Bifilaire slinger De invloed van de slingerlengte, de lengte van en afstand tussen de

draden op de trillingstijd van een bifilaire slinger.

Kiki de Boer, Sitti Romijn, Thomas Markhorst & Lucas Cohen

Calandlyceum Amsterdam | 5 VWO Natuurkunde | 20 December 2016

Inhoud

Hoofdstuk Bladzijde

Inleiding 2

§1.1 Onderzoeksvraag 2

§1.2 Hypothese 2

Materiaal & Methode 3

§2.1 Benodigdheden 3

§2.2 Opstelling 4

§2.3 Methode 4

Resultaten 5

§3.1 Trillingstijd & Draadlengte 5

§3.2 Trillingstijd & Afstand tussen de draden 5

§3.3 Trillingstijd & Buislengte 5

Theoretisch Kader 6

§4.1 Theorie 6

§4.2 Formule 6

Discussie 7

§5.1 Conclusie 7

§5.2 Interpretatie 7

§5.3 Betrouwbaarheid 8

§5.4 Vervolgonderzoek 8

Bronnen 9

Appendix 10

I. Tabellen 10

II. Grafieken 12

III. Afleiding 15

1

Inleiding

In de vorige leerjaren is de klassieke slinger meerdere malen aan bod gekomen. Er bleek bijvoorbeeld dat de massa van het gewichtje aan de slinger geen effect heeft op de trillingstijd van de slinger. Nu komen we in aanraking met een nieuw soort slinger, de bifilaire slinger of horizontale slinger. Deze bestaat uit een buis of staaf opgehangen aan twee draden. Deze slinger kan vervolgens heen en weer draaien om een rotatie-as die zich in het midden van de buis bevindt. Met deze nieuwe vorm van slingeren komen nieuwe vragen. Door deze opstelling zijn er namelijk nieuwe variabelen om te veranderen en te onderzoeken. Voorbeelden van deze variabelen zijn de afstand tussen de twee draden en de lengte van de buis. Bij dit onderzoek hopen wij meer experimentele ervaring op te doen en in staat te zijn om in het vervolg experimenten beter uit te kunnen voeren. Bij experimenteel onderzoek wordt één of worden meerdere onderzoeksvragen beantwoord door middel van een experiment. Tijdens het uitvoeren van dit experiment worden waarnemingen gedaan waarna een conclusie kan worden getrokken die antwoord geeft op de gestelde onderzoeksvraag. Er wordt zo nauwkeurig mogelijk gewerkt en een meting wordt meerdere malen uitgevoerd om toevallige fouten zo weinig mogelijk invloed te laten hebben op de resultaten.

1.1 Onderzoeksvragen De massa van de staaf kan gevarieerd worden, wij hebben er echter voor gekozen om de massa en uitwijking niet mee te nemen als onderzoeksvariabelen in ons experiment, omdat bij een gewone slinger de massa en uitwijking geen invloed hebben op de trillingstijd van de slinger. Over de horizontale slinger zijn echter wel een aantal andere vragen te stellen die wij beantwoord willen hebben. De lengte van de draden waaraan de buis is opgehangen kan gevarieerd worden. Deze zou invloed kunnen hebben op de trillingstijd van de horizontale slinger. Om het verband tussen de draadlengte en de trillingstijd te onderzoeken hebben wij de volgende onderzoeksvraag opgesteld: 1. Wat is de invloed van de lengte van de draden op de trillingstijd van een horizontale slinger?

Ook de afstand tussen de twee draden kan gevarieerd worden. Deze kunnen dichter bij elkaar worden gebracht, of juist verder uit elkaar. Deze verandering zou invloed kunnen hebben op de trillingstijd. Om het verband tussen de afstand tussen de twee draden en de trillingstijd te onderzoeken hebben wij een tweede onderzoeksvraag opgesteld. Deze luidt als volgt: 2. Wat is de invloed van de afstand tussen de draden op de trillingstijd van de horizontale slinger? Ook de lengte van de buis kan gevarieerd worden. Om het verband tussen de lengte van de buis en de trillingstijd te onderzoeken hebben wij ook nog een derde onderzoeksvraag opgesteld. Deze luidt als volgt: 3. Wat is de invloed van de lengte van de buis op de trillingstijd van de horizontale slinger?

1.2 Hypotheses Aangezien bij een normaal pendulum de lengte van de draad de trillingstijd vergroot, zal waarschijnlijk ook nu de trillingstijd groter worden, als de lengte van de draden groter wordt. Vandaar dat onze hypothese bij onderzoeksvraag 1 ‘Wat is de invloed van de lengte van de draden op de trillingstijd van een horizontale slinger?’ als volgt luidt: 1. Als de lengte van de draden toeneemt zal de trillingstijd van de horizontale slinger ook toenemen. Als de draden verder uit elkaar staan zullen deze een grotere afstand moeten afleggen waardoor een grotere terugdrijvende kracht ontstaat. Hierdoor zal de slinger sneller gaan bewegen waardoor de trillingstijd afneemt. Daarom is onze hypothese bij onderzoeksvraag 2 ‘Wat is de invloed van de afstand tussen de draden op de trillingstijd van de horizontale slinger’ als volgt: 2. Als de afstand tussen de draden toeneemt zal de trillingstijd van de horizontale slinger afnemen. Een langere buis betekent dat de uiteinden van de buis een grotere afstand moeten afleggen dan de uiteinden van een korte buis. Daarom is onze hypothese bij onderzoeksvraag 3 ‘Wat is de invloed van de lengte van de buis op de trillingstijd van de horizontale slinger?’ de volgende: 3. Als de lengte van de buis groter is zal de trillingstijd van de horizontale slinger toenemen.

2

Materiaal & Methode

2.1 Benodigdheden Om het experiment uit te voeren zijn de volgende materialen en gereedschappen nodig:

Materialen:

1. PVC Buis van verschillende lengtes.

2. Twee draden (elk langer dan 1m)

3. Stok (ongeveer 2m lang)

4. Twee statieven

Gereedschap:

1. Zaag Om gleuven in de stok te maken.

2. Stopwatch (telefoon)

3. Meetlat, liniaal of rolmaat

4. Potlood Markeren en waarnemingen noteren.

5. Waterpas

6. Tape

3

2.2 Opstelling Aan twee statieven wordt door middel van de op het statief aanwezige klemmen een stok bevestigd. Deze stok zal worden gebruikt als ophangpunt voor de slinger. Om L en d (zie onderstaande schets) makkelijk te kunnen veranderen hebben wij met de zaag kleine gleufjes (op 0,1 meter afstand van elkaar) gemaakt in de stok. Het is handig om ook in de buis ,de slinger, op vaste afstand (0,05 meter) kleine gleufjes te maken, zodat de afstand tussen de draadjes gemakkelijk, snel en tevens precies te veranderen is. De draden worden door de gleufjes op zowel de buis als de stok gehaald en met ducttape vastgezet. De draden worden met een bepaalde lengte van de draden (h), afstand tussen de draden (d) en de lengte van de buis (L) bevestigd, dit is afhankelijk van het experiment. Zie onderstaande schets.

Diagram 1, Opstelling van het horizontale slinger experiment.

2.3 Methode Onderzoek 1: Draadlengte h variëren Om het verband tussen de draadlengte en de trillingstijd te onderzoeken hebben we de buis (1,0 m)op een vaste hoogte (1,0 m) en afstand tussen de draden (0,80 m) aan de draden opgehangen. Vervolgens hebben we de buis uit zijn evenwichtsstand gebracht, door hem in zijn rotatie-as vast te pakken en een bepaalde draaiing

te geven. De buis moet eerst één keer slingeren zodat er preciezer getimed kan worden, laat de buis 10 keer een volledige slinger maken en meet hoe lang dit duurt. Na de meting te hebben verricht en geverifieerd door de proef in triplo uit te voeren, kan de draadlengte worden verkleint met een vaste stapjes van 0,10 meter. Begin de proef met een draadlengte van 1,00 meter, en werk terug in stapjes van 0,10 meter tot een lengte van 0,10 meter. h = variabel, d = 0,80m, L = 1,0m Onderzoek 2: Draadafstand d variëren Om het verband tussen de trillingstijd en de afstand tussen de draden te onderzoeken gebruiken we dezelfde opstelling als we bij onderzoek 1 gebruikt hebben. Hierbij variëren we echter niet de draadlengte, maar de afstand tussen de draden. De gleuven in de stok en de buis worden hierbij gebruikt. Hang de buis op, op een vaste hoogte (0,50 m), met een beginafstand tussen de draden van 0,80 meter en werk terug in stapjes van 0,10 meter tot een afstand van 0,20 meter. De buis wordt uit zijn evenwichtsstand gebracht en de metingen worden op dezelfde manier uitgevoerd als in onderzoek 1. h = 0,50 m, d = variabel (tussen 0,20), L = 1,0m Onderzoek 3: Buislengte L variëren Om het verband tussen de lengte van de buis en de trillingstijd te onderzoeken wordt wederom dezelfde opstelling gebruikt. De afstand tussen de draden is nu constant (0,30 m) en de lengte van de draden ook (0,30 m). Het experiment wordt eerst uitgevoerd met een buislengte van 1,00 meter, na elke meting wordt er 0,10 meter van de buis afgezaagd tot een lengte van 0,40 meter. De buis wordt uit zijn evenwichtsstand gebracht en de metingen worden op dezelfde manier uitgevoerd als in onderzoeken 1 en 2. h = 0,30m, d = 0,30m, L = variabel

4

Resultaten

3.1 Trillingstijd & Draadlengte De uitkomsten van het onderzoek naar de invloed van de draadlengte op de trillingstijd is te zien in grafiek 3.1, of uitvergroot in appendix II. De exacte resultaten staan in tabel 1. Deze kan gevonden worden in appendix I. In deze grafiek is te zien hoe bij een langere draad de trillingstijd ook groter wordt.

Grafiek 3.1: invloed van de draadlengte op de trillingstijd.

3.2 Trillingstijd & Afstand tussen de draden De uitkomsten van het onderzoek naar de invloed van de afstand tussen de draden op de trillingstijd is te zien in grafiek 3.2, of uitvergroot in appendix II. De exacte resultaten staan in tabel 2, deze kan gevonden worden in appendix I. In de grafiek is duidelijk te zien dat bij een grotere afstand tussen de draden de trillingstijd afneemt. De richtingscoëfficiënt van het diagram lijkt minder negatief te worden.

Grafiek 3.2 Invloed van de afstand tussen de draden op de trillingstijd.

3.3 Trillingstijd & Buislengte De uitkomsten van het onderzoek naar de invloed van de lengte van de buis op de trillingstijd is te zien in grafiek 3.3, of uitvergroot in appendix II. De exacte resultaten staan in tabel 3. Deze kan gevonden worden in appendix I. De resultaten vormen een rechte lijn, waarbij een langere buis resulteert in een langere trillingstijd, en een kortere buis resulteert in een kortere trillingstijd.

Grafiek 3.3, Invloed van de buislengte op de trillingstijd.

5

Theoretisch Kader

4.1 Theorie Bij een bifilaire slinger draait de slinger om zijn

rotatie-as. Deze draaiing heeft een hoek ( ). ϕ

Door deze draaiing krijgt de buis een bepaalde uitwijking (u) . Door deze uitwijking komt het ophangdraad onder een hoek (α) te staan met de verticaal. Hierdoor ontstaat een terugdrijvende kracht, . De tangens van hoek mg tan(α) F = 2

1

alpha is in deze formule te berekenen door de uitwijking (u) te delen door de lengte van de draad (h),

.F mg = 21

hu

Als α klein is, is het verschil tussen h en x verwaarloosbaar (zie figuur 4.1), de tangens van alpha is dus alleen maar gelijk te stellen aan u/h als hoek alpha en daarmee hoek phi klein zijn.

Figuur 4.1 bovenstaand beeld staat haaks op de slinger (buis)

4.2 Formule Voor geldt ≈ tan( ) bij een kleine hoek. De ϕ ϕ ϕ

tangens van φ is te berekenen met de uitwijking en de afstand tot de ophangdraden (½d). Er geldt

dus waaruit volgt dat tan(ϕ) ϕ = = ud2

1

. Door middel van deze formule kan hetdu = 21 · ϕ

krachtmoment en de rotatie berekend worden. Door die twee formules aan elkaar gelijk te stellen kan onderstaande formule voor de trillingstijd herleid worden.

T = 2π√3g

· ld · √h

Kijk voor de volledige herleiding in appendix III. Met behulp van bovenstaande formule kunnen we de verbanden verklaren tussen de lengte van de ophangdraden, de trillingstijd van de slinger, de afstand tussen de draden en de lengte van de slinger. Deze formule geldt dus alleen bij een

kleine draaiingshoek ( ).ϕ

6

Discussie

5.1 Conclusie Onze eerste hypothese: Als de lengte van de draden toeneemt zal de trillingstijd van de horizontale slinger ook toenemen, kan worden aangenomen omdat uit de resultaten blijkt dat de trillingstijd van de bifilaire slinger toeneemt als de lengte van de draden waaraan de slinger hangt groter wordt. Deze hypothese is dus correct. Onze tweede hypothese: Als de afstand tussen de draden toeneemt zal de trillingstijd van de horizontale slinger afnemen, kan worden aangenomen omdat uit de resultaten blijkt dat de trillingstijd van de bifilaire slinger afneemt als de afstand tussen de draden groter wordt. Ook deze hypothese klopt. Onze derde hypothese: Als de lengte van de buis groter is zal de trillingstijd van de horizontale slinger toenemen, kan worden aangenomen omdat uit de resultaten blijkt dat de trillingstijd van de bifilaire slinger toeneemt als de buis groter wordt. Wederom is onze hypothese correct.

5.2 Verbanden Het verband tussen de lengte van de draden en de trillingstijd is een wortelverband. Dit betekent dat de trillingstijd √2 keer zo groot wordt als de draadlengte twee keer zo groot wordt. In tabel 1 (appendix I) is af te lezen dat met een draadlengte van 0,40 meters de trillingstijd 0,92 seconden is. Als h echt een wortelverband heeft met de trillingstijd zou dat betekenen dat bij een draadlengte van 0,40·2=0,80 meter een trillingstijd hoort van 0,92·√2=1,30 seconden. Dit komt ongeveer overeen met de meting van 0,80 meter: 1,32 seconden. Er is dus sprake van een wortelverband, dit betekent dat er een rechte lijn ontstaat als we wortel van de draadlengte (√h) uitzetten tegen de trillingstijd er een rechte lijn ontstaat. Dit is te zien in grafiek 5.1 (en uitvergroot in appendix II).

Grafiek 5.1, Wortel draadlengte(√h),Trillingstijd-grafiek

Het verband tussen de trillingstijd en de afstand tussen de draden is een omgekeerd evenredig verband. Dit houdt in dat de trillingstijd 2 keer zo klein wordt als de afstand tussen de draden twee keer zo groot wordt. In tabel 2 (appendix I) is te zien dat bij een draadafstand van 0,30 de trillingstijd 2,72 seconden is. Als het verband een omgekeerd evenredig verband is zou dit betekenen dat bij een afstand van 0,30·2=0,60 meter de trillingstijd ½·2,72=1,36 seconden zou zijn. Dit komt overeen met de meting van 0,60 meter: 1,36 seconden, er is dus daadwerkelijk sprake van een omgekeerd evenredig verband. Dit betekent dat er een rechte lijn ontstaat als de inversie van de afstand van de draden wordt uitgezet tegen de trillingstijd. Dit is te zien in grafiek 5.2 (en uitvergroot in appendix II).

Grafiek 5.2, Inversie draadafstand(1/d), Trillingstijd-grafiek

5.3 Interpretatie Onderzoeksvraag 1 De trillingstijd van een bifilaire slinger neemt toe als de lengte van de ophangdraden groter wordt. Dit kan worden verklaard met de formule voor de terugdrijvende kracht . Als h (de F mg = 2

1hu

lengte van de ophangdraden) groter wordt, wordt de terugdrijvende kracht kleiner. Voor de terugdrijvende kracht geldt ook , a F = m *

aangezien F kleiner wordt en de massa hetzelfde blijft worden de versnelling (richting de evenwichtsstand) en de vertraging (richting de uiterste standen) kleiner. Dit veroorzaakt een lagere gemiddelde snelheid en dus een grotere trillingstijd. Onderzoeksvraag 2 De trillingstijd van een bifilaire slinger neemt af als de afstand tussen de ophangdraden toeneemt. Dit kan worden verklaard met de formule voor phi en de formule voor de terugdrijvende kracht. Als de afstand tussen de ophangdraden (d) groter wordt,

7

moet u ook groter worden aangezien phi hetzelfde blijft. tan(ϕ) ϕ = = u

d21

Uit de formule voor de terugdrijvende kracht blijkt dat als u groter wordt demg F = 2

1hu

terugdrijvende kracht ook groter wordt. Voor deze kracht geldt ook , aangezien F groter a F = m *

wordt en de massa hetzelfde blijft worden de versnelling (richting de evenwichtsstand) en de vertraging (richting de uiterste standen) ook groter. Dit veroorzaakt een hogere gemiddelde snelheid en dus een kleinere trillingstijd. Onderzoeksvraag 3 De trillingstijd van een bifilaire slinger neemt toe als de lengte van de slinger groter wordt. Dit kan verklaard worden door de formules voor de uitwijking, de terugdrijvende kracht en de tweede wet van Newton. , hieruit volgt dat de du = 2

1 · ϕ

uitwijking hetzelfde blijft als de afstand tussen de ophangdraden (d) en de draaiingshoek (φ) hetzelfde blijft. Dit is het geval bij onderzoek drie. Daarnaast verandert de lengte van de ophangdraden (h) niet. , h en u mg F = 2

1hu

hebben in dit experiment dus geen invloed op de terugdrijvende kracht (en indirect ook niet op de versnelling die de slinger mee krijgt). De formule van de terugdrijvende kracht gelijk stellen aan de tweede wet van Newton geeft dat de massa van de slinger ook geen invloed heeft op de versnelling die op de slinger werkt. De versnelling die op een grote slinger werkt is dus even groot als de versnelling die op een kleine slinger werkt. Doordat de langere slinger een grotere afstand af moet leggen dan de kleine slinger maar wel dezelfde versnelling krijgt is de trillingstijd van een grote buis langer dan de trillingstijd van een kleine buis.

Betrouwbaarheid Om de resultaten van ons experiment zo precies mogelijk te krijgen, hebben wij alle lengtes zo nauwkeurig mogelijk op gemeten. Onze meetnauwkeurigheid ±5·10-3 meter. Onze meest

onnauwkeurige meting is de tijdmeting. Om deze reden meten wij tien trillingen achter elkaar en delen dit door tien om tot de trillingstijd te komen, hierdoor zijn wij in staat 10 keer zo precies te meten. Als we in plaats van 10 trillingen meer trillingen hadden gebruikt voor onze meting zou de luchtweerstand een te grote invloed gaan uitoefenen op onze slinger waardoor onze metingen niet meer zouden kloppen. Bij tien trillingen hebben we een meetnauwkeurigheid van ±4·10-1 seconden. Dit delen door tien geeft een meetnauwkeurigheid van 4·10-2 seconden in de trillingstijd. De grootste meetonzekerheid in onze experimenten is dus ±0,04. Dit is voldoende klein om ons experiment als betrouwbaar aan te kunnen nemen.

Vervolgonderzoek Ons experiment kan worden verbeterd, door bijvoorbeeld de stappen tussen de metingen te verkleinen. In dit experiment werd om de 0,10 meter een meting verricht. De proef zou nauwkeuriger zijn als deze stap kleiner is. Ook zou de trillingstijd nauwkeuriger kunnen worden opgemeten, waardoor de uitkomsten nog nauwkeuriger zullen zijn. De trillingstijd van een bifilaire slinger hangt dus af van de lengte van de draden, de afstand tussen deze draden en de lengte van de slinger zelf. Naast deze drie variabelen speelt natuurlijk ook de gravitatieversnelling een rol. In nederland is deze constante gelijk aan 9,81 m/s2. Voor een vervolgonderzoek zouden we dit experiment kunnen herhalen in een omgeving met een andere gravitatieversnelling. Aangezien dit erg lastig te realiseren is, stellen wij voor om te onderzoeken wat er gebeurt met de trillingstijd van de bifilaire slinger als de ophangdraden niet even lang zijn. Hiervoor stellen wij dan ook de volgende onderzoeksvraag op: Wat is de invloed van de hoek waarop de bifilaire slinger hangt, ten opzicht van de horizon, op de trillingstijd van de slinger?

8

Bronnen

www.Fisme.uu.nl, Bifilaire slinger, theorie en formule over de horizontale slinger. Source: http://www.fisme.uu.nl/nno/opgaven/bestanden/Eindronde-Practicum-Uitw-2005.pdf www.wetenschapsforum.nl, [natuurkunde] Horizontale slinger, Forum vraag over een horizontale slinger. Source: http://www.wetenschapsforum.nl/index.php/topic/96018-natuurkunde-horizontale-slinger/ www.roelhendriks.eu, Practicum, slingertijd, Uitleg over een degelijke opstelling van een horizontale slinger. Source: http://www.roelhendriks.eu/Natuurkunde/w2I%20trillingen%20en%20geluid/trilgeluid%20practica.pdf

9

Appendix I

Meeting 1 Lengte van draden (h) in

meters Gemeten tijd (t) in seconden Trillingstijd (T) in seconden

1 1,00 14,51 1,45

2 0,90 13,74 1,37

3 0,80 13,20 1,32

4 0,70 12,23 1,22

5 0,60 11,09 1,11

6 0,50 10,26 1,03

7 0,40 9,17 0,92

8 0,30 7,94 0,79

Tabel 1 van metingen, draadlengte varieert, onderzoeksvraag 1 (L = 1,00 m & d = 0,80 m )

Meeting 2 Afstand (d) in meters Gemeten tijd (t) in seconden Trillingstijd (T) in seconden

1 0,80 10,30 1,03

2 0,70 11,67 1,17

3 0,60 13,61 1,36

4 0,50 16,48 1,65

5 0,40 20,50 2,05

6 0,30 27,21 2,72

7 0,20 40,87 4,09

Tabel 2 van metingen, afstand tussen de draden varieert, onderzoeksvraag 2 (L = 1,00 m & h = 0,50 m)

Meeting 3 Lengte buis (L) in meters Gemeten tijd (t) in seconden Trillingstijd (T) in seconden

1 1,00 21,16 2,12

2 0,90 19,06 1,91

3 0,80 16,85 1,69

4 0,70 14,82 1,48

5 0,60 12,67 1,27

6 0,50 10,62 1,06

7 0,40 8,48 0,85

Tabel 3 van metingen, lengte van de buis varieert, onderzoeksvraag 3 (d = 0,30 & h = 0,30)

10

Wortel van de lengte van de draden (√h) in

meters

Trillingstijd in seconden

1,00 1,45

0,95 1,37

0,89 1,32

0,84 1,22

0,77 1,11

0,71 1,03

0,63 0,92

0,55 0,79

Tabel 4 van de wortel van de draadlengte en de trillingstijd.

Wortel van de lengte van de draden (1/d) in

meters

Trillingstijd in seconden

1,25 1,03

1,43 1,17

1,67 1,36

2,00 1,65

2,50 2,05

3,33 2,72

5,00 4,09

1,25 1,03

Tabel 5, van de inversie van de afstand tussen de draden en de trillingstijd.

11

Appendix II

Grafiek 3.1 uitvergroot

Grafiek 3.2 uitvergroot

12

Grafiek 3.3 uitvergroot

Grafiek 5.1 uitvergroot

13

Grafiek 5.2 uitvergroot

14

Appendix III

 

15