Deel I Precalculus 1 (recto-verso)

Wiskunde In zicht

een cursus wiskunde voor

studierichtingen met component wiskundederde graad algemeen secundair onderwijs

geschreven door

Koen De Naeghel

Deel I Precalculus 1

30/06/2017

Wiskunde In zicht

een cursus wiskunde voor

studierichtingen met component wiskundederde graad algemeen secundair onderwijs

geschreven door

Koen De Naeghel

Deel I Precalculus 1

CREATIVE COMMONS

Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0(CC BY-NC-SA)

Dit is de vereenvoudigde (human-readable) versie van de volledige licentie.De volledige licentie is beschikbaar op de webpagina

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode

De gebruiker mag:

het werk kopieren, verspreiden en doorgevenRemixen - afgeleide werken maken

Onder de volgende voorwaarden:

Naamsvermelding - De gebruiker dient bij het werk de door de maker of de licentiegever aangegeven naam tevermelden (maar niet zodanig dat de indruk gewekt wordt dat zij daarmee instemmen met je werk of je gebruik vanhet werk).Niet-commercieel - De gebruiker mag het werk niet voor commerciele doeleinden gebruiken.Gelijk delen - Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ontstane werk uitsluitend krachtens dezelfdelicentie als de onderhavige licentie of een gelijksoortige licentie worden verspreid.

Met inachtneming van:

Afstandname van rechten - De gebruiker mag afstand doen van een of meerdere van deze voorwaarden metvoorafgaande toestemming van de rechthebbende.Publiek domein - Indien het werk of een van de elementen in het werk zich in het publieke domein onder toepasselijkewetgeving bevinden, dan is die status op geen enkele wijze beınvloed door de licentie.Overige rechten - Onder geen beding worden volgende rechten door de licentie-overeenkomst in het gedrang gebracht:

• Het voorgaande laat de wettelijke beperkingen op de intellectuele eigendomsrechten onverlet.

• De morele rechten van de auteur.

• De rechten van anderen, ofwel op het werk zelf ofwel op de wijze waarop het werk wordt gebruikt, zoals hetportretrecht of het recht op privacy.

Let op - Bij hergebruik of verspreiding dient de gebruiker de licentievoorwaarden van dit werk kenbaar te maken aanderden. De beste manier om dit te doen is door middel van een link naar de webpaginahttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/ .

Gepubliceerd door: Online uitgever Lulu.com

Auteursrecht omslagfoto: stylephotographs/123RF Stockfoto http://nl.123rf.com/profile stylephotographs

Tekstzetsysteem: LATEX

Royalty percentage: 0%

c© 2013 Koen De Naeghel

Gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0

Druk 30 juni 2017

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/legalcode

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/nl/

Inhoudsopgave Wiskunde In zicht

Voorwoord v

Wat is wiskunde? vii-xii

Parate kennis bij aanvang van de derde graad xiii-xxi

I Precalculus 1 I,i-ii,1-138

II Goniometrie en precalculus 2

III Matrices

IV Complexe getallen

V Logica

VI Rijen

VII Limieten, asymptoten en continuıteit

VIII Afgeleiden

IX Telproblemen

X Kansrekenen 1

XI Integralen

XII Ruimtemeetkunde

XIII Beschrijvende statistiek

XIV Kansrekenen 2 en verklarende statistiek

XV Vectorvlak en Euclidisch vlak

XVI Getaltheorie

XVII Vectorruimten en lineaire afbeeldingen

XVIII Analytische meetkunde

XIX Differentiaalvergelijkingen

XX Reeksen

G Computermeetkundepakket GeoGebra

M Computerrekenpakket Maple S,1-15

Po Portfolio wiskunde Po,1-4

Pr Practicum wiskunde

Ps Problem Solving wiskunde Pr,1-12

+∞ Topics uit de wiskunde +∞,1-5

Referentielijst, bibliografie en websites xxii-xxix

iii

y

x

f(x) =x3

|3− x2|

1

1

Deel I

Analyse - Precalculus 1

I

Inhoudsopgave Deel Precalculus 1

1 Herhaling 1

1.1 Cartesische coordinaten en grafieken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Basisbegrippen in verband met functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Elementaire functies, symmetrieen van de grafiek van een functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Transformaties van functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Inzicht in economie - Belastingverlaging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 Veeltermfuncties 26

2.1 Definitie van een veeltermfunctie en voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2 Grafisch bepalen van nulwaarden, snijpunten en extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3 Algebraısch bepalen van nulwaarden, tekentabel en snijpunten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4 Gedrag op oneindig van veeltermfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Inzicht in natuurkunde - Doorbuiging van een balk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3 Rationale functies 40

3.1 Rationale vormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2 Rationale vergelijkingen en ongelijkheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3 Definitie van een rationale functie en voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4 Algebraısch bepalen van domein, nulwaarden en tekentabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.5 Homografische functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.6 Asymptoten van rationale functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Inzicht in biochemie - Snelheid van enzymenreacties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4 Irrationale functies 67

4.1 Definitie van een irrationale functie en voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2 Irrationale vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.3 Algebraısch bepalen van domein, nulwaarden en tekentabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Inzicht in aardrijkskunde - Afstand tot de horizon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Interludium 76

1 Machtswortels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2 Machten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3 Bewerkingen met functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4 Inverse functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5 Soorten functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5 Exponentiele functies 94

5.1 Lineaire groei, lineaire functies (herhaling) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.2 Exponentiele groei, exponentiele functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Toepassing - Koolstof-14 datering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Inzicht in muziek - Gelijkzwevende stemming voor een chromatische toonladder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6 Logaritmische functies 108

6.1 Inleiding en motivatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.2 Definitie logaritmische functie en eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.3 Rekenregels voor logaritmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Toepassing - Schrijven van grote machten in wetenschappelijke notatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Inzicht in mariene biologie - lichtintensiteit in water . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

7 Exponentiele en logaritmische vergelijkingen en ongelijkheden 123

7.1 Exponentiele vergelijkingen en ongelijkheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

7.2 Logaritmische vergelijkingen en ongelijkheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Inzicht in scheikunde - Zuurtegraad van een oplossing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Antwoorden op geselecteerde oefeningen 129

I-ii

Hoofdstuk 1

Herhaling

[. . . ] took Descartes’s Geometry in hand, tho he had been toldit would be very difficult, read some ten pages in it, then stopt,began again, went a little father than the first time, stopt again,went back again to the beginning, read on till by degrees he madehimself master of the whole.

D.T. Whiteside in een biografie over Newton, 1967 [218]

In dit hoofdstuk herhalen we basisbegrippen in verband met grafieken, functies en transformaties van functies uit detweede graad. We werken uitsluitend in het vlak.

1.1 Cartesische coordinaten en grafieken

Rene Descartes(1596 - 1650)

3 Definities en notaties.1 Een orthogonaal assenstelsel (of cartesisch ofcartesiaans assenstelsel) bestaat uit twee getallenassen die loodrecht op elkaarstaan, de x-as en de y-as. Het snijpunt van de assen noemen we de oorsprong O.

Tenzij anders vermeld werken we ten opzichte van een vast orthogonaal assen-stelsel en spreken we kortweg van het assenstelsel Oxy.

y

xO 1

1

P (a, b)

a

b

De figuur toont hoe elk punt P in het vlak volledig bepaald is door een koppel reele getallen (a, b). Dat koppelnoemen we het koppel cartesische coordinaten van P , kortweg de coordinaten van P .

In symbolen:

P (a, b) of co(P ) = (a, b) maar niet “P = (a, b)”.

Hierbij noemen we a de x-coordinaat (of abscis) en b de y-coordinaat (of ordinaat) van P .

Een grafiek (in het vlak) is een verzameling van punten. De punten van een grafiek G zijn de elementen van dieverzameling G. Kennen we van elk punt de coordinaten, dan kunnen we de grafiek voorstellen in het assenstelsel.Als we een precieze voorstelling kunnen maken, dan spreken we van een tekening. In het andere geval hebbenwe het over een schets.

3 Voorbeeld 1. Teken in onderstaand assenstelsel de grafiek G = {P (2, 1), Q(−1, 3), R(2,−1)}.Oplossing.

1

2

3

−1

1 2 3−1−2

y

x

1Het begrip cartesisch assenstelsel is genoemd naar Rene Descartes 1637, doch eerder bedacht door Pierre de Fermat 1636. Degelatiniseerde naam voor Rene Descartes was Renatus Cartesius, vandaar de term cartesisch.

I-1

http://nl.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descartes

https://en.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat

3 Voorbeeld 2. Teken in een assenstelsel de grafiek2

G = {P (x, y) | y = 2x− 3}.

Welke meetkundige figuur stelt deze grafiek voor?

Oplossing. Om de grafiek te tekenen is het handig om enkele elementen van de verzameling G op te sommen:

G = . . .

Merk op dat ook tussenliggende punten zoals T (−0, 5;−4) tot de grafiek behoren.

Aanduiden van enkele punten van de grafiek volstaat om een idee te krijgen van de volledige grafiek:

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

y

x

De meetkundige figuur van deze grafiek is . . .

3 Afspraak. Waar een grafiek (plaatselijk) stopt, tekenen we ofwel een • ofwel een ◦.Dat beslissen we als volgt:

• is een volle bol en betekent: het punt behoort nog net tot de grafiek,

◦ is een holle bol en betekent: het punt behoort net niet tot de grafiek.

We verduidelijken deze afspraak met de grafiek

G = {P (x, y) | −2 < x ≤ 4 en y = 2} ∪ {Q(x, y) | x = 3 en y ≥ −1} \ {R(3, 3)}.

In onderstaand assenstelsel wordt deze grafiek G als volgt getekend:

1

2

3

−1

1 2 3−1−2−3

y

x

G

2Stilzwijgend nemen we bij de notatie P (x, y) aan dat x en y beide reele getallen zijn, in symbolen: x, y ∈ R.

I-2

1.2 Basisbegrippen in verband met functies

Johann Dirichlet(1805 - 1859)

3 Definitie.3 Een (reele) functie f is een verband dat met elk reeel getal xhoogstens een reeel getal y associeert.

Het feit dat zo’n functie f en een getal x samen een getal y vastleggen, noterenwe als

y = f(x)

We noemen f(x) het (functie)voorschrift van de functie f . Een functie f noteertmen soms ook als volgt:

f : R→ Rx 7→ f(x)

3 Voorbeeld. Beschouw de functie f(x) =√x. Om een zicht te krijgen op de

functie maken we

. een tabel van enkele functiewaarden:

x −1 0 1 2 3 4

f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. de grafiek: dit is de verzameling van alle punten P van de vorm P (x, f(x)):

G = {P (x, f(x))} =¶P (0, 0), Q(1, 1), R(2,

√2), . . .

©= {P (x, y) | y = f(x)} .

Het voorstellen van deze grafiek levert:

1

2

1 2 3 4−1

y

x

Controleren kan met behulp van de grafische rekenmachine:

Y= 2ND TABLE

>

WINDOW GRAPH

3 Definitie. De grafiek van een functie f is de verzameling van alle punten P van de vorm P (x, f(x)).We noteren deze verzameling met graf f .

In symbolen:

graf fdef= {P (x, y) | y = f(x)}

We noemen y = f(x) de vergelijking van de grafiek van f . Bij het tekenen of schetsen van de grafiek van f ,noteren we bij de grafiek graf f of y = f(x) of kortweg f .

3Dirichlet 1837. De term functie (Latijnse benaming: functio) werd vooropgesteld door Gottfried Wilhelm Leibniz en JohannBernoulli in de 17e eeuw, de notatie y = f(x) is afkomstig van Leonhard Euler 1734. In het vervolg zullen we een functie fvereenzelvigen met zijn voorschrift f(x). Een volledige doch lange omschrijving als: beschouw de functie f met als functievoorschriftf(x) = x2 − 3 kunnen we zo verkorten tot: beschouw de functie f(x) = x2 − 3.

I-3

http://nl.wikipedia.org/wiki/Johann_Dirichlet

http://nl.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz

http://en.wikipedia.org/wiki/Johann_Bernoulli

http://en.wikipedia.org/wiki/Johann_Bernoulli

http://nl.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler

3 Opmerking 1. Het verband tussen de drie voorstellingswijzen van een functie kan als volgt worden voorgesteld.

functievoorschrift

f(x)

tabel van enkele functiewaarden

x . . . −1 0 1 . . .

f(x) . . . . . .

invullen

patroonzoeken

grafieky

xO 1

1graf f

tekenen ofschetsen

aflezen

3 Opmerking 2. Niet elke grafiek is de grafiek van een functie f . Nemen we bijvoorbeeld als grafiek de cirkelC(O, 1) met middelpunt de oorsprong O en straal 1, dan is dit niet de grafiek van een functie f .

y

xO 1

1 C(O, 1)

Inderdaad, . . .

De volgende eigenschap zegt ons wanneer een grafiek ook de grafiek van een functie is.

3 Eigenschap. Gegeven een willekeurige grafiek G. Dan geldt:

G is de grafiek van een functie f ⇔ bij elke x-waarde hoort hoogstens een y-waarde zodat P (x, y) ∈ G⇔ elke verticale rechte snijdt de grafiek G hoogstens een keer.

3 Modelvoorbeeld 1. Bepaal telkens wanneer de grafiek ook de grafiek van een functie is.

1

2

−1

−2

1 2 3−1−2−3

y

x

(a)

1

2

−1

−2

1 2 3−1−2−3

y

x

(b)

Oplossing.

I-4

http://ggbtu.be/m133450

3 Definitie. Het domein van een functie f is de verzame-ling van alle x-waarden waarbij er een y-waarde hoort. Wenoteren deze verzameling met dom f .

In symbolen:

dom fdef= {x ∈ R | f(x) bestaat}

Meetkundige betekenis. Het domein van f is de loodrechteprojectie van de grafiek van f op de x-as (zie figuur).

y

xO dom f

graf f

3 Definitie. Het beeld (of bereik) van een functie f is deverzameling van alle y-waarden die bereikt worden door f .We noteren deze verzameling met bld f (of ber f of im f).4

In symbolen:

bld fdef= {f(x) | x ∈ R}

Meetkundige betekenis. Het beeld van f is de loodrechteprojectie van de grafiek van f op de y-as (zie figuur).

y

xO

bld f

graf f

1

2

1 2 3 4−1

y

x

3 Voorbeeld (vervolg). Beschouw de functie f(x) =√x.

(a) Het domein en beeld bepalen we grafisch aan de handvan de meetkundige betekenis: we schetsen de grafiekvan f en projecteren die loodrecht op de assen:

dom f = . . . en bld f = . . .

(b) Het domein bepalen we algebraısch met behulp van dedefinitie in symbolen:5

dom f = {x ∈ R | f(x) bestaat}

= . . .

3 Modelvoorbeeld 2. Beschouw de functie g met neven-staande grafiek. Bepaal grafisch het domein en het beeldvan g. Noteer je antwoord in symbolen.

Oplossing.

1

2

−1

−2

1 2−1−2−3

y

x

graf g

4De Engelse term voor beeld is image, vandaar de notatie im f .5Om het beeld algebraısch te bepalen dient men ook te vertrekken van de definitie van symbolen. Het komt erop neer alle y-waarden

te bepalen waarvoor de vergelijking y = f(x) minstens een oplossing x heeft.

I-5

3 Definitie. De nulwaarden van een functie f zijn alle x-waarden waarvoor f(x) = 0.De verzameling van alle nulwaarden noemen we ook wel dekern van f , we noteren deze verzameling met ker f .6

In symbolen:

ker fdef= {x ∈ R | f(x) = 0}

Elke nulwaarde van f behoort tot het domein van f , wantde schrijfwijze f(x) = 0 betekent voluit f(x) bestaat en isgelijk aan 0.

Meetkundige betekenis. De nulwaarden van f zijn de x-waarden van de snijpunten van graf f met de x-as.

y

xO

graf f

nulwaarden van f

Bedoelen we een snijpunt van de grafiek van f met de x-as, dan hanteren we de term nulpunt.7

3 Definitie. De tekentabel van f heeft dezelfde vorm als een tabel van enkele functiewaarden, maar waarbij men

. in de eerste rij enkel x-waarden aanduidt die een nulwaarde of een randpunt van het domein zijn en

. in de tweede rij het teken van f(x) schrijft, ook voor elk interval tussen twee x-waarden. Is f(x) er gelijkaan nul, dan plaatsen we 0. Dat f(x) niet bestaat in een interval, duiden we aan met een gearceerde zone///. Als f(x) niet bestaat in een enkele x-waarde maar wel in de omgeving evan, dan plaatsen we eenverticale streep |.

Voor bovenstaande functie f is de tekentabel (voor zeker waarden a, b, c, d, e, z ∈ R):

x a b c d e z

f(x) /// + + 0 − | − 0 − 0 + | ///

Meetkundige betekenis. De tekentabel van f geeft aan waar de grafiek van f boven of onder de x-as ligt.

3 Voorbeeld (vervolg). Beschouw de functie f(x) =√x.

(a) De nulwaarden bepalen we grafisch aan de hand vande meetkundige betekenis: we schetsen de grafiek vanf en lezen de snijpunten met de x-as af:8

ker f = . . .

Ook de tekentabel kunnen grafisch bepalen met demeetkundige betekenis: voor x-waarden waar de gra-fiek boven de x-as ligt plaatsen we een plusteken etc.

x

f(x)

1

2

1 2 3 4−1

y

x

(b) De nulwaarden bepalen we algebraısch met behulp van de definitie in symbolen:

ker f = {x ∈ R | f(x) = 0}

= . . .

De tekentabel bepalen we algebraısch door alle nulwaarden en reele randpunten van het domein in een tabelte plaatsen, de functiewaarden van tussenliggende waarden te berekenen en de tekens te noteren:

x 0

f(x) ? 0 ?en f(−1) = / en f(4) = 2 > 0 zodat

x 0

f(x) /// 0 +

6 In de literatuur stelt men de verzameling van nulwaarden van een functie f soms voor met f−1({0}) als bijzonder geval van deverzameling f−1({b}) = {x ∈ R | f(x) = b}, genaamd de vezel van b onder f . Wij zullen de schrijfwijze f−1({0}) vermijden omdat hetgebruik van de notatie f−1 verward kan worden met zowel de omgekeerde functie van f als de inverse functie van f , zie Interludium. Onzekeuze voor de benaming kern dient louter (1) om in het vervolg te kunnen verwijzen naar de verzameling van nulwaarden van een functie,en (2) als analogie met de gelijknamige term voor lineaire afbeeldingen (zie Deel Vectorruimten).

7In de literatuur bedoelt men met de term nulpunt soms ook nulwaarde, afhankelijk van de context. Onze voorkeur gaat uit naar: eennulpunt is een punt (in het vlak), een nulwaarde is een waarde (dus een reel getal).

8Bij minder eenvoudige functies wordt dit aflezen al snel onnauwkeurig. In dat geval maken we gebruik van de grafische rekenmachine.

I-6

3 Modelvoorbeeld 2 (vervolg). Beschouw de functie g metnevenstaande grafiek. Bepaal grafisch de nulwaarden en detekentabel van g. Hanteer de correcte notaties.

Oplossing.

1

2

−1

−2

1 2−1−2−3

y

x

graf g

3 Definitie. De tabel stijgen/dalen (of het verloop) van f heeft dezelfde vorm als een tabel van enkele functie-waarden, maar waarbij men

y

xO

graf f

. in de eerste rij enkel x-waarden aanduidt die een lo-kaal extremum (maximum of minimum) zijn, een ver-andering in constant/stijgend/dalend gedrag vertonenof een randpunt van het domein zijn en

. in de tweede rij vermeldt of de grafiek van de functieconstant, stijgend of dalend is, ook voor elk intervaltussen twee x-waarden. Dat duiden we respectievelijkaan met de symbolen −→,↗ en↘ . Bereikt de grafieker een lokaal maximum of minimum, dan duiden wedat aan met max of min. Dat f(x) niet bestaat in eeninterval of in een enkele x-waarde maar wel in de om-geving evan, duiden we weerom aan met respectievelijk/// en |.9

Voor de functie f gegeven door bovenstaande grafiek is de tabel stijgen/dalen (voor zeker a, i, j, k, l,m, z ∈ R):

x a i j k l m z

f(x) /// min ↗ max ↘ | ↗ max ↘ min ↗ max ↘ | ///

3 Modelvoorbeeld 2 (vervolg).10 Beschouw de functie gmet nevenstaande grafiek. Bepaal grafisch de tabel stij-gen/dalen van g. Hanteer de correcte notaties.

Oplossing.

1

2

−1

−2

1 2−1−2−3

y

x

graf g

9Over de precieze definitie van stijgend/dalend en lokaal maximum/minimum van een functie bestaat nogal wat verwarring: (1) ermoet een onderscheid gemaakt worden tussen stijgend/dalend over een interval en stijgend/dalend in een x-waarde en (2) men verwoordtde definitie van lokaal maximum/minimum (beter) niet in termen van stijgend/dalend over een interval of stijgend/dalend in een x-waarde. Formeel, zij f een functie, I ⊆ dom f met I geen singleton en c ∈ dom f . De functie f is stijgend over interval I indien

∀a, b ∈ I : a < b ⇒ f(a) < f(b). De functie f is stijgend in c als f stijgend is over een omgeving van c, i.e. indien er een R ∈ R+0 bestaat

zodat f stijgend is over interval ]c−R, c+R[. De functie f bereikt een lokaal maximum in c indien er een R ∈ R+0 bestaat waarvoor geldt

dat ∀x ∈ ]c−R, c+R[ ∩ dom f : f(x) < f(c). Analoog voor dalend over een interval, dalend in een x-waarde en lokaal minimum. Alskunstmatig bijproduct van deze formele definities bereikt een functie f in elke geısoleerd x-waarde c van dom f (i.e. ]c−R, c+R[∩dom f ={c} voor een zekere R ∈ R+

0 ) zowel een lokaal maximum als een lokaal minimum.10Om de tabel stijgen/dalen algebraısch te bepalen, dienen we geduld uit te oefenen tot Deel Afgeleiden.

I-7

1.3 Elementaire functies, symmetrieen van de grafiek van een functie

In deze paragraaf bespreken we enkele elementaire functies.11 De kennis hiervan is een absolute noodzaak voor hetvervolg van dit Deel Precalculus 1, maar ook voor Deel Calculus, Deel Afgeleiden en Deel Integralen. In het bijzonderwordt verwacht dat je de grafieken van deze elementaire functies onmiddellijk voor de geest kan halen.

3 Rechte.

. Functievoorschrift: f(x) = x.

. Tabel van enkele functiewaarden:

x −3 −2 −1 0 1 2 3

f(x) −3 −2 −1 0 1 2 3

. Grafiek:

1

2

−1

−2

1 2−1−2

y

x

f(x) = x

. Eigenschappen van de functie f(x) = x:

1. Domein. Algebraısch: dom f = {x ∈ R | f(x) bestaat }= {x ∈ R | x bestaat}= {x ∈ R}= R.

Grafisch: dom f = loodrechte projectie van de grafiek van f op de x-as

= ]−∞,+∞[

= R.

2. Beeld. Grafisch: bld f = loodrechte projectie van de grafiek van f op de y-as

= ]−∞,+∞[

= R.

3. Nulwaarden. Algebraısch: los op f(x) = 0

⇔ x = 0.

Grafisch: ker f = x-waarden van de snijpunten van graf f met de x-as

= {0}.

4. Tekentabel. Plaats alle nulwaarden en reele randpunten van het domein in een tabel en noteer in elkekolom het teken van f(x):

x 0

f(x) − 0 +

5. Tabel stijgen/dalen. Plaats de lokale extrema (maxima en minima) en reele randpunten van het domeinin een tabel en duid in elke kolom het stijgen/dalen van de grafiek van f aan:

x

f(x) ↗

11We noemen zo’n elementaire functie ook wel een moederfunctie, omdat ze met behulp van de transformaties verschuiven, uitrekken enspiegelen aanleiding geven tot een klasse van functies die vaak in een wiskundig model wordt gebruikt.

I-8

3 Parabool.

. Functievoorschrift: f(x) = x2.


x −2 −1, 5 −1 −0, 5 0 0, 5 1 1, 5 2

f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Grafiek:

1

2

3

4

1 2−1−2

y

x

. Eigenschappen van de functie f(x) = x2:

1. Domein. Algebraısch: dom f = {x ∈ R | f(x) bestaat }

= . . .

Grafisch: dom f = loodrechte projectie van de grafiek van f op de x-as

= . . .

2. Beeld. Grafisch: bld f = loodrechte projectie van de grafiek van f op de y-as

= . . .

3. Nulwaarden. Algebraısch: los op f(x) = 0

⇔ . . .

Grafisch: ker f = x-waarden van de snijpunten van graf f met de x-as

= . . .

4. Tekentabel. Plaats alle nulwaarden en reele randpunten van het domein in een tabel en noteer in elkekolom het teken van f(x):

x

f(x)

5. Tabel stijgen/dalen. Plaats de lokale extrema (maxima en minima) en reele randpunten van het domeinin een tabel en duid in elke kolom het stijgen/dalen van de grafiek van f aan:

x

f(x)

I-9

6. Symmetrieen. Bij de grafiek van f(x) = x2 merken we de volgende symmetrie op: spiegelen we eenwillekeurig punt P van de grafiek van f om de y-as, dan behoort dat nieuw punt Q opnieuw tot degrafiek van f . De grafiek van f blijft na het spiegelen om de y-as dus ongewijzigd. Daarom noemenwe de y-as een symmetrie-as van de grafiek van f .

1

2

3

4

1 2−1−2

y

x

PQ

f(x) = x2y

x

PQ

f(x) = x2

x−x

f(x)f(−x)

Zo is bijvoorbeeld het spiegelbeeld vanP (2, 4) om de y-as gelijk aan Q(−2, 4),dat weerom tot de grafiek behoort om-dat f(−2) = 4.

Algemeen is het spiegelbeeld vanP (x, f(x)) om de y-as gelijk aanQ(−x, f(x)), dat weerom tot de grafiekbehoort omdat f(−x) = f(x).

Dat voor elke x-waarde geldt f(−x) = f(x) kunnen we ook algebraısch bewijzen en wel als volgt.

Gegeven. De functie f(x) = x2.

Te bewijzen. ∀x ∈ dom f : f(−x) = f(x)

Bewijs. Neem x ∈ dom f = R willekeurig. Dan is

f(−x) = (−x)2

= (−x) · (−x)

= x2

= f(x).

Omdat de functie f(x) = x2 voldoet aan deze eigenschap noemt men f een even functie.12 Eenneveneffect hiervan is dat de y-as een symmetrie-as is van de grafiek van f .

y

x

PQ

y = f(x)

x−x

f(x)f(−x)

3 Definitie.13 Een functie f is even als

∀x ∈ dom f : f(−x) = f(x)

Meetkundige betekenis. Bij een even functie is de y-as eensymmetrie-as: de grafiek van f blijft na het spiegelen omde y-as ongewijzigd.

Men zegt ook wel: de grafiek is spiegelsymmetrisch ten op-zichte van de y-as.

12Niet toevallig verwijst de term even naar de exponenten van machtsfuncties x4, x6, . . . die een analoge eigenschap vertonen: (−x)4 = x4,(−x)6 = x6 enzovoort.

13Voor x ∈ dom f betekent de schrijfwijze f(−x) = f(x) voluit f(−x) bestaat en is gelijk aan f(x). Bijgevolg is onze definitie equivalentmet ∀x ∈ dom f : −x ∈ dom f en f(−x) = f(x).

I-10

3 Kubische parabool.

. Functievoorschrift: f(x) = x3.


x −2 −1, 5 −1 −0, 5 0 0, 5 1 1, 5 2

f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Grafiek:

1

2

3

4

5

6

7

8

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

1 2−1−2

y

x

. Eigenschappen van de functie f(x) = x3:

1. Domein.

Algebraısch: dom f = {x ∈ R | f(x) bestaat }

= . . .

Grafisch: dom f = projectie van graf f op x-as

= . . .

2. Beeld.

Grafisch: bld f = projectie van graf f op y-as

= . . .

3. Nulwaarden.

Algebraısch: los op f(x) = 0

⇔ . . .

Grafisch: ker f = x-waarden van de snijpunten vangraf f met de x-as

= . . .

4. Tekentabel. Plaats alle nulwaarden en reele randpuntenvan het domein in een tabel en noteer in elke kolom hetteken van f(x):

x

f(x)

5. Tabel stijgen/dalen. Plaats de lokale extrema (maxima enminima) en reele randpunten van het domein in een tabelen duid in elke kolom het stijgen/dalen van de grafiek vanf aan:

x

f(x)

I-11

6. Symmetrieen. Bij de grafiek van f(x) = x3 merken we de volgende symmetrie op: puntspiegelen we eenwillekeurig punt P van de grafiek van f om de oorsprong, dan behoort dat nieuw punt Q opnieuw tot degrafiek van f . De grafiek van f blijft na het puntspiegelen om de oorsprong dus ongewijzigd. Daaromnoemen we de oorsprong een symmetrie-middelpunt van de grafiek van f .

1

2

3

−1

−2

−3

1 2−1−2

y

x

P

Q

f(x) = x3

y

x

P

Q

f(x) = x3

x

−x

f(x)

f(−x)

Zo is bijvoorbeeld de puntspiegeling vanP (1, 5; 3, 375) om de oorsprong gelijkaan Q(−1, 5,−3, 375), dat tot de gra-fiek behoort omdat f(−1, 5) = −3, 375.

Algemeen is de puntspiegeling vanP (x, f(x)) om de oorsprong gelijk aanQ(−x,−f(x)), dat weerom tot de gra-fiek behoort omdat f(−x) = −f(x).

Dat voor elke x-waarde geldt f(−x) = −f(x) kunnen we ook algebraısch bewijzen en wel als volgt.

Gegeven. De functie f(x) = x3.

Te bewijzen. ∀x ∈ dom f : f(−x) = −f(x)

Bewijs. Neem x ∈ dom f = R willekeurig. Dan is

f(−x) = (−x)3

= (−x) · (−x) · (−x)

= −x3= −f(x).

Omdat de functie f(x) = x3 voldoet aan deze eigenschap noemt men f een oneven functie.14 Een neveneffecthiervan is dat de oorsprong een symmetrie-middelpunt is van de grafiek van f .

y

x

P

Q

y = f(x)

x

−x

f(x)

f(−x)

3 Definitie.15 Een functie f is oneven als

∀x ∈ dom f : f(−x) = −f(x)

Meetkundige betekenis. Bij een oneven functie is de oor-sprong een symmetrie-middelpunt: de grafiek van f blijftna het puntspiegelen om de oorsprong ongewijzigd.

Men zegt ook wel: de grafiek is puntsymmetrisch ten op-zichte van de oorsprong.

14Niet toevallig verwijst de term oneven naar de exponenten van machtsfuncties x5, x7, . . . die een analoge eigenschap vertonen:(−x)5 = −x5, (−x)7 = −x7 enzovoort.

15Voor x ∈ dom f betekent de schrijfwijze f(−x) = −f(x) voluit f(−x) bestaat en is gelijk aan −f(x). Bijgevolg is onze definitieequivalent met ∀x ∈ dom f : −x ∈ dom f en f(−x) = −f(x).

I-12

3 Vierkantswortel-functie.

. Functievoorschrift: f(x) =√x.


x −2 −1 0 1 2 3 4

f(x) | | 0 1√

2√

3 2

. Eigenschappen van de functie f(x) =√x:

zie §1.2.

. Grafiek:

1

2

1 2 3 4−1

y

x

f(x) =√x

3 Derdemachtswortel-functie.

. Functievoorschrift: f(x) = 3√x.


x −8 −4 −1 0 1 4 8

f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Grafiek:

1

2

−1

−2

1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4−5−6−7

y

x

. Eigenschappen van de functie f(x) = 3√x: (bepaal grafisch)

1. Domein.

2. Beeld.

3. Nulwaarden.

4. Tekentabel.

5. Tabel stijgen/dalen.

6. Symmetrieen. De functie f is even/oneven/noch even, noch oneven (schrappen wat niet past).

Meetkundige betekenis: . . .

I-13

3 Hyperbool.

. Functievoorschrift: f(x) =1

x.


x −4 −2 −1 −0, 5 −0, 25 0 0, 25 0, 5 1 2 4

f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Grafiek:

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

y

x

. Eigenschappen van de functie f(x) =1

x:

1. Domein. Algebraısch: dom f = . . .

= . . .

Grafisch: dom f = . . .

= . . .

2. Beeld. Grafisch: bld f = . . .

= . . .

3. Nulwaarden. Algebraısch: los op . . .

⇔ . . .

Grafisch: ker f = . . .

= . . .

4. Tekentabel.x

f(x)

5. Tabel stijgen/dalen.x

f(x)

I-14



Bewijs.

3 Absolute waarde functie.

. Functievoorschrift: f(x) = |x|.


x −3 −2 −1 0 1 2 3

f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Grafiek

1

2

3

1 2 3−1−2−3

y

x

. Eigenschappen van de functie f(x) = |x|: (bepaal grafisch)

1. Domein.

2. Beeld.

3. Nulwaarden.

4. Tekentabel.

5. Tabel stijgen/dalen.



Bewijs.

I-15

1.4 Transformaties van functies

Een grafiek kunnen we verschuiven, spiegelen of uitrekken volgens de x-as of de y-as. Zo’n actie noemen we eentransformatie van die grafiek. Starten we met de grafiek van een functie, dan kunnen we ons afvragen wat hetfunctievoorschrift is die hoort bij de nieuwe (getransformeerde) grafiek. In deze paragraaf bespreken we het antwoordop die vraag. Het uitvoeren van deze transformaties op de elementaire functies uit §1.3 leidt tot heel wat nieuwefuncties, wat we laten zien in de voorbeelden.

Verschuiven

3 Op ontdekking. Gegeven is de functie f(x) = x2. Voer de volgende stappen uit op het functievoorschrift vanf en stel vast wat er gebeurt met de grafiek van f .

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4−1−2−3−4

y

x

graf f

⊲ f(x) = x2

vervang x door x− 2:

verschuif volgens . . .-as met . . . naar . . .

f1(x) = (x− 2)2

⊲ f(x) = x2

vervang x door x+ 3:


f2(x) = . . .

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4−1−2−3−4

y

x

graf f

⊲ f(x) = x2

vervang y door y + 1:


f3(x) = x2 + 1

⊲ f(x) = x2

vervang y door y − 4:


f4(x) = . . .

vervang x door x+ 2:


f5(x) = . . .

I-16

3 Algemeen. We kunnen de grafiek van een functie f verschuiven door de volgende transformaties uit te voeren.

. f(x)

verschuif volgens x-as met k naar rechts:

vervang x door x− k

f(x− k)

. f(x)

verschuif volgens y-as met k naar boven:

vervang y door y + k

f(x) + k

3 Modelvoorbeeld 1. Gegeven is functie f(x) =1

x. Vul de volgende transformaties aan en schets bij elke stap

de nieuwe grafiek.

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4−1−2−3−4

y

x

graf f

⊲ f(x) =1

x

vervang . . . door . . . . . .


g(x) =1

x− 3

vervang . . . door . . . . . .


h(x) =1

x− 2− 3

3 Modelvoorbeeld 2. Welke transformaties moet je uitvoeren op de grafiek van de functie f(x) =√x om de

grafiek van de functie g(x) =√x+ 7 − 13 te verkrijgen? Wees volledig. Leid hieruit af wat het domein en het

beeld van de functie g is.

Oplossing.

I-17

Uitrekken en spiegelen

3 Op ontdekking 1. Gegeven is de functie f(x) = x2. Voer de volgende stappen uit op het functievoorschriftvan f en stel vast wat er gebeurt met de grafiek van f .

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4−1−2−3−4

y

x

graf f

⊲ f(x) = x2

vervang x door1

2x :

rek uit volgens . . .-as met factor . . .

g(x) =

(1

2x

)2

⊲ f(x) = x2

vervang y door 3 y:

rek uit volgens . . .-as met factor . . .

h(x) = 3 x2

3 Op ontdekking 2. Gegeven is de functie f(x) =√x. Voer de volgende stappen uit op het functievoorschrift

van f en stel vast wat er gebeurt met de grafiek van f .

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4−1−2−3−4

y

x

graf f

⊲ f(x) =√x

vervang x door −x:

spiegel om de . . .-as

g(x) = . . .

⊲ f(x) =√x

vervang y door −y:

spiegel om de . . .-as

h(x) = . . .

I-18

3 Algemeen. We kunnen de grafiek van een functie f uitrekken door de volgende transformaties uit te voeren.

⊲ f(x)

rek uit volgens x-as met factor k > 0:

vervang x door1

kx

f

(1

kx

)

⊲ f(x)

rek uit volgens y-as met factor k > 0:

vervang y door k y

k f(x)

We kunnen de grafiek van een functie f spiegelen door de volgende transformaties uit te voeren.

. f(x)

spiegel om de x-as:

vervang y door −y

−f(x)

. f(x)

spiegel om de y-as:

vervang x door −x

f(−x)

3 Modelvoorbeeld 1. Gegeven is functie f(x) = x. Vul de volgende transformaties aan. Teken bij elke stap denieuwe grafiek op het assenstelsel.

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4−1−2−3−4

y

x

graf f

⊲ f(x) = x

vervang . . . door . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f1(x) = x− 3

vervang . . . door . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f2(x) = 2x− 3

vervang . . . door . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f3(x) = −2x+ 3

3 Modelvoorbeeld 2. Welke transformaties moet je uitvoeren op de grafiek van de functie f(x) =√x om de

grafiek van de functie g(x) = −1

5

√−11x+ 7 te verkrijgen? Wees volledig. Leid hieruit af wat het domein en

het beeld van de functie g is.

Oplossing.

I-19

Passen we transformaties toe op de basisfuncties f(x) = 1, f(x) = x en f(x) = x2 dan verkrijgen we de zogenaamdeconstante, lineaire en kwadratische functies.16

Constante functies

3 Definitie. Een constante functie is een functie f met als voorschrift

f(x) = a waarbij a ∈ R

3 Voorbeeld. Welke van de volgende functies zijn constant?

f(x) = 18

g(x) = 0

h(x) = −√

10 + sin 60◦

i(x) = 3x− 7

j(x) = x2

k(x) =x

x

3 Eigenschap. Een constante functie f(x) = a kan verkregen worden door transformaties toe te passen op deelementaire functie g(x) = 1. De grafiek is dus een horizontale rechte.

y

x

f

a

a < 0 of

y

x

fa

a = 0 of

y

x

fa

a > 0

Lineaire functies

3 Definitie. Een lineaire functie (of eerstegraadsfunctie) is een functie f met als voorschrift

f(x) = ax+ b waarbij a, b ∈ R en a 6= 0

3 Voorbeeld. Welke van de volgende functies zijn lineair?

f(x) = x

g(x) = 2x− 3

h(x) = −35x+√

17x

i(x) = 2017

j(x) = x2

k(x) =√x2

3 Eigenschap. Een lineaire functie f(x) = ax+ b kan verkregen worden door transformaties toe te passen op deelementaire functie g(x) = x. De grafiek is dus een dalende rechte als a < 0 en een stijgende rechte als a > 0.

y

x

a < 0

b

+a

+1

f

of

y

x

a > 0

b

+a

+1

f

16Dit patroon zet zich niet verder voor veeltermfuncties van hogere graad. Zo leveren transformaties op de elementaire functie f(x) = x3

enkel voorschriften a(x− k)2 + l op (drie parameters), terwijl een willekeurige kubische functie ax3 + bx2 + cx+ d is (vier parameters).

I-20

Kwadratische functies

3 Definitie. Een kwadratische functie (of tweedgraadsfunctie) is een functie f met als voorschrift in standaardvorm

f(x) = ax2 + bx+ c waarbij a, b, c ∈ R en a 6= 0

3 Voorbeeld. Welke van de volgende functies zijn kwadratisch?

f(x) = x2

g(x) =√

2x2 − x+ π

h(x) = (5x− 3)2

i(x) = 25

j(x) = x+ 1

k(x) =√x4 + 1

3 Eigenschap. Een kwadratische f(x) = ax2 + bx+ c kan herschreven worden in topvorm:17

f(x) = a(x− k)2 + l waarbij k = − b

2aen l = f(k)

Op die manier kan een kwadratische functie verkregen worden door transformaties toe te passen op de elementairefunctie g(x) = x2. De grafiek is dus een bergparabool als a < 0 en een dalparabool als a > 0.

a < 0

+a

+1

+4a

+1

x = − b

2a

f

T (k, l)

of a > 0

+a

+1

+4a

+1

x = − b

2a

f

T (k, l)

3 Modelvoorbeeld. Bepaal een functievoorschrift van de lineaire en kwadratische functie hieronder. Enkelroosterpunten gebruiken!

1

2

−1

1 2 3−1−2−3

y

x

f

1

2

−1

1 2 3−1−2−3

y

x

g

Oplossing.

17Merk de analogie op tussen de vergelijking van een rechte y − y1 = m(x− x1) met P (x1, y1) een willekeurig punt van de rechte en devergelijking van een parabool y − l = a(x− k)2 met T (k, l) de top van de parabool.

I-21

Oefeningen

1 Herhaling Basis Verdieping Uitbreiding? ?? ? ?? ? ??

1.1 cartesische coordinaten en grafieken 1 2 2

1.2 Basisbegrippen in verband met functies 3 4 5 6 7 8 9 10

1.3 Elementaire functies, symmetrieen van de grafiekvan een functie

11 1213

1.4 Transformaties van functies 1415

16 17 18 19 20

Oefeningen bij §1.1

B Oefening 1. Gegeven is de grafiek

G =

ßP

Ån,

1

n

ã| n ∈ N0

™.

(a) Beschrijf de verzameling G door opsomming.

(b) Teken de grafiek G in een cartesisch assenstelsel.

Oefening 2. Schets de volgende grafieken zonder gebruik te maken van je grafische rekenmachine.

B? (a) G1 = {P (x, y) | y2 = x}

V (b) G2 = {P (x, y) | y2 = x3}


B Oefening 3. Gegeven is de nevenstaande grafiek.

(a) Waarom stelt deze grafiek de grafiek van een functie f voor?

(b) Wat is f(2)?

(c) Voor welke waarde(n) van a ∈ R is f(a) = 2?

1

2

3

1 2 3 4

y

x

B? Oefening 4. Gegeven is de functie f(x) = 2x2 − 3.

(a) Bepaal f(2).

(b) Bepaal alle waarden t ∈ R waarvoor f(t) = 47.

(c) Bepaal f(3x+ 1) en vereenvoudig.

B?? Oefening 5. Gegeven is de functie t(x) = ax4 + bx2 + x + 5 waarbij a, b ∈ R. Bovendien is gegeven dat t(−4) = 3.Bepaal t(4).

V Oefening 6. Zij f(x) = ax2 + bx + c en g(x) = ax2 − bx + c waarbij a, b, c ∈ R. Als f(1) = g(1) + 2 en f(2) = 2,bepaal dan g(2).

V? Oefening 7. Gegeven is de functie f(x) = x2 − x− 6. Is 6 ∈ im f? Bewijs algebraısch.

V?? Oefening 8. Zij f een functie met domein ]−1, 1[. Bepaal het domein van de functie g(x) = f

Åx+ 1

x− 1

ã.

U Oefening 9 (functies in meerdere variabelen). Zij n ∈ N0. Een (reele) functie in n variabelen f is een verbanddat aan elk n-tal reele getallen (x1, . . . , xn) hoogstens een reeel getal y associeert. We schrijven dan

y = f(x1, . . . , xn).

Beschouw nu de functie f(a, b, c) = 3a− 2b+ 7c2.

(a) Bepaal f(3,−5,−1).

(b) Bepaal de waarde(n) b ∈ R waarvoor f(b, 2,−1) = 21.

U? Oefening 10 (functies in meerdere variabelen). Zij f(x, y, z) =x− zy − z . Als f(a, b, c) = 1, wat is dan de waarde

van f(a, c, b)?

I-22


U Oefening 11 (semikubische parabool). 18 De grafiek van de functie f(x) =√|x3| noemt men een semikubische

parabool.

(a) Schets de grafiek van f .

(b) Bewijs dat de grafiek spiegelsymmetrisch is ten opzichte van de y-as.

U? Oefening 12 (symmetrie-as van de grafiek van een functie). Een rechte x = a is een symmetrie-as van degrafiek van een functie f indien

∀x ∈ R : f(a− x) = f(a+ x)

We beschouwen nu de functie f(x) =x(x+ 2)

(x+ 1)4.

(a) Toon aan dat de rechte x = −1 een symmetrie-as is van de grafiek van f .

(b) Maak een schets van de grafiek van f waarop je de betekenis van de symmetrie-as aanduidt.

U? Oefening 13 (symmetrie-middelpunt van de grafiek van een functie). Een punt S(a, b) is een symmetrie-middelpunt van de grafiek van een functie f indien

∀x ∈ R :f(a− x) + f(a+ x)

2= b

We beschouwen nu de functie f(x) = x5 − (10− x)5.

(a) Toon aan dat het punt S(5, 0) een symmetrie-middelpunt is van de grafiek van f .

(b) Maak een schets van de grafiek van f waarop je de betekenis van het symmetrie-middelpunt aanduidt.


B Oefening 14. Gegeven is de nevenstaande grafiek van de functie f .

(a) Bepaal dom f .

(b) Bepaal bld f .

(c) Beschouw de functie h(x) = f(x+ 3)− 4.Bepaal het domein en het beeld van de functie h.

1

2

3

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4−1−2−3−4−5

y

x

y = f(x)

B Oefening 15. Gegeven is de grafiek van een functie f (links) en de grafiek van een functie g (rechts).

1

2

−1

−2

1 2−1

y

x

y = f(x)

1

2

−1

−2

1 2 3 4

y

x

y = g(x)

Welke uitspraken zijn juist? Verklaar.

(A) f(x) = g(x−2) (B) f(x) = g(2x) (C) f(x) = g(x/2) (D) g(x) = f(x−2) (E) g(x) = f(2x)

18De semikubische parabool werd ontdekt door William Neile 1657, die de booglengte van deze kromme berekende. Na het triviaalgeval van een rechte was dit de eerste kromme waarbij men erin daarin slaagde, zie Deel Integralen. De term semikubisch wijst op deexponent 3/2 in

√x3 = x3/2.

I-23

http://en.wikipedia.org/wiki/William_Neile

B? Oefening 16. Gegeven is de functie f(x) =√−2x+ 7.

(a) Welke transformaties moet je uitvoeren op de grafiek van y =√x om de grafiek van y = f(x) te verkrijgen?

Wees volledig.

(b) Teken alle grafieken uit (a) in een assenstelsel.

(c) Bepaal aan de hand van (b) het domein en het bereik van f .

B?? Oefening 17. Gegeven is de nevenstaande grafiek van de functie f .

(a) Schets de grafiek van de functie −f(x).

(b) Schets de grafiek van de functie f(−x).

(c) Schets de grafiek van de functie 2f(x).

(d) Schets de grafiek van de functie f(2x).

1

2

3

4

−1

−2

−3

1 2 3 4−1−2−3−4−5

y

x

y = f(x)

V Oefening 18. De figuur hieronder toont de grafiek die men verkrijgt als unie van de grafiek van de vierkantswortel-functie en zijn spiegelbeeld om de y-as.

(a) Waarom is deze grafiek de grafiek van een functie f?

(b) Bepaal een meervoudig functievoorschrift van f :

f(x) =

®. . . als x < 0

. . . als x ≥ 0.

(c) Bepaal een enkelvoudig functievoorschrift van f (dus zonder gevalsonderscheid).

1

2

1 2 3 4−1−2−3−4

y

x

graf f

V? Oefening 19. Zij f een functie met domein R. Hoe kunnen we vanuit de grafiek van f de grafiek van de functieg(x) = f(|x|) verkrijgen?

U Oefening 20 (Heaviside-functie). 19 De Heaviside-functie (of stapfunctie is de functie met als (meervoudig)voorschrift

H(x) =

®0 als x < 0

1 als x > 0.

(a) Teken de grafiek van de Heaviside-functie.

(b) Bepaal algebraısch het domein van H(x).

(c) Bepaal grafisch het beeld van H(x).

(d) Geef met behulp van de Heaviside-functie een enkelvoudigvoorschrift van de functie f met nevenstaande grafiek.

1

2

−1

1 2−1−2

y

x

graf f

19Ingevoerd door Oliver Heaviside (1850 - 1925) waarmee hij de stroomsterkte in een elektrisch circuit kon beschrijven. De Heaviside-functie wordt dan ook gebruikt bij signalen en komt in heel wat regeltechninsche toepasingen voor. In de literatuur beschouwt men ookvaak de variant door de conventie van het halve maximum toe te passen, men stelt dan H(0) = 1/2. In dat geval kan de functie geschrevenworden in termen van de sign-functie, zie Interludium.

I-24

http://en.wikipedia.org/wiki/Oliver_Heaviside

Inzicht in economie

Belastingen zijn er in alle maten en gewichten: inkomstenbelasting (die onder meer de personenbelasting en devennootschapsbelasting omvat), belasting op de toegevoegde waarde (BTW), registratierechten (zoals bij huur-contracten en notariele akten), milieubelasting, gemeente- en provinciebelasting, gezondheidstaks etc. Hieronderhebben we het over de inkomstenbelasting. Voor het berekenen hiervan maakt men in de economie het onderscheidtussen een progressief stelsel, een degressief stelsel of een vlaktaks. Bij een progressieve inkomstenbelasting wordt hetprocent dat een persoon aan belastingen betaalt hoger naarmate het inkomen stijgt. Bij een vlaktaks wordt iederinkomen met hetzelfde percentage belast en in een degressief stelsel wordt het tarief lager naarmate het inkomenstijgt. In de huidige samenleving komt een progressieve inkomstenbelasting het meeste voor, daar gaan we in hetvervolg van deze tekst dan ook van uit.

Als een persoon in een bepaald jaar x euro verdient en daarbij een bedrag van f(x) euro aan inkomstenbelastingenbetaalt, dan wordt het procent dat deze persoon aan belastingen betaalt gegeven door f(x)/x. Wiskundig betekentde progressieve heffing: als x toeneemt dan zal de verhouding f(x)/x ook toenemen. Meetkundig stelt f(x)/x derico van de rechte door de oorsprong O en het punt P (x, f(x)) voor. Zeggen dat f(x)/x een stijgende functie in xis, betekent dat de rico van die rechte OP toeneemt naarmate x toeneemt. De grafiek van f neemt dus een vormaan zoals in onderstaande figuur.

y

(belasting)

x(inkomsten)

O

y = f(x)

rico f(x)/xP

x

Stel dat de regering beslist om de inkomstenbelasting te verlagen. Dan zijn er twee eenvoudige modellen om diebelastingverlaging door te voeren.

(1) Een eerste voorstel is om bij elk individu het belastbaar inkomen x met a euro te verlagen alvorens de belas-tingen berekend worden. Deze regeling gedraagt zich volgens het principe van een aftrekpost (Engelse term:tax deduction). Een individu zal dan een belasting betalen van f(x− a) euro. We noemen f1(x) = f(x− a).

(2) Een tweede voorstel bestaat erin om eerst de inkomstenbelasting op het volledig belastbaar inkomen teberekenen, om daarna die berekende belasting te verminderen met b euro. Dit staat bekend als een belas-tingvermindering (Engelse term: tax credit). Op die manier zal een individu f(x) − b euro aan belastingenbetalen. We noemen f2(x) = f(x)− b.

We herkennen telkens een transformatie van de oorspronkelijke belastingfunctie f . Volgens het principe van deaftrekpost verkrijgen we de nieuwe belastingfunctie f1 door de grafiek van f met a eenheden naar rechts te verschui-ven, zie onderstaande figuur. Hanteren we de belastingvermindering, dan verkrijgen we de nieuwe belastingfunctief2 door de grafiek van f met b eenheden naar onder te verschuiven. De oplossing van de vergelijking f1(x) = f2(x)stelt het inkomen x voor waarbij een persoon voor beide alternatieven dezelfde belasting betaalt.

y

(belasting)

x(inkomsten)

O

y = f(x)

x

b

a

y = f1(x)

y = f2(x)

Voor mensen met een laag inkomen is x < x. Figuur 2 laat zien dat dan f1(x) > f2(x). Dus voor die mensen is debelastingvermindering voordeliger. Voor mensen met een hoog inkomen is x > x zodat f1(x) < f2(x). Dus voor diemensen is de aftrekpost voordeliger.

18Zie[54], gebaseerd op [131, Pagina 139].

I-25

Hoofdstuk 2

Veeltermfuncties

Elke veelterm geeft aanleiding tot een zogenaamde veeltermfuncties. Ze worden beschouwd als de meest eenvoudigefuncties. Hieronder vallen de constante, lineaire en kwadratische functies die in de tweede graad aan bod kwamen.

2.1 Definitie van een veeltermfunctie en voorbeelden

3 Definitie. Een (reele) veelterm in (de variabele) x is van de vorm

A(x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ anx

n waarbij n ∈ N en a0, a1, a2, . . . , an ∈ R

Als an 6= 0 dan noemen we n de graad van de veelterm A(x), notatie n = grA(x). De graad van de nulveelterm

wordt niet gedefinieerd.1 Elke veelterm A(x) bepaalt een functie

A : R→ Rx 7→ A(x) = a0 + a1x+ a2x

2 + · · ·+ anxn.

Functies van deze vorm noemen we veeltermfuncties en noteren we met f , g etc. in plaats van A, B etc.

3 Voorbeeld 1. Gegeven is de veelterm A(x) = x3 − 3x2 − x+ 3.

Hier is a0 = . . . , a1 = . . . , a2 = . . . en a3 = . . . en de graad van de veelterm is grA(x) = . . . .

De corresponderende veeltermfunctie heeft als

. functievoorschrift: f(x) = x3 − 3x2 − x+ 3

. tabel van enkele functiewaarden:

x −3 −2 −1 0 1 2 3

f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. grafiek:

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1

y

x

graf f

. domein:

dom f = loodrechte projectie op de x-as

= . . .

We kunnen dit ook algebraısch aantonen:


= . . .

1In hogere wiskunde stelt men gr 0 = −∞ omdat op deze manier rekenregels in verband met de graad van een veelterm geldig blijven,zoals bijvoorbeeld de rekenregel de graad van het product van twee reele veeltermen is gelijk aan de som van de graden van die veeltermen.

I-26

3 Voorbeeld 2. Constante functies, lineaire functies en kwadratische functies zijn veeltermfuncties die vaak alswiskundig model gebruikt worden om verschijnselen te onderzoeken. We geven een tweetal voorbeelden.

. De lengte l van een dunne staaf is afhankelijk van de temperatuur T , en kan gemodelleerd worden met delineaire functie

l(T ) = l(0) · (1 + αT ).

De constante α noemt men de lineaire uitzettingscoefficient.

. Als we een object laten vallen, dan is de afgelegde weg s afhankelijk van de tijd t. Als we de luchtweerstandverwaarlozen, dan wordt dit verband beschreven door de kwadratische functie2

s(t) = s(0) + v(0)t+1

2gt2.

De constante g is de valversnelling, die in onze contreien ongeveer gelijk is aan 9, 81 m/s2.

3 Eigenschap. Vervangen we in een veelterm A(x) de variabele x door een reeel getal r, dan verkrijgen wede getalwaarde A(r). Die getalwaarde bestaat voor elke r ∈ R. Dat leidt tot het volgend kenmerk van eenveeltermfunctie f :

dom f = R

3 Modelvoorbeeld 1. Bepaal bij elke veeltermfunctie het domein en het beeld.3

y

x1

1

graf f0

veeltermfunctie van graad 0

f0(x) = 2

y

x1

1

graf f1


f1(x) =√2 x− 5

3

y

x1

1

graf f2


f2(x) = −x2 + x+5

2

y

x1

1

graf f3


f3(x) = −1

6x3 − 1

2x2 + x+ 2

y

x1

1

graf f4


f4(x)=1

14x4+

1

14x3− 13

14x2− 1

14x

y

x1

1

graf f5


f5(x)=1

10x5+

3

20x4−11

20x3−27

20x2+

1

2x+

16

5

2De letter s is de eerste letter van spatium, het Latijnse woord voor afstand. Merk op dat in dit model de afgelegde weg s niet afhangtvan de massa m van het object. Een model dat rekening houdt de luchtweerstand maakt gebruik van de functie tangens hyperbolicus, zieDeel Complexe getallen. Dit model is nauwkeuriger, doch moeilijker berekeningen mee uit te voeren.

3Men kan aantonen het beeld van een veeltermfunctie ofwel (1) een singleton {a} is (in het geval van een constante veelterm), ofwel (2)een onbegrensd halfopen interval ]−∞, a] of [a,+∞[ is (in het geval van een niet constante veeltermfunctie met even graad), ofwel (3) R is(in het geval van een veeltermfunctie met oneven graad).

I-27

Een lineaire functie is een veeltermfunctie van graad een en wordt daarom ook een eerstegraadsfunctie genoemd. Inhet derde jaar heb je gezien dat de grafiek van een eerstegraadsfunctie een stijgende of dalende rechte is (zie ookHoofdstuk 1). We herhalen hoe je die rechte in een assenstelsel kan tekenen zonder grafische rekenmachine.

3 Modelvoorbeeld 2 (eerstegraadsfunctie). Gegeven is de functie

f(x) = −0, 17x+ 28.

(a) Teken de grafiek van de functie f zonder de grafische rekenmachine te gebruiken. Stappen opschrijven!

(b) Plot de grafiek van f en noteer geschikte vensterinstellingen waarvoor alle belangrijke kenmerken van degrafiek te zien zijn.

(c) Geef het domein en het beeld van de functie f . Hanteer de correcte notaties.

(d) Welke transformaties moet je uitvoeren op de grafiek van g(x) = x om de grafiek van f te verkrijgen?

Oplossing.

(a) Om de grafiek van een eerstegraadsfunctie op te bouwen, doorlopen we de volgende stappen.

Stap 1. Vorm: . . .

Teken de vorm.

Stap 2. Snijpunt met de y-as: dan is . . .

Teken de y-as, daarna de x-as.

Stap 3. Snijpunt met de x-as: dan is . . .

Tekening:

(b) Uit onze schets van de grafiek in (a) leiden we geschikte vensterinstellingen af.

Y= WINDOW GRAPH

(c) We lezen af van de grafiek dat dom f = . . . en bld f = . . .

(d) g(x) = x

vervang . . . door . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .

vervang . . . door . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .

vervang . . . door . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f(x) = −0, 17x+ 28

I-28

Een kwadratische functie is een veeltermfunctie van graad twee en wordt daarom ook een tweedegraadsfunctie genoemd.In het vierde jaar heb je gezien dat de grafiek van een tweedegraadsfunctie een parabool is (zie ook Hoofdstuk 1).Hieronder herhalen we hoe je die grafiek kan schetsen zonder grafische rekenmachine.

3 Modelvoorbeeld 2 (tweedegraadsfunctie). Gegeven is de functie

f(x) = 0, 4x2 + 4x− 8.

(a) Teken de grafiek van de functie f zonder de grafische rekenmachine te gebruiken. Stappen opschrijven!

(b) Controleer je grafiek in (a) door de grafiek van f te plotten. Noteer geschikte vensterinstellingen.

(c) Geef het domein en het beeld van de functie f . Hanteer de correcte notaties.

(d) Welke transformaties moet je uitvoeren op de grafiek van g(x) = x2 om de grafiek van f te verkrijgen?

Oplossing.

(a) Om de grafiek van een tweedegraadsfunctie op te bouwen, doorlopen we de volgende stappen.

Stap 1. Vorm: . . .

Schets de vorm.

Stap 2. Symmetrie-as: x = − b

2adus x = . . .

Teken de symmetrie-as, daarna de y-as.

Stap 3. Top: T ( . . . , . . . )

Duid de top aan.


Teken de x-as.

Stap 5. Snijpunt(en) met de x-as: dan is . . .

Schets:

(b) Uit onze schets van de grafiek in (a) leiden we geschikte vensterinstellingen af.

Y= WINDOW GRAPH

(c) We lezen af van de grafiek dat dom f = . . . en bld f = . . .

(d) Om deze transformaties op te schrijven, moeten we de stan-daardvorm f(x) = ax2+bx+c eerst herschrijven in topvorm(zie Hoofdstuk 1):

f(x) = a(x− k)2 + l waarbij k = − b

2aen l = f(k).

Hier wordt dat:

g(x) = x2

vervang . . . door . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .

vervang . . . door . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .

vervang . . . door . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f(x) = 0, 4x2 + 4x− 8

I-29

2.2 Grafisch bepalen van nulwaarden, snijpunten en extrema

In de volgende voorbeelden illustreren we het gebruik van de grafische rekenmachine: plotten van de grafiek metgeschikte vensterinstellingen, zoeken van nulwaarden en lokale extrema. Het is een misvatting te denken dat oefeningenmet behulp van de grafische rekenmachine sowieso eenvoudig zijn, want vaak is er nog wat denkwerk nodig ombijvoorbeeld de context te interpreteren of om zelf eerst een veeltermfunctie op te stellen.

stadhuis van Damme

3 Modelvoorbeeld 1. Karel maakt een vlucht met een luchtballon. De hoogteh van de ballon boven de grond (uitgedrukt in meter) wordt beschreven doorde functie

h(t) = 40− 2t+1

30t3 − 1

250t4

waarbij t staat voor de tijd uitgedrukt als veelvoud van 10 minuten, met t = 0het tijdstip waarop de ballon boven het stadhuis van Damme vliegt.

Los de volgende vragen op met behulp van je grafische rekenmachine. Hoogtesafronden op 1 cm nauwkeurig, tijdstippen afronden op 1 seconde nauwkeurig.

(a) Plot de grafiek met behulp van je grafische rekenmachine en neem eenschets over op je blad. Noteer de vensterinstellingen die je gebruikt hebt.

(b) Bepaal het theoretisch domein en het praktisch domein van de functie.

(c) Hoe lang vliegt Karel alvorens hij boven het stadhuis van Damme vliegt?

(d) Hoe lang duurt de volledige vlucht?

(e) Op welke hoogte vliegt de ballon op het ogenblik dat hij boven het stadhuis van Damme vliegt?

(f) Hoe lang vliegt de ballon hoger dan 40 meter?

(g) Op welk tijdstip bereikt de ballon zijn maximale hoogte? Wat is deze maximale hoogte?

Oplossing.

(a) Om geschikte vensterinstellingen te vinden, bedenken we dat de y-waarde de hoogte voorstelt, die in depraktijk positief is. Met TABLE gaan we na voor welke x-waarden de corresponderende y-waarde positief isen nemen als Ymax iets meer dan de maximale y-waarde in de tabel.

Y= 2ND TABLE

>

WINDOW GRAPH

(b) Theoretisch domein: domh = . . .

Praktisch domein: de t-waarden waarvoor h(t) ≥ 0. We zoeken de nulwaarden met het commando zero.

2ND CALC 2:zero < ENTER > ENTER ENTER

Antwoord. Het praktisch domein is . . .

(c)

Antwoord. Karel vliegt dan al ongeveer . . . . . . minuten en . . . . . . seconden.

I-30

(d)

Antwoord. De volledige vlucht duurt ongeveer . . . . . . minuten en . . . . . . seconden.

(e)

Antwoord. . . .

(f) We plotten de rechte y = 40 en bepalen de snijpunten van die rechte met de grafiek van h met intersect.

Y= GRAPH 2ND CALC 5:intersect

< ENTER ENTER ENTER

Berekening:

Antwoord. De ballon vliegt ongeveer . . . . . . minuten en . . . . . . seconden op een hoogte hoger dan 40 meter.

(g) We zoeken het maximum met het commando maximum.

2ND CALC 4:maximum < ENTER > ENTER ENTER

Berekening:

Antwoord. De ballon bereikt zijn maximale hoogte ongeveer . . . . . . minuten en . . . . . . seconden alvorens de

ballon boven het stadhuis van Damme vliegt. De maximale hoogte is ongeveer . . . . . . meter.

I-31

3 Modelvoorbeeld 2 (extremumprobleem). Een firma produceert taartdozen in de vorm van een balk. Menvertrekt van het onderstaand patroon waarbij de machine het karton plooit langs de stippellijnen, om zo de doosrechts te verkrijgen.

(a) Voor welke x is de inhoud van de taartdoos maximaal?

(b) Hoeveel bedraagt die maximale inhoud?

Maak gebruik van de grafische rekenmachine.

64 cm

39 cm

x x

x

x

Voorbeschouwing. Dat de inhoud afhankelijk is van x en dus een lokaal maximum bereikt, kunnen we inziendoor het praktisch domein te bepalen. Omdat x de breedte van de om te plooien stukken voorstelt, hebben weals

kleinste x-waarde: x = 0 en dan is de hoogte van de doos gelijk aan 0 en is de inhoud ook 0.

grootste x-waarde: x = 19, 5 en dan is de diepte van de doos gelijk aan 0 en is de inhoud ook 0.

Omdat we een doos willen, is het praktisch domein gelijk aan ]0; 19, 5[ en voor x-waarden in dit domein is deinhoud van de doos strikt positief. Dit toont aan dat de inhoud afhankelijk is van x en dat de inhoud vlak nax = 0 zal toenemen en vlak voor 19, 5 zal afnemen. Op die manier lijkt het aannemelijk dat de inhoud een lokaalextremum (maximum) zal bereiken.

Oplossing. Een extremumprobleem kan opgelost worden aan de hand van een aantal stappen.

Stap 1. Schrijf de vraag in de vorm

Voor welke . . . is . . .︸︷︷︸functie

maximaal/minimaal?

Bij dit voorbeeld:

Stap 2. Bepaal het functievoorschrift.

Bij dit voorbeeld:

Stap 3. Maak een tabel stijgen/dalen van die functie. Houd rekening met het praktisch domein!

Daartoe plotten we de grafiek van de functie en lezen het stijgen/dalen en de extrema af.

Bij dit voorbeeld:

I-32


2.3 Algebraısch bepalen van nulwaarden, tekentabel en snijpunten

Om de nulwaarden van een veeltermfunctie algebraısch te bepalen, maken we gebruik van de deling van veeltermenuit het vierde jaar. We herhalen de belangrijkste resultaten (zie ook Parate kennis bij aanvang van de derde graad).

3 Stelling van de euclidische deling. Zij A(x) en B(x) twee veeltermen waarbij B(x) 6= 0. Dan bestaat erprecies een veelterm Q(x) en precies een veelterm R(x) zodat

A(x) = Q(x) ·B(x) +R(x) waarbij grR(x) < grB(x) of R(x) = 0

De veelterm A(x) wordt het deeltal genoemd, B(x) de deler, Q(x) het quotient en R(x) de rest bij deling vanA(x) door B(x). Als R(x) = 0 dan zeggen we dat A(x) deelbaar is door B(x).

3 Reststelling. Zij A(x) een veelterm en a ∈ R. Dan is de rest bij deling van A(x) door x− a gelijk aan A(a).

3 Kenmerk van deelbaarheid door x− a. Zij A(x) een veelterm en a ∈ R. Dan geldt:

(x− a) | A(x) ⇔ A(a) = 0

3 Schema van de staartdeling. Te gebruiken bij deling van twee veeltermen.

Voorbeeld. Deling van A(x) = 2x3 + 3x2 − 1 door B(x) = x2 + 3x.

2x3 + 3x2 + 0x − 1 x2 + 3x

Besluit:

2x3 + 3x2 − 1︸︷︷︸A(x)

= (x2 + 3x)︸︷︷︸B(x)

· (. . . . . . . . . . . .)︸︷︷︸Q(x)

+ . . . . . . . . . . . .︸︷︷︸R(x)

3 Schema van Horner.4 Te gebruiken bij deling van een veelterm door x− a.

Voorbeeld. Deling van A(x) = 3x3 + 5x2 + 8x+ 13 door B(x) = x− 2.

3 5 8 13

2Besluit:

3x3 + 5x2 + 8x+ 13︸︷︷︸A(x)

= (x− 2)︸︷︷︸B(x)

· (. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .)︸︷︷︸Q(x)

+ . . . . . .︸︷︷︸R(x)

3 Modelvoorbeeld 1. Bepaal algebraısch de nulwaarden van de veeltermfunctie f(x) = x3 − 3x2 + 2x− 6.

Oplossing.

Los op: f(x) = 0 ⇔ x3 − 3x2 + 2x− 6 = 0

kanshebbers gehele nulwaarden: delers van de constante term −6

GRM: f(. . .) = 0 dus f(x) is deelbaar door x− . . . (waarom?)

schema van Horner:

1 −3 2 −6

. . . ↓ . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

dus x3 − 3x2 + 2x− 6 = . . .

⇔ . . .

⇔ . . .

4 De correcte naam voor het rekenschema is synthetische deling. Uit dat schema volgt dat de rest bij deling door x− a kan geschrevenworden als A(a) = ((ana + an−1)a + . . . )a + a0. Het belang ervan is dat ze het aantal vermenigvuldigingen tot een minimum beperkt,wat leidt tot een grotere numerieke stabiliteit van de berekende waarden. Deze gemotiveerde schrijfwijze voor A(a) werd voor het eerstdoor William George Horner in 1819 beschreven. In de Lage Landen wordt het ganse rekenschema van de synthetische deling ook hetschema van Horner genoemd, maar dat is historisch gezien onjuist.

I-33

http://en.wikipedia.org/wiki/William_George_Horner

3 Modelvoorbeeld 2. Gegeven is de veeltermfunctie

f(x) = x4 + 2x3 − 2x2 − 6x− 3.

(a) Bepaal algebraısch de nulwaarden van f .

(b) Bepaal de tekentabel van f .

(c) Voor welke x-waarden ligt de grafiek van f onder de x-as?

Oplossing.

3 Modelvoorbeeld 3. Gegeven zijn de veeltermfuncties

f(x) = x3 + 2x2 en g(x) = 4x.

(a) Plot beide grafieken en neem een schets over op je blad (beide grafieken in een assenstelsel).

(b) Bepaal algebraısch alle x-waarden waarvoor graf f boven graf g ligt.

(c) Controleer je uitkomst in (b) met behulp van je grafische rekenmachine.

Oplossing.

I-34

2.4 Gedrag op oneindig van veeltermfuncties

3 Op ontdekking. Gegeven is de functie

f(x) = x3 − 2x2 − x+ 2.

We plotten de grafiek van f met behulp van de grafische rekenmachine

Op de grafiek van f lezen we af

. Als x evolueert naar +∞ dan evolueert f(x) naar +∞. We noteren in symbolen:

als x→ +∞ dan f(x)→ +∞ of nog limx→+∞

f(x) = +∞

Dit kunnen we ook inzien door de functiewaarde van enkele grote x-waarden te nemen:

f(10) = . . .

f(100) = . . .

of met behulp van de grafische rekenmachine:

VARS Y-VARS 1:Function 1:Y1

We kunnen deze limiet ook berekenen:

limx→+∞

f(x) = limx→+∞

(x3 − 2x2 − x+ 2) = . . .

. Als x evolueert naar −∞ dan evolueert f(x) naar −∞. We noteren in symbolen:

als x→ −∞ dan f(x)→ −∞ of nog limx→−∞

f(x) = −∞


limx→−∞

f(x) = limx→−∞

(x3 − 2x2 − x+ 2) = . . .

3 Modelvoorbeeld. Onderzoek het gedrag op oneindig van de volgende veeltermfunctie, en duid op een assen-stelsel de verkregen informatie over de grafiek aan.

f(x) = −0, 07x4 + 100x− 8

Oplossing.

I-35


Oefeningen

2 Veeltermfuncties Basis Verdieping Uitbreiding? ?? ? ?? ? ??

2.1 Definitie van een veeltermfunctie en voorbeelden 1 2 34

56

7

2.2 Grafisch bepalen van nulwaarden, snijpunten enextrema

8 910

11 1213

14

2.3 Algebraısch bepalen van nulwaarden, tekentabelen snijpunten

151617

15181920

21 2223

2425

26

2.4 Gedrag op oneindig van veeltermfuncties 27 28


B Oefening 1. Gegeven is de functie f(x) = −x2 + 7x− 8.

(a) Schets, zonder gebruik te maken van je grafische rekenmachine, de grafiek van de functie f .

(b) Controleer je grafiek in (a) door de grafiek van f te plotten.

(c) Bepaal dom f en bld f .

(d) Welke transformaties moet je uitvoeren op de functie g(x) = x2 om de functie f te verkrijgen? Wees volledig.

B? Oefening 2. Welke van de volgende veeltermfuncties zijn even, oneven of geen van beide? Ga algebraısch na.

(a) f(x) = x4 − x2 (c) f(x) = 6

(b) f(x) = 1 + x3 (d) f(x) = (1− x)3 − 1− 3x2

V Oefening 3. Zij a, b, c ∈ R waarvoor

(2x2 + 3x+ 7)(ax2 + bx+ c) = 2x4 + 11x3 + 9x2 + 13x− 35.

(a) Maak gebruik van de coefficient van x4 om a te bepalen.

(b) Maak gebruik van de coefficient van x3 om b te bepalen.

(c) Bepaal c.

(d) Controleer je antwoord door het linkerlid uit te rekenen.

V Oefening 4. Stel het voorschrift op van een veeltermfunctie van graad drie waarvan de grafiek gaat door de puntenP (−1, 18), Q(0, 8), R(1, 4) en S(2,−6).

V? Oefening 5. Gegeven is de functie f waarvoor f(x2 + 1) = x4 + 5x2 + 3. Bepaal f(x2 − 1).

V? Oefening 6 (toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven 1999).Welke van de volgende beweringen over de veeltermfunctie

f(x) = 6acx3 + 4bcx2 + 9adx+ 6bd waarbij a, b, c, d ∈ R

is niet juist?

(A) Als a = 0 en bcd 6= 0 dan heeft de veeltermfunctie f hoogstens twee nulwaarden.

(B) Als 2c+ 3d = 0 dan heeft de veeltermfunctie x = 1 en x = −1 als nulwaarden.

(C) Als cd > 0 dan heeft de veeltermfunctie twee tegengestelde nulwaarden.

(D) Als a = 2 dan heeft de veeltermfunctie − b3

als nulwaarde.

U?? Oefening 7 (irrationale oplossingen van rationale tweedegraadsvergelijkingen).

(a) Zij x, y, z ∈ Q en√z /∈ Q. Stel dat x + y

√z een oplossing is van een kwadratische vergelijking met rationale

coefficienten. Toon aan dat x− y√z ook een oplossing is van die vergelijking.

(b) Gegeven is tweedegraadsfunctie f(x) = 5x2 + bx+ c waarbij b, c ∈ Q. Bepaal de waarden b, c ∈ Q als je weet datx = 3 +

√2 een nulwaarde is van f .

I-36


B Oefening 8. Bepaal grafisch (dat wil zeggen, met behulp van je grafische rekenmachine) de oplossingenverzamelingvan de ongelijkheid

16x3 + 332x+ 210 > 168x2.

fietscomputer

B? Oefening 9. Een bedrijf produceert draadloze fietscomputers. De bedrijfsleiding wilweten hoeveel computers er per uur moeten geproduceerd worden om winst te maken.Het verband tussen de winst W (in euro) en de productie x (aantal geproduceerdecomputers) per uur wordt gegeven door

W (x) = −1

2x3 + 8x2 − 24x.

Winst kan ook negatieve waarden aannemen, dan spreken we van verlies.Los de volgende vragen op met behulp van je grafische rekenmachine.

(a) Bepaal het theoretisch domein van de functie W (x).

(b) Bepaal het praktisch domein van de functie W (x).

(c) Hoeveel eenheden per uur moet het bedrijf produceren om een maximale winst te maken? Hoevel bedraagt diemaximale winst?

(d) Bij welke productie is de winst groter dan 36 euro per uur?

B? Oefening 10. Een bedrijf produceert en verkoopt x CD-spelers per week. De wekelijkse productiekost K(x) en omzetO(x) worden gegeven door

K(x) = 5000 + 2x en O(x) = 10x− x2

1000.

Bepaal met de grafische rekenmachine voor welke x de wekelijkse winst W (x) maximaal is. Bereken ook hoeveel dezemaximale winst bedraagt.

B?? Oefening 11. De doorsnede van een rivier in China kan beschreven worden door het functievoorschrift

d(x) =x4 − 10x3 − 400x2 + 1600x− 48000

12000.

met d de diepte (in meter) en de x-as de huidige waterspiegel. Los de volgende vragen op met behulp van je grafischerekenmachine (lengtes afronden op 1 cm nauwkeurig).

(a) Plot de grafiek met behulp van je grafische rekenmachine en neem een schets over op je blad. Noteer devensterinstellingen die je gebruikt hebt.

(b) Hoe breed is de rivier nu?

(c) In het droge seizoen daalt de rivier met 4 meter ten opzichte van de huidige waterstand. Er vormt zich eeneilandje in het midden van de rivier. Hoe hoog steekt het eilandje dan boven het waterpeil uit?

(d) In het regenseizoen stijgt de rivier met 3 meter ten opzichte van de huidige waterstand. Hoeveel breder is derivier dan ten opzichte van de huidige breedte?

V Oefening 12. Een firma verkoopt maandelijks 5000 stuks van een bepaald type. De vraagprijs per stuk bedraagt 30euro. Marktonderzoek heeft uitgewezen dat de verkoop met 500 stuks zal stijgen telkens de prijs met 2 euro wordtverlaagd. Welke prijs moet de firma aanrekenen wil men een maximale omzet realiseren? Los algebraısch op.

V Oefening 13. In een bepaald bedrijf produceert per dag een geheel aantal artikelen, met een maximale productie-capaciteit 25 artikelen per dag. Ervaring heeft aangetoond dat q artikelen per dag kunnen verkocht worden aan eenprijs van p euro per stuk, waarbij p = 110 − 2q. De productiekosten voor q artikelen bedragen 600 + 10q + q2 euro.Hoeveel artikelen moeten er per dag geproduceerd worden om een maximale winst op te leveren? Los op met behulpvan de grafische rekenmachine.

V? Oefening 14. In deze oefening tonen we aan dat niet elke derdegraadsfunctie kan verkregen worden door transfor-maties uit te voeren op g(x) = x3.

(a) Stel dat we een eindig aantal transformaties uitvoeren op g(x) = x3 en op die manier een functie f verkrijgen.Bewijs dat het functievoorschrift van f kan geschreven worden als

f(x) = a(x− k)3 + l voor zekere k, l ∈ R en a ∈ R0.

(b) Welke vorm heeft de grafiek van een functie f uit (a)? En wat is de betekenis van het punt T (k, l)?

(c) Bewijs dat niet elke derdegraadsfunctie kan verkregen worden door transformaties uit te voeren op g(x) = x3.

I-37


Oefening 15. Bepaal van de volgende functies algebraısch de nulwaarden en de tekentabel.

B (a) f(x) = x4 − 16

B (b) f(x) = x(2− x)(3 + x)2

B (c) f(x) = 3x3 + 3x

B? (d) f(x) = 2x3 − 5x2 − 28x+ 15

B Oefening 16 (toelatingsexamen Koninklijke Militaire School 1984).Gegeven zijn de volgende twee reele functies

f(x) = x2 − 5x+ 1 en g(x) = −x+ 2.

Bepaal algebraısch de snijpunten van de grafiek van f(x) met de grafiek van g(x).

B Oefening 17. Bepaal algebraısch de snijpunten van de functies

f(x) = x3 − 3x2 + x+ 3 en g(x) = (x− 1)2.

B? Oefening 18. Bepaal algebraısch de nulwaarden van de functie

f(x) =1

4x4 +

5

4x3 +

9

4x2 + 2x+ 1.

B? Oefening 19. Bepaal algebraısch de x-waarden waarvoor de grafiek van functie f(x) = x4 − 3x2 + 2 boven de x-asligt.

B? Oefening 20. Welke veelterm is geen factor van de veelterm x4− 4x3−x2 + 16x− 12 ? Verklaar met een berekening.

(A) x− 2 (B) x+ 2 (C) x− 1 (D) x+ 1 (E) x− 3

B?? Oefening 21. Bepaal algebraısch de oplossingenverzameling van de ongelijkheid

x4 + 6x3 + 8x2 − 6x ≤ 9.

Controleer je antwoord met behulp van je grafische rekenmachine.

V Oefening 22. Gegeven is de veeltermfunctie

f(x) = 2x3 + ax2 + bx+ 15 waarbij a, b ∈ R.

Bepaal de waarde(n) van a, b ∈ R zodat −5 een nulwaarde van f is en f(x) deelbaar is door x− 3.

V Oefening 23 (Vlaamse Wiskunde Olympiade5 1998 eerste ronde).Hoeveel van de volgende veeltermen zijn een deler van de veelterm x7 − x?

x2 + x+ 1, x3 − 1, x2 − 1, x4 + x2 + 1, x4 + x, x2 − x

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6

V? Oefening 24. Gegeven is de veeltermfunctie

f(x) =1

14x4 +

1

14x3 − 13

14x2 − 1

14x

waarvan de grafiek hiernaast is afgebeeld. Hoeveel verschillende snijpuntenheeft deze grafiek met de x-as? Toon aan zonder gebruik te maken van degrafische rekenmachine.

y

x1

1

graf f

V? Oefening 25. Bepaal het voorschrift van een veeltermfunctie f(x) waarvoor:

. x = −1

2is een nulwaarde van f en

. graf f raakt aan de x-as in het punt P (6, 0) en

. graf f snijdt de y-as in het punt Q(0,−3).

I-38


U? Oefening 26 (rest bij deling door (x − a)(x − b)). Zij A(x) een veelterm zodat de rest bij deling van A(x) doorx− 19 gelijk is aan 99 en de rest bij deling van A(x) door x− 99 gelijk is aan 19. In deze oefening bepalen we de restbij deling van A(x) door (x− 19)(x− 99).

(a) Bepaal A(19) en A(99).

(b) Noem R(x) de rest bij deling van A(x) door (x− 19)(x− 99). Maak gebruik van het Euclidisch deling om A(x)te schrijven in functie van (x− 19)(x− 99) en R(x).

(c) Wat is de graad van R(x)?

(d) Kies twee geschikte waarden voor x en substitueer in de vergelijking uit (b). Bepaal op die manier R(x).


B Oefening 27. Onderzoek het gedrag op oneindig van de veeltermfunctie f(x) = −12x5 + 81x3 + 120.

V Oefening 28. Zij f(x) een niet-constante veeltermfunctie. Duid telkens het juiste antwoord aan en geef toelichtingaan de hand van een berekening en een voorbeeld.

(a) Als de graad van f even is, dan liggen de twee uiteinden van de grafiek altijd

(A) langs dezelfde kant van de x-as (B) langs een verschillende kant van de x-as

(b) Als de graad van f oneven is, dan liggen de twee uiteinden van de grafiek altijd

(A) langs dezelfde kant van de x-as (B) langs een verschillende kant van de x-as

Inzicht in natuurkunde

Volgend voorbeeld komt uit de sterkteleer en illustreert dat ook derdegraadsfuncties in het dagelijks leven voorko-men.6

doorbuiging van een balk

Een homogene balk met lengte l en een constante doorsnede wordt aaneen kant vastgeklemd en aan de andere (vrije) kant door een kracht F belast.

Onderstaande figuur maakt duidelijk dat de mate van de doorbuiging vande balk (afstand y van de balk tot de oorspronkelijke positie) is afhankelijkvan de plaats (afstand x tot de vastklemming), dus y is een functie van deplaatscoordinaat x.

De grafiek van deze functie wordt de buigingslijn of elastische lijn genoemd.

y

x

x

y

In ons voorbeeld wordt de buigingslijn beschreven door de volgende veeltermfunctie van graad drie:

y(x) =F

2EI

Ålx2 − 1

3x3ã

met 0 ≤ x ≤ l.

Hierbij staat E voor de elasticiteitsmodulus en I voor het oppervlaktetraagheidsmoment van de doorsnede van debalk.

5De Vlaamse Wiskunde Olympiade, afgekort VWO, is een wiskundewedstrijd voor scholieren die jaarlijks in Vlaanderen wordt georga-niseerd. Eerdere wedstrijdvragen zijn te vinden op de website http://www.vwo.be/vwo/vorige-edities

6Ontleend aan [177, pagina 160]. Sterkteleer is een tak van de natuurkunde en onderzoekt de voorwaarden waaraan constructies moetenvoldoen om niet te bezwijken, de gewenste stijfheid te hebben en voldoende duurzaam zijn. Dit valt uiteen in elasticiteitsleer, plasticiteitsleeren breukleer, waarbij gebruik wordt gemaakt van theoretische mechanica, wiskunde en materiaalkunde. Sterkteleer is belangrijk bij hetontwerp van stilstaande en bewegende constructies in de bouwkunde en de werktuigkunde.

I-39

http://www.vwo.be/vwo/vorige-edities

Hoofdstuk 3

Rationale functies

De som, het verschil en het product van twee veeltermen is opnieuw een veelterm. Maar het quotient van tweeveeltermen is niet noodzakelijk een veelterm. Het is wel een zogenaamde rationale vorm en net zoals bij veeltermengeven ook rationale vormen aanleiding tot een klasse van functies: rationale functies.

3.1 Rationale vormen

Elk rationaal getal q is het quotient is van twee gehele getallen, waarbij de noemer verschillend is van nul. Vervangenwe de gehele getallen door de veeltermen, dan verkrijgen we de volgende omschrijving.

3 Definitie. Een rationale vorm R(x) is een quotient van twee veeltermen, waarbij de noemer verschillend is vande nulveelterm.

In symbolen:

R(x) =T (x)

N(x)met T (x) een veelterm en N(x) 6= 0 een veelterm

3 Voorbeeld. Volgende uitdrukkingen zijn een quotient van veeltermen, en dus rationale vormen:

R(x) =x+ 1302

x5 − 2017en S(z) =

5z3 − 7z + 13

4z3.

Ook elke veelterm is een rationale vorm, zo is bijvoorbeeld de volgende veelterm te schrijven als een quotientvan veeltermen (vul aan):

A(x) = 7x2 −√

6x+ 1 = . . .

3 Opmerking. Soms kunnen we bij een rationale vorm de teller en de noemer ontbinden in factoren en ge-meenschappelijke factoren schrappen: de factoren wegdelen uit teller en noemer. Dat proces noemen we hetvereenvoudigen van een rationale vorm.

3 Modelvoorbeeld. Vereenvoudig de rationale vorm

R(x) =−x3 + x2 + 9x− 9

2x3 − 10x2 + 14x− 6.

Oplossing.

I-40

Is bij een rationale vorm de graad van de teller minstens gelijk aan de graad van de noemer, dan kunnen we dedeling van de teller (deeltal) door de noemer (deler) uitvoeren. Op die manier kan zo’n rationale vorm op een meerelementaire manier uitgedrukt worden. Dat zal ons later inzicht geven in de asymptoten van rationale functies.

3 Op ontdekking. Beschouw de rationale vorm

R(x) =x5 − 7x+ 12

x3 − 4.

Deze rationale vorm heeft als kenmerk dat grT (x) ≥ grN(x). Zo’n rationale vorm onecht genoemd. In dat gevalkunnen we het schema van de staartdeling op een niet-triviale manier uitvoeren (rest is verschillend van deeltal):

x5 − 7x+ 12 x3 − 4

zodatx5 − 7x+ 12 = . . . . . .︸︷︷︸

Q(x)

(x3 − 4) + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .︸︷︷︸R1(x)

Zo kan de onechte rationale vorm geschreven worden als de som van een veelterm en een andere rationale vorm:

R(x) =x5 − 7x+ 12

x3 − 4= . . .

= . . .

Bij die andere rationale vorm is de graad van de teller kleiner dan de graad van de noemer. Zo’n rationale vormwordt echt genoemd: in dat geval levert het schema van de staartdeling niets op (rest is gelijk aan deeltal).

3 Definitie.1 We noemen een rationale vorm R(x) =T (x)

R(x)onecht als T (x) 6= 0 en grT (x) ≥ grN(x). In het

andere geval is de rationale vorm echt, namelijk als T (x) = 0 of grT (x) < grN(x).

3 Voorbeeld (vervolg). De rationale vormen

R(x) =x+ 1302

x5 − 2017en S(z) =

5z3 − 7z + 13

4z3

zijn respectievelijk echt en onecht. Elke veelterm is een onechte rationale vorm, zo is bijvoorbeeld

A(x) = 7x2 −√

6x+ 1 =7x2 −

√6x+ 1

1waarbij grT (x)︸︷︷︸

...

≥ grN(x)︸︷︷︸...

.

3 Eigenschap. Elke onechte rationale vorm is de som van een veelterm en een echte rationale vorm.2

Bewijs. Zij R(x) =T (x)

N(x)een onechte rationale vorm. Wegens de stelling van de euclidische deling bestaat er

juist een veelterm Q(x) en een veelterm R1(x) zodat

T (x) = Q(x) ·N(x) +R1(x) en waarvoor grR1(x) < grN(x) of R1(x) = 0.

Op deze manier kunnen we de onechte rationale vorm R(x) schrijven als

R(x) =T (x)

N(x)= . . .

= . . .

1Spreken we zoals in de hogere wiskunde af dat gr 0 = −∞, dan kan deze definitie eenvoudiger uitgedrukt worden: onecht als grT (x) ≥grN(x) en echt als grT (x) < grN(x).

2Dat deze schrijfwijze uniek is, volgt eenvoudig uit de uniciteit van de veeltermen Q(x) en R(x) in de stelling van de euclidische deling.

I-41

3.2 Rationale vergelijkingen en ongelijkheden

Een rationale vergelijking (of ongelijkheid) is een vergelijking waarbij zowel het linker- als rechterlid een rationalevorm is. Met de volgende twee modelvoorbeelden laten we zien hoe je rationale vergelijkingen en ongelijkheden kanoplossen.

3 Modelvoorbeeld 1. Bepaal algebraısch alle oplossingen van de rationale vergelijking

8x− 3

x+ 3− 2x = 4− 3x2

x+ 3.

Controleer nadien je oplossing(en).

Oplossing.

3 Modelvoorbeeld 2. Bepaal algebraısch alle oplossingen van de rationale ongelijkheid

2 + x

x2 − 2≥ 1.

Oplossing.

I-42

3.3 Definitie van een rationale functie en voorbeelden

3 Definitie. Een rationale functie is een functie f waarbij het functievoorschrift f(x) een rationale vorm is.

In symbolen:

f(x) =T (x)

N(x)met T (x) een veelterm en N(x) 6= 0 een veelterm

3 Voorbeeld.

(a) f(x) =−x2 − 3x+ 2

2x− 1en g(x) =

√3x− 5

√7

x2 − 4πzijn rationale functies,

(b) f(x) = x3 − 7x is een rationale functie (algemeen is elke veeltermfunctie een rationale functie),

(c) f(x) =√x is geen rationale functie (waarom?).

koelkast

3 Modelvoorbeeld. De temperatuur in een koelkast wordt gegeven door defunctie

T (t) =3t2 − 6t+ 3

t2 − 2t+ 2

met T de temperatuur (in graden Celsius) en t de tijd (in uren). Het tijdstipt = 0 komt overeen met 3 uur ’s nachts. Los de volgende vragen op met behulpvan je grafische rekenmachine.

(a) Schets de grafiek van de functie T .

(b) Op welk tijdstip was de temperatuur het laagst? Hoe laag was deze tem-peratuur dan?

(c) Als de temperatuur lager wordt dan 1◦C dan is er gevaar voor schade aanhet voedsel. Hoe lang bevond de temperatuur zich onder 1◦ C?

(d) Naar welke waarde evolueert de temperatuur in de koelkast?

Oplossing.

(d) Op basis van de grafiek van T vermoeden we dat naarmate de tijd toeneemt de temperatuur naar eenconstante waarde zal evolueren. Door de functiewaarde van een groot getal te berekenen kunnen we dezeconstante waarde achterhalen.

Antwoord. De temperatuur evolueert naar T = . . .

I-43

3.4 Algebraısch bepalen van domein, nulwaarden en tekentabel

Omdat een rationale vorm het quotient is van twee veeltermen, houdt het algebraısch onderzoek van een rationalefunctie verband met de kenmerken van de veelterm in de teller en veelterm in de noemer.

3 Op ontdekking. Gegeven is de rationale functie

f(x) =8x

x2 − 4x.

(a) Bepaal algebraısch het domein van f .

(b) Bepaal algebraısch de nulwaarden van f .

(c) Bepaal algebraısch de tekentabel van f .

Controleer nadien je oplossingen door de grafiek van f te plotten met je grafische rekenmachine.

Oplossing.

3 Eigenschap. Zij f(x) een rationale functie. Dan gelden de volgende eigenschappen.

(a) dom f = R \ {nulwaarden noemer}(b) ker f = {nulwaarden teller} \ {nulwaarden noemer}(c) De tekentabel van f is de tekentabel van de teller gedeeld door de tekentabel van de noemer.3

De nulwaarden van de noemer noemt men de polen van de rationale functie f .4

Bewijs van (a) en (b). Schrijf f(x) =T (x)

N(x)met T (x) een veelterm en N(x) 6= 0 een veelterm.

Om het domein van f algebraısch te bepalen, vertrekken we vanuit de definitie in symbolen:


= {x ∈ R | T (x)

N(x)bestaat}

= {x ∈ R | N(x) 6= 0}.

De nulwaarden van f zijn de oplossingen van een rationale vergelijking:

los op: f(x) = 0

⇔ T (x)

N(x)= 0 BV: N(x) 6= 0

⇔ T (x) = 0.

3Formeel gezegd: het is de tekentabel van de veelterm teller maal noemer, waarbij onder elke nulwaarde van de noemer de 0 wordtvervangen door een verticale streep |.

4De benaming pool komt uit de hogere wiskunde, waar men die term gebruikt voor een singulier (of ontaard) object: een grensgeval datandere eigenschappen heeft dan de reguliere objecten. Beschouwen we bijvoorbeeld de stereografische projectie van een boloppervlak opeen raakvlak van de bol (waarbij de projectielijnen worden getrokken vanuit het punt op de bol diametraal tegenover het raakvlak), danheeft elk punt op het boloppervlak een beeld op het raakvlak, uitgezonderd het punt zelf waaruit we projecteren (geen beeld in het vlak).In dat opzicht is het projectiepunt dan een pool. Ook het raakpunt kan als pool beschouwd worden, omdat het als atypisch kenmerk heeftdat het beeldpunt onder de stereografische projectie dan gelijk is aan het oorspronkelijke punt. Stelt de bol de aarde voor en nemen wehet raakvlak in de zuidpool, dan zijn de polen van de stereografische projectie op dit raakvlak precies de noordpool en de zuidpool.

I-44

3 Modelvoorbeeld 2. Gegeven is de rationale functie

f(x) =x

x2 − 1.

(a) Bepaal algebraısch het domein, de nulwaarden, de polen en de tekentabel van de functie f .

(b) Plot de grafiek van f en neem een correcte schets over op je blad. Controleer je resultaten op vraag (a).

Oplossing. Hoewel eerst gevraagd wordt om domein, nulwaarden, polen en tekentabel algebraısch te bepalen, ishet een goed idee om eerst de grafiek van f te plotten. Zo krijg je een zicht op de resultaten die je kan verwachten.

Nabeschouwing. Uit de grafiek van f lezen we de volgende kenmerken af.

. Als x evolueert naar +∞ dan nadert f(x) naar 0. We noteren in symbolen:

als x→ +∞ dan f(x)→ 0 of nog limx→+∞

f(x) = 0

Daarom noemen we de rechte y = 0 een horizontale asymptoot voor x→ +∞ aan de grafiek van f .

Analoog, als x evolueert naar −∞ dan nadert f(x) naar 0. Daarom noemen we de rechte y = 0 ook eenhorizontale asymptoot voor x→ −∞ aan de grafiek van f .

. Als x nadert naar 1 van links dan nadert f(x) naar −∞. We noteren in symbolen:

als x→<

1 dan f(x)→ −∞ of nog limx→

<1f(x) = −∞

Daarom noemen we de rechte x = 1 een verticale asymptoot aan de grafiek van f .

Analoog, als x nadert naar 1 van rechts dan nadert f(x) naar +∞.

. Analoog is de rechte x = −1 een verticale asymptoot.

I-45

3 Modelvoorbeeld 3. Gegeven is de rationale functie

f(x) =x2 − 4

x2 + 5x+ 6.

(a) Bepaal algebraısch het domein, de nulwaarden, de polen en de tekentabel van de functie f .

(b) Plot de grafiek van f en neem een schets over op je blad. Controleer je resultaten op vraag (a).

(c) Beschrijf de eventuele asymptoten aan de grafiek van f . Hanteer de correcte notaties.

Oplossing.

Nabeschouwing. De functie f vertoont een bijzonder gedrag in de pool x = −2.

. Wanneer we de grafiek van f plotten met behulp van de grafische rekenmachine, vertoont de grafiek schijn-baar geen onderbreking in x = −2 voor de TI-84 Plus en een onderbreking in een omgeving van x = −2voor de TI-84 Plus CE. Dat er een onderbreking in x = −2 is, blijkt uit bovenstaande tekentabel en hetcommando 2ND TABLE. Je kan ook nagaan dat de grafiek in een verminderde omgeving van x = −2 weldegelijk bestaat.

We zeggen dat de grafiek van f een perforatie bereikt in x = −2.

. Hoe verleidelijk ook, schrappen in het functievoorschrift is uit den boze wanneer het domein beınvloed wordt,omdat men zo de grafiek van de functie wijzigt en dus een andere functie verkrijgt. Zo zijn bijvoorbeeld devolgende rationale functies verschillend omdat hun domein verschillend is (en dus ook hun grafiek):

f(x) =(x− 1)2

(x− 1)6= g(x) = x− 1

dom f = . . . dom g = . . .

Algemeen kunnen we dus stellen dat voor twee functies f en g

f = g ⇔ dom f = dom g en ∀x ∈ dom f : f(x) = g(x)

I-46

3.5 Homografische functies

Passen we transformaties toe op de grafiek van de elementaire functie 1/x, dan verkrijgen we opnieuw een hyperbool.Deze bijzondere klasse van rationale functies zijn de zogenaamde homografische functies.

3 Voorbeeld 1. De grafiek van de elementaire functie f(x) =1

xis een hyperbool:

1

1 y = 1/x

x

y

Uit de grafiek van f lezen we de volgende eigenschappen af.

. Als x→ +∞ dan f(x)→ . . . of nog limx→+∞

1

x= . . .

Dus de rechte . . . . . . is horizontale asymptoot voor x→ +∞ aan de grafiek van f .

De uitkomst van deze limiet kunnen we ook inzien aan de hand van enkele berekeningen:

Daarom schrijven we deze limiet in het vervolg als volgt uit:

limx→+∞

1

x=

1

+∞ = 0

Analoog is limx→−∞

1

x=

1

−∞ = 0 dus de rechte y = 0 is een horizontale asymptoot voor x→ −∞.

. Als x→>

0 dan f(x)→ . . . of nog limx→

>0

1

x= . . .

Dus de rechte . . . . . . is een verticale asymptoot aan de grafiek van f .

De uitkomst van deze limiet kunnen we ook inzien aan de hand van enkele berekeningen:

Daarom schrijven we deze limiet in het vervolg als volgt uit:

limx→

>0

1

x=

1

0+= +∞

Analoog is limx→

<0

1

x=

1

0−= −∞.

I-47

3 Voorbeeld 2. Gegeven is de functie

f(x) =2x− 1

x.

We plotten de grafiek van f met behulp van de grafische rekenmachine:

Ook deze grafiek lijkt een hyperbool te zijn, gelijkaardig aan die van de elementaire functie g(x) =1

x. Om in te

zien waarom dat zo is, herschrijven we het functievoorschrift van f als volgt:

f(x) =2x− 1

x=

2x

x− 1

x= 2− 1

x

Op deze manier wordt het duidelijk dat we de grafiek van f kunnen verkrijgen door transformaties toe te passen

op de grafiek van g(x) =1

x(verschuiven, uitrekken en spiegelen). Zo begrijpen we waarom ook de grafiek van f

een hyperbool is.

g(x) =1

x

vervang . . . door . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .

vervang . . . door . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f(x) = 2− 1

x

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

y

x

Nabeschouwing. In dit voorbeeld hebben we het functievoorschrift herschreven als de de som van een veeltermen een echte rationale vorm:

f(x) =2x− 1

x=

2x

x− 1

x= 2− 1

x

Bij de laatste gelijkheid schrappen we x in teller en noemer. Nochtans zagen we in de opmerking op pagina datwe niet zomaar mogen schrappen in het voorschrift van een functie. Waarom mogen we in dit voorbeeld welschrappen?

Omdat . . .

I-48

Uit de grafiek van f lezen we af

. Als x→ +∞ dan f(x)→ . . . of nog limx→+∞

f(x) = . . .

Dus de rechte . . . . . . is een horizontale asymptoot voor x→ +∞ aan de grafiek van f .

De uitkomst van deze limiet kunnen we ook inzien met behulp van de grafische rekenmachine (rechtstreeksiets of handiger met behulp van het commando Y1):

Y= 2ND QUIT

VARS Y-VARS 1:Function 1:Y1


limx→+∞

f(x) = limx→+∞

Å2− 1

x

ã= . . .

Analoog islim

x→−∞f(x) = . . .

. Als x→>


>0f(x) = . . .

Dus de rechte . . . . . . is een verticale asymptoot aan de grafiek van f . De uitkomst van deze limiet kunnenwe ook inzien met behulp van de grafische rekenmachine:


limx→

>0f(x) = lim

x→>

0

Å2− 1

x

ã= . . .

Analoog islimx→

<0f(x) = . . .

I-49


f(x) =6x+ 2

2x− 3.

Ook dit functievoorschrift mogen we herschrijven als de som van een veelterm en een echte rationale vorm:

Zo zien we in dat we de grafiek van f kunnen verkrijgen door transformaties toe te passen op de grafiek van de

elementaire functie g(x) =1

x. Op die manier begrijpen we waarom de grafiek van f een hyperbool is.

g(x) =1

x

vervang . . . door . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .

vervang . . . door . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .

vervang . . . door . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f(x) =6x+ 2

2x− 3

y

x

Uit de grafiek van f lezen we af:

. limx→±∞

f(x) = . . . dus de rechte . . . . . . is een horizontale asymptoot voor x→ ±∞ aan de grafiek van f .

. limx→

>...f(x) = . . . dus de rechte . . . . . . is een verticale asymptoot aan de grafiek van f .

Analoog is limx→

<...f(x) = . . .

Nabeschouwing. We kunnen de horizontale en verticale asymptoot ook herkennen in het functievoorschrift.

. De verticale asymptoot is een randpunt van het domein van f . Inderdaad:

dom f = R \ {nulwaarden noemer} = . . .

. De horizontale asymptoot is bepaald door het quotient van de hoogstegraadstermen. Inderdaad:

hoogstegraadsterm teller

hoogstegraadsterm noemer= . . .

I-50


f(x) =5x+ 10

2x+ 4.

(a) Schets in een assenstelsel de grafiek van f . Is de grafiek een hyperbool?

(b) Mogen we het voorschrift herschrijven als de som van een veelterm en een echte rationale vorm?

f(x) =5x+ 10

2x+ 4

?=

5(x+ 105 )

2(x+ 42 )

?=

5(x+ 2)

2(x+ 2)

?=

5

2

Oplossing.

3 Definitie. Een homografische functie (of gebroken lineaire functie) is een functie f met als voorschrift instandaardvorm

f(x) =ax+ b

cx+ dwaarbij a, b, c, d ∈ R met c 6= 0 en ad 6= bc

In deze definitie is

. c 6= 0 want anders is de grafiek van f . . .

. ad 6= bc want anders is de grafiek van f . . .

3 Eigenschap. Een homografische functie f(x) =ax+ b

cx+ dkan herschreven worden in symmetrie-vorm

f(x) = k +m

x− l waarbij k, l,m ∈ R en m 6= 0

Op die manier kan een homografische functie verkregen worden door transformaties toe te passen op de elemen-taire functie g(x) = 1/x. De grafiek is dus een hyperbool:5

graf f

H.A.

y = . . .

V.A.

x = . . .

of

graf f

H.A.

y = . . .

V.A.

x = . . .

5Meer specifiek wordt zo’n grafiek een orthogonale hyperbool genoemd omdat de asymptoten loodrecht op elkaar staan. Vergelijken we

de symmetrie-vorm met de standaardvorm, dan is k = a/c, l = −d/c en m = −(ad− bc)/c2. De grafiek van f is dus van de linkervorm alsad < bc en van de rechtervorm als ad > bc.

I-51


3 Modelvoorbeeld 1. Gegeven is de functie

f(x) =3x− 2

3x+ 2.

(a) Toon aan dat f een homografische functie is.

(b) Schets de grafiek van de functie f zonder de grafische rekenmachine te gebruiken. Stappen opschrijven!.

(c) Controleer je grafiek in (b) door de grafiek van f te plotten.

(d) Geef het domein en het beeld van de functie f . Hanteer de correcte notaties.

(e) Welke transformaties moet je uitvoeren op de functie g(x) = 1/x om de functie f(x) te verkrijgen?

Oplossing.

(a) Het functievoorschrift is van de vorm f(x) =ax+ b

cx+ dmet a = . . . , b = . . . , c = . . . en d = . . . .

Bovendien is c 6= 0 en ad = . . . en bc = . . . zodat ad 6= bc.

(b) Om de grafiek van een homografische functie op te bouwen, doorlopen we de volgende stappen.

Stap 1. H.A.: y = . . .

Teken de H.A., daarna de x-as.

Stap 2. V.A.: x = . . .

Teken de V.A., daarna de y-as.


Teken snijpunt, schets daarna de grafiek van f .

Schets:

(c) Uit onze schets van de grafiek in (b) leiden we geschikte vensterinstellingen af.

Y= WINDOW GRAPH

(d) We lezen af van de grafiek dat dom f = . . . en bld f = . . .

(e) Om deze transformaties op te schrijven, moeten we de stan-daardvorm eerst herschrijven in symmetrie-vorm:

f(x) = k+m

x− k voor zekere k, l,m ∈ R en m 6= 0.

Hier wordt dat:

g(x) =1

x

vervang . . . door . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .

I-52

3 Modelvoorbeeld 2. Onderstaande grafiek stelt de grafiek van een homografische functie f voor. Bepaal eenmogelijk functievoorschrift (enkel roosterpunten gebruiken). Controleer nadien met de grafische rekenmachine.

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

−4

−5

1 2 3 4 5−1−2−3−4−5

y

x

y = f(x)

Oplossing. Omdat f een homografische functie is, wordt het functievoorschrift gegeven door

f(x) =ax+ b

cx+ dvoor zekere a, b, c, d ∈ R.

Om de waarden a, b, c en d te vinden, hanteren we de formules voor de H.A. en de V.A. aan de grafiek van f .

. H.A.: y = . . . waaruit . . .

. V.A.: x = . . . waaruit . . .

. punt op de grafiek van f : bijvoorbeeld P (. . . , . . .) waaruit . . .

Een mogelijke keuze voor a, b, c, d is bijvoorbeeld:

a = . . .

b = . . .

c = . . .

d = . . .

zodat f(x) = . . .

Nabeschouwing. Zijn er nog andere mogelijke keuzes voor a, b, c, d? Wat wordt het functievoorschrift van f dan?

I-53

3.6 Asymptoten van rationale functies

Verticale asymptoten en perforaties

3 Algemene regel6. Gegeven is een functie f . Voor een verticale asymptoot of perforatie in x = a zijn dekanshebbers voor a de randpunten van dom f die niet tot dom f behoren.

In de volgende voorbeelden ontdekken we criteria hoe we bij rationale functies alle verticale asymptoten enperforaties kunnen vinden.

3 Op ontdekking 1. Gegeven is de functie

f(x) =x− 1

x2 − 4.

Om alle verticale asymptoten en perforaties te vinden, gaan we voorlopig als volgt te werk.

. dom f = . . .

. De kanshebbers voor een V.A. of perforatie zijn . . .

. Plot de grafiek van f met behulp van je grafische rekenmachine.

x

y

. Uit de grafiek van f lezen we af:

Als x→<


<2f(x) = . . .

Als x→>


>2f(x) = . . .

Dus de rechte . . . . . . is een V.A. aan de grafiek van f .

. We kunnen dit ook berekenen:

limx→

<2f(x) = lim

x→<

2

x− 1

x2 − 4= . . .

limx→

>2f(x) = lim

x→>

2

x− 1

x2 − 4= . . .

Op deze manier zien we in hoe we uit het functievoorschrift meteen kunnen besluiten dat x = 2 V.A. is:

aantal keer x = 2 nulpunt teller︸︷︷︸. . .

< aantal keer x = 2 nulpunt noemer︸︷︷︸. . .

6Voor de meest courante functies - inclusief degene die we in Deel Precalculus 1 behandelen - is deze regel van toepassing. Toch bestaaner functies waarbij x = a een verticale asymptoot is en toch a ∈ dom f . Voor een expliciete behandeling van de begrippen asymptooten perforatie en een algemene werkwijze om deze te bepalen zal de leerling geduld moeten uitoefenen tot Deel Limieten, asymptoten encontinuıteit.

I-54


f(x) =x2 − 1

x− 1.

Om de alle verticale asymptoten en perforaties te vinden, gaan we voorlopig als volgt te werk.

. dom f = . . .

. De kanshebbers voor een V.A. of perforatie zijn . . .


x

y


Als x→<


<1f(x) = . . . 6= ±∞

Als x→>


>1f(x) = . . . 6= ±∞

De rechte x = 1 is geen V.A. aan de grafiek van f . Wel bereikt graf f een perforatie in x = 1.


limx→

<1f(x) = lim

x→<

1

x2 − 1

x− 1= . . .

limx→

>1f(x) = lim

x→>

1

x2 − 1

x− 1= . . .

Zo zien we in hoe we uit het functievoorschrift meteen kunnen besluiten dat er in x = 1 een perforatie is:

aantal keer x = 1 nulpunt teller︸︷︷︸. . .

≥ aantal keer x = 1 nulpunt noemer︸︷︷︸. . .

3 Algemene werkwijze. Om van een rationale functie f alle verticale asymptoten en perforaties x = a aan degrafiek van f te vinden, gaan we als volgt te werk.

(1) Bepaal dom f . De kanshebbers voor a zijn de randpunten van dom f die niet tot dom f behoren.

(2) Voor elke kanshebber gaan we na:

. als aantal keer x = a nulpunt teller < aantal keer x = a nulpunt noemer dan is de rechte x = a eenV.A. aan de grafiek van f ,

. als aantal keer x = a nulpunt teller ≥ aantal keer x = a nulpunt noemer dan bereikt de grafiek vanf een perforatie in x = a.

I-55

3 Modelvoorbeeld. Bepaal algebraısch alle eventuele verticale asymptoten en/of perforaties aan de grafiek vande functie

f(x) =2x3 − 8x2

x(x− 4)2.

Oplossing.

Horizontale asymptoten en schuine asymptoten


f(x) =−3x+ 5

2x2 + x+ 1.

Om alle horizontale en schuine asymptoten van f te vinden, gaan we voorlopig als volgt te werk.


x

y


Als x→ +∞ dan f(x)→ . . . of nog limx→+∞

f(x) = . . .

Dus de rechte . . . . . . is een H.A. voor x→ +∞ aan de grafiek van f .

Als x→ −∞ dan f(x)→ . . . of nog limx→−∞

f(x) = . . .

Dus de rechte . . . . . . is een H.A. voor x→ −∞ aan de grafiek van f .


limx→+∞

f(x) = limx→+∞

−3x+ 5

2x2 + x+ 1= . . .

limx→−∞

f(x) = limx→−∞

−3x+ 5

2x2 + x+ 1= . . .

Zo zien we in hoe we uit het functievoorschrift meteen kunnen besluiten dat y = 0 een H.A. is:

graad teller︸︷︷︸. . .

< graad noemer︸︷︷︸. . .

I-56


f(x) =3x2 + 5

x2 − x .Om alle horizontale en schuine asymptoten van f te vinden, gaan we voorlopig als volgt te werk.


x

y



f(x) = . . .

Dus de rechte . . . . . . is een H.A. voor x→ +∞ aan de grafiek van f .


f(x) = . . .

Dus de rechte . . . . . . is een H.A. voor x→ −∞ aan de grafiek van f .

. Om in te zien waarom de rechte y = 3 een H.A. is, schrijven we f(x) als de som van een veelterm en eenechte rationale vorm

f(x) =3x2 + 5

x2 − x = . . .

Zo kunnen we eenvoudig de volgende limieten berekenen:

limx→±∞

f(x) = limx→+∞

3x2 + 5

x2 − x = . . .

Dus als we f(x) als de som van een veelterm en een echte rationale vorm schrijven, wordt het gedrag oponeindig van f bepaald door het gedrag op oneindig van die veelterm. Omdat in dit geval de graad van deteller gelijk is aan de graad van de noemer, is die veelterm een getal, hetgeen een horizontale asymptootoplevert.

Het gedrag op oneindig wordt dus bepaald door de hoogstegraadsterm van de teller en de hoogstegraads-term van de noemer, zodat we de berekening van deze limieten wat bondiger kunnen opschrijven:

limx→+∞

f(x) = limx→+∞

3x2 + 5

x2 − x = . . .

Zo zien we in hoe we uit het functievoorschrift meteen kunnen besluiten dat y = 3 een H.A. is:


= graad noemer︸︷︷︸. . .

enhoogstegraadsterm teller

hoogstegraadsterm noemer= . . .

I-57


f(x) =x2 + 2x

x− 1

Om alle horizontale en schuine asymptoten van f te vinden, gaan we voorlopig als volgt te werk.


x

y



f(x) = . . . /∈ R

Dus er is geen H.A. voor x→ +∞ aan de grafiek van f .


f(x) = . . . /∈ R

Dus er is geen H.A. voor x→ −∞ aan de grafiek van f .

. Toch heeft deze functie f een specifiek gedrag als x→ ±∞. Om dit gedrag te ontdekken, schrijven we f(x)als de som van een veelterm en een echte rationale vorm:

f(x) =x2 + 2x

x− 1= . . .

Op deze manier zien we in dat

limx→±∞

Åf(x)− (x+ 3)

ã= limx→±∞

. . .

Als x evolueert naar ±∞ dan nadert f(x) naar x + 3. Daarom noemen we de rechte y = x + 3 eenschuine asymptoot voor x→ ±∞ aan de grafiek van f .

Dus als we f(x) als de som van een veelterm en een echte rationale vorm schrijven, wordt het gedrag oponeindig van f bepaald door het gedrag op oneindig van die veelterm. Omdat in dit geval de graad vande teller een meer is dan de graad van de noemer, is die veelterm lineair, hetgeen een schuine asymptootoplevert.

Zo zien we in hoe we uit het functievoorschrift meteen kunnen besluiten dat er een S.A. is:


= graad noemer︸︷︷︸. . .

+ 1

I-58

3 Algemene werkwijze. Om van een rationale functie f alle horizontale en schuine asymptoten aan de grafiekvan f te vinden, gaan we als volgt te werk.

. Als graad teller < graad noemer dan is de rechte y = 0 een H.A. voor x→ ±∞ aan graf f .

. Als graad teller = graad noemer dan is de rechte y = a een H.A. voor x→ ±∞ aan graf f , waarbij

f(x) = gag︸︷︷︸getal

+ gg(x)g︸︷︷︸echte rationale vorm

In de praktijk is

a =hoogstegraadsterm teller

hoogstegraadsterm noemer

. Als graad teller = graad noemer +1 dan is de rechte y = ax+ b een S.A. voor x→ ±∞ aan graf f , met

f(x) = gax+ bg︸︷︷︸veelterm graad 1

+ gg(x)g︸︷︷︸echte rationale vorm

In de praktijk is de veelterm ax+ b het quotient bij deling van teller door noemer (staartdeling).

. Als graad teller > graad noemer +1 dan is er geen H.A. en geen S.A. voor x→ ±∞ aan graf f .

3 Modelvoorbeeld. Bepaal algebraısch alle eventuele horizontale en schuine asymptoten.

(a) f(x) =2x2 − 5x+ 2

0, 3x2 − 5

(b) f(x) =x2 + 3

2x+ 4

Oplossing.

Nabeschouwing. De grafiek van een functie kan niet tegelijk een horizontale asymptoot voor x → +∞ en eenschuine asymptoot voor x→ +∞ bereiken. Immers, mocht dit toch het geval zijn dan zou . . .

I-59

Oefeningen

3 Rationale functies Basis Verdieping Uitbreiding? ?? ? ?? ? ??

3.1 Rationale vormen 1234

1234

45

4 6 7

3.2 Rationale vergelijkingen en ongelijkheden 89

10 11 121314

1516

1718

3.3 Definitie van een rationale functie en voorbeelden 1920

212223

24 2526

27 28

3.4 Algebraısch bepalen van domein, nulwaarden entekentabel

29 30 31 32 33

3.5 Homografische functies 34 353637

38 39 40 4142

3.6 Asymptoten van rationale functies 43 44 45 4647

48 49


Oefening 1. Herleid telkens tot een rationale vorm en vereenvoudig zoveel mogelijk.

B (a)4

x− 2+

3x

x+ 3− 1− 2x

x2 + x− 6B? (c)

1− x− 2

x+ 2x+ 2

x− 2− 1

B (b)1

x+

2

x2− 3

x2 − x B? (d)

1

x2− 1

a21

x− 1

a

waarbij a ∈ R0

Oefening 2. Vereenvoudig zoveel mogelijk de volgende rationale vormen.

B (a)x2 + 5x+ 6

7(x+ 3)B (c)

8− x3x2 − 4x+ 4

B (b)25− x2x+ 5

B? (d)2x2 − 11x+ 5

−4x3 + 24x2 − 21x+ 5

Oefening 3. Schrijf de volgende rationale vormen als de som van een veelterm en een echte rationale vorm.

B (a)x5 − 3x

xB (c)

x2 − 3x

x3 − 7

B? (b)2x4 + 5x3 − 4x2 − 7x+ 2

x2 + x− 3B (d) 5x2 − 17

Oefening 4. Waar of vals? Beoordeel de volgende uitspraken. Indien vals, geef een tegenvoorbeeld of argumenteerwaarom vals.

B (a) Elke rationale vorm is een veelterm.

B? (b) Een constante veelterm is een echte rationale vorm.

B?? (c) Elke rationale vorm is te schrijven als de som van een veelterm en een echte rationale vorm.

V (d) Elke rationale vorm is te schrijven als de som van een echte en een onechte rationale vorm.

B?? Oefening 5 (toelatingsexamen Koninklijke Militaire School 1988).Werk uit en vereenvoudig:

x2 − 6x+ 9

x2 − 4:x2 − 5x+ 6

−x+ 2+

1

x+ 2.

I-60

V? Oefening 6 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2005 tweede ronde).Als x, y en z > 0 en xyz = 1, dan is

1

1 + x+ xy+

1

1 + y + yz+

1

1 + z + xz

gelijk aan

(A)x+ y + z

3(B) 1 (C)

3

2(D) 2 (E)

xy + yz + xz

3

U?? Oefening 7 (splitsen in partiele breuken). Elke echte rationale vorm kan geschreven worden als een som vanmeer elementaire echte rationale vormen, zoals de volgende voorbeelden duidelijk maken:

x+ 2

(x− 3)(x+ 4)=

5/7

x− 3+

2/7

x+ 4,

3x+ 1

(x+ 3)2=

3

x+ 3+

−8

(x+ 3)2en

1

(x− 1)(x2 − 2x+ 2)=

1

x− 1+

1− xx2 − 2x+ 2

.

Dit staat bekend als het splitsen in partiele breuken. Splits de rationale vormx2 + 2x− 1

(x− 1)2(x+ 2)in partiele breuken.


B Oefening 8. Bepaal algebraısch de oplossingen van de volgende rationale vergelijkingen.

(a)1

x+ 4+

1

x− 4=

8

x2 − 16(b)

x+ 3

x+ 2− x+ 2

x+ 3=

x2 − 75

x2 + 5x+ 6

B Oefening 9. Bepaal algebraısch de oplossingen van de rationale ongelijkheid

t2 − 9

t2 − 25> 0.

B? Oefening 10. Bepaal algebraısch de oplossingen van de volgende rationale ongelijkheden.

(a)x

2x− 1≥ 2x+ 1

x(c)

(3x− 1)(x+ 2)

x3 + 8≤ 0

(b)6x2 + 5x+ 5

x2 + x+ 1< 7 (d)

x3 − 1

4x3 + 4x2 + x< 0

B?? Oefening 11. Bepaal algebraısch de oplossingen van de rationale vergelijking

8x+ 12 +5x3 + 13x2 + 6x

x2 + x= 2x+

x3 − 3x+ 2

x2 − 1.

V Oefening 12. Voor twee getallen is de som van hun omgekeerde gelijk aan 7/10. Bepaal die twee getallen als je weetdat de ene 1 groter is dan het tweevoud van de andere en die twee getallen een tegengesteld teken hebben.

V Oefening 13 (toelatingsexamen Burgerluchtvaartschool).Los het volgend stelsel op in R (duid de oplossingsverzameling aan op een getallenas).

(−x+ 5)(x2 + 5x− 6)

−x2 + 4x− 5≤ 0

x+ 5

x− 2>x+ 26

x2 − 4

V Oefening 14. Bepaal alle waarden voor A ∈ R waarvoor de rationale vergelijking

3x

x+ 2+ 2 =

2

Ax+ 1

precies een oplossing heeft.

V? Oefening 15. Een boot vaart in stilstaand water aan een snelheid van 3 km/u. In een rivier met onbekende stroom-snelheid, doet de boot er twee keer zo lang over om 60 kilometer stroomopwaarts (tegen de stroom in) te varen dande 60 kilometer stroomafwaarts (met de stroom mee). Bepaal de stroomsnelheid van de rivier.

V? Oefening 16. De snelheid van een goederentrein is 19 kilometer per uur minder dan die van een passagierstrein. Depassagierstrein legt 544 kilometer af in dezelfde tijd als de goederentrein 392 kilometer aflegt. Bepaal de snelheid vande goederentrein.

I-61

V?? Oefening 17. Karel is een gedreven roeier en wil zijn kunsten tonen op een rivier waarvan de stroomsnelheid 3 km/uis. Om een afstand van 2 km stroomopwaarts en daarna 2 km stroomafwaarts te roeien aan constante snelheid heeftKarel in totaal 42 minuten nodig. Aan welke snelheid roeit Karel, mocht hij in stilstaand water roeien?

V?? Oefening 18. Caroline houdt van sporten. Ze fietst een helling op, aan de top blijkthaar gemiddelde snelheid (over de rit van beneden naar boven) 6 km/u te zijn. Hoesnel moet Caroline terug naar beneden fietsen om ervoor te zorgen dat haar totalegemiddelde snelheid (dus over de ganse rit, van beneden naar boven en terug) gelijkis aan 12 km/u?


B Oefening 19. Gegeven is de functie

f(x) = −3x− 6

4x+ 6.

Bepaal f(−x− 3) en vereenvoudig zoveel mogelijk.

B Oefening 20. Bepaal grafisch alle snijpunten van de grafiek van f(x) = 4− x2 metde grafiek van g(x) = 1/x3.

B? Oefening 21. Bepaal grafisch de oplossingen van de vergelijking

1

x+ 2− x

2− x =x+ 6

x2 − 4.

B? Oefening 22. Welke van de volgende rationale functies zijn even, oneven of geen van beide? Ga algebraısch na.

(a) f(x) =1

x2 + 1(b) f(x) =

x

x2 + 1

B? Oefening 23. Gegeven is de functie

f(x) =1

x+

1

x− 4.

(a) Bepaal grafisch oplossingen van de vergelijking f(x) = 2.

(b) Is 2 ∈ bld f? Verklaar je antwoord.

B?? Oefening 24. Een sporter krijgt injecties met een spierversterkend product. De concentratie in het bloed wordtgegeven door

C(t) =15t

t2 + 3

met C de concentratie (in milligram per liter) en t de tijd (in uren). Het tijdstip t = 0 stelt het moment van inspuitingvoor. Indien de concentratie lager dan 2 mg/l wordt dan treedt een omgekeerd effect op (spieratrofie). Indien deconcentratie van het middel minder dan 0, 1 mg/l bedraagt dan is het spierversterkend product moeilijk opspoorbaar.

(a) Na hoeveel tijd is er een nieuwe injectie nodig, wil men geen versnelde spierafbraak verkrijgen? Afronden tot op1 seconde nauwkeurig.

(b) Hoe lang blijft het product opspoorbaar?

V Oefening 25 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2008 eerste ronde).

De oplossingenverzameling van4

x≤ 2 is

(A) R \ [0, 2] (B) ]0, 2] (C) [2,+∞[ (D) ]−∞,−2]∪ ]0,+∞[ (E) ]−∞, 0[ ∪ [2,+∞[

V Oefening 26 (toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Universiteit Gent 1984).

Gegeven is f(r) =1

r2.

(a) Bepaal f(r)− f(r + 1).

(b) Bepaaln∑

r=1

2r + 1

r2(r + 1)2.

V? Oefening 27. In een plaatselijke krant betaal je voor een advertentie 20 euro per cm2. De marges tussen tweeadvertenties zijn boven en onder 0, 5 cm, links en rechts 0, 25 cm. Die marges worden uiteraard in de prijs verrekend.We wensen een rechthoekige advertentie te plaatsen die 30 cm2 (exclusief marges) inneemt. Bepaal grafisch de afme-tingen van de rechthoek waarvoor de kostprijs het laagst is.

V?? Oefening 28. Een fabrikant van conservenblikken maakt cilindervormige blikjes (met straal r en hoogte h) meteen inhoud van 1 dm3. Het materiaal van de onder-en bovenkant kost 0, 20 euro per dm2 en het materiaal van decilindermantel kost 0, 10 euro per dm2. Voor welke afmetingen zijn de materiaalkosten minimaal? Los op met behulpvan je grafische rekenmachine, afronden op 1 mm nauwkeurig.

I-62



B Oefening 29. Gegeven is de functie

f(x) =x2 − 1

x2 − x.

(a) Bepaal algebraısch het domein, alle nulwaarden, polen en de tekentabel van de functie f .


(c) Bepaal het beeld van de functie f .

B? Oefening 30. Gegeven is de functie

f(x) =x4 + 4x3

−3x2 − 10x+ 8.

(a) Bepaal algebraısch het domein, alle nulwaarden, polen en de tekentabel van de functie f .


(c) Beschrijf de eventuele asymptoten en perforaties aan de grafiek van f . Hanteer de correcte notaties.

B?? Oefening 31. Gegeven is de functie

f(x) =−x3 + 9x2 − 22x+ 56

x3 − 2x2 − 5x+ 6.

(a) Bepaal algebraısch het domein, alle nulwaarden en polen van de functie f .

(b) Bepaal algebraısch de x-waarden waarvoor de grafiek van f boven de x-as ligt.

(c) Beschrijf de eventuele asymptoten en perforaties aan de grafiek van f . Hanteer de correcte notaties.

V Oefening 32. Gegeven is een rationale functie

f(x) =x2 + 12x+ 35

x3 − 6x2 + 11x+mwaarbij m ∈ R.

Bepaal de waarde(n) van m zodat −5 /∈ dom f .

V? Oefening 33. Een rationale functie f heeft de volgende eigenschappen:

. nulwaarden x = 2 (enkelvoudig) en x = −4 (dubbel) en

. polen x = −1 en x = 1 (beide enkelvoudig) en

. f(0) = 4.

Meer nulwaarden of polen zijn er niet. Bepaal het functievoorschrift van f .


B Oefening 34. Welke van de volgende functies zijn homografische functies? Motiveer je antwoord.

(a) f(x) =4x− 4

x+ 1(c) f(x) = 2− 7

3(x− 2)

(b) f(x) =

Å2x− 11

5x− 9

ã2(d) f(x) =

3x− 2

9− 6x

B? Oefening 35. Bepaal domein, beeld en alle asymptoten aan de grafiek van de volgende homografische functies.

(a) f(x) =2x+ 5

x+ 3(c) f(x) =

−7x

2x+ 3

(b) f(x) =3x− 7

x− 3(d) f(x) =

−5x+ 2

3− xB? Oefening 36. Bepaal telkens welke transformaties je moet uitvoeren op de functie g(x) = 1/x om de functie f(x) te

verkrijgen. Wees volledig.

(a) f(x) =2x+ 5

x+ 3(c) f(x) =

−7x

2x+ 3

(b) f(x) =3x− 7

x− 3(d) f(x) =

−5x+ 2

3− x

I-63

B? Oefening 37. De volgende grafieken stellen de grafiek van een homografische functie y = f(x) voor. Bepaal telkenseen mogelijk functievoorschrift (enkel roosterpunten gebruiken).

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

y

x

(a)

y = f(x)

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

y

x

(b)

y = f(x)


f(x) =−4x+ 2

7x− 6.

(a) Toon aan dat f een homografische functie is.

(b) Schets, zonder gebruik te maken van je grafische rekenmachine, de grafiek van de functie f .

(c) Controleer je grafiek in (b) door de grafiek van f te plotten.

(d) Bepaal dom f en bld f .

(e) Welke transformaties moet je uitvoeren op de functie g(x) =1

xom de functie f(x) te verkrijgen?

V Oefening 39. Van de grafiek van de functie

f(x) =ax+ 5

bx− 6waarbij a, b ∈ R en b 6= 0

is de rechte x = −2 een verticale asymptoot en de rechte y = 4 een horizontale asymptoot.

(a) Bepaal a en b.

(b) Schets de grafiek van f .

V? Oefening 40. Bepaal telkens een voorschrift van de homografische functie f die voldoet aan de gegeven voorwaarden.

(a) Bepaal f zodat −4 een pool is, 3 een nulwaarde is en de rechte y = 2 een asymptoot is.

(b) Bepaal f zodat −1 een nulwaarde is, de rechte x = 5 een asymptoot is en P (4, 10) ∈ graf f .

U? Oefening 41 (symmetrie-middelpunt van een homografische functie). Een punt S(a, b) is een symmetrie-middelpunt van de grafiek van een functie f indien

∀x ∈ R :f(a− x) + f(a+ x)

2= b

Bewijs dat voor een willekeurige homografische functie f het snijpunt van de asymptoten een symmetrie-middelpuntvan de grafiek van f is.

U? Oefening 42 (symmetrie-rechten van een homografische functie). Een rechte s is een symmetrie-rechte vande grafiek van een functie f indien voor elk punt P van de grafiek van f geldt dat het spiegelbeeld van P om de rechte

s opnieuw tot de grafiek van f behoort. Geef voor een algemene homografische functie f(x) =ax+ b

cx+ dde vergelijking

van de twee symmetrie-rechten.

I-64


B Oefening 43 (toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven 1997).Welke van de volgende beweringen is juist? De rationale functie

f : x 7→ y(x) =2x2 − 3x+ 4

x− 1

(A) heeft de rechte x = −1 als verticale asymptoot.

(B) heeft de rechte x = 1 als horizontale asymptoot.

(C) heeft de rechte y = 2x+ 1 als schuine asymptoot.

(D) heeft de rechte y = 2x− 1 als schuine asymptoot.

B? Oefening 44. Gegeven is de functie f(x) =5x2 − 25x+ 30

x2 − 6x+ 9.


(b) Vereenvoudig - indien mogelijk - het functievoorschrift van f .

(c) Bepaal algebraısch alle eventuele perforaties en/of verticale asymptoten aan de grafiek van f .

(d) Bepaal algebraısch alle eventuele horizontale en/of schuine asymptoten aan de grafiek van f .

(e) Schets de grafiek van f en duid de informatie aan die je in (c) en (d) gevonden hebt.

B?? Oefening 45. Gegeven is de functie f(x) =x3 − 3x2 − 4x+ 12

x2 − 4x+ 3.


(b) Vereenvoudig - indien mogelijk - het functievoorschrift van f .

(c) Bepaal algebraısch alle eventuele perforaties en/of verticale asymptoten aan de grafiek van f .

(d) Bepaal algebraısch alle eventuele horizontale en/of schuine asymptoten aan de grafiek van f .

(e) Schets de grafiek van f en duid de informatie aan die je in (c) en (d) gevonden hebt.

V Oefening 46 (toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven 1997).Welke van de volgende beweringen is juist? De rationale functie

f : x 7→ y(x) =x2 − 2x+ 1

x

(A) heeft de rechte y = 0 als asymptoot.

(B) vertoont geen lokale extrema.

(C) heeft de rechte y = x− 2 als schuine asymptoot.

(D) heeft de rechte y = 2x als schuine asymptoot.

V Oefening 47 (toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven 2000).Welke van de volgende beweringen is juist? De rationale functie

f : x 7→ y(x) = x2 − 27

x

(A) heeft de rechte y = 0 als asymptoot.

(B) vertoont een (relatief) minimum.

(C) heeft de rechten y = x en y = −x als schuine asymptoot.

(D) heeft een schuine asymptoot.

V? Oefening 48. Gegeven is de functie

f(x) =x2 − x+ 5 + p

x− 3waarbij p ∈ R.

(a) Bepaal de waarde(n) van p waarvoor de grafiek van f een perforatie bereikt.

(b) Bepaal voor de waarde van p die je vond in (a) alle eventuele asymptotenaan de grafiek van f .

I-65

U Oefening 49 (parabolische asymptoten). Gegeven is een rationale functie f . Een parabool y = ax2 + bx + c iseen parabolische asymptoot voor x→ ±∞ aan de grafiek van f als lim

x→±∞

(f(x)− (ax2 + bx+ c)

)= 0.

(a) Toon aan y = x2 een parabolische asymptoot is aan de grafiek van de functie f(x) =x3 + 1

x.

(b) Bepaal een algemene werkwijze voor het vinden van een parabolische asymptoot aan de grafiek van een rationalefunctie.

(c) Bepaal alle parabolische asymptoten aan de grafiek van de functie

f(x) =3x6 − 2x5 + 7x4 + 2x3 + 24x2 − 21x+ 56

x4 + 8.

Inzicht in biochemie

Volgend voorbeeld illustreert dat homografische functies gebruikt worden om (bio)chemische reacties te modelleren.7

Een enzym is een eiwit dat de rol speelt van een katalysator: het beınvloedt de snelheid van een bepaalde chemischereactie zonder daarbij zelf verbruikt te worden. Bij zo’n enzymatische reactie worden de moleculen aan het begin vanhet proces, substraten genoemd, omgezet in andere moleculen, producten genoemd. Bijna alle chemische reactiesdie plaatsvinden in cellen van organismen hebben enzymen nodig om voldoende moleculen te produceren, teneindeleven mogelijk te maken.

enzymatische reactie

Het was de verdienste van Victor Henri (1902) om in een enzymatischereactie twee stappen te onderscheiden:

Stap 1. het enzym (E) verbindt zich met het substraat (S) en vormt hetzogenaamde enzym-substraat complex (ES),

Stap 2. het enzym katalyseert de chemische reactie die het product (P)oplevert.

De studie van de snelheid waarmee de enzymen zich met het substraat verbinden en omzetten in het product is eenbelangrijk onderdeel van de biomedische kinetica. Leonor Michaelis en Maud Leonora Menten (1909) stelden eenmodel voor die de snelheid y van enzymatische reacties beschrijft in functie van de concentratie x van het substraat:

y =Ax

x+Kmet A,K ∈ R+.

Deze functies staan bekend als de Michaelis-Menten functies. Zij vallen onder de klasse van de homografischefuncties, hun grafiek neemt de volgende vorm aan:

(reactiesnelheid) y

x (concentratie substraat)K

A

2

Ay =

Ax

x+K

De horizontale asymptoot heeft als vergelijking y = A. Hoe groter de concentratie van het substraat, hoe meer desnelheid van de reactie bij de waarde A komt te liggen, zonder deze ooit te evenaren of te overstijgen. Deze waardeA wordt het saturatieniveau genoemd omdat er verzadiging optreedt naarmate de snelheid naar A nadert.De waarde K wordt gekarakteriseerd door de eigenschap

y(K) =A ·KK +K

=A

2

en wordt daarom de halfsaturatieconstante genoemd. Het meet de affiniteit van het substraat tot het enzym. Hoekleiner de halfsaturatieconstante K, hoe groter de affiniteit en hoe sneller de reactiesnelheid het saturatieniveau Azal bereiken (in functie van de concentratie van het substraat).

7Geınspireerd door [47, pagina 11], [165, voorbeeld 1.6] en [245, MichaelisMenten kinetics]. De biochemie is de wetenschap die desamenstelling en samenwerking van chemische verbindingen die bijdragen tot de structuur van de organismen en hun stofwisselingprocessenonderzoekt. Biochemische kinetica bestudeert de concentraties van chemische substanties in biologische systemen.

I-66

Hoofdstuk 4

Irrationale functies

De som, het verschil, product en quotient van twee rationale vormen is opnieuw een rationale vorm. Maar eenvierkantswortel (of in het algemeen een n-de machtswortel) van een rationale vorm is niet noodzakelijk een rationalevorm. Zij geven aanleiding tot een nieuwe klasse van functies: de zogenaamde irrationale functies.

4.1 Definitie van een irrationale functie en voorbeelden

3 Definitie. Een irrationale functie is een functie f waarbij in het functievoorschrift f(x) de variabele x ondereen wortelteken voorkomt (na vereenvoudiging).1

3 Voorbeeld 1. We beschouwen de volgende functies:

(a) f(x) =√x, g(x) =

3√

16− x2 en h(x) =

√169− x2 − x− 7√

xzijn irrationale functies,

(b) f(x) = −3x2 + 2x− 6 en g(x) =7x2 − 3

x−√

2zijn geen irrationale functies,

(c) f(x) =3√x3 = x is geen irrationale functie, g(x) =

√x2 = |x| is wel een irrationale functie.

3 Voorbeeld 2. Een gebouw moet verlicht worden met een lichtstraal, die eerst over een kleinere muur moet.Die muur is 10 meter hoog en staat 8 meter parallel met het gebouw.

(a) Druk de lengte van de lichtstraal L uit in functie van de afstand x van de voet van de lichtstraal tot dekleinere muur.

(b) Wat is de kortste lengte voor de lichtstraal die men kan gebruiken? Los op met behulp van je grafischerekenmachine.

Oplossing. We maken een schets van de situatie:

grond

10

L

y

gebouw

x 8

(a) Uit de stelling van Pythagoras volgt L =√

(x+ 8)2 + y2. Gelijkvormige driehoeken leveren de gelijkheid

y

10=x+ 8

xzodat y =

10(x+ 8)

x.

Substitutie geeft het voorschrift van L in functie van x:

L(x) =x+ 8

x

√x2 + 100.

(b) We plotten de grafiek van L en bepalen het minimum. De minimale waarde voor L is . . .

1Onder zo’n vereenvoudiging bedoelen we het toepassen van de algebraısche operaties optelling, aftrekking, vermenigvuldiging, deling,machtsverheffing en worteltrekking. Zo wordt

3√x3 = x aanzien als een vereenvoudiging door middel van algebraısche operaties, maar√

x2 = |x| niet.

I-67


4.2 Irrationale vergelijkingen

Een vergelijking (of ongelijkheid) waarbij het verschil van beide leden het voorschrift van een irrationale functievoorstelt, noemen we een irrationale vergelijking (of ongelijkheid). Hieronder laten we zien hoe je zo’n irrationalevergelijking kan oplossen.

strandcabines

3 Modelvoorbeeld 1. De families Jacobs en Swinnen bezitten beiden een ap-partement aan zee. Ze willen samen een strandcabine huren. De familie Jacobswoont op 500 m van het strand, de familie Swinnen op 1 km. Hun appartemen-ten liggen op 1, 3 km van elkaar (in vogelvlucht). Ze willen een strandcabine opde kustlijn, die op gelijke afstand van de twee appartementen ligt. Waar op dekustlijn moet de strandcabine komen? Los eerst op met behulp van je grafischerekenmachine, daarna algebraısch.

kustlijn

500m

1, 3km

1kmJacobs

Swinnen

cabine

xOplossing.

3 Modelvoorbeeld 2. Los de volgende irrationale vergelijking algebraısch op en controleer daarna je oplossingen:

√2x− 5 = 10− x

Oplossing.

I-68


4.3 Algebraısch bepalen van domein, nulwaarden en tekentabel

Om het domein, de nulwaarden en de tekentabel algebraısch te bepalen, moeten we terugvallen op de definities uitHoofdstuk 1. Daarnaast maken we, voor het oplossen van een irrationale vergelijking f(x) = 0, gebruik van dewerkwijze uit de vorige paragraaf. We laten in drie modelvoorbeelden zien hoe je in de praktijk te werk gaat.

3 Modelvoorbeeld 1. Gegeven is de irrationale functie

f(x) =x+√

2x− 43√

3x− 9.


(b) Plot de grafiek van f met je grafische rekenmachine, en neem een correcte schets over op je blad.

(c) Geef het beeld van f . Hanteer de correcte notaties.

Oplossing. Het is een goed idee om eerst de grafiek van f te plotten. Zo krijg je een zicht op de resultaten dieje kan verwachten.

3 Modelvoorbeeld 2. Bepaal algebraısch alle nulwaarden van de irrationale functie

f(x) = 3√x2 − 5 + 2x.

Controleer nadien met behulp van je grafische rekenmachine, en neem een correcte schets over op je blad.

Oplossing.

I-69

http://geogebra.org/m/mY6HPaUd

http://geogebra.org/m/mke3VUZV

3 Modelvoorbeeld 3. Gegeven is de irrationale functie

f(x) =

√169− x2 − x− 7√

x

(a) Bepaal algebraısch het domein, de nulwaarden en de tekentabel van f .

(b) Plot de grafiek van f met je grafische rekenmachine, en neem een correcte schets over op je blad.

(c) Geef het beeld van f . Hanteer de correcte notaties.

Oplossing.

Nabeschouwing. Net zoals bij rationale functies is vereenvoudigen van het functievoorschrift uit den boze alsdaarmee het domein beınvloed wordt, omdat men zo de grafiek van de functie wijzigt en dus ook de functie zelf.Zo zijn bijvoorbeeld de volgende irrationale functies verschillend omdat hun domein verschillend is (en dus ookhun grafiek):

f(x) =

…x

x− 16= g(x) =

√x√

x− 1

dom f = . . . dom g = . . .

Herhaal dat voor twee functies f en g

f = g ⇔ dom f = dom g en ∀x ∈ dom f : f(x) = g(x)

I-70

http://geogebra.org/m/B4FD9Dzn

Oefeningen

4 Irrationale functies Basis Verdieping Uitbreiding? ?? ? ?? ? ??

4.1 Definitie van een irrationale functie en voorbeel-den

1 23

45

6 7 8

4.2 Irrationale vergelijkingen 9 9 910

91112

9 13

4.3 Algebraısch bepalen van domein, nulwaarden entekentabel

141516

15161718

151619

152021

22


B Oefening 1. Beschouw de functie f(x) =

∣∣∣∣x+1

x

∣∣∣∣.

(a) Is f een irrationale functie? Verklaar.

(b) Bepaal de oplossingen van f(x) ≤ 6.

B? Oefening 2. Gecompliceerde technologische producten zoals auto’s worden in series geproduceerd. Omdat het pro-ductieproces steeds efficienter gemaakt wordt, daalt het aantal arbeidsuren y per auto met het serienummer n. Vooreen bepaald type auto geldt

y(n) =c

100√n83

waarbij c ∈ R.

(a) Bepaal c als in de eerste serie 1000 werkuren nodig zijn.

(b) Hoeveel uren zijn er in de tiende serie nodig om een auto te produceren?

B? Oefening 3. Gegeven zijn de functies f(x) =√

3x− 1 en g(x) = 2x.

(a) Plot de grafieken van f en g in een assenstelsel en neem een schets over op je blad.

(b) Los grafisch op:√

3x− 1 = 2x.

(c) Los grafisch op:√

3x− 1 ≤ 2x.

B?? Oefening 4. Een bakker gebruikt voor het berekenen van de kosten van het bakken van een meergranenbrood deformule

K = 0, 6 q +√

0, 5 q + 3500

waarbij K staat voor de dagelijkse kosten in euro en q voor het aantal meergranenbroden dat per dag gebakken enverkocht wordt.

(a) Neem aan dat deze broden voor 1, 5 euro per stuk verkocht worden. Geef de formule van de omzet O per dag infunctie van q. Geef ook de formule van de winst W per dag.

(b) Hoeveel meergranenbroden moet de bakker per dag verkopen om winst te maken?

B?? Oefening 5. In de relativiteitstheorie is de massa m van een voorwerp geen constante grootheid, maar een variabelegrootheid die afhangt van de snelheid v van het voorwerp volgens

m(v) = m0c√

c2 − v2met c = 299 792, 458km/s de lichtsnelheid en m0 de massa van het voorwerp in rust. Welke snelheid moet een voorwerphebben opdat zijn massa het dubbel van zijn rustmassa is?

V Oefening 6. Een olieplatform op zee is 10 km van de kustlijn verwijderd. Door een menselijke fout lekt olie uit hetplatform aan een snelheid van 90 000 m3 per uur en vormt een cirkelvormige laag met een dikte van 1 cm.

(a) Tot welke afstand van het boorplatform reikt de olievlek vijf uur na het ontstaan van het lek?

(b) Toon aan dat de straal r (in meter) van de olievlek in functie van de tijd t (in uur) gegeven wordt door hetvoorschrift

r(t) = 3000

…t

π.

(c) Na hoeveel uur spoelt de eerste olie aan de kust? Bepaal algebraısch en controleer met je grafische rekenmachine.

I-71

V? Oefening 7. Een oliepijplijn moet punt A met punt B verbinden. Het punt A ligt aan de ene oever van een stroomdie 25 km breed is, punt B aan de andere kant van de oever. De afstand van A tot B is 50 km. Een leiding trekkenonder water kost 25 000 euro per kilometer, aan land is de kostprijs 13 000 euro per kilometer.

2550

A

C BD

x

(a) Bepaal de kostprijs voor het leggen van de pijplijn volgens het traject AB.

(b) Bepaal de kostprijs voor het leggen van de pijplijn volgens het traject ACB.

(c) Waar moet het punt D aan de andere kant van de oever liggen opdat de kostprijs voor het leggen van de pijplijnvolgens het traject ADB zo klein mogelijk is? Los op met behulp van je grafische rekenmachine.

U Oefening 8 (machtsfuncties). Een machtsfunctie is een functie f waarbij het functievoorschrift van de volgendevorm is:

f(x) = a xr waarbij a, r ∈ R.

Meestal beperkt men het domein van een machtsfunctie tot x > 0, omdat voor sommige waarden van r, zoals r = 1/2,de uitdrukking xr niet gedefinieerd is voor x < 0. En we sluiten x = 0 uit omdat 00 niet gedefinieerd is. Merk op dat feen veeltermfunctie is indien r ∈ N, een rationale functie is indien r ∈ Z en een irrationale functie is indien r ∈ Q \ Z.Voorbeelden van machtsfuncties zijn:

. de formule A ≈ 4, 84V 2/3 = 4, 843√V 2 benadert de oppervlakte A van een bol in functie van zijn volume V ,

. de bloedstroomsnelheid (in liter per seconde) door het hart van een mens is bij benadering evenredig met x0,7,waarbij x staat voor het gewicht van die persoon.

Volgende figuur toont de grafieken van enkele machtsfuncties. Bepaal de coordinaten van het snijpunt P .

y

x

y = x3

y = x2

y = x

y = x1/2 =√x

y = x1/3 = 3√x

P

I-72


Oefening 9. Los de volgende irrationale vergelijkingen algebraısch op.

B (a)√

2x2 + 2 = 2x+ 2 B?? (f)»

2 +√x− 5 =

√13− x

B (b) x− 2 =√x2 − x+ 1 B?? (g)

√x− 3 = 3−√x

B (c)√

6x+ 1 =√

7x+ 4 V (h) 1 +x+ 1√x2 + 2x

= 0

B? (d) x+√

5x+ 10 = 8 V (i)√x+ 5−

√x− 2 = 1

B? (e) x−√

7− x = 3 V? (j)√

2x+ 1−√x− 1 = 2

B?? Oefening 10 (toelatingsexamen Koninklijke Militaire School 1988).Los de volgende vergelijking op naar x ∈ R.

√x2 − 3x+ 2 = |x| − 2

V Oefening 11 (toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Katholieke Universiteit Leuven).Bepaal de oplossingen in R van

3√x+

3√x2 + x = 0.

V Oefening 12. Los de volgende irrationale vergelijking algebraısch op:

√3x+ 1−

√x− 4 =

√x+ 1.

V?? Oefening 13 (toelatingsexamen Burgerluchtvaartschool).Los op in het reele domein: √

−x2 − x ≤ 2x+ 1.


B Oefening 14. Bepaal algebraısch de nulwaarden van de functie f(x) = x−√

8− x2.

Oefening 15. Bepaal algebraısch het domein, de nulwaarden, snijpunten met de assen en de tekentabel van devolgende functies. Controleer je resultaten met behulp van je grafische rekenmachine. Maak telkens een schets van degrafiek op je blad.

B (a) f(x) =√x2 − 4 B? (d) f(x) =

√50− x2 + x− 6√

36− x2

B (b) f(x) =∣∣∣5−

√8 + 2x

∣∣∣ B?? (e) f(x) =

√x− 3√

2x+ 2−√x− 1− 2

B? (c) f(x) =1

x√x2 − 4

V (f) f(x) =

√2x2 − 3x− 2

3√x3 + 3x2 + 7− x− 1

Oefening 16. Onderzoek algebraısch of f en g gelijke functies zijn.

B (a) f(x) =

…x− 2

x+ 3en g(x) =

√x− 2√x+ 3

B? (b) f(x) =

x2 − 4

x2 + 9en g(x) =

√x2 − 4√x2 + 9

B?? (c) f(x) =

x2 − x− 20

x2 − 9en g(x) =

√x2 − x− 20√x2 − 9

B? Oefening 17. Gegeven is de functie f(x) =√−3x+ 2− 6.


(b) Welke transformaties moet je uitvoeren op de functie g(x) =√x om de functie f te verkrijgen?

(c) Schets de grafiek van f met behulp van (b). Controleer door de grafiek van f te plotten.

(d) Bepaal bld f .

I-73

B? Oefening 18 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998 eerste ronde).Beschouw volgende drie uitspraken over de reele functie

f(x) =

…1

x− 1.

I. f is gedefinieerd voor alle x groter dan 0.

II. f is gedefinieerd voor sommige negatieve waarden van x.

III. f neemt alle positieve waarden aan.

De enige correcte uitspraken zijn:

(A) I (B) II (C) III (D) I en III (E) II en III

B?? Oefening 19. Gegeven zijn de functies f(x) =√

16− x2 en g(x) =1

2x+ 3.

(a) Plot beide grafieken en neem een schets over op je blad (beide grafieken tekenen in een assenstelsel).

(b) Bepaal algebraısch de snijpunten van graf f en graf g.


V Oefening 20. Bepaal zonder gebruik te maken van je grafische rekenmachine welke functie bij welke grafiek hoort.

(a) f(x) =

…1

9− x2 (c) f(x) =√x3 − 3x2 + 2x

(b) f(x) =√−2x+ 6 (d) f(x) =

√3x2 − x+ 2

Grafiek 1

1

2

3

1 2 3−1−2−3

y

x

Grafiek 2

1

2

3

1 2 3−1−2−3

y

x

Grafiek 3

1

2

3

1 2 3−1−2−3

y

x

Grafiek 4

1

2

3

1 2 3−1−2−3

y

x

V Oefening 21. Gegeven zijn de functies f(x) =

…x3 + 8

xen g(x) = x+ 2.

(a) Plot beide grafieken en neem een schets over op je blad (beide grafieken tekenen in een assenstelsel).

(b) Bepaal algebraısch alle x-waarden waarvoor graf f boven graf g ligt.


I-74

V?? Oefening 22 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2008 tweede ronde).De grafieken van de reele functies met functievoorschrift

g1(x) =»−(x2 + 2x) +

√8x3 + 4x2 g3(x) =

»−(x2 + 2x)−

√8x3 + 4x2

g2(x) = −»−(x2 + 2x) +

√8x3 + 4x2 g4(x) = −

»−(x2 + 2x)−

√8x3 + 4x2

vormen samen het trifolium van De Longchamps: y

x

Het deel van de kromme bepaald door g1 is:

y

x

(A)

y

x

(B)

y

x

(C)

y

x

(D)

y

x

(E)

Inzicht in aardrijkskunde

In het volgend voorbeeld uit de geodesie berekenen we de kijkafstand naar de horizon.2

De MG Tower bevindt zich in deoksel van de Kortrijksesteenweg ende afrit van de E40 naast IKEA.

Sinds kort is het hoogste punt van Gent de MG Tower, een kantoorgebouwvan 119 meter hoog. De voet van het gebouw bevindt zich op 11 meterboven de zeespiegel. Zou je vanop de toren de zee kunnen zien?

Onderstaande figuur maakt duidelijk hoe we dat kunnen berekenen.

De zichtlijnen vanuit ons oogpunt raken de aardbol en vormen een kegel.Beperken we ons tot een zo’n zichtlijn, dan weten we intuıtief dat die raaklijnOP loodrecht op de middellijn OM staat. In die driehoek MPO, waarbijd = OP de afstand tot de horizon is, r de straal van de aarde en h de hoogteboven de zeespiegel, passen we de stelling van Pythagoras toe:

d2 + r2 = (h+ r)2 ⇒ d =√h2 + 2rh.

Omdat h in verhouding tot r erg klein is kunnen we de term h2 verwaarlozen en krijgen we d ≈√

2hr. Nu varieertde middellijn van de aarde van 12 713 km (tussen de polen) tot 12 756 km (aan de evenaar) en daarop baseren wedan de volgende benaderingsformule voor de afstand tot de horizon:

d ≈ 3, 6√h

Hierbij is h de hoogte in meter en d de kijkafstand in kilometer. Op de MG Tower kijk je op een hoogte van ongeveer119m (hoogte toren) plus 11m (hoogte boven zeespiegel) plus 2m (lengte persoon) is h = 132m hoog. Onze formulelevert dan een kijkafstand van d ≈ 41 km, wat net niet volstaat: de zee ligt ongeveer 43 km ver (Breskens).

2Dit voorbeeld werd ontleend aan [146, pagina 93]. Geodesie is de wetenschap die zich bezighoudt met de bepaling van de vorm en deafmetingen van de aarde.

I-75

Interludium

Here it will be proper to observe, that I make use of [. . . ]

x−12 , x−

23 , x−

14 etc. for 1√

x, 1

3√x2

, 14√x

, etc.

And by this rule of Analogy, as may be apprehended from suchGeometrical Progressions as these; x3, x

52 , x2, x

32 , x, x

12 , x0

(or 1;) x−12 , x−1, x−

32 , x−2, etc.

Isaac Newton, Fluxiones, 1671 [169]

In dit intermezzo effenen we het pad voor de volgende hoofdstukken. Vooreerst herhalen we de definitie van machts-wortels en de rekenregels voor machten. Uitbreiding van deze rekenregels leidt tot een natuurlijk begrip voor machtenmet negatieve of gebroken exponent. Het begrip macht met een reele exponent is nieuw en is noodzakelijk voor hetinvoeren van de volgende klasse van functies in Hoofdstuk 5. Daarna bespreken we enkele bewerkingen met functies(som en verschil, product en quotient, samenstelling en absolute waarde). Dat bepaalde functies een natuurlijke te-genhanger hebben die de oorspronkelijke functie omkeert, wordt besproken in de paragraaf over inverse functies. Tenslotte geven we een overzicht van de soorten reele functies.

1 Reele machtswortels

Zij n ∈ N met n ≥ 2 en b ∈ R. Een (reele) n-de machtswortel van b is een reele oplossing van vergelijking xn = b. Debespreking van de n-de machtwortels van b valt uiteen in twee wezenlijk verschillende gevallen: het geval dat n evenis en het geval dat n oneven is.

Geval n even

3 Voorbeeld. Verklaar met de correcte uitleg.

(a) 3 en −3 zijn tweedemachtswortels (of vierkantswortels) van 9 want . . .

(b) 2 en −2 zijn zesdemachtswortels van 64 want . . .

(c) 0 is een vierdemachtswortel van 0 want . . .

(d) −16 heeft geen reele vierkantswortels want . . .

(e) −64 heeft geen reele zesdemachtswortels want . . .

3 Eigenschap. Zij n ∈ N0 even en b ∈ R.

(1) Als b > 0 dan heeft b precies twee reele n-de machtswortels, en als x een n-de machtswortel is van b dan isook −x een n-de machtswortel van b.

(2) Als b = 0 dan heeft b precies een reele n-de machtswortel, namelijk 0.

(3) Als b < 0 dan heeft b geen reele n-de machtswortels.

Meetkundige betekenis. We kunnen deze eigenschap verklaren aande hand van de grafiek van een functie f(x) = xn met n even.In de figuur hiernaast zie je de typische vorm van zo’n grafiek.Een rechte y = b snijdt de grafiek

. tweemaal als b positief is (b > 0),

. eenmaal als b = 0,

. geen enkele keer als b negatief is (b < 0).

− n√b n

√b

x

yf(x) = xn

n even

y = b(b > 0)

y = b(b < 0)

3 Notatie. Zij n ∈ N0 even. Wegens de vorige eigenschap heeft elkpositief reeel getal b twee verschillende reele n-de machtswortels,waarvan de ene positief is en de andere negatief is (namelijk hettegengestelde van de positieve).

We schrijven n√b voor de positieve n-de machtswortel van b.

De negatieve n-de machtswortel van b is dan gelijk aan − n√b.

Het getal 0 heeft een n-de machtswortel, namelijk het getal 0.We schrijven dan n

√0 voor de n-de machtswortel van nul.3

3Daar de n-de machtswortel van nul noch positief, noch negatief is mag je n√

0 strikt genomen niet lezen als de positieve n-de machtswortelvan nul of de negatieve n-de machtswortel van nul, maar wel als de niet-negatieve n-de machtswortel van nul of de niet-positieve n-demachtswortel van nul.

I-76

Geval n oneven

3 Voorbeeld. Verklaar met de correcte uitleg.

(a) 2 is een derdemachtswortel (of kubische wortel) van 8 want . . .

(b) −2 is geen derdemachtswortel van 8 want. . .

(c) 3 is een vijfdemachtswortel van 243 want. . .

(d) −3 is geen 5-demachtswortel van 243 want. . .

(e) −8 heeft een reele 3-demachtswortel want. . .

3 Eigenschap. Zij n ∈ N0 oneven en b ∈ R. Dan heeft b precies een n-de machtswortel.

Meetkundige betekenis. We kunnen deze eigenschap verklaren aande hand van de grafiek van een functie f(x) = xn met n oneven.In de figuur hiernaast zie je de typische vorm van zo’n grafiek.Een rechte y = b snijdt de grafiek eenmaal, ongeacht b positief, nulof negatief is.

n√b

n√b

x

yf(x) = xn

n oneven

y = b(b > 0)

y = b(b < 0)

3 Notatie. Zij n ∈ N0 oneven. Wegens de vorige eigenschap heeftelk reeel getal b precies een reele n-de machtswortel.

We schrijven n√b voor de n-de machtswortel van b.

3 Eigenschap. Zij n ∈ N0 oneven en b ∈ R. Dan is

n√−b = − n

√b.

Samenvatting

n even

b > 0

b = 0

b < 0

n√b = x ⇔ b = xn en x > 0

n√0 = 0

n√b = /

n oneven n√b = x ⇔ b = xn

3 Modelvoorbeeld. Vul telkens aan en geef de verklaring.

(a) 3√

8 = . . . want . . .

(b) 4√−16 = . . . want . . .

(c) 5√

1 = . . . want . . .

(d) 7√−2187 = . . . want . . .

Controle met behulp van grafische rekenmachine.

I-77

2 Machten

Een macht is een uitdrukking van de vorm ar met a, r ∈ R. Men noemt a het grondtal en r de exponent. Voorbeelden

van machten met grondtal 2 zijn:4

25, 20, 2−5, 213 , 2−

73 , 2π

In wat volgt maken we de betekenis van elk van deze machten duidelijk. We herhalen eerst machten met natuurlijkeexponent, die voldoen aan vijf rekenregels. Het is op basis van deze rekenregels dat we het machtsbegrip uitbreidennaar machten met gehele en rationale (gebroken) exponent.

Machten met natuurlijke exponent

3 Op ontdekking. Bereken en stel de definitie van een natuurlijke macht vast.

(a) 25 = . . .

(b) 71 = . . .

(c) 40 = . . .

3 Definitie. Een natuurlijke macht van een reeel getal a is een getal dat voorkomt in de meetkundige rij meteerste term a en reden a. De n-de term noteren we met an

a︸︷︷︸a1

, a · a︸︷︷︸a2

, a · a · a︸︷︷︸a3

, a · a · a · a︸︷︷︸a4

, . . .

De nulde term vinden we door de eerste term a te delen door a, wat enkel kan als a 6= 0. In dat geval vinden wea0 = 1. De uitdrukking 00 wordt niet gedefinieerd.5 Formeel luidt onze definitie als volgt:

∀a ∈ R : ∀n ∈ N0 : andef= a · a · . . . · a︸︷︷︸

n keer

∀a ∈ R0 : a0def= 1

3 Op ontdekking. Bereken en stel de rekenregels voor machten vast.

(a) 22 · 23 = . . .

(b)25

22= . . .

(c)(25)3

= . . .

(d) (2 · 7)3

= . . .

(e)

Å2

7

ã3= . . .

3 Eigenschap. De volgende vijf rekenregels gelden voor machten met een natuurlijke exponent: 6

∀a ∈ R0 : ∀n,m ∈ N : am · an = am+n (1)

am

an= am−n (2)

(am)n

= am·n (3)

∀a, b ∈ R0 : ∀n ∈ N : (a · b)n = an · bn (4)

(ab

)n=an

bn(5)

4Deze notaties werden gepopulariseerd door het werk van Rafael Bombelli 1572, Simon Stevin 1585, Rene Descartes 1637en Isaac Newton 1671.

5De uitdrukking 00 is van dezelfde orde als 00

. Zo’n uitdrukking noemen we een onbepaaldheid, de reden hiervoor wordt duidelijk in

Deel Rijen voor 00

en Deel Afgeleiden voor 00.6Omdat we ons voorlopig beperken tot machten met natuurlijke exponent, moeten we bij rekenregel (2) vermelden dat m ≥ n.

I-78

http://en.wikipedia.org/wiki/Rafael_Bombelli

http://nl.wikipedia.org/wiki/Simon_Stevin

http://nl.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descartes

http://nl.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton

Machten met gehele exponent

3 Op ontdekking. 2−5 = ?

Wat dit ook is, we wensen wel dat de vijf rekenregels voor machten nog steeds blijven gelden.Dus dan moet, wegens rekenregel (2)

2−5 = 20−5 = . . .

Zo komen we vanzelf tot de geschikte omschrijving van machten met gehele exponent.

3 Definitie. Een gehele macht van een reeel getal a wordt als volgt gedefinieerd:

∀a ∈ R0 : ∀n ∈ N0 : a−ndef=

1

an

We kunnen een gehele macht ook omschrijven als een getal dat voorkomt in de rij van de natuurlijke machtenvan a, indien we deze opsomming ook naar links voortzetten (indien a 6= 0). De −n-de term noteren we met a−n

. . . ,1

a · a · a︸︷︷︸a−3

,1

a · a︸︷︷︸a−2

,1

a︸︷︷︸a−1

, 1︸︷︷︸a0

, a︸︷︷︸a1

, a · a︸︷︷︸a2

, a · a · a︸︷︷︸a3

, a · a · a · a︸︷︷︸a4

, . . .

3 Eigenschap. De vijf rekenregels voor machten met een natuurlijke exponent gelden ook voor machten met eengehele exponent.

Ter illustratie bewijzen we de rekenregel (4) voor machten met een gehele exponent:

∀a, b ∈ R0 : ∀m ∈ Z : (a · b)m = am · bm.

Bewijs. Als m ≥ 0 dan is m ∈ N en volgt het gestelde uit de rekenregel (4) voor machten met een natuurlijkeexponent. Veronderstel dus dat m < 0. We schrijven m = −n met n ∈ N.

Dan geldt (vul telkens de verantwoording aan):

(a · b)m = (a · b)−n want . . .

=1

(a · b)n wegens . . .

=1

an · bn wegens . . .

=1

an· 1

bn

= a−n · b−n wegens . . .

= am · bm want . . .

Machten met rationale exponent

3 Op ontdekking. 213 = ? en 2−

73 = ?

Wat dit ook is, we wensen wel dat de vijf rekenregels voor machten nog steeds blijven gelden.Dus dan moet Ä

213

ä3= 2 dus 2

13 = . . .

en

2−73 =

(2−7) 1

3 = . . .

Zo komen we vanzelf tot de geschikte omschrijving van machten met rationale exponent.

3 Definitie. Een rationale macht van een reeel getal a wordt als volgt gedefinieerd:

∀a ∈ R0 : ∀n ∈ N0 : a1n

def= n√a

∀a ∈ R+0 : ∀n ∈ N0 : ∀m ∈ Z : a

mn

def= n√am

In deze definitie van amn is de eis a > 0 cruciaal, zo leert het volgend voorbeeld (leg uit):

(−2)124 6= 4

»(−2)12

I-79

3 Eigenschap. De vijf rekenregels voor machten met een gehele exponent gelden ook voor machten met eenrationale exponent.

Ter illustratie bewijzen we de rekenregel (1) voor machten met een rationale exponent:

∀a ∈ R0 : ∀p, q ∈ Q : ap · aq = ap+q

Bewijs. We mogen aannemen dat p, q /∈ Z (leg uit waarom). We schrijven p = m/n en q = m′/n als breukenmet dezelfde positieve noemer (leg uit waarom dit altijd mogelijk is).

Dan geldt (vul telkens de verantwoording aan):

ap · aq = am/n · am′/n want . . .

= n√am · n

√am′ wegens . . .

=n√am · am′ wegens de verantwoording onderaan

=n√am+m′ wegens . . .

= a(m+m′)/n wegens . . .

= ap+q want . . .

Dat n√am · n

√am′ =

n√am · am′ volgt uit het feit dat beide leden de positieve of negatieve oplossing zijn van de

vergelijking xn = am · am′ . Inderdaad enerzijds isÄn√am · am′

än= am · am′

terwijl anderzijds (vul de verantwoording aan):Än√am · n

√am′än

=Ä

n√amän · Ä n

√amän

want . . .

= am · am′ .3 Modelvoorbeeld. Vereenvoudig zoveel als mogelijk en schrijf het resultaat zonder negatieve of gebroken expo-

nenten. De letter a stelt een niet-negatief reeel getal voor.√a−5 · 3

√a7√

4√a

= . . .

Machten met reele exponent

3 Op ontdekking. 2π = ?

Merk op dat π /∈ Q, dus 2π is geen macht met een rationale exponent.7

Wat dit ook is, we wensen wel dat als q ∈ Q en q ≈ π dan 2q ≈ 2π. Dus om de waarde van 2π te vinden, kunnenwe in principe als volgt te werk gaan:8

q 2q

3 . . .

3, 1 . . .

3, 14 . . .

3, 141 . . .

↓ ↓π 2π = . . .

3 Eigenschap. De vijf rekenregels voor machten met een rationale exponent gelden ook voor machten met eenreele exponent.

7Het feit dat π geen rationaal getal is, werd in 1761 aangetoond door Johann Heinrich Lambert .8De formele definitie van een reele macht steunt op het bovenstaand idee, maar valt buiten het bestek van deze cursus.

I-80

http://en.wikipedia.org/wiki/Johann_Heinrich_Lambert

3 Bewerkingen met functies

3 Som en verschil van functies. De som (resp. verschil) van twee functies f en g is de functie

f + g : R→ R

x 7→ (f + g)(x)def= f(x) + g(x)

resp.f − g : R→ R

x 7→ (f − g)(x)def= f(x)− g(x)

Voorbeeld. Voor f(x) = x2 − 2 en g(x) =√x+ 2 is

(f + g)(x) = . . . (f − g)(x) = . . .

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

y

x

graf f

graf g

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

y

x

graf f

graf g

3 Product en quotient van functies. Het product (resp. quotient) van twee functies f en g is de functie

f · g : R→ R

x 7→ (f · g)(x)def= f(x) · g(x)

resp.

f

g: R→ R

x 7→Åf

g

ã(x)

def=

f(x)

g(x)


(f · g)(x) = . . .

Åf

g

ã(x) = . . .

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

y

x

graf f

graf g

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

y

x

graf f

graf g

I-81

3 Veelvoud en macht van een functie. Het veelvoud (resp. macht) van een functie f met r ∈ R is de functie

r · f : R→ R

x 7→ (r · f)(x)def= r · f(x)

resp.fr : R→ R

x 7→ fr(x)def= f(x)r

(als r 6= 0)

Voorbeeld. Voor r = −1

2en f(x) = x2 − 2 is

(r · f)(x) = . . . fr(x) = . . .

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

y

x

graf f

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

y

x

graf f

3 Samenstellen van functies. De samenstellingen van twee functies f en g zijn de functies

f ◦ g : R→ R

x 7→ (f ◦ g)(x)def= f (g(x))

eng ◦ f : R→ R

x 7→ (g ◦ f)(x)def= g (f(x))


(f ◦ g)(x) = . . . (g ◦ f)(x) = . . .

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

y

x

graf f

graf g

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

y

x

graf f

graf g

I-82

3 Absolute waarde van een functie. De absolute waarde van een functie f is de functie

|f | : R→ R

x 7→ |f | (x)def= |f(x)|

Voorbeeld. Voor f(x) = x2 − 2 is |f | (x) = . . .

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

y

x

graf f

3 Gebruik van de grafische rekenmachine. Bovenstaande voorbeelden kunnen we als volgt controleren.

I-83

4In

versefuncties

•Op

ontd

ekking.Gegeven

isdefunctie

f(x)=

2x+1.Deonderstehelft

vandezebladzijdeis

verdeeld

indriekolommen.

(a)Vuldelinkerkolom

aan.

Hoekunnen

weuitdegrafiek

vanfafleiden

datfeenfunctie

is?

..................................................................

(b)Defunctie

fisbijzonder

indiezindater

bijelkey-w

aardehoogstenseenx-w

aardehoort

waarvoorP(x,y)∈graff.Daarom

noem

enwefeeninverteerbare

functie.

Opdezemanierkunnen

weeennieuwefunctie

gmaken,namelijkhet

verbanddataanelkey-w

aardedie

x-w

aardeassocieert.Vulnudemiddelstekolom

aan.

(c)Demiddelstekolom

stelteennieuwefunctie

g(y)=

xvoor,die

wedeinverse

functie

vanfnoem

en.Omdatwegew

oonzijn

om

eenfunctie

indeletter

xte

zien,en

nietin

y,verwisselenwedelettersxen

y.Vulderechterkolom

aan.

Functievoorschrift:f(x)=

2x+1

Functievoorschrift:...

Functievoorschrift:...

Tabel

vanenkelefunctiewaarden:

Tabel


Tabel


x−2

−1

01

2

f(x)

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

Grafiek:

Grafiek:

Grafiek:

123 −1

−2

12

3−1

−2

x

y

123 −1

−2

12

3−1

−2

y

x

123 −1

−2

12

3−1

−2

x

y

I-84

3 Definitie. Een functie f noemt men inverteerbaar als er bij elke y-waarde hoogstens een x-waarde hoort. Indat geval is het verband dat met elke y-waarde die x-waarde associeert een nieuwe functie

g : R→ Ry 7→ x = g(y)

die we de inverse functie van f noemen.

3 Eigenschap. Zij f een inverteerbare functie en g de inverse functie van f . Dan geldt

f(x) = y ⇔ x = g(y) ∀x ∈ dom f, ∀y ∈ bld f

Meetkundige betekenis. De grafieken van de functies f en g zijn elkaars spiegelbeeld om de eerste bissectrice.

3 Opmerking 1. Vaak noteert men de inverse van een inverteerbare functie f met f−1. Ongelukkig genoeg valtdeze notatie dan samen met het omgekeerde van f . In het vervolg zal de context steeds duidelijk moeten makenwelke van de twee men bedoelt. Om verwarring te voorkomen gebruiken we in het vervolg van deze cursus eerderde notatie g in plaats van f−1.

3 Opmerking 2. De interactie tussen een inverteerbare functie f en zijn inverse functie g kan als volgt wordenvoorgesteld.

functievoorschrift

f(x) = y


x . . . −1 0 1 . . .

f(x) . . . . . .

grafieky

x1

1

y = f(x)

x

y1

1

x = g(y)

functievoorschrift

x = g(y)


y . . . −1 0 1 . . .

g(y) . . . . . .

grafiek

oplossennaar x

oplossennaar y

tabelomdraaien

tabelomdraaien

spiegelenom y = x

spiegelenom y = x

3 Opmerking 3. Algebraısch bepalen of een functie f al dan niet inverteerbaar is, doet men door - voor elkey-waarde - de vergelijking y = f(x) op te lossen naar x. Vindt men voor elke y-waarde ofwel geen oplossing ofweleen eenduidige oplossing x, dan is de functie f inverteerbaar. Bovendien wordt de inverse functie g dan gegevendoor het verband dat bij elke y-waarde die eenduidige oplossing x associeert. Deze werkwijze wordt duidelijkgemaakt in het volgend modelvoorbeeld.

3 Modelvoorbeeld. Ga algebraısch na of de functie f(x) =√

5x− 1 + 2 inverteerbaar is. Zo ja, bepaal hetfunctievoorschrift van de inverse functie g. Controleer door de grafiek van f en g te plotten.

Oplossing.

I-85

5 Soorten functies

Functies die uitgedrukt kunnen worden door de algebraısche operaties optelling, vermenigvuldiging, deling, machten enn-de machtswortels in een variablele x zijn zogenaamde algebraısche functies. Alle functies die we tot nu toe besprokenhebben vallen onder deze categorie.9

In deze paragraaf we twee voorbeelden van een niet-algebraısche functie: de sign-functie sign(x) en de floor-functie bxc.De andere niet-algebraısche functies die in het onderstaande schema vermeld worden, zullen we uitvoerig behandelenin de volgende hoofdstukken.

veeltermfunctiesx

−x7 + 5x. . .

rationale functies1

x

8x− π

x3

. . .

irrationale functies√x

√7x3 − 8

x5

|x|. . .

. . .

sign(x)

⌊x⌋

exponentiele functies

logaritmische functies

goniometrische functies

cyclometrische functies

. . .

︸︷︷︸algebraısche functies

︸︷︷︸niet-algebraısche functies

3 Sign-functie. Voor x ∈ R stellen we

sign(x)def=

−1 als x < 0

0 als x = 0

1 als x > 0

. Functievoorschrift: f(x) = sign(x)


x −2 −1 −0, 01 0 0, 01 1 2

f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Grafiek:

1

−1

1 2 3−1−2−3

y

x

9Een functie die kan uitgedrukt worden door de algebraısche operaties optelling, vermenigvuldiging, deling, machten en n-de machts-wortels noemt men uitdrukbaar in radicalen. Een functie f is algebraısch indien er een n ∈ N en veeltermen a0(x), . . . , an(x) bestaan zodat

∀x ∈ R : a0(x) · f(x) + a1(x) · f2(x) + . . . + an(x) · fn(x) = 0. Hieruit volgt dat elke functie die kan uitgedrukt worden in radicalen ookalgebraısch is (bijvoorbeeld rationale of irrationale functies). Het omgekeerde geldt echter niet: er bestaan algebraısche functies die niet

uitdrukbaar zijn in radicalen, zoals aangetoond in het werk van Evariste Galois (1811-1832) en Niels Henrik Abel (1802-1829). Eenvoorbeeld van zo’n algebraısche functie f wordt gedefinieerd door (f(x))5 + (f(x))4 + x = 0.

I-86

https://en.wikipedia.org/wiki/%C3%89variste_Galois

https://en.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abel

3 Floor-functie.10 Voor x ∈ R stellen we

bxc def= het grootste geheel getal dat kleiner of gelijk is aan x

. Functievoorschrift: f(x) = bxc


x −1 −0, 99 −0, 01 0 0, 01 0, 99 1 1, 01 1, 99 2

f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Grafiek:

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3 4−1−2−3

y

x

3 Gebruik van de grafische rekenmachine. De sign-functie voert men in aan de hand van de definitie. Hierbijmaken we gebruik van geprogrammeerde functies zoals X < 0, die de waarde 1 aanneemt als x < 0 en in deandere gevallen 0 is. In symbolen:

X < 0 =

®1 als x < 0

0 als x ≥ 0.

Door bijvoorbeeld −1 te vermenigvuldigen met X < 0 bereik je een functie die de waarde −1 aanneemt als x < 0en in de andere gevallen 0 is.

. . . 2ND TEST 5:< . . .

Voor wat betreft het plotten van de floor-functie en aanverwanten beroepen we ons op voorgeprogrameerdefuncties die je terugvindt bij math NUM:

round(x,a) rondt het getal x af tot op a cijfers na de komma,

ipart(x) breekt het getal x af tot een geheel getal (truncatie),

fpart(x) geeft het decimale deel van het getal x,

int(x) bepaalt het grootste geheel getal dat kleiner of gelijk is aan x.

Zo is bijvoorbeeld:

round(-2.37,1) = -2.4 ipart(-2.37) = -2 fpart(-2.37) = -.37 int(-2.37) = -3.

De floor-functie wordt dus gegeven door het commando int.

10De tegenhanger van de floor-functie is de ceiling-functie f(x) = dxe, zijnde het kleinste geheel getal groter of gelijk aan x. Debenamingen en notaties voor deze functies zijn afkomstig van Kenneth Eugene Iverson 1962 en zijn voorbeelden van zogenaamdeinteger functions.

I-87

http://en.wikipedia.org/wiki/Kenneth_E._Iverson

Oefeningen

Interludium Basis Verdieping Uitbreiding? ?? ? ?? ? ??

1 Machtswortels2 Machten

123456

4567

468

4 9 10

3 Bewerkingen met functies 111213

14 15 1617

18 19 2021

2223

4 Inverse functies 24 24 25 242627

28 2930

5 Soorten functies 31 3233

34 35

Oefeningen bij §1 en §2

B Oefening 1. Welke van de volgende uitdrukkingen zijn gelijk?

4x17 x

47

1

4x−7 7x−4

1

4x7

7 4√x 4 7

√x

7

x44√x7

7√x4

B Oefening 2. Bereken met behulp van je grafische rekenmachine.

(a)

Å− 3

50

ã− 119

(b)1302√

20172018

B Oefening 3 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998 eerste ronde).√

254a2 =

(A) 252a (B) 252|a| (C) 252a2

(D) 52|a| (E) 52a2

Oefening 4. Bereken zonder grafische rekenmachine. Exacte waarde noteren.

B (a) 412 B? (g)

n√a3nbn met a, b ∈ R+ en n ∈ N

B (b) 16−12 B? (h)

6√

93√

243

B (c) 81−0,25 B? (i)Ä2

4√

25− 3√

5ä2

B (d) 100 000−25 B?? (j)

3

Å64

1000

ã2B (e)

Å1

32

ã− 15

B?? (k) 4

»(−3)12

B (f)3√

27a6b12 met a, b ∈ R V (l)Ä

3√

16− 3√

2ä3

Oefening 5. Los algebraısch de volgende vergelijkingen op.

B (a) 0, 7x4 = 58 B? (c) 3x5 = 7x2

B (b) (3x+ 2)5 = 74 B? (d)3

4√

5x= 6

I-88

Oefening 6. Vereenvoudig telkens zo veel als mogelijk, in je resultaat mogen geen gebroken of negatieve exponentenvoorkomen (hierbij is a, b, c ∈ R+

0 ):

B (a) a−76 B (d)

Å4√a−

32 b

12

ã− 83

B (b)(√a) 4

3 B? (e)5√a3b√ab3

a10√ab7

B (c)Äa−1b−

13 c

12

ä6 (a−2b−4c6

)− 12 B?? (f)

Ç16−2a

12 b−3

81−1a−12 b3

å …ab

94

Äab

32

ä 12

B? Oefening 7 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 1991 tweede ronde).

Als x ≥ 0 dan is»x√x√x =

(A) x√x (B) x 4

√x (C) 8

√x (D)

8√x3 (E)

8√x7

B?? Oefening 8 (toelatingsexamen Koninklijke Militaire School 1987).Werk uit en vereenvoudig

(x2)3x−4 3√x5

3√x2 3

»4√

(x2)3.

Johannes Kepler(1571 - 1630)

U Oefening 9 (derde wet van Kepler). De planeten van ons zonnestelsel bewegenin ellipsvormige banen rond de zon. Noemen we a de halve grote as van deze ellips (inmiljoen km) en T de omlooptijd rond de zon (in dagen), dan geldt volgens de derdewet van Kepler11

a3 = 2, 9277 · T 2

(a) Van de volgende planeten is de omlooptijd T gegeven. Bepaal de halve grote asa van de ellips die ze om de zon beschrijven (in miljoen km, op twee cijfers nade komma).

planeet Mercurius Venus Aarde

omlooptijd T (in dagen) 87, 969 224, 701 365, 250

(b) Van de volgende planeten is de halve grote as a van de ellips, die ze om de zonbeschrijven, gegeven. Bepaal de omlooptijd T in jaren en dagen (gebruik 1 jaar≈ 365, 25 dagen, afronden op 1 dag nauwkeurig).

planeet Mars Jupiter Saturnus

halve grote as a (in miljoen km) 227, 939 778, 294 1429, 373

U? Oefening 10 (decimale vorm van een reeel getal). Zoals je gezien hebt in het derde jaar, kan elk reeel getal rgeschreven worden in een decimale vorm (of decimale voorstelling)

r = a0, a1a2a3a4 . . . waarbij a0 ∈ Z en a1, a2, a3, a4, . . . ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

De getallen a1, a2, a3, . . . noemen we decimalen. Zo is bijvoorbeeld

−19

8= −2, 375 en

5

11= 0, 454545 . . . en π = 3, 141592 . . .

Hierbij zijn enkele opmerkingen op hun plaats.

(1) Als vanaf een zekere index i de getallen ai alle nul zijn, dan nemen we deze getallen niet op in de schrijfwijze.We schrijven dus 6, 318 in plaats van 6, 318000 . . .. In dat geval spreken we van een begrende decimale vorm.

(2) Een decimale voorstelling van een reeel getal r is niet noodzakelijk uniek12. Zo heeft bijvoorbeeld het getal 1twee verschillende decimale voorstellingen, want

1 = 3 · 1

3= 3 · (0, 333 . . .) = 0, 999 . . .

waaruit we besluiten dat wel degelijk 0, 999 . . . = 1. Zo is ook −2, 375 = −2, 374999 . . ..

11Opgesteld door Kepler in 1619, vanuit experimentele gegevens. Zo’n zeventig jaar later bewees Isaac Newton de wetten van Keplermet behulp van de universele wet van de zwaartekracht.

12Het is eenvoudig in te zien dat een reeel getal r precies een decimale voorstelling heeft als en slechts als r geen begrensde decimalevorm toelaat. En reele getallen die wel een begrensde decimale vorm hebben, kunnen op twee verschillende manieren als decimale vormgeschreven worden.

I-89

http://nl.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler

http://nl.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton

(3) Als vanaf een zekere index i er een groep decimalen is die zich herhaald (verschillend van 00 . . .), dan sprekenwe van een onbegrensde repeterende decimale vorm. Bijvoorbeeld 5

11 = 0, 454545 . . .. De eerste groep decimalenmet het kleinst aantal cijfers die zich blijft herhalen noemen we de periode.

Men kan aantonen voor elk reeel getal r geldt:

r ∈ Q ⇔ r is een begrensde decimale vorm of een onbegrensde repeterende decimale vorm

Zo is −2, 375 ∈ Q en 83, 34581581581 . . . ∈ Q en 1, 01001000100001 . . . ∈ R \Q.

Gegeven zijn de volgende decimale getallen. Vul in met ∈ of /∈. Is het decimaal getal rationaal, schrijf het dan als eenbreuk.

(a) 1, 321322323324 . . . . . . R \Q (d) π = 3, 141592 . . . . . . Q

(b) 3, 333 . . . . . . Q (e)√

2 = 1, 414213 . . . . . . Q

(c) 5, 74245245245 . . . . . . R \Q (f) − 5123

745= −6, 8765 . . . . . . R \Q

Oefeningen bij §3

B Oefening 11. Bepaal telkens het functievoorschrift van f · g,f

g, 3 · g, f ◦ g en g ◦ f .

(a) f(x) = x− 1 en g(x) = x−1

(b) f(x) = x+ 2 en g(x) =1√x

(c) f(x) = 2x− π

4en g(x) = x2

B Oefening 12. Gegeven is de functie f(x) = x2. Bepaal (f ◦ f ◦ f ◦ f)(3).

B Oefening 13. De volgende grafieken stellen de grafiek van een functie f voor. Schets telkens de grafiek van |f |.

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

y

x

(a)

y = f(x)

(b)

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

y

x

y = f(x)

B? Oefening 14 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2002 eerste ronde).

Als f(x) = 1 +1

xdan is f(f(f(x))) gelijk aan

(A)

Å1 +

1

x

ã3(B) 3 +

1

x(C) 1 +

1

1 +1

1 +1

x

(D) 1 +3

x(E) 1 +

3

x3

B?? Oefening 15. Zij g(x) = ax+b waarbij a, b reele getallen zijn. Bepaal alle koppels (a, b) waarvoor (g◦g)(x) = 9x+28.

I-90

V Oefening 16 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2000 eerste ronde).Het aantal oplossingen in R van de vergelijking

∣∣1− x2∣∣ = 1− x

is gelijk aan

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

V Oefening 17 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2005 eerste ronde).Met de functies f : x 7→ x2 en g : x 7→ √x construeert men vijf nieuwe functies:

f

g: x 7→ f(x)

g(x); f ◦ g : x 7→ f(g(x)); f · g : x 7→ f(x) · g(x); g ◦ f : x 7→ g(f(x));

g

f: x 7→ g(x)

f(x).

Twee van deze vijf functies hebben hetzelfde domein. Twee andere functies hebben ook hetzelfde domein. Welke is deoverblijvende functie?

(A)f

g(B) f ◦ g (C) f · g (D) g ◦ f (E)

g

f

V? Oefening 18. Gegeven is de grafiek van een functie

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5−1−2−3−4−5

y

x

Bepaal algebraısch welke van de volgende vijf voorschriften bij deze functie hoort.

|x− 1|+ 1 ||x| − 1|+ 1 |x− 1|+ |x+ 1| ||x|+ 1|+ 1∣∣x2 − 1

∣∣+ 1

V?? Oefening 19. Gegeven is de functie f(x) = x− 1 en een functie g waarvoor (g ◦ f)(x) = x2 − 1.

(a) Bepaal g(3).

(b) Bepaal g(x).

U Oefening 20 (meervoudig functievoorschrift). Beschouw de functie

f(x) =

®x+ 2 als x < 3

4 als x ≥ 3.

Omdat het functievoorschrift niet enkelvoudig is, zeggen we dat f een meervoudig functievoorschrift heeft.

(a) Schets zonder gebruik te maken van je grafische rekenmachine de grafiek van de functie f .

(b) Controleer je resultaat in (a) met je grafische rekenmachine.

I-91


U Oefening 21 (meervoudig functievoorschrift). Gegeven is de grafiek van een functie. Bepaal het (meervoudig)functievoorschrift dat bij deze functie hoort.

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5−1−2−3−4−5

y

x

y = f(x)

U? Oefening 22 (invloed van het domein bij bewerkingen van functies). Gegeven zijn twee functie f en g eneen reeel getal r. Waar of vals? Beoordeel de volgende uitspraken. Indien vals, geef een tegenvoorbeeld.

(a) dom(r · f) = dom f waarbij r ∈ R0 (d) dom(f · g) = dom f ∩ dom g

(b) dom(fr) = dom f waarbij r ∈ R0 (e) dom

Åf

g

ã= dom f ∩ dom g

(c) dom(f + g) = dom f ∩ dom g (f) dom |f | = dom f

U? Oefening 23 (functie schrijven als de som van een even en een oneven functie). Gegeven is een functie fmet dom f = R. Bewijs dat er precies een even functie g(x) en een oneven functie h(x) bestaat waarvoor

f(x) = g(x) + h(x). (∗)

Aanwijzing. Ga uit van de schrijfwijze (∗) en vervang x door −x om de functies g en h te achterhalen.

Oefeningen bij §4

Oefening 24. Ga telkens algebraısch na of de functie inverteerbaar is. Zo ja, bepaal het functievoorschrift van deinverse functie.

B (a) f(x) = −3x+ 2 B? (d) f(x) =√x2 − 25

B (b) f(x) = x2 B? (e) f(x) = (x− 1)3 − 5

B (c) f(x) = x3 V (f) f(x) =x− 2

x+ 2

B?? Oefening 25. Ga na of de volgende functie inverteerbaar is:

f : [4,+∞[→ Rx 7→ x2 − 6x+ 3.

Zo ja, bepaal het functievoorschrift van de inverse functie.

V Oefening 26. Stel dat f een functie is die weergeeft hoeveel kilogram wortelen je kan kopen voor een bepaald bedragx. Als f inverteerbaar is, wat geeft de inverse functie f−1 dan weer?

V Oefening 27. Gegeven is een lineaire functie


(a) Bewijs dat f inverteerbaar is.

(b) Geef nodige en voldoende voorwaarden op a en b waarvoor geldt dat f−1 = f .

V? Oefening 28. Gegeven is een homografische functie

f(x) =ax+ b

cx+ dwaarbij a, b, c, d ∈ R en c 6= 0 en ad 6= bc.

I-92

(a) Bewijs dat f inverteerbaar is.

(b) Geef nodige en voldoende voorwaarden op a, b, c, d waarvoor geldt dat f−1 = f .

U? Oefening 29 (criterium voor de inverteerbaarheid van een functie). In sommige gevallen kan men de inver-teerbaarheid van een functie f aantonen met behulp van de volgende eigenschap:

f is inverteerbaar ⇔ er bestaat een functie g waarvoor geldt dat

®(g ◦ f)(x) = x ∀x ∈ dom f

(f ◦ g)(y) = y ∀y ∈ bld f

en in dat geval is g de inverse functie van f . In (a) wordt gevraagd om een onderdeel van deze eigenschap te bewijzen.En in (b) gebruik je deze eigenschap om de inverteerbaarheid van een concrete functie na te gaan.

(a) Zij f een inverteerbare functie en g de inverse functie van f . Bewijs dat®(g ◦ f)(x) = x ∀x ∈ dom f,

(f ◦ g)(y) = y ∀y ∈ bld f.

(b) Beschouw de functies

f(x) =x

1 + |x| en g(x) =x

1− |x| .

Maak gebruik van bovenstaande eigenschap om aan te tonen dat f inverteerbaar is. Je mag steunen op het feitdat bld f = ]−1, 1[.

U? Oefening 30 (inverse van de samenstelling van inverteerbare functies). Zij f en g twee inverteerbare functies.Toon aan dat de functie h = f ◦ g inverteerbaar is, met inverse g−1 ◦ f−1.Aanwijzing. Maak gebruik van het criterium voor inverteerbaarheid uit Oefening 29.

Oefeningen bij §5

B Oefening 31. Teken de grafiek van de functie f(x) = sign(1+x)+sign(1−x). Controleer met grafische rekenmachine.

V Oefening 32. Beschouw de irrationale functie

f(x) =

√x2

x.

Is f gelijk aan de sign-functie? Verklaar je antwoord.

V Oefening 33 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 1995 eerste ronde).Beschouw de volgende uitspraken:

b7xc = 7 b7xc = 7bxc b7 + xc = 7 + x b7 + xc = 7 + bxc.

Hoeveel van deze uitspraken zijn waar voor alle x ∈ò1,

11

10

ï?

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

U Oefening 34 (fractional-functie). Voor x ∈ R definieren we het fractioneel deel als

frac(x)def= x− bxc

Dit geeft aanleiding tot een nieuwe functie, die we de fractional-functie noemen.

(a) Teken de grafiek van de fractional-functie. Controleer met behulp van je grafische rekenmachine.

(b) Komt de fractional-functie overeen met de functie fpart(x) uit de grafische rekenmachine?

(c) Beschouw de functies f(x) = bxc + b−xc en g(x) = frac(x) + frac(−x). Teken de grafieken van de functies f ,g en f + g.

(d) Wat vermoed je, op basis van je resultaat in (c), voor de functie f + g? Bewijs je vermoeden.

U?? Oefening 35 (rekenregels voor de floor-functie). De volgende eigenschappen van de floor–functie zijn uitermatehandig om andere eigenschappen te bewijzen. Voor elke twee reele getallen x en n geldt:

bxc = n ⇔ n ≤ x < n+ 1 (a)

bxc = n ⇔ x− 1 < n ≤ x (b)

bxc < n ⇔ x < n (c)

bxc ≥ n ⇔ x ≥ n. (d)

Bewijs met behulp van deze rekenregels de volgende eigenschap:

b»bxcc = b√xc voor elke x ∈ R+.

I-93

Hoofdstuk 5

Exponentiele functies

Exponentiele functies worden vooral gebruikt om fysische, chemische, biologische, economische en sociale verschijnse-len te modelleren, zoals bijvoorbeeld bevolkingsgroei, intrestberekening, radioactief verval en het verspreiden van eengerucht. We kiezen er dan ook voor om vanuit zo’n model de exponentiele groei in te voeren. Deze opbouw kent eengrote analogie met lineaire groei, waar we dan ook mee van start gaan.

5.1 Lineaire groei, lineaire functies (herhaling)

bamboe

3 Op ontdekking. Een bepaalde soort bamboe groeit in de zomer aan eensnelheid van 1, 4 cm per dag. In het begin van de zomer is een bamboeplant 1 mlang.

(a) Bepaal de lengte van de bamboe na drie maanden.

(b) Hoeveel groeit de bamboe elke twee dagen (de groeiterm elke twee dagen)?

(c) Wat is de groeiterm elke halve dag?

(d) Wat is de lengte van de bamboe na√

2 aantal dagen?

(e) Indien we veronderstellen dat de groei van de bamboe op hetzelfde tempoverloopt voor het begin van de zomer, bepaal dan de lengte van de bamboe20 dagen voor het begin van de zomer.

(f) Op de hoeveelste dag van de zomer is de lengte van de bamboe precies 2m?Bepaal algebraısch en duid de betekenis aan op de grafiek.

Oplossing. Noem f(x) de lengte van de bamboe (in cm) op x dagen na het begin van de zomer. Om hetfunctievoorschrift te ontdekken maken we eerst een tabel van enkele functiewaarden.

. Functievoorschrift: f(x) = ?


x 0 1 2 3

f(x) . . . . . . . . . . . .

De y-waarden in deze tabel vormen een rekenkundige rij: om de y-waarde van een volgende dag te vinden,moeten we bij de vorige dag de waarde a = . . . optellen. Daarom noemt men a de groeiterm. Omdata > 0 zegt men dat de lengte van de bamboe lineair groeit.

Door het patroon dat we in de tabel herkennen, kunnen we het functievoorschrift afleiden: f(x) = . . .

. Grafiek:

x

y

I-94

Dankzij het functievoorschrift kunnen we de vragen beantwoorden.

3 Definitie. Een lineaire functie is een functie f met als voorschrift


In deze definitie is a 6= 0 want anders is de functie f . . .

3 Eigenschap 1. Zij f(x) = ax+ b een lineaire functie. Dan is de grafiek van f van de vorm (voor b > 0):

y

x

lineaire afname

a < 0

b

+a

+1

y = ax+ b

of

y

x

lineaire groei

a > 0

b

+a

+1

y = ax+ b

3 Eigenschap 2 (omzetten van som in som). Zij f(x) = ax een lineaire functie. Dan geldt:1

f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2) voor elke x1, x2 ∈ R.

Bewijs.

1Een soortgelijk resultaat is het omzetten van een veelvoud in een veelvoud, dat wordt behandeld in Oefening 3. Men verwijst naardeze twee formules als de lineariteit van de functie f(x) = ax. De lezer gaat moeiteloos na dat de lineariteit niet geldt voor f(x) = ax+ bmet b 6= 0.

I-95


5.2 Exponentiele groei, exponentiele functies

witte waterlelie

3 Op ontdekking 1. Een bepaalde soort waterlelie groeit in de zomer zo sneldat de totale bladoppervlakte elke dag 18% groter wordt. In het begin van dezomer is de totale bladoppervlakte van een plantje 3 cm2.

(a) Bepaal de oppervlakte van de waterlelie na drie maanden.

(b) Mocht de waterlelie het ganse jaar aan dit tempo groeien, wat zou dan deoppervlakte na een jaar zijn? Vergelijk met de oppervlakte van de aarde(neem aan dat de aarde bolvormig is met straal 6357 km).

(c) Hoeveel groeit de waterlelie elke twee dagen (de groeifactor elke twee da-gen)? En elke 10 dagen?

(d) Wat is de groeifactor elke halve dag? En elk uur?

(e) Wat is de oppervlakte van de waterlelie na√

2 aantal dagen?

(f) Indien we veronderstellen dat de groei van de waterlelie op hetzelfde tempo verloopt voor het begin van dezomer, bepaal dan de oppervlakte van de waterlelie 20 dagen voor het begin van de zomer.

(g) Op de hoeveelste dag van de zomer is de oppervlakte van de waterlelie precies 1m2? Bepaal (indien mogelijk)algebraısch en duid de betekenis aan op de grafiek.

Oplossing. Noem f(x) de oppervlakte van de plant (in cm2) op x dagen na het begin van de zomer. Om hetfunctievoorschrift te ontdekken maken we eerst een tabel van enkele functiewaarden.



x 0 1 2 3

f(x) . . . . . . . . . . . .

De y-waarden in deze tabel vormen een meetkundige rij: om de y-waarde van een volgende dag te vinden,moeten we bij de vorige dag de waarde a = . . . vermenigvuldigen. Daarom noemt men a de groeifactor.Omdat a > 1 zegt men dat de oppervlakte van de lelie exponentieel groeit.

Het verband tussen de procentuele toename p = 18 en de groeifactor a wordt gegeven door de formule

a = 1 +p

100


. Grafiek:

x

y


I-96

3 Op ontdekking 2. Een bepaalde soort waterlelie krimpt in de winter zo snel dat de totale bladoppervlakteelke dag 15% kleiner wordt. In het begin van de winter is de totale bladoppervlakte van een waterlelie 900 m2.

(a) Bepaal de oppervlakte van de waterlelie na drie maanden.

(b) Wat is de groeifactor elke twee dagen? En elke maand?

(c) Wat is de groeifactor elke halve dag? En elke minuut?

(d) Indien we veronderstellen dat de groei van de waterlelie op hetzelfde tempo verloopt voor het begin van dewinter, bepaal dan de oppervlakte van de waterlelie 10 dagen voor het begin van de winter.

Oplossing. Noem f(x) de oppervlakte van de plant (in m2) op x dagen na het begin van de winter. Om hetfunctievoorschrift te ontdekken maken we eerst een tabel van enkele functiewaarden.



x 0 1 2 3

f(x) . . . . . . . . . . . .

Opnieuw vormen de y-waarden een meetkundige rij: om de y-waarde van een volgende dag te vinden,moeten we bij de vorige dag de waarde a = . . . vermenigvuldigen. Daarom noemt men a de groeifactor.Omdat a < 1 zegt men dat de oppervlakte van de lelie exponentieel afneemt.

Deze keer wordt het verband tussen de procentuele afname p = 15 en de groeifactor a wordt gegeven doorde formule

a = 1− p

100


. Grafiek:

x

y

I-97


3 Definitie. Een exponentiele functie is een functie f met als functievoorschrift

f(x) = b · ax met a ∈ R+0 \ {1} en b ∈ R0

In deze definitie is

. a ≥ 0 want anders is bijvoorbeeld f(1/2) = b · a1/2 = b√a = / en analoog f(3/2) = / en f(7/4) = / etc.

Bijgevolg zou de grafiek van f oneindig veel perforaties vertonen.

. a 6= 0 want anders is f(x) = . . . dus de functie f is een . . .

. a 6= 1 want anders is f(x) = . . . dus de functie f is een . . .

. b 6= 0 want anders is f(x) = . . . dus de functie f is een . . .

3 Eigenschap 1. Zij f(x) = b · ax een exponentiele functie. Dan is de grafiek van f van de vorm (voor b > 0):

y

x

y = b · ax

exponentiele afname

0 < a < 1

b

·a

+1

of

y = b · ax

y

x

exponentiele groei

a > 1

b

·a

+1

Uit de grafiek van een exponentiele functie lezen we de volgende eigenschappen af.

(a) dom f = . . . en bld f = . . .

(b) Voor 0 < a < 1 is limx→−∞

f(x) = . . . en limx→+∞

f(x) = . . .

dus de rechte . . . . . . is een horizontale asymptoot voor x→ +∞ aan de grafiek van f .

(c) Voor a > 1 is limx→−∞

f(x) = . . . en limx→+∞

f(x) = . . .

dus de rechte . . . . . . is een horizontale asymptoot voor x→ −∞ aan de grafiek van f .

I-98


3 Eigenschap 2 (omzetten van som in product). Zij f(x) = ax een exponentiele functie. Dan geldt

f(x1 + x2) = f(x1) · f(x2) voor elke x1, x2 ∈ R.

Bewijs.

3 Modelvoorbeeld. Onderstaande grafiek stelt de grafiek van een exponentiele functie f voor. Bepaal eenmogelijk functievoorschrift (enkel roosterpunten gebruiken). Controleer nadien met de grafische rekenmachine.

1

2

3

4

5

6

1 2 3−1−2−3

y

x

y = f(x)

Oplossing. Omdat f een exponentiele functie is, wordt het functievoorschrift gegeven door

f(x) = b · ax voor zekere a ∈ R+0 \ {1} en b ∈ R0.

Om de waarden van a en b te vinden hanteren we de meetkundige betekenis van de waarden a en b op de grafiekvan f .

I-99

Toepassing - Koolstof-14 datering

Willard Frank Libby(1908 - 1980)

In 1947 ontdekte Libby een manier om de ouderdom van planten- en dierenrestente achterhalen. Zijn methode staat bekend als koolstof-14 datering en steunt op hetradioactief verval van een koolstof-isotoop.2

Op aarde komt het scheikundig element koolstof, met als symbool C, voor in drieisotopen. Dat zijn atomen van koolstof met 6 protonen, maar waarvan het aantalneutronen verschilt. Twee van die drie isotopen zijn stabiel en komen in grote aan-tallen voor:

12C heeft 6 neutronen en vormt ongeveer 98, 93% van alle koolstof op aarde;

13C heeft 7 neutronen en vormt ongeveer 1, 07% van alle koolstof op aarde.

Aan de verhouding van 12C en 13C van een plant kan worden gezien welke vorm vanfotosynthese de plant gebruikt. Een derde isotoop werd in 1940 ontdekt:

14C heeft 8 neutronen en vormt nauwelijks 0, 000 000 0001% van alle koolstof opaarde.

Koolstof-14 is niet stabiel: na enige tijd verandert 14C door een proces van radioactief verval in andere, stabiele isoto-pen. Het heeft een halfwaardetijd van ongeveer 5730 jaar. Dat betekent: als we vanaf vandaag 1 gram 14C ongemoeid

laten, dan blijft daar na 5730 jaar nog 0, 5 gram 14C van over en weer 5730 jaar later 0, 25 gram 14C.

Koolstof-14 ontstaat in de atmosfeer, waar kosmische straling reageert met zuurstof en valt daarna op aarde, waarhet onder de vorm van koolstofdioxide in de voedselketen terecht komt. Een organisme in leven neemt koolstofdioxideop en houdt zo het inwendig gehalte koolstof-14 op peil. Maar na het afsterven wordt er geen koolstofdioxide meeropgenomen en neemt de hoeveelheid 14C af door radioactief verval.

Volgend voorbeeld illustreert hoe men een afgestorven organisme kan dateren.

3 Modelvoorbeeld. De halfwaardetijd van 14C is 5730 jaar.

(a) Wat is de groeifactor en de procentuele afname van 14C per 5730 jaar?

(b) Bepaal de groeifactor van 14C per jaar.

(c) In opgegraven beenderen meet men nog 70% van de oorspronkelijke hoeveelheid14

C. Wat is de ouderdomvan de beenderen? Los grafisch op (afronden tot op 1 jaar nauwkeurig).

negatieven van de lijkwadevan Turijn

(d) Men heeft met de koolstof-14 datering de leeftijd van de lijkwade van Turijntrachten te achterhalen. In 1988 trof men in het plantaardig weefsel van hetdoek 92, 2% van de oorspronkelijke hoeveelheid

14

C aan. In welk jaar zoude lijkwade gemaakt zijn volgens dit resultaat? Los grafisch op (afrondentot op 1 jaar nauwkeurig).3

Oplossing.

2Voor dit werk ontving Libby in 1960 de Nobelprijs voor de Scheikunde, een welverdiende erkenning voor het ontrafelen van de ouderdomvan antieke kampvuren en prehistorische skeletten.

3De lijkwade van Turijn is een eeuwenoud relikwie binnen het christendom. Het is een linnen kleed waarop vaag een beeld van een mante zien is met verwondingen aan de zichtbare hand, zoals ze zouden kunnen ontstaan zijn bij een kruisiging. Volgens sommige christenenis de lijkwade het kleed waarin Jezus werd gewikkeld en begraven nadat hij aan het kruis gestorven was. Het officiele standpunt van deKatholieke Kerk is dat het om een vervalsing gaat.

I-100

http://nobelprize.org/nobel_prizes/chemistry/laureates/1960/libby-bio.html

Oefeningen

5 Exponentiele functies Basis Verdieping Uitbreiding? ?? ? ?? ? ??

1 Lineaire groei, lineaire functies 12

3

2 Exponentiele groei, exponentiele functies 4567

891011

12131415

161718

1920

21 222324

2526


B Oefening 1. Een bepaalde soort bamboe krimpt in de winter aan een snelheid van 0, 8 cm per dag. In het begin vande winter is de bamboeplant 7 m lang. Noem f(x) de lengte van de bamboe (in cm) op x dagen na het begin van dewinter.

(a) Bepaal het voorschrift van f(x).

(b) Bepaal de lengte van de bamboe na drie maanden.

(c) Hoeveel krimpt de bamboe elke drie dagen?

(d) Hoeveel krimpt de bamboe elk uur?

(e) Op de hoeveelste dag van de winter is de lengte van de bamboe precies 6, 5 m? Bepaal algebraısch en duid debetekenis aan op de grafiek.

B Oefening 2. De volgende grafieken stellen de grafiek van een lineaire functie y = f(x) voor. Bepaal telkens hetfunctievoorschrift (enkel roosterpunten gebruiken).

1

2

3

4

5

−1

1 2 3 4 5−1

y

x

(a)

y = f(x)

1

2

3

4

5

−1

1 2 3 4 5−1

y

x

(b)

y = f(x)

U Oefening 3 (omzetten van veelvoud in veelvoud). Zij f(x) = ax een lineaire functie. Bewijs:

f(kx) = kf(x) voor elke k, x ∈ R.


B Oefening 4. Bepaal telkens de gevraagde groeifactor en/of procentuele toename of afname.

(a) Een spaarrekening groeit met 2, 1% netto per jaar. Bepaal de groeifactor per jaar.

(b) In een bepaalde streek neemt de populatie mussen af met 4% per jaar. Bepaal de groeifactor per jaar.

(c) Het aantal klanten van een firma verdubbelt elk jaar. Bepaal de groeifactor en de procentuele toename per jaar.

(d) Door een gunstige belegging neemt een kapitaal toe met 15% per jaar. Bepaal de groeifactor en de procentueletoename per week.

I-101

B Oefening 5. David en Katrijn hebben een job gevonden. David verdient 20 euro per uur en krijgt jaarlijks eenloonsverhoging van 1 euro per uur. Katrijn verdient 16 euro per uur en krijgt jaarlijks 10% opslag.

(a) Noem f(x) het loon (in euro per uur) van David in jaar x. Bepaal het functievoorschrift van f . Welke soortgroei is dit?

(b) Noem g(x) het loon (in euro per uur) van Katrijn in jaar x. Bepaal het functievoorschrift van g. Welke soortgroei is dit?

(c) Schets de grafieken van f en g in een assenstelsel. Vanaf welk jaar verdient Katrijn meer dan David (uiteraardafronden op 1 jaar nauwkeurig)? Los grafisch op. Hoeveel verdienen beide dan?

B Oefening 6. Een land is in oorlog met een buurland en kent daardoor een zeer hoge inflatie. In een jaar tijdverdrievoudigen de prijzen van de levensmiddelen. Veronderstel dat de prijsstijging exponentieel is. Bereken degroeifactor en de procentuele toename per twee jaar, per kwartaal en per dag.

B Oefening 7. In een natuurreservaat neemt een bepaalde insectensoort jaarlijks met 10% in aantal af. Op 1 juli 2002waren er 50 000 insecten.

(a) Noem N(t) het aantal insecten t jaar na 1 juli 2002. Bepaal N(t). Welke soort groei is dit?

(b) Schets de grafiek van f zonder grafische rekenmachine. Duid duidelijk de beginwaarde en de groeifactor aan.

(c) Bereken het aantal insecten op 1 juli 2003 en 1 juli 2004. Uiteraard afronden op 1 insect nauwkeurig.

(d) Veronderstel dat het aantal insecten voor 1 juli 2002 ook jaarlijks met 10% afnam. Hoeveel insecten waren erdan op 1 juli 1995?

B? Oefening 8. In Nederland gaat het kabinet in zijn eerste miljardennota uit van een economische groei van 2, 5% perjaar. Als dat zou kloppen voor de hele kabinetsperiode, met welke factor is het nationaal inkomen dan toegenomenbij de verkiezingen van drie-en-een-half jaar later?

B? Oefening 9. Bart K. Ell koopt een nieuwe auto ter waarde van 20 000 euro. Per jaarverliest deze auto 20% van zijn waarde.

(a) Noem f(x) de waarde van de auto na x jaar. Bepaal het functievoorschrift vanf . Welke soort groei is dit?

(b) Schets de grafiek van f zonder grafische rekenmachine. Duid duidelijk de be-ginwaarde en de groeifactor aan.

(c) Wat is de waarde van de auto na 10 jaar? Gebruik je grafische rekenmachine.

(d) Na hoeveel jaar is de auto van Bart minder dan 1000 euro waard? Afronden op1 jaar nauwkeurig.

B? Oefening 10. De volgende grafieken stellen de grafiek van een exponentiele functie f voor. Bepaal telkens een mo-gelijk functievoorschrift (bij (a) enkel roosterpunten gebruiken, bij (b) enkel de aangeduide punten).

1

2

3

4

5

6

1 2 3−1−2−3

y

x

(a)

y = f(x)

2

4

6

8

10

12

2 4 6−2−4−6

y

x

(b)

y = f(x)

P(−2, 454

)

Q(0, 5)

I-102

B? Oefening 11. In een tank is door een fout 10 kg zout toegevoegd. Men spoelt detank door het toevoegen van zuiver water en lozen van het verontreinigd product. Opdeze manier verdwijnt er per minuut 20% van het aanwezige zout.

(a) Bepaal de groeifactor per minuut.

(b) Bepaal de groeifactor en de procentuele afname per 5 minuten.

(c) Bepaal de groeifactor en de procentuele afname per 20 seconden.

(d) Hoeveel kilogram zout blijft er over na een half uur spoelen? Los algebraısch op.

(e) Hoe lang moet men spoelen opdat er minder dan 1 gram zout overblijft? Los grafisch op. Afronden op 1 secondenauwkeurig.

B?? Oefening 12 (toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven).In 1995 voorziet het Ministerie van Sociale Zaken dat het aantal bejaarden met psychische problemen in de komende 15jaar zal verdubbelen van 200 000 tot 400 000. Hierdoor moeten meer hulpverleners opgeleid worden. In een voorstudiestelt een socioloog voor de groei van het aantal bejaarden met psychische problemen twee modellen voorop (telkensin functie van t, het aantal jaar na 1995)

3 Model I: lineaire groei

3 Model II: exponentiele groei

Beoordeel de volgende uitspraken (juist of fout).

(a) Voor t = 22, 5 voorspelt model I precies 500 000 bejaarden met psychische problemen.

(b) Voor t = 22, 5 voorspelt model II precies 400 000 ·√

2 bejaarden met psychische problemen.

(c) Voor t = 10 voorspelt model I precies 333 333, 33 . . . bejaarden met psychische problemen.

(d) Voor t = 10 voorspelt model II precies 200 000 · 3√

4 bejaarden met psychische problemen.

(e) Volgens model II zouden er in 2005 meer bejaarden met psychische problemen zijn dan volgens model I.

(f) Volgens model II zouden er in 2015 meer bejaarden met psychische problemen zijn dan volgens model I.

B?? Oefening 13. Iemand neemt een fles limonade vantafel en zet die in de koelkast. Hierdoor neemt detemperatuur van de fles langzaam af.Volgende grafiek geeft het verband tussen de tem-peratuur van de limonade in graden Celsius en detijd in minuten vanaf het moment dat de fles in dekoelkast is gezet.

(a) Het voorschrift is van de vorm f(t) = b · at +d. Bepaal het functievoorschrift (enkel P enQ zijn roosterpunten die tot de grafiek van fbehoren).

(b) Wat is de kamertemperatuur?

(c) Wat is de temperatuur in de koelkast?

5

10

15

20

5 10 15 20

(◦C) y

t

(minuten)

y = f(t)

P

Q


f(x) = 3 · 5−x/3 − 2.


(b) Welke transformaties moet je uitvoeren op defunctie g(x) = 5x om de functie f te verkrij-gen?


(d) Bepaal bld f .

(e) Bepaal de vergelijking van de horizontale asymptoot aan de grafiek van f .

I-103

B?? Oefening 15. In gepasteuriseerde melk zijn niet alle schadelijke of tot bederf leidendemicro-organismen gedood; hun aantal is zover terug gebracht dat de gekoelde melkeen aantal dagen geschikt blijft voor consumptie.Bacillus cereus overleeft in kleine aantallen de pasteurisatie door het vormen vansporen. Na de pasteurisatie transformeren zij zich terug tot gewone bacterien, diezich vervolgens vermeerderen. Daardoor neemt de bacteriendichtheid c(t), met alseenheid aantal per ml melk, toe als een exponentiele functie. Die functie hangt sterkaf van de temperatuur T van de melk:

bij T = 4◦C is c(t) = c(0) 1, 02t

bij T = 7◦C is c(t) = c(0) 1, 06t

met t de tijd in uren, waarbij t = 0 het tijdstip van pasteurisatie is en c(0) de dichtheid na pasteurisatie en de-sporulisatie. De melk is zeker bedorven als c(t) > 107. Wegens de toxines die Bacillus cereus kan produceren wordtc(t) = 105 als veiligheidsgrens gebruikt.Veronderstel dat c(0) = 10.

(a) Bepaal het aantal bacterien na 5 dagen bewaren bij 4◦C.

(b) Bepaal het aantal bacterien na 7 dagen bewaren bij 4◦C.

(c) Na hoeveel dagen bewaren bij 4◦C is de veiligheidsgrens c(t) = 105 bereikt? Hoe lang duurt dat bij bewaren bij7◦C? Afronden op 1 dag nauwkeurig.

(d) Met welke factor verleng je de houdbaarheidstijd als je de bewaartemperatuur van 7◦C naar 4◦C terug brengt?

V Oefening 16. De volgende tabel geeft de groei weer van een aantal grootheden tijdens zes opeenvolgende tijdseen-heden. In welke gevallen is er sprake van lineaire toename of afname? In welke gevallen is er sprake van exponentieletoename of afname?

t 0 1 2 3 4 5

f(t) 1701 567 189 63 21 7

g(t) 105 118 131 146 163 182

h(t) 29, 7 27, 1 24, 5 21, 9 19, 3 16, 7

V Oefening 17. Bepaal de parameters a en b van de functie

f(x) = b · ax + 2

zodanig dat de punten A(2, 7) en B(5, 3) op de grafiek van f liggen. Vereenvoudig a en b zoveel als mogelijk.

V Oefening 18. Veronderstel dat alle regeringen zich gezamelijk ten doel stellen, dat de verdubbeling van de wereld-bevolking pas na 50 jaar mag plaatsvinden. Wat is het veronderstelde groeipercentage per jaar?

V? Oefening 19. Bepaal algebraısch de snijpunten van de functies

f(x) = 2x2

en g(x) = 323x+8.

V? Oefening 20 (toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven).Als een handelaar de prijs van een product met p% verhoogt, met hoeveel procent moet hij dan de nieuwe prijs verlagenom terug bij de oorspronkelijke prijs te komen?

(A)p

1− p100

(B) p (C)100p

100− p (D)100p

100 + p

V?? Oefening 21 (toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven).Veronderstel dat de concentraties in het bloed van stof A en van stof B omgekeerd evenredig zijn. Als de concentratievan stof A met p% toeneemt, met hoeveel procent zal de concentratie van stof B dan afnemen?

U Oefening 22 (omzetten van veelvoud in macht). Zij f(x) = ax een exponentiele functie. Bewijs:

f(kx) = f(x)k voor elke k, x ∈ R.

U Oefening 23 (extrema van functies van de vorm a�). De functie y = 2x is overal stijgend, dat wil zeggen: alsx1 > x2 dan is 2x1 > 2x2 . Anders gezegd: hoe kleiner de waarde van de exponent, des te kleiner de functiewaarde.Het minimum van de functie f(x) = 2x

2−6x+8 wordt dan ook bereikt bij het minimum van x2 − 6x + 8. Berekenalgebraısch de coordinaten van het punt P waarin de grafiek van f dit minimum bereikt.

I-104

Na het inschenken neemt dehoogte van de schuimkraagexponentieel af in functievan de tijd.

U Oefening 24 (exponentiele regressie). Bij het inschenken van een glas bier ont-staat een schuimkraag. In de onderstaande tabel staat per 20 seconden de hoogte vande schuimkraag.

tijd (in seconden) hoogte van de schuimkraag (in cm)

0 320 2, 5540 2, 1760 1, 8480 1, 56100 1, 33120 1, 13140 0, 96

(a) Waarom is er hier geen sprake van lineaire daling? Leg uit dat hier mogelijksprake is van een exponentieel proces.

(b) Bepaal met behulp van je grafische rekenmachine de best passende exponentiele functie (hoogte van de schuim-kraag in functie van tijd) waarvan de grafiek door deze meetpunten gaat.

(c) Bepaal, uitgaande van de exponentiele functie in (a), de groeifactor en de procentuele afname per minuut.

(d) Bepaal de hoogte van de schuimkraag na 5 minuten.

Aanwijzing bij (b). Het idee dat men bij een aantal meetpunten de best passende functie vindt onder de veronderstellingdat het gaat om een exponentieel verband, noemt men exponentiele regressie. We werkwijze om exponentiele regressieuit te voeren met de grafische rekenmachine, is als volgt.

3 Invoeren van de gegevens in een lijst.

STAT EDIT 1:Edit 0 ENTER 20 ENTER

3 Plotten van de meetpunten.

2ND STAT PLOT 1:Plot1 WINDOW GRAPH

3 Berekenen van de exponentiele functie door de meetpunten.

STAT CALC 0:ExpReg CALCULATE

I-105

3 Plotten van de exponentiele functie.

Y= VARS 5:Statistics... EQ 1:RegEQ

GRAPH

U? Oefening 25 (samengestelde intrest). Bij samengestelde intrestberekening zet je een kapitaal k uit aan p% perjaar. Daarbij laat je jaar na jaar de verworven intrest ongemoeid. Toon aan dat het totale kapitaal na n jaar gelijk isaan

k(

1 +p

100

)n.

U? Oefening 26 (logistieke groei). Gewoonlijk kan een populatie niet onbeperkt exponentieel blijven groeien. Opden duur zal de populatie te groot worden voor de omgeving om ze te dragen. Dan treden problemen op zoals ziekteen voedselschaarste waardoor de groei vertraagt. Om dit te modelleren werd het zogenaamd logistiek groeimodelontworpen:

f(t) =K

1 + K−bb a−t

waarbij a > 1, b > 0 en K > b.

waarbij a de initiele groeifactor voorstelt, b de beginwaarde en K de bovengrens. De grafiek van f neemt de volgendevorm aan: y

t

b

K

y =K

1 + K−bb a−t

vijver met eendenkroos

Eendenkroos kan een vijver volledig dichtgroeien. In een vijver met erg weinig een-denkroos neemt de hoeveelheid eendenkroos toe met 32% per dag. Na verloop vantijd wordt de exponentiele groei getemperd door een gebrek aan ruimte. Daaromwordt de hoeveelheid eendenkroos in functie van de tijd beschreven door een logistiekgroeimodel. Stel dat een vijveroppervlak in het begin reeds voor 1/36 bedekt is meteendenkroos.

(a) Bepaal het functievoorschrift van de hoeveelheid eendenkroos in functie van detijd t.

(b) Schets de grafiek van deze functie en lees de eventuele asymptoten af.

(c) Wanneer is de helft van de vijver dichtgegroeid? Rond af op een dag nauwkeurig.

I-106


Inzicht in muziek

Het bespelen van een snaar veroorzaakt een vibratie, die men uitdrukt in het aantal trillingen per seconde, defrequentie genaamd. Indien we de snaar niet indrukken, horen we de zogenaamde grondtoon (of eerste harmonische).Bij het bespelen is de frequentie omgekeerd evenredig met de lengte van de snaar: hoe korter de snaar, hoe hogerde frequentie en dus ook de toon komt te liggen. Indrukken van een snaar in het midden zorgt dat de frequentieverdubbelt en dan horen we de eerste boventoon (of tweede harmonische). Indrukken in 1/3, 1/4, etc. geeft dehogere boventonen.

Het octaaf is in de muziek het interval tussen twee tonen waarvoor geldt dat de frequentie van de ene toon precieshet dubbele is van die van de andere. Bijgevolg is het interval tussen de grondtoon en de eerste boventoon precieseen octaaf, alsook het interval tussen de eerste boventoon en de derde boventoon.

In het Westen stemt men instrumenten af volgens de zogenaamde gelijkzwevende stemming: men zorgt dat elketwee opeenvolgende tonen dezelfde verhouding in frequentie hebben. Bovendien is het gebruikelijk om elk octaafte voorzien van 12 tonen. Dit is wat men noemt een chromatische toonladder. Kiest men de toonsoort met alsgrondtoon C, dan loopt zo’n toonladder bijvoorbeeld bij C1 en loopt dan via de halve noten C#, D, D#, E, F, F#,G, G#, A, A#, B naar C2. Dat zijn precies 12 stappen. De meeste muziekinstrumenten staan gestemd in C majeur,een toonsoort met als grondtoon C.

toonladder van C majeur in muzieknotatie

Om bij een snaar de 12 tonen in het octaaf tussen de grondtoon en de eerste boventoon te laten horen, moeten weeen halve lengte in 12 verdelen, zodat elke twee opeenvolgende afstanden dezelfde verhouding a hebben (zie figuur).Omdat we na twaalf stappen met 2 hebben vermenigvuldigd, is a12 = 2, zodat a = 12

√2.

121110987654321

grondtoon eerste boventoon(octaaf hoger)

·2

·a·a·a. . .·a

eerste 4 fretten van eengitaar (C-majeur akkoord)

Bij een gitaar zijn zogenaamde frets geplaatst, plaatjes bevestigd aan de hals waaropeen gitarist zijn vingers plaatst, om zo de snaarlengte te veranderen zodat er eenandere toon te horen is.De frets zijn zo over de gitaarhals verdeeld dat elke volgende fret een half nootverschil oplevert. De toon die een snaar genereert welke is ingedrukt op de toetsvoor de 12e fret, is daarom precies een octaaf hoger dan de toon die de open snaar(zonder de snaar in te drukken) laat horen. En de 12e fret is precies op de helft vande totale lengte van de snaar gelegen. Fret 24 ligt precies op de helft van fret 12en de brug en genereert ook weer een toon die weer een octaaf hoger is dan bij fret12 (of twee octaven hoger dan een open snaar bij fret 0). Klassieke gitaren hebbenmeestal 19 frets. Bij elektrische gitaren varieert het normaal gesproken tussen de19 en 24 frets.

I-107

Hoofdstuk 6

Logaritmische functies

Students usually find the concept of logarithmsvery difficult to understand.

Bartel Leendert van der Waerden 1957

Elke exponentiele functie is inverteerbaar en de inverse is wat men noemt een logaritmische functie. Logaritmenontstaan uit de noodzaak om exponentiele vergelijkingen op te lossen, wat we zullen bespreken in Hoofdstuk 7.

6.1 Inleiding en motivatie

Salvinia Molesta op deFinniss rivier, Australie

3 Op ontdekking 1. Salvinia Molesta is een snelgroeiende waterplant. In opti-male omstandigheden verdubbelt de omvang van deze plantjes iedere week. Eenvisser ontdekt op een dag 1 dm2 van deze plantjes. Los de volgende vragen op,indien mogelijk algebraısch.

(a) Na hoeveel weken bedraagt de oppervlakte van de waterplantjes 8 dm2?

(b) Na hoeveel weken bedraagt de oppervlakte van de waterplantjes 128 dm2?

(c) Na hoeveel weken bedraagt de oppervlakte van de waterplantjes 5 dm2?

Oplossing. Noem f(x) de totale oppervlakte van de plantjes (in dm2) op x weken na de ontdekking. Een tabelvan enkele functiewaarden laat een exponentiele groei zien, waaruit we het voorschrift van f kunnen aflezen:

. Functievoorschrift: f(x) = . . .


x −2 −1 0 1 2 3

f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Grafiek:

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7−1−2x

y


I-108

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Van_der_Waerden.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Salvinia_molesta

Vraag (c) kunnen we (voorlopig) niet algebraısch oplossen. Met behulp van de grafische rekenmachine vindenwe de oplossingen door het snijpunt van f(x) = 2x met g(x) = 5 te zoeken.

Antwoord op vraag (c). Na ongeveer . . . weken en . . . dagen is de totale omvang van de waterplantjes 5 dm2.

Nabeschouwing. We kunnen dit soort vragen altijd grafisch oplossen. Maar telkens de grafieken plotten, zinvollevensterinstellingen bepalen en snijpunt laten berekenen is tijdrovend. Daarom zoeken we naar een alternatievemanier om dit soort vragen op te lossen.

De functie f(x) = 2x is wel/niet inverteerbaar (schrappen wat niet past) want . . .

We zoeken de inverse functie van de functie f .

. Functievoorschrift: f(x) = 2x . Functievoorschrift: g(y) = ?

. Tabel van enkele functiewaarden: . Tabel van enkele functiewaarden:

x −2 −1 0 1 2 3

f(x) = y 0, 25 0, 5 1 2 4 8

y

x = g(y)

. Grafiek: . Grafiek:

1

2

3

4

5

6

7

−11 2 3 4 5 6 7−1

y

x

y = 2x

1

2

3

4

5

6

7

−11 2 3 4 5 6 7−1

x

y

. Uit de overgang van tabel f naar tabel g volgt

f(x) = y ⇔ x = g(y)

De functie g(y) is een nieuwe functie. We noemen die de logaritmische functie met grondtal 2 en we schrijven

g(y) = 2log y.1 Zo wordt bovenstaande formule

2x = y ⇔ x = 2log y x ∈ R, y ∈ R+0 .

In woorden: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1Lees 2log y als de 2-logaritme van y. In de literatuur noteert men naast 2log y ook log2 y.

I-109

3 Modelvoorbeeld 1. Bereken algebraısch (exacte waarde noteren en verklaring geven).

(a) 2log 8 = . . . want 8 = 2... (e) 2log 1 = . . .

(b) 2log 32 = . . . (f) 2log 0 = . . .

(c) 2log 1024 = . . . (g) 2log

Å1

4

ã= . . .

(d) 2log 2 = . . . (h) 2log (−8) = . . .

3 Gebruik van de grafische rekenmachine.

Het getal 2log 12 kunnen we op twee manieren met de grafische rekenmachine berekenen.2

MATH A:logBASE( LOG

3 Modelvoorbeeld 2. Bereken telkens met behulp van de grafische rekenmachine.

(a) 2log 8 = . . . (c) 2log 4096 = . . .

(b) 2log 0, 000001 = . . . (d) 2log (−3) = . . .

Dankzij logaritmen zijn we in staat om vraag (c) uit Op ontdekking 1 ook algebraısch op te lossen.3

3 Op ontdekking 1 (vervolg). De oppervlakte (in dm2) van de waterplantjes wordt beschreven door de functie

f(x) = 2x

waarbij x staat voor het aantal weken na de ontdekking.

(c) Bepaal algebraısch na hoeveel weken de oppervlakte van de waterplantjes 5 dm2 bedraagt.

(d) Bepaal algebraısch na hoeveel weken de oppervlakte van de waterplantjes 100 m2 bedraagt.

Oplossing.

Uiteraard is 2 niet het enige grondtal waarvoor er een logaritmische functie is. In feite kunnen we voor elkeexponentiele functie f(x) = ax met a ∈ R+

0 \ {1} de inverse functie g(y) = alog y beschouwen. In wat volgt gaanwe na hoe de grafiek van een logaritmische functie eruit ziet als a < 1.

2De tweede werkwijze met LOG steunt op een rekenregel van logaritmen die we in §6.3 zullen aantonen.3De lezer kan opmerken dat een vergelijking als 2x = 5 oplossen via x = 2log 5 toch niet algebraısch is, aangezien men gebruik moet

maken van de grafische rekenmachine om de waarde van 2log 5 te kennen. We merken op dat (1) men voor de komst van de rekenmachinebeschikte over tabellen waarin men benaderde waarden voor getalen zoals 2log 5 kon opzoeken en (2) men een analoog argument kanopwerpen voor het oplossen van een vergelijking zoals x3 = 2, waarbij men de oplossing 3

√2 ook pas kent na het opzoeken in een tabel

of intikken in de rekenmachine. De benaming algebraısch wijst enkel op het feit dat men de x-waarde(n) expliciet kan uitdrukken aan dehand van gekende functies.

I-110

3 Op ontdekking 2. Een gevaarlijke ziekte tast het waterplantje Salvinia Molesta aan. Elke week blijft er slechtsde helft over van de vorige week. Een biologisch instituut meet op een dag 1 km2 van deze plantjes.

Noem f(x) de totale oppervlakte van de plantjes (in km2) op x weken na de meting door het instituut. Ook nuheeft de grafiek van f een inverse.

. Functievoorschrift: f(x) = . . . . Functievoorschrift: g(y) = ?


x −3 −2 −1 0 1 2

f(x) = y . . . . . . . . . . . . . . . . . .

y

x = g(y)

. Grafiek: . Grafiek:

1

2

3

4

5

6

−1

−2

1 2 3 4 5 6−1−2

y

x

1

2

3

4

5

6

−1

−2

1 2 3 4 5 6−1−2

x

y

. Uit de overgang van tabel f naar tabel g volgt

f(x) = y ⇔ x = g(y)

De functie g(y) is een nieuwe functie. We noemen die de logaritmische functie met grondtal 1/2 en we

schrijven g(y) =12 log y. Zo wordt bovenstaande formuleÅ

1

2

ãx= y ⇔ x =

12 log y x ∈ R, y ∈ R+

0 .

3 Modelvoorbeeld 3. Bereken algebraısch (exacte waarde noteren en verklaring geven).

(a)12 log

Å1

16

ã= . . . want

1

16=

Å1

2

ã...(c)

12 log (−1) = . . .

(b)12 log

Å1

64

ã= . . . (d)

12 log (16) = . . .

3 Op ontdekking 2 (vervolg). De oppervlakte (in km2) van de waterplantjes wordt beschreven door de functie

f(x) =

Å1

2

ãxwaarbij x staat voor het aantal weken na de meting door het biologisch instituut.

(a) Bepaal algebraısch na hoeveel weken de oppervlakte van de waterplantjes 0, 1 km2 bedraagt.

(b) Aangenomen dat de waterplant al een tijd is aangetast, bepaal algebraısch hoeveel weken voor de metingde oppervlakte van de plantjes 5 km2 was.

Oplossing.

I-111

6.2 Definitie logaritmische functie en eigenschappen

3 Opbouw. Beschouw een exponentiele functie met grondtal a ∈ R+0 \ {1} en beginwaarde b = 1, formeel

f : R→ Rx 7→ f(x) = ax.

Uit de grafiek blijkt dat f een inverteerbare functie is, want bij elke y-waarde hoort hoogstens een x-waarde.

Noem g de inverse functie van f . Uit de overgang van tabel f naar tabel g volgt f(x) = y ⇔ x = g(y) .

We noemen de functie g de logaritmische functie met grondtal a en we schrijven g(y) = alog y.

Zo wordt de bovenstaande formule

3 Eigenschap 1 (grondformule van logaritmen). Voor a ∈ R+0 \ {1} is

ax = y ⇔ x = alog y ∀x ∈ R,∀y ∈ R+0

Samengevat komen we tot de volgende

3 Definitie.4 Zij a ∈ R+0 \ {1}. De logaritmische functie met grondtal a

g : R→ Rx 7→ g(x) = alog x

is de inverse functie van de exponentiele functie met grondtal a

f : R→ Rx 7→ f(x) = ax.

3 Eigenschap 2. Elimineren we y (of x) uit de grondformule dan verkrijgen we de handige formule

x = alog ax resp. aalog y = y

3 Eigenschap 3. Zij g(x) = alog x een logaritmische functie. Dan is de grafiek van g van de vorm:

y = alog xy

x

logaritmische afname

0 < a < 1

1

·a

+1

of

y

x

y = alog x

logaritmische groei

a > 1

1

·a

+1

Uit de grafiek van een logaritmische functie lezen we de volgende eigenschappen af.

(a) dom g = . . . en bld g = . . .

(b) Nulwaarden: . . .

(c) De rechte . . . . . . is een verticale asymptoot aan de grafiek van g.

(d) Voor 0 < a < 1 is limx→

>0g(x) = . . . en voor a > 1 is lim

x→>

0g(x) = . . .

4Lees alog y als de a-logaritme van y. In de literatuur noteert men naast alog y ook loga y, en gebruikt men in plaats van de termgrondtal ook wel basis.

I-112


6.3 Rekenregels voor logaritmen

Op pagina 99 hebben we aangetoond dat een exponentiele functie f(x) = ax een som omzet in een product. Dat blijktook uit onderstaande tabel van enkele functiewaarden (links). Na het omkeren van die tabel vinden we de tabel vanenkele functiewaarden van de logaritmische functie g(y) = alog y (rechts). Hierin zien we dat een logaritmische functieblijkbaar een product omzet in een som.

. Functievoorschrift: f(x) = ax . Functievoorschrift: g(y) = alog y


x −1 0 1 2 3

ax = y . . . . . . . . . . . . . . .

y

x = alog y

In deze paragraaf bewijzen we deze en soortgelijke rekenregels.

3 Rekenregel 1 (logaritme van een product). Zij a ∈ R+0 \ {1} en y1, y2 ∈ R+

0 . Dan is

alog(y1 · y2) = alog y1 + alog y2

Bewijs.

Voorbeeld. 4log 32︸︷︷︸?

+ 4log 2︸︷︷︸?

= . . .

3 Rekenregel 2 (logaritme van een quotient). Zij a ∈ R+0 \ {1} en y1, y2 ∈ R+

0 . Dan is

alog

Åy1y2

ã= alog y1 − alog y2

Bewijs.


− 7log 9︸︷︷︸?

= . . .

I-113

3 Rekenregel 3 (logaritme van een macht). Zij a ∈ R+0 \ {1} en y ∈ R+

0 en r ∈ R. Dan is

alog(yr) = r · alog y

Bewijs.


−3 5log 2︸︷︷︸?

= . . .

Leonhard Euler(1707 - 1783)

3 Rekenregel 4 (verandering van grondtal).5 Zij a, b ∈ R+0 \ {1} en y ∈ R+

0 .Dan is

blog y =alog yalog b

Bewijs.


= . . .

Bijzonder geval. Uit Rekenregel 4 volgt blog a =alog aalog b

=1

alog b, zodat blog a =

1alog b

.

3 Bijzondere logaritmen. De volgende twee logaritmen staan rechtstreeks op de grafische rekenmachine.

. De logaritme met grondtal 10 noemen we de Briggse logaritme en noteren we korter door

log x.6 Dus 10log x = log x . Dat is de logaritme die je op de grafische rekenmachine vindt

onder de knop log. Zo is

log(100) = 2 want 100 = 102

. De logaritme met grondtal e = 2, 7182818 . . . noemen we de natuurlijke logaritme (of

Neperiaanse logaritme) en noteren we korter door lnx.7 Dus elog x = lnx . Dat is de

logaritme die je op de grafische rekenmachine vindt onder de knop ln. Zo is

ln(100) = 4.605517... want 100 = e4,605517...

3 Opmerking. In §6.1 zagen we hoe je de bijvoorbeeld het getal 2log 12 kan berekenen met de grafische reken-machine. Deze werkwijze berust op Rekenregel 4, omdat

2log 12 =10log 1210log 2

=log 12

log 2.

5De rekenregel verandering van grondtal wordt ook wel Euler’s Golden Rule genoemd. Het verband tussen logaritmen, de afstand vanbreedtecirkels in een kaartprojectie van Mercator, de exponentiele functie ex, de natuurlijke logaritme lnx en de oppervlakte onder degrafiek van de functie 1/x is erg geleidelijk ontdekt en werd voor het eerst door Euler in 1748 helder uiteengezet. Om die reden noemt menhet getal e = 2, 7182818 . . . ook wel het getal van Euler. De definitie van het getal e wordt behandeld in Deel Rijen. Voor een meetkundigebetekenis van het getal e verwijzen we naar Oefening 39, Deel Afgeleiden en Deel Integralen.

6Ontwikkeld door Henry Briggs in 1617.7Genoemd naar John Napier 1614, alhoewel zijn logaritme NapLogx, op een meetkundige manier gedefinieerd als NapLog(107(1−

1/107)L) = L, gelijk is aan 1/elog (x/107).

I-114

http://nl.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler

http://nl.wikipedia.org/wiki/Henry_Briggs

http://en.wikipedia.org/wiki/John_Napier

3 Modelvoorbeeld 1. Bereken algebraısch met behulp van de rekenregels (exacte waarde noteren en tussenstap-pen opschrijven):

2log

Å1

5√

8

ã+ 2log

Ä5

3√

2ä.

Oplossing. Toepassen van Rekenregel 1 geeft alvast:

2log

Å1

5√

8

ã+ 2log 5

3√

2 = 2log

Å1

5√

8· 5 3√

2

ã= 2log

Ç3√

2√8

åDoor 3

√2 en

√8 te schrijven als macht van het grondtal 2, kunnen we Rekenregel 3 toepassen:

2log

Å1

5√

8

ã+ 2log 5

3√

2 = 2log

Ç3√

2√8

å= . . .

3 Modelvoorbeeld 2. Bewijs de volgende logaritmische identiteit:8

alog d · blog a · clog b · dlog c = 1.

Oplossing. Een succesvolle techniek voor het bewijzen van logaritmische identiteiten is om alle logaritmen naarhetzelfde grondtal te brengen en beide leden te herschrijven. Kiezen we hier het grondtal a, dan wordt het linkerlid

LL = alog d · blog a · clog b · dlog c = . . .

3 Waarschuwing. Bij het manipuleren van logaritmen moet men toch enige voorzichtigheid aan de dag leggen.Ter illustratie staan aan de linkerkant uitdrukkingen die men soms verkeerdelijk als identiteit aanziet en rechtsde correcte identiteiten.

alog (x+ y) 6= alog x+ alog y

alog (x− y) 6= alog x− alog y

alog (x · y) 6= alog x · alog y

alog

Åx

y

ã6=

alog xalog y

want

alog x+ alog y = alog (x · y)

alog x− alog y = alog

Åx

y

ãalog (x · y) = alog x+ alog y

alog

Åx

y

ã= alog x− alog y

Met de uitdrukkingen alog (x+ y), alog (x− y) en alog x · alog y valt in het algemeen niets aan te vangen.

8Een identiteit is een uitdrukking van de vorm � = 4, die waar is voor alle waarden van a, b, . . . of x, y, . . . die in � of 4 voorkomenen waarvoor de opgave zin heeft. In Modelvoorbeeld 2 is dat voor alle a, b, c, d ∈ R+

0 \ {1}, hoewel men dat meestal niet specifieert.

I-115

Toepassing - Schrijven van grote machten in wetenschappelijke notatie

Sommige getallen zijn zo groot of zo klein dat het onhandig wordt hen in decimale vorm te schrijven, bijvoorbeeld9

5 720 467 000 000 000 000 000 000 en 0, 000 000 0061.

Voor zulke getallen hanteert men de wetenschappelijke notatie, waarbij getallen geschreven worden in de vorm

a · 10b met a ∈ R en b ∈ Z.

Het getal a noemt men de mantisse (of significant) en b de exponent. Een genormaliseerde versie betekent dat1 ≤ |a| < 10. Bovenstaande getallen in (genormaliseerde) wetenschappelijke notatie zijn

5, 720 467 · 1024 en 6, 1 · 10−9.

Het getal van Avogadro inE-notatie

De meeste rekenmachines en computerrekenpakketten geven zeer grote en kleine ge-tallen weer met behulp van de wetenschappelijke notatie. Op het scherm kunnen ex-ponenten in bovenschrift zoals 107 niet handig worden weergegeven. Daarom wordteen alternatieve manier gebruikt: de letter E, die gelezen wordt als maal tien tot demacht.

Voor het omzetten van een macht in wetenschappelijke notatie kunnen logaritmen gebruikt worden, waarbij we steunenop Eigenschap 2 pagina 112, symbolisch:

� = 10log�

Deze methode werkt ook voor machten die buiten het bereik van de grafische rekenmachine liggen.

3 Modelvoorbeeld. Schrijf 5273 in wetenschappelijke notatie.

Oplossing.

9Het eerste getal spreek je uit als vijf-quadriljoen zevenhonderdtwintig-triljard vierhonderdzevenenzestig-triljoen. Het grootste getal datooit in een serieus wiskundig bewijs werd gebruikt, is het getal van Graham uit 1971 (opgenomen in het Guinness Book of Records).Het verscheen als bovengrens van de oplossing van een probleem uit Ramsey-theorie, een tak van de wiskunde.

I-116

http://en.wikipedia.org/wiki/Graham%27s_number

Oefeningen

6 Logaritmische functies Basis Verdieping Uitbreiding? ?? ? ?? ? ??

1 Inleiding en motivatie 123

3 3 34

2 Definitie logaritmische functie en eigenschappen 5 56

57

58910

5 11

3 Rekenregels voor logaritmen 12131415

1516171819

1520212223

1524252627

2829303132

3334

3536

3738

39


B Oefening 1. Schrijf de oplossing van 3x = 7 als een logaritme.

B Oefening 2. Los algebraısch de volgende vergelijkingen op.

(a) 2x = 37 (c) 163t =1

21

(b) 2 · 3x − 9 = 14 (d) 5x2

= 4

Oefening 3. Bereken algebraısch de volgende logaritmen (exacte waarde noteren en verklaring geven). Controleer jeresultaat met je grafische rekenmachine.

B (a) 5log 625 B?? (e)32 log

Å4

9

ãB (b) 3log

Ä3 ·√

3ä

B?? (f)59 log

Å27

5√

5

ãB? (c) 4log 128 V (g) 125log

(533)

B? (d) 16log 8 V (h) 3√3log 243

V Oefening 4. Zij f(x) = b ·ax een exponentiele functie waarvan de grafiek door de punten P (3, 14) en Q(27, 686) gaat.Bepaal algebraısch de waarden van a en b.


Oefening 5. Bepaal algebraısch het domein van de volgende functies.

B (a) f(x) = 1/3log (x− 1) B?? (d) f(x) = 2log

Å1− x1 + x

ãB (b) f(x) = 2log(7− 11x) V (e) f(x) = 6log

Ä1/5log x

äB? (c) f(x) = 3 · 0,7log

Ä√6x− 8

ä+ 1 V? (f) f(x) = 10log

(10log ( 10log x)

)

B?? Oefening 6. Gegeven is de functief(x) = 0,5log (x+ 3) + 2.


(b) Welke transformaties moet je uitvoeren op de functie g(x) = 0,5log x om de functie f te verkrijgen?


(d) Bepaal bld f .

(e) Bepaal alle asymptoten aan de grafiek van f .

I-117

B? Oefening 7. De volgende grafieken stellen de grafiek van een logaritmische functie f(x) = alog x + b voor. Bepaaltelkens een mogelijk functievoorschrift (enkel roosterpunten gebruiken).

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3 4 5−1

y

x

(a)

y = f(x)1

−1

−2

−3

−4

−5

1 2 3 4 5−1

y

x

(b)

y = f(x)

V Oefening 8. De volgende grafiek stelt de grafiek van een logaritmische functie f(x) = alog (x+ b) + c voor. Bepaaleen mogelijk functievoorschrift (enkel roosterpunten gebruiken).

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3 4 5 6−1−2−3−4

y

x

y = f(x)

V Oefening 9. Schrijf 2 als een macht van 5.

V Oefening 10. Bepaal telkens het grondtal a.

(a) alog 9 = 2 (c) alog 5 =1

2(b) alog 64 = 3 (d) alog 3 = −1

V?? Oefening 11. Gegeven zijn de functies

f(x) = 3log (x− 1) en g(x) =

…x

x− 1.

Bepaal algebraısch het domein van de functie g ◦ f .

I-118


B Oefening 12. Bereken algebraısch de volgende logaritmen met behulp van de rekenregels (exacte waarde noteren entussenstappen opschrijven).

(a) 2log 12 + 2log

Å1

3

ã(e) 7log 63− 7log 9

(b) 2log

Å1

8 6√

32

ã(f) 2log

(52)

+ 2log 12− 2log 75

(c) 9log 27 (g) 5log 40− 3 5log 2

(d)logÄ10√

10ä

log 0, 1(h) 0,04log

3√

5

B Oefening 13. Schrijf 20102 in wetenschappelijke notatie.

B Oefening 14. Bepaal x waarvoor 2log(2log x

)= 2.

Oefening 15. Bewijs de volgende logaritmische identiteiten.

B (a) alog

Å1

y

ã= − alog y

B (b)1

alog y+

1blog y

=1

ablog y

B? (c) b2 log a · x2

log b =1

4xlog a

B? (d) xylog a =xlog a · ylog axlog a + ylog a

B?? (e) mnlog x =nlog x

1 + nlogm

B?? (f) alog x · blog x+ blog x · clog x+ clog x · alog x =alog x · blog x · clog x

abclog x

V (g) aln b = bln a

V (h)1

1/alog (pq)+ pqlog (10a) =

1

log p+ log q

B? Oefening 16. Schrijf log

5(x− 3)3

x+ 2als een som van logaritmen.

B? Oefening 17. Als gegeven is dat xlog a = 2, xlog b = 3, xlog c = 4 en xlog d = 5 waarbij x ∈ R+0 \ {1} en

a, b, c, d ∈ R+0 , bereken dan

xlog3

…ab2

cd4.

B? Oefening 18. Schrijf1

2(log 125 + 8 log 6− 3 log 121) als een logaritme.

B? Oefening 19. Bereken algebraısch met behulp van rekenregels (exacte waarde noteren en tussenstappen opschrijven):

4

log 5− 2

4log 5.

Salmonella typhimurium

B?? Oefening 20. Het aantal salmonellabacterien op een stuk vis dat niet koel bewaardwordt neemt exponentieel toe. Na 3 uur vindt men 2500 bacterien, na 8 uur 7000.

(a) Bepaal de groeifactor en de procentuele toename per uur.

(b) Hoeveel bacterien bevinden zich op de vis na 20 uur?

B?? Oefening 21. Gegeven is een functie f(x) = a · bcx met a, b, c ∈ R en a > 0, b > 0,b 6= 1 en c 6= 0. Toon aan dat ln f een eerstegraadsfunctie is in x.

I-119

http://en.wikipedia.org/wiki/Salmonella

B?? Oefening 22. Onderzoek heeft uitgewezen dat het risico op het hebben van een auto-ongeval exponentieel stijgt metde hoeveelheid alcohol in het bloed.

(a) Schrijf een functie op die het verband aangeeft tussen R (risico, uitgedrukt in een percentage) en b (hoeveelheidalcohol in het bloed, uitgedrukt in promille).

(b) Indien bij b = 0 (helemaal geen alcoholische dranken genuttigd) het risico R = 1 en bij b = 1, 4 het risico R = 20is, bereken dan het risico bij 0, 5 promille en bij 0, 8 promille.

B?? Oefening 23. Toon aan dat de uitdrukking alog 27 + alog (275)− 3 · alog 0, 125

alog 3 + alog 6

onafhankelijk is van a ∈ R+0 \ {1}.

V Oefening 24. Gegeven zijn de afschattingen log 2 ≈ 0, 301 en log 3 ≈ 0, 477. Bereken algebraısch (bij benadering) devolgende logaritmen met behulp van de rekenregels en deze afschattingen. Tussenstappen opschrijven!

(a) log 1, 5 (d) log√

2

(b) log 0, 16 (e) log 500

(c) log

Å10

9

ã(f) log

Å13 +

1

3

ãV Oefening 25. Gegeven is de functie

f(x) = 3log(3x2).

Kunnen we de functie f verkrijgen door transformaties uit te voeren op de functie g(x) = 3log x? Verklaar.

V Oefening 26. Bereken algebraısch de volgende logaritmen met behulp van de rekenregels (exacte waarde noteren entussenstappen opschrijven).

(a) e5 ln 3 (c) e3 ln 7 · ln 49√e

(b) e−2 ln 5 · ln5√e2 (d) 72 ·

7log 3 · 3logÄ3

133

äV Oefening 27. Vereenvoudig ab log

Äab

cä.

V? Oefening 28. Bepaal x als je weet dat3√2log

√2 = x.

V? Oefening 29. Bewijs algebraısch de volgende uitdrukkingen.

(a)1

2log 5 = log

Å»6 + 2

√5 +

»6− 2

√5

ã− log

Å»6 + 2

√5−»

6− 2√

5

ã(b) log

√5 = log

Å»9 + 3

√5 +

»9− 3

√5

ã− log

Å»9 + 3

√5−»

9− 3√

5

ã

Stockton StreetSan Francisco, 1906

V? Oefening 30. De intensiteit van een aardbeving wordt weergegeven op de schaalvan Richter. Het verband tussen deze intensiteit M en de vrijgekomen energie E (injoules) wordt gegeven door logE = 4, 4 + 1, 5M .10

(a) Bepaal de energie E die vrijgekomen is na de aardbeving in San Francisco op18 april 1906 die een intensiteit had van 7, 8 op de schaal van Richter.

(b) Als de vrijgekomen energie van een eerste aardbeving 10 keer groter is dan diebij een tweede aardbeving, wat is dan het verband tussen de intensiteit van dezetwee aardbevingen?

(c) Onderstel dat de intensiteit van twee aardbevingen met 1 verschilt op de schaal

van Richter, wat is dan de verhouding van de vrijgekomen energie van de krachtigere aardbeving ten opzichtevan de minder krachtige aardbeving?

Aanwijzing bij (b) en (c). Noteer M1 resp. M2 voor de intensiteit en E1 resp. E2 voor de vrijgekomen energie bij deeerste resp. tweede aardbeving.

10De schaal van Richter werd in 1935 ontwikkeld door de seismologen Charles Francis Richter en Beno Gutenberg .

I-120

http://nl.wikipedia.org/wiki/Aardbeving_San_Francisco_1906

http://en.wikipedia.org/wiki/Charles_Francis_Richter

http://en.wikipedia.org/wiki/Beno_Gutenberg

V? Oefening 31. Gegeven is de functie

f(x) =alog xblog x

waarbij a, b ∈ R+0 \ {1}.


(b) Toon aan dat f(x) onafhankelijk is van x ∈ dom f .

(c) Maak een schets van de grafiek van f .

V? Oefening 32. Gegeven is een meetkundige rij van strikt positieve reele getallen (un) = u1, u2, u3, . . .. Bewijs dat voorelke a ∈ R+

0 \ {1}, de rij (vn) = alog u1,alog u2,

alog u3, . . . een rekenkundige rij is.

V?? Oefening 33 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 1990 tweede ronde).

Als x, y > 0, logy x+ logx y =10

3en xy = 144, dan is

x+ y

2=

(A) 12√

2 (B) 13√

3 (C) 24 (D) 30 (E) 36

V?? Oefening 34. Zij x en y positieve reele getallen waarvoor xy log x = 2 en y

xlog y = 16. Bepaal x.

U Oefening 35 (verdubbelingsprincipe van een exponentiele functie). Zij f(x) = b ·ax een exponentiele functie.Bewijs dat de waarde van f(x) verdubbelt over elk interval van lengte L = alog 2.

U Oefening 36 (toepassing van het getal e). Een fabrikant van zwavelzuurheeft een tank van 500 liter gevuld met een oplossing die bestaat uit 125 literzuur en 375 liter water. De fabrikant wil de tank spoelen door er zuiver wateraan toe te voegen met een snelheid van 120 liter per minuut. Om te vermijdendat de tank overloopt, wordt het mengsel onderaan afgetapt met een snelheidvan 120 liter per minuut (zie figuur). Men kan aantonen dat de hoeveelheidzuur (in liter) die overblijft gelijk is aan11

f(t) = 125 e−120/500 t

met t de tijd (in minuten) nadat met het spoelen is begonnen.

(a) Bepaal de groeifactor per minuut en de procentuele afname per minuut.

(b) Hoeveel liter zuur blijft er over na een half uur spoelen?

(c) Hoe lang moet men spoelen opdat de oplossing in de tank voor 99% uit water bestaat? Los algebraısch op.Afronden op 1 seconde nauwkeurig.

U? Oefening 37. Voor n ∈ N0 houdt log n verband met het aantal cijfers in de decimale voorstelling van n, zo blijkt uitde onderstaande tabel (vul aan).

n log n aantal cijfers van n

1 . . . . . .

9 . . . . . .

10 . . . . . .

99 . . . . . .

100 . . . . . .

999 . . . . . .

1000 . . . . . .

(a) Geef het verband tussen log n en het aantal cijfers van n ∈ N0.

(b) Bepaal het aantal cijfers van het getal 1324 en 5273.

(c) Het grootste priemgetal tot op heden bekend werd in 2016 ontdekt en is gelijk aan12

274 207 281 − 1.

Bepaal het aantal cijfers van dit getal.

11Voor een verklaring verwijzen we naar Deel Integralen.12De bewoording tot op heden bekend hoort hier opgevat te worden als tot op het moment dat deze cursus aangepast werd (29 juni 2017).

De Electronic Frontier Foundation looft 150 000 dollar uit voor de vinder van een priemgetal met tenminste 100 miljoen cijfers.

I-121

http://en.wikipedia.org/wiki/Electronic_Frontier_Foundation

U? Oefening 38 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 1993 tweede ronde).Als log2 (log2 (log2 (x))) = 2, hoeveel cijfers bevat de decimale voorstelling van het getal x dan? Er is gegeven datlog 2 ≈ 0, 301.

(A) 5 (B) 7 (C) 9 (D) 11 (E) 13

U?? Oefening 39 (betekenis van de natuurlijke logaritme). De oppervlakte onder de grafiek van de functie f(x) =1/x gedraagt zich als een logaritme, zo blijkt uit deze oefening.13

Voor t ≥ 1 noemen we A(t) de oppervlakte tussen de grafiek van f , de x-as en de rechten x = 1 en x = t.

(a) Schets de grafiek van f(x) = 1/x en duid A(2) aan.

(b) Voer op de functie f(x) = 1/x de volgende transformaties uit:

3 rek uit volgens x-as met factor 1/3

3 rek uit volgens y-as met factor 3

en schets bij elke transformatie de grafiek van de nieuwe functie, alsook de getransformeerde oppervlakte uit (a).

(c) Leid uit (b) af dat A(2 · 3) = A(2) + A(3), waaruit blijkt dat de oppervlaktefunctie A : R → R : t 7→ A(t) zichgedraagt zoals een logaritmische functie alog t.

Opmerking. Men kan aantonen dat het grondtal a van de logaritmische functie uit (c) gelijk is aan e = 2, 7182818 . . ..Dit betekent dat de oppervlakte onder de hyperbool zich gedraagt zoals de natuurlijke logaritme lnx. Vandaar debenaming natuurlijke logaritme.

Inzicht in mariene biologie

Dat exponentiele en logaritmische functies een rol spelen in de oceanografie wordt toegelicht met volgend voorbeeld.14

Een lichtstraal bevat energie per m2. Door die energie te vermenigvuldigen met de snelheid waarmee de lichtstraal(en dus de energie) beweegt, bekomt men de intensiteit van de lichtstraal. Zo daalt de intensiteit van een lampwanneer we het licht dimmen.

Intensiteit van een licht-straal neemt exponentieel af.

Wanneer een lichtbundel met een zekere intensiteit I0 door een absorberendmateriaal valt, zal de bundel bij het verlaten van het materiaal een lagere inten-siteit I1 hebben. De wet van Lambert-Beer stelt dat de doorgelaten intensiteitexponentieel afneemt met de dikte d van het materiaal en de concentratie c vande stof.15

Dat de intensiteit exponentieel afneemt met de dikte, is te begrijpen door het ma-teriaal in gedachten op te bouwen uit een aantal lagen van gelijke dikte. Wanneerelke laag p% doorlaat, verkrijgen we

na de eerste laag: intensiteit A = (1− p/100) · I0na de tweede laag: intensiteit B = (1− p/100) ·A = (1− p/100)

2 · I0na de tweede laag: intensiteit C = (1− p/100) ·B = (1− p/100)

3 · I0waarin we duidelijk een exponentieel verband zien. Analoog kan men inzien dat de intensiteit ook afneemt met deconcentratie c van de stof.

Voor vloeistoffen wordt de wet van Lambert-Beer geschreven als I1 = I0 10−εc d waarbij ε staat voor de extinc-tiecoefficient, een eigenschap van de absorberende stof zelf.

Toegepast op water verkrijgt men het verband I1 = I0 10−0,13 d

met d de diepte in meters. Zo kan een waterplant die genoeg heeft aan 10% van het daglicht aan de oppervlaktegroeien op een diepte van

d = − 1

0, 13log

ÅI1I0

ã= − 1

0, 13log 0, 1 =

1

0, 13≈ 7, 7 m.

13Ontdekt door Gregoire de Saint-Vincent 1647.14Geınspireerd door [47, pagina 28] en gebaseerd op relevante pagina’s uit http://en.wikipedia.org/ . Mariene biologie is die tak van

de biologie die zich bezighoudt met leven in de zeeen en oceanen. Het is een subtak van de oceanografie of zeekunde.15Deze wet werd ontdekt door Pierre Bouguer 1729 en ten onrechte toegekend aan Johann Heinrich Lambert die wel het werk

van Bouguer citeerde. Later veralgemeende August Beer de wet in 1852. Tegenwoordig wordt deze wet gebruikt in de UV/VIS-spectroscopie, een chemische analysetechniek waarbij de concentratie van een bepaalde stof in een te analyseren monster bepaald wordtdoor de absorptie van zichtbaar licht (VIS = visible) of van ultraviolet licht (UV-licht) te meten.

I-122

http://en.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A9goire_de_Saint-Vincent

http://en.wikipedia.org/wiki/Beer%E2%80%93Lambert_law

http://en.wikipedia.org/wiki/Pierre_Bouguer

http://en.wikipedia.org/wiki/Johann_Heinrich_Lambert

http://en.wikipedia.org/wiki/August_Beer

Hoofdstuk 7

Exponentiele en logaritmischevergelijkingen en ongelijkheden

Exponentiele en logaritmische vergelijkingen kennen veel praktische toepassingen buiten de wiskunde. Voorbeeldenhiervan zijn de berekening van samengestelde rente, radioactief verval en bevolkingsgroei.

7.1 Exponentiele vergelijkingen en ongelijkheden

In een exponentiele vergelijking of ongelijkheid komen machten van de vorm a� voor, met � een functie in bijvoorbeeldx of t. Voorbeelden van exponentiele vergelijkingen zijn

100 (0, 99)t2

= 50 en 3x+1 − 2 = 9x en 3x−1 =

Å1

4

ã3x+1

.

Voor het oplossen van zo’n exponentiele vergelijking bespreken we drie technieken.

3 Modelvoorbeeld 1. Los algebraısch op:

100 (0, 99)t2

= 50.

Techniek 1.

. Schrijf de vergelijkingin de vorm a� = b.

. Neem de log van beideleden.

Oplossing. We herschrijven de vergelijking in de vorm a� = b:

100 (0, 99)t2

= 50 ⇔ 0, 99t2

=1

2.

We vinden t2 door van beide leden de logaritme te nemen:1

100 (0, 99)t2

= 50 ⇔ 0, 99t2

=1

2

⇔ logÄ(0, 99)t

2ä

= log

Å1

2

ã⇔ . . .

Hoe kunnen we onze oplossing(en) controleren?

1Het grondtal van die logaritme mag vrij gekozen worden, al verdienen de grondtallen 10 en e een lichte voorkeur omdat die logaritmenlog en ln als knop op de grafische rekenmachine staan.

I-123

3 Modelvoorbeeld 2. Bepaal algebraısch alle x-waarden die voldoen aan

3x+1 − 2 = 9x.

Oplossing. Techniek 1 is niet van toepassing, omdat de vergelijking niet naar de vorm a� = b kan gebrachtworden. Waarom is het trouwens niet verstandig om van beide leden de log te nemen?

Om deze vergelijking algebraısch te kunnen oplossen, hebben we een nieuw inzicht nodig. We herkennen in hetgrondtal 9 een macht van 3, zodat we de vergelijking kunnen herschrijven als

3x+1 − 2 = 9x ⇔ 3x+1 − 2 =(32)x

⇔ 3x+1 − 2 = 32x

Techniek 2.

. Druk de vergelijking uitin a�.

. Noem t = a�

Het idee is nu dat we beide leden uitdrukken in 3x. Vervangen we nadien 3x

door t, dan herleid de exponentiele vergelijking zich tot een tweedegraads-vergelijking.

3x+1 − 2 = 9x ⇔ 3 · 3x − 2 = (3x)2

noem t = 3x

⇔ . . .

3 Modelvoorbeeld 3. Bepaal algebraısch alle x-waarden die voldoen aan (resultaat vereenvoudigen en exactewaarde geven):

3x−1 =

Å1

4

ã3x+1

.

Techniek 3.

. Schrijf de vergelijkingin de vorm a� = b4.

. Neem de log van beideleden.

Oplossing. Techniek 2 is niet van toepassing, omdat we in het grondtal 1/4niet meteen een macht van 3 herkennen. Maar we kunnen wel van beideleden de log nemen. Op die manier wordt de exponentiele vergelijking eeneerstegraadsvergelijking:

3x−1 =

Å1

4

ã3x+1

⇔ . . .

3 Opmerking. Voor wat betreft het algebraısch oplossen van exponentiele ongelijkheden, volgen we de techniekenuit de vorige hoofdstukken. Bijvoorbeeld, de ongelijkheid

23x−x2

>

Å1

8

ã1−x⇔ 23x−x

2 −Å

1

8

ã1−x︸︷︷︸

f(x)

> 0

lost men op door een tekentabel te maken van de functie f(x) in het linkerlid. Daartoe zoekt men eerst denulwaarden, waarbij men een exponentiele vergelijking moet oplossen. Eens de nulwaarden gevonden zijn (hier±√

3), plaatst men die in een tabel en vindt men de tekens door tussenliggende x-waarden in te vullen (ga na):

x −√

3√

3

f(x) − 0 + 0 −

hetgeen de oplossingsverzamelingó−√

3,√

3î

oplevert.

I-124

7.2 Logaritmische vergelijkingen en ongelijkheden

In een logaritmische vergelijking of ongelijkheid komen logaritmen van de vorm alog� voor, met � een functie inbijvoorbeeld x of t. Voorbeelden van logaritmische vergelijkingen zijn

3 · 5log (x2 + 9) + 2 = 8 en 3log (x+ 2) + 2 · 1/9log (x2 + 4x) = −1.

Voor het oplossen van zo’n logaritmische vergelijking bespreken we twee technieken.

3 Modelvoorbeeld 1. Los algebraısch op:

3 · 5log (x2 + 9) + 2 = 8.

Techniek 1.

. Schrijf de vergelijkingin de vorm alog� = b.

. Verhef beide leden totde macht a.

Oplossing. We herschrijven de vergelijking in de vorm alog� = b:

3 · 5log (x2 + 9) + 2 = 8 ⇔ 5log (x2 + 9) = 2

We vinden x2 + 9 door beide leden te verheffen tot de macht 5:

3 · 5log (x2 + 9) + 2 = 8 ⇔ 5log (x2 + 9) = 2

⇔ 55log (x2+9) = 52

⇔ . . .

Hoe kunnen we onze oplossing(en) controleren?

3 Modelvoorbeeld 2. Bepaal algebraısch alle x-waarden die voldoen aan

3log (x+ 2) + 2 · 1/9log (x2 + 4x) = −1

Techniek 2.

. Schrijf alle logaritmenmet grondtal a.

. Gebruik de rekenregelsom de vergelijking in devorm alog� = b teschrijven.

Oplossing. Techniek 1 is niet meteen van toepassing, omdat de vergelijkingniet meteen naar de vorm alog� = b kan gebracht worden. We kunnen welalle logaritmen schrijven met hetzelfde grondtal 3:

3log (x+ 2) + 2 · 1/9log (x2 + 4x) = −1

⇔ 3log (x+ 2) + 2 ·3log (x2 + 4x)

3log (1/9)= −1

⇔ 3log (x+ 2) + 2 ·3log (x2 + 4x)

−2= −1

⇔ 3log (x+ 2)− 3log (x2 + 4x) = −1.

Door het toepassen van de rekenregels voor logaritmen kunnen we de vergelijking toch naar de vorm alog� = bbrengen, zodat we Techniek 1 kunnen toepassen.

3log (x+ 2) + 2 · 1/9log (x2 + 4x) = −1 ⇔ 3log (x+ 2)− 3log (x2 + 4x) = −1

⇒ . . .

Controleer je oplossing(en). Waarom is een van de eindresultaten toch geen oplossing?

Wil je in het vervolg bij elke overgang een dubbele implicatie ⇔ schrijven, dan moet je in het begin van deoefening de bestaansvoorwaarden noteren en achteraf de oplossingen controleren. In dit voorbeeld is dat

BV: x+ 2 > 0

BV: x2 + 4x > 0

I-125

Oefeningen

7 Exponentiele en logaritmische vergelijkingen Basis Verdieping Uitbreidingen ongelijkheden ? ?? ? ?? ? ??

1 Exponentiele vergelijkingen en ongelijkheden 123

234

235

26

2 Logaritmische vergelijkingen en ongelijkheden 789

89

8910

81112

1314

15 16


B Oefening 1. Los telkens op met behulp van je grafische rekenmachine.

(a)(32)x

= 3(2x)

(b) 2x − 5 < 3 ·Å

1

2

ãx−2− 1

Oefening 2. Los algebraısch de volgende exponentiele vergelijkingen op.

B (a) 34x+1 = 9√

3 B?? (e) 8x+1 + 8 · 4x = 5 · 2x−1

B (b)1

52x= 1252−x B?? (f) 81 · 3

√x − 3x−2 = 0

B? (c) 3x + 3x−1 + 3x−2 + 3x−3 + 3x−4 = 121 V (g) 5x4−2x2+1 = 3x

4−2x2+1

B? (d)2x + 3

2x+1 − 15= 11 V (h) 327

t

= 273t

Oefening 3. Los algebraısch de volgende exponentiele ongelijkheden op.

B (a)

Å1

3

ã2x−1> 1 B? (c) 23x−x

2

>

Å1

8

ã1−xB? (b) 4

x−1x+4 ≤ 1

256B?? (d) 9−x <

2 + 3x+1

3x

luchtschip

B? Oefening 4. Luchtschepen kunnen gebruikt worden om reclame te maken. Het gaswaarmee een luchtschip gevuld is moet regelmatig aangevuld worden. Stel het verbandtussen de hoeveelheid gas in een luchtschip en de tijd in dagen wordt gegeven door

f(t) = 3000 · (0, 98)0,1 t.

(a) Bepaal de procentuele afname per tien dagen.

(b) Om te kunnen vliegen moet er minimaal 2400 m3 gas aanwezig zijn. Bepaalalgebraısch na hoeveel dagen het gas aangevuld moet worden.

B?? Oefening 5. Bepaal algebraısch de oplossingen van de vergelijking

1

1 + 15e−0,4 t= 0, 8.

V Oefening 6. Een laboratoriummedewerker heeft op zijn eerste werkdag veel tijd nodig voor het uitvoeren van eenkwaliteitscontrole. De tijd v1(t) (in minuten) die nodig is voor een controle als de medewerker t minuten ervaringheeft, kan worden gemodelleerd als:

v1(t) = 30 + 18−0,04 t.

Voor een andere medewerker geldtv2(t) = 25 + 27t−0,2.

(a) Hoeveel tijd heeft elk van de medewerkers nodig voor een controle na een uur werkervaring?

(b) Hoeveel werkervaring hebben beide medewerkers nodig om precies dezelfde tijd nodig te hebben om een controleuit te voeren? Afronden op 1 uur nauwkeurig.

(c) Welke van de medewerkers zal op den duur het snelst werken? Verklaar algebraısch.

I-126


B Oefening 7. Los telkens op met behulp van je grafische rekenmachine.

(a) x = xlog 0, 8

(b)12 log (x+ 3) + 2 ≥ 3log (−x+ 5)

Oefening 8. Los algebraısch de volgende logaritmische vergelijkingen op.

B (a) 1/2log (2x) = 3 B?? (d) 4log x · xlog 7 = 3 · 2log x+ 8log (x3)

B (b) 2 · 3log (x+ 4)−3 log (4x− 11) = 2 B?? (e) y = ln(2− ey)− ln 3

B? (c) 2log (x+ 2) + 2log1

8=

12 log (7− x) V (f) x+1log 8 = log(500x+ 500)

Oefening 9. Los algebraısch de volgende logaritmische ongelijkheden op.

B (a) 5log (3− x) ≥ 7 B? (c)13 log (x− 2) ≥ −2

B? (b) 3log (x2 − 3) < 0 B?? (d) xlog 2 > 8

B?? Oefening 10 (toelatingsexamen Burgerluchtvaartschool).Los de volgende vergelijking op

10log (7x− 9)2 + 2 · 10log (3x− 4) = 2

V Oefening 11 (toelatingsexamen Burgerluchtvaartschool).Los de volgende logaritmische vergelijking op

(5log x

)2+ 5

5log 30− 5log 3 = 5log(x6)

+ 26

V Oefening 12 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2002 tweede ronde).Voor hoeveel gehele getallen is

log

Åx(10− x)

16

ã< 0.

(A) 1 (B) 2 (C) 5 (D) 9 (E) oneindig veel

V? Oefening 13. Los algebraısch de volgende logaritmische vergelijkingen op:

0,5log(0,5log x

)= 0,5log

Å2− 1

3· 0,5log x

ã+ 1 + 0,5log 2.

V? Oefening 14. Los algebraısch de volgende logaritmische ongelijkheid op:

13 log (4x) <

13 log (x− 1)− 2.

V?? Oefening 15 (toelatingsexamen Burgerluchtvaartschool).Los het volgend stelsel op: ® 10log x+ 3 · 1000log y = 2

y2 − 300 = 4x2.

U? Oefening 16 (beperkte groei, beperkte afname). Een wiskundig model voor de opwarming of afkoeling van eenvoorwerp is het beperkte groei- of afnamemodel

T (t) = M − (M − c)e−kt

met M > c (beperkte groei) of M < c (beperkte afname) en k > 0, en waarbij T (t) staat voor de temperatuur vanhet voorwerp op tijdstip t en M staat voor de omgevingstemperatuur.

Een kopje koffie heeft onmiddellijk na het inschenken een temperatuur van 80◦ C. Detemperatuur T (in graden Celsius) in functie van de tijd t (in minuten) van de koffiekan berekend worden met de functie T (t) = 20 + 60 · (0, 881)t.

(a) Ga algebraısch na dat de begintemperatuur inderdaad 80◦C is.

(b) Bereken de temperatuur van de koffie na 10 minuten.

(c) Eva vindt koffie lekker als de temperatuur tussen 45◦ C en 55◦C is. Bepaalalgebraısch hoe lang Eva de koffie lekker vindt. Afronden op 1 seconde nauwkeurig.

(d) Bepaal de kamertemperatuur door middel van een limiet algebraısch te berekenen.

I-127


Inzicht in scheikunde

Dat sommige zuren en basen gevaarlijk corrosief kunnen zijn, was al bekend in de oudheid. Wordt eenzuur met een base gemengd, dan neutraliseren ze elkaar en vormen ze een zout. Zo wordt bijvoorbeeld keuken-zout (natriumchloride) gevorm door de base natriumhydroxide met het zuur waterstofchloride (zoutzuur) te mengen:

NaOH + HCl→ NaCl + H2O.

Bij deze reactie komt er naast energie ook water vrij, molecuulformule H2O. In de 19e eeuw ontdekte men dat hetzuur het waterstofion H+ levert en de base het resterende deel van het watermolecuul in de vorm van een negatiefgeladen hydroxide-ion OH− geeft. Een zuur kan worden gezien als een stof die waterstofionen doneert en een baseals een stof die waterstofionen opneemt.

In de loop van de 18e eeuw kwamen wetenschappers tot het besef dat de zuurtegraad een belangrijke rol speeltbij het beschrijven van chemische processen. Men zocht dan ook naar een manier om de zuurtegraad van eenoplossing te kunnen meten. In 1904 stelde de chemicus Hans Friedenthal een systeem voor dat gebaseerd was opde concentratie waterstofionen H+. Daarbij stootte hij op het probleem dat het bereik van die concentratie enormgroot is: sommige zuren hebben een concentratie waterstofionen die ongeveer 100 biljoen keer hoger is dan deconcentratie van sommige basen. Daarom bedacht de Deense chemicus Søren Sørensen in 1909 de zogenaamdepH-schaal, een logaritmische schaal die toelaat om de zuurtegraad van oplossingen met kleinere getallen weer tegeven. Hieronder beschrijven we zijn redenering.

Voor elke waterige oplossing op 25◦ C is het product van de concentratie aan H3O+ en de concentratie aan OH−

gelijk aan 10−14 mol/l, in symbolen:[H3O+

]·[OH−

]= 10−14.2Nemen we van beide leden de logaritme met grondtal

10 (ook wel Briggse logaritme genoemd), dan leidt de rekenregel voor de logaritme van een product ons tot de relatie:

log[H3O+

]+ log

[OH−

]= −14. (1)

We laten nu zien wat deze formule betekent voor zuiver water, sterke zuren en sterke basen.

(a) Zuiver water bevat een gelijke concentratie aan H3O+ en aan OH−. Omdat het product van die concentra-ties gelijk is aan 10−14 mol/l, moeten beide concentraties gelijk zijn aan 10−7 mol/l. Vergelijking (1) wordt dan:

(−7) + (−7) = −14.

(b) Sterke zuren hebben, in vergelijking met zuiver water, veel meer waterstofionen H+. Bij wijze vanvoorbeeld nemen we een zuur met een concentratie van 10−1 = 0, 1 mol/l aan H3O+. Dat is veel meer dan deconcentratie van 10−7 = 0, 000 000 1 mol/l aan H3O+ bij zuiver water. Vergelijking (1) levert nu:

(−1) + (−13) = −14.

Men heeft ervoor gekozen dat de waarden op de pH-schaal positief zijn, dat zuren een lage positieve waardeop de pH-schaal hebben en basen een hoge positieve waarde. Aan dit zuur hecht men dus de waarde 1 op depH-schaal.

(c) Sterke basen hebben een hoge concentratie aan hydroxide-ionen OH− en dus weinig waterstofionen H+. Zowordt voor een base met een concentratie van 10−2 = 0, 01 mol/l aan OH− vergelijking (1) nu:

(−12) + (−2) = −14.

Deze base neemt dus de waarde 12 aan op de pH-schaal.

Op deze manier dringt de definitie voor de zuurtegraad van een oplossing zich op: pHdef= − log

[H3O+

]waarin

[H3O+

]de concentratie (in mol/l) van de H3O+-ionen in de oplossing is. De afkorting pH staat voor potentieel van

waterstof (Engelse term: potential hydrogen). De pH-schaal varieert van 0 (meest zuur) tot 14 (meest basisch, ookwel alkalisch genoemd). Zuiver water definieert het neutrale punt van de schaal, met als pH-waarde 7 (zie figuur).

Door van een oplossing de pH-waarde te meten, kunnen we de concentratie aan hydroxide-ionen berekenen. Zoheeft bijvoorbeeld citroensap een pH-waarde van ongeveer 3, 5. De concentratie aan hydroxide-ionen volgt uit deoplossing van een logaritmische vergelijking:

−3, 5 + log[OH−

]= −14 ⇒ log

[OH−

]= −10, 5

⇒[OH−

]= 10−10,5 ≈ 3, 2 · 10−11 mol/l.

2 Net zoals een dozijn 12 eenheden telt, is een mol een aanduiding voor een aantal. Een mol stelt 6, 02214 · 1023 voor, gedefinieerdals het aantal atomen in 12 gram koolstof. Dat getal is vernoemd naar Amadeo Avogadro, een Italiaans natuur- en scheikundige en degrondlegger van de wet van Avogadro. De Franse chemicus Jean Baptiste Perrin stelde in 1909 voor Avogadro te eren met de naam vande constante.

I-128

Antwoorden op geselecteerde oefeningen

Hoofdstuk 1

(1) (a) G =

ßP (1, 1), Q(2,

1

2), R(3,

1

3), . . .

™(3) (b) f(2) = 3

(c) a ∈ß

1

2,

7

3, 5

™(4) (a) f(2) = 5

(b) t = 5 of t = −5

(c) f(3x+ 1) = 18x2 + 12x− 1

(5) t(4) = 11

(6) g(2) = −2

(7) 6 ∈ im f

(8) ]−∞, 0[

(9) (a) f(3,−5,−1) = 26

(b) b = 6

(10) f(a, c, b) = 0

(14) (a) dom f = [−5,−1[ ∪ {0} ∪ [1, 3[

(b) bld f = [−4,−2[ ∪ ]−1, 3]

(c) domh = [−8,−4[ ∪ {−3} ∪ [−2, 0]bldh = [−8,−6[ ∪ ]−5,−1]

(15) (D)

(16) (c) dom f =

ò−∞, 7

2

òen ber f = R+

(18) (c) f(x) =√|x|

(20) (b) domH = R0

(c) bldH = {0, 1}(d) f(x) = 3H(x− 1)− 1

Hoofdstuk 2

(1) (c) dom f = R en bld f = ]−∞; 4, 25]

(2) (a) even functie

(b) noch even noch oneven functie

(c) even functie

(d) oneven functie

(3) (a) a = 1

(b) b = 4

(c) c = −5

I-129

(4) f(x) = −2x3 + 3x2 − 5x+ 8

(5) f(x2 − 1) = x4 + x2 − 3

(6) (C)

(7) (b) b = −30 en c = 35

(8) OplV = ]−0, 5; 3, 5[ ∪ ]7, 5; +∞[

(9) (a) domW = R(b) R+

(c) Het bedrijf moet 8, 86100 . . . eenheden per uur produceren, de maximale winst is dan 67, 6035 . . . euro peruur.

(d) tussen 6 en 11, 08 . . . eenheden per uur

(10) Bij een productie en verkoop van 4000 CD-spelers per week is de winst maximaal, die bedraagt dan 11000 europer week.

(11) (b) ongeveer 45, 85m.

(c) ongeveer 0, 13m.

(d) ongeveer 2, 30m.

(12) 25 euro per stuk

(13) 17 artikelen per dag

(16) De snijpunten zijn P1(2 +√

5,−√

5) en P2(2−√

5,√

5).

(17) De snijpunten zijn P1(2, 1), P2(1 +√

2, 2) en P3(1−√

2, 2).

(18) x = −2

(19) x ∈ó−∞,−

√2î∪ ]−1, 1[ ∪

ó√2,+∞

î(20) (D)

(21) OplV = [−1, 1] ∪ {−3}

(22) a = 3 en b = −32

(23) (E)

(24) Deze grafiek heeft vier verschillende snijpunten met de x-as.

(25) Een mogelijke veeltermfunctie is f(x) = −1

6

Åx+

1

2

ã(x− 6)2.

(26) (a) A(19) = 99 en A(99) = 19

(d) R(x) = −x+ 118

(28) (a) (A)

(d) (B)

Hoofdstuk 3

(1) (a)3x2 + 11

x2 + x− 6

(b)x2 − 2x− 2

x2(x− 1)

(c)x− 2

x+ 2

(d)a+ x

ax

(2) (a)1

7x+

2

7(b) 5− x

I-130

(c)x2 + 2x+ 4

2− x(d)

1

−2x+ 1

(3) (a) x4 − 3 + 0

(b) 2x2 + 3x− 1 +3x− 1

x2 + x− 3

(c) 0 +x2 − 3x

x3 − 7

(d) 5x2 − 17 + 0

(4) (a) vals

(b) vals

(c) waar

(d) vals

(5)1

x2 − 4

(6) (B)

(7)x2 + 2x− 1

(x− 1)2(x+ 2)=

10/9

x− 1+

2/3

(x− 1)2+−1/9

x+ 2

(8) (a) OplV = ∅(b) OplV = {−8, 10}

(9) OplV = [−∞,−5[ ∪ ]−3, 3[ ∪ ]5,+∞[

(10) (a) OplV =

ñ−√

3

3, 0

ñ∪ô

1

2,

√3

3

ô(b) OplV = R

(c) OplV =

ò−∞,−2

ï∪ò−2,

1

3

ò(d) OplV =

ò0,

1

2

ï∪ò

1

2, 1

ï(11) OplV = {−2}

(12) De twee getallen zijn2

7en − 5

14.

(13) OplV = ]−∞,−8[ ∪ [1, 5] \ {2}

(14) A ∈ß

0,1

2,−3

4

™(15) De stroomsnelheid van de rivier is 1 km/u.

(16) De snelheid van de goederentrein is 49 km/u.

(17) Karel roeit aan een snelheid van 7 km/u.

(19) f(−x− 3) = −3x+ 15

4x+ 6

(21) OplV = {−4}

(22) (a) even functie

(b) oneven functie

(23) (a) OplV = {0, 4384 . . . ; 4, 5615 . . .}(b) 2 ∈ bld f

(24) (a) na ongeveer 7 uur, 4 minuten en 33 seconden

(b) 6 dagen, 5 uur, 58 minuten en 48 seconden

I-131

(25) (E)

(26) (a) f(r)− f(r + 1) =2r + 1

r2(r + 1)2

(b)n∑

r=1

2r + 1

r2(r + 1)2=n2 + 2n

(n+ 1)2

(27) De rechthoek heeft als basis 3, 872 . . . cm en als hoogte 7, 745 . . . cm.

(28) De materiaalkosten zijn minimaal voor r ≈ 0, 43 dm en h ≈ 1, 72 dm.

(29) (a) dom f = R \ {0, 1}, nulwaarde x = −1, polen x = 0 en x = 1

(c) bld f = R \ {1, 2}

(30) (a) dom f = R \ {−4, 2/3}, nulwaarde x = 0, polen x = −4 en x = 2/3

(c) De rechte x = 2/3 is een V.A. aan de grafiek van f .De grafiek bereikt een perforatie in x = −4.

(31) (a) dom f = R \ {1,−2, 3}, nulwaarde x = 7, polen x = 1 en x = −2 en x = 3

(b) De grafiek van f ligt boven de x-as voor x ∈ ]−2, 1[ ∪ ]3, 7[.

(c) De rechten x = −2, x = 1 en x = 3 zijn verticale asymptoten aan de grafiek van f .De rechte y = −1 is een H.A. voor x→ ±∞ aan de grafiek van f .

(32) m = 330

(33) f(x) =(x− 2)(x+ 4)2

8(x2 − 1)

(34) (a) homografisch

(b) niet homografisch

(c) homografisch

(d) homografisch

(35) (a) V.A. x = −3, H.A. y = 2, dom f = R \ {−3}, bld f = R \ {2}(b) V.A. x = 3, H.A. y = 3, dom f = R \ {3}, bld f = R \ {3}(c) V.A. x = −3/2, H.A. y = −7/2, dom f = R \ {−3/2}, bld f = R \ {−7/2}(d) V.A. x = 3, H.A. y = 5, dom f = R \ {3}, bld f = R \ {5}

(37) (a) f(x) =−2x− 3

x+ 1

(b) f(x) =4x+ 9

2x+ 1

(38) (d) dom f = R \ {6/7}, bld f = R \ {−4/7}

(39) (a) a = −12 en b = −3

(40) (a) f(x) =2x− 6

x+ 4

(b) f(x) =−2x− 2

x− 5

(42) De twee symmetrie-rechten zijn s1 : y = x+a+ d

cen s2 : y = −x+

a− dc

.

(43) (D)

(44) (a) dom f = R \ {3}

(b) f(x) =5(x− 2)

x− 3

(c) De rechte x = 3 is een V.A. aan de grafiek van f .

(d) De rechte y = 5 is een H.A. voor x→ ±∞ aan de grafiek van f .

(45) (a) dom f = R \ {1, 3}(c) De rechte x = 1 is een V.A. aan de grafiek van f en de grafiek van f bereikt een perforatie in x = 3.

(d) De rechte y = x+ 1 is een S.A. voor x→ ±∞ aan de grafiek van f .

I-132

(46) (C)

(47) (B)

(48) (a) p = −11

(b) De rechte y = x+ 2 is een S.A. voor x→ ±∞ aan de grafiek van f .

(49) De parabool y = 3x2 − 2x+ 7 is een parabolische asymptoot voor x→ ±∞ aan de grafiek van f .

Hoofdstuk 4

(1) (a) ja

(b) [−5, 828 . . . ;−0, 171 . . .] ∪ [0, 171 . . . ; 5, 828 . . .]

(2) (a) c = 1000

(b) 147, 91 . . . uren

(3) (b) geen oplossingen

(c) OplV =

ï1

3,+∞

ï(4) (a) O(q) = 1, 5 q en W (q) = 0, 9 q −√0, 5 q + 3500

(b) Er is winst vanaf het 67ste brood.

(5) 259 627, 8845 km/s

(6) (a) Na vijf uur reikt de olievlek tot 3784, 698 . . . m van het boorplatform.

(c) Na 34 uur, 54 minuten en 23, 7 . . . seconden spoelt de eerste olie aan de kust.

(7) (a) 1 250 000 euro

(b) 1 187 916, 51 . . . euro

(c) De kostprijs is minimaal voor x = 15, 219 . . . km.

(8) co(P ) = (1, 1)

(9) (a) OplV = {−2 +√

3}(b) OplV = ∅(c) OplV = ∅(d) OplV = {3}

(e) OplV =

®5 +√

17

2

´(f) OplV = {9}(g) OplV = {4}(h) OplV = ∅(i) OplV = {11}(j) OplV = {10 + 4

√5}

(10) OplV = {2}

(11) x = 0

(12) OplV = {8}

(13) OplV =

ñ−5 +

√5

10, 0

ô(14) ker f = {2}

(15) (a) dom f = ]−∞,−2] ∪ [2,+∞[, nulwaarden x = ±2, snijpunten x-as: P1(2, 0) en P2(−2, 0), geen snijpuntenmet de y-as

(b) dom f = [−4,+∞[, nulwaarde x = 17/2, snijpunten x-as: P (17/2, 0), snijpunt met de y-as: Q(0, 5−√

8)

(c) dom f = ]−∞,−2[ ∪ ]2,+∞[, geen nulwaarden, geen snijpunten met de assen

I-133

(d) dom f = ]−6, 6[, nulwaarde x = −1, snijpunt met de x-as: P (−1, 0), snijpunt met de y-as: Q

Ç√50− 6

6

å(e) dom f = [3,+∞[ \ {17}, nulwaarde x = 3, snijpunt met de x-as: P (3, 0), geen snijpunt met de y-as

(f) dom f =

ò−∞,−1

2

ò∪ ]2,+∞[, nulwaarde x = −1

2, snijpunt met de x-as: P (−1/2, 0), geen snijpunt met de

y-as

(16) (a) f 6= g

(b) f = g

(c) f 6= g

(17) (a) dom f =

ò−∞, 2

3

ò(d) bld f = [−6,+∞[

(18) (C)

(19) (b) De snijpunten zijn P1

Ç−6 + 4

√11

5,

12 + 2√

11

5

åen P2

Ç−6− 4

√11

5,

12− 2√

11

5

å.

(20) (a) grafiek 3

(b) grafiek 1

(c) grafiek 2

(d) grafiek 4

(21) (b) x ∈ ]−∞,−2[ ∪ ]0, 1[

(22) (A)

Interludium

(2) (a) −1, 15959899 . . .

(b) 127 295, 160 . . .

(3) (C)

(4) (a) 2

(b) 0, 25

(c) 1/3

(d) 1/100

(e) 2

(f) 3a2b4

(g) a3b

(h) 9

(i) 5

(j) 4/25

(k) 27

(l) 2

(5) (a) OplV =

®4

…580

7,− 4

…580

7

´(b) OplV =

®5√

74− 2

3

´(c) OplV =

®0,

3

…7

3

´(d) OplV =

ß1

80

™I-134

(6) (a)1

a 6√a

(b)3√a2

(c)1

a5

(d)a3√b

(e) b

(f)81a

4√a3

256b4√b

(7) (E)

(8) x2√x

(9) (a) 28, 30 miljoen km, 52, 87 miljoen km en 73, 10 miljoen km

(b) 5 jaren 185 dagen, 34 jaren 271 dagen en 86 jaren 172 dagen

(10) (a) ∈(b) ∈(c) /∈(d) /∈(e) /∈(f) /∈

(11) (a)x− 1

x, x2 − x,

3

x,

1

x− 1,

1

x− 1

(b)x+ 2√x

,√x (x+ 2),

3√x

,1√x

+ 2,1√x+ 2

(c) 2x3 − π

4x2,

2x− π/4x2

, 3x2, 2x2 − π/4, (2x− π/4)2

(12) 43 046 721

(14) (C)

(15) (3, 7) en (−3,−14)

(16) (D)

(17) (D)

(18) | |x | −1|+ 1

(19) (a) g(3) = 15

(b) g(x) = x2 + 2x

(21) f(x) =

− 4

3x− 5

3als − 5 ≤ x ≤ −2

3 als − 2 < x ≤ 2

x als 3 ≤ x

(22) (a) waar

(b) vals

(c) waar

(d) vals

(e) vals

(f) waar

(24) (a) inverteerbaar met inverse g(x) = −1

3x+

2

3(b) niet inverteerbaar

(c) inverteerbaar met inverse g(x) = 3√x

I-135

(d) niet inverteerbaar

(e) inverteerbaar met inverse g(x) = 3√x+ 5 + 1

(f) inverteerbaar met inverse g(x) =−2x− 2

x− 1

(25) inverteerbaar, met inverse g(x) = 3 +√

6 + x waarbij x ≥ −5

(26) Welk bedrag moet je betalen voor een (gegeven) aantal kilogram wortelen.

(27) (b) (a, b) = (1, 0) of a = −1

(28) (b) d = −a

(32) neen

(33) (D)

(34) (b) neen

(d) f + g = 0

Hoofdstuk 5

(1) (a) f(x) = 700− 0, 8x

(b) 628 cm

(c) 2, 4 cm

(d) 0, 033 . . . cm

(e) op de 63ste dag

(2) (a) f(x) =6

5x− 1

(b) f(x) = −5

2x+ 8

(4) (a) 1, 021

(b) 0, 96

(c) groeifactor 2, procentuele toename 100%

(d) groeifactor 1, 00269134 . . ., procentuele toename 0, 2691 . . .%

(5) (a) f(x) = 20 + x, lineaire groei

(b) g(x) = 16 · (1, 1)x, exponentiele groei

(c) Vanaf het vijfde jaar verdient Katrijn meer dan David. Katrijn verdient dan 25, 76 . . . euro per uur, Davidverdient dan 25 euro per uur.

(6) groeifactor per twee jaar: 9, procentuele toename per twee jaar: 800%, groeifactor per kwartaal: 1, 3160 . . .,procentuele toename per kwartaal 31, 60 . . .%, groeifactor per dag: 1, 00301 . . ., procentuele toename per dag:0, 30144 . . .%

(7) (a) N(t) = 50 000 · (0, 9)t, exponentiele groei (afname)

(c) Het aantal insecten op 1 juli 2003 is 45 000, het aantal insecten op 1 juli 2004 is 40 500.

(d) Het aantal insecten op 1 juli 1995 was ongeveer 104 537.

(8) 1, 090268 . . .

(9) (a) f(x) = 20 000 · (0, 8)x

(c) 2147, 483 . . . euro

(d) na ongeveer 14 jaar

(10) (a) f(x) = 2 · 3x

(b) f(x) = 5 ·Å

2

3

ãx(11) (a) 0, 8

(b) groeifactor 0, 32768, procentuele toename 67, 232%

I-136

(c) groeifactor 0, 92831 . . ., procentuele toename 7, 16822 . . .%

(d) 0, 0123794 . . . kg

(e) langer dan ongeveer 41 minuten en 17 seconden

(12) (a) juist

(b) juist

(c) juist

(d) juist

(e) fout

(f) juist

(13) (a) f(t) = 14 ·Å

2√7

ã+ 5

(b) 19◦

(c) 5◦C

(14) (a) R(d) ]−2,+∞[

(e) De rechte y = −2 is een horizontale asymptoot voor x→ +∞ aan de grafiek van f .

(15) (a) 107, 65 . . . bacterien per ml

(b) 278, 50 . . . bacterien per ml

(c) ongeveer 19 dagen bij 4◦C, ongeveer 7 dagen bij 7◦C

(d) 2,9424. . .

(16) Bij f is er sprake van een exponentiele afname, bij h is er sprake van een lineaire afname.

(17) a =3

…1

5en b = 5 3

√25

(18) 1, 3959 . . .%

(19) P1

Ö15 +

√385

2, 32

61 + 3√

385

2

èen P2

Ö15−

√385

2, 32

61− 3√

385

2

è(20) (D)

(21)100p

100 + p

(23) co(P ) =

Å3,

1

2

ã(24) (b) f(x) = 3, 00047809 . . . · (0, 991890712 . . .)x

(c) groeifactor 0, 613520974 . . ., procentuele afname 38, 6479025 . . .%

(d) 0, 260817989 . . . cm

(26) (a) f(t) =1

1 + 35 · (1, 32)−t

(c) Na ongeveer 13 dagen is de helft van de vijver dichtgegroeid.

Hoofdstuk 6

(1) x = 3log 7

(2) (a) x = 2log 37

(b) x = 3log

Å23

2

ã(c) t =

1

3· 16log

Å1

21

ãI-137

(d) x =√

5log 4 of x = −√

5log 4

(3) (a) 4

(b)3

2

(c)7

2

(d)3

4

(e) −2

(f) −3

2

(g) 11

(h)10

3

(4) a = 12√

7 en b = 2 · 4√

73

(5) (a) ]1,+∞[

(b)

ò−∞, 7

11

ï(c)

ò4

3,+∞

ï(d) ]−1, 1[

(e) ]0, 1[

(f) ]10,+∞[

(6) (a) ]−3,+∞[

(d) bld f = R(e) De rechte x = −3 is een verticale asymptoot aan de grafiek van f .

(7) (a) f(x) = 3log x+ 2

(b) f(x) = 1/2log x− 3

(8) f(x) = 2log (x+ 3)− 1

(9) 2 = 55log 2

(10) (a) a = 3

(b) a = 4

(c) a = 25

(d) a =1

3

(11) ]1, 2] ∪ ]4,+∞[

(12) (a) 2

(b) −23

6

(c)3

2

(d) −3

2

(e) 1

(f) 2

(g) 1

(h) −1

6

(13) 5, 07060240 . . . · 10132

(14) x = 16

I-138

(16) log√

5 + log»

(x− 3)3 + log

Å1√x+ 2

ã(17) −16

3

(18) log

…125 · 68

1213

(19) 4

(20) (a) groeifactor 1, 2286 . . ., procentuele toename 22, 8659 . . .%

(b) 82 847, 1008 . . . bacterien

(22) (b) Het risico bij 0, 5 promille is 2, 91 . . . en het risico bij 0, 5 promille is 5, 53 . . ..

(24) (a) 0, 176

(b) −0, 796

(c) 0, 046

(d) 0, 1505

(e) 2, 699

(f) 1, 125

(25) ja

(26) (a) 243

(b)2

125

(c) 7

(d)1

3

(27) bc−1

(28)3

2

(30) (a) 1, 25892541 . . . · 1016J

(b) M1 = M2 +2

3

(c) 31, 622776 . . .

(31) (a) ]0, 1[ ∪ ]1,+∞[

(33) (B)

(34) x = 23√4

(36) (a) groeifactor 0, 4493 . . ., procentuele afname 55, 0671 . . .%

(b) 0, 0933 . . . l

(c) ongeveer 19 minuten en 11 seconden

(37) (a) Het aantal cijfers van n is blog nc+ 1.

(b) 27 cijfers en 126 cijfers

(c) 22 338 618 cijfers

(38) (A)

Hoofdstuk 7

(1) (a) x = 1 of x = 2

(b) x ∈ ]−∞; 2, 584962 . . .[

I-139

(2) (a) x =3

8

(b) x = 6

(c) x = 4

(d) x = 3

(e) x = −2

(f) x = 9

(g) x = 1 of x = −1

(h) t = 1/2

(3) (a) x ∈ò−∞, 1

2

ï(b) x ∈ [−3,+∞[

(c) x ∈ó−√

3,√

3î

(d) x ∈ ]−1,+∞[

(4) (a) 2%

(b) Het gas moet aangevuld worden na 110, 4523 . . . dagen.

(5) t =5

2ln 60

(6) (a) 30, 0009 . . . minuten en 36, 9051 . . . minuten

(b) na ongeveer 31 uur

(c) werknemer 2

(7) (a) x = 0, 0946497 . . . of x = 0, 7395336 . . .

(b) x ∈ ]−3;−1, 8073 . . .[ ∪ ]4, 6415 . . . ; 5[

(8) (a) x = 1/16

(b) x = 5 of x = 23

(c) x = 6 of x = −1

(d) x = 8√

7

(e) y = ln

Å1

2

ã(f) x = 1 of x = −0, 999

(9) (a) x ∈ ]−∞,−78 122]

(b) x ∈ó−2,−

√3î∪ó√

3, 2î

(c) x ∈ ]2, 11]

(d) x ∈ ]1000,+∞[

(10) x = 2

(11) x = 390 625 of x = 1/25

(12) (B)

(13) x =

√2

4

(14) x ∈ò1,

9

5

ï(15) x = 5 en y = 20

(16) (b) 36, 9009 . . .◦ C

(c) Eva vindt de koffie lekker tussen ongeveer 4 minuten 16 seconden en 6 minuten 54 seconden.

(d) 20◦C

I-140

Referentielijst, bibliografie en websites

[1] M. Aigner, G.M. Ziegler, Proofs from the book, Springer, 1998.

[2] M. Alonso, E.J. Finn, Fundamentele natuurkunde deel 1 Mechanica, Delta Press, 1994.

[3] M. Alonso, E.J. Finn, Fundamentele natuurkunde deel 2 Elektromagnetisme, Delta Press, 1994.

[4] M. Alonso, E.J. Finn, Fundamentele natuurkunde deel 3 Golven, Delta Press, 1994.

[5] G.E. Andrews, The theory of partitions, Cambridge Mathematical Library, 1984.

[6] J. Anseeuw, J. De Langhe, P. Gevers, G. Roels, H. Vercauter, Nieuwe Delta 5 Analyse, Wolters, Leuven, 1994.

[7] J. Anseeuw, J. De Langhe, P. Gevers, G. Roels, H. Vercauter, Nieuwe Delta 6 Analyse Deel A, Wolters, Leuven,1994.

[8] J. Anseeuw, J. De Langhe, P. Gevers, G. Roels, H. Vercauter, Nieuwe Delta 5/6 Complexe getallen, Wolters,Leuven, 1994.

[9] J. Anseeuw, J. De Langhe, P. Gevers, G. Roels, H. Vercauter, Nieuwe Delta 5/6 Matrices en stelsels, Wolters,Leuven, 1994.

[10] J. Anseeuw, J. De Langhe, P. Gevers, G. Roels, H. Vercauter, Nieuwe Delta 5/6 Ruimtemeetkunde, Wolters,Leuven, 1994.

[11] D. Arnold, M. Butler, M. Haley, D. Harrow, A. Ives, S. Jackson, C. Kutil, T. Matsumoto, J.M. Prystowsky, T.Olsen, D. Tuttle, B. Wagner, Intermediate Algebra, College of the Redwoods Department of Mathematics, 2007.

[12] E. Aronson, T.D. Wilson, R.M. Akert, Social Psychology, Pearson Education, Limited, 2010.

[13] M. Artin, Algebra, Pearson Prentice Hall, 1991.

[14] F. Ayres , E. Mendelson, Schaum’s Outline of theory and problems of differential and integral calculus, McGraw-Hill, 1990.

[15] J.P. Ballantine, Note on Hero’s formula, The American Mathematical Monthly, Vol. 61, p.337, 1954.

[16] D. Batens, Logicaboek: praktijk en theorie van het redeneren, Antwerpen - Apeldoorn Garant, zevende druk, 2008.

[17] F. Beukers, Getaltheorie voor beginners, Epsilon Uitgaven 42, Utrecht, 2000.

[18] J. Billiet, H. Waege, Een samenleving onderzocht: Methoden van sociaal-wetenschappelijk onderzoek, UitgeverijDe Boeck nv, Antwerpen, 2005.

[19] P. Bogaert, F. Geeurickx, E. Willockx, R. Van Nieuwenhuyze, M. De Feyter, Van Basis tot Limiet 5 leerweg 6/8leerboek analyse 1: reele functies, Die Keure.

[20] D. Bollaerts, Wiskundige toelatingsexamens, Standaard Educatieve Uitgeverij, 1991.

[21] R. Bollens, H. Dooreman, L. Vermeiren, H. Van Bauwel, A. Florizoone-Dewachter, De wiskundepijl 6a bis, Uit-geverij Plantyn, Deune-Antwerpen, 1973.

[22] R. Bollens, H. Dooreman, L. Vermeiren, H. Van Bauwel, A. Florizoone-Dewachter, De wiskundepijl 6b, UitgeverijPlantyn, Deune-Antwerpen, 1973.

[23] R. Bollens, H. Dooreman, L. Vermeiren, H. Van Bauwel, A. Florizoone-Dewachter, De wiskundepijl 6d, UitgeverijPlantyn, Deune-Antwerpen, 1973.

[24] J. Bossaert, Curiosa Mathematica, 2014.

[25] P. E. Bourne, Ten Simple Rules for Making Good Oral Presentations PLoS Comput Biol 3(4): e77.doi:10.1371/journal.pcbi.0030077, 2007.

xxii

[26] A. Buijs, Statistiek om mee te werken, Wolters-Noodhoff, 2008.

[27] A. Buijs, K. De Bont, Statistiek om mee te werken opgaven en uitwerkingen, Wolters-Noodhoff, 2008.

[28] J. Buysse en M. Nachtegael, Wiskundig vademecum, Pelckmans, Kapellen, 2005.

[29] P. Carette, M. Guerry, P. Theuns, C. Vanderhoeft, Brugcursus wiskunde voor humane wetenschappen, VrijeUniversiteit Brussel, 1995.

[30] J. Casteels, D. De Vos, L. Goris, R. Rottiers, J. Salaets, F. Smessaert, L. Van den Broeck, Delta-T 5/6 Beknopteanalyse veeltermfuncties, Wolters, Leuven, 1994.

[31] J. Casteels, L. Goris, R. Rottiers, F. Smessaert, L. Van den Broeck, Delta-T 5/6 Complexe getallen, Wolters,Leuven, 1993.

[32] A. Clarysse en K. De Naeghel, Onderzoekscompetenties met Wiskunnend Wiske, Uitwiskeling 30/3, 4-15, 2014.

[33] P. Coppens, V. Descheemaeker, G. Gijbels, T. Jansen, P. Janssen, S. Janssens, P. Matthijs, F. Michiels, F.Roggeman, J. Schepers, Pienter leerboek wiskunde voor het derde jaar 5, Van In, 2006.

[34] P. Coppens, G. Finoulst, G. Gijbels, F. Roggeman, J. Schepers, R. Vanbuel, Pienter leerboek integraalrekeningen differentiaalvergelijkingen voor het zesde jaar 6/8, Van In, 2006.

[35] M. Crawford, The art of problem solving: Introduction to number theory, AoPS Incorporated, 2013.

[36] M. Crawford, The art of problem solving: Introduction to number theory solutions manual, AoPS Incorporated,2013.

[37] T. Crilly, 50 inzichten wiskunde Onmisbare basiskennis, Veen Magazines, Diemen, 2009.

[38] T. Crilly, De grote vragen Wiskunde, Veen Magazines, Diemen, 2011.

[39] P.W. Daly, H. Kopka, A guide to LaTeX Document preparation for beginners and advanced users, Addison-Wesley,1992.

[40] D. De Bock, J. Deprez, D. Janssens, G. Kesselaers, R. Op de Beeck, M. Roelens, J. Roels, Wiskunde vanuittoepassingen, Acco, Leuven, 1990.

[41] D. De Bock, H. Eggermont, M. Roelens, Context afgeleiden, Uitgeverij Plantyn, Deurne, 1989.

[42] D. De Bock, H. Eggermont, M. Roelens, Context beschrijvende statistiek, Uitgeverij Plantyn, Deurne, 1987.

[43] D. De Bock, H. Eggermont, M. Roelens, Context exponentiele en logaritmische functies, Uitgeverij Plantyn,Deurne, 1989.

[44] C. De Cock en N.J. Schons, Leerboek der rekenkunde voor het middelbaar onderwijs, De Procedure, Namen, 1962.

[45] C. De Cock en N.J. Schons, Logaritmentafels in vijf decimalen en bijtafels, De Procedure, Namen, 1962.

[46] M. de Gee, Wiskunde in werking, deel 1, Epsilon Uitgaven 48, 2002.



[49] M. de Gee, Wiskunde in werking, van A naar B, Epsilon Uitgaven 70, 2015.

[50] H.G. Dehling, J.N. Kalma, Kansrekening, Epsilon Uitgaven 36, Utrecht, 2005.

[51] G. Delaleeuw, Mathematiseren en oplossen van problemen voor de derde graad tso/kso, Cahiers T3 Europe Vlaan-deren nr.9, 2006.

[52] R. De Paepe, Basiswiskunde van het secundair onderwijs boek 2/A, Acco Leuven, 1989.

[53] R. De Paepe, Basiswiskunde van het secundair onderwijs boek 4/A, Acco Leuven, 1989.

[54] K. De Naeghel, Belastingverlaging en transformaties van functies, Uitwiskeling 32/1, 7-8, 2016.

[55] K. De Naeghel, Benaderingen van het getal pi doorheen de geschiedenis van de wiskunde, Wiskunde & Onderwijs169, 58-64, 2017.

[56] K. De Naeghel, Enkele didactische wenken voor wiskundeonderwijs in de derde graad, print-on-demand onlinepublishing Lulu.com, 2009.

xxiii

[57] K. De Naeghel, Enkele didactische wenken voor wiskundeonderwijs in de derde graad, Wiskunde & Onderwijs150, 128-133, 2012.

[58] K. De Naeghel, Giscorrectie en optimaliseren van slaagkansen, Uitwiskeling 30/1, 2-7, 2014.

[59] K. De Naeghel, Het practicum wiskunde: coperatief aanleren van vaardigheden en attitudes, print-on-demandonline publishing Lulu.com, 2013.

[60] K. De Naeghel, Logaritmen en de zuurtegraad van een oplossing, Uitwiskeling 32/1, 17-19, 2016.

[61] K. De Naeghel, mathcounts Trainer: een applicatie voor probleemoplossend denken in de klas, Uitwiskeling32/2, 43-44, 2016.

[62] K. De Naeghel, Over irrationale getallen en machten van pi, Wiskunde & Onderwijs 168, 328-334, 2016.

[63] K. De Naeghel, Steeds betere benadering voor het getal pi, Wiskunde & Onderwijs 149, 18-23, 2012.

[64] K. De Naeghel, Uitgewerkte opdrachten en oefeningen bij SOHO Wiskunde Plantyn Lineaire algebra I, print-on-demand online publishing Lulu.com, 2016.

[65] K. De Naeghel, Zinvol realiseren van competenties in de derde graad: visie en werkvormen, Wiskunde & Onderwijs161, 38-48 en 162, 113-123, 2015.

[66] K. De Naeghel, L. Gheysens, Pythagoras en lineaire transformaties, Wiskunde & Onderwijs 160, 312-313, 2014.

[67] K. De Naeghel, A. Timperman, Tekstopmaak met LaTeX Gebruik van de online editor Overleaf voor beginners,print-on-demand online publishing Lulu.com, 2014.

[68] K. De Naeghel, L. Van den Broeck, SOHO Wiskunde Plantyn Lineaire Algebra I, Plantyn, 2014.

[69] K. De Naeghel, L. Van den Broeck, SOHO Wiskunde Plantyn Lineaire Algebra II, Plantyn, 2014.

[70] J. De Langhe, N. Deloddere, L. De Wilde, N. De Wilde, P. Gevers, P. Tytgat, Delta 5/6 Analytische kansrekenen(6-8 lesuren), Wolters Plantyn, Mechelen, 2003.

[71] J. De Langhe, N. Deloddere, L. De Wilde, N. De Wilde, P. Gevers, K. Thaels, P. Tytgat, Delta 5/6 Ruimtemeet-kunde (6-8 lesuren), Wolters Plantyn, Mechelen, 2003.

[72] J. De Langhe, N. Deloddere, L. De Wilde, N. De Wilde, P. Gevers, P. Tytgat, Delta 5/6 Analyse deel 1 (6-8lesuren), Wolters Plantyn, Mechelen, 2003.

[73] J. De Langhe, N. Deloddere, L. De Wilde, N. De Wilde, P. Gevers, P. Tytgat, Delta 5/6 Analyse (4 lesuren),Wolters Plantyn, Mechelen, 2003.

[74] I. De Pauw, B. Masselis Wiskunde voor IT, Lannoo Campus, 2010.

[75] I. De Pauw, B. Masselis Wiskunde voor multimedia, Lannoo Campus, 2009.

[76] A. Depover, W. Herreman, N. Persoone, A. Vandekerckhove, Foton 4.3 - Elektriciteit, magnetisme, trillingen,Uitgeverij Pelckmans, 1988.

[77] A. Depover, W. Herreman, N. Persoone, A. Vandekerckhove, Fysica Vandaag 5.2/3, Uitgeverij Pelckmans, 1988.

[78] J. Deprez, H. Eggermont, P. Gevers, Nieuwe Delta 5/6 Analytische meetkunde deel A, Wolters, Leuven, 1993.

[79] J. Deprez, H. Eggermont, P. Gevers, Nieuwe Delta 5/6 Analytische meetkunde deel B, Wolters, Leuven, 1993.

[80] J. Deprez, H. Eggermont, E. Van Emelen, Met de krant in de hand, Uitwiskeling 23, Nr. 4, 14-49, 2007.

[81] J. Deprez, D. Janssens, Getaltheorie in het secundair onderwijs, Acco, Leuven, 1986.

[82] J. Deprez, G. Verbeeck, Onderzoekscompetenties wiskunde in de derde graad, DPB Brugge, 3 maart 2010.

[83] K. Devlin, Wiskunde Wetenschap van patronen en structuren, Natuur & Techniek, SEGMENT Uitgeverij, Beek,1998.

[84] D.E. Dobbs, Proving Heron’s formula tangentially, The College Mathematics Journal, Vol. 15, p.252-253, 1984.

[85] D. Domen, G. Finoulst, G. Gijbels, H. Put, J. Schepers, A. Vertenten, P. Weyenberg, Pienter leerboek reelefuncties precalculus voor het vijfde jaar 6/8, Van In, 2004.

[86] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R.Vereecke, Richting: Reele functies - Analyse, Uitgeverij Pelckmans, 1988.

xxiv

[87] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R.Vereecke, Richting: Matrices - Stelsels, Uitgeverij Pelckmans, 1988.

[88] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R.Vereecke, Richting: Reele vectorruimten - Ruimtemeetkunde, Uitgeverij Pelckmans, 1988.

[89] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, N. Vanhaverbeke, V. Van de Walle, R.Vereecke, Richting: Analytische meetkunde, Uitgeverij Pelckmans, 1989.

[90] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, N. Vanhaverbeke, V. Van de Walle, R.Vereecke, Richting: Complexe getallen, Uitgeverij Pelckmans, 1989.

[91] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, N. Vanhaverbeke, V. Van de Walle, R.Vereecke, Richting: Goniometrie, Uitgeverij Pelckmans, 1989.

[92] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, N. Vanhaverbeke, V. Van de Walle, R.Vereecke, Richting: Combinatieleer - Kansberekening, Uitgeverij Pelckmans, 1990.

[93] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, N. Vanhaverbeke, V. Van de Walle, R.Vereecke, Richting: Analyse (minimum leerplan), Uitgeverij Pelckmans, 1990.

[94] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, N. Vanhaverbeke, V. Van de Walle, R.Vereecke, Richting: Analyse (uitgebreid leerplan), Uitgeverij Pelckmans, 1990.

[95] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R.Vereecke, Richting: Ruimtemeetkunde A, Uitgeverij Pelckmans, 1992.

[96] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R.Vereecke, Richting: Telproblemen - Kansrekening - Statistiek, Uitgeverij Pelckmans, 1993.

[97] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R.Vereecke, Richting: Analyse A, Uitgeverij Pelckmans, 1993.

[98] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R.Vereecke, Richting: Beknopte analyse A, Uitgeverij Pelckmans, 1993.

[99] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R.Vereecke, Richting: Matrices - Determinanten - Stelsels, Uitgeverij Pelckmans, 1993.

[100] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R.Vereecke, Richting: Ruimtemeetkunde B, Uitgeverij Pelckmans, 1993.

[101] R. Donckels, L. Grootaert, D. Tant, L. Vandenbroucke, A. Van de Velde, V. Van de Walle, N. Vanhaverbeke, R.Vereecke, Richting: Analyse B, Uitgeverij Pelckmans, 1994.

[102] T. Dorissen, W. Jacquet, G. Sonck, Wiskundige basisvaardigheden, Uitgeverij VUBPRESS, 2008.

[103] W. Dunham, Euler: The master of us all, MAA Dolciani Series, No. 22, 1999.

[104] W. Dunham, Journey through genius, Penguin books, 1990.

[105] W. Dunham, The calculus gallery, Princeton University Press, 2005.

[106] W. Dunham, The mathematical universe, John Wiley & Sons Inc., 1994.

[107] M. Du Sautoy, De getalmysteries, Uitgeverij Nieuwezijds, 2011.

[108] M. Du Sautoy, The music of the primes Searching to solve the greatest mystery in mathematics, HarperCollinsPublishers, 2003.

[109] B. Ernst, De interessantste bewijzen voor de stelling van Pythagoras, Epsilon Uitgaven 53, Utrecht, 2002.

[110] B. Ernst, Onmogelijke figuren, Librero, 2006.

[111] G. Finoulst, G. Gijbels, S. Janssens, H. Put, J. Schepers, A. Vertenten, P. Weyenberg, Pienter leerboek rijen enafgeleiden voor het vijfde jaar 6/8, Van In, 2005.

[112] B.C. Gallivan, How to Fold Paper in Half Twelve Times: An Impossible Challenge Solved and Explained, Pomona,CA: Historical Society of Pomona Valley, 2002.

[113] F.R. Gantmacher, The theory of matrices volume one, American Mathematical Society, 1998.

[114] F.R. Gantmacher, The theory of matrices volume two, American Mathematical Society, 1998.

xxv

[115] M. Gardner, Sphere packing, Lewis Carroll and reversi, Cambridge University Press, 2009.

[116] M. Gardner, Sphere Packing, Lewis Carroll and Reversi, Cambridge University Press, 2009.

[117] L. Geysens en D. Tant, Logica op het menu, Wiskunde & Onderwijs 165, 6-14 en 166, 106-115, 2016.

[118] G. Gijbels, E. Goemaere, D. Taecke, S. Wellecomme, Pienter leerwerkschrift voor de derde graad 2/3/4, Van In,2005.

[119] G. Gijbels, E. Govaert, M. Jaenen, S. Janssens, B. Sevenhant, I. Vanderstichel, P. Weyenberg, Pienter leerboekstatistiek I voor de derde graad 6/8, Van In, 2005.

[120] G. Gijbels, E. Govaert, M. Jaenen, S. Janssens, B. Sevenhant, I. Vanderstichel, P. Weyenberg, Pienter leerboektelproblemen en kansrekening statistiek II voor de derde graad 6/8, Van In, 2005.

[121] G. Gijbels, M. Jaenen, S. Janssens, B. Sevenhant, I. Vanderstichel, P. Weyenberg, Pienter leerboek ruimtemeet-kunde voor de derde graad 6/8, Van In, 2005.

[122] G. Gijbels, E. Govaert, M. Jaenen, S. Janssens, B. Sevenhant, I. Vanderstichel, K. Verzele, P. Weyenberg, Pienterleerboek complexe getallen en fractalen voor de derde graad 6/8, Van In, 2005.

[123] E. Goetghebeur, Statistiek, Universiteit Gent, uitgave 1997-1998.

[124] L.J. Goldstein, D.I. Schneider, M.J. Siegel, Finite mathematics and its applications, Prentice Hall, EnglewoodSliffs, New Jersey, 1988.

[125] W. Goldstein, W. Lewin, Gek op natuurkunde Van het begin van de regenboog tot het einde van de tijd: Een reislangs de wonderen van de wetenschap, Thomas Rap, Amsterdam, 2012.

[126] M. Goossens, F. Mittelbach, A. Samarin, The LATEX Companion, Addison-Wesley Publishing Compagny, 1994.

[127] R.L. Graham, D.E. Knuth, O. Patashnik, Concrete Mathematics, Addison-Wesley, 1994.

[128] E. Grigorieva, Methods of Solving Complex Geometry Problems, Birkhauser, Springer International PublishingSwitzerland, 2013.

[129] M. Hazewinkel, Mathematical knowledge management is needed, Proceedings of Computing Research Repository(2004). Online beschikbaar op http://arxiv.org/ftp/cs/papers/0410/0410055.pdf

[130] E. Hairer, G. Wanner, Analysis by its history, Springer, 2000.

[131] P. Hammond, K. Sydsæter, Essential Mathematics for Economic Analysis, Prentice Hall, 2006.

[132] G.H. Hardy, Apologie van een wiskundige, Uitgeverij Nieuwezijds, 2011.

[133] J. Havil, Gamma, Princeton University Press, 2003.

[134] J. Havil, The irrationals, Princeton University Press, 2012.

[135] S. Hawking, God created the integers: The mathematical breakthroughs that changed history, Penguin Books,2005.

[136] N.J. Higham, Handbook of writing for the mathematical sciences, Society for Industrial and Applied Mathematics,Philadelphia, 1998.

[137] P. Hoffman, De man die van getallen hield Het verhaal van Paul Erds en de zoektocht naar de waarheid van dewiskunde, Bert Bakker, Amsterdam, 1999.

[138] L. Horsten, Einig, oneindig, meer dan oneindig, Epsilon Uitgaven 56, Utrecht, 2004.

[139] C. Impens, Analyse I, Universiteit Gent, uitgave 1996-1997.

[140] K. Ireland en M. Rosen, A classical introduction to modern number theory, Springer-Verlag, 1990.

[141] K. Janich, Linear Algebra, Springer-Verlag, 1994.

[142] S.L. Jones, Mathematical nuts, Norwood Press, 1932.

[143] D.W. Jordan, P. Smith, Mathematical techniques, Oxford University Press, 2002.

[144] D. Keppens, Algebra voor ingenieurs, Uitgeverij Acco, 2007.

[145] D. Keppens, Analyse voor ingenieurs, Uitgeverij Acco, 2006.

[146] M. Kindt, E. de Moor, Wiskunde in een notendop, Uitgeverij Bert Bakker, 2008.

xxvi

http://arxiv.org/ftp/cs/papers/0410/0410055.pdf

[147] L. Kirkup, Experimental methods: An introduction to the analysis and presentation of data, Singapore, 1994.

[148] H. Kopla, P.W. Daly A guide to LATEX, Addison-Wesley Publishing Compagny, 1993.

[149] E. Kreyszig, E.J. Norminton, Maple computer guide a self-contained introduction for advanced engineering ma-thematics, John Wiley & Sons, Inc., 2001.

[150] T. Kuijpers, C. Lybaert, SOHO Wiskunde Plantyn Groepentheorie, Plantyn, 2013.

[151] W. Ledermann en A.J. Weir, Introduction to group theory, Addison Wesley Longman, 1996.

[152] S. Lehoczky, R. Rusczyk, The art of problem solving: Volume 1: the Basics, AoPS Incorporated, 2008.

[153] S. Lehoczky, R. Rusczyk, The art of problem solving: Volume 1: the Basics solutions manual, AoPS Incorporated,2008.

[154] S. Lehoczky, R. Rusczyk, The art of problem solving: Volume 1: and beyond, AoPS Incorporated, 2008.

[155] S. Lehoczky, R. Rusczyk, The art of problem solving: Volume 1: and beyond solutions manual, AoPS Incorpo-rated, 2008.

[156] J. Levy, Scheikunde van zuren en basen tot chemische polariteit, Librero, 2012.

[157] S. Lipschutz, Schaum’s Outline of linear algbebra, McGraw-Hill, 1991.

[158] J. Lyczak, Q. Puite, B. van Dalen, Finaletraining Nederlandse wiskunde olympiade met uitwerkingen, ISBN978-90-357-1800-5, 2011.

[159] M. Mashaal, Bourbaki, Veen Magazine, Amsterdam, 2009.

[160] E. Mathijs, Schrijfstijl wetenschappelijke tekst, KU Leuven, 2006.

[161] J.T McClave, P.G. Benson, T. Sincich, S. Knypstra, Statistiek: een inleiding, elfde editie, Pearson EducationBenelux, 2011.

[162] R. Mersch, Oogklepdenken, De Bezige Bij Antwerpen, 2012.

[163] B. Michels, Getaltheorie een introductie, 2015.

[164] L. Motmans, Inhaalcursus wiskunde voor het eerste kandidaatsjaar Toegepaste Economische Wetenschappen enHandelsingenieur, Limburgs Universitair Centrum, 2002.

[165] M. Nachtegael, Data-Analyse I: Wiskundige Principes, Faculteit Geneeskunde en Gezondheidswetenschappen,Universiteit Gent, 2009.

[166] E. Nauwelaerts, Basiswiskunde voor informatica 2, Universiteit Hasselt, 2002.

[167] E. Nauwelaerts, Redeneren en structureren, Universiteit Hasselt, 2005.

[168] R.B. Nelsen, Heron’s formula via proofs without words, The College Mathematics Journal, Vol. 32, No. 4, 2001.

[169] I. Newton, Method of fluxions, 1736.

[170] B.M. Oliver, Heron’s remarkable triangular area formula, Mathematics Teacher 86, 161-163, 1993.

[171] J.M.H. Olmsted, C.G. Townsend, On the Sum of Two Periodic Functions, The Two-Year College MathematicsJournal, Vol. 3, No. 1, 33-38, 1972.

[172] J.P. Ottoy, Wiskunde algebra analystische meetkunde, Universiteit Gent,

[173] D. Patrick, The art of problem solving: Calculus, AoPS Incorporated, 2010.

[174] D. Patrick, The art of problem solving: Calculus solutions manual, AoPS Incorporated, 2010.

[175] D. Patrick, The art of problem solving: Introduction to counting & probability, AoPS Incorporated, 2007.

[176] D. Patrick, The art of problem solving: Introduction to counting & probability manual, AoPS Incorporated, 2007.

[177] L. Papula, Wiskunde voor het hoger technisch onderwijs deel 1, Academic Service, 2009.

[178] L. Papula, Wiskunde voor het hoger technisch onderwijs deel 2, Academic Service, 2009.

[179] J.A. Paulos Ongecijferdheid, Uitgeverij Ooievaar Amsterdam, 1989.

xxvii

[180] R. Penrose, The emperor’s new mind Concerning computers, minds and the laws of physics, Oxford UniversityPress, 1989.

[181] R. Penrose, The road to reality A complete guide to the laws of the universe, Vintage Books, London, 2005.

[182] H. Pfaltzgraff, Spijker 1 Rekenen, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2009.

[183] H. Pfaltzgraff, Spijker 2 Algebra, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2009.

[184] H. Pfaltzgraff, Spijker 3 Functies, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2009.

[185] H. Pfaltzgraff, Spijker 4 Differentieren, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2009.

[186] H. Pfaltzgraff, Spijker 5 Integreren, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2009.

[187] H. Pfaltzgraff, Spijker 6 Statistiek, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2009.

[188] H. Pfaltzgraff, Spijker 7 Goniometrie en vectoren, Epsilon Uitgaven, Utrecht, 2009.

[189] C.A. Pickover, Het wiskunde boek, Librero Nederland, 2010.

[190] G. Polya, How to solve it, Princeton University Press, 1945.

[191] H. Reuling, J. Reuling, Tandwielen en overbrengingen wiskunde D havo-5, 2010.

[192] S.E. Rigdon, E.J. Purcell, D. Varberg, Calculus, Pearson Prentice Hall, 2007.

[193] J. Rosenhause, The Monty Hall problem, Oxford University Press, 2009.

[194] R. Rusczyk, The art of problem solving: Precalculus, AoPS Incorporated, 2009.

[195] R. Rusczyk, The art of problem solving: Precalculus solutions manual, AoPS Incorporated, 2009.

[196] R. Rusczyk, M. Crawford, The art of problem solving: Intermediate Algebra, AoPS Incorporated, 2008.

[197] R. Rusczyk, M. Crawford, The art of problem solving: Intermediate Algebra solutions manual, AoPS Incorpora-ted, 2008.

[198] N.J. Schons, Exercices d’arithmologie, La Procedure, Namur, 1938.

[199] S. Singh, De oerknal De belangrijkste wetenschappelijke ontdekking ooit, De Arbeiderspers, Amsterdam, 2005.

[200] M.R. Spiegel, Schaum’s Outline of theory and problems of advanced calculus, McGraw-Hill, 1962.

[201] E. Steiner, The Chemestry Maths Book, Oxford University Press, 2008.

[202] I. Steward, Concepts of modern mathematics, Dover Publication, 1975.

[203] D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde, Het Spectrum, 1990.

[204] K. Stulens, Herhalingslessen wiskunde Voorbereiding tot het eerste kandidaatsjaar wiskunde-natuurkunde-informatica-kennistechnologie, Limburgs Universitair Centrum, 2000.

[205] J. Tinbergen, Vertragingsgolven en levensduurgolven, Strijdenskracht door Wetensmacht pp. 143 - 150 (1938).

[206] J.P. Van Bendegem, Inleiding tot de moderne logica en wetenschapsfilosofie: een terreinverkenning, VUBPRESS,Brussel, 2001.

[207] J. van de Craats, Vectoren en Matrices, Epsilon Uitgaven 45, Utrecht, 2005.

[208] J. van de Craats, R. Bosch Basisboek wiskunde, Pearson Education, 2010.

[209] M. Van den Berghe, Inleiding tot zelfstandig onderzoek, Onze-Lieve-Vrouwecollege Assebroek, 2006.

[210] M. Van den Berghe, OZo! Onderzoeken doe je zo, Plantyn, Mechelen, 2014.

[211] V. van der Noort, Getallen zijn je beste vrienden, Athenaeum - Polak & Van Gennep, Amsterdam, 2011.

[212] B.L. Van der Waerden, Algebra Volume 1, Springer-Verlag, 1991.

[213] B.L. Van der Waerden, Algebra Volume 2, Springer-Verlag, 1991.

[214] J. Van Geel, Commutatieve ringtheorie, Universiteit Gent, 1997.

[215] Th.M. van Pelt, R.B.J. Pijlgroms, W.V. Smeets, J.L. Walter, Wiskunde voor het hoger onderwijs deel 1, Wolters-Noordhoff, 2006.

xxviii

[216] Th.M. van Pelt, R.B.J. Pijlgroms, W.V. Smeets, J.L. Walter, Wiskunde voor het hoger onderwijs deel 1 uitwer-kingen en extra, praktijkgerichte vraagstukken, Wolters-Noordhoff, 2009.

[217] P. Wauters, Wiskunde Deel 1, Faculteit Toegepaste Economische Wetenschappen, Universiteit Hasselt, 2002.

[218] D.T. Whiteside, The Mathematical Papers of Isaac Newton, Vol. 1, 1664-1666, Ed. Cambridge University Press,New York, 1967.

[219] A.J. Wiles, Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem, Annals of Mathematics, 141, 443-551, 1995.

[220] H. Wussing, Geschiedenis van de wiskunde Vanaf de wetenschappelijke revolutie tot de twintigste eeuw, VeenMagazines, Diemen, 2010.

[221] Website ADSEI, http://statbel.fgov.be/ .

[222] Website American Mathematical Association of Two-Year Colleges - Students Mathematics League,http://www.amatyc.org/SML/ .

[223] Website American Mathematics Competitions, http://amc.maa.org/ .

[224] Website D. Arnold, M. Butler, M. Haley, D. Harrow, A. Ives, S. Jackson, C. Kutil, T. Matsumoto, J.M. Prysto-wsky, T. Olsen, D. Tuttle, B. Wagner, Intermediate Algebra http://facweb.northseattle.edu/dli/IntAlgebraText/

.

[225] Website arXiv, http://xxx.lanl.gov/ .

[226] Website J. Bossaert, http://users.ugent.be/∼jebossae/ .

[227] Website carrieretijger, http://www.carrieretijger.nl/ .

[228] Website C. Cambre, http://users.telenet.be/chris.cambre/chris.cambre/ .

[229] Website J. Claeys, http://home.scarlet.be/math/ .

[230] Website M. Davidson, J. Dethridge, H. Kociemba, T. Rokicki, God’s Number is 20, http://www.cube20.org/ .

[231] Website K. De Naeghel, http://www.koendenaeghel.be/ .

[232] Website GeoGebra, http://www.geogebra.org/ .

[233] Website GeoGebraTube, http://www.geogebratube.org/ .

[234] Website kennislink.nl, http://www.kennislink.nl/publicaties/wiskundige-bijsluiter-van-opiniepeilingen .

[235] Website Leerplan A derde graad ASO: studierichtingen met component wiskunde D/2004/0279/019,http://ond.vvkso-ict.com/leerplannen/doc/Wiskunde-2004-019.pdf .

[236] Website leren.nl, http://www.leren.nl/cursus/leren−en−studeren/portfolio/wat-is-portfolio.html/ .

[237] Website leren.nl, http://www.leren.nl/cursus/professionele-vaardigheden/presentatie/ .

[238] Website Nederlandse Wiskunde Olympiade, http://www.wiskundeolympiade.nl/ .

[239] Website niutec.nl Tandwielen, http://www.niutec.nl/Mechanica/HTML5/tandwielOverbrenging.htm/ .

[240] Website McGraw-Hill Professional, http://www.mhprofessional.com/templates/index.php?cat=145/ .

[241] Website ticalc.org voor het downloaden van programma’s op de grafische rekenmachine,http://www.ticalc.org/pub/83plus/basic/math/ .

[242] Website USolv-IT, http://www.usolvit.be/ .

[243] Website G. Vernaeve, https://cage.ugent.be/∼ gvernaev/wiskunde.nl.html

[244] Website Vlaamse Wiskunde Olympiade, http://www.vwo.be/ .

[245] Website Wikipedia, http://en.wikipedia.org/ en http://en.wikipedia.org/ .

[246] Website wiskunde B-dag, http://www.fisme.science.uu.nl/wisbdag/ .

xxix

http://www.statbel.fgov.be/

http://www.amatyc.org/SML/

http://amc.maa.org/

http://facweb.northseattle.edu/dli/IntAlgebraText/

http://facweb.northseattle.edu/dli/IntAlgebraText/

http://xxx.lanl.gov/

http://users.ugent.be/~jebossae/

http://www.carrieretijger.nl/

http://users.telenet.be/chris.cambre/chris.cambre/

http://home.scarlet.be/math/

http://www.cube20.org/

http://www.koendenaeghel.be/

http://www.geogebra.org/

http://www.geogebratube.org/

http://www.kennislink.nl/publicaties/wiskundige-bijsluiter-van-opiniepeilingen

http://ond.vvkso-ict.com/leerplannen/doc/Wiskunde-2004-019.pdf

http://www.leren.nl/cursus/leren_en_studeren/portfolio/wat-is-portfolio.html/

http://www.leren.nl/cursus/professionele-vaardigheden/presentatie/

http://www.wiskundeolympiade.nl/

http://www.niutec.nl/Mechanica/HTML5/tandwielOverbrenging.htm/

http://www.mhprofessional.com/templates/index.php?cat=145/

http://www.ticalc.org/pub/83plus/basic/math/

http://www.usolvit.be/

https://cage.ugent.be/~gvernaev/wiskunde.nl.html

http://www.vwo.be/

http://nl.wikipedia.org/

http://en.wikipedia.org/

http://www.fisme.science.uu.nl/wisbdag/

c©2013 Koen De Naeghelroyalty percentage: 0%

Wiskunde In zicht is een cursus wiskunde bestemd voor leerlingen vande derde graad algemeen secundair onderwijs in de studierichtingen metzes of acht wekelijkse lestijden wiskunde. Het werd ontworpen vanuit debehoefte aan een natuurlijke en correcte, maar toch haalbare benaderingvan basisconcepten in de wiskunde. Er werd bewust gekozen voor

3 een invulcursus, zodat de leerling ervaart hoe bepaalde oplossingsme-thoden opgebouwd worden, terwijl de leerkracht nog voldoende vrijheidheeft die methoden op zijn of haar eigen manier aan te brengen;

3 differentiatie door de oefeningen in verschillende niveaus op te delen,zodat de leerling zelfstandig kan werken, afgestemd op eigen niveau enwerktempo (Deel Portfolio wiskunde);

3 ontwikkelen van vaardigheden en attitudes waarbij getracht werdde kwaliteit van de wiskunde te respecteren (Deel Problem Solvingwiskunde, Deel Practicum wiskunde, Deel GeoGebra en Deel Maple).

Deel I Precalculus 1 (recto-verso)

Documents

Transcript of Deel I Precalculus 1 (recto-verso)