . . . , wl}.

Om aan te tonen dat deze verzameling een basis is, bewijzen we dat ze lineair onafhankelijk is. Stel dus dat

r1v1 + · · ·+ rdvd + s1u1 + · · ·+ skuk + t1w1 + · · ·+ tlwl = 0V (3)

voor zekere r1, . . . , rd, s1, . . . , sk, t1, . . . , tl ∈ R. Dan volgt:

t1w1 + · · ·+ tlwl︸ ︷︷ ︸∈W

= −r1v1 − · · · − rdvd − s1u1 − · · · − skuk︸ ︷︷ ︸∈U

zodat t1w1 + · · ·+ tlwl ∈ U ∩W = Span{v1, . . . , vd}. Dus

t1w1 + · · ·+ tlwl = λ1v1 + · · ·+ λdvd (4)

voor zekere λ1, . . . , λd ∈ R. Maar dan geeft (4) een lineaire relatie van de lineair onafhankelijke verzameling{v1, . . . , vd, w1, . . . , wl}, zodat t1, . . . , tl, λ1, . . . , λd alle gelijk zijn aan nul. De lineaire relatie (3) herleidt zichdan naar een lineaire relatie van de basis {v1, . . . , vd, u1, . . . , uk} van U , zodat ook r1, . . . , rd, s1, . . . , sk alle gelijkzijn aan nul.

We hebben aangetoond dat {v1, . . . , vd, u1, . . . , uk, w1, . . . , wl} een basis van U+W is. Bovendien bevat die basisd+ k + l vectoren, zodat dim(U +W ) = d+ k + l. Dit besluit het bewijs voor het algemeen geval.

Om de dimensie van de doorsnede van twee eindigdimensionale deelruimten U en W te vinden, kunnen we een basisvan die doorsnede bepalen. Als alternatief kunnen we de dimensies van U , W en U + W berekenen om daarna dedimensiestelling voor deelruimten toe te passen.

3 Modelvoorbeeld 1. Beschouw de vectorruimte R,R3,+ en de deelruimten

U = Span{(−1, 2, 2), (2,−1, 5)} en W = Span{(1,−2,−7), (2,−1, 4)}.

Bepaal dim(U ∩W ) zonder een basis van de doorsnede te bepalen.

Oplossing. We zien onmiddellijk dat (2,−1, 5) geen lineaire combinatie van (−1, 2, 2) is, zodat dimU = 2. Ana-loog is ook dimW = 2. Omdat U,W ≤ U + W ≤ R3, is dim(U + W ) = 2 of dim(U + W ) = 3. Passen we dedimensiestelling voor deelruimten toe, dan vinden we dim(U ∩W ) = 1 of dim(U ∩W ) = 2.

Mocht dim(U ∩W ) = 2 dan zou U = W (zie Gevolg 2 uit de vorige paragraaf). Zonder al te veel rekenwerk zienwe echter in dat (2,−1, 4) 6∈ U , zodat U 6= W . We besluiten dat dim(U ∩W ) = 1.

XVII-40

Ook als we willen nagaan of een som een directe som is, kunnen we de dimensiestelling voor deelruimten gebruiken.Combineren we die stelling met het criterium voor directe som, dan verkrijgen we voor twee deelruimten U en W vaneen eindigdimensionale vectorruimte V :

U +W is een directe som

⇔ dim(U ∩W ) = 0

⇔ U ∩W = {0V }.

Dit resultaat kan veralgemeend worden naar oneindigdimensionale vectorruimten. Om dat te bewijzen, kunnen weniet langer gebruik maken van de dimensiestelling voor deelruimten.

3 Stelling (tweede criterium voor directe som). Zij R, V,+ een vectorruimte en U,W deelruimten van V .Dan geldt:

U +W is een directe som

mU ∩W = {0V }.

Bewijs. Stel dat U + W een directe som is en neem een willekeurig element v van U ∩W . Dan kan die vectorop twee manieren geschreven worden als de som van een vector in U en een vector in W :

v = v + 0V = 0V + v,

tenzij v = 0V . Dit toont aan dat U ∩W = {0V }.

Omgekeerd, stel dat U∩W = {0V }. De definitie van de som van deelruimten impliceert dat elke vector v ∈ U+Wop minstens een manier te schrijven is als de som van een vector in U en een vector in W . Om te bewijzen dater hoogstens een manier is, stellen we dat er twee manieren zijn, dus v = u1 + w1 en v = u2 + w2 met ui ∈ Uen wi ∈ W voor i ∈ {1, 2}. Nu is u1 − u2 ∈ U en w2 − w1 ∈ W , zodat u1 − u2 = w2 − w1 ∈ U ∩W . OmdatU ∩W = {0V } is u1 − u2 = w2 − w1 = 0V zodat u1 = u2 en w1 = w2.

3 Modelvoorbeeld 2. Beschouw de oneindigdimensionale vectorruimte R,RR,+ van alle R-R afbeeldingen.Noem U de deelruimte van de even functies en W de deelruimte van de oneven functies:

U = {f ∈ RR | ∀x ∈ R : f(−x) = f(x)} en W = {f ∈ RR | ∀x ∈ R : f(−x) = −f(x)}.

Ga na of U +W een directe som is.

Oplossing. Omdat U ∩W = {0RR} is, wegens het tweede criterium voor directe som, U + W een directe som.Hieruit volgt dat elke R-R afbeelding op een unieke manier te schrijven is als de som van een even en een onevenfunctie.

Het tweede criterium voor directe som kan niet veralgemeend worden voor een directe som van meer dan twee deel-ruimten.

3 Voorbeeld. Beschouw de vectorruimte R,R2,+ en de deelruimten

U = Span{(1, 0)}, W = Span{(0, 1)} en Z = Span{(1, 1)}.

Dan isU ∩W = {0R2}, W ∩ Z = {0R2} en U ∩ Z = {0R2}.

Maar de som U +W + Z is geen directe som. Zo is bijvoorbeeld

(3, 5) = 3(1, 0) + 5(0, 1) + 0(1, 1) en (3, 5) = 2(1, 0) + 4(0, 1) + (1, 1).

XVII-41

2.12 Toepassingen

Aan de hand van een tweetal toepassingen willen we laten zien dat de studie van een abstracte structuur kan leidentot een antwoord op concrete probleemstellingen.

Toepassing 1 - Symmetrische en scheefsymmetrische matrices

Als eerste toepassing zullen we de n×n-matrices hernemen. Sommige van die matrices kunnen geschreven worden alsde som van een symmetrische matrix en een scheefsymmetrische matrix, zoals

−2 7 6−9 −5 1−4 3 8

=

−2 −1 1−1 −5 2

1 2 8

+

0 8 5−8 0 −1−5 1 0

.

We kunnen de vraag stellen welke vierkante matrices kunnen geschreven worden als de som vaneen symmetrische eneen scheefsymmetrische matrix.

Om het antwoord op die vraag te vinden, beschouwen we de vectorruimte R,Rn×n,+. Noem U de verzameling vanalle symmetrische matrices en W die van alle scheefsymmetrische matrices van Rn×n:

U = {A ∈ Rn×n | AT = A} en W = {A ∈ Rn×n | AT = −A}.Uit de eigenschappen van het transponeren van matrices volgt rechtstreeks dat U en W deelruimten van Rn×n zijn.

De som U + W bestaat uit alle matrices die kunnen geschreven worden als de som van een symmetrische en eenscheefsymmetrische matrix. Om te achterhalen welke matrices dat zijn, moeten we een basis van U + W bepalen.Daartoe berekenen we eerst de dimensie van U +W .

Uit de dimensiestelling voor deelruimten volgt:

dim(U +W ) = dimU + dimW − dim(U ∩W ). (1)

Het is eenvoudig om in te zien dat de doorsnede U ∩W de triviale deelruimte {0Rn×n} is, zodat dim(U ∩W ) = 0. Weberekenen de dimensies van U en W aan de hand van het voorbeeld n = 3, dat zich gemakkelijk laat veralgemenennaar andere waarden van n.

Een algemene symmetrische 3× 3-matrix heeft de gedaante

A =

a11 a12 a13a12 a22 a23a13 a23 a33

en de keuze van zo’n matrix kent 6 vrijheidsgraden. We vermoeden dus dat dimU = 6. Dat kan formeel bewezenworden door het scheiden van de parameters:

A = a11

1 0 00 0 00 0 0

+ a22

0 0 00 1 00 0 0

+ a33

0 0 00 0 00 0 1

+ a12

0 1 01 0 00 0 0

+ a13

0 0 10 0 01 0 0

+ a23

0 0 00 0 10 1 0

.

De deelruimte U wordt dus voortgebracht door een verzameling van zes vectoren, waarvan men eenvoudig aantoontdat ze lineair onafhankelijk is en dus een basis vormt.

Analoog is een algemene scheefsymmetrische 3× 3-matrix van de vorm

B =

0 b12 b13−b12 0 b23−b13 −b23 0

,

die 3 vrijheidsgraden telt. Formeel:

0 1 0−1 0 0

0 0 0

,

0 0 10 0 0−1 0 0

,

0 0 00 0 10 −1 0

is een basis vanW zodat dimW = 3.

Voor n ∈ N0 willekeurig vinden we dimU = n(n + 1)/2 en dimW = n(n − 1)/2 (ga na). De dimensiestelling voordeelruimten geeft dan:

dim(U +W ) =n(n+ 1)

2+n(n− 1)

2− 0 = n2.

Maar nu is ook dimRn×n = n2. Wegens Gevolg 2 uit §2.12 mogen we besluiten dat U + W = Rn×n. Met anderewoorden: elke vierkante matrix kan geschreven worden als de som van een symmetrische en een scheefsymmetrischematrix.

De doorsnede U ∩W is de triviale deelruimte {0Rn×n}, zodat U +W een directe som is (tweede criterium voor directesom). Uit de definitie van directe som volgt nu: elke vierkante matrix kan op een unieke manier geschreven wordenals de som van een symmetrische en een scheefsymmetrische matrix.

XVII-42

Toepassing 2 - Expliciet voorschrift van de rij van Fibonacci

Als tweede toepassing beschouwen we de rij van Fibonacci (fn) = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . waarbij elke term gelijk isaan de som van de twee voorgaande termen. Een recursief voorschrift van deze rij wordt dus gegeven door

(fn) =

{1 als n = 1, 2

fn−1 + fn−2 als n > 2.

Om met dit recursief voorschrift bijvoorbeeld de 100e term te bepalen, moeten we eerst de 99e en de 98e term kennen.Daartoe moeten we eerst de 96e en de 97e term bepalen, etc. Dat zou veel efficienter kunnen, mochten we een formulekennen waarmee we meteen de n-de term van de rij van Fibonacci kunnen bepalen, zonder eerst de n− 1 voorgaandetermen te moeten berekenen. Daarom luidt de vraag: bepaal een expliciet voorschrift van de rij van Fibonacci.

Beschouw daartoe de vectorruimte R,RN,+ van alle reele rijen. Noem W de deelverzameling van alle reele rijen (an)die voldoen aan de recursierelatie an+2 = an + an+1 voor elke n ∈ N.

Door het scheiden van de parameters vinden we dat

W = {(r, s, r + s, r + 2s, 2r + 3s, 3r + 5s, 5r + 8s, 8r + 13s, . . .) | r, s ∈ R}= Span{(1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, . . .), (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .)}

waarmee aangetoond is dat W een deelruimte van RN is. Bovendien zijn de twee voortbrengers (1, 0, 1, 1, 2, 3, . . .) en(0, 1, 1, 2, 3, 5, . . .) lineair onafhankelijk, zodat dimW = 2.

De deelruimte W bevat de rij van Fibonacci (fn) = (0, 1, 1, 2, 3, 5, . . .). Nu gaan we op zoek naar een andere basisvan W , meer bepaald een geordende basis B die bestaat uit twee meetkundige rijen. De reden waarom we dat doen isomdat elke meetkundige rij (an) een eenvoudig expliciet voorschrift heeft: an = a0q

n voor een zekere q ∈ R. Op diemanier zullen de coordinaten van (fn) ten opzichte van B toelaten een expliciet voorschrift van de rij van Fibonaccite geven.

Beschouw nu een meetkundige rij (an) = (a0, a0q, a0q2, . . .). Dan is

(an) ∈W ⇔ a0qn+2 = a0q

n + a0qn+1 voor elke n ∈ N

⇔ a0 = 0 of q2 = 1 + q.

De keuze a0 = 0 levert de nulrij op. De andere meetkundige rijen van W hebben als quotient q de oplossingenvan x2 = 1 + x. De oplossingen van deze vergelijking zijn ϕ = (1 +

√5)/2 (het getal van de gulden snede) en

1− ϕ = (1−√

5)/2.

De meetkundige rijen (un) = (1, ϕ, ϕ2, . . .) en (vn) = (1, 1−ϕ, (1−ϕ)2, . . .) zijn lineair onafhankelijk (ga na) en omdatdimW = 2 is B = ((un), (vn)) een geordende basis van W .

Ten slotte bepalen we de coordinaten van (fn) ten opzichte van B. Kortom, we zoeken r, s ∈ R waarvoor (fn) =r(un) + s(vn), dus

(0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, . . .) = r(1, ϕ, ϕ2, . . .) + s(1, 1− ϕ, (1− ϕ)2, . . .).

Vergelijken we de eerste termen dan vinden we r = −s = 1/√

5. Hieruit volgt een directe formule voor de n-de termvan de recursief gedefinieerde rij van Fibonacci: de algemene term van de rij van Fibonacci is

fn =ϕn − (1− ϕ)n√

5waarbij ϕ = (1 +

√5)/2

het getal van de gulden snede is. Deze formule wordt toegeschreven aan Jacques Binet die ze in 1843 vond, doch hetresultaat werd eerder gevonden door Abraham de Moivre in 1730.

Deze werkwijze kan ook toegepast worden op andere rijen. Meer bepaald, als (an) een recursief gedefinieerde rij is dieaan de volgende voorwaarden voldoet:

(1) de recursierelatie is lineair: an+m = r1an + r2an+1 + · · ·+ rman+m−1 met m ∈ N0 en r1, r2, . . . , rm ∈ R,

(2) de vergelijking qn+m = r1qn+r2q

n+1+· · ·+rmqn+m−1 heeft preciesm verschillende reele oplossingen λ1, λ2, . . . , λm,

dan kan deze rij expliciet uitgedrukt worden als

an = s1λn1 + s2λ

n2 + · · ·+ smλ

nm

voor zekere s1, s2, . . . , sm ∈ R. We merken ten slotte op dat deze methode equivalent is met het bepalen van eenexpliciet voorschrift via het zogenaamd diagonaliseren van matrices, een onderwerp dat in Hoofdstuk 4 aan bod komt.

XVII-43

Oefeningen

2 Vectorruimten Basis Verdieping Uitbreiding? ?? ? ?? ? ??

2.1 Definitie van een vectorruimte 1 1 1

2.2 Voorbeelden van vectorruimten - Deel 1 234

56

7 8 9

2.3 Basiseigenschappen van een vectorruimte 1011

1213

14 15

2.4 Voorbeelden van vectorruimten - Deel 2 1617

18 19

2.5 Deelruimten 2021

222324

25 2627

28 2930

31

2.6 Lineaire combinaties en opspanning van vectoren 32 3334

36363738

3940

41 42 43 4445

2.7 Voortbrengende vectoren 46 474849

2.8 Lineair onafhankelijke vectoren 505152

53 54 55 56

2.9 Basisvectoren 57 5859

60616263

6465

66 67 68

2.10 Dimensie 69 70 7172

7374

2.11 Dimensiestelling voor deelruimten 757677

787980

8182838485

8687

2.12 Toepassingen 88 8990

Oefeningen bij §2.1

Oefening 1. Zij R, V,+ een vectorruimte. Beschouw in V twee gekende vectoren v1, v2 en een onbekende vector u.Op welke axioma’s van vectorruimten moet je steunen om de volgende vergelijkingen in u op te lossen?

B (a) u+ v1 = v2

B (b) 3u = v1

B? (c) 3u+ v1 = v2

B?? (b) 3(u+ v1) + 2(u+ v2) = 0V

Oefeningen bij §2.2

B Oefening 2. Bewijs dat de scalaire vermenigvuldiging in RN gemengd associatief is.

B Oefening 3. Bewijs: er is een neutraal element voor de optelling in R[X].

B Oefening 4. Waarom is de verzameling van singuliere n× n-matrices

S ={M ∈ Rn×n | detM = 0

},

voorzien van de elementsgewijze optelling en scalaire vermenigvuldiging van matrices, geen vectorruimte?

XVII-44

B?? Oefening 5. Beschouw in de vectorruimte R,R4,+ de deelverzameling

W = {(2s, 0,−s, t) | s, t ∈ R}.

Toon aan dat R,W,+ een vectorruimte is.

B?? Oefening 6. Beschouw de verzameling van alle 2× 2-diagonaalmatrices

D =

{[a 00 b

] ∣∣∣∣ a, b ∈ R}

voorzien van de elementsgewijze optelling en scalaire vermenigvuldiging van matrices. Bewijs dat R,D,+ een vector-ruimte is.

V Oefening 7. Beschouw de verzameling EX =

{(xy

) ∣∣∣∣ x, y ∈ R}

, die we voorzien van de volgende optelling en scalaire

vermenigvuldiging: (x1y1

)+

(x2y2

)=

(x1 + x2 + 1y1 + y2 − 1

)en r ·

(xy

)=

(rx+ r − 1ry − r + 1

).

Toon aan dat R,EX,+ een vectorruimte is. Wat is het neutraal element in EX?

U? Oefening 8 (magische vierkanten). Een magisch vierkant van orde n (met n ∈ N0) is een vierkant schema waarin

n2 getallen zodanig zijn ingevuld dat de kolommen, de rijen en de beide diagonalen alle dezelfde som opleveren.Hieronder zie je het magisch vierkant van orde 4 uit de kopergravure Melencolia I van Albrecht Durer (1514). Bewijsdat de verzameling van magische vierkanten van orde 4, voorzien van de hokjesgewijze optelling en hokjesgewijzescalaire vermenigvuldiging, een reele vectorruimte is.

U?? Oefening 9 (rationale vectorruimte). Gegeven is de verzameling

Q[√

2] = {a+ b√

2 | a, b ∈ Q}

(a) Geef drie verschillende elementen van de verzameling Q[√

2].

(b) Toon aan dat Q[√

2], voorzien van de klassieke optelling en scalaire vermenigvuldiging, geen reele vectorruimteis.

(c) Men kan ook vectorruimten beschouwen over een andere verzameling dan R, zoals bijvoorbeeld Q. (Niet elkeverzameling komt echter in aanmerking: ze moet een zogenaamd veld zijn. De verzamelingen Q, R en C zijnvelden, maar N en Z niet. De definitie van een veld is niet nodig om deze oefening op te lossen.) Toon aan datQ[√

2], voorzien van de klassieke optelling en scalaire vermenigvuldiging

+ : Q[√

2]×Q[√

2]→ Q[√

2] en · : Q×Q[√

2]→ Q[√

2],

een rationale vectorruimte is (dus een vectorruimte over Q). Deze vectorruimte wordt genoteerd als Q,Q[√

2],+.

Oefeningen bij §2.3

B Oefening 10. Beschouw in de vectorruimte R,R4,+ de vectoren

v1 = (2, 1,−3, 0), v2 = (5, 0, 2, 4) en v3 = (12, 1, 1, 8).

Bereken v1 + 2v2 − v3.

XVII-45

B Oefening 11. Zij R, V,+ een vectorruimte en u, v1, v2, v3 ∈ V . Druk telkens de vector u uit in functie van de vectorenv1, v2, v3 en vereenvoudig zoveel als mogelijk.

(a) (v1 − u) + (v2 − u) + (v3 − u) = 0V1

2(b)

1

2(3u+ 2v1 − v2) =

2

3(v1 − u+ 3v3)

B? Oefening 12. Op de verzameling R2 voorzien we een nieuwe optelling:

+ : R2 × R2 → R2 :((x1, y1), (x2, y2)

)7→ (x1 + x2, 0)

en een nieuwe scalaire vermenigvuldiging:

· : R× R2 → R2 :(r, (x1, y1)

)7→ (rx1, 0).

Bewijs dat R2 voorzien van deze nieuwe optelling en scalaire vermenigvuldiging geen vectorruimte is door aan te tonendat niet voldaan is aan de schrappingswet.

B? Oefening 13. Zij R, V,+ een niet-triviale vectorruimte. Bepaal telkens (indien mogelijk) de waarde(n) van x ∈ R zodat voor elke vector u ∈ V de gegeven uitdrukking geldt.

(a) 3xu = u− xu

(b) 4xu = 2(2x− 1)u

(c) 3xu = xu− 4u

(d) 6xu = 2(3x− 2)u+ 4u

V Oefening 14. Zij R, V+ een vectorruimte. Bewijs dat voor elke vector u ∈ V geldt dat −(−u) = u.

U Oefening 15 (basiseigenschappen van een vectorruimte). Zij R, V,+ een vectorruimte. Bewijs de volgendebasiseigenschappen. Vermeld bij elke overgang op welk axioma, welke definitie of welke eigenschap je steunt.

(ix) ∀r ∈ R,∀u, v ∈ V : r(u− v) = ru− rv

(x) ∀r, s ∈ R,∀v ∈ V : (r − s)v = rv − sv

(xi) ∀r ∈ R0,∀u, v ∈ V : ru = rv ⇒ u = v

(xii) ∀r, s ∈ R,∀v ∈ V \ {0V } : rv = sv ⇒ r = s

Oefeningen bij §2.4

B? Oefening 16. Bewijs dat de scalaire vermenigvuldiging in RN gemengd associatief is.

B? Oefening 17. Bewijs: er is een neutraal element voor de optelling in R[X].

V? Oefening 18. Beschouw de vectorruimte R,RR,+ van R-R afbeeldingen. Beschouw daarnaast de verzameling vanalle reele functies

F = {f | f is een functie van R naar R}die we voorzien van de puntsgewijze optelling en scalaire vermenigvuldiging van functies. Ten slotte nemen we defuncties f : R→ R : x 7→ 1/x en g : R→ R : x 7→ √x+

√−x.

(a) Toon aan dat f en g niet tot RR behoren.

(b) Stel dat er een uniek neutraal element 0F voor de optelling in F is en dat elk element in F een invers elementvoor de optelling in F heeft. Toon met behulp van de functies f en g aan dat noodzakelijk dom 0F = ∅.

(c) Toon aan dat F , voorzien van de puntsgewijze optelling en scalaire vermenigvuldiging van functies, geen vector-ruimte is door aan te tonen dat niet voldaan is aan basiseigenschap (iv) van vectorruimten.

U Oefening 19 (vectorruimte van alle veeltermen in Xm). Zij m ∈ N0 en beschouw de verzameling van alle reeleveeltermen in Xm:

R[Xm] = {b0 + b1Xm + b2X

2m + · · ·+ bnXnm | n ∈ N en b0, b1, . . . , bn ∈ R}

voorzien van de klassieke optelling en scalaire vermenigvuldiging van veeltermen. Toon aan dat R,R[Xm],+ eenvectorruimte is.

XVII-46

Oefeningen bij §2.5

B Oefening 20. Ga telkens na of de vermelde deelverzameling van de vectorruimte R,R2,+ ook een deelruimte is.

(a) {(3s, 2 + 5s) | s ∈ R}

(b) {(x, y) ∈ R2 | x+ y = 1}

(c) {(x, y) ∈ R2 | x+ y = 0}

(d) {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}

(e) {(x, y) ∈ R2 | xy = 0}

(f) {(x, y) ∈ R2 | x ≥ 0}

B Oefening 21. Beschouw de vectorruimte R,Rn×n,+ en de deelverzameling van alle scheefsymmetrische matrices

W = {A ∈ Rn×n | AT = −A}.

Toon aan dat W een deelruimte van Rn×n is.

B? Oefening 22. Ga telkens na of de vermelde deelverzameling van de vectorruimte R,R3,+ ook een deelruimte is.

(a) {(3s, 1− t, s) | s, t ∈ R}

(b) {(x, y, z) ∈ R3 | 5x− 3y + 2z = 0}

(c) {(x, y, z) ∈ R3 | x− y + z = 1}

(d)

{(x, y, z) ∈ R3

∣∣∣∣x

5=y

3=

z

−2

}

(e) {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 = 0}

(f) {(x, y, z) | x, y, z ∈ Q}

B? Oefening 23. Ga telkens na of de vermelde deelverzameling van de vectorruimte R,R2×2,+ ook een deelruimte is.

(a)

{[a b

1− b 0

] ∣∣∣∣ a, b ∈ R}

(b)

{[a bc d

]∈ R2×2

∣∣∣∣ a+ d = 0

}

B? Oefening 24. Ga telkens na of de vermelde deelverzameling van de vectorruimte R,R[X],+ ook een deelruimte is.

(a) {aX2 | a ∈ R}

(b) {a+ bX + cX2 | a, b, c ∈ Z}

(c) {A ∈ R[X] | grA ≥ 2}

(d) {A ∈ R[X] | grA ≥ 2} ∪ {0R[X]}

(e) {A ∈ R[X] | A is deelbaar door X − 2}

(f) {A ∈ R[X] | A is niet deelbaar door X2}B?? Oefening 25. Ga na of de volgende deelverzameling van de vectorruimte R,RN,+ een deelruimte is:

W = {(r − s, 2r − 4s, 3r − 9s, 4r − 16s, 5r − 25s, . . .) | r, s ∈ R}.

V Oefening 26. Ga telkens na of de vermelde deelverzameling van de vectorruimte R,RR,+ ook een deelruimte is.

(a) {f ∈ RR | f(2) = 1}

(b) {f ∈ RR | f(2) = 3 · f(0)}

(c) {f ∈ RR | f is een even functie}

(d) {f ∈ RR | f is een oneven functie}

(e){f ∈ RR | f is een veeltermfunctie

}

(f) {a sinx+ b cosx | a, b ∈ R}

V Oefening 27. Beschouw voor een matrix A ∈ Rm×n de oplossingsverzameling WA van het lineair homogeen stelselA ·X = 0. Toon aan dat WA een deelruimte van de vectorruimte R,Rn,+ is.

V?? Oefening 28. Zij R, V,+ een vectorruimte en W1,W2 twee deelruimten van V . Bewijs:

W1 ∪W2 = V ⇔ W1 = V of W2 = V.

U? Oefening 29 (veralgemeende rijen van Fibonacci). Een veralgemeende rij van Fibonacci is een (reele) rij (an)die voldoet aan de relatie an+2 = an+1 + an voor elke n ∈ N. Toon aan dat de verzameling W van alle veralgemeenderijen van Fibonacci een deelruimte van de vectorruimte R,RN,+ is.

U? Oefening 30 (periodieke afbeeldingen met periode p). Zij p ∈ R+0 . Een periodieke afbeelding met periode p is

een R − R afbeelding waarvoor geldt dat f(x − p) = f(x) = f(x + p) voor elke x ∈ R. Toon aan dat de verzamelingWp van alle periodieke afbeeldingen met periode p een deelruimte van de vectorruimte R,RR,+ is.

U?? Oefening 31 (tweede criterium voor deelruimte). Zij R, V,+ een vectorruimte en W een niet-lege deelverzame-ling van V . Bewijs: W is een deelruimte van V als en slechts als voor elke u, v ∈W en r ∈ R geldt: r · u+ v ∈W .

XVII-47

Oefeningen bij §2.6

B Oefening 32. Zij R, V,+ een vectorruimte en u, v ∈ V . Bewijs: Span{u, v} = Span{u+ v, u− v}.

B? Oefening 33. Beschouw de vectorruimte R,R2,+ en de vectoren v1 = (1, 2) en v2 = (−3,−2). Ga na of de vector(−3, 2) kan geschreven worden als een lineaire combinatie van {v1, v2}.

B? Oefening 34. Toon telkens aan dat de verzameling een deelruimte is van de vermelde vectorruimte.

(a) {(x, y) ∈ R2 | x+ y = 0} in R,R2,+

(b) {(3s, 1− t, s) | s, t ∈ R} in R,R3,+

(c) {(x, y, z) ∈ R3 | 5x− 3y + 2z = 0} in R,R3,+

(d)

{(x, y, z) ∈ R3

∣∣∣∣x

5=y

3=

z

−2

}in R,R3,+

(e)

{[a bc d

]∈ R2×2

∣∣∣∣ a+ d = 0

}in R,R2×2,+

(f) {aX2 | a ∈ R} in R,R[X],+

B?? Oefening 35. Beschouw de vectorruimte R,R3,+ en de vectoren

v1 = (1, 0, 1), v2 = (1,−2, 1), v3 = (2, 3, 2) en v4 = (4,−1, 4).

Ga telkens na of de gegeven vector een lineaire combinatie van {v1, v2, v3, v4} is. Zo ja, schrijf zo’n lineaire combinatieop en ga na of deze schrijfwijze uniek is.

(a) v = (7, 0, 7) (b) v = (11,−6, 5) (c) v = (1,−9, 1)

B?? Oefening 36. Beschouw de vectorruimte R,R4,+ en de vectoren

v1 = (1, 3,−2, 5), v2 = (2, 6,−4, 10), v3 = (3, 2,−1, 7), v4 = (0, 7,−5, 8) en v5 = (0, 7,−7, 8).

Ga telkens na of de gegeven vector tot de opspanning van {v1, v2, v3, v4, v5} behoort. Zo ja, schrijf zo’n lineairecombinatie op en ga na of deze schrijfwijze uniek is.

(a) v = (2,−1, 1, 2)

(b) w = (3, 2,−1, 6)

B?? Oefening 37. Beschouw de vectorruimte R,R2,+ en de vectoren v1 = (√

2,−√

3) en v2 = (√

5,√

13). Toon telkensaan dat de vector u tot de opspanning van {v1, v2} behoort en schrijf u als een lineaire combinatie van {v1, v2}. Isdeze schrijfwijze uniek?

(a) u = (√

7,√

10) (b) u = (√

2 +√

5,√

13−√

3)

B?? Oefening 38. Toon telkens aan in de vermelde vectorruimte.

(a) Span{(2,−3, 1)} ≤ Span{(8,−8, 4), (6,−5, 3), (2,−1, 1)} in R,R3,+

(b) Span{X2 + 2} ≤ Span{3X2 +X + 1, X − 5, 2X2 +X − 1, X2 −X − 3} in R,R[X],+

(c) Span{(2, 3,−1, 0), (−3, 1, 0, 2)} = Span{(−4, 5,−1, 4), (9, 8,−3,−2)} in R,R4,+

(d) Span{(1, 2,−1), (2,−3, 2)} 6= Span{(4, 1, 3), (−3, 1, 2)} in R,R3,+

(e) Span{sin2 x, cos2 x} = Span{1, cos(2x)} in R,RR,+

V Oefening 39. Bepaal telkens de waarde(n) van a ∈ R waarvoor in de vermelde vectorruimte geldt:

(a) (2,−3, a) ∈ Span{(5, 1, 2), (3,−2,−1)} in R,R3,+,

(b) (−1, 2, 3a) ∈ Span{(2, a, 7), (−1, 2,−3)} in R,R3,+,

(c) (a+X)3 ∈ Span{1, X,X2, X3} in R,R[X],+.

V Oefening 40. Beschouw de vectorruimte R,R3,+. Bepaal de waarde(n) van r waarvoor de deelruimte voortgebrachtdoor {(4, 5, 6), (r, 5, 1), (4, 3, 2)} een echte deelruimte is.

XVII-48

V? Oefening 41. Zij R, V,+ een vectorruimte en u, v ∈ V . Verder is gegeven dat u ∈ Span{v} en v 6∈ Span{u}. Welkevan de volgende uitspraken zijn juist? Motiveer je antwoord.

(1) u = v

(2) u 6= v

(3) u = 0V en v = 0V

(4) u 6= 0V en v = 0V

(5) u = 0V en v 6= 0V

(6) De opgave is zinloos, er geldt immers nooit dat u ∈ Span{v} en v 6∈ Span{u}.

U Oefening 42 (transitiviteit van de opspanning van vectoren). Zij R, V,+ een vectorruimte en u, v, w ∈ V .Bewijs: als u ∈ Span{v} en v ∈ Span{w} dan is u ∈ Span{w}.

U? Oefening 43 (classificatie van de deelruimten van R2). Beschouw de vectorruimte R,R2,+ en zij W een deel-ruimte van R2. Toon aan dat W tot een van de volgende gevallen behoort.

(1) W is een triviale deelruimte: W = {0R2} of W = R2 of

(2) W is een vectorrechte: W = Span{u} voor een niet-nulvector u ∈ R2.

U?? Oefening 44 (criterium voor het behoren van een vector tot een opspanning van vectoren in Rm).Beschouw de vectorruimte R,Rm,+ en vectoren v1, v2, . . . , vn ∈ Rm en w ∈ Rm. Beschouw de matrices A en (A | w)die we verkrijgen door de vectoren v1, v2, . . . , vn en w op te vatten als kolommen:

A =

| | |v1 v2 . . . vn| | |

∈ Rm×n en (A | w) =

| | | |v1 v2 . . . vn w| | | |

∈ Rm×(n+1).

Toon aan:w ∈ Span{v1, v2, . . . , vn} ⇔ rangA = rang [A | w]

en bewijs dat in dat geval de schrijfwijze van w als een lineaire combinatie van {v1, v2, . . . , vn} uniek is als en slechtsals rangA = n.

U?? Oefening 45. Zij R, V,+ een vectorruimte en v1, v2, . . . , vn ∈W . Toon aan:

de nulvector is op een unieke manier te schrijven

als een lineaire combinatie van {v1, v2, . . . , vn}m

elke vector van Span{v1, v2, . . . , vn} is op een unieke manier

te schrijven als een lineaire combinatie van {v1, v2, . . . , vn}.

Oefeningen bij §2.7

B Oefening 46. Bepaal telkens een voortbrengende verzameling van de gegeven deelruimte in de vermelde vectorruimte.

(a) {(r − s− 2t, r + s+ 2t) | r, s, t ∈ R} in R,R2,+

(b) {(x, y, z) ∈ R3 | x+ 2y − z = 0} in R,R3,+

(c) {(x, y, z, t) ∈ R4 | x− y = 0 en z + t = 0} in R,R4,+

(d)

{[3s t

2s+ t t

] ∣∣∣∣ s, t ∈ R}

in R,R2×2,+

(e) {a+ b+ (2a− b)X | a, b ∈ R} in R,R[X],+

(f) {A ∈ R[X]<6 | A is deelbaar door X2 − 1} in R,R[X],+

XVII-49

B?? Oefening 47. Bepaal telkens of de gegeven verzameling al dan niet voortbrengend is voor de vectorruimte R,R3,+.Zo niet, geef een vector die geen lineaire combinatie van de gegeven verzameling is.

(a) {(3, 1,−1), (1, 1, 2), (0, 0, 1)}

(b) {(5, 0,−2), (0, 1, 1)}

(c) {(3, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 0, 1), (2, 1, 0)}

(d) {(−7,−1, 3), (5, 9, 2), (8, 18, 5), (1, 13, 6)}

B?? Oefening 48. Toon aan dat {1, X, 1−X2, 1 +X +X2} voortbrengend is voor de vectorruimte R,R[X]<3,+.

B?? Oefening 49. Beschouw de vectorruimte R,R2×2,+ en de vectoren

v1 =

[1 3−2 5

], v2 =

[3 6−4 10

], v3 =

[−2 2−1 7

], v4 =

[0 7−5 8

], v5 =

[7 2−1 6

], v6 =

[5 4−2 15

].

Is {v1, v2, v3, v4, v5, v6} voortbrengend voor R2×2? Zo neen, geef een vector die geen lineaire combinatie is van dezevectoren.

Oefeningen bij §2.8

B Oefening 50. Zij R, V,+ een vectorruimte en u, v, w ∈ V . Toon aan dat de volgende deelverzamelingen van V lineairafhankelijk zijn.

(a) {u, v, u− v}

(b) {u, v,−3u}

(c) {u, u+ v, u− v}

(d) {u− v, v + w,w + u}

B Oefening 51. Beschouw in de vectorruimte R,R3,+ een deelverzameling {v1, v2, v3} die lineair afhankelijk is. Is v3een lineaire combinatie van {v1, v2}? Waarom (niet)?

B Oefening 52. Zij R, V,+ een vectorruimte en v1, v2, . . . , vn ∈ V . Toon aan: {v1, v2, . . . , vn, 0V} is lineair afhankelijk.

B? Oefening 53. Bepaal of de gegeven deelverzameling van de vermelde vectorruimte lineair afhankelijk of lineair onaf-hankelijk is.

(a) {(1, 0), (0, 0)} in R,R2,+

(b) {(2, 3), (1, 5)} in R,R2,+

(c) {2x, 2−x} in R,RR,+

(d) {(3,√

3,√

6), (√

6,√

2, 2)} inR,R3,+

(e) {1+X,X+X2, X2+X3} in R,R[X],+

(f) {3 sin2 x, cos2 x, 8} in R,RR,+

B?? Oefening 54. Bepaal of de gegeven deelverzameling van de vectorruimte R,R3,+ lineair afhankelijk of lineair onaf-hankelijk is.

(a) {(3, 1,−1), (1, 1, 2), (0, 0, 1)}

(b) {(5, 0,−2), (0, 1, 1)}

(c) {(0,−1, 0), (1, 0, 1), (2, 1, 2), (3, 2, 3)}

(d) {(8,−8,−5), (2, 1, 7), (−6, 5, 1)}

V Oefening 55. Bepaal telkens de waarde(n) van k ∈ R waarvoor de gegeven verzameling vectoren van R,R3,+ lineaironafhankelijk is.

(a) {(3, 1, 6), (0, 1, 4), (1, 0, k)}

(b) {(1,−2,−3), (−3, 5, 7), (−4, 5, k)}

(c) {(−6, 5, 4), (9, k,−6), (15,−4,−10)}

(d) {(k, 1, 3), (4, k, 6), (6, 1, 4)}

U Oefening 56 (criterium voor lineair onafhankelijke vector). Zij R, V,+ een vectorruimte en v1 ∈ V . Toon aan:{v1} is lineair onafhankelijk als en slechts als v1 6= 0V .

Oefeningen bij §2.9

B Oefening 57. Gegeven is de basis B = ((3, 0,−2), (0, 1, 5), (2,−1, 2)) van de vectorruimte R,R3,+. Bepaal de vectorv ∈ R3 waarvoor geldt dat coB(v) = (−2, 1, 7).

B? Oefening 58. Bepaal de coordinaatvector van v = (2, 4, 8) ten opzichte van

(a) de standaardbasis E van R3,

(b) de basis B = ((1,−3, 0), (0, 0, 2), (2,−1, 0)) van R3,

(c) de basis B′ = ((1, 0, 2), (2, 1, 0), (0, 3, 5)) van R3.

XVII-50

B? Oefening 59. Bepaal de coordinaatvector van v =

[2 01 4

]ten opzichte van

(a) de basis E =

([1 00 0

],

[0 10 0

],

[0 01 0

],

[0 00 1

])van R2×2,

(b) de basis B =

([1 00 −1

],

[1 00 1

],

[1 30 0

],

[0 02 0

])van R2×2.

B?? Oefening 60. Ga telkens na of de gegeven verzameling een basis van de vectorruimte R,R3,+ is.

(a) {(1, 2, 3), (1, 0, 1)}

(b) {(1, 2, 3), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (0, 1, 2)}

(c) {(1, 2, 3), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}

(d) {(1, 2, 3), (1, 0, 1), (0, 1, 2)}

B?? Oefening 61. Beschouw in de vectorruimte R,R[X]<3,+ de vectoren v1 = 1 +X, v2 = X +X2 en v3 = 1 +X2.

(a) Toon aan dat {v1, v2, v3} een basis van R[X]<3 is.

(b) Schrijf v = 3 + 2X +X2 als een lineaire combinatie van {v1, v2, v3}.

B?? Oefening 62. Gegeven is de vectorruimte R,R5,+. Bepaal een basis voor de deelruimte

W = {(a+ d, b+ d, 2a− b+ d, a+ d, c+ d) | a, b, c, d ∈ R}.

B?? Oefening 63. Beschouw in de vectorruimte R,R3,+ de vectoren v1 = (2,−1, 3) en v2 = (−5, 2,−6). Breid de lineaironafhankelijke verzameling {v1, v2} uit tot een basis van R3.

V Oefening 64. Beschouw de vectorruimte R,R[X]<3,+.

(a) Bepaal een vector v ∈ R[X]<3 zodat B = (1, 1 +X2, v) een basis van R[X]<3 is.

(b) Bepaal de coordinaatvector van 2X2 − 72X ten opzichte van de basis B.

V Oefening 65. Beschouw in de vectorruimte R,R4,+ de deelruimte W van alle oplossingen van het lineair stelsel

[2 1 2 31 1 3 0

]·

x1x2x3x4

=

[00

].

Bepaal een basis van W .

V? Oefening 66. Beschouw de vectorruimte R,R3×3,+ en de deelruimte van alle symmetrische matrices

W = {A ∈ R3×3 | AT = A}.

Bepaal een basis van W .

U Oefening 67 (aantal voortbrengende, lineair onafhankelijke en basisvectoren van Rm). Beschouw de vec-torruimte R,Rm,+ en vectoren v1, v2, . . . , vn ∈ Rm. Bewijs met behulp van Oefening 68:

(a) {v1, . . . , vn} is voortbrengend voor Rm ⇒ n ≥ m,

(b) {v1, . . . , vn} is lineair onafhankelijk⇒ n ≤ m,

(c) {v1, . . . , vn} is een basis van Rm ⇒ n = m.

U? Oefening 68 (criterium voor voortbrengende, lineair onafhankelijke en basisvectoren van Rm). Beschouwde vectorruimte R,Rm,+ en zij v1, v2, . . . , vn ∈ Rm. Beschouw de matrix A die we verkrijgen door de vectorenv1, v2, . . . , vn op te vatten als kolommen:

A =

| | |v1 v2 . . . vn| | |

∈ Rm×n.

Bewijs:

(a) {v1, . . . , vn} is voortbrengend voor Rm ⇔ rangA = m,

(b) {v1, . . . , vn} is lineair onafhankelijk⇔ rangA = n,

(c) {v1, . . . , vn} is een basis van Rm ⇔ m = n en detA 6= 0.

XVII-51

Oefeningen bij §2.10

B Oefening 69. Beschouw de vectorruimte R,R4,+, zij v1, v2, v3 ∈ R4 en noem W = Span{v1, v2, v3}. Schat zo goedmogelijk af en verklaar je antwoord: . . . ≤ dimW ≤ . . . .

B? Oefening 70. Beschouw de vectorruimte R,R3,+ en de deelruimten

U = Span{(3, 6, 5), (4, 8, 7)} en W = Span{(1, 2, 0), (0, 0, 1)}.

(a) Toon aan dat U ⊆W .

(b) Toon aan dat U = W door gebruik te maken van het begrip dimensie.

B?? Oefening 71. Beschouw de vectorruimte R,R3,+ en de deelruimte

W = Span{(1, 0,−1), (1, 1, 3), (2, 1, 2)}.

(a) Bepaal een basis van W .

(b) Bepaal dimW .

B?? Oefening 72. Gegeven is de vectorruimte R,R5,+ en de deelruimte

W = {(a+ d, b+ d, 2a− b+ d, a+ d, c+ d) | a, b, c, d ∈ R}.

Bepaal de dimensie van W .

V Oefening 73. Zij R, V,+ een eindigdimensionale vectorruimte en zij k een natuurlijk getal met 0 ≤ k ≤ dimV .Bewijs dat V een deelruimte van dimensie k heeft.

V Oefening 74. Zij R, V,+ een eindigdimensionale vectorruimte en veronderstel dat V niet de triviale vectorruimte is.Zijn de volgende uitspraken waar of vals? Motiveer telkens je antwoord.

(a) Als dimV = n dan bestaat er een verzameling van n+ 1 vectoren van V die V voortbrengt.

(b) Als {v1, v2, . . . , vp} voortbrengend voor V is dan geldt voor elke w ∈ V dat {v1, v2, . . . , vp, w} voortbrengend isvoor V .

(c) Als er geen enkele voortbrengende verzameling van p vectoren van V bestaat dan is dimV > p.

(d) Als dimV = n > 1 dan is elke verzameling van n− 1 vectoren van V lineair onafhankelijk.

(e) Als {w1, w2, . . . , wq} ⊆ V lineair onafhankelijk is dan geldt voor elke v ∈ V dat {w1, w2, . . . , wq, v} lineaironafhankelijk is.

(f) Als er geen enkele lineair onafhankelijke verzameling van q vectoren van V bestaat dan is dimV < q.

Oefeningen bij §2.11

B? Oefening 75. Beschouw de vectorruimte R,R2×2,+ en deelruimten U en W van R2×2. Verder is er gegeven datdimU = 3 en dimW = 2.

(a) Schat zo goed mogelijk af en verklaar: . . . ≤ dim(U +W ) ≤ . . . .

(b) Vul in en verklaar:

(i) als dim(U +W ) = 3 dan is U +W = . . . ,

(ii) als dim(U +W ) = 4 dan is U +W = . . . .

(c) Schat zo goed mogelijk af en verklaar: . . . ≤ dim(U ∩W ) ≤ . . . .

B? Oefening 76. Beschouw in de vectorruimte R,R2,+ de deelruimten

U = Span{(1, 1)} en W = Span{(−2, 1)}.

(a) Toon aan dat U ∪W geen deelruimte van R2 is.

(b) Bepaal dim(U +W ).

XVII-52

B? Oefening 77. Beschouw in de vectorruimte R,R3,+ de deelruimten

W = Span{(1,−1, 0), (0,−2, 0)} en Z = Span{(2, 2, 0), (0, 0, 3)}.

(a) Bepaal een basis van de deelruimte W + Z.

(b) Bepaal dim(W ∩ Z).

(c) Toon aan dat W + Z geen directe som is.

(d) Bepaal een deelruimte Z ′ van R3 zodat R3 = W ⊕ Z ′.

B?? Oefening 78. Beschouw de vectorruimte R,R3,+. Bepaal telkens een basis voor de deelruimte U ∩W en een basisvoor de deelruimte U +W .

(a) U = Span{(5, 1, 9)} en W = Span{(11, 0, 3), (6, 2,−7)}

(b) U = Span{(3, 2,−10)} en W = Span{(2,−3, 2), (−7, 3, 8)}

(c) U = Span{(1,−3, 7), (−1, 2, 2)} en W = Span{(2,−5, 5), (6,−13,−3)}

B?? Oefening 79. Beschouw de vectorruimte R,R[X],+ en de deelruimten

U = {a+ bX + cX2 ∈ R[X] | a+ b+ c = 0} en W = Span{1 +X + 2X2, X +X2}.

Bepaal een basis van U ∩W .

B?? Oefening 80. Beschouw de vectorruimte R,R3,+ en de deelruimten

U = Span{(1,−1, 2), (−3, 2,−5)} en W = Span{(−1, 3, 6)}.

(a) Toon aan dat de deelruimte U +W een directe som is.

(b) Bepaal dim(U ⊕W ).

(c) Wat is U ⊕W? Verklaar.

V Oefening 81. Beschouw in de vectorruimte R,R[X],+ de deelruimte U van veeltermen die deelbaar zijn door X + 3en de deelruimte W van veeltermen die deelbaar zijn door X2 + 2X − 3. Vul aan en staaf je antwoord: de veeltermenin U ∩W zijn de veeltermen die deelbaar zijn door . . . .

V Oefening 82. Beschouw de vectorruimte R,R3,+ en de deelruimten

M = Span{(1 + a, 4, 2), (5, 6,−1− a)} en N = Span{(5 + 2a, 10, 0)}

waarbij a ∈ R.

(a) Toon aan dat dimM = 2 voor elke waarde van a ∈ R.

(b) Bepaal de waarde(n) van a waarvoor M +N geen directe som is.

V Oefening 83. Zij R, V,+ een eindigdimensionale vectorruimte. Zijn de volgende uitspraken waar of vals? Indienwaar, bewijs. Indien vals, geef een tegenvoorbeeld.

(a) ∀U,W ≤ V : U ∩W 6= ∅

(b) ∀U,W ≤ V : U ∪W ≤ V

(c) ∀U,W ≤ V : U ∪W 6≤ V

(d) ∃U,W ≤ V : U ∪W = U +W

(e) ∀U,W ≤ V : dimU + dimW = dim(U +W )

(f) ∃U,W ≤ V : dimU + dimW = dim(U +W )

V Oefening 84. Beschouw in de vectorruimte R,R[X]<9,+ de deelruimte U van veeltermen die deelbaar zijn door X−2en de deelruimte W van veeltermen die deelbaar zijn door X − 3. Bepaal U +W .

XVII-53

V Oefening 85. Beschouw de vectorruimte R,RR,+ en noem U de deelruimte van de even functies en W de deelruimtevan de oneven functies.

(a) Beschouw een willekeurige f ∈ RR en definieer hiermee de R-R afbeeldingen f1 en f2 met voorschrift

f1(x) =1

2(f(x) + f(−x)) en f2(x) =

1

2(f(x)− f(−x)) .

Toon aan dat f1 ∈ U en f2 ∈W .

(b) Je kan gemakkelijk narekenen dat voor de afbeeldingen f, f1 en f2 uit de vorige deelvraag geldt: f = f1 + f2.Verklaar waarom er geen andere manier is om f te schrijven als de som van een even en een oneven functie.

V? Oefening 86. Zij R, V,+ een eindigdimensionale vectorruimte en U een deelruimte van V . Toon aan dat er eendeelruimte W van V bestaat zodat U ⊕W = V .

V? Oefening 87. In de dimensiestelling voor deelruimten is de formule dim(U + W ) = dimU + dimW − dim(U ∩W )gelijkaardig aan de formule voor het aantal elementen van de unie van twee eindige verzamelingen A en B:

#(A ∪B) = #A+ #B −#(A ∩B).

Voor drie eindige verzamelingen A,B en C geldt:

#(A ∪B ∪ C) = #A+ #B + #C −#(A ∩B)−#(B ∩ C)−#(A ∩ C) + #(A ∩B ∩ C).

Geldt een analoge formule voor de dimensies bij drie deelruimten?

Oefeningen bij §2.12

B?? Oefening 88. Bepaal telkens een expliciet voorschrift van de rij.

(a) (an) =

1 als n = 1

4 als n = 2

an−1 + 2an−2 als n > 2

(b) (bn) =

1 als n = 1

5 als n = 2

3bn−2 als n > 2

V Oefening 89. Schrijf een willekeurige 3 × 3-matrix als de som van een symmetrische en een scheefsymmetrischematrix.

V Oefening 90. De matrix A hieronder is geschreven als de som van een symmetrische nulsommatrix en een magischeblokmatrix:

A =

6 9 −611 0 7−5 4 13

=

5 4 −94 −6 2−9 2 7

+

1 5 37 6 54 2 6

.

Een symmetrische nulsommatrix is een symmetrische matrix waarvoor alle rijen en alle kolommen een nulsom hebben.Een magische blokmatrix is een vierkante matrix waarvan alle 2×2-deelmatrices met aansluitende elementen eenzelfdesom hebben. Zo is

1 5 37 6 54 2 6

een magische blokmatrix, want in elke 2× 2-deelmatrix met aansluitende elementen, zoals

[6 52 6

],

is de som van de elementen gelijk aan 19.

(a) Kan elke 3 × 3-matrix geschreven worden als de som van een symmetrische nulsommatrix en een magischeblokmatrix? Zo ja, is die schrijfwijze dan uniek? Verklaar je antwoord.

(b) Ga na of er een analoge eigenschap voor 4× 4-matrices geldt.

XVII-54

Referentielijst, bibliografie en websites

[1] M. Aigner, G.M. Ziegler, Proofs from the book, Springer, 1998.

[2] M. Alonso, E.J. Finn, Fundamentele natuurkunde deel 1 Mechanica, Delta Press, 1994.

[3] M. Alonso, E.J. Finn, Fundamentele natuurkunde deel 2 Elektromagnetisme, Delta Press, 1994.

[4] M. Alonso, E.J. Finn, Fundamentele natuurkunde deel 3 Golven, Delta Press, 1994.

[5] G.E. Andrews, The theory of partitions, Cambridge Mathematical Library, 1984.

[6] J. Anseeuw, J. De Langhe, P. Gevers, G. Roels, H. Vercauter, Nieuwe Delta 5 Analyse, Wolters, Leuven, 1994.

[7] J. Anseeuw, J. De Langhe, P. Gevers, G. Roels, H. Vercauter, Nieuwe Delta 6 Analyse Deel A, Wolters, Leuven,1994.

[8] J. Anseeuw, J. De Langhe, P. Gevers, G. Roels, H. Vercauter, Nieuwe Delta 5/6 Complexe getallen, Wolters,Leuven, 1994.

[9] J. Anseeuw, J. De Langhe, P. Gevers, G. Roels, H. Vercauter, Nieuwe Delta 5/6 Matrices en stelsels, Wolters,Leuven, 1994.

[10] J. Anseeuw, J. De Langhe, P. Gevers, G. Roels, H. Vercauter, Nieuwe Delta 5/6 Ruimtemeetkunde, Wolters,Leuven, 1994.

[11] D. Arnold, M. Butler, M. Haley, D. Harrow, A. Ives, S. Jackson, C. Kutil, T. Matsumoto, J.M. Prystowsky, T.Olsen, D. Tuttle, B. Wagner, Intermediate Algebra, College of the Redwoods Department of Mathematics, 2007.

[12] E. Aronson, T.D. Wilson, R.M. Akert, Social Psychology, Pearson Education, Limited, 2010.

[13] M. Artin, Algebra, Pearson Prentice Hall, 1991.

[14] F. Ayres , E. Mendelson, Schaum’s Outline of theory and problems of differential and integral calculus, McGraw-Hill, 1990.

[15] D. Batens, Logicaboek: praktijk en theorie van het redeneren, Antwerpen - Apeldoorn Garant, zevende druk, 2008.

[16] F. Beukers, Getaltheorie voor beginners, Epsilon Uitgaven 42, Utrecht, 2000.

[17] J. Billiet, H. Waege, Een samenleving onderzocht: Methoden van sociaal-wetenschappelijk onderzoek, UitgeverijDe Boeck nv, Antwerpen, 2005.

[18] P. Bogaert, F. Geeurickx, E. Willockx, R. Van Nieuwenhuyze, M. De Feyter, Van Basis tot Limiet 5 leerweg 6/8leerboek analyse 1: reele functies, Die Keure.

[19] D. Bollaerts, Wiskundige toelatingsexamens, Standaard Educatieve Uitgeverij, 1991.

[20] R. Bollens, H. Dooreman, L. Vermeiren, H. Van Bauwel, A. Florizoone-Dewachter, De wiskundepijl 6a bis, Uit-geverij Plantyn, Deune-Antwerpen, 1973.

[21] R. Bollens, H. Dooreman, L. Vermeiren, H. Van Bauwel, A. Florizoone-Dewachter, De wiskundepijl 6b, UitgeverijPlantyn, Deune-Antwerpen, 1973.

[22] R. Bollens, H. Dooreman, L. Vermeiren, H. Van Bauwel, A. Florizoone-Dewachter, De wiskundepijl 6d, UitgeverijPlantyn, Deune-Antwerpen, 1973.

[23] J. Bossaert, Curiosa Mathematica, 2014.

[24] P. E. Bourne, Ten Simple Rules for Making Good Oral Presentations PLoS Comput Biol 3(4): e77.doi:10.1371/journal.pcbi.0030077, 2007.

[25] A. Buijs, Statistiek om mee te werken, Wolters-Noodhoff, 2008.

xix

[26] A. Buijs, K. De Bont, Statistiek om mee te werken opgaven en uitwerkingen, Wolters-Noodhoff, 2008.

[27] J. Buysse en M. Nachtegael, Wiskundig vademecum, Pelckmans, Kapellen, 2005.

[28] P. Carette, M. Guerry, P. Theuns, C. Vanderhoeft, Brugcursus wiskunde voor humane wetenschappen, VrijeUniversiteit Brussel, 1995.

[29] J. Casteels, D. De Vos, L. Goris, R. Rottiers, J. Salaets, F. Smessaert, L. Van den Broeck, Delta-T 5/6 Beknopteanalyse veeltermfuncties, Wolters, Leuven, 1994.

[30] J. Casteels, L. Goris, R. Rottiers, F. Smessaert, L. Van den Broeck, Delta-T 5/6 Complexe getallen, Wolters,Leuven, 1993.

[31] A. Clarysse en K. De Naeghel, Onderzoekscompetenties met Wiskunnend Wiske, Uitwiskeling 30/3, 4-15, 2014.

[32] P. Coppens, V. Descheemaeker, G. Gijbels, T. Jansen, P. Janssen, S. Janssens, P. Matthijs, F. Michiels, F.Roggeman, J. Schepers, Pienter leerboek wiskunde voor het derde jaar 5, Van In, 2006.

[33] P. Coppens, G. Finoulst, G. Gijbels, F. Roggeman, J. Schepers, R. Vanbuel, Pienter leerboek integraalrekeningen differentiaalvergelijkingen voor het zesde jaar 6/8, Van In, 2006.

[34] M. Crawford, The art of problem solving: Introduction to number theory, AoPS Incorporated, 2013.

[35] M. Crawford, The art of problem solving: Introduction to number theory solutions manual, AoPS Incorporated,2013.

[36] T. Crilly, 50 inzichten wiskunde Onmisbare basiskennis, Veen Magazines, Diemen, 2009.

[37] T. Crilly, De grote vragen Wiskunde, Veen Magazines, Diemen, 2011.

[38] P.W. Daly, H. Kopka, A guide to LaTeX Document preparation for beginners and advanced users, Addison-Wesley,1992.

[39] D. De Bock, J. Deprez, D. Janssens, G. Kesselaers, R. Op de Beeck, M. Roelens, J. Roels, Wiskunde vanuittoepassingen, Acco, Leuven, 1990.

[40] D. De Bock, H. Eggermont, M. Roelens, Context afgeleiden, Uitgeverij Plantyn, Deurne, 1989.

[41] D. De Bock, H. Eggermont, M. Roelens, Context beschrijvende statistiek, Uitgeverij Plantyn, Deurne, 1987.

[42] D. De Bock, H. Eggermont, M. Roelens, Context exponentiele en logaritmische functies, Uitgeverij Plantyn,Deurne, 1989.

[43] C. De Cock en N.J. Schons, Leerboek der rekenkunde voor het middelbaar onderwijs, De Procedure, Namen, 1962.

[44] C. De Cock en N.J. Schons, Logaritmentafels in vijf decimalen en bijtafels, De Procedure, Namen, 1962.

[45] M. de Gee, Wiskunde in werking, deel 1, Epsilon Uitgaven 48, 2002.

[46] M. de Gee, Wiskunde in werking, deel 2, Epsilon Uitgaven 49, 2002.

[47] M. de Gee, Wiskunde in werking, deel 3, Epsilon Uitgaven 50, 2002.

[48] M. de Gee, Wiskunde in werking, van A naar B, Epsilon Uitgaven 70, 2015.

[49] H.G. Dehling, J.N. Kalma, Kansrekening, Epsilon Uitgaven 36, Utrecht, 2005.

[50] G. Delaleeuw, Mathematiseren en oplossen van problemen voor de derde graad tso/kso, Cahiers T3 Europe Vlaan-deren nr.9, 2006.

[51] R. De Paepe, Basiswiskunde van het secundair onderwijs boek 2/A, Acco Leuven, 1989.

[52] R. De Paepe, Basiswiskunde van het secundair onderwijs boek 4/A, Acco Leuven, 1989.

[53] K. De Naeghel, Belastingverlaging en transformaties van functies, Uitwiskeling 32/1, 7-8, 2016.

[54] K. De Naeghel, Benaderingen van het getal pi doorheen de geschiedenis van de wiskunde, 15 augustus 2013(aanvaard voor publicatie in Wiskunde & Onderwijs).

[55] K. De Naeghel, Enkele didactische wenken voor wiskundeonderwijs in de derde graad, print-on-demand onlinepublishing Lulu.com, 2009.

[56] K. De Naeghel, Enkele didactische wenken voor wiskundeonderwijs in de derde graad, Wiskunde & Onderwijs150, 128-133, 2012.

xx

[57] K. De Naeghel, Giscorrectie en optimaliseren van slaagkansen, Uitwiskeling 30/1, 2-7, 2014.

[58] K. De Naeghel, Het practicum wiskunde: coperatief aanleren van vaardigheden en attitudes, print-on-demandonline publishing Lulu.com, 2013.

[59] K. De Naeghel, Logaritmen en de zuurtegraad van een oplossing, Uitwiskeling 32/1, 17-19, 2016.

[60] K. De Naeghel, MATHCOUNTS Trainer: een applicatie voor probleemoplossend denken in de klas, 8 november2015 (aanvaard voor publicatie in Uitwiskeling).

[61] K. De Naeghel, Over irrationale getallen en machten van pi, 3 april 2013 (aanvaard voor publicatie in Wiskunde& Onderwijs).

[62] K. De Naeghel, Steeds betere benadering voor het getal pi, Wiskunde & Onderwijs 149, 18-23, 2012.

[63] K. De Naeghel, Uitgewerkte opdrachten en oefeningen bij SOHO Wiskunde Plantyn Lineaire algebra I, print-on-demand online publishing Lulu.com, 2016.

[64] K. De Naeghel, Zinvol realiseren van competenties in de derde graad: visie en werkvormen, Wiskunde & Onderwijs161, 38-48 en 162, 113-123, 2015.

[65] K. De Naeghel, L. Gheysens, Pythagoras en lineaire transformaties, Wiskunde & Onderwijs 160, 312-313, 2014.

[66] K. De Naeghel, A. Timperman, Tekstopmaak met LaTeX Gebruik van de online editor Overleaf voor beginners,print-on-demand online publishing Lulu.com, 2014.

[67] K. De Naeghel en A. Timperman, Tekstopmaak met LaTeX Gebruik van de online editor Overleaf voor beginners,12 januari 2015 (aanvaard voor publicatie in Wiskunde & Onderwijs).

[68] K. De Naeghel en A. Timperman, Boekvoorstelling: Tekstopmaak met LaTeX Gebruik van de online editor Overleafvoor beginners, 7 november 2015 (aanvaard voor publicatie in Uitwiskeling).

[69] K. De Naeghel, L. Van den Broeck, SOHO Wiskunde Plantyn Lineaire Algebra I, Plantyn, 2014.

[70] K. De Naeghel, L. Van den Broeck, SOHO Wiskunde Plantyn Lineaire Algebra II, Plantyn, 2014.

[71] K. De Naeghel, L. Van den Broeck, P. Tytgat en B. Seghers, Boekvoorstelling: SOHO Wiskunde Plantyn Lineairealgebra I en II, 11 januari 2015 (aanvaard voor publicatie in Wiskunde & Onderwijs).

[72] J. De Langhe, N. Deloddere, L. De Wilde, N. De Wilde, P. Gevers, P. Tytgat, Delta 5/6 Analytische kansrekenen(6-8 lesuren), Wolters Plantyn, Mechelen, 2003.

[73] J. De Langhe, N. Deloddere, L. De Wilde, N. De Wilde, P. Gevers, K. Thaels, P. Tytgat, Delta 5/6 Ruimtemeet-kunde (6-8 lesuren), Wolters Plantyn, Mechelen, 2003.

[74] J. De Langhe, N. Deloddere, L. De Wilde, N. De Wilde, P. Gevers, P. Tytgat, Delta 5/6 Analyse deel 1 (6-8lesuren), Wolters Plantyn, Mechelen, 2003.

[75] J. De Langhe, N. Deloddere, L. De Wilde, N. De Wilde, P. Gevers, P. Tytgat, Delta 5/6 Analyse (4 lesuren),Wolters Plantyn, Mechelen, 2003.

[76] I. De Pauw, B. Masselis Wiskunde voor IT, Lannoo Campus, 2010.

[77] I. De Pauw, B. Masselis Wiskunde voor multimedia, Lannoo Campus, 2009.

[78] A. Depover, W. Herreman, N. Persoone, A. Vandekerckhove, Foton 4.3 - Elektriciteit, magnetisme, trillingen,Uitgeverij Pelckmans, 1988.

[79] A. Depover, W. Herreman, N. Persoone, A. Vandekerckhove, Fysica Vandaag 5.2/3, Uitgeverij Pelckmans, 1988.

[80] J. Deprez, H. Eggermont, P. Gevers, Nieuwe Delta 5/6 Analytische meetkunde deel A, Wolters, Leuven, 1993.

[81] J. Deprez, H. Eggermont, P. Gevers, Nieuwe Delta 5/6 Analytische meetkunde deel B, Wolters, Leuven, 1993.

[82] J. Deprez, H. Eggermont, E. Van Emelen, Met de krant in de hand, Uitwiskeling 23, Nr. 4, 14-49, 2007.

[83] J. Deprez, D. Janssens, Getaltheorie in het secundair onderwijs, Acco, Leuven, 1986.

[84] J. Deprez, G. Verbeeck, Onderzoekscompetenties wiskunde in de derde graad, DPB Brugge, 3 maart 2010.

[85] K. Devlin, Wiskunde Wetenschap van patronen en structuren, Natuur & Techniek, SEGMENT Uitgeverij, Beek,1998.

xxi

[86] D. Domen, G. Finoulst, G. Gijbels, H. Put, J. Schepers, A. Vertenten, P. Weyenberg, Pienter leerboek reelefuncties precalculus voor het vijfde jaar 6/8, Van In, 2004.

[87] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R.Vereecke, Richting: Reele functies - Analyse, Uitgeverij Pelckmans, 1988.

[88] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R.Vereecke, Richting: Matrices - Stelsels, Uitgeverij Pelckmans, 1988.

[89] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R.Vereecke, Richting: Reele vectorruimten - Ruimtemeetkunde, Uitgeverij Pelckmans, 1988.

[90] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, N. Vanhaverbeke, V. Van de Walle, R.Vereecke, Richting: Analytische meetkunde, Uitgeverij Pelckmans, 1989.

[91] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, N. Vanhaverbeke, V. Van de Walle, R.Vereecke, Richting: Complexe getallen, Uitgeverij Pelckmans, 1989.

[92] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, N. Vanhaverbeke, V. Van de Walle, R.Vereecke, Richting: Goniometrie, Uitgeverij Pelckmans, 1989.

[93] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, N. Vanhaverbeke, V. Van de Walle, R.Vereecke, Richting: Combinatieleer - Kansberekening, Uitgeverij Pelckmans, 1990.

[94] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, N. Vanhaverbeke, V. Van de Walle, R.Vereecke, Richting: Analyse (minimum leerplan), Uitgeverij Pelckmans, 1990.

[95] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, N. Vanhaverbeke, V. Van de Walle, R.Vereecke, Richting: Analyse (uitgebreid leerplan), Uitgeverij Pelckmans, 1990.

[96] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R.Vereecke, Richting: Ruimtemeetkunde A, Uitgeverij Pelckmans, 1992.

[97] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R.Vereecke, Richting: Telproblemen - Kansrekening - Statistiek, Uitgeverij Pelckmans, 1993.

[98] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R.Vereecke, Richting: Analyse A, Uitgeverij Pelckmans, 1993.

[99] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R.Vereecke, Richting: Beknopte analyse A, Uitgeverij Pelckmans, 1993.

[100] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R.Vereecke, Richting: Matrices - Determinanten - Stelsels, Uitgeverij Pelckmans, 1993.

[101] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R.Vereecke, Richting: Ruimtemeetkunde B, Uitgeverij Pelckmans, 1993.

[102] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R.Vereecke, Richting: Analyse B, Uitgeverij Pelckmans, 1994.

[103] T. Dorissen, W. Jacquet, G. Sonck, Wiskundige basisvaardigheden, Uitgeverij VUBPRESS, 2008.

[104] W. Dunham, Euler: The master of us all, Dolciani Mathematical Expositions 22, 1999.

[105] W. Dunham, Journey through genius, Penguin books, 1990.

[106] W. Dunham, The calculus gallery, Princeton University Press, 2005.

[107] W. Dunham, The mathematical universe, John Wiley & Sons Inc., 1994.

[108] M. Du Sautoy, De getalmysteries, Uitgeverij Nieuwezijds, 2011.

[109] M. Du Sautoy, The music of the primes Searching to solve the greatest mystery in mathematics, HarperCollinsPublishers, 2003.

[110] B. Ernst, De interessantste bewijzen voor de stelling van Pythagoras, Epsilon Uitgaven 53, Utrecht, 2002.

[111] B. Ernst, Onmogelijke figuren, Librero, 2006.

[112] G. Finoulst, G. Gijbels, S. Janssens, H. Put, J. Schepers, A. Vertenten, P. Weyenberg, Pienter leerboek rijen enafgeleiden voor het vijfde jaar 6/8, Van In, 2005.

xxii

[113] F.R. Gantmacher, The theory of matrices volume one, American Mathematical Society, 1998.

[114] F.R. Gantmacher, The theory of matrices volume two, American Mathematical Society, 1998.

[115] M. Gardner, Sphere packing, Lewis Carroll and reversi, Cambridge University Press, 2009.

[116] M. Gardner, Sphere Packing, Lewis Carroll and Reversi, Cambridge University Press, 2009.

[117] G. Gijbels, E. Goemaere, D. Taecke, S. Wellecomme, Pienter leerwerkschrift voor de derde graad 2/3/4, Van In,2005.

[118] G. Gijbels, E. Govaert, M. Jaenen, S. Janssens, B. Sevenhant, I. Vanderstichel, P. Weyenberg, Pienter leerboekstatistiek I voor de derde graad 6/8, Van In, 2005.

[119] G. Gijbels, E. Govaert, M. Jaenen, S. Janssens, B. Sevenhant, I. Vanderstichel, P. Weyenberg, Pienter leerboektelproblemen en kansrekening statistiek II voor de derde graad 6/8, Van In, 2005.

[120] G. Gijbels, M. Jaenen, S. Janssens, B. Sevenhant, I. Vanderstichel, P. Weyenberg, Pienter leerboek ruimtemeet-kunde voor de derde graad 6/8, Van In, 2005.

[121] G. Gijbels, E. Govaert, M. Jaenen, S. Janssens, B. Sevenhant, I. Vanderstichel, K. Verzele, P. Weyenberg, Pienterleerboek complexe getallen en fractalen voor de derde graad 6/8, Van In, 2005.

[122] E. Goetghebeur, Statistiek, Universiteit Gent, uitgave 1997-1998.

[123] L.J. Goldstein, D.I. Schneider, M.J. Siegel, Finite mathematics and its applications, Prentice Hall, EnglewoodSliffs, New Jersey, 1988.

[124] W. Goldstein, W. Lewin, Gek op natuurkunde Van het begin van de regenboog tot het einde van de tijd: Een reislangs de wonderen van de wetenschap, Thomas Rap, Amsterdam, 2012.

[125] M. Goossens, F. Mittelbach, A. Samarin, The LATEX Companion, Addison-Wesley Publishing Compagny, 1994.

[126] R.L. Graham, D.E. Knuth, O. Patashnik, Concrete Mathematics, Addison-Wesley, 1994.

[127] E. Hairer, G. Wanner, Analysis by its history, Springer, 2000.

[128] P. Hammond, K. Sydsæter, Essential Mathematics for Economic Analysis, Prentice Hall, 2006.

[129] G.H. Hardy, Apologie van een wiskundige, Uitgeverij Nieuwezijds, 2011.

[130] J. Havil, Gamma, Princeton University Press, 2003.

[131] J. Havil, The irrationals, Princeton University Press, 2012.

[132] S. Hawking, God created the integers: The mathematical breakthroughs that changed history, Penguin Books,2005.

[133] N.J. Higham, Handbook of writing for the mathematical sciences, Society for Industrial and Applied Mathematics,Philadelphia, 1998.

[134] P. Hoffman, De man die van getallen hield Het verhaal van Paul Erds en de zoektocht naar de waarheid van dewiskunde, Bert Bakker, Amsterdam, 1999.

[135] L. Horsten, Einig, oneindig, meer dan oneindig, Epsilon Uitgaven 56, Utrecht, 2004.

[136] C. Impens, Analyse I, Universiteit Gent, uitgave 1996-1997.

[137] K. Ireland en M. Rosen, A classical introduction to modern number theory, Springer-Verlag, 1990.

[138] K. Janich, Linear Algebra, Springer-Verlag, 1994.

[139] S.L. Jones, Mathematical nuts, Norwood Press, 1932.

[140] D.W. Jordan, P. Smith, Mathematical techniques, Oxford University Press, 2002.

[141] D. Keppens, Algebra voor ingenieurs, Uitgeverij Acco, 2007.

[142] D. Keppens, Analyse voor ingenieurs, Uitgeverij Acco, 2006.

[143] M. Kindt, E. de Moor, Wiskunde in een notendop, Uitgeverij Bert Bakker, 2008.

[144] L. Kirkup, Experimental methods: An introduction to the analysis and presentation of data, Singapore, 1994.

[145] H. Kopla, P.W. Daly A guide to LATEX, Addison-Wesley Publishing Compagny, 1993.

xxiii

[146] E. Kreyszig, E.J. Norminton, Maple computer guide a self-contained introduction for advanced engineering ma-thematics, John Wiley & Sons, Inc., 2001.

[147] T. Kuijpers, C. Lybaert, SOHO Wiskunde Plantyn Groepentheorie, Plantyn, 2013.

[148] W. Ledermann en A.J. Weir, Introduction to group theory, Addison Wesley Longman, 1996.

[149] S. Lehoczky, R. Rusczyk, The art of problem solving: Volume 1: the Basics, AoPS Incorporated, 2008.

[150] S. Lehoczky, R. Rusczyk, The art of problem solving: Volume 1: the Basics solutions manual, AoPS Incorporated,2008.

[151] S. Lehoczky, R. Rusczyk, The art of problem solving: Volume 1: and beyond, AoPS Incorporated, 2008.

[152] S. Lehoczky, R. Rusczyk, The art of problem solving: Volume 1: and beyond solutions manual, AoPS Incorpo-rated, 2008.

[153] J. Levy, Scheikunde van zuren en basen tot chemische polariteit, Librero, 2012.

[154] S. Lipschutz, Schaum’s Outline of linear algbebra, McGraw-Hill, 1991.

[155] J. Lyczak, Q. Puite, B. van Dalen, Finaletraining Nederlandse wiskunde olympiade met uitwerkingen, ISBN978-90-357-1800-5, 2011.

[156] M. Mashaal, Bourbaki, Veen Magazine, Amsterdam, 2009.

[157] E. Mathijs, Schrijfstijl wetenschappelijke tekst, KU Leuven, 2006.

[158] J.T McClave, P.G. Benson, T. Sincich, S. Knypstra, Statistiek: een inleiding, elfde editie, Pearson EducationBenelux, 2011.

[159] R. Mersch, Oogklepdenken, De Bezige Bij Antwerpen, 2012.

[160] B. Michels, Getaltheorie een introductie, 2015.

[161] L. Motmans, Inhaalcursus wiskunde voor het eerste kandidaatsjaar Toegepaste Economische Wetenschappen enHandelsingenieur, Limburgs Universitair Centrum, 2002.

[162] M. Nachtegael, Data-Analyse I: Wiskundige Principes, Faculteit Geneeskunde en Gezondheidswetenschappen,Universiteit Gent, 2009.

[163] E. Nauwelaerts, Basiswiskunde voor informatica 2, Universiteit Hasselt, 2002.

[164] E. Nauwelaerts, Redeneren en structureren, Universiteit Hasselt, 2005.

[165] I. Newton, Method of fluxions, 1736.

[166] B.M. Oliver, Heron’s remarkable triangular area formula, Mathematics Teacher 86, 161-163, 1993.

[167] J.M.H. Olmsted, C.G. Townsend, On the Sum of Two Periodic Functions, The Two-Year College MathematicsJournal, Vol. 3, No. 1, 33-38, 1972.

[168] J.P. Ottoy, Wiskunde algebra analystische meetkunde, Universiteit Gent,

[169] D. Patrick, The art of problem solving: Calculus, AoPS Incorporated, 2010.

[170] D. Patrick, The art of problem solving: Calculus solutions manual, AoPS Incorporated, 2010.

[171] D. Patrick, The art of problem solving: Introduction to counting & probability, AoPS Incorporated, 2007.

[172] D. Patrick, The art of problem solving: Introduction to counting & probability manual, AoPS Incorporated, 2007.

[173] L. Papula, Wiskunde voor het hoger technisch onderwijs deel 1, Academic Service, 2009.

[174] L. Papula, Wiskunde voor het hoger technisch onderwijs deel 2, Academic Service, 2009.

[175] J.A. Paulos Ongecijferdheid, Uitgeverij Ooievaar Amsterdam, 1999.

[176] R. Penrose, The emperor’s new mind Concerning computers, minds and the laws of physics, Oxford UniversityPress, 1989.

[177] R. Penrose, The road to reality A complete guide to the laws of the universe, Vintage Books, London, 2005.

[178] H. Pfaltzgraff, Spijker 1 Rekenen, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2009.

xxiv

[179] H. Pfaltzgraff, Spijker 2 Algebra, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2009.

[180] H. Pfaltzgraff, Spijker 3 Functies, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2009.

[181] H. Pfaltzgraff, Spijker 4 Differentieren, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2009.

[182] H. Pfaltzgraff, Spijker 5 Integreren, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2009.

[183] H. Pfaltzgraff, Spijker 6 Statistiek, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2009.

[184] H. Pfaltzgraff, Spijker 7 Goniometrie en vectoren, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2009.

[185] C.A. Pickover, Het wiskunde boek, Librero Nederland, 2010.

[186] G. Polya, How to solve it, Princeton University Press, 1945.

[187] H. Reuling, J. Reuling, Tandwielen en overbrengingen wiskunde D havo-5, 2010.

[188] S.E. Rigdon, E.J. Purcell, D. Varberg, Calculus, Pearson Prentice Hall, 2007.

[189] J. Rosenhause, The Monty Hall problem, Oxford University Press, 2009.

[190] R. Rusczyk, The art of problem solving: Precalculus, AoPS Incorporated, 2009.

[191] R. Rusczyk, The art of problem solving: Precalculus solutions manual, AoPS Incorporated, 2009.

[192] R. Rusczyk, M. Crawford, The art of problem solving: Intermediate Algebra, AoPS Incorporated, 2008.

[193] R. Rusczyk, M. Crawford, The art of problem solving: Intermediate Algebra solutions manual, AoPS Incorpora-ted, 2008.

[194] N.J. Schons, Exercices d’arithmologie, La Procedure, Namur, 1938.

[195] S. Singh, De oerknal De belangrijkste wetenschappelijke ontdekking ooit, De Arbeiderspers, Amsterdam, 2005.

[196] M.R. Spiegel, Schaum’s Outline of theory and problems of advanced calculus, McGraw-Hill, 1962.

[197] E. Steiner, The Chemestry Maths Book, Oxford University Press, 2008.

[198] I. Steward, Concepts of modern mathematics, Dover Publication, 1975.

[199] D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde, Het Spectrum, 1990.

[200] K. Stulens, Herhalingslessen wiskunde Voorbereiding tot het eerste kandidaatsjaar wiskunde-natuurkunde-informatica-kennistechnologie, Limburgs Universitair Centrum, 2000.

[201] J. Tinbergen, Vertragingsgolven en levensduurgolven, Strijdenskracht door Wetensmacht pp. 143 - 150 (1938).

[202] J.P. Van Bendegem, Inleiding tot de moderne logica en wetenschapsfilosofie: een terreinverkenning, VUBPRESS,Brussel, 2001.

[203] J. van de Craats, Vectoren en Matrices, Epsilon Uitgaven 45, Utrecht, 2005.

[204] J. van de Craats, R. Bosch Basisboek wiskunde, Pearson Education, 2010.

[205] M. Van den Berghe, Inleiding tot zelfstandig onderzoek, Onze-Lieve-Vrouwecollege Assebroek, 2006.

[206] M. Van den Berghe, OZo! Onderzoeken doe je zo, Plantyn, Mechelen, 2014.

[207] V. van der Noort, Getallen zijn je beste vrienden, Athenaeum - Polak & Van Gennep, Amsterdam, 2011.

[208] B.L. Van der Waerden, Algebra Volume 1, Springer-Verlag, 1991.

[209] B.L. Van der Waerden, Algebra Volume 2, Springer-Verlag, 1991.

[210] J. Van Geel, Commutatieve ringtheorie, Universiteit Gent, 1997.

[211] Th.M. van Pelt, R.B.J. Pijlgroms, W.V. Smeets, J.L. Walter, Wiskunde voor het hoger onderwijs deel 1, Wolters-Noordhoff, 2006.

[212] Th.M. van Pelt, R.B.J. Pijlgroms, W.V. Smeets, J.L. Walter, Wiskunde voor het hoger onderwijs deel 1 uitwer-kingen en extra, praktijkgerichte vraagstukken, Wolters-Noordhoff, 2009.

[213] P. Wauters, Wiskunde Deel 1, Faculteit Toegepaste Economische Wetenschappen, Universiteit Hasselt, 2002.

xxv

[214] D.T. Whiteside, The Mathematical Papers of Isaac Newton, Vol. 1, 1664-1666, Ed. Cambridge University Press,New York, 1967.

[215] A.J. Wiles, Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem, Annals of Mathematics, 141, 443-551, 1995.

[216] H. Wussing, Geschiedenis van de wiskunde Vanaf de wetenschappelijke revolutie tot de twintigste eeuw, VeenMagazines, Diemen, 2010.

[217] Website ADSEI, http://statbel.fgov.be/ .

[218] Website American Mathematical Association of Two-Year Colleges - Students Mathematics League,http://www.amatyc.org/SML/ .

[219] Website American Mathematics Competitions, http://amc.maa.org/ .

[220] Website D. Arnold, M. Butler, M. Haley, D. Harrow, A. Ives, S. Jackson, C. Kutil, T. Matsumoto, J.M. Prysto-wsky, T. Olsen, D. Tuttle, B. Wagner, Intermediate Algebra http://facweb.northseattle.edu/dli/IntAlgebraText/

.

[221] Website arXiv, http://xxx.lanl.gov/ .

[222] Website J. Bossaert, http://users.ugent.be/∼jebossae/ .

[223] Website carrieretijger, http://www.carrieretijger.nl/ .

[224] Website C. Cambre, http://users.telenet.be/chris.cambre/chris.cambre/ .

[225] Website J. Claeys, http://home.scarlet.be/math/ .

[226] Website M. Davidson, J. Dethridge, H. Kociemba, T. Rokicki, God’s Number is 20, http://www.cube20.org/ .

[227] Website K. De Naeghel, http://www.koendenaeghel.be/ .

[228] Website GeoGebra, http://www.geogebra.org/ .

[229] Website GeoGebraTube, http://www.geogebratube.org/ .

[230] Website kennislink.nl, http://www.kennislink.nl/publicaties/wiskundige-bijsluiter-van-opiniepeilingen .

[231] Website Leerplan A derde graad ASO: studierichtingen met component wiskunde D/2004/0279/019,http://ond.vvkso-ict.com/leerplannen/doc/Wiskunde-2004-019.pdf .

[232] Website leren.nl, http://www.leren.nl/cursus/leren−en−studeren/portfolio/wat-is-portfolio.html/ .

[233] Website leren.nl, http://www.leren.nl/cursus/professionele-vaardigheden/presentatie/ .

[234] Website Nederlandse Wiskunde Olympiade, http://www.wiskundeolympiade.nl/ .

[235] Website niutec.nl Tandwielen, http://www.niutec.nl/Mechanica/HTML5/tandwielOverbrenging.htm/ .

[236] Website McGraw-Hill Professional, http://www.mhprofessional.com/templates/index.php?cat=145/ .

[237] Website ticalc.org voor het downloaden van programma’s op de grafische rekenmachine,http://www.ticalc.org/pub/83plus/basic/math/ .

[238] Website USolv-IT, http://www.usolvit.be/ .

[239] Website Vlaamse Wiskunde Olympiade, http://www.vwo.be/ .

[240] Website Wikipedia, http://en.wikipedia.org/ en http://en.wikipedia.org/ .

[241] Website wiskunde B-dag, http://www.fisme.science.uu.nl/wisbdag/ .

xxvi