Convoluzione in RR R · 2020. 12. 17. · Johann Peter Gustav Lejeune DirichletJohann Peter Gustav...

L’operazione di

Convoluzione in R,con applicazioni a

modelli integrali di Correlazione

revisione05 luglio 2021

claudio magno

www.cm-physmath.net

CM_Portable MATH Notebook Series™

L’operazione di Convoluzione in R , con applicazioni a modelli integrali di Correlazione – I

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859)

L’operazione di Convoluzione in R , con applicazioni a modelli integrali di Correlazione – II

INDICE

Introduzione p. III

La Convoluzione Sommatoria p. 1

La Convoluzione Integrale p. 2

• Esempio 1 p. 3

• Esempio 2 p. 3

• Esempio 3 p. 3

• Esempio 4 – La Convoluzione tra due curve Gaussiane p. 4

• Esempio 5 – La formula di Convoluzione Integrale di Dirichlet p. 5

Proprietà della Convoluzione Integrale p. 7

• A. Proprietà algebriche p. 7

• B. Proprietà analitiche p. 7

La trasformata Integrale di una Convoluzione Integrale p. 9

• Proposizione 1 p. 10


Cenni ai modelli integrali di CORRELAZIONE p. 13

• C. La Correlazione Mutua p. 13

• D. L’Autocorrelazione p. 14

• E. Teorema di Wiener-Khintchine p. 14


Bibliografia p. 17

L’operazione di Convoluzione in R , con applicazioni a modelli integrali di Correlazione – III

Introduzione

Si può incominciare con il costruirsi un’idea primitiva, superficiale ed elementare quanto si vuole, di come, vistadall’esterno, si presenta una struttura convolutiva:

è assegnata la coppia { , }p q R di quantità dipendenti, rispettivamente, dagli indici variabili e . Questi, sonosemi-indipendenti tra loro, nel senso che, e.g., p dipende da mentre q dipende da : , con formalmenteindipendente da . Inoltre, gli indici e (quindi, anche ) siano entrambi dello stesso tipo: o discreti o continui.Ora, considerato il prodotto pq , l’operazione di Convoluzione di vs.q p consiste nel far propagare pq additivamente,mediante una somma o un integrale, facendogli percorrere l’insieme di definizione – numerabile o continuo – di eavendo fissato come parametro a variazione superiormente limitata da

{ }(i.e., )sup

.

Dal punto di vista geometrico, è immediato riconoscere (v. Fig. 1, P. 2) la Convoluzione come un’isometria diriflessione assiale nel piano Y vs. l’asse variabile /x 2 di simmetria. Così, l’operazione apre la strada adapplicazioni più o meno dirette del Principio Deterministico, dal quale, è noto, provengono innumerevoli modelli dellaFisica e dell’Ingegneria, dalla Gravitazione Newtoniana alla Meccanica Statistica in regime stazionario, all’Ottica Fisica,alla Teoria dei Segnali e a quella dei Servo-meccanismi, alla Statistica, alla Teoria delle Distribuzioni e a quella delleEquazioni e delle Trasformate Integrali (v., e.g., [1], [5], [10], [12], [14]) nella Bibliografia finale).

C M

L’operazione di Convoluzione in R , con applicazioni a modelli integrali di Correlazione – 1

La Convoluzione Sommatoria

Quando due somme di potenze ordinate, ciascuna di tipo qualsiasi (polinomio o serie, questa anchedi Laurent con un numero infinito di addendi di indice negativo),

( ) e ( )r sr s

r s

x a x x b x ,

dove { , }r s Z , vengono moltiplicate tra loro secondo l’algoritmo P , i.e., il Prodotto à-laCauchy, si ottiene ancora una somma (possibilmente, una serie) formale di potenze,

( ) ( ) nn

n

x x c x , (1)

i cui coefficienti nc , con n Z , sono generati dai coefficienti er sa b per mezzo della regolacommutativa di sovrapposizione (overlapping) progressiva dell’indice k sull’indice n

:n n k k k n kk k

c a b a b . (2)

Nelle forme equivalenti (2), n fissato, l’indice discreto k varia in modo che sia (o )n k ka a sia (o )k n kb b corrispondano a coefficienti effettivi dell’espansione di ( )x e, rispettivamente, di( )x . Altrimenti, si assume nc 0 .

Ad esempio, se

( ) e ( )r sr s

r s

x a x x b x

0 0

,

allora, (: { })n 0 0Z Z , si trova che

:n n

n n k k k n kk k

c a b a b

0 0

. (2.1)

mentre, se

( ) e ( )r sr s

r s

x a x x b x

,

segue, n Z , che

:n n k k k n kk k

c a b a b

. (2.2)

Si dice che il coefficiente generale nc risulta dalla convoluzione sommatoria di coefficienti er sa b

assegnati secondo l’una o l’altra delle somme (2.1) e (2.2). Globalmente, l’insieme ordinato discreto,al più numerabile (successione) { }nc costituisce l’elemento della Convoluzione Sommatoria degliinsiemi ordinati discreti, al più numerabili entrambi (successioni), { } e { }r sa b , costruiti secondo lesomme (2.1) o (2.2) sequenzialmente.

■


La Convoluzione Integrale

La generalizzazione al continuo dell’operazione di Convoluzione porta a rappresentazioni integraliparametriche su intervalli specifici, finiti o illimitati. La Convoluzione Integrale di due funzioni, e , generalmente continue e a valori in C , indicata con l’operatore lineare ( ) , si esprime,rispetto a intervalli ammissibili di integrazione R , prescritti o convenzionalmente sottintesi, congli argomenti dei fattori integrandi in forma riflessa (cfr/c Eq. (2))

( ) ( ) ovvero( ) ( ) ( ) ( ) :

( ) ( ) , etc. .

x

a

u x u dux x x

u x u du

0 (3)

La sua ricorrenza in modelli formali e in applicazioni, e.g., in Fisica Quantistica, in Ottica, inElettronica, in Statistica, e i suoi legami strettissimi sia con la Teoria delle Equazioni Differenzialiche, soprattutto, con quella delle Equazioni Integrali la collocano – a ragione – tra le operazionipeculiari e fondamentali dell’Analisi Matematica.Un’interpretazione geometrica della Convoluzione Integrale è suggerita dall’argomento del fattore integrando , nelleEq.i (3): la Convoluzione Integrale delle funzioni e nella funzione trasformata ( ) del parametro x

corrisponde a una riflessione assiale di graf vs. la retta parametrica (variabile) /x t 2 (in Tedesco: die Faltung,i.e., avvolgimento). La funzione rappresenta il nucleo (der Integralkern) della sua convoluzione con ; in altritermini, a viene assegnato il ruolo di funzione-peso nell’operazione di convoluzione. Le proprietà analitiche di sono determinate dalla ‘quantità’ di correlazione integrale, i.e., di sovrapposizione (overlapping) tra le superfici normalivs. l’asse di ( ) e di ( )graf graf , espressa dall’argomento traslato dix t vs. quello di .Nella Fig. 1, è riportato l’esempio elementare relativo alla funzione : ( )xx e x e al suo nucleo convolutivoassociato, anch’esso scelto di tipo esponenziale, ( ): ( )t xx e t x .

Fig. 1

In termini astratti, la Convoluzione Integrale di due funzioni generalmente continue è il prodottogeneralizzato tra queste, intese come elementi dell’Algebra di Schwartz in (o in )n nR C .Dal confronto con l’Eq. (2), viene spontaneo chiedersi se anche la Convoluzione Integrale siaun’operazione almeno commutativa.


Esempio 1

Rispetto all’intervallo [ , ]x0 , si ha

: ( )sin sin sinx

x x u x u du x x 0( ) :sin sin

x

x u udu x x 0 . (3.1)

Il risultato (3.1) è palesemente commutativo.■

Esempio 2

Riducendo l’intervallo [ , ] { }x 0 0R all’intervallo [ , ]0 1 mediante la trasformazione affine:u xt (qui, x è considerato come un parametro) tra le variabili di integrazione eu t , si ha, in

termini delle Funzioni Eulero-Legendriane e ,

/ / / / / /: ( ) ( )x

x x u x u du t x t dt

1

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

0 0

( / ) ( / )( / , / )( / / )

1 2 1 21 2 1 2

1 2 1 2. (3.2)

L’Eq. (3.2), banalmente commutativa, mostra che la convoluzione integrale di due espressionifunzionali variabili in intervalli opportuni può risultare costante.

■

Esempio 3

La convoluzione integrale in R di due funzioni-gradino di ampiezza unitaria e di larghezzerispettive ( ) e ( )b a a b può essere rappresentata mediante la Funzione - diHeaviside (tale calcolo trova applicazione in certi problemi di barriera di potenziale 1D, tipici inMeccanica Quantistica):

, ,( ) ( ) ( ( ) ( )) ( (( ) ) (( ) ))a b x u a u b x u x u du

( ) ( ) ( ) ( )u a x u du u a x u du

( ) ( ) ( ) ( )u b x u du u b x u du

.

Il procedimento di integrazione è identico per ciascuno dei quattro addendi risultanti. Così, riferendoil parametro x all’ascissa relativa , :ax x a , il cui valore assoluto corrisponde alla larghezzadel primo gradino, si ha

( ) ( ) ( ) ( ( / ) ( / ))u a x u du x a x a x a

1 2 1 2

, ,( ) ( ( / ) ( ( / )))a ax a x x 1 2 1 2

,( ) ( )R ax a x ,

rappresentando con ,( )R ax la funzione-gradino di ampiezza (verticale) e di larghezza (orizzontale)unitarie (rectangle function) in termini dell’ascissa relativa ,ax .Pertanto, risulta


, , , ,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )R Ra b a ax x a x x a x

, ,( ) ( ) ( ) ( )R Rb bx b x x b x

(3.3)

, ,( ) ( )a b x .■

Esempio 4 – La convoluzione tra due curve gaussiane

La convoluzione integrale di due distribuzioni statistiche gaussiane, eg g1 2 , è essa stessa unadistribuzione gaussiana. Infatti,

( ) (( ) )

/ /( ) ( )( ) ( )

g gu x u

x e e du

2 21 2

2 21 22 2

1 2 1 2 1 21 2

1 1

2 2

( ) ( ( ))

( )

u u x

ue du e du

2 22 21 22 1

2 21 22

1 2 1 2

1 1

2 2.

Qui, è conveniente semplificare l’espressione dell’esponente nella funzione integranda.Espandendo i quadrati binomiali nel numeratore di ( )u , si ha

( ) {( ) ( ( ) ( ) ) }u u u u x x u

2 2 2 2 2 21 1 2 2 2 12 2

1 2

12 2

2

( ) ( )x xu u

2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 2 1 1 2 2 12

2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2

22

… completando il quadrato binomiale in u e riducendo i termini residui …

( )u

2 21 2 2 2

1 22 21 22

,

dove,( )

: , :( )

x x

2 21 2 2 1 1 2

1 22 2 2 21 2 1 22

.

Se si pone :u v 1 , da cui viene che du dv , l’integrale di convoluzione si estende ancora atutto R . Quindi, considerato che la funzione integranda è pari, si arriva alla forma commutativa

/

( ) ( )g gv e

x e dv

2 221 2 22222 2

1 2

1 22 22 1 2

1 2 2 201 2 1 2 1 2

212

2 2

( + )

( )/( ( ))

x

e

21 2

2 21 22

2 2 1 21 2

1

2(3.4)

( ) ( )g g x 2 1 .

La commutatività convolutiva tra le distribuzioni gaussiane eg g1 2 segue, in modo evidente,dall’invarianza negli scambî parametrici simultanei, e 1 2 1 2 , nell’Eq. (3.4).

■


Esempio 5 – La Formula di Convoluzione Integrale di Dirichlet

Si consideri la funzione : ( )f fu u , di una sola variabile reale, dove è ([ , ])f a t C .Nella sua applicazione più semplice, quella in 2R , la formula di convoluzione di Dirichlet di fconsiste nella riduzione della funzione integrale in forma doppia

( ) : ( )fx t

a ax x u du dt 2 (4)

a una funzione integrale in forma semplice mediante uno scambio (ammissibile) dell’ordine delleintegrazioni. Si noti che il dominio triangolare-retto D di integrazione (Fig. 2), appoggiato sullabisettrice-ipotenusa di equazione t u , è isoscele.

Pertanto, la rappresentazione (1) di ( ) 2 x si riportaalla forma semplice finale

( ) ( ) ( )f fx x x x

a a a ax u dt du dt u du 2

( ) ( )fx

ax u u du . (1.1)

Ancora, se si nidifica il procedimento precedente vs. lafunzione in forma di integrale triplo

( ) : ( )x

ax x t dt 3 2 , (2)

questa si riduce, per l’Eq. (1.1), a un integrale doppiodi tipo (1), per il quale, ancora dal confronto con ildiagramma di D , risulta

Fig. 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( )f f fx x x x x

a a a a ax t u u du dt t u dt u du x u u du 2

3

1

2.

(5.1)

Quindi, induttivamente, si determina la formula generale di Dirichlet per la funzione integrale( ) / ( )fn nd y dx x , di una sola variabile reale ma in forma integrale -n pla:

integrazioni

( ) : ( ) ( ) ( )fx x x x t

nn na a a a a

n

x x t dt u du dt

11

1

( ) ( )( )!

fx

n

ax u u du

n

11

1. (6)

Invertendo il procedimento, la derivazione di ( ) : ( ) ny x x – che si esegue, inevitabilmente, sottoil segno di integrale (Formula di Leibniz) – dà il risultato, di forma chiaramente iterativa,

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )! ( )! ( )!

f f fx n n n

u x u aa

d x u x u dx x u day x u du u u

dx x n n dx n dx

1 1 1

00

1 1 1

( ) ( )( )!

fx

n

ax u u du

n

21

2.


Ora, derivando /dy dx successivamente n 1 volte, si determina / ( )fn nd y dx x e, da questa,si risale all’equazione differenziale lineare di ordine n non-omogenea

( )fn

n

d yx

dx . (7)

È immediato notare che, data la variabile dipendente y , l’espressione (6) rappresenta un integraleparticolare dell’Eq. (7).L’equazione caratteristica dell’equazione differenziale omogenea associata all’Eq. (7) è n 0 ;le sue n radici multiple, identiche a 0 , consentono di determinare una base di integralilinearmente indipendenti dell’equazione differenziale omogenea associata,

{ , , , , , } { , , , , , }x x x x n x ne xe x e x e x e x x x x 0 0 2 0 3 0 1 0 2 3 11 ,

necessari per costruirne l’integrale generale.Pertanto, l’integrale generale dell’Eq. differenziale non-omogenea (7) ha la forma convolutiva

( ) ( ) ( )( )!

fx

n nn a

y x c c x c x c x x u u dun

2 1 1

1 2 3

1

1 (8)

( )( )

fn

k nk

k

c x xn

1 1

1

1 , (8.1)

dove, ef nx 1 , la funzione-potenza della variabile indipendente. La potenza binomiale( ) ( )nx u x u 1 presente nell’integranda dell’Eq. (8) costituisce il nucleo (der Integralkern)convolutivo di vs. fnx 1 nell’intervallo ( , )a x di integrazione.

■

____________________

La caratterizzazione geometrico-analitica della Convoluzione come affinità piana è presentata dall’autore nel math-notebook: Sezioni Coniche inR 2 - Elementi e metodi operativi, APPENDICE, P. 44.


Proprietà della Convoluzione Integrale

A. Proprietà algebriche

Siano , ef g h funzioni generalmente continue e C una quantità invariante scalare.La Convoluzione Integrale soddisfa le proprietà algebriche seguenti, di verifica elementare:

commutativa: ( ) ( ) ( ) ( )f g g fx x ; (9.1)

associativa: ( ( )) ( ) (( ) ) ( )f g h f g hx x ; (9.2)

distributiva vs. la somma: ( ( )) ( ) (( ) ( )) ( )f g h f g f hx x ; (9.3)

distributiva vs. il prodotto per : ( ) ( ) (( ) ) ( ) ( ( )) ( )f g f g f gx x x . (9.4)

B. Proprietà analitiche

Il calcolo della derivata 1a di una convoluzione integrale – che si esegue, esplicitamente, sotto ilsegno di integrale – fornisce le identità simmetriche

( ) ( ) ( ) ( )f gf g g fd d dx x x

dx dx dx

. (10)

L’area della superficie compresa tra l’asse delle ascisse e il grafico di una convoluzione estesa atutto R è uguale al prodotto delle aree integrali relative ai singoli fattori:

: ( ) ( ) ( ) ( )f g f gx dx u x u du dx

( ) ( )f gu x u dx du

e, sostituendo x x u nell’integrale interno,

( ) ( )f gu du u du

. (11)

Dalla definizione consueta di valore di aspettazione di (in )x R , normalizzato vs. la funzione-peso( )wx x ,

( ):

( )

w

w

x x dxx

x dx

, (12)

si deducono i valori di aspettazione, rispettivamente della funzione centroide orizzontale e dellavarianza associata, normalizzate vs. la convoluzione ( ) ( )w f g f g x ,

( ) ( ) ( ) ( )f g f gx x x x x x , (13.1)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f g f g f gx x x x x x x x x x 2 2 2 2 . (13.2)

Come verifica esemplificativa, si calcola, appoggiandosi alle Eq.i (11) e (12),

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

f gf g f g

x u x u du dxx x x u x u du

2

2 2

( ) ( )f gu x x u dx du

21 . (13.2.1)


Con la sostituzione x x u nell’integrale interno (13.2.1), si scrive

( ) ( ) ( ) ( ) ( )f g f gx x u x u x dx du

2 21

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

f g f g

f g

f g

u du x x dx u u du x dx

u u du x x dx

u du x dx

2 2

2

.

Tenendo presente che le variabili di integrazione sono ‘mute’, quindi, ridefinibili formalmente inmodo arbitrario, si conclude che

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

f g f gf g

f g f g

x x dx x x dx x x dx x x dxx x

x dx x dx u du x dx

2 2

2 2

( ) ( ) ( ) ( )f g f gx x x x x x x x 2 2 2 Eq. (13.2).■


La Trasformata Integrale di una Convoluzione Integrale

Sia T un operatore trasformata-integrale qualsiasi (e.g., di Laplace o di Stieltjes o di Fourier o diHankel (i.e., di Fourier-Bessel) o di Mellin, etc.) e si supponga valida, sotto condizioni analitichespecifiche, l’uguaglianza di trasformazione, di nucleo integrale ,

( ) { ( )}: ( ) ( , )f x x x dx TD

. (14)

Nell’Eq. (14), ( )f rappresenta il valore puntuale, corrispondente a quello del parametro , dellafunzione generatrice f mentre ( )x , interno all’integrale della trasformazione caratterizzata dalnucleo ( , )x , è il valore puntuale della funzione determinatrice , duale a f attraverso T. Taledualità tra ef esprime la loro biunivocità generale e, quindi, la linearità e l’invertibilità generalidi T in una regione cartesiana ,x

2R R ammissibile prestabilita.

Seguendo un approccio assiomatico sintetico, il passo successivo (importante) è costituito dallarichiesta che

la funzione prodotto di due funzioni T-generatrici non solo sia essa stessa T-generatrice macoincida, anche, con la T-trasformata della convoluzione delle funzioni determinatrici dualicorrispondenti, per lo stesso valore del parametro , i.e.,

( ) ( ) { ( )} { ( )}f f x x 1 2 1 2T T

{( ) ( )} ( ) ( ) ( , )x

xN x N t x t dt x dx

01 2 1 2T

D

, (15)

essendo N R una costante opportuna di normalizzazione o di simmetrizzazione.La condizione espressa dall’Eq. (15) seleziona le convoluzioni 1 2 ammissibili analiticamenteper una trasformata integrale data. Nella tabella riportata qui sotto, sono elencate e descritte alcunetra le trasformate integrali più frequenti di funzioni determinatrici ammissibili.

( , )x D

Trasformata di Laplace, L,uni\bi-laterale

xe [ , ) \ ( , ) 0

Trasformata di Stieltjes, S ( )x 1 [ , )0

Trasformata di Fourier, F //( )i xe 1 22 ( , )

Trasformata di Hankel, H ( )Jx x [ , )0

Trasformata di Mellin, M x 1 [ , )0

Spesso, la forma generale (15) si incontra riformulata come Teorema di Convoluzione specifico, peruna data trasformata integrale. In realtà, l’Eq. (15) rappresenta una proprietà sintetica nella Teoriadella Trasformata di Convoluzione (v. [1]). Nelle Proposizioni che seguono, ne sono presentateformulazioni specifiche particolarmente frequenti, con dimostrazioni esplicite.


Proposizione 1

Siano , e 1 2 1 2 funzioni L-trasformabili vs. lo stesso intervallo [ , ) 0 di valori delparametro .Allora, dette ef f1 2 le funzioni generatrici duali rispettive di e di 1 2 , si ha, [ , ) 0 ,

( ) ( ) {( ) ( )}f f x 1 2 1 2L

( ) ( )x

xe t x t dt dx

1 20 0

, (16)

per la quale, è N 1 .

Dimostrazione

Conviene avviare il calcolo del prodotto ( ) ( )f f 1 2 come limite dell’integrale doppio, separatonel prodotto di integrali definiti semplici e funzione dei loro estremi superiori di integrazione,

( ) ( ) ( ) ( )f f limx x

u t

xe u du e t dt

1 2 1 2

0 0(16.1)

e, quindi, sfruttando il fatto che e 1 2 si suppone siano di ordine esponenziale, ridurre tale limitealla forma integrale doppia separata equivalente

( ) ( ) ( ) ( )f f limx x u

u t

xe u du e t dt

1 2 1 2

0 0. (16.2)

Fig. 3 Fig. 4

Infatti, benché il dominio della funzione integrale nel limite (16.1) sia il quadrato parametricoOABC (Fig. 3), estendibile a tutto ( ) 2R almeno, mentre quello dell’integrale nel limite (16.2)corrisponde al solo triangolo rettangolo isoscele parametrico OAC , d’altra parte, il contributofornito dalla regione CAB è infinitesimo per x , poiché si ha

( )lim t

x uxe t dt

2 0 .


L’effetto del passaggio al limite vs. sul -x t integrale nell’Eq. (16.2) indica che il comportamentodella variabile t di integrazione consegue dall’aumento continuo e indipendente del valore delparametro x secondo il vincolo t u x .Ora, si trasformi la regione OAC mantenendone invariata la definizione dell’ordinata t macambiandone quella dell’ascissa mediante la riflessione assiale ( / )u x u x u 2 2 , per laquale, l’asse di riflessione è la retta di equazione /u x 2 (v. Fig. 4).Nella propagazione del nuovo dominio OAC di integrazione a tutto ( ) 2R , le variabili vecchie diintegrazione et u conservano la relazione bi-lineare t u x con il parametro x , essendo lariflessione assiale un’isometria. In tal senso, se la retta di equazione t u x costituisce ilvecchio ‘fronte di propagazione’ di OAC , la riflessione, determinando le dislocazioni puntuali

, eC B A O O A , fa sì che il segmento BA , sulla retta di equazione u x , diventi il‘fronte di propagazione’ del nuovo dominio di integrazione. Pertanto, se si esplicita u comefunzione della coppia nuova { , }t x di variabili, si ottengono le equazioni di trasformazione

( , )( , )

t t t t x

u x t u t x

. (17)

Le Eq.i (17) corrispondono al determinante jacobiano

/ /( , )( , ) ( )/ /( , )

Jt t t xt u

t xu t u xt x

1 0

1 01 1

,

dal quale, poiché si ha ( , )|J |dtdu t x dtdx dtdx , l’Eq. (16.2) si riscrive,

( )( ) ( ) ( ) ( )f f limx x u

u t

txe u t du dt

1 2 1 2

0 0

,( ) ( )lim

x tx

t xe x t t dx dt

1 2

0 0, essendo ( )dx d x t ,

,( ) ( )lim

x tx

t xe x t t dt dx

1 2

0 0(18)

{( ) ( )}x 2 1L . (18.1)

Infine, nell’Eq. (18), con la trasformazione :t x t v , l’operatore integrale semplice interno

diventa ( ) ( )x

xdt dv

0

0 . Quindi, si trova prontamente che

( ) ( ) {( ) ( )}f f x 1 2 1 2L , (18.2)

com’è da attendersi dalla proprietà commutativa della Convoluzione Integrale.■

Proposizione 2

Siano , e 1 2 1 2 funzioni F-trasformabili vs. lo stesso valore del parametro R .Allora, indicate con ef f1 2 le funzioni generatrici duali rispettive di e di 1 2 , risulta, ammissibile

( ) ( ) {( ) ( )}f f x

1 2 1 2

1

2F


( ) ( )i xe t x t dt dx

1 20

1

2. (19)

Dimostrazione

Si procede come per la L-trasformata, avendo osservato che sia la L- che la F-trasformata sono,formalmente (i.e., estendendone le definizioni ad C ), riconducibili l’una all’altra in mododiretto.Così, si ha

/ /( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f f i t i ut e dt u e du

1 2 1 2

1 2 1 22 2

( )( ) ( ) i t ut u e dtdu

1 2

1

2.

La trasformazione di coordinate di integrazione ( ; ) ( ; ) ( ; )t u t x t t u , coincidente con lacoppia di Eq.i affini (17), corrisponde, quindi, al (valore assoluto del) determinante jacobiano

( , )( , )( , )

|J | t ut x

t x

1 .

Pertanto, risultando dtdu dtdx , segue che

( ) ( ) ( ) ( )f f i xt x t e dtdx

1 2 1 2

1

2

( ) ( )i xe t x t dt dx

1 2

1

2(20)

/ /( ) ( ) ( ) ( )i xe x dx

1 2 1 2

1 22 2

{( ) ( )}x

1 2

1

2F . (20.1)

Qui, è /( )N 1 22 . Inoltre, come per l’Eq. (18.2), la trasformazione di variabile :t x t v porta all’equivalenza simmetrica

( ) ( ) {( ) ( )}f f x

1 2 2 1

1

2F . (20.2)

■


Cenni ai modelli integrali di CORRELAZIONE

C. La Correlazione Mutua

La Correlazione Mutua (Cross Correlation) tra i valori complessi ordinati, ( ) e ( )x x 1 2 , di unacoppia di funzioni di una variabile (reale) x , distinte e generalmente continue, { , }: 1 2 R C ,è definita dalla rappresentazione operatoriale (sesqui-lineare) convolutiva (in R )

( ) ( ) ( ) ( ) : ( ) ( )*x x x u x u du

1 2 1 2 1 2 , (21)

indicando con ( )*x 1 , al solito, il coniugato del valore complesso ( )x 1 .Che la rappresentazione integrale (21) sia formalmente convolutiva lo si conclude prontamente dalconfronto con la definizione generale (3), mediante le identificazioni ( ) ( ) e*u u 1 2 .Mediante il cambiamento di variabile (muta) di integrazione :v u nell’integrale (21), seguitodalla ridefinizione ulteriore :v u , si ottiene la rappresentazione alternativa (simmetria vs. x )

( ) ( ) ( ) ( )*x u x u du

1 2 1 2 . (21.1)

Inoltre, pure interessante risulta il cambiamento di variabile di integrazione :v x u nell’Eq. (21),anche questo, seguito dalla ridefinizione ulteriore :v u . Si ha

( ) ( ) ( ) ( )*x u u x du

1 2 2 1 . (21.2)

È interessante osservare che l’evanescenza di ( ) ( )x 1 2 al variare del parametro x corrispondaalla perdita di correlazione tra i sistemi-modello descritti, rispettivamente, da e da 1 2 e, quindi,alla loro indipendenza reciproca. Qui, la contiguità con il contesto statistico è fin troppo evidente!La Correlazione Mutua soddisfa la proprietà di scambio, verificabile in modo elementare,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x x 1 2 1 2 1 1 2 2 . (22)

Inoltre, se e 1 2 sono entrambe funzioni pari, allora, è immediato concludere che

( ) ( ) ( ) ( )x x 1 2 1 2 , (23)

i.e., la correlazione mutua tra e 1 2 (entrambe pari) coincide con la loro convoluzione (in tutto ildominio R di integrazione).

Osservazione

La Correlazione Mutua trova applicazioni, e.g., nel modello superconduttivo quantistico della correlazione spaziale trale funzioni d’onda elettroniche delle ‘coppie di Cooper’ e nella Teoria Quantistica della Superfluidità applicata all’He4

(effetto ‘fontana’ e modello ‘a due fluidi’).Più in generale, l’integrale di Correlazione Mutua ha la sua collocazione naturale nell’ambito dei metodi risolutivi delleEquazioni Differenziali a Derivate Parziali e delle Equazioni Integrali dotate di nucleo (der Integralkern) di argomentolineare, ( , ) ( )u x u x .

■


D. L’Autocorrelazione

Il regime di Autocorrelazione si può dedurre direttamente da quello di Correlazione Mutua, nel casospeciale in cui sia : 1 2 . D’altra parte, la sua importanza applicativa è notevole e non sembrainutile accennare brevemente ad alcune implicazioni interpretative molto profonde e suscettibili disviluppi della sua rappresentazione integrale.L’Eq. (21) fornisce una prima rappresentazione integrale per l’Autocorrelazione, con : R Ce ( ) RC generalmente:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )*x x x u x u du

. (24)

Analogamente, le Eq.i (21.1) e (21.2) danno luogo alle forme equivalenti

( ) ( ) ( ) ( )*x u x u du

, (24.1)

( ) ( ) ( ) ( )*x u u x du

. (24.2)

La forma (24.1) è usata come definizione operativa convenzionale dell’Autocorrelazione (v., e.g.,[2], [3], [8], [9]).Per completezza, si può ricordare una quarta rappresentazione integrale di ( ) ( )x , deducibileanch’essa dalla (24), ponendo, prima, :v u , poi, sfruttando l’Eq. (24.2) e, infine, ripristinandola variabile (muta) di integrazione :u v . Il risultato è

( ) ( ) ( ) ( )*x u u x du

. (24.3)

Il confronto tra le rappresentazioni integrali (24.1) e (24.2), come pure tra le rappresentazioni (24)e (24.3), indica che l’operatore (lineare) di Autocorrelazione è hermitiano in R , essendo anchesimmetrico in vs.u x . A sua volta, la hermiticità di induce, attraverso la sua simmetriaintrinseca, il carattere degenere di perdita di qualsiasi informazione sulla fase di . L’operatore , infatti, restituisce solo un valore medio quadratico, i.e., soltanto una stima della ‘potenzamedia trasferita’, secondo il linguaggio della Meccanica Statistica.

■

Le conclusioni precedenti emergono dal fondamentale, benché, qui, in versione ristretta,

E. Teorema di Wiener (N., 1894-1964)-Khintchine (A. J., 1894-1959)

Sia : ( )u u una funzione F-trasformabile vs. il parametro continuo R , i.e.,/: ( ) { ( )} ( ) ( ) i uu u e du

1 22 F .

Allora, vale la rappresentazione F-trasformata dell’Autocorrelazione

( ) ( )x 1 2 { ( ) } { { ( )} }| | | |u 2 2F F F /( ) ( ) i uu e du

2

1 22F ▲. (26)

Dimostrazione

Il coniugato complesso del valore ( )u ha, come rappresentazione F-trasformata vs. il parametroarbitrario R , l’integrale generalizzato

/( ) ( ) ( )* * iuu e d

1 22 . (26.1)


Analogamente, la rappresentazione F-trasformata del valore ( )x u vs. il parametro Rarbitrario (in generale, si assume ) è data da

/ ( )( ) ( ) ( )* 'i x ux u e d

1 22 . (26.2)

Introducendo le espressioni integrali (26.1) e (26.2) nell’Eq. (24.1), si ottiene, con passi successivi,

/ / ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* 'iu i x ux e d e d du

1 2 1 22 2

( )( ) ( ) ( )* 'ix i ud e d e du

12

( ) ( ) ( )* 'ixd e d

( ) ( ) ( ) { ( ) }* | | | |i x ixe d e d x

2 2F

/{ { ( )} } ( ) ( )| | i uu u e du

22 1 22F F F , q. e. d. .

Osservazioni

• Si noti la varietà di espressioni equivalenti (simmetriche) di ( ) ( )x , determinabili, in modo indipendente tra

loro, dalle coniugazioni i u i ue e (i.e., dalle riflessioni assiali e/ou u ) e ( ) ( )*u u .

• Versioni e discussioni più approfondite del Teorema di Wiener-Khintchine, alcune basate sul metodo della matrice-densità, si possono trovare, e.g., in [11], [12] e [13].

Volendo delineare un’analisi qualitativa minima dell’integrale di Autocorrelazione (24.1), sia ilvalore caratteristico del parametro di autocorrelazione del modello matematico espresso da . Sesi lascia variare il parametro continuo x in modo che sia x , allora, la correlazione tra i valori

( ) e ( )u x u muta nella separazione (fattorizzazione) integrale nulla

1 1( ) ( ) ( ) ( )*lim ' lim 'x x

x xx xx dx u x u du dx

x x

2 2

1( ) ( )* lim 'x

x xxu du x u du dx

x

0

2 .

Nell’esempio classico della Teoria di Langevin del moto browniano di una molecola libera allasuperficie di un fluido, eu x corrispondono, rispettivamente, ai valori e't t della coordinatatemporale; ( ) ( )'u t è una funzione cinematica ‘a fluttuazione rapida’ (die Zitterbewegung),avente le dimensioni di una accelerazione. Essa rappresenta una forza esterna per unità di massadella molecola dovuta alle collisioni casuali con altre molecole alla superficie del fluido. Tale forza(per unità di massa) diventa evanescente su intervalli di tempo molto più grandi del tempo dirilassamento medio della molecola dopo una collisione elastica casuale. In termini suggestivi, la‘memoria’ (autocorrelazione) delle collisioni molecolari a tempi 't t ‘sufficientemente avanzati’,i.e., tali che sia t , viene cancellata. Quindi, il valore di ( ) ( )| |t è significativo soltantofinché /t 1~ , rafforzando il carattere di erraticità completa del cammino browniano.

■


Proposizione 3

Sia : ( ) 0R C RC generalmente. Allora,

( ) ( ) ( )max 0 R

, (27)

i.e., l’operatore di Autocorrelazione è massimo per x 0 .La Proposizione (27) equivale alla disuguaglianza attenuata seguente:

( ) ( ) ( )| | | |u x u du u du

2 . (27.1)

Dimostrazione

Introdotta la variabile ausiliaria R , la disuguaglianza evidente seguente, di monotonia in Rvs. la funzione integranda,

( ( ) ( ) )| | | |x u u du

20 , (28)

ha, per linearità, lo sviluppo binomiale quadratico

( ) ( ) ( ) ( )| | | | | |x u du u x u du u du

2 2 20 2 .

Se si pone :v u x nel primo addendo integrale, si ottiene che dv du e che l’intervallo diintegrazione resta invariato. Infine, dal cambiamento ulteriore di variabile :u v , si conclude che

( ) ( )| | | |x u du u du

2 2 .

Quindi, la disuguaglianza (28) assume la forma

( ) ( ) ( ) ( )| | | | | |u du u x u du u du a b a

2 2 2 20 2 , (29)

avendo definito, ovviamente, : ( ) e : ( ) ( )| | | |a u du b u x u du

2 2 .

Poiché il trinomio quadratico (29) è 0 , allora, il suo discriminante (ridotto) è sempre 0 ,

/ / , i.e., /b a b a 2 24 4 0 2 .

Quindi, dalle definizioni di e dia b , segue la disuguaglianza attenuata (27.1),

( ) ( ) ( )| | | |u x u du u du

2 ,

nella quale, l’uguaglianza corrisponde a x 0 . In altri termini, ( ) ( )x raggiunge il suo valoremassimo assoluto per 0x , q. e. d. .

■


Bibliografia L’indice sequenziale evidenziato di un testo, e.g., [8], ne segnala la versione PDF scaricabile dalla pagina Biblioteca

di questo web-site: https://www.cm-physmath.net/libr_page.html .

[1] HIRSCHMAN, I. I., JR. - WIDDER, D. V., The Convolution Transform, PRINCETON UN. PRESS (1955);

[2] GEL’FAND, I. M. - SHILOV, G. E., Generalized Functions, VOL. I, ACADEMIC PR., INC. (1964);

[3] SMIRNOV, V. I., A course of Higher Mathematics, VOL. IV, PERGAMON PR., INC. (1964);

[4] BRACEWELL, R., The Fourier Transform and Its Applications, MCGRAW-HILL CO., INC. (1965);

[5] CHURCHILL, R. V., Operational Mathematics, 3RD ED., MCGRAW-HILL BOOK CO., INC. (1972);

[6] HOCHSTADT, H., Integral Equations, CH. 5, JOHN WILEY & SONS (1973);

[7] PAPOULIS, A., The Fourier Integral and Its Applications, MCGRAW-HILL CO., INC. (1962);

[8] RUDIN, W., Principles of Mathematical Analysis, 2ND ED., CH. 8, MCGRAW-HILL CO., INC. (1964);

[9] RUDIN, W., Functional Analysis, CH. 7, MCGRAW-HILL CO., INC. (1973);

[10] RUDIN, W., Real and Complex Analysis, 2ND ED., CH. 9, MCGRAW-HILL CO., INC. (1974);

[11] ARFKEN, G. B. - WEBER, H. J., Mathematical Methods for Physicists, 6TH ED., CH.S 15, 16, ACADEMIC PR. (2005);

[12] DETTMAN, J. W., Mathematical Methods in Physics and Engineering, 2ND ED., MCGRAW-HILL CO., INC. (1969);

[13] HILDEBRAND, F. B., Advanced Calculus for Applications, 2ND ED., P. 63-65, PRENTICE-HALL, INC. (1976);

[14] BARTON, G., Elements of Green’s Functions and Propagation, CLARENDON PR., INC. (1989);

[15] SPIEGEL, M. R., Theory and problems of Laplace Transforms, SCHAUM’S OUTLINE SERIES, MCGRAW-HILL BOOKCO. (1965);

[16] SPIEGEL, M. R., ADVANCED MATHEMATICS for Scientists and Engineers, SCHAUM’S OUTLINE SERIES,MCGRAW-HILL BOOK CO. (1971).

Applicazioni in Fisica

[17] REIF, F., Fundamentals of Statistical and Thermal Physics, MCGRAW-HILL CO., INC. (1965);

[18] KUBO, R., & AL., Statistical Mechanics - An Advanced Course with Problems and Solutions, 7TH ED., NORTH-HOLLAND PUBL. CO. (1988);

[19] HECHT, E., Optics, 5TH ED., PEARSON EDU. LTD. PUBL. (2017);

[20] GOODMAN, J. W., Introduction to Fourier Optics, 2RD ED., MCGRAW-HILL CO., INC. (2005).■■■

Convoluzione in RR R · 2020. 12. 17. · Johann Peter Gustav Lejeune DirichletJohann Peter Gustav...

Documents

Transcript of Convoluzione in RR R · 2020. 12. 17. · Johann Peter Gustav Lejeune DirichletJohann Peter Gustav...