De inverse van een vierkante matrix

Stelling

Als A en B matrices zijn zodat de hieronder beschreven som en

product bestaan en r is een scalar dan geldt:

a. (AT )T = A

b. (A + B)T = AT + BT

c. (rA)T = rAT

d. (AB)T = BTAT

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

23 september 2016 1

Bewijs.

(d)

Laat C = AT en D = BT . Dan:

(AB)Tij = (AB)ji = aj1b1i + aj2b2i + . . . ajnbni

= b1iaj1 + b2iaj2 + . . . bniajn

= di1c1j + di2c2j + . . . dincnj

= (DC )ij = (BTAT )ij voor 1 ≤ p, 1 ≤ j ≤ m

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

23 september 2016 2

De inverse van een matrix

DefinitieLaat A een matrix zijn.

Als er een matrix B bestaat zodat AB = B A = I

dan heet A inverteerbaar.

We noemen B een inverse van A.

Opmerkingen

Uit de definitie volgt dat A en B vierkante matrices

moeten zijn met dezelfde afmetingen.

Inverteerbare matrices bestaan maar niet alle vierkante matrices

zijn inverteerbaar. Zie hiervoor ook de video

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

23 september 2016 3

Stelling

Als A een inverteerbare matrix is dan is een inverse uniek!

Bewijs.

Stel A heeft twee inversen B en C .

Dan AB = BA = I en AC = CA = I .

Hieruit volgt: C = CI = C (AB) = (CA)B = IB = B.

NotatieAls A een inverteerbare matrix is dan noteren we de inverse van A

door A−1

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

23 september 2016 4

Voorbeeld (Hoe bepaal je de inverse van een matrix?)

Gegeven is de matrix A =

[−4 −5

5 6

].

Is deze matrix inverteerbaar en zo ja, wat is de inverse?

Stel X = [x1 x2] is een inverse van A. Dan:

AX= I2 ⇔A [x1 x2]= [e1 e2] ⇔

[Ax1 Ax2]= [e1 e2] ⇔Ax1 = e1 en Ax2 = e2

Er moeten dus twee matrixvergelijkingen worden opgelost met dezelfde

coefficientenmatrix. Dat kan tegelijkertijd!

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

23 september 2016 5

A =

[−4 −5

5 6

]en [A | e1 | e2 ] =

[−4 −5 1 0

5 6 0 1

][−4 −5 1 0

5 6 0 1

]∼

[−4 −5 1 0

1 1 1 1

]∼

[1 1 1 1

−4 −5 1 0

]∼

[1 1 1 1

0 −1 5 4

]∼

[1 1 1 1

0 1 −5 −4

]∼

[1 0 6 5

0 1 −5 −4

]

zodat X = [ x1 | x2 ] =

[6 5

−5 −4

]

Blijkbaar bestaat A−1 en A−1 =

[6 5

−5 −4

].

Controleer zelf dat A−1A = I2.

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

23 september 2016 6

We proberen nu ook te onderzoeken wanneer de matrix

A =

[a b

c d

]inverteerbaar is.

Neem aan a 6= 0 (voor het gemak) en ad − bc 6= 0 (dit is

noodzakelijk!)

Stel X = [x1 x2] is een inverse van A. Dan:

AX= I2 ⇔A [x1 x2]= [e1 e2] ⇔

[Ax1 Ax2]= [e1 e2] ⇔Ax1 = e1 en Ax2 = e2

Er moeten dus twee matrixvergelijkingen worden opgelost met dezelfde

coefficientenmatrix.

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

23 september 2016 7

A =

[a b

c d

]en [A | e1 | e2 ] =

[a b 1 0

c d 0 1

][

a b 1 0

c d 0 1

]∼

[a b 1 0

0 ad−bca

− ca

1

]∼

[a b 1 0

0 1 − cad−bc

aad−bc

]∼

[a 0 ad

ad−bc− ab

ad−bc

0 1 − cad−bc

aad−bc

]∼

[1 0 d

ad−bc− b

ad−bc

0 1 − cad−bc

aad−bc

]

zodat X = [ x1 | x2 ] =

[d

ad−bc− b

ad−bc

− cad−bc

aad−bc

]

Blijkbaar bestaat A−1 als ad − bc 6= 0 en A−1 =

[d

ad−bc− b

ad−bc

− cad−bc

aad−bc

].

Controleer zelf dat A−1A = I2.

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

23 september 2016 8

Stelling

Als A =

[a b

c d

]dan is A alleen inverteerbaar als ad − bc 6= 0 en

A−1 =1

ad − bc

[d −b−c a

]

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

23 september 2016 9

Definitie

Als A =

[a b

c d

]dan heet ad − bc de determinant van A.

De determinant wordt genoteerd als det(A).

DefinitieEen inverteerbare matrix heet regulier, een matrix die

niet-inverteerbaar is heet singulier.

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

23 september 2016 10

Opgaven

§2.2, opgave 3

Bepaal de inverse van de matrix A =

[8 5

−7 −5

]

det(A) = −40 + 35 = −5 dus

A−1 = −1

5

[−5 −5

7 8

]=

1

5

[5 5

−7 −8

]

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

23 september 2016 11

Stelling

Als A een inverteerbare matrix is dan heeft de matrixvergelijking

Ax = b precies een oplossing die gegeven wordt door x = A−1b

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

23 september 2016 12

Opgaven

§2.2, opgave 7

A =

[1 2

5 12

]en b1 =

[−1

3

], b2 =

[1

−5

], b3 =

[2

6

],

b4 =

[3

5

]a. Bepaal A−1 en gebruik deze matrix om de matrixvergelijkingen

Ax = b1, Ax = b2, Ax = b3 en Ax = b4 op te lossen.

b. Los de onder a. beschreven matrixvergelijkingen op op door de

aangevulde matrix [A |b1 b2 b3 b4] te vegen.

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

23 september 2016 13

A−1 =1

2

[12 −2

−5 1

]=

[6 −1

− 52

12

]dus

x1 = A−1b1 =

[6 −1

− 52

12

][−1

3

]=

[−9

4

]

x2 = A−1b2 =

[6 −1

− 52

12

][1

−5

]=

[11

−5

]

x3 = A−1b3 =

[6 −1

− 52

12

][2

6

]=

[6

−2

]en

x4 = A−1b4 =

[6 −1

− 52

12

][3

5

]=

[13

−5

]Onderdeel b. levert natuurlijk dezelfde resultaten op.

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

23 september 2016 14

Eigenschappen inverteerbare matrices

Stelling

Als A en B inverteerbare n × n matrices zijn dan geldt:

a. A−1 is inverteerbaar en (A−1)−1 = A,

b. AB is inverteerbaar en (AB)−1 = B−1A−1,

c. AT is inverteerbaar en (AT )−1 = (A−1)T .

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

23 september 2016 15

Opgaven

§2.2, opgave 33

Bepaal de inverse van de matrix A =

1 3 −1

0 1 2

−1 0 8

Stel X = [x1 x2 x3] is een inverse van A. Dan:

AX= I3 ⇔A [x1 x2 x3]= [e1 e2 e3] ⇔

[Ax1 Ax2 Ax3]= [e1 e2 e3] ⇔Ax1 = e1, Ax2 = e2 en Ax3 = e3

Er moeten dus drie matrixvergelijkingen worden opgelost met dezelfde

coefficientenmatrix.

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

23 september 2016 16

A =

1 3 −1

0 1 2

−1 0 8

en [A | e1 | e2 | e3 ] =

1 3 −1 1 0 0

0 1 2 0 1 0

−1 0 8 0 0 1

1 3 −1 1 0 0

0 1 2 0 1 0

−1 0 8 0 0 1

∼

1 3 −1 1 0 0

0 1 2 0 1 0

0 3 7 1 0 1

∼

1 3 −1 1 0 0

0 1 2 0 1 0

0 0 1 1 −3 1

∼

1 3 0 2 −3 1

0 1 0 −2 7 −2

0 0 1 1 −3 1

∼ 1 0 0 8 −24 7

0 1 0 −2 7 −2

0 0 1 1 −3 1

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

23 september 2016 17

Blijkbaar bestaat A−1 en A−1 =

8 −24 7

−2 7 −2

1 −3 1

.

Controleer dat A−1A = I3.

I.A.M. Goddijn

Faculteit EWI

23 september 2016 18