ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / +...

146

Transcript of ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / +...

Page 1: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

��� ����� ��� ��� �� ������� ������������ �� � ���������

�� � � ��������� �������

����� ������

��� ������

������� ���� �������������� ������� ��

������ ���� ��� ����� �� ��� � �� ������� �� ���� �������

�������� ������

����� � ������� �������

������ ������ ����������� �� � �� �� ������� ��� �� �� ��� � �

������� ����������� ������� �����

����� � ������������ ����� ������

� �� � �� �� ������� ��� �� �� ��� � �

���� �� ��� �� ���� �� �� � !���� � �� "! ������ # � ���� �� ��

������ ���� ��� ����� �� ��� � �$

������������� � !""#

Page 2: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

�������

% ��������� &

��� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��� ����� �� � ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��� ������ ��� ������ ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� � � � ���� �� ����� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

' �� �� � ��������� !���� �� '(

��� ����� �� ���! �� �������� ��� � � ��������� � � � � � � � � � � � � � ��

��� " � ������ ���� �� ����� ���������� ������� � � � � � � � � � � � � � � ��

��� " � ������� �����#�� ������$ �� �� �� ���������� ������� � � � � � � � �%

����� &��' ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �(

����� � )��'� �� ������ ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� " � �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� *�����$�� ����� ���� � )��' �� ������ ��������� � � � � � � �(

��� +�������� )� s#������� ��,� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �-

����� " � ������ �� s#������� ��,� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � �-

����� �� ���#�� ������ ������� ����� �� ����$ �������� ���� � � � � � ��

��% s#������� ��,� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �%

��( � �����,� �� �� � � ����� �� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� �� ���������� �� � ������� ������ # ������� � � � � � � � � � � � � � � %(

����� .������ �� � ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � %�

����� /����� �������� �� � ������� ����� � � � � � � � � � � � � � � � %�

����� 0$����� �� � ��������� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � %-

����� �������� ������ �� � ������� �$����� � � � � � � � � � � � � � � � (�

��� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � (%

) �� �� !��������� &&

��� 1����� ���� �� ����� �� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � (�

Page 3: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

����� " � �2��,������ �� � ����� ���������� ������ )� � ����� �� �����

������ ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � (-

��� " � ������$ �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � (-

����� +�������� �� � ������$ �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� +����� � �������� ����� �� � ������$ �� �� � � � � � � � � � � � � ��

����� *�����$�� ����� ���� � )��' �� ������ ��������� � � � � � � �%

��� " � �������� �����#�� ������$ �� �� �� ����� �� ����� ������� � �(

����� +�������� �� � 3&4 ������$ �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �-

��� " � ������� �$����� �� ����� �� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��% ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �%

* �� �� ���!� � ������ !���� �� +,

��� &��' ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� ��5���� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �-

����� " � ������,� ���� �� � ����� ������������ ������ � � � -�

��� " � *���#*��� �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � -�

����� ����� ������ ������$ �� � ����#���� �� �� � � � � � � � � � � -%

����� +�������� �� � ����#���� �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

��� 0. ����� ��� � ����� ������������ ������ � � � � � � � � � � � � � ���

��� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��-

- �� �!!������� �� �� �� �!����.���� � �� ! ���� �� ������ %%%

%�� 6�������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

%�� &������ �� ����� �� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

%�� &������ ���������� �� � ������� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � ��(

%���� 1������,� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

%���� ���� �� � ������� �� � ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

%���� ������� �� ������ 7���� .63�8 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

%�� 6���,�� � ������� �� ��2�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

%���� �������� �� � ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��%

%���� �������� �� � ���������� � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��(

%�% +��� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

%�%�� *��,�$ ��,������ ���� �� ����� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � ���

%�( *���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��%

������� \ /��. ������0 %)&

1��������!�� %)+

Page 4: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

����������������

��)�����9 �� ������ ��,� ���� :�)�,�9 �� )� �,� � ����� ) �� �� ��� ����� ��9

� �� ������� �� ����� 6 �,� ���� �,�� � � ���� � ��� �� ���� )� ��������� ��

,� �� ��)9 6 )�� � ��� ��'� �� ���

6 �� ��� ��� �� � ) �� 6 �� ��� ���� �� �� �� ����������� ��,������� � �

���,����� 3� ����� ���� � ���������� ��� �������� ����� ��� � � ��;�����

�� �� ����,��� "��� 6��<� ��� &<�� =��,>�� ?� �� � )�' ��� ����� �� ��������

6��<� ��� =��,>�9 6 ������@ �,� �� ��,�� �� ��� �

��,��� �� � ��������� ��'� A"B� 7" ��-��-8 � "C" 7��A#�D���%89 ������� ���

���������� ���������� �� ��������� ����� � ���������9 ,���� � ���� � ���,������

��'� E� �� �� � 4��9 3�3��� �� *�����9 � "�� ���� � 4��,���F �� &���� ��

/����� � � 4��,���� �� *����� �� .�� ��9 ����,�9 ��������� ��'� +���� "������

��� 3A� G � :�� ���� A�� *������G ��,���� � �������� � )���� �� �����������

�$������� ��� � ��� ��� ���� )�' � ����� ���

6 ���� ��' � ����� �����)� �� �� 3A� .��� " �� �����)� �� �� ���� �������

�� ���� �� ������9 �� �,�� ��� ��������9 � ������ � ��� � �� �����������

)�' �$��������

3� ����� �� ���� ������� ����� " � ���� ��� �� ��� � � �����������9 �

�� �� �� � �� ��� '�� �� ��� �������9 �� ������ �� �� ����� ���������

����� � ��� ��� ������� �� �� 3� �9 +� � ��� �� /�������� )�� � ���

�������� 9 6 �,� ��)��� �� ��� �� ��� ������ ������� �� �� ��� ������

��� �� �� ����9 6@� ����� � �� ������ ) � �,� ����������� �� �� �� �� �

6 �,� ��'� � � �� � � �� ��� �� ���

Page 5: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

��������������� ���

3�� ,��> ��'��� �����>�����'� ����� ��H���I' ��� :� �< �� �� '��� �������9 � �

�� � ,< �9 ��>� �� ��� ��'�� �� ����9 � � ��>� J����I� H����' ��� 0�< �����'

��� 'J��J����

0 ����� �����>����� ��>� ����'���� �� ���� ��>������9 '�'��' ���'��� ��H#

�K�<���� 'J��J� ���� "<��,���K� 6��<� "���9 <� =��,>� &<�� �>�>� ����� <��'#

�K�<��� �� ��������>�>�9 <� �� ���>��L'��>� ���<� 6��<� <� =��,>� "��> M ���'>H� <�

>�� �>�� �<�'I� �� ��� ���<' ��

� �����>���' ���<� ��<������ 'J��� ,��L �����>�> ��9 � '���K ���'��� ��������

�� ����<�< �� � �� �K�< � ��>��� �>��>�� G ��� ������� �� A"B� 7" ��-��-89 � "C"

7��A#�D���%8G 'I�J��J�K ���>��L'��>�� ���,����' �����,<����9 'I��J��� � �����'��

� �>� �>��' G ��� �� ����'�� E� �� � ����9 � '������ 3�3��� � ����9 � &�����

3N���'� 0 ���� ,� � � ��� >� *������ 0 ���� G ����,� ��>��� ,>����� G ��� � +����

"������ <� � 3A� G�����O���

0�P�� �����<' 'I�J� 'J��J��� ������� � 3A�#��' � �<�� �� J��J��OH< �������

�����>����� >�� �>'9 �>�<�� ��� ��>� ���<� �� ��������9 � ���'��� ��������<

���� �� O � ���>H� ����

0��� � ����<����� ���' J��<' <����� �� ���<��'� � �K <��� � 'JI��<���'<9

�����' �� �� �� P� ����'9 <� � �� �� ���'� � �� �������� ��<������� �

����>���� 0��K����� C������>�9 C�����>� <� � �� ���I���� �>�����>�� <� �� O�< �

,�� � �� �>��L9 ������� ����� �� �� �������9 � � ����� �����L�9 � � ,������ ��

���<'����9 ,< � J�� ����>��� ,�� �����' � ��>�L� �I ����I� ��������� >�� ��'�

=< I�9 �� ��� ����L����� >�>� ,� ��' ��>�����'9 '�' �� P�� ,< � 'O�<�'�

BJ��J�J� �� P��'9 � � ��� ,�����

%

Page 6: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

� ���� �

������������

����� ���������� �� ��� �� � ��� )����� ������� ���������� �� ��2��� ����� 6�

�������� �� ����� �� �� ���� ������ �� ������������ �� ��� ���� ��������9 �� )��� ��

� �$������ �� � �,� ����,�� �� �� �� ��� ��� �� � � ���)���� �� ���� ����

����������9 �� ������ ��� �������� ������� ��� �� �������� �� ����� �� �����

�������9 �� ���� � ����$������� �� ��� ������$ ������ ����� ����� �������

3���,�9 ��,��� ���������� �� ��� �2��� � ���,� ����� �� ��� �� �� �� � ��#

� ������� �� �� �9 ��'� �� � ���� �� ��$�� ��� � ����� �� ����� 736�.8 � �

��������,� ����� �� ����� 7��.8 �� ���

" � ������� �������� �� ����� ���������� �� �� �� 2������9 ��'�� � �� �,� ���

��� �� ����� � " � ���� �� �� �� ��� ����� �� ����� ���������� ������� �� ��,���

�������� " �� �� � � �� ���������� ��,�� ����9 ��'� � �� �� �� ����� �� �

��������� ��,� �� ���9 � � ����,��� ��)9 �� ������ � �� �5���� ����� ����

�� ���� *���������� ���9 �� �� ��� �� ��� � �� ���� ���5���� �� ������9

�� ����� �� ������� ��������9 ��'� �� �$����� � ��������� �� ���

" �� ���� ��������� �� ��,� �� ���9 ��� �� � ���������� �� ����� �������#

��� �� � ������� ������� ? ��� ��,� �� ��� �� ���� ��������� � �� � ����

���H��9 �� ���� �$��� � 2��� � ��� � ��� �� ���������� �� �� � �� ����� ��#

����� � +� ����� ���������� ������� ��� �� ����� �� ����� �������9 )� �������

������� �� ��� ��,� �� ���9 )� ;�$���� ����$ �������� ���� � ������� �� �������

������������ ��� �5������� � ��) ������$�� �������� ���������� � ��� ������� �� ���

��,� �� ��� Q��R ��� � ��) �����,� �� �� � ����� �� ������ Q��R 7 � �� ��� �

������� ���� ���9 �� � ����� ���#�� ������ ����8 �� �������� +�������� ��

���� � �)� )� ��������� ��,� ���� �� )���� "� �� ��9 � ����� ����)�' �� ��������9

� ��'�� � �������� � ��,� ���,� ���� �� ��,���9 �� ������ s#������� ��,� ���� Q��R

�������������� ��,��� s#������� ��,� ���� ����� ��,����� ;�$������ �� � ����� �

(

Page 7: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

��,� �������� " �� ;�$������ ��� ��� � ����,� �������� ������� �� � �� ����

6� � ���� �� �� �� �� �� ����� ������������ ������� 7�*.89 ���$ �������

���� � ���������� ���9 �������� � ������������ ��� �5������ �� � �� �� ��� 3��

�*. ���,�� �2��� � ���� ��������� ���� � ���� ���$� A�� �� � )���� ���$

�������9 �� ) �� �� � ����#���� �� �� Q�-R ��� ��,��� ����� ���� �� �� �� Q%�R

�� ����9 �� � ����� �� ��5���� ������ Q��R� ��5������ �� � ���$ �� �� � � ��' 7��

���������� ��� �� �� �� '��)��8� ?� ����� � ��) ����#���� �� �� Q�-R9 � �������

;�$���� ��,� ����9 ��� �2���� �� ��������� �� � ������� �� � ���� ���$ ��

��,����� " � �� �� � ������� )� ��� �� � �����)�� ����� �� � ���� ����� �� ����!

� ���,�� � �*. ������9 ���,�� �� ���� ������ 7��,�� � � ������ �� ����������89

� � �,�� � ������� � � ���� ���$ �� �� ��5����9 �� ������ ��� ����� " ��

�� �� � �� �� �$������ �� � �� �� � ������� �� Q�R �� ��5���� ������9 )� �

��������� ���� �� �������� � � ���� ����

��,��� �$������ ��� � �������� � ������� ��,� �� �� ���

.������ ������ )�� ���� � ��� � ��� ����� ���������� ������ � ����,�

�5������ �������� ��� �$�����9 ����� 9 ������� ��� ��������� Q��9 �%R� ? ��� �

�� ���� ������ )�� �����9 ��� ��$�� ��� � ����� ������9 ��� ������ � ��������� ��#

����� 7�������� ���������8 ������ �� ���� �,� ���� �,��,��� " ��� ������ �� ���,��

)� ��2������ ����� �� ����� ������ �� � ��H��� �� ������ " ��� ������ ��

�� ���� �� � ����� ������9 �� ���� ���������� ,�� ����� ���������� ��� � � ���

�$�������� �� 2����� ������� �,�� �� ������� �� � ������ ��� ���������� ���#

������ ��,�� ���� 7���� ��� ��$��������8� �� �� � ����������� ��������� ���

������� �� ��� ������� ����,�9 � ������$�� �� � ����� �������� �,�� ����9 ��'#

�� �������� 2������� ��� ���#���� �� ������� �� ��� ��� ��� ��� ������ ���

����������� "� '��� � �� �9 �,� � �� �� ������ �� � ��� ��� �����9 ���� )� �

�S � � ��� ���)��� ��� � �� �'����� ������� �� ������ �$��� ����� � �����9

� ���,�� ��� ������ �,� � �� �������� ���#���� ��������� �������� ��� �������

����� �������� " �� ���� ���� ��������� ������� ������ �� ����� ���������� � ��'�

��� ������� �� ���9 � ��,�� � �� � �� �5���� �� ������� ������ ������ Q��R�

!"! ����

" �� ���� )�� )��� �� �� �� � �2������� �� � �� �� �� ���� �� � ������ �

�� ������� �� ������� " � ������� ���� �� ����� �� ����� 9 ��� �� � )��� �����9

����� ���� ������ ��� ������

Page 8: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

�������� ����� � �� � ���� )��� �� � ���� �� ������� �� ������9 � ��� �

������� � ������� ������ �� ����� �� ����� )� ������� �������

+�� � ������� ��9 ��,��� ��) ����� �� ��,� �� ��� �� ����� ����������

�� �������� ��� ��� ����� �� ����� � � ��,� �� �� �� �� ����� ������9 ��� ��

�� � ��) �� �� ��9 �$������� �� ��������� �� �� �� � ��,��� ��) �������� � �$����

�� �� ��� " � ����� �� ����� �� Q��9 ��9 �-R� " ��� ����� �� H��� )�' )� ��

����,���9 "��� 6��<��

�� � ��������,� ����������9 � �������� ������� ������ �� �� ��� ����� ��

�������� " � ����� �� ������� �� ����� ������� �� ���������� � ����� �� �

��,��� �� ���9 ������ ����� �� � ������ �������� �� � ������ �� �������9 ) ��

��,�� � ����,� � ��������� ��� �5������ �� � ������� �� ��� ����� " ��� �����

�� H��� )�' )� �� ����,���9 "��� 6��<�9 ��� �� �����) . 1 �����9 3������ �� ��

" � ���������� �� ������� ��� ������� ������ ������� ���� � ��S������ ��

���������� ? ��� � ������� �� �� �������� �� � � � ������ �� ���������9

� ���������� �� � ����������� �� ��� �������9 ��� ) �� ��������9 �,�� )�

����������

� ������� ��������� �� � ��) ����� ��� � ����� �� � ���� �� �,�� �� �

��$ �������

!"# ������� �$ ��� ������

6� �� �������� ������9 ��� ������� � ������� ���� �� �� � ����9 )�

�,� � � � ������ �� � ���� �� ����� �����������

6� * ��� � ����� ���������� ������� �� ���������� ��� ������ � ����� �� �����

���' ����9 )� ����� � +�'�� ����� Q��9 �-9 �-R9 � ������ ������,� ���� ��

����� ���������� �������9 �� )��� �� � ;�$���� ��,� ���� ���� � ����,� � � �������

�� �� ������� " � ���� ����� �� � � ��� ������ ������� �� ��� ��,� �� �� ��9

��� �� � �������� �����#�� ������$ �� �� �� ���������� ������� 7� � �� � ���

�� � ������$ �� ��8� +� ��� �� �� ��9 � ����,��� ������ ����� �� � �����

�� ��,� ���� �2���� �� ������� ���� � )��' �� ������ ���������� �� �� �

����� �� �� ���������� �� �����9 � ������ � ��)9 ��� ����������� )�� � ������� �

��,������� ���� �� � �� �� � �� ��� ��,� ���� +� ��� �� �� ����� �������9

)� ������������ ��S��� )��� �� ��,���� � ����� �� ������� " � �� ����� ��

)���#'��)� ;�$���� ��,� ����9 �� � �������� ����� �� ������� �� � ��)9 ������ )��9

����� �� � ������ �� s#������� ��,� ���� Q��R� " � ������ ������ �� ����� �� �

Page 9: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

�����,� �������9 � �'�� ��,��� � �� � ������� ������� �� � �������� �����#��

������$ �� �� �� " �� � ��� ����� �� � ����� ������� �� Q��9 ��R�

��� ���� �������� �$������9 �� � ��������,� ����������9 � ���������� ������ ��

� ��������� ������� ������ ��� � ������� ������ �� �������9 ��� � ����� �������

�� ���,�� �� � 3���� ������������ �� � ������� 3&4 �� �� �� " � ��������� ��

� ������� ������ ���� ��,�� �� �� ��������� � � ��� � ����

6� * ��� � � ��������� ������$ �� �� ��� � �� ���� ,����� �� � �������� �����#

�� ������$ �� �� � Q�R �� ����� �� ����� ������� �� �������� " � �������� ��

�� �� �� �� �� � �)� � �� �������� �� � ��) ������ �� s#������� ��,� ����� 6

�� ���� � �)�9 � � ��) ������$�� ����� ��� ���� �� ����������� � � ��� ���������

�� �� ���

�� � �������� ����������9 �� )��� �� ���� ����� �$������9 � ������� ������

������� �� * ��� � �� �$����� )� �� ��H���,� �������9 ��� ���,�� )� �� �

������$ ��� � 3&4 ������$ �� �� ��

* ��� � ����� )� � ����� ����������� ������� ��� �� ��������� � �

���������� ����� �� �*.�9 )� ������� � �� ������ ��5���� ������� " �� ���$ �����

�� ��� �� � ��� ������ ���$ ������� �� � ���� �� ����� ������������� +� ���

������9 )� ����� � ��)9 ��������� ����#���� �� �� ���� s#������� ��,� ����9

� ���� �������� )� � �2������ �� 0. ������ " ��� ����� �� ����� �� Q�-R�

" �� �� � ����9 � ������� ������� ���������� ��� ������� ������ �� ����

� �������� � ������� �������� �� ����� ����������� � � ��� �� ��� � ���9

��� ������ �� �� ���������� �� ���������9 � �� ��� ���,�� � � � ���� " ��

)��9 ��,��� ��������� ��� ��������� ������ ������� �� � ������� ����� ��

���������� * ��� % ��������� � �����9 ��� ������ � ��� � ����)�' �� ������

� ��� ���� ���� ������� �� ������� ������9 ) �� ��� ������ �� ���� �� �,�� ���

���������� �������� " ��� ������ �� �$����� ������$9 ��� ���������� � ����� �� �

�� �� ���� � ��� ��� � ����� ��9 ��,��� ����� ���������� ��� ������ � ��'��

�� ��� �� ������� � ���� �� � �� ,�� ��������� �� ������� ���� �� ��� ��

���� �������� � ������� ����������� �5������� " � ����� ������� �� �� � ���

�� ����� �� Q��R�

��� ������ �������� � � ������� ������ �,� ���� �������� �� � ����� ��#

������� )� 3A� .��� Q(�R� " � ��� �� � �������� ������� �$����� �� ���� ����

���� �,������� �� 3A��

" � ���� �� ������ �� � �������

-

Page 10: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

!"% &��'���� '�� ����� ��(�������

?� ��� � �����)�� ������� �� �� � ����� ������ ��� ������� �� ������ ��

����� ���� ����9 ,���� �� ����� �������� ���� ����9 ������ �� ������ ���� ����

��� ������9 ����$ ��� �� ������ ����� �� �� 7����8 �����

" � ������ ��������� ������ �� ������ ��

Ax = b, x ≥ 0, 7���8

) �� A ∈ Rm×n,b ∈ Rm 7n ≥ m)�

" � ������ ������ ��� ������ ������� �� � ����� ���������� ������ �� � �������

�� �� ��H���,� ��������

min cTx

Ax = b, x ≥ 0, 7���8

) �� c ∈ Rn, A ∈ Rm×n,b ∈ Rm 7n ≥ m)�

" � ������ �� ��� ����� ������ ������� � ��H���,� ������� )� � �� ������

������������ ���������

−M�+ � = 2

� � = ( 7���8

�, � ≥ (,

) �� M ∈ Rn×n9 q ∈ Rn ��� uv = (u1v1, . . . , unvn)�

" � �������� ������ ��� ������ �� � ��������9 ������� ���#���,�$ ����������

������ �� � ���

max cTx + xT Dy + dTy

aTi x + xT Fiy + bT

i y ≤ bi i = 1, . . . ,m 7���8

Nx + My ≤ d,

) �� c, ai ∈ Rn, D, Fi ∈ Rn×k,d ∈ Rk, bi ∈ R9 i = 1, . . . , m9 N ∈ Rl×n,M ∈ Rl×k�

6� ������� ���#���9 )� �� ���� �� �������9 )� ��� ������ � � ���$ �� �

����� �������� 7A8 �� �� ���� ��'9 �� � ���������� � ��' �� � ����� ����� ��� �

���,�� �� � ������� �2������ ��� �� ���� ������������� )� � /����#T����

����������� 6� ���� �� ������ ���9 � ���$ [−M, I] �� ��)��� �� ���� ��'�

+� �� ����$ �� G ⊆ I := {1, 2, . . . , n} ��� � ,��� v ∈ Rn9 )� ����� � ���,���

�� v ����$�� �� G �� vG9 �� � � )��� (vG)i := vi9 i ∈ G� +� ��� ���$ T ∈ Rm×n ���

��

Page 11: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

����$ ��� F ⊆ J := {1, . . . , m} ��� G ⊆ I9 )� ����� � ������$ �� T 9 ) ��� �)� ���

������� �� ����$�� �� F ��� G9 ������,���9 �� TFG� +� � ���$ A ∈ Rm×n ��� ����$

s9 � ,��� as ∈ Rm ������ � ������ �� A ����$�� �� s�

�� B ∈ Rm×m �� � ������ ��� �2��� ������$ �� A ∈ Rm×n ��� N �� � ���$

�������� �� � ������� �� A �� �� B� " � ������ ��� ���$ B �� ������ � ����� �� �

������ ) ��� � ����$ ��� IB ⊂ I ��� IN ⊂ I ����� � ����$ ��� �� � ����� ���

�������� ,�������9 ������,���� " � )���#'��)� ���������� ����� ������� �� �,�� ��

� ������ b := xIB:= B−1b9 ��� T = B−1N ∈ Rm×(n−m) ������ � � � ��,� ������

���������� � ����� B� " � ,��� �� �������� ,������� �� xIN:= 0�

" � ������� ���� �� � ���� �� ��������� �� "���� ����

x, xi ���� � ����� �� ,����9 ����� �� �������

vu � �������� ����� 7:������8 �� v ��� u ,�����

A � ���$ �� � ���������� � ����� �� ����� ������9 A ∈ Rm×n�

M � ���$ �� � �*. ������9 M ∈ Rn×n�

B �����9 �� m × m 7n × n8 ������ ��� ������$ �� [−M, I] ∈ Rn×2n 7A ∈ Rm×n8�

T � � ��,� ������ �� � �,�� ������

TB � � ��,� ������ �� � �,�� �����9 �� � ������

��'�� � �������� � ��� ����� � � ����� � � ����� B�

I ����� �� �� ���� ����� ����

IB ������� ����� �� � ����� B�

IN := IB ������� ������ �� ����� B�

⊕9 �9 +9 − ����� ��,�9 ��������,�9 �����,�9 �� ��,� �������

< · · · > ������� ,��� ������

b � �������� � # ��� ���� �� � ��,� �������

������� ������� ���� �� ����� �� ����� �������!t(c) � ���������� ,��� �� � ��H���,� ������� �)

�� � ��,� �������

c � �������� ��H���,� ������� �� � ��,� �������

������� ������� ���� �� ����� ������������ �������!ı = n + i �� i ∈ {1, . . . , n} ��� = i − n �� i ∈ {n + 1, . . . , 2n}�tq � ���������� ,��� �� � � # ��� ����

�� � ��,� �������

q � �������� � # ��� ���� �� � ��,� �������

"���� ���! ������� �����

��

Page 12: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

!") � ���� ������ �$ ����' ������'����

� ,�� �� � �������� �� ���'� �� �,������� �� �,�� ������ �� ����� �� ����� � " �

���'� �� � ��� ��,��� ������$ ��� �� ��� ��'� Q��R9 ����� ���� ��� �� ��� ��'�

Q��R9 � ������� ������ �� ����� �� ����� ��'� Q�%R� ��,��� )���#� ������ ��������

��� ������ ���� )� � ��,������� ��� ���� �� ����� ����������� � ,�� �������

��� ������� ��������� �� � ���� ��,������� �� ����� �� ����� �� ����� �� Q��R

������� �� /�� � 1���� � ���>� .<'��� �,�� �� �$������ ��� ������� ���������

�� � ���� �� � ��,������� �� ���������� ��� � +�'�� ����� Q��9 (-R9 �� �,��

���� ����� ��'� Q-(R ���� � �$���� �������

" � ������� �� ����� �2����� ������ )� �� ,������� �� ���������� �� �� ��#

���� ������� �� ��� ���� ������� �� �� ���� ����� �� �� * ����� �� ���������

����$������ �� �%� &�*� " � /����#���������� �� ��9 ) �� �� � ���� �� ��� �� �

���� �� ��� �� ����� ���������� )�� ������ �� �� *�� +����� /���� 71777 − 18558

��� )�� ��� ��������� �� /����#T���� ���������� �� ��9 ������ �� �� � :������'

�� /������ 7����8 �� ?� T���� 7����#��--8� " � �� ������ ����9 � ��������

) �� � ����� �2����� ����� �� � ������� )�� �������� �� �� *������9 ������� B�#

���'� 71823 − 18918 ��� 0� ��� E��� < 71832 − 19108 ����� 1892�

" � �� )���#'��)� ����� �� � ������ � ������� ����� ���2������� �� � +����

��� ������ ��������9 ) �� ���� ��,���� � ���� ���� �� � )�'� �� /���� +�'��

71847 − 19308� ���,������ �� ����� ���2����� ������ )�� ��,��� ��� �� /���� +�'��

Q��9 ��R �� � ��� 19th ������ :�� ���� G)��� �� /����9 ��������� �� ����� �����

� ���� ����� ���2������� Q�-RG ������ �� �� 1901 ������ ��� �� � ��� ��2����� ����

���� �� � ������ �� ����������� :�� ������ ������ ����9 � ������ �� �

� �������� � ���,������ �� ����� ���2����� ������� " � �� '��)� �����������

�� �� �� ������� ����� ���2����� ������ )�� �������� �� T��� &����� T���� +����

71768 − 18309 ������ �� � +���� ����� �� )���8 �� 1823� " �� �� �� )�� ���������

� ����� ����� ������ �� ���2������� �� " ����� ������ 3��'�� 71908 − 197089 ���

����� �� �� �� �� �� ���� '��)� �� � +����#3��'�� ���������� Q(-R�

?��� ����� � ��,������� �� ����� �5���� �� ��� �� ���,�� ����� ���2����� ���#

���9 � ������ ������,� ���� �� +�'�� )�� ������ ��9 �� �� 1894 �� :�� ����

Q��R� " � �� ���� ��� �� �� ���� ���� � � ��� ����� ����� ���2����� gTx ≤ 0

�� � �����2����� �� � �� �� � � ��� ����� ����� ���2�������9 �� ��� ���� �� � �� �� �� �

������ ������ �$���9 )� ) �� � )�� �� �� ����� ��� �� � ���2������� ����� �

���2����� gTx ≤ 0� �� .<'��� ���� �� Q(-R9 � �� ���� ���� )�� �� �������9 �� �����

�� ������� 6� �-��9 ���<� :�� 71885 − 19338 ��������� +�'��@� ���� Q��9 �-R�

��

Page 13: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

:�� ����� ��� �� ������� �� � ���� ������#

� �9 �� � �����)�� ! �� � ����� �� ����� ���#

��� �� �� ������ �������9 �� � �� ������ ���� ���#

�� ���� ��� ������ ����� �,� ���� �� ��,�� ��

/�� � +������,�� =����� 71868 − 19088 Q-�R9 :�#

���� 3��'�)�'� 71864 − 19098 Q(�R ��� ��� �� T� �

,�� ������� 71903− 19578� ��,��� � � ������� �#

���� )�� ���� � ����� ����� ������9 �������� �

���� �� �� �� =���<� .������ 71866− 19628 �� 19119 �

��� �� ������ =�����,�� B����,�� 71912 − 19868

�� 1939� " � ��,������� ��� � ���������� �� ��#

�������� �� ��� ������ �������� )� � ��,����#

��� �� �������� " � �� ���� �� �5���� �����#

�� �� �� � ��� � ���� ?��� ?� 669 ��'� � �

������ )�' �� ��� �� �������� ��'� ������� �

B����,�� �

/���� +�'���

����� �� ����������� ����������� ��� �� �� ��� �� ���� ��� ����,�� �����#

�����9 ��'�� � �������� � ���,� � � ������� �� � ,�� � � ����

" � ���� ��,������� �� ������ ��� ������ ���� �� ����� �� ����� )�� ��;�#

����� �� � )�' �� � ����� ���� )���� 719768 ��������9 ?������ ������� 71906−19998

) � �� �� )�' ���������� ��������� ����� �� �� � ������ ����� 719328 )��

���� � ��� � )�' �� � ������� �������� ����� ����� �� � ������9 �� �� � ���$

������ :�� �����@� �������� ���� �� � ��� � ��� �������� � �����9 � )��

���� � ������ � �������� ���� ���9 ��� ��� ���,���� � ������ ��'�� � ����� �

������ �� �2����� ������ ���� ��;������ � ����� �� ��� � ,�� �������� :��

����� �� ��� ��� 719288 ��� �� ����� �������� �) 719378 �� ��,�� � )��

�� � )�� �� ��'�� �2���� �� ����� �� ����� Q��R�

A�� �� � ��������� ������� �� �� �� ����� ���������� �� /�� � 1���� 71914−20058� 6� �� ������ ���' Q��R9 � ��������� ���� ������� ���� �� �) � ������$

�� �� ��� ����� �� ����� �,��,�� ���� �� ���� ��������

" � ������$ �� �� � � ���,� ����� �� ����� ������� )�� ��,������ �� 1����

�� 1947� &���� �� ���9 ��� ����� �������� ���� ������ �� ����� �2������� ��� ��#

�2������� 7������ � ����� ���������� ������ ����89 )� �� � ������� �� �� ��H���,�

�������� A� ������9 � �� ,����� �� 1���� @� �����9 ��,������ )� ������ �������#

���� �� ����9 �� �� ��H���,� ������� �� �� " � ������ ���������� ���� � ��� �

����� )�� �2���� ) �� )�� �� � �����9 �������9 ��� ����� �5������ �� ��������

��

Page 14: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

" � �� �����9 ������ ����� ������� ���� ��

1���� 9 )�� ��,������ �� � ������� �� +��� ���

�������� � ��H���,� ������� )� ����� ���� �

���� � ��� � ��������� " � ���� ��� �� ���

���� )�� � ������� � ����� �� �������� ���������

1���� )� �� ����� ��� ���� ������� � �5#

���� ����������� ����������� ��,���� ���� �� ���#

���� )�� �������� �� ���,�� � ��) ������9 ���

������������ �������� � .��� �� � ���� � ��#

,������� �� �������� &� � ������ ��� �� 19479

1���� �������� � ���� ��� �� �� �����9 ) ��

����������� �������� � �� ���� ���� ������ ���

������� �� ������� �������� /�� � 1���� �

?� 1���� @� �)� )���9 )� ����� � �� �2������� � ������!

�� �� ��� � ��� �� ���� �� �� �� �������� �� ����� �� � �� ��� �� � �����

�� �� ��������� �� �� �� � ���� ������ �� ������ � �� ���������� ��������

�� �� ���

�� �� � ���� �� ���� �� � ����� �� �� �������� � �� ����� ��� ����������� �

�� ����� �� �����! ���

�� ���� ������ ��� ����������"

" � ������ �� ������� ����� �������� �� � ����������� �� � ����� ��� ���H��

� � ����� �� ����� �2������� ��� ���2�������9 ��� �� ����� �� ����� �� �� ����

��� )�� ����

" � ������$ �� �� ����� )�� ������� �� 1���� � ��� ���)���9 ���� � ���#

�� �� 1947�

" � ��� � �� � �� U�� ����� V �� ��� �� ����� � �� ��,������9 �� ) ��

� ����� )�� �������� " � �� U�� ��V ����� �� � ������ ,�������� ���� �

,����� ����� � ���� �� ������9 �� �����9 ���������9 ��� 1���� @� �� ���� �� �����

�� ����� 9 )��� ) ��� � )�'�� �� � ������� �� +���9 )�� �� ������ #����� �

��� �� � $����� %������� " �� )��9 � �� U�� ��V �� � ���������� ��,������

)�� ������� �� ��� ����� � ������ '��)� �� � )�� �� ������ �� ���9 ) �� )��

� � ��� ������ ����� � �� U�����V� ���9 �� ���� 19499 E��� 1����� )�� �

�� � ��� � � ��� U�� ������� �� ����� V9 ����� � ����� � �$������� U�����V

� �� �� �����,��

��

Page 15: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

" � ���� �� � ������$ �� �� �� ��� � 3��'��9 ) � ������� � �� � ������

����� �� � ������9 � ��,� �������� ������� �� � ������$ �� ��� ��� �� ,��)��

���������� �� ��,�� ��� � ������$ � �� ��H���� ����

" � �� ���� )�� ������ ���� �� �� ������� ����$ ����� ����� �� �����

������ )��������� :�)�,�9 �@� � �� ������� � � �� ��� �� )�� ��)9 �������

�� 1���� @� �� �9 "����� 1���� 71884−19568 ����� 1954 � ������ � � ��� U�� ����

������ ) ��� ���� �����V�

A��� )� ���� ��� � �����,�� �� ����� �� ����� 9 � �� ��������� �� �� #

������� �� ����� 9 �������� ����� � �� � W�� ���������9 )�� ��� �� * ��� ��

���� ��� � � ������$ �� �� ������ �,�������9 � �� ����������� �� �� �

��� �� ���� � �� ���������� �������� ����������� �� ����� �� ����� )�� �

������� ������ 7�������� ��� �$�����9 ����� 9 ������� ��� ���������89 � ����

�������� ����9 � ��� ���'�� ���� 9 ��� ��� ���� ������9 ����)�'�9 ���� �����

��� �������� ���� ����� ��)�����9 ������� �,�� ����� �� �� �,�� ��� ���� �� ���� �)

����� � ����� �����������

�� � ����� �� ��� ����� �� � ������$ �� �� � �� �� )� � ��,������� �� �

�� ������ 1���� #?���� ������������ �� �-%% �� ������� ��� . ���� ?����9 Q��R9 ��� ��

���� ��� ��,������ �� T� +� &����� �� 1962 Q-R�

���� ��� � ��,������� �� � ������$ �� ��9 � �� ������,� ��,� �� ���

�� �� � ��� �� ����9 1���� @� ������$ �� �� � 7� �� ��,��� ����� ,�����8 ���� �

�� � ��� �5���� ��,� �� �� � �� � �� ��H��� �� �������� � �� ,���� ��

����$ �������� ���� ��� ��,� �� ��� �� �,������� ����� +� � ������9 ��� "� "���'�

��� �� W �� Q��R�

" � �� ��,� �� ��� �� � ����� ������������ ������� )�� ��,������ �� 1962−63 �� E�� �� *���� 6� 19659 ���'� ��,���� �� ������ �� �� Q%%9 %(R9 ) �� �������

� ����� ���' �� ��� � ������,�$ �������

� ����� ����� ������������ ������ ��S�� ��� � ����� ���������� ������ ���

��� � ����� �� ����� ������������9 ����� � �� NP#�������9 ������� � ����������

������ �� ����� �2������ )� ����� ,������� ��� �� �������� �� �� �*. ������9

��� " � �*. ������ ������ NP#�������9 �,�� �� )� ���� � ���$ M � � �����

�� �� ��,� ���������� ������ Q�(R9 ��� �� � ���� �� � ����� �� P0 ������ Q%�R9 ���

����� ������������ ������� ��� �� ������� ��� � B��� #B� �#"��'� ��������

��������� �� 2������ �� ����� � +� ���,�$ 2������ ��H���,� ��������9 � ���$

M �� � �*. ������ �� ���������9 ) �� �� �� �� � ����� �� ��5���� ������9 �

)���� ����� �� ������ �� ) �� �� ��,��� ��,� �� ��� ��� ����� ���� �� ���

�%

Page 16: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

�� ��,�� � �� �����

.������� � ��� ������ ����� �� �*.� �� � ��� ��,� ��� ����� ���� �� #

��� ��,������ �� ����� �� ����� ��� ���� �) �� ������ � ����� �*.� � ����

)� .�1 ������9 �� ��,���� �5���� �� �� �� � ���,� ������� ��������� ���,�$

2������ ��������

" � ������� ����$ ����#���� �� ��9 � ��� ����������� ���� ��,� �� �� )�� ��

������� �� W���� Q--R �� 1969� :� )�� ������ � ��,� � �������� �� �� �� ��9 ��

� ���� )�� �� )����� ������ ��9 ��� � ������� ,������ ��'��)�� 6�����������9

* �� Q�%R9 "���'� Q��9 �-9 ��R ��� ?�� Q-�R �,� ������ �� ����#���� �� ���9 � ���

)� ����� ���� ������� �� ������ ������� " � ��,������� �� � ����#���� �� ��

���)��� � ��� ����� ���� 2������9 ������9 ) � � � ������� �� � ����� �� �� ���

�� ������� �� ���� ��� � ��� � ����� �� � ������$ �� �� � )�� 2���' � ��,� �#

���� �� ������9 �� ������� ������$�� ������� ��

���� 2������ ���� 19709 ) �� =��� B��� ��� /�� �

3��� ����� �� �$�����9 �� ) �� � ������$ ��#

�� � )� � ����� ������� ����$ ��� ��'�� ��

�$�������� ����� �� ��,� �������� ���� ��� �

���� � ���� ,��$ ����� ����� � ������ ,��$�

" �� �$�����9 � ������ B���#3��� ����9 �� � ��� ��

������ �������9 ) �� ��,�� � �� � ,�� ������

������� ��� �,� ������ �� �� ��,��� �����#

�,� ����$ �������� ���� )�� ��,����9 �� ��� �����

�� �$�������� �$����� �$��� Q(9 %�9 (%9 (�9 ((9 ��R9 �

� ����9 ���H����� � �$���

" � B���#3��� ���� �� 3 ����������

" ��9 ��� �� � ��� � ����� �� ���� 2������� �� ����� ���������� ������9 ) � �

� ���������� ��� ��,� �� �� �$���� " �� 2������ �� �� ����� ��������� )� � ������

:�� ���H���� Q�-R� " �� ���H���� ���� � �� ��� ���� ��� �� ��������� d9 ��

�$��� � �� �� ��� �� ��� �� d + 1 ��)��� ��� )� ,�����9 ���� ��H���� ,�����

����� " � ��� �� ���� ����� � � � :�� ���H���� �� ��� � +�'��� ��� "���'�

Q�%R� " �� ��,�� �� 1999 � �,����� �� � �� ����� �� � ���� ��� 7���� �� ����

�� �������� ,�����89 )� ���� ���� �� ������ ���������� ��,��9 �� �$��� ��� � �� ��

��� �� ��� �� d + 1� 4���������9 �� )�� ���� � ��,� ���� � �$������ ���

� ��� � ��� �� �� �� � ���� ��� � �� 9 � ��,� � ���� �$��� ���������

�� �� ��������� �� ����������9 ������� � �������� �$��������9 � ������$

�� �� ���� ��� ��'� � ���������� �� �� � �� ������ �� � ��H��� �� �����9 ����,�9

�(

Page 17: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

� �,�� � ����� ��� �� ����� 7� � ��� 2������8� " �� �� �,�� )�� H������ �� �

)��� �� � �� ����� �� � �$����� ����� �� ��,� ���� �2���� �� � ������$ �� ��

Q�9 �9 ��9 ��R9 �� �� ��� ��� ����� ������ ��� ����������� ��������� �� � ����

��� �� � �������

" � �� ���������� �� �� � �� ����� �� ����� G ��,������ �� 1978 G )�� �

������������� �� � �������� �� ����� �� ��2��9 ���)��� � ��� ������ 2������9

) � � ����� �� ��� ����� �� � � U����V ���������� ����� �� ������� � ��� " �

���������� �� ������ /� B �� ���@� 71953−20058 ��������� �� �� )�� ��,������ �� � �

��,�� �� ���������9 � �9 X���� ��� ����,�'��� 1����� �� ��������� ��,�����

������$�� ��� �� �� ����� �� � ����� ���� ����� �� ����� 7���������� �� �

����$������ ��� �� ����������� ����������8 ����������9 � �� �� ��,�� �

�� ,�� ���5���� �� ������9 ����� � ����� �� ������� ������ �� � �������������

���� � ������� ����$���� � ������� ������� �������" � �� ���������� ��� �� �� � �� ����� �� ��#

��� � ��,�� � �� �5���� �� ������ �� )��� )��

������ �� �� ������ B���'� Q�(R �� 1984� ����#

���� � � ��������� �� ��9 � �� ��� �� �� ��)

������� ��,��� �� �� ��� �� �������� �� ��#

��� � � ��� ��� � ����������9 � ����� �2��,#

������ �� B���'�� �� ��� )� � ��������� �� �#

� ��� ���� �� ��� �� ������ ��,������ �� ���#

����� �� ����� )�� � �)� �� Q�(R� ����9 � ���#

���� �� )� ��������� �� ��� ��'� � �5�� ������

3� �� �� 1�'�� Q�(R9 � �� �� ��� &��� 3� ��

�� +��� 7 � ����� ���� )���� ��������8 Q��R ���

� 3� �� �� *���� �� :��� Q��R )�� � �)�9 ����

�� ) �� ����� ���� �� ��,�� � �� ���������� Q��R������� B���'��

" � ������� �� � ��) ����� ���� �� �� �� �� ������ ���� � �,������ ��

����� ���� �� ���� " �� ��) ����� �� �� �� �� ���� ��� � ���� ������ ����� ��

����� ��� �������� ���������� ����� � � �� ��� � ��������� ��)��� B���'��

�� �� ��� � �� �� ��� ���� �� �� ������ )����� '��)�9 � ���� ������ ������

� ��� ��) �� ��� �� ������� ��������� � �5������ ���,� 2������ ��� �����

������������ �������9 ���

6 �� ������� � ��� � � ���� � ������$�� �� � ������$ ��� � ����� ����

�� �� ��9 � ���� � ������� ��� �� ����,��! � ������� ������$�� ����� �� ���

� � �� � ��������� �2���� ����� �� �������� �� ������� ���' �� )��

��

Page 18: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

�� ��,�� �� � ����� ���� �� ��� ������ �� "���'� � ��� Q��R ) � � �)�� � ��

�������� ����� �� �$�������� ����� �� ������� ���2������� � � B���#3��� ����9

� ����� �� 9 ��� �� � ����� ���� �� ��� ��� �� ����� � ,��� �� �����

����� �������� �� ��� ,��$ �� � ����� &� ��� ��������� �� � �������

���2�������9 �,�� ����@� ��� �� � � ���,�� )�� ������ � ���� � ��������� ��

� �����,� ������9 �� )�� ����� � ��'� � ������� ����� �� ����� ���� �����

6� � �����2��� ����9 "���'� � ��� � �)�� � ��� ����� ��� �� ���� � � �� �

��)� ������ �� � ���� �2���� �� ��� ����� ���� �� ��� Q�%R�

�� �� � ������ � � ��������� �� � ����� ���� �� ��� ��� ����� �

��,� ����� �� ��� � �������9 � ���� �� � ��� )� �� ��� ������� ���������

��� � �9 �� �,�� ��,��� �� ��� �����,��� �� �,� � � �� " � ��� ��� ���� ��

� )� �� ��� �� ��������� �� Q��R� " � ��������� �� ��� )� �� ��� ������ �� �

���� �� �� �� �� ��9 ��'�� � ������������� ����� ���� ��� �������� �5������

�� � ���� )� �� �������

" � ��������� ������� �� ����� �� ����� )���� �,� ���� ���������� )� �� �

�$������ �� �5���� ���)��� �� � � �� 2������ " � �� ��������� ��� ���)�� )��

��,������ �� �-%�9 ) �� ������ ��,��� ����� ������������ ������ ��'� ������9 �����#

��� ������� � � ������ ��� �� ����� ��,���� )�� �������� �� � ����� 4���������9

��,��� ����� ������������ ������ ������� �������� ������ " �� )�� ���������� �� ��

� ������$ ����� �� ���� E������ �� 20039 6�,>� 3��� ������ �� �� ���' �� � ���#

������ �� ��� �� � ������$ �� �� � Q%�R9 ��'�� ��,��� ������ �� � �����������

��� ������������ ������ )����� �,��������

6� � 1950@�9 ) �� � ������$ �� �� � )�� ��,������9 ������� )� � ��) �����

,������� ��� �������� )�� ��������� � �� �� � ����� �������� "����9 ��� �� � �

���,�� 7�� ��������� ��� ��� �����8 �� ���� � ����� ������� ���� )� �������� ��

,��������

����9 ��� ���������� ��� ����� �������� ������� �,�� �� ����@� ��� ������� ���,��

�,�� �� � ���� �� ����,��� ����� �������� ��,��� ��� ���� �����������9 ��'� ��� �����

�� ������� ������9 ����� ���������� ,�� � ����� �� ����� �������9 �� ) �� �����

������������ ����� 9 � �� ���� ����� �,�� ������ 9 ��� �� ����,�� �� ������$ �����

������ A���9 � ���������� ��� ���� ����� ���� �� ��� �� �����2���9 ����� �

���������� ��� �2��� ���� ������� ����� �� � ������$ ��'� �� �� �� 7��'� �5����

)�� ��8� 3���,�9 �� ����������� �2���� � ����� ������� �� ��,��� ����������

�� �������9 � ����� ����� ����������� �������� 7���������� ��� ���������� �����

���� �� ���8 ��S� ��� ������ ������� ��'� � ������$ ����� �� ����

�� � ������ �� ��� ��� ��� ��� ������� ��� ������$ ������ �� ������ ��#

��

Page 19: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

������9 ���� �,�� ���� �� � �,��,���� �� �������9 �������� ��� ������ ������#

���� 2������� ������ ��� ��� ��� �������

�-

Page 20: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

� ���� �

����� ��������� �������

6� �� � ���9 )� ������� � ������ ��������� ������

Ax = b, x ≥ 0, 7���8

) �� A ∈ Rm×n,b ∈ Rm 7n ≥ m)� ?� �� � ���� �� �������9 )� ��� ������ �

��'(A) = m� .��������9 � /����#T���� ���������� �� �� �� ������� �� � ����������

� ��' �� � ����� ����� ��� � ���,�� �� ������� �2�������

#"! *���' '����' '� �������'� '�� ���� �����������

6� �� ������9 )� �������� ���� ����� ����� �� ����� �� ��� ) �� �� ���� �� ��

����� +� � ������� ���������9 ��� Q��R�

� 3���� '$%$% $� � &��� �� �� ������ {a1, . . . , ak} ⊂ Rn ��� ������� {λ1, . . . , λk} ⊂ R

�� �����" �� ����� b ∈ Rn �� �� ���

b = s1a1 + s2a2 + . . . + snan

�� �

• ����� ���������� �� ������ {a1, . . . , ak}!

• �5�� ���������� �� ������ {a1, . . . , ak} �� �� ������� ����� λ1 + λ2 + . . . + λk = 1!

• ���,�$ ���������� �� ������ {a1, . . . , ak} �� �� ������� ��� ���������� ��� �����

λ1 + λ2 + · · · + λn = 1"

� 3���� '$%$' � �� K ⊂ Rn �� ���� � �� ���,�$! �� ��� �� &��� �� {a1, . . . , ak} ⊂ K

�� �����' �� ������� �� {a1, . . . , ak} ���� ������� � �� K"

��

Page 21: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

� 3���� '$%$) � ����� b ∈ Rn �� ���� � �� ������� ���������� ��� ������ {a1, . . . , ak} ⊂Rn �� ���� �'�� �� ���� ������� λi ∈ R! i = 1, . . . , k ��

b = λ1a1 + · · · + λkak,

�� �� b � �� �� ����� �� � ������ �� ������� �� ������ {a1, . . . , ak}" ��������! a

��� ���� � �� ������� �������� �� ������ {a1, . . . , ak}"

� 3���� '$%$* ��� ������ �� � �� {a1, . . . , ak} ⊂ Rn �� ���� � �� ���������� ���

���� ����! �� ������ �� �� �� �������� �� �� �����"

+� ��� �� �� ,����9 � ��$���� ��������� ���������� ����� �� ,���� �� � ����

���������� " �� ����� �� ������ � ���� �� � �� �� � ,�����

� 3���� '$%$- � ����� V ∈ Rn �� ������ � �� � ����� ��������!

(" �� x,y ∈ V ��� x + y ∈ V !

)" �� x ∈ V ��� λ ∈ R ��� λx ∈ V "

6 �� ���� � ����,�9 � �� � ������ �$��� �� ����� ��������� 0 ∈ V �� ��� �����

�������� V �

� 3���� '$%$& � ����� L ∈ Rn �� ������ � �� �� �5�� ��������! �� ���� �'��� � ������

�������� V ∈ Rn ��� � ����� x0 ∈ Rn ���� �� L = x0 + V = {x0 + x | x ∈ V }"

� 3���� '$%$, � ����� C ∈ Rn �� ������ � �� � ���,�$ ����! �� � �� �����' ��� ��� ��

x ∈ C ��� λ ∈ R � ����� �� λx ∈ C"

" � �����)�� ��������� ������� �� � ��������� ��)��� �5�� ��������� ��� �����

�2����� �������

4��!������ '$%$% � ����� L �� �� �*�� �������� �� Rn! �� ��� ��� �� ���� �'��� A ∈Rm×n ��� b ∈ Rm �� L = {x | Ax = b}"

6 �� ���� ������� � ������� � ������� ����� �������� � ���,�$ ���� � �������

� �,�� �� �� ,�����

� 3���� '$%$+ $� � �� �� ������ {a1, . . . ak} ⊂ Rn �� �����" ���� �� ������ ��������

������� � �� ��&��� ��

〈{a1, . . . ak}〉 = {x | x = λ1a1 + · · · + λkak, λi ∈ R}.

��

Page 22: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

� 3���� '$%$5 $� � �� �� ������ {a1, . . . , ak} ⊂ Rn �� �����" ���� �� �����' ����

������� � �� ��&��� ��

Cone ({a1, . . . ak}) = {x | x = λ1a1 + · · · + λkak, λi ∈ R⊕}.

+� � ������ ��������� �� � ����� ��������9 � �� ����� � ��� ����� �������

� 3���� '$%$%( � �� �� ������ {a1, . . . , ak} ��� � ������ �������� V ⊂ Rn �� ���� �

�� � ����� ����� �� V ! �� 〈{a1, . . . , ak}〉 = V "

� 3���� '$%$%% � �� �� ������ {a1, . . . , ak} �� � ������ �������� V ⊂ Rn �� ���� � �� �

����� �� V ! �� �+� ������� ���������� ��� �� � �������� ��� �� V "

6 ��� �� ��,��9 � ��� ����� �� � ����� �������� �� � ���� ����� �� ,�����

" �� ����� �� ������ � �� ������ �� � ���������

6 �� ����� � ������� � ���,������ �� ��� ����� ����� Ax = b �� ��'�� ) � �

,��� b �� �� � ������� �������� �� � ������� �� ���$ A � ��� ��������9 �

���,������ �� Ax = b,x ≥ 0 �� �2��,���� )� � 2������ ) � � x �� �� � �������

���,�$ ���� �� ������� �� ���$ A � ���

*������ � ����� �2����� ����� Ax = b9 ��� �� � ����� B �� � ������� �� A ��

�,��9 ��� ������� � b �� �� � �������� ������� �� � ������� �� A� " �� �� ���

� ���� �� xIN= s ∈ Rm−n9 �� ���� � ����� ,������� � xIB

= B−1b − B−1Ns )� ���

� �,�� �������� ������� �� Ax = b�

" � �� �� �� �� �� ���� ��������� � �� ������ ���� ���� �������� /�,�� � ��

�� ,���� ��� � �����9 � � � ������ �������� �) � ,���� ������ � ����� ��� ��

���������� � � ����� ���������� �� � ,���� �� � ������

� 3���� '$%$%' $� S ⊂ Rn �� � ����� �� �� ������! �� �� ������ ����'�� � J "

������ ���! �� JB ⊆ J �� ���� �� �� ������ ����'�� � �� ��&�� � ����� �� S" $�

JN = J \JB �� �� ������� �� �� ������ �� S ������ �� ����� B" ���� �� � � ��,�

������ ��������� � JB �� �� ���' TB ∈ R|JB |×|JN |! ����� tij �� �� ���*���� �� ��

����� ��������� � j ∈ JN �� �� ������������ �� �� ����� ��� i ∈ JB"

" � �����)�� ���� ���� � �� tij = 0 �� � ��,���� ��������9 �� � �����

,��� ���������� � �) i ��� �� ������� )� � �������� ,��� ���������� �

������ j� " � ���������� �� � � � ��,� ������ ������ � ���� �������� ��� ��

���� �� O(m × (n − m)) �� ���� ��������9 ) �� m �� � ����� �� ,���� �� �����

��� n �� � ��� ����� �� ,�����

��

Page 23: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

�� �� � '$%$% $� � �� �� ������! � �����! ��� �� ������������� ���� ���� ������ ��

�����" ,���� �� ������� -�&����� )"("() �� ��������� �����" �� trs = 0 ��� ar, r ∈ JB

��� �� �'������� ��� as, s ∈ JN �� �� ��������� ��.

6%7 t′ij = tij − trjtistrs

i ∈ J ′G, i = s, j ∈ J ′

B, j = r!

6'7 t′sj =trj

trsj ∈ J ′

B, j = r!

6)7 t′ir = − tistrs

i ∈ J ′B, i = s!

6*7 t′sr = 1trs

.

����� J ′G = (JB \ {r}) ∪ {s} �� �� ����' �� �� ��� ��������� ��� ��� �� ������� ���

t′ij �� �� ��� �'���������" /��� r �� �� ��� ����' ��� s �� �� ���� � ����'"

6 �� ������ � ��� � �� � ����� ���������� ������� ���9��� ��� ��� �� � 7��

������8 ������� �$���9 �� �� �$��� � 7�� ������8 ����� ������� �� )����

� 3���� '$%$%) � ����� x �� ����&�� �� ������ �0���� ��������� �� ������ � ("(!(")

�� ("1 �� ������ ��������! �� x ≥ 0 ���� �����"

� 3���� '$%$%* #����� � ("(!(")!("1 �� ("2 ��� ������ ��������! �� �� ���� � ��������

�������" �������� �� ������ �� ������ ����������"

3�� �� �� �������� ����� �� ����� �� � )���#'��)� � � ������ ���� Q��R �

�������� �� � � ���� ����� ��)��� ��S��� ��,� ������$ �� � �� �� ,����� ��

�� ����� � ,���� t(i)9 i ∈ JB ��� tj9 j ∈ JN ∪{b} ��� � � � ��,� ������ �� �����)�!

(t(i))

k=

⎧⎪⎨⎪⎩tik, �� k ∈ JN ∪ {b}1, �� k = i

0, � �)���

���

(tj)k =

⎧⎪⎨⎪⎩tkj, �� k ∈ JB

−1, �� k = j

0, � �)����

� 3���� '$%$%- 3� ���� �� ����� ��&��� ����� t(i) � ���������� �����! ��� ��

����� tj � ���������� �������" ��� ������! ��� Q��9 ��R"

?� ��� ��) ��� � � � ������ ����9 Q��R!

��

Page 24: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

�� �� � '$%$' ��� �� ���' A ∈ 6Em×n ��� �� ������� ����� B′ ��� B′′! �� ������

t′(i) ��� t′′j ��������� � TB′ ��� TB′′ ����������! ��� ���������"

+� ��� ��,� ����� �� ���9 � �������� �� � �� �� � ���� ������� �� ) � �

� ��������� �������� ������ �� � �� �� ��� �� � ������ �������� ������ ��

,���� �� � ����� �����9 � �� ���� ������� �� � ) ��� �� �� ,���� �� � ������

� 3���� '$%$%& $� �� �������� �� ������ ��������� ������ )"(" � ����� B �� �������

x = B−1b �� ������ �� �����! �� ���� �'�� �� i ∈ I ���� �� xi = 0" ��������! �+�

������ ����� �����"

6 �� ������ � ������� � �������� ��������� �� ����� ��������� &���� ����

��9 )� ���� � ����� ���� �������� ��H����

� 3���� '$%$%, ��� ���������� �� � &��� �� ��� �� ���� ������ �� ������ � ���� ����"

�� ���� �����! � ��������� �� �� ������� �� �� � ��� �� ���0������� {x : Ax ≤ b}!����� A ∈ Rm×n ��� b ∈ Rm"

� 3���� '$%$%+ � ������� �� ��&��� �� �� �����' ���� �� � &��� �� ��� �� ����� ��

Rn"

� 3���� '$%$%5 $� � �����' �� C ⊂ Rn �� �����" � ���� x0 ∈ C �� ������ � ,��$ ��

C! �� x0 ∈ [a,b] ����� [a,b] ∈ C � ����� a = b = x0" /��� [a,b] = {x : x = λa + (1− λb) |λ ∈ [0, 1]} ������ �� ������ ��&��� � a ��� b"

�� �� � '$%$) $� �� ��������� ������ �� ��� F = {Ax = x, x ≥ 0} �� �����" ����

x0 �� � ����' �� F �� ��� ��� �� �+� � �������� ����� ������� �� {Ax = x, x ≥ 0}"

�� �� � '$%$* �� &��� ��������� P �� �0��� ��� �� ������ ��&��� � �� ����'

����� �� P "

#"# ��� '����'�� ������ �$ ����' $�'�������� ������

" � ������ ������ ���� �� ����� ���������� ������� � �������� � ���������� ��

� ����� �� ����� ���2�������� +� �� ���������� ������9 � +�'�� ����� ��,���� �

������� �� ������������9 ������9 � ������� �� �� ������ ������

��

Page 25: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

�� �� � '$'$% 68��9��7 $� � ���' A ∈ Rm×n ��� b ∈ Rm �� �����" ���� �� ������

��������� ������ �� ���

Ax = b, x ≥ 0

��� � ������� �� �� ��� �� �� ��������� ��� ��

yT A ≤ 0,

yTb = 1

��� �� �������"

4����$ ?� �����) � ��������� )�� � ��,� +�'��@� ����� 6@� ���� � ��� � ��

������ ����� �,� � ������� �������������� �� �� ������� � ������ +� ��� ��������

��� x ��� y

0 ≤ yT Ax = yTb = −1,

����9 ) �� �� � �����������

"� � �) � � ���� ��� �� � ������,� ������ ��)��� �� � �������9 )� ����� ��

�� �� � � ���� ������� �� � ������������ ���,�� ��� �� � �������9 ��� ��,� �

� �� �� � �� ����9 �� � ���� )��� �� ������� )� � ����� �� ��������� ��� �

��(� �

/����������9 +�'��@� ���� ���� � � ����� ���������� ������ �� � �� � ��#

����� � � ���������� ��� �� ������� ��� ��

#"% ��� �������� �����+� �����, ������ $� $�'��������

������

&���� �� � ��,� �������� ��� �� ������ � ��� "���'� Q�R )� ����� � �������� �����#

�� 73&48 ������$ �� �� � �� ����� ���������� ������� Q��R� �� mK ���� ����� ��

� ������ ����� �� �� �� �� � �� �,�� ���� � )��' ���#�� ������ ���������9

) �� K �� �������� �� � ���� ��� �� � ������ ��� m �� � ����� �� ���������

����� K ����� �� ������� �� ����� �� � ���������� �� � �� ��� �� � ���� ���

Q��R�

" � �������� �� � ������ �� ��� �� �� ����� ������� ��� �� ������ ����

s#������� ��,� ����� �� )��� �� �������� �� ������ 9 ������ �� ������� �����

����� �� �� ������9 � �����,� ������� �� ������� � ����� �� ����� ��������

�%

Page 26: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

" � ������� �� �� ������� �� �� �����)�� 6� � �� ����� ��,� ������ �� �������9 )�

����� � ���������9 ������ � ��,� ������� � � ������ �� �� � ������� A� ��

���������9 )� �����) � ���� ��������� �� ����� � � ���� � ��,� �������� " � ������

������ �� �� � ���,�� ��������� � � ��)9 ������ �� ����� ��������� �� ���������

6� � ��������� �� ���,�� �� )� ��� � � ���� �� � ������9 ) �� �� � )�

��� ��'� � ���#�� ����� ��,� � ���� � � ������ �� ����������� 6 �� ���� � ���

� � ��$���� ��� �� � �����,��� �������� ���������� �� ������ �� 2m Q��R�

����� ��� ������$�� ������ �� � ����� �� ����� ,������ �� 3&4 ��� � ��

� ��� �� � ������$ �� �� ��� �� ��,�� ���� �� )��' ���#�� ������ ����������

!$%$& ���������

" � ��� ������� ���� 2������ �� ���������� ������� �� ) � � �� �$��� � ����#

������ ��,� �� �� � �� ���,�� 7���8� ?� ��,��� �� ���)� � �� ����� 2������! )�

� �) � � ������� �������� �� ���' ������� ���� ������ ��,� �������� ��� ��'�

������ � ��� "���'�@� �� �� � Q�R ��� �� ��������� �� � ������ 7���89 ) �� ��

�� ������ ����� �� mK9 ) �� K �� � ������ �������� �� � ������ ���Y ���#

�,�9 � ������$�� �������� �� � �� �� � �2���� � ������� ������������� ���� �����

������� � �� ��� '��)��� �9 ����� � ��,������� �� 1���� @� ������$ �� �� � Q��R9

�� �,� ���� �� ��,� �� �� �� '��)� � �,� �� ������ ����� � � �� � ����#

���� �� � ��,� �������� ���� 3�� ��,� �� �� �� �� ��� � �,�� 7���� ��������8

����� ��� ��'� �� �$�������� ����� �� ������� �� � 4������� ���� Q%�R9 � �� ����

� � ������� )� ,�� ������ �����9 ����� ������� � ������ �������� A� �

� � ���9 �� ������9 ����� �� ����� ������� ��� ������� �� ���,�� �� O(m) ��,�

�������� 7� � ��� �� O(m2)8 Q%�R9 ) �� m �� � ����� �� �������� �� � ���#

���� " � ������� �$������� �� ���� ������� �� ���� ��������� ����� ��������� 6

�� ���� � �)�9 ���� ��������� ����������� ����������9 � � �$����� ����� ��

������� �� � ������$ �� �� � �� ����������Y ��� �� � &� )�� Q��R ��� "��� Q��R�

��� B���'�@� ������ ���� Q�(R �� ����� ���� �� ��� 76.389 ��) �� �� ��

��� �� �������� �,� ������ � ��� ������ ����� ��� �� ����� �� ����� 9

��� �� � ������� ���� ��� � ��������� �� ��) ��,� �� ��� ��� � ���' �����

� �� �$������ �� � ������� �������� �� ���' ������� �� ������ � ��� "���'� Q�R

� ������� � ��H� ����,���� �,� � ���� ������$ ��� �� �� ��� " �� �� �� �

�� � �����)�� ���� �������! 7�8 ���������� �� � ���� ,������� �� �� ��,�� �� �

������� )��9 7��8 � ���� �� ���������� '��� ����� ���������� ���� � �������9 7���8

� ������� )� '���� �� ��,� ��������9 7�,8 �� ���� �� �� ������ � ���� ���� '��� ��

�(

Page 27: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

���#�� ������ ��� ��'� � ������� ����$ ���9 7,8 �� � ���������� �� � ����� ,������ ��

,������9 � �� ����� ��� � ��,� �� ���� �� � ��#������ ��,�� ,�������

?� ����� �� �� �� � �� ���,�� ����� ���������� ������� �����)�� � ���� ���� ��

� �������� �����#�� ������$ �� �� �� ������ � ��� "���'� Q�R9 ������9 � �����#

���� �� � )� '���� �� ��,� ��������� ?� ��,���� �� � ����� ��� � ���� ,������

�� �� �� �� � Q��R� &� �� �� �,� � ����� � ���� � ,������ ������� ��������9

� ������ �� ���� � �� �� ��

" �� ��,� �������� ��� ��S�� ��� � ����� ���� �� � ������ �� ���������� 7���#

�� �� ����� 8 �������� ?� � �) � �� �� �� � G ���� � ����� ���#�� ������

��������� G ��'�� � ��� mK ������� ����� ���,�� � ����� ���������� ������ Q��R�

����� � ��������� �� � ���#�� ������ ��������� ����� �� '��)� � ����9 )�

������� ,������ �� �� �� �� � � ��� ���,� ����� �� ����� ������� �� )���� ��

)��� �� � �)�� �������� )� s#������� ��,� ���� �������� �� ������ �����9 )� �����

� �����#���� �����,� ,����� �� � �� �� � � �� ������� �� ���,�� ����� �� �����

������� )� �� ������� ��� ����� '��)� ���#������ �������� ��� 7�� � ������� ����$9

��$��� �� �� ����� �� ,�������9 ��8�

E�����,� �� ��� � ������ ����$ �������� ���� �,� ������ ���� ������������ �������

� ����� �� ������� " ��� �� ��� ������� &����@� ��������� �����,� ��� ��� T�����@�

����� ������� Q��R� ���� � �����,� �� ���9 T�����@� ������� �� � ��� ������

� ���9 ) �� �� � ����� �� ,������� ��� � ����� �� �)� �� � ����������

� �� � �� � ��������9 H�� �� �� �� �� �� �� " � ��H� ��S����� ��)���

� )� �� ��� �� � ) ��� T������@� ������� ��������� �� � �������� �� �� �

������ ���������@� ��,� ������9 � ���������� ������ �� �� ������� ������� ����

�� ����� �)� ��� ��� ��������� ������� ���������� �) �� � ��,� ������ 7� ������ ��

���� ���� ����������8�

� ������ ��������� �� �� �� �� � �� � �����)�� � ��'� � ����������� �� ���

Q�-R9 � �� �� � ������ ��� ���� ����� ������ �� � ���������� �� � ��������

G �� ���������� �������� ����� G �� � ������� 6� �� ��� ������ � ������ ���� ����

�� � �������� ���� �� ��� ������ ��������9 �� ��� �� � ���� ������ )��� ��� ��

� ���� ���� �� � ���������

6� ������ �����9 )� ����� � 3&4 ��� ������$ �� �� �� � ����� ���������� ���#

���9 ��� ��,� ���� �� �� ������ �������� 6� ���� �� �� ��� �� �� ����� ��,�

��2������9 )� �������� �� ���� ����� �� � ������$�� �� � �� �� �� 6� ������� ���

��� ��(9 � �������� �� � �� �� � �� ��,�� )� �� ��� ���#�� ������ ����������

��

Page 28: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

!$%$! � '���� �������� �������

A� 3&4 �� �� � �� ���������� ������� )�' ���� � )��'� �� ������ ���������

�� ������

+� � �,�� ����� B9 )� ��� � �����)�� ������!

IB = I+B ∪ I0

B ∪ I−B ,

) ��

I+B = {i ∈ IB : xi > 0} , I0

B = {i ∈ IB : xi = 0} ��� I−B = {i ∈ IB : xi < 0} .

6� )� )�� � ��� ����� � ���������� �� � ,������ xi9 )� )��� ��� � ������ I⊕B =

I+B ∪ I0

B ��� ��� � i ∈ I⊕B �

� ������ ����� ������ ������� � � ���,� ������ �� � �)� �� +� �� ����

i −−�

}I−

B

j0

0

}I0

B

k ++

+

}I+

B

+� �� ���! .����� �� � ������

6� ��� ��,� �� �� �� ��,�� �� ���� ���� �� �����,� ������� �� ����� ��������

�)� 7��'� � ������$ �� �� �89 ��� ���� �� �� ��,� ������� �� ����� ���������� �)�

7��'� � ���� ������$ �� �� �89 � � )� ��� ��� �� �������� 7��'� � ����#����

�� ��8� E��� ����� ��9 +�'��� ��� "���'� Q��9 �%R �,� ������ � ������ �� � ��

������ �� ������� ���� ���������� A� �� �� � ����� �� ��� ����� ��,� ��������

�� )���� � ��,� �� � �����,� ,���� �� � �) �� � ����� �������� 7�����,�8 ,������ ��� ��

,��)�� �� � ����� ���������� �2��,���� �� � ���� ���� ���������� ��,��� ? ��� ������

�� ������9 �� �� �� � ��'�� ��,�� �� �� �� ��,� ��� �����,� ,����� �� �� �����

�)��

� 3���� '$)$% ��� � ����� ����� B ��� ���� ������ T ! � ���� ��� �� tij �� ������ �

��������� ���������� ���� ��

(" i ∈ I−B ��� tij < 0! ��

��

Page 29: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

)" i ∈ I+B ��� tij > 0! ��

1" i ∈ I0B ��� tij = 0"

A� �� �� � ���� ��������� ���������� ��,��� &���� �������� � �� �� �9 )�

���� � ������� ���� ��������� ��� ���� ���� � ������ �� �� ������� +� s ∈ IN ��

�� ������� � ��

Ks ={i ∈ I0

B : tis > 0}

.

� 3���� '$)$' � ����� B �� ������ �� ����� �� �� ������������� ����� ������� xIB=

B−1b ��� � ���� ��� 5��� �� �����! ��� � �� ������ ���#�� ����� ��������"

" � �� ������ ������ ������ ���,� �� ���� ����� � �� ��� �� ��������� ���

����� �����9 ��� �� �������������� " � � �������� �� �� ������ �� � ����� �����

�������� �� � ����� ������ � ����� �� �� ����� �� ��� ���� �� � � # ��� ����

,��� �� � ����� ���������� �� ���� ������� �� � ����� ���$ �� �� ���������� ?�

����� ��� ��)��� )� '���� �� �� ���������

� 3���� '$)$) � ��������� ����� B �� ������ )��'�� �� ����� ��� ������ � ����'

s ∈ IN �� Ks = ∅! ��� ��� �� �� ����� ��� ������ � ����' s �� Ks = ∅"

�� �� ������ � �� � �,�� ����� B )� �,� � ���� � ����$ s �� � ������ �� �

��������� ���������� ��,� �� � ���#�� ����� �)� A���,� � ��� � ��,� ���� ��

��'� ��� �� ����� ,������ ���������� �� ��� ���� �� Ks = ∅9 ����9 �� ��� ���� �� ����� B ��

)��'�� �� ����� )� ����� � ����$ s� ��� � )��'�� �� ����� ������ �� � �)� ��

+� �� ����s

−�

}I−

B

��

0

0

}I0

B

+

+

}I+

B

+� �� ���! � )��'�� �� ����� ��,� �������

�-

Page 30: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

� 3���� '$)$* $� � ����� B ��� �� ����' r ∈ I−B �� �����" 3� ���� � ���� �������� ��

tij �� xr �������� ���� ��

(" �� ���� ��� �� tij �� � ��������5�� �� ������� ����!

)" I⊕B ⊆ I⊕

B′! ���

1" xr > xr �����!

����� B′ = B ∪ {j} − {i} ������ �� ��� �����! ��� x ������ �� ��� ����� �������"

A� ��� �� � ������� �� �� �� � ����� �� xr �������� ��,��� 4� � �� ���

'��)��� �9 � ���� ��� ��,� �� �� � �� ���������� 7� ����� ����� �� ����� 8

������� '��)� ��� � ������ �� � ���� ,����� �� � �� �� � �� ������ � ���

"���'� Q�R 7) �� ��� ��� � ���� �������� ����� �������8�

4���������9 �� �� ����� ������$ ) �� �� xr �������� ��,� �$���9 �� � �)� ��

� �$����� �� +� �� ���� " �� ������ �� � �������� ������� �� x1 = x2 = 0, x3 = x4 = 19

�� �� �� �������� ��,� �� � ���� ���������� �)�

x3 x4

x1 −1 0 −1

x2 1 −1 0

+� �� ���! � ��� �� �� ����� ������ )� �� xr �������� ��,�9 ) �� r = 1�

" � �$����� � �)� � ��� ��� �$��� �� ��� �� �� � � ������ ���� xr ��#

������ ��,��9 ����� � ���� ����� ����� ��,� )���� �������� ��'� � ,������ x2

�����������

!$%$% (�� ��������

6� �� ������ )� ������� �� 3&4 ��� ������$ �� �� � �� ���,�� ����� ����������

������� �� ��� 7���8� " � ������� �� �� � ��������� ������ ������� � ������ �

��� "���'�@� 3&4 ������$ �� �� �� ����� �� ����� ������� Q�R� " � ���� ����

�� ����� � ��� "���'� )�� � �� � �,�� ���� �������� �������9 � �� �� � ������

�� � ���������� �� ����� ,������� ������������9 ) ��� �� ��������� ��,� ���� ����

���������� �� ����)�� � �� ,������9 �� �� ����� ) �� � � ���� ����� ��,�� ,������

�� ��,�� ����������� A� �� �� � �� ����� � �� �� �� � �� � ����� � �� �� ����

� ����� �� ����� �������� ,������� ������� ������������ ��� � ��,� �������� ���

�� �������

��

Page 31: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

6� ��� � �� ��,� ����������9 �� �� �� � �����)� �� �����,� �� � ?� � ����

�� ���������� ,������ �� � �,�� ����� ������� ) �� )� )�� � ��'� �������� �� �

��$ ������7�8� �� ��� �� �� ,������ ������ ����������9 � �� ����� � �� � �������

��������� ?� ����� � ������������ �� � ��,�� ,������ xr �� ����� �� xr ��������

��,��� ?� � �) � �� ��� ��)��� �� ���� �� � ��,� ������ �� ���#�� ����� �

)��'�� �� ����� )� ����� � � ��,� �������

" � ���������� �� �� �� �� � �� �,�� �� +� �� ���9 ) ��� � ;�) � � �� �

�� �� � �� ������� �� +� �� ��%� 6� ���� �� ��� �� �� ����� ������$9 � �� �� �

�� ����� � ��� ���� ���#�� ������ �� ���� �� )��� �� � ��� �� s#������� ����$

�������� ����9 � �����,� �� �� -��#��� �� ������� �� ������ ��(� " �� ���#�� ������

�� �� �� ��S��� ��� � ���������9 )���#'��)� �� ��� ��� � ������ ��� �����

�������� ���

6� ��� � ��� �� xr �������� ��,�9 )� ��� ��� ��� �� ������� �� � �������

������� " � ������� �� ��)��� ��� )� ��� ��� �������� ) � � � ��,��

,������ ��� �� ���� �������� �� ��� ��,� ���9 � 7�� ��� ��,���8 xr �������� ��,�

���� �� ���������

" � ,���� �� � )� ��� ��� �� ������ ��

θ1 :=br

trs

, ��� θ2 := min

{bk

tks

| k ∈ I⊕B , tks > 0

}.

+�� �� ��������9 � �� ���� � ��� � θ1 > 0 ��� θ2 ≥ 0� +� ����9 �� � ����� ��

���#�� ����� � )��'�� �� �����9 �� θ2 > 0 ����� ?� ��� � ���,����� � �

������� �'�� �,� � ���� �� �� ������� " � ��� �� � ���� ����� �� � �� �� � ��

� ��'� � ��,�� ,������ ���������

��

Page 32: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

��� ���� ����� � ����� ��� ���������� ������

����� ����� A ∈ Rm×n,b ∈ Rm, B.

������� x �������� ������ �� � ������ �� �� �������� ������ ������

�� ��

T := B−1A, b := B−1b, I−B := {i ∈ J | bi < 0}.

���� I−B = ∅ ��

�� r ∈ I−B �� �������� �������� ��������� rDone := false.

���� rDone = false ��

J −r := {j ∈ IN | trj < 0}.�� J −

r = ∅ ����

�� �������� ������ ������ ������

�����

�� s ∈ J −r �� ��������� Ks := {i ∈ I0

B | tis > 0}��� Ks = ∅ ����

(T, l) = DegProc(T, I0B, r).

�� l ∈ IN ����

s := l.

���

�� �������� ����� ����� ������

�����

�����

θ1 := brtrs

, θ2 := min{

bktks

| k ∈ I⊕B , tks > 0

}.

�� θ1 ≤ θ2 ����

���� �� trs� rDone := true.

���

q := arg min{

bktks

| k ∈ I+B , tks > 0

}, ���� �� tqs�

�����

�������

I−B := {i | bi < 0}�

�������

������� x �� � �������� �������

���

+� �� ���! " � 3&4 ��� ������$ �� �� � �� ���������� ��������

��

Page 33: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

��������" � ������� ��

�"A.

�"A.

r ∈ I−B

rDone = false

J −r := {j ∈ IN | trj < 0}

���

�� ��������

. . .

��

+

���

J −r = ∅ ���

Ks := {i ∈ I0B | tis > 0}

(T, l) = DegProc(T, I0B, r)

���

��

q := arg min{

bk

tks| k ∈ I+

B , tks > 0}

rDone = true+

−− −

����!

false

s ∈ J −r

�������

⊕ r

Ks = ∅

l ∈ IN

0

� 0

���

r

���

θ1 ≤ θ2

rDone =

��

θ2 := min{

bk

tks| k ∈ I⊕

B , tks > 0}θ1 := br

trs���

���

��

�"�E"

I−B := {i ∈ J | bi < 0}

����

���

I−B = ∅

q

r

s s

��

�� −

+� �� ��%! +��) � � �� � 3&4 ��� ������$ �� �� � �� ���������� ��������

?� ��,� � �� � �,�� ����� B �� ���#�� ����� � )��'�� �� �����9 �� �

�� �� � ��'�� ���� xr �������� ��,��� +�� )� ��,��� �� � ���� ) �� � ��,��

,������ ���,�� � ������

4��!������ '$)$% ��� � ����� ����� B! �� r ∈ I−B �� �� ����' �� �� ������� �������� ���

q ∈ I⊕B ! tqs > 0" %������ ��

bq

tqs

= θ2 ≥ θ1 =br

trs

> 0,

����� br < 0! trs < 0! bq ≥ 0 ��� tqs > 0" �� ��� ���� � ���� �� ������� �� �� trs" $� ��

����� �� ��� ����� � B′! ���

I⊕B ∪ {s} ⊆ I⊕

B′

��

Page 34: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

�����! ��� ∣∣I⊕B′∣∣ > ∣∣I⊕

B

∣∣ .���! �� θ2 > 0 ���� � ����� q ∈ I+

B "

4����$ ? �� trs �� � ��,� �������9 � ,������ xr ���,�� � �����9 ) ��� ,������ xs

���� �� �� �� ����� � ��) ����� ������� 7 �� � ��) � # ��� ���� �� � ��,�

������8 �� b′� ?� ����� ��� ��)��� � �����)�� ������

�8 +� ����$ s � � # ��� ���� ������� b′s = br

trs= θ1 > 09 ��'�� � ��,�� ,������

x′r = 0 ���������

�8 +� i ∈ I+B 9 i = s )� �,� b′i = bi − tisbr

trs� 6� tis ≤ 0 �� �� ���� bi ≥ 09 br < 0 ���

trs < 0 )� �,� b′i > 09 ������� )� ��� � ����� ��,� ����� � �� ������ �����,�

bi� A �)��� �� tis > 0 �� �� b′i = tis

(bi

tis− br

trs

)���� � �������� bi

tis≥ θ2 ≥ θ1 =

br

trs> 0 )� � � b′i ≥ 0�

�8 +� i ∈ I0B )� �,� bi = 09 �� b′i = − tisbr

trs9 ��� �� θ2 > 0 )� �,� tis ≤ 0Y ��

b′i = − tisbr

trs≥ 0.

�� )� �,� ����9 �� �������� ����� ,������ ��� ����������9 ) ��� � ���������� ��,��

,������ xr ���,�� � ����� 7 �� ������� ��������89 ��� � ����� ,������ xs ���� �

� �������� ��,��9 �� )���� 6 �����)� �∣∣I⊕

B′∣∣ > ∣∣I⊕

B

∣∣� �

6� � ��$ ��������� )� ��,��� �� � ���� ) �� � ��,� �� ���� ������ � �) ��

� ��,�� ,������� 6� � ����� �� ���#�� ����� � )��'�� �� ����� �� � �����

�������� ,������9 � ��,� ���� �� � �� �� � �� ���� xr �������� �

4��!������ '$)$' �� � ����� ������� �� �� ������� ! ��� �� ����� ����� B! �� r ∈ I−B

�� �� ����' �� �� ������� �������� ��� q ∈ I⊕B ! tqs > 0" %������ ��

0 ≤ bq

tqs

= θ2 < θ1 =br

trs

,

����� br < 0! trs < 0! bq ≥ 0 ��� tqs > 0" �� ��� ���� � ���� �� ������� �� �� tqs" $�

�� ����� �� ��� ����� � B′" ���� I⊕B\{q} ⊆ I⊕

B′\{s} ��� 0 > b′r ≥ br. ������ ���! ��

θ2 > 0! ��� 0 > b′r > br �����"

4����$ 4��� � ������� �������� �� � ���� �� .�������� ������ ��� ��� ��� �

��� � � ��� ��9 �� ��� ����$ i ∈ I⊕B )� �,� i ∈ I⊕

B′ �� i = q9 �� ��,�� �� .��������

������

��

Page 35: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

+� ����9 b′s = bq

tqs≥ 09 �� s ∈ I⊕

B′ ��

I⊕B\{q} ⊆ I⊕

B′\{s},

��,�� � � ������ �������� ,������� ����� ��������� +� � ����$ �� � ��,��

,������ b′r = br − trsbq

tqs9 ) �� − trsbq

tqs≥ 09 ���� � trs < 09 tqs > 0 ��� bq ≥ 0� &� �

�������� θ2 < θ1 )� �,� 0 ≥ trsbq

tqs> br ��

0 > b′r = br − trsbq

tqs

≥ br.

6� � ����� �� ���#�� ����� � )��'�� �� �����9 �� θ2 > 0 ���� �� ��������9 ��bq

tqs> 09 �� −trs

bq

tqs> 09 ���

0 > b′r = br − trsbq

tqs

> br,

�������� � ����� �

/����������9 .�������� ����� ���� �� � � ��) ������� �� ����� � � ����� �#

�,�� ������� �� � ��,�� ,�������

��������� � ����� �� .��������� ����� ��� ����� )� ����� � �����)�� �����

:�������� '$)$% �� �� �6, �� �� ���' ������� ������ � ��� ������������� �� �����

��������� �����! ��� �� ������� ���� ��� xr ���������� �����! ��� ��� � �� &���"

4����$ " � ����� �� ��S��� ����� �� ����Y �����9 � ��5��� � ��,� � � �� �#

� � �� �� ������ 9 � �� � � )���9 � � ����� ��� �� ���� )���� ����� )� �������

� � �� �� � ���� �� ,��� ��� �� �� ����� �����9 � �����)� ��� .��������� �����

��� ����� � � ��� ������9 � �� �� � ��'�� xr �������� ��,��� 6� ��� ��� �

��) ,������ ������� �������� � � ,���� �� � ��,�� ,������ ��������9 �� � ����

����� ��� �� ���� �

.��������� ����� ��� ����� ����� ������ ����� �� �� 3&4 ��� ������$ �� �#

� �� ������ � ��� "���'� �� �� ���� Q�R �,� ��,�� ������ ����� �� �� �����

�� �� � �� ����� �� ����� ��������

6� � ��$ ������ )� �,� � ��)� ����� �� � ������� �� � ,���� �� � ��,��

,������9 ��� �����2�����9 )� ��,��� �� ���� ����� �� � ������ ����� �� �

�� �� �� 3�� ��������� ��� ����� 3&4 ������$ �� �� �� ��� �� �������� �� � ������

)�� ��'� � ��� ������� �� � ��$ �������

"� �������� � �� �� �9 ������� � �����)�� ����� �$�����9 �,�� )� � � �

��,� �������

�%

Page 36: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

�;��!� '$)$% �������� �� ��������� �� ��� ������ .

x1 − x4 = −2

x2 − x4 + x5 = −1

x3 − x5 = −3

x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0

3� ����� ��� �'� ��� ��� �� �6, ������� ��� ��7 ����' �������� ����" �� ��� �'� �

���! �� ������� �������� �� ����� �� ����! �� �� �� ���� ��� �� �� �� ���� ���� ������"

��� ��� �� �� ������� �������� �� ������ � �����5�� � ������� ���� ��������� �� ���" ���

����� �� ��������� x1, x2, x3 ��� � ��������� �����" ��� ������������� ���� ���� ������

�� ����� �� ������� 1"

x4 x5

x1 −1 0 −2

x2 −1 1 −1

x3 0 −1 −3

������� ("

x1 x5

x4 −1 0 2

x2 −1 1 1

x3 0 −1 −3

������� )"

x1 x2

x4 −1 0 2

x5 −1 1 1

x3 −1 1 −2

������� 1"

x3 x2

x4 −1 −1 4

x5 −1 0 3

x1 −1 −1 2

������� 2"

��������� � �� ��7 ����' �������� ����! �� &�� ������� �������� �� ������� � �� x1" ���

��� ������� ��� �� �� �� ��� �� x1 ��&��� �� ���������� ����! ��� x1 �� ��� ��������

�� ��� �������" ��� ��� �� ������ ���������� �������� ��������� � �� ������ ������ ��

x3! �� ��� ������� ��������" ���� �������� ����� �� ��� �������� �� ��� �������! ���

�� ������� ������ � �� ���������� ����! ��� �� ����� �� x3 �� ��������� � 1" �� ��

��� �������! �� ������� �������� x3 �� ��� ��������! ����� �� ���� �� �� ��� �� x3 �� ��

���������� ���" ��� ����� ����� ������� �� �� ������ �� x = (2, 0, 0, 4, 3)"

!$%$) *�����+�� ,���� ���� ��� '��� �������� ����������

6� �� ��������� )� ������ � �� �� �� � ,���� ���� ���#�� ����� � )��'�� �� ��#

��� ������$� 1� ������ �� ������ �� ������� ��� ��� ��(�

&� � �������� �� � ��,� ������ ��� � �����9 �� � ������ ����$�� �� s ∈ IN

�� � ������ )� �,� ts = B−1as ��� b = B−1bY �� ,���� ts ��� b ��� ��������� �

�(

Page 37: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

�� � ���2�� �������� �� � ����� �2������ Bu = as ��� Bv = b� +� ��� ����$ i ∈ IB9

*���@� ��� ������

tis =det(Bis)

det(B)��� bi =

det(Bi)

det(B),

) �� ���$ Bis ∈ Rm×m �� � ���������� �� � � ��� ����� ���$ B ��� � �� ith

������ �� ������� �� ,��� as, ��� �������� ���$ Bi �� ������� ��� B �� ������� ��

ith ������ �� ,��� b� +� �� xr �������� ��,� � ���� �� ��'� � ��,�� ,������

��������9 )� �,�

b′r = br − trsbq

tqs

=det(Br)

det(B)−

det(Brs)det(B)

det(Bq)

det(B)

det(Bqs)

det(B)

=det(Br)

det(B)− det(Brs) det(Bq)

det(Bqs) det(B),

) ��

−det(Brs)

det(Bqs)

det(Bq)

det(B)> 0

���� �� � ��� � � ����� �� �� ��� �� �� �����9 �� ���� �� .�������� ������ ��

∆A := min

{−det(Brs) det(Bq)

det(Bqs) det(B):

B �� � � ��� ������$ �� �9 ���det(Brs)det(B)

< 0, det(Bq)

det(B)> 09 det(Bqs)

det(B)> 0

}

�� � ������� ������� �� � ��,�� ,������@� ,����� ������� � �� ��� ��,� �����#

������ �� � ������ θ2 > 0 ����9 )� �,� � ∆A > 0 �� � ���� ����� ���

b′r = br − trsbq

tqs

=det(Br)

det(B)− det(Brs) det(Bq)

det(Bqs) det(B)≥ det(Br)

det(B)+ ∆A,

�� �� xr �������� ��,� �� � ��'�� � ��,�� ,������ �������� � �������� �� ,����

�� � ���� ∆A� ?� ��) ����� � ��$���� ������� ,���� � �� ���������� ,������ ���

�'� ���� � �� �� �� ��

∆max := max

{−det(Br)

det(B):

� �(det(Br)) = −� �(det(B)),

B ∈ Rm×m �� � � ��� ������$ �� A

}

�� � ��$���� �������� E:� ,���� �������� �� � ��� �� *���@� ���� 6� �� �� ���

����� �� ) �� �� �� � �� ��,� � # ��� ���� ,����9 �� � ����� ∆max �� �����,�

��� ����� �� K ∈ Z �� ��� � K =⌈

∆max

∆A

⌉9 �� K ∈ N�

?� �� ��) ���� � ����� � ����� �� ��,�� �������� � ��'� � ��,�� ,������

���������

4��!������ '$)$) ���� � �� �� ������� ����� ��� ������������� �� ����� ������

���� ���� ������'" $� r ∈ I−B �� �� ����' �� �� ������� ��������" ����� ��� �� � ��

K ���� ��������� ������ �� ������� �������� ���� �� ��������"

��

Page 38: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

4����$ &� � ��������9 � ,���� �� � ��,�� ,������ ����� �� ������ �� −∆max�

" � ,���� �� � ��,�� ,������ �������� �� � ���� ∆A �� �,�� ������Y ��9 ��

����� �� ��� �� K ������� ����� � ��$ xr �������� ��,� ��'�� � ��,��

,������ ��������� �

?� �� ��) ���� � ��,� � ����� �� � ������$�� �� � �� �� ��

�� �� � '$)$% �������� �� ��������� ������ 8)"(9" ���� � �� �� �6, �� ����

������� ����� ��� ������������� �� ����� ��������� ���� ������' �� ������� 8)"(9"

���� �� ������� �� &���! ��� ���� ��� �� � �� mK �����"

4����$ &� .�������� �����9 �� ��� �� � ��� K ��,� �������� ����� � �� �� �

��� �� ���������� �� � �) �� � ��,�� ,������ � ��,�� ������������� " � �����

�� ��,�� ,������� ���� � �� �� � �� ������� �� � ����� �� �)�9 ������� ��

.��������� ����� ��� ����� � ����� �� ���������� ,������� �������� ������������Y ��9

� �� �� � ��� �� �����9 ��� �� ��� �� � ��� mK ��,�� ����� ���,�� � ������

� ��,�� � � �� ����������� �

?� �,� ��,�� ���� � ���#�� ������ ��������� � � �� �� � �� ����9 ���

)� ��� ����� � �2���� ����� �� ��,� ��������� " �� ���� ����� �� ������� ��

� 9 ��� ��� �,�� �� �� � �� � ��,���� ���� ����� O(2n)� :�)�,�9 � )���� ��

������� � ��� ��� ������ ������� ) �� � ���� ����� ��� ������ �� ��������Y

� ��9 � ,����� �� ∆A ��� ∆max �� ������ ���������� � ������� ����� ������

����� )���� �� ���9 �� ) �� � ���$ A �� ����� ���������� 3�� ������� �����

��� ����������� ���������� �� � �� �� �����Y ��9 � ������$�� ������ )����

���� ����� � ����� �� ���#�� ����� ��� )��'�� �� ����� ��,� ����� 6� ���� A ��

����� ��������� ��� b ∈ Zm9 )� � K ≤ ‖b‖1� " �� ����� � �� �� ������� ���� K

������� ������#������������ �� � 7�����8 ���� ����� 6 )���� ���� �� ������� � ���

���� ��������� �� �,�� ������ ������� � ����� ��� �� ������� ��� � �

�������� �� ��2��� '��)� ��� � ������ 7��'� � ε#�������� �� ��2�� Q(�R8

�� �� �,� �� �������� ���)� � � ������9 ����� �� ������� ��������� �S�� �

,���� �� ∆A9 �� � �)� �� � ��$ ������ �$������

�;��!� '$)$' $� A ∈ Zm×n �� �� ���'! ��� �������� �� ��������� ������ ���������

������ . ⎡⎢⎢⎣ A

1" " "

1

⎤⎥⎥⎦x =

⎡⎢⎣ −1

. . .

−1

⎤⎥⎦ .

��

Page 39: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

���� �������� � ������� � ��� ε! �� �������� ������ ���� �⎡⎢⎢⎣ A

1" " "

1

⎤⎥⎥⎦x =

⎡⎢⎣ −1 + ε

. . .

−1 + εm

⎤⎥⎦ .

� �� ����� �� 8��� ������� �������� �� � ���*����� �� �9 ��� ��� ������ ∆A < εn!

����� ∆max > 1 + ε! ��� K >(

)n"

" �� �$����� ������ ��������� � ������� � ε#�������� �� ��2�� ��� ����

�� � ����� ������� �� � ������ ����� K�

#") -��������� ���� s+�������� ���� ����

6� �� ������9 )� ����� � �������� ������� � ����� �� ������ 7-��#���89 ���� ��

������ s#������� ����$ ����� �� �� �������9 �� ������ �� ���� ������ �� ��������

� ����$ �������� ����� �� )� )��� ���9 �� �� ���� �������� �� � ���� �� � 3&4 ���

������$ �� �� ��

!$)$& (�� ������� � s-�������� ����� ����

6� ��� �����9 �� ����� �� �������� )��� ��� �� ������ s ������� ��,� ����� " �� �����

�� ��,� ���� ������ � ��������� ������� ����$ ��� �� )��� �� ��,��� ;�$���� ��,� ����

��'� �6+A 7���#6�#+��#A�8 ��� 3A�= 73��#A���#�������8� " � ��,��� � �� ���

�������� ���� �� � �� �S� ��������� ������ �� ,������ �������� 7����� � �

�� ����� �� � �� �� �89 �� ��,���� ���������� � �,��� ���������� ������� ��,���

�� � ����� ��2����� B0, B1, . . . , Bk �� ������ �� � ��,� �� �� �� +� ��� �����

�� � ��2�����9 )� ����� � ,��� s ∈ Nn⊕� " ��� ,���� ������ �� ���� �� � �����

�����9 �� �� � ) ��� �� �� ����� �� ) �� � ����� )�� ������ �� � �� �� ��

����� ���� ����� �� �������� )� ����$ �������� ���� �� ,�� ������9 )� ��� � �,� �

������ ����)�' �� �� ������

�� � ��,� �� �� � ��� � ��2����� �� ,���� s ∈ Nn⊕ �� �,��9 � ��������� ��

) �� �������� � � ,������� �� � �������

� 3���� '$*$% ��� ��0����� �� ������ s �� ������ � �������� ,���! �� ���� ������

��&�� ��� � ����� ����' �������� ���� ����� ����� � �������� ��� �� �� �� ���������"

?� ������� ��� ��,� ���� � ����� � ����)�� ������� �������� ,���� " �

��� �� ����$ �������� ���� �� � ���' ��� ��� �� � ��,� �� �� � 7���� ) �� � �����

�� � ��,� ������ ���� �� ���2���� ����� � ��,� �������8�

�-

Page 40: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

� 3���� '$*$' �������� � ���� ���� ��� ���������� ����� s" ��� ��0����� �� ������ s

������ ����� �� ��������� �������.

(" �� �� ������� 8���� ��������9! �� ������ �� ����� s � �� �������� ��� �

��� �� ������� ��� ������ ������������� � ��������� ����� �� �� �� �� �� �����" ��

�� ���� ���� ����� ����� ��� ������� ��������� � ���� 8�� �����9 �� �����! ��� ���

� ������ s ����� �� � �� �������"

)" ��� s ����� �������� �� ��� �� �� ��������� ����� �� �����.

8�9 ���� ����� Bk! �� ������� �� ����� �� � &��� �� ��� �� ����"

8�9 �� ���� �'�� ���� ��������� �� ��� ��&���� �� � �� ���� ����� Bk! ���

�� �� ����' �� �� ���� ��������� �� ������ � I∗" ���� ����� Bk! �� � &���

�� ��� �� ��������! � ����� B∗ �� ��������! ��� ����� �� �������� ������ ��

����� ��� � ��� �� s ����� �� ���0�� ��� ������ � I∗" $� ��� �������� ��

������ � xl"

1" 3��� ���� ����� B∗! �������� xl ����� �� �����! ��� ���� � ������ � ����� ��

��������� �����. �� �� �������! �� s ����� �� ���� ��������� �� ������ �� �����

���� �������� xl ��� � ������ s ����� ��� �������� xl"

����� ���� ����� ��� ����� � ���������� ����� s ����&�� 1− 3 ��� ������ s#������� ��,�

����" �������! �� ����� B∗ ������ �� ��������� ����� ������� 2 ��� 3"

+��9 )� �������� �) �� �������� ��� �� �$������ �� � �������� ������ 6�

������ ��% )� � �) � ��,��� )���#'��)� ��,� ���� ������ � 3 ������

!$)$! �� ����-�������� ������� ,���� �� ����+ ��������� ����

" � '�� ����� �� � �������� ������� �� � ��,���� ������ )�� � � ������$ ,�����

�� � �� �� � )�� ��� ���#�� ����� � )��'�� �� ������ " � �������� �� ������

�� ������ ������� �� �� ��� � �����)�� ������ ����� ��,� �������� ����� �� �

�) �� � ��,�� ,������ ��� � �� ����� ������$ 7�������� �� ��� �� ����� �)�8�

" ��� ��,�� �� �� � �� � � ���� ����� �������9 �� ������ � ����� ������ ��

��� � )�� � � �� � ������� ����� ����������9 � �� )��� �� � ���� ��� ������ �

�� � �� ��,� ��� �� � �) �� � ��,�� ,������ ��� �� )��'�� �� ������

" � �� ,����� �� ������� -��#��� �� ������� �� +� �� ��(9 ) �� �� ������� ������

)� ���� � ��,� ������ �� � �� ���� ������� " � ;�) � � �� � �� �� � ��

������� �� +� �� ���� ?� ��� � � )���� �� �������� 7��� ��5����8 � ��� � ����

��

Page 41: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

,��� s �� �� � ) ��� 3&4 �� �� �9 �)�,�9 � �� ��5���� � ������� ��� ����

) �� ��� �� ������ ������ +� � ��'� �� ���������9 )� � ���� �� ��� ��

���� �� ������� ��������� ���� s�������� ����� ����

�������� !� ���

������ (T, I0B, r)�

������� (T ������ ���� ������ l ��� ���)�

�� ��

��������� �� �� s�

���� �(J −N := {j ∈ IN : trj < 0}) = ∅� ��

�� k ∈ J −N �� �������� !�� ��� �� ���� ����� � s�

��((I+

k := {i ∈ I0B | tik > 0}) = ∅) ����

"�� ������ ����� �� !��#�� ��������� ������"T, k#�

�����

�� l ∈ I+k �� �������� !�� ��� �� ���� ����� � s�

���� �� tlk� ���� �� �� s�

�������

"�� ������ ����� �� ����������� ������"T,−1#$

���

+� �� ��(! � �������� ������� � ����� �� ������ ���� s#������� ����$ ��������

�����

" � ������ ������$ �� ������� -��#��� 7������� �� +� �� ��(8 �� � �� �����

�)� ��� � �) �� � ��,�� ,������ �� ������� �� +� �� ����

��� � �� ������ ������$ ����� �������� �� � 3&4 �� �� �9 ����� �� �

�� ���� �� �������� ��,� �� ��������9 �������� � � ���� ����� )��� ��,� ���9

) ��� �� � � � ���� � ������ �� ��,�� � �� ����������9 ��� �� � 3&4 �� �� �

�������� �� � �� ��5���� � � �) � � ���#�� ������ ������� �� �����

?� ��,� � ) ��� ���,�� � �� ����� ���������9 � ����� ����� ������� �� �

�� �� � ���� �� � �� ��

��

Page 42: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

J −N = ∅

��

I+k = ∅

��

���

���

E���7"9'8

�"�E"

.�,� �� tlkl ∈ I+

k

����� ,��� s�

������

#

�⊕. . .

���

⊕ # #

E���7"9#�8

k ∈ J −N

�"A.

+� �� ���! +��) � � �� � �������� ������� � ����� �� ������ ���� s#������� ����$

�������� �����

� 0���

���

� 0

− −

0���

0

⊕ . . . ⊕ −?��'�� �� ����� 6���������

+� �� ���! "������ ������$ �� � ���#�� ������ ������� )� s#������� ����$

�������� ����9 )� ����� � � �� ����� �)� ��� � �) �� � ��,�� ,�������

4��!������ '$*$% $� � ��������� ���� ������ T ∈ Rm×n �� �����! ��� ����� �� ����'

�� �� ��������� ���� � D = I0B" ���� �� ���� ��� �� �� ��� ��� �� ��� ���' TDIN

���� �� ������ �� ������ ����� �������"

4����$ �� � � ���� ��������� ���������� ��,� ������ �� tij ∈ TDI � ?� � �) � �

� # ��� ���� �� � ������ ���� �� � �� � ��� � ��,�9 ������ b′i = bi

tij= 0 = bi ���

b′k = bk + tkjbi

tij= bk + 0 = bk9 ) �� k = i� �

?� �� ���� � � �) � �������� �� � �������� +�� �� �����)� � �������� ��

� 3&4 �� �� � �� )����

�� �� � '$*$% �� �� ������������� ��������� 1� .�� ���� �� s� ������ ����' ������

��� ����! ��� �+� &���"

4����$ 6� ���� �� ������� � �4���9 � ) ��� ������ ������� �� �� ����� �)� ���

� ��� �� ����� ����� �) �� � ��,�� ,�������

��

Page 43: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

������� � �����9 ������ � � �� �� � �� �� ����� ����� � ����� ��

��S��� ����� �� ����9 �� �� ���� �������� �� � �� �� � �������� �� �� ������� �

������� ������ �$������ 6� ��� �� �$�����9 )� � �$������ �� � ��,�� ,������9

�,�� ,������ ��,�� �������� ���� �����

����� � ����$ �������� ��� �� s#�������9 �� �$��� � ����� B′ ��� ,������ xl ������

� �����9 �������� � ������ ������ �� s#����������� " ��9 ) �� �� ,������ ����

� �����9 �� ,���� �� s ���� � � � ,������� ������ � ����� �� ������� 7���� ����

� �� ������8� ����� � �� �� �� ����� � ��� )� � �� �� s ,���� ��� �

�������� ,�������9 �� �� ���� �������� �� �� � ,��� t′(r) � ���� � trl < 0 ��� tri ≥ 0

�� ��� i ∈ I − l ���������� � ����� B′�

�� �� ��) ������� ����� B′′9 ) �� � ,������ xl ��$ ���,�� � ������ �� � ,������

����� � ����� �� xk� ������� � � ��� �� � ���#�� ������ �������9 ���� �

�����,� ����� �� t′′k9 ,������ xl �� � � �� ,���� �� s′′9 � �)��� � ������� )����

�,� � ���� �� � � ,������� " � ,������� )� ��)� s ,�����9 �� � �� ������ ��

s#���������� �,� �� ��,�� ����� ����� B′� �� � �� �� ��� ,������� �� K9 ��

K = {j ∈ IB′′ : t′′jk > 0} ∩ IB′ � +� ����9 �� L = {j ∈ IB′′ : t′′jk ≤ 0}� " �� l ∈ L ∪ K�

" � ��,� ������$ ���������� � ����� B′ ��� B′′ �� � �)� �� +� �� ��-�

B′ : B′′ :

0�

0

xr ⊕ · · ·⊕ − ⊕ · · ·⊕ −xl

0

xl +�

0

xr − −xk

}K}L

+� �� ��-! &���� B′ ��� B′′�

����� t′ri = 0 �� i ∈ K ��� t′′ik = 0 �� i ∈ IN ′′ 9 � �����)� �

t′(r)Tt′′k =

∑i∈IN′′

t′rit′′ik +

∑i∈K

t′rit′′ik +

∑i∈L

t′rit′′ik + t′rlt

′′lk + t′rrt

′′rk ≤ t′rlt

′′lk + t′rrt

′′rk

= t′rlt′′lk + t′rk < 0,

����� t′rj ≥ 0 �� j ∈ L ��� t′rit′′ik = 0 �� i ∈ K ∪ {r}9 ����� ��� ,������� �,� �� ��,��

��� ���� � ��� ������� ����� ������� � ����� �� ������� �� ���� ���� ��� ��� ���� ����� � � �����

����� ��������� ���� �����

��

Page 44: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

��)��� � )� ������ 4��� � t′rl < 0 ��� t′′lk > 09 �� )��� �� t′rr = 1 ��� t′′rk < 0 �

�����)� � t′rlt′′lk < 09 ��������� � � � ������ ����� �

?� ������� ���9 � � 3&4 �� �� � ���� �� ���#�� ������ ������� )�

s#������� ����$ �������� ��� �� �����

�� �� � '$*$' ��� �6, ������� ! �� �� ���� �� ������� �� s� ������ ����' ��������

����! �� &��� ��� �� ��������� ������ "

4����$ +� �� ��� �� �� ����� ��,� ������$9 � �������� ��,� �������� �����

� � ����� ��� �� ���� )���� &� " ���� �����9 �� ��� �� �� ����� ��,� ������$9

� ���#�� ������ ������� ��,���� � )��'�� �� ����� ������ �� ���� ����9 � ��,�

� � ������ �� ����������9 �� ����� �����9 )� �� � �� �� � � # ��� ���� �� �

������� �

# ���9 '$*$% 3� ���� ���� �� ����� �� ����� �� ������ )")"("

# ���9 '$*$' ��� �������� DegProc ��������� � ���� �� ������ �� � ������� ������

����� ���� ��� s� ������ ���� �������� �����"

�;��!� '$*$% �� �� ������ ��� �� ��������� ������ ��������� �����! �������� ��

��������� ������ .

x1 − x4 + x6 = −1

x2 + x4 − x5 − 2x6 = 0

x3 − x5 + x6 = 0

x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0

3� ����� ��� �'� ��� ��� �� �6, ������� ����� �� ������������� ��������� ���

�� ��7 ����' �������� ����" �� ��� ��� �'� ��� )"1"(! �� ��� �� �� ������� �������� ��

� �����5�� � ������� �� ���� ��������� �� ���" �������! �� ��������� x1, x2, x3 ��� �

��������� �����" ��� ������������� ���� ���� ������ �� ����� �� ������� 1"

x4 x5 x6

x1 �( : ( �(

x2 ( �( �) :

x3 : �( ( :

������� ("

x4 x5 x6

x1 �( : ( �(

x2 � �( �) :

x3 : �( ( :

������� )"

��

Page 45: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

��� ��� ���������� �������� �� �� &�� ������ �� x1! ����� ��� ���� �� �� �������

��������" %���� �� ���� � �� �� ��� ������� ���� ������� �� ������ ���������! ��

������������� ��������� �� ������" ��������� � ��7! � ���� �� ��� �� �� ��� �� x2 ���

�� ���� � �� x4" ��� ��� ��������� �� ���� ����������! ������ �� �� �������� ������

��� � ����� ��������� ���� �" ���� ����� �� ������������� ����! �� ��' ������ ��

��������"

x4 x2 x6

x1 ( �( �( �(

x5 ( �( �) :

x3 : �( ( :

������� 1"

x2 x5 x6

x1 ( �� �( �(

x4 ( �( �) :

x3 : �( ( :

������� 2"

x2 x1 x6

x5 �( �( ( (

x4 : �( �( (

x3 �( �( ) (

������� ;"

��� ����� ������� ����� �� x = (0, 0, 1, 1, 1, 0)"

#". s+�������� ���� ����

?� ��) � �)9 � ��,��� )���#'��)� ��,� ���� ������ � �2������� �� s#�������

��,� ����� " �� �� � �����9 )� ��,� � �� � 7�8 ,����� �� � ������ �����

���� �� ���9 �� 7�8 �����

" � ��������� ����$ �������� ��� �� &���� � ����� � ,������ )� � ������� ��������

����$� " � &���� ��� �� ���� ����� � �� � ������� ����$ �������� ��� 736E8�

� ��� '$-$% ��� ��� �� ����' �������� ���� �� 6���� �� s� ������"

4����$ �� �� ������ � ������� ����$ ��� �� &����9 ���� � ,��� s � �� ������

��

si = n − i, i ∈ I.

6 �� ���� � ���9 � � ��$���� ,���� �� ��� ���,��� �� ,��� s ��������� � �

,������ )� � ��)�� ����$9 �� ������ �������� � ������� ����$ ����

" � �� ��� ������ ����� �� s#���������� ������ �����) ��� s ���� �������

+� ����� Bk+1 � ����$ arg min sii∈INk+1

∩I∗= u �� ���2��9 ����� �,�� ,���� �� s �� ��S���

7su = n− u89 �� u �� � � �� ����$ �� � �� INk+1∩ I∗� 6� v = arg min si

i∈IBk+1∩I∗

�� ��� �

v ≥ u 7 �� v > u ���� ����89 �� �� B∗ = Bk+1 ��� l = u9 � �)��� �� B∗ �� � ��

����� ) �� ,������ xv ��,�� ������ � �����9 ��� �� l = v�

�%

Page 46: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

" � �� ������ �� � ��� ����9 ������� � ��� �� � ,������� )� ����� � s

������ � ���� �� �� � �� �� �� �

" � �6+A ����$ �������� ��� � ����� � ,������ � �� ��,�� ��� ������� " �

������ �� ��� �6+A �� � �� � ,������ )�� ������� � ��� � �����9 ��� � ���� ����

�� � � ������ ����������9 �� � ,������ ��� �,� �� ���� � ��� � ����9 ��� �

�� �� � � ���� � �� � ��

� ��� '$-$' ��� ����' �������� ���� $��� �� s� ������"

4����$ �� �� ������ � ,��� s � �� �������� ���� 6� � ��,� ) �� xl ���,�� ��� xk

���� � ����� �� � mth ������9 � ,����� �� s �� ������� � ��,� ��� ,�������!

s′i =

{m �� i ∈ {l, k}9si � �)����

}

" � �� ������ �� � ��� ���� �� ���������

�� M = INk∩ I∗� ?� �����) � ��,�� �� ��� ,�������9 ��� ) �� ,������ xi ����

� �����9 )� ����� � ���������� ����$ ��� M9 �� M := M−{i}� ����� M ⊂ I∗9

� �����)� � ��� � ���� ����� �� ������� | M |= 1 ����� �� � ��� ������ �� M�� ������ �� l� +� � ����� ���������� � �� ���9 l = arg min si

i∈IN∩I∗ ����9 �� ��

����� �� � ���� � ���� �� B∗ )� ,������ xl�

" � �� ������ �����)� ���������� ��� � �������� �� �6+A� �

" � 3A�= ��� ����� ��� ,������� � ��,�� ��� ���� ������ " � ���� ��� ��

������� �� � �����)�� )��� 3�� ����$ �������� ���� ������ �������� �� �����,�

��� ����9 ������ � �� �� �� ���� ����� �� �) ���� ���� � ,������ ��� ��,�

���� � �� �� �� +� �$�����9 �� � ���� �� 36E9 � �� ���� � ��� � ) ��� ����#

����� � ,������ x1 )� � ��)�� ����$ ��� ��,� �� � 2n−1 ����9 � ,������ xn )�

� � �� ����$ ��� ��,� ���� ����� " �� )��9 3A�= ��� �� ������� �� ��� � �$

��� ,������� � ������ ��,�� � ���9 �� �$ ����� � �������� ������ � ��,��

� ��� '$-$) ��� ����' �������� ���� ��%< �� s� ������"

4����$ �� � ,��� s �� ���������� �� ������ ���� 6� � ��,� ) �� xl ���,�� ��� xk

���� � ����� �� � mth ������9 � ,����� �� s �� ������� � ������� � ��,� ��

��� ,�������!

s′i =

{si + 1 �� i ∈ {l, k}9

si � �)����

}

�(

Page 47: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

" � �� ������ �����)� ���������� ��� � �������� �� � ����$ �������� ����

�� MN = INk∩ I∗ ��� MB = I∗ \MN � ?� ����� � ������ ti �� �����)�!

ti =

{si9 �� i ∈ MN

si + 19 �� i ∈ MB

.

�� P = {i ∈ I∗ : i ∈ arg minj∈I∗

tj} ��� minj∈I∗ tj = p� ?� ������� � ������� ������� �

� ��,� ���� ����� P ⊂ I∗9 �� �� ��� i ∈ P �� �$��� ��� � �����9 ) �� ,������

xi ���� � ����� �� � �� ��� ��� ����� Bk� ? �� �� ������9 )� ����� �� ����$

��� P 9 �� P := P \ {i}� ��� ������ ���� �������9 ��� � �� P �� �������9 ��

) �� | P |=| {l} |= 1� ��� �� ������9 �� � �� ����� ) �� ,������ xl ���� �

����� �� B∗� ?� � �) � �� B∗ � � ���� �� xl �� ���2��� A���,�9 � �� �� ����

sl = p9 � ������ ) � � xl )�� �� � ����� Bk � ��� &������ �� � ��,� ���9 p < si

�� i ∈ I∗ \ P ��� ����� �,�� ,������ )� ����$ i ∈ P \ {l} �� � ���� ���� ����� �

����� ��� Bk ��� ��) �� ������ � �����9 �� ,����� �� s ��� �� � ���� p + 2� A� �

� � ���9 �� � )�� � ����� ,������ �� Bk �� �� s ,���� �� � ���� p+1� " �� � ������

������ ���� �����

����� � ,������ xl ���� � ����� �� ����� B∗9 ��� �,�� � � ,������ )� ����$ ��

I∗ ����� � ����� ��� xl ������ �� � � � s ,���� �� xl �� ����� B∗9 ������� �

� 3A�= ���9 � �� ������ ���� ����� �

6� � ���� �� �6+A ��� 3A�=9 ) �� ��,��� ,������� �,� � ���� ,���� �� s9 ) �� �

� ���� �� � �� ����9 � �� �� � ��� � ���� �'�� � � ��������� ��� �����������9

��'� �������� ������� � � ������ ����� ������

# ���9 '$-$% ��� ��&����� �� s� �������� ������� �� �� �� ������� ����� s� ������

����' �������� ���� �����! ��� ���� �'��� � ��5� ��� �� ������ �'� ���" ������� ����

����! �� �� ������ ��� �� ����� ��������! � �� �� ���������� ��� �� �� ��

��� �� ��5� ������ �'� ��� ���� �������� ���� ��&���� �� � ��" � �� ��� �'� ���

�� �� �6, ������� ��� ��������� ������ �"

#"/ � ������� '������� �� �'���� ������'��

6� �� ������9 )� ������� � ��)9 �����,� -��#��� �� � 3&4 ��� �� �� � �������

�� +� �� ����

�������� �� �� � ���� �� � s#������� ����$ �������� ����9 � �����,� �� �� �

��'�� ��,�� ���� �� �� ����� �)� ��� ������� )� � ���� ���������$ �� �������

�� +� �� ���� 6� �� ����9 �� ���,�� � ���������� )� ��� � ���� 7�����8 ,����� ��

��

Page 48: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

�� 3&4 ��� ������$ �� �� �9 �� � ������� ������ �� � ���������� ����� �

���� ������ � �)� ����� ������� �,� � ������� �� � 3&4 ��� ������$ �� �� ��

.���� 1��� ⊕ .�����Ax = b yT A = cT Ax = b

x ≥ 0 y ≥ 0 x ≤ 0

��� �� 0 0

�� ����� +��� + − +

���

0 0

− − − 0 . . . 0 − +

⊕ ��������� ⊕ �

������

⊕ ⊕ ⊕ . . . ⊕ �↙↗ ↗↘↙↖

����������� ⊕ . . . ⊕ − ��� ⊕ . . . ⊕ +

�−

↙↗ ↗↘↙↖)��'�� � 0 � 0

�� ��������

��� ⊕ . . . ⊕ +���

���

� 0 � 0

− − 0 . . . 0 − − +

+� �� ����! B�� ������$ �� � �� �� ��

" � ���#�� ������ �� �� �������� �� � ��2��� ���� � �����,� ������ ?� ��� �

������$ �������� �� +� �� ����� ������� � � ��� �� �� ����� ������ �� � �����

������ �� �������� 6� �� ����9 � �� �� � ������ � �� ������ ���� ���� ����������

" � ������ �� �� ��������� ������� �� ��� � �� ����� �)� )� �� � ����� � #

��� ���� ��� � �) �� � ��,�� ,������9 �� ���� � # ��� ����� A�,������9 � ���� ��

� ��������� �� ������ �� � ���� �� � �� ���� ����� ������� ��) ������� �

� ���� ��������� �� ���,��� 6� � ���� ��������� �� ��������9 �� ����� �� � ����

��

Page 49: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

�� � ����� �� �� ���������� ������ �� � �� ���� ����� ������ ���������� �

� �� ����� �)� ��� � ��,�� ,������Y ) ��� �� � ���� ��������� �� ����������9 ��

����� �� � ���� �� � ����� �� � )��'�� �� ����� ������ �� � �� ���� �����

������9 ������ � ��� � � �� ����� �)� ��� � �) �� � ��,�� ,�������

� ������9 �������� ��������� ��� �� ����,�� ��)��� ������� 1���⊕ ��� .�����9

�� �������� �� +� �� ����� " � ������ .����� �� �� ����� ��� ,����� �� � �� �#

��� ������9 ) �� ��� � ,������� �� �2���� � �� ���#�����,�9 ������ �� ���� ���#

�� ��,�� " � �������� �� � ����� ��� �� �� � )��� �� �,�� �� +� �� ����9 ) ��� �

���������� ���� �� � �������� )��� �� �������� �� +� �� ���%�

6 ��� �� ����,��9 � � ��� �� � ��������� �� ������ ����� �� � ���� ��

� ��,�� �� �������9 �� � �)� �� +� �� �����

��,�� �� ������� �� ���� n = 2k + 1 n = 2k

������ k = 0, . . . k = 1, . . .

��� �� Ax = b yT A = cT Ax = b

��������� x ≥ 0 y ≥ 0 x ≤ 0

+� �� ����! +�� �� ��������� �������� �� � ��,�� �� ��������

?� ���� � ��� � � ���� ��������� ����� ������� �� ���,�� �� ����� ��,�

�� ���9 �� )� ���� � ���� ,����� �� �� 3&4 ��� ������$ �� �� ��

" � ���� �� � ������� ������ �� ������ ��'�� � ���,����� � ������� �

�� � �����,� �� ��� " � ������#����� �� � ����������� �� ��������� �� +� ���

����� ��� ����� 6� ��� ��������9 � �� ������� ������ ���� � � ��,� ������

���������� � ��� ��������9 � ������ � ���������� �����,���� " � ��,��

���� �� � ����������� �� ����� �� �� � ) ��� ������9 �� ������� ���� �

��������� ������ �� � ����$ ��� F ��� G� " � ������ ����$�� �� b ��� � �) ����$��

�� c ���� � ���� �� ����� ��� ���� � # ��� ����� ������,���9 �� � ���������� �'��

��� ������������

" � ����� ���������� ������ �� -��#��� �� �������� �� ��� .����� ) �� � � #

��� ���� ,����� �� �2���� � �� ���#�����,�� 6� ) � �����)� )� ���� � ����� ,������

�������� �� �� �� � �� ���2��� �� � ���������� ���������� ������ � ���9 ��� � �)���

����������� +� � ��'� �� �����9 �� � ���������� �� � ����������9 )� ��' ���� �� ,�����

������ �� ,������� ) �� ����� � � � # ��� ���� ,�����Y ������� ���� �� � �� ����

������ �� ����� ,������� ������� �������� � � � # ��� ���� ,������

" � �������� �� � ������� �� ���,�� � ���� ���������� �� ��������� ����� ���

�-

Page 50: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

%�� ��� ���� ��� � ����� ��� ��&�� �� ������� ���������

�������� !��'�����

������ (T, c,F ,G)�

������� (T ������ ���� ������ l ��� ���)�

�� ��

���� (J −B := {j ∈ G : tcj < 0}) = ∅ ��

�� r ∈ J −B �� �������� �������� ���������� rDone := false.

���� rDone = false ��

�� (I+r := {i ∈ F | tir > 0}) = ∅ ����

"�� ������ ���� ����� �� !��#�� ���������� ������"T, r#�

�����

�� s ∈ I+r , Ks = {k ∈ G | tck = 0, tsk < 0} .

�� Ks = ∅ ���� (!��� ������� TFG �� ������� ���������)

(T, s) := ��� ��$�%&'�T, r,F , {j ∈ G | tcj = 0}���� s = −1 ����

"�� ������ ����� �� !��#�� ���������� ������"T, r#�

�����

�����

θ1 := tcrtsr

� θ2 := max{

tcktsr

| k ∈ G, tck > 0, tsk < 0}�

�� θ1 ≤ θ2 ����

���� �� tsr� rDone := true.

���

q := arg max{

tcktsr

| k ∈ G, tck > 0, tsk < 0}�

���� �� tsq�

�����

�������

�������

"�� ������ ����� �� ����������� ������"T,−1#$

���

+� �� ����! " � ���� ���������� ��� )� � ������� �� � ��������� �� � ���

1���⊕�

%�

Page 51: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

� � ����� ,�����9 ��� �� ��� � � ����� 4��� +� �� ����9 � ������ �� ���� ����

)��' ��� ��� �� ������9 �� )��� �� � ������ �� � xr �������� ��,� ��� �� ������

����� ����� �� �� .��������� �����9 ����� ��� ������

?� � �) � � ����� ��� ���� ����������� �,� ������ ������� �� � �����

�� �� � )�'�� �� ���#�� ����� ��������

4��!������ '$&$% $� �� ���� � �� ��� � ����� ��������� ����� �� #�� ��%���6, ��

�� -���%���6, ��������� �� ����" �� �� ������������� ������ �� ������������� �� �����

���������! ��� �� ���� ���� ������� �� ��� ���������� ����� ��� �� ���� � ����'�� �

b �� ��� �� ��� ����'�� � c! ����������"

4����$ " � �� �� �� � ��������� �����)� ���������� ��� .�������� �����9 ) ���

� �� ���������� � � ���� ����� �� � ��� �� ��,�� ��������� �

�� �� )� �,� ������ ���� � ���� ���� �� ��� � �����,� �� �� �9 )� ��)

�������� � �� �� ������������

4��!������ '$&$' %������ �� �� �6, �� �� ���' ������� �� ����� ��� ������

P0" $� �� ���� � �� ������� ������ ��������� ������' �������� ��� ����� �� �

P1 := DualSubMBU(T1, k1,F1,G1)! P2 := PrimalSubMBU(T2, k2,F2,G2), . . . !

Pl := PrimalSubMBU(Tl, kl,Fl,Gl) 8�� Pl := DualSubMBU(Tl, kl,Fl,Gl)9" ���� �� ����

�� ������� �� ����� ������� ��������� Pl �� �� ������ �� ��������� ���� �� ������ �

Pi! ����� (i = 1, . . . , l − 1) ��� ki /∈ Fl ∪ Gl"

4����$ " � �����,� ���� ��,��,� ���� �� ����� �)� ��� �������9 �� �� .��������

����� �� ������ ����� �

A���,� � ����� Fl ⊂ Fl−1 ⊂ . . .F2 ⊂ F1 ��� Gl ⊂ Gl−1 ⊂ . . .G2 ⊂ G1 ���9 ����

� ������� �� � �� ����� ���������9 )� �� � ��'� �������� ��,�� � �)�� � �

��������� �� ����� ������ �����

" � ������� ���� � ������� ��� ������ �� ������ ��� ������ �� ���������

�� � �)� �� +� �� �����

" � ������� �� �� � ��S��� ���������� �� � �)� �� +� �� ���%� " � � �� � �)� �

�������� �����#����#����� ������ ��2������ . ���� PrimalSubMBU ��� DualSubMBU

��� � � ��� �� � ���������� " � ����� �� � ����� ������$ ���������� �

��� �� �� ����� ����� �� ������ ���� ������� �� +� �� �����

%�

Page 52: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

%�� ���� ���� ��� � ����� ��� ��&�� �� ������� ���������

�������� ���'�����

������ (T, b,F ,G)�

������� (T ������ ���� ������ l ��� ���)�

�� ��

���� (I+B := {i ∈ F : tib > 0} = ∅� ��

�� r ∈ I+B �� �������� �������� ���������� rDone := false.

���� rDone = false ��

�� (J −r := {j ∈ G | trj < 0}) = ∅ ����

"�� ������ ����� �� !��#�� ���������� ������"T, r#�

�����

�� s ∈ J −r , Ks := {k ∈ F : tkb = 0, tks > 0} .

�� Ks = ∅ ���� �!��� ������� TFG �� ������� ����������

(T, s) := (��$�%&'�T, r, {i ∈ F | tib = 0},G���� s = −1 ����

"�� ������ ����� �� !��#�� ���������� ������"T, r#�

�����

�����

θ1 := |trb|trs

� θ2 := min{ |tkb|

tks| k ∈ F , tkb < 0, tks > 0

}.

�� θ1 ≤ θ2 ����

���� �� trs� rDone := true

���

q := arg min{ |tkb|

tks| k ∈ F , tkb < 0, tks > 0

}�

���� �� tqs�

�����

�������

�������

"�� ������ ����� �� ����������� ������"T,−1#�

���

+� �� ����! " � #�� ��%���6, ��� )� � ������� �� � ��������� �� ��� .������

?� ��) ��,� � �������� �� � 3&4 �� �� � )� �� ��� ���#�� ������ ������#

����

%�

Page 53: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

%�� ������� ������� ��������� ������� ��� ���������

�������� !� ���

������ (T, I0B, r)�

������� (T ������ ���� ������ l ��� ���)�

�� ��

(T, l)�)���� ��$�%&'�T, I0B , {1, . . . , n}, n + 1���

�������T, l��

���

+� �� ����! � �������� ���#�� ������ �������9 1� .���

�� �� � '$&$% ��� �6, �� �� ���' ������� ����� �� ��������� ������� �� 1� ���

�� &��� ��� �� ��������� ������ "

4����$ ? ��� � �� �� � ,���� ���� ���#�� ����� � )��'�� �� ����� �������9 �

�� �� � ����� �� xr �������� ��,�� ������� � .�������� ��(��Y ��9 � ����

����� ��� �� ���� " �� � �� �� � ��� �� ������ 6� ���� � ���������� ��,�

������ �� ��� �� �� ����� �� � � ���� �� � �������� ,������9 � �� �� � ����� �

.�������3&4 � 1������3&4 ����������� �� ����� ������ �������9 �� � ���

�� ������� �� � ��� 2m ≤ n + m�

*������ � ���� ) �� � �����,��� ������ DualSubMBU ���,�� � ����������

? �� � ���� )� �� ���������� ���������9 �� � ���������� ������ 7���8������

������� )��'�� �� ����� � � ���� �������� ,������Y ��9 � ������� ��������

)� �� �������� ��,�� ? �� � DualSubMBU ���� )� � �������� ���������9 ��

� ����� 7���8������ ���,� ������� ����������� " �� ����� � ������������ �� � �� #

���� ������ ) �� � ������ ������� )�� � DegProc �������� A �)���9 � ����

��������� ��� ��� ���,� �� � ������� ������� )��'�� �� �����Y ��9 � ��������

)� �� �������� ��,��

������ ���������� ��� ) �� � PrimalSubMBU ���,�� � ���������� ������#

����

&������ � ��� �� � ������� �� ������� ��� � ����� ���#�������� ��,���

� ���������� �� �� �������� ��,� �� � ������ �������9 �� ����� ��� ���� )����

" � ����� �� ��S��� ����� �� ����9 �� � �� �� � �� ����� �

%�

Page 54: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

+

⊕⊕ ⊕ ⊕

⊕⊕

⊕⊕

⊕⊕

⊕⊕ ⊕ ⊕

. . .

. . . . . .

. . .

. . .

��������

��������

��������

�����

�����

�����

− − −

− − − −

������

���

������

���

���

0

0

0

0

0 0

0

00 0

0

0

�� ��

�� ��

�� ��

��� ��

��� ��

��� ��

���� �����

���� �����

������ ������

������ ��

������ ��

��������� ��

+� �� ���%! � .����#1���#.���� ��2����� �� �����������

%�

Page 55: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

�;��!� '$&$% ��� �� �������� �� ���������! �� ����� �� ������ ��������� ������ ��

�'� ��� )"2"( ��� �� �������� ��������� ���� �"

��� ����� ��������� ����� ������ �� � �����5�� �� ��� �� ����� �����! ����� �� ��� ��

�� ���� ���� ������' �� �������� �� ���"

x4 x5 x6

x1 �( : ( �(

x2 ( �( �) :

x3 : �( ( :

������� ("

x4 x5 x6

x1 �( : ( �(

x2 ( �( �) :

x3 : �( ( :

������� )"

��� ��� ���������� �������� �� �� &�� ������ �� x1! ����� ��� ���� �� �� �������

��������" %���� �� ���� � �� �� ��� ������� ���� ������� �� ������ ���������! � ���

������� ��������� 8�� ��� Dual⊕9�� ��&���" ��� ��� ���� ���������� ���� � �� �� &��

��������� ����� � ������� 2 �� �� ���� � �� x4! ����� �� ��� ���5��� ���� ������� ���

��� ���� � �� �� �� ��� �� x2" ��� ��������� �� ���� ������ ���������! ����� �� ����

���������� �� ���� ������� �������� ����� ��� �� ���� � �� x5 ����������" ����! �� ����

� ����� ��������� 8�� ��� Primal�9 �� ��&���! �� ����� �� ������� 3.

x4 x5 x6

x1 �( : ( �(

x2 ( �� �) :

x3 : �( ( :

������� 1"

x4 x5 x6

x1 �( : ( �(

x2 �( �( ) :

x3 �( �( 1 :

������� 2"

x4 x2 x6

x1 �( : ( �(

x5 �( �( ) :

x3 �( �( 1 :

������� ;"

�� ��� ������������ �� ���������! �� ��� �� �� ������� �������� �� �� ��� �� x2, ���

����� ���� ��� �� �������� ���� ��������" � ���� �� �� ���� � �� x5 ����� ��� ��

��������� �������� �� ��� �������! ����� �� ���� � �� x6 �� ������ ���������! ��� ��

���� � ����� ��������� ����� ���� � �� ��&���" ��� �� �����! ���� � �� �� ��� �

���� �� �� ���� � �� x5" %���� �� ������������ ��������� ��� ����� ��������! �� &��

����� ��������� �� ����������" ��� ���������� ���� � �� �� &�� ����� ���� �������� ��&���

� ����� ��������� ���� � ��� �� �������� ��� �� ������ ! ��� �� ���������� ���� ��� ��

������� �������� x1 �� �� ���� � �� x4 �� ��� ��������"

%%

Page 56: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

x4 x2 x6

x1 �� : ( �(

x5 �( �( ) :

x3 �( �( 1 :

������� ="

x1 x2 x6

x4 �( : �( (

x5 �( �( ( (

x3 �( �( ) (

������� >"

���� ���� ���� �� �������� ������ ��������! ��� �� ������� ����" ��� ����� �����

������� �� x = (0, 0, 1, 1, 1, 0)"

A���,� � �� � �� �� � ��� �� �����,� ����� �� �� ��'� �������� ��,��

� � ���������� 7���8������ ��� ��� �������� " ��9 � �� �������� � �������� �

������$�� ����� �� � ���#�� ����� ��� � )��'�� �� ����� ����Y �)�,�9 �������

�� � �������9 � ������� ����� ���� ������� �� � ����� �� �� ����� ���������

������

�� �� � �������� ������� �� ������ ������ ��� �� ����� �� �� � �� � ���

�� � ������$ �� �� �9 � ������� ���#������ ������� ������� ����� �� �������

������� � � ������$ �� �� �� " � ���� ����� �� �� ��9 ) �� � ��������� �� ��������9

)� ��'� ��� �� � ������������ �� � ��,�� ,������ � ��� � ���������� � � ������

������ �� �����������

�� ������ ����9 � )���� �� �������� � ���,� � �� ����� ���������� )� �� �#

���� ��,� �� ��9 �������� � � ���� �� � :�� ���� �� �� �� ����� �� �����

Q��R9 �� ) �� � ����#���� �� �� )�� ���� Q�-R�

6� ������9 � �5������ �� � �� �� � ����� �� �������� �� �$����� � ������

�� � � ���� �� � ,������ � ��� � ������ " �� ������ ��� ���9 ���������� �� ���� ��

���������� � ����� �� ��������

#"0 �� '���'���� �� ��� ������� ������� + ��������

" � ������� ������ )�� ���� � �� � ������ ����� ���������� �� ��� � ����#

��� ������ �������� ����� ��� � ��$����� ���� " �� ������ ����� )� ��� �� �

������� ,������ �� � ���������� ������ �� ��� � ������� ������� �� ������� ��#

������9 ��� ��������� �� � ���������� ������ ������ � ��� ������� ��������� �

� ���������� ������ ��� ������� � ����� �� ����� �� ��� ���� ������� �� ������� ��

* ��� %�

?� ��� � �� ������ ?�� ���� Q%R9 ) �� � ���� ��'��)�� �� � ����� �� � ;�)

,����� ��)��� � ��S��� �������

%(

Page 57: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

" � )��� �� � �� �������� �������� ���� ������ �� � ������� ����� �� ������ ��

�������� " ��� ������� ������� ����� ��� ������ �� � ��������� ��,��� �� ��,���

� ������ ��� � ������ ������� �� � ��� �������

6� �� ��������� ��,������9 � ������� ������ �� � �����)�� � " �� �� � �,�� ��

�� ���� ������� )� '��)� �������� " � ��' �� � ����� ��� ������� � � � ��

��� � ������ ��) ������� � ������ � �������� " �� ��� �� ��,��� ��S���

������9 ���� ����� � �� ����� �� � ������� " � ���������� ������������ �������

� ��� ���� ������ �� � ��) )� ������� � )� �$���� '��) � ��S��� 2������� ��

� ���� ����� 7���� �� � ���� ������89 ) ��� ������� ��� ,����� �� ���� ������ ��

��,����9 ��� �� ����,� �� �� �� ���� � ���#��� ��� " �� ����� � ������ ��

�,�� �� � ���� 2������� ��� 2������� �� ,������� �� � �����9 � 2������� �� �

���� ����� �� ��) �,�� �� ��,����� " � ����� ������ �� ���� )� �� * ��� %�

!$#$& �������� � ��� ,�����

?� �� � ��������� �� � ;�) ����� )� � ��� ������� ����� �� ������� ! �

2������� �� � �������

�������9 � k ���� ��2��� ������� Ii9 i = 1, . . . , n �� ������� � � � ��� � ��� ��

���� ����� F � " � l 2������� �� ����� �� Qj9 j = 1, . . . , l� " � ����� �� � ����

������� ������� ��� � ���� ����� �� xi9 i = 1, . . . , n9 ������� �,�� �� ,������ ��

� ,����� �� � ���� ����� �� ������ �� xF � " � ������ 7�������� ����� � ��

�./ Z ������� �,��8 �� � ������� �� � ����� ��� �� 2����� ������9 �,�� �� ρi

�� � ���� ������� ��� ρF �� � ���� ������ +� ����9 ������� � � 2�����

�2������� ��� � � ����,� ����� �� ���� ������� ������� �� � ������9 ��� ��

�� � 2����� Qj �� � ���� ������ Ii �� �,�� �� ������ �� qji� ?� ������� � ���

2����� ������ ��������

+��9 �� �� ������� � �� ���� ����� �� �������9 �� ) �� � 2����� �������

� ���� �2��� pj �� 2����� Qj9 j = 1, . . . , l� " ��� pj ,����� �� ������� �� �$�� ,�����9

��� �� ������ �� ��,����� " � ,������� ������� �� � ����� �� �,�� ��

xF − x1 + · · · + xn = 0. 7,������� �������8

6� � ����� �����9 ��� ��� ������� �2����� ��� �,� )� �$� ,�������9 ��� �� �

������ 9 ��� ��� �� � ������ ��,����� " � ������� ����� �� � ������� ������

�2���� �� 2����� Qj �� � ����� �� �,�� �� pjxF � " � ��� �� �� ������� ������

������� ��� � ����� �� � ��S��� ���� ������� �� qj1x1 + · · ·+ qjnxn� ����� � pj

,����� �� ������� �� �$��9 � �� ����)�� �� � ����� � ������ �� �$� ����� � ���'

%�

Page 58: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

�� � ������� ������� " ��� ��S������ �� ������ )� � ��� �� � �� ������ �����

������� +� ��� ���� ����� ��� 2�����9 � ������ �� ,������ RjF �� ������� 6� �

���� ����� �� ������� ���� ��� ��� ���� ������� � �� �� ������ �����,�� 7 ��

�,� �� ��������� �� ,����89 � ���������� �2����� ��

−qj1x1 − · · · − qjnxn + pjxF + RjF = I. 7������ �)�8

6� �� ���������9 )� ������ � I = 0� 6� � ����� �����9 �� ,���� �2���� � ��S�����

�� � ������ ��� ������ ��,���� ��������� )� � 2����� ����� " ��� �2������ )���

�� ����� � �� �������� ����9 ��� )��� �� ��������� �� ��� ����� �� * ��� %�

��) �������9 � � ����9 �������� ����� �� �������� " �� �� �� ���� �������

Ii9 i = 1, . . . , n9 ��� ������ ������� ����� �� � ��$��� " � 2����� 7 ����8 �� ���

���� ������ �� �,�� �� pji �� 2����� Qj ��� ����� i9 i = n + 1, . . . , s� " � ����������

�� ,���� �� Rji� "��������9 � ������� ����� ��� ���� ��� ��)� ������ �� �

2����� �� �,�� � ������ ��������� �� � ������� �� � ��)� ��� ���� ����� �,��

�� ������ �� 2����� Qj �� ������ �� StdNj ��� StdXj9 ������� � � ���� �������

�� � ����� �� � ���� ����� � ��� �� ������ �� xF 9 ��� � ����� �� ���� �������

����� � � ����� �� xi9 i = 1, . . . , s� " �� � ����)�� ����,� ����� �� � � ������

�������� �� Qj ����� ��)��� StdNjxF ��� StdXjxF �

" � ��� �� � �� ,���� ����� ���� �� � �$��������� " � ,����� �� � ��

,��� 7�������� �� ��,��� �� ,������� �� � ��S��� 2�������8 �� � ����� �� ���#

����� ���� � ������9 ��� ) �� � ����� �� �� � ��$��� " � ���9 �� ) �� �

�� ,��� �� ��������9 �� � ���� �� � ,������� ��� �� ) �� � ���� ����� ��

������� ��� � �� � ������� �������9 � ,����� �� ��� ����9 7���� � ����� ��

������� ������� � � �8 �� ��'��)�� �� � ������ " ��� ,����� �� �������� �� ��

����,� ������� +� ��)9 �� �� ������� � ��� ;�) ,����� �� '��)�� " � ������ ��

� ����,� ������ )��� �� �,�� �� * ��� %� �� � ���� �� 2������ �� ������ ��

Di9 i = n + 1, . . . , s� " ��9 � ���������� ��)� ��� ���� ���2����� �� 2����� Qj ��

� ���� ������ �� �,�� ��

StdNjxF −n∑

i=1

qjixi −s∑

i=n+1

pjixi −s∑

i=n+1

DiRji ≤ 0, 7��)� �����8

StdXjxF −n∑

i=1

qjixi −s∑

i=n+1

pjixi −s∑

i=n+1

DiRji ≥ 0. 7���� �����8

!$#$! .����� ���������� � ��� ,������� �����

� ������ ;�)#����� ������� ����� ��� ��,��� ����� �������� ��� �� ����� �������

?� ����� ���� ������ ������� ���� �������� �� ��� ������ ��'�! � ��� �� �,�������

%�

Page 59: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

�) �������9 ������� �������� 7�� ������� ����8 ��� ������� � ��$���� ��������

�2��������

�� � �,������� 7��� ����8 ����� �� � ���� ������� �� �,�� �� Purci �� ������

Ii9 i = 1, . . . , k� ������� � ���� ������ Ii �� ������� ��� ������ Bj9 j = 1, . . . ,m� ��

� ����� �� ��� ������� 7;�) ,�����8 �� ������ �� xij� 4������9 � ����� ��

��� ���� �� ������ �� )�� � ����� � ;�) ,������� �� ������� �� ,�����9 � ,�������

�,� � �� ������ �� �� 7'��)�8 ������� �,��� " � �����)�� ���2������� ���9 � �

��� � � ���� �� �$���� � �,������� �������

−Purci + ρ1xi1 + · · · + ρmxim ≤ 0. 7)�� �������8

4������9 � ������ ���� ������� ������ ��� ������ ���' ,����� ��� �2�������� " ���

�������� �� �������� �� � ��� ��)�� )���

*������ �������� �� ���� �������� )� �� � ,�������� ������� � ;�) xi9

i = 1, . . . , n ��� � �,�� ������ )� ������� Cap� " �� � ������� ������� ��� ��

�������� ��

x1 + · · · + xn − RgBCap = Cap, 7������ �������8

−Cap ≤ RgBCap ≤ 0. 7�� � ,������8

4������9 � ���� �� � �� ,���� ���� �� ������ �)� �� ������� �� ��� ����)

��� ����� " ��� ������ �� ������� � ���� �� � ����,� ������ ������� �� * ���

%�

� ������ ����� ���� �������� �������� �� � ��� � �� �,�� ������� ��'� ���� ���#

���9 ����� �����,�9 ���

!$#$% /+����� � � ������0�� ,�������

?� �� ���� � ������� � ����� �������� ����� �� �� ��� ���� ������ �� �� �

���� ��� ����� �� ���� ��������� ��� �������9 � ��� � ���� ������ �� � ������

������ ����9 � ����� �� �� ���� � �� ���������� � ����� �� �

" � ���� ��� �� �� ����� )�� ��,���� �� 3A� Q(�R� " � ����� ��� � ���#

������� ����� �� ����� ������ )�� ������ )� ����� [.63� Q(�R�

6� �� �$�����9 ���,�� �) �������9 ����,���� �� IBU 9 NBU 9 IC59 I6C9 C9A9

CCE9 ALK9 MTB9 ETA9 REF ��� ETB �� ������� � � �� " � 2������� �� �����

�� ����,���� )� SPG9 SPM 9 RV I9 RV 89 RON 9 MON 9 0709 1009 1509 2059 OX19

BIB9 ET%9 BUT 9 BNV 9 ARV 9 OLV � " � �$�������� �� � ����,������ �� �������

�� "���� ���

%-

Page 60: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

�!�� ��� �����

���� �$

6&4 6�� &����

�&4 ����� &����

6*% 6�� .�����

6(* 6�� :�$���

*-� ������

**0 0��� ��� ��� �

��B ��'����

3"& 3"&0 1+

0"� 0 ���� 1+

E0+ E������

0"& 0"&0 1+

E�� &������ E������

8��� !������

���� �$

4�: 0�W#-% 7����8 1E

4�& 0�W#-% 7����8 1E &6A

4��! ��� � �� �� � ��

���� �$

�./ ������� �,��

�.3 �����9 ���

E=6 E��� =���� .����� 6���$

E=� E��� =�� � ���� ���

EA� E����� A�

3A� 3�� A�

��� \ AS � ��� �������

��� \ AS � ��� �������

�%� \ AS � �%� �������

��% \ AS � ��% �������

A[� A$� �� *����9 )\

&6& 0 � ,��\#+�30 �� ������

0"\ 0 ���� ���

&4" &����9 ,��\

&�= &������9 ,��\

�E= �������9 ,��\

A�= A�����9 ,��\

"���� ���! ���� �$�������� �� � ����,�������

")� ���� ������9 UNH ��� UNB �� �������9 )� ��� ���� ����� R4A� " � ;�)

����� �� � ����� �� ������� �� +� �� ���(�

" � 2����� ������� �� � ���,�� ���� ������� �� �,�� �� "���� ����

A��� � ��) ������ �� � ����� �� ���� ������ � 6� ��� � ��,��� � ���� ���������9

)� ��) ��,��� � ������ ������� " �� �� ���� ��� ������ ���'�����9 � �������

�������� R4A9 )� �� ������ ��,���� �� 5000 ��� � �2���� ������ ��,���� ��

2000� ?� ������ � ���� ������� �,� � �� �������� �� � ���� ��������9

��'� �� OX1 ��� RV I� +� ���������9 �� �� �$�����9 � 2����� ���� �� � ���� �����

������� �������� R4A �2���� � '��)� 2����� ������� �� � �������� REF �

" � 2����� �2������� �� � ���� ������ UNH ��� UNB ������ �� � �������9

��� � ������� ��������� �� ������� �� "���� ���� ? �� �� �� �� ,����� �������9

� ������ ������ �� ������� " � GB1 �� � ������ ���� �� � ������� ������ ��

� ���� ������ UNH ��� UNB�

��) )� �� ���� � ������� � ���������� ����� ���������� ������� "� �����

(�

Page 61: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

+� �� ���(! " � ;�) ����� �� � �$����� ������

�������� � ��� �� � ���������� ������ 7����� �� ��H���,� ������� �� �������� � ��

�� �89 � ��)� ����� �� ������ �� ���� ;�) ,��������

" � ���� ������� �� � ����� ���������� ������ ���������� � �� �$����� ��

������� �� "���� ����

" � ���������� ����� ���������� ������ �� ����,��� ������ " � ������ �� �

������ �� 9.04%9 � ����� �� � � � � :�)�,�9 �� �� �9 ��� ���� ��������9 �

������ ������ �� ��� ������9 �� ����� ����� �� ��,��� ������� ������9 ������ ,�����

������ �� 0.01% �� �� ��� " � )� ����� �)� �� � ��H���,� ������� 7 � ��

������ ��� �� � ���������� ,����� �� � ������8 ��� �� ��������

!$#$) 1������� ������� � ��� ,������� �+�����

?� ���;� �������� � 3&4 ������$ �� �� � )� ������� ����$ �������� ��� ��

� ������� ������ ������� ���,��

" �� ��!� � �����

" � ���� )�� ���������� �� 3���� 7.0.1� 4��� � ���� � � ��,� ������ ��,�� � ��

���������� �� �� �������9 �� � �,���� ������$ �� �� ����� ������ )�� �������� 6�

(�

Page 62: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

�&' �&' �*+ �,* *-. **/ .�0 %"& /". 1/2 /"&

$�3 4�+, 4�+5 4�,6 4�,7 4�55 4�7+ 4�74 4�7+ 4�7- 4�5, 4�78

$�% 4 4 4�84 9�,4 4 ,�94 4�+4 96 64 4�94 98

1:� 978-�59 949-�+4 876�-- 9+;�9- +�,, 96;�-7 955�96 98-�75 4 ,8�89 977�8-

1:5 9755�+, 94+5�6+ +99�78 9-9�-8 88�86 9,6�76 66,�57 955�+; ;5�7+ 94;�9, 69,�68

1<� -- -;�54 -9 59 994 -;�;4 -8�+9 994 964 946�7, 947

%<� -7�,4 5-�,4 5, 56 -4 56�-+ -6�8- -5 -7 -9�;4 --

474 944 944 944 944 4 6;�4; ,�;; 944 647 9�-4 54

944 944 944 994 94+ 4 8+�+5 ;9�99 944 996 99 944

9+4 944 944 944 944 +4 56�7+ -9�9; 944 944 79 944

64+ 944 944 944 944 944 944 944 944 944 944 944

<=9 4 4 4 4 4 4�7+ 4 95 ;8�75 4 9+

&�& 4 4 4 4 4 ,�96 4 -5 4 4 -+

/"&'" 944 -- 4�64 4 4 4�67 4�48 4 4 4�-4 9

&�: 4 4 4�47 4 4 4�-, 4 4 4 4�94 4

.1: 4 4 4�47 4 --�47 ;6�-8 4�47 4 4 58�8, 4

<�: 4 4 4 4 4 9+�-7 4 4 4 6�48 4

"���� ���! " � 2����� ������� �� � ���� ��������

� �,���� ������$ �� ��9 ������ �� � ��,� ������ � � ��,��� �� � �����9 � �����#

������� �� � ����� ���$ �� ���������9 ��� ������ ������� � � ��,� ��������� 0��

��� � �������� � # ��� ����9 � ���) ����� � �������� �) � ������ �� �

��,� ������ �� �2����9 � ����� �2����� ����� �� ���,��� " � ������� �� ��� ������

�� ���������� ����� ��� ,�� �5���� ���� � ���������� ������ " � ������������

���� @7 ������������ ��� � 0������ ������� �� 3����� "� ������� �������� �����#

��9 � ����� )�� � ����� ���,��� 7���� � ]E ������������ ����� ��� ���� 8� +�

� ������� ��������� �� � �,���� ������$ �� ��9 ��� Q%�R�

6 ��� �� ��� ������ � �� ������������ )�� ����� ���� �� � ����������

�� � �� �� �� +� �$�����9 �� � ��� �� � � ������������9 � ������ �� ��������

��� �� � �� ���� ���9 ��� � ���� �� ��������� � ����� ��� ������ �� ��� ����

3���) ���9 �� �� �$�����9 � ���������� ������ )�� �������� � � ��������� ���

�� Ax = b, x ≥ 0� �� �� �� ���������� �� � �������� � �������� ����� ��

� ���$9 �� �� ���9 � ������ ��������� �� � �� �� � ��� �� �����

(�

Page 63: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

�<� �<1

��)� ���� ��)� ����

�./ ������ ������ ������ ������

�.3 �� ��

E=6 ��%�%� ��-�-% ��%�%�

E=� �(��(-�����

EA� -%�� -%��

3A� �%�� �%��

��� ���� ����� ���� �����

��� ���� ����

�%� �%�� �%��

��% ����� �����

A[� ��� ���

&6& ��� �%�� ��� �%��

0"&4" %���� %����

&�= ��� ��� ��� ���

�E= ���� ����

A�= ���� ����

&�����

�� ������ *������

/&� �(����

E�� �(���-

**0 �(���-

��B �����

3"& �����

0"& �����

6(* �����

6*% �(��-

6&4 �����

�&4 �����

*-� �����

0"� �����

"���� ���! ]����� �2������� 7�������8 ��� ������� ����������

<��� � �� �� �= -( 1���=

�� �2��� ���! �% ��)�! ��

���� � �2���! �% ����! ��

��� � �����! �� ���! �

�����! � �$��! �

<��� � �� ������� �= (� �!������= -���\

����� �� �������! %�� #��! %��(�\ �� ����� �� ���

"���� ���! ���� �� � ����� ���������� ������ ���������� � � ������� �$�����9

������ �� [.63��

<�� ����� ;! �� � �

" � ���$ A �� � ��������� ��� �� � ������� ������ ������� ���,� �� 116 �)�

��� 174 �������� "� � ��' � ���������� ��� � �����9 �� � �� ���� ��� ��

� ������ ��� � �������� ,����� )�� ���,�� )� *���$ ��� � ����� �������

(�

Page 64: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

�� 3����� &� ���)��� ���,�� � ������ )� �� ��� ��������

" � �������� ����� �� ���$ A �� 6.148599 ∗ 1059 ��� �� � ���� ��' �� 116� "� � �

���� �����9 � rref ������� �� 3���� )�� ����9 ) �� ��������� � ������ �) �� ����

��� �� � �,�� ���$9 ��� �,�� ���' � ������� �� � �������� ����� �� )���� ?� �

������ �������9 �� ������� ����� � ����� �� ) �� � rank ������� ����� �

��' �� 1159 ��� �� �������� ����� )�� 8.084732 ∗ 1018� "� �,����� �� ������9 )�

��� � ������� � �� ���� ������� ,������� �������� � � ������ ) ��� ��������

� � � ��������� ���� "� �� ��9 )� ������ �,���� � ��� �� ������� �� ���$ A9

�� � ������� ������� ������ � �� ����� ��� ���� ��9 � ����� ����� ��

rref �� ���� ��' )� � �������� ����� �� U����V 3.414651 ∗ 1012� �� �� ���� 2���

� 9 ���� ��� �� �����9 � �� �� � �� �� �������� ������� �� ��������� �

QR ������������� �� � ������ ����� ���� � 3&4 ������$ �� �� �� 3���,�9 ��

����� ���� �� ���� ������ ,������� �� �9 �� ��,�� �� � ������� ������ �������

������$ ����� �� �� �� ������� �� ���,�� �� � ����� ������� ��� �� ��,���9 ����

����������� � ���� ε ,�����9 ���� � ���������� ����� ��� ��)��� ��� ��� ������� " ��

������������ ���� 4 ��S��� ε ,�����! εrow ��� εcolumn �� ,����� �� � ��,� ������9

εRHS �� � �������� � # ��� ����9 ��� εratio ���� � �������� ) �� )� ��� ��

�� ��������� � ����� " � ������� �� ��)��� ��� ,����� )�� εrow � εcolumn9 εRHS �εratio9 )� εcolumn >> εRHS� 6� ��� �$�������9 �� ����� εrow ��� εcolumn ,����� ����

��� � ��� ����� ����9 �������� �,�� � ������ ��

" � ���������� ���� �� � 3&4 ������$ �� �� � �� � '��� � �������� ,�������

��������� "� �� ��9 � ����� ��� �� )�� ����� ������� � �� �$�������9 � �� ��

� ������� ������ ,����� ���� � �������� ε ,���� �� ��� ������ 7�� ������,� � �

� ���� �� ε8� "� �������� � �� �� �9 � �� ���� ��� )�� ����9 ��� ���� � ,������ ������

�� � �� � �,�� −ε ,����9 � )�� ��)��� ��������� �� ����� ��,�9 � ������ �� ,����

������� � � �,�� ε ,�����

" � ��$ ��,�� ,������ )�� ��)��� ������� � �� � ��� ���������� ���� " �� ��� �

�� � ����� �� � ��������� ����� ��� �� 1���� �� ����� �� ����� ��������

����� ��� � ��� ��� � ��� �� � ���� � � ������� ������ �� ��� �� ��� � �� � ���� � ��� ��������

����� �� � �������� � ��� � ����������� � ���� ��� ����� ������� �� � ����������� � ����������� �������� ��� ������� ����� �������� �� ��� � ������ �������������� ���� ���� � �������

������� ��������� �� ���� �������� �������� �� ��� ������� ����� �� � ������� ����� �������� ��������

���������� ����� �������� ��������� �������� ���� ���� ������� ����� �� ������� � � ������� !"#�$������ ��� ��� � ����� ������� � ����

(�

Page 65: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

" � 3&4 ������$ �� �� � ���,�� � ������ �� 165

�������� 6 ��� �� ����9 � ) �� �� ,���� ��

������� � � �� � ��� ������ ����� �� � ����#

����� ������$ �� �� ��� � 3&4 ������$ �� �� ��

����� �� ����� �������9 � 116 ��,� ��������

���� �� � rref ������� � ���� ���� �� ����� 7����

� �������� �� � �� �����8�0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0

5

10

15

20

25

30

35

40

Iteration number

Num

ber

of n

egat

ive

varia

bles

����� �� ���������� ,��������

#"1 ����'�

?� �,� ������� � ���� 3&4 ��� ������$ �� �� � �� ����� ���������� �������9

�� )��� � �������� ��� �� s#������� ��,� ���� Q��R� � ��) �����,� ���#�� ������

������� Q��R �� ���� �������� ��� ���������� � )��'� ������ �� �� ������ ��

���� ������� &���� �� � ��������� � � ������ �� �� ��� �� �� �����9 )�

�,� � �)� � � �� �� � ���,�� � ���������� ������ �� � ��� mK ��,� ����9

) �� K �� � ������ �������� �� � ���� ��� �� � ������ ��� m �� � ����� ��

�������� Q��R� " � ������ K ����� �� ������� �� ����� �� � ���������� �� � ��

��� �� � ���� ���� ������ ������$�� �������� ��� �� ���� �� � �� � ��� �� �

����� ������$ �� �� �9 ��� � �� ���� 3&4 ������$ �� �� � ���� � ���������

� � ������$ ,����� �� �� ��� �� �� �����9 �� )��� �� � �)� �� * ��� �� " �

������� ��)9 �����,� ���#�� ������ ������� ���� � ������� �� � ����� �� ��

3&4 ��� ������$ �� �� �Y �����9 � �� �� ������ ���������� � � ������$ �� ��!

�� � ����� ������$ �� ��9 � � # ��� ���� �� ��)��� ����� ��,�9 ) ��� � �������

���#�� ������ ������� ���� � �� ��,�� �� � ��,�� ,������ ) �� ����� ��� �

�������� ����#���� ��������

" � �����,� ���#�� ������ ��� ��S�� ��� � ���������9 )���#'��)� �� ��� �� �

������� " � ������$�� �������� �� � �� �� � )�'� �� )��'�� �� ����� ��,�

��2������� 6 )���� �� ������� � ��� � �������� � ��'�� � ������ ����� ��#

��� ��� �� )��� ��� � ������� ������$�� ��������� ?� �,� � �)� � ����������9

� ��������� �������� �� ��� ��'� � ε#�������� Q(�R �������� )���� � ������$#

�� ����� ��������

"� �������� � �� �� �9 �� )��� �� � ����� ���� ����� �������� �$������9 �

������� ������ �� � ������� ������ �� ���� ���������� 6 �� � �)�9 � � ������

������������ �� � 3&4 ������$ �� �� � �� ������� �� ���,�� ����� �������� �� �

�������

(%

Page 66: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

� ���� �

����� ����������

6� �� � ���9 )� �$��� �� ���� � ����� �� ����� �������� " � ����� ��#

����� ������ 7�.8 ������� �� � ����������� � ��$�������� �� � ����� ��H���,�

������� �,� � �������� �� �� � ���������� ������� " � ������ ��� �� �� �. ��

min cTx

Ax = b 7���8

x ≥ 0

) �� A ∈ Rm×n, c ∈ Rn ��� b ∈ Rm�

" � ����� �� ����� ������ �� � ��� )����� ������ ��� ������� ��� �� �����

����������� " � ��� �,�� �� ��� �� � ��� �������� �� ���� ��������� �� �

�� �� �� ������� �� � � ���� :�)�,�9 �� ������9 �. ��� �� ������� �� � ���

����� ���9 �������� ��)� ��� ���� ������ �� �� � ,������� ��� �� � ���������

6� ���� �� � ��,��� '��)� ��,� �� �� �� ��� �� ,����� ��,������ �� ���,��

� ����� �� ����� ������9 � ,�� ����� �� �������� �$������� ��� ���#����

�� � ������$ �� ��� ��'� � ������$ �� �� � � ��� �������,� ������� � ����

�� ��,� �� �� ���

6� �� � ���9 )� ������� � ����� ������$ �� �� ��� � �� ���� ��������

�����#�� ������$ �� �� � �� ������ � ��� "���'� Q�R� " � �������� �� �� �� �� ��

�� ������� ���� � ��) ������ �� s#������� ��,� �����

" � ��H���,� ������� �� ���� � ���� �� � ��) ,������ ��� ������� �� ���

z = cTx

)� ,������ z9 � �� ��)��� �� � ������ 1�� � �� ��������� �� � �. ������9 �

� � ������ " ���� ����� ��� �� ��������� �� � ��� ��)�� )�� � ����� �� ��#

��� ������� ��� � � �) �� � ��H���,� ��������

((

Page 67: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

A���9 � ,����� �� � �������� ��H���,� ������� 7���� � z �) �� � ��,�

������8 �� ����� � �� ������ ������ � ������� �����

%"! ��'���� ������ �$ ����' ��'�����

0,�� ����� �� �� �� ��� 7���8 �� �� ���� ���9 ������ ��

maxyTb 7���8

ATy ≤ c.

�� �� ������� � �� ������ ��� �� �������� �� ��� � ���� �������� �� ��

P = {x | Ax = b, x ≥ 0},D = {ATy ≤ c}.

" � �� �� ������ �������� �� ������ ��

P∗ = {x∗ ∈ P, cTx∗ ≤ cTx ∀ x ∈ P},D∗ = {y∗ ∈ D, y∗Tb ≥ yTb ∀ y ∈ D}.

� ������� �� � ���� ������ ��� ��,� �� � ������� � � ����� ������ ��

�������9 ) ��� �� ������ ������� �� � ���� ������ �� � ������� � � �����

������ ���� �� �� ������ ��������

�� �� � )$%$% 6> �9 ������7 ��� �� �������� ������� x ∈ P ��� ���� �������� �������

y ∈ DcTx ≥ yTb

�����! ��� ��� �0���� �� ��� ��� �� �� �� ������ �������� �������� �� �����������

����'���� �����.

x · s = 0, ����� s = c − ATy ≥ 0.

4����$

yTb = yT Ax ≤ cTx,

����� x ≥ 0 ��� ATy ≤ c� "� ��,� � �������� ��������9 ����,� �

cTx − yTb = cTx − xT ATy = cTx − yAx =(cT − yA

)x = sTx.

��������9 � ����� ������� �� � )��' ������ ���� �� ���� �� � ���� �0������

��� ����� �

(�

Page 68: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

�� �� � )$%$' 6> �9 2���������7 �� � �������� ������� x ∈ P ��� � ���� ��������

������� y ∈ D �� ���� �� cTx = yTb! ��� x ∈ P∗ ��� x ∈ D∗"

" � ��� ������ ���� ��,���� � � ���������� �� ������ �������� �� � ���#

�� �� ����� ������ �� � ��)���� ��� ���� �$������ �� �� �� �� �� �� � �����

��������

�� �� � )$%$) 6����� ������7 ��� �� ��� ������� ������ ������ ��� ��� ! � ����

��� �� �� ��������� �����"

(" P = ∅.

)" D = ∅.

1" �� P = ∅ ��� D = ∅ ��� P∗ = ∅ ��� D∗ = ∅! ��� ��� �� ���� x∗ ∈ P∗ ��� y∗ ∈ D∗

cTx∗ = y∗Tb"

#����� 81"(9 ��� �� ��� �� ������� �� ��� ��� �� #����� 81")9 ���" �� ���� �����!

�� ��� �� ��A����� ������� ������ ��� �0���"

4����$ " � ���� �� ����� �� � �������� �� � ������$ �� �� �9 �� )��� �� ��������

�� " ���� ������ �

" � �������� ������ ����� �� ��������� �� "���� ����

.���� ������

������ ��������� ����������

������ � × ×1��� ������ ��������� × × �

���������� × � �

"���� ���! " � �������� ����� ���� ������� ���� �����9 ) �� � ������ � ��������

������

/����������9 � ������ ���� ���� � � ������� �� � ��H���,� �������

�2���� � ����� ���� ����� ��������� ��� � ������ ��������� " �� ��� ����#

������ �� )��� �������� �� � �����)�� 9 �2��,���� ��� �� ����� �� ����� �������

�� +� �� ����

(�

Page 69: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

max cTx

Ax ≤ b

minyTb

yT A = c

y ≥ 0

+� �� ���! � ���������� �������,� �����#���� �. ����

%$&$& (�� �2��������� � ��� ����� ����,���� ��,��� '��� ���

����� ��������� ��,��� ���

6 �� )� �������� � ��� ����� �� ����� ������ ��� �� �������� � ��

�2��,���� ���������� ������ )� � ��� �� � ������ �����

6 �� ���� � ��� � �� � ��� ������ ����9 ����� �� ������ ������� �� ��

.������ 7���8 ��� 7���8 �� �2��,���� )� � ������� �� � �����)�� ������

Ax = b, x ≥ 0,

ATy + s = c, s ≥ 0,

cTx − bTy = 0.

" �� )���#'��)� ���� �� ���� ���� � ���,� ����� �� ����� ������� � �2��,#

���� ����� ���������� �������� 6 �� ������ � ��� �)�,�9 � �� �2��,������ ��

������� ��� ������� 2��� ���������� 6� ������9 � �� ������� ��� �5���� � ��������

� �� �� �� �� ��� � )�� � � � ���� �� ���� � ����� ��� ������ �$���� �� �

���� ��� �� � ����� �� � ����������� Q%�R�

%"# ��� �����, ������

6� �� ������9 )� ������� � ������ ������$ �� �� �� 1���� Q��R�

� ������� ����� �� � ������$ �� �� � �� � � �2���� � �������� ����� � ��

���� " ��9 � �� �� � �� ����������� ��,���� ��� )� � ����� 6� � �� � ���9 ����

�� �������� �� ��2�� ������� �� ��������� �����9 � �������� ����� �� ��������� 6� �

������ � ���9 ) ��� ������ ���� �������� ��������9 � ��H���,� ������� �� ���������

" � ������$ �� �� � ���� �� � ������� ������ 6� � ����� ��2����� ������

�� � �� �� � �� ����� ����� ����� 7)��' �� ������ �� ��5����89 �� �� � ��

� ���9 �� ��� ������9 � ��� �� �������������� �� ��������9 ) ��� �� � ������ � ���9

� ,���� �� � ��H���,� ������� �� ��������� ?� ��� ���� ���9 � ���� � ����������

(-

Page 70: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

�� � ������ ����� ������� �� � ���� �� � ��� �� � �� ��9 ����� �� � ��

� ��� � ������ �� ������������9 ) ��� �� � ������ � ��� � �������� ������� �� �,������� ��

� �� �� � �� ������� �� ��� ������

" � ������#���� �� � �� �� � �� ������� �� +� �� ���9 ) ��� � ;�) � � �� �

�� �� � �� � �)� �� +� �� ����

%�� ���� ����� � ����� ���� s�������� ��&�� ����

������ A ∈ Rm×n,b ∈ Rm, c ∈ Rn � �������� ����� B�

������� .� ��� �� ������� �� � ���� �� �� �� ������ �� ��������

�� ��

I−N := {i ∈ IN |ci < 0}.���� I−

N = ∅ ��

�� q ∈ {i ∈ I−N |ci < 0} �� �������� !�� ��� �� ���� ����� � s�

�� tq ≤ 0 ����

$��� ������ �� �������� ���� �� �� tq�

���

�� ϑ := min{

bitiq

: i ∈ IB, tiq > 0}

�� �� ���� �� �� ��� �� ���� ���

�� p ∈ IB ��������� � � ��bp

tpq= ϑ ��� !�� ��� �� ���� ����� � s�

�����

���� �� (p, q)�

�������

"�� ������ �� ��� ���

����

+� �� ���! " � ����� ������$ �� �� � )� s#������� ��,� �����

A�� �� � ��� � �������� ������ �� � ������$ �� �� � �� � �� ������ ���� ��

) �� ������ � � ��$ ����� ������ ���������

4��!������ )$'$% B���� � �������� ������ �����! �� ��� �� �� ���' ������� ��������

� �������� ����� ��0�����"

4����$ " � ���� �� �� ��������� �� � �������� ����� �� � ��2����� �� �,��9 ��� �� �

��$ ������� �� � ��,� �� �,�� �� (p, q)� " � ��������� �� ��� ��)�� �� ����$ p9

�� �� �� ����$ i = p �� �,��� " � ��) � # ��� ���� b′ �� �������� ��

b′i = bi − bp +tiqtpq

.

��

Page 71: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

.����� �� ���������9

��

ϑ := min{

bi

tiq: i ∈ IB, tiq > 0

}tq ≤ 0

q ∈ {i ∈ I−N |ci < 0}

������� �� tq�

p ∈ IB

.�,� �� (p, q)�

! bp

tpq= ϑ

����!�"�E"

�"A.

��

I−N = ∅

" � ��������� �������

����

�"A.

���

���

+� �� ���! +��) � � �� � ����� ������$ �� �� � )� s#������� ��,� �����

6� tiq = 0 �� b′i = bi ≥ 09 ) ��� � �)���

b′i = tiq

(bi

tiq− bp

tpq

)≥ 0,

������� �� � ��� �� �������� p� �

��� � �� � ����� ����� ����� ����9 �������� ���������� �����)� ��� � ���

� ��� ����� ����� ��,� ����� ����,�� � ��H���,� ������� ,�����

%$!$& 3��������� � ��� ������+ ��������

" � ���� �� �������� �� � �� �� � �� ����� �� ����������� ����� � ����� �� �����

�� ����9 � �� �� � ����� � ������ �� ��� ���� �� � ,���� ���� ����� �������� ����

����� �� �� ������� ��� � ������� �$������ &������ �� ��������� ��� � ��,� ���

�� � �� �� �9 �� ��� �� �$����� ��� ,������ ��,�� �������� ���� �����

+��9 )� ��,� � �� ��� �� �$����� ��� ,������ �� � � ��� ��,�� �� �,�� ��������

������

� ��� )$'$% � ��� �� ������ �'� ��� ��� � ������ 5��� ��������� ����"

4����$ A���,� � � ��,� �� � ����� ����� ����� ,������ )���� ������� � ��H���,�

�������� ����� � ��,� �� � ����� ����� �) �����@ ��'� � �) �� ����� ��� � ��,�

�� � �� ����� �) �����@ � �� � � � # ��� ����9 � � # ��� ���� ,��� ���

�2��� ������ ���9 � � �)��� � ��H���,� ������� )���� �,� � ������� ��������

���� ����9 ��������� � � ����� �� �������� ����� �� ����� �

��

Page 72: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

� ������ ��� � # ��� ���� ,��� ���� ��������� � ��� ��9 ����� ��� ���

�� � ����� " �� )�� � � ���� �� � ���,�� ,������ �� ��� ������ � � ����$ ��������

����

*������ ��) � ������� �������� �� � ������ ������ �� s#����������� *������

����� B′ �� � ������� ������ �$�����9 ) �� � ,������ xl )� � ��)�� s ,���� ����

� ������ ������� � � ������ �������� ��� �� � ������$ �� �� �9 � ��H���,�

������� �) �� � ��,� ������ �� ����� B′ �� � �� ��,� ��� �� � �������� ,������

xl ��� ����� ��,� ����� �� ��� � � �������� ,��������

6� � ������� ������ �$�����9 ����� �,�� ,������ ��,�� �������� ���� ����9 ,������

xl ��� ���,� � ������ *������ ����� B′′ ) �� xl ���,�� � ����� �� � �� ��� ���

B′� &� ����� �����9 � � ���� �� � ���,�� ,������ �� ������� ��� ��� ����� ,�������

� �,� � �����,� ,���� �� � ������ �� � ���,�� ,������ ��� �,� � ��$���� ,����

������� � ,��� s�

" � ��,� ������$ 7 � �� ������ ����� ������ ��,� ������$8 �� ����� B′ ��� B′′ ��

������� �� +� �� ����

xl

+ 0

0���

0

0���

0

− ⊕ . . . ⊕xl ���� � ����� �� ����� B′�

xk

xl + 0

K

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩+���

+

0���

0

L

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩����

0���

0

−xl ���,�� � ����� B′′�

+� �� ���! ����� ������ ��,� ������$ �� � ������$ �� �� ��

?� �� ���� � ��,� � �������� �� � ������$ �� �� � )� s#������� ����$

�������� �����

�� �� � )$'$% ��� �� ���' ������� ��� s� ������ ����' �������� ���� �� &���"

4����$ �� �� ������ � �����9 ��� ������� � ������� ������ �$�����9 )� �����

,������ xl �� ����� B′ �������� �� � ������ ������9 ��� ����� B′′ )� ����� ,������

��

Page 73: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

xk9 ) �� ,������ xl ���,�� � ����� �� � �� ��� ��� B′9 �� �������� �� � ��

������ �� s#������� ����$ �������� �����

*������ ,��� t′(c) �� ����� B′ ��� ,��� t′′k �� ����� B′′� ��

K = {i ∈ IB′′ | t′′ik > 0} \ {l}9 ��� L = {j ∈ IB′′ | t′′jk ≤ 0}.

" ��

t(c)′T t′′k =∑i∈K

t′cit′′ik +

∑j∈L

t′cjt′′jk + t′clt

′′lk ≤ t′clt

′′lk,

���� � t′cj ≥ 0 ��� t′′jk ≤ 0 �� ��� j ∈ L9 ��� t′ci = 0 �� ��� i ∈ K ������� �� � ��

������9 � ,����� �� s ��� ���� �������9 ��� ��� ,������� � �,� ��,�� ����� �����

B′ �,� � ��� ,���� �� s �� ,������ xl� &� � �� ������ �� s#������� ����$

�������� ����9 ��� ,������� �,� �� ��,�� ����� ����� B′9 �� �,� � ���������� ���

,���� �� t′(c)� ����� t′cl < 0 ��� t′′lk > 09 )� �,� t(c)′T t′′k < 09 ��������� � � � ������

����� �

# ���9 )$'$% 3� ���� �� ��������� ������ &������� ��� �� ����' �������� ����� ��7!

$��� ��� ��%<"

# ���9 )$'$' %���� �� �� ��� �� ������ �� ��A����� ������� ��� �� �� ���� ������

���� ��&��� �� ��� �� ���� �������! �� ���� ���� �� ����� �� ����� �� �� ����� ������

1"("1"

%$!$! 3������ � ����,�� ,���� � ��� ������+ ��������

" � ����������� �� � �������� ���� ����� �� ������� ���� )� � ��� �� �� ��������

�� ��2��� �� � ��������� ��� 7���8 �� �,��9 ��� ������ � b ≥ 0� " � ���������

�� b ��� �� ������ �� ������ ������������� *������ � �����)�� �������� ������9

) �� 1 = (1, . . . , 1) �� �� ���� ����������

max(1T A)x

Ax + u∗ = b 7���8

(x,u) ≥ 0.

+� �� ������9 B = I �� � �������� �����9 ����� b �� ����� ��,��

�� �� � )$'$' ��� ������ ������ ��� ������ 81"(9 ��� � �������� ������� �� ��� ���

�� �� �'����� ��� �� ����� ��� �� � ������ ������ ������ ��� ������ 81"19 �0���� 1Tb"

��

Page 74: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

4����$ 6 �� ���� � ��� � .����� ��� �� �������9 ����� Ax + u∗ = b ������ Ax ≤ b

���� � ����� ��,�� �� u∗9 ��� �� (1T A)x ≤ 1Tb� " �����9 .����� ��� ��)��� ��

�� ������ �������� +� ����9 ��� �������� ������� � 7���8 ��������� � � ������� ��

7���8 7��� ,��� ,���8 )� u∗ = 09 ��� �� ��H���,� ������� ,���� �� 1Tb� �

���9 � �� �� � )���� �� ��� ��)�� � �������� � ��� �� � �� ������

������� ,������� u∗� � ��)���' �� �� ������ )���� �� � � ���������� ������

)�����@ �,����� ������� �� ������ �������� �����9 ����� � �) �� � ��H���,� �������

)���� �� � �� �������� ��� ��� � ����������9 ��� �� ���' � ��H���,�

������� −1T A9 ) �� �� � ��$�������� �2��,���� �� 1T A�

�;��!� )$'$% $� �� �������� �� ��������� ������ "

min−x1 − 3x2 + x3

2x1 + 2x3 ≤ 110

−2x1 + 2x2 = 80

x2 + 2x3 ≥ 40

x1, x2, x3 ≥ 0

%���� �� ������ ��� �� ������ �������� ������ �����! �� ���� � �������� ���&���� �����

���������! ��� �� �������� ��A����� �������" ����� ��� �� ������� ����� ���������

8u1, u29 ��� �� ���&���� ����� ��������� 8v∗1, v

∗29 ���������"

( min−x1 − 3x2 + x3 )

max−x1 − 2x2 − 2x3 + u2

2x1 + 2x3 + u1 = 110

−2x1 + 2x2 + v∗1 = 80

x2 + 2x3 − u2 + v∗2 = 40

x1, x2, x3, u1, u2, v∗1, v

∗2 ≥ 0

�� ��� ������� �� ������ ! �� ���� �� �� ��������� 8u1, v∗1, v

∗29 ��� � ������ �������� �����"

��� ���� ���� ������ �� �� ������ �� ����� �� ������� (" 3� ����� �� ������ ���

�� �� ���' ���� ����� �� ��7 ����' �������� ����" ��� ��� �� �� �������� ��A�����

������� �� ������ � z! ����� �� ��� �� �� ���&���� ��A����� ������� ��� z∗" 3���� ��

���&���� ��A����� ������� �� �� ����� ���! �� �������� �� ����� �� ���" �� �� ��� �� ��

�������� ��A����� �������! �� �� ���� � �� �� ��������� ���� ����� ���� �� �� ������� ��

�� ����� �� �� ��A����� ������� ��� �� ������ ����� �������" ��� �� ���&���� ��A�����

�����! ��� ����� �� ������ �������5�� �� −1Tb=! ����� b= ������ �� ��� �� �� ���������

���� ����� �� ������� � ���� �� ����� �� ���&���� ����� �������� ��� ���������" ����!

��� ����� ������ �� �� ����������� ������ ��� �� ������ ����� �������"

��

Page 75: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

x1 x2 x3 u2

u1 ) : ) : ((:

v∗1 �) � : : C:

v∗2 ( : ) �( 2:

z �( �1 ( : :

z∗ ( �) �) ( �():

������� ("

x1 v∗1 x3 u2

u1 ) : ) : ((:

x2 �( :"; : : 2:

v∗2 � : ) �( 2:

z �2 ("; ( : ():

z∗ �( ( �) ( �2:

������� )"

6 �������� �� ���� ���� �� ��������� � �� ��7 ����' �������� ���� ��� �� ����

��� � �� ���� �� 8����� �� ���0�� �� ��� ������ 9 �� �� ����� ��� ���&���� ���������

����� �� �����! ��� �� ���� ������ �� ��� �� �� ������ � �� ���&���� ��A����� �������"

%���� �� ��� �� ���&���� ��A����� ����� �0���� �� ��0����� 120! �� ������� ��� ���

�����&�� � �������� ������� �� �� ������ "

v∗2 v∗

1 x3 u2

u1 �) : �) ) 1:

x2 ( :"; ) �( C:

x1 ( : ) �( 2:

z 2 ("; D �2 )C:

z∗ ( ( : : :

������� 1"

x3 u2

u1 �) ) 1:

x2 ) �( C:

x1 ) �( 2:

z D �2 )C:

������� 2"

� �� ��������� � ����� �� ���� �� �� �� ���&���� ��������� ��� �� ��� �� �� ���&����

��A����� �������! ����� ���� �� ���� ��� �� ������ ����" ��� ������� �� �������� ���

������� 2" ��� �� �� � ������� "

x3 u2

u1 �) � 1:

x2 ) �( C:

x1 ) �( 2:

z D �2 )C:

������� ;"

x3 u1

u2 �( :"; (;

x2 ( :"; D;

x1 ( :"; ;;

z ; ) 12:

������� ="

������� =" �� ��� ��" ��� ����� ��� �� ������� �� x = (55, 95, 0)"

%$!$% *�����+�� ,���� ���� ��� '��� �������� ����������

?� � �) � � ��) ������$�� ����� ������� �� * ��� � ��� ������ �� ���������

�� � ������$ �� ���

�%

Page 76: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

+�� ����,� � �� )��'�� �� ����� ������$9 � ��� �� ������ � ����� �����

��,� �)� " ��9 � ������ � �� � �� � ��H���,� ������� ,���� 7���� � �� ��,� �� �

� #���� ���� �� � ��,� ������8 �� �,�� ��

|znew − zold| = cqbp

tpg

, 7���8

) �� tpg > 0 �� � ��,� ������9 cq > 0 �� � ������ ��� �� � ������� ,������ � ���

� ����� ��� bp > 0 �� � � # ��� ���� �� � �) �� � ,������ ���,�� � ������

" � ������� �� � ������� �� � ��H���,� ������� ����������� ������ � �����

�� � �� � ��� �� � �� �� �9 ) �� � ,���� �� � ��H���,� ������� �� �������

�� ��� ����) 708 ��� ���,� (1Tb=)� +� � ������ � ��� �� � �� �� �9 �� ����

����� �� � ��H���,� ������� �� ��������� " �� ��� �� ������ ����� ����� �� )�� ��

� ���� �� ∆max9 ��� ����,�� � � ������ ��� �� � � � ��,� ������ ������ ��

c = cN − cBB−1N ) �� �� � ������� �� Bx = c9 ) ��

B =

[B 0

cB 1

], )� � ��,��� ��

[B−1 0

−cTBB−1 1

].

%"% ��� ��������� �����+� �����, ������ $� ����'

��'����� ������

" � �������� �����#�� ������$ �� �� � )�� �������� �� Q�R� 6� * ��� �9 )� �,�

������� �� ������������ � ���������� ������� ��� ��,�� �� �������� )� s#�������

����$ �������� ����9 �� )��� �� )� � ��)9 �����,� �������� 6� �� ������9 )� �����

� �� ���� �� �� � �� ����� �� ����� ������� ��� ��,� �� �������� )� s#

������� ����$ �������� �����

" � �������� �����#�� ������$ �� �� � ��� ��� � �������� ����� ��� ��� � �����#

����� �� � ���� ,������� ��� �� ���9 ) ��� ��������� � ���������� �� � ������ ��������

���� ,�������� �� �� ����� ���������� ��� �� ,������ �� ���� ����� ������ �� �

�� �� �9 ����� ���������� �� ��)��� ����� ) �� � ������� ��,�� ,������ �������

���������

" �� �� �� � ���� �2���� � �������� ����� � �� ���� "� �� ��,� ��� � �����9 � ��

� ��� ��� �� �������� �������� �� )�� �� � ������$ �� ��9 � � ���������� ,�����

�� 3&4 ������� �� * ��� � ��� �� �����

" � ������ ���� �� � �� �� � �� ������� �� +� �� ��%9 ) ��� � ;�) � � ��

� �)� �� +� �� ��(�

�(

Page 77: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

%�� ��� ����� � ����� ���� s�������� ��&�� ����

������ A ∈ Rm×n,b ∈ Rm, c ∈ Rn � �������� ����� B�

������� .� ��� �� ������� �� � ���� �� �� �� ������ �� ��������

�� ��

I−N := {i ∈ IN |ci < 0}����� I−

N = ∅ ���� �� ������� �������� s ∈ {i ∈ IN |ci < 0} �� ���������

���� cs < 0 ��

�� Ks = {i ∈ IB|tis > 0}.�� Ks = ∅ ���� $��� ������ �� �������� ���� �� �� ts�

���

�� ϑ �) min{

bitis|i ∈ Ks

}�� ���� �� �� ��� �� ���� ���

�� r ∈ Ks �������� � � �� brtrs

= ϑ ��� !�� ��� �� ���� ����� � s�

�� θ1 := |cs|trs

� ��� �� J = {i ∈ IN |ci ≥ 0, tri < 0}��� J = ∅ ����

θ2 := ∞�

���

θ2 := min{

ci|tri| |i ∈ J

}�� ���� �� �� ��� ���� ���

�� q ∈ J �������� � � �� θ2 = cq

|trs| ��� !�� ��� �� ���� ����� � s�

�����

�� θ1 ≤ θ2 ����

���� �� (r, s)� �������� �������

���

���� �� (r, q)� ������ �������

�����

�����

�������

�������

"�� ������ �� ��� ���

���

+� �� ��%! " � 3&4 ������$ �� �� � )� s#������� ��,� �����

��

Page 78: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

+s

nos

no

s

yes+

yes

Problem is unbounded.

−−

�"A.

���

��

��#

.�,� �� (r, s)

^ −

#

2

.�,� �� (r, q)

s ∈ {i ∈ IN |ci < 0}

Ks = {i ∈ IB|tis > 0}

Ks = ∅

J = ∅ θ2 := ∞

θ2 := ci

|tri|

θ1 ≤ θ2

J = {i ∈ IN |ci ≥ 0, tri < 0}

���

����!

cs < 0

���

θ1 := |cs|trs

r ∈ Ks

����

q ∈ J

^

^

���

���

���

�������

��

" � ������� �� �������

�"�E"

I−N = ∅

���

�"A.

⊕ ⊕. . .⊕

� ⊕⊕

+� �� ��(! +��) � � �� � 3&4 ������$ �� �� � )� s#������� ��,� �����

"� ������� � �������� �� � �� �� �9 )� ���� � '�� ����� ��,�� �� Q�R�

?� )��� ���� � ��,� �� � ������ �� � ��,�� ,������ � ������� ����9 ) ��� ��� � �

��,� �� ��'����� �����

�� �� � )$)$% 6?*@7 �������� �� ���� ��0����� �������� � �� �6, ������� ������

�������� � �� ������ �������� ����� ��� �� ������ �� � ������� �������� xs" ���� ���������

�� ��'����� ����! �� ��' ����� �������� � �� ������� ��� �� ��������� ���������.

(" cs < 0!

)" �� bi < 0! ��� tis < 0!

1" max{

bi

tis| bi < 0

}≤ min

{bi

tis| tis > 0

}"

��

Page 79: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

# ���9 )$)$% ��� ����� �� ������ 1"1"( ���� �� �������� 3 ����� ����� ��� ��

��0����� �� ��'����� ����� �������� � �� ������� "

# ���9 )$)$' �������� ) �� ������ 1"1"( ������� �� �� ������ �� ����� ���������

�������� �� ������� ���� � �! ���� �� �� ������ ����� �� ����������"

&���� �� � ���,� ���� ����9 )� ��� ��� � � 3&4 �� �� � �� )���#�������

�� �� � )$)$' 6?*@7 3������� �� �6, ������� ������ � � ������� ����! �� ��' �����

�� ��������"

��� � �� � ������ �� �� ����� ��� ���� ����� �����9 �� �������� �� ������

�� � ��� � �������� � � ������$ �� ��9 � ��H���,� ������� ����� �������� ��

��� ������ Q�R� :�)�,�9 )��' ����� ����� ������ �� �� ��5���� �� �������� �� ��

�����

%$%$& 3��������� � ��� ��4 ������+ ��������

6� � �� ���� ���� Q�R9 ��$��� �� � )�� ���� � ����� ��������� 6� �� ������9 )� ��,�

� � �� �� � �� ���� ) ���,� s#������� ��,� ���� �� �������� +��9 )� ���� �

�$����� ���� �� � ������� �� � �� �� ��

� ��� )$)$% �� ���� ��� �� � ���� ������������ ���� � ��������� �� ����� �� ��

������� ��������"

4����$ � ��,�� ��,� ��'�� � ���� ���������� ��,�� ,������ ���� ��������9 ) ��� ��

��$����� ��,� �������� � ,���� �� � ��,�� ,������ )� �� ��'�� � ����� ��,��

" � ��$ ����� ���� � �� � ������� ����� �� � 3&4 �� �� ��

� ��� )$)$' �� �� ��0����� �� ��'����� ����� �������� � �� ������� ��� �������

�������� xr! �� ����� max{

bi

tis| bi < 0

}����� ���������"

4����$ &� E���' ����� � �� �������� �� " ���� ����� ���� �

max

{bi

tis| bi < 0

}≤ min

{bi

tis| tis > 0

}7��%8

��)��� ����� A���,�9 � �� � ����� ��� �� ����� �� �� � �� �� �9 �� ��

��$����� ��,� ���� �� ������� (r, q)9 � ������� ��� �� min{

bi

tis| tis > 0

}�� ��������

����� � ��$����� ��,� �� ����� �� �� � �� ��,� ��,� ������9 � ��) � # ��� ����

�-

Page 80: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

,���� �� ����$ r ������� �� ��,�9 ) ��� � ��� �� � � # ��� ���� ��� � ��,�

������ ����� � ����9 �� �� � ��$ ������ �� ��� ����� �� � ���# ��� ���� ��

��%� �

&���� �$������ � �������� ������ �$�����9 )� ���� � �� �����#��� ������ " ��

����� �� ��)9 ��� ����� � ���������� ��� �� � ���� �� �������� )� s#������� ��,�

�����

� ��� )$)$) $� a, b, Θ ∈ R ���� �� b = 0 ��� ab

= Θ" $� c, d, λ ∈ R ���� �� d ·λ = 0

��� b + λd = 0" ���� �� a+λcb+λd

= Θ! ��� cd

= Θ"

4����$

a + λc

b + λd= Θ

a + λc = Θ(b + λd)

Θ + λc

b= Θ

(1 + λ

d

b

)c

b= Θ

d

bc

d= Θ.

?� �� ���� � ��,� � � 3&4 ������$ �� �� � )� s#������� ��,� ���� ��

����� A� ���� �� ����� �� ����������� �� �� ������� � ������� �$�����9 �� ) �� �

�� �� � �� �� ����� �� �����9 ����� � ����� �� �������� ����� �� ����9 � �� �� �

��� ,��� � ���� ����� �������� ���� ����� 6 �� ����9 � ������� �� ���������9 ��

��� �� �$����� ��� ,������ ��,�� �������� ���� ����9 )� � �������� �$������ ��

��� ��� �� ,������9 ) �� ��� ����� �� ���������� ��,�� ,������ �� �� � ) ���

������

� ��� )$)$* ��� � ��� �� ������ �'� ���! �� ��������� ��������� ����.

(" �� ����� �������� � �� ������� �� ���� ��������� ��� ��� ��������� �'��� ���

������ ��������" ���� �������� �� ���� �� �� � �������� �� ������� ��� �����

����� �� �����"

)" ��� �������� ���� ��&���� �� � ��! �'��� ���! ����� ����� ����� �� �����"

1" �� ������� ���� �� ���"

��

Page 81: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

2" ��� ��� �� ���� �� ����� ����� �� �� � �����" ������ ���! �� �� ����� ��������

� �� ������� ! ��� �� ���� � r �� �� ������� ��������! �� ���� bi

tir�� �� �� � ���

��� i! ����� tir = 0"

4����$ &� ����� �����9 � ��,� ���� �� � ����� ����� ������ ����� �������� �

,���� �� � ��,�� ,������� A���,�9 � ) ��� � ��,� �� � ����� ����� ������ ���,��

� ������ �� � � � ��,� ������ ����� �����9 � �� ����� ��,� �����@ � �� � �

�) �� � ��H���,� ������� �� � �������

6 �� ���� � ���9 � �� � ������ �$�����9 �� �$��� �� ���������� ��,�� ,������

xr � ��,� ������� ��������9 �� ���� �� ,������ �� ������� �� � ��� �� � ��,��

,������9 ���� ��$����� ��,�� �� ����� &������ �� ���������9 ��� � � ,������� ��,�

�������� ���� ����� :�)�,�9 �� � ����,���� ���� ���,�9 ������ � ci = 0 �� ���

i = r9 �� � �����)� � 1 �����

2 ��� 3 �����) ���������� ��� 1�

����� � ��,�� ,������ ��,� � �� ��9 �� " ���� ����� ��� ����� �����9 � ,����

�� � ��� �� ������� � ������ ,���� ��� ������ ���� �������� &� � �� �����

����� �����9 � ������ � � ��� ��� �� � ���� �� ��� ����� ������ �� �

�� �� �� �

&� ����� �����9 � ������� ������ �$����� ������� � ��� �� ���������� ���� ,������

������� �� ��,�� ,������� +� ����9 �� � ����� ��� ���� ��� ��� �� �,���9

��� � �������� �� ������� �� ������ ����� �� � ����$ �������� ���� �� xr �� � ��,��

,������� *������ ��) ,������ xl )� ����� B′ �� �������� �� � ������ ������ ��

s#������� ����$ �������� ����9 ��� �� B′′ �� � ����� ) �� xl ���,�� � ����� ��� B′

�� � �� ���� 7A���,�9 � ����� � ��,�� ,������ ��,� ���� � �����9 l = r�8

4��� � ����,����� ���� �� ����� �����9 � ����� ������ ��,� ������$ �� �����

B′ ��� B′′ �,� � �� � ����� �� ������� �� +� �� ����

?� �� ���� � ��,� � � �� �� � �� �����

�� �� � )$)$) ��� �6, �� ���' ������� ��� s� ������ ����' �������� ���� �� &���"

4����$ �� �� ������ � �����9 ��� ������� � ������� ������ �$����� )� �����

,������ xl ��� ���,�� ,������ xk �� ����� B′ �������� �� � ������ ������ �� s#�������

����$ �������� ����9 ��� ����� B′′ ) �� ,������ xl ���,�� � ����� �� � �� ��� ���

B′�

*������ ,��� t′(k) �� ����� B′ ��� ,��� t′′r �� ����� B′′� ��

K = {i ∈ IB′′ | t′′ir > 0} \ {l}9 ��� L = {j ∈ IB′′ | t′′jr ≤ 0}.

��

Page 82: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

xr xl

∗���

∗xk + − ⊕ . . . ⊕ ∗

∗���

∗− 0 0 . . . 0

xl ������� ����� �� ����� B′�

xr

xl + ∗

K

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩+���

+

∗���

L

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩����

∗���

∗− 0 0

xl ������� �������� �� ����� B′′�

+� �� ���! ����� ������ ��,� ������$ �� � 3&4 ������$ �� �� ��

" ��

t(k)′T t′′r =∑i∈K

t′kit′′ir +

∑j∈L

t′kjt′′jr + t′krt

′′rr + t′klt

′′lr ≤ t′krt

′′rr + t′klt

′′lr,

���� � t′kj ≥ 0 ��� t′′jr ≤ 0 �� ��� j ∈ L9 ��� t′ki = 0 �� ��� i ∈ K ������� �� � ��

������9 � ,����� �� s ��� ���� �������9 ��� ��� ,������� � �,� ��,�� ����� B′

�,� � ��� ,���� �� s �� ,������ xl� &� � �� ������ �� s#����������9 ���

,������� �,� �� ��,�� ����� ����� B′9 �� �,� � ���������� ��� ,���� �� t′(c)� �����

t′kl < 0 ��� t′′lr > 09 �� ���� t′kr > 0 ��� t′′rr = −19 )� �,� t(k)′T t′′r < 09 ���������

� � � ������ ����� �

��� � �� ����$ �������� ��� �� �������� �� � �������� �� � ��,�� ,�������

�;��!� )$)$% 3� �� ������ �� �6, �� ���' ������� ��� ������ ������ ��� �����

�� � �� �� ������ ���� ������ �� �'� ��� 1")"(" �� ����� � �������� ������ �����! ��

�� � ����� ��� ���&���� ����� ��������� � �� ���������" 3� ��� ��� �� &�� ������

�� �'� ��� 1")"(" �� ������! �� � �����5� �� ������� �������� �� ���� ��� ���� �� ����

��������� �� ���"

x1 x2 x3 u2

u1 ) : ) : ((:

v∗1 �� ) : : C:

v∗2 ( : ) �( 2:

z �( �1 ( : :

z∗ ( �) �) ( �():

������� ("

v∗1 x2 x3 u2

u1 ( ) ) : (D:

x1 �:"; �( : : �2:

v∗2 :"; � ) �( C:

z �:"; �2 ( : �2:

z∗ :"; �( �) ( �C:

������� )"

��

Page 83: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

���� �� ������� �������� �� x2" ��� ��� �� ���� �� �� ���0��" ��������� � �� ����

���� ��! �� ��'����� ���� �� ��������" /������! �� ��' ���� �� � ������� ���! ��� �

�������� ����� �� �����&��"

v∗1 v∗

2 x3 u2

u1 : �) �) ) 1:

x1 : ( ) �( 2:

x2 :"; ( ) �( C:

z ("; 2 D �2 )C:

z∗ ( ( : : :

������� 1"

x3 u2

u1 �) � 1:

x1 ) �( 2:

x2 ) �( C:

z D �2 )C:

������� 2"

x3 u1

u2 �( :"; (;

x1 ( :"; ;;

x2 ( :"; D;

z ; ) 12:

������� ;"

�� ��� ��� ������� ����! �� ����� �� �� � ��� �� ������� x = (55, 95, 0)! �� �� ���

��� �� �� ���' ����"

" � ������$�� ����� �� � ����� ����� ���� �� ����� ���9 �� )�� �� � ���� ��

� ������$ �� �� ��� ����,�� � �� ��$����� ��,� ���� �������� � ,���� �� �

��H���,� ��������

%") ��� �������� �,'��� $� ����' ��'�����

"� �������� � �� �� ��9 )� ����� �������� �$������� )� � ������$ ��� �

3&4 ������$ �� �� �� �� � ������� ������ ������� �� ������ �����9 ) �� �� ��)

�$����� � �� ���������� ������� "� �� ��9 ����� �� �������� �� � �) �������9

��� ��� ,����� �� ������ �� � )� ���� ������� " ��� ���� �� ������� �� "����

����

<�� ����� ;! ��� �� � �� ���!� ; � ���

?� ��� � ���� ����)�' �� �� ������ ������ 6 ��� �� ��� ������9 � � ����� ��

�� �� ����� � ��������� �� � �� �� ��9 H�� � �����������+� � ������$ �� �� �9 ���� � �������� �� #

��2�� ������� �� ��������� �����9 � �� � ��� �'��

314 �������� ?� ��� ���9 � �� �� � ����� �� #

����� ����� �� �� ���������9 ������ � �� � ���#

��� ������� �� � �������� ��H���,� ������� � ���

����� � ������� ����' ,������� �� ���� �� � ��#

��� �� ��� ��,��� " ��� ,������� �� ��,��� �� �� �

����� �� � ���������� ��� ����� �������� 7�����

�� �� �� �����9 �� ��� �� �� �2����8�

0 50 100 150 200 250 300 3500

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

4

Iteration number

Sum

of i

nfea

sibi

lity

��� �� �������������

��

Page 84: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

#� ��� ���� #� ��� ����

6&4 %-( 0"� ��(

�&4 %-% E0+ %��

6*% (�� 0"& ��(

6(* (��

*-� %�(

**0 %�� 8��� !�����

��B %�� 4�: %�%

3"& %�- 4�& %-�

"���� ���! *�� �� � �) ������� ��� ��� �� � ���� �������

���9 � � ���� ������� ����� �� � �� � ��� �� � �������� ����� �� 1�

��� � �� � ��� )� ������� ,������� �� ���� ��

������ " �� )� )� �� ����� ��,��9 ��� ���#

���� ,������� ������ �������� ��� �� ���,�� ���

� ������� ��) � ������ � ��� �� �������� " � ��#

��� ����� �� � �� � ��� �� � �������� ����� ��

6.394720 ∗ 106� " � ������ � ��� ���� �2���� 29 �#

������ � ��� ��������� " � ε ,����� ���� �� �

���� �� )�� �� � ���������� ,����� �� � �������

0 5 10 15 20 25 300

1

2

3

4

5

6x 10

4

Iteration number

Obj

ectiv

e fu

nctio

n

" � ��H���,� ,�����

<�� ����� ;! ��� �� � �� �1� ���!� ; � ���

+� � ���������� ,����� �� � 3&4 ������$ �� ��9 )� ���� � �� ���� ��� � ��������

�� �� �� �� " �� �� ��2�� ��,�� � �� ����� ���������� �� � �� ���� 3&4 ������$

�� �� � �� ����� �� ����� �������� :�)�,�9 �� )� )��� � ��� ���9 � ���' �� ���

� �� ��2�� ������ �� ����� ;�������� �� � ����� �� ���������� ���� ,��������

�� �� � )�� ��5���� � � ��' � ���������� �� � ���� ,������� )� � ������

��������� � � )���#������� �������� ε9 ����9 � ��,�� � �� ,�� ������ � �� �,��

��,�� ��,� ���� 6� �� �$������� � �������9 � ��� � �������� ���� �S ���9

��,�� ,������� ������ �������� 7���������� ��������� � �� ��������8 ��� �� ��$�����

��,�� ? ��� �� ��� ����� 7�� � ���������� ,����� �� � �� �� �8 )� ������� ��) ��,��

,�������9 �� � ����� �� ����� ,����� � �� ,��� � �� � ��,�� ��,� 7�� �� �

��� �� �,�� �� �� ���������� ��,�8 � ����� � � ����� ������� ����� �������� � ����

+� � 3&4 ������$ �� �� � �� ����� �� ����� �������9 � �� � ��� �2����

��

Page 85: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

297 ��,� �������9 �� �� ) �� 54 )�� � ��,�� ��,�9 ) ��� 242 )�� �� ��$����� ����

" � �������� ����� ����� �� � �� � ��� �� � �������� ����� �� 2.6338 ∗ 107�

0 50 100 150 200 250 3000

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

4

Iteration number

Sum

of i

nfea

sibi

lity

0 50 100 150 200 250 3000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Iteration number

Num

ber

of in

feas

ible

dua

l var

iabl

es

��� �� ������������� ����� �� ���������� ���� ,��������

���9 � � ���� ;������� �� � ����� �� ���������� ���� ,������� ������ ) ��

� ��� �� ������������ )�� ������ ,�� ��)9 �� � � �)� ���� ������,�� � � �������

ε ,�����

6 �� ������� � � ������ � ��� �� � 3&4 ������$ �� �� � �2���� ����

12 �������� " � ����� �� ���������� ���� ,������� �� �� ���� ����� �� ���������

) ����,�9 ����� � ������ �� ���� ��� ���� ���������� ,�������

0 2 4 6 8 10 124

4.2

4.4

4.6

4.8

5

5.2

5.4x 10

4

Number of iterations

Obj

ectiv

e fu

nctio

n

0 2 4 6 8 10 120

1

2

3

4

5

6

7

8

Iteration number

Num

ber

of in

feas

ible

dua

l var

iabl

es

" � ��H���,� �������� ����� �� ���������� ���� ,��������

" � ��� ���,� ���� ����� � �� ��� � � ���'� ������� � � �� � ��� 7����#

�������8 �� ����� � ,�� ��� ������

%". ����'�

?� �,� ��,�� � � ��������� ������$ �� �� � ��� � �������� �����#�� ������$ ��#

�� � �� ���,�� ����� �� ����� ������� �� ����9 �� � ��) ������ �� s#�������

����$ �������� ��,� ���� �� ��������

�%

Page 86: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

?� �,� ���� � �)�9 � � ������$�� ����� ������� �� * ��� � �� ����� �����

������� ��� �� ��������� �� � ������$ ��� � �������� �����#�� ������$ �� �� �

�� ����� �� ����� ������� �� )����

&���� �� � ������� ������ �������� �� * ��� �9 )� �,� ������� ���� ����#

���� �$������� ��������� � �� �� ���

�(

Page 87: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

� ���� �

����� �������������� �������

" �� � ��� �������� � ����� ������������ ������ 7�*.8 �� � ������ ���! ���

,���� u,v ∈ Rn9 ��� �

−M�+ � = 2, � � = (, �, � ≥ ( 7���8

) �� M ∈ Rn×n9 q ∈ Rn ��� uv = (u1v1, . . . , unvn) ∈ Rn�

6� �� � ���9 )� ����� � )���#'��)� ����#���� �� �� Q��R9 ���� s#�������

����$ �������� ����� 3�� �*. ���,�� �2��� � ���� ��������� ���� � ���� ���$�

A�� �� � ��� ����� ������� ���� �2���� �� ��5������� :�)�,�9 ��5������ �� �

���$ �� � � ��' 7�� ���������� ��� �� �� �� '��)�8 Q��R�

?� ������ �� ����� �� �� � �� ��� � )�� � � ��� �� )� �� ����� ���$

M 9 )� �� �,�� ��� ��������� ���� � ������� �� � ���$ 7��5������9 �����#

���9 �����,� ����������9 ��8 �� ��,����� 0,�� �� �� ����9 �� �� �� � �������

)� ��� �� � �����)�� ����� �� � ���� ����� �� ����! � ���,�� � �*. ������9 ���,��

�� ���� ������ � � �,�� � ������� � � ���� ���$ �� �� ��5����9 �� ������

��� ���� Q�-R�

6 �� )� �������� � �� �� � �� �� � ������� �� �� �� � �����#

���� �� �� Q�-R )� � ��� �� s#������� ��,� ����9 � �������� ���� �� �� ���

�����������

+� ����9 � �������� ���� �� � �� �� � ��,���� � �������,� ���� � +�'���

��� "���'�_� �*. ������ ���� �� )����

" � ����� �� �� � ��� �� ����� �� � ����� ������� �� Q��R9 �)�,�9 � �� ����

����� )�� ������� ���� � �6+A ��,� ���� 6� �� ����9 � ����� �� �� �

��������� �� ���� � �� ������ s#������� ��,� �����

��

Page 88: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

)"! 2'�������

" � ����� ������������ ������ �� ��� �� � ��� ������ ���� �� �� ������� ��#

����� � � �� � ����� �� ������� ����������� ��� � )��� �� � �� G �����,�� ��

��������� ��� �� �� ������� G ������� ��'� � �� ����,� ���� �� ����� �

" �� �� ��,��� ��S��� ��,� �� �� �� � ���,� �*. ������� )� ��S��� �������

" � ����#���� �� �� � �� ��� �� ��� ) �� )�� ��,������ ������������ G �� ��S���

���������� ������� G �� * �� Q�%R9 "���'� Q�-R ��� ?�� Q-�R� ����� ��9 � ����#

���� �� �� �� ������ � ����� �� �� �� �� � ��S�� �� � ����$ �������� ����

�''���`9 &��� ��� 6��<� Q�R ��,������ �� ����#���� �� �� � �� �*. �������

)� ������� ������� " �� ���� � ���� 7���#��#��#��8 ��� � ���� 7���#����#

�������#,������8 ��,� ����� 6 �� �� ������� 2������ ) �� �� � )���� ����� �� ������

�� ) �� � ����#���� �� �� � )� � ���,� �������� ����$ �������� ���� ��� ��

�$�����9 ����,�� ���������

" � ����� �� ��5���� ������ )�� �������� �� *���9 .�� ��� =��'���)��� Q��R�

��5���� ������ ��� �� ������� �� ������������ �� P ��� PSD ������� =F��� �

Q�(R � �)�� � � ����� �� ��5���� ������ �� � ���� �� � ����� �� P∗ ������9

�������� �� Q%�R �� ����� ���� �� ��� �� �*. �������� 6 )�� ��,�� �� ��� :�� 9

E��� ��� "���'� Q��R9 � � ��5���� ������ �� �$���� ��� ������ �� ) �� �

����#���� �� �� � )� � ������� ����$ ��,� �������� ��� ���,�� � �*. ������

)� ��� � # ��� ���� ,����

" �� � ��� ������ � ����������� �� � ����#���� �� �� � �� s#������� ��,�

���� � �*.� )� ��5���� �������

� �����9 �� �� �� '��)� �5���� �� �� � � ������ ) � � � ���$ �� ��5����

� ��� 7=F��� � Q��R ��,������ �� ������,� �� �� � � ��' ��5������9 �� � �� �� �

�� �� ����������8� 3�� �� �� �� ��,������ �� �*. ������� �� �� �,� � ���������

������,� ����� � �� ���� � � ���� ��������� � � ���$ �� ��5���� �

��������� ���� � � ��� �������� +�'���9 ����'� ��� "���� Q��R �,� � �� ���

�� �� �9 ����� �� � �*. ������ ���� �� +�'��� ��� "���'� Q��R ���� �� � ��� ��

0. �����9 � ��� �� �2��� � ���� ��������� �� � ��5������ �� � ���$� 6� �

�� �� � ����� ������ � )���� �� �� � �����9 � ��,���� � ���������� ���� �������

� � ���� ���$ �� �� ��5�����

��� �� �� � ���9 � �$������ �� � ��������� �� �� � �� ������� �� ��� �

)�� � �� ���� �� �� ����� ���$ M ��� � # ��� ���� q9 � �� � ���,�� � �*.

������9 � ��,���� � ���������� ���� ������� � � ���$ M �� �� ��5���� Q�-R�

" �� ����� ����,�� � ,���� �� � �� �� � �� ��������9 ������� � ��'�� � ����������

��

Page 89: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

� � )��� �� � �� �*. �������9 )� �� �2���� � ���� ��������� �� � �������

�� � ���$� 6�����9 � ����,�� ������ �� � ��,� ������� �������� ������� �

� ������� ����$ ��� �,�� � ���������� � �,��� ���������� ������� ��,��9 �� �

�$����� � ������� �������������

" � ���� �� �� ������� �� �� � ��,���� � �������,� ���� �� � �*. ������

���� �� � ��� � 0. ����

)$&$& 5�6����� �������

" � ���,������ �� � ����� ������������ ������� ��� � �5������ �� � �������

�� ��� ������ �� � ������� �� ���$ M � ?� ��,�� ���� ������� �� ��5����

������ ����)�

?� )��� ��� � �����)�� �� �����#��� ���������

� 3���� *$%$% ��� ���' M ∈ Rn×n ��� ����� J = {α1, . . . , αk} ⊆ {1, . . . , n} ��

�������! �� ���������� ��� ���' MJJ �� ������ � �������� ������$�

��)9 )� ����� � ���� � �������9 Q��R�

� 3���� *$%$' ��� ���' M ∈ 6En×n �� ������ ������ ��5���� �� �� x ∈ Rn �����

�'���! ��� ����� {xi (Mx)i ≤ 0 ��� ��� ������� i ∈ {1, . . . , n}xj (Mx)j < 0 ��� � ���� ��� ����' j ∈ {1, . . . , n} 7���8

��� �� ���� � �) ��5���� �� �� �������� �� ���� � ��*����" � ���' M �� ������

��5���� �� � �� ��� ���� � ��� ��� ��*���� � �� �� � � �"

6 ��� �� � �)� � ������ ��5���� ������ �� �$���� ���9 �� ) �� � �������

�� �� ����� ������������ ������� �� ���,�$ Q��R�

" � ����� �� ��5���� ������ )�� �������� �� *���9 .�� ��� =��'���)��� Q��R�

" �� �,� � �)� � ��� �� ������������ �� P ��� �����,� ���������� �������

" �� �,� ���� � �)� � ��5���� ������ �� ��������� ������ P0 �������

���9 ��� :�� 9 E��� ��� "���'� Q��R ��,�� � ��5���� ������ �� �$����

���9 �� ) �� � ����#���� �� �� � )� � ������� ����$ ��,� ��� ��� ���,� �����

������������ ������� �� ��� � # ��� ���� ,��� q9 �� � ���� ����� �� ��������

"� � �) ���� ������ ������� �� ��5���� ������9 )� )��� ���� � �������� ��

������� ��� ������� � ��� ������� ��� �������� � ,����9 Q��R!

�-

Page 90: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

� 3���� *$%$) 3� ���� � ����� x ∈ R2n ����� �� � �,���� ��

xixı ≤ 0 ��� ��� ������� i = 1, . . . , n

xixı < 0 ��� � ���� ��� ����' i ∈ {1, . . . , n} .

3� ���� � ����� x ∈ R2n ����� �� � ����,�� ��

xixı ≥ 0 ��� ��� ������� i = 1, . . . , n

xixı > 0 ��� � ���� ��� ����' i ∈ {1, . . . , n} .

�� �� ������� � ���������

V :={(u,v) ∈ R2n | [−M, I](u,v) = 0

}���

V ⊥ :={(x,y) ∈ R2n | [I,MT ](x,y) = 0

}.

A�,������9 V ��� V ⊥ �� � � ���� ����������� ��������� �� R2n.

� ��� *$%$% � ���' M ∈ Rn×n �� ��*���� �� ��� ��� �� �� ����� ���� ���������

����� �'��� �� V ��� �� ����� ���� ���������� ����� �'��� �� V ⊥! E1)F"

� ����� B �� � ����� ����� −Mu + v = q �� ������ �����������9 �� �� ��� ����$

i ∈ I �$���� ��� �� � ������� ���������� � ,������� vi ��� ui �� �� � ������ �

� � ��,� ������ �� ������ �����������9 �� � ���������� ����� �� ������������

" � ��$ ����� � �)� � �� � ����� �� � � ����������� ��,� ������$ �� �*.�

)� ��5���� ������� " �� ����� �� � ���� �� ������ ����� � )� ��� �� �

�� �� � �����

� ��� *$%$' 8����! #��� ��� <����������� E(CF9 $� M �� � ��*���� ���'! B �

�� ��� ���� ����� ��� M = [mij : i ∈ JB, j ∈ JN ] �� ������������� ���� ���� ������"

����

8�9 miı ≥ 0 ��� ��� i ∈ JB ������ ���

8�9 ��� ��� i ∈ JB! �� miı = 0 ��� mij = mjı = 0 �� mij · mjı < 0 ��� ��� j ∈ JB, j = i"

?� �,� � ������ � � ���� �� � ��,���� ����� �� �������,�9 �� �� � �,��

����� �� � ���$ �� ,������9 )� ��� ������ ����� � ������� ��� ������ M 9 �

M �� �� ��5����� " � ����� ���� �� �� ������� �� ������� �� � ���������� �� �

���� ��� �� ���$ M �

&� � ���������� �� M ∈ Rn×n9 )� ���� � ���$ P T MP 9 ) �� P �� � ��������

���$�

-�

Page 91: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

� ��� *$%$) E)1F $� M ∈ Rn×n �� � ��� 8���� �9 ��*���� ���'" ����

(" �� ��� ����� �� ���' M �� ��� 8���� �9 ��*����!

)" �� ������ DMD �� ��� 8���� �9 ��*����! ����� D ∈ Rn×n+ �� � ������� ��������

���'!

1" ���� ��������� ��� ���' �� M �� ��� 8���� �9 ��*����"

6 �� ���� � ��� � ���$ M �� ���� ��5���� ��� ��� ����� �� ����� ��������

��,��9 �� M �� ��5����� " � ����� �� ��5���� ������ �� ���� ������ ���� ��������

����' ��,� �������� Q��R9 ������9 �� ������� �� ����,�� ���� � ����#���� ���

�� �� ��9 ���

+� � ���$ M ∈ Rn×n ��� J ⊆ {1, . . . , n}9 �� MJJ �� ������ ���9 )� )��� ����� �

����' ��,� ������� ����� �� � J �� ηJ �

� ��� *$%$* $� MJJ �� � ����������� ��� ���' �� �� ��� 8���� �9 ��*���� ���'

M " ���� ���' M′= ηJ (M) �� ��� 8���� �9 ��*����! E)1F"

�� � ����� �� ��5���� ������ �� ������ ���� ���� � ������� �� ����' ��,��� �

" � �$� �� � ��,� �������� ����� �� �� � ����#���� �� �� � ������ ��� ���

���� �� ,��)�� �� � ����' ��,� ������� �� ���� 2 × 2�

)$&$! (�� ���������� ������ � ��� ����� ������������� ��,���

" � �������� ������9 ) � � �� ����� ����� ������������ ������ �� � �������

� ��9 �� �� NP, ��� �� ��)��� �� co#NP� +� ���� ���$ ������� � ����� � � co#NP9 Q�(R�

" � ����� �� ��5���� ������ �� ��� � ������ �� �� ������� 7���8 � ���!

(u,v) ∈ V (M,q) := {(u,v) : −Mu + v = q}uv = 0, u, v ≥ 0

(P − LCP )

6� � ��� �� ����������9 � ������� ����� 2������ �� ) � � �� �� ��� �

������ ������ �� � ���� ���� ��� ) �� �� � �������9 �$���� ) �� ������ (P −LCP ) �� �� ��������

+�'��� ��� "���'� Q��R ���)��� �� 2������ �� � ,�� ����� ��� �� ���������#

��� ������� �� ������ �������

+����)�� � ������ �� +�'��� ��� "���'�9 )� ����� � ������ (D − LCP )

(x,y) ∈ V (M,q)⊥ :={(x,y) : x + MTy = 0, qTy = −1

}xy = 0, x, y ≥ 0

(D − LCP )

-�

Page 92: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

" � ��$ ���� ����� �� ������ ��� �� � �������� �� �*. �������� 6� ��

������9 ���� � �'�� �� � ���� �� �������9 � ) ��� ���� ������� �� � ��������

�� � ����#���� �� �� � ) �� �� ��,�� �� ��������� ������

"� � ������� � ���������� �� ����� ������������ �������9 )� ��� ������� �

���� �� +�'��� ��� "���'� �� �����)�!�

�� �� � *$%$% ��� � ��*���� ���' M ∈ Rn×n ��� � ����� q ∈ Rn! �'��� ��� �� ��

��������� ��� ��� �����.

8(9 �� 8#�$�#9 ������ ��� � �������� �� ��� ���� ������� (u,v)!

8)9 �� 8-�$�#9 ������ ��� � �������� �� ��� ���� ������� (x,y)"

4����$ �� �� ������� � �� �� �� ��� �� ���,��9 ��� �� (u,v) �� � ������� ��

(P − LCP ) ��� (x,y) �� � ������� �� (D − LCP ). " �� ��� � ��������

−Mu + v = q,

��� �'�� � ��� ���$ ����� )� yT 9 )� �

−yT Mu + yTv = yTq = −1.

4��� � �� �������� �� � (D −LCP ) ������ ��� � ����� ��,�� �� �� ,�������9

)� �,� � ������

0 ≤ xTu + yTv = −1,

) �� �� � �����������

?� ��,� � ��� �� � ������� (P − LCP ) ��� (D − LCP ) �� ��������� "� �� ��9

)� ��� � ����#���� �� �� � )� s#������� ��,� ���� ) �� � �������� �� �

�� �� � )��� ������� � ���� �� � ������,� ����� �

" �� ���� ����� � � ��� �� )���#� �������� ) �� ������ (P−LCP ) �� �� ��������

����������� ������� �� � ���$ M �� ��5���� ��� ������9 ������� � ���������� ����

������� ��� �� �,��9 ������ � ������� �� � ������ (D − LCP )�

�%�&��� ��� '���&� ((# ���� ���� ����� �� � ������� ������ ��� �� ����& ���� ��� ��� �������� �

����� �������� ��� ������� � � ��������

-�

Page 93: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

)"# ��� 3���+3��� ������

�� �� ����� )� I := {1, 2, ..., N, 1, 2, ..., N}∪{q} � �� �� � �������9 ) �� N = n+m

��� |I| = 2 N + 1� "� �������� � ������9 �� ��� α ∈ I �� α �� �� �����������

,������@� ����$9 ��� �� α = α �� ��� α ∈ I \ {q}9 �� � ����������� ��� �� α �� α�

" � ������ ����������� ������� �� � ����� ������������ ������ 7���8 �� u = 0

��� v = q� �� � ���$ �� � � � ��,� ������ �� ������ �� T �� ������

A� ��� �� � ����� � �������� ����������� ������� ��� �� ������ �������9 ����

��,� ��������� ������ ������ ��� ������ ����� � � ��5������ �� � ���$ ��

����,�� ���� � �� �� �� 3���,�9 )� ���� ��'� ��� ��,� �������� � ����,�

������������9 ��� "� �� ��9 )� ���� � ���� � ������ �� s#������� ��,� ����

�� �*. ��������

� 3���� *$'$% �� s� ������ ���� ���� ������� � �� $�# ������ �� � ����! ��

s(i) = s(ı) ����� ����� ��� �� i ∈ I"

6� � ����#���� �� �� � ������� ����)9 )� ����� ������� s#������� ��,� �����

?� �$����� � ��,� �������� 7��� ���� ��� �$� �� � ��,�8 ��� � ��� �� � �����

,��� s ) �� )� ������� � �� �� �� " � ����������� ,������ ���� (ul, vl) )���

������� �� ����� � ������ �� ,������ �����

�� �� ������ � vj �� � ����� ,������ ��� � ,���� �� ,������ vj �� ����������� 6�

tjj < 09 )� ��� ����� � �������� ���� ) �� ,������ uj ���� � ����� ) ��� ,������

vj ���,�� ��

6� tjj = 09 )� �,� � ��,� �� ��� �� ����$ k �� ) �� tjk < 0� " � ������� �������

��� � ��,� ��'� �� �� �� ����������� ��� ���9 �� � ���� � ������������ ��

� �������9 )� �,� � ��,� �� � ������� (k, j) �� )���� ����� ������ ������ � ��

��� � ���� tkj > 0� " ��� )� ��,�� � � � �� ������ �� �'������ �����

1��� �� �$� �� � ��,�9 ,������� uj ��� uk ��� � �����9 ) ��� vj ��� vk ���,� �

7��� � � �� �� �$� �� � ��,�8� ?� ��� � uj ��� vj �� � ���� ������9 ) ��� uk ���

vk �� � ���� ��������� " ��9 � ��� �����,��� ��� ���,��� ��� � � ��� �� ) ��

� ������� �� �������� " � )� ���� �� ��,� �������� �� ������� �� +� �� ����

6� ���� �� �� �$� �� � ��,�9 � ,��� s �� � s#������� ��,� ��� �� ������ � �

�����,��� ������� ��� �� ,������� ��9 ��� ���� �� �� � ���,��� ������� ���9 ��

� ������ �� ,��� s �� ���� ���������� " �� )��9 ��� � s ,��� ���� �� ,��)9

�� �$� �� � ��,� �� ��������� �� )� ��,��� " �� ��� )��� ���� �� ������ ��� �� �

�������� �����

" � ������#���� �� � ����#���� ��� �� �� � �� ������� �� +� �� ����

-�

Page 94: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

uj

���

vj . . . − . . . −���

1�� ���� ��,�

uk uj

���

vk +���

vj . . . − . . . 0 . . . −���

0$� �� � ��,�

+� �� ���! 1�� ���� ��� �$� �� � ��,��

(���������� ���� � ����� ���� ������� s�������� ��&�� ���

������ ������ �9�;�� !���� M �� �> ���� T := −M � q := q� r := 1�

�� ��

J := {i ∈ I : qi < 0} .

���� (J = ∅) ��Jmax := {j ∈ J : s(j) ≥ s(α), ��� ��� α ∈ J } , �� k ∈ Jmax �������� ������

�� (tkk < 0) ����

(������� ���� �� tkk� ���� �� �� s ��� �������� ���� (uk, vk)� �� r := r + 1�

���

K := {i ∈ I : tki < 0}�� (K = ∅) ���� '���� "�� �*� ������ ��� �� �������� �������

���

Kmax = {β ∈ K : s(β) ≥ s(α), ��� ��� α ∈ K} , �� l ∈ Kmax ���������

/� ����� ���� �� tkl ��� tlk�

'���� �� �� s ��� �������� ���� (ul, vl) �� �� ������� r + 1�

��� ��� �������� ���� (uk, vk) �� �� ������� r + 2 ��� �� r := r + 2�

�����

�����

�������

'���� . �������� � ��� ����� ������ ��� ���� � ����

���

+� �� ���! " � ����#���� ��� �� �� ��

-�

Page 95: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

" � �� �� � ��� ��� � �,��� ����������� ������� ��� ������� � ���� ��'��

��� ���� ��� �$� �� � ��,��9 � ����,�� ������������� " � ��5������ �� ���$ T

������ � 7����� �����8 � �� � �� � � ���� ��,� ������� )��� �� �� ������9 �� )�

�,� � �� �� �$� �� � ��,�� " � �� �� � ������� ���� �� �� �� �� ������� � ��

� �� ����� � �������� " ��9 )� �,� � ��,� � � �� � ���� &������ � ����� ��

�������� ����� �� ����9 )� �,� � � �) � � ����#���� ��� �� �� � )� s#�������

��,� ��� ���� �� �����

0 ... ...

?

��������

�������

��

��

l

k

�� �������

���

��� ��

�$� �� ���,� ��������

k

k− −

− k

k

l

�"�E"

�"A.

���

��������a

��� ������,� ��������a

�"A.

�����������������

��

�����������������

+� �� ���! +��) � � �� � �� �� ��

)$!$& ������ ������� ��,����+ � ��� ����-���� ������

�� �� ������ � �� �$����� �$��� �� ) �� � �� �� � �� �� ����� " � ����� ��

����� �� ����9 � ���

(2n

n

)9 �� � �� �� � ��'�� �� ������ ����� �� ������� ���� ��

-%

Page 96: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

ul

(a) ⊕⊕������

⊕⊕

vl − −

uj ul

(b) ⊕vj + ⊕

������

⊕⊕

vl − 0 −

+� �� ���! =������ ul �� ���,��� ������� � ��� � ������

������ ������ �� �� ������� � ������� ���� ������ �$������ 6� ��� �� �$�����9 �������

�� ���������9 �,�� ,������ ��,�� ���� � ������

�� �� ������� � ������� �������� �� � ������ ������ �� s#���������� ���

)� ,������ ul ������ � ������ *������ ����� B′ ) �� ,������ ul ���� � ����� ��

� �� ��� ��� �� ������� ������� ����� ul ��� vl �,� � ������� ,���� �������

� ,��� s ��� � ������ �� � ���9 vl �� � ���� ���������� ,������ �� ����� B′� " �

� � ��,� ������$ 7������� �� +� ��� ��� ��� ��%8 �� �� ���� ��� �� �� �����)�!

%$ " � �� �� � � ����� ul � ��� � ������

" � ��� ���� ������ tll < 0, �� � ��� ���� ��,� �� �������� Q������ (a)R! ul ����

� �����9 ) ��� vl ���,�� �� " � ,��� s �� ������� ����������� �� ,������ ���

(ul, vl)�

'$ " � �� �� � � ����� ,������ ul � ��� � �����9 �� tll = 09 �� �� �$� �� � ��,�

�� �������� Q������ (b)R� =������� ul ��� uj ��� � �����9 ) ��� ,������� vl ���

vj ���,� �� " � ,��� s �� ������� �����������9 �� �� ,������ ��� (uj, vj) ���

�� �� ,������ ��� (ul, vl) �� �� �� � ��$ �������

" � ������ �� q �� � ���� �� �� ������ 7�8� 6� �� ����9 � �� �� ������ ) � �

uj � vj �� �� � ������ ?� ������� � ���� ) �� vj �� �� � ������

)$ " � �� �� � � ����� � ,������ uj � ��� � �����9 �� tjj = 09 �� �� �$� �� �

��,� �� ������ ��� � �� �� � � ����� � ,������ ul �� )��� 7�����,���89 Q������

(c)R�

������� � � ������� ) �� ul ���� � �����9 � �) �� vj ���� �� � �������

�� ul ��� q ��� ������ �� ��,� �������9 ��� ������� tjj = 09 ���� ����� �����9

-(

Page 97: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

ul uj

(c) ����

�vl ^

����

�vj ⊕ · · · ⊕ − ⊕ · · · ⊕ � −

+� �� ��%! =������ ul �� �����,��� ������� �� � � ������ ��,� ������� �� �� �$� �� � ��,�

� ��� � ������

)� ��� ���� ��� �� � �� � ����� �� � ������ �� uj� 6� �� ����9 � �� ���� � ���

�� ������ ) � � uj � vj �� �� � ������ ?� ������� � ���� ) �� vj �� �� �

������ " � ,��� s �� ������� ����������� �� �� ,������ ��� (ul, vl) ��� ��

�� ,������ ��� (uj, vj) �� �� �� � ��$ �������

+� ��� ���9 )� ��� � �� ����� 1. ��� 2. )� ���� ���� � ��,� ��� ) �� )� �����

�� � �� � �����9 ) ��� )� ���� � ��5������ �� � ���$ �� � �� ���� �� �

������ �� uj.

��) )� ������� ����� B′′9 ) �� ul ���,�� � ����� �� � �� ��� ��� ����� B′� " �

��,� ������ �� �� ������ ��� �,� �� ��S��� ������ 7�� ������� �� +� ���

��( ��� ���89 ������� � � �� ������ �� s#�����������

�$ ������� � � ��,� ���9 )� � ���� ,������ ul � ���,� � �����9 tll < 0, �� �

��� ���� ��,� �'�� ����� Q������ (A)R�

1$ " � ��,� ��� � ����� ,������ ul � ���,� � �����9 �� tll = 09 �� �� �$� �� � ��,�

�� ������! vk 7� uk8 ���� � �����9 ) ��� uk 7� vk8 ���,�� � Q������ (B)R�

:$ " � �� �� � � ����� ,������ uk 7� vk89 �� tkk = 09 �� �� �$� �� � ��,� �'��

����� ��� vl ���� � �����9 ) ��� uk ���,�� � Q������ (C)R�

&���)9 )� � �) � ���� �� � ������$ (a)−(c) ��� �� �����)�� �� ��� �� � ������$

(A)− (C) �� ���$ M �� ��5����� 6 )��� �� ������ � ��� ) �� � ��5������ �� �

���$ �� �����

-�

Page 98: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

vl

7�8 ⊕���

⊕−���

−ul − −

vk vl

7&8

uk +

ul − 0 −

+� �� ��(! =������ ul �� ���,��� ������� � ���,� � ������

vl vk

7*8

ul +

uk − 0 −

+� �� ���! =������ ul �� �����,��� ������� �� � ������ ��,� ������� �� �� �$� �� � ��,�

� ���,� � ������

��;������ � ����

+��9 )� ������� � ����� � �� �� ��� � ��5������ �� ���$ M � ?� �� �� �� � �)��

� ������ (c) ����� �� �����)�� �� ������$ (A) � (B)�

� ��� *$'$% $� �� ����� �� ������ �� ���� (c) � TB′ ��� �� ������ �� A 8�� B9 �

TB′′" �������� �� ������ t′(j) ��� t′′q ! ���� ��� �� ��� �� �� ����� �������� vj �� ������

TB′! ��� ��� �� ���� � �� q �� TB′′" ����

(t′(j))T t′′q > 0.

4����$ �� K′′ := { i ∈ IB′′ : q′′i < 0 }� 4��� � �� ������ �� s#������� ��,� ����9

,������� ����� � ��� ������� 7)� � �������� �$������ �� ����$ j ��� l8 �,� ��

��,�� ����� B′9 � ���� �� s ,���� )���� �,� � �� �� � �� �� ul9 �� � �� �� �

)���� �,� � ���� ��� ��� K′′ ������ �� ul9 �� K′′ ⊆ IB′ ∩IB′′ � " �� �������� � t′ji

= 0

-�

Page 99: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

�� ��� ������� i ∈ K′′ \ {j, l}9 �� ∑i∈J ′′\{j,l}

t′jit′′iq = 0. 7���8

����� � � �$� �� � ��,� ���� �� B′9 � s ,���� )�� �� ������ �� ,������ ���

(ul, vl) ��� ���� �� � ��$ ��,� �� (uj, vj)9 )� ���� '��) ��� s#���������� � t′′jq ���

t′′jq

�� ����� ��,� 7��� �� ������ � �����9 ��� ����� �� �,� ��,�� ����� B′9 �� s

,���� �� �� � �� �� ul8�

+� ����9 � ��� �� ��� ��� ������ (c) � t′jj = 0, t′jj = 1, t′jl

= 0, t′jl < 0 ���

t′jq < 0 ��

t′jj t′′jq + t′jjt′′jq + t′jlt

′′lq + tjl t

′′lq + t′jq t′′qq ≥ t′jlt

′′lq − t′jq > 0, 7���8

������� t′′qq = −1 �� ��������9 ��� t′′lq < 0 ������� � � ��,� ��� �� � �� �� �

7������$ (A) ��� (B)8�

6� h /∈ K′′ ∪ {j, j, l, l, q}9 )� '��) � ��� ��� � ������$ � t′jh ≥ 0 ��� �� �

�������� �� K′′ � ���� � t′′hq ≥ 09 ��∑h�∈K′′∪{j,j,l,l,q}

t′jh t′′hq ≥ 0. 7��%8

" � ���� �����)� �� )� ��� �� ���2������� 7���8#7��%8�

+�� ������ (c) )� ��������� � ����� �� � �) �� ,������ vj, ) ��� ���

������$ (A) ��� (B) � ����� �� � ������ �� q� 6� ���� �� ��� ����� ��� )� ���

� ��5������ �� � ���$9 ��� � ����� ���� ���� � ����������� ���� �� � s#

������� ��,� ����� " �� ������$ (c) ��� (A) 7� (B)8 �� �$�����,� ������� �� �

� � ������ ���� ��� � ����� ���,�9 � ������ �� � ��5������ �� � ���$�

?� ��) ��,� � ������$ (a) ��� (b) ����� �� �����)�� �� ������ (C)�

� ��� *$'$' $� �� ����� ������ (a) 8�� (b)9 � TB′ ��� ������ (C) � TB′′" ��������

�� ������ t′q ��� t′′(k) ��������� � �� ���� � �� q �� ������ MB′! ��� � �� ��� �� uk ��

������ MB′′" ����

(t′′(k))T t′q > 0.

4����$ ��'� �� � ��,���� �����9 K′′k := {i ∈ IN ′′ : t′′ki < 0} ⊂ IN ′ ���� ������� �� �

�� ������ �� s#����������9 �� t′iq = 0 �� �,�� i ∈ K′′k \ {l}9 ��∑

i∈K′′k\{l}

t′′ki t′iq = 0. 7��(8

--

Page 100: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

+� ����9 �� �� ����$ h /∈ K′′l ∪ {j, j, l, l, q}9 t′′kh ≥ 0 ��� t′hq ≥ 09 �����∑

j �∈K′′l ∪{j,j,l,l,q}

t′′kjt′jq ≥ 0. 7���8

+�� ������$ TB′ ��� TB′′ � ��� �� ��� � t′qq = −1, t′′kk = 1, t′′kk

= t′′kl = t′lq = 0 ���

t′′kl

< 0, t′′kq < 0, t′lq

< 0, t′kq

≥ 0 ��� t′kq ≥ 0 ��

t′′kkt′kq + t′′kk t′kq + t′′kl t

′lq + t′′klt

′lq + t′′kq t′qq = t′kq + t′′kl t

′lq − t′′kq ≥ t′′klt

′lq − t′′kq > 0.

" � ���� �����)� �� )� ��� �� ���2������� (4.6) − (4.8)�

?� ��� ��) ������� ������$ ) �� � ��5������ �� � ���$ ����� �� ������

����

6� � �����)�� 9 )� � �) � ������$ (a) 7� (b)8 ����� �� �����)�� �� ������$ (A)

� (B)�

� ��� *$'$) $� �� �� ��� ���� �������� (u′,v′) ��� (u′′,v′′)! ��������� � ������'

(a) 8�� (b)9 ��� (A) 8�� (B)9 �� �����" ����

(u′ − u′′) M (u′ − u′′) < 0.

4����$ ?� ��,� ��� ��� ����� ��������������

(u′ − u′′) M (u′ − u′′) = (u′ − u′′) (q + M u′ − q − M u′′) = (u′ − u′′) (v′ − v′′)

= u′ v′ − u′ v′′ − u′′ v′ + u′′ v′′ = −u′ v′′ − u′′ v′,

) �� � ��� �2����� ���� ������� �� � ������������ �� � �,�� ��������� ��

K′′ := { i ∈ IB′′ : q′′i < 0 }. �� �����9 ������� � s#����������9 ,������� ����$�� �� K′′

�,� �� ��,�� ����� ����� B′9 � ���� � �� �� � )���� �,� � ���� ��� ��� ��9 ��

�� ��� i ∈ K′′\ {l}9 � ,���� �� u′i 7� v′′

i ) ��� u′′i 7� v′

i8 �� ���!

u′i v′′

i + u′′i v′

i = 0. 7���8

+�� ������ (a) 7� (b)8, ��� ������ (A) 7� (B)89 � ��� �� ��� � u′l = 0, v′

l < 0 ���

u′′l < 0, v′′

l = 0 ��9

u′l v′′

l + u′′l v′

l > 0. 7��-8

+� ����9 �� ��� h /∈ K′′ � ���� � u′h, v

′h, u

′′h, v

′′h ≥ 09 ��

u′h v′′

h + u′′h v′

h ≥ 0. 7����8

���

Page 101: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

"� ��� � ��9 � ,��� (u′ − u′′) �� ��� � (u′ − u′′) M (u′ − u′′) < 0.

���9 � � ���� �� �������,� ������� � ,��� u′ − u′′ ��,�� � ���' �� ��5#

������ �� �� ���$ ��� ������ �� ������� ��� � ����� B′ ��� B′′�

6� � ��� ��$����� �����9 )� )��� ��,��� �� � ���� ) �� ������ (c) )���� ��

�����)�� �� ������ (C)�

� ��� *$'$* $� �� ����� ������ (c) � TB′! ��� ������ (C) � TB′′" �������� ��

������ t′j ��� t′′(k) ��������� � �� ���� � �� uj �� ������ TB′ ��� � �� ��� �� uk ��

������ TB′′" ����

(t′′(k))T t′j < 0.

4����$ �� K′′k = {i ∈ IN ′′ : t′′ki < 0}\ {j}� 4��� � �� ������ �� s#������� ��,�

���� � ���9 � ,������� �� � ������� K′′k �,� �� ��,�� ����� B′9 �� (IN ′′ \ K′′

k) ⊂ IB′

��� K′′k ⊂ IN ′ 9 �� t′ij = 0 �� i ∈ K′′

k� &���� �� ��� ����,�����9 )� �,�∑i∈K′′

k∪{q}t′′ki t

′ij = 0. 7����8

+� ����9 �� h /∈ K′′k ∪{q, l, l, j, j, k, k

} �� t′hj ≤ 0 ������� � ������ (c)� &� �

�������� �� K′′k, t′′kh ≥ 09 �� ∑

h�∈K′′k∪{q,l,l,j,j,k,k}

t′′kh t′hj ≤ 0, 7����8

+�� ������$ TB′ ��� TB′′ 9 �'�� � �������� �� ,��� t ��� �����������9 )� � �

t′lj = t′′kk = t′jj = t′qj = t′′kl = 0, t′′kk = 1, t′jj = −1 ��� t′kj ≤ 0, t′′kl < 0, t′lj > 0

��

t′′kq t′qj + t′′kl t′lj + t′′kl t

′lj + t′′kj t′jj + t′′kj t′jj + t′′kkt

′kj + t′′kk t′kj < −t′′kj. 7����8

&� � �������� �� � �� �� �9 � � �$� �� � ��,� �� ������ c9 � �� ,������

��� �� ) �� � ����� �� � s ,��� �� ������� �� (ul, vl)9 ��� ���� ��� �� (uj, vj)� :����

,������ (uj, vj) �� ������ ��������� � �� ��,�� ����� B′9 �� �� � �� ������ ��

s#������� ��,� ���� �� s ,���� �� �� � �� �� ����$ l� " �� �� ���� �������� �� t′′kj ≥ 0

�� � ������� �� �� �����9 � ������� �� �� ��������� s ,�����

" � ���� �����)� �� )� ��� �� ���2������� (4.11) − (4.13)�

���

Page 102: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

(a) (b) (c)

(A) ∗ ∗(B) ∗ ∗(C) ∗

+� �� ���! " � ����� ) �� ��5������ �� � ��,� ���$ �� �����

)$!$! 3��������� � ��� ����-���� ������

6� �� ������9 )� ��,� � �������� �� � ����#���� �� �� �9 ��'�� � ���� ��

" ���� ����� ��������

�� �� � *$'$% ��� ����������� �� ������� ��� s� ������ ���� ���� �� &��� ��� ��

������ �� ��� ����� ������ ��� ��*���� ������"

4����$ �� �� ������ � �����9 � � �� �� � �� �� ����� &������ � �����

������������ ������ �� ������ ���� ��S��� �����9 � �� �� � ��� �,� �� ������

����� �� ������� ���� �� � �� ������ � " �� )� �,� � ������ �$������ �� �� � ����

��� � ������ �$������ ��� )� � ������� ����� " ��9 �,�� ,������ ��,�� ���� �

������ "�'�� � ��$����� ������ ��� �����������9 ��� ,������ ul ���� � ����� ���

����� B′9 � ����� ���,� � � ���!

6� � ���� �� ���� (a) � (b) ��� ���,�� � ����� �� ���� (A) � (B)9 ����� ������

�������� � ��5������ �� ���$ M �

6� � ���� �� ���� (c) ��� ���,�� � ����� �� ���� (A) � (B), ����� ������ ��������

� � � ������ �����

6� � ���� �� ���� (c) ��� ���,�� � ����� �� ���� (C)9 ����� ������ �������� �

� � ������ �����

6� � ���� �� ���� (a) � (b) ��� ���,�� � ����� �� ���� (C), ����� ������ ��������

� � � ������ �����

��� �������� ����� ���� � � ����������9 ����� � �� �� � �� ����� �

" � �����)�� � �)� � ����� �� ) �� )� ��' � ��5������ �� ���$ T ��� ������#

����� ���� � ���� �� �������� �� � ����#���� ��� �� �� ��

�;��!� *$'$% �� �� ������ �� ����������� ����! �������� �� ��������� ���' ���

�� ������������� ���� ���� ������ �� �� $�# ������ ! ����� �� ����� ���' ������

�������� � v ������ �� �� ������ �� ��� ���� �����"

���

Page 103: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

u1 u2 u3

v1 �� ( ( �2

v2 : : �( �)

v3 ( ( �( (

������� ("

v1 u2 u3

u1 �:"; �:"; �:"; )

v2 : : �� �)

v3 :"; ("; �:"; �(

������� )"

3� ����� �� $�# ��� �� ����������� ���� ����� �� ��7 ����" ���� � �������� ���

�� �'������ ����! �� ������ ���� �� ��������"

v1 u2 v2

u1 �:"; �:"; �:"; 1

u3 : : �( )

v3 :"; ��� �:"; :

������� 1"

v1 v3 v2

u1 �(G1 (G1 �)G1 1

u3 : : �( )

u2 (G1 )G1 �(G1 :

������� 2"

��� ����� �� ��� ���� ������� �� (u,v) = ((0, 0, 2), (3, 0, 0))"

/������! ��� �'� ��� �� ������� �� �� ����������� ������� � ����� � $�# �����

�� ���� �� �� ���' �� �� ��*����" �� ���� �� M �� �� ��*����! �������� �� �����

x = (1,−1,−1)" ��� ��� �����

x · (Mx) = (−4,−1,−1),

��� x �� � ����� ���� ��������� �����" ���� ������ �� M �� �� ��*����"

)"% 4� ������� '�� ��� ����' ���������'��� �����

��) )� �������� � �� �� � �� � ����� �� 0. ������ �� 0. ���� �� �������

� ��������� �� ��,��� �������� �������9 �� ��� ) �� ��� ��)��� ����9 ��� �� ���

������ ����9 �� � ���������� ���� 7�� � ��� �� � ���� ���8 ������� ���

�$��� 6 ��� ���� �� ,��)�� �� � ����� ����)�' �� ��'�� ��������� ��,���� ������

A���,�9 � � +�'�� ����� ��� � ��� ������ ���� �� * ��� � )�� 0.#

��� �����9 ����� ��� �� � ���� ��� �� �� �������� ������� �� �� �,�� ����9 ���

�� ������ � ���������� ����� ��� ��,� �� � ������� �� ���������� �����

?� ����� �$��� � )� )��� �� ���� � ���,� �,�� ����� ������������ ������

)� �� ����� ���$ ���� � ����#���� ��� �� ��� 6� �� ��������� ����#����

��� �� �� � )�� �� ���� � ���,� � ����� ������������ ������9 � )���� �,� �

������� � � ���$ �� � ������ �� �� ��5�����

" � ���������� �� �� ����#���� ��� �� �� � �� ����� �� � ��� ��,������ ��

*����� ��� 0������ Q��R� " �� �������� � �� ������ �#H����� ��

���

Page 104: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

" � ����� ��� �� �� 0. 70$��������� .��������� ���8 ���� �� �� �����)�!

[∀x : F1(x) � F2(x) � . . . � Fk(x)]

) �� Fi(x) �� � ������ �� � ���

Fi(x) = [∃yi �� ) �� ‖yi‖ ≤ ‖x‖ni ��� fi(x,yi)] .

?� �������� � ����#���� ��� �� �� � �� ����� ����� ������������ �������

:�� ni ∈ Z+9 ‖z‖ ������ � ����� ���� �� z9 ) ��� f(x,y) �� � ������� �� ) �� ��

�� � ����������#��� �� �� ��

&���� ��������� � ������ ���� �� � ����� ������������ ������ �� 0.

���9 )� ���� � ��� ���� ��������� ��� ������

?� ���� � ������ �� ,��� x � �� {i | xi = 0}� +�� � �,�� �� �� ,����9 � ,���

)� � ������� ����� �� ������ � �������

?� )��� ��� � ������ ������������ �� � ,���9 Q��R�

� 3���� *$)$% $� V ⊆ Rn �� �� ������� ������ �������� ��� x,x1, . . . ,xk ������ ���

�������� V " 3� �� �� ����� x �� �������� ���������� ��� ������ x1, . . . ,xk! ��

x = x1 + · · · + xk ���

xi = 0 =⇒ x1i = · · · = xk

i = 0!

xi > 0 =⇒ x1i , . . . , x

ki ≥ 0!

xi < 0 =⇒ x1i , . . . , x

ki ≤ 0 ��� ��� ������� i = 1, . . . , n"

+� � ����� ��������9 � �����)�� ���� Q��R�

� ��� *$)$% $� V �� � ������ �������� �� Rn" �� ��� ����! �� x ∈ V ��� ������ � ��

���� ����� ��� ������� c1, . . . , ck �� V "

?� � ����� ���,�9 )� ��� � �) � � ������� �� ��� ��5������ ��� �� �,��

���� � ����� � � ��� �� )� ������9 Q��R�

� ��� *$)$' �� M �� �� ���� � 8���9 ��*����! ��� � ����� ���� ��������� 8����������9

������ �� �������� V 8V ⊥9 �'��� �� � ����� ���� ��������� 8����������9 ����� x �� ��������

V 8y �� V ⊥9 �'���! �� ��� �� ���� ����� ��� �� �� �� �� �� ��� ���� �������"

�� �� � *$)$% $� �� ���' M ∈ 6En×n �� �� ��*����" �� ��� ����! � ����&��� �'���

�� M �� �� ��*����! �� ������ ��5� �� ����� �� ����� ���� ������� � �� ���� �����

�� ���' M E1)F"

���

Page 105: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

?� )�� � ��� � ������ ���� �� ����� ������������ ������� �� 0. ����

"� �� ��9 �� )� �,� � ��� � �� ��� � )��9 � � ��5������ �� � ���$ �� ��

��� � � �������� �� � �����

�� �� � *$)$' ��� �� ���' M ∈ Qn×n ��� ����� q ∈ Qn! � ���� ��� �� �� ���������

�����.

8(9 �� ������ 8#�$�#9 ��� � �� ��� ����! �������� ������� (u,v)"

8)9 �� ������ 8-�$�#9 ��� � �� ��� ����! �������� ������� (x,y)"

819 �� ���' M �� �� ��*����"

" � ���� �� �� �� �� 0. ��� ��� ? �� 7�8 � 7�8 ����9 � ������� ����� ��

���������� ������ 6� ���� 7�89 )� �,� � � �) � �� �� � ���������� ���� �������9

� ���$ M �� �� ��5�����

��)9 )� ��� ��� � �*. ������ ���� �� � 0. ���9 Q��R�

�� �� � *$)$) ��� �� ���' M ∈ Qn×n ��� ����� q ∈ Qn! � ���� ��� �� �� ���������

��� ��� �����.

8(9 ������ 8#�$�#9 ��� � �� ��� ����! �������� ������� (u,v) �� �������� ��5� ��

����� �� ����� ���� ������� � �� ���� ����� �� ���' M ��� ����� q"

8)9 ������ 8-�$�#9 ��� � �� ��� ����! �������� ������� (x,y) �� �������� ��5� ��

����� �� ����� ���� ������� � �� ���� ����� �� ���' M ��� ����� q"

819 ���' M �� �� ��*����! ��� ���� �� � ����&��� �� �������� ��5� �� ����� ��

����� ���� ������� � �� ���� ����� �� ���' M "

��� � ����� 7�8 ��� 7�8 �� �$�����,�9 ) ��� ���� 7�8 ��� ��� ����� � � � � )�

�� � ���� 7�8 � 7�8� 3���,�9 � �� � ������� ����� �������� � � ����� �� �

���$ � ���� �� ������ �������

"� ��,� � ����9 )� �,� � ������ �� �� �� � ��� ��,� �� ���������

?� ������ �� �� �� � �� � � �� � ���,�� ������ (P − LCP ) � �� ����9 �

��,�� � ���' �� ��5������ �� � ���� ���$�9 �,�� � ���������� ���� ��������

����� ����� ������ � � ��,� �������� ��� ��)��� �� ���� �� �� ���$ ��

��5����9 ��� �� � �� ��9 � ��,���� � �2���� ������� � ���$ M �� �� ��5�����

�'��� �� � &� �� �������� � ��� ���� ��� ���� � ����& ��� ��������� � � �����

��%

Page 106: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

%�� ���)�� ����������� ���� � �����

������ T = −M, q = q� r = 1, ��������� Q�

�� ��

���� ((J := {i ∈ I : qi < 0}) = ∅) ��Jmax := {β ∈ J : s(β) ≥ s(α)� ��� ��� α ∈ J }��� k ∈ Jmax �� ���������

*�� # −u′ · v′′ − u′′ · v′′ !�� �� ���� �� Q(k)�

�� �−u′ · v′′ − u′′ · v′′ � 0� ����

'���� M �� �� �> ���� ���� ��� u′ − u′′�

�����

�� (tkk < 0) ����

(������� ���� �� tkk� ���� s�

Q(k) = [JB, tq]� r := r + 1�

����� (tkk > 0)

'���� M �� �� �> ���� ���� ���� ���

��� ?@ tkk = 0 @?

K := {α ∈ I : tkα < 0}�� (K = ∅) ����

'���� (�*� �������

���

Kmax = {β ∈ K : s(β) ≥ s(α)� ��� ��� α ∈ K}��� l ∈ Kmax �� ���������

�� ��tk� tk� �� �tl�tl� ���� �� �� �� �������� ����

'���� M �� �� �> ���� ���� ���� ���

�����

/� ����� ���� �� tkl ��� tlk� ���� s ��� ��� (uk, vk)�

��� ��� (ul, vl) �� �� � ��� ��������

Q(k) = [JB, tq]� Q(l) = [∅,0]� r := r + 2�

�����

�����

�������

'���� !� ���� � � ��� ����� �������� �������

���

+� �� ��-! " � ������� ����#���� ��� �� �� ��

��(

Page 107: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

?� ��) �,� � ���� )� � ���� �� ������ �

������ ������= ���9 � ��������� �� � ������ �$����� �� �� �������� ��

� ���� �� �������� �� � �� ���� �� �� �� 0,�� ���� ������ ,���� �� ��� ������

�$�����9 ����� ��� ,������� � �� �� ��,� ���� � ����� �� �� � �� � �� �����

����9 �� �,� � ��� ,���� �� � � � ������ �����

�� �� ������� �� ����� ������ �$������ �� � ����$ �� �� � ,������� ��,��,��

�� � ������ �� R, ��� ������� �� ������9 ) �� ������ �� ������ �� ��� �� � �����

B′ ��� � �� ������� � ������ ������ �� s#���������� )� ,������ xl�

" �� � ����� �� ������$ MB′ ��� MB′′ ������ � ������� R ��� ,��� q ��

�$���� ��'� �� ���� (a) − (c) ��� (A) − (C)� &�)��� ��� )� ������$9 � ,������ ) ���

����$ �� �� �� R �� �� ��,��� " ��9 �� � ����� �� � ���������� ������ �� ������

�����9 ����� ��� �����9 �� � ������� �� �� R ��� �� q9 �$���� ��� �� � ����������

,������� �� �� �����9 �� � ����� �� ��� ������� �� ��)��� ���� +� � ���� �����9 ��

� ����� �� −u′ ·v′′−u′′ ·v′ �� ����� �����9 � ����� �� � ������� �� �� R �� ���

���� �� � ����� �� ,���� �� �� ����� ������ �$������

����� �� ���9 �� ��A�� ��= E������ � )� ���� ��5������ ���� �� ������

4.2.3 ��� 4.2.4. " �� ��� ��� ���� � �� � ����� �� ��5���� ������9 ����� �� �����

������ " �����9 �� � �� �� � � ��'� � � �2���� �� � ����� �� �������� ����

�,�� �$� �� � ��,� 7����� (c) ��� (C) ��� � ��� ��,��89 ������ (c) ����� �� �����)��

�� ������ (C)9 ������� �� � � � ������ ����� 6� � �2���� �� � ����� ��

,������9 � ������� � ���$ M �� �� ��5���� �� ��,���� �� � ���� ������

" �� ����� � ����� �� ������$ (a)#(b) ��� (A)#(B). ����� ����� ������ �� �����

" � ���� �� � ����� �� ����� �� � �����

−u′ · v′′ − u′′ · v′ 7����8

����� � ��� �����2��� ������$ MB′ ��� MB′′ 9 ) �� � ���� ,������ ��,�� ����

�� ��,� ��������9 ��� �� �� ����� �� ,������ )�� � ���� ���,��� 7 � ��9 �� �� �

������ ,������ �� �� �$� �� � ��,�8� ���9 � )� �� �� ���� � ) ��� ������ ��9

� ���� ��������� )� ��� �� � ������ �� q 7 � ����� ����������� �������8 ��� �

�� �� ������� �� � ������ 6� ,��� 7����8 �� ����� �� � �,���� 9 �� �� �� � ��� ���

����� �����9 � �,������ � ���$ M �� �� ��5���� �� � ,��� u′ − u′′�

�� �� ������� � ��� Q(p) (p = 1, . . . , n)� ")� ,���� �� ��������� n ����� � � �,��

��� �� �� ���� � � �� ����� 9

Q(p) :=

[[1, . . . , n]

[0, . . . , 0]

]p = 1, . . . , n.

���

Page 108: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

? �� ,������ ul � vl ���,�� � ����� ���� � ��� ���� ��,� � ��� �� �$� �� � ��,�

) �� �� ,������ �� ���,� 7,������ ������� ��89 )� ������ � ,���� �� Q(l) �� ��� �

)��9 � )� )�� � � ���� �� ,������� �� ����� � � �� ,��� ����� � ����� ��,�

�������9 ) ��� )� )�� � ������ �� ,������� �� ����� ����� � ��,� ������� � �

������ ,���!

Q(l) :=

[[ ������� �� ,������� �� ����� ]

[ ,����� �� ,������� �� �����] .

]6� ,������ ul � vl ���� � ����� �����,��� 7�� � ������ ,������ �� �� �$� �� � ��,�89

)� ������ � ,���� �� Q(l) ��!

Q(l) :=

[[1, . . . , n]

[0, . . . , 0]

]

l

k

− k

���� ������ �

�������� � ������

k

���

= 0

���� �

��� ���������������� � �� � ���������

+

u”v′ ≥ 0?−u′v”−

k−��� ���������������� � �� � ���������

� ����������

������

�� �����)

tkk���� �

���� �������

��������� � � *

� � ���������

�"�E"

− k

�������� ��� �

l

0

k

�"A. �"A.

�"A.

+� �� ����! +��) � � �� � ������� �� �� ��

?� ���� �� �� ������� Q(j) = [{I}, {h}] �9 � � ��� �� j �� � ��� Q, )� )��

��� I � � ����� �� ����� �������9 ) ��� � ,����� �� � ,��� h �� � ����� �� q�

&���� � �� �� � ������ � ��,� �������9 � � ��'� �� � ���,��� ������� ,������

� ���� � ����� )�� � ���� ���,��� ��,������ � �� ) �� � ��� � ������ 6� ���9 )�

� ��� �� ��� Q, � � ��'� ,��� 7����8 ��� ���� ��� �� ���� � ������ ��� Q. &������

� ����������� ���� �� ,������� ��,� � � � ���� � ��,� ��������9 � �� ��

�������� � ��,��� ����� �� �� �� �� �� ��� Q�

���

Page 109: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

+ + + +... ...0 k

q(u, v)

−M I

1(x, y) −(x, y)i =

⎧⎪⎨⎪⎩−tki/qk �� i ∈ IN

−1/qk �� i = k

0 � �)����

+� �� ����! " � ���� ������� ) �� �� ����� ������� �$����

���9 � ������� � �������� �� � ������ ,����� �� Q ��� � ���������� �� Q

���� � �����,� �$� �� � ��,�9 � ��5��� � � ��' ����� 7����8 ���� ��� ��,�� 6�

������ (a) 7� (b)8 �� �����)�� �� ������ (A) 7� (B)89 � ����� )��� ��)��� �� ����

6 )���� �� �� �������� � ��� �� ��� Q �,�� ���� ?� � ��� ���������� �� �

�� �� �9 )� )���� �� ���� � ��,� ��� � ����� �� )���� 6� � )�� ����9 � ��� �

����� �2���� �� ��� Q )���� �� � ��� � ����� �2���� � ��� n2 ��� � ��� n2

������ �������

?� �,� � ��,��� �� � ���� ) �� (P − LCP ) �� �� �������� " �� ����� ) ��

K = ∅� " � ����� �� � ��,� ������ �� � �)� �� +� �� ����� *������ � ,���

(x′,y′) = t(k) |JN∪JB.

4��� � � � ������ ����9 )� � � �� ,��� �� � � ���� � �,�� �) ��

[−MT | −I]9 �� � � )��� MTx′ + y′ = 0� ������� � � � ������ ���� � �

������ �� � � # ��� ���� ,��� q 7�� � ���� �����89 )� �,�

(x′,y′)T tq |JN∪JB= (x′,y′)T (q,0) = x′Tq = qk.

�� � ,��� (x,y) = (x′,y′)/(−qk) �� � ������� � � ������ (D − LCP )9 �������

����� ��,�� ��� ����������� �����) ��� � ����� �� � ��,� �������

)") ����'�

?� �,� ������� � ��������� ����#���� ��� �� �� � �� ����� ������������ ���#

���� )� ��5���� ������9 ���� s#������� ��,� ����� +� ��� ������� ������������9

)� �,� ������� � ��������� �� �� � �� � � � ���� ��������� �� � ��5������

�� � ���$ �� �� ��������� 6� ���� �� ���' �� ��5������9 �� � �� �� � ����� �����

��������9 �� � ������� ��� ��,���� � ���������� ���� ������� � � ���$ �� ��

��5����� ?� �,� �� ��,�� �� ���� ���� � ������ ���� �� ����� ������������

��-

Page 110: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

������� Q��R ��� )� �� 0. ���� ��� Q��R� ?� � ��� �� ;�$���� s#������� ��,�

����9 � �� �� � ��,���� �� ������ ������ �� � ����� � ��,� ������� 7������� ��#

�� � �� �� �� � �� �� �89 ��'�� � �������� � �,��� ���� ���������� �������

��,���

" � �������� �� � ��������� ����#���� �� �� � ��,���� � �������,� ���� �

� �*. ������ ����9 ) ��� � ������� ,����� ��,���� � �������,� ���� � �

�*. ������ ���� �� � 0. ��� �� )����

���

Page 111: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

� ���� �

� ��������� �� ����� ����������� ��

� � ��������� �������

."! �����������

" �� � ��� ������� ������� ���������� ������� ����� �� � ������� �������

3���� ������ � ��� ���� ���� ������ �������� ����� �,�� ����� �� �������

������ ��� ���������� ������������ � �� ����� ������ ��� �� ������� � ? ��� ���

�������� �� � ����� ��� �� �������� )� ����� ���9 ������� ������� ���� ��

������� ����9 ) �� �� � ������ ��� 2������� �� � ������ �� ��'��)��

" � ��� �� �� � ��� �� � ��,��� � ��,�� �� ���� ������� ������ �� � ������� �� �

�� ������� �� ����� ������� ����� �� � �������� ������� ������ �� �������

������� � ��,�� �� � ��,�������� �� � ����� ������ ��� ������� �� ��2��� ���� ��

����� ���������� �� ������� �� Q�%R�

�� �� ��,��� ������������ �� �������� �� ������� ������� Q%R9 ������� � ��#

������ ;�) ����� �� ���� �� � ������� �������

?� �,� ������ ���� � ����� �������� ������� �� ������� �� ������ ��� ��� ������

���� " �� )� �,� ������� � � 2����� �� � ���� ������ �� '��)�9 ��� � � ���

�� � ������ �� ) �� ��� ������ �� �� � ��$�� �� ���� '��)�� &� ���������� ��

��������� �� ������� 6� ��� 2������� �� ��������� �� ,�������9 �� )� � � 7� �

�����8 ������� �� ����� �������

" � ������� �������� �� � ����� ��'� � ������� �� � ������ ��������� � ��#

��� �� � +�� � ������� ���� �� ,��)9 � ������ �� �.# ��� 6� ������9 �� ��

������� �� ����������� � ����� �� ��� �� � �$������ �� ����� ������ ��������� 4���#

������ �� �� �� ������������� �5���� ����� �� �� �� � ���,� ��� ��������

���

Page 112: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

6� ������ �)�,�9 � ������� �� ��� '��)� �� ��2������ ����� �� ����� ��,�� �

�� ������������� ,�� �S���,�� " � ��������� ���������� ,����� �� �� �� ��2�� ��

'��)� �� ������� ������ ���������� �� �������,� ������� Q%�R�

" � ��2������ �� ����� ������ � ������� �� ����� ����,�� � ������ ��

������� ��� �� �$�� � ��'��)� 2����� ������� ��� ;�) ���� � ���� ������ ,��#

���� 6� ��� ������9 ����� �� � ���� �������9 � ��)9 �������� ��� ����$������

�� ��� ,����� �� ������� " �� ������ �� ��������� �� ����� �� ������ %�����

.����� ������� ����,�� � ����������� ����� �� ����� ����� � �������� �����#

������ ��������� ���� � ��� �� �� ������� �� ����� ������ �� ��������� " �

�� ��2������ ����� �� ����� �� �� )�� ������� �� Q��R9 ������ � ��� �� �� #

������� ����$������ �� ����� � ����� ��9 ��,��� � � �� �� �,� ��,������

��� ��������� ��2������ ����� �� ����� �� ����� " � ������� ���� �� ����� �

Q�9 %�9 %�R � Q-�R� " ��� �� ��� �� �� ������ � ����������� �� � ����� ������

�������� �� �� ��,��� ����� )�� ���� � ����� �� �� �� � �� �� � �������

�� ����� ����� ������ �������� � �� ����$������ �� � �� Q�9 ��9 �-R ��� Q-�RY ���

�� ��� �� �� �� ������� �� ���,�� ��� )��� ��������9 )� ���� ��,��� �������9

� �,�� ��� �� ������� �� ,������� ��� ���������

A�� �� � )����� ���� ��� �� � � �������� ����� �� ������� ������9 �

������� �������,� ������� �� � .63� ����� Q(�R �� ��.0� "�� � 6��� Q��R� " ��

����� ��� �� ���������� �S� � ������$ ������� ��� �������� ��� ���,�� � �������

����� �� � ��������

" � ��2������ ����� �� ����� �� ��2�� ���� �� .63� �� ����� �� � ������ ,�����

�� � 2����� ������� �� � ����� � �� � �� U ������V �� � ���� " ��� ,����� ��

'��)� �� #B,�%% ,������ " � ������� �� ��� �� � �� ������,� � � ���� � ����

�� ./40��� :�)�,�9 � �� ,�� �������� � ��� � ���� ,������

� ����� ����� ��� � 0�"09 �������� �� �� ����,��� "��� 6��<�9 �� . 1 �����

3������ �� � ��� � �� � �� �� ����9 )�� ������� �� � �$��� �� 3A� .��� Q(�R

� ��� � ������� � ������� ������� ����� ���� � �������9 ��� � ��� � ��,����

�� ��� � ��� ����� �� � ������� �������

" � ���� ��������� ������� �� �� � �������� �� � ����� ��� ������� ������9

�,����� �� ��� � ��� �� ���� �� ������ � ������� ���������9 �5������ ��� ���

��� � ��� �������� �������� �� �� �������� ��,��� ������� �������� �� �������

� � ��' ����� ���������� ��� ��� � '��� � ����� ��� �� ������������ ����9 ��,���

�� ��� �� �������� � ��� ��� � �$��� � ��� �������� �������� �,�� �� ��������

�������� ������� � � �$���9 � ����� �� �� ���� 30 − 40% ��� �� �� ��,�� )�

��� ������ ����������� �� ��2����

���

Page 113: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

6 ��� �� ����9 � �� ����� ��� ��� �� ������ ��� � .63� �����9 ���

� �������� ���������� ��� � �$������� )�� �� �� � �$��� �� 3A� .���9 ��� �

����� )�� ��������� �� �� �$����,� ����� �� ������������

" � � ��� �� � ������ �� �����)�� ������ %�� ��������� ���� ����� ��� �� ��2���

���� �� � ������ �� ������� �� ����� � ������ %�� ������� �� � ������� �� ��#

��� ������ �� � ������� ���� �� ��� ����� ���������� ��� � ������� ������ ����

.63�� ������ %�� ������ � ���� ����������9 �������� � �� �� �������� �� �

����� ��� ������� �� ��2���9 �������� ��,��� ����������� �� ��� � ��� ���

� ������� ��������� ��� �5������� " � � ��� �� ������ )� �������� ���� ���������

�� � ������� �� ��� � ��� ������������ ��;����� � ���� �� ������� ������

�����������

."# 2�����' ��'����� �� '�����

��,��� ��� )��� ����������� ����� ������� ���������� �������� ���� �$������ ����

)� � ������� ������ �� ��� ������� ������� �� ���� ������� �� ���� ����� ) �� �

����� �� � �� ����� ��� � ����� �� ��� ����� �� �� ���� �������� ,�������

Q��9 ��9 �(9 -�9 -%R9 ����� ���� ���� �� ���� ) �� ���� ������� ������� ��� �������

)� ������ ,����� �� 2������,� ,�������9 Q��R9 � ������ ������ ����� ������� )�

��'��)� ��� ;�) ��� ��� ��H����� ,����� Q��R9 ������ � ��� ���� ���� ������� ��

����#������� ���������9 ) �� ����� ����� ��)��� � ��,������ � ���� �� ��������

�� )��� �� � ������� ����� �� ���� Q��R9 � ������ �2�������� ������� Q(�R ���

2������ ���� ���� ������� Q��R� 6 �� ���� � ��������� ����� �� � )��� ��� �� ���

)��� �����������9 ��'�� � �� �$����� ������ ���������� ������� " � �������

���� �� ����� � � ������ �� � �� � ����� ���� ���,��

" � ��������� ������� �� ��� �� ��� 7���8 �� ��� ������� �������� �� ������,�$9

��'�� � ��,������� �� ����������� �� �� �� ���������

" � ��� ��� ��)�� )�� � ���,� ������� ������� �� � ��� � )����� �,�������

����� �������� ���,�� ��'� /�3� � 36�A�� 4���������9 ����� � �� ���������� �

����� � ���,�� �� ��� ���2�� ������9 ������� ���� ������� �� ������ ���� � )���#

���������� ������� �� ���� �� ������������� /�������9 � ���,�� ���,� � ���� � �

����� ����� � ��� �,�� �� ���,� �� " �����9 � �� ������ � ��� � �� �� � ���

��,��� ������ ����� ��� �� � ���� � ��� ��� � �������� �������� 7������ �������

���������8� ���� ������� ����� �� ������� �� Q��9 ��R�

� ������ ������ �� � � ���� �$��9 �� ��� ������� ���������� ����$������

�� ���� ��'� �������� �������� � ����� �� �� ��� ��� �� ��� )�� ���� �� Q�(R�

���

Page 114: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

:�)�,�9 � ��� )����� ����� �� �� �� � ��0������ ������ ������ ��� 7��.8�

6 �� ���� ������������ �� ���� ��� )��� �����������9 ��'� �� ������� ������ �����

�������

" � ����� ����)�' �� ��. �� ������� �� Q�R� :�)�,�9 �� ������� �� �����

�������9 � ��. ������ �� 2��� ��� ��)��� " � ����� ���� �� ��. �� � �

,������� �� � ������� ��� �� ��,���� ��� )� ������� 7)� ����� � ���������9 �� ��

,������� ��� ��� ����� �� �$��9 � ��H���,� ������� ��� ��� �������� ������ �����8�

6� ��� ��������,� ������ � ,����� �� ,������� �� ��� �� � ������� �� �$��9 ��� � �����

�� ����� ������ �� ���,��� " � �� �� ��� �� ��������� �� 7���8 �� �����)�� 6� �

���� y �� �$��9 � ������ ������

max cTx + xT Dy + dT y

aTi x + xT Fiy + bT

i y ≤ bi i = 1, . . . ,m 7%��8

Nx + M y ≤ d,

�� �����9 ��� ��� �� ���,�� �� � ����� �� ����� ���,�� 6� � ���,� ������ �� ��������9

�� �� � ������� x := x ��� ���,� � ������� ����� ������

max cT x + xT Dy + dTy

aTi x + xT Fiy + bT

i y ≤ bi i = 1, . . . ,m 7%��8

N x + My ≤ d.

6� � ������ �� � ��� ��������9 �� y := y ��� ���� ���� ���� ������ ����� �� ��������9

� �� ������ ���� �� �$�������

A�� ��� ����,�9 � � �������� �������� �� 7���8 ���� �������� �� � � �����

��������

Nx + My ≤ d 7%��8

� ���� �,� � �������� .����� 7%��8 �� ������� ����� � �� � ���� $#�

�� �� � ���,� ������ �� ����� ��� ������9 � �� ���� ��,���� �����,��� ���

6� �� ��� ������9 � ��������� ����� �� �� �� ����������9 � �����#������� �� �� ���

�� ������� � ������ � ,����� �� � �$�� ,������� � ��� �� ��,�� ���������� �� � ��$

������� ?� ��� ���9 � ���� �� � �����2��� ������ � ������ ������� ��������

�� �� � x ��� y ,�������9 � �������� ����� �������� �� ��� �� � ��������

" � �� �� �� ��. �� ��������� �� +� �� %���

���

Page 115: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

LP (y)���,�

LP (x)

���,� � ��� �. ���������� → ����� �� ����������b

��������

��������

������

�)�� ��� �� x ��� y

��������� → ����� �� ���������a

* ��' ������� ���������

"������ )� �������

���������� → ������ x � �������� ��� ���� �$������

+� �� %��! � �������� ��. �� �� � �� ������� �� ����� �

+� ����� ������� ������� � ������ ����� �� ��. ��� �� ,�� ����������� 9 ��

��������� �� � �$����� �� Q��R�

max 20x1 + 70x2 + (y1 + y2)(70x1 + 95x2)

x1 + x2 ≤ 10,

x1 + 1.5x2 ≤ 12,

y1 + y2 ≤ 1,

y1(x1 + 5x2) ≤ x1, y2(x1 + 5x2) ≤ x2,

y1(4x1 + x2) ≤ 5x1, x24x1 + x2) ≤ 4x2,

y1(x1 + x2) ≤ x1, y2(x1 + x2) ≤ x2,

x1, x2, y1, y2 ≥ 0.

+� �� �$�����9 � ��. ���� ��� � ��� � ������� ��� ���� � ����� ������

(x,y) = (10, 0, 1, 0) ���� �� � )�� ���� ��� y = (1, 0)�

:�)�,�9 � ���� ��)���' �� � � ������� ������� �� ���� �������� ��

���������� �������� � �������� ������ � �,����� �� �� � ��� �� ������ ��������9

��'�� � �������� � ������������� ������� �� x ��� y� 6� � �� �� ������� �� Q�R �

���� �� � BB" ���� ���� �� ��� ����$������� �� � ������ ��� �� ��. ����)�'

)� ��� �����2������ ����� �� ����� ������ ���� � ������� ����� ������ )�

� ��#� ��� ��� ����� " � �� �� �� ������� ����� � �� ����� %$# � .��.�

��%

Page 116: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

�������9 � � ���� ������� 7) �� ��� �� ����������8 �� x, y9 ��� � ����

,��� �������� � ���� ��� ����� �� ∆� " � ������� d = (dx,dy) ����� ������

��������� � � ������� ���� ��� �� ��������� ��

max cT (x + dx) + (x + dx)Dy + xD(y + dy) + dT (y + dy) − µ

(m∑

i=1

zi

)ai(x + dx) + (x + dx)

T Fiy + xT Fi(y + dy) + bi(y + dy) − bi ≤ zi, i = 1, . . . ,m

N(x + dx) + M(y + dy) ≤ d,

−∆ ≤ d ≤ ∆,

z ≥ 0,

) �� µ �� � ������ ������ ��� � ,��� z ������� � ������������ �� �� �

�������� 6� (dx,dy) = (0,0) ��� µ )�� ������� ������9 �� x, y �� � BB" ����9 � �)���

dx,dy �� ����� � � ���� �������9 ��� � ���� ��� ����� ∆ �� ������� �������

� ��� �� � ������� ��� ��������� � �� � �� � ������ ��H���,� �������� +� �

������� ���������9 � ���� �� ����� � Q�R�

�� ��� ��� ����,�9 �� �� ��2��� �2��� � ������� �� ���� ����� �� ���9

�� �� � ���� ��� ���� �� ��� ����� �� ��� ��� �� ,�� ��S����

&� �� ��� �� ��,�� � ���,� � � � ������� ������ ������� �� ���� ������� ������

+� �$�����9 �� � ��H���,� ������� �� ���,�$ 7���� D �� �����,� ����������89 �� ��

�� ������� ��������9 ����,� � �������� �� �� ������ �� � ������� ����� �� )�

���� ��� 7���� {(x,y) : Ax ≤ b, By ≤ d}89 �� ��� ���� ���� �� � ��. ��������

������� ���,� � ������ Q-�R�

:�)�,�9 �� ����� ������� �� ����� ������� # ��'� � ��H��� �� � �������

�������� # �,�� �� ��,����� � ���������9 ����������� �� ��� �,� � �� ��,�������

."% 2�����' ������'���� �� ��� ������� �������

6� �� ������9 )� ���;� �������� � ���� ������� �� � ������� �����9 ��� �$�����

�) ��� ������ 2����� ������� ��� � ;�) ��� ,����� �� ������9 ) �� �����

� ����������

" � ������� ���������� ������ ����� �� ������� ������ ��� �� ��,���� ��� )�

������������ ��S��� ���� " � �� ������� �� � ����� �������� ��'� ���������

�2������9 ������ �����9 ���������� ���� �������� 7�� � ������8 ��� � � ����� ���9

) ��� � ������ �� �������� ������� ��� �� �������� )� ������� ��� 2����� ��������

��(

Page 117: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

" � ��'��)�� �� � ����� �� ������ ���� �� )� '����! 0�������� ��� 0��������

,�������� " � 2������,� ,������� �� ���� ������� �� �� ����� ��� ���������� ���#

�����9 ) ��� � �� � �� � 2������,� ,������� �� ������ �� 7���� ���8 ��������

��������

" � ���� ������� �� � ����� �� � �����9 � 2������� ��� � 2������� �� �

�) ������� �,������� �� ���' � �� � ��'�9 �� )��� �� � ��� �� �������� �����9

�������� �� ������� �� �������� 2�������� ?� � ��� �� ��$������ ���� 7�

��������� ���89 � ������ ����� ��� ������� ������� ��� �2���� ������� ��������

��������9 )�� ������� ��������9 ,������� ������� ��������9 ����� ��� � 7��'�

�������� � ���� ����������9 �� �������� �� � �2������ �� � �����������8 �

����� �2������ 7�� ���� �� ����#����� � ����#����� ������8�

:�)�,�9 ��� � ���������� ���� �� ,��)9 � ��� ������� �������� �� �

�������� ���������� " � ���� �������� �������� �� � ����� ��� �������� ���� '���

�� ������� � " � ��5���� )� ������� �� � � ,����� �� � 2������,� ,�������

�� �$������ ����������9 � �� � ����� �� � 2������,� ��� 2������,� ,�������

������� � 2����� �� � �����9 ��'�� � ��������� ������� ��������U" � ��������

�������� �� )� ���� ����������9 ) �� ���� ���� �� ������� � � � ��� ��������

��� ��� � ������� ����� �� ������ �� �� " � ������ ��� 2������� �� ��� ��� ���

�� �������� �� ������ �������� " � ����� �� �� ������� � � � � ����

������� 2����� ����� � � ,����� ����� 6�������� ����� �� � ����� �� �������

� � � � ��'� ���� ������ � ������ )� ����� 2����� ������������V Q�%R�

6 �� ������ � ���9 � � ����,� ������� �� �� ���� � ���,� ��� �������

�� ��� �� �� � ��������� ��2������ �� ����� ������ 9 ����� �� �,�� ����� �� ��#

��� ������ ���,��9 � 2����� ��� ;�) ��� ,������� �� �$�� ��� ���� � 2�����

,������� �� ��'��)��� " � � � ,������� �� ������ ��)��� �����2��� �������9

����� �� � �������,� �������9 �������� �� � ��$ �������

7$%$& ����,����� �������

?� ��) �$����� �) � ������ 2����� ������� ��� � ;�) ��� ,����� ���� � ���#

���� � �� ��� �� ������ ��)��� )� �����2��� �������� ?� ��� � �� ��#

��� � ��� ������� �������� �� ������ ����

*������ � ������ �) �� � ������9 ���� � 2����� �������� �� ���� ���� �����

��� �,�� 2����� Qj�

−qj1x1 − · · · − qjnxn + pjxF + RjF = I.

���

Page 118: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

6� � �� ������ �� � ��������,� ������9 � 2����� ������� pj �2���� � ./40��

,�����9 �,�� 7 ������8 �� � �$���� ��) ������� � � ������� x1, . . . , xn �� '��)��

��)9 � �� ,������ RjF ������� � ��S����� ��)��� � ����� �� � �������

�������� G ���������� � 2����� Qj G ;�)�� �� � � �����9 ��� �������� �������

� � ����� 6� � ��$ ������9 � ������ 2����� ������ �� ������ �� ��� �

)��9 � � ��� � �������� � �� �� �� � ��$ ������� 6� � � )���9 � ��)

2����� ������ �� ��� 9 � �� � ;�) ,����� )���� �� � �� �9 �� � �� ��

)���� ������ ����

pupdatedj :=

qj1x1 + · · · + qjnxn − RjF + I

xF

. 7������ ����8

"� ���� � ������� � � �������� � ���9 ) �� ��������9 ��� ,����� �� �� ��H����

� 7� ����� �8 �� �������� � ���� " � �� ����� ��������� �� � �2����� )��� ��

���� �� �� � �� ,���� "� ���� � ���� �� � �� ,����9 �� ��� �����2���

������9 �� �� ��)� ��� ���� ������ 7������� ����� ���8 �� � ����� " ��

������ ��� �������� � ����� ����� �� ���������� �������� "� ��,�� ��9 � �����)��

��� �� �������! �� �� ��,��� �����2��� ������� � ����� �� 2����� ,������� ������ �� �

�� �� �������9 ���� 7� ���8 �� � ������ �� � �� ,���� �� �������� �� ���������

" � ����� �� � ���� ������ �) � �� ,������� �� �������� ��)��� �

������ �� 2��� ��� ��)��� ������� � �� ���� ����� 7)� ������ �)� ��������

�� 2�������8 �� ��$�� ��� k �� � ������9 )� ;�) ,����� �� xi9 i = 1, . . . , k� " �� �

�� ��������� ��� Di �� ����� i �� ������ ��

Dupdatedi :=

xi

x1 + · · · + xn

. 7������ �� ���������8

6� � ����� �� ����� ������ ���������� � � ����� ������ 2����� �����#

�� ��� �� ��������� ���� �� ����������9 �� �� ������ �� ����� �� )� � �������

� �� �� ����� � � �������� ��� �� ��������� �����9 � � �� � ��� �� � ���������

������$ �� �� � ������� )� ��� � ������� �� ���������� ������� ) �� � ��� ��

������������ �� �������� " �� ����,���� )��� �� ,��� ���9 ) �� � ��� �� ����� ����

�� �� �� )��� �� ��������� �� ������ %���

7$%$! 5��� ���� �������� � ��� �����

6 ��� ���� �� ��������9 � � ����� ������ ��� ���� ������� ������ ��� �� )���

Q�%R� "������ ��� ��� ���� �� �$����� �� 2�������9 �� ) �� � ������������ ��

������ �� )�� �����9 ������ �� ,������� ����� 7����� �� �� ����9 � ����� �� �

���

Page 119: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

2����� ��� 2����� ,������� ��� ���� �� ��������� )� � ��'��)� ������� �,��

,�����8�

6� � ��������� ������� �����9 � ��H���,� ������� �� ����� ��� ������� ���� ��

� 2������,� ,�������� " � ������� �� ����� ������ 7���8 ��� �� ����������� �

������� � ������ ����� ������ ��

max cTx

aix + xT Fiy ≤ bi, i = 1, . . . ,m 7%��8

Nx ≤ d.

v ≤ y ≤ w.

" � ��)� ��� ���� ������ �� � 2������,� ,������� y �� ������� �������� �

��� ����� �� ������� ��� �� � ����������� A� � 2������,� ,������� x �������

���� ����� ��,�� ������ �� ��9 ) ��� �������� 0 < wi − vi < ε9 � �� � �� � �� �

2����� ,������� �� ����� ��������

A�� ��� ����,�9 � � �� ��������� ,������� �� �� � ������� ��� 7%��8�

" �� �� �� ������� �)�,�9 ����� ��� �� ,������� )�� ���� �������� � �����

� �� ��� ����� �� ������� 2����� ������ �� � ����������� �� � �����9 ��� ��

���������� �� � �$�� ������� ������

" � ���������� �� �� ������,�$ ����� �� �.# ��9 �,�� �� ������� ������� �

����� �� �$������9 �� ����� ���������� �� ��2��� �� �2����9 ��� � �$������ ��

������� ������ �������� ���� �� ������ � ����� �� �� �������

� ����� ����� �� )� ������� ��� � ��� �� ����� ������� �� ���� 4000 − 6000 ���#

����� ��� 7000 − 8000 ,������� )� � ������� ���$ ������ �� ���� �� 0.1%� " �

����� �� �� ,�� �����9 �� ���� ,�� �� �����! ���� ���� 1% �� � �������� �,�

������ � # ��� ���� ,����9 ��� ������� �� ��� �� 1% �� � ,������� �,� ������

���5���� �� � ��H���,� �������9 ��'�� � ����� ,�� �� ����� �� ��� ����� ���

���� ����� " �� �� ������ ��� ����� �������� ���������9 ��� ���� �,�� ��� � ������

�������� �,�� �� � ���� ������� ������ ��H���,� ������� ,������

E�2������� ������ �� ������� ���� �� � �� � ,�� � ���,��9 ��� ��,��� ��#

������ � #���� �������� �$��� �� � �����9 �� � ���

a11x1 + · · · + a1kxk ≤ 0 7%�%8

a21x1 + · · · + a2kxk ≥ 0 7%�(8

) �� ||a1 − a2|| �� ���������� ������

��-

Page 120: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

0,�� � � ����� �� �����9 � ���� ������� ��� �� ������� �� ��� ����� �,�� ��

� ������� �����9 ���� �� ) �� �,� � �� ������� �� � ���#���� � �� ��9 ��'�� �

�� � '��� � ���������� ��#�#���� ���� ������� �� ��� � ��,�� � �� �5����

�� ������ ) ��� ��'�� ����� � �� �� �� ������� �� ������ %���

" � ������� �� � ����� ��� ���� �� ��,���� ��� )� ���� ����� +��9 � ��������

������� �� � �� �����9 ) �� ������ ��,� � �� ,�� �� �� ������� �� � ������ ���9

) ��� �������� � ��H���,� ������� � ��� ������� �� � �� �����9 � �� �� ��� �

� ��,��� ������� ������ �������� ���������

� ����� ����,� ��������� �� � ����� ��� � ���� �� ��� ����� ������ �� �����

�� Q�%R9 ) ��� ��,��� ������ �� � ���� ��� �� � � ������ ��� �� ��� �� �

�������,� ��'� )�� ������� �� Q�%R�

7$%$% 5������� �� ������� 8����� �9�5:

A�� �� � ��H�9 )����� ���� ���)�� ���'� �� �� � ��'� �� ����� ��������

���������� �� .63� Q(�R� " � ������� ���������� �� ��2�� )�� ������������ � ����

�� � ��� ������9 ��� �� ����� �� � ������� ��. �� ��2�� �������,� �������� " �

�,������ �� � ����� �� �$����� �� ����� �� Q�%R�

" � ��� �� �� ������ �� � ��,��� � ���� ��������� � ���� �������� ��� �������

������ �� ����� ����������� " � ����)�' �� ) �� �� �� ���� �� � ��� �� � ���

�� � � ������9 ����� .63��

6� � �� �� ����� �� 1E�9 � 2����� ������� �� � ������� ��� ����� �� �

�������� �� ������� �� � �� ������ ������ ��� ���� ��� ������ ,����� �� �

2������,� ,�������9 ������� ����� �� #B,�%% ,�����9 � ������ ����� �� ����� �� x9

��� � ���,������� ����� �� ����� ���,� 7[.E0��#3. Q-�R �� �� ����8 �� ���� � ���,�

�� " � � ���� �� ./40�� ,����� �� �������� � ��� ,��� �� �� � ����������� ��� ��

��S��� � ����� ��� ���� � ��S��� ����� ������ ��������9 � ��� ���� �� �������� �

���������� �������

��� ���� � ./40�� ,����� ��� � ������� �� .63� 7��'� � �������� �� �

����� �� ����� �� �� � ���� �� [.E0��#3.89 � ���������� ����� �� �� ��

���,��� ����� � ������ 2����� ������� ������� ����� �� ���������� ���� �����9 �

1E �� ��2�� �� ���� � ����� ��) 2������,� ,�������� " ��� ��) 2������,� ,�����

��� �� ������ � �� � �,�� �� � �������9 ����� �� .63� �� ��������� �� �����

����������� ��������� 6� ��9 ��� �������� � ��������� ����� �� � 2������,� ,�������

��� ���� �� � ���� ���� ��� ����������� ����� � �� � � ���� ��������� �� ��� �������� '��� �������� �

� $+ �� ������ ����� � ��� ���������� � ��� ������ �� �,-� ��� ��� ������ ����

���

Page 121: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

Basic modelingcollection of data, converting to PIM S

PIMS -M odeling, m odel generation-Param eter settings (PGUESS etc.)-Choice of algorithm (prim al, dual, Newton-barrier)-Options for the algorithm (pricing strategies etc.)-LP generation

XPESSMPSolution of the LP problem

PIMS:The LP solution

is optim al

Solution docum entation

PIMS: -Distributive recursion -M odifying (som e) data-Building a new LP problem

yesno

+� �� %��! ������� �� ����� � ���� .63��

x9 ��) 2����� ,������� y ,����� )��� �� ������ 7�� )��� �� � �� ��������� ����

����� �� x89 ���� �� � ��������� ����� �� ������9 ��� ��� 2������,� ,������� ��

�� �� �9 � �� ����,���� �� �� ��,��� " �� ������ �� ����� �� � ���������� A��

������� ������� �� � ������� �� � ����� �� �� )� �$�� 2������,� ,�������9 ���

� ���������� �� � 2����� ������� ��� �� ��������� ����� ����� �� � ����

��������

+� �� %��� ��������� � ���� ���� �� ���������� ���� � .63� ����)�'� +��9

� �������� �� � ���� ����� �������� � � ������ ����� �� � �����9 ��� �

����������� �� ���� ��� ���� ��������� ��� �2������� �'� ������ �� � ���������#

��9 �� �2����� ������ ���9 � ����� ��� �� �������� ��� ������ � .63�� " �

�� � ���� �������� )� � ��2��� � �� �� �� � ����� ��� ��'�� � � � � � ��#

��� �� ��' � '��� ��� ��������� �� � ����� ��#� ���9 ��� � ��' �������� ����'��

������� ����� )� ��� �� � ������� ������� � �� �$��������9 �� ������� �����

� ��'�� ���� ��� � ������� ����������

" � � �� �� �� � 2������,� ,������� �� �� � �������� �� � 2������,�

,������� �� ��,�� �� � �� ���� " � ������ ���� �� � �� �� ./40�� ,����� �� ����� 1000#

4000 �����9 ������� � ������ � � ������� ����� ������ �� 100#300 �)� ��� ����� 100

�������9 ��� ���� ����� 30%−60% �� ��� ,����� �� � �� �� �� � ������ ��� 3���,�9

���� � ��) ������ �� �� �� � �� �� ��,��� � ��,��� ���� ���� � ���������

���

Page 122: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

6� ��� ���� �������� 7� �� ,�� �� ��� ��������� ����� ���������� � � ��

����������� �� � ��� )�� ����� �� ������89 � ������� ����� �� �������� )� �,��

2������,� ,������� �� �� �9 �� � ������� �� ������� " � �$����� �� ���� %�� ���#

������ � � �� � �� � ������� �� )� �� ���,� ���� ������� �� � ����,��� ������

������� " � ������ ������ �� 7�" ������� � ������� ������ "� ������� ����9

���� �,�� ������ ������ �� �������� " � ������ �� ������ � ����� �� �������

���� �� � ����� ������$ �� �� � ���,� � ����� �� ����� ������9 ) ��� �� �

��$ ������ � ������ � �� � ����� ��H���,� ������� �� � �)�9 )� ����� � �

����� ���� �������� ��H���,� ������� ,����� " � ��� �� ������� � �) � ����� ��

2������,� ,������� ������ � ������9 ���������� � � �� ��������� �� � ������

" � ������� �� �� )��� �� �,�� 9 ��� �� ����� ����� ��' 83 �������9 � ����� �

������� �� 83 ����� �� ��� )� ��� � � 62723 ������$ �������9 ��� ��' ���� 19

������ �� � 3000 3:� �������

��,��� ���� �� ��� � �� ����� +�� ����,�9 � )� � �$������ �� � ��

�����9 � ��H���,� ������� ,���� �����@ � �� � ��� 9 ��� � �)� �� �������� ��������

������� � � �$��������9 �� �� � ������ ���� ) �� � ����� �� 2������,� ,������

������ � ������ �������� �������9 ��� ��� �� ��������� � � ��� � � 2������,�

,������� ���@ ������ �S�� � ��H���,� ������� �� 7%��8� :�)�,�9 �� ��5��� �����9

� ����� �� 2����� ,������� ������ �� � ��� ;����� ��,���9 ��� �� ��� ����� �

��H���,� ������� ��� ���� � �� � �� ��������� ��� �$����� ����� )��� �� ������� ��

������ %���

�� �� � ����� �� 2������,� ,������� ������ �� � ;������ ��������9 ��

��� � �)� � �������� �������� 6 ��� �� ��������9 � �� �� ������9 �@� ������

� � ��� �� � ���������� 2������,� ,������� ������� �� ���� �������9 �� ��������

H���� ��9 �� �� ��� �������� � ���9 ��� � � �������� �� ������ ��,��� �����

3���,�9 �� � ����� �� �������� �� � � �� 100 7�� ������ �� �� ����9 �� �

������ ��� �,� ��� ��������89 ��� ���� �� �������� ����� �� �� ��,��9 �� ������

�� �� � �� �������� �������9 � ���� � ,�� ��� �������� ������� )��� �� ������� ��

� �� ��� 4������9 � ������� ������ �� ������� �� ��� �����9 ��� �� ���� � ���

��� ���� ����������� �� � ���� ����

?� � ���� ��� � ������� � � �$��������9 � ��� ����� ���� � ��) ������ � ��

� ./40�� ,����� �� ������� ���� � ��� ���������� � ���� 6 ��� �)�,� ����

)� ��������� ��S��� �� �� 0� �9 ��� 2������,� ������� � �� �� � �� �

��� �� ������ ��� �������� ��9 � � ����� ��� �� ��,��� ��������� ����� � �����

����� � �,�� ����� �� ���������� � ����

")� '���� �� �������������� �� ����� ��� ��� " � �� ��� �� ) �� � ����� �� ��

���

Page 123: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

]������,� ,��

������ �� �

E�� 6�� A�H� � & *

� ���� �����\ ��%� %�� ��

� �-- -����\ ���( ��� ��

% ��� -��(�\ ��� �- ��

� ��� --���\ -�� �%� �

- �%�( --���\ ��% �(( �

�� ���� --���\ %�� ��� (

�� ���- --���\ ��� �� %��

�% ���� --���\ �%� -� �

�� ���� --���\ ��� (� ���

�- �(�% --��%\ ��� (� (

�� ���� --���\ �-� �� �

�� (�% --�((\ ��� �(� �

�% ���� --���\ �(� ��� �

�� �(%� --�-�\ �(� ��� (

�- �(�� --�-�\ ��% ��� �

�� %�� --�-%\ ��� �� �(�

�� �-(� --�-%\ ��� %� �(�

�% ��� --�-%\ ��� %� �

�� ���� --�-�\ -( �� �

�- ���� --�-�\ �� �� �

�� ���% --�-�\ �� �� ���

]������,� ,��

������ �� �

E�� 6�� A�H� � & *

�� ��� --�-%\ �� �� ���

�% ���� --�-%\ (% % ��

�� -�- --�-�\ (- �� �

�- (�� --�-%\ �� �( �

%� �%�� --�-%\ �� �� �

%� ���( --�-%\ %� �% ��

%% ��� --�-%\ %� �� �(

%� %�� --�-(\ (� �� ��

%- ���� --�-(\ %� �� �

(� ���- --�-(\ �� �� �

(� ���� --�-(\ �- �� �

(% (-� --�-(\ �� �� �

(� �� --�-(\ �� �� �

(- �� --�-(\ �� �� �

�� %� --�-(\ �� � �

�� � --�-(\ �� �� �

�% �� --�-(\ �� � �

�� �( --�-(\ �� � �

�- �- --�-(\ �� � �

�� �� --�-(\ �� - �

�� � ������\ � � �

"���� %��! E������� ������ �� � ����,��� ������ ����9 � ������ � �������� ����� �� ��

�� � �� �������

)� �$�� 2������,� ,������� �� ����������9 ) ��� � ������ �� � ������������ �� � 2�����

������� y� 4������ � ���������� �� ��� )� ����� ��� 2������,� ,����� y ��

) �� � ����� �� �� ������� ��������� A��� � ����� �� ��� � �� ���,�� ��

��������9 � ��� �� � �������� �� � ��'� � 2������,� ,������� ��������9 ) ��� '�����

� ����� �������� �� ,������� x�

" � �$���@ ���� ��� �� ������ ������������ ��� ����� ������ �������� �� � � �� �

� ./40�� ,�����9 ��� ��� � ������� ������ " � ��� ���� �� � ��� �� ����������

��� �� ��� �,�� �� � ������� ������ 4���������9 ��� �� ���������� � ������� ��

���

Page 124: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

���������� ����� ����9 .63� �S�� �� �5���� ��� �� �) � ������ � ./40�� ,�����9 ��

� � �� �� �� � ./40�� �� � �� ���� ������� �� � � � �$�������� �� � �$���9

� �� �������� ������ ����� �� ��,������ ����� ������� ./40�� ,������ �� ��

� � �� �� �� � 2������,� ,������� ���� ��� � ������ ./40�� ,����� �� �����

�� � �� #��� ���� � ������� ������9 � �������� �� � � �� �� �� �� �������� �� .63��

��� � �������� )�� � ��� � ������� ������ ��� � ������� �� � � �� � � ��#

����� �� � ����� ���������� ���� ����� " � �������� ���� � ����� �� �����

�� ��� ��'� � ����� ������$9 ���� ������$ � ��)��#���� �� ���9 � �,�� ���� �

� ���� �� � ������� �� � �� ��� ��'� ��� ������� � ����� ��� ���9 � �����

�� ��)��#���� ������� ����� �����,� ������� ���� � �� �������� ��S��� ���������

4������9 ������ �� ������ � �)� � ������� �� � ��������� �� � ������ ������

� ���������� ���,�� � ����� ��S��� ���������

�� �� � �� �������� � �� .63� )� ��S��� ������� ����������� )� � ��#

������ *��0 �����9 � �������� ��� ���� �� � ����� �� � �� ���� ��������� E�����

)� ��S��� ���� �9 ./40�� ,����� � )� ������ ��� ��� �'� � ����������

�� �� �� � �������� ��S��� ��������9 ���� ������� � ���� �� � �������� �������9

� �� �$����� � �� �� ����� ������ ���������

+� ���� ����� ������9 � �� �������� � ��,��� ��S��� ��� �� ./40�� ,����� �� ���

������ ����� � ������ ��,���� ��S�� �� ��� �����9 ��S��� ������������ �� ./40��

,����� �� �2���� � �� ���� � ������������ ���,� � �����9 ���� �������� � �����

�� �������� ���������� 2����� ,��������

" � ���������� �� ������ �� � ������� ����� �� � �������� " � ) ��� ������

��� �� �������� �� � �������� 9 ���,�� ��� ����� ����)�'� :�)�,�9 � �� ��������

��� ,�� ������ � �$��� � )� ���� �$� ������� ������9 �� � �)� �� � ��$ �������

.") ������� ��� �������� ������5��

" �� ������ �� � ��������� �� ����,�����9 �� ����� ���� ��� ���� ����� � ����,��

� 2����� � ����� �� � ������� ������ �� �������

" � )� ���� ������� ������� �� ���������� �� ��� �� ����� �� ����� �������9

�� � ����� �� ������$ ��'�9 ��� � ����� �� ����� ���� �� ���� � '�� 2������ �� ) �

�����)� )��� �� � � �������� �� ����� ��� ���� �� ������� +� � ������$ �� ��9

� �� �� ����� ����� ��� ����� ��� ������$ �������9 ) �� � ��H���,� ������� �#

����� ��� �� ��� " �� � �������� �� � ���� ����� �� ������� ������ 7����� ��������

�'��� ��� ��� ��� � � ���� ��� �� ��� ���� � � .��/� ���� ����� ���� ����� ��� ����� ��

���

Page 125: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

������������ �� ��� � ����$ �������� ���� �� ������� ������������� Q%�R8� " � ����

���������� �� ���� �� ������ �� � ������� ������ �������� ��� ����� ? ��� �� ��#

���� �� �� �� ����� �� ����� ���� �� ���9 �� �� ���� ��� � ����� � ����������

�������� "� � ����� ����,� ���������9 � ���� �� ����� � Q��R�

��������� %���� ����� )� � ����� ����� ��� ������� �� � �����9 ) ���

��������� %���� ������� �� �������� �������� � ���������� � ����

��� � �������� �������� �� �� ����� �� ������ ������ ��,���� �� 3A�9 ��� )��

���� )� � ���)�� )��� �� �� ����� ��� �� =����� *^^�

7$)$& ���� ��� � ��� �����

" �� ������ ��� � �$��� � ����)�' �� .63� )� ������� ����� ������� � �

�$�������� ������� �� � �$���9 ��� ������ �� ��� �������� � �������� �������

�� � �����9 ��� ���� �� � 30 − 40% ����� �� �� � ��� ��� ���� �� ���,�� �

������� ��� �������� ������� �� �� ����� �� � ������ ����� �� ����� ������ )�

� �� ���� ./40�� ,�����9 ��� � ���� ����� �� ����� ������ ������� �� .63�9

�� �� �� ���� �,������� �� .63� �� 3.� �����

" � �� ��� ������ � � ������ �� �������� � ����� ����� ����� ������ �

���,� �� " � ��� �� �� ��������� ��'� � ��'�� �� � ��� ��� ����'��9 � ������� ����

�� � ���� �� �� � ������ )� ��2��� ��� � ����� 7� �� 8 ����� �2��������

• 1������� �������� �� ���������� �� ��� ���������� ������9 � ��� ��������9

����� � ���� ������� )��� � ��,��� ���� �� �2��,���� )� ����� � ����

���� ��� �������� ������� :�)�,�9 �������������9 �������� �������� ���

��'� � ������ ���9 �� � )�� �������� �� Q��R� ����� ����@� ��� �� � �

����� �� ����� ���,�� ������� �������� ��� �����������9 � ���� ����� ��

� ��'�� �� ��� �������� �� � ��) � �$��@� ������ � �9 ��� �� � ��' �

������� ������ �� � �������� � �������� ����� �� �� � �������� �� ������

� �������� �� ���� �����������9 �� ����������� ���,�� � ��� �� ���

• E�)� �� � ������� ���$9 ) �� � ��� �� ���5����� �� ,�� �� � ��� �����

�������� ������� ) ��� ���,�� � ����� �� ����� ������9 ���������� �� �

������$ ����� �� �� ��� ����� �,�� ������$ ����� ���,� �� )� U������ V �

�)� �� � ���$9 ��� ����� ,�� ����� ������ �� �� �� �� � ������ ���#

�������� &� � ������$ ��� � ���� ������$ �� �� �� ������,� � ,�� �����

������� 6� ��������9 �� � ���� �� �,����� �� �� � ������� ������� 9 � �� ��H��#

�� �����

��%

Page 126: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

Basic modelingcollection of data, converting to PIM S

PIMS:M odeling, param eter settings, options

XPESSMPSolution of the LP problem

PIMS:The LP solution

is optim al

PIMS: Distributive recursionno

yes

LP generation: cases

M odel analysisConsistency checks

Reporting andclassifying changes

Solution analysisparam eter resetting

Back looking analysis PIMS: Solutions docum entation

+� �� %��! " � �$����� ������� �� ����� � ���� .63��

• 0��� �������� �� �� �S�� � �����9 �� �� �$������ � ���� �� ������ ���

� ��'��� " �� ��� �� �� ��� �������� ������� � �����9 � �������� �������

� ����� ��� � ������

• � ������� �� ������ ��� ��� ������� �� � ��� ���� �� ������� �� ��� �� ,������� )�

������ ���5���� �� � ��� ��,��� " ��� �������� �� �������� ��'� � �����)�� !

���5����� �� �����,� ��� � ,������� �� �� � ������9 )� ���� � �2��� � ���

� # ��� ����� ��� �������� �� �� �������9 �� �$ ��,��� ,������� � � ���

��,��9 ��� � ������� ������ � ���� �� � ��'���

" ��� ���������� � ��'� ��,�� � �� �� �5���� ��������� � .63� �)� )����

������ " � ���� ����9 ) �� ����� ������� ��,��� ����� ��� �� ������ � � �������

������ �� ��������� �� +� �� %���

7$)$! ���� ��� � ��� ������������ �����

� � �� ����� �� � ������� �� � ��) �����9 � �������� �� � ���������� � ���

������� �� � ./40�� ,����� ��� �� ��� � ��� � �� �� � ��. �� �� � ��������

�������� ��������� ��� � �������� ������� )�� �����9 � �������� �� �������� )� ������

��������9 ��� )� �$����� � ����� �� �������� ��������� :�)�,�9 � ����� ���

�� � ���������� �� � ��� � �������� ������

��(

Page 127: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

�� )� �,� ������ ��������9 � ����� �� ����� ���������� �� �� � �� ��#

��� ��� ���� �� ������ ? ��� ����� �� ������ ������ �������� ������� ���������� ��

� ������$ ����� �� ���9 ���� �� ������ ����� � �� ��� �� ������,� ��������

�� � ���� ����������� �� � ������

" � ���� ��� �� � �������� �� � ���������� � ��� �� � ������ ��� ��������

��� ./40�� ,�����9 ��� � ������� ������� ������� � ��� � �$��� � ������

�������� ���������

������.�� � � ����� �������

" � ������� �������� ����9 ) �� � ./40�� )�� � ���� �� � )�� � � ������ �����

�� �� �� ��������9 ��� � 2������,� ,������� y �,� ������������ ���,� �� � ��

�������� �� � )�� ������ ��������� �� "���� %�� �� � ��,���� �������

6� � ������ ./40�� ���� �� ����� � �������� ������� �� � �� ��9 � ��� ��� #

��)�� )�� � � � ��� � �������� ������� �� � ��� � ����� �� � ��. �� ��� " ��

��� �� ���� )� ������� ��S��� ����� ���������� �� ��� ��'� ���� ������$ � �

��)��#���� �� ��9 � � �� ��) ������� �� � ���,��� ����� � ����� �� ��#

��� ���������� �� ������� � �� ���� �� �����9 ��� ����������� )��� ����� ������

�������� )� ��S��� ������9 ��� )��� ��� � ����� �� � ��.9 ����� � )��� ����

�� ��S��� 2����� ������ � �� ���

A�� �� � �������� ����� �� ) �� �� �� � ���� ����� �� ����� ����� ��

����������9 �� ��� ���� �������� � �������� ����� �� �� �� ��������9 ��� � �����

������� ���,� � � �� �������� �� �� 4���������9 � ���� �� ����� �� � ��

����� �� ��� �� � ������

� � �� ����� �� ������� 9 ����� � ./40�� ,����� �� ��������� �� � �$���

����� � ��,����� �������� � ���9 � ������ �� ������� �� �� � ���������� ����� �� ���9

� .63� �� ������ � ��'� �,�� 2������,� ,������ ��������9 ��� �,�� � ������� ��� 6

��� ���� �����9 � �� �� � 2����� ,����� ���,� � � �� �������� �� �9 �

��������� ����� �� ��� ����� ����������� 6� ��� �����9 � ��. �� �� ���' �� ��

���������� ����� ��� �� ��� �� � �������9 ��� � ������� ������ �� �������� ��� �

���� �� ������� �� "���� %���

6� ��� �����9 � 2������,� ,������� �� � ����� �� � �� ��� �� ��� � ��) � ���

�� ������� " �� ��� �� ���� �� ����� � ������ ./40��9 � �� ��� � ��'� ���

������ ����������� �� � 2������,� ,������� ���� � ���������

.63� �������� � � �� �� ���� � � ����� �� �� ������ �� � +�� �� ���9

��� �� ���������� ��9 ��� 2����� ,����� ��� �� �������� � )�� � �� �� ��2�����9

���

Page 128: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

]������,� ,��

������ �� �

E�� 6�� ���� � & *

� (%- ���������� %�� ��� �

� �-� ���������� ��� ��( -

� (�% ���������� (�� ��( ��

� ��- ���������� %�- ��� �

% ��- ���������� ��( �( -

( (�- ���������� �%� �� �

� (�� ���������� �(- ��- �

� ��� ���������� %�� ��- �

- %� ���������� ��� �� ��

�� ��- ���������� ��� �% �

]������,� ,��

������ �� �

E�� 6�� ���� � & *

�� -�� ���������� (�( ��� �

�� ��% ���������� %�( ��- �

�� %( ���������� %%% �( �

�� ��� ���������� ��� %- �

�% �( ���������� ��� (- �

�( � ���������� ��% �� ��(

�� � ���������� ��( �- ��%

�� � ���������� ��� �- �

�- � ���������� � � �

�� � ���������� � � �

"���� %��! E������� ������ ) �� � 2������,� ,������� ���,� � � �� �������� �� �9

�� � ��������� ����� �� �� ������ �����������

��� ������� ����������� " � ./40�� ,����� ��� �������� ��������� � ��� 2�����

������� ��� ����� �� �,�� ������� ���9 ) �� ��� � ������ � ������ ,����� ���

���� � � ��� � �������� ������ 3���,�9 �� �$�������� � �)9 ) ��� ��� � ������$ �����

���������� � ��� � 2����� ,����� �� ������� ����,��� ��� ��9 � ,����� �� �������

2��� ���������� ��� � ��)��#���� ����� �������

6 �� ����� � ��'9 ) � � ��)��#���� ����� ������ ��� ��'� �� " � ���)� ��

�� ������� �)�,�9 ��� �� �����9 � �� �� �� � �� )� � �� �� �����9 �� �)

�@� �������� 6� ������ %����9 )� �,� ���� � �� �� ���������� �����������9 � �� �����

� ��� � U�������V �� ����� � ���������� �� ��������� A� � � � ���9 � ��)��#����

�� �� ���� �� .63� �� �� ���������� ����� ���� �� ��� �� �� ��� �� ���9 �

������� ��,� �� � ������ �� ���������� ����� �� ���� ? ��� ������� ��� � ������� ��

� �������,� ������� ��'�� �� ����� ) ����,�9 � � �'�� 7�� �� 2��� �������8

� ������ ,����� �� � ������� 6 ��� �� ����9 � � ����#�,� � ��� ��� �

��)��#���� �� �� ����) � ������� �� �S���

"���� %�� ������� � ����� �� � �� �� �� � 2������,� ,������� y �� � �� 10

�������� 6� �� �����9 �$���� � ���� ������� ��� ������ ./40�� ,����� )��

����9 � ���� ��S����� � �� � ������ ��9 �� � �� 5 �������� � ��)��#����

�� �� )�� ������'��� ������� �� �� � � ���� � �����&� ��� � ������� �� ���� ����

���

Page 129: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

E������� ������ )� ������$ �� ��

�������� � � � � % ( � � - ��

� ���� �%�% ���� ���� ���( ��� ��% ��� (�� �-�

& �%� %�� ��( �-� �(� ��� ��� �(( �- ���

* �� �� �� �% �% % � ( � �

E������� ������ )� 5 ��)��#���� ��������

�������� � � � � % ( � � - ��

� �(�� ���� ���� %��� %�%� ���� ���� ���� �-�� ��-%

& ���� ���� ���� ���� �%�- ��(- (�� %�� �%� ��(

* -� -� ��� ��� ��% ��% �� �� �� �-

"���� %��! " � ����� �� 2������,� ,������� � �� �� )� ��� )� �� � ��� �� ��)��#

���� ����� ���������

3030.531

31.532

32.533

33.534

34.535

1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76

+� �� %��! " � � �� �� �� � ������� 2������,� ,������ �� � �� �������� 20 ��)��#

���� ��������

? ��� � �� � ����������� �� � ��)��#���� �� �� ������� ���@ ���� �� 2���'

���,� ���� �� �� �������9 �� ��� � ��,� � ����� ������� �)�� ��� � ��� �����

�����9 � ��� �� ���������� � ���� " �� � �������� �� �������� �� "���� %��� " � ����

����� )�� � ���� �� �� � ���� �� "���� %�� �� ) �� �� �������� ������� )�� ���������

" � ������ *��� ������ � ������������ �� � ���� ��)��#���� �������9 ) ���

� ������ �� ������� � ���� �� � �������� " � ��� ����� ��� )�� 52 ������

�� � 3000 3:� �������

6@� �������� � �� � ����� �� ������� ) �� ��)��#���� �� ������� �� .63�� 6�

�� ��9 � )�� �� � 1009 �� ��� � �� ��2������ �� ���� ��2����� ������ 7����� ��

��-

Page 130: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

��)��# ]������,� ,��

���� ������ �� �

E�� 6�� *��� �� � & *

� -� 106 ���� %�(� �(�� �-

� �� 109 ���� %%�� ���� ��

% �� 108 ���� (��� ���( %�

� �% 109 ���� %(%� ���� �(

- �- 108 ���� %��� �%�( �(

�� �- 1010 ���� %�%� ��(� �(

�� ��� 1011 ���� %��� �-�� ��

�% �� 108 ���� %��� ��-� %%

��)��# ]������,� ,��

���� ������ �� �

E�� 6�� *��� �� � & *

�� (� 1012 ���� %%�� ���- ��

�- �� 106 ���� %��� ���� (-

�� ��� 107 ���� �%�� (�� �(

�� ��- 1012 ���� ���� �(( ��

�% ��� 106 ���� �--% ���� �%

�� ��� 1012 ���� ���� �(� ��

�- �� 1010 ���� %%�- ���� ��

�� �� 106 ���� (�-� �-�� %�

]������,� ,��

��)��#���� .����#�������$ ������ �� �

E�� 6�� A�H���,� *��� ���� 6� A�H���,� ���� � & *

�� �- --���\ 10−5 �����,� -�� --���\ ������ �(�- ���� ��

�� �� --�-�\ 10−3 �����,� -�% --�-�\ ������ ��� �� �

�- %� --�-�\ 10−3 �����,� ��-�� --�-�\ ������ ��� ��� (

�� �� ������\ 10−2 �����,� ��-� ������\ ������ �� �% �

�- �� ������\ 10−1 �����,� -�� ������\ ������ %� �- (-

-- �% ������\ 10−2 �����,� ((� ������\ ������ �% �� �

]������,� ,��

������ �� �

E�� 6�� A�H���,� � & *

��� �� ������\ �� �� �

��� �� ������\ �� �� �

��� %� ������\ �� � �

��( � ������\ �� �� �

��� �� ������\ �� � �

��� �( ������\ �� � �

��� �- ������\ �� � �

��� �� ������\ �� - �

��( �( ������\ � �� �

]������,� ,��

������ �� �

E�� 6�� A�H���,� � & *

��� �� ������\ � � �

��� �% ������\ � � �

��� �% ������\ � � �

��� �% ������\ � � �

��( �% ������\ � �� �

��� �% ������\ � � �

��� �% ������\ � � �

��� �% ������\ � % �

��( � ������\ � � �

"���� %��! " � ��)��#���� �� �� ���� � � �'� ���������� 2����� ��������

���

Page 131: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

���������� ����� �� ���9 � � �� � �� � ������ ������� �� � � �����9 �,�� ���

� ����#�,� � ���8� +� �������� ������� �)�,�9 ��)��#���� �� �� �� ��������

����9 ��� ������� ��� ���� �� ������$ ����� �� ����

" � � �� �� �� � ,����� �� � ������� 2������,� ,������ �� ������� �� +� ��

%��9 ) �� � �� 20 ������� �������� � � �� �� ���� ��� � ��)��#���� �����

������9 ) ��� ��� ��� � �� �� �������� � ������$ ����� �������� ? �� �� ,���� ��

��������9 �� � �� �� �� � ,���� �� � ������� 2������,� ,������ �� �����

�� �$������� � �)�9 �������� ��� � �� 150#200 �������� 7����� �� ����� ����8

� ���� ������� �� �,�����9 ����� �,�� �� �� ���,� � � � ������� ������ �������9 ��

2����� �� ������� ,�� ��)� &���� �� �� ����,����9 � ���������� � ���� ������� ��

������ ��� 200 ��������9 ��� ��� )� ��S��� ���� �� 6 ��� ����� �� �$���

�����9 � � ��. ����� �� �� ����� � ������ " �� �� �,�� �$������ ) �� � ������$

�� �� � ����� � �����9 ������� �� � ����#�,� � ��� �� � ��)��#���� �� ���

]������,� ,��

������ �� �

E�� 6�� ���� � & *

% �-�% ���������� ��� ��� �

� �%� ���������� �(� ��� -

- �(� ���������� %�� ��� ��

�� (�� ���������� ��� �% �

�� �� ���������� (�- ��� �

�% ��� ���������� ��� ��� �

�� � ���������� ��� �- �

�� � ���������� �(� �- �

�- � ���������� � � �

�� � ���������� �%� �- �

]������,� ,��

������ �� �

E�� 6�� ���� � & *

�� � ���������� �%� �- �

�� � ���������� � � �

�� � ���������� �%� �- �

�� � ���������� �%� �- �

�% � ���������� � � �

� � �

�-( � ���������� �%� �- �

�-� � ���������� �%� �- �

�-� � ���������� � � �

� � �

"���� %�%! ��. ����� � ������ " � �� 4 ������� �������� ��)��#���� ����

�� �� � �� ��9 � �������� ������ � � ��. �� �� ����� � ������ ��� ��

�$����� �� ������� �� "���� %�%�

" �� �� ���� !��� � ���� � �� ���������� � ������

?� �,� ���� �� � ��,���� ������ � � ������������ �� � ��)��#���� �� ��

�� �� ����� �$������ �� � ��,��� ��� ,����� �� .63�� " �� �� )� ��� ��)��

���

Page 132: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

������ �� �) � �������� � ��,����� ����� ��� �������� �� � �& �� ��� ���

� ������� ����)�' ����� �� �������,� ��������

" � �� �� � ����� � ���������� ������ ��� �� ��)��� �������� ���9 ��� �� ��������

� ��� �� ��������������� " �� ������ �� H�� � ���� �� � ��������� �� � ��� �� �

������$ �� ��9 �� )� � ��)��#���� �� ���

" � ������ ������ �� ����� �� � ��� ������� ������ ����� �� � ������� ��#

�������� ��)��#���� �� ��� "��������9 �� �� ���������� ������9 ����� � ��2�����

�� �������� �� �� � ��,� �9 � ;������ �S�� ��� �� ����,��9 ���� � 2����� �� �

������� ������� �� ������������9 ������������ ��� ������ �� �� ����� �������� ���

;������ ��� �� ����,�� �� "���� %�(�

6 )���� �� ��� �������� �� � �������,� ������� � ��� ��� ��� �� �����#

���� ���� �� � ��)��#���� �� ��9 � � �� � ��,� �� ���� �������� ����

���9 � � ����#�,� � ��� �� ����������9 ����� � �������,� ������� ��� ��� ���

�������9 �� ���� ����� ���������

.". -���� ����������

" � �$������ �� � ����� ������ �������� )� � � ���� �������� ��5������ ����

� ������ ��������� )�'�� �� ����� ���������� � ��,���� ��) �� ���9 ����� �

�������� ����� ������ ��������� ��,��� �$������ ����� �� ��� )�� ���� ��� � ��)

.63�#A�0 �����9 �� �$������� �� Q�%R� " � ���� ��������� �� � ��) �� ����� � ��

��������� ���

�� � �� ���9 � ����G�� ��� � )�� �������� ��� � ����� � �$���� � ��H���

�� � ����� ������ �������� �� � ���� �� � ��� ���� " � �� �� �� ����� �

��� �� ���� ����� 7./40�� ,�����8 �,� � ������ �������� �� � ������� 7) ���

������ � �� ������ ��� � ������� � ����� �� ������ �����9 �� ���� ����� ����

� ���� �����8� " � ����� �� ��� ����� �� ������ �� � �����)�� ����!

• &������ �� � � ���� �� ������ 7�� � ,������ �� � ����� �����9 ��� ���� �����

���,� � � � ���� ���� ����89 ��� ������ ����� ����� � ��� � � �� ����

�����9 � ��� ��� �� '���

• " ��� ����� � ����� � � �� ���������� �����9 � ��� � � ������� )� � ,��

��� ��H���,� ������� �� �������� 7) �� ����� � ���� ��� �. �� ���,�� )�

� �$�� ������ 2����� �������8�

" �� ������ �� ,�� ������ � ��� � )�� ���� �������� )� 1E�

���

Page 133: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

6�� .���� 1���� 4���� .���H 1���H *�����

� ����0^�( -�%�0^�� ���-0^�� ��(-%��\ �-�-%�%\ ��(�0^��

�� ����0^�� ����0#�� ����0#�� ���-\ %����-\ ����0^�%

�� ��%�0#�� %�(�0#�� ����0#�% --��%\ ������\ -�%�0^��

�� ����0#�� ����0#�� ���(0#�( --�-�\ �����(\ (���0^��

�� ��-%0#�% -���0#�% ��(-0#�� --�-�\ �����(\ (���0^��

%� (���0#�( ����0#�% (��%0#�� --�-�\ �����(\ -�%�0^��

%� %��(0#�( ��-�0#�% %��(0#�� --�-�\ �����(\ ��%�0^��

%� %���0#�( ���%0#�% ����0#�� --�-�\ �����(\ ����0^��

%� ����0#�( ����0#�% ����0#�� --�-�\ �����(\ (�(�0^��

%% ���(0#�( ����0#�% ����0#�� --�-�\ �����(\ (���0^��

%� ��(�0#�( ���%0#�% ����0#�� --�-�\ �����(\ -���0^��

%- %���0#�( ��--0#�% ���(0#�� --�-�\ �����(\ ����0^��

(� %���0#�( ����0#�% ��(�0#�� --�-�\ �����(\ ��-�0^��

�� -��(0#�( ����0#�% ��((0#�- --�-�\ �����(\ ����0^��

�� ����0#�% ����0#�( ���-0#�- --�-�\ --�-�\ ��%�0^��

-� ����0#�% ����0#�% ��%(0#�- --�-�\ --�-�\ ����0^��

��� ����0#�% ����0#�% ����0#�- --�-�\ --��-\ %���0^��

��� ��%�0#�� ��%(0#�� ���(0#�- --��-\ --���\ ��(�0^��

��� (���0#�� ��-�0#�� (�-�0#�� ���-�\ (����\ ����0^��

��� ����0#�� ����0#�� -���0#�� %��(%\ #��-��(\ ����0^�%

�%� ��(%0#�� ����0^�� ����0#�� #��%��%�\ #�����\ ����0^��

�(� ����0^�� ���-0^�� ����0#�� #������\ #����0^��\ ����0^��

�(- (���0^�� ����0^�� ����0#�� #��-(�-�\ #-��0^��\ ��-�0^��

"���� %�(! " � ;������� �� � ����� ���� �������� �� ���������� �������

" � ���� $# �� � ����� �� � ����� �� �� �9 )� �� � ������� ��������� " �

���������� ��� ������ �� �� �������� �� � �� �@� ����������9 � ������� ��������

�������9 ��� ��� ������ � ���� �������� �� �,���� ����� � ������� ���� �� ����� 6�

� �� �� ������� �� Q�%R � �����)�� ���� �� ������ �� �� ������� � �� ������

���� 7./40��8 �� �,���

• "�'� � ��� �.9 ��� ����� ���� �� � ������� ��������9 ����� �� � ����

������� 7�'� ��� �� �$����� � �� ,������8� "�'� � �. ���$���� ��,�����

�� � ������� ������� �������� ������� � 7%��8� ���,� � ������ �.� " ��

������� ��,���� �� ���� ����� �� � ������ ��H���,� ,���� � �� ���� �������

���

Page 134: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

�. ���,�$��������. ��������

��. ��������

��. �� ��2��

��. � 1Ea

7����8

� �� ������

���� ����

���� �����

*�� �.

+� �� %�%! " � ;�) � � �� � �� �� ��

• ���,� � ��. ������ 7���� �� �$����� � �� ���� ��. � 1E �� ��2��89 ����

� ������� �� � �. ���$���� �� �� ������ �����

• 6� � ���� ���9 � ������ �� �� � 2����� ��� 2������,� ,������� �� � #

����9 ����� �� ����,����� �� � ������� �� ��$�� 9 ��� �� ������ �. �� #

��2����

" � ��� �� ������� ���� � �� �� � ������� �������� �� � �� ��� �� � ����� �

���� �� �. � �� ���,��� " � �� �� �� �����9 ���� �� � �� ����,���� �� �� ��,��9 �

� ��� '��)� ���� ����� �� ��5������ ����� � � ��H���,� ,���� �� � �������� ��������

" � �'�� �� � �� �� � �� ������� �� +� �� %�%�

A�� �� � ��H� ����������� �� ��� � �S�� � �$���9 �� � ��� ��)� ��� ����

������ �� �2���� �� � 2����� ������� �� � �� �� � )�' �5������� /��� ��)�

��� ���� ����� ������������� ����,� � ����$������ �� � ���,�$�������9 ��� ���

�������� � ���� ����� �� � ����#�� �� �� ��

7$7$& *����+ ��������� ���� �� �0�� ������

*��,�$ ��,������ �� ���� )����� ����� �� �����������9 ��� �� ���� �������� �� �

)� ���� ��� ����� �� ��2��� Q��R � ��������� ��� � ��� ������$ �� �� ���

�� ���� ��� � ���,�$ ��,����� �� ��� ����� ����������� �� ������� �� Q�%R� *������

� ������� �� w := q · x9 ) �� q, x ∈ R ��� lq ≤ q ≤ uq ��� lx ≤ x ≤ ux� " �� �

���

Page 135: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

�����)�� ���2������� ��� Q%�R9Q%-R!

�� �$����� �� � ����$�������

w ≥ lqx + lxq − lxlq

w ≥ uqx + uxq − uxuq

w ≤ uqx + lxq − lxuq

w ≤ lqx + uxq − uxlq

7%��8

������ ���2������� ��� �� ���,�� �� ������ ���9 ���� ������ �� ����������� ��

� �)� �� Q(�R� �������� � � � � �� ���9 � ,��� 2������ �� � � ������ �� �

������ �� � ,�������9 �������� � ����$����� ,���� �� � ���,�$���������

����� �,�� ���������� �� � ������,�$ ������� �� ����� ������� �� � �������

� ���� �� � �����9 � �������� ���,�$������� ���$�����9 ��� ��)� ��� ���� ������

�� ,������� ��,��,�� �� ������� ��� ���� ������� � �5������ �� � ������� �� ����

."/ 3����������

6� �� * ���9 )� �,� ������� ����������� ������� �� ��2��� � ������� �

�5������ ��� ��������� �� � ���� ������� �� ��2��� ���� �� ��� ����� �����������

" � ����� �� �������9 �� )��� �� � ����� �� �������� ��� ,������� �� � ��� �� ���#

�� ����� ������� �������� " �� ������� ��'�� � ������� ����������� �� ��2���

��������9 �� ��� � ������� � �S�� �� � ����� ����������� ��5�������

�� �� )� �,� ��������� �� � ��������� ��2������ ����� �� ����� ������ 9

� ��) �� ��2��� � �� �������� �� � ������ �� � ���� )��� ���� ������ ��������

��5������9 ��� ��� ����������� ���� �� ��'��� � �� �� � ,���� �� � ����������

������ �� � ���� �� )����

�! ���� ��9� � � � �

?� )���� ��'� � �$���� �� ����� � � ������ ��� �$��� �� � �*3 /��� �

3A� .���9 ) � ��,���� ���������� ��� ��� ����� �� � ��������� �� � �����

������� �� �� � ���� ������� ��'� �� ��� � &<�� B������9 T>��� /�J�9 3����

���'�9 />�� "��,�H9 "��� &��> ��� *���� 3<��J���

��%

Page 136: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

����'�

" � ���� �� �������� )� ��,� ����� ������� �� ��2��� �� � �� ��������� ���#

���� �� ����� ����������! ����� ���������� �������9 ����� �� ����� ������� ���

����� ������������ �������� �� �� ������ ��� ���� ����������9 � ������� ���#

��� �� � ������� ������ �� ��������

��� � � � ������� ��,�� ��� � ��������� �� � ����� �� � ����9 � �����

���������� ������ �� ���������� +�� � �������� �� � ,���� �� � ������� ����� ��

������$ �� �� G �� ������ ��,������ �� ����� �� ����� ������� �� ������ � ���

"���'� G � ��) ���� ����� �� ������� �� � ������ ����� �� � �� �� � ����

� )��'� �� ������ ������� +� �� ����� �������9 � ��) �����#���� ��� �����,�

�� ��9 � �� )��� )� � 3&4 �� �� �9 �� ��������

6 �� ��,��9 � � ��) ���� ����� �� � ������ ����� ��������� ������ � �

�� ���� 3&4 �� �� � �� ����� �� ����� �������9 �� )��� �� � � �� ��� ������

� ��� �� � ������$ �� ���

" � ����#���� �� �� � �� ��������� �� � ����� ������������ ������ )�

;�$���� ��,� �������� ���� 7��'� �6+A � 3A�=8 � � ����� �� ��5���� ������� " ��

���$ ����� �� � )���� ����� �� ������ �� ) �� ����#���� ��� �� �� �� �� �����

4���������9 �� �� �� �5���� �� �� � '��)� � � ��' ) � � � ���$ �� ��5���� �

��� " � �� �� � �� ��������� �� � ����� �� 0. ������ ��� � ������� �� �� � ��

������� �� �������� ��� ����� ������������ ������9 ��� � �� � ���,�� � � ��,����

� ���������� ������� � � ���$ �� � ������ �� �� ��5�����

+� ��� ��,� �� �� � ������� �� � ����9 � �� � �)� � �� ������ ��� ��

������ )� � ��) ������ �� s#������� ��,� �������� ����� " �� ��,� �������� ���

����)� � ����������� �������� ���� �� ��,��� ��,� �������� ����9 ��'� � 3A�= �

�6+A9 � � ��������� ������� ����$ ���� " � ;�$���� ��,� �������� ���� ��� ���� ����)

� �,��� ���������� ������� ��,���

�� � ��� ���� ����������9 � ���� ������ �� � ������� ������ ������ �� �

������� ������ �� ������� � � ��� �� � ������� ������ )� ����� ����������

��� �� ����� � " ��� ���������� ��� �������� ����� �� ��� � � � �� �

��� � ���9 �� ������� ��,��� ������ �� ��� ���� ������� ����� ����������� " �

�������� � ����� �� ����� �� �������9 ��� ��,��� �� ��� � ����,�� � �������

������ �� ���������

Page 137: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

6����$���'�7

� <��� � ����>�� ��������>�>� >�� �K '������'�� ����<�>H>��'9 � ����>�� �� �� �#

���< �9 � ����>�� �� ����>�� <� � ����>�� '����������>�� ��������' ��,� �� ��#

����''�� J<�K �� ���>�>,�� �� ���'���'� � ����>�� ��������>�>� � � ����� ��'����

��'�����>��9 �� ���H���� '�,�<��9 ����,� ����<� �,��<�� ������� ���� >� ��'�����>�� �<�#

��'<��

� J<��� >�'��<� <� � ��� ��� ��'P>H>��' �����<�� �>� � ��� ��� ><

� ����>�� �� �� ����< � ������ �� ���>�>��' ,��� >��>�� �� ������ �#"���'� �<��9

������� ����>�� �� ����>�� �������'� '���H����� ������ �����#�� 73&48 �������$

�� �����>��' 7� � ,��>��> ��H�����I' '� �� �� ����< � �������8 �����<�<�K�9 � �

� ���'>���L� ��� <�� �� ���>��> � ���<�� ����� � '������'��L� ��<K ����K '��>�

'����' � �� ��< �� �<�<���>� ��$����>�� 1� ���>� �������' '����<�<� �������'

� � ���>�#��>� H���� N �'��O, �� �����9 ���� HL� ������'���' �� 3&4 �� ����� ���

3� ����'9 � � � �<�<���>�� ��� PH '��>9 �� ����� ����>�� �� ����>�� 3&4

�� ������9 <� � �������$ �� ����� ���K9 ����,� �>����' �>���>� �� >���>���O �L�

� ����>�� '����������>�� �������' �� ���>�>� ���� >�L ����#���� �� ����� ;�$#

������ 7��� ������� � �6+A ,� � � 3A�8 ����$ ,>����>�� ����>����� ���>� ,>����>��'

� � >���>���O>�> ���' �� � ��' �� �K,��� �>�$���>���9 ����� �� ����#���� O���P

�� ������' �< ,< ���'� 0� � �>�$���>�� �� ��< �< �� �>�$�' ���>���� ��H�>����

�L���9 ��� ���� �<'��� ��H>>� �� ��< �< ���< �����K�<�<�9 ������� �� �� �����

>���>���O �L��' �������� �� P ���,��� 0. <���' �������<���� �� O � >���>���O�

�� ����� ���K�� �� ����>�� '����������>�� ������� �����O �L9 <� ,� � �� ���H� ��9

,� � ������� �<�N ������O<'> ���� >��H� ����'9 � � � ������ �>�$� ��� ��< �< ���

3��� � ����>�� �� �� ����< �9 ���� � ����>�� �� ����>�� ������� ������ ��,�

�� ������'� � ��9 � � � �� ���>��L '<����' �� >�����' ��,����9 P ���,��� s#

������ ����$,>����>�� ����>���' �� O�< <,�� ���������9 ����,� � ������ >���>���O�

����#���� �� ����� ,< ���< <��' �����O>�>� �� s#������ ����$,>����>�� ����>�� ��'�#

������'� 0��� ����$ ,>����>�� ����>�� J�� ���� ����>�� � ����HN '����<�< ���� �� �K,<9

��� �<��>�� � 3A� ,� � � �6+A ����$ ,>����>�� ����>��9 ����,� �'> � '������'�� ���#

��>�����$ ����>�� ��� � ;�$������ ����$,>����>�� ����>���'9 ��>��� ������ �����O �H>'

� �����'���� ������� �>������<' ��'�I�<�<�

� ����>�� ��������>�>�� �������''�� �� ���'��L ��H����' ,< <�9 � �9 �� ���H������ H��#

�� ���� '�,�<�9 ����<� �,��<�� ������ <,<� ����' �<��> �� ��< �� ��'�����>��'��

�� ��'�����>�� �<��>'� �� JJ��' ��H������ �� ����' � ��< �� '����9 ������� �� ���#

H���� '�,�<��9 ����,� ����<��,��<�� �������' �� ���>�� ��>� �����I�K ����>�� ������#

��>�>�� �������' �� ���>�>��' ��'���>9 � �����I�K �� <��< �'�9 <� ���' � � �� ��< ��

'����<�< ����' ���

Page 138: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

!�������� �

Q�R 6� ���� ��� �� 3� ����� � ������$ �� �� � ) ��� �,�� � ����� �� ���� �� �������

��)��� )� 2������ �������� �� � ������ ���������� I������ �� �� ����������

��� �� ����� ��������9 ��7�8!���G�-%9 �-�%�

Q�R 6� ����9 �� 3� ����9 ��� 3� T� "���� ��) ����� �� � �,�� � �� �,�� �� ������$

�� �� ��� � ������ ���� ����� %����" 6������" ��� %�����9 ��7�8!���G���9 �-���

Q�R �� �� �''���`9 �� &��� 9 ��� "� 6��<�� ��) ,����� �� � ����#���� �� �� ��

������� ��������� ���,�$ 2������ �� ����� � �������� I������ �� ����������

7�������9 �%�7�8!��G�(9 �����

Q�R B� 3� ������ � ��� "� "���'�� � �������� �����#�� ������$ �� �� � �� �����

�� ����� � ��������� 7�������9 ��7�8!%%(G%(�9 �--��

Q%R *� ����9 T� &���� 9 .� :�����9 �� �� 1� ����9 ��� �� 3������,�c� .����� ������!

������,� ���������� ��� ������� �� ���� ������ �� %������9 %�!�(�G��(9 �����

Q(R 1� �,�� ��� =� * ,���� ���� �� �����@� ���� ���� ����� #����� ��� %��9

�!��G��9 �-���

Q�R "�0� &�'� ��� ���� ������� ��������,� ����� �� ����� � 0$$��� ������ ��

%������9 ��7�8!�(�G���9 �-�%�

Q�R 3� �� &�����9 :� 1� � ����9 ��� *� 3� � ��� ��������� #����� ���. ����� ���

������������ ����� 6� 1����� 3� ������ ��� A���������� T� � ?���� d ����9

�-�-�

Q-R T� +� &������ .������� �������� �� ���,�� ��$��#,������� �� ����� ���#

����� �� ������� ���� ���9 �!���G�%�9 �-(��

Q��R +� &����9 W�� *��������9 ��� "� 6��<�� ������ �#���'� ��� �������� ������$ �� �#

� �� �� ����� ���������� �������� ������� � ��� �5���� ������ ��� %�������

Q��R +� &����9 W�� *��������9 ��� "� 6��<�� � ��) �������� �� �������� ��� ������$

�� �� �� �� ���������� �������� ������� � ����� �5� ��� ����� $����" E��

/��������F�

���

Page 139: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

Q��R T�3� &���� ��#E�)��� ��� 3� "� :� 0�� ���� /��������� ������� �� ����� ! ��

���������� �� ��� ���� ����� �������� I������ �� ���������� 7�������9 ��7�8!�(�G

���9 �-�%�

Q��R B� :� &� )��� .���������� �������� �� � ������$ �� ��� 6� ���� ����� ���

����� ��� ������� ��� ������ ������ ��� 86��������! ��! (DCC99 ,����� ��� ��

���� �" ���"9 �� �� ��G��� ���� 3� � ����9 .�,������9 E69 �--��

Q��R B� *����� ��� T� 0������� 0$��������� ������� ������ 6� #�������� �� ���

������� 8���������! �I! (DCD99 ,����� � �� -����% %��" -������ ���" ������"

�� ��" %��"9 �� �� ��G���� ���� 3� � ����9 .�,������9 E69 �--��

Q�%R X� X� * �� � ���� ����$ �������� �� �� ������ �� ����� ������������ ��������

7�-#��89 �-�-� "�� ����� E��� �-#��9 1������ �� A������� E����� 9 �"�����

4��,����9 ������9 *�������9 4���

Q�(R �� T� * �� � �.#����������� �� � ����� ������������ ������� I������ ��

��� �5���� ����� ��� �����������9 (�7�8!�-�G�--9 �-�-�

Q��R =� * ,>��� $����� ������ ���� � ����� �� &��'� �� � 3� ������� ��������� ?�

:� +����� ��� *������9 ��) X�'9 �-���

Q��R E� ?� *���9 T� �� .�� 9 ��� =� =��'���)���� ��5���� ������ ��� � �����

������������ ������� $����� ������� ��� �� �����������9 ���D��%!���G��-9 �-�-�

Q�-R W�� *�������� ��� "� 6��<�� ��) ����#���� ��� �� �� �� �� ����� ������������

������� )� ��5���� ������� ��� �5���� ������ J %������9 ��7�8!���G�((9

���(�

Q��R W�� *��������9 "� 6��<�9 ��� 3� �� �� �� � ����� ������� ���������� �� ������! �

���� ����� "�� ����� ���9 3A�9 ���(�

Q��R /� &� 1���� � $����� ������ ��� ��� �'�������� .������ 4��,���� .���9 .����#

��9 ��T�9 �-(��

Q��R /� &� 1���� ��� .� ?����� 1����������� �������� �� ����� �� ���� ���������

7�������9 �!���G���9 �-(��

Q��R 1� ��� :�� 9 *� E���9 ��� "� "���'�� " � ����� ������������ ������9 ��5����

������9 ��� � ����#���� �� ��� $����� ������� ��� �� �����������9 ���!�G��9

�--��

��-

Page 140: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

Q��R �� 1���9 0� �������� �9 E� .�� ���9 ��� "� "���'�� " � ����� �� ,���� ��� �

,����� �� � '���#���� ����� ��� �5���� ������ ��� %������9 ���%� "� ������

Q�%R �� 1���9 0� �������� �9 ��� "� "���'�� :�) ��� �� ����� ���� �� ���a '���#

���� ����� � �� ������#������$�� ������� ������7����! ������� ," /� ���

��! ������! ������"9 7��89 �����

Q�(R 6� 6� 1�'��� 6���,� ������� �� ������� �� ����� ��� 2������ �� ����� � -�����

����� �� ���� %%%79 ���!���G���9 �-(��

Q��R /�� +�'��� � �����#�<�� ��� ���'�� ��, ��'�����>��� 7 � ����������� �� � ��� ��#

���� �������� �� �����8� ���� ����� K� ��� K�5���� L�� M���NO9 ��!�%�G���9

��-��

Q��R /�� +�'��� � �����#�<�� ��� ���'�� ��, ��'�����>�����' �� ���� ����H>L� 7�� �

�� ���� ���' ���� �� � ����������� �� � ��� ������ �������� �� �����8� �����

����� K� ��5���� $����9 %!�-G%�9 ��-(�

Q�-R /�� +�'��� " ���� �� ������ �� �� ���� �� ��� I������ �P� ��� 7���� ��� ���������

���� ���9 ���!�G��9 �-���

Q��R *� �� +������ ��� =� =��)��)���� .����#���$�� ���� ����� ���������� ������ �

I������ �� ��� �5���� ����� ��� �����������9 ��7�8!���G��%9 �--��

Q��R B� E� +��� � ��� ������ �� ������� ���� ��� ������� ������ ������ ��� ������ ��

4��,���� 6����� �� 0��������9 A���9 �-%%� 3���������

Q��R B� +�'���9 3� ����'�9 ��� �� "����� 0. ����� ��� ����� ������������

�������� -������ ������� ���� ����" �� ��������� ������� �! ��� �5���� ���

�� ���� %������9 ��7�#�8!���G��-9 �--��

Q��R B� +�'��� ��� "� "���'�� ����� ������������ ��� ������ ������� I������ ��

�� ��������� 7������� %���� �� I����9 �%7�8!�%G(�9 �--��

Q��R B� +�'��� ��� "� "���'�� *���#���� �� ���! � ��� ,��) �� ��,� �� �� ���

���� ����� #����� ���9 �-7�#�9 ��� &8!�(-G�-%9 �--�� ������ �� �� �������

�� ����� 7����-�8 7��������9 �--�8�

Q�%R B� +�'��� ��� "� "���'�� A� � �$������ �� � � � ���������� ��,� ��2�����

�� ���������� ��� ����� ���������� �������� #��� ���� ���� ��� �����������9

��7�8!���G���9 �---�

���

Page 141: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

Q�(R .� 0� /���9 ?� 3���9 3� �� �������9 T� �� "�����9 ��� 3� :� ?� � A� ��H����

��)�� ���� �� ��� �� ����� �� ����� ��� �� �2��,������ � B���'�@�

��H���,� �� ��� ���� ����� #����� ���9 �(7�8!���G��-9 �-�(�

Q��R E� 0� /�5 ��� E� �� ��)�� � �������� �� ����� �� ��2�� �� � �������#

��� �� ��������� �������� ������� ������ �� %������9 �!��-G�-�9 �-(�D�-(��

Q��R �� :��� 1�� ���'�)�'��� � ������ ��� ��� ���F ��� �� ��� � ���'������ ����

� ������ �������9 ��!�-�G���9 �-���

Q�-R �� :��� � ����>�� � ����K����< �'K�� ��� ����� K� ��� K�5���� L�� K���NO9

�(!��-G�-(9 �-���

Q��R 6� :�H��'��'�9 "� ?�������9 T� 6��'����9 ��� :� �'��,��� 1�S��� ���������� ��

���,�� �� ���� ������� �� � ����#���,��� ���� )� ���� �� ����� ��� ��� ����

�����������9 ��!���G��(9 �--(�

Q��R 6� :�H��'��'�9 "� ?�������9 E� .J�9 ��� :� �'��,��� 1�S��� �����������

�� ���,�� ���#���,�$ ��#���� ������� �� ������ �������� I������ �� ����������

7�������9 ��%!%-�G(��9 �--��

Q��R .� :���� E�������� �� �� ������� �� ����� )� �������� �������� �� �

�� �� �� ����� 6� ��������� ������ ���9 �� �� ���G��-� �� :������9 ����#

���9 " � �� ������9 �-(��

Q��R "� 6��<� ��� "� "���'�� .�,� ,���� ����� ���� �� ���! ��� ��� ����� �����

���� I������ �� ���������� 7�������9 ���7�8!���G�-�9 ����� A�E� �� � ����� 0����

7&������9 ����8�

Q��R �����"�� 6��� �!DD)))�������� ����D�

Q�%R &� T�S�� /����� ���������� �� ����� ������� � 6� (>� �,7� ���� ����������.

��������� ��� �5���� �� ������9 ���%�

Q�(R �� B���'�� � ��) ����������#��� �� �� � �� ����� �� ����� � �� �������

���" �� ����������� I������ �� �� IL��� 6���� ���� ����� %����9 �7�8!���G�-%9

�-���

Q��R 0� B�����'� ��� "� "���'�� =����� �� � :�� ���� �� �� �� ���,�� ����� ��#

����� �������� ��� �5����9 ��7�8!�-G-�9 �-�-�

���

Page 142: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

Q��R 0� B�����'� ��� "� "���'�� " � ��� �� ��,��� �� ��,�� ���� ���������� �����

�� ����� �� ���� $����� ������� ��� �� �����������9 �%�!-�G���9 �--��

Q�-R =� B��� ��� .� B������ ���� " � d#��� ���H���� ��� �� ����,��� ���� ���� ��

��������� 7�������9 ��7�8!���G�%%9 �-���

Q%�R =� B��� ��� /� T� 3���� :�) ��� �� � ������$ �� �� �a 6� ���0�������! ��� 8#���"

����� % ���"! ,���" ����������! $�� �������! �����"! (D=D �������� � �� � �� ��

�������� %" ��5���99 �� �� �%-G��%� �������� .���9 ��) X�'9 �-���

Q%�R 3� B�H���9 �� 3� ����9 "� ����9 ��� �� X�� ���� � ���&�� �������� � �������

���� ������� � ��� ������ �� ��� ����� ������ �9 ,����� %�� �� $����� ���� ��

�� ���� %������� ���� �#=��� 9 &����9 �--��

Q%�R �� ������ ��� &� T�S�� " � ������� �� ��)��� �������,� ������� ��� ������#

��,� ����� �� ����� �� ����� �������� ������� ������� 6� �#7� �� ����

���������� %����! 3��������9 �--��

Q%�R �� ������9 �� ?���9 �� ��'�9 ��� /� +� .�������� ���,�� � ������ ������

���� ��������� ������ ����� ��� ��������,� ����� �� ����� �� �� ��� ���

%�� �� 6������9 ��!-G�%9 �-�-�

Q%�R �� �� ������9 3� 0�2���9 ��� /� +� .�������� �������� ���������� �� ��������,�

����� �� ����� � ������ �� %������9 ��7��8!���(G����9 �-���

Q%%R *� 0� ���'� ��� T� "� :�)���9 T� 02�������� ����� �� �����$ ����� I" %��"

�����" ����" ���"9 ��!���G���9 �-(��

Q%(R *� 0� ���'� ��� T� "� :�)���9 T� A� ����������� ��,� ���� 6� ���� ���� ��

�������� ��������9 ,����� .� �9 �� �� -%G���� �3�9 .�,������9 E ��� 6�����9 �-(��

Q%�R 6� 3���� �� �������� �����0��� �� �� �� ���' ����� 6��������� ����� ��

A������� E����� d 3��� ���� �������9 (�� B��)� �������� .����� ��9 &����9

3�9 ����� ?� � ���)�� �� ���>� .<'����

Q%�R /� .� 3�*����'� *��,��� ����� �������� �� ����� ������� � ��������

���#����� �� ����� �������� "�� ����� E��� "#�(�9 /�� � ?�� �� �� 4��#

,����9 ?�� �� ��9 1�*9 " � /�� � ?�� �� �� 4��,����9 �-���

Q%-R /� .� 3�*����'� *���������� �� ����� �������� � �������� ������,�$ �� ����

���� ����� #����� ���9 ��7�8!���G��%9 �-�(�

���

Page 143: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

Q(�R *� 3� 3�1����� ��� *� 1� +������� /����� ���������� �� � � ��� ��� � ���#

��� �2�������� ������! ���������� � � �� �2������ �� ����� ��� ��� ����

�����������9 �-!����G���-9 �--%�

Q(�R ����� 3� ���� ��� E� * ������'���� A� � ε#�������� �� �� �� �,�����

�� ������� ��������� 7������� $����9 �7(8!��%G���9 �-�-�

Q(�R *� �� 3��� ��� *� �� +������� "������ ��������� )� ��$�� �� � �������! �����

�� � ���,�$ ��� �����,� ��,������� I������ �� B����� ��� �5����9 �-7�8!��%G�%%9

�����

Q(�R :� 3��'�)�'�� B�� ���� ��� Q������ "�����9 ������ ��� &����9 ��-(�

Q(�R B� /� 3��� *���������� ������$�� �� ������� ����� �� ����� � ���� ��

���� #����� ���9 �-7�8!���G��-9 �-���

Q(%R B� /� 3��� $����� ��� �� ��������� ������ ���� E��� 0� B�� � .����� ��

*�� 6���9 3�������9 +�9 �-�%� E���� �� � �-�( �� �����

Q((R B� .��������� .�,��� ���� ������ � ������$ �� �� �� ��� �������� ,�����

�� '���#���� �$������� ��������9 �(7�8!��G-(9 �-�-�

Q(�R ����� .63�� �!DD)))�������� ����D������D���������a.����61Z��-�

Q(�R 3A� .��� " � :�� ���� A�� *������9 �!DD)))����� �D��D����e���D�

Q(-R �� .<'���� A� � ��,������� �� ���������� ���� ����� �5� ��� �����

$����9 �7�#�8!�(%G�-� 7�-�-89 �-���

Q��R �� .<'���� A� � ��,������� �� ���������� ���� ��� � ������ ���� �����

�����9 ��7�8!%��G%��9 �-���

Q��R E� "� E��'������� " � �������� ,���� �� � �������� �� RN � 6� �� ��������� ����

� ���� ��� �� ����������� 8#���" ����"! ,���" ���� ��������! ������ /���! �"�"!

(D=>99 �� �� ���G���� 4��,� �� *������ .���9 * ���� :���9 ��*�9 �-(-�

Q��R *� E���� �� �$�������� �$����� �� "���'�@� ��,��� ��� �� � ����#���� ������$

�� ��� ���� ����� #����� ���9 �(7�9 7��� �88!�-G��9 �--��

Q��R *� E���9 "� "���'�9 ��� T� .� =���� ������� ���� ����� ��� ������ ��� �5�����

���� �9 ��) X�'9 ���(� ������ ������ �� ����� ��� ������� � ��� ������ ��� �5��

��� Q?����9 * �� ���9 �--�Y 3E��%��-�R�

���

Page 144: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

Q��R A� T� �� �� ��� *� 3� *�)�� " � �������� ������� �� ������� ��� ������������

������� ���� ����������� ���������� �� ���� �� ����� ��� ��� ���� �����

�������9 ��!���%G����9 �--��

Q�%R �� �� �H,�� ����� �� ������ ��� ������ ������ ���� ?����#6��������� ����� ��

1����� 3� ������� T� � ?���� d ���� ���9 * �� ���9 �-�(� � ?����#6���������

.����������

Q�(R E� f����'� ���,�� � �������� ���#���,�$ �� ���� ������ )� � ����� ����

�� �� �� �� ����� ��� ��������� 7�������9 �(!(��G(�%9 �---�

Q��R /���� ��� � $����� ������� ��� �� ������������ �������� .���9 ��) X�'9 ������

������9 �-���

Q��R "� "���'�� � ���� U����#���� �� ��V �� ���,�� ����� �� ����� ��������

����� �5� ��� ����� $����9 ��7�#�8!��-G�-(9 �-���

Q�-R "� "���'�� � ���,� �� ����#���� �� ��� ��� �5����9 �(7%8!(��G(-�9 �-�%�

Q��R "� "���'�� � ���� ����#���� �� �� �� ������ ������� I������ �� �� ���������

����� 69 ��7�8!��-G���9 �-���

Q��R "� "���'�� ��� �5���� �� ������������ ��� �� A� ������ �� :�� ����! R��� ���

�5L�L� S�5��� ����� ����� �����5�������T9 1��� �� ������� " ����9 ���%�

Q��R "� "���'� ��� �� W� W �� � .�,� ���� �� ����� �� ����� ! � ��,�� �� ����

������� ��,��������� ������ �� ��������� 7�������9 �(D��7�#�8!���G���9 �--��

1� ������ �� ���������� ��������

Q��R 3� T� "���� .��������� �$����� �� �,�� �� � ��,��� �� �� � �� ����� ���������#

��� ��� ����� �� ����� �������� ���� ����� #����� ���9 �%7�8!���G�-�9

�-�(�

Q��R �� "�'�9 X� X�H���9 ��� "� 0�'�)�� � ��)#��' ������� �� ����� ������

�� ���#������ ������� �� � 2������ ���� ���� ������� �������� I������ ��

���������� 7�������9 -�!���G�-�9 �--(�

Q�%R 3��� "��'�� �� �������� # ���9 ����� ��� ����� "�� ����� ���9 B&* ��,�����

"�� ���� ���9 6���9 :�����9 "�$���

Q�(R :� =F��� �� P∗#������ �� H�� ��5����� $����� ������� ��� �� �����������9 ��-!���G

���9 �--(�

���

Page 145: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

Q��R :� =F��� �� *���� �� ��5���� ������� $����� ������� ��� �� �����������9 ���!��-G

��-9 �--(�

Q��R *�T� =���� ��� 3� /���� ���'$� � ����� ������ � ��� ����� )� ����� ����� ���

��������� ��� ���������� �������� I������ �� ���������� 7�������9 ��-!���G�%�9

�����

Q�-R =� =��)��)��� ��� *� �� +������� ��) ������� ��� ����������� ����,����

�� � /A. �� �� � �� ������� )� 2������ ��H���,� �������� ��� ���������

I������ �� B����� ��� �5����9 �7�8!��-G�(�9 �--��

Q-�R =� =��)��)��� ��� *� �� +������� ��) ���������� ��� ���� �� ��� ��� �� �

/A. �� �� �� 6� B����� ��� �5���� �� ����������� ������9 ,����� - �� ��������'

��� " ����"9 �� �� �%G��-� B��)� ����� .����9 1���� 9 �--(�

Q-�R /� +� =������ ���,����� ����������� ��� ������� ������� > �� <��� ��� �����

2�����2���� I������ �P� ��� 7���� ��� ��������� ���� ���9 ���!-�G���9 �-�-�

Q-�R W� 3� ?�� � � ���� ��������#���������� ��� �� �� � �,� ������ ����� ��#

����� � ������� ������ �� ���� ����" %����� 69 �7�8!���G��%9 �-��� � * �����

������ ������ �� * ����� ���� 3� � ��� � + 7�-��89 ��� �9 ����

Q-�R E� 0� ?������9 T� :��9 ��� .� � �� 3���������� �� � ���#�������� ��H���,�

������� ���H�� � ���H��� ��������� ��������� 7�������9 ��7�8!(��G(%�9 �-�(�

Q-�R "� ?�������9 6� :�H��'��'�9 ��� T� 6��'����� ���,�� � �������� ����������

������ �� � ����#���,��� ���� )� ����� �� ����� ��� ���� �����������9 ��7�G

%8!%(�G%��9 �--��

Q-%R "� ?�������9 6� :�H��'��'�9 ��� 6��'���� T� ���,�� � )�#����������� ��#����

������ )� ����� �������� I������ �� ���������� 7�������9 ���!%��G%��9 �--��

Q-(R 3� �� :� ?� � " � �����#���� �,������ �� ����������! ����9 ����

��,��������9 ��� ��� ����� ����2������� 6������ �� �� � ������ ���� �����

%����9 ��7�8!�-G%(9 �����

Q-�R [.E��#3.� �!DD)))���� ��������������D ���D������D������e�,�,��)� ���

Q-�R T� W� W �� 9 �� :� B��9 ��� �� ������� �� ����,�� ��������,� ����� �� �����

�� �� �� ������ �� %������9 ��7��8!����G����9 �-�%�

��%

Page 146: ELTEweb.cs.elte.hu/~csisza/files/Zsolt_Csizmadia_Thesis.pdf · 2007. 3. 20. · 9 ) ! # 9 # , , / + , = 7 1868 − 1908 8 q-r9: # 3 ') ' 7 1864− 1909 8 q( r t , 7 1903−1957 8

Q--R �� W����� " � ����#���� �� �� �� ���,�� ����� �� ����� �������� ������ ��

%������9 �%7�8!��(G��%9 �-(-�

��(