De afgeleide

is

• de snelheid waarmee y verandert voor x = xA

• de richtingscoëfficiënt van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A• de helling van de grafiek van f in het punt A.

Werkschema: het algebraïsch berekenen van maxima en minima

1. Bereken de afgeleide

2. Los de vergelijking = 0 algebraïsch op.

3. Schets de grafiek van y en kijk in de schets of je met een maximumof met een minimum te maken hebt.

4. Vul de gevonden x-waarde in de formule van y in.Je weet dan ymax of ymin.

A

dy

dx x x

dy dx

dy dx

dy dx

16.1

opgave 8 a E(n) = 0,48n – 0,006n2 geeftE’(n) = 0,48 – 0,012nE’(40) = 0,48 – 0,012 · 40 = 0Uit de schets volgt dat de effectiviteitmaximaal is bij n = 40.

E(n) = 0,48n – an2 geeftE’(n) = 0,48 – 2anE’(16) = 0 geeft0,48 – 2a · 16 = 00,48 – 32a = 0–32a = –0,48a = 0,015

b

opgave 8 c E’(n) = 0,48 – 2anE’(nmax) = 0 geeft

0,48 – 2anmax = 0

–2anmax = –0,48

nmax =0,24

a

Minimale snelheid waarmee K verandert

In het punt B waar de grafiek van K van afnemend stijgend overgaatin toenemend stijgend, is de snelheid waarmee K verandert minimaal.

De bijbehorende q-waarde volgt uit 0d dK

dq dq

16.1

opgave 10 a23 12 15

6 12

0

6 12 0

6 12

2

dNt t

dtd dN

tdt dt

d dN

dt dt

t

t

t

en

geeft

Uit de grafiek hiernaast volgt dat

voor t = 2 maximaal is.Na 2 uur is de snelheid maximaal.

dN dt

opgave 10 b0

dN

dt t

= –3 · 02 + 12 · 0 + 15 = 15

Los op–3t2 + 12t + 15 = 15–3t2 + 12t = 0–3t(t – 4) = 0t = 0 ⋁ t = 4Dus na 4 uur mag een werknemer pauzeren.

Het verband tussen de grafieken van y en

Ligt de grafiek van boven de x-as, dan is y stijgend.

Ligt de grafiek van onder de x-as en is de grafiek van

bovendien afnemend stijgend, dan is de grafiek van y dalend,waarbij de daling minder snel verloopt naarmate x toeneemt.

Hieronder zie je nog een voorbeeld van het verband tussen

de grafieken van en y.

dy dx

dy dx

dy dx

dy dx

dy dx

16.1

opgave 16 a t = 63 geeft N = 97,63

· 290 ≈ 143 miljoen was man.

= 0,000135t2 – 0,2295

Uit de schets hiernaast van volgt:

• de grafiek van ligt eerst onder de t-as,

dus de grafiek van N is eerst dalend

• de grafiek van snijdt dan de t-as en ligt daarna boven de t-as,

dus de grafiek van N gaat van dalend over in stijgend en heeft dus een minimum.

dN dt

dN dt

dN dt

dN dt

97,63 197,63

b

opgave 16 cdN dt = 0 geeft

0,000135t2 – 0,2295 = 00,000135t2 = 0,2295t2 = 1700t ≈ 41,2Uit de schets van de grafiek van N volgt dat N voor t = 41,2 minimaal is.Nmin = 94,5

Het percentage mannen in 1981 is

× 100% ≈ 48,6%.94,5 194,5

Regels voor het differentiëren

f(x) = axn geeftf’(x) = n · axn – 1

g(x) = a · f(x) geeftg’(x) = a · f’(x)

s(x) = f(x) + g(x) geefts’(x) = f’(x) + g’(x) somregel

p(x) = f(x) · g(x) geeftp’(x) = f’(x) · g(x) + f(x) · g’(x) productregel

geeft

quotiëntregel

kettingregel

( )( )

( )

f xq x

g x

2

( ) '( ) ( ) '( )'( )

( ( ))

g x f x f x g xq x

g x

dy dy du

dx du dx

16.2

opgave 19 a y = (x + 3)(2x – 5)2

= [(x + 3)]’· (2x – 5)2 + (x + 3) · [(2x – 5)]’

Apart de afgeleide van y = (2x – 5)2 = u2 met u = 2x – 5.

= ·

= 2u · 2

= 4(2x – 5)

= 1 · (2x – 5)2 + (x + 3) · 4(2x – 5)

= (2x – 5)2 + 4(x + 3)(2x – 5)

dy dx

dy dx

dy dx

dy dx

dy dx

dy dx

dy du

du dx

opgave 24 a

2

( ) 3 2

'( ) ' 3 2 3 2 '

3 2

12

21

3 21

'( ) 1 3 23 2

'( ) 3 23 2

( 3 2 )'( )

3 23 2

'( )3 2

3 3'( )

3 2

f x x x

f x x x x x

y x u

dy dy du

dx du dxdy

dx udy

dx x

f x x xx

xf x x

x

x xf x

xx x

f xx

xf x

x

Apart de afgeleide van

met u = 3 + 2x

opgave 24 b

3 + 3x = 03x = –3x = –1Uit de schets volgt dat f minimaal is voor x = –1f(–1) = –1Dus het minimum van f is –1

k: y = ax + b

met a = f’(3) =

k: y = 4x + byA = f(3) = dus A(3, 9)

Dus k: y = 4x – 3

3 30

3 2

x

x

3 9 124

3 6 9

3 9 9 4 · 3 + b = 9b = –3

c

opgave 29 a P(4,5) ≈ 140,91P(6,5) ≈ 143,33

De procentuele toename is

Uit de schets hiernaast van volgt:

• de grafiek van ligt boven de x-as,

dus de grafiek van P is stijgend.

• de grafiek van is bovendien dalend,

dus de grafiek van P is afnemend stijgend.

dP dx

dP dx

dP dx

dP dx

(6,5) (4,5)100% 1,7%

(4,5)

P P

P

2 2

(1 ) 0 50 1 50

(1 ) (1 )

x

x x

b

opgave 29 c < 0,8 geeft

< 0,8

Voer in y1 = en y2 = 0,8.

De optie intersect geeftx ≈ 6,9

Uit de schets volgt dat

< 0,8 voor

x > 6,9

dP dx

2

50

(1 )x

2

50

(1 )x

dP dx x

dP dx

O

0,8

6,9

opgave 35 a2

2

2 2

2

2

2

2

2

2

( 2) 2 1

( 2)

2 4

( 2)

4

( 2)

40

( 2)

4 0

( 4) 0

0 4

x x x

x

x x x

x

x x

x

x x

x

x x

x x

x x

dy dx

dy dx = 0 geeft

Uit de schets volgt• y is maximaal voor x = 0 en ymax = y(0) = 0

• y is minimaal voor x = 4 en ymin = y(4) = 8.

16.3

opgave 35 b y = ax + b met a =

y = –3x + b

yA = = 9, dus A(3, 9)

Dus y = –3x + 18.

2

23

3 4 33

(3 2)x

dy

dx

23

3 2

–3 · 3 + b = 9–9 + b = 9b =18

16.3

t = 0 geeft V ≈ 54,9Dus de verkoop was ongeveer 55 stuks per maand.

3,9 > 0 dus op t = 0 stijgt de verkoop nog.

dV dt

2

2 2

2 2

2 2

2

2 2

20

( 16 64) 1000 (1000 3000)(2 16)

( 16 64)

1000 16000 64000 2000 16000 6000 48000

( 16 64)

1000 6000 16000

( 16 64)

16000

64t

t t t t

t t

t t t t t

t t

t t

t t

dV

dt

b

a

opgave 38 c

2

2 2

2

2

1000 6000 160000

( 16 64)

1000 6000 16000 0

6 16 0

( 8)( 2) 0

8 2

t t

t t

t t

t t

t t

t t

= 0 geeftdV dt

Uit de schets volgt dat V maximaal is voor t = 2,dus na 2 maanden gaat de omzet dalen.

V(10 000) ≈ 8,10V(50 000) ≈ 8,02V(100 000) ≈ 8,01Dus op den duur is de verkoop 8 stuks per maand.

d

2 2 2

2 2 2

2 2

2

2

2

200

40000

40000

2000

65 40000 50(2000 )

65 40000 50 100000

EP AP EA

EP x

EP x

EP x

FP x

K x x

K x x

In ΔAEP is

Voor de kosten K geldt

opgave 47 b Apart de afgeleide vanmet u = x2 + 40 000.

Uit de schets volgt dat de aanlegkosten minimaal zijn voorx = 241Dus in het geval AP ≈ 241 meter.

265 40000 65y x u

dy dx

dy du

du dx

2

652

265

40000

xu

x

x

= ·

dK dx

2241

65 24150 0

241 40000x

dK

dx

2

6550

40000

x

x