ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / +...
Transcript of ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / +...
��� ����� ��� ��� �� ������� ������������ �� � ���������
�� � � ��������� �������
����� ������
��� ������
������� ���� �������������� ������� ��
������ ���� ��� ����� �� ��� � �� ������� �� ���� �������
�������� ������
����� � ������� �������
������ ������ ����������� �� � �� �� ������� ��� �� �� ��� � �
������� ����������� ������� �����
����� � ������������ ����� ������
� �� � �� �� ������� ��� �� �� ��� � �
���� �� ��� �� ���� �� �� � !���� � �� "! ������ # � ���� �� ��
������ ���� ��� ����� �� ��� � �$
������������� � !""#
�������
% ��������� &
��� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� ����� �� � ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� ������ ��� ������ ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� � � � ���� �� ����� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
' �� �� � ��������� !���� �� '(
��� ����� �� ���! �� �������� ��� � � ��������� � � � � � � � � � � � � � ��
��� " � ������ ���� �� ����� ���������� ������� � � � � � � � � � � � � � � ��
��� " � ������� �����#�� ������$ �� �� �� ���������� ������� � � � � � � � �%
����� &��' ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �(
����� � )��'� �� ������ ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� " � �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� *�����$�� ����� ���� � )��' �� ������ ��������� � � � � � � �(
��� +�������� )� s#������� ��,� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �-
����� " � ������ �� s#������� ��,� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � �-
����� �� ���#�� ������ ������� ����� �� ����$ �������� ���� � � � � � ��
��% s#������� ��,� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �%
��( � �����,� �� �� � � ����� �� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� �� ���������� �� � ������� ������ # ������� � � � � � � � � � � � � � � %(
����� .������ �� � ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � %�
����� /����� �������� �� � ������� ����� � � � � � � � � � � � � � � � %�
����� 0$����� �� � ��������� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � %-
����� �������� ������ �� � ������� �$����� � � � � � � � � � � � � � � � (�
��� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � (%
) �� �� !��������� &&
��� 1����� ���� �� ����� �� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � (�
�
����� " � �2��,������ �� � ����� ���������� ������ )� � ����� �� �����
������ ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � (-
��� " � ������$ �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � (-
����� +�������� �� � ������$ �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� +����� � �������� ����� �� � ������$ �� �� � � � � � � � � � � � � ��
����� *�����$�� ����� ���� � )��' �� ������ ��������� � � � � � � �%
��� " � �������� �����#�� ������$ �� �� �� ����� �� ����� ������� � �(
����� +�������� �� � 3&4 ������$ �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �-
��� " � ������� �$����� �� ����� �� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��% ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �%
* �� �� ���!� � ������ !���� �� +,
��� &��' ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� ��5���� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �-
����� " � ������,� ���� �� � ����� ������������ ������ � � � -�
��� " � *���#*��� �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � -�
����� ����� ������ ������$ �� � ����#���� �� �� � � � � � � � � � � -%
����� +�������� �� � ����#���� �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
��� 0. ����� ��� � ����� ������������ ������ � � � � � � � � � � � � � ���
��� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��-
- �� �!!������� �� �� �� �!����.���� � �� ! ���� �� ������ %%%
%�� 6�������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
%�� &������ �� ����� �� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
%�� &������ ���������� �� � ������� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � ��(
%���� 1������,� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
%���� ���� �� � ������� �� � ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
%���� ������� �� ������ 7���� .63�8 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
%�� 6���,�� � ������� �� ��2�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
%���� �������� �� � ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��%
%���� �������� �� � ���������� � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��(
%�% +��� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
%�%�� *��,�$ ��,������ ���� �� ����� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � ���
%�( *���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��%
������� \ /��. ������0 %)&
1��������!�� %)+
�
����������������
��)�����9 �� ������ ��,� ���� :�)�,�9 �� )� �,� � ����� ) �� �� ��� ����� ��9
� �� ������� �� ����� 6 �,� ���� �,�� � � ���� � ��� �� ���� )� ��������� ��
,� �� ��)9 6 )�� � ��� ��'� �� ���
6 �� ��� ��� �� � ) �� 6 �� ��� ���� �� �� �� ����������� ��,������� � �
���,����� 3� ����� ���� � ���������� ��� �������� ����� ��� � � ��;�����
�� �� ����,��� "��� 6��<� ��� &<�� =��,>�� ?� �� � )�' ��� ����� �� ��������
6��<� ��� =��,>�9 6 ������@ �,� �� ��,�� �� ��� �
��,��� �� � ��������� ��'� A"B� 7" ��-��-8 � "C" 7��A#�D���%89 ������� ���
���������� ���������� �� ��������� ����� � ���������9 ,���� � ���� � ���,������
��'� E� �� �� � 4��9 3�3��� �� *�����9 � "�� ���� � 4��,���F �� &���� ��
/����� � � 4��,���� �� *����� �� .�� ��9 ����,�9 ��������� ��'� +���� "������
��� 3A� G � :�� ���� A�� *������G ��,���� � �������� � )���� �� �����������
�$������� ��� � ��� ��� ���� )�' � ����� ���
6 ���� ��' � ����� �����)� �� �� 3A� .��� " �� �����)� �� �� ���� �������
�� ���� �� ������9 �� �,�� ��� ��������9 � ������ � ��� � �� �����������
)�' �$��������
3� ����� �� ���� ������� ����� " � ���� ��� �� ��� � � �����������9 �
�� �� �� � �� ��� '�� �� ��� �������9 �� ������ �� �� ����� ���������
����� � ��� ��� ������� �� �� 3� �9 +� � ��� �� /�������� )�� � ���
�������� 9 6 �,� ��)��� �� ��� �� ��� ������ ������� �� �� ��� ������
��� �� �� ����9 6@� ����� � �� ������ ) � �,� ����������� �� �� �� �� �
6 �,� ��'� � � �� � � �� ��� �� ���
�
��������������� ���
3�� ,��> ��'��� �����>�����'� ����� ��H���I' ��� :� �< �� �� '��� �������9 � �
�� � ,< �9 ��>� �� ��� ��'�� �� ����9 � � ��>� J����I� H����' ��� 0�< �����'
��� 'J��J����
0 ����� �����>����� ��>� ����'���� �� ���� ��>������9 '�'��' ���'��� ��H#
�K�<���� 'J��J� ���� "<��,���K� 6��<� "���9 <� =��,>� &<�� �>�>� ����� <��'#
�K�<��� �� ��������>�>�9 <� �� ���>��L'��>� ���<� 6��<� <� =��,>� "��> M ���'>H� <�
>�� �>�� �<�'I� �� ��� ���<' ��
� �����>���' ���<� ��<������ 'J��� ,��L �����>�> ��9 � '���K ���'��� ��������
�� ����<�< �� � �� �K�< � ��>��� �>��>�� G ��� ������� �� A"B� 7" ��-��-89 � "C"
7��A#�D���%8G 'I�J��J�K ���>��L'��>�� ���,����' �����,<����9 'I��J��� � �����'��
� �>� �>��' G ��� �� ����'�� E� �� � ����9 � '������ 3�3��� � ����9 � &�����
3N���'� 0 ���� ,� � � ��� >� *������ 0 ���� G ����,� ��>��� ,>����� G ��� � +����
"������ <� � 3A� G�����O���
0�P�� �����<' 'I�J� 'J��J��� ������� � 3A�#��' � �<�� �� J��J��OH< �������
�����>����� >�� �>'9 �>�<�� ��� ��>� ���<� �� ��������9 � ���'��� ��������<
���� �� O � ���>H� ����
0��� � ����<����� ���' J��<' <����� �� ���<��'� � �K <��� � 'JI��<���'<9
�����' �� �� �� P� ����'9 <� � �� �� ���'� � �� �������� ��<������� �
����>���� 0��K����� C������>�9 C�����>� <� � �� ���I���� �>�����>�� <� �� O�< �
,�� � �� �>��L9 ������� ����� �� �� �������9 � � ����� �����L�9 � � ,������ ��
���<'����9 ,< � J�� ����>��� ,�� �����' � ��>�L� �I ����I� ��������� >�� ��'�
=< I�9 �� ��� ����L����� >�>� ,� ��' ��>�����'9 '�' �� P�� ,< � 'O�<�'�
BJ��J�J� �� P��'9 � � ��� ,�����
%
� ���� �
������������
����� ���������� �� ��� �� � ��� )����� ������� ���������� �� ��2��� ����� 6�
�������� �� ����� �� �� ���� ������ �� ������������ �� ��� ���� ��������9 �� )��� ��
� �$������ �� � �,� ����,�� �� �� �� ��� ��� �� � � ���)���� �� ���� ����
����������9 �� ������ ��� �������� ������� ��� �� �������� �� ����� �� �����
�������9 �� ���� � ����$������� �� ��� ������$ ������ ����� ����� �������
3���,�9 ��,��� ���������� �� ��� �2��� � ���,� ����� �� ��� �� �� �� � ��#
� ������� �� �� �9 ��'� �� � ���� �� ��$�� ��� � ����� �� ����� 736�.8 � �
��������,� ����� �� ����� 7��.8 �� ���
" � ������� �������� �� ����� ���������� �� �� �� 2������9 ��'�� � �� �,� ���
��� �� ����� � " � ���� �� �� �� ��� ����� �� ����� ���������� ������� �� ��,���
�������� " �� �� � � �� ���������� ��,�� ����9 ��'� � �� �� �� ����� �� �
��������� ��,� �� ���9 � � ����,��� ��)9 �� ������ � �� �5���� ����� ����
�� ���� *���������� ���9 �� �� ��� �� ��� � �� ���� ���5���� �� ������9
�� ����� �� ������� ��������9 ��'� �� �$����� � ��������� �� ���
" �� ���� ��������� �� ��,� �� ���9 ��� �� � ���������� �� ����� �������#
��� �� � ������� ������� ? ��� ��,� �� ��� �� ���� ��������� � �� � ����
���H��9 �� ���� �$��� � 2��� � ��� � ��� �� ���������� �� �� � �� ����� ��#
����� � +� ����� ���������� ������� ��� �� ����� �� ����� �������9 )� �������
������� �� ��� ��,� �� ���9 )� ;�$���� ����$ �������� ���� � ������� �� �������
������������ ��� �5������� � ��) ������$�� �������� ���������� � ��� ������� �� ���
��,� �� ��� Q��R ��� � ��) �����,� �� �� � ����� �� ������ Q��R 7 � �� ��� �
������� ���� ���9 �� � ����� ���#�� ������ ����8 �� �������� +�������� ��
���� � �)� )� ��������� ��,� ���� �� )���� "� �� ��9 � ����� ����)�' �� ��������9
� ��'�� � �������� � ��,� ���,� ���� �� ��,���9 �� ������ s#������� ��,� ���� Q��R
�������������� ��,��� s#������� ��,� ���� ����� ��,����� ;�$������ �� � ����� �
(
��,� �������� " �� ;�$������ ��� ��� � ����,� �������� ������� �� � �� ����
6� � ���� �� �� �� �� �� ����� ������������ ������� 7�*.89 ���$ �������
���� � ���������� ���9 �������� � ������������ ��� �5������ �� � �� �� ��� 3��
�*. ���,�� �2��� � ���� ��������� ���� � ���� ���$� A�� �� � )���� ���$
�������9 �� ) �� �� � ����#���� �� �� Q�-R ��� ��,��� ����� ���� �� �� �� Q%�R
�� ����9 �� � ����� �� ��5���� ������ Q��R� ��5������ �� � ���$ �� �� � � ��' 7��
���������� ��� �� �� �� '��)��8� ?� ����� � ��) ����#���� �� �� Q�-R9 � �������
;�$���� ��,� ����9 ��� �2���� �� ��������� �� � ������� �� � ���� ���$ ��
��,����� " � �� �� � ������� )� ��� �� � �����)�� ����� �� � ���� ����� �� ����!
� ���,�� � �*. ������9 ���,�� �� ���� ������ 7��,�� � � ������ �� ����������89
� � �,�� � ������� � � ���� ���$ �� �� ��5����9 �� ������ ��� ����� " ��
�� �� � �� �� �$������ �� � �� �� � ������� �� Q�R �� ��5���� ������9 )� �
��������� ���� �� �������� � � ���� ����
��,��� �$������ ��� � �������� � ������� ��,� �� �� ���
.������ ������ )�� ���� � ��� � ��� ����� ���������� ������ � ����,�
�5������ �������� ��� �$�����9 ����� 9 ������� ��� ��������� Q��9 �%R� ? ��� �
�� ���� ������ )�� �����9 ��� ��$�� ��� � ����� ������9 ��� ������ � ��������� ��#
����� 7�������� ���������8 ������ �� ���� �,� ���� �,��,��� " ��� ������ �� ���,��
)� ��2������ ����� �� ����� ������ �� � ��H��� �� ������ " ��� ������ ��
�� ���� �� � ����� ������9 �� ���� ���������� ,�� ����� ���������� ��� � � ���
�$�������� �� 2����� ������� �,�� �� ������� �� � ������ ��� ���������� ���#
������ ��,�� ���� 7���� ��� ��$��������8� �� �� � ����������� ��������� ���
������� �� ��� ������� ����,�9 � ������$�� �� � ����� �������� �,�� ����9 ��'#
�� �������� 2������� ��� ���#���� �� ������� �� ��� ��� ��� ��� ������ ���
����������� "� '��� � �� �9 �,� � �� �� ������ �� � ��� ��� �����9 ���� )� �
�S � � ��� ���)��� ��� � �� �'����� ������� �� ������ �$��� ����� � �����9
� ���,�� ��� ������ �,� � �� �������� ���#���� ��������� �������� ��� �������
����� �������� " �� ���� ���� ��������� ������� ������ �� ����� ���������� � ��'�
��� ������� �� ���9 � ��,�� � �� � �� �5���� �� ������� ������ ������ Q��R�
!"! ����
" �� ���� )�� )��� �� �� �� � �2������� �� � �� �� �� ���� �� � ������ �
�� ������� �� ������� " � ������� ���� �� ����� �� ����� 9 ��� �� � )��� �����9
����� ���� ������ ��� ������
�
�������� ����� � �� � ���� )��� �� � ���� �� ������� �� ������9 � ��� �
������� � ������� ������ �� ����� �� ����� )� ������� �������
+�� � ������� ��9 ��,��� ��) ����� �� ��,� �� ��� �� ����� ����������
�� �������� ��� ��� ����� �� ����� � � ��,� �� �� �� �� ����� ������9 ��� ��
�� � ��) �� �� ��9 �$������� �� ��������� �� �� �� � ��,��� ��) �������� � �$����
�� �� ��� " � ����� �� ����� �� Q��9 ��9 �-R� " ��� ����� �� H��� )�' )� ��
����,���9 "��� 6��<��
�� � ��������,� ����������9 � �������� ������� ������ �� �� ��� ����� ��
�������� " � ����� �� ������� �� ����� ������� �� ���������� � ����� �� �
��,��� �� ���9 ������ ����� �� � ������ �������� �� � ������ �� �������9 ) ��
��,�� � ����,� � ��������� ��� �5������ �� � ������� �� ��� ����� " ��� �����
�� H��� )�' )� �� ����,���9 "��� 6��<�9 ��� �� �����) . 1 �����9 3������ �� ��
" � ���������� �� ������� ��� ������� ������ ������� ���� � ��S������ ��
���������� ? ��� � ������� �� �� �������� �� � � � ������ �� ���������9
� ���������� �� � ����������� �� ��� �������9 ��� ) �� ��������9 �,�� )�
����������
� ������� ��������� �� � ��) ����� ��� � ����� �� � ���� �� �,�� �� �
��$ �������
!"# ������� �$ ��� ������
6� �� �������� ������9 ��� ������� � ������� ���� �� �� � ����9 )�
�,� � � � ������ �� � ���� �� ����� �����������
6� * ��� � ����� ���������� ������� �� ���������� ��� ������ � ����� �� �����
���' ����9 )� ����� � +�'�� ����� Q��9 �-9 �-R9 � ������ ������,� ���� ��
����� ���������� �������9 �� )��� �� � ;�$���� ��,� ���� ���� � ����,� � � �������
�� �� ������� " � ���� ����� �� � � ��� ������ ������� �� ��� ��,� �� �� ��9
��� �� � �������� �����#�� ������$ �� �� �� ���������� ������� 7� � �� � ���
�� � ������$ �� ��8� +� ��� �� �� ��9 � ����,��� ������ ����� �� � �����
�� ��,� ���� �2���� �� ������� ���� � )��' �� ������ ���������� �� �� �
����� �� �� ���������� �� �����9 � ������ � ��)9 ��� ����������� )�� � ������� �
��,������� ���� �� � �� �� � �� ��� ��,� ���� +� ��� �� �� ����� �������9
)� ������������ ��S��� )��� �� ��,���� � ����� �� ������� " � �� ����� ��
)���#'��)� ;�$���� ��,� ����9 �� � �������� ����� �� ������� �� � ��)9 ������ )��9
����� �� � ������ �� s#������� ��,� ���� Q��R� " � ������ ������ �� ����� �� �
�
�����,� �������9 � �'�� ��,��� � �� � ������� ������� �� � �������� �����#��
������$ �� �� �� " �� � ��� ����� �� � ����� ������� �� Q��9 ��R�
��� ���� �������� �$������9 �� � ��������,� ����������9 � ���������� ������ ��
� ��������� ������� ������ ��� � ������� ������ �� �������9 ��� � ����� �������
�� ���,�� �� � 3���� ������������ �� � ������� 3&4 �� �� �� " � ��������� ��
� ������� ������ ���� ��,�� �� �� ��������� � � ��� � ����
6� * ��� � � ��������� ������$ �� �� ��� � �� ���� ,����� �� � �������� �����#
�� ������$ �� �� � Q�R �� ����� �� ����� ������� �� �������� " � �������� ��
�� �� �� �� �� � �)� � �� �������� �� � ��) ������ �� s#������� ��,� ����� 6
�� ���� � �)�9 � � ��) ������$�� ����� ��� ���� �� ����������� � � ��� ���������
�� �� ���
�� � �������� ����������9 �� )��� �� ���� ����� �$������9 � ������� ������
������� �� * ��� � �� �$����� )� �� ��H���,� �������9 ��� ���,�� )� �� �
������$ ��� � 3&4 ������$ �� �� ��
* ��� � ����� )� � ����� ����������� ������� ��� �� ��������� � �
���������� ����� �� �*.�9 )� ������� � �� ������ ��5���� ������� " �� ���$ �����
�� ��� �� � ��� ������ ���$ ������� �� � ���� �� ����� ������������� +� ���
������9 )� ����� � ��)9 ��������� ����#���� �� �� ���� s#������� ��,� ����9
� ���� �������� )� � �2������ �� 0. ������ " ��� ����� �� ����� �� Q�-R�
" �� �� � ����9 � ������� ������� ���������� ��� ������� ������ �� ����
� �������� � ������� �������� �� ����� ����������� � � ��� �� ��� � ���9
��� ������ �� �� ���������� �� ���������9 � �� ��� ���,�� � � � ���� " ��
)��9 ��,��� ��������� ��� ��������� ������ ������� �� � ������� ����� ��
���������� * ��� % ��������� � �����9 ��� ������ � ��� � ����)�' �� ������
� ��� ���� ���� ������� �� ������� ������9 ) �� ��� ������ �� ���� �� �,�� ���
���������� �������� " ��� ������ �� �$����� ������$9 ��� ���������� � ����� �� �
�� �� ���� � ��� ��� � ����� ��9 ��,��� ����� ���������� ��� ������ � ��'��
�� ��� �� ������� � ���� �� � �� ,�� ��������� �� ������� ���� �� ��� ��
���� �������� � ������� ����������� �5������� " � ����� ������� �� �� � ���
�� ����� �� Q��R�
��� ������ �������� � � ������� ������ �,� ���� �������� �� � ����� ��#
������� )� 3A� .��� Q(�R� " � ��� �� � �������� ������� �$����� �� ���� ����
���� �,������� �� 3A��
" � ���� �� ������ �� � �������
-
!"% &��'���� '�� ����� ��(�������
?� ��� � �����)�� ������� �� �� � ����� ������ ��� ������� �� ������ ��
����� ���� ����9 ,���� �� ����� �������� ���� ����9 ������ �� ������ ���� ����
��� ������9 ����$ ��� �� ������ ����� �� �� 7����8 �����
" � ������ ��������� ������ �� ������ ��
Ax = b, x ≥ 0, 7���8
) �� A ∈ Rm×n,b ∈ Rm 7n ≥ m)�
" � ������ ������ ��� ������ ������� �� � ����� ���������� ������ �� � �������
�� �� ��H���,� ��������
min cTx
Ax = b, x ≥ 0, 7���8
) �� c ∈ Rn, A ∈ Rm×n,b ∈ Rm 7n ≥ m)�
" � ������ �� ��� ����� ������ ������� � ��H���,� ������� )� � �� ������
������������ ���������
−M�+ � = 2
� � = ( 7���8
�, � ≥ (,
) �� M ∈ Rn×n9 q ∈ Rn ��� uv = (u1v1, . . . , unvn)�
" � �������� ������ ��� ������ �� � ��������9 ������� ���#���,�$ ����������
������ �� � ���
max cTx + xT Dy + dTy
aTi x + xT Fiy + bT
i y ≤ bi i = 1, . . . ,m 7���8
Nx + My ≤ d,
) �� c, ai ∈ Rn, D, Fi ∈ Rn×k,d ∈ Rk, bi ∈ R9 i = 1, . . . , m9 N ∈ Rl×n,M ∈ Rl×k�
6� ������� ���#���9 )� �� ���� �� �������9 )� ��� ������ � � ���$ �� �
����� �������� 7A8 �� �� ���� ��'9 �� � ���������� � ��' �� � ����� ����� ��� �
���,�� �� � ������� �2������ ��� �� ���� ������������� )� � /����#T����
����������� 6� ���� �� ������ ���9 � ���$ [−M, I] �� ��)��� �� ���� ��'�
+� �� ����$ �� G ⊆ I := {1, 2, . . . , n} ��� � ,��� v ∈ Rn9 )� ����� � ���,���
�� v ����$�� �� G �� vG9 �� � � )��� (vG)i := vi9 i ∈ G� +� ��� ���$ T ∈ Rm×n ���
��
����$ ��� F ⊆ J := {1, . . . , m} ��� G ⊆ I9 )� ����� � ������$ �� T 9 ) ��� �)� ���
������� �� ����$�� �� F ��� G9 ������,���9 �� TFG� +� � ���$ A ∈ Rm×n ��� ����$
s9 � ,��� as ∈ Rm ������ � ������ �� A ����$�� �� s�
�� B ∈ Rm×m �� � ������ ��� �2��� ������$ �� A ∈ Rm×n ��� N �� � ���$
�������� �� � ������� �� A �� �� B� " � ������ ��� ���$ B �� ������ � ����� �� �
������ ) ��� � ����$ ��� IB ⊂ I ��� IN ⊂ I ����� � ����$ ��� �� � ����� ���
�������� ,�������9 ������,���� " � )���#'��)� ���������� ����� ������� �� �,�� ��
� ������ b := xIB:= B−1b9 ��� T = B−1N ∈ Rm×(n−m) ������ � � � ��,� ������
���������� � ����� B� " � ,��� �� �������� ,������� �� xIN:= 0�
" � ������� ���� �� � ���� �� ��������� �� "���� ����
x, xi ���� � ����� �� ,����9 ����� �� �������
vu � �������� ����� 7:������8 �� v ��� u ,�����
A � ���$ �� � ���������� � ����� �� ����� ������9 A ∈ Rm×n�
M � ���$ �� � �*. ������9 M ∈ Rn×n�
B �����9 �� m × m 7n × n8 ������ ��� ������$ �� [−M, I] ∈ Rn×2n 7A ∈ Rm×n8�
T � � ��,� ������ �� � �,�� ������
TB � � ��,� ������ �� � �,�� �����9 �� � ������
��'�� � �������� � ��� ����� � � ����� � � ����� B�
I ����� �� �� ���� ����� ����
IB ������� ����� �� � ����� B�
IN := IB ������� ������ �� ����� B�
⊕9 �9 +9 − ����� ��,�9 ��������,�9 �����,�9 �� ��,� �������
< · · · > ������� ,��� ������
b � �������� � # ��� ���� �� � ��,� �������
������� ������� ���� �� ����� �� ����� �������!t(c) � ���������� ,��� �� � ��H���,� ������� �)
�� � ��,� �������
c � �������� ��H���,� ������� �� � ��,� �������
������� ������� ���� �� ����� ������������ �������!ı = n + i �� i ∈ {1, . . . , n} ��� = i − n �� i ∈ {n + 1, . . . , 2n}�tq � ���������� ,��� �� � � # ��� ����
�� � ��,� �������
q � �������� � # ��� ���� �� � ��,� �������
"���� ���! ������� �����
��
!") � ���� ������ �$ ����' ������'����
� ,�� �� � �������� �� ���'� �� �,������� �� �,�� ������ �� ����� �� ����� � " �
���'� �� � ��� ��,��� ������$ ��� �� ��� ��'� Q��R9 ����� ���� ��� �� ��� ��'�
Q��R9 � ������� ������ �� ����� �� ����� ��'� Q�%R� ��,��� )���#� ������ ��������
��� ������ ���� )� � ��,������� ��� ���� �� ����� ����������� � ,�� �������
��� ������� ��������� �� � ���� ��,������� �� ����� �� ����� �� ����� �� Q��R
������� �� /�� � 1���� � ���>� .<'��� �,�� �� �$������ ��� ������� ���������
�� � ���� �� � ��,������� �� ���������� ��� � +�'�� ����� Q��9 (-R9 �� �,��
���� ����� ��'� Q-(R ���� � �$���� �������
" � ������� �� ����� �2����� ������ )� �� ,������� �� ���������� �� �� ��#
���� ������� �� ��� ���� ������� �� �� ���� ����� �� �� * ����� �� ���������
����$������ �� �%� &�*� " � /����#���������� �� ��9 ) �� �� � ���� �� ��� �� �
���� �� ��� �� ����� ���������� )�� ������ �� �� *�� +����� /���� 71777 − 18558
��� )�� ��� ��������� �� /����#T���� ���������� �� ��9 ������ �� �� � :������'
�� /������ 7����8 �� ?� T���� 7����#��--8� " � �� ������ ����9 � ��������
) �� � ����� �2����� ����� �� � ������� )�� �������� �� �� *������9 ������� B�#
���'� 71823 − 18918 ��� 0� ��� E��� < 71832 − 19108 ����� 1892�
" � �� )���#'��)� ����� �� � ������ � ������� ����� ���2������� �� � +����
��� ������ ��������9 ) �� ���� ��,���� � ���� ���� �� � )�'� �� /���� +�'��
71847 − 19308� ���,������ �� ����� ���2����� ������ )�� ��,��� ��� �� /���� +�'��
Q��9 ��R �� � ��� 19th ������ :�� ���� G)��� �� /����9 ��������� �� ����� �����
� ���� ����� ���2������� Q�-RG ������ �� �� 1901 ������ ��� �� � ��� ��2����� ����
���� �� � ������ �� ����������� :�� ������ ������ ����9 � ������ �� �
� �������� � ���,������ �� ����� ���2����� ������� " � �� '��)� �����������
�� �� �� ������� ����� ���2����� ������ )�� �������� �� T��� &����� T���� +����
71768 − 18309 ������ �� � +���� ����� �� )���8 �� 1823� " �� �� �� )�� ���������
� ����� ����� ������ �� ���2������� �� " ����� ������ 3��'�� 71908 − 197089 ���
����� �� �� �� �� �� ���� '��)� �� � +����#3��'�� ���������� Q(-R�
?��� ����� � ��,������� �� ����� �5���� �� ��� �� ���,�� ����� ���2����� ���#
���9 � ������ ������,� ���� �� +�'�� )�� ������ ��9 �� �� 1894 �� :�� ����
Q��R� " � �� ���� ��� �� �� ���� ���� � � ��� ����� ����� ���2����� gTx ≤ 0
�� � �����2����� �� � �� �� � � ��� ����� ����� ���2�������9 �� ��� ���� �� � �� �� �� �
������ ������ �$���9 )� ) �� � )�� �� �� ����� ��� �� � ���2������� ����� �
���2����� gTx ≤ 0� �� .<'��� ���� �� Q(-R9 � �� ���� ���� )�� �� �������9 �� �����
�� ������� 6� �-��9 ���<� :�� 71885 − 19338 ��������� +�'��@� ���� Q��9 �-R�
��
:�� ����� ��� �� ������� �� � ���� ������#
� �9 �� � �����)�� ! �� � ����� �� ����� ���#
��� �� �� ������ �������9 �� � �� ������ ���� ���#
�� ���� ��� ������ ����� �,� ���� �� ��,�� ��
/�� � +������,�� =����� 71868 − 19088 Q-�R9 :�#
���� 3��'�)�'� 71864 − 19098 Q(�R ��� ��� �� T� �
,�� ������� 71903− 19578� ��,��� � � ������� �#
���� )�� ���� � ����� ����� ������9 �������� �
���� �� �� �� =���<� .������ 71866− 19628 �� 19119 �
��� �� ������ =�����,�� B����,�� 71912 − 19868
�� 1939� " � ��,������� ��� � ���������� �� ��#
�������� �� ��� ������ �������� )� � ��,����#
��� �� �������� " � �� ���� �� �5���� �����#
�� �� �� � ��� � ���� ?��� ?� 669 ��'� � �
������ )�' �� ��� �� �������� ��'� ������� �
B����,�� �
/���� +�'���
����� �� ����������� ����������� ��� �� �� ��� �� ���� ��� ����,�� �����#
�����9 ��'�� � �������� � ���,� � � ������� �� � ,�� � � ����
" � ���� ��,������� �� ������ ��� ������ ���� �� ����� �� ����� )�� ��;�#
����� �� � )�' �� � ����� ���� )���� 719768 ��������9 ?������ ������� 71906−19998
) � �� �� )�' ���������� ��������� ����� �� �� � ������ ����� 719328 )��
���� � ��� � )�' �� � ������� �������� ����� ����� �� � ������9 �� �� � ���$
������ :�� �����@� �������� ���� �� � ��� � ��� �������� � �����9 � )��
���� � ������ � �������� ���� ���9 ��� ��� ���,���� � ������ ��'�� � ����� �
������ �� �2����� ������ ���� ��;������ � ����� �� ��� � ,�� �������� :��
����� �� ��� ��� 719288 ��� �� ����� �������� �) 719378 �� ��,�� � )��
�� � )�� �� ��'�� �2���� �� ����� �� ����� Q��R�
A�� �� � ��������� ������� �� �� �� ����� ���������� �� /�� � 1���� 71914−20058� 6� �� ������ ���' Q��R9 � ��������� ���� ������� ���� �� �) � ������$
�� �� ��� ����� �� ����� �,��,�� ���� �� ���� ��������
" � ������$ �� �� � � ���,� ����� �� ����� ������� )�� ��,������ �� 1����
�� 1947� &���� �� ���9 ��� ����� �������� ���� ������ �� ����� �2������� ��� ��#
�2������� 7������ � ����� ���������� ������ ����89 )� �� � ������� �� �� ��H���,�
�������� A� ������9 � �� ,����� �� 1���� @� �����9 ��,������ )� ������ �������#
���� �� ����9 �� �� ��H���,� ������� �� �� " � ������ ���������� ���� � ��� �
����� )�� �2���� ) �� )�� �� � �����9 �������9 ��� ����� �5������ �� ��������
��
" � �� �����9 ������ ����� ������� ���� ��
1���� 9 )�� ��,������ �� � ������� �� +��� ���
�������� � ��H���,� ������� )� ����� ���� �
���� � ��� � ��������� " � ���� ��� �� ���
���� )�� � ������� � ����� �� �������� ���������
1���� )� �� ����� ��� ���� ������� � �5#
���� ����������� ����������� ��,���� ���� �� ���#
���� )�� �������� �� ���,�� � ��) ������9 ���
������������ �������� � .��� �� � ���� � ��#
,������� �� �������� &� � ������ ��� �� 19479
1���� �������� � ���� ��� �� �� �����9 ) ��
����������� �������� � �� ���� ���� ������ ���
������� �� ������� �������� /�� � 1���� �
?� 1���� @� �)� )���9 )� ����� � �� �2������� � ������!
�� �� ��� � ��� �� ���� �� �� �� �������� �� ����� �� � �� ��� �� � �����
�� �� ��������� �� �� �� � ���� ������ �� ������ � �� ���������� ��������
�� �� ���
�� �� � ���� �� ���� �� � ����� �� �� �������� � �� ����� ��� ����������� �
�� ����� �� �����! ���
�� ���� ������ ��� ����������"
" � ������ �� ������� ����� �������� �� � ����������� �� � ����� ��� ���H��
� � ����� �� ����� �2������� ��� ���2�������9 ��� �� ����� �� ����� �� �� ����
��� )�� ����
" � ������$ �� �� ����� )�� ������� �� 1���� � ��� ���)���9 ���� � ���#
�� �� 1947�
" � ��� � �� � �� U�� ����� V �� ��� �� ����� � �� ��,������9 �� ) ��
� ����� )�� �������� " � �� U�� ��V ����� �� � ������ ,�������� ���� �
,����� ����� � ���� �� ������9 �� �����9 ���������9 ��� 1���� @� �� ���� �� �����
�� ����� 9 )��� ) ��� � )�'�� �� � ������� �� +���9 )�� �� ������ #����� �
��� �� � $����� %������� " �� )��9 � �� U�� ��V �� � ���������� ��,������
)�� ������� �� ��� ����� � ������ '��)� �� � )�� �� ������ �� ���9 ) �� )��
� � ��� ������ ����� � �� U�����V� ���9 �� ���� 19499 E��� 1����� )�� �
�� � ��� � � ��� U�� ������� �� ����� V9 ����� � ����� � �$������� U�����V
� �� �� �����,��
��
" � ���� �� � ������$ �� �� �� ��� � 3��'��9 ) � ������� � �� � ������
����� �� � ������9 � ��,� �������� ������� �� � ������$ �� ��� ��� �� ,��)��
���������� �� ��,�� ��� � ������$ � �� ��H���� ����
" � �� ���� )�� ������ ���� �� �� ������� ����$ ����� ����� �� �����
������ )��������� :�)�,�9 �@� � �� ������� � � �� ��� �� )�� ��)9 �������
�� 1���� @� �� �9 "����� 1���� 71884−19568 ����� 1954 � ������ � � ��� U�� ����
������ ) ��� ���� �����V�
A��� )� ���� ��� � �����,�� �� ����� �� ����� 9 � �� ��������� �� �� #
������� �� ����� 9 �������� ����� � �� � W�� ���������9 )�� ��� �� * ��� ��
���� ��� � � ������$ �� �� ������ �,�������9 � �� ����������� �� �� �
��� �� ���� � �� ���������� �������� ����������� �� ����� �� ����� )�� �
������� ������ 7�������� ��� �$�����9 ����� 9 ������� ��� ���������89 � ����
�������� ����9 � ��� ���'�� ���� 9 ��� ��� ���� ������9 ����)�'�9 ���� �����
��� �������� ���� ����� ��)�����9 ������� �,�� ����� �� �� �,�� ��� ���� �� ���� �)
����� � ����� �����������
�� � ����� �� ��� ����� �� � ������$ �� �� � �� �� )� � ��,������� �� �
�� ������ 1���� #?���� ������������ �� �-%% �� ������� ��� . ���� ?����9 Q��R9 ��� ��
���� ��� ��,������ �� T� +� &����� �� 1962 Q-R�
���� ��� � ��,������� �� � ������$ �� ��9 � �� ������,� ��,� �� ���
�� �� � ��� �� ����9 1���� @� ������$ �� �� � 7� �� ��,��� ����� ,�����8 ���� �
�� � ��� �5���� ��,� �� �� � �� � �� ��H��� �� �������� � �� ,���� ��
����$ �������� ���� ��� ��,� �� ��� �� �,������� ����� +� � ������9 ��� "� "���'�
��� �� W �� Q��R�
" � �� ��,� �� ��� �� � ����� ������������ ������� )�� ��,������ �� 1962−63 �� E�� �� *���� 6� 19659 ���'� ��,���� �� ������ �� �� Q%%9 %(R9 ) �� �������
� ����� ���' �� ��� � ������,�$ �������
� ����� ����� ������������ ������ ��S�� ��� � ����� ���������� ������ ���
��� � ����� �� ����� ������������9 ����� � �� NP#�������9 ������� � ����������
������ �� ����� �2������ )� ����� ,������� ��� �� �������� �� �� �*. ������9
��� " � �*. ������ ������ NP#�������9 �,�� �� )� ���� � ���$ M � � �����
�� �� ��,� ���������� ������ Q�(R9 ��� �� � ���� �� � ����� �� P0 ������ Q%�R9 ���
����� ������������ ������� ��� �� ������� ��� � B��� #B� �#"��'� ��������
��������� �� 2������ �� ����� � +� ���,�$ 2������ ��H���,� ��������9 � ���$
M �� � �*. ������ �� ���������9 ) �� �� �� �� � ����� �� ��5���� ������9 �
)���� ����� �� ������ �� ) �� �� ��,��� ��,� �� ��� ��� ����� ���� �� ���
�%
�� ��,�� � �� �����
.������� � ��� ������ ����� �� �*.� �� � ��� ��,� ��� ����� ���� �� #
��� ��,������ �� ����� �� ����� ��� ���� �) �� ������ � ����� �*.� � ����
)� .�1 ������9 �� ��,���� �5���� �� �� �� � ���,� ������� ��������� ���,�$
2������ ��������
" � ������� ����$ ����#���� �� ��9 � ��� ����������� ���� ��,� �� �� )�� ��
������� �� W���� Q--R �� 1969� :� )�� ������ � ��,� � �������� �� �� �� ��9 ��
� ���� )�� �� )����� ������ ��9 ��� � ������� ,������ ��'��)�� 6�����������9
* �� Q�%R9 "���'� Q��9 �-9 ��R ��� ?�� Q-�R �,� ������ �� ����#���� �� ���9 � ���
)� ����� ���� ������� �� ������ ������� " � ��,������� �� � ����#���� �� ��
���)��� � ��� ����� ���� 2������9 ������9 ) � � � ������� �� � ����� �� �� ���
�� ������� �� ���� ��� � ��� � ����� �� � ������$ �� �� � )�� 2���' � ��,� �#
���� �� ������9 �� ������� ������$�� ������� ��
���� 2������ ���� 19709 ) �� =��� B��� ��� /�� �
3��� ����� �� �$�����9 �� ) �� � ������$ ��#
�� � )� � ����� ������� ����$ ��� ��'�� ��
�$�������� ����� �� ��,� �������� ���� ��� �
���� � ���� ,��$ ����� ����� � ������ ,��$�
" �� �$�����9 � ������ B���#3��� ����9 �� � ��� ��
������ �������9 ) �� ��,�� � �� � ,�� ������
������� ��� �,� ������ �� �� ��,��� �����#
�,� ����$ �������� ���� )�� ��,����9 �� ��� �����
�� �$�������� �$����� �$��� Q(9 %�9 (%9 (�9 ((9 ��R9 �
� ����9 ���H����� � �$���
" � B���#3��� ���� �� 3 ����������
" ��9 ��� �� � ��� � ����� �� ���� 2������� �� ����� ���������� ������9 ) � �
� ���������� ��� ��,� �� �� �$���� " �� 2������ �� �� ����� ��������� )� � ������
:�� ���H���� Q�-R� " �� ���H���� ���� � �� ��� ���� ��� �� ��������� d9 ��
�$��� � �� �� ��� �� ��� �� d + 1 ��)��� ��� )� ,�����9 ���� ��H���� ,�����
����� " � ��� �� ���� ����� � � � :�� ���H���� �� ��� � +�'��� ��� "���'�
Q�%R� " �� ��,�� �� 1999 � �,����� �� � �� ����� �� � ���� ��� 7���� �� ����
�� �������� ,�����89 )� ���� ���� �� ������ ���������� ��,��9 �� �$��� ��� � �� ��
��� �� ��� �� d + 1� 4���������9 �� )�� ���� � ��,� ���� � �$������ ���
� ��� � ��� �� �� �� � ���� ��� � �� 9 � ��,� � ���� �$��� ���������
�� �� ��������� �� ����������9 ������� � �������� �$��������9 � ������$
�� �� ���� ��� ��'� � ���������� �� �� � �� ������ �� � ��H��� �� �����9 ����,�9
�(
� �,�� � ����� ��� �� ����� 7� � ��� 2������8� " �� �� �,�� )�� H������ �� �
)��� �� � �� ����� �� � �$����� ����� �� ��,� ���� �2���� �� � ������$ �� ��
Q�9 �9 ��9 ��R9 �� �� ��� ��� ����� ������ ��� ����������� ��������� �� � ����
��� �� � �������
" � �� ���������� �� �� � �� ����� �� ����� G ��,������ �� 1978 G )�� �
������������� �� � �������� �� ����� �� ��2��9 ���)��� � ��� ������ 2������9
) � � ����� �� ��� ����� �� � � U����V ���������� ����� �� ������� � ��� " �
���������� �� ������ /� B �� ���@� 71953−20058 ��������� �� �� )�� ��,������ �� � �
��,�� �� ���������9 � �9 X���� ��� ����,�'��� 1����� �� ��������� ��,�����
������$�� ��� �� �� ����� �� � ����� ���� ����� �� ����� 7���������� �� �
����$������ ��� �� ����������� ����������8 ����������9 � �� �� ��,�� �
�� ,�� ���5���� �� ������9 ����� � ����� �� ������� ������ �� � �������������
���� � ������� ����$���� � ������� ������� �������" � �� ���������� ��� �� �� � �� ����� �� ��#
��� � ��,�� � �� �5���� �� ������ �� )��� )��
������ �� �� ������ B���'� Q�(R �� 1984� ����#
���� � � ��������� �� ��9 � �� ��� �� �� ��)
������� ��,��� �� �� ��� �� �������� �� ��#
��� � � ��� ��� � ����������9 � ����� �2��,#
������ �� B���'�� �� ��� )� � ��������� �� �#
� ��� ���� �� ��� �� ������ ��,������ �� ���#
����� �� ����� )�� � �)� �� Q�(R� ����9 � ���#
���� �� )� ��������� �� ��� ��'� � �5�� ������
3� �� �� 1�'�� Q�(R9 � �� �� ��� &��� 3� ��
�� +��� 7 � ����� ���� )���� ��������8 Q��R ���
� 3� �� �� *���� �� :��� Q��R )�� � �)�9 ����
�� ) �� ����� ���� �� ��,�� � �� ���������� Q��R������� B���'��
" � ������� �� � ��) ����� ���� �� �� �� �� ������ ���� � �,������ ��
����� ���� �� ���� " �� ��) ����� �� �� �� �� ���� ��� � ���� ������ ����� ��
����� ��� �������� ���������� ����� � � �� ��� � ��������� ��)��� B���'��
�� �� ��� � �� �� ��� ���� �� �� ������ )����� '��)�9 � ���� ������ ������
� ��� ��) �� ��� �� ������� ��������� � �5������ ���,� 2������ ��� �����
������������ �������9 ���
6 �� ������� � ��� � � ���� � ������$�� �� � ������$ ��� � ����� ����
�� �� ��9 � ���� � ������� ��� �� ����,��! � ������� ������$�� ����� �� ���
� � �� � ��������� �2���� ����� �� �������� �� ������� ���' �� )��
��
�� ��,�� �� � ����� ���� �� ��� ������ �� "���'� � ��� Q��R ) � � �)�� � ��
�������� ����� �� �$�������� ����� �� ������� ���2������� � � B���#3��� ����9
� ����� �� 9 ��� �� � ����� ���� �� ��� ��� �� ����� � ,��� �� �����
����� �������� �� ��� ,��$ �� � ����� &� ��� ��������� �� � �������
���2�������9 �,�� ����@� ��� �� � � ���,�� )�� ������ � ���� � ��������� ��
� �����,� ������9 �� )�� ����� � ��'� � ������� ����� �� ����� ���� �����
6� � �����2��� ����9 "���'� � ��� � �)�� � ��� ����� ��� �� ���� � � �� �
��)� ������ �� � ���� �2���� �� ��� ����� ���� �� ��� Q�%R�
�� �� � ������ � � ��������� �� � ����� ���� �� ��� ��� ����� �
��,� ����� �� ��� � �������9 � ���� �� � ��� )� �� ��� ������� ���������
��� � �9 �� �,�� ��,��� �� ��� �����,��� �� �,� � � �� " � ��� ��� ���� ��
� )� �� ��� �� ��������� �� Q��R� " � ��������� �� ��� )� �� ��� ������ �� �
���� �� �� �� �� ��9 ��'�� � ������������� ����� ���� ��� �������� �5������
�� � ���� )� �� �������
" � ��������� ������� �� ����� �� ����� )���� �,� ���� ���������� )� �� �
�$������ �� �5���� ���)��� �� � � �� 2������ " � �� ��������� ��� ���)�� )��
��,������ �� �-%�9 ) �� ������ ��,��� ����� ������������ ������ ��'� ������9 �����#
��� ������� � � ������ ��� �� ����� ��,���� )�� �������� �� � ����� 4���������9
��,��� ����� ������������ ������ ������� �������� ������ " �� )�� ���������� �� ��
� ������$ ����� �� ���� E������ �� 20039 6�,>� 3��� ������ �� �� ���' �� � ���#
������ �� ��� �� � ������$ �� �� � Q%�R9 ��'�� ��,��� ������ �� � �����������
��� ������������ ������ )����� �,��������
6� � 1950@�9 ) �� � ������$ �� �� � )�� ��,������9 ������� )� � ��) �����
,������� ��� �������� )�� ��������� � �� �� � ����� �������� "����9 ��� �� � �
���,�� 7�� ��������� ��� ��� �����8 �� ���� � ����� ������� ���� )� �������� ��
,��������
����9 ��� ���������� ��� ����� �������� ������� �,�� �� ����@� ��� ������� ���,��
�,�� �� � ���� �� ����,��� ����� �������� ��,��� ��� ���� �����������9 ��'� ��� �����
�� ������� ������9 ����� ���������� ,�� � ����� �� ����� �������9 �� ) �� �����
������������ ����� 9 � �� ���� ����� �,�� ������ 9 ��� �� ����,�� �� ������$ �����
������ A���9 � ���������� ��� ���� ����� ���� �� ��� �� �����2���9 ����� �
���������� ��� �2��� ���� ������� ����� �� � ������$ ��'� �� �� �� 7��'� �5����
)�� ��8� 3���,�9 �� ����������� �2���� � ����� ������� �� ��,��� ����������
�� �������9 � ����� ����� ����������� �������� 7���������� ��� ���������� �����
���� �� ���8 ��S� ��� ������ ������� ��'� � ������$ ����� �� ����
�� � ������ �� ��� ��� ��� ��� ������� ��� ������$ ������ �� ������ ��#
��
������9 ���� �,�� ���� �� � �,��,���� �� �������9 �������� ��� ������ ������#
���� 2������� ������ ��� ��� ��� �������
�-
� ���� �
����� ��������� �������
6� �� � ���9 )� ������� � ������ ��������� ������
Ax = b, x ≥ 0, 7���8
) �� A ∈ Rm×n,b ∈ Rm 7n ≥ m)� ?� �� � ���� �� �������9 )� ��� ������ �
��'(A) = m� .��������9 � /����#T���� ���������� �� �� �� ������� �� � ����������
� ��' �� � ����� ����� ��� � ���,�� �� ������� �2�������
#"! *���' '����' '� �������'� '�� ���� �����������
6� �� ������9 )� �������� ���� ����� ����� �� ����� �� ��� ) �� �� ���� �� ��
����� +� � ������� ���������9 ��� Q��R�
� 3���� '$%$% $� � &��� �� �� ������ {a1, . . . , ak} ⊂ Rn ��� ������� {λ1, . . . , λk} ⊂ R
�� �����" �� ����� b ∈ Rn �� �� ���
b = s1a1 + s2a2 + . . . + snan
�� �
• ����� ���������� �� ������ {a1, . . . , ak}!
• �5�� ���������� �� ������ {a1, . . . , ak} �� �� ������� ����� λ1 + λ2 + . . . + λk = 1!
• ���,�$ ���������� �� ������ {a1, . . . , ak} �� �� ������� ��� ���������� ��� �����
λ1 + λ2 + · · · + λn = 1"
� 3���� '$%$' � �� K ⊂ Rn �� ���� � �� ���,�$! �� ��� �� &��� �� {a1, . . . , ak} ⊂ K
�� �����' �� ������� �� {a1, . . . , ak} ���� ������� � �� K"
��
� 3���� '$%$) � ����� b ∈ Rn �� ���� � �� ������� ���������� ��� ������ {a1, . . . , ak} ⊂Rn �� ���� �'�� �� ���� ������� λi ∈ R! i = 1, . . . , k ��
b = λ1a1 + · · · + λkak,
�� �� b � �� �� ����� �� � ������ �� ������� �� ������ {a1, . . . , ak}" ��������! a
��� ���� � �� ������� �������� �� ������ {a1, . . . , ak}"
� 3���� '$%$* ��� ������ �� � �� {a1, . . . , ak} ⊂ Rn �� ���� � �� ���������� ���
���� ����! �� ������ �� �� �� �������� �� �� �����"
+� ��� �� �� ,����9 � ��$���� ��������� ���������� ����� �� ,���� �� � ����
���������� " �� ����� �� ������ � ���� �� � �� �� � ,�����
� 3���� '$%$- � ����� V ∈ Rn �� ������ � �� � ����� ��������!
(" �� x,y ∈ V ��� x + y ∈ V !
)" �� x ∈ V ��� λ ∈ R ��� λx ∈ V "
6 �� ���� � ����,�9 � �� � ������ �$��� �� ����� ��������� 0 ∈ V �� ��� �����
�������� V �
� 3���� '$%$& � ����� L ∈ Rn �� ������ � �� �� �5�� ��������! �� ���� �'��� � ������
�������� V ∈ Rn ��� � ����� x0 ∈ Rn ���� �� L = x0 + V = {x0 + x | x ∈ V }"
� 3���� '$%$, � ����� C ∈ Rn �� ������ � �� � ���,�$ ����! �� � �� �����' ��� ��� ��
x ∈ C ��� λ ∈ R � ����� �� λx ∈ C"
" � �����)�� ��������� ������� �� � ��������� ��)��� �5�� ��������� ��� �����
�2����� �������
4��!������ '$%$% � ����� L �� �� �*�� �������� �� Rn! �� ��� ��� �� ���� �'��� A ∈Rm×n ��� b ∈ Rm �� L = {x | Ax = b}"
6 �� ���� ������� � ������� � ������� ����� �������� � ���,�$ ���� � �������
� �,�� �� �� ,�����
� 3���� '$%$+ $� � �� �� ������ {a1, . . . ak} ⊂ Rn �� �����" ���� �� ������ ��������
������� � �� ��&��� ��
〈{a1, . . . ak}〉 = {x | x = λ1a1 + · · · + λkak, λi ∈ R}.
��
� 3���� '$%$5 $� � �� �� ������ {a1, . . . , ak} ⊂ Rn �� �����" ���� �� �����' ����
������� � �� ��&��� ��
Cone ({a1, . . . ak}) = {x | x = λ1a1 + · · · + λkak, λi ∈ R⊕}.
+� � ������ ��������� �� � ����� ��������9 � �� ����� � ��� ����� �������
� 3���� '$%$%( � �� �� ������ {a1, . . . , ak} ��� � ������ �������� V ⊂ Rn �� ���� �
�� � ����� ����� �� V ! �� 〈{a1, . . . , ak}〉 = V "
� 3���� '$%$%% � �� �� ������ {a1, . . . , ak} �� � ������ �������� V ⊂ Rn �� ���� � �� �
����� �� V ! �� �+� ������� ���������� ��� �� � �������� ��� �� V "
6 ��� �� ��,��9 � ��� ����� �� � ����� �������� �� � ���� ����� �� ,�����
" �� ����� �� ������ � �� ������ �� � ���������
6 �� ����� � ������� � ���,������ �� ��� ����� ����� Ax = b �� ��'�� ) � �
,��� b �� �� � ������� �������� �� � ������� �� ���$ A � ��� ��������9 �
���,������ �� Ax = b,x ≥ 0 �� �2��,���� )� � 2������ ) � � x �� �� � �������
���,�$ ���� �� ������� �� ���$ A � ���
*������ � ����� �2����� ����� Ax = b9 ��� �� � ����� B �� � ������� �� A ��
�,��9 ��� ������� � b �� �� � �������� ������� �� � ������� �� A� " �� �� ���
� ���� �� xIN= s ∈ Rm−n9 �� ���� � ����� ,������� � xIB
= B−1b − B−1Ns )� ���
� �,�� �������� ������� �� Ax = b�
" � �� �� �� �� �� ���� ��������� � �� ������ ���� ���� �������� /�,�� � ��
�� ,���� ��� � �����9 � � � ������ �������� �) � ,���� ������ � ����� ��� ��
���������� � � ����� ���������� �� � ,���� �� � ������
� 3���� '$%$%' $� S ⊂ Rn �� � ����� �� �� ������! �� �� ������ ����'�� � J "
������ ���! �� JB ⊆ J �� ���� �� �� ������ ����'�� � �� ��&�� � ����� �� S" $�
JN = J \JB �� �� ������� �� �� ������ �� S ������ �� ����� B" ���� �� � � ��,�
������ ��������� � JB �� �� ���' TB ∈ R|JB |×|JN |! ����� tij �� �� ���*���� �� ��
����� ��������� � j ∈ JN �� �� ������������ �� �� ����� ��� i ∈ JB"
" � �����)�� ���� ���� � �� tij = 0 �� � ��,���� ��������9 �� � �����
,��� ���������� � �) i ��� �� ������� )� � �������� ,��� ���������� �
������ j� " � ���������� �� � � � ��,� ������ ������ � ���� �������� ��� ��
���� �� O(m × (n − m)) �� ���� ��������9 ) �� m �� � ����� �� ,���� �� �����
��� n �� � ��� ����� �� ,�����
��
�� �� � '$%$% $� � �� �� ������! � �����! ��� �� ������������� ���� ���� ������ ��
�����" ,���� �� ������� -�&����� )"("() �� ��������� �����" �� trs = 0 ��� ar, r ∈ JB
��� �� �'������� ��� as, s ∈ JN �� �� ��������� ��.
6%7 t′ij = tij − trjtistrs
i ∈ J ′G, i = s, j ∈ J ′
B, j = r!
6'7 t′sj =trj
trsj ∈ J ′
B, j = r!
6)7 t′ir = − tistrs
i ∈ J ′B, i = s!
6*7 t′sr = 1trs
.
����� J ′G = (JB \ {r}) ∪ {s} �� �� ����' �� �� ��� ��������� ��� ��� �� ������� ���
t′ij �� �� ��� �'���������" /��� r �� �� ��� ����' ��� s �� �� ���� � ����'"
6 �� ������ � ��� � �� � ����� ���������� ������� ���9��� ��� ��� �� � 7��
������8 ������� �$���9 �� �� �$��� � 7�� ������8 ����� ������� �� )����
� 3���� '$%$%) � ����� x �� ����&�� �� ������ �0���� ��������� �� ������ � ("(!(")
�� ("1 �� ������ ��������! �� x ≥ 0 ���� �����"
� 3���� '$%$%* #����� � ("(!(")!("1 �� ("2 ��� ������ ��������! �� �� ���� � ��������
�������" �������� �� ������ �� ������ ����������"
3�� �� �� �������� ����� �� ����� �� � )���#'��)� � � ������ ���� Q��R �
�������� �� � � ���� ����� ��)��� ��S��� ��,� ������$ �� � �� �� ,����� ��
�� ����� � ,���� t(i)9 i ∈ JB ��� tj9 j ∈ JN ∪{b} ��� � � � ��,� ������ �� �����)�!
(t(i))
k=
⎧⎪⎨⎪⎩tik, �� k ∈ JN ∪ {b}1, �� k = i
0, � �)���
���
(tj)k =
⎧⎪⎨⎪⎩tkj, �� k ∈ JB
−1, �� k = j
0, � �)����
� 3���� '$%$%- 3� ���� �� ����� ��&��� ����� t(i) � ���������� �����! ��� ��
����� tj � ���������� �������" ��� ������! ��� Q��9 ��R"
?� ��� ��) ��� � � � ������ ����9 Q��R!
��
�� �� � '$%$' ��� �� ���' A ∈ 6Em×n ��� �� ������� ����� B′ ��� B′′! �� ������
t′(i) ��� t′′j ��������� � TB′ ��� TB′′ ����������! ��� ���������"
+� ��� ��,� ����� �� ���9 � �������� �� � �� �� � ���� ������� �� ) � �
� ��������� �������� ������ �� � �� �� ��� �� � ������ �������� ������ ��
,���� �� � ����� �����9 � �� ���� ������� �� � ) ��� �� �� ,���� �� � ������
� 3���� '$%$%& $� �� �������� �� ������ ��������� ������ )"(" � ����� B �� �������
x = B−1b �� ������ �� �����! �� ���� �'�� �� i ∈ I ���� �� xi = 0" ��������! �+�
������ ����� �����"
6 �� ������ � ������� � �������� ��������� �� ����� ��������� &���� ����
��9 )� ���� � ����� ���� �������� ��H����
� 3���� '$%$%, ��� ���������� �� � &��� �� ��� �� ���� ������ �� ������ � ���� ����"
�� ���� �����! � ��������� �� �� ������� �� �� � ��� �� ���0������� {x : Ax ≤ b}!����� A ∈ Rm×n ��� b ∈ Rm"
� 3���� '$%$%+ � ������� �� ��&��� �� �� �����' ���� �� � &��� �� ��� �� ����� ��
Rn"
� 3���� '$%$%5 $� � �����' �� C ⊂ Rn �� �����" � ���� x0 ∈ C �� ������ � ,��$ ��
C! �� x0 ∈ [a,b] ����� [a,b] ∈ C � ����� a = b = x0" /��� [a,b] = {x : x = λa + (1− λb) |λ ∈ [0, 1]} ������ �� ������ ��&��� � a ��� b"
�� �� � '$%$) $� �� ��������� ������ �� ��� F = {Ax = x, x ≥ 0} �� �����" ����
x0 �� � ����' �� F �� ��� ��� �� �+� � �������� ����� ������� �� {Ax = x, x ≥ 0}"
�� �� � '$%$* �� &��� ��������� P �� �0��� ��� �� ������ ��&��� � �� ����'
����� �� P "
#"# ��� '����'�� ������ �$ ����' $�'�������� ������
" � ������ ������ ���� �� ����� ���������� ������� � �������� � ���������� ��
� ����� �� ����� ���2�������� +� �� ���������� ������9 � +�'�� ����� ��,���� �
������� �� ������������9 ������9 � ������� �� �� ������ ������
��
�� �� � '$'$% 68��9��7 $� � ���' A ∈ Rm×n ��� b ∈ Rm �� �����" ���� �� ������
��������� ������ �� ���
Ax = b, x ≥ 0
��� � ������� �� �� ��� �� �� ��������� ��� ��
yT A ≤ 0,
yTb = 1
��� �� �������"
4����$ ?� �����) � ��������� )�� � ��,� +�'��@� ����� 6@� ���� � ��� � ��
������ ����� �,� � ������� �������������� �� �� ������� � ������ +� ��� ��������
��� x ��� y
0 ≤ yT Ax = yTb = −1,
����9 ) �� �� � �����������
"� � �) � � ���� ��� �� � ������,� ������ ��)��� �� � �������9 )� ����� ��
�� �� � � ���� ������� �� � ������������ ���,�� ��� �� � �������9 ��� ��,� �
� �� �� � �� ����9 �� � ���� )��� �� ������� )� � ����� �� ��������� ��� �
��(� �
/����������9 +�'��@� ���� ���� � � ����� ���������� ������ �� � �� � ��#
����� � � ���������� ��� �� ������� ��� ��
#"% ��� �������� �����+� �����, ������ $� $�'��������
������
&���� �� � ��,� �������� ��� �� ������ � ��� "���'� Q�R )� ����� � �������� �����#
�� 73&48 ������$ �� �� � �� ����� ���������� ������� Q��R� �� mK ���� ����� ��
� ������ ����� �� �� �� �� � �� �,�� ���� � )��' ���#�� ������ ���������9
) �� K �� �������� �� � ���� ��� �� � ������ ��� m �� � ����� �� ���������
����� K ����� �� ������� �� ����� �� � ���������� �� � �� ��� �� � ���� ���
Q��R�
" � �������� �� � ������ �� ��� �� �� ����� ������� ��� �� ������ ����
s#������� ��,� ����� �� )��� �� �������� �� ������ 9 ������ �� ������� �����
����� �� �� ������9 � �����,� ������� �� ������� � ����� �� ����� ��������
�%
" � ������� �� �� ������� �� �� �����)�� 6� � �� ����� ��,� ������ �� �������9 )�
����� � ���������9 ������ � ��,� ������� � � ������ �� �� � ������� A� ��
���������9 )� �����) � ���� ��������� �� ����� � � ���� � ��,� �������� " � ������
������ �� �� � ���,�� ��������� � � ��)9 ������ �� ����� ��������� �� ���������
6� � ��������� �� ���,�� �� )� ��� � � ���� �� � ������9 ) �� �� � )�
��� ��'� � ���#�� ����� ��,� � ���� � � ������ �� ����������� 6 �� ���� � ���
� � ��$���� ��� �� � �����,��� �������� ���������� �� ������ �� 2m Q��R�
����� ��� ������$�� ������ �� � ����� �� ����� ,������ �� 3&4 ��� � ��
� ��� �� � ������$ �� �� ��� �� ��,�� ���� �� )��' ���#�� ������ ����������
!$%$& ���������
" � ��� ������� ���� 2������ �� ���������� ������� �� ) � � �� �$��� � ����#
������ ��,� �� �� � �� ���,�� 7���8� ?� ��,��� �� ���)� � �� ����� 2������! )�
� �) � � ������� �������� �� ���' ������� ���� ������ ��,� �������� ��� ��'�
������ � ��� "���'�@� �� �� � Q�R ��� �� ��������� �� � ������ 7���89 ) �� ��
�� ������ ����� �� mK9 ) �� K �� � ������ �������� �� � ������ ���Y ���#
�,�9 � ������$�� �������� �� � �� �� � �2���� � ������� ������������� ���� �����
������� � �� ��� '��)��� �9 ����� � ��,������� �� 1���� @� ������$ �� �� � Q��R9
�� �,� ���� �� ��,� �� �� �� '��)� � �,� �� ������ ����� � � �� � ����#
���� �� � ��,� �������� ���� 3�� ��,� �� �� �� �� ��� � �,�� 7���� ��������8
����� ��� ��'� �� �$�������� ����� �� ������� �� � 4������� ���� Q%�R9 � �� ����
� � ������� )� ,�� ������ �����9 ����� ������� � ������ �������� A� �
� � ���9 �� ������9 ����� �� ����� ������� ��� ������� �� ���,�� �� O(m) ��,�
�������� 7� � ��� �� O(m2)8 Q%�R9 ) �� m �� � ����� �� �������� �� � ���#
���� " � ������� �$������� �� ���� ������� �� ���� ��������� ����� ��������� 6
�� ���� � �)�9 ���� ��������� ����������� ����������9 � � �$����� ����� ��
������� �� � ������$ �� �� � �� ����������Y ��� �� � &� )�� Q��R ��� "��� Q��R�
��� B���'�@� ������ ���� Q�(R �� ����� ���� �� ��� 76.389 ��) �� �� ��
��� �� �������� �,� ������ � ��� ������ ����� ��� �� ����� �� ����� 9
��� �� � ������� ���� ��� � ��������� �� ��) ��,� �� ��� ��� � ���' �����
� �� �$������ �� � ������� �������� �� ���' ������� �� ������ � ��� "���'� Q�R
� ������� � ��H� ����,���� �,� � ���� ������$ ��� �� �� ��� " �� �� �� �
�� � �����)�� ���� �������! 7�8 ���������� �� � ���� ,������� �� �� ��,�� �� �
������� )��9 7��8 � ���� �� ���������� '��� ����� ���������� ���� � �������9 7���8
� ������� )� '���� �� ��,� ��������9 7�,8 �� ���� �� �� ������ � ���� ���� '��� ��
�(
���#�� ������ ��� ��'� � ������� ����$ ���9 7,8 �� � ���������� �� � ����� ,������ ��
,������9 � �� ����� ��� � ��,� �� ���� �� � ��#������ ��,�� ,�������
?� ����� �� �� �� � �� ���,�� ����� ���������� ������� �����)�� � ���� ���� ��
� �������� �����#�� ������$ �� �� �� ������ � ��� "���'� Q�R9 ������9 � �����#
���� �� � )� '���� �� ��,� ��������� ?� ��,���� �� � ����� ��� � ���� ,������
�� �� �� �� � Q��R� &� �� �� �,� � ����� � ���� � ,������ ������� ��������9
� ������ �� ���� � �� �� ��
" �� ��,� �������� ��� ��S�� ��� � ����� ���� �� � ������ �� ���������� 7���#
�� �� ����� 8 �������� ?� � �) � �� �� �� � G ���� � ����� ���#�� ������
��������� G ��'�� � ��� mK ������� ����� ���,�� � ����� ���������� ������ Q��R�
����� � ��������� �� � ���#�� ������ ��������� ����� �� '��)� � ����9 )�
������� ,������ �� �� �� �� � � ��� ���,� ����� �� ����� ������� �� )���� ��
)��� �� � �)�� �������� )� s#������� ��,� ���� �������� �� ������ �����9 )� �����
� �����#���� �����,� ,����� �� � �� �� � � �� ������� �� ���,�� ����� �� �����
������� )� �� ������� ��� ����� '��)� ���#������ �������� ��� 7�� � ������� ����$9
��$��� �� �� ����� �� ,�������9 ��8�
E�����,� �� ��� � ������ ����$ �������� ���� �,� ������ ���� ������������ �������
� ����� �� ������� " ��� �� ��� ������� &����@� ��������� �����,� ��� ��� T�����@�
����� ������� Q��R� ���� � �����,� �� ���9 T�����@� ������� �� � ��� ������
� ���9 ) �� �� � ����� �� ,������� ��� � ����� �� �)� �� � ����������
� �� � �� � ��������9 H�� �� �� �� �� �� �� " � ��H� ��S����� ��)���
� )� �� ��� �� � ) ��� T������@� ������� ��������� �� � �������� �� �� �
������ ���������@� ��,� ������9 � ���������� ������ �� �� ������� ������� ����
�� ����� �)� ��� ��� ��������� ������� ���������� �) �� � ��,� ������ 7� ������ ��
���� ���� ����������8�
� ������ ��������� �� �� �� �� � �� � �����)�� � ��'� � ����������� �� ���
Q�-R9 � �� �� � ������ ��� ���� ����� ������ �� � ���������� �� � ��������
G �� ���������� �������� ����� G �� � ������� 6� �� ��� ������ � ������ ���� ����
�� � �������� ���� �� ��� ������ ��������9 �� ��� �� � ���� ������ )��� ��� ��
� ���� ���� �� � ���������
6� ������ �����9 )� ����� � 3&4 ��� ������$ �� �� �� � ����� ���������� ���#
���9 ��� ��,� ���� �� �� ������ �������� 6� ���� �� �� ��� �� �� ����� ��,�
��2������9 )� �������� �� ���� ����� �� � ������$�� �� � �� �� �� 6� ������� ���
��� ��(9 � �������� �� � �� �� � �� ��,�� )� �� ��� ���#�� ������ ����������
��
!$%$! � '���� �������� �������
A� 3&4 �� �� � �� ���������� ������� )�' ���� � )��'� �� ������ ���������
�� ������
+� � �,�� ����� B9 )� ��� � �����)�� ������!
IB = I+B ∪ I0
B ∪ I−B ,
) ��
I+B = {i ∈ IB : xi > 0} , I0
B = {i ∈ IB : xi = 0} ��� I−B = {i ∈ IB : xi < 0} .
6� )� )�� � ��� ����� � ���������� �� � ,������ xi9 )� )��� ��� � ������ I⊕B =
I+B ∪ I0
B ��� ��� � i ∈ I⊕B �
� ������ ����� ������ ������� � � ���,� ������ �� � �)� �� +� �� ����
i −−�
�
�
−
}I−
B
j0
�
�
�
0
}I0
B
k ++
�
�
�
+
}I+
B
+� �� ���! .����� �� � ������
6� ��� ��,� �� �� �� ��,�� �� ���� ���� �� �����,� ������� �� ����� ��������
�)� 7��'� � ������$ �� �� �89 ��� ���� �� �� ��,� ������� �� ����� ���������� �)�
7��'� � ���� ������$ �� �� �89 � � )� ��� ��� �� �������� 7��'� � ����#����
�� ��8� E��� ����� ��9 +�'��� ��� "���'� Q��9 �%R �,� ������ � ������ �� � ��
������ �� ������� ���� ���������� A� �� �� � ����� �� ��� ����� ��,� ��������
�� )���� � ��,� �� � �����,� ,���� �� � �) �� � ����� �������� 7�����,�8 ,������ ��� ��
,��)�� �� � ����� ���������� �2��,���� �� � ���� ���� ���������� ��,��� ? ��� ������
�� ������9 �� �� �� � ��'�� ��,�� �� �� �� ��,� ��� �����,� ,����� �� �� �����
�)��
� 3���� '$)$% ��� � ����� ����� B ��� ���� ������ T ! � ���� ��� �� tij �� ������ �
��������� ���������� ���� ��
(" i ∈ I−B ��� tij < 0! ��
��
)" i ∈ I+B ��� tij > 0! ��
1" i ∈ I0B ��� tij = 0"
A� �� �� � ���� ��������� ���������� ��,��� &���� �������� � �� �� �9 )�
���� � ������� ���� ��������� ��� ���� ���� � ������ �� �� ������� +� s ∈ IN ��
�� ������� � ��
Ks ={i ∈ I0
B : tis > 0}
.
� 3���� '$)$' � ����� B �� ������ �� ����� �� �� ������������� ����� ������� xIB=
B−1b ��� � ���� ��� 5��� �� �����! ��� � �� ������ ���#�� ����� ��������"
" � �� ������ ������ ������ ���,� �� ���� ����� � �� ��� �� ��������� ���
����� �����9 ��� �� �������������� " � � �������� �� �� ������ �� � ����� �����
�������� �� � ����� ������ � ����� �� �� ����� �� ��� ���� �� � � # ��� ����
,��� �� � ����� ���������� �� ���� ������� �� � ����� ���$ �� �� ���������� ?�
����� ��� ��)��� )� '���� �� �� ���������
� 3���� '$)$) � ��������� ����� B �� ������ )��'�� �� ����� ��� ������ � ����'
s ∈ IN �� Ks = ∅! ��� ��� �� �� ����� ��� ������ � ����' s �� Ks = ∅"
�� �� ������ � �� � �,�� ����� B )� �,� � ���� � ����$ s �� � ������ �� �
��������� ���������� ��,� �� � ���#�� ����� �)� A���,� � ��� � ��,� ���� ��
��'� ��� �� ����� ,������ ���������� �� ��� ���� �� Ks = ∅9 ����9 �� ��� ���� �� ����� B ��
)��'�� �� ����� )� ����� � ����$ s� ��� � )��'�� �� ����� ������ �� � �)� ��
+� �� ����s
−�
�
�
−
}I−
B
��
�
�
�
0
�
�
�
0
}I0
B
+
�
�
�
+
}I+
B
+� �� ���! � )��'�� �� ����� ��,� �������
�-
� 3���� '$)$* $� � ����� B ��� �� ����' r ∈ I−B �� �����" 3� ���� � ���� �������� ��
tij �� xr �������� ���� ��
(" �� ���� ��� �� tij �� � ��������5�� �� ������� ����!
)" I⊕B ⊆ I⊕
B′! ���
1" xr > xr �����!
����� B′ = B ∪ {j} − {i} ������ �� ��� �����! ��� x ������ �� ��� ����� �������"
A� ��� �� � ������� �� �� �� � ����� �� xr �������� ��,��� 4� � �� ���
'��)��� �9 � ���� ��� ��,� �� �� � �� ���������� 7� ����� ����� �� ����� 8
������� '��)� ��� � ������ �� � ���� ,����� �� � �� �� � �� ������ � ���
"���'� Q�R 7) �� ��� ��� � ���� �������� ����� �������8�
4���������9 �� �� ����� ������$ ) �� �� xr �������� ��,� �$���9 �� � �)� ��
� �$����� �� +� �� ���� " �� ������ �� � �������� ������� �� x1 = x2 = 0, x3 = x4 = 19
�� �� �� �������� ��,� �� � ���� ���������� �)�
x3 x4
x1 −1 0 −1
x2 1 −1 0
+� �� ���! � ��� �� �� ����� ������ )� �� xr �������� ��,�9 ) �� r = 1�
" � �$����� � �)� � ��� ��� �$��� �� ��� �� �� � � ������ ���� xr ��#
������ ��,��9 ����� � ���� ����� ����� ��,� )���� �������� ��'� � ,������ x2
�����������
!$%$% (�� ��������
6� �� ������ )� ������� �� 3&4 ��� ������$ �� �� � �� ���,�� ����� ����������
������� �� ��� 7���8� " � ������� �� �� � ��������� ������ ������� � ������ �
��� "���'�@� 3&4 ������$ �� �� �� ����� �� ����� ������� Q�R� " � ���� ����
�� ����� � ��� "���'� )�� � �� � �,�� ���� �������� �������9 � �� �� � ������
�� � ���������� �� ����� ,������� ������������9 ) ��� �� ��������� ��,� ���� ����
���������� �� ����)�� � �� ,������9 �� �� ����� ) �� � � ���� ����� ��,�� ,������
�� ��,�� ����������� A� �� �� � �� ����� � �� �� �� � �� � ����� � �� �� ����
� ����� �� ����� �������� ,������� ������� ������������ ��� � ��,� �������� ���
�� �������
��
6� ��� � �� ��,� ����������9 �� �� �� � �����)� �� �����,� �� � ?� � ����
�� ���������� ,������ �� � �,�� ����� ������� ) �� )� )�� � ��'� �������� �� �
��$ ������7�8� �� ��� �� �� ,������ ������ ����������9 � �� ����� � �� � �������
��������� ?� ����� � ������������ �� � ��,�� ,������ xr �� ����� �� xr ��������
��,��� ?� � �) � �� ��� ��)��� �� ���� �� � ��,� ������ �� ���#�� ����� �
)��'�� �� ����� )� ����� � � ��,� �������
" � ���������� �� �� �� �� � �� �,�� �� +� �� ���9 ) ��� � ;�) � � �� �
�� �� � �� ������� �� +� �� ��%� 6� ���� �� ��� �� �� ����� ������$9 � �� �� �
�� ����� � ��� ���� ���#�� ������ �� ���� �� )��� �� � ��� �� s#������� ����$
�������� ����9 � �����,� �� �� -��#��� �� ������� �� ������ ��(� " �� ���#�� ������
�� �� �� ��S��� ��� � ���������9 )���#'��)� �� ��� ��� � ������ ��� �����
�������� ���
6� ��� � ��� �� xr �������� ��,�9 )� ��� ��� ��� �� ������� �� � �������
������� " � ������� �� ��)��� ��� )� ��� ��� �������� ) � � � ��,��
,������ ��� �� ���� �������� �� ��� ��,� ���9 � 7�� ��� ��,���8 xr �������� ��,�
���� �� ���������
" � ,���� �� � )� ��� ��� �� ������ ��
θ1 :=br
trs
, ��� θ2 := min
{bk
tks
| k ∈ I⊕B , tks > 0
}.
+�� �� ��������9 � �� ���� � ��� � θ1 > 0 ��� θ2 ≥ 0� +� ����9 �� � ����� ��
���#�� ����� � )��'�� �� �����9 �� θ2 > 0 ����� ?� ��� � ���,����� � �
������� �'�� �,� � ���� �� �� ������� " � ��� �� � ���� ����� �� � �� �� � ��
� ��'� � ��,�� ,������ ���������
��
��� ���� ����� � ����� ��� ���������� ������
����� ����� A ∈ Rm×n,b ∈ Rm, B.
������� x �������� ������ �� � ������ �� �� �������� ������ ������
�� ��
T := B−1A, b := B−1b, I−B := {i ∈ J | bi < 0}.
���� I−B = ∅ ��
�� r ∈ I−B �� �������� �������� ��������� rDone := false.
���� rDone = false ��
J −r := {j ∈ IN | trj < 0}.�� J −
r = ∅ ����
�� �������� ������ ������ ������
�����
�� s ∈ J −r �� ��������� Ks := {i ∈ I0
B | tis > 0}��� Ks = ∅ ����
(T, l) = DegProc(T, I0B, r).
�� l ∈ IN ����
s := l.
���
�� �������� ����� ����� ������
�����
�����
θ1 := brtrs
, θ2 := min{
bktks
| k ∈ I⊕B , tks > 0
}.
�� θ1 ≤ θ2 ����
���� �� trs� rDone := true.
���
q := arg min{
bktks
| k ∈ I+B , tks > 0
}, ���� �� tqs�
�����
�������
I−B := {i | bi < 0}�
�������
������� x �� � �������� �������
���
+� �� ���! " � 3&4 ��� ������$ �� �� � �� ���������� ��������
��
��������" � ������� ��
�"A.
�"A.
r ∈ I−B
rDone = false
J −r := {j ∈ IN | trj < 0}
���
�� ��������
. . .
��
+
���
J −r = ∅ ���
Ks := {i ∈ I0B | tis > 0}
⊕
(T, l) = DegProc(T, I0B, r)
���
��
q := arg min{
bk
tks| k ∈ I+
B , tks > 0}
rDone = true+
−− −
����!
false
s ∈ J −r
�������
⊕ r
Ks = ∅
l ∈ IN
0
−
�
� 0
���
r
−
���
θ1 ≤ θ2
rDone =
��
θ2 := min{
bk
tks| k ∈ I⊕
B , tks > 0}θ1 := br
trs���
−
���
��
⊕
�"�E"
I−B := {i ∈ J | bi < 0}
����
���
⊕
I−B = ∅
q
r
s s
��
�� −
+� �� ��%! +��) � � �� � 3&4 ��� ������$ �� �� � �� ���������� ��������
?� ��,� � �� � �,�� ����� B �� ���#�� ����� � )��'�� �� �����9 �� �
�� �� � ��'�� ���� xr �������� ��,��� +�� )� ��,��� �� � ���� ) �� � ��,��
,������ ���,�� � ������
4��!������ '$)$% ��� � ����� ����� B! �� r ∈ I−B �� �� ����' �� �� ������� �������� ���
q ∈ I⊕B ! tqs > 0" %������ ��
bq
tqs
= θ2 ≥ θ1 =br
trs
> 0,
����� br < 0! trs < 0! bq ≥ 0 ��� tqs > 0" �� ��� ���� � ���� �� ������� �� �� trs" $� ��
����� �� ��� ����� � B′! ���
I⊕B ∪ {s} ⊆ I⊕
B′
��
�����! ��� ∣∣I⊕B′∣∣ > ∣∣I⊕
B
∣∣ .���! �� θ2 > 0 ���� � ����� q ∈ I+
B "
4����$ ? �� trs �� � ��,� �������9 � ,������ xr ���,�� � �����9 ) ��� ,������ xs
���� �� �� �� ����� � ��) ����� ������� 7 �� � ��) � # ��� ���� �� � ��,�
������8 �� b′� ?� ����� ��� ��)��� � �����)�� ������
�8 +� ����$ s � � # ��� ���� ������� b′s = br
trs= θ1 > 09 ��'�� � ��,�� ,������
x′r = 0 ���������
�8 +� i ∈ I+B 9 i = s )� �,� b′i = bi − tisbr
trs� 6� tis ≤ 0 �� �� ���� bi ≥ 09 br < 0 ���
trs < 0 )� �,� b′i > 09 ������� )� ��� � ����� ��,� ����� � �� ������ �����,�
bi� A �)��� �� tis > 0 �� �� b′i = tis
(bi
tis− br
trs
)���� � �������� bi
tis≥ θ2 ≥ θ1 =
br
trs> 0 )� � � b′i ≥ 0�
�8 +� i ∈ I0B )� �,� bi = 09 �� b′i = − tisbr
trs9 ��� �� θ2 > 0 )� �,� tis ≤ 0Y ��
b′i = − tisbr
trs≥ 0.
�� )� �,� ����9 �� �������� ����� ,������ ��� ����������9 ) ��� � ���������� ��,��
,������ xr ���,�� � ����� 7 �� ������� ��������89 ��� � ����� ,������ xs ���� �
� �������� ��,��9 �� )���� 6 �����)� �∣∣I⊕
B′∣∣ > ∣∣I⊕
B
∣∣� �
6� � ��$ ��������� )� ��,��� �� � ���� ) �� � ��,� �� ���� ������ � �) ��
� ��,�� ,������� 6� � ����� �� ���#�� ����� � )��'�� �� ����� �� � �����
�������� ,������9 � ��,� ���� �� � �� �� � �� ���� xr �������� �
4��!������ '$)$' �� � ����� ������� �� �� ������� ! ��� �� ����� ����� B! �� r ∈ I−B
�� �� ����' �� �� ������� �������� ��� q ∈ I⊕B ! tqs > 0" %������ ��
0 ≤ bq
tqs
= θ2 < θ1 =br
trs
,
����� br < 0! trs < 0! bq ≥ 0 ��� tqs > 0" �� ��� ���� � ���� �� ������� �� �� tqs" $�
�� ����� �� ��� ����� � B′" ���� I⊕B\{q} ⊆ I⊕
B′\{s} ��� 0 > b′r ≥ br. ������ ���! ��
θ2 > 0! ��� 0 > b′r > br �����"
4����$ 4��� � ������� �������� �� � ���� �� .�������� ������ ��� ��� ��� �
��� � � ��� ��9 �� ��� ����$ i ∈ I⊕B )� �,� i ∈ I⊕
B′ �� i = q9 �� ��,�� �� .��������
������
��
+� ����9 b′s = bq
tqs≥ 09 �� s ∈ I⊕
B′ ��
I⊕B\{q} ⊆ I⊕
B′\{s},
��,�� � � ������ �������� ,������� ����� ��������� +� � ����$ �� � ��,��
,������ b′r = br − trsbq
tqs9 ) �� − trsbq
tqs≥ 09 ���� � trs < 09 tqs > 0 ��� bq ≥ 0� &� �
�������� θ2 < θ1 )� �,� 0 ≥ trsbq
tqs> br ��
0 > b′r = br − trsbq
tqs
≥ br.
6� � ����� �� ���#�� ����� � )��'�� �� �����9 �� θ2 > 0 ���� �� ��������9 ��bq
tqs> 09 �� −trs
bq
tqs> 09 ���
0 > b′r = br − trsbq
tqs
> br,
�������� � ����� �
/����������9 .�������� ����� ���� �� � � ��) ������� �� ����� � � ����� �#
�,�� ������� �� � ��,�� ,�������
��������� � ����� �� .��������� ����� ��� ����� )� ����� � �����)�� �����
:�������� '$)$% �� �� �6, �� �� ���' ������� ������ � ��� ������������� �� �����
��������� �����! ��� �� ������� ���� ��� xr ���������� �����! ��� ��� � �� &���"
4����$ " � ����� �� ��S��� ����� �� ����Y �����9 � ��5��� � ��,� � � �� �#
� � �� �� ������ 9 � �� � � )���9 � � ����� ��� �� ���� )���� ����� )� �������
� � �� �� � ���� �� ,��� ��� �� �� ����� �����9 � �����)� ��� .��������� �����
��� ����� � � ��� ������9 � �� �� � ��'�� xr �������� ��,��� 6� ��� ��� �
��) ,������ ������� �������� � � ,���� �� � ��,�� ,������ ��������9 �� � ����
����� ��� �� ���� �
.��������� ����� ��� ����� ����� ������ ����� �� �� 3&4 ��� ������$ �� �#
� �� ������ � ��� "���'� �� �� ���� Q�R �,� ��,�� ������ ����� �� �� �����
�� �� � �� ����� �� ����� ��������
6� � ��$ ������ )� �,� � ��)� ����� �� � ������� �� � ,���� �� � ��,��
,������9 ��� �����2�����9 )� ��,��� �� ���� ����� �� � ������ ����� �� �
�� �� �� 3�� ��������� ��� ����� 3&4 ������$ �� �� �� ��� �� �������� �� � ������
)�� ��'� � ��� ������� �� � ��$ �������
"� �������� � �� �� �9 ������� � �����)�� ����� �$�����9 �,�� )� � � �
��,� �������
�%
�;��!� '$)$% �������� �� ��������� �� ��� ������ .
x1 − x4 = −2
x2 − x4 + x5 = −1
x3 − x5 = −3
x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0
3� ����� ��� �'� ��� ��� �� �6, ������� ��� ��7 ����' �������� ����" �� ��� �'� �
���! �� ������� �������� �� ����� �� ����! �� �� �� ���� ��� �� �� �� ���� ���� ������"
��� ��� �� �� ������� �������� �� ������ � �����5�� � ������� ���� ��������� �� ���" ���
����� �� ��������� x1, x2, x3 ��� � ��������� �����" ��� ������������� ���� ���� ������
�� ����� �� ������� 1"
x4 x5
x1 −1 0 −2
x2 −1 1 −1
x3 0 −1 −3
������� ("
x1 x5
x4 −1 0 2
x2 −1 1 1
x3 0 −1 −3
������� )"
x1 x2
x4 −1 0 2
x5 −1 1 1
x3 −1 1 −2
������� 1"
x3 x2
x4 −1 −1 4
x5 −1 0 3
x1 −1 −1 2
������� 2"
��������� � �� ��7 ����' �������� ����! �� &�� ������� �������� �� ������� � �� x1" ���
��� ������� ��� �� �� �� ��� �� x1 ��&��� �� ���������� ����! ��� x1 �� ��� ��������
�� ��� �������" ��� ��� �� ������ ���������� �������� ��������� � �� ������ ������ ��
x3! �� ��� ������� ��������" ���� �������� ����� �� ��� �������� �� ��� �������! ���
�� ������� ������ � �� ���������� ����! ��� �� ����� �� x3 �� ��������� � 1" �� ��
��� �������! �� ������� �������� x3 �� ��� ��������! ����� �� ���� �� �� ��� �� x3 �� ��
���������� ���" ��� ����� ����� ������� �� �� ������ �� x = (2, 0, 0, 4, 3)"
!$%$) *�����+�� ,���� ���� ��� '��� �������� ����������
6� �� ��������� )� ������ � �� �� �� � ,���� ���� ���#�� ����� � )��'�� �� ��#
��� ������$� 1� ������ �� ������ �� ������� ��� ��� ��(�
&� � �������� �� � ��,� ������ ��� � �����9 �� � ������ ����$�� �� s ∈ IN
�� � ������ )� �,� ts = B−1as ��� b = B−1bY �� ,���� ts ��� b ��� ��������� �
�(
�� � ���2�� �������� �� � ����� �2������ Bu = as ��� Bv = b� +� ��� ����$ i ∈ IB9
*���@� ��� ������
tis =det(Bis)
det(B)��� bi =
det(Bi)
det(B),
) �� ���$ Bis ∈ Rm×m �� � ���������� �� � � ��� ����� ���$ B ��� � �� ith
������ �� ������� �� ,��� as, ��� �������� ���$ Bi �� ������� ��� B �� ������� ��
ith ������ �� ,��� b� +� �� xr �������� ��,� � ���� �� ��'� � ��,�� ,������
��������9 )� �,�
b′r = br − trsbq
tqs
=det(Br)
det(B)−
det(Brs)det(B)
det(Bq)
det(B)
det(Bqs)
det(B)
=det(Br)
det(B)− det(Brs) det(Bq)
det(Bqs) det(B),
) ��
−det(Brs)
det(Bqs)
det(Bq)
det(B)> 0
���� �� � ��� � � ����� �� �� ��� �� �� �����9 �� ���� �� .�������� ������ ��
∆A := min
{−det(Brs) det(Bq)
det(Bqs) det(B):
B �� � � ��� ������$ �� �9 ���det(Brs)det(B)
< 0, det(Bq)
det(B)> 09 det(Bqs)
det(B)> 0
}
�� � ������� ������� �� � ��,�� ,������@� ,����� ������� � �� ��� ��,� �����#
������ �� � ������ θ2 > 0 ����9 )� �,� � ∆A > 0 �� � ���� ����� ���
b′r = br − trsbq
tqs
=det(Br)
det(B)− det(Brs) det(Bq)
det(Bqs) det(B)≥ det(Br)
det(B)+ ∆A,
�� �� xr �������� ��,� �� � ��'�� � ��,�� ,������ �������� � �������� �� ,����
�� � ���� ∆A� ?� ��) ����� � ��$���� ������� ,���� � �� ���������� ,������ ���
�'� ���� � �� �� �� ��
∆max := max
{−det(Br)
det(B):
� �(det(Br)) = −� �(det(B)),
B ∈ Rm×m �� � � ��� ������$ �� A
}
�� � ��$���� �������� E:� ,���� �������� �� � ��� �� *���@� ���� 6� �� �� ���
����� �� ) �� �� �� � �� ��,� � # ��� ���� ,����9 �� � ����� ∆max �� �����,�
��� ����� �� K ∈ Z �� ��� � K =⌈
∆max
∆A
⌉9 �� K ∈ N�
?� �� ��) ���� � ����� � ����� �� ��,�� �������� � ��'� � ��,�� ,������
���������
4��!������ '$)$) ���� � �� �� ������� ����� ��� ������������� �� ����� ������
���� ���� ������'" $� r ∈ I−B �� �� ����' �� �� ������� ��������" ����� ��� �� � ��
K ���� ��������� ������ �� ������� �������� ���� �� ��������"
��
4����$ &� � ��������9 � ,���� �� � ��,�� ,������ ����� �� ������ �� −∆max�
" � ,���� �� � ��,�� ,������ �������� �� � ���� ∆A �� �,�� ������Y ��9 ��
����� �� ��� �� K ������� ����� � ��$ xr �������� ��,� ��'�� � ��,��
,������ ��������� �
?� �� ��) ���� � ��,� � ����� �� � ������$�� �� � �� �� ��
�� �� � '$)$% �������� �� ��������� ������ 8)"(9" ���� � �� �� �6, �� ����
������� ����� ��� ������������� �� ����� ��������� ���� ������' �� ������� 8)"(9"
���� �� ������� �� &���! ��� ���� ��� �� � �� mK �����"
4����$ &� .�������� �����9 �� ��� �� � ��� K ��,� �������� ����� � �� �� �
��� �� ���������� �� � �) �� � ��,�� ,������ � ��,�� ������������� " � �����
�� ��,�� ,������� ���� � �� �� � �� ������� �� � ����� �� �)�9 ������� ��
.��������� ����� ��� ����� � ����� �� ���������� ,������� �������� ������������Y ��9
� �� �� � ��� �� �����9 ��� �� ��� �� � ��� mK ��,�� ����� ���,�� � ������
� ��,�� � � �� ����������� �
?� �,� ��,�� ���� � ���#�� ������ ��������� � � �� �� � �� ����9 ���
)� ��� ����� � �2���� ����� �� ��,� ��������� " �� ���� ����� �� ������� ��
� 9 ��� ��� �,�� �� �� � �� � ��,���� ���� ����� O(2n)� :�)�,�9 � )���� ��
������� � ��� ��� ������ ������� ) �� � ���� ����� ��� ������ �� ��������Y
� ��9 � ,����� �� ∆A ��� ∆max �� ������ ���������� � ������� ����� ������
����� )���� �� ���9 �� ) �� � ���$ A �� ����� ���������� 3�� ������� �����
��� ����������� ���������� �� � �� �� �����Y ��9 � ������$�� ������ )����
���� ����� � ����� �� ���#�� ����� ��� )��'�� �� ����� ��,� ����� 6� ���� A ��
����� ��������� ��� b ∈ Zm9 )� � K ≤ ‖b‖1� " �� ����� � �� �� ������� ���� K
������� ������#������������ �� � 7�����8 ���� ����� 6 )���� ���� �� ������� � ���
���� ��������� �� �,�� ������ ������� � ����� ��� �� ������� ��� � �
�������� �� ��2��� '��)� ��� � ������ 7��'� � ε#�������� �� ��2�� Q(�R8
�� �� �,� �� �������� ���)� � � ������9 ����� �� ������� ��������� �S�� �
,���� �� ∆A9 �� � �)� �� � ��$ ������ �$������
�;��!� '$)$' $� A ∈ Zm×n �� �� ���'! ��� �������� �� ��������� ������ ���������
������ . ⎡⎢⎢⎣ A
1" " "
1
⎤⎥⎥⎦x =
⎡⎢⎣ −1
. . .
−1
⎤⎥⎦ .
��
���� �������� � ������� � ��� ε! �� �������� ������ ���� �⎡⎢⎢⎣ A
1" " "
1
⎤⎥⎥⎦x =
⎡⎢⎣ −1 + ε
. . .
−1 + εm
⎤⎥⎦ .
� �� ����� �� 8��� ������� �������� �� � ���*����� �� �9 ��� ��� ������ ∆A < εn!
����� ∆max > 1 + ε! ��� K >(
1ε
)n"
" �� �$����� ������ ��������� � ������� � ε#�������� �� ��2�� ��� ����
�� � ����� ������� �� � ������ ����� K�
#") -��������� ���� s+�������� ���� ����
6� �� ������9 )� ����� � �������� ������� � ����� �� ������ 7-��#���89 ���� ��
������ s#������� ����$ ����� �� �� �������9 �� ������ �� ���� ������ �� ��������
� ����$ �������� ����� �� )� )��� ���9 �� �� ���� �������� �� � ���� �� � 3&4 ���
������$ �� �� ��
!$)$& (�� ������� � s-�������� ����� ����
6� ��� �����9 �� ����� �� �������� )��� ��� �� ������ s ������� ��,� ����� " �� �����
�� ��,� ���� ������ � ��������� ������� ����$ ��� �� )��� �� ��,��� ;�$���� ��,� ����
��'� �6+A 7���#6�#+��#A�8 ��� 3A�= 73��#A���#�������8� " � ��,��� � �� ���
�������� ���� �� � �� �S� ��������� ������ �� ,������ �������� 7����� � �
�� ����� �� � �� �� �89 �� ��,���� ���������� � �,��� ���������� ������� ��,���
�� � ����� ��2����� B0, B1, . . . , Bk �� ������ �� � ��,� �� �� �� +� ��� �����
�� � ��2�����9 )� ����� � ,��� s ∈ Nn⊕� " ��� ,���� ������ �� ���� �� � �����
�����9 �� �� � ) ��� �� �� ����� �� ) �� � ����� )�� ������ �� � �� �� ��
����� ���� ����� �� �������� )� ����$ �������� ���� �� ,�� ������9 )� ��� � �,� �
������ ����)�' �� �� ������
�� � ��,� �� �� � ��� � ��2����� �� ,���� s ∈ Nn⊕ �� �,��9 � ��������� ��
) �� �������� � � ,������� �� � �������
� 3���� '$*$% ��� ��0����� �� ������ s �� ������ � �������� ,���! �� ���� ������
��&�� ��� � ����� ����' �������� ���� ����� ����� � �������� ��� �� �� �� ���������"
?� ������� ��� ��,� ���� � ����� � ����)�� ������� �������� ,���� " �
��� �� ����$ �������� ���� �� � ���' ��� ��� �� � ��,� �� �� � 7���� ) �� � �����
�� � ��,� ������ ���� �� ���2���� ����� � ��,� �������8�
�-
� 3���� '$*$' �������� � ���� ���� ��� ���������� ����� s" ��� ��0����� �� ������ s
������ ����� �� ��������� �������.
(" �� �� ������� 8���� ��������9! �� ������ �� ����� s � �� �������� ��� �
��� �� ������� ��� ������ ������������� � ��������� ����� �� �� �� �� �� �����" ��
�� ���� ���� ����� ����� ��� ������� ��������� � ���� 8�� �����9 �� �����! ��� ���
� ������ s ����� �� � �� �������"
)" ��� s ����� �������� �� ��� �� �� ��������� ����� �� �����.
8�9 ���� ����� Bk! �� ������� �� ����� �� � &��� �� ��� �� ����"
8�9 �� ���� �'�� ���� ��������� �� ��� ��&���� �� � �� ���� ����� Bk! ���
�� �� ����' �� �� ���� ��������� �� ������ � I∗" ���� ����� Bk! �� � &���
�� ��� �� ��������! � ����� B∗ �� ��������! ��� ����� �� �������� ������ ��
����� ��� � ��� �� s ����� �� ���0�� ��� ������ � I∗" $� ��� �������� ��
������ � xl"
1" 3��� ���� ����� B∗! �������� xl ����� �� �����! ��� ���� � ������ � ����� ��
��������� �����. �� �� �������! �� s ����� �� ���� ��������� �� ������ �� �����
���� �������� xl ��� � ������ s ����� ��� �������� xl"
����� ���� ����� ��� ����� � ���������� ����� s ����&�� 1− 3 ��� ������ s#������� ��,�
����" �������! �� ����� B∗ ������ �� ��������� ����� ������� 2 ��� 3"
+��9 )� �������� �) �� �������� ��� �� �$������ �� � �������� ������ 6�
������ ��% )� � �) � ��,��� )���#'��)� ��,� ���� ������ � 3 ������
!$)$! �� ����-�������� ������� ,���� �� ����+ ��������� ����
" � '�� ����� �� � �������� ������� �� � ��,���� ������ )�� � � ������$ ,�����
�� � �� �� � )�� ��� ���#�� ����� � )��'�� �� ������ " � �������� �� ������
�� ������ ������� �� �� ��� � �����)�� ������ ����� ��,� �������� ����� �� �
�) �� � ��,�� ,������ ��� � �� ����� ������$ 7�������� �� ��� �� ����� �)�8�
" ��� ��,�� �� �� � �� � � ���� ����� �������9 �� ������ � ����� ������ ��
��� � )�� � � �� � ������� ����� ����������9 � �� )��� �� � ���� ��� ������ �
�� � �� ��,� ��� �� � �) �� � ��,�� ,������ ��� �� )��'�� �� ������
" � �� ,����� �� ������� -��#��� �� ������� �� +� �� ��(9 ) �� �� ������� ������
)� ���� � ��,� ������ �� � �� ���� ������� " � ;�) � � �� � �� �� � ��
������� �� +� �� ���� ?� ��� � � )���� �� �������� 7��� ��5����8 � ��� � ����
��
,��� s �� �� � ) ��� 3&4 �� �� �9 �)�,�9 � �� ��5���� � ������� ��� ����
) �� ��� �� ������ ������ +� � ��'� �� ���������9 )� � ���� �� ��� ��
���� �� ������� ��������� ���� s�������� ����� ����
�������� !� ���
������ (T, I0B, r)�
������� (T ������ ���� ������ l ��� ���)�
�� ��
��������� �� �� s�
���� �(J −N := {j ∈ IN : trj < 0}) = ∅� ��
�� k ∈ J −N �� �������� !�� ��� �� ���� ����� � s�
��((I+
k := {i ∈ I0B | tik > 0}) = ∅) ����
"�� ������ ����� �� !��#�� ��������� ������"T, k#�
�����
�� l ∈ I+k �� �������� !�� ��� �� ���� ����� � s�
���� �� tlk� ���� �� �� s�
�������
"�� ������ ����� �� ����������� ������"T,−1#$
���
+� �� ��(! � �������� ������� � ����� �� ������ ���� s#������� ����$ ��������
�����
" � ������ ������$ �� ������� -��#��� 7������� �� +� �� ��(8 �� � �� �����
�)� ��� � �) �� � ��,�� ,������ �� ������� �� +� �� ����
��� � �� ������ ������$ ����� �������� �� � 3&4 �� �� �9 ����� �� �
�� ���� �� �������� ��,� �� ��������9 �������� � � ���� ����� )��� ��,� ���9
) ��� �� � � � ���� � ������ �� ��,�� � �� ����������9 ��� �� � 3&4 �� �� �
�������� �� � �� ��5���� � � �) � � ���#�� ������ ������� �� �����
?� ��,� � ) ��� ���,�� � �� ����� ���������9 � ����� ����� ������� �� �
�� �� � ���� �� � �� ��
��
J −N = ∅
��
I+k = ∅
��
���
���
E���7"9'8
�
�
�
�
�"�E"
.�,� �� tlkl ∈ I+
k
����� ,��� s�
������
#
�
�⊕. . .
���
⊕ # #
E���7"9#�8
k ∈ J −N
�"A.
+� �� ���! +��) � � �� � �������� ������� � ����� �� ������ ���� s#������� ����$
�������� �����
� 0���
���
� 0
− −
0���
0
⊕ . . . ⊕ −?��'�� �� ����� 6���������
+� �� ���! "������ ������$ �� � ���#�� ������ ������� )� s#������� ����$
�������� ����9 )� ����� � � �� ����� �)� ��� � �) �� � ��,�� ,�������
4��!������ '$*$% $� � ��������� ���� ������ T ∈ Rm×n �� �����! ��� ����� �� ����'
�� �� ��������� ���� � D = I0B" ���� �� ���� ��� �� �� ��� ��� �� ��� ���' TDIN
���� �� ������ �� ������ ����� �������"
4����$ �� � � ���� ��������� ���������� ��,� ������ �� tij ∈ TDI � ?� � �) � �
� # ��� ���� �� � ������ ���� �� � �� � ��� � ��,�9 ������ b′i = bi
tij= 0 = bi ���
b′k = bk + tkjbi
tij= bk + 0 = bk9 ) �� k = i� �
?� �� ���� � � �) � �������� �� � �������� +�� �� �����)� � �������� ��
� 3&4 �� �� � �� )����
�� �� � '$*$% �� �� ������������� ��������� 1� .�� ���� �� s� ������ ����' ������
��� ����! ��� �+� &���"
4����$ 6� ���� �� ������� � �4���9 � ) ��� ������ ������� �� �� ����� �)� ���
� ��� �� ����� ����� �) �� � ��,�� ,�������
��
������� � �����9 ������ � � �� �� � �� �� ����� ����� � ����� ��
��S��� ����� �� ����9 �� �� ���� �������� �� � �� �� � �������� �� �� ������� �
������� ������ �$������ 6� ��� �� �$�����9 )� � �$������ �� � ��,�� ,������9
�,�� ,������ ��,�� �������� ���� �����
����� � ����$ �������� ��� �� s#�������9 �� �$��� � ����� B′ ��� ,������ xl ������
� �����9 �������� � ������ ������ �� s#����������� " ��9 ) �� �� ,������ ����
� �����9 �� ,���� �� s ���� � � � ,������� ������ � ����� �� ������� 7���� ����
� �� ������8� ����� � �� �� �� ����� � ��� )� � �� �� s ,���� ��� �
�������� ,�������9 �� �� ���� �������� �� �� � ,��� t′(r) � ���� � trl < 0 ��� tri ≥ 0
�� ��� i ∈ I − l ���������� � ����� B′�
�� �� ��) ������� ����� B′′9 ) �� � ,������ xl ��$ ���,�� � ������ �� � ,������
����� � ����� �� xk� ������� � � ��� �� � ���#�� ������ �������9 ���� �
�����,� ����� �� t′′k9 ,������ xl �� � � �� ,���� �� s′′9 � �)��� � ������� )����
�,� � ���� �� � � ,������� " � ,������� )� ��)� s ,�����9 �� � �� ������ ��
s#���������� �,� �� ��,�� ����� ����� B′� �� � �� �� ��� ,������� �� K9 ��
K = {j ∈ IB′′ : t′′jk > 0} ∩ IB′ � +� ����9 �� L = {j ∈ IB′′ : t′′jk ≤ 0}� " �� l ∈ L ∪ K�
" � ��,� ������$ ���������� � ����� B′ ��� B′′ �� � �)� �� +� �� ��-�
B′ : B′′ :
0�
�
�
0
xr ⊕ · · ·⊕ − ⊕ · · ·⊕ −xl
0
xl +�
�
�
0
xr − −xk
}K}L
+� �� ��-! &���� B′ ��� B′′�
����� t′ri = 0 �� i ∈ K ��� t′′ik = 0 �� i ∈ IN ′′ 9 � �����)� �
t′(r)Tt′′k =
∑i∈IN′′
t′rit′′ik +
∑i∈K
t′rit′′ik +
∑i∈L
t′rit′′ik + t′rlt
′′lk + t′rrt
′′rk ≤ t′rlt
′′lk + t′rrt
′′rk
= t′rlt′′lk + t′rk < 0,
����� t′rj ≥ 0 �� j ∈ L ��� t′rit′′ik = 0 �� i ∈ K ∪ {r}9 ����� ��� ,������� �,� �� ��,��
��� ���� � ��� ������� ����� ������� � ����� �� ������� �� ���� ���� ��� ��� ���� ����� � � �����
����� ��������� ���� �����
��
��)��� � )� ������ 4��� � t′rl < 0 ��� t′′lk > 09 �� )��� �� t′rr = 1 ��� t′′rk < 0 �
�����)� � t′rlt′′lk < 09 ��������� � � � ������ ����� �
?� ������� ���9 � � 3&4 �� �� � ���� �� ���#�� ������ ������� )�
s#������� ����$ �������� ��� �� �����
�� �� � '$*$' ��� �6, ������� ! �� �� ���� �� ������� �� s� ������ ����' ��������
����! �� &��� ��� �� ��������� ������ "
4����$ +� �� ��� �� �� ����� ��,� ������$9 � �������� ��,� �������� �����
� � ����� ��� �� ���� )���� &� " ���� �����9 �� ��� �� �� ����� ��,� ������$9
� ���#�� ������ ������� ��,���� � )��'�� �� ����� ������ �� ���� ����9 � ��,�
� � ������ �� ����������9 �� ����� �����9 )� �� � �� �� � � # ��� ���� �� �
������� �
# ���9 '$*$% 3� ���� ���� �� ����� �� ����� �� ������ )")"("
# ���9 '$*$' ��� �������� DegProc ��������� � ���� �� ������ �� � ������� ������
����� ���� ��� s� ������ ���� �������� �����"
�;��!� '$*$% �� �� ������ ��� �� ��������� ������ ��������� �����! �������� ��
��������� ������ .
x1 − x4 + x6 = −1
x2 + x4 − x5 − 2x6 = 0
x3 − x5 + x6 = 0
x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0
3� ����� ��� �'� ��� ��� �� �6, ������� ����� �� ������������� ��������� ���
�� ��7 ����' �������� ����" �� ��� ��� �'� ��� )"1"(! �� ��� �� �� ������� �������� ��
� �����5�� � ������� �� ���� ��������� �� ���" �������! �� ��������� x1, x2, x3 ��� �
��������� �����" ��� ������������� ���� ���� ������ �� ����� �� ������� 1"
x4 x5 x6
x1 �( : ( �(
x2 ( �( �) :
x3 : �( ( :
������� ("
x4 x5 x6
x1 �( : ( �(
x2 � �( �) :
x3 : �( ( :
������� )"
��
��� ��� ���������� �������� �� �� &�� ������ �� x1! ����� ��� ���� �� �� �������
��������" %���� �� ���� � �� �� ��� ������� ���� ������� �� ������ ���������! ��
������������� ��������� �� ������" ��������� � ��7! � ���� �� ��� �� �� ��� �� x2 ���
�� ���� � �� x4" ��� ��� ��������� �� ���� ����������! ������ �� �� �������� ������
��� � ����� ��������� ���� �" ���� ����� �� ������������� ����! �� ��' ������ ��
��������"
x4 x2 x6
x1 ( �( �( �(
x5 ( �( �) :
x3 : �( ( :
������� 1"
x2 x5 x6
x1 ( �� �( �(
x4 ( �( �) :
x3 : �( ( :
������� 2"
x2 x1 x6
x5 �( �( ( (
x4 : �( �( (
x3 �( �( ) (
������� ;"
��� ����� ������� ����� �� x = (0, 0, 1, 1, 1, 0)"
#". s+�������� ���� ����
?� ��) � �)9 � ��,��� )���#'��)� ��,� ���� ������ � �2������� �� s#�������
��,� ����� " �� �� � �����9 )� ��,� � �� � 7�8 ,����� �� � ������ �����
���� �� ���9 �� 7�8 �����
" � ��������� ����$ �������� ��� �� &���� � ����� � ,������ )� � ������� ��������
����$� " � &���� ��� �� ���� ����� � �� � ������� ����$ �������� ��� 736E8�
� ��� '$-$% ��� ��� �� ����' �������� ���� �� 6���� �� s� ������"
4����$ �� �� ������ � ������� ����$ ��� �� &����9 ���� � ,��� s � �� ������
��
si = n − i, i ∈ I.
6 �� ���� � ���9 � � ��$���� ,���� �� ��� ���,��� �� ,��� s ��������� � �
,������ )� � ��)�� ����$9 �� ������ �������� � ������� ����$ ����
" � �� ��� ������ ����� �� s#���������� ������ �����) ��� s ���� �������
+� ����� Bk+1 � ����$ arg min sii∈INk+1
∩I∗= u �� ���2��9 ����� �,�� ,���� �� s �� ��S���
7su = n− u89 �� u �� � � �� ����$ �� � �� INk+1∩ I∗� 6� v = arg min si
i∈IBk+1∩I∗
�� ��� �
v ≥ u 7 �� v > u ���� ����89 �� �� B∗ = Bk+1 ��� l = u9 � �)��� �� B∗ �� � ��
����� ) �� ,������ xv ��,�� ������ � �����9 ��� �� l = v�
�%
" � �� ������ �� � ��� ����9 ������� � ��� �� � ,������� )� ����� � s
������ � ���� �� �� � �� �� �� �
" � �6+A ����$ �������� ��� � ����� � ,������ � �� ��,�� ��� ������� " �
������ �� ��� �6+A �� � �� � ,������ )�� ������� � ��� � �����9 ��� � ���� ����
�� � � ������ ����������9 �� � ,������ ��� �,� �� ���� � ��� � ����9 ��� �
�� �� � � ���� � �� � ��
� ��� '$-$' ��� ����' �������� ���� $��� �� s� ������"
4����$ �� �� ������ � ,��� s � �� �������� ���� 6� � ��,� ) �� xl ���,�� ��� xk
���� � ����� �� � mth ������9 � ,����� �� s �� ������� � ��,� ��� ,�������!
s′i =
{m �� i ∈ {l, k}9si � �)����
}
" � �� ������ �� � ��� ���� �� ���������
�� M = INk∩ I∗� ?� �����) � ��,�� �� ��� ,�������9 ��� ) �� ,������ xi ����
� �����9 )� ����� � ���������� ����$ ��� M9 �� M := M−{i}� ����� M ⊂ I∗9
� �����)� � ��� � ���� ����� �� ������� | M |= 1 ����� �� � ��� ������ �� M�� ������ �� l� +� � ����� ���������� � �� ���9 l = arg min si
i∈IN∩I∗ ����9 �� ��
����� �� � ���� � ���� �� B∗ )� ,������ xl�
" � �� ������ �����)� ���������� ��� � �������� �� �6+A� �
" � 3A�= ��� ����� ��� ,������� � ��,�� ��� ���� ������ " � ���� ��� ��
������� �� � �����)�� )��� 3�� ����$ �������� ���� ������ �������� �� �����,�
��� ����9 ������ � �� �� �� ���� ����� �� �) ���� ���� � ,������ ��� ��,�
���� � �� �� �� +� �$�����9 �� � ���� �� 36E9 � �� ���� � ��� � ) ��� ����#
����� � ,������ x1 )� � ��)�� ����$ ��� ��,� �� � 2n−1 ����9 � ,������ xn )�
� � �� ����$ ��� ��,� ���� ����� " �� )��9 3A�= ��� �� ������� �� ��� � �$
��� ,������� � ������ ��,�� � ���9 �� �$ ����� � �������� ������ � ��,��
� ��� '$-$) ��� ����' �������� ���� ��%< �� s� ������"
4����$ �� � ,��� s �� ���������� �� ������ ���� 6� � ��,� ) �� xl ���,�� ��� xk
���� � ����� �� � mth ������9 � ,����� �� s �� ������� � ������� � ��,� ��
��� ,�������!
s′i =
{si + 1 �� i ∈ {l, k}9
si � �)����
}
�(
" � �� ������ �����)� ���������� ��� � �������� �� � ����$ �������� ����
�� MN = INk∩ I∗ ��� MB = I∗ \MN � ?� ����� � ������ ti �� �����)�!
ti =
{si9 �� i ∈ MN
si + 19 �� i ∈ MB
.
�� P = {i ∈ I∗ : i ∈ arg minj∈I∗
tj} ��� minj∈I∗ tj = p� ?� ������� � ������� ������� �
� ��,� ���� ����� P ⊂ I∗9 �� �� ��� i ∈ P �� �$��� ��� � �����9 ) �� ,������
xi ���� � ����� �� � �� ��� ��� ����� Bk� ? �� �� ������9 )� ����� �� ����$
��� P 9 �� P := P \ {i}� ��� ������ ���� �������9 ��� � �� P �� �������9 ��
) �� | P |=| {l} |= 1� ��� �� ������9 �� � �� ����� ) �� ,������ xl ���� �
����� �� B∗� ?� � �) � �� B∗ � � ���� �� xl �� ���2��� A���,�9 � �� �� ����
sl = p9 � ������ ) � � xl )�� �� � ����� Bk � ��� &������ �� � ��,� ���9 p < si
�� i ∈ I∗ \ P ��� ����� �,�� ,������ )� ����$ i ∈ P \ {l} �� � ���� ���� ����� �
����� ��� Bk ��� ��) �� ������ � �����9 �� ,����� �� s ��� �� � ���� p + 2� A� �
� � ���9 �� � )�� � ����� ,������ �� Bk �� �� s ,���� �� � ���� p+1� " �� � ������
������ ���� �����
����� � ,������ xl ���� � ����� �� ����� B∗9 ��� �,�� � � ,������ )� ����$ ��
I∗ ����� � ����� ��� xl ������ �� � � � s ,���� �� xl �� ����� B∗9 ������� �
� 3A�= ���9 � �� ������ ���� ����� �
6� � ���� �� �6+A ��� 3A�=9 ) �� ��,��� ,������� �,� � ���� ,���� �� s9 ) �� �
� ���� �� � �� ����9 � �� �� � ��� � ���� �'�� � � ��������� ��� �����������9
��'� �������� ������� � � ������ ����� ������
# ���9 '$-$% ��� ��&����� �� s� �������� ������� �� �� �� ������� ����� s� ������
����' �������� ���� �����! ��� ���� �'��� � ��5� ��� �� ������ �'� ���" ������� ����
����! �� �� ������ ��� �� ����� ��������! � �� �� ���������� ��� �� �� ��
��� �� ��5� ������ �'� ��� ���� �������� ���� ��&���� �� � ��" � �� ��� �'� ���
�� �� �6, ������� ��� ��������� ������ �"
#"/ � ������� '������� �� �'���� ������'��
6� �� ������9 )� ������� � ��)9 �����,� -��#��� �� � 3&4 ��� �� �� � �������
�� +� �� ����
�������� �� �� � ���� �� � s#������� ����$ �������� ����9 � �����,� �� �� �
��'�� ��,�� ���� �� �� ����� �)� ��� ������� )� � ���� ���������$ �� �������
�� +� �� ���� 6� �� ����9 �� ���,�� � ���������� )� ��� � ���� 7�����8 ,����� ��
��
�� 3&4 ��� ������$ �� �� �9 �� � ������� ������ �� � ���������� ����� �
���� ������ � �)� ����� ������� �,� � ������� �� � 3&4 ��� ������$ �� �� ��
.���� 1��� ⊕ .�����Ax = b yT A = cT Ax = b
x ≥ 0 y ≥ 0 x ≤ 0
��� �� 0 0
�� ����� +��� + − +
���
0 0
− − − 0 . . . 0 − +
⊕ ��������� ⊕ �
������
⊕ ⊕ ⊕ . . . ⊕ �↙↗ ↗↘↙↖
����������� ⊕ . . . ⊕ − ��� ⊕ . . . ⊕ +
�−
↙↗ ↗↘↙↖)��'�� � 0 � 0
�� ��������
��� ⊕ . . . ⊕ +���
���
� 0 � 0
− − 0 . . . 0 − − +
+� �� ����! B�� ������$ �� � �� �� ��
" � ���#�� ������ �� �� �������� �� � ��2��� ���� � �����,� ������ ?� ��� �
������$ �������� �� +� �� ����� ������� � � ��� �� �� ����� ������ �� � �����
������ �� �������� 6� �� ����9 � �� �� � ������ � �� ������ ���� ���� ����������
" � ������ �� �� ��������� ������� �� ��� � �� ����� �)� )� �� � ����� � #
��� ���� ��� � �) �� � ��,�� ,������9 �� ���� � # ��� ����� A�,������9 � ���� ��
� ��������� �� ������ �� � ���� �� � �� ���� ����� ������� ��) ������� �
� ���� ��������� �� ���,��� 6� � ���� ��������� �� ��������9 �� ����� �� � ����
��
�� � ����� �� �� ���������� ������ �� � �� ���� ����� ������ ���������� �
� �� ����� �)� ��� � ��,�� ,������Y ) ��� �� � ���� ��������� �� ����������9 ��
����� �� � ���� �� � ����� �� � )��'�� �� ����� ������ �� � �� ���� �����
������9 ������ � ��� � � �� ����� �)� ��� � �) �� � ��,�� ,�������
� ������9 �������� ��������� ��� �� ����,�� ��)��� ������� 1���⊕ ��� .�����9
�� �������� �� +� �� ����� " � ������ .����� �� �� ����� ��� ,����� �� � �� �#
��� ������9 ) �� ��� � ,������� �� �2���� � �� ���#�����,�9 ������ �� ���� ���#
�� ��,�� " � �������� �� � ����� ��� �� �� � )��� �� �,�� �� +� �� ����9 ) ��� �
���������� ���� �� � �������� )��� �� �������� �� +� �� ���%�
6 ��� �� ����,��9 � � ��� �� � ��������� �� ������ ����� �� � ���� ��
� ��,�� �� �������9 �� � �)� �� +� �� �����
��,�� �� ������� �� ���� n = 2k + 1 n = 2k
������ k = 0, . . . k = 1, . . .
��� �� Ax = b yT A = cT Ax = b
��������� x ≥ 0 y ≥ 0 x ≤ 0
+� �� ����! +�� �� ��������� �������� �� � ��,�� �� ��������
?� ���� � ��� � � ���� ��������� ����� ������� �� ���,�� �� ����� ��,�
�� ���9 �� )� ���� � ���� ,����� �� �� 3&4 ��� ������$ �� �� ��
" � ���� �� � ������� ������ �� ������ ��'�� � ���,����� � ������� �
�� � �����,� �� ��� " � ������#����� �� � ����������� �� ��������� �� +� ���
����� ��� ����� 6� ��� ��������9 � �� ������� ������ ���� � � ��,� ������
���������� � ��� ��������9 � ������ � ���������� �����,���� " � ��,��
���� �� � ����������� �� ����� �� �� � ) ��� ������9 �� ������� ���� �
��������� ������ �� � ����$ ��� F ��� G� " � ������ ����$�� �� b ��� � �) ����$��
�� c ���� � ���� �� ����� ��� ���� � # ��� ����� ������,���9 �� � ���������� �'��
��� ������������
" � ����� ���������� ������ �� -��#��� �� �������� �� ��� .����� ) �� � � #
��� ���� ,����� �� �2���� � �� ���#�����,�� 6� ) � �����)� )� ���� � ����� ,������
�������� �� �� �� � �� ���2��� �� � ���������� ���������� ������ � ���9 ��� � �)���
����������� +� � ��'� �� �����9 �� � ���������� �� � ����������9 )� ��' ���� �� ,�����
������ �� ,������� ) �� ����� � � � # ��� ���� ,�����Y ������� ���� �� � �� ����
������ �� ����� ,������� ������� �������� � � � # ��� ���� ,������
" � �������� �� � ������� �� ���,�� � ���� ���������� �� ��������� ����� ���
�-
%�� ��� ���� ��� � ����� ��� ��&�� �� ������� ���������
�������� !��'�����
������ (T, c,F ,G)�
������� (T ������ ���� ������ l ��� ���)�
�� ��
���� (J −B := {j ∈ G : tcj < 0}) = ∅ ��
�� r ∈ J −B �� �������� �������� ���������� rDone := false.
���� rDone = false ��
�� (I+r := {i ∈ F | tir > 0}) = ∅ ����
"�� ������ ���� ����� �� !��#�� ���������� ������"T, r#�
�����
�� s ∈ I+r , Ks = {k ∈ G | tck = 0, tsk < 0} .
�� Ks = ∅ ���� (!��� ������� TFG �� ������� ���������)
(T, s) := ��� ��$�%&'�T, r,F , {j ∈ G | tcj = 0}���� s = −1 ����
"�� ������ ����� �� !��#�� ���������� ������"T, r#�
�����
�����
θ1 := tcrtsr
� θ2 := max{
tcktsr
| k ∈ G, tck > 0, tsk < 0}�
�� θ1 ≤ θ2 ����
���� �� tsr� rDone := true.
���
q := arg max{
tcktsr
| k ∈ G, tck > 0, tsk < 0}�
���� �� tsq�
�����
�������
�������
"�� ������ ����� �� ����������� ������"T,−1#$
���
+� �� ����! " � ���� ���������� ��� )� � ������� �� � ��������� �� � ���
1���⊕�
%�
� � ����� ,�����9 ��� �� ��� � � ����� 4��� +� �� ����9 � ������ �� ���� ����
)��' ��� ��� �� ������9 �� )��� �� � ������ �� � xr �������� ��,� ��� �� ������
����� ����� �� �� .��������� �����9 ����� ��� ������
?� � �) � � ����� ��� ���� ����������� �,� ������ ������� �� � �����
�� �� � )�'�� �� ���#�� ����� ��������
4��!������ '$&$% $� �� ���� � �� ��� � ����� ��������� ����� �� #�� ��%���6, ��
�� -���%���6, ��������� �� ����" �� �� ������������� ������ �� ������������� �� �����
���������! ��� �� ���� ���� ������� �� ��� ���������� ����� ��� �� ���� � ����'�� �
b �� ��� �� ��� ����'�� � c! ����������"
4����$ " � �� �� �� � ��������� �����)� ���������� ��� .�������� �����9 ) ���
� �� ���������� � � ���� ����� �� � ��� �� ��,�� ��������� �
�� �� )� �,� ������ ���� � ���� ���� �� ��� � �����,� �� �� �9 )� ��)
�������� � �� �� ������������
4��!������ '$&$' %������ �� �� �6, �� �� ���' ������� �� ����� ��� ������
P0" $� �� ���� � �� ������� ������ ��������� ������' �������� ��� ����� �� �
P1 := DualSubMBU(T1, k1,F1,G1)! P2 := PrimalSubMBU(T2, k2,F2,G2), . . . !
Pl := PrimalSubMBU(Tl, kl,Fl,Gl) 8�� Pl := DualSubMBU(Tl, kl,Fl,Gl)9" ���� �� ����
�� ������� �� ����� ������� ��������� Pl �� �� ������ �� ��������� ���� �� ������ �
Pi! ����� (i = 1, . . . , l − 1) ��� ki /∈ Fl ∪ Gl"
4����$ " � �����,� ���� ��,��,� ���� �� ����� �)� ��� �������9 �� �� .��������
����� �� ������ ����� �
A���,� � ����� Fl ⊂ Fl−1 ⊂ . . .F2 ⊂ F1 ��� Gl ⊂ Gl−1 ⊂ . . .G2 ⊂ G1 ���9 ����
� ������� �� � �� ����� ���������9 )� �� � ��'� �������� ��,�� � �)�� � �
��������� �� ����� ������ �����
" � ������� ���� � ������� ��� ������ �� ������ ��� ������ �� ���������
�� � �)� �� +� �� �����
" � ������� �� �� � ��S��� ���������� �� � �)� �� +� �� ���%� " � � �� � �)� �
�������� �����#����#����� ������ ��2������ . ���� PrimalSubMBU ��� DualSubMBU
��� � � ��� �� � ���������� " � ����� �� � ����� ������$ ���������� �
��� �� �� ����� ����� �� ������ ���� ������� �� +� �� �����
%�
%�� ���� ���� ��� � ����� ��� ��&�� �� ������� ���������
�������� ���'�����
������ (T, b,F ,G)�
������� (T ������ ���� ������ l ��� ���)�
�� ��
���� (I+B := {i ∈ F : tib > 0} = ∅� ��
�� r ∈ I+B �� �������� �������� ���������� rDone := false.
���� rDone = false ��
�� (J −r := {j ∈ G | trj < 0}) = ∅ ����
"�� ������ ����� �� !��#�� ���������� ������"T, r#�
�����
�� s ∈ J −r , Ks := {k ∈ F : tkb = 0, tks > 0} .
�� Ks = ∅ ���� �!��� ������� TFG �� ������� ����������
(T, s) := (��$�%&'�T, r, {i ∈ F | tib = 0},G���� s = −1 ����
"�� ������ ����� �� !��#�� ���������� ������"T, r#�
�����
�����
θ1 := |trb|trs
� θ2 := min{ |tkb|
tks| k ∈ F , tkb < 0, tks > 0
}.
�� θ1 ≤ θ2 ����
���� �� trs� rDone := true
���
q := arg min{ |tkb|
tks| k ∈ F , tkb < 0, tks > 0
}�
���� �� tqs�
�����
�������
�������
"�� ������ ����� �� ����������� ������"T,−1#�
���
+� �� ����! " � #�� ��%���6, ��� )� � ������� �� � ��������� �� ��� .������
?� ��) ��,� � �������� �� � 3&4 �� �� � )� �� ��� ���#�� ������ ������#
����
%�
%�� ������� ������� ��������� ������� ��� ���������
�������� !� ���
������ (T, I0B, r)�
������� (T ������ ���� ������ l ��� ���)�
�� ��
(T, l)�)���� ��$�%&'�T, I0B , {1, . . . , n}, n + 1���
�������T, l��
���
+� �� ����! � �������� ���#�� ������ �������9 1� .���
�� �� � '$&$% ��� �6, �� �� ���' ������� ����� �� ��������� ������� �� 1� ���
�� &��� ��� �� ��������� ������ "
4����$ ? ��� � �� �� � ,���� ���� ���#�� ����� � )��'�� �� ����� �������9 �
�� �� � ����� �� xr �������� ��,�� ������� � .�������� ��(��Y ��9 � ����
����� ��� �� ���� " �� � �� �� � ��� �� ������ 6� ���� � ���������� ��,�
������ �� ��� �� �� ����� �� � � ���� �� � �������� ,������9 � �� �� � ����� �
.�������3&4 � 1������3&4 ����������� �� ����� ������ �������9 �� � ���
�� ������� �� � ��� 2m ≤ n + m�
*������ � ���� ) �� � �����,��� ������ DualSubMBU ���,�� � ����������
? �� � ���� )� �� ���������� ���������9 �� � ���������� ������ 7���8������
������� )��'�� �� ����� � � ���� �������� ,������Y ��9 � ������� ��������
)� �� �������� ��,�� ? �� � DualSubMBU ���� )� � �������� ���������9 ��
� ����� 7���8������ ���,� ������� ����������� " �� ����� � ������������ �� � �� #
���� ������ ) �� � ������ ������� )�� � DegProc �������� A �)���9 � ����
��������� ��� ��� ���,� �� � ������� ������� )��'�� �� �����Y ��9 � ��������
)� �� �������� ��,��
������ ���������� ��� ) �� � PrimalSubMBU ���,�� � ���������� ������#
����
&������ � ��� �� � ������� �� ������� ��� � ����� ���#�������� ��,���
� ���������� �� �� �������� ��,� �� � ������ �������9 �� ����� ��� ���� )����
" � ����� �� ��S��� ����� �� ����9 �� � �� �� � �� ����� �
%�
+
⊕⊕ ⊕ ⊕
⊕⊕
⊕⊕
⊕⊕
⊕⊕ ⊕ ⊕
. . .
. . . . . .
. . .
. . .
��������
��������
��������
�����
�����
�����
− − −
− − − −
−
�
�
�
�
������
���
������
���
���
0
0
0
0
0 0
0
00 0
0
0
�� ��
�� ��
�� ��
��� ��
��� ��
��� ��
���� �����
���� �����
������ ������
������ ��
������ ��
��������� ��
+� �� ���%! � .����#1���#.���� ��2����� �� �����������
%�
�;��!� '$&$% ��� �� �������� �� ���������! �� ����� �� ������ ��������� ������ ��
�'� ��� )"2"( ��� �� �������� ��������� ���� �"
��� ����� ��������� ����� ������ �� � �����5�� �� ��� �� ����� �����! ����� �� ��� ��
�� ���� ���� ������' �� �������� �� ���"
x4 x5 x6
x1 �( : ( �(
x2 ( �( �) :
x3 : �( ( :
������� ("
x4 x5 x6
x1 �( : ( �(
x2 ( �( �) :
x3 : �( ( :
������� )"
��� ��� ���������� �������� �� �� &�� ������ �� x1! ����� ��� ���� �� �� �������
��������" %���� �� ���� � �� �� ��� ������� ���� ������� �� ������ ���������! � ���
������� ��������� 8�� ��� Dual⊕9�� ��&���" ��� ��� ���� ���������� ���� � �� �� &��
��������� ����� � ������� 2 �� �� ���� � �� x4! ����� �� ��� ���5��� ���� ������� ���
��� ���� � �� �� �� ��� �� x2" ��� ��������� �� ���� ������ ���������! ����� �� ����
���������� �� ���� ������� �������� ����� ��� �� ���� � �� x5 ����������" ����! �� ����
� ����� ��������� 8�� ��� Primal�9 �� ��&���! �� ����� �� ������� 3.
x4 x5 x6
x1 �( : ( �(
x2 ( �� �) :
x3 : �( ( :
������� 1"
x4 x5 x6
x1 �( : ( �(
x2 �( �( ) :
x3 �( �( 1 :
������� 2"
x4 x2 x6
x1 �( : ( �(
x5 �( �( ) :
x3 �( �( 1 :
������� ;"
�� ��� ������������ �� ���������! �� ��� �� �� ������� �������� �� �� ��� �� x2, ���
����� ���� ��� �� �������� ���� ��������" � ���� �� �� ���� � �� x5 ����� ��� ��
��������� �������� �� ��� �������! ����� �� ���� � �� x6 �� ������ ���������! ��� ��
���� � ����� ��������� ����� ���� � �� ��&���" ��� �� �����! ���� � �� �� ��� �
���� �� �� ���� � �� x5" %���� �� ������������ ��������� ��� ����� ��������! �� &��
����� ��������� �� ����������" ��� ���������� ���� � �� �� &�� ����� ���� �������� ��&���
� ����� ��������� ���� � ��� �� �������� ��� �� ������ ! ��� �� ���������� ���� ��� ��
������� �������� x1 �� �� ���� � �� x4 �� ��� ��������"
%%
x4 x2 x6
x1 �� : ( �(
x5 �( �( ) :
x3 �( �( 1 :
������� ="
x1 x2 x6
x4 �( : �( (
x5 �( �( ( (
x3 �( �( ) (
������� >"
���� ���� ���� �� �������� ������ ��������! ��� �� ������� ����" ��� ����� �����
������� �� x = (0, 0, 1, 1, 1, 0)"
A���,� � �� � �� �� � ��� �� �����,� ����� �� �� ��'� �������� ��,��
� � ���������� 7���8������ ��� ��� �������� " ��9 � �� �������� � �������� �
������$�� ����� �� � ���#�� ����� ��� � )��'�� �� ����� ����Y �)�,�9 �������
�� � �������9 � ������� ����� ���� ������� �� � ����� �� �� ����� ���������
������
�� �� � �������� ������� �� ������ ������ ��� �� ����� �� �� � �� � ���
�� � ������$ �� �� �9 � ������� ���#������ ������� ������� ����� �� �������
������� � � ������$ �� �� �� " � ���� ����� �� �� ��9 ) �� � ��������� �� ��������9
)� ��'� ��� �� � ������������ �� � ��,�� ,������ � ��� � ���������� � � ������
������ �� �����������
�� ������ ����9 � )���� �� �������� � ���,� � �� ����� ���������� )� �� �#
���� ��,� �� ��9 �������� � � ���� �� � :�� ���� �� �� �� ����� �� �����
Q��R9 �� ) �� � ����#���� �� �� )�� ���� Q�-R�
6� ������9 � �5������ �� � �� �� � ����� �� �������� �� �$����� � ������
�� � � ���� �� � ,������ � ��� � ������ " �� ������ ��� ���9 ���������� �� ���� ��
���������� � ����� �� ��������
#"0 �� '���'���� �� ��� ������� ������� + ��������
" � ������� ������ )�� ���� � �� � ������ ����� ���������� �� ��� � ����#
��� ������ �������� ����� ��� � ��$����� ���� " �� ������ ����� )� ��� �� �
������� ,������ �� � ���������� ������ �� ��� � ������� ������� �� ������� ��#
������9 ��� ��������� �� � ���������� ������ ������ � ��� ������� ��������� �
� ���������� ������ ��� ������� � ����� �� ����� �� ��� ���� ������� �� ������� ��
* ��� %�
?� ��� � �� ������ ?�� ���� Q%R9 ) �� � ���� ��'��)�� �� � ����� �� � ;�)
,����� ��)��� � ��S��� �������
%(
" � )��� �� � �� �������� �������� ���� ������ �� � ������� ����� �� ������ ��
�������� " ��� ������� ������� ����� ��� ������ �� � ��������� ��,��� �� ��,���
� ������ ��� � ������ ������� �� � ��� �������
6� �� ��������� ��,������9 � ������� ������ �� � �����)�� � " �� �� � �,�� ��
�� ���� ������� )� '��)� �������� " � ��' �� � ����� ��� ������� � � � ��
��� � ������ ��) ������� � ������ � �������� " �� ��� �� ��,��� ��S���
������9 ���� ����� � �� ����� �� � ������� " � ���������� ������������ �������
� ��� ���� ������ �� � ��) )� ������� � )� �$���� '��) � ��S��� 2������� ��
� ���� ����� 7���� �� � ���� ������89 ) ��� ������� ��� ,����� �� ���� ������ ��
��,����9 ��� �� ����,� �� �� �� ���� � ���#��� ��� " �� ����� � ������ ��
�,�� �� � ���� 2������� ��� 2������� �� ,������� �� � �����9 � 2������� �� �
���� ����� �� ��) �,�� �� ��,����� " � ����� ������ �� ���� )� �� * ��� %�
!$#$& �������� � ��� ,�����
?� �� � ��������� �� � ;�) ����� )� � ��� ������� ����� �� ������� ! �
2������� �� � �������
�������9 � k ���� ��2��� ������� Ii9 i = 1, . . . , n �� ������� � � � ��� � ��� ��
���� ����� F � " � l 2������� �� ����� �� Qj9 j = 1, . . . , l� " � ����� �� � ����
������� ������� ��� � ���� ����� �� xi9 i = 1, . . . , n9 ������� �,�� �� ,������ ��
� ,����� �� � ���� ����� �� ������ �� xF � " � ������ 7�������� ����� � ��
�./ Z ������� �,��8 �� � ������� �� � ����� ��� �� 2����� ������9 �,�� �� ρi
�� � ���� ������� ��� ρF �� � ���� ������ +� ����9 ������� � � 2�����
�2������� ��� � � ����,� ����� �� ���� ������� ������� �� � ������9 ��� ��
�� � 2����� Qj �� � ���� ������ Ii �� �,�� �� ������ �� qji� ?� ������� � ���
2����� ������ ��������
+��9 �� �� ������� � �� ���� ����� �� �������9 �� ) �� � 2����� �������
� ���� �2��� pj �� 2����� Qj9 j = 1, . . . , l� " ��� pj ,����� �� ������� �� �$�� ,�����9
��� �� ������ �� ��,����� " � ,������� ������� �� � ����� �� �,�� ��
xF − x1 + · · · + xn = 0. 7,������� �������8
6� � ����� �����9 ��� ��� ������� �2����� ��� �,� )� �$� ,�������9 ��� �� �
������ 9 ��� ��� �� � ������ ��,����� " � ������� ����� �� � ������� ������
�2���� �� 2����� Qj �� � ����� �� �,�� �� pjxF � " � ��� �� �� ������� ������
������� ��� � ����� �� � ��S��� ���� ������� �� qj1x1 + · · ·+ qjnxn� ����� � pj
,����� �� ������� �� �$��9 � �� ����)�� �� � ����� � ������ �� �$� ����� � ���'
%�
�� � ������� ������� " ��� ��S������ �� ������ )� � ��� �� � �� ������ �����
������� +� ��� ���� ����� ��� 2�����9 � ������ �� ,������ RjF �� ������� 6� �
���� ����� �� ������� ���� ��� ��� ���� ������� � �� �� ������ �����,�� 7 ��
�,� �� ��������� �� ,����89 � ���������� �2����� ��
−qj1x1 − · · · − qjnxn + pjxF + RjF = I. 7������ �)�8
6� �� ���������9 )� ������ � I = 0� 6� � ����� �����9 �� ,���� �2���� � ��S�����
�� � ������ ��� ������ ��,���� ��������� )� � 2����� ����� " ��� �2������ )���
�� ����� � �� �������� ����9 ��� )��� �� ��������� �� ��� ����� �� * ��� %�
��) �������9 � � ����9 �������� ����� �� �������� " �� �� �� ���� �������
Ii9 i = 1, . . . , n9 ��� ������ ������� ����� �� � ��$��� " � 2����� 7 ����8 �� ���
���� ������ �� �,�� �� pji �� 2����� Qj ��� ����� i9 i = n + 1, . . . , s� " � ����������
�� ,���� �� Rji� "��������9 � ������� ����� ��� ���� ��� ��)� ������ �� �
2����� �� �,�� � ������ ��������� �� � ������� �� � ��)� ��� ���� ����� �,��
�� ������ �� 2����� Qj �� ������ �� StdNj ��� StdXj9 ������� � � ���� �������
�� � ����� �� � ���� ����� � ��� �� ������ �� xF 9 ��� � ����� �� ���� �������
����� � � ����� �� xi9 i = 1, . . . , s� " �� � ����)�� ����,� ����� �� � � ������
�������� �� Qj ����� ��)��� StdNjxF ��� StdXjxF �
" � ��� �� � �� ,���� ����� ���� �� � �$��������� " � ,����� �� � ��
,��� 7�������� �� ��,��� �� ,������� �� � ��S��� 2�������8 �� � ����� �� ���#
����� ���� � ������9 ��� ) �� � ����� �� �� � ��$��� " � ���9 �� ) �� �
�� ,��� �� ��������9 �� � ���� �� � ,������� ��� �� ) �� � ���� ����� ��
������� ��� � �� � ������� �������9 � ,����� �� ��� ����9 7���� � ����� ��
������� ������� � � �8 �� ��'��)�� �� � ������ " ��� ,����� �� �������� �� ��
����,� ������� +� ��)9 �� �� ������� � ��� ;�) ,����� �� '��)�� " � ������ ��
� ����,� ������ )��� �� �,�� �� * ��� %� �� � ���� �� 2������ �� ������ ��
Di9 i = n + 1, . . . , s� " ��9 � ���������� ��)� ��� ���� ���2����� �� 2����� Qj ��
� ���� ������ �� �,�� ��
StdNjxF −n∑
i=1
qjixi −s∑
i=n+1
pjixi −s∑
i=n+1
DiRji ≤ 0, 7��)� �����8
StdXjxF −n∑
i=1
qjixi −s∑
i=n+1
pjixi −s∑
i=n+1
DiRji ≥ 0. 7���� �����8
!$#$! .����� ���������� � ��� ,������� �����
� ������ ;�)#����� ������� ����� ��� ��,��� ����� �������� ��� �� ����� �������
?� ����� ���� ������ ������� ���� �������� �� ��� ������ ��'�! � ��� �� �,�������
%�
�) �������9 ������� �������� 7�� ������� ����8 ��� ������� � ��$���� ��������
�2��������
�� � �,������� 7��� ����8 ����� �� � ���� ������� �� �,�� �� Purci �� ������
Ii9 i = 1, . . . , k� ������� � ���� ������ Ii �� ������� ��� ������ Bj9 j = 1, . . . ,m� ��
� ����� �� ��� ������� 7;�) ,�����8 �� ������ �� xij� 4������9 � ����� ��
��� ���� �� ������ �� )�� � ����� � ;�) ,������� �� ������� �� ,�����9 � ,�������
�,� � �� ������ �� �� 7'��)�8 ������� �,��� " � �����)�� ���2������� ���9 � �
��� � � ���� �� �$���� � �,������� �������
−Purci + ρ1xi1 + · · · + ρmxim ≤ 0. 7)�� �������8
4������9 � ������ ���� ������� ������ ��� ������ ���' ,����� ��� �2�������� " ���
�������� �� �������� �� � ��� ��)�� )���
*������ �������� �� ���� �������� )� �� � ,�������� ������� � ;�) xi9
i = 1, . . . , n ��� � �,�� ������ )� ������� Cap� " �� � ������� ������� ��� ��
�������� ��
x1 + · · · + xn − RgBCap = Cap, 7������ �������8
−Cap ≤ RgBCap ≤ 0. 7�� � ,������8
4������9 � ���� �� � �� ,���� ���� �� ������ �)� �� ������� �� ��� ����)
��� ����� " ��� ������ �� ������� � ���� �� � ����,� ������ ������� �� * ���
%�
� ������ ����� ���� �������� �������� �� � ��� � �� �,�� ������� ��'� ���� ���#
���9 ����� �����,�9 ���
!$#$% /+����� � � ������0�� ,�������
?� �� ���� � ������� � ����� �������� ����� �� �� ��� ���� ������ �� �� �
���� ��� ����� �� ���� ��������� ��� �������9 � ��� � ���� ������ �� � ������
������ ����9 � ����� �� �� ���� � �� ���������� � ����� �� �
" � ���� ��� �� �� ����� )�� ��,���� �� 3A� Q(�R� " � ����� ��� � ���#
������� ����� �� ����� ������ )�� ������ )� ����� [.63� Q(�R�
6� �� �$�����9 ���,�� �) �������9 ����,���� �� IBU 9 NBU 9 IC59 I6C9 C9A9
CCE9 ALK9 MTB9 ETA9 REF ��� ETB �� ������� � � �� " � 2������� �� �����
�� ����,���� )� SPG9 SPM 9 RV I9 RV 89 RON 9 MON 9 0709 1009 1509 2059 OX19
BIB9 ET%9 BUT 9 BNV 9 ARV 9 OLV � " � �$�������� �� � ����,������ �� �������
�� "���� ���
%-
�!�� ��� �����
���� �$
6&4 6�� &����
�&4 ����� &����
6*% 6�� .�����
6(* 6�� :�$���
*-� ������
**0 0��� ��� ��� �
��B ��'����
3"& 3"&0 1+
0"� 0 ���� 1+
E0+ E������
0"& 0"&0 1+
E�� &������ E������
8��� !������
���� �$
4�: 0�W#-% 7����8 1E
4�& 0�W#-% 7����8 1E &6A
4��! ��� � �� �� � ��
���� �$
�./ ������� �,��
�.3 �����9 ���
E=6 E��� =���� .����� 6���$
E=� E��� =�� � ���� ���
EA� E����� A�
3A� 3�� A�
��� \ AS � ��� �������
��� \ AS � ��� �������
�%� \ AS � �%� �������
��% \ AS � ��% �������
A[� A$� �� *����9 )\
&6& 0 � ,��\#+�30 �� ������
0"\ 0 ���� ���
&4" &����9 ,��\
&�= &������9 ,��\
�E= �������9 ,��\
A�= A�����9 ,��\
"���� ���! ���� �$�������� �� � ����,�������
")� ���� ������9 UNH ��� UNB �� �������9 )� ��� ���� ����� R4A� " � ;�)
����� �� � ����� �� ������� �� +� �� ���(�
" � 2����� ������� �� � ���,�� ���� ������� �� �,�� �� "���� ����
A��� � ��) ������ �� � ����� �� ���� ������ � 6� ��� � ��,��� � ���� ���������9
)� ��) ��,��� � ������ ������� " �� �� ���� ��� ������ ���'�����9 � �������
�������� R4A9 )� �� ������ ��,���� �� 5000 ��� � �2���� ������ ��,���� ��
2000� ?� ������ � ���� ������� �,� � �� �������� �� � ���� ��������9
��'� �� OX1 ��� RV I� +� ���������9 �� �� �$�����9 � 2����� ���� �� � ���� �����
������� �������� R4A �2���� � '��)� 2����� ������� �� � �������� REF �
" � 2����� �2������� �� � ���� ������ UNH ��� UNB ������ �� � �������9
��� � ������� ��������� �� ������� �� "���� ���� ? �� �� �� �� ,����� �������9
� ������ ������ �� ������� " � GB1 �� � ������ ���� �� � ������� ������ ��
� ���� ������ UNH ��� UNB�
��) )� �� ���� � ������� � ���������� ����� ���������� ������� "� �����
(�
+� �� ���(! " � ;�) ����� �� � �$����� ������
�������� � ��� �� � ���������� ������ 7����� �� ��H���,� ������� �� �������� � ��
�� �89 � ��)� ����� �� ������ �� ���� ;�) ,��������
" � ���� ������� �� � ����� ���������� ������ ���������� � �� �$����� ��
������� �� "���� ����
" � ���������� ����� ���������� ������ �� ����,��� ������ " � ������ �� �
������ �� 9.04%9 � ����� �� � � � � :�)�,�9 �� �� �9 ��� ���� ��������9 �
������ ������ �� ��� ������9 �� ����� ����� �� ��,��� ������� ������9 ������ ,�����
������ �� 0.01% �� �� ��� " � )� ����� �)� �� � ��H���,� ������� 7 � ��
������ ��� �� � ���������� ,����� �� � ������8 ��� �� ��������
!$#$) 1������� ������� � ��� ,������� �+�����
?� ���;� �������� � 3&4 ������$ �� �� � )� ������� ����$ �������� ��� ��
� ������� ������ ������� ���,��
" �� ��!� � �����
" � ���� )�� ���������� �� 3���� 7.0.1� 4��� � ���� � � ��,� ������ ��,�� � ��
���������� �� �� �������9 �� � �,���� ������$ �� �� ����� ������ )�� �������� 6�
(�
�&' �&' �*+ �,* *-. **/ .�0 %"& /". 1/2 /"&
$�3 4�+, 4�+5 4�,6 4�,7 4�55 4�7+ 4�74 4�7+ 4�7- 4�5, 4�78
$�% 4 4 4�84 9�,4 4 ,�94 4�+4 96 64 4�94 98
1:� 978-�59 949-�+4 876�-- 9+;�9- +�,, 96;�-7 955�96 98-�75 4 ,8�89 977�8-
1:5 9755�+, 94+5�6+ +99�78 9-9�-8 88�86 9,6�76 66,�57 955�+; ;5�7+ 94;�9, 69,�68
1<� -- -;�54 -9 59 994 -;�;4 -8�+9 994 964 946�7, 947
%<� -7�,4 5-�,4 5, 56 -4 56�-+ -6�8- -5 -7 -9�;4 --
474 944 944 944 944 4 6;�4; ,�;; 944 647 9�-4 54
944 944 944 994 94+ 4 8+�+5 ;9�99 944 996 99 944
9+4 944 944 944 944 +4 56�7+ -9�9; 944 944 79 944
64+ 944 944 944 944 944 944 944 944 944 944 944
<=9 4 4 4 4 4 4�7+ 4 95 ;8�75 4 9+
&�& 4 4 4 4 4 ,�96 4 -5 4 4 -+
/"&'" 944 -- 4�64 4 4 4�67 4�48 4 4 4�-4 9
&�: 4 4 4�47 4 4 4�-, 4 4 4 4�94 4
.1: 4 4 4�47 4 --�47 ;6�-8 4�47 4 4 58�8, 4
<�: 4 4 4 4 4 9+�-7 4 4 4 6�48 4
"���� ���! " � 2����� ������� �� � ���� ��������
� �,���� ������$ �� ��9 ������ �� � ��,� ������ � � ��,��� �� � �����9 � �����#
������� �� � ����� ���$ �� ���������9 ��� ������ ������� � � ��,� ��������� 0��
��� � �������� � # ��� ����9 � ���) ����� � �������� �) � ������ �� �
��,� ������ �� �2����9 � ����� �2����� ����� �� ���,��� " � ������� �� ��� ������
�� ���������� ����� ��� ,�� �5���� ���� � ���������� ������ " � ������������
���� @7 ������������ ��� � 0������ ������� �� 3����� "� ������� �������� �����#
��9 � ����� )�� � ����� ���,��� 7���� � ]E ������������ ����� ��� ���� 8� +�
� ������� ��������� �� � �,���� ������$ �� ��9 ��� Q%�R�
6 ��� �� ��� ������ � �� ������������ )�� ����� ���� �� � ����������
�� � �� �� �� +� �$�����9 �� � ��� �� � � ������������9 � ������ �� ��������
��� �� � �� ���� ���9 ��� � ���� �� ��������� � ����� ��� ������ �� ��� ����
3���) ���9 �� �� �$�����9 � ���������� ������ )�� �������� � � ��������� ���
�� Ax = b, x ≥ 0� �� �� �� ���������� �� � �������� � �������� ����� ��
� ���$9 �� �� ���9 � ������ ��������� �� � �� �� � ��� �� �����
(�
�<� �<1
��)� ���� ��)� ����
�./ ������ ������ ������ ������
�.3 �� ��
E=6 ��%�%� ��-�-% ��%�%�
E=� �(��(-�����
EA� -%�� -%��
3A� �%�� �%��
��� ���� ����� ���� �����
��� ���� ����
�%� �%�� �%��
��% ����� �����
A[� ��� ���
&6& ��� �%�� ��� �%��
0"&4" %���� %����
&�= ��� ��� ��� ���
�E= ���� ����
A�= ���� ����
&�����
�� ������ *������
/&� �(����
E�� �(���-
**0 �(���-
��B �����
3"& �����
0"& �����
6(* �����
6*% �(��-
6&4 �����
�&4 �����
*-� �����
0"� �����
"���� ���! ]����� �2������� 7�������8 ��� ������� ����������
<��� � �� �� �= -( 1���=
�� �2��� ���! �% ��)�! ��
���� � �2���! �% ����! ��
��� � �����! �� ���! �
�����! � �$��! �
<��� � �� ������� �= (� �!������= -���\
����� �� �������! %�� #��! %��(�\ �� ����� �� ���
"���� ���! ���� �� � ����� ���������� ������ ���������� � � ������� �$�����9
������ �� [.63��
<�� ����� ;! �� � �
" � ���$ A �� � ��������� ��� �� � ������� ������ ������� ���,� �� 116 �)�
��� 174 �������� "� � ��' � ���������� ��� � �����9 �� � �� ���� ��� ��
� ������ ��� � �������� ,����� )�� ���,�� )� *���$ ��� � ����� �������
(�
�� 3����� &� ���)��� ���,�� � ������ )� �� ��� ��������
" � �������� ����� �� ���$ A �� 6.148599 ∗ 1059 ��� �� � ���� ��' �� 116� "� � �
���� �����9 � rref ������� �� 3���� )�� ����9 ) �� ��������� � ������ �) �� ����
��� �� � �,�� ���$9 ��� �,�� ���' � ������� �� � �������� ����� �� )���� ?� �
������ �������9 �� ������� ����� � ����� �� ) �� � rank ������� ����� �
��' �� 1159 ��� �� �������� ����� )�� 8.084732 ∗ 1018� "� �,����� �� ������9 )�
��� � ������� � �� ���� ������� ,������� �������� � � ������ ) ��� ��������
� � � ��������� ���� "� �� ��9 )� ������ �,���� � ��� �� ������� �� ���$ A9
�� � ������� ������� ������ � �� ����� ��� ���� ��9 � ����� ����� ��
rref �� ���� ��' )� � �������� ����� �� U����V 3.414651 ∗ 1012� �� �� ���� 2���
� 9 ���� ��� �� �����9 � �� �� � �� �� �������� ������� �� ��������� �
QR ������������� �� � ������ ����� ���� � 3&4 ������$ �� �� �� 3���,�9 ��
����� ���� �� ���� ������ ,������� �� �9 �� ��,�� �� � ������� ������ �������
������$ ����� �� �� �� ������� �� ���,�� �� � ����� ������� ��� �� ��,���9 ����
����������� � ���� ε ,�����9 ���� � ���������� ����� ��� ��)��� ��� ��� ������� " ��
������������ ���� 4 ��S��� ε ,�����! εrow ��� εcolumn �� ,����� �� � ��,� ������9
εRHS �� � �������� � # ��� ����9 ��� εratio ���� � �������� ) �� )� ��� ��
�� ��������� � ����� " � ������� �� ��)��� ��� ,����� )�� εrow � εcolumn9 εRHS �εratio9 )� εcolumn >> εRHS� 6� ��� �$�������9 �� ����� εrow ��� εcolumn ,����� ����
��� � ��� ����� ����9 �������� �,�� � ������ ��
" � ���������� ���� �� � 3&4 ������$ �� �� � �� � '��� � �������� ,�������
��������� "� �� ��9 � ����� ��� �� )�� ����� ������� � �� �$�������9 � �� ��
� ������� ������ ,����� ���� � �������� ε ,���� �� ��� ������ 7�� ������,� � �
� ���� �� ε8� "� �������� � �� �� �9 � �� ���� ��� )�� ����9 ��� ���� � ,������ ������
�� � �� � �,�� −ε ,����9 � )�� ��)��� ��������� �� ����� ��,�9 � ������ �� ,����
������� � � �,�� ε ,�����
" � ��$ ��,�� ,������ )�� ��)��� ������� � �� � ��� ���������� ���� " �� ��� �
�� � ����� �� � ��������� ����� ��� �� 1���� �� ����� �� ����� ��������
����� ��� � ��� ��� � ��� �� � ���� � � ������� ������ �� ��� �� ��� � �� � ���� � ��� ��������
����� �� � �������� � ��� � ����������� � ���� ��� ����� ������� �� � ����������� � ����������� �������� ��� ������� ����� �������� �� ��� � ������ �������������� ���� ���� � �������
������� ��������� �� ���� �������� �������� �� ��� ������� ����� �� � ������� ����� �������� ��������
���������� ����� �������� ��������� �������� ���� ���� ������� ����� �� ������� � � ������� !"#�$������ ��� ��� � ����� ������� � ����
(�
" � 3&4 ������$ �� �� � ���,�� � ������ �� 165
�������� 6 ��� �� ����9 � ) �� �� ,���� ��
������� � � �� � ��� ������ ����� �� � ����#
����� ������$ �� �� ��� � 3&4 ������$ �� �� ��
����� �� ����� �������9 � 116 ��,� ��������
���� �� � rref ������� � ���� ���� �� ����� 7����
� �������� �� � �� �����8�0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Iteration number
Num
ber
of n
egat
ive
varia
bles
����� �� ���������� ,��������
#"1 ����'�
?� �,� ������� � ���� 3&4 ��� ������$ �� �� � �� ����� ���������� �������9
�� )��� � �������� ��� �� s#������� ��,� ���� Q��R� � ��) �����,� ���#�� ������
������� Q��R �� ���� �������� ��� ���������� � )��'� ������ �� �� ������ ��
���� ������� &���� �� � ��������� � � ������ �� �� ��� �� �� �����9 )�
�,� � �)� � � �� �� � ���,�� � ���������� ������ �� � ��� mK ��,� ����9
) �� K �� � ������ �������� �� � ���� ��� �� � ������ ��� m �� � ����� ��
�������� Q��R� " � ������ K ����� �� ������� �� ����� �� � ���������� �� � ��
��� �� � ���� ���� ������ ������$�� �������� ��� �� ���� �� � �� � ��� �� �
����� ������$ �� �� �9 ��� � �� ���� 3&4 ������$ �� �� � ���� � ���������
� � ������$ ,����� �� �� ��� �� �� �����9 �� )��� �� � �)� �� * ��� �� " �
������� ��)9 �����,� ���#�� ������ ������� ���� � ������� �� � ����� �� ��
3&4 ��� ������$ �� �� �Y �����9 � �� �� ������ ���������� � � ������$ �� ��!
�� � ����� ������$ �� ��9 � � # ��� ���� �� ��)��� ����� ��,�9 ) ��� � �������
���#�� ������ ������� ���� � �� ��,�� �� � ��,�� ,������ ) �� ����� ��� �
�������� ����#���� ��������
" � �����,� ���#�� ������ ��� ��S�� ��� � ���������9 )���#'��)� �� ��� �� �
������� " � ������$�� �������� �� � �� �� � )�'� �� )��'�� �� ����� ��,�
��2������� 6 )���� �� ������� � ��� � �������� � ��'�� � ������ ����� ��#
��� ��� �� )��� ��� � ������� ������$�� ��������� ?� �,� � �)� � ����������9
� ��������� �������� �� ��� ��'� � ε#�������� Q(�R �������� )���� � ������$#
�� ����� ��������
"� �������� � �� �� �9 �� )��� �� � ����� ���� ����� �������� �$������9 �
������� ������ �� � ������� ������ �� ���� ���������� 6 �� � �)�9 � � ������
������������ �� � 3&4 ������$ �� �� � �� ������� �� ���,�� ����� �������� �� �
�������
(%
� ���� �
����� ����������
6� �� � ���9 )� �$��� �� ���� � ����� �� ����� �������� " � ����� ��#
����� ������ 7�.8 ������� �� � ����������� � ��$�������� �� � ����� ��H���,�
������� �,� � �������� �� �� � ���������� ������� " � ������ ��� �� �� �. ��
min cTx
Ax = b 7���8
x ≥ 0
) �� A ∈ Rm×n, c ∈ Rn ��� b ∈ Rm�
" � ����� �� ����� ������ �� � ��� )����� ������ ��� ������� ��� �� �����
����������� " � ��� �,�� �� ��� �� � ��� �������� �� ���� ��������� �� �
�� �� �� ������� �� � � ���� :�)�,�9 �� ������9 �. ��� �� ������� �� � ���
����� ���9 �������� ��)� ��� ���� ������ �� �� � ,������� ��� �� � ���������
6� ���� �� � ��,��� '��)� ��,� �� �� �� ��� �� ,����� ��,������ �� ���,��
� ����� �� ����� ������9 � ,�� ����� �� �������� �$������� ��� ���#����
�� � ������$ �� ��� ��'� � ������$ �� �� � � ��� �������,� ������� � ����
�� ��,� �� �� ���
6� �� � ���9 )� ������� � ����� ������$ �� �� ��� � �� ���� ��������
�����#�� ������$ �� �� � �� ������ � ��� "���'� Q�R� " � �������� �� �� �� �� ��
�� ������� ���� � ��) ������ �� s#������� ��,� �����
" � ��H���,� ������� �� ���� � ���� �� � ��) ,������ ��� ������� �� ���
z = cTx
)� ,������ z9 � �� ��)��� �� � ������ 1�� � �� ��������� �� � �. ������9 �
� � ������ " ���� ����� ��� �� ��������� �� � ��� ��)�� )�� � ����� �� ��#
��� ������� ��� � � �) �� � ��H���,� ��������
((
A���9 � ,����� �� � �������� ��H���,� ������� 7���� � z �) �� � ��,�
������8 �� ����� � �� ������ ������ � ������� �����
%"! ��'���� ������ �$ ����' ��'�����
0,�� ����� �� �� �� ��� 7���8 �� �� ���� ���9 ������ ��
maxyTb 7���8
ATy ≤ c.
�� �� ������� � �� ������ ��� �� �������� �� ��� � ���� �������� �� ��
P = {x | Ax = b, x ≥ 0},D = {ATy ≤ c}.
" � �� �� ������ �������� �� ������ ��
P∗ = {x∗ ∈ P, cTx∗ ≤ cTx ∀ x ∈ P},D∗ = {y∗ ∈ D, y∗Tb ≥ yTb ∀ y ∈ D}.
� ������� �� � ���� ������ ��� ��,� �� � ������� � � ����� ������ ��
�������9 ) ��� �� ������ ������� �� � ���� ������ �� � ������� � � �����
������ ���� �� �� ������ ��������
�� �� � )$%$% 6> �9 ������7 ��� �� �������� ������� x ∈ P ��� ���� �������� �������
y ∈ DcTx ≥ yTb
�����! ��� ��� �0���� �� ��� ��� �� �� �� ������ �������� �������� �� �����������
����'���� �����.
x · s = 0, ����� s = c − ATy ≥ 0.
4����$
yTb = yT Ax ≤ cTx,
����� x ≥ 0 ��� ATy ≤ c� "� ��,� � �������� ��������9 ����,� �
cTx − yTb = cTx − xT ATy = cTx − yAx =(cT − yA
)x = sTx.
�
��������9 � ����� ������� �� � )��' ������ ���� �� ���� �� � ���� �0������
��� ����� �
(�
�� �� � )$%$' 6> �9 2���������7 �� � �������� ������� x ∈ P ��� � ���� ��������
������� y ∈ D �� ���� �� cTx = yTb! ��� x ∈ P∗ ��� x ∈ D∗"
" � ��� ������ ���� ��,���� � � ���������� �� ������ �������� �� � ���#
�� �� ����� ������ �� � ��)���� ��� ���� �$������ �� �� �� �� �� �� � �����
��������
�� �� � )$%$) 6����� ������7 ��� �� ��� ������� ������ ������ ��� ��� ! � ����
��� �� �� ��������� �����"
(" P = ∅.
)" D = ∅.
1" �� P = ∅ ��� D = ∅ ��� P∗ = ∅ ��� D∗ = ∅! ��� ��� �� ���� x∗ ∈ P∗ ��� y∗ ∈ D∗
cTx∗ = y∗Tb"
#����� 81"(9 ��� �� ��� �� ������� �� ��� ��� �� #����� 81")9 ���" �� ���� �����!
�� ��� �� ��A����� ������� ������ ��� �0���"
4����$ " � ���� �� ����� �� � �������� �� � ������$ �� �� �9 �� )��� �� ��������
�� " ���� ������ �
" � �������� ������ ����� �� ��������� �� "���� ����
.���� ������
������ ��������� ����������
������ � × ×1��� ������ ��������� × × �
���������� × � �
"���� ���! " � �������� ����� ���� ������� ���� �����9 ) �� � ������ � ��������
������
/����������9 � ������ ���� ���� � � ������� �� � ��H���,� �������
�2���� � ����� ���� ����� ��������� ��� � ������ ��������� " �� ��� ����#
������ �� )��� �������� �� � �����)�� 9 �2��,���� ��� �� ����� �� ����� �������
�� +� �� ����
(�
max cTx
Ax ≤ b
minyTb
yT A = c
y ≥ 0
+� �� ���! � ���������� �������,� �����#���� �. ����
%$&$& (�� �2��������� � ��� ����� ����,���� ��,��� '��� ���
����� ��������� ��,��� ���
6 �� )� �������� � ��� ����� �� ����� ������ ��� �� �������� � ��
�2��,���� ���������� ������ )� � ��� �� � ������ �����
6 �� ���� � ��� � �� � ��� ������ ����9 ����� �� ������ ������� �� ��
.������ 7���8 ��� 7���8 �� �2��,���� )� � ������� �� � �����)�� ������
Ax = b, x ≥ 0,
ATy + s = c, s ≥ 0,
cTx − bTy = 0.
" �� )���#'��)� ���� �� ���� ���� � ���,� ����� �� ����� ������� � �2��,#
���� ����� ���������� �������� 6 �� ������ � ��� �)�,�9 � �� �2��,������ ��
������� ��� ������� 2��� ���������� 6� ������9 � �� ������� ��� �5���� � ��������
� �� �� �� �� ��� � )�� � � � ���� �� ���� � ����� ��� ������ �$���� �� �
���� ��� �� � ����� �� � ����������� Q%�R�
%"# ��� �����, ������
6� �� ������9 )� ������� � ������ ������$ �� �� �� 1���� Q��R�
� ������� ����� �� � ������$ �� �� � �� � � �2���� � �������� ����� � ��
���� " ��9 � �� �� � �� ����������� ��,���� ��� )� � ����� 6� � �� � ���9 ����
�� �������� �� ��2�� ������� �� ��������� �����9 � �������� ����� �� ��������� 6� �
������ � ���9 ) ��� ������ ���� �������� ��������9 � ��H���,� ������� �� ���������
" � ������$ �� �� � ���� �� � ������� ������ 6� � ����� ��2����� ������
�� � �� �� � �� ����� ����� ����� 7)��' �� ������ �� ��5����89 �� �� � ��
� ���9 �� ��� ������9 � ��� �� �������������� �� ��������9 ) ��� �� � ������ � ���9
� ,���� �� � ��H���,� ������� �� ��������� ?� ��� ���� ���9 � ���� � ����������
(-
�� � ������ ����� ������� �� � ���� �� � ��� �� � �� ��9 ����� �� � ��
� ��� � ������ �� ������������9 ) ��� �� � ������ � ��� � �������� ������� �� �,������� ��
� �� �� � �� ������� �� ��� ������
" � ������#���� �� � �� �� � �� ������� �� +� �� ���9 ) ��� � ;�) � � �� �
�� �� � �� � �)� �� +� �� ����
%�� ���� ����� � ����� ���� s�������� ��&�� ����
������ A ∈ Rm×n,b ∈ Rm, c ∈ Rn � �������� ����� B�
������� .� ��� �� ������� �� � ���� �� �� �� ������ �� ��������
�� ��
I−N := {i ∈ IN |ci < 0}.���� I−
N = ∅ ��
�� q ∈ {i ∈ I−N |ci < 0} �� �������� !�� ��� �� ���� ����� � s�
�� tq ≤ 0 ����
$��� ������ �� �������� ���� �� �� tq�
���
�� ϑ := min{
bitiq
: i ∈ IB, tiq > 0}
�� �� ���� �� �� ��� �� ���� ���
�� p ∈ IB ��������� � � ��bp
tpq= ϑ ��� !�� ��� �� ���� ����� � s�
�����
���� �� (p, q)�
�������
"�� ������ �� ��� ���
����
+� �� ���! " � ����� ������$ �� �� � )� s#������� ��,� �����
A�� �� � ��� � �������� ������ �� � ������$ �� �� � �� � �� ������ ���� ��
) �� ������ � � ��$ ����� ������ ���������
4��!������ )$'$% B���� � �������� ������ �����! �� ��� �� �� ���' ������� ��������
� �������� ����� ��0�����"
4����$ " � ���� �� �� ��������� �� � �������� ����� �� � ��2����� �� �,��9 ��� �� �
��$ ������� �� � ��,� �� �,�� �� (p, q)� " � ��������� �� ��� ��)�� �� ����$ p9
�� �� �� ����$ i = p �� �,��� " � ��) � # ��� ���� b′ �� �������� ��
b′i = bi − bp +tiqtpq
.
��
.����� �� ���������9
��
ϑ := min{
bi
tiq: i ∈ IB, tiq > 0
}tq ≤ 0
q ∈ {i ∈ I−N |ci < 0}
������� �� tq�
p ∈ IB
.�,� �� (p, q)�
! bp
tpq= ϑ
����!�"�E"
�"A.
��
I−N = ∅
" � ��������� �������
����
�"A.
���
���
+� �� ���! +��) � � �� � ����� ������$ �� �� � )� s#������� ��,� �����
6� tiq = 0 �� b′i = bi ≥ 09 ) ��� � �)���
b′i = tiq
(bi
tiq− bp
tpq
)≥ 0,
������� �� � ��� �� �������� p� �
��� � �� � ����� ����� ����� ����9 �������� ���������� �����)� ��� � ���
� ��� ����� ����� ��,� ����� ����,�� � ��H���,� ������� ,�����
%$!$& 3��������� � ��� ������+ ��������
" � ���� �� �������� �� � �� �� � �� ����� �� ����������� ����� � ����� �� �����
�� ����9 � �� �� � ����� � ������ �� ��� ���� �� � ,���� ���� ����� �������� ����
����� �� �� ������� ��� � ������� �$������ &������ �� ��������� ��� � ��,� ���
�� � �� �� �9 �� ��� �� �$����� ��� ,������ ��,�� �������� ���� �����
+��9 )� ��,� � �� ��� �� �$����� ��� ,������ �� � � ��� ��,�� �� �,�� ��������
������
� ��� )$'$% � ��� �� ������ �'� ��� ��� � ������ 5��� ��������� ����"
4����$ A���,� � � ��,� �� � ����� ����� ����� ,������ )���� ������� � ��H���,�
�������� ����� � ��,� �� � ����� ����� �) �����@ ��'� � �) �� ����� ��� � ��,�
�� � �� ����� �) �����@ � �� � � � # ��� ����9 � � # ��� ���� ,��� ���
�2��� ������ ���9 � � �)��� � ��H���,� ������� )���� �,� � ������� ��������
���� ����9 ��������� � � ����� �� �������� ����� �� ����� �
��
� ������ ��� � # ��� ���� ,��� ���� ��������� � ��� ��9 ����� ��� ���
�� � ����� " �� )�� � � ���� �� � ���,�� ,������ �� ��� ������ � � ����$ ��������
����
*������ ��) � ������� �������� �� � ������ ������ �� s#����������� *������
����� B′ �� � ������� ������ �$�����9 ) �� � ,������ xl )� � ��)�� s ,���� ����
� ������ ������� � � ������ �������� ��� �� � ������$ �� �� �9 � ��H���,�
������� �) �� � ��,� ������ �� ����� B′ �� � �� ��,� ��� �� � �������� ,������
xl ��� ����� ��,� ����� �� ��� � � �������� ,��������
6� � ������� ������ �$�����9 ����� �,�� ,������ ��,�� �������� ���� ����9 ,������
xl ��� ���,� � ������ *������ ����� B′′ ) �� xl ���,�� � ����� �� � �� ��� ���
B′� &� ����� �����9 � � ���� �� � ���,�� ,������ �� ������� ��� ��� ����� ,�������
� �,� � �����,� ,���� �� � ������ �� � ���,�� ,������ ��� �,� � ��$���� ,����
������� � ,��� s�
" � ��,� ������$ 7 � �� ������ ����� ������ ��,� ������$8 �� ����� B′ ��� B′′ ��
������� �� +� �� ����
xl
+ 0
0���
0
0���
0
− ⊕ . . . ⊕xl ���� � ����� �� ����� B′�
xk
xl + 0
K
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩+���
+
0���
0
L
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩����
�
0���
0
−xl ���,�� � ����� B′′�
+� �� ���! ����� ������ ��,� ������$ �� � ������$ �� �� ��
?� �� ���� � ��,� � �������� �� � ������$ �� �� � )� s#������� ����$
�������� �����
�� �� � )$'$% ��� �� ���' ������� ��� s� ������ ����' �������� ���� �� &���"
4����$ �� �� ������ � �����9 ��� ������� � ������� ������ �$�����9 )� �����
,������ xl �� ����� B′ �������� �� � ������ ������9 ��� ����� B′′ )� ����� ,������
��
xk9 ) �� ,������ xl ���,�� � ����� �� � �� ��� ��� B′9 �� �������� �� � ��
������ �� s#������� ����$ �������� �����
*������ ,��� t′(c) �� ����� B′ ��� ,��� t′′k �� ����� B′′� ��
K = {i ∈ IB′′ | t′′ik > 0} \ {l}9 ��� L = {j ∈ IB′′ | t′′jk ≤ 0}.
" ��
t(c)′T t′′k =∑i∈K
t′cit′′ik +
∑j∈L
t′cjt′′jk + t′clt
′′lk ≤ t′clt
′′lk,
���� � t′cj ≥ 0 ��� t′′jk ≤ 0 �� ��� j ∈ L9 ��� t′ci = 0 �� ��� i ∈ K ������� �� � ��
������9 � ,����� �� s ��� ���� �������9 ��� ��� ,������� � �,� ��,�� ����� �����
B′ �,� � ��� ,���� �� s �� ,������ xl� &� � �� ������ �� s#������� ����$
�������� ����9 ��� ,������� �,� �� ��,�� ����� ����� B′9 �� �,� � ���������� ���
,���� �� t′(c)� ����� t′cl < 0 ��� t′′lk > 09 )� �,� t(c)′T t′′k < 09 ��������� � � � ������
����� �
# ���9 )$'$% 3� ���� �� ��������� ������ &������� ��� �� ����' �������� ����� ��7!
$��� ��� ��%<"
# ���9 )$'$' %���� �� �� ��� �� ������ �� ��A����� ������� ��� �� �� ���� ������
���� ��&��� �� ��� �� ���� �������! �� ���� ���� �� ����� �� ����� �� �� ����� ������
1"("1"
%$!$! 3������ � ����,�� ,���� � ��� ������+ ��������
" � ����������� �� � �������� ���� ����� �� ������� ���� )� � ��� �� �� ��������
�� ��2��� �� � ��������� ��� 7���8 �� �,��9 ��� ������ � b ≥ 0� " � ���������
�� b ��� �� ������ �� ������ ������������� *������ � �����)�� �������� ������9
) �� 1 = (1, . . . , 1) �� �� ���� ����������
max(1T A)x
Ax + u∗ = b 7���8
(x,u) ≥ 0.
+� �� ������9 B = I �� � �������� �����9 ����� b �� ����� ��,��
�� �� � )$'$' ��� ������ ������ ��� ������ 81"(9 ��� � �������� ������� �� ��� ���
�� �� �'����� ��� �� ����� ��� �� � ������ ������ ������ ��� ������ 81"19 �0���� 1Tb"
��
4����$ 6 �� ���� � ��� � .����� ��� �� �������9 ����� Ax + u∗ = b ������ Ax ≤ b
���� � ����� ��,�� �� u∗9 ��� �� (1T A)x ≤ 1Tb� " �����9 .����� ��� ��)��� ��
�� ������ �������� +� ����9 ��� �������� ������� � 7���8 ��������� � � ������� ��
7���8 7��� ,��� ,���8 )� u∗ = 09 ��� �� ��H���,� ������� ,���� �� 1Tb� �
���9 � �� �� � )���� �� ��� ��)�� � �������� � ��� �� � �� ������
������� ,������� u∗� � ��)���' �� �� ������ )���� �� � � ���������� ������
)�����@ �,����� ������� �� ������ �������� �����9 ����� � �) �� � ��H���,� �������
)���� �� � �� �������� ��� ��� � ����������9 ��� �� ���' � ��H���,�
������� −1T A9 ) �� �� � ��$�������� �2��,���� �� 1T A�
�;��!� )$'$% $� �� �������� �� ��������� ������ "
min−x1 − 3x2 + x3
2x1 + 2x3 ≤ 110
−2x1 + 2x2 = 80
x2 + 2x3 ≥ 40
x1, x2, x3 ≥ 0
%���� �� ������ ��� �� ������ �������� ������ �����! �� ���� � �������� ���&���� �����
���������! ��� �� �������� ��A����� �������" ����� ��� �� ������� ����� ���������
8u1, u29 ��� �� ���&���� ����� ��������� 8v∗1, v
∗29 ���������"
( min−x1 − 3x2 + x3 )
max−x1 − 2x2 − 2x3 + u2
2x1 + 2x3 + u1 = 110
−2x1 + 2x2 + v∗1 = 80
x2 + 2x3 − u2 + v∗2 = 40
x1, x2, x3, u1, u2, v∗1, v
∗2 ≥ 0
�� ��� ������� �� ������ ! �� ���� �� �� ��������� 8u1, v∗1, v
∗29 ��� � ������ �������� �����"
��� ���� ���� ������ �� �� ������ �� ����� �� ������� (" 3� ����� �� ������ ���
�� �� ���' ���� ����� �� ��7 ����' �������� ����" ��� ��� �� �� �������� ��A�����
������� �� ������ � z! ����� �� ��� �� �� ���&���� ��A����� ������� ��� z∗" 3���� ��
���&���� ��A����� ������� �� �� ����� ���! �� �������� �� ����� �� ���" �� �� ��� �� ��
�������� ��A����� �������! �� �� ���� � �� �� ��������� ���� ����� ���� �� �� ������� ��
�� ����� �� �� ��A����� ������� ��� �� ������ ����� �������" ��� �� ���&���� ��A�����
�����! ��� ����� �� ������ �������5�� �� −1Tb=! ����� b= ������ �� ��� �� �� ���������
���� ����� �� ������� � ���� �� ����� �� ���&���� ����� �������� ��� ���������" ����!
��� ����� ������ �� �� ����������� ������ ��� �� ������ ����� �������"
��
x1 x2 x3 u2
u1 ) : ) : ((:
v∗1 �) � : : C:
v∗2 ( : ) �( 2:
z �( �1 ( : :
z∗ ( �) �) ( �():
������� ("
x1 v∗1 x3 u2
u1 ) : ) : ((:
x2 �( :"; : : 2:
v∗2 � : ) �( 2:
z �2 ("; ( : ():
z∗ �( ( �) ( �2:
������� )"
6 �������� �� ���� ���� �� ��������� � �� ��7 ����' �������� ���� ��� �� ����
��� � �� ���� �� 8����� �� ���0�� �� ��� ������ 9 �� �� ����� ��� ���&���� ���������
����� �� �����! ��� �� ���� ������ �� ��� �� �� ������ � �� ���&���� ��A����� �������"
%���� �� ��� �� ���&���� ��A����� ����� �0���� �� ��0����� 120! �� ������� ��� ���
�����&�� � �������� ������� �� �� ������ "
v∗2 v∗
1 x3 u2
u1 �) : �) ) 1:
x2 ( :"; ) �( C:
x1 ( : ) �( 2:
z 2 ("; D �2 )C:
z∗ ( ( : : :
������� 1"
x3 u2
u1 �) ) 1:
x2 ) �( C:
x1 ) �( 2:
z D �2 )C:
������� 2"
� �� ��������� � ����� �� ���� �� �� �� ���&���� ��������� ��� �� ��� �� �� ���&����
��A����� �������! ����� ���� �� ���� ��� �� ������ ����" ��� ������� �� �������� ���
������� 2" ��� �� �� � ������� "
x3 u2
u1 �) � 1:
x2 ) �( C:
x1 ) �( 2:
z D �2 )C:
������� ;"
x3 u1
u2 �( :"; (;
x2 ( :"; D;
x1 ( :"; ;;
z ; ) 12:
������� ="
������� =" �� ��� ��" ��� ����� ��� �� ������� �� x = (55, 95, 0)"
%$!$% *�����+�� ,���� ���� ��� '��� �������� ����������
?� � �) � � ��) ������$�� ����� ������� �� * ��� � ��� ������ �� ���������
�� � ������$ �� ���
�%
+�� ����,� � �� )��'�� �� ����� ������$9 � ��� �� ������ � ����� �����
��,� �)� " ��9 � ������ � �� � �� � ��H���,� ������� ,���� 7���� � �� ��,� �� �
� #���� ���� �� � ��,� ������8 �� �,�� ��
|znew − zold| = cqbp
tpg
, 7���8
) �� tpg > 0 �� � ��,� ������9 cq > 0 �� � ������ ��� �� � ������� ,������ � ���
� ����� ��� bp > 0 �� � � # ��� ���� �� � �) �� � ,������ ���,�� � ������
" � ������� �� � ������� �� � ��H���,� ������� ����������� ������ � �����
�� � �� � ��� �� � �� �� �9 ) �� � ,���� �� � ��H���,� ������� �� �������
�� ��� ����) 708 ��� ���,� (1Tb=)� +� � ������ � ��� �� � �� �� �9 �� ����
����� �� � ��H���,� ������� �� ��������� " �� ��� �� ������ ����� ����� �� )�� ��
� ���� �� ∆max9 ��� ����,�� � � ������ ��� �� � � � ��,� ������ ������ ��
c = cN − cBB−1N ) �� �� � ������� �� Bx = c9 ) ��
B =
[B 0
cB 1
], )� � ��,��� ��
[B−1 0
−cTBB−1 1
].
%"% ��� ��������� �����+� �����, ������ $� ����'
��'����� ������
" � �������� �����#�� ������$ �� �� � )�� �������� �� Q�R� 6� * ��� �9 )� �,�
������� �� ������������ � ���������� ������� ��� ��,�� �� �������� )� s#�������
����$ �������� ����9 �� )��� �� )� � ��)9 �����,� �������� 6� �� ������9 )� �����
� �� ���� �� �� � �� ����� �� ����� ������� ��� ��,� �� �������� )� s#
������� ����$ �������� �����
" � �������� �����#�� ������$ �� �� � ��� ��� � �������� ����� ��� ��� � �����#
����� �� � ���� ,������� ��� �� ���9 ) ��� ��������� � ���������� �� � ������ ��������
���� ,�������� �� �� ����� ���������� ��� �� ,������ �� ���� ����� ������ �� �
�� �� �9 ����� ���������� �� ��)��� ����� ) �� � ������� ��,�� ,������ �������
���������
" �� �� �� � ���� �2���� � �������� ����� � �� ���� "� �� ��,� ��� � �����9 � ��
� ��� ��� �� �������� �������� �� )�� �� � ������$ �� ��9 � � ���������� ,�����
�� 3&4 ������� �� * ��� � ��� �� �����
" � ������ ���� �� � �� �� � �� ������� �� +� �� ��%9 ) ��� � ;�) � � ��
� �)� �� +� �� ��(�
�(
%�� ��� ����� � ����� ���� s�������� ��&�� ����
������ A ∈ Rm×n,b ∈ Rm, c ∈ Rn � �������� ����� B�
������� .� ��� �� ������� �� � ���� �� �� �� ������ �� ��������
�� ��
I−N := {i ∈ IN |ci < 0}����� I−
N = ∅ ���� �� ������� �������� s ∈ {i ∈ IN |ci < 0} �� ���������
���� cs < 0 ��
�� Ks = {i ∈ IB|tis > 0}.�� Ks = ∅ ���� $��� ������ �� �������� ���� �� �� ts�
���
�� ϑ �) min{
bitis|i ∈ Ks
}�� ���� �� �� ��� �� ���� ���
�� r ∈ Ks �������� � � �� brtrs
= ϑ ��� !�� ��� �� ���� ����� � s�
�� θ1 := |cs|trs
� ��� �� J = {i ∈ IN |ci ≥ 0, tri < 0}��� J = ∅ ����
θ2 := ∞�
���
θ2 := min{
ci|tri| |i ∈ J
}�� ���� �� �� ��� ���� ���
�� q ∈ J �������� � � �� θ2 = cq
|trs| ��� !�� ��� �� ���� ����� � s�
�����
�� θ1 ≤ θ2 ����
���� �� (r, s)� �������� �������
���
���� �� (r, q)� ������ �������
�����
�����
�������
�������
"�� ������ �� ��� ���
���
+� �� ��%! " � 3&4 ������$ �� �� � )� s#������� ��,� �����
��
+s
nos
no
−
−
s
−
−
yes+
−
yes
Problem is unbounded.
−−
�"A.
���
��
��#
�
.�,� �� (r, s)
^ −
#
2
.�,� �� (r, q)
s ∈ {i ∈ IN |ci < 0}
Ks = {i ∈ IB|tis > 0}
Ks = ∅
J = ∅ θ2 := ∞
θ2 := ci
|tri|
θ1 ≤ θ2
J = {i ∈ IN |ci ≥ 0, tri < 0}
���
����!
cs < 0
���
θ1 := |cs|trs
r ∈ Ks
����
q ∈ J
^
^
�
���
�
���
���
�������
��
" � ������� �� �������
⊕
�"�E"
I−N = ∅
���
�"A.
⊕ ⊕. . .⊕
� ⊕⊕
+� �� ��(! +��) � � �� � 3&4 ������$ �� �� � )� s#������� ��,� �����
"� ������� � �������� �� � �� �� �9 )� ���� � '�� ����� ��,�� �� Q�R�
?� )��� ���� � ��,� �� � ������ �� � ��,�� ,������ � ������� ����9 ) ��� ��� � �
��,� �� ��'����� �����
�� �� � )$)$% 6?*@7 �������� �� ���� ��0����� �������� � �� �6, ������� ������
�������� � �� ������ �������� ����� ��� �� ������ �� � ������� �������� xs" ���� ���������
�� ��'����� ����! �� ��' ����� �������� � �� ������� ��� �� ��������� ���������.
(" cs < 0!
)" �� bi < 0! ��� tis < 0!
1" max{
bi
tis| bi < 0
}≤ min
{bi
tis| tis > 0
}"
��
# ���9 )$)$% ��� ����� �� ������ 1"1"( ���� �� �������� 3 ����� ����� ��� ��
��0����� �� ��'����� ����� �������� � �� ������� "
# ���9 )$)$' �������� ) �� ������ 1"1"( ������� �� �� ������ �� ����� ���������
�������� �� ������� ���� � �! ���� �� �� ������ ����� �� ����������"
&���� �� � ���,� ���� ����9 )� ��� ��� � � 3&4 �� �� � �� )���#�������
�� �� � )$)$' 6?*@7 3������� �� �6, ������� ������ � � ������� ����! �� ��' �����
�� ��������"
��� � �� � ������ �� �� ����� ��� ���� ����� �����9 �� �������� �� ������
�� � ��� � �������� � � ������$ �� ��9 � ��H���,� ������� ����� �������� ��
��� ������ Q�R� :�)�,�9 )��' ����� ����� ������ �� �� ��5���� �� �������� �� ��
�����
%$%$& 3��������� � ��� ��4 ������+ ��������
6� � �� ���� ���� Q�R9 ��$��� �� � )�� ���� � ����� ��������� 6� �� ������9 )� ��,�
� � �� �� � �� ���� ) ���,� s#������� ��,� ���� �� �������� +��9 )� ���� �
�$����� ���� �� � ������� �� � �� �� ��
� ��� )$)$% �� ���� ��� �� � ���� ������������ ���� � ��������� �� ����� �� ��
������� ��������"
4����$ � ��,�� ��,� ��'�� � ���� ���������� ��,�� ,������ ���� ��������9 ) ��� ��
��$����� ��,� �������� � ,���� �� � ��,�� ,������ )� �� ��'�� � ����� ��,��
�
" � ��$ ����� ���� � �� � ������� ����� �� � 3&4 �� �� ��
� ��� )$)$' �� �� ��0����� �� ��'����� ����� �������� � �� ������� ��� �������
�������� xr! �� ����� max{
bi
tis| bi < 0
}����� ���������"
4����$ &� E���' ����� � �� �������� �� " ���� ����� ���� �
max
{bi
tis| bi < 0
}≤ min
{bi
tis| tis > 0
}7��%8
��)��� ����� A���,�9 � �� � ����� ��� �� ����� �� �� � �� �� �9 �� ��
��$����� ��,� ���� �� ������� (r, q)9 � ������� ��� �� min{
bi
tis| tis > 0
}�� ��������
����� � ��$����� ��,� �� ����� �� �� � �� ��,� ��,� ������9 � ��) � # ��� ����
�-
,���� �� ����$ r ������� �� ��,�9 ) ��� � ��� �� � � # ��� ���� ��� � ��,�
������ ����� � ����9 �� �� � ��$ ������ �� ��� ����� �� � ���# ��� ���� ��
��%� �
&���� �$������ � �������� ������ �$�����9 )� ���� � �� �����#��� ������ " ��
����� �� ��)9 ��� ����� � ���������� ��� �� � ���� �� �������� )� s#������� ��,�
�����
� ��� )$)$) $� a, b, Θ ∈ R ���� �� b = 0 ��� ab
= Θ" $� c, d, λ ∈ R ���� �� d ·λ = 0
��� b + λd = 0" ���� �� a+λcb+λd
= Θ! ��� cd
= Θ"
4����$
a + λc
b + λd= Θ
a + λc = Θ(b + λd)
Θ + λc
b= Θ
(1 + λ
d
b
)c
b= Θ
d
bc
d= Θ.
�
?� �� ���� � ��,� � � 3&4 ������$ �� �� � )� s#������� ��,� ���� ��
����� A� ���� �� ����� �� ����������� �� �� ������� � ������� �$�����9 �� ) �� �
�� �� � �� �� ����� �� �����9 ����� � ����� �� �������� ����� �� ����9 � �� �� �
��� ,��� � ���� ����� �������� ���� ����� 6 �� ����9 � ������� �� ���������9 ��
��� �� �$����� ��� ,������ ��,�� �������� ���� ����9 )� � �������� �$������ ��
��� ��� �� ,������9 ) �� ��� ����� �� ���������� ��,�� ,������ �� �� � ) ���
������
� ��� )$)$* ��� � ��� �� ������ �'� ���! �� ��������� ��������� ����.
(" �� ����� �������� � �� ������� �� ���� ��������� ��� ��� ��������� �'��� ���
������ ��������" ���� �������� �� ���� �� �� � �������� �� ������� ��� �����
����� �� �����"
)" ��� �������� ���� ��&���� �� � ��! �'��� ���! ����� ����� ����� �� �����"
1" �� ������� ���� �� ���"
��
2" ��� ��� �� ���� �� ����� ����� �� �� � �����" ������ ���! �� �� ����� ��������
� �� ������� ! ��� �� ���� � r �� �� ������� ��������! �� ���� bi
tir�� �� �� � ���
��� i! ����� tir = 0"
4����$ &� ����� �����9 � ��,� ���� �� � ����� ����� ������ ����� �������� �
,���� �� � ��,�� ,������� A���,�9 � ) ��� � ��,� �� � ����� ����� ������ ���,��
� ������ �� � � � ��,� ������ ����� �����9 � �� ����� ��,� �����@ � �� � �
�) �� � ��H���,� ������� �� � �������
6 �� ���� � ���9 � �� � ������ �$�����9 �� �$��� �� ���������� ��,�� ,������
xr � ��,� ������� ��������9 �� ���� �� ,������ �� ������� �� � ��� �� � ��,��
,������9 ���� ��$����� ��,�� �� ����� &������ �� ���������9 ��� � � ,������� ��,�
�������� ���� ����� :�)�,�9 �� � ����,���� ���� ���,�9 ������ � ci = 0 �� ���
i = r9 �� � �����)� � 1 �����
2 ��� 3 �����) ���������� ��� 1�
����� � ��,�� ,������ ��,� � �� ��9 �� " ���� ����� ��� ����� �����9 � ,����
�� � ��� �� ������� � ������ ,���� ��� ������ ���� �������� &� � �� �����
����� �����9 � ������ � � ��� ��� �� � ���� �� ��� ����� ������ �� �
�� �� �� �
&� ����� �����9 � ������� ������ �$����� ������� � ��� �� ���������� ���� ,������
������� �� ��,�� ,������� +� ����9 �� � ����� ��� ���� ��� ��� �� �,���9
��� � �������� �� ������� �� ������ ����� �� � ����$ �������� ���� �� xr �� � ��,��
,������� *������ ��) ,������ xl )� ����� B′ �� �������� �� � ������ ������ ��
s#������� ����$ �������� ����9 ��� �� B′′ �� � ����� ) �� xl ���,�� � ����� ��� B′
�� � �� ���� 7A���,�9 � ����� � ��,�� ,������ ��,� ���� � �����9 l = r�8
4��� � ����,����� ���� �� ����� �����9 � ����� ������ ��,� ������$ �� �����
B′ ��� B′′ �,� � �� � ����� �� ������� �� +� �� ����
?� �� ���� � ��,� � � �� �� � �� �����
�� �� � )$)$) ��� �6, �� ���' ������� ��� s� ������ ����' �������� ���� �� &���"
4����$ �� �� ������ � �����9 ��� ������� � ������� ������ �$����� )� �����
,������ xl ��� ���,�� ,������ xk �� ����� B′ �������� �� � ������ ������ �� s#�������
����$ �������� ����9 ��� ����� B′′ ) �� ,������ xl ���,�� � ����� �� � �� ��� ���
B′�
*������ ,��� t′(k) �� ����� B′ ��� ,��� t′′r �� ����� B′′� ��
K = {i ∈ IB′′ | t′′ir > 0} \ {l}9 ��� L = {j ∈ IB′′ | t′′jr ≤ 0}.
��
xr xl
∗���
∗xk + − ⊕ . . . ⊕ ∗
∗���
∗− 0 0 . . . 0
xl ������� ����� �� ����� B′�
xr
xl + ∗
K
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩+���
+
∗���
∗
L
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩����
�
∗���
∗− 0 0
xl ������� �������� �� ����� B′′�
+� �� ���! ����� ������ ��,� ������$ �� � 3&4 ������$ �� �� ��
" ��
t(k)′T t′′r =∑i∈K
t′kit′′ir +
∑j∈L
t′kjt′′jr + t′krt
′′rr + t′klt
′′lr ≤ t′krt
′′rr + t′klt
′′lr,
���� � t′kj ≥ 0 ��� t′′jr ≤ 0 �� ��� j ∈ L9 ��� t′ki = 0 �� ��� i ∈ K ������� �� � ��
������9 � ,����� �� s ��� ���� �������9 ��� ��� ,������� � �,� ��,�� ����� B′
�,� � ��� ,���� �� s �� ,������ xl� &� � �� ������ �� s#����������9 ���
,������� �,� �� ��,�� ����� ����� B′9 �� �,� � ���������� ��� ,���� �� t′(c)� �����
t′kl < 0 ��� t′′lr > 09 �� ���� t′kr > 0 ��� t′′rr = −19 )� �,� t(k)′T t′′r < 09 ���������
� � � ������ ����� �
��� � �� ����$ �������� ��� �� �������� �� � �������� �� � ��,�� ,�������
�;��!� )$)$% 3� �� ������ �� �6, �� ���' ������� ��� ������ ������ ��� �����
�� � �� �� ������ ���� ������ �� �'� ��� 1")"(" �� ����� � �������� ������ �����! ��
�� � ����� ��� ���&���� ����� ��������� � �� ���������" 3� ��� ��� �� &�� ������
�� �'� ��� 1")"(" �� ������! �� � �����5� �� ������� �������� �� ���� ��� ���� �� ����
��������� �� ���"
x1 x2 x3 u2
u1 ) : ) : ((:
v∗1 �� ) : : C:
v∗2 ( : ) �( 2:
z �( �1 ( : :
z∗ ( �) �) ( �():
������� ("
v∗1 x2 x3 u2
u1 ( ) ) : (D:
x1 �:"; �( : : �2:
v∗2 :"; � ) �( C:
z �:"; �2 ( : �2:
z∗ :"; �( �) ( �C:
������� )"
��
���� �� ������� �������� �� x2" ��� ��� �� ���� �� �� ���0��" ��������� � �� ����
���� ��! �� ��'����� ���� �� ��������" /������! �� ��' ���� �� � ������� ���! ��� �
�������� ����� �� �����&��"
v∗1 v∗
2 x3 u2
u1 : �) �) ) 1:
x1 : ( ) �( 2:
x2 :"; ( ) �( C:
z ("; 2 D �2 )C:
z∗ ( ( : : :
������� 1"
x3 u2
u1 �) � 1:
x1 ) �( 2:
x2 ) �( C:
z D �2 )C:
������� 2"
x3 u1
u2 �( :"; (;
x1 ( :"; ;;
x2 ( :"; D;
z ; ) 12:
������� ;"
�� ��� ��� ������� ����! �� ����� �� �� � ��� �� ������� x = (55, 95, 0)! �� �� ���
��� �� �� ���' ����"
" � ������$�� ����� �� � ����� ����� ���� �� ����� ���9 �� )�� �� � ���� ��
� ������$ �� �� ��� ����,�� � �� ��$����� ��,� ���� �������� � ,���� �� �
��H���,� ��������
%") ��� �������� �,'��� $� ����' ��'�����
"� �������� � �� �� ��9 )� ����� �������� �$������� )� � ������$ ��� �
3&4 ������$ �� �� �� �� � ������� ������ ������� �� ������ �����9 ) �� �� ��)
�$����� � �� ���������� ������� "� �� ��9 ����� �� �������� �� � �) �������9
��� ��� ,����� �� ������ �� � )� ���� ������� " ��� ���� �� ������� �� "����
����
<�� ����� ;! ��� �� � �� ���!� ; � ���
?� ��� � ���� ����)�' �� �� ������ ������ 6 ��� �� ��� ������9 � � ����� ��
�� �� ����� � ��������� �� � �� �� ��9 H�� � �����������+� � ������$ �� �� �9 ���� � �������� �� #
��2�� ������� �� ��������� �����9 � �� � ��� �'��
314 �������� ?� ��� ���9 � �� �� � ����� �� #
����� ����� �� �� ���������9 ������ � �� � ���#
��� ������� �� � �������� ��H���,� ������� � ���
����� � ������� ����' ,������� �� ���� �� � ��#
��� �� ��� ��,��� " ��� ,������� �� ��,��� �� �� �
����� �� � ���������� ��� ����� �������� 7�����
�� �� �� �����9 �� ��� �� �� �2����8�
0 50 100 150 200 250 300 3500
0.5
1
1.5
2
2.5x 10
4
Iteration number
Sum
of i
nfea
sibi
lity
��� �� �������������
��
#� ��� ���� #� ��� ����
6&4 %-( 0"� ��(
�&4 %-% E0+ %��
6*% (�� 0"& ��(
6(* (��
*-� %�(
**0 %�� 8��� !�����
��B %�� 4�: %�%
3"& %�- 4�& %-�
"���� ���! *�� �� � �) ������� ��� ��� �� � ���� �������
���9 � � ���� ������� ����� �� � �� � ��� �� � �������� ����� �� 1�
��� � �� � ��� )� ������� ,������� �� ���� ��
������ " �� )� )� �� ����� ��,��9 ��� ���#
���� ,������� ������ �������� ��� �� ���,�� ���
� ������� ��) � ������ � ��� �� �������� " � ��#
��� ����� �� � �� � ��� �� � �������� ����� ��
6.394720 ∗ 106� " � ������ � ��� ���� �2���� 29 �#
������ � ��� ��������� " � ε ,����� ���� �� �
���� �� )�� �� � ���������� ,����� �� � �������
0 5 10 15 20 25 300
1
2
3
4
5
6x 10
4
Iteration number
Obj
ectiv
e fu
nctio
n
" � ��H���,� ,�����
<�� ����� ;! ��� �� � �� �1� ���!� ; � ���
+� � ���������� ,����� �� � 3&4 ������$ �� ��9 )� ���� � �� ���� ��� � ��������
�� �� �� �� " �� �� ��2�� ��,�� � �� ����� ���������� �� � �� ���� 3&4 ������$
�� �� � �� ����� �� ����� �������� :�)�,�9 �� )� )��� � ��� ���9 � ���' �� ���
� �� ��2�� ������ �� ����� ;�������� �� � ����� �� ���������� ���� ,��������
�� �� � )�� ��5���� � � ��' � ���������� �� � ���� ,������� )� � ������
��������� � � )���#������� �������� ε9 ����9 � ��,�� � �� ,�� ������ � �� �,��
��,�� ��,� ���� 6� �� �$������� � �������9 � ��� � �������� ���� �S ���9
��,�� ,������� ������ �������� 7���������� ��������� � �� ��������8 ��� �� ��$�����
��,�� ? ��� �� ��� ����� 7�� � ���������� ,����� �� � �� �� �8 )� ������� ��) ��,��
,�������9 �� � ����� �� ����� ,����� � �� ,��� � �� � ��,�� ��,� 7�� �� �
��� �� �,�� �� �� ���������� ��,�8 � ����� � � ����� ������� ����� �������� � ����
+� � 3&4 ������$ �� �� � �� ����� �� ����� �������9 � �� � ��� �2����
��
297 ��,� �������9 �� �� ) �� 54 )�� � ��,�� ��,�9 ) ��� 242 )�� �� ��$����� ����
" � �������� ����� ����� �� � �� � ��� �� � �������� ����� �� 2.6338 ∗ 107�
0 50 100 150 200 250 3000
0.5
1
1.5
2
2.5x 10
4
Iteration number
Sum
of i
nfea
sibi
lity
0 50 100 150 200 250 3000
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Iteration number
Num
ber
of in
feas
ible
dua
l var
iabl
es
��� �� ������������� ����� �� ���������� ���� ,��������
���9 � � ���� ;������� �� � ����� �� ���������� ���� ,������� ������ ) ��
� ��� �� ������������ )�� ������ ,�� ��)9 �� � � �)� ���� ������,�� � � �������
ε ,�����
6 �� ������� � � ������ � ��� �� � 3&4 ������$ �� �� � �2���� ����
12 �������� " � ����� �� ���������� ���� ,������� �� �� ���� ����� �� ���������
) ����,�9 ����� � ������ �� ���� ��� ���� ���������� ,�������
0 2 4 6 8 10 124
4.2
4.4
4.6
4.8
5
5.2
5.4x 10
4
Number of iterations
Obj
ectiv
e fu
nctio
n
0 2 4 6 8 10 120
1
2
3
4
5
6
7
8
Iteration number
Num
ber
of in
feas
ible
dua
l var
iabl
es
" � ��H���,� �������� ����� �� ���������� ���� ,��������
" � ��� ���,� ���� ����� � �� ��� � � ���'� ������� � � �� � ��� 7����#
�������8 �� ����� � ,�� ��� ������
%". ����'�
?� �,� ��,�� � � ��������� ������$ �� �� � ��� � �������� �����#�� ������$ ��#
�� � �� ���,�� ����� �� ����� ������� �� ����9 �� � ��) ������ �� s#�������
����$ �������� ��,� ���� �� ��������
�%
?� �,� ���� � �)�9 � � ������$�� ����� ������� �� * ��� � �� ����� �����
������� ��� �� ��������� �� � ������$ ��� � �������� �����#�� ������$ �� �� �
�� ����� �� ����� ������� �� )����
&���� �� � ������� ������ �������� �� * ��� �9 )� �,� ������� ���� ����#
���� �$������� ��������� � �� �� ���
�(
� ���� �
����� �������������� �������
" �� � ��� �������� � ����� ������������ ������ 7�*.8 �� � ������ ���! ���
,���� u,v ∈ Rn9 ��� �
−M�+ � = 2, � � = (, �, � ≥ ( 7���8
) �� M ∈ Rn×n9 q ∈ Rn ��� uv = (u1v1, . . . , unvn) ∈ Rn�
6� �� � ���9 )� ����� � )���#'��)� ����#���� �� �� Q��R9 ���� s#�������
����$ �������� ����� 3�� �*. ���,�� �2��� � ���� ��������� ���� � ���� ���$�
A�� �� � ��� ����� ������� ���� �2���� �� ��5������� :�)�,�9 ��5������ �� �
���$ �� � � ��' 7�� ���������� ��� �� �� �� '��)�8 Q��R�
?� ������ �� ����� �� �� � �� ��� � )�� � � ��� �� )� �� ����� ���$
M 9 )� �� �,�� ��� ��������� ���� � ������� �� � ���$ 7��5������9 �����#
���9 �����,� ����������9 ��8 �� ��,����� 0,�� �� �� ����9 �� �� �� � �������
)� ��� �� � �����)�� ����� �� � ���� ����� �� ����! � ���,�� � �*. ������9 ���,��
�� ���� ������ � � �,�� � ������� � � ���� ���$ �� �� ��5����9 �� ������
��� ���� Q�-R�
6 �� )� �������� � �� �� � �� �� � ������� �� �� �� � �����#
���� �� �� Q�-R )� � ��� �� s#������� ��,� ����9 � �������� ���� �� �� ���
�����������
+� ����9 � �������� ���� �� � �� �� � ��,���� � �������,� ���� � +�'���
��� "���'�_� �*. ������ ���� �� )����
" � ����� �� �� � ��� �� ����� �� � ����� ������� �� Q��R9 �)�,�9 � �� ����
����� )�� ������� ���� � �6+A ��,� ���� 6� �� ����9 � ����� �� �� �
��������� �� ���� � �� ������ s#������� ��,� �����
��
)"! 2'�������
" � ����� ������������ ������ �� ��� �� � ��� ������ ���� �� �� ������� ��#
����� � � �� � ����� �� ������� ����������� ��� � )��� �� � �� G �����,�� ��
��������� ��� �� �� ������� G ������� ��'� � �� ����,� ���� �� ����� �
" �� �� ��,��� ��S��� ��,� �� �� �� � ���,� �*. ������� )� ��S��� �������
" � ����#���� �� �� � �� ��� �� ��� ) �� )�� ��,������ ������������ G �� ��S���
���������� ������� G �� * �� Q�%R9 "���'� Q�-R ��� ?�� Q-�R� ����� ��9 � ����#
���� �� �� �� ������ � ����� �� �� �� �� � ��S�� �� � ����$ �������� ����
�''���`9 &��� ��� 6��<� Q�R ��,������ �� ����#���� �� �� � �� �*. �������
)� ������� ������� " �� ���� � ���� 7���#��#��#��8 ��� � ���� 7���#����#
�������#,������8 ��,� ����� 6 �� �� ������� 2������ ) �� �� � )���� ����� �� ������
�� ) �� � ����#���� �� �� � )� � ���,� �������� ����$ �������� ���� ��� ��
�$�����9 ����,�� ���������
" � ����� �� ��5���� ������ )�� �������� �� *���9 .�� ��� =��'���)��� Q��R�
��5���� ������ ��� �� ������� �� ������������ �� P ��� PSD ������� =F��� �
Q�(R � �)�� � � ����� �� ��5���� ������ �� � ���� �� � ����� �� P∗ ������9
�������� �� Q%�R �� ����� ���� �� ��� �� �*. �������� 6 )�� ��,�� �� ��� :�� 9
E��� ��� "���'� Q��R9 � � ��5���� ������ �� �$���� ��� ������ �� ) �� �
����#���� �� �� � )� � ������� ����$ ��,� �������� ��� ���,�� � �*. ������
)� ��� � # ��� ���� ,����
" �� � ��� ������ � ����������� �� � ����#���� �� �� � �� s#������� ��,�
���� � �*.� )� ��5���� �������
� �����9 �� �� �� '��)� �5���� �� �� � � ������ ) � � � ���$ �� ��5����
� ��� 7=F��� � Q��R ��,������ �� ������,� �� �� � � ��' ��5������9 �� � �� �� �
�� �� ����������8� 3�� �� �� �� ��,������ �� �*. ������� �� �� �,� � ���������
������,� ����� � �� ���� � � ���� ��������� � � ���$ �� ��5���� �
��������� ���� � � ��� �������� +�'���9 ����'� ��� "���� Q��R �,� � �� ���
�� �� �9 ����� �� � �*. ������ ���� �� +�'��� ��� "���'� Q��R ���� �� � ��� ��
0. �����9 � ��� �� �2��� � ���� ��������� �� � ��5������ �� � ���$� 6� �
�� �� � ����� ������ � )���� �� �� � �����9 � ��,���� � ���������� ���� �������
� � ���� ���$ �� �� ��5�����
��� �� �� � ���9 � �$������ �� � ��������� �� �� � �� ������� �� ��� �
)�� � �� ���� �� �� ����� ���$ M ��� � # ��� ���� q9 � �� � ���,�� � �*.
������9 � ��,���� � ���������� ���� ������� � � ���$ M �� �� ��5���� Q�-R�
" �� ����� ����,�� � ,���� �� � �� �� � �� ��������9 ������� � ��'�� � ����������
��
� � )��� �� � �� �*. �������9 )� �� �2���� � ���� ��������� �� � �������
�� � ���$� 6�����9 � ����,�� ������ �� � ��,� ������� �������� ������� �
� ������� ����$ ��� �,�� � ���������� � �,��� ���������� ������� ��,��9 �� �
�$����� � ������� �������������
" � ���� �� �� ������� �� �� � ��,���� � �������,� ���� �� � �*. ������
���� �� � ��� � 0. ����
)$&$& 5�6����� �������
" � ���,������ �� � ����� ������������ ������� ��� � �5������ �� � �������
�� ��� ������ �� � ������� �� ���$ M � ?� ��,�� ���� ������� �� ��5����
������ ����)�
?� )��� ��� � �����)�� �� �����#��� ���������
� 3���� *$%$% ��� ���' M ∈ Rn×n ��� ����� J = {α1, . . . , αk} ⊆ {1, . . . , n} ��
�������! �� ���������� ��� ���' MJJ �� ������ � �������� ������$�
��)9 )� ����� � ���� � �������9 Q��R�
� 3���� *$%$' ��� ���' M ∈ 6En×n �� ������ ������ ��5���� �� �� x ∈ Rn �����
�'���! ��� ����� {xi (Mx)i ≤ 0 ��� ��� ������� i ∈ {1, . . . , n}xj (Mx)j < 0 ��� � ���� ��� ����' j ∈ {1, . . . , n} 7���8
��� �� ���� � �) ��5���� �� �� �������� �� ���� � ��*����" � ���' M �� ������
��5���� �� � �� ��� ���� � ��� ��� ��*���� � �� �� � � �"
6 ��� �� � �)� � ������ ��5���� ������ �� �$���� ���9 �� ) �� � �������
�� �� ����� ������������ ������� �� ���,�$ Q��R�
" � ����� �� ��5���� ������ )�� �������� �� *���9 .�� ��� =��'���)��� Q��R�
" �� �,� � �)� � ��� �� ������������ �� P ��� �����,� ���������� �������
" �� �,� ���� � �)� � ��5���� ������ �� ��������� ������ P0 �������
���9 ��� :�� 9 E��� ��� "���'� Q��R ��,�� � ��5���� ������ �� �$����
���9 �� ) �� � ����#���� �� �� � )� � ������� ����$ ��,� ��� ��� ���,� �����
������������ ������� �� ��� � # ��� ���� ,��� q9 �� � ���� ����� �� ��������
"� � �) ���� ������ ������� �� ��5���� ������9 )� )��� ���� � �������� ��
������� ��� ������� � ��� ������� ��� �������� � ,����9 Q��R!
�-
� 3���� *$%$) 3� ���� � ����� x ∈ R2n ����� �� � �,���� ��
xixı ≤ 0 ��� ��� ������� i = 1, . . . , n
xixı < 0 ��� � ���� ��� ����' i ∈ {1, . . . , n} .
3� ���� � ����� x ∈ R2n ����� �� � ����,�� ��
xixı ≥ 0 ��� ��� ������� i = 1, . . . , n
xixı > 0 ��� � ���� ��� ����' i ∈ {1, . . . , n} .
�� �� ������� � ���������
V :={(u,v) ∈ R2n | [−M, I](u,v) = 0
}���
V ⊥ :={(x,y) ∈ R2n | [I,MT ](x,y) = 0
}.
A�,������9 V ��� V ⊥ �� � � ���� ����������� ��������� �� R2n.
� ��� *$%$% � ���' M ∈ Rn×n �� ��*���� �� ��� ��� �� �� ����� ���� ���������
����� �'��� �� V ��� �� ����� ���� ���������� ����� �'��� �� V ⊥! E1)F"
� ����� B �� � ����� ����� −Mu + v = q �� ������ �����������9 �� �� ��� ����$
i ∈ I �$���� ��� �� � ������� ���������� � ,������� vi ��� ui �� �� � ������ �
� � ��,� ������ �� ������ �����������9 �� � ���������� ����� �� ������������
" � ��$ ����� � �)� � �� � ����� �� � � ����������� ��,� ������$ �� �*.�
)� ��5���� ������� " �� ����� �� � ���� �� ������ ����� � )� ��� �� �
�� �� � �����
� ��� *$%$' 8����! #��� ��� <����������� E(CF9 $� M �� � ��*���� ���'! B �
�� ��� ���� ����� ��� M = [mij : i ∈ JB, j ∈ JN ] �� ������������� ���� ���� ������"
����
8�9 miı ≥ 0 ��� ��� i ∈ JB ������ ���
8�9 ��� ��� i ∈ JB! �� miı = 0 ��� mij = mjı = 0 �� mij · mjı < 0 ��� ��� j ∈ JB, j = i"
?� �,� � ������ � � ���� �� � ��,���� ����� �� �������,�9 �� �� � �,��
����� �� � ���$ �� ,������9 )� ��� ������ ����� � ������� ��� ������ M 9 �
M �� �� ��5����� " � ����� ���� �� �� ������� �� ������� �� � ���������� �� �
���� ��� �� ���$ M �
&� � ���������� �� M ∈ Rn×n9 )� ���� � ���$ P T MP 9 ) �� P �� � ��������
���$�
-�
� ��� *$%$) E)1F $� M ∈ Rn×n �� � ��� 8���� �9 ��*���� ���'" ����
(" �� ��� ����� �� ���' M �� ��� 8���� �9 ��*����!
)" �� ������ DMD �� ��� 8���� �9 ��*����! ����� D ∈ Rn×n+ �� � ������� ��������
���'!
1" ���� ��������� ��� ���' �� M �� ��� 8���� �9 ��*����"
6 �� ���� � ��� � ���$ M �� ���� ��5���� ��� ��� ����� �� ����� ��������
��,��9 �� M �� ��5����� " � ����� �� ��5���� ������ �� ���� ������ ���� ��������
����' ��,� �������� Q��R9 ������9 �� ������� �� ����,�� ���� � ����#���� ���
�� �� ��9 ���
+� � ���$ M ∈ Rn×n ��� J ⊆ {1, . . . , n}9 �� MJJ �� ������ ���9 )� )��� ����� �
����' ��,� ������� ����� �� � J �� ηJ �
� ��� *$%$* $� MJJ �� � ����������� ��� ���' �� �� ��� 8���� �9 ��*���� ���'
M " ���� ���' M′= ηJ (M) �� ��� 8���� �9 ��*����! E)1F"
�� � ����� �� ��5���� ������ �� ������ ���� ���� � ������� �� ����' ��,��� �
" � �$� �� � ��,� �������� ����� �� �� � ����#���� �� �� � ������ ��� ���
���� �� ,��)�� �� � ����' ��,� ������� �� ���� 2 × 2�
)$&$! (�� ���������� ������ � ��� ����� ������������� ��,���
" � �������� ������9 ) � � �� ����� ����� ������������ ������ �� � �������
� ��9 �� �� NP, ��� �� ��)��� �� co#NP� +� ���� ���$ ������� � ����� � � co#NP9 Q�(R�
" � ����� �� ��5���� ������ �� ��� � ������ �� �� ������� 7���8 � ���!
(u,v) ∈ V (M,q) := {(u,v) : −Mu + v = q}uv = 0, u, v ≥ 0
(P − LCP )
6� � ��� �� ����������9 � ������� ����� 2������ �� ) � � �� �� ��� �
������ ������ �� � ���� ���� ��� ) �� �� � �������9 �$���� ) �� ������ (P −LCP ) �� �� ��������
+�'��� ��� "���'� Q��R ���)��� �� 2������ �� � ,�� ����� ��� �� ���������#
��� ������� �� ������ �������
+����)�� � ������ �� +�'��� ��� "���'�9 )� ����� � ������ (D − LCP )
(x,y) ∈ V (M,q)⊥ :={(x,y) : x + MTy = 0, qTy = −1
}xy = 0, x, y ≥ 0
(D − LCP )
-�
" � ��$ ���� ����� �� ������ ��� �� � �������� �� �*. �������� 6� ��
������9 ���� � �'�� �� � ���� �� �������9 � ) ��� ���� ������� �� � ��������
�� � ����#���� �� �� � ) �� �� ��,�� �� ��������� ������
"� � ������� � ���������� �� ����� ������������ �������9 )� ��� ������� �
���� �� +�'��� ��� "���'� �� �����)�!�
�� �� � *$%$% ��� � ��*���� ���' M ∈ Rn×n ��� � ����� q ∈ Rn! �'��� ��� �� ��
��������� ��� ��� �����.
8(9 �� 8#�$�#9 ������ ��� � �������� �� ��� ���� ������� (u,v)!
8)9 �� 8-�$�#9 ������ ��� � �������� �� ��� ���� ������� (x,y)"
4����$ �� �� ������� � �� �� �� ��� �� ���,��9 ��� �� (u,v) �� � ������� ��
(P − LCP ) ��� (x,y) �� � ������� �� (D − LCP ). " �� ��� � ��������
−Mu + v = q,
��� �'�� � ��� ���$ ����� )� yT 9 )� �
−yT Mu + yTv = yTq = −1.
4��� � �� �������� �� � (D −LCP ) ������ ��� � ����� ��,�� �� �� ,�������9
)� �,� � ������
0 ≤ xTu + yTv = −1,
) �� �� � �����������
?� ��,� � ��� �� � ������� (P − LCP ) ��� (D − LCP ) �� ��������� "� �� ��9
)� ��� � ����#���� �� �� � )� s#������� ��,� ���� ) �� � �������� �� �
�� �� � )��� ������� � ���� �� � ������,� ����� �
" �� ���� ����� � � ��� �� )���#� �������� ) �� ������ (P−LCP ) �� �� ��������
����������� ������� �� � ���$ M �� ��5���� ��� ������9 ������� � ���������� ����
������� ��� �� �,��9 ������ � ������� �� � ������ (D − LCP )�
�%�&��� ��� '���&� ((# ���� ���� ����� �� � ������� ������ ��� �� ����& ���� ��� ��� �������� �
����� �������� ��� ������� � � ��������
-�
)"# ��� 3���+3��� ������
�� �� ����� )� I := {1, 2, ..., N, 1, 2, ..., N}∪{q} � �� �� � �������9 ) �� N = n+m
��� |I| = 2 N + 1� "� �������� � ������9 �� ��� α ∈ I �� α �� �� �����������
,������@� ����$9 ��� �� α = α �� ��� α ∈ I \ {q}9 �� � ����������� ��� �� α �� α�
" � ������ ����������� ������� �� � ����� ������������ ������ 7���8 �� u = 0
��� v = q� �� � ���$ �� � � � ��,� ������ �� ������ �� T �� ������
A� ��� �� � ����� � �������� ����������� ������� ��� �� ������ �������9 ����
��,� ��������� ������ ������ ��� ������ ����� � � ��5������ �� � ���$ ��
����,�� ���� � �� �� �� 3���,�9 )� ���� ��'� ��� ��,� �������� � ����,�
������������9 ��� "� �� ��9 )� ���� � ���� � ������ �� s#������� ��,� ����
�� �*. ��������
� 3���� *$'$% �� s� ������ ���� ���� ������� � �� $�# ������ �� � ����! ��
s(i) = s(ı) ����� ����� ��� �� i ∈ I"
6� � ����#���� �� �� � ������� ����)9 )� ����� ������� s#������� ��,� �����
?� �$����� � ��,� �������� 7��� ���� ��� �$� �� � ��,�8 ��� � ��� �� � �����
,��� s ) �� )� ������� � �� �� �� " � ����������� ,������ ���� (ul, vl) )���
������� �� ����� � ������ �� ,������ �����
�� �� ������ � vj �� � ����� ,������ ��� � ,���� �� ,������ vj �� ����������� 6�
tjj < 09 )� ��� ����� � �������� ���� ) �� ,������ uj ���� � ����� ) ��� ,������
vj ���,�� ��
6� tjj = 09 )� �,� � ��,� �� ��� �� ����$ k �� ) �� tjk < 0� " � ������� �������
��� � ��,� ��'� �� �� �� ����������� ��� ���9 �� � ���� � ������������ ��
� �������9 )� �,� � ��,� �� � ������� (k, j) �� )���� ����� ������ ������ � ��
��� � ���� tkj > 0� " ��� )� ��,�� � � � �� ������ �� �'������ �����
1��� �� �$� �� � ��,�9 ,������� uj ��� uk ��� � �����9 ) ��� vj ��� vk ���,� �
7��� � � �� �� �$� �� � ��,�8� ?� ��� � uj ��� vj �� � ���� ������9 ) ��� uk ���
vk �� � ���� ��������� " ��9 � ��� �����,��� ��� ���,��� ��� � � ��� �� ) ��
� ������� �� �������� " � )� ���� �� ��,� �������� �� ������� �� +� �� ����
6� ���� �� �� �$� �� � ��,�9 � ,��� s �� � s#������� ��,� ��� �� ������ � �
�����,��� ������� ��� �� ,������� ��9 ��� ���� �� �� � ���,��� ������� ���9 ��
� ������ �� ,��� s �� ���� ���������� " �� )��9 ��� � s ,��� ���� �� ,��)9
�� �$� �� � ��,� �� ��������� �� )� ��,��� " �� ��� )��� ���� �� ������ ��� �� �
�������� �����
" � ������#���� �� � ����#���� ��� �� �� � �� ������� �� +� �� ����
-�
uj
���
vj . . . − . . . −���
1�� ���� ��,�
uk uj
���
vk +���
vj . . . − . . . 0 . . . −���
0$� �� � ��,�
+� �� ���! 1�� ���� ��� �$� �� � ��,��
(���������� ���� � ����� ���� ������� s�������� ��&�� ���
������ ������ �9�;�� !���� M �� �> ���� T := −M � q := q� r := 1�
�� ��
J := {i ∈ I : qi < 0} .
���� (J = ∅) ��Jmax := {j ∈ J : s(j) ≥ s(α), ��� ��� α ∈ J } , �� k ∈ Jmax �������� ������
�� (tkk < 0) ����
(������� ���� �� tkk� ���� �� �� s ��� �������� ���� (uk, vk)� �� r := r + 1�
���
K := {i ∈ I : tki < 0}�� (K = ∅) ���� '���� "�� �*� ������ ��� �� �������� �������
���
Kmax = {β ∈ K : s(β) ≥ s(α), ��� ��� α ∈ K} , �� l ∈ Kmax ���������
/� ����� ���� �� tkl ��� tlk�
'���� �� �� s ��� �������� ���� (ul, vl) �� �� ������� r + 1�
��� ��� �������� ���� (uk, vk) �� �� ������� r + 2 ��� �� r := r + 2�
�����
�����
�������
'���� . �������� � ��� ����� ������ ��� ���� � ����
���
+� �� ���! " � ����#���� ��� �� �� ��
-�
" � �� �� � ��� ��� � �,��� ����������� ������� ��� ������� � ���� ��'��
��� ���� ��� �$� �� � ��,��9 � ����,�� ������������� " � ��5������ �� ���$ T
������ � 7����� �����8 � �� � �� � � ���� ��,� ������� )��� �� �� ������9 �� )�
�,� � �� �� �$� �� � ��,�� " � �� �� � ������� ���� �� �� �� �� ������� � ��
� �� ����� � �������� " ��9 )� �,� � ��,� � � �� � ���� &������ � ����� ��
�������� ����� �� ����9 )� �,� � � �) � � ����#���� ��� �� �� � )� s#�������
��,� ��� ���� �� �����
0 ... ...
?
��������
�������
��
��
l
k
�� �������
���
��� ��
�$� �� ���,� ��������
k
k− −
−
− k
k
l
�"�E"
�"A.
���
��������a
��� ������,� ��������a
�"A.
�����������������
⊕
⊕
⊕
⊕
��
�����������������
+� �� ���! +��) � � �� � �� �� ��
)$!$& ������ ������� ��,����+ � ��� ����-���� ������
�� �� ������ � �� �$����� �$��� �� ) �� � �� �� � �� �� ����� " � ����� ��
����� �� ����9 � ���
(2n
n
)9 �� � �� �� � ��'�� �� ������ ����� �� ������� ���� ��
-%
ul
(a) ⊕⊕������
⊕⊕
vl − −
uj ul
(b) ⊕vj + ⊕
������
⊕⊕
vl − 0 −
+� �� ���! =������ ul �� ���,��� ������� � ��� � ������
������ ������ �� �� ������� � ������� ���� ������ �$������ 6� ��� �� �$�����9 �������
�� ���������9 �,�� ,������ ��,�� ���� � ������
�� �� ������� � ������� �������� �� � ������ ������ �� s#���������� ���
)� ,������ ul ������ � ������ *������ ����� B′ ) �� ,������ ul ���� � ����� ��
� �� ��� ��� �� ������� ������� ����� ul ��� vl �,� � ������� ,���� �������
� ,��� s ��� � ������ �� � ���9 vl �� � ���� ���������� ,������ �� ����� B′� " �
� � ��,� ������$ 7������� �� +� ��� ��� ��� ��%8 �� �� ���� ��� �� �� �����)�!
%$ " � �� �� � � ����� ul � ��� � ������
" � ��� ���� ������ tll < 0, �� � ��� ���� ��,� �� �������� Q������ (a)R! ul ����
� �����9 ) ��� vl ���,�� �� " � ,��� s �� ������� ����������� �� ,������ ���
(ul, vl)�
'$ " � �� �� � � ����� ,������ ul � ��� � �����9 �� tll = 09 �� �� �$� �� � ��,�
�� �������� Q������ (b)R� =������� ul ��� uj ��� � �����9 ) ��� ,������� vl ���
vj ���,� �� " � ,��� s �� ������� �����������9 �� �� ,������ ��� (uj, vj) ���
�� �� ,������ ��� (ul, vl) �� �� �� � ��$ �������
" � ������ �� q �� � ���� �� �� ������ 7�8� 6� �� ����9 � �� �� ������ ) � �
uj � vj �� �� � ������ ?� ������� � ���� ) �� vj �� �� � ������
)$ " � �� �� � � ����� � ,������ uj � ��� � �����9 �� tjj = 09 �� �� �$� �� �
��,� �� ������ ��� � �� �� � � ����� � ,������ ul �� )��� 7�����,���89 Q������
(c)R�
������� � � ������� ) �� ul ���� � �����9 � �) �� vj ���� �� � �������
�� ul ��� q ��� ������ �� ��,� �������9 ��� ������� tjj = 09 ���� ����� �����9
-(
ul uj
(c) ����
�vl ^
����
�vj ⊕ · · · ⊕ − ⊕ · · · ⊕ � −
+� �� ��%! =������ ul �� �����,��� ������� �� � � ������ ��,� ������� �� �� �$� �� � ��,�
� ��� � ������
)� ��� ���� ��� �� � �� � ����� �� � ������ �� uj� 6� �� ����9 � �� ���� � ���
�� ������ ) � � uj � vj �� �� � ������ ?� ������� � ���� ) �� vj �� �� �
������ " � ,��� s �� ������� ����������� �� �� ,������ ��� (ul, vl) ��� ��
�� ,������ ��� (uj, vj) �� �� �� � ��$ �������
+� ��� ���9 )� ��� � �� ����� 1. ��� 2. )� ���� ���� � ��,� ��� ) �� )� �����
�� � �� � �����9 ) ��� )� ���� � ��5������ �� � ���$ �� � �� ���� �� �
������ �� uj.
��) )� ������� ����� B′′9 ) �� ul ���,�� � ����� �� � �� ��� ��� ����� B′� " �
��,� ������ �� �� ������ ��� �,� �� ��S��� ������ 7�� ������� �� +� ���
��( ��� ���89 ������� � � �� ������ �� s#�����������
�$ ������� � � ��,� ���9 )� � ���� ,������ ul � ���,� � �����9 tll < 0, �� �
��� ���� ��,� �'�� ����� Q������ (A)R�
1$ " � ��,� ��� � ����� ,������ ul � ���,� � �����9 �� tll = 09 �� �� �$� �� � ��,�
�� ������! vk 7� uk8 ���� � �����9 ) ��� uk 7� vk8 ���,�� � Q������ (B)R�
:$ " � �� �� � � ����� ,������ uk 7� vk89 �� tkk = 09 �� �� �$� �� � ��,� �'��
����� ��� vl ���� � �����9 ) ��� uk ���,�� � Q������ (C)R�
&���)9 )� � �) � ���� �� � ������$ (a)−(c) ��� �� �����)�� �� ��� �� � ������$
(A)− (C) �� ���$ M �� ��5����� 6 )��� �� ������ � ��� ) �� � ��5������ �� �
���$ �� �����
-�
vl
7�8 ⊕���
⊕−���
−ul − −
vk vl
7&8
uk +
ul − 0 −
+� �� ��(! =������ ul �� ���,��� ������� � ���,� � ������
vl vk
7*8
ul +
uk − 0 −
+� �� ���! =������ ul �� �����,��� ������� �� � ������ ��,� ������� �� �� �$� �� � ��,�
� ���,� � ������
��;������ � ����
+��9 )� ������� � ����� � �� �� ��� � ��5������ �� ���$ M � ?� �� �� �� � �)��
� ������ (c) ����� �� �����)�� �� ������$ (A) � (B)�
� ��� *$'$% $� �� ����� �� ������ �� ���� (c) � TB′ ��� �� ������ �� A 8�� B9 �
TB′′" �������� �� ������ t′(j) ��� t′′q ! ���� ��� �� ��� �� �� ����� �������� vj �� ������
TB′! ��� ��� �� ���� � �� q �� TB′′" ����
(t′(j))T t′′q > 0.
4����$ �� K′′ := { i ∈ IB′′ : q′′i < 0 }� 4��� � �� ������ �� s#������� ��,� ����9
,������� ����� � ��� ������� 7)� � �������� �$������ �� ����$ j ��� l8 �,� ��
��,�� ����� B′9 � ���� �� s ,���� )���� �,� � �� �� � �� �� ul9 �� � �� �� �
)���� �,� � ���� ��� ��� K′′ ������ �� ul9 �� K′′ ⊆ IB′ ∩IB′′ � " �� �������� � t′ji
= 0
-�
�� ��� ������� i ∈ K′′ \ {j, l}9 �� ∑i∈J ′′\{j,l}
t′jit′′iq = 0. 7���8
����� � � �$� �� � ��,� ���� �� B′9 � s ,���� )�� �� ������ �� ,������ ���
(ul, vl) ��� ���� �� � ��$ ��,� �� (uj, vj)9 )� ���� '��) ��� s#���������� � t′′jq ���
t′′jq
�� ����� ��,� 7��� �� ������ � �����9 ��� ����� �� �,� ��,�� ����� B′9 �� s
,���� �� �� � �� �� ul8�
+� ����9 � ��� �� ��� ��� ������ (c) � t′jj = 0, t′jj = 1, t′jl
= 0, t′jl < 0 ���
t′jq < 0 ��
t′jj t′′jq + t′jjt′′jq + t′jlt
′′lq + tjl t
′′lq + t′jq t′′qq ≥ t′jlt
′′lq − t′jq > 0, 7���8
������� t′′qq = −1 �� ��������9 ��� t′′lq < 0 ������� � � ��,� ��� �� � �� �� �
7������$ (A) ��� (B)8�
6� h /∈ K′′ ∪ {j, j, l, l, q}9 )� '��) � ��� ��� � ������$ � t′jh ≥ 0 ��� �� �
�������� �� K′′ � ���� � t′′hq ≥ 09 ��∑h�∈K′′∪{j,j,l,l,q}
t′jh t′′hq ≥ 0. 7��%8
" � ���� �����)� �� )� ��� �� ���2������� 7���8#7��%8�
�
+�� ������ (c) )� ��������� � ����� �� � �) �� ,������ vj, ) ��� ���
������$ (A) ��� (B) � ����� �� � ������ �� q� 6� ���� �� ��� ����� ��� )� ���
� ��5������ �� � ���$9 ��� � ����� ���� ���� � ����������� ���� �� � s#
������� ��,� ����� " �� ������$ (c) ��� (A) 7� (B)8 �� �$�����,� ������� �� �
� � ������ ���� ��� � ����� ���,�9 � ������ �� � ��5������ �� � ���$�
?� ��) ��,� � ������$ (a) ��� (b) ����� �� �����)�� �� ������ (C)�
� ��� *$'$' $� �� ����� ������ (a) 8�� (b)9 � TB′ ��� ������ (C) � TB′′" ��������
�� ������ t′q ��� t′′(k) ��������� � �� ���� � �� q �� ������ MB′! ��� � �� ��� �� uk ��
������ MB′′" ����
(t′′(k))T t′q > 0.
4����$ ��'� �� � ��,���� �����9 K′′k := {i ∈ IN ′′ : t′′ki < 0} ⊂ IN ′ ���� ������� �� �
�� ������ �� s#����������9 �� t′iq = 0 �� �,�� i ∈ K′′k \ {l}9 ��∑
i∈K′′k\{l}
t′′ki t′iq = 0. 7��(8
--
+� ����9 �� �� ����$ h /∈ K′′l ∪ {j, j, l, l, q}9 t′′kh ≥ 0 ��� t′hq ≥ 09 �����∑
j �∈K′′l ∪{j,j,l,l,q}
t′′kjt′jq ≥ 0. 7���8
+�� ������$ TB′ ��� TB′′ � ��� �� ��� � t′qq = −1, t′′kk = 1, t′′kk
= t′′kl = t′lq = 0 ���
t′′kl
< 0, t′′kq < 0, t′lq
< 0, t′kq
≥ 0 ��� t′kq ≥ 0 ��
t′′kkt′kq + t′′kk t′kq + t′′kl t
′lq + t′′klt
′lq + t′′kq t′qq = t′kq + t′′kl t
′lq − t′′kq ≥ t′′klt
′lq − t′′kq > 0.
" � ���� �����)� �� )� ��� �� ���2������� (4.6) − (4.8)�
�
?� ��� ��) ������� ������$ ) �� � ��5������ �� � ���$ ����� �� ������
����
6� � �����)�� 9 )� � �) � ������$ (a) 7� (b)8 ����� �� �����)�� �� ������$ (A)
� (B)�
� ��� *$'$) $� �� �� ��� ���� �������� (u′,v′) ��� (u′′,v′′)! ��������� � ������'
(a) 8�� (b)9 ��� (A) 8�� (B)9 �� �����" ����
(u′ − u′′) M (u′ − u′′) < 0.
4����$ ?� ��,� ��� ��� ����� ��������������
(u′ − u′′) M (u′ − u′′) = (u′ − u′′) (q + M u′ − q − M u′′) = (u′ − u′′) (v′ − v′′)
= u′ v′ − u′ v′′ − u′′ v′ + u′′ v′′ = −u′ v′′ − u′′ v′,
) �� � ��� �2����� ���� ������� �� � ������������ �� � �,�� ��������� ��
K′′ := { i ∈ IB′′ : q′′i < 0 }. �� �����9 ������� � s#����������9 ,������� ����$�� �� K′′
�,� �� ��,�� ����� ����� B′9 � ���� � �� �� � )���� �,� � ���� ��� ��� ��9 ��
�� ��� i ∈ K′′\ {l}9 � ,���� �� u′i 7� v′′
i ) ��� u′′i 7� v′
i8 �� ���!
u′i v′′
i + u′′i v′
i = 0. 7���8
+�� ������ (a) 7� (b)8, ��� ������ (A) 7� (B)89 � ��� �� ��� � u′l = 0, v′
l < 0 ���
u′′l < 0, v′′
l = 0 ��9
u′l v′′
l + u′′l v′
l > 0. 7��-8
+� ����9 �� ��� h /∈ K′′ � ���� � u′h, v
′h, u
′′h, v
′′h ≥ 09 ��
u′h v′′
h + u′′h v′
h ≥ 0. 7����8
���
"� ��� � ��9 � ,��� (u′ − u′′) �� ��� � (u′ − u′′) M (u′ − u′′) < 0.
�
���9 � � ���� �� �������,� ������� � ,��� u′ − u′′ ��,�� � ���' �� ��5#
������ �� �� ���$ ��� ������ �� ������� ��� � ����� B′ ��� B′′�
6� � ��� ��$����� �����9 )� )��� ��,��� �� � ���� ) �� ������ (c) )���� ��
�����)�� �� ������ (C)�
� ��� *$'$* $� �� ����� ������ (c) � TB′! ��� ������ (C) � TB′′" �������� ��
������ t′j ��� t′′(k) ��������� � �� ���� � �� uj �� ������ TB′ ��� � �� ��� �� uk ��
������ TB′′" ����
(t′′(k))T t′j < 0.
4����$ �� K′′k = {i ∈ IN ′′ : t′′ki < 0}\ {j}� 4��� � �� ������ �� s#������� ��,�
���� � ���9 � ,������� �� � ������� K′′k �,� �� ��,�� ����� B′9 �� (IN ′′ \ K′′
k) ⊂ IB′
��� K′′k ⊂ IN ′ 9 �� t′ij = 0 �� i ∈ K′′
k� &���� �� ��� ����,�����9 )� �,�∑i∈K′′
k∪{q}t′′ki t
′ij = 0. 7����8
+� ����9 �� h /∈ K′′k ∪{q, l, l, j, j, k, k
} �� t′hj ≤ 0 ������� � ������ (c)� &� �
�������� �� K′′k, t′′kh ≥ 09 �� ∑
h�∈K′′k∪{q,l,l,j,j,k,k}
t′′kh t′hj ≤ 0, 7����8
+�� ������$ TB′ ��� TB′′ 9 �'�� � �������� �� ,��� t ��� �����������9 )� � �
t′lj = t′′kk = t′jj = t′qj = t′′kl = 0, t′′kk = 1, t′jj = −1 ��� t′kj ≤ 0, t′′kl < 0, t′lj > 0
��
t′′kq t′qj + t′′kl t′lj + t′′kl t
′lj + t′′kj t′jj + t′′kj t′jj + t′′kkt
′kj + t′′kk t′kj < −t′′kj. 7����8
&� � �������� �� � �� �� �9 � � �$� �� � ��,� �� ������ c9 � �� ,������
��� �� ) �� � ����� �� � s ,��� �� ������� �� (ul, vl)9 ��� ���� ��� �� (uj, vj)� :����
,������ (uj, vj) �� ������ ��������� � �� ��,�� ����� B′9 �� �� � �� ������ ��
s#������� ��,� ���� �� s ,���� �� �� � �� �� ����$ l� " �� �� ���� �������� �� t′′kj ≥ 0
�� � ������� �� �� �����9 � ������� �� �� ��������� s ,�����
" � ���� �����)� �� )� ��� �� ���2������� (4.11) − (4.13)�
�
���
(a) (b) (c)
(A) ∗ ∗(B) ∗ ∗(C) ∗
+� �� ���! " � ����� ) �� ��5������ �� � ��,� ���$ �� �����
)$!$! 3��������� � ��� ����-���� ������
6� �� ������9 )� ��,� � �������� �� � ����#���� �� �� �9 ��'�� � ���� ��
" ���� ����� ��������
�� �� � *$'$% ��� ����������� �� ������� ��� s� ������ ���� ���� �� &��� ��� ��
������ �� ��� ����� ������ ��� ��*���� ������"
4����$ �� �� ������ � �����9 � � �� �� � �� �� ����� &������ � �����
������������ ������ �� ������ ���� ��S��� �����9 � �� �� � ��� �,� �� ������
����� �� ������� ���� �� � �� ������ � " �� )� �,� � ������ �$������ �� �� � ����
��� � ������ �$������ ��� )� � ������� ����� " ��9 �,�� ,������ ��,�� ���� �
������ "�'�� � ��$����� ������ ��� �����������9 ��� ,������ ul ���� � ����� ���
����� B′9 � ����� ���,� � � ���!
6� � ���� �� ���� (a) � (b) ��� ���,�� � ����� �� ���� (A) � (B)9 ����� ������
�������� � ��5������ �� ���$ M �
6� � ���� �� ���� (c) ��� ���,�� � ����� �� ���� (A) � (B), ����� ������ ��������
� � � ������ �����
6� � ���� �� ���� (c) ��� ���,�� � ����� �� ���� (C)9 ����� ������ �������� �
� � ������ �����
6� � ���� �� ���� (a) � (b) ��� ���,�� � ����� �� ���� (C), ����� ������ ��������
� � � ������ �����
��� �������� ����� ���� � � ����������9 ����� � �� �� � �� ����� �
" � �����)�� � �)� � ����� �� ) �� )� ��' � ��5������ �� ���$ T ��� ������#
����� ���� � ���� �� �������� �� � ����#���� ��� �� �� ��
�;��!� *$'$% �� �� ������ �� ����������� ����! �������� �� ��������� ���' ���
�� ������������� ���� ���� ������ �� �� $�# ������ ! ����� �� ����� ���' ������
�������� � v ������ �� �� ������ �� ��� ���� �����"
���
u1 u2 u3
v1 �� ( ( �2
v2 : : �( �)
v3 ( ( �( (
������� ("
v1 u2 u3
u1 �:"; �:"; �:"; )
v2 : : �� �)
v3 :"; ("; �:"; �(
������� )"
3� ����� �� $�# ��� �� ����������� ���� ����� �� ��7 ����" ���� � �������� ���
�� �'������ ����! �� ������ ���� �� ��������"
v1 u2 v2
u1 �:"; �:"; �:"; 1
u3 : : �( )
v3 :"; ��� �:"; :
������� 1"
v1 v3 v2
u1 �(G1 (G1 �)G1 1
u3 : : �( )
u2 (G1 )G1 �(G1 :
������� 2"
��� ����� �� ��� ���� ������� �� (u,v) = ((0, 0, 2), (3, 0, 0))"
/������! ��� �'� ��� �� ������� �� �� ����������� ������� � ����� � $�# �����
�� ���� �� �� ���' �� �� ��*����" �� ���� �� M �� �� ��*����! �������� �� �����
x = (1,−1,−1)" ��� ��� �����
x · (Mx) = (−4,−1,−1),
��� x �� � ����� ���� ��������� �����" ���� ������ �� M �� �� ��*����"
)"% 4� ������� '�� ��� ����' ���������'��� �����
��) )� �������� � �� �� � �� � ����� �� 0. ������ �� 0. ���� �� �������
� ��������� �� ��,��� �������� �������9 �� ��� ) �� ��� ��)��� ����9 ��� �� ���
������ ����9 �� � ���������� ���� 7�� � ��� �� � ���� ���8 ������� ���
�$��� 6 ��� ���� �� ,��)�� �� � ����� ����)�' �� ��'�� ��������� ��,���� ������
A���,�9 � � +�'�� ����� ��� � ��� ������ ���� �� * ��� � )�� 0.#
��� �����9 ����� ��� �� � ���� ��� �� �� �������� ������� �� �� �,�� ����9 ���
�� ������ � ���������� ����� ��� ��,� �� � ������� �� ���������� �����
?� ����� �$��� � )� )��� �� ���� � ���,� �,�� ����� ������������ ������
)� �� ����� ���$ ���� � ����#���� ��� �� ��� 6� �� ��������� ����#����
��� �� �� � )�� �� ���� � ���,� � ����� ������������ ������9 � )���� �,� �
������� � � ���$ �� � ������ �� �� ��5�����
" � ���������� �� �� ����#���� ��� �� �� � �� ����� �� � ��� ��,������ ��
*����� ��� 0������ Q��R� " �� �������� � �� ������ �#H����� ��
���
" � ����� ��� �� �� 0. 70$��������� .��������� ���8 ���� �� �� �����)�!
[∀x : F1(x) � F2(x) � . . . � Fk(x)]
) �� Fi(x) �� � ������ �� � ���
Fi(x) = [∃yi �� ) �� ‖yi‖ ≤ ‖x‖ni ��� fi(x,yi)] .
?� �������� � ����#���� ��� �� �� � �� ����� ����� ������������ �������
:�� ni ∈ Z+9 ‖z‖ ������ � ����� ���� �� z9 ) ��� f(x,y) �� � ������� �� ) �� ��
�� � ����������#��� �� �� ��
&���� ��������� � ������ ���� �� � ����� ������������ ������ �� 0.
���9 )� ���� � ��� ���� ��������� ��� ������
?� ���� � ������ �� ,��� x � �� {i | xi = 0}� +�� � �,�� �� �� ,����9 � ,���
)� � ������� ����� �� ������ � �������
?� )��� ��� � ������ ������������ �� � ,���9 Q��R�
� 3���� *$)$% $� V ⊆ Rn �� �� ������� ������ �������� ��� x,x1, . . . ,xk ������ ���
�������� V " 3� �� �� ����� x �� �������� ���������� ��� ������ x1, . . . ,xk! ��
x = x1 + · · · + xk ���
xi = 0 =⇒ x1i = · · · = xk
i = 0!
xi > 0 =⇒ x1i , . . . , x
ki ≥ 0!
xi < 0 =⇒ x1i , . . . , x
ki ≤ 0 ��� ��� ������� i = 1, . . . , n"
+� � ����� ��������9 � �����)�� ���� Q��R�
� ��� *$)$% $� V �� � ������ �������� �� Rn" �� ��� ����! �� x ∈ V ��� ������ � ��
���� ����� ��� ������� c1, . . . , ck �� V "
?� � ����� ���,�9 )� ��� � �) � � ������� �� ��� ��5������ ��� �� �,��
���� � ����� � � ��� �� )� ������9 Q��R�
� ��� *$)$' �� M �� �� ���� � 8���9 ��*����! ��� � ����� ���� ��������� 8����������9
������ �� �������� V 8V ⊥9 �'��� �� � ����� ���� ��������� 8����������9 ����� x �� ��������
V 8y �� V ⊥9 �'���! �� ��� �� ���� ����� ��� �� �� �� �� �� ��� ���� �������"
�� �� � *$)$% $� �� ���' M ∈ 6En×n �� �� ��*����" �� ��� ����! � ����&��� �'���
�� M �� �� ��*����! �� ������ ��5� �� ����� �� ����� ���� ������� � �� ���� �����
�� ���' M E1)F"
���
?� )�� � ��� � ������ ���� �� ����� ������������ ������� �� 0. ����
"� �� ��9 �� )� �,� � ��� � �� ��� � )��9 � � ��5������ �� � ���$ �� ��
��� � � �������� �� � �����
�� �� � *$)$' ��� �� ���' M ∈ Qn×n ��� ����� q ∈ Qn! � ���� ��� �� �� ���������
�����.
8(9 �� ������ 8#�$�#9 ��� � �� ��� ����! �������� ������� (u,v)"
8)9 �� ������ 8-�$�#9 ��� � �� ��� ����! �������� ������� (x,y)"
819 �� ���' M �� �� ��*����"
" � ���� �� �� �� �� 0. ��� ��� ? �� 7�8 � 7�8 ����9 � ������� ����� ��
���������� ������ 6� ���� 7�89 )� �,� � � �) � �� �� � ���������� ���� �������9
� ���$ M �� �� ��5�����
��)9 )� ��� ��� � �*. ������ ���� �� � 0. ���9 Q��R�
�� �� � *$)$) ��� �� ���' M ∈ Qn×n ��� ����� q ∈ Qn! � ���� ��� �� �� ���������
��� ��� �����.
8(9 ������ 8#�$�#9 ��� � �� ��� ����! �������� ������� (u,v) �� �������� ��5� ��
����� �� ����� ���� ������� � �� ���� ����� �� ���' M ��� ����� q"
8)9 ������ 8-�$�#9 ��� � �� ��� ����! �������� ������� (x,y) �� �������� ��5� ��
����� �� ����� ���� ������� � �� ���� ����� �� ���' M ��� ����� q"
819 ���' M �� �� ��*����! ��� ���� �� � ����&��� �� �������� ��5� �� ����� ��
����� ���� ������� � �� ���� ����� �� ���' M "
��� � ����� 7�8 ��� 7�8 �� �$�����,�9 ) ��� ���� 7�8 ��� ��� ����� � � � � )�
�� � ���� 7�8 � 7�8� 3���,�9 � �� � ������� ����� �������� � � ����� �� �
���$ � ���� �� ������ �������
"� ��,� � ����9 )� �,� � ������ �� �� �� � ��� ��,� �� ���������
?� ������ �� �� �� � �� � � �� � ���,�� ������ (P − LCP ) � �� ����9 �
��,�� � ���' �� ��5������ �� � ���� ���$�9 �,�� � ���������� ���� ��������
����� ����� ������ � � ��,� �������� ��� ��)��� �� ���� �� �� ���$ ��
��5����9 ��� �� � �� ��9 � ��,���� � �2���� ������� � ���$ M �� �� ��5�����
�'��� �� � &� �� �������� � ��� ���� ��� ���� � ����& ��� ��������� � � �����
��%
%�� ���)�� ����������� ���� � �����
������ T = −M, q = q� r = 1, ��������� Q�
�� ��
���� ((J := {i ∈ I : qi < 0}) = ∅) ��Jmax := {β ∈ J : s(β) ≥ s(α)� ��� ��� α ∈ J }��� k ∈ Jmax �� ���������
*�� # −u′ · v′′ − u′′ · v′′ !�� �� ���� �� Q(k)�
�� �−u′ · v′′ − u′′ · v′′ � 0� ����
'���� M �� �� �> ���� ���� ��� u′ − u′′�
�����
�� (tkk < 0) ����
(������� ���� �� tkk� ���� s�
Q(k) = [JB, tq]� r := r + 1�
����� (tkk > 0)
'���� M �� �� �> ���� ���� ���� ���
��� ?@ tkk = 0 @?
K := {α ∈ I : tkα < 0}�� (K = ∅) ����
'���� (�*� �������
���
Kmax = {β ∈ K : s(β) ≥ s(α)� ��� ��� α ∈ K}��� l ∈ Kmax �� ���������
�� ��tk� tk� �� �tl�tl� ���� �� �� �� �������� ����
'���� M �� �� �> ���� ���� ���� ���
�����
/� ����� ���� �� tkl ��� tlk� ���� s ��� ��� (uk, vk)�
��� ��� (ul, vl) �� �� � ��� ��������
Q(k) = [JB, tq]� Q(l) = [∅,0]� r := r + 2�
�����
�����
�������
'���� !� ���� � � ��� ����� �������� �������
���
+� �� ��-! " � ������� ����#���� ��� �� �� ��
��(
?� ��) �,� � ���� )� � ���� �� ������ �
������ ������= ���9 � ��������� �� � ������ �$����� �� �� �������� ��
� ���� �� �������� �� � �� ���� �� �� �� 0,�� ���� ������ ,���� �� ��� ������
�$�����9 ����� ��� ,������� � �� �� ��,� ���� � ����� �� �� � �� � �� �����
����9 �� �,� � ��� ,���� �� � � � ������ �����
�� �� ������� �� ����� ������ �$������ �� � ����$ �� �� � ,������� ��,��,��
�� � ������ �� R, ��� ������� �� ������9 ) �� ������ �� ������ �� ��� �� � �����
B′ ��� � �� ������� � ������ ������ �� s#���������� )� ,������ xl�
" �� � ����� �� ������$ MB′ ��� MB′′ ������ � ������� R ��� ,��� q ��
�$���� ��'� �� ���� (a) − (c) ��� (A) − (C)� &�)��� ��� )� ������$9 � ,������ ) ���
����$ �� �� �� R �� �� ��,��� " ��9 �� � ����� �� � ���������� ������ �� ������
�����9 ����� ��� �����9 �� � ������� �� �� R ��� �� q9 �$���� ��� �� � ����������
,������� �� �� �����9 �� � ����� �� ��� ������� �� ��)��� ���� +� � ���� �����9 ��
� ����� �� −u′ ·v′′−u′′ ·v′ �� ����� �����9 � ����� �� � ������� �� �� R �� ���
���� �� � ����� �� ,���� �� �� ����� ������ �$������
����� �� ���9 �� ��A�� ��= E������ � )� ���� ��5������ ���� �� ������
4.2.3 ��� 4.2.4. " �� ��� ��� ���� � �� � ����� �� ��5���� ������9 ����� �� �����
������ " �����9 �� � �� �� � � ��'� � � �2���� �� � ����� �� �������� ����
�,�� �$� �� � ��,� 7����� (c) ��� (C) ��� � ��� ��,��89 ������ (c) ����� �� �����)��
�� ������ (C)9 ������� �� � � � ������ ����� 6� � �2���� �� � ����� ��
,������9 � ������� � ���$ M �� �� ��5���� �� ��,���� �� � ���� ������
" �� ����� � ����� �� ������$ (a)#(b) ��� (A)#(B). ����� ����� ������ �� �����
" � ���� �� � ����� �� ����� �� � �����
−u′ · v′′ − u′′ · v′ 7����8
����� � ��� �����2��� ������$ MB′ ��� MB′′ 9 ) �� � ���� ,������ ��,�� ����
�� ��,� ��������9 ��� �� �� ����� �� ,������ )�� � ���� ���,��� 7 � ��9 �� �� �
������ ,������ �� �� �$� �� � ��,�8� ���9 � )� �� �� ���� � ) ��� ������ ��9
� ���� ��������� )� ��� �� � ������ �� q 7 � ����� ����������� �������8 ��� �
�� �� ������� �� � ������ 6� ,��� 7����8 �� ����� �� � �,���� 9 �� �� �� � ��� ���
����� �����9 � �,������ � ���$ M �� �� ��5���� �� � ,��� u′ − u′′�
�� �� ������� � ��� Q(p) (p = 1, . . . , n)� ")� ,���� �� ��������� n ����� � � �,��
��� �� �� ���� � � �� ����� 9
Q(p) :=
[[1, . . . , n]
[0, . . . , 0]
]p = 1, . . . , n.
���
? �� ,������ ul � vl ���,�� � ����� ���� � ��� ���� ��,� � ��� �� �$� �� � ��,�
) �� �� ,������ �� ���,� 7,������ ������� ��89 )� ������ � ,���� �� Q(l) �� ��� �
)��9 � )� )�� � � ���� �� ,������� �� ����� � � �� ,��� ����� � ����� ��,�
�������9 ) ��� )� )�� � ������ �� ,������� �� ����� ����� � ��,� ������� � �
������ ,���!
Q(l) :=
[[ ������� �� ,������� �� ����� ]
[ ,����� �� ,������� �� �����] .
]6� ,������ ul � vl ���� � ����� �����,��� 7�� � ������ ,������ �� �� �$� �� � ��,�89
)� ������ � ,���� �� Q(l) ��!
Q(l) :=
[[1, . . . , n]
[0, . . . , 0]
]
l
k
− k
���� ������ �
�������� � ������
k
���
= 0
���� �
��� ���������������� � �� � ���������
+
u”v′ ≥ 0?−u′v”−
k−��� ���������������� � �� � ���������
� ����������
������
�� �����)
tkk���� �
���� �������
��������� � � *
� � ���������
�"�E"
− k
�������� ��� �
l
0
k
�"A. �"A.
�"A.
+� �� ����! +��) � � �� � ������� �� �� ��
?� ���� �� �� ������� Q(j) = [{I}, {h}] �9 � � ��� �� j �� � ��� Q, )� )��
��� I � � ����� �� ����� �������9 ) ��� � ,����� �� � ,��� h �� � ����� �� q�
&���� � �� �� � ������ � ��,� �������9 � � ��'� �� � ���,��� ������� ,������
� ���� � ����� )�� � ���� ���,��� ��,������ � �� ) �� � ��� � ������ 6� ���9 )�
� ��� �� ��� Q, � � ��'� ,��� 7����8 ��� ���� ��� �� ���� � ������ ��� Q. &������
� ����������� ���� �� ,������� ��,� � � � ���� � ��,� ��������9 � �� ��
�������� � ��,��� ����� �� �� �� �� �� ��� Q�
���
+ + + +... ...0 k
q(u, v)
−M I
1(x, y) −(x, y)i =
⎧⎪⎨⎪⎩−tki/qk �� i ∈ IN
−1/qk �� i = k
0 � �)����
+� �� ����! " � ���� ������� ) �� �� ����� ������� �$����
���9 � ������� � �������� �� � ������ ,����� �� Q ��� � ���������� �� Q
���� � �����,� �$� �� � ��,�9 � ��5��� � � ��' ����� 7����8 ���� ��� ��,�� 6�
������ (a) 7� (b)8 �� �����)�� �� ������ (A) 7� (B)89 � ����� )��� ��)��� �� ����
6 )���� �� �� �������� � ��� �� ��� Q �,�� ���� ?� � ��� ���������� �� �
�� �� �9 )� )���� �� ���� � ��,� ��� � ����� �� )���� 6� � )�� ����9 � ��� �
����� �2���� �� ��� Q )���� �� � ��� � ����� �2���� � ��� n2 ��� � ��� n2
������ �������
?� �,� � ��,��� �� � ���� ) �� (P − LCP ) �� �� �������� " �� ����� ) ��
K = ∅� " � ����� �� � ��,� ������ �� � �)� �� +� �� ����� *������ � ,���
(x′,y′) = t(k) |JN∪JB.
4��� � � � ������ ����9 )� � � �� ,��� �� � � ���� � �,�� �) ��
[−MT | −I]9 �� � � )��� MTx′ + y′ = 0� ������� � � � ������ ���� � �
������ �� � � # ��� ���� ,��� q 7�� � ���� �����89 )� �,�
(x′,y′)T tq |JN∪JB= (x′,y′)T (q,0) = x′Tq = qk.
�� � ,��� (x,y) = (x′,y′)/(−qk) �� � ������� � � ������ (D − LCP )9 �������
����� ��,�� ��� ����������� �����) ��� � ����� �� � ��,� �������
)") ����'�
?� �,� ������� � ��������� ����#���� ��� �� �� � �� ����� ������������ ���#
���� )� ��5���� ������9 ���� s#������� ��,� ����� +� ��� ������� ������������9
)� �,� ������� � ��������� �� �� � �� � � � ���� ��������� �� � ��5������
�� � ���$ �� �� ��������� 6� ���� �� ���' �� ��5������9 �� � �� �� � ����� �����
��������9 �� � ������� ��� ��,���� � ���������� ���� ������� � � ���$ �� ��
��5����� ?� �,� �� ��,�� �� ���� ���� � ������ ���� �� ����� ������������
��-
������� Q��R ��� )� �� 0. ���� ��� Q��R� ?� � ��� �� ;�$���� s#������� ��,�
����9 � �� �� � ��,���� �� ������ ������ �� � ����� � ��,� ������� 7������� ��#
�� � �� �� �� � �� �� �89 ��'�� � �������� � �,��� ���� ���������� �������
��,���
" � �������� �� � ��������� ����#���� �� �� � ��,���� � �������,� ���� �
� �*. ������ ����9 ) ��� � ������� ,����� ��,���� � �������,� ���� � �
�*. ������ ���� �� � 0. ��� �� )����
���
� ���� �
� ��������� �� ����� ����������� ��
� � ��������� �������
."! �����������
" �� � ��� ������� ������� ���������� ������� ����� �� � ������� �������
3���� ������ � ��� ���� ���� ������ �������� ����� �,�� ����� �� �������
������ ��� ���������� ������������ � �� ����� ������ ��� �� ������� � ? ��� ���
�������� �� � ����� ��� �� �������� )� ����� ���9 ������� ������� ���� ��
������� ����9 ) �� �� � ������ ��� 2������� �� � ������ �� ��'��)��
" � ��� �� �� � ��� �� � ��,��� � ��,�� �� ���� ������� ������ �� � ������� �� �
�� ������� �� ����� ������� ����� �� � �������� ������� ������ �� �������
������� � ��,�� �� � ��,�������� �� � ����� ������ ��� ������� �� ��2��� ���� ��
����� ���������� �� ������� �� Q�%R�
�� �� ��,��� ������������ �� �������� �� ������� ������� Q%R9 ������� � ��#
������ ;�) ����� �� ���� �� � ������� �������
?� �,� ������ ���� � ����� �������� ������� �� ������� �� ������ ��� ��� ������
���� " �� )� �,� ������� � � 2����� �� � ���� ������ �� '��)�9 ��� � � ���
�� � ������ �� ) �� ��� ������ �� �� � ��$�� �� ���� '��)�� &� ���������� ��
��������� �� ������� 6� ��� 2������� �� ��������� �� ,�������9 �� )� � � 7� �
�����8 ������� �� ����� �������
" � ������� �������� �� � ����� ��'� � ������� �� � ������ ��������� � ��#
��� �� � +�� � ������� ���� �� ,��)9 � ������ �� �.# ��� 6� ������9 �� ��
������� �� ����������� � ����� �� ��� �� � �$������ �� ����� ������ ��������� 4���#
������ �� �� �� ������������� �5���� ����� �� �� �� � ���,� ��� ��������
���
6� ������ �)�,�9 � ������� �� ��� '��)� �� ��2������ ����� �� ����� ��,�� �
�� ������������� ,�� �S���,�� " � ��������� ���������� ,����� �� �� �� ��2�� ��
'��)� �� ������� ������ ���������� �� �������,� ������� Q%�R�
" � ��2������ �� ����� ������ � ������� �� ����� ����,�� � ������ ��
������� ��� �� �$�� � ��'��)� 2����� ������� ��� ;�) ���� � ���� ������ ,��#
���� 6� ��� ������9 ����� �� � ���� �������9 � ��)9 �������� ��� ����$������
�� ��� ,����� �� ������� " �� ������ �� ��������� �� ����� �� ������ %�����
.����� ������� ����,�� � ����������� ����� �� ����� ����� � �������� �����#
������ ��������� ���� � ��� �� �� ������� �� ����� ������ �� ��������� " �
�� ��2������ ����� �� ����� �� �� )�� ������� �� Q��R9 ������ � ��� �� �� #
������� ����$������ �� ����� � ����� ��9 ��,��� � � �� �� �,� ��,������
��� ��������� ��2������ ����� �� ����� �� ����� " � ������� ���� �� ����� �
Q�9 %�9 %�R � Q-�R� " ��� �� ��� �� �� ������ � ����������� �� � ����� ������
�������� �� �� ��,��� ����� )�� ���� � ����� �� �� �� � �� �� � �������
�� ����� ����� ������ �������� � �� ����$������ �� � �� Q�9 ��9 �-R ��� Q-�RY ���
�� ��� �� �� �� ������� �� ���,�� ��� )��� ��������9 )� ���� ��,��� �������9
� �,�� ��� �� ������� �� ,������� ��� ���������
A�� �� � )����� ���� ��� �� � � �������� ����� �� ������� ������9 �
������� �������,� ������� �� � .63� ����� Q(�R �� ��.0� "�� � 6��� Q��R� " ��
����� ��� �� ���������� �S� � ������$ ������� ��� �������� ��� ���,�� � �������
����� �� � ��������
" � ��2������ ����� �� ����� �� ��2�� ���� �� .63� �� ����� �� � ������ ,�����
�� � 2����� ������� �� � ����� � �� � �� U ������V �� � ���� " ��� ,����� ��
'��)� �� #B,�%% ,������ " � ������� �� ��� �� � �� ������,� � � ���� � ����
�� ./40��� :�)�,�9 � �� ,�� �������� � ��� � ���� ,������
� ����� ����� ��� � 0�"09 �������� �� �� ����,��� "��� 6��<�9 �� . 1 �����
3������ �� � ��� � �� � �� �� ����9 )�� ������� �� � �$��� �� 3A� .��� Q(�R
� ��� � ������� � ������� ������� ����� ���� � �������9 ��� � ��� � ��,����
�� ��� � ��� ����� �� � ������� �������
" � ���� ��������� ������� �� �� � �������� �� � ����� ��� ������� ������9
�,����� �� ��� � ��� �� ���� �� ������ � ������� ���������9 �5������ ��� ���
��� � ��� �������� �������� �� �� �������� ��,��� ������� �������� �� �������
� � ��' ����� ���������� ��� ��� � '��� � ����� ��� �� ������������ ����9 ��,���
�� ��� �� �������� � ��� ��� � �$��� � ��� �������� �������� �,�� �� ��������
�������� ������� � � �$���9 � ����� �� �� ���� 30 − 40% ��� �� �� ��,�� )�
��� ������ ����������� �� ��2����
���
6 ��� �� ����9 � �� ����� ��� ��� �� ������ ��� � .63� �����9 ���
� �������� ���������� ��� � �$������� )�� �� �� � �$��� �� 3A� .���9 ��� �
����� )�� ��������� �� �� �$����,� ����� �� ������������
" � � ��� �� � ������ �� �����)�� ������ %�� ��������� ���� ����� ��� �� ��2���
���� �� � ������ �� ������� �� ����� � ������ %�� ������� �� � ������� �� ��#
��� ������ �� � ������� ���� �� ��� ����� ���������� ��� � ������� ������ ����
.63�� ������ %�� ������ � ���� ����������9 �������� � �� �� �������� �� �
����� ��� ������� �� ��2���9 �������� ��,��� ����������� �� ��� � ��� ���
� ������� ��������� ��� �5������� " � � ��� �� ������ )� �������� ���� ���������
�� � ������� �� ��� � ��� ������������ ��;����� � ���� �� ������� ������
�����������
."# 2�����' ��'����� �� '�����
��,��� ��� )��� ����������� ����� ������� ���������� �������� ���� �$������ ����
)� � ������� ������ �� ��� ������� ������� �� ���� ������� �� ���� ����� ) �� �
����� �� � �� ����� ��� � ����� �� ��� ����� �� �� ���� �������� ,�������
Q��9 ��9 �(9 -�9 -%R9 ����� ���� ���� �� ���� ) �� ���� ������� ������� ��� �������
)� ������ ,����� �� 2������,� ,�������9 Q��R9 � ������ ������ ����� ������� )�
��'��)� ��� ;�) ��� ��� ��H����� ,����� Q��R9 ������ � ��� ���� ���� ������� ��
����#������� ���������9 ) �� ����� ����� ��)��� � ��,������ � ���� �� ��������
�� )��� �� � ������� ����� �� ���� Q��R9 � ������ �2�������� ������� Q(�R ���
2������ ���� ���� ������� Q��R� 6 �� ���� � ��������� ����� �� � )��� ��� �� ���
)��� �����������9 ��'�� � �� �$����� ������ ���������� ������� " � �������
���� �� ����� � � ������ �� � �� � ����� ���� ���,��
" � ��������� ������� �� ��� �� ��� 7���8 �� ��� ������� �������� �� ������,�$9
��'�� � ��,������� �� ����������� �� �� �� ���������
" � ��� ��� ��)�� )�� � ���,� ������� ������� �� � ��� � )����� �,�������
����� �������� ���,�� ��'� /�3� � 36�A�� 4���������9 ����� � �� ���������� �
����� � ���,�� �� ��� ���2�� ������9 ������� ���� ������� �� ������ ���� � )���#
���������� ������� �� ���� �� ������������� /�������9 � ���,�� ���,� � ���� � �
����� ����� � ��� �,�� �� ���,� �� " �����9 � �� ������ � ��� � �� �� � ���
��,��� ������ ����� ��� �� � ���� � ��� ��� � �������� �������� 7������ �������
���������8� ���� ������� ����� �� ������� �� Q��9 ��R�
� ������ ������ �� � � ���� �$��9 �� ��� ������� ���������� ����$������
�� ���� ��'� �������� �������� � ����� �� �� ��� ��� �� ��� )�� ���� �� Q�(R�
���
:�)�,�9 � ��� )����� ����� �� �� �� � ��0������ ������ ������ ��� 7��.8�
6 �� ���� ������������ �� ���� ��� )��� �����������9 ��'� �� ������� ������ �����
�������
" � ����� ����)�' �� ��. �� ������� �� Q�R� :�)�,�9 �� ������� �� �����
�������9 � ��. ������ �� 2��� ��� ��)��� " � ����� ���� �� ��. �� � �
,������� �� � ������� ��� �� ��,���� ��� )� ������� 7)� ����� � ���������9 �� ��
,������� ��� ��� ����� �� �$��9 � ��H���,� ������� ��� ��� �������� ������ �����8�
6� ��� ��������,� ������ � ,����� �� ,������� �� ��� �� � ������� �� �$��9 ��� � �����
�� ����� ������ �� ���,��� " � �� �� ��� �� ��������� �� 7���8 �� �����)�� 6� �
���� y �� �$��9 � ������ ������
max cTx + xT Dy + dT y
aTi x + xT Fiy + bT
i y ≤ bi i = 1, . . . ,m 7%��8
Nx + M y ≤ d,
�� �����9 ��� ��� �� ���,�� �� � ����� �� ����� ���,�� 6� � ���,� ������ �� ��������9
�� �� � ������� x := x ��� ���,� � ������� ����� ������
max cT x + xT Dy + dTy
aTi x + xT Fiy + bT
i y ≤ bi i = 1, . . . ,m 7%��8
N x + My ≤ d.
6� � ������ �� � ��� ��������9 �� y := y ��� ���� ���� ���� ������ ����� �� ��������9
� �� ������ ���� �� �$�������
A�� ��� ����,�9 � � �������� �������� �� 7���8 ���� �������� �� � � �����
��������
Nx + My ≤ d 7%��8
� ���� �,� � �������� .����� 7%��8 �� ������� ����� � �� � ���� $#�
�� �� � ���,� ������ �� ����� ��� ������9 � �� ���� ��,���� �����,��� ���
6� �� ��� ������9 � ��������� ����� �� �� �� ����������9 � �����#������� �� �� ���
�� ������� � ������ � ,����� �� � �$�� ,������� � ��� �� ��,�� ���������� �� � ��$
������� ?� ��� ���9 � ���� �� � �����2��� ������ � ������ ������� ��������
�� �� � x ��� y ,�������9 � �������� ����� �������� �� ��� �� � ��������
" � �� �� �� ��. �� ��������� �� +� �� %���
���
LP (y)���,�
LP (x)
���,� � ��� �. ���������� → ����� �� ����������b
��������
��������
������
�)�� ��� �� x ��� y
��������� → ����� �� ���������a
* ��' ������� ���������
"������ )� �������
���������� → ������ x � �������� ��� ���� �$������
+� �� %��! � �������� ��. �� �� � �� ������� �� ����� �
+� ����� ������� ������� � ������ ����� �� ��. ��� �� ,�� ����������� 9 ��
��������� �� � �$����� �� Q��R�
max 20x1 + 70x2 + (y1 + y2)(70x1 + 95x2)
x1 + x2 ≤ 10,
x1 + 1.5x2 ≤ 12,
y1 + y2 ≤ 1,
y1(x1 + 5x2) ≤ x1, y2(x1 + 5x2) ≤ x2,
y1(4x1 + x2) ≤ 5x1, x24x1 + x2) ≤ 4x2,
y1(x1 + x2) ≤ x1, y2(x1 + x2) ≤ x2,
x1, x2, y1, y2 ≥ 0.
+� �� �$�����9 � ��. ���� ��� � ��� � ������� ��� ���� � ����� ������
(x,y) = (10, 0, 1, 0) ���� �� � )�� ���� ��� y = (1, 0)�
:�)�,�9 � ���� ��)���' �� � � ������� ������� �� ���� �������� ��
���������� �������� � �������� ������ � �,����� �� �� � ��� �� ������ ��������9
��'�� � �������� � ������������� ������� �� x ��� y� 6� � �� �� ������� �� Q�R �
���� �� � BB" ���� ���� �� ��� ����$������� �� � ������ ��� �� ��. ����)�'
)� ��� �����2������ ����� �� ����� ������ ���� � ������� ����� ������ )�
� ��#� ��� ��� ����� " � �� �� �� ������� ����� � �� ����� %$# � .��.�
��%
�������9 � � ���� ������� 7) �� ��� �� ����������8 �� x, y9 ��� � ����
,��� �������� � ���� ��� ����� �� ∆� " � ������� d = (dx,dy) ����� ������
��������� � � ������� ���� ��� �� ��������� ��
max cT (x + dx) + (x + dx)Dy + xD(y + dy) + dT (y + dy) − µ
(m∑
i=1
zi
)ai(x + dx) + (x + dx)
T Fiy + xT Fi(y + dy) + bi(y + dy) − bi ≤ zi, i = 1, . . . ,m
N(x + dx) + M(y + dy) ≤ d,
−∆ ≤ d ≤ ∆,
z ≥ 0,
) �� µ �� � ������ ������ ��� � ,��� z ������� � ������������ �� �� �
�������� 6� (dx,dy) = (0,0) ��� µ )�� ������� ������9 �� x, y �� � BB" ����9 � �)���
dx,dy �� ����� � � ���� �������9 ��� � ���� ��� ����� ∆ �� ������� �������
� ��� �� � ������� ��� ��������� � �� � �� � ������ ��H���,� �������� +� �
������� ���������9 � ���� �� ����� � Q�R�
�� ��� ��� ����,�9 �� �� ��2��� �2��� � ������� �� ���� ����� �� ���9
�� �� � ���� ��� ���� �� ��� ����� �� ��� ��� �� ,�� ��S����
&� �� ��� �� ��,�� � ���,� � � � ������� ������ ������� �� ���� ������� ������
+� �$�����9 �� � ��H���,� ������� �� ���,�$ 7���� D �� �����,� ����������89 �� ��
�� ������� ��������9 ����,� � �������� �� �� ������ �� � ������� ����� �� )�
���� ��� 7���� {(x,y) : Ax ≤ b, By ≤ d}89 �� ��� ���� ���� �� � ��. ��������
������� ���,� � ������ Q-�R�
:�)�,�9 �� ����� ������� �� ����� ������� # ��'� � ��H��� �� � �������
�������� # �,�� �� ��,����� � ���������9 ����������� �� ��� �,� � �� ��,�������
."% 2�����' ������'���� �� ��� ������� �������
6� �� ������9 )� ���;� �������� � ���� ������� �� � ������� �����9 ��� �$�����
�) ��� ������ 2����� ������� ��� � ;�) ��� ,����� �� ������9 ) �� �����
� ����������
" � ������� ���������� ������ ����� �� ������� ������ ��� �� ��,���� ��� )�
������������ ��S��� ���� " � �� ������� �� � ����� �������� ��'� ���������
�2������9 ������ �����9 ���������� ���� �������� 7�� � ������8 ��� � � ����� ���9
) ��� � ������ �� �������� ������� ��� �� �������� )� ������� ��� 2����� ��������
��(
" � ��'��)�� �� � ����� �� ������ ���� �� )� '����! 0�������� ��� 0��������
,�������� " � 2������,� ,������� �� ���� ������� �� �� ����� ��� ���������� ���#
�����9 ) ��� � �� � �� � 2������,� ,������� �� ������ �� 7���� ���8 ��������
��������
" � ���� ������� �� � ����� �� � �����9 � 2������� ��� � 2������� �� �
�) ������� �,������� �� ���' � �� � ��'�9 �� )��� �� � ��� �� �������� �����9
�������� �� ������� �� �������� 2�������� ?� � ��� �� ��$������ ���� 7�
��������� ���89 � ������ ����� ��� ������� ������� ��� �2���� ������� ��������
��������9 )�� ������� ��������9 ,������� ������� ��������9 ����� ��� � 7��'�
�������� � ���� ����������9 �� �������� �� � �2������ �� � �����������8 �
����� �2������ 7�� ���� �� ����#����� � ����#����� ������8�
:�)�,�9 ��� � ���������� ���� �� ,��)9 � ��� ������� �������� �� �
�������� ���������� " � ���� �������� �������� �� � ����� ��� �������� ���� '���
�� ������� � " � ��5���� )� ������� �� � � ,����� �� � 2������,� ,�������
�� �$������ ����������9 � �� � ����� �� � 2������,� ��� 2������,� ,�������
������� � 2����� �� � �����9 ��'�� � ��������� ������� ��������U" � ��������
�������� �� )� ���� ����������9 ) �� ���� ���� �� ������� � � � ��� ��������
��� ��� � ������� ����� �� ������ �� �� " � ������ ��� 2������� �� ��� ��� ���
�� �������� �� ������ �������� " � ����� �� �� ������� � � � � ����
������� 2����� ����� � � ,����� ����� 6�������� ����� �� � ����� �� �������
� � � � ��'� ���� ������ � ������ )� ����� 2����� ������������V Q�%R�
6 �� ������ � ���9 � � ����,� ������� �� �� ���� � ���,� ��� �������
�� ��� �� �� � ��������� ��2������ �� ����� ������ 9 ����� �� �,�� ����� �� ��#
��� ������ ���,��9 � 2����� ��� ;�) ��� ,������� �� �$�� ��� ���� � 2�����
,������� �� ��'��)��� " � � � ,������� �� ������ ��)��� �����2��� �������9
����� �� � �������,� �������9 �������� �� � ��$ �������
7$%$& ����,����� �������
?� ��) �$����� �) � ������ 2����� ������� ��� � ;�) ��� ,����� ���� � ���#
���� � �� ��� �� ������ ��)��� )� �����2��� �������� ?� ��� � �� ��#
��� � ��� ������� �������� �� ������ ����
*������ � ������ �) �� � ������9 ���� � 2����� �������� �� ���� ���� �����
��� �,�� 2����� Qj�
−qj1x1 − · · · − qjnxn + pjxF + RjF = I.
���
6� � �� ������ �� � ��������,� ������9 � 2����� ������� pj �2���� � ./40��
,�����9 �,�� 7 ������8 �� � �$���� ��) ������� � � ������� x1, . . . , xn �� '��)��
��)9 � �� ,������ RjF ������� � ��S����� ��)��� � ����� �� � �������
�������� G ���������� � 2����� Qj G ;�)�� �� � � �����9 ��� �������� �������
� � ����� 6� � ��$ ������9 � ������ 2����� ������ �� ������ �� ��� �
)��9 � � ��� � �������� � �� �� �� � ��$ ������� 6� � � )���9 � ��)
2����� ������ �� ��� 9 � �� � ;�) ,����� )���� �� � �� �9 �� � �� ��
)���� ������ ����
pupdatedj :=
qj1x1 + · · · + qjnxn − RjF + I
xF
. 7������ ����8
"� ���� � ������� � � �������� � ���9 ) �� ��������9 ��� ,����� �� �� ��H����
� 7� ����� �8 �� �������� � ���� " � �� ����� ��������� �� � �2����� )��� ��
���� �� �� � �� ,���� "� ���� � ���� �� � �� ,����9 �� ��� �����2���
������9 �� �� ��)� ��� ���� ������ 7������� ����� ���8 �� � ����� " ��
������ ��� �������� � ����� ����� �� ���������� �������� "� ��,�� ��9 � �����)��
��� �� �������! �� �� ��,��� �����2��� ������� � ����� �� 2����� ,������� ������ �� �
�� �� �������9 ���� 7� ���8 �� � ������ �� � �� ,���� �� �������� �� ���������
" � ����� �� � ���� ������ �) � �� ,������� �� �������� ��)��� �
������ �� 2��� ��� ��)��� ������� � �� ���� ����� 7)� ������ �)� ��������
�� 2�������8 �� ��$�� ��� k �� � ������9 )� ;�) ,����� �� xi9 i = 1, . . . , k� " �� �
�� ��������� ��� Di �� ����� i �� ������ ��
Dupdatedi :=
xi
x1 + · · · + xn
. 7������ �� ���������8
6� � ����� �� ����� ������ ���������� � � ����� ������ 2����� �����#
�� ��� �� ��������� ���� �� ����������9 �� �� ������ �� ����� �� )� � �������
� �� �� ����� � � �������� ��� �� ��������� �����9 � � �� � ��� �� � ���������
������$ �� �� � ������� )� ��� � ������� �� ���������� ������� ) �� � ��� ��
������������ �� �������� " �� ����,���� )��� �� ,��� ���9 ) �� � ��� �� ����� ����
�� �� �� )��� �� ��������� �� ������ %���
7$%$! 5��� ���� �������� � ��� �����
6 ��� ���� �� ��������9 � � ����� ������ ��� ���� ������� ������ ��� �� )���
Q�%R� "������ ��� ��� ���� �� �$����� �� 2�������9 �� ) �� � ������������ ��
������ �� )�� �����9 ������ �� ,������� ����� 7����� �� �� ����9 � ����� �� �
���
2����� ��� 2����� ,������� ��� ���� �� ��������� )� � ��'��)� ������� �,��
,�����8�
6� � ��������� ������� �����9 � ��H���,� ������� �� ����� ��� ������� ���� ��
� 2������,� ,�������� " � ������� �� ����� ������ 7���8 ��� �� ����������� �
������� � ������ ����� ������ ��
max cTx
aix + xT Fiy ≤ bi, i = 1, . . . ,m 7%��8
Nx ≤ d.
v ≤ y ≤ w.
" � ��)� ��� ���� ������ �� � 2������,� ,������� y �� ������� �������� �
��� ����� �� ������� ��� �� � ����������� A� � 2������,� ,������� x �������
���� ����� ��,�� ������ �� ��9 ) ��� �������� 0 < wi − vi < ε9 � �� � �� � �� �
2����� ,������� �� ����� ��������
A�� ��� ����,�9 � � �� ��������� ,������� �� �� � ������� ��� 7%��8�
" �� �� �� ������� �)�,�9 ����� ��� �� ,������� )�� ���� �������� � �����
� �� ��� ����� �� ������� 2����� ������ �� � ����������� �� � �����9 ��� ��
���������� �� � �$�� ������� ������
" � ���������� �� �� ������,�$ ����� �� �.# ��9 �,�� �� ������� ������� �
����� �� �$������9 �� ����� ���������� �� ��2��� �� �2����9 ��� � �$������ ��
������� ������ �������� ���� �� ������ � ����� �� �� �������
� ����� ����� �� )� ������� ��� � ��� �� ����� ������� �� ���� 4000 − 6000 ���#
����� ��� 7000 − 8000 ,������� )� � ������� ���$ ������ �� ���� �� 0.1%� " �
����� �� �� ,�� �����9 �� ���� ,�� �� �����! ���� ���� 1% �� � �������� �,�
������ � # ��� ���� ,����9 ��� ������� �� ��� �� 1% �� � ,������� �,� ������
���5���� �� � ��H���,� �������9 ��'�� � ����� ,�� �� ����� �� ��� ����� ���
���� ����� " �� �� ������ ��� ����� �������� ���������9 ��� ���� �,�� ��� � ������
�������� �,�� �� � ���� ������� ������ ��H���,� ������� ,������
E�2������� ������ �� ������� ���� �� � �� � ,�� � ���,��9 ��� ��,��� ��#
������ � #���� �������� �$��� �� � �����9 �� � ���
a11x1 + · · · + a1kxk ≤ 0 7%�%8
a21x1 + · · · + a2kxk ≥ 0 7%�(8
) �� ||a1 − a2|| �� ���������� ������
��-
0,�� � � ����� �� �����9 � ���� ������� ��� �� ������� �� ��� ����� �,�� ��
� ������� �����9 ���� �� ) �� �,� � �� ������� �� � ���#���� � �� ��9 ��'�� �
�� � '��� � ���������� ��#�#���� ���� ������� �� ��� � ��,�� � �� �5����
�� ������ ) ��� ��'�� ����� � �� �� �� ������� �� ������ %���
" � ������� �� � ����� ��� ���� �� ��,���� ��� )� ���� ����� +��9 � ��������
������� �� � �� �����9 ) �� ������ ��,� � �� ,�� �� �� ������� �� � ������ ���9
) ��� �������� � ��H���,� ������� � ��� ������� �� � �� �����9 � �� �� ��� �
� ��,��� ������� ������ �������� ���������
� ����� ����,� ��������� �� � ����� ��� � ���� �� ��� ����� ������ �� �����
�� Q�%R9 ) ��� ��,��� ������ �� � ���� ��� �� � � ������ ��� �� ��� �� �
�������,� ��'� )�� ������� �� Q�%R�
7$%$% 5������� �� ������� 8����� �9�5:
A�� �� � ��H�9 )����� ���� ���)�� ���'� �� �� � ��'� �� ����� ��������
���������� �� .63� Q(�R� " � ������� ���������� �� ��2�� )�� ������������ � ����
�� � ��� ������9 ��� �� ����� �� � ������� ��. �� ��2�� �������,� �������� " �
�,������ �� � ����� �� �$����� �� ����� �� Q�%R�
" � ��� �� �� ������ �� � ��,��� � ���� ��������� � ���� �������� ��� �������
������ �� ����� ����������� " � ����)�' �� ) �� �� �� ���� �� � ��� �� � ���
�� � � ������9 ����� .63��
6� � �� �� ����� �� 1E�9 � 2����� ������� �� � ������� ��� ����� �� �
�������� �� ������� �� � �� ������ ������ ��� ���� ��� ������ ,����� �� �
2������,� ,�������9 ������� ����� �� #B,�%% ,�����9 � ������ ����� �� ����� �� x9
��� � ���,������� ����� �� ����� ���,� 7[.E0��#3. Q-�R �� �� ����8 �� ���� � ���,�
�� " � � ���� �� ./40�� ,����� �� �������� � ��� ,��� �� �� � ����������� ��� ��
��S��� � ����� ��� ���� � ��S��� ����� ������ ��������9 � ��� ���� �� �������� �
���������� �������
��� ���� � ./40�� ,����� ��� � ������� �� .63� 7��'� � �������� �� �
����� �� ����� �� �� � ���� �� [.E0��#3.89 � ���������� ����� �� �� ��
���,��� ����� � ������ 2����� ������� ������� ����� �� ���������� ���� �����9 �
1E �� ��2�� �� ���� � ����� ��) 2������,� ,�������� " ��� ��) 2������,� ,�����
��� �� ������ � �� � �,�� �� � �������9 ����� �� .63� �� ��������� �� �����
����������� ��������� 6� ��9 ��� �������� � ��������� ����� �� � 2������,� ,�������
��� ���� �� � ���� ���� ��� ����������� ����� � �� � � ���� ��������� �� ��� �������� '��� �������� �
� $+ �� ������ ����� � ��� ���������� � ��� ������ �� �,-� ��� ��� ������ ����
���
Basic modelingcollection of data, converting to PIM S
PIMS -M odeling, m odel generation-Param eter settings (PGUESS etc.)-Choice of algorithm (prim al, dual, Newton-barrier)-Options for the algorithm (pricing strategies etc.)-LP generation
XPESSMPSolution of the LP problem
PIMS:The LP solution
is optim al
Solution docum entation
PIMS: -Distributive recursion -M odifying (som e) data-Building a new LP problem
yesno
+� �� %��! ������� �� ����� � ���� .63��
x9 ��) 2����� ,������� y ,����� )��� �� ������ 7�� )��� �� � �� ��������� ����
����� �� x89 ���� �� � ��������� ����� �� ������9 ��� ��� 2������,� ,������� ��
�� �� �9 � �� ����,���� �� �� ��,��� " �� ������ �� ����� �� � ���������� A��
������� ������� �� � ������� �� � ����� �� �� )� �$�� 2������,� ,�������9 ���
� ���������� �� � 2����� ������� ��� �� ��������� ����� ����� �� � ����
��������
+� �� %��� ��������� � ���� ���� �� ���������� ���� � .63� ����)�'� +��9
� �������� �� � ���� ����� �������� � � ������ ����� �� � �����9 ��� �
����������� �� ���� ��� ���� ��������� ��� �2������� �'� ������ �� � ���������#
��9 �� �2����� ������ ���9 � ����� ��� �� �������� ��� ������ � .63�� " �
�� � ���� �������� )� � ��2��� � �� �� �� � ����� ��� ��'�� � � � � � ��#
��� �� ��' � '��� ��� ��������� �� � ����� ��#� ���9 ��� � ��' �������� ����'��
������� ����� )� ��� �� � ������� ������� � �� �$��������9 �� ������� �����
� ��'�� ���� ��� � ������� ����������
" � � �� �� �� � 2������,� ,������� �� �� � �������� �� � 2������,�
,������� �� ��,�� �� � �� ���� " � ������ ���� �� � �� �� ./40�� ,����� �� ����� 1000#
4000 �����9 ������� � ������ � � ������� ����� ������ �� 100#300 �)� ��� ����� 100
�������9 ��� ���� ����� 30%−60% �� ��� ,����� �� � �� �� �� � ������ ��� 3���,�9
���� � ��) ������ �� �� �� � �� �� ��,��� � ��,��� ���� ���� � ���������
���
6� ��� ���� �������� 7� �� ,�� �� ��� ��������� ����� ���������� � � ��
����������� �� � ��� )�� ����� �� ������89 � ������� ����� �� �������� )� �,��
2������,� ,������� �� �� �9 �� � ������� �� ������� " � �$����� �� ���� %�� ���#
������ � � �� � �� � ������� �� )� �� ���,� ���� ������� �� � ����,��� ������
������� " � ������ ������ �� 7�" ������� � ������� ������ "� ������� ����9
���� �,�� ������ ������ �� �������� " � ������ �� ������ � ����� �� �������
���� �� � ����� ������$ �� �� � ���,� � ����� �� ����� ������9 ) ��� �� �
��$ ������ � ������ � �� � ����� ��H���,� ������� �� � �)�9 )� ����� � �
����� ���� �������� ��H���,� ������� ,����� " � ��� �� ������� � �) � ����� ��
2������,� ,������� ������ � ������9 ���������� � � �� ��������� �� � ������
" � ������� �� �� )��� �� �,�� 9 ��� �� ����� ����� ��' 83 �������9 � ����� �
������� �� 83 ����� �� ��� )� ��� � � 62723 ������$ �������9 ��� ��' ���� 19
������ �� � 3000 3:� �������
��,��� ���� �� ��� � �� ����� +�� ����,�9 � )� � �$������ �� � ��
�����9 � ��H���,� ������� ,���� �����@ � �� � ��� 9 ��� � �)� �� �������� ��������
������� � � �$��������9 �� �� � ������ ���� ) �� � ����� �� 2������,� ,������
������ � ������ �������� �������9 ��� ��� �� ��������� � � ��� � � 2������,�
,������� ���@ ������ �S�� � ��H���,� ������� �� 7%��8� :�)�,�9 �� ��5��� �����9
� ����� �� 2����� ,������� ������ �� � ��� ;����� ��,���9 ��� �� ��� ����� �
��H���,� ������� ��� ���� � �� � �� ��������� ��� �$����� ����� )��� �� ������� ��
������ %���
�� �� � ����� �� 2������,� ,������� ������ �� � ;������ ��������9 ��
��� � �)� � �������� �������� 6 ��� �� ��������9 � �� �� ������9 �@� ������
� � ��� �� � ���������� 2������,� ,������� ������� �� ���� �������9 �� ��������
H���� ��9 �� �� ��� �������� � ���9 ��� � � �������� �� ������ ��,��� �����
3���,�9 �� � ����� �� �������� �� � � �� 100 7�� ������ �� �� ����9 �� �
������ ��� �,� ��� ��������89 ��� ���� �� �������� ����� �� �� ��,��9 �� ������
�� �� � �� �������� �������9 � ���� � ,�� ��� �������� ������� )��� �� ������� ��
� �� ��� 4������9 � ������� ������ �� ������� �� ��� �����9 ��� �� ���� � ���
��� ���� ����������� �� � ���� ����
?� � ���� ��� � ������� � � �$��������9 � ��� ����� ���� � ��) ������ � ��
� ./40�� ,����� �� ������� ���� � ��� ���������� � ���� 6 ��� �)�,� ����
)� ��������� ��S��� �� �� 0� �9 ��� 2������,� ������� � �� �� � �� �
��� �� ������ ��� �������� ��9 � � ����� ��� �� ��,��� ��������� ����� � �����
����� � �,�� ����� �� ���������� � ����
")� '���� �� �������������� �� ����� ��� ��� " � �� ��� �� ) �� � ����� �� ��
���
]������,� ,��
������ �� �
E�� 6�� A�H� � & *
� ���� �����\ ��%� %�� ��
� �-- -����\ ���( ��� ��
% ��� -��(�\ ��� �- ��
� ��� --���\ -�� �%� �
- �%�( --���\ ��% �(( �
�� ���� --���\ %�� ��� (
�� ���- --���\ ��� �� %��
�% ���� --���\ �%� -� �
�� ���� --���\ ��� (� ���
�- �(�% --��%\ ��� (� (
�� ���� --���\ �-� �� �
�� (�% --�((\ ��� �(� �
�% ���� --���\ �(� ��� �
�� �(%� --�-�\ �(� ��� (
�- �(�� --�-�\ ��% ��� �
�� %�� --�-%\ ��� �� �(�
�� �-(� --�-%\ ��� %� �(�
�% ��� --�-%\ ��� %� �
�� ���� --�-�\ -( �� �
�- ���� --�-�\ �� �� �
�� ���% --�-�\ �� �� ���
]������,� ,��
������ �� �
E�� 6�� A�H� � & *
�� ��� --�-%\ �� �� ���
�% ���� --�-%\ (% % ��
�� -�- --�-�\ (- �� �
�- (�� --�-%\ �� �( �
%� �%�� --�-%\ �� �� �
%� ���( --�-%\ %� �% ��
%% ��� --�-%\ %� �� �(
%� %�� --�-(\ (� �� ��
%- ���� --�-(\ %� �� �
(� ���- --�-(\ �� �� �
(� ���� --�-(\ �- �� �
(% (-� --�-(\ �� �� �
(� �� --�-(\ �� �� �
(- �� --�-(\ �� �� �
�� %� --�-(\ �� � �
�� � --�-(\ �� �� �
�% �� --�-(\ �� � �
�� �( --�-(\ �� � �
�- �- --�-(\ �� � �
�� �� --�-(\ �� - �
�� � ������\ � � �
"���� %��! E������� ������ �� � ����,��� ������ ����9 � ������ � �������� ����� �� ��
�� � �� �������
)� �$�� 2������,� ,������� �� ����������9 ) ��� � ������ �� � ������������ �� � 2�����
������� y� 4������ � ���������� �� ��� )� ����� ��� 2������,� ,����� y ��
) �� � ����� �� �� ������� ��������� A��� � ����� �� ��� � �� ���,�� ��
��������9 � ��� �� � �������� �� � ��'� � 2������,� ,������� ��������9 ) ��� '�����
� ����� �������� �� ,������� x�
" � �$���@ ���� ��� �� ������ ������������ ��� ����� ������ �������� �� � � �� �
� ./40�� ,�����9 ��� ��� � ������� ������ " � ��� ���� �� � ��� �� ����������
��� �� ��� �,�� �� � ������� ������ 4���������9 ��� �� ���������� � ������� ��
���
���������� ����� ����9 .63� �S�� �� �5���� ��� �� �) � ������ � ./40�� ,�����9 ��
� � �� �� �� � ./40�� �� � �� ���� ������� �� � � � �$�������� �� � �$���9
� �� �������� ������ ����� �� ��,������ ����� ������� ./40�� ,������ �� ��
� � �� �� �� � 2������,� ,������� ���� ��� � ������ ./40�� ,����� �� �����
�� � �� #��� ���� � ������� ������9 � �������� �� � � �� �� �� �� �������� �� .63��
��� � �������� )�� � ��� � ������� ������ ��� � ������� �� � � �� � � ��#
����� �� � ����� ���������� ���� ����� " � �������� ���� � ����� �� �����
�� ��� ��'� � ����� ������$9 ���� ������$ � ��)��#���� �� ���9 � �,�� ���� �
� ���� �� � ������� �� � �� ��� ��'� ��� ������� � ����� ��� ���9 � �����
�� ��)��#���� ������� ����� �����,� ������� ���� � �� �������� ��S��� ���������
4������9 ������ �� ������ � �)� � ������� �� � ��������� �� � ������ ������
� ���������� ���,�� � ����� ��S��� ���������
�� �� � �� �������� � �� .63� )� ��S��� ������� ����������� )� � ��#
������ *��0 �����9 � �������� ��� ���� �� � ����� �� � �� ���� ��������� E�����
)� ��S��� ���� �9 ./40�� ,����� � )� ������ ��� ��� �'� � ����������
�� �� �� � �������� ��S��� ��������9 ���� ������� � ���� �� � �������� �������9
� �� �$����� � �� �� ����� ������ ���������
+� ���� ����� ������9 � �� �������� � ��,��� ��S��� ��� �� ./40�� ,����� �� ���
������ ����� � ������ ��,���� ��S�� �� ��� �����9 ��S��� ������������ �� ./40��
,����� �� �2���� � �� ���� � ������������ ���,� � �����9 ���� �������� � �����
�� �������� ���������� 2����� ,��������
" � ���������� �� ������ �� � ������� ����� �� � �������� " � ) ��� ������
��� �� �������� �� � �������� 9 ���,�� ��� ����� ����)�'� :�)�,�9 � �� ��������
��� ,�� ������ � �$��� � )� ���� �$� ������� ������9 �� � �)� �� � ��$ �������
.") ������� ��� �������� ������5��
" �� ������ �� � ��������� �� ����,�����9 �� ����� ���� ��� ���� ����� � ����,��
� 2����� � ����� �� � ������� ������ �� �������
" � )� ���� ������� ������� �� ���������� �� ��� �� ����� �� ����� �������9
�� � ����� �� ������$ ��'�9 ��� � ����� �� ����� ���� �� ���� � '�� 2������ �� ) �
�����)� )��� �� � � �������� �� ����� ��� ���� �� ������� +� � ������$ �� ��9
� �� �� ����� ����� ��� ����� ��� ������$ �������9 ) �� � ��H���,� ������� �#
����� ��� �� ��� " �� � �������� �� � ���� ����� �� ������� ������ 7����� ��������
�'��� ��� ��� ��� � � ���� ��� �� ��� ���� � � .��/� ���� ����� ���� ����� ��� ����� ��
���
������������ �� ��� � ����$ �������� ���� �� ������� ������������� Q%�R8� " � ����
���������� �� ���� �� ������ �� � ������� ������ �������� ��� ����� ? ��� �� ��#
���� �� �� �� ����� �� ����� ���� �� ���9 �� �� ���� ��� � ����� � ����������
�������� "� � ����� ����,� ���������9 � ���� �� ����� � Q��R�
��������� %���� ����� )� � ����� ����� ��� ������� �� � �����9 ) ���
��������� %���� ������� �� �������� �������� � ���������� � ����
��� � �������� �������� �� �� ����� �� ������ ������ ��,���� �� 3A�9 ��� )��
���� )� � ���)�� )��� �� �� ����� ��� �� =����� *^^�
7$)$& ���� ��� � ��� �����
" �� ������ ��� � �$��� � ����)�' �� .63� )� ������� ����� ������� � �
�$�������� ������� �� � �$���9 ��� ������ �� ��� �������� � �������� �������
�� � �����9 ��� ���� �� � 30 − 40% ����� �� �� � ��� ��� ���� �� ���,�� �
������� ��� �������� ������� �� �� ����� �� � ������ ����� �� ����� ������ )�
� �� ���� ./40�� ,�����9 ��� � ���� ����� �� ����� ������ ������� �� .63�9
�� �� �� ���� �,������� �� .63� �� 3.� �����
" � �� ��� ������ � � ������ �� �������� � ����� ����� ����� ������ �
���,� �� " � ��� �� �� ��������� ��'� � ��'�� �� � ��� ��� ����'��9 � ������� ����
�� � ���� �� �� � ������ )� ��2��� ��� � ����� 7� �� 8 ����� �2��������
• 1������� �������� �� ���������� �� ��� ���������� ������9 � ��� ��������9
����� � ���� ������� )��� � ��,��� ���� �� �2��,���� )� ����� � ����
���� ��� �������� ������� :�)�,�9 �������������9 �������� �������� ���
��'� � ������ ���9 �� � )�� �������� �� Q��R� ����� ����@� ��� �� � �
����� �� ����� ���,�� ������� �������� ��� �����������9 � ���� ����� ��
� ��'�� �� ��� �������� �� � ��) � �$��@� ������ � �9 ��� �� � ��' �
������� ������ �� � �������� � �������� ����� �� �� � �������� �� ������
� �������� �� ���� �����������9 �� ����������� ���,�� � ��� �� ���
• E�)� �� � ������� ���$9 ) �� � ��� �� ���5����� �� ,�� �� � ��� �����
�������� ������� ) ��� ���,�� � ����� �� ����� ������9 ���������� �� �
������$ ����� �� �� ��� ����� �,�� ������$ ����� ���,� �� )� U������ V �
�)� �� � ���$9 ��� ����� ,�� ����� ������ �� �� �� �� � ������ ���#
�������� &� � ������$ ��� � ���� ������$ �� �� �� ������,� � ,�� �����
������� 6� ��������9 �� � ���� �� �,����� �� �� � ������� ������� 9 � �� ��H��#
�� �����
��%
Basic modelingcollection of data, converting to PIM S
PIMS:M odeling, param eter settings, options
XPESSMPSolution of the LP problem
PIMS:The LP solution
is optim al
PIMS: Distributive recursionno
yes
LP generation: cases
M odel analysisConsistency checks
Reporting andclassifying changes
Solution analysisparam eter resetting
Back looking analysis PIMS: Solutions docum entation
+� �� %��! " � �$����� ������� �� ����� � ���� .63��
• 0��� �������� �� �� �S�� � �����9 �� �� �$������ � ���� �� ������ ���
� ��'��� " �� ��� �� �� ��� �������� ������� � �����9 � �������� �������
� ����� ��� � ������
• � ������� �� ������ ��� ��� ������� �� � ��� ���� �� ������� �� ��� �� ,������� )�
������ ���5���� �� � ��� ��,��� " ��� �������� �� �������� ��'� � �����)�� !
���5����� �� �����,� ��� � ,������� �� �� � ������9 )� ���� � �2��� � ���
� # ��� ����� ��� �������� �� �� �������9 �� �$ ��,��� ,������� � � ���
��,��9 ��� � ������� ������ � ���� �� � ��'���
" ��� ���������� � ��'� ��,�� � �� �� �5���� ��������� � .63� �)� )����
������ " � ���� ����9 ) �� ����� ������� ��,��� ����� ��� �� ������ � � �������
������ �� ��������� �� +� �� %���
7$)$! ���� ��� � ��� ������������ �����
� � �� ����� �� � ������� �� � ��) �����9 � �������� �� � ���������� � ���
������� �� � ./40�� ,����� ��� �� ��� � ��� � �� �� � ��. �� �� � ��������
�������� ��������� ��� � �������� ������� )�� �����9 � �������� �� �������� )� ������
��������9 ��� )� �$����� � ����� �� �������� ��������� :�)�,�9 � ����� ���
�� � ���������� �� � ��� � �������� ������
��(
�� )� �,� ������ ��������9 � ����� �� ����� ���������� �� �� � �� ��#
��� ��� ���� �� ������ ? ��� ����� �� ������ ������ �������� ������� ���������� ��
� ������$ ����� �� ���9 ���� �� ������ ����� � �� ��� �� ������,� ��������
�� � ���� ����������� �� � ������
" � ���� ��� �� � �������� �� � ���������� � ��� �� � ������ ��� ��������
��� ./40�� ,�����9 ��� � ������� ������� ������� � ��� � �$��� � ������
�������� ���������
������.�� � � ����� �������
" � ������� �������� ����9 ) �� � ./40�� )�� � ���� �� � )�� � � ������ �����
�� �� �� ��������9 ��� � 2������,� ,������� y �,� ������������ ���,� �� � ��
�������� �� � )�� ������ ��������� �� "���� %�� �� � ��,���� �������
6� � ������ ./40�� ���� �� ����� � �������� ������� �� � �� ��9 � ��� ��� #
��)�� )�� � � � ��� � �������� ������� �� � ��� � ����� �� � ��. �� ��� " ��
��� �� ���� )� ������� ��S��� ����� ���������� �� ��� ��'� ���� ������$ � �
��)��#���� �� ��9 � � �� ��) ������� �� � ���,��� ����� � ����� �� ��#
��� ���������� �� ������� � �� ���� �� �����9 ��� ����������� )��� ����� ������
�������� )� ��S��� ������9 ��� )��� ��� � ����� �� � ��.9 ����� � )��� ����
�� ��S��� 2����� ������ � �� ���
A�� �� � �������� ����� �� ) �� �� �� � ���� ����� �� ����� ����� ��
����������9 �� ��� ���� �������� � �������� ����� �� �� �� ��������9 ��� � �����
������� ���,� � � �� �������� �� �� 4���������9 � ���� �� ����� �� � ��
����� �� ��� �� � ������
� � �� ����� �� ������� 9 ����� � ./40�� ,����� �� ��������� �� � �$���
����� � ��,����� �������� � ���9 � ������ �� ������� �� �� � ���������� ����� �� ���9
� .63� �� ������ � ��'� �,�� 2������,� ,������ ��������9 ��� �,�� � ������� ��� 6
��� ���� �����9 � �� �� � 2����� ,����� ���,� � � �� �������� �� �9 �
��������� ����� �� ��� ����� ����������� 6� ��� �����9 � ��. �� �� ���' �� ��
���������� ����� ��� �� ��� �� � �������9 ��� � ������� ������ �� �������� ��� �
���� �� ������� �� "���� %���
6� ��� �����9 � 2������,� ,������� �� � ����� �� � �� ��� �� ��� � ��) � ���
�� ������� " �� ��� �� ���� �� ����� � ������ ./40��9 � �� ��� � ��'� ���
������ ����������� �� � 2������,� ,������� ���� � ���������
.63� �������� � � �� �� ���� � � ����� �� �� ������ �� � +�� �� ���9
��� �� ���������� ��9 ��� 2����� ,����� ��� �� �������� � )�� � �� �� ��2�����9
���
]������,� ,��
������ �� �
E�� 6�� ���� � & *
� (%- ���������� %�� ��� �
� �-� ���������� ��� ��( -
� (�% ���������� (�� ��( ��
� ��- ���������� %�- ��� �
% ��- ���������� ��( �( -
( (�- ���������� �%� �� �
� (�� ���������� �(- ��- �
� ��� ���������� %�� ��- �
- %� ���������� ��� �� ��
�� ��- ���������� ��� �% �
]������,� ,��
������ �� �
E�� 6�� ���� � & *
�� -�� ���������� (�( ��� �
�� ��% ���������� %�( ��- �
�� %( ���������� %%% �( �
�� ��� ���������� ��� %- �
�% �( ���������� ��� (- �
�( � ���������� ��% �� ��(
�� � ���������� ��( �- ��%
�� � ���������� ��� �- �
�- � ���������� � � �
�� � ���������� � � �
"���� %��! E������� ������ ) �� � 2������,� ,������� ���,� � � �� �������� �� �9
�� � ��������� ����� �� �� ������ �����������
��� ������� ����������� " � ./40�� ,����� ��� �������� ��������� � ��� 2�����
������� ��� ����� �� �,�� ������� ���9 ) �� ��� � ������ � ������ ,����� ���
���� � � ��� � �������� ������ 3���,�9 �� �$�������� � �)9 ) ��� ��� � ������$ �����
���������� � ��� � 2����� ,����� �� ������� ����,��� ��� ��9 � ,����� �� �������
2��� ���������� ��� � ��)��#���� ����� �������
6 �� ����� � ��'9 ) � � ��)��#���� ����� ������ ��� ��'� �� " � ���)� ��
�� ������� �)�,�9 ��� �� �����9 � �� �� �� � �� )� � �� �� �����9 �� �)
�@� �������� 6� ������ %����9 )� �,� ���� � �� �� ���������� �����������9 � �� �����
� ��� � U�������V �� ����� � ���������� �� ��������� A� � � � ���9 � ��)��#����
�� �� ���� �� .63� �� �� ���������� ����� ���� �� ��� �� �� ��� �� ���9 �
������� ��,� �� � ������ �� ���������� ����� �� ���� ? ��� ������� ��� � ������� ��
� �������,� ������� ��'�� �� ����� ) ����,�9 � � �'�� 7�� �� 2��� �������8
� ������ ,����� �� � ������� 6 ��� �� ����9 � � ����#�,� � ��� ��� �
��)��#���� �� �� ����) � ������� �� �S���
"���� %�� ������� � ����� �� � �� �� �� � 2������,� ,������� y �� � �� 10
�������� 6� �� �����9 �$���� � ���� ������� ��� ������ ./40�� ,����� )��
����9 � ���� ��S����� � �� � ������ ��9 �� � �� 5 �������� � ��)��#����
�� �� )�� ������'��� ������� �� �� � � ���� � �����&� ��� � ������� �� ���� ����
���
E������� ������ )� ������$ �� ��
�������� � � � � % ( � � - ��
� ���� �%�% ���� ���� ���( ��� ��% ��� (�� �-�
& �%� %�� ��( �-� �(� ��� ��� �(( �- ���
* �� �� �� �% �% % � ( � �
E������� ������ )� 5 ��)��#���� ��������
�������� � � � � % ( � � - ��
� �(�� ���� ���� %��� %�%� ���� ���� ���� �-�� ��-%
& ���� ���� ���� ���� �%�- ��(- (�� %�� �%� ��(
* -� -� ��� ��� ��% ��% �� �� �� �-
"���� %��! " � ����� �� 2������,� ,������� � �� �� )� ��� )� �� � ��� �� ��)��#
���� ����� ���������
3030.531
31.532
32.533
33.534
34.535
1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76
+� �� %��! " � � �� �� �� � ������� 2������,� ,������ �� � �� �������� 20 ��)��#
���� ��������
? ��� � �� � ����������� �� � ��)��#���� �� �� ������� ���@ ���� �� 2���'
���,� ���� �� �� �������9 �� ��� � ��,� � ����� ������� �)�� ��� � ��� �����
�����9 � ��� �� ���������� � ���� " �� � �������� �� �������� �� "���� %��� " � ����
����� )�� � ���� �� �� � ���� �� "���� %�� �� ) �� �� �������� ������� )�� ���������
" � ������ *��� ������ � ������������ �� � ���� ��)��#���� �������9 ) ���
� ������ �� ������� � ���� �� � �������� " � ��� ����� ��� )�� 52 ������
�� � 3000 3:� �������
6@� �������� � �� � ����� �� ������� ) �� ��)��#���� �� ������� �� .63�� 6�
�� ��9 � )�� �� � 1009 �� ��� � �� ��2������ �� ���� ��2����� ������ 7����� ��
��-
��)��# ]������,� ,��
���� ������ �� �
E�� 6�� *��� �� � & *
� -� 106 ���� %�(� �(�� �-
� �� 109 ���� %%�� ���� ��
% �� 108 ���� (��� ���( %�
� �% 109 ���� %(%� ���� �(
- �- 108 ���� %��� �%�( �(
�� �- 1010 ���� %�%� ��(� �(
�� ��� 1011 ���� %��� �-�� ��
�% �� 108 ���� %��� ��-� %%
��)��# ]������,� ,��
���� ������ �� �
E�� 6�� *��� �� � & *
�� (� 1012 ���� %%�� ���- ��
�- �� 106 ���� %��� ���� (-
�� ��� 107 ���� �%�� (�� �(
�� ��- 1012 ���� ���� �(( ��
�% ��� 106 ���� �--% ���� �%
�� ��� 1012 ���� ���� �(� ��
�- �� 1010 ���� %%�- ���� ��
�� �� 106 ���� (�-� �-�� %�
]������,� ,��
��)��#���� .����#�������$ ������ �� �
E�� 6�� A�H���,� *��� ���� 6� A�H���,� ���� � & *
�� �- --���\ 10−5 �����,� -�� --���\ ������ �(�- ���� ��
�� �� --�-�\ 10−3 �����,� -�% --�-�\ ������ ��� �� �
�- %� --�-�\ 10−3 �����,� ��-�� --�-�\ ������ ��� ��� (
�� �� ������\ 10−2 �����,� ��-� ������\ ������ �� �% �
�- �� ������\ 10−1 �����,� -�� ������\ ������ %� �- (-
-- �% ������\ 10−2 �����,� ((� ������\ ������ �% �� �
]������,� ,��
������ �� �
E�� 6�� A�H���,� � & *
��� �� ������\ �� �� �
��� �� ������\ �� �� �
��� %� ������\ �� � �
��( � ������\ �� �� �
��� �� ������\ �� � �
��� �( ������\ �� � �
��� �- ������\ �� � �
��� �� ������\ �� - �
��( �( ������\ � �� �
]������,� ,��
������ �� �
E�� 6�� A�H���,� � & *
��� �� ������\ � � �
��� �% ������\ � � �
��� �% ������\ � � �
��� �% ������\ � � �
��( �% ������\ � �� �
��� �% ������\ � � �
��� �% ������\ � � �
��� �% ������\ � % �
��( � ������\ � � �
"���� %��! " � ��)��#���� �� �� ���� � � �'� ���������� 2����� ��������
���
���������� ����� �� ���9 � � �� � �� � ������ ������� �� � � �����9 �,�� ���
� ����#�,� � ���8� +� �������� ������� �)�,�9 ��)��#���� �� �� �� ��������
����9 ��� ������� ��� ���� �� ������$ ����� �� ����
" � � �� �� �� � ,����� �� � ������� 2������,� ,������ �� ������� �� +� ��
%��9 ) �� � �� 20 ������� �������� � � �� �� ���� ��� � ��)��#���� �����
������9 ) ��� ��� ��� � �� �� �������� � ������$ ����� �������� ? �� �� ,���� ��
��������9 �� � �� �� �� � ,���� �� � ������� 2������,� ,������ �� �����
�� �$������� � �)�9 �������� ��� � �� 150#200 �������� 7����� �� ����� ����8
� ���� ������� �� �,�����9 ����� �,�� �� �� ���,� � � � ������� ������ �������9 ��
2����� �� ������� ,�� ��)� &���� �� �� ����,����9 � ���������� � ���� ������� ��
������ ��� 200 ��������9 ��� ��� )� ��S��� ���� �� 6 ��� ����� �� �$���
�����9 � � ��. ����� �� �� ����� � ������ " �� �� �,�� �$������ ) �� � ������$
�� �� � ����� � �����9 ������� �� � ����#�,� � ��� �� � ��)��#���� �� ���
]������,� ,��
������ �� �
E�� 6�� ���� � & *
% �-�% ���������� ��� ��� �
� �%� ���������� �(� ��� -
- �(� ���������� %�� ��� ��
�� (�� ���������� ��� �% �
�� �� ���������� (�- ��� �
�% ��� ���������� ��� ��� �
�� � ���������� ��� �- �
�� � ���������� �(� �- �
�- � ���������� � � �
�� � ���������� �%� �- �
]������,� ,��
������ �� �
E�� 6�� ���� � & *
�� � ���������� �%� �- �
�� � ���������� � � �
�� � ���������� �%� �- �
�� � ���������� �%� �- �
�% � ���������� � � �
� � �
�-( � ���������� �%� �- �
�-� � ���������� �%� �- �
�-� � ���������� � � �
� � �
"���� %�%! ��. ����� � ������ " � �� 4 ������� �������� ��)��#���� ����
�� �� � �� ��9 � �������� ������ � � ��. �� �� ����� � ������ ��� ��
�$����� �� ������� �� "���� %�%�
" �� �� ���� !��� � ���� � �� ���������� � ������
?� �,� ���� �� � ��,���� ������ � � ������������ �� � ��)��#���� �� ��
�� �� ����� �$������ �� � ��,��� ��� ,����� �� .63�� " �� �� )� ��� ��)��
���
������ �� �) � �������� � ��,����� ����� ��� �������� �� � �& �� ��� ���
� ������� ����)�' ����� �� �������,� ��������
" � �� �� � ����� � ���������� ������ ��� �� ��)��� �������� ���9 ��� �� ��������
� ��� �� ��������������� " �� ������ �� H�� � ���� �� � ��������� �� � ��� �� �
������$ �� ��9 �� )� � ��)��#���� �� ���
" � ������ ������ �� ����� �� � ��� ������� ������ ����� �� � ������� ��#
�������� ��)��#���� �� ��� "��������9 �� �� ���������� ������9 ����� � ��2�����
�� �������� �� �� � ��,� �9 � ;������ �S�� ��� �� ����,��9 ���� � 2����� �� �
������� ������� �� ������������9 ������������ ��� ������ �� �� ����� �������� ���
;������ ��� �� ����,�� �� "���� %�(�
6 )���� �� ��� �������� �� � �������,� ������� � ��� ��� ��� �� �����#
���� ���� �� � ��)��#���� �� ��9 � � �� � ��,� �� ���� �������� ����
���9 � � ����#�,� � ��� �� ����������9 ����� � �������,� ������� ��� ��� ���
�������9 �� ���� ����� ���������
.". -���� ����������
" � �$������ �� � ����� ������ �������� )� � � ���� �������� ��5������ ����
� ������ ��������� )�'�� �� ����� ���������� � ��,���� ��) �� ���9 ����� �
�������� ����� ������ ��������� ��,��� �$������ ����� �� ��� )�� ���� ��� � ��)
.63�#A�0 �����9 �� �$������� �� Q�%R� " � ���� ��������� �� � ��) �� ����� � ��
��������� ���
�� � �� ���9 � ����G�� ��� � )�� �������� ��� � ����� � �$���� � ��H���
�� � ����� ������ �������� �� � ���� �� � ��� ���� " � �� �� �� ����� �
��� �� ���� ����� 7./40�� ,�����8 �,� � ������ �������� �� � ������� 7) ���
������ � �� ������ ��� � ������� � ����� �� ������ �����9 �� ���� ����� ����
� ���� �����8� " � ����� �� ��� ����� �� ������ �� � �����)�� ����!
• &������ �� � � ���� �� ������ 7�� � ,������ �� � ����� �����9 ��� ���� �����
���,� � � � ���� ���� ����89 ��� ������ ����� ����� � ��� � � �� ����
�����9 � ��� ��� �� '���
• " ��� ����� � ����� � � �� ���������� �����9 � ��� � � ������� )� � ,��
��� ��H���,� ������� �� �������� 7) �� ����� � ���� ��� �. �� ���,�� )�
� �$�� ������ 2����� �������8�
" �� ������ �� ,�� ������ � ��� � )�� ���� �������� )� 1E�
���
6�� .���� 1���� 4���� .���H 1���H *�����
� ����0^�( -�%�0^�� ���-0^�� ��(-%��\ �-�-%�%\ ��(�0^��
�� ����0^�� ����0#�� ����0#�� ���-\ %����-\ ����0^�%
�� ��%�0#�� %�(�0#�� ����0#�% --��%\ ������\ -�%�0^��
�� ����0#�� ����0#�� ���(0#�( --�-�\ �����(\ (���0^��
�� ��-%0#�% -���0#�% ��(-0#�� --�-�\ �����(\ (���0^��
%� (���0#�( ����0#�% (��%0#�� --�-�\ �����(\ -�%�0^��
%� %��(0#�( ��-�0#�% %��(0#�� --�-�\ �����(\ ��%�0^��
%� %���0#�( ���%0#�% ����0#�� --�-�\ �����(\ ����0^��
%� ����0#�( ����0#�% ����0#�� --�-�\ �����(\ (�(�0^��
%% ���(0#�( ����0#�% ����0#�� --�-�\ �����(\ (���0^��
%� ��(�0#�( ���%0#�% ����0#�� --�-�\ �����(\ -���0^��
%- %���0#�( ��--0#�% ���(0#�� --�-�\ �����(\ ����0^��
(� %���0#�( ����0#�% ��(�0#�� --�-�\ �����(\ ��-�0^��
�� -��(0#�( ����0#�% ��((0#�- --�-�\ �����(\ ����0^��
�� ����0#�% ����0#�( ���-0#�- --�-�\ --�-�\ ��%�0^��
-� ����0#�% ����0#�% ��%(0#�- --�-�\ --�-�\ ����0^��
��� ����0#�% ����0#�% ����0#�- --�-�\ --��-\ %���0^��
��� ��%�0#�� ��%(0#�� ���(0#�- --��-\ --���\ ��(�0^��
��� (���0#�� ��-�0#�� (�-�0#�� ���-�\ (����\ ����0^��
��� ����0#�� ����0#�� -���0#�� %��(%\ #��-��(\ ����0^�%
�%� ��(%0#�� ����0^�� ����0#�� #��%��%�\ #�����\ ����0^��
�(� ����0^�� ���-0^�� ����0#�� #������\ #����0^��\ ����0^��
�(- (���0^�� ����0^�� ����0#�� #��-(�-�\ #-��0^��\ ��-�0^��
"���� %�(! " � ;������� �� � ����� ���� �������� �� ���������� �������
" � ���� $# �� � ����� �� � ����� �� �� �9 )� �� � ������� ��������� " �
���������� ��� ������ �� �� �������� �� � �� �@� ����������9 � ������� ��������
�������9 ��� ��� ������ � ���� �������� �� �,���� ����� � ������� ���� �� ����� 6�
� �� �� ������� �� Q�%R � �����)�� ���� �� ������ �� �� ������� � �� ������
���� 7./40��8 �� �,���
• "�'� � ��� �.9 ��� ����� ���� �� � ������� ��������9 ����� �� � ����
������� 7�'� ��� �� �$����� � �� ,������8� "�'� � �. ���$���� ��,�����
�� � ������� ������� �������� ������� � 7%��8� ���,� � ������ �.� " ��
������� ��,���� �� ���� ����� �� � ������ ��H���,� ,���� � �� ���� �������
���
�. ���,�$��������. ��������
��. ��������
��. �� ��2��
��. � 1Ea
7����8
� �� ������
���� ����
���� �����
*�� �.
+� �� %�%! " � ;�) � � �� � �� �� ��
• ���,� � ��. ������ 7���� �� �$����� � �� ���� ��. � 1E �� ��2��89 ����
� ������� �� � �. ���$���� �� �� ������ �����
• 6� � ���� ���9 � ������ �� �� � 2����� ��� 2������,� ,������� �� � #
����9 ����� �� ����,����� �� � ������� �� ��$�� 9 ��� �� ������ �. �� #
��2����
" � ��� �� ������� ���� � �� �� � ������� �������� �� � �� ��� �� � ����� �
���� �� �. � �� ���,��� " � �� �� �� �����9 ���� �� � �� ����,���� �� �� ��,��9 �
� ��� '��)� ���� ����� �� ��5������ ����� � � ��H���,� ,���� �� � �������� ��������
" � �'�� �� � �� �� � �� ������� �� +� �� %�%�
A�� �� � ��H� ����������� �� ��� � �S�� � �$���9 �� � ��� ��)� ��� ����
������ �� �2���� �� � 2����� ������� �� � �� �� � )�' �5������� /��� ��)�
��� ���� ����� ������������� ����,� � ����$������ �� � ���,�$�������9 ��� ���
�������� � ���� ����� �� � ����#�� �� �� ��
7$7$& *����+ ��������� ���� �� �0�� ������
*��,�$ ��,������ �� ���� )����� ����� �� �����������9 ��� �� ���� �������� �� �
)� ���� ��� ����� �� ��2��� Q��R � ��������� ��� � ��� ������$ �� �� ���
�� ���� ��� � ���,�$ ��,����� �� ��� ����� ����������� �� ������� �� Q�%R� *������
� ������� �� w := q · x9 ) �� q, x ∈ R ��� lq ≤ q ≤ uq ��� lx ≤ x ≤ ux� " �� �
���
�����)�� ���2������� ��� Q%�R9Q%-R!
�� �$����� �� � ����$�������
w ≥ lqx + lxq − lxlq
w ≥ uqx + uxq − uxuq
w ≤ uqx + lxq − lxuq
w ≤ lqx + uxq − uxlq
7%��8
������ ���2������� ��� �� ���,�� �� ������ ���9 ���� ������ �� ����������� ��
� �)� �� Q(�R� �������� � � � � �� ���9 � ,��� 2������ �� � � ������ �� �
������ �� � ,�������9 �������� � ����$����� ,���� �� � ���,�$���������
����� �,�� ���������� �� � ������,�$ ������� �� ����� ������� �� � �������
� ���� �� � �����9 � �������� ���,�$������� ���$�����9 ��� ��)� ��� ���� ������
�� ,������� ��,��,�� �� ������� ��� ���� ������� � �5������ �� � ������� �� ����
."/ 3����������
6� �� * ���9 )� �,� ������� ����������� ������� �� ��2��� � ������� �
�5������ ��� ��������� �� � ���� ������� �� ��2��� ���� �� ��� ����� �����������
" � ����� �� �������9 �� )��� �� � ����� �� �������� ��� ,������� �� � ��� �� ���#
�� ����� ������� �������� " �� ������� ��'�� � ������� ����������� �� ��2���
��������9 �� ��� � ������� � �S�� �� � ����� ����������� ��5�������
�� �� )� �,� ��������� �� � ��������� ��2������ ����� �� ����� ������ 9
� ��) �� ��2��� � �� �������� �� � ������ �� � ���� )��� ���� ������ ��������
��5������9 ��� ��� ����������� ���� �� ��'��� � �� �� � ,���� �� � ����������
������ �� � ���� �� )����
�! ���� ��9� � � � �
?� )���� ��'� � �$���� �� ����� � � ������ ��� �$��� �� � �*3 /��� �
3A� .���9 ) � ��,���� ���������� ��� ��� ����� �� � ��������� �� � �����
������� �� �� � ���� ������� ��'� �� ��� � &<�� B������9 T>��� /�J�9 3����
���'�9 />�� "��,�H9 "��� &��> ��� *���� 3<��J���
��%
����'�
" � ���� �� �������� )� ��,� ����� ������� �� ��2��� �� � �� ��������� ���#
���� �� ����� ����������! ����� ���������� �������9 ����� �� ����� ������� ���
����� ������������ �������� �� �� ������ ��� ���� ����������9 � ������� ���#
��� �� � ������� ������ �� ��������
��� � � � ������� ��,�� ��� � ��������� �� � ����� �� � ����9 � �����
���������� ������ �� ���������� +�� � �������� �� � ,���� �� � ������� ����� ��
������$ �� �� G �� ������ ��,������ �� ����� �� ����� ������� �� ������ � ���
"���'� G � ��) ���� ����� �� ������� �� � ������ ����� �� � �� �� � ����
� )��'� �� ������ ������� +� �� ����� �������9 � ��) �����#���� ��� �����,�
�� ��9 � �� )��� )� � 3&4 �� �� �9 �� ��������
6 �� ��,��9 � � ��) ���� ����� �� � ������ ����� ��������� ������ � �
�� ���� 3&4 �� �� � �� ����� �� ����� �������9 �� )��� �� � � �� ��� ������
� ��� �� � ������$ �� ���
" � ����#���� �� �� � �� ��������� �� � ����� ������������ ������ )�
;�$���� ��,� �������� ���� 7��'� �6+A � 3A�=8 � � ����� �� ��5���� ������� " ��
���$ ����� �� � )���� ����� �� ������ �� ) �� ����#���� ��� �� �� �� �� �����
4���������9 �� �� �� �5���� �� �� � '��)� � � ��' ) � � � ���$ �� ��5���� �
��� " � �� �� � �� ��������� �� � ����� �� 0. ������ ��� � ������� �� �� � ��
������� �� �������� ��� ����� ������������ ������9 ��� � �� � ���,�� � � ��,����
� ���������� ������� � � ���$ �� � ������ �� �� ��5�����
+� ��� ��,� �� �� � ������� �� � ����9 � �� � �)� � �� ������ ��� ��
������ )� � ��) ������ �� s#������� ��,� �������� ����� " �� ��,� �������� ���
����)� � ����������� �������� ���� �� ��,��� ��,� �������� ����9 ��'� � 3A�= �
�6+A9 � � ��������� ������� ����$ ���� " � ;�$���� ��,� �������� ���� ��� ���� ����)
� �,��� ���������� ������� ��,���
�� � ��� ���� ����������9 � ���� ������ �� � ������� ������ ������ �� �
������� ������ �� ������� � � ��� �� � ������� ������ )� ����� ����������
��� �� ����� � " ��� ���������� ��� �������� ����� �� ��� � � � �� �
��� � ���9 �� ������� ��,��� ������ �� ��� ���� ������� ����� ����������� " �
�������� � ����� �� ����� �� �������9 ��� ��,��� �� ��� � ����,�� � �������
������ �� ���������
6����$���'�7
� <��� � ����>�� ��������>�>� >�� �K '������'�� ����<�>H>��'9 � ����>�� �� �� �#
���< �9 � ����>�� �� ����>�� <� � ����>�� '����������>�� ��������' ��,� �� ��#
����''�� J<�K �� ���>�>,�� �� ���'���'� � ����>�� ��������>�>� � � ����� ��'����
��'�����>��9 �� ���H���� '�,�<��9 ����,� ����<� �,��<�� ������� ���� >� ��'�����>�� �<�#
��'<��
� J<��� >�'��<� <� � ��� ��� ��'P>H>��' �����<�� �>� � ��� ��� ><
� ����>�� �� �� ����< � ������ �� ���>�>��' ,��� >��>�� �� ������ �#"���'� �<��9
������� ����>�� �� ����>�� �������'� '���H����� ������ �����#�� 73&48 �������$
�� �����>��' 7� � ,��>��> ��H�����I' '� �� �� ����< � �������8 �����<�<�K�9 � �
� ���'>���L� ��� <�� �� ���>��> � ���<�� ����� � '������'��L� ��<K ����K '��>�
'����' � �� ��< �� �<�<���>� ��$����>�� 1� ���>� �������' '����<�<� �������'
� � ���>�#��>� H���� N �'��O, �� �����9 ���� HL� ������'���' �� 3&4 �� ����� ���
3� ����'9 � � � �<�<���>�� ��� PH '��>9 �� ����� ����>�� �� ����>�� 3&4
�� ������9 <� � �������$ �� ����� ���K9 ����,� �>����' �>���>� �� >���>���O �L�
� ����>�� '����������>�� �������' �� ���>�>� ���� >�L ����#���� �� ����� ;�$#
������ 7��� ������� � �6+A ,� � � 3A�8 ����$ ,>����>�� ����>����� ���>� ,>����>��'
� � >���>���O>�> ���' �� � ��' �� �K,��� �>�$���>���9 ����� �� ����#���� O���P
�� ������' �< ,< ���'� 0� � �>�$���>�� �� ��< �< �� �>�$�' ���>���� ��H�>����
�L���9 ��� ���� �<'��� ��H>>� �� ��< �< ���< �����K�<�<�9 ������� �� �� �����
>���>���O �L��' �������� �� P ���,��� 0. <���' �������<���� �� O � >���>���O�
�� ����� ���K�� �� ����>�� '����������>�� ������� �����O �L9 <� ,� � �� ���H� ��9
,� � ������� �<�N ������O<'> ���� >��H� ����'9 � � � ������ �>�$� ��� ��< �< ���
3��� � ����>�� �� �� ����< �9 ���� � ����>�� �� ����>�� ������� ������ ��,�
�� ������'� � ��9 � � � �� ���>��L '<����' �� >�����' ��,����9 P ���,��� s#
������ ����$,>����>�� ����>���' �� O�< <,�� ���������9 ����,� � ������ >���>���O�
����#���� �� ����� ,< ���< <��' �����O>�>� �� s#������ ����$,>����>�� ����>�� ��'�#
������'� 0��� ����$ ,>����>�� ����>�� J�� ���� ����>�� � ����HN '����<�< ���� �� �K,<9
��� �<��>�� � 3A� ,� � � �6+A ����$ ,>����>�� ����>��9 ����,� �'> � '������'�� ���#
��>�����$ ����>�� ��� � ;�$������ ����$,>����>�� ����>���'9 ��>��� ������ �����O �H>'
� �����'���� ������� �>������<' ��'�I�<�<�
� ����>�� ��������>�>�� �������''�� �� ���'��L ��H����' ,< <�9 � �9 �� ���H������ H��#
�� ���� '�,�<�9 ����<� �,��<�� ������ <,<� ����' �<��> �� ��< �� ��'�����>��'��
�� ��'�����>�� �<��>'� �� JJ��' ��H������ �� ����' � ��< �� '����9 ������� �� ���#
H���� '�,�<��9 ����,� ����<��,��<�� �������' �� ���>�� ��>� �����I�K ����>�� ������#
��>�>�� �������' �� ���>�>��' ��'���>9 � �����I�K �� <��< �'�9 <� ���' � � �� ��< ��
'����<�< ����' ���
!�������� �
Q�R 6� ���� ��� �� 3� ����� � ������$ �� �� � ) ��� �,�� � ����� �� ���� �� �������
��)��� )� 2������ �������� �� � ������ ���������� I������ �� �� ����������
��� �� ����� ��������9 ��7�8!���G�-%9 �-�%�
Q�R 6� ����9 �� 3� ����9 ��� 3� T� "���� ��) ����� �� � �,�� � �� �,�� �� ������$
�� �� ��� � ������ ���� ����� %����" 6������" ��� %�����9 ��7�8!���G���9 �-���
Q�R �� �� �''���`9 �� &��� 9 ��� "� 6��<�� ��) ,����� �� � ����#���� �� �� ��
������� ��������� ���,�$ 2������ �� ����� � �������� I������ �� ����������
7�������9 �%�7�8!��G�(9 �����
Q�R B� 3� ������ � ��� "� "���'�� � �������� �����#�� ������$ �� �� � �� �����
�� ����� � ��������� 7�������9 ��7�8!%%(G%(�9 �--��
Q%R *� ����9 T� &���� 9 .� :�����9 �� �� 1� ����9 ��� �� 3������,�c� .����� ������!
������,� ���������� ��� ������� �� ���� ������ �� %������9 %�!�(�G��(9 �����
Q(R 1� �,�� ��� =� * ,���� ���� �� �����@� ���� ���� ����� #����� ��� %��9
�!��G��9 �-���
Q�R "�0� &�'� ��� ���� ������� ��������,� ����� �� ����� � 0$$��� ������ ��
%������9 ��7�8!�(�G���9 �-�%�
Q�R 3� �� &�����9 :� 1� � ����9 ��� *� 3� � ��� ��������� #����� ���. ����� ���
������������ ����� 6� 1����� 3� ������ ��� A���������� T� � ?���� d ����9
�-�-�
Q-R T� +� &������ .������� �������� �� ���,�� ��$��#,������� �� ����� ���#
����� �� ������� ���� ���9 �!���G�%�9 �-(��
Q��R +� &����9 W�� *��������9 ��� "� 6��<�� ������ �#���'� ��� �������� ������$ �� �#
� �� �� ����� ���������� �������� ������� � ��� �5���� ������ ��� %�������
Q��R +� &����9 W�� *��������9 ��� "� 6��<�� � ��) �������� �� �������� ��� ������$
�� �� �� �� ���������� �������� ������� � ����� �5� ��� ����� $����" E��
/��������F�
���
Q��R T�3� &���� ��#E�)��� ��� 3� "� :� 0�� ���� /��������� ������� �� ����� ! ��
���������� �� ��� ���� ����� �������� I������ �� ���������� 7�������9 ��7�8!�(�G
���9 �-�%�
Q��R B� :� &� )��� .���������� �������� �� � ������$ �� ��� 6� ���� ����� ���
����� ��� ������� ��� ������ ������ ��� 86��������! ��! (DCC99 ,����� ��� ��
���� �" ���"9 �� �� ��G��� ���� 3� � ����9 .�,������9 E69 �--��
Q��R B� *����� ��� T� 0������� 0$��������� ������� ������ 6� #�������� �� ���
������� 8���������! �I! (DCD99 ,����� � �� -����% %��" -������ ���" ������"
�� ��" %��"9 �� �� ��G���� ���� 3� � ����9 .�,������9 E69 �--��
Q�%R X� X� * �� � ���� ����$ �������� �� �� ������ �� ����� ������������ ��������
7�-#��89 �-�-� "�� ����� E��� �-#��9 1������ �� A������� E����� 9 �"�����
4��,����9 ������9 *�������9 4���
Q�(R �� T� * �� � �.#����������� �� � ����� ������������ ������� I������ ��
��� �5���� ����� ��� �����������9 (�7�8!�-�G�--9 �-�-�
Q��R =� * ,>��� $����� ������ ���� � ����� �� &��'� �� � 3� ������� ��������� ?�
:� +����� ��� *������9 ��) X�'9 �-���
Q��R E� ?� *���9 T� �� .�� 9 ��� =� =��'���)���� ��5���� ������ ��� � �����
������������ ������� $����� ������� ��� �� �����������9 ���D��%!���G��-9 �-�-�
Q�-R W�� *�������� ��� "� 6��<�� ��) ����#���� ��� �� �� �� �� ����� ������������
������� )� ��5���� ������� ��� �5���� ������ J %������9 ��7�8!���G�((9
���(�
Q��R W�� *��������9 "� 6��<�9 ��� 3� �� �� �� � ����� ������� ���������� �� ������! �
���� ����� "�� ����� ���9 3A�9 ���(�
Q��R /� &� 1���� � $����� ������ ��� ��� �'�������� .������ 4��,���� .���9 .����#
��9 ��T�9 �-(��
Q��R /� &� 1���� ��� .� ?����� 1����������� �������� �� ����� �� ���� ���������
7�������9 �!���G���9 �-(��
Q��R 1� ��� :�� 9 *� E���9 ��� "� "���'�� " � ����� ������������ ������9 ��5����
������9 ��� � ����#���� �� ��� $����� ������� ��� �� �����������9 ���!�G��9
�--��
��-
Q��R �� 1���9 0� �������� �9 E� .�� ���9 ��� "� "���'�� " � ����� �� ,���� ��� �
,����� �� � '���#���� ����� ��� �5���� ������ ��� %������9 ���%� "� ������
Q�%R �� 1���9 0� �������� �9 ��� "� "���'�� :�) ��� �� ����� ���� �� ���a '���#
���� ����� � �� ������#������$�� ������� ������7����! ������� ," /� ���
��! ������! ������"9 7��89 �����
Q�(R 6� 6� 1�'��� 6���,� ������� �� ������� �� ����� ��� 2������ �� ����� � -�����
����� �� ���� %%%79 ���!���G���9 �-(��
Q��R /�� +�'��� � �����#�<�� ��� ���'�� ��, ��'�����>��� 7 � ����������� �� � ��� ��#
���� �������� �� �����8� ���� ����� K� ��� K�5���� L�� M���NO9 ��!�%�G���9
��-��
Q��R /�� +�'��� � �����#�<�� ��� ���'�� ��, ��'�����>�����' �� ���� ����H>L� 7�� �
�� ���� ���' ���� �� � ����������� �� � ��� ������ �������� �� �����8� �����
����� K� ��5���� $����9 %!�-G%�9 ��-(�
Q�-R /�� +�'��� " ���� �� ������ �� �� ���� �� ��� I������ �P� ��� 7���� ��� ���������
���� ���9 ���!�G��9 �-���
Q��R *� �� +������ ��� =� =��)��)���� .����#���$�� ���� ����� ���������� ������ �
I������ �� ��� �5���� ����� ��� �����������9 ��7�8!���G��%9 �--��
Q��R B� E� +��� � ��� ������ �� ������� ���� ��� ������� ������ ������ ��� ������ ��
4��,���� 6����� �� 0��������9 A���9 �-%%� 3���������
Q��R B� +�'���9 3� ����'�9 ��� �� "����� 0. ����� ��� ����� ������������
�������� -������ ������� ���� ����" �� ��������� ������� �! ��� �5���� ���
�� ���� %������9 ��7�#�8!���G��-9 �--��
Q��R B� +�'��� ��� "� "���'�� ����� ������������ ��� ������ ������� I������ ��
�� ��������� 7������� %���� �� I����9 �%7�8!�%G(�9 �--��
Q��R B� +�'��� ��� "� "���'�� *���#���� �� ���! � ��� ,��) �� ��,� �� �� ���
���� ����� #����� ���9 �-7�#�9 ��� &8!�(-G�-%9 �--�� ������ �� �� �������
�� ����� 7����-�8 7��������9 �--�8�
Q�%R B� +�'��� ��� "� "���'�� A� � �$������ �� � � � ���������� ��,� ��2�����
�� ���������� ��� ����� ���������� �������� #��� ���� ���� ��� �����������9
��7�8!���G���9 �---�
���
Q�(R .� 0� /���9 ?� 3���9 3� �� �������9 T� �� "�����9 ��� 3� :� ?� � A� ��H����
��)�� ���� �� ��� �� ����� �� ����� ��� �� �2��,������ � B���'�@�
��H���,� �� ��� ���� ����� #����� ���9 �(7�8!���G��-9 �-�(�
Q��R E� 0� /�5 ��� E� �� ��)�� � �������� �� ����� �� ��2�� �� � �������#
��� �� ��������� �������� ������� ������ �� %������9 �!��-G�-�9 �-(�D�-(��
Q��R �� :��� 1�� ���'�)�'��� � ������ ��� ��� ���F ��� �� ��� � ���'������ ����
� ������ �������9 ��!�-�G���9 �-���
Q�-R �� :��� � ����>�� � ����K����< �'K�� ��� ����� K� ��� K�5���� L�� K���NO9
�(!��-G�-(9 �-���
Q��R 6� :�H��'��'�9 "� ?�������9 T� 6��'����9 ��� :� �'��,��� 1�S��� ���������� ��
���,�� �� ���� ������� �� � ����#���,��� ���� )� ���� �� ����� ��� ��� ����
�����������9 ��!���G��(9 �--(�
Q��R 6� :�H��'��'�9 "� ?�������9 E� .J�9 ��� :� �'��,��� 1�S��� �����������
�� ���,�� ���#���,�$ ��#���� ������� �� ������ �������� I������ �� ����������
7�������9 ��%!%-�G(��9 �--��
Q��R .� :���� E�������� �� �� ������� �� ����� )� �������� �������� �� �
�� �� �� ����� 6� ��������� ������ ���9 �� �� ���G��-� �� :������9 ����#
���9 " � �� ������9 �-(��
Q��R "� 6��<� ��� "� "���'�� .�,� ,���� ����� ���� �� ���! ��� ��� ����� �����
���� I������ �� ���������� 7�������9 ���7�8!���G�-�9 ����� A�E� �� � ����� 0����
7&������9 ����8�
Q��R �����"�� 6��� �!DD)))�������� ����D�
Q�%R &� T�S�� /����� ���������� �� ����� ������� � 6� (>� �,7� ���� ����������.
��������� ��� �5���� �� ������9 ���%�
Q�(R �� B���'�� � ��) ����������#��� �� �� � �� ����� �� ����� � �� �������
���" �� ����������� I������ �� �� IL��� 6���� ���� ����� %����9 �7�8!���G�-%9
�-���
Q��R 0� B�����'� ��� "� "���'�� =����� �� � :�� ���� �� �� �� ���,�� ����� ��#
����� �������� ��� �5����9 ��7�8!�-G-�9 �-�-�
���
Q��R 0� B�����'� ��� "� "���'�� " � ��� �� ��,��� �� ��,�� ���� ���������� �����
�� ����� �� ���� $����� ������� ��� �� �����������9 �%�!-�G���9 �--��
Q�-R =� B��� ��� .� B������ ���� " � d#��� ���H���� ��� �� ����,��� ���� ���� ��
��������� 7�������9 ��7�8!���G�%%9 �-���
Q%�R =� B��� ��� /� T� 3���� :�) ��� �� � ������$ �� �� �a 6� ���0�������! ��� 8#���"
����� % ���"! ,���" ����������! $�� �������! �����"! (D=D �������� � �� � �� ��
�������� %" ��5���99 �� �� �%-G��%� �������� .���9 ��) X�'9 �-���
Q%�R 3� B�H���9 �� 3� ����9 "� ����9 ��� �� X�� ���� � ���&�� �������� � �������
���� ������� � ��� ������ �� ��� ����� ������ �9 ,����� %�� �� $����� ���� ��
�� ���� %������� ���� �#=��� 9 &����9 �--��
Q%�R �� ������ ��� &� T�S�� " � ������� �� ��)��� �������,� ������� ��� ������#
��,� ����� �� ����� �� ����� �������� ������� ������� 6� �#7� �� ����
���������� %����! 3��������9 �--��
Q%�R �� ������9 �� ?���9 �� ��'�9 ��� /� +� .�������� ���,�� � ������ ������
���� ��������� ������ ����� ��� ��������,� ����� �� ����� �� �� ��� ���
%�� �� 6������9 ��!-G�%9 �-�-�
Q%�R �� �� ������9 3� 0�2���9 ��� /� +� .�������� �������� ���������� �� ��������,�
����� �� ����� � ������ �� %������9 ��7��8!���(G����9 �-���
Q%%R *� 0� ���'� ��� T� "� :�)���9 T� 02�������� ����� �� �����$ ����� I" %��"
�����" ����" ���"9 ��!���G���9 �-(��
Q%(R *� 0� ���'� ��� T� "� :�)���9 T� A� ����������� ��,� ���� 6� ���� ���� ��
�������� ��������9 ,����� .� �9 �� �� -%G���� �3�9 .�,������9 E ��� 6�����9 �-(��
Q%�R 6� 3���� �� �������� �����0��� �� �� �� ���' ����� 6��������� ����� ��
A������� E����� d 3��� ���� �������9 (�� B��)� �������� .����� ��9 &����9
3�9 ����� ?� � ���)�� �� ���>� .<'����
Q%�R /� .� 3�*����'� *��,��� ����� �������� �� ����� ������� � ��������
���#����� �� ����� �������� "�� ����� E��� "#�(�9 /�� � ?�� �� �� 4��#
,����9 ?�� �� ��9 1�*9 " � /�� � ?�� �� �� 4��,����9 �-���
Q%-R /� .� 3�*����'� *���������� �� ����� �������� � �������� ������,�$ �� ����
���� ����� #����� ���9 ��7�8!���G��%9 �-�(�
���
Q(�R *� 3� 3�1����� ��� *� 1� +������� /����� ���������� �� � � ��� ��� � ���#
��� �2�������� ������! ���������� � � �� �2������ �� ����� ��� ��� ����
�����������9 �-!����G���-9 �--%�
Q(�R ����� 3� ���� ��� E� * ������'���� A� � ε#�������� �� �� �� �,�����
�� ������� ��������� 7������� $����9 �7(8!��%G���9 �-�-�
Q(�R *� �� 3��� ��� *� �� +������� "������ ��������� )� ��$�� �� � �������! �����
�� � ���,�$ ��� �����,� ��,������� I������ �� B����� ��� �5����9 �-7�8!��%G�%%9
�����
Q(�R :� 3��'�)�'�� B�� ���� ��� Q������ "�����9 ������ ��� &����9 ��-(�
Q(�R B� /� 3��� *���������� ������$�� �� ������� ����� �� ����� � ���� ��
���� #����� ���9 �-7�8!���G��-9 �-���
Q(%R B� /� 3��� $����� ��� �� ��������� ������ ���� E��� 0� B�� � .����� ��
*�� 6���9 3�������9 +�9 �-�%� E���� �� � �-�( �� �����
Q((R B� .��������� .�,��� ���� ������ � ������$ �� �� �� ��� �������� ,�����
�� '���#���� �$������� ��������9 �(7�8!��G-(9 �-�-�
Q(�R ����� .63�� �!DD)))�������� ����D������D���������a.����61Z��-�
Q(�R 3A� .��� " � :�� ���� A�� *������9 �!DD)))����� �D��D����e���D�
Q(-R �� .<'���� A� � ��,������� �� ���������� ���� ����� �5� ��� �����
$����9 �7�#�8!�(%G�-� 7�-�-89 �-���
Q��R �� .<'���� A� � ��,������� �� ���������� ���� ��� � ������ ���� �����
�����9 ��7�8!%��G%��9 �-���
Q��R E� "� E��'������� " � �������� ,���� �� � �������� �� RN � 6� �� ��������� ����
� ���� ��� �� ����������� 8#���" ����"! ,���" ���� ��������! ������ /���! �"�"!
(D=>99 �� �� ���G���� 4��,� �� *������ .���9 * ���� :���9 ��*�9 �-(-�
Q��R *� E���� �� �$�������� �$����� �� "���'�@� ��,��� ��� �� � ����#���� ������$
�� ��� ���� ����� #����� ���9 �(7�9 7��� �88!�-G��9 �--��
Q��R *� E���9 "� "���'�9 ��� T� .� =���� ������� ���� ����� ��� ������ ��� �5�����
���� �9 ��) X�'9 ���(� ������ ������ �� ����� ��� ������� � ��� ������ ��� �5��
��� Q?����9 * �� ���9 �--�Y 3E��%��-�R�
���
Q��R A� T� �� �� ��� *� 3� *�)�� " � �������� ������� �� ������� ��� ������������
������� ���� ����������� ���������� �� ���� �� ����� ��� ��� ���� �����
�������9 ��!���%G����9 �--��
Q�%R �� �� �H,�� ����� �� ������ ��� ������ ������ ���� ?����#6��������� ����� ��
1����� 3� ������� T� � ?���� d ���� ���9 * �� ���9 �-�(� � ?����#6���������
.����������
Q�(R E� f����'� ���,�� � �������� ���#���,�$ �� ���� ������ )� � ����� ����
�� �� �� �� ����� ��� ��������� 7�������9 �(!(��G(�%9 �---�
Q��R /���� ��� � $����� ������� ��� �� ������������ �������� .���9 ��) X�'9 ������
������9 �-���
Q��R "� "���'�� � ���� U����#���� �� ��V �� ���,�� ����� �� ����� ��������
����� �5� ��� ����� $����9 ��7�#�8!��-G�-(9 �-���
Q�-R "� "���'�� � ���,� �� ����#���� �� ��� ��� �5����9 �(7%8!(��G(-�9 �-�%�
Q��R "� "���'�� � ���� ����#���� �� �� �� ������ ������� I������ �� �� ���������
����� 69 ��7�8!��-G���9 �-���
Q��R "� "���'�� ��� �5���� �� ������������ ��� �� A� ������ �� :�� ����! R��� ���
�5L�L� S�5��� ����� ����� �����5�������T9 1��� �� ������� " ����9 ���%�
Q��R "� "���'� ��� �� W� W �� � .�,� ���� �� ����� �� ����� ! � ��,�� �� ����
������� ��,��������� ������ �� ��������� 7�������9 �(D��7�#�8!���G���9 �--��
1� ������ �� ���������� ��������
Q��R 3� T� "���� .��������� �$����� �� �,�� �� � ��,��� �� �� � �� ����� ���������#
��� ��� ����� �� ����� �������� ���� ����� #����� ���9 �%7�8!���G�-�9
�-�(�
Q��R �� "�'�9 X� X�H���9 ��� "� 0�'�)�� � ��)#��' ������� �� ����� ������
�� ���#������ ������� �� � 2������ ���� ���� ������� �������� I������ ��
���������� 7�������9 -�!���G�-�9 �--(�
Q�%R 3��� "��'�� �� �������� # ���9 ����� ��� ����� "�� ����� ���9 B&* ��,�����
"�� ���� ���9 6���9 :�����9 "�$���
Q�(R :� =F��� �� P∗#������ �� H�� ��5����� $����� ������� ��� �� �����������9 ��-!���G
���9 �--(�
���
Q��R :� =F��� �� *���� �� ��5���� ������� $����� ������� ��� �� �����������9 ���!��-G
��-9 �--(�
Q��R *�T� =���� ��� 3� /���� ���'$� � ����� ������ � ��� ����� )� ����� ����� ���
��������� ��� ���������� �������� I������ �� ���������� 7�������9 ��-!���G�%�9
�����
Q�-R =� =��)��)��� ��� *� �� +������� ��) ������� ��� ����������� ����,����
�� � /A. �� �� � �� ������� )� 2������ ��H���,� �������� ��� ���������
I������ �� B����� ��� �5����9 �7�8!��-G�(�9 �--��
Q-�R =� =��)��)��� ��� *� �� +������� ��) ���������� ��� ���� �� ��� ��� �� �
/A. �� �� �� 6� B����� ��� �5���� �� ����������� ������9 ,����� - �� ��������'
��� " ����"9 �� �� �%G��-� B��)� ����� .����9 1���� 9 �--(�
Q-�R /� +� =������ ���,����� ����������� ��� ������� ������� > �� <��� ��� �����
2�����2���� I������ �P� ��� 7���� ��� ��������� ���� ���9 ���!-�G���9 �-�-�
Q-�R W� 3� ?�� � � ���� ��������#���������� ��� �� �� � �,� ������ ����� ��#
����� � ������� ������ �� ���� ����" %����� 69 �7�8!���G��%9 �-��� � * �����
������ ������ �� * ����� ���� 3� � ��� � + 7�-��89 ��� �9 ����
Q-�R E� 0� ?������9 T� :��9 ��� .� � �� 3���������� �� � ���#�������� ��H���,�
������� ���H�� � ���H��� ��������� ��������� 7�������9 ��7�8!(��G(%�9 �-�(�
Q-�R "� ?�������9 6� :�H��'��'�9 ��� T� 6��'����� ���,�� � �������� ����������
������ �� � ����#���,��� ���� )� ����� �� ����� ��� ���� �����������9 ��7�G
%8!%(�G%��9 �--��
Q-%R "� ?�������9 6� :�H��'��'�9 ��� 6��'���� T� ���,�� � )�#����������� ��#����
������ )� ����� �������� I������ �� ���������� 7�������9 ���!%��G%��9 �--��
Q-(R 3� �� :� ?� � " � �����#���� �,������ �� ����������! ����9 ����
��,��������9 ��� ��� ����� ����2������� 6������ �� �� � ������ ���� �����
%����9 ��7�8!�-G%(9 �����
Q-�R [.E��#3.� �!DD)))���� ��������������D ���D������D������e�,�,��)� ���
Q-�R T� W� W �� 9 �� :� B��9 ��� �� ������� �� ����,�� ��������,� ����� �� �����
�� �� �� ������ �� %������9 ��7��8!����G����9 �-�%�
��%
Q--R �� W����� " � ����#���� �� �� �� ���,�� ����� �� ����� �������� ������ ��
%������9 �%7�8!��(G��%9 �-(-�
��(