CONTINUE WISKUNDE 1, 2020

7e college: Differentieren

Jan-Hendrik EvertseUniversiteit Leiden

evertse@math.leidenuniv.nl

2/40

Deel 1: Definities

3/40

Vergelijking van een lijn

Gegeven is de lijn door de punten (a, b) en (c , d).Neem een willekeurig punt (x , y) op de lijn.

Dan isy − b

x − a=

d − b

c − a= tanα.

Dit geeft y − b = d−bc−a· (x − a) ofwel

y = b + d−bc−a· (x − a) (de vergelijking van de lijn).

We noemen d−bc−a

de richtingscoefficient van de lijn.

Deze is gelijk aan de tangens van de hellingshoek α.

4/40

De afgeleide

Laat f een functie zijn. Neem een punt (a, f (a)) op de grafiek van f , eneen ander punt (a + h, f (a + h)) in de buurt van (a, f (a)). Het getal hmag ook negatief zijn.

Dan heeft de lijn door (a, f (a)) en (a + h, f (a + h)) vergelijking

y = f (a) +f (a+h)−f (a)

h· (x − a).

Wanneer we h naar 0 laten naderen (van rechts of van links) dan nadertf (a+h)−f (a)

hhopelijk naar een limiet, en de lijn door (a, f (a)) en

(a + h, f (a + h)) hopelijk naar een limietlijn, de raaklijn aan de grafiekvan f in (a, f (a)).

5/40

De afgeleide

Laat f een functie zijn. Neem aan dat f gedefinieerd is in x = a en ineen interval rondom x = a.

We zeggen dat f differentieerbaar is in x = a als limh→0

f (a + h)− f (a)

hbestaat.

We noemen deze limiet de afgeleide van f in a, notatie f ′(a) ofdf

dx(a)

ofdy

dx(a) als y = f (x).

6/40

Raaklijn, lineaire benadering

Laat f een functie zijn die differentieerbaar is in x = a.

Dan heeft de grafiek van f een raaklijn in het punt (a, f (a)). Devergelijking daarvan is

y = f (a) + f ′(a)(x − a).

Dus de afgeleide f ′(a) is de richtingscoefficient van de raaklijn.

f (a) + f ′(a)(x − a) is een redelijke benadering van f (x) wanneer xdichtbij a ligt (de lineaire benadering).

Wanneer x verder van a vandaan ligt is dit geen goede benadering meer.

7/40

Raaklijn, lineaire benadering

Laat f een functie zijn die differentieerbaar is in x = a.

Dan heeft de grafiek van f een raaklijn in het punt (a, f (a)). Devergelijking daarvan is

y = f (a) + f ′(a)(x − a).

Dus de afgeleide f ′(a) is de richtingscoefficient van de raaklijn.

f (a) + f ′(a)(x − a) is een redelijke benadering van f (x) wanneer xdichtbij a ligt (de lineaire benadering).

Wanneer x verder van a vandaan ligt is dit geen goede benadering meer.

8/40

Relatie tussen continuıteit en differentieerbaarheid

Ruwgezegd is een functie f continu in x = a als de grafiek van f in hetpunt (a, f (a)) geen gat heeft, en differentieerbaar in x = a als de grafiekvan f in (a, f (a)) geen gat en geen knik heeft(dit is natuurlijk geen goede wiskundige formulering maar het geeft hetidee).

Dus differentieerbaarheid is sterker dan continuıteit.

De functie in het plaatje is wel continu (geen gat) maar nietdifferentieerbaar (wel een knik) in x = a.

In het punt (a, f (a)) zijn meerdere lijnen die raken aan de grafiek van f .De eis voor differentieerbaarheid is dat er maar een raaklijn is.

9/40

Differentieerbaarheid in randpunten

Als a een linker randpunt is van het domein van f dan zeggen we dat f

differentieerbaar is in x = a als limh↓0

f (a + h)− f (a)

hbestaat;

als a een rechter randpunt is van het domein van f dan zeggen we dat f

differentieerbaar is in x = a als limh↑0

f (a + h)− f (a)

hbestaat.

De functie in het plaatje is gedefinieerd op [a, b]. Deze functie isdifferentieerbaar in de randpunten x = a en x = b en in alle puntendaartussen.

10/40

Verticale raaklijnen

Als limh↓0

f (a + h)− f (a)

h= ±∞ en/of lim

h↑0

f (a + h)− f (a)

h= ±∞ dan

heeft de grafiek van f een verticale raaklijn in (a, f (a)).

Voorbeeld. Laat f (x) = 3√x . Dan geldt

limh↓0

f (h)− f (0)

h= lim

h↓0

h1/3

h= lim

h↓0h−2/3 =∞,

limh↑0

f (h)− f (0)

hu=−h

= limu↓0

(−u)1/3

−u= lim

u↓0

u1/3

u=∞.

Dus de grafiek van f heeft een verticale raaklijn in (0, 0).

11/40

Verticale raaklijnen

Als limh↓0

f (a + h)− f (a)

h= ±∞ en/of lim

h↑0

f (a + h)− f (a)

h= ±∞ dan

heeft de grafiek van f een verticale raaklijn in (a, f (a)).

Voorbeeld. Laat f (x) = 3√x . Dan geldt

limh↓0

f (h)− f (0)

h= lim

h↓0

h1/3

h= lim

h↓0h−2/3 =∞,

limh↑0

f (h)− f (0)

hu=−h

= limu↓0

(−u)1/3

−u= lim

u↓0

u1/3

u=∞.

Dus de grafiek van f heeft een verticale raaklijn in (0, 0).

12/40

De afgeleide functie

We zeggen dat een functie f : D → R differentieerbaar is als fdifferentieerbaar is in elk punt van D, dat wil zeggen f ′(x) bestaat voorelke x ∈ D. Dit definieert de afgeleide functie van f .

Voorbeeld. Bepaal de afgeleide van f (x) =√x , direct uit de definitie

van afgeleide.

We gebruiken de worteltruc. Voor x > 0 geldt

f ′(x) = limh→0

√x + h −

√x

h= lim

h→0

(√x + h −

√x)(√x + h +

√x)

h(√x + h +

√x)

= limh→0

x + h − x

h(√x + h +

√x)

= limh→0

h

h(√x + h +

√x)

= limh→0

1√x + h +

√x

=1

2√x.

13/40

De afgeleide functie

We zeggen dat een functie f : D → R differentieerbaar is als fdifferentieerbaar is in elk punt van D, dat wil zeggen f ′(x) bestaat voorelke x ∈ D. Dit definieert de afgeleide functie van f .

Voorbeeld. Bepaal de afgeleide van f (x) =√x , direct uit de definitie

van afgeleide.

We gebruiken de worteltruc. Voor x > 0 geldt

f ′(x) = limh→0

√x + h −

√x

h= lim

h→0

(√x + h −

√x)(√x + h +

√x)

h(√x + h +

√x)

= limh→0

x + h − x

h(√x + h +

√x)

= limh→0

h

h(√x + h +

√x)

= limh→0

1√x + h +

√x

=1

2√x.

14/40

De afgeleide functie

We zeggen dat een functie f : D → R differentieerbaar is als fdifferentieerbaar is in elk punt van D, dat wil zeggen f ′(x) bestaat voorelke x ∈ D. Dit definieert de afgeleide functie van f .

Voorbeeld. Bepaal de afgeleide van f (x) =√x , direct uit de definitie

van afgeleide.

We gebruiken de worteltruc. Voor x > 0 geldt

f ′(x) = limh→0

√x + h −

√x

h= lim

h→0

(√x + h −

√x)(√x + h +

√x)

h(√x + h +

√x)

= limh→0

x + h − x

h(√x + h +

√x)

= limh→0

h

h(√x + h +

√x)

= limh→0

1√x + h +

√x

=1

2√x.

15/40

Deel 2: Berekenen van afgeleiden

16/40

Rekenregels voor som, verschil, product, quotient

We geven zonder bewijs enkele regels.

Zijn f , g : D → R differentieerbare functies. Dan zijn cf (constante maalf ), f + g , f − g , fg differentieerbaar op D en f /g is differentieerbaarvoor alle x ∈ D met g(x) 6= 0. Verder geldt voor hun afgeleiden

(cf )′ = cf ′, (f + g)′ = f ′ + g ′, (f − g)′ = f ′ − g ′,

(fg)′ = f ′g + fg ′, (f /g)′ =gf ′ − fg ′

g2.

17/40

De kettingregel

De samengestelde functie g(f (x)) (of g ◦ f ) krijg je door in deuitdrukking voor g(x), overal x te vervangen door f (x). Als f en gdifferentieerbaar zijn dan is g ◦ f dat ook.

Zijn, f , g differentieerbare functies, waarbij het bereik van f bevat is inhet domein van g . Dan geldt:

(g(f (x))′ = g ′(f (x))f ′(x),

dat wil zeggen we moeten in de uitdrukking voor g ′(x) overal xvervangen door f (x) en daarna met f (x) vermenigvuldigen.

Schrijf y = f (x), z = g(y). Dan is z = g(f (x)). We kunnen deafgeleiden van deze functies noteren als

f ′(x) =dy

dx, g ′(y) =

dz

dy, g(f (x))′ =

dz

dx.

Dan kunnen we de kettingregel schrijven alsdz

dx=

dz

dy· dydx

.

18/40

Een basislijstje van afgeleiden

We geven zonder bewijs een lijstje afgeleiden van enkele belangrijkefuncties (een bewijs heeft nogal wat voeten in aarde).

f (x) = c (constante functie) ⇒ f ′(x) = 0(xα)′ = αxα−1

sin′ x = cos xcos′ x = − sin x(ex)′ = ex

ln′ x = 1x

.

We kunnen van allerlei functies de afgeleiden berekenen met behulp vandit lijstje en de rekenregels van de vorige dia’s.

19/40

Voorbeeld

Wat is de afgeleide van tan x?

Volgens de quotientregel is

tan′ x =( sin x

cos x

)′=

cos x · sin′ x − sin x · cos′ x

cos2 x

=cos x · cos x − sin x(− sin x)

cos2 x=

cos2 x + sin2 x

cos2 x

=1

cos2 x.

Een andere uitdrukking voor tan′ x is

cos2 x

cos2 x+

sin2 x

cos2 x= 1 + tan2 x .

20/40

Voorbeeld

Wat is de afgeleide van tan x?

Volgens de quotientregel is

tan′ x =( sin x

cos x

)′=

cos x · sin′ x − sin x · cos′ x

cos2 x

=cos x · cos x − sin x(− sin x)

cos2 x=

cos2 x + sin2 x

cos2 x

=1

cos2 x.

Een andere uitdrukking voor tan′ x is

cos2 x

cos2 x+

sin2 x

cos2 x= 1 + tan2 x .

21/40

Voorbeeld

Wat is de afgeleide van tan x?

Volgens de quotientregel is

tan′ x =( sin x

cos x

)′=

cos x · sin′ x − sin x · cos′ x

cos2 x

=cos x · cos x − sin x(− sin x)

cos2 x=

cos2 x + sin2 x

cos2 x

=1

cos2 x.

Een andere uitdrukking voor tan′ x is

cos2 x

cos2 x+

sin2 x

cos2 x= 1 + tan2 x .

22/40

Een toepassing van de kettingregel

Gegeven is een differentieerbare functie f . Druk de afgeleide vang(x) = f (x2 + x + 1) uit in de afgeleide van f .

g ′(x) = f ′(x2 + x + 1) · (x2 + x + 1)′ = f ′(x2 + x + 1) · (2x + 1).

23/40

Een toepassing van de kettingregel

Gegeven is een differentieerbare functie f . Druk de afgeleide vang(x) = f (x2 + x + 1) uit in de afgeleide van f .

g ′(x) = f ′(x2 + x + 1) · (x2 + x + 1)′ = f ′(x2 + x + 1) · (2x + 1).

24/40

Herhaaldelijke toepassing van de kettingregel

1) Bepaal de afgeleide van f (x) = esin(3√x).

2) Bepaal de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (π3, f (π3)).

f ′(x) = esin(3√x)(sin( 3

√x))′ = esin(

3√x) sin′( 3

√x)( 3√x)′

= esin(3√x) cos( 3

√x)(x1/3)′

= esin(3√x) cos( 3

√x) · 13x

−2/3.

De vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f in (a, f (a)) isy = f (a) + f ′(a)(x − a).In ons geval is a = π3, f (π3) = esinπ = e0 = 1 en

f ′(π3) = esinπ cosπ · 13 (π3)−2/3 = e0(−1) · 13π−2 = − 1

3π−2.

Dus de vergelijking van de raaklijn is y = 1− 13π−2(x − π3)

(dit hoef je niet verder uit te werken).

25/40

Herhaaldelijke toepassing van de kettingregel

1) Bepaal de afgeleide van f (x) = esin(3√x).

2) Bepaal de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (π3, f (π3)).

f ′(x) = esin(3√x)(sin( 3

√x))′ = esin(

3√x) sin′( 3

√x)( 3√x)′

= esin(3√x) cos( 3

√x)(x1/3)′

= esin(3√x) cos( 3

√x) · 13x

−2/3.

De vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f in (a, f (a)) isy = f (a) + f ′(a)(x − a).In ons geval is a = π3, f (π3) = esinπ = e0 = 1 en

f ′(π3) = esinπ cosπ · 13 (π3)−2/3 = e0(−1) · 13π−2 = − 1

3π−2.

Dus de vergelijking van de raaklijn is y = 1− 13π−2(x − π3)

(dit hoef je niet verder uit te werken).

26/40

Herhaaldelijke toepassing van de kettingregel

1) Bepaal de afgeleide van f (x) = esin(3√x).

2) Bepaal de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (π3, f (π3)).

f ′(x) = esin(3√x)(sin( 3

√x))′ = esin(

3√x) sin′( 3

√x)( 3√x)′

= esin(3√x) cos( 3

√x)(x1/3)′

= esin(3√x) cos( 3

√x) · 13x

−2/3.

De vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f in (a, f (a)) isy = f (a) + f ′(a)(x − a).In ons geval is a = π3, f (π3) = esinπ = e0 = 1 en

f ′(π3) = esinπ cosπ · 13 (π3)−2/3 = e0(−1) · 13π−2 = − 1

3π−2.

Dus de vergelijking van de raaklijn is y = 1− 13π−2(x − π3)

(dit hoef je niet verder uit te werken).

27/40

Een ingewikkelder voorbeeld

Bepaal de afgeleide van f (x) = ln(x2 + 1

x4 + 1

).

Wegens de kettingregel is

f ′(x) = ln ′(x2 + 1

x4 + 1

)·(x2 + 1

x4 + 1

)′=(x2 + 1

x4 + 1

)−1·(x2 + 1

x4 + 1

)′=

x4 + 1

x2 + 1·(x2 + 1

x4 + 1

)′.

Volgens de quotientregel is(x2 + 1

x4 + 1

)′=

(x4 + 1)(x2 + 1)′ − (x2 + 1)(x4 + 1)′

(x4 + 1)2

=2x5 + 2x − 4x5 − 4x3

(x4 + 1)2=−2x5 − 4x3 + 2x

(x4 + 1)2.

Dus

f ′(x) =x4 + 1

x2 + 1· −2x5 − 4x3 + 2x

(x4 + 1)2=−2x5 − 4x3 + 2x

x4 + 1.

28/40

Een ingewikkelder voorbeeld

Bepaal de afgeleide van f (x) = ln(x2 + 1

x4 + 1

).

Wegens de kettingregel is

f ′(x) = ln ′(x2 + 1

x4 + 1

)·(x2 + 1

x4 + 1

)′=(x2 + 1

x4 + 1

)−1·(x2 + 1

x4 + 1

)′=

x4 + 1

x2 + 1·(x2 + 1

x4 + 1

)′.

Volgens de quotientregel is(x2 + 1

x4 + 1

)′=

(x4 + 1)(x2 + 1)′ − (x2 + 1)(x4 + 1)′

(x4 + 1)2

=2x5 + 2x − 4x5 − 4x3

(x4 + 1)2=−2x5 − 4x3 + 2x

(x4 + 1)2.

Dus

f ′(x) =x4 + 1

x2 + 1· −2x5 − 4x3 + 2x

(x4 + 1)2=−2x5 − 4x3 + 2x

x4 + 1.

29/40

Een ingewikkelder voorbeeld

Bepaal de afgeleide van f (x) = ln(x2 + 1

x4 + 1

).

Wegens de kettingregel is

f ′(x) = ln ′(x2 + 1

x4 + 1

)·(x2 + 1

x4 + 1

)′=(x2 + 1

x4 + 1

)−1·(x2 + 1

x4 + 1

)′=

x4 + 1

x2 + 1·(x2 + 1

x4 + 1

)′.

Volgens de quotientregel is(x2 + 1

x4 + 1

)′=

(x4 + 1)(x2 + 1)′ − (x2 + 1)(x4 + 1)′

(x4 + 1)2

=2x5 + 2x − 4x5 − 4x3

(x4 + 1)2=−2x5 − 4x3 + 2x

(x4 + 1)2.

Dus

f ′(x) =x4 + 1

x2 + 1· −2x5 − 4x3 + 2x

(x4 + 1)2=−2x5 − 4x3 + 2x

x4 + 1.

30/40

Een ingewikkelder voorbeeld

Bepaal de afgeleide van f (x) = ln(x2 + 1

x4 + 1

).

Wegens de kettingregel is

f ′(x) = ln ′(x2 + 1

x4 + 1

)·(x2 + 1

x4 + 1

)′=(x2 + 1

x4 + 1

)−1·(x2 + 1

x4 + 1

)′=

x4 + 1

x2 + 1·(x2 + 1

x4 + 1

)′.

Volgens de quotientregel is(x2 + 1

x4 + 1

)′=

(x4 + 1)(x2 + 1)′ − (x2 + 1)(x4 + 1)′

(x4 + 1)2

=2x5 + 2x − 4x5 − 4x3

(x4 + 1)2=−2x5 − 4x3 + 2x

(x4 + 1)2.

Dus

f ′(x) =x4 + 1

x2 + 1· −2x5 − 4x3 + 2x

(x4 + 1)2=−2x5 − 4x3 + 2x

x4 + 1.

31/40

Differentiatie van functies van de vorm f (x)g(x)

We schrijven f (x)g(x) = (e ln f (x))g(x) = eg(x) ln f (x) en differentieren ditmet behulp van de kettingregel.

Voorbeeld. Bepaal de afgeleide van f (x) = xx .

We schrijven f (x) = ex ln x . Dit geeft

f ′(x) = (ex ln x)′ = ex ln x · (x ln x)′ = ex ln x · (x ln′ x + x ′ ln x)

= ex ln x · (x · 1

x+ 1 · ln x)

= xx(1 + ln x).

32/40

Differentiatie van functies van de vorm f (x)g(x)

We schrijven f (x)g(x) = (e ln f (x))g(x) = eg(x) ln f (x) en differentieren ditmet behulp van de kettingregel.

Voorbeeld. Bepaal de afgeleide van f (x) = xx .

We schrijven f (x) = ex ln x . Dit geeft

f ′(x) = (ex ln x)′ = ex ln x · (x ln x)′ = ex ln x · (x ln′ x + x ′ ln x)

= ex ln x · (x · 1

x+ 1 · ln x)

= xx(1 + ln x).

33/40

Differentiatie van functies van de vorm f (x)g(x)

We schrijven f (x)g(x) = (e ln f (x))g(x) = eg(x) ln f (x) en differentieren ditmet behulp van de kettingregel.

Voorbeeld. Bepaal de afgeleide van f (x) = xx .

We schrijven f (x) = ex ln x . Dit geeft

f ′(x) = (ex ln x)′ = ex ln x · (x ln x)′ = ex ln x · (x ln′ x + x ′ ln x)

= ex ln x · (x · 1

x+ 1 · ln x)

= xx(1 + ln x).

34/40

Differentieren van inverse functies

Laat f een differentieerbare functie zijn met domain D en bereik B. Danis f −1 ook differentieerbaar met domein B en bereik D, en er geldt

(f −1)′(x) =1

f ′(f −1(x)).

Bewijs. Schrijf y = f −1(x). Dan is x = f (y), dus x = f (f −1(x)).Passen we hierop de kettingregel toe dan vinden we

x ′ = f ′(f −1(x)) · (f −1)′(x), dus 1 = f ′(f −1(x)) · (f −1)′(x)

dus (f −1)′(x) =1

f ′(f −1(x)).

35/40

Differentieren van inverse functies

Laat f een differentieerbare functie zijn met domain D en bereik B. Danis f −1 ook differentieerbaar met domein B en bereik D, en er geldt

(f −1)′(x) =1

f ′(f −1(x)).

Bewijs. Schrijf y = f −1(x). Dan is x = f (y), dus x = f (f −1(x)).Passen we hierop de kettingregel toe dan vinden we

x ′ = f ′(f −1(x)) · (f −1)′(x), dus 1 = f ′(f −1(x)) · (f −1)′(x)

dus (f −1)′(x) =1

f ′(f −1(x)).

36/40

Afgeleide van arcsin x

We bekijken sin x op [− 12π,

12π].

Op dit domein is sin x stijgend, dus inverteerbaar. Het bereik van sin x is[−1, 1].

De inverse van sin x op [− 12π,

12π] noemen we arcsin x . Dus

sin(arcsin x) = x .

De functie arcsin x heeft domein [−1, 1] en bereik [− 12π,

12π]. Er geldt

arcsin′ x =1√

1− x2.

37/40

Afgeleide van arcsin x

arcsin′ x =1√

1− x2.

Bewijs. Uit de formule voor de afgeleide van de inverse volgt

arcsin′ x =1

sin′(arcsin x)=

1

cos(arcsin x).

We kunnen dit vereenvoudigen. Schrijf y = arcsin x . Dan is sin y = x ,− 1

2π ≤ y ≤ 12π.

Er geldt cos y ≥ 0, cos2 y + sin2 y = 1, cos2 y = 1− sin2 y , dus

cos y =√

1− sin2 y .

Dit geeft tenslotte cos(arcsin x) =√

1− sin2 y =√

1− x2.

Hieruit volgt arcsin′ x =1√

1− x2.

38/40

Afgeleide van arctan x

We bekijken tan x op (− 12π,

12π).

Op dit domein is tan x stijgend, dus inverteerbaar. Het bereik van tan xis (−∞,∞) = R.

De inverse van tan x op (− 12π,

12π) noemen we arctan x . Dus

tan(arctan x) = x .

De functie arctan x heeft domein R en bereik (− 12π,

12π). Er geldt

arctan′ x =1

1 + x2.

Bewijs. We weten dat tan′ x = 1 + tan2 x .

Door dit in de formule voor de afgeleide van de inverse in te vullen volgt

arctan′ x =1

tan′(arctan x)=

1

1 + tan2(arctan x)=

1

1 + x2.

39/40

Afgeleide van arctan x

We bekijken tan x op (− 12π,

12π).

Op dit domein is tan x stijgend, dus inverteerbaar. Het bereik van tan xis (−∞,∞) = R.

De inverse van tan x op (− 12π,

12π) noemen we arctan x . Dus

tan(arctan x) = x .

De functie arctan x heeft domein R en bereik (− 12π,

12π). Er geldt

arctan′ x =1

1 + x2.

Bewijs. We weten dat tan′ x = 1 + tan2 x .

Door dit in de formule voor de afgeleide van de inverse in te vullen volgt

arctan′ x =1

tan′(arctan x)=

1

1 + tan2(arctan x)=

1

1 + x2.

40/40

Einde van het college