PowerPoint Presentation - Slide 1

Constructies Passer & Liniaal, Origami en MeccanoWiskunde D-module

Luuk Hoevenaars

Hogeschool UtrechtBinnenkort op site Btasteunpunt UtrechtOpbouw van de ModuleEerste helft: Klassikale lessenOnmogelijkheid van constructieproblemenHuiswerkopdrachten voor een cijferInzet van Geogebra

Tweede helft:Groepsopdrachten met eindverslagKeuze uit opdrachten met Origami en MeccanoFeedbackpresentatiesSpelregelsZwart is gegeven, rood is nieuw

123456

????

11!!Van meetkunde naar algebraDescartes: cordinaten en vergelijkingen

Formules voor lijnen en cirkels

Waar liggen cordinaten van snijpunten?

Meetkundige rekenmachine: + Hebben we gebouwd met macros van Geogebra!Algebrasche vraag:

Welke getallen kunnen worden opgebouwd met + ?

Gauss: regelmatige 17-hoek (heptadecagon)De worteltrucNoemers wortelvrij maken

Nieuwe constructiestap geeft hooguit 1 nieuwe wortel:

met a,b,c minder wortels.Voorbeeld

Verdubbeling van de kubusFeit: is geen breuk.

Stel dat construeerbaar is.

Aanname:bevat minimaal n verschillende wortels.

Verdubbeling van de kubus

Oplossen van : deze is wl uit te drukken in de n-1 wortels?!

a,b,c bevatten maximaal n-1 verschillende wortels.

is niet uit te drukken in deze n-1 wortels.

Verdubbeling van de kubusConclusie: Verdubbeling van de kubus met passer en liniaal is onmogelijk!

Derdegraads vergelijking x3 =2 niet oplosbaar met tweedemachtswortels...

Constructies met Meccano

AchtergrondenLinkages: Watt, PeaucellierMeccano, Hornby 1901 (Make and know)Gerard t Hooft: Meccano Math I & II

Interessante onderwerpenRigiditeit

Spelregels + computersimulatie

Klassieke constructieproblemen

Wat is construeerbaar?Rigiditeit van grafen

RigideFlexibelMinimaal rigide

Niet minimaal rigideDe stelling van LamanGraaf met H hoekpunten en Z zijden is minimaal rigide precies alsZ = 2H - 3Z 2H 3voor elke deelgraaf op H punten

H = 6, Z = 9Z = 2H 3Maar er zijn verspilde zijden...

H = 4, Z = 6Z > 2H 3

SubtiliteitMeccano constructies kunnen niet om elk hoekpunt scharnieren, zijn dus geen grafen...

Maar nu wel!

Meccano vs. Passer en liniaalBreuken

xpqr

Meccano vs. Passer en liniaalWortels

Meccano vs. Passer en liniaalPeaucellier linkage

Dit is een Meccano liniaal, een passer is geen probleem...Driedeling van een hoek (Kempe)

Een gekruist parallellogram.De basishoeken zijn gelijk.

Een bissectrice...Driedeling van een hoek

Wat is construeerbaar?Maehara (1991):Meccano construeerbare cordinaten zijn precies alle oplossingen van algebrasche vergelijkingen.

Kempe (1875):There is a linkage that signs your name.

11