応用物理 公式集A R W 出席番号 氏名

1

①

②

③

④

⑤

⑥

直線運動 回転運動

力 F [N] モーメント(トルク）N=Fr [Nm]変位x [m] 変位角 θ [rad]速度v [m/s] 角速度 ω = dθ/dt [rad/s]加速度a [m/s2] 角加速度 α = dω/dt [rad/s2]運動量 p=mv[kgm/s] 角運動量L=rmv =Iω [kgm2/s]質量m [kg] 慣性モーメント I [kgm2]仕事 W=Fx [Nm]= [J] 仕事 W = Nθ [Nm] =[J]

運動エネルギー K =𝟏

𝟐𝒎𝒗𝟐[J] 運動エネルギー K =

𝟏

𝟐𝑰𝝎𝟐 [J]

回転体では、位置エネルギーmgh、運動エネルギー𝟏

𝟐𝒎𝒗𝟐、回転体の

運動エネルギー𝟏

𝟐𝑰𝝎𝟐 の３つの要素で、エネルギー保存則が成立する。

物体が高さhの斜面を転がり落ち、斜面の下に到達すると、以下となる。

位置エネルギー＝運動エネルギー＋回転体の運動エネルギー

電流 ：中指磁界 ：ひとさし指ローレンツ力 ：親指 F=q×B観測方向 ：上から下

力のモーメント（トルク）の回転方向と方向の定義

回転の向き

上向きのN反時計回り＋

下向きのN時計回り－r

N

F

回転半径r ：中指力 ：ひとさし指トルク ：親指 N=r×F観測方向 :上から下

観測位置が上から

𝒙𝑮 =∑ 𝒎𝒙𝒊𝒙𝒊

  

∑ 𝒎𝒙𝒊  

𝒚𝑮 =∑ 𝒎𝒚𝒊𝒚𝒊

  

∑ 𝒎𝒚𝒊  

重心大きさをもつ物体を点（質点）として考える重心は力のモーメントの和がゼロになる点

・質量が同じでも、形状で回転のしやすさが異なる・回転のしやすさ（慣性）が慣性モーメントI

重心（Center of Gravity)一般的には G と表記重心まわりの慣性モーメント IG

慣性モーメント 𝑚 𝑟2I =

質量M、長さlの棒のz軸方向のI 𝒛

lim→

𝑚 𝑟2Iz =

𝒎𝒊 = 𝝆𝒅𝒙

𝝆 =𝑴

𝑙 （線密度）

𝒓𝒊 = 𝒙𝒊

dx

l

1 2 3 ・ ・ i ・ n

mi

回転方向

dy=0として考える

dy

ri

+x軸

+y軸

= lim→

𝜌𝑑𝑥 𝑥2 = 𝜌𝑥

 

 

𝑑𝑥

積分範囲積分

r1

v2

m1

r2

m2

v1

𝐿 = 𝑟 × 𝑚 𝑣 + 𝑟 × 𝑚 𝑣 + 𝑟 × 𝑚 𝑣 +

= 𝑟 × 𝑚 𝑣 = 𝑚 𝑟2 𝜔 = 𝐼𝜔

𝑚 𝑟2I =

角運動量 L→値の異なる各質点の角運動量の和

慣性モーメント I→ rの異なる各質点のmr2の和

慣性モーメントの公式

v=rω 、L=rmv = Iω

ω

大きさをもつ物体の、角運動量Lと慣性モーメントI

𝑚 𝑟2 = lim→

𝑚 𝑟2 = lim→

𝜌𝑑𝑉 𝑟2 = 𝜌𝑟

 

 

𝑑𝑉I =

r : 微小質点mi から回転軸までの距離mi : 微小質点の質量 mi ＝密度×体積 mi = ρdVdV : 微小質点の体積ρ ：物体の密度→物体の次元により３つの考え方

1次元：線密度 ρ = 質量m/長さl2次元：面積密度ρ =質量m/面積s3次元：体積密度 ρ = 質量m/体積V （一般的）

積分nを有限から無限に mi

慣性モーメントIの計算

応用物理 公式集A R W 出席番号 氏名

2

①

②

③

④

⑤

⑥

I = ∭ 𝜌 𝑥 + 𝑦 dx dy dz 

 

I = ∫ 𝜌𝑟 

 𝑑𝑉 →

I=∫ 𝜌𝑥 

 𝑑𝑥 (𝑟 = 𝑥)

I＝∬ 𝝆 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 dx dy 

 x-y座標の式

I＝∬ 𝝆𝒓𝟐dr rd𝜽 

 r-θの極座標の式

3次元の物体の慣性モーメント𝐼の式

2次元の物体の慣性モーメント𝐼の式

1次元の物体の慣性モーメント𝐼の式

通常はこの公式は使わない

長方形はx-y座標、円板や中空円形（タイヤ）は、極座標を使用せよ

これまでに計算で導出した主な慣性モーメント

𝟏次元の棒𝑰𝒛 =𝑴𝒍𝟐

𝟏𝟐

𝑰𝒙 =𝑴𝒃𝟐

𝟑

𝑰𝒚 =𝑴𝒂𝟐

𝟑

x

ya

b

l

z

x

𝑰𝒛 =𝑴

𝟐𝑹𝟐

𝑰𝒙 =𝑴

𝟒𝑹𝟐

y円板

球𝟐

𝟓𝑴𝑹𝟐

a

M l xy

z棒

𝑰𝒁 =𝑴 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐

𝟏𝟐

板

𝑰𝑥 =𝑴 𝒃𝟐 + 𝒍𝟐

𝟏𝟐

𝑰𝒚 =𝑴 𝒂𝟐 + 𝒍𝟐

𝟏𝟐

𝑰𝒁 =𝑴 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐

𝟏𝟐

𝑰 = 𝑰𝑮 + 𝑴𝒉𝟐

𝑰𝑮：重心の慣性モーメントh：重心と回転軸間の距離M：物体の質量

平行軸の公式

回転軸が重心軸よりhずれた物体のIを求める公式

物体の重心のIGと、重心軸からの回転軸の距離hが分かれば物体のIを求めることができる。

公式が使える物体

１次元、2次元、3次元の物体

x

yz

重心の回転軸

h

実際の回転軸

xy

h

例：カム運動

M

𝑰𝒛 = 𝑰𝒙 + 𝑰𝒚

公式が使える物体

平板の公式

公式が使えない物体

１次元と3次元の物体

𝒓𝒊𝟐 = 𝒙𝒊

𝟐 + 𝒚𝒊𝟐が成り立つ2次元の物体

2次元物体の一つ軸方向のIが分かれば、他の軸方向のIも分かる x

y

𝒙𝒊

y𝒊r𝒊

m𝒊

𝑰𝒙

𝑰𝒚

𝑰𝒛

移動速度 vG

回転速度 v

A B

回転条件：球が1秒でAからBに半回転して移動回転速度vと（重心の）移動速度vGが存在

← 1秒に回転した円周 l ＝ rθ ＝ rωt＝ vt [m]

1秒に移動した距離→x = vG t [m]

t=1で２つの移動距離は l=xで等しいので v= vG

またBの接地点 では、回転速度vと移動速度vGはv = rω= vGで、大きさが等しく 向きが逆。

vGvB

円周 l

移動距離 x t =1t =0

物体の移動速度＝重心の移動速度

点接触接地面積小

摩擦力

Ff

力F

最大静止摩擦力 Ff = μmg

静止 運動

最大静止摩擦力

Ff

摩擦力について

μ : 静止摩擦係数μ’ : 動摩擦係数

μ μ’

物体

力F

床

物体 力F動摩擦力Ff

最大静止摩擦力 動摩擦力＞

＞

面接触接地面積多 床

動摩擦力 Ff = μ’ mg