Constructies met passer en liniaal, origami en meccano · Ze konden het probleem wel degelijk...

Constructies met passer en liniaal, origami en meccano

Een wiskunde-D module geschreven doorLuuk Hoevenaars van de Hogeschool Utrecht

Deze module is in ontwikkeling en wordt uitgeprobeerd in het najaar van 2012 op het JuniorCollege Utrecht (JCU). De auteur bedankt Ton van der Valk (JCU) en Johan van de Leur(Universiteit Utrecht) voor uitleg over de gang van zaken op het JCU en Joke Daemen (IVLOS)en Aad Goddijn (Freudenthal Instituut, JCU) voor het lezen van een eerdere versie. Fouten enonvolkomenheden blijven uiteraard geheel voor de verantwoordelijkheid van de auteur.

De ontwikkeling en het uittesten van het materiaal is mede mogelijk gemaakt door de Hoge-school Utrecht, het Junior College Utrecht (JCU) en het Geometry and Quantum Theory (GQT)cluster.

Dit werk is gelicenseerd onder een Creative Commons Naamsvermelding-NietCommercieel-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie (2012).

Voorkant: detail van de Atheense School van Rafaël. Het is onduidelijk of de hoofdpersoonEuclides voorstelt of Archimedes, beiden spelen een belangrijke rol in deze module.

Inhoudsopgave

Inleiding 1Constructies 1Geschiedenis van constructies met passer en liniaal 1

Deel 1. Constructies met passer en liniaal 5

Hoofdstuk 1. Constructies met passer en liniaal 71.1. Spelregels en bewijzen 71.2. Basisconstructies 101.3. Ongeoorloofde en onmogelijke constructies 131.4. Beroemde problemen 16Samenvatting H1 23

Hoofdstuk 2. Van tekenen naar rekenen 252.1. Zijn lengtes van lijnstukken getallen? 252.2. Wat zijn getallen? 272.3. De meetkundige rekenmachine 292.4. Geogebra 32Samenvatting H2 36

Hoofdstuk 3. Wat is wel en niet construeerbaar met passer en liniaal 373.1. Snijpunten van lijnen en cirkels 373.2. Lichaamsuitbreidingen 433.3. Verdubbeling van de kubus is niet construeerbaar 47Samenvatting H3 51

Bĳlage A. Veronderstelde voorkennis van vlakke meetkunde 53

Bĳlage B. Een bewijs uit het ongerijmde 55

Antwoorden 57

Antwoorden 57

Inleiding

Voor je ligt een Wiskunde D module over constructies met passeren liniaal, origami en meccano. In het eerste deel bekijken we vierberoemde problemen uit de Griekse Oudheid die gaan over con-structies met passer en liniaal. Je zult zien hoe de Grieken hunuiterste best hebben gedaan om deze problemen op te lossen, maarhet is ze uiteindelijk niet gelukt. Pas 2000 jaar later werd duidelijkwaarom. In het tweede deel zien we dat er meer mogelijk is metOrigami of Meccano als alternatieve constructiemethode. Dit deelis op het moment nog in ontwikkeling.

ConstructiesHeb je je wel eens afgevraagd waarom je wel van een bisectrice hebt gehoord maar nognooit van een trisectrice? Of waarom je een regelmatige negenhoek niet kunt construeren metpasser en liniaal, maar wel kunt vouwen met een blaadje papier? Wist je dat Origami wordttoegepast in de ruimtevaart en de medische wetenschap? En dat het speelgoed Meccano kanworden gebruikt om een lineaire beweging om te zetten in een cirkelbeweging zoals bij eenstoomlocomotief?Er zijn talloze hulpmiddelen en gereedschappen om meetkundige figuren te tekenen, elk metzijn eigen grenzen. Voor een wiskundige is het interessant om het gereedschap te idealise-ren, nauwkeurig te omschrijven hoe het gereedschap gebruikt mag worden en vervolgens degrenzen van dit gebruik op te zoeken. Dat zullen we in deze Module doen voor de construc-tiegereedschappen Passer en liniaal, Origami en Meccano.

Geschiedenis van constructies met passer en liniaalVanaf ongeveer 3000 v. chr. hebben de Babyloniërs en Egyptenaren hun vorderingen inde wiskunde opgeschreven en doorgegeven aan ons. Voor hen diende wiskunde meestal eenpraktisch doel: ze deden berekeningen voor bijvoorbeeld architectuur, landverdeling of hetvoorspellen van zonsverduisteringen. Daar kwam verandering in bij de Grieken die rond 400v.chr. een grote bloeiperiode kenden. Zij dachten na over dingen gewoon omdat ze het interes-sant vonden en dit noemen we tegenwoordig met een Grieks woord filosofie (filein=houdenvan, sofia=kennis). De opbloei van (wiskundige) kennis, logisch nadenken en de Grieksecultuur gingen hand in hand. De filosoof Plato had niet voor niets boven de ingang van zijnAcademie een inscriptie laten plaatsen

AGEWMETRHTOS MHDEIS EISITOLaat geen meetkundig ongeschoolde hier ooit binnentreden

1

Je zult deze tekst tegenwoordig weliswaar niet boven een arbeidsbureau zien hangen, maartoch vinden bedrijven het nog steeds belangrijk dat hun werknemers wiskundig geschoold zijnals bewijs dat ze logisch kunnen nadenken.

De zuiverste vorm van meetkunde was voor de Grieken de meetkunde in het platte vlak,waarbij alleen gebruik mocht worden gemaakt van passer en liniaal. Een belangrijke stellingover driehoeken in het vlak is bijvoorbeeld de stelling van Pythagoras: voor een rechthoekigedriehoek met rechthoekszijden van lengte a en b en schuine zijde c geldt

a2 + b2 = c2

Het bewijs werd meetkundig geleverd volgens een vast stramien:

Probleem� Constructie�Bewijs

Je construeert dus eerst met behulp van passer en liniaal een rechthoekige driehoek volgensbepaalde afspraken die uitgebreid aan bod komen in hoofdstuk 1. Vervolgens geef je eenbewijs dat het vierkant met zijde c een even grote oppervlakte heeft als de vierkanten metzijde a en zijde b bij elkaar opgeteld. Dit stramien was zeer succesvol: we noemen dezestelling immers nog steeds naar Pythagoras ondanks dat de beste man al meer dan 2000 jaardood is.

Het indrukwekkende boek de Elementen van Euclides (ca. 300 v. chr.) bevat vrijwel allewiskunde die tot dan toe was gedaan. Euclides schreef hierbij duidelijk alle aannames opvoordat hij iets ging bewijzen. Met een minimum aan aannames (5 postulaten en 5 axioma’s)werd een maximum aan resultaat geboekt: 176 stellingen over vlakke meetkunde!

Ondanks de indrukwekkende hoeveelheid constructies die de Grieken maakten en de meet-kundige stellingen die ze konden bewijzen bleef er een aantal taaie problemen over waarvaneen constructie met passer en liniaal ze ontging. En daar wordt het interessant voor onzeModule: zijn dit de grenzen van de gereedschappen Passer en liniaal?

We introduceren die problemen hier kort:

Beroemd probleem 1 (Kwadratuur van de cirkel). Kun je een vierkant construeren met dezelfdeoppervlakte als een cirkel met straal 1?

Beroemd probleem 2. Kun je iedere regelmatige veelhoek construeren?

Beroemd probleem 3 (Driedeling van een hoek). Kun je een willekeurige hoek met behulpvan een constructie in drieën delen?

2

Beroemd probleem 4 (Het Delische probleem – verdubbeling van een kubus). Als een kubusmet zijden van lengte 1 gegeven is, kun je dan een kubus construeren met twee keer zo grootvolume?

Zo dus niet... want nu wordt het volume verachtvoudigd.

Bij dit laatste probleem staan we nog even stil. Volgens de legende1 had de god Apollogezorgd voor pestepidemie op het Griekse eiland Delos. Toen de Deliërs naar het orakelvan Delphi gingen om te vragen hoe ze weer van de plaag af konden komen kregen ze tehoren dat ze het altaar van Apollo op Delos moesten verdubbelen. De Delische beeldhouwersverdubbelden de zijden van het altaar, maar de pest ging niet over. Ten einde raad wenddenze zich tot Plato’s Academie. Daar kregen ze te horen dat het eigenlijke probleem was om hetaltaar te verdubbelen in volume en dat de Delische geleerden dus op zoek moesten gaan naareen constructie van een zijde met de juiste lengte. Volgens Plato was het een terechtwijzingvan de god Apollo: de Grieken moesten minder aandacht besteden aan ruzie maken en oorlogvoeren, en meer aan de wetenschap.Sindsdien heet dit ook wel het Delische probleem. De Grieken schijnen zich goed te hebbenbeseft dat het eigenlijk een probleem van de ruimtemeetkunde is, niet van de vlakke meetkunde.Ze konden het probleem wel degelijk oplossen met behulp van ruimtemeetkunde of andereinstrumenten dan passer en liniaal, de wiskundige en geschiedschrijver Thomas Heath noemtzelfs 9 oplossingen in zijn History of Greek Mathematics, maar geen van allen gebruiktenalleen maar passer en liniaal. De constructie van Archimedes bijvoorbeeld gebruikt een liniaalmet streepjes (opgave 25), en die van Menaechmus gebruikt parabolen (opgave 43). Dezeconstructies zijn dan ook niet opgenomen in de Elementen van Euclides. Na de inspanningenvan de Grieken bleef de vraag dus overeind: zijn de vier beroemde problemen te construerenmet passer en liniaal?Na de middeleeuwen werd deze vraag opgepikt door veel vooraanstaande wetenschapperszoals Descartes, Newton en Gauss. Maar hoewel Gauss bijna kon bewijzen welke regelmatigeveelhoeken kunnen worden geconstrueerd is het de weinig bekende Fransman Pierre LaurentWantzel geweest die in 1837 problemen 2, 3 en 4 volledig heeft opgelost. Voordat het zover waszijn er dus meer dan 2000 jaar overheen gegaan, is er een moord gepleegd (op Archimedes),is er een wiskundige aan ziekte en armoede gestorven (Niels Abel), een ander is in eenpistoolduel omgekomen (Évariste Galois) en Wantzel zelf is niet beroemd geworden maar inde vergetelheid geraakt en heeft zich doodgewerkt onder de invloed van opium. Maar daarovermeer in de volgende hoofdstukken...

1Vrij geciteerd uit De E apud Delphos van de Griekse geschiedschrijver Plutarchos, 1e eeuw n.chr.

3

Deel 1

Constructies met passer en liniaal

HOOFDSTUK 1

Constructies met passer en liniaal

Dit hoofdstuk gaat over het construeren van punten, lijnen en cirkels in het platte vlak metbehulp van passer en liniaal. Typische vragen die we ons daarbij stellen zijn: kunnen weeen gelijkzijdige driehoek construeren? En een regelmatige vijfhoek? Kunnen we een hoek intweeën delen? En in drieën? Kunnen we een vierkant construeren met dezelfde oppervlakteals een gegeven cirkel?Om antwoorden te geven op deze vragen moeten we heel precies omschrijven wat we eigen-lijk bedoelen met construeren. Hierbij volgen we ongeveer de spelregels zoals de Grieksewiskundige Euclides ze opschreef rond 300 v. chr. in zijn beroemde boek de Elementen. Deregels van Euclides zijn niet zaligmakend: het is goed mogelijk om een andere verzamelingspelregels te verzinnen waarmee je vergelijkbare constructies kunt maken. In deel 2 zullen weonderzoeken wat je allemaal kunt doen met origami en meccano.Als de spelregels eenmaal zijn vastgelegd kunnen we onderzoeken wat mogelijk en vooral ookonmogelijk is met passer en liniaal. Daarbij stuiten we uiteindelijk op een aantal klassiekeproblemen uit de Griekse Oudheid. Ten slotte nemen we nog een loopje met de spelregels:door vals te spelen kunnen sommige constructies plotseling wél worden gemaakt!

1.1. Spelregels en bewijzenIn dit hoofdstuk bekijken we de vlakke meetkunde van punten, lijnen en cirkels. Het boek deElementen van Euclides van omstreeks 300 v.chr. gaat hierover en geldt al eeuwenlang alseen blauwdruk voor een wiskundige tekst omdat het duidelijk onderscheid maakt tussen devolgende aspecten van wiskunde:

Aannames – Logische regels – Stellingen – Bewijzen

Euclides begint met 23 definities waarin hij uitlegt wat meetkundige begrippen zoals punt,lijn, driehoek, cirkel etcetera betekenen. Dan volgen 5 postulaten, waarin aannames wordengedaan over relaties tussen deze begrippen:

(1) Er gaat één lijnstuk door twee gegeven punten.(2) Een lijnstuk kan in beide richtingen worden verlengd tot een rechte lijn.(3) Er is één cirkel met gegeven middelpunt en gegeven straal.(4) Alle rechte hoeken zijn gelijk.(5) Stel dat twee lijnen worden gesneden door een derde. De twee lijnen snijden elkaar

alleen als de kleinste hoeken die ze maken met de derde lijn samen kleiner zijn dantwee rechte hoeken.

De eerste drie postulaten gaan over toegestane meetkundige constructies, de laatste tweekunnen worden gebruikt om te bewijzen dat die constructies voldoen aan bepaalde eigen-schappen. Omdat Euclides zo duidelijk maakt wat zijn aannames zijn, kun je onderzoeken water gebeurt als je een aanname verandert. Vooral over het vijfde postulaat (het parallellenpos-tulaat) is in de loop der eeuwen veel discussie ontstaan en het is inderdaad mogelijk gebleken

7

Hoofdstuk 1 Constructies met passer en liniaal

om zonder dit postulaat een consistente theorie op te bouwen: de niet-Euclidische meetkunde.Een voorbeeld hiervan is meetkunde op een boloppervlak, waarin twee evenwijdige lijnen el-kaar inderdaad kunnen snijden, denk maar aan de meridianen op het aardoppervlak die elkaarsnijden in de noord- en zuidpool.

De opbouw van de Elementen is weliswaar lovenswaardig, maar er is nog wel het één enander op af te dingen1. We kijken nog eens kritisch naar de eerste drie postulaten en wemerken op dat ze niet helemaal volledig zijn: hoe construeren we bijvoorbeeld nieuwe punten?Euclides zwijgt daarover in zijn postulaten, maar in de tekst worden wel degelijk nieuwepunten geconstrueerd. We vullen daarom de eerste drie postulaten aan tot een verzamelingspelregels die wij zullen hanteren bij het construeren:

Spelregels voor constructie met passer en liniaal

Constructie van nieuwe lijnen en cirkels:

PL1. Een lijn door twee gegeven punten.

PL2. Een cirkel door een gegeven punt meteen ander gegeven punt als middelpunt.

Constructie van nieuwe punten:

PL3. Een willekeurig punt in het vlak(geen bijzondere eigenschappen)

PL4. Snijpunt van twee lijnen.

PL5. Snijpunt(en) van een lijn en een cirkel.

PL6. Snijpunt(en) van twee cirkels.

1Er is vanuit modern wiskundige oogpunt nog wel meer af te dingen op de Elementen dan wat we hiervermelden, en daarom heeft David Hilbert in 1899 een verbeterd stelsel voorgesteld met daarin 21 aannames.

8

Als het goed is ken je nog een aantal constructies uit de onderbouw, zoals bijvoorbeeld debissectrice van een hoek en de middelloodlijn van een lijnstuk.

1a OpgaveMaak een lijstje van constructies die je al eens hebt gezien en probeer ze weer uit te voeren.

1b OpgaveBedenk tenminste drie constructies in het platte vlak die je nooit hebt gezien maar waarvanje denkt dat ze uitvoerbaar zijn.

We komen later nog op deze lijstjes terug.

1.1.1. Wat bedoelt Euclides met een bewijs?Normaal gesproken loopt een wiskundig bewijs als volgt:

Stelling aannames+logica��! Bewijs

Euclides vond het echter belangrijk dat een meetkundige stelling niet alleen voorstelbaar is,maar ook construeerbaar op basis van de spelregels. Hij hanteerde daarom het volgendestramien

Stelling spelregels��! Constructie aannames+logica��! Bewijs

Later zullen we zien dat bijvoorbeeld een regelmatige zevenhoek niet construeerbaar is enEuclides zwijgt dan ook in alle toonaarden over zo’n figuur, terwijl we geen enkele moeitehebben om ons een regelmatige zevenhoek voor te stellen.

Laten we eens kijken hoe Euclides zijn eerste stelling uit de Elementen bewijst:

Er bestaat een gelijkzijdige driehoek �ABC met een gegeven lijnstuk AB als zijde.

2a Opgave (eerste stelling uit de Elementen)Construeer volgens de bovenstaande spelregels de gevraagde gelijkzijdige driehoek �ABC .Schrijf bij elke stap op welke spelregel van PL1 t/m PL6 het is.

2b OpgaveBewijs dat de driehoek die je hebt geconstrueerd inderdaad gelijkzijdig is.

Het is dus mogelijk om een gelijkzijdige driehoek te construeren vanuit een gegeven zijde.3a Opgave (tweede stelling uit de Elementen)

In de figuur hiernaast staat een constructie afgebeeld.Lijnstuk PQ en punt R zijn gegeven, lijnstuk RS is het eindresultaat.Zijn de lengtes |PQ| en |RS| gelijk?Wat denk je dat het doel is van de constructie?

3b OpgaveSchrijf een stappenplan, waarbij de deelconstructie van opgave 2één stap is.

3c OpgaveBewijs dat het doel van de constructie inderdaad wordt bereikt.

9


1.1.2. De rol van de passer en de liniaalEuclides noemt nergens de woorden “passer” en “liniaal". Toch is het uit zijn tekst duidelijkdat hij grote waarde hecht aan constructies, en dat daarbij alleen specifieke gereedschappenop een bepaalde manier mogen worden gebruikt. Je bent zelf bijvoorbeeld gewend te werkenmet een geodriehoek. Daarmee kun je zowel afstanden als hoeken opmeten, wat heel handigkan zijn bij het construeren. Als je bijvoorbeeld een hoek in tweeën moet delen, dan meet jede hoek op en je deelt dit getal door twee. De Grieken vonden dit niet zuiver: de meting isnooit precies en dus ‘aards’.Liniaal Een liniaal bevat geen markeringen en mag alleen worden gebruikt om

reeds geconstrueerde punten te verbinden.Passer De passer mag alleen worden gebruikt om cirkels te construeren met een

reeds geconstrueerd middelpunt en randpunt. Moderne passers hebbeneen radartje waarmee je de benen vast kunt zetten. Op die manier kunje de afstand tussen twee punten P en Q “meten” met je passer en ver-volgens de passerpunt ergens anders neerzetten. Volgens de spelregelshierboven mag dit niet zomaar! Uit de vorige opgave volgt echter dat hettoch mogelijk is om net te doen of je een moderne passer hebt.

Op het ongeoorloofd gebruik van de passer en liniaal (valsspelen dus) komen we terug inparagraaf 1.3.

1.2. BasisconstructiesIn deze paragraaf proberen we structuur aan te brengen in het denken over constructies. Webekijken een aantal basisconstructies: niet al te ingewikkelde constructies die vaak van paskomen als bouwsteen in grotere constructies. De constructie van een gelijkzijdige driehoek inopgave 2 kwam bijvoorbeeld meteen van pas in opgave 3. Eerst even opwarmen:

4 OpgaveGeef een samengestelde constructie die uiteenvalt in basisconstructies. Gebruik als inspiratiede lijstjes die je hebt gemaakt in opgave 1. Je hoeft niet te beschrijven hoe de basisconstructiesmoeten worden uitgevoerd, je kunt deze behandelen als “black box”.

5a OpgaveMet het aantal stappen van een constructie bedoelen we het aantal keren dat PL1 of PL2wordt gebruikt. Geef een constructie waarmee het midden van een lijnstuk wordt bepaald (3stappen).

5b OpgaveGegeven is een lijn m en een punt P dat niet op m ligt. Geef een constructie voor de loodlijnop m die door P gaat (het kan in 3 stappen).

5c OpgaveGegeven is een lijn m met daarop een punt P . Geef een constructie voor de loodlijn op m diedoor P gaat (het kan in 3 stappen).

10

T�� . Basisconstructies

B1 Het midden van lijnstuk AB.

B2 De loodlijn van AB door punt C .Punt C ligt niet op AB. . . .

B3 . . .

B4 De combinatie van I en III. Hoeheet dit? . . .

B5 De lijn door C evenwijdig aan AB.

B6 De bissectrice: lijn die de hoek\CAB door midden deelt.

B7 . . . . . .

In tabel 1 staat een lijst van basisconstructies met de opdracht aan de lezer om deze aan tevullen, de details van de constructies te geven en te bewijzen dat ze voldoen aan de gevraagdeeigenschappen.

6 OpgaveVul tabel 1 aan en bewijs dat de constructies doen wat ze moeten doen.

11


Beschrijf van de volgende constructies welke basisconstructie van pas komt:

7a OpgaveHet snijpunt van de drie zwaartelijnen van een driehoek.

7b OpgaveHet snijpunt van de drie hoogtelijnen van een driehoek.

7c OpgaveHet middelpunt van de ingeschreven cirkel van een driehoek.

7d OpgaveHet middelpunt van de omgeschreven cirkel van een driehoek.

8 OpgaveGegeven zijn punten M en N en de cirkel met middelpunt M en randpunt N . Construeer degelijkzijdige driehoek �NPQ waarbij P en Q op de cirkel liggen.Hint: Begin met het construeren van een regelmatige zeshoek.

9 OpgaveZijn er constructies in opgave 1b) die je inmiddels met passer en liniaal kunt maken?

De volgende constructies zijn goede oefeningen en hebben iets te maken met de beroemdeproblemen uit de Griekse Oudheid. Geef bij iedere constructie nieuwe punten een naam (inhoofdletters) en nieuwe lijnen en cirkels een naam (in kleine letters). Schrijf nummertjes inje tekening om aan te geven wat de volgorde is en beschrijf bij ieder nummer kort welkebasisconstructie het is.

10a Opgave (Verdubbeling van een vierkant)Gegeven is een vierkant ABCD waarvan de zijde 1cm lang is. Construeer een vierkant metoppervlakte 2cm2.

10b OpgaveGegeven is een vierkant ABCD. Construeer een vierkant waarvan de oppervlakte twee keerzo groot is.

11 Opgave (Kwadratuur van een rechthoek)Gegeven is een rechthoek ABCD. Construeer een vierkant met dezelfde oppervlakte.Hint: Introduceer getallen a = |AB| en b = |BC|. De oppervlakte van de rechthoek is dusgelijk aan ab en we zoeken een vierkant met zijde

pab. Ga na dat

ab =

✓

a+ b

2

◆2

�✓

a� b

2

◆2

12

Als we dit lezen met een “Pythagorasbril” op, dan staat hier dat een rechthoekige driehoekmet schuine zijde a+b

2 en rechte zijde a�b

2 een tweede rechte zijde heeft met lengtepab.

Construeer zo’n rechthoekige driehoek.12a Opgave (Kwadratuur van een veelhoek)

Gegeven is 4ABC . Construeer een vierkant met dezelfde oppervlakte. Geef hierbij nauw-keurig aan welke constructies van de voorgaande opgaven je hebt gebruikt.Hint: Probeer dit probleem te reduceren tot de kwadratuur van een rechthoek.

12b OpgaveGegeven is een regelmatige veelhoek. Laat zien dat je een vierkant kunt construeren metdezelfde oppervlakte.Hint: Probeer dit probleem te reduceren tot de kwadratuur van driehoeken en rechthoeken.

13 Opgave (Regelmatige veelhoeken)Je kleine zusje krijgt voor school de opdracht om op een lege wijzerplaat de uren van de klokaan te geven. Je besluit haar aan een tien te helpen door met behulp van passer en liniaalde streepjes op de juiste plek te zetten.Hint: begin met een gelijkzijdige zeshoek (zie opgave 8) en gebruik bissectrices.Er is ook een andere aanpak mogelijk om de uren op de wijzerplaat van een klok te construeren:de constructie van een regelmatige 12-hoek vanuit een regelmatige driehoek en vierhoek.Daarover gaat de volgende opgave.

14a Opgave (Regelmatige veelhoeken)Gegeven is een cirkel met daarin een gelijkzijdige 4P0P1P2

en vierkant ⇤Q0Q1Q2Q3 met één gemeenschappelijk puntP0 = Q0. De hoekpunten P

i

liggen op i

3e deel van de cirkel,

de hoekpunten Qj

liggen op j

4

e deel. Leg uit dat P1Q1 gelijkis aan 1

12e deel van de cirkel en dus de zijde is van een

regelmatige twaalfhoek.14b Opgave

Je zou het vermoeden kunnen krijgen dat met behulp van een regelmatige m-hoek en n-hoekeen regelmatige m · n-hoek kan worden geconstrueerd.Leg uit dat dit vermoeden waar is voor een regelmatige vijftienhoek.

14c OpgaveStart met een vierkant en een regelmatige achthoek met wederom P0 = Q0.Leg uit dat je zo geen regelmatige 32-hoek kunt construeren.

14d OpgaveProbeer te ontdekken waaraan m en n moeten voldoen zodat het vermoeden wél waar is(schrijf duidelijk je vermoeden op en controleer het voor een aantal gevallen. Een bewijswordt niet gevraagd maar levert wel bonuspunten op).

1.3. Ongeoorloofde en onmogelijke constructiesHet is natuurlijk leuk om te zien dat je met de basisconstructies in de hand een aantalingewikkelde constructies kunt uitvoeren. Interessanter zijn echter de constructies die je (nog)niet kunt maken! In deze paragraaf bekijken we niet wat de mogelijkheden zijn, maar juistwat de onmogelijkheden zijn. We lopen tegen de beperkingen van de spelregels op, enerzijdsomdat sommige constructies met cirkels en lijnen niet zijn toegestaan en anderzijds omdat wealleen mogen werken met lijnen en cirkels en niet met bijvoorbeeld parabolen, hyperbolen ofandere figuren.

13


1.3.1. Ongeoorloofde constructies met lijnen en cirkelsEr zijn constructies met lijnen en cirkels die je volgens de spelregels niet zomaar mag uitvoerenterwijl ze in de praktijk geen probleem opleveren. Als er een cirkel en een punt buiten decirkel gegeven is kun je bijvoorbeeld een lijn tekenen die raakt aan de cirkel en door het puntgaat (er zijn zelfs twee van deze lijnen). Volgens de spelregels is dit niet zomaar toegestaan.Is er een manier om deze constructie toch te maken op een legale manier?

15 OpgaveProbeer zo precies mogelijk uit te leggen waarom het tekenen van een raaklijn aan een cirkelniet aan de spelregels PL1 t/m PL6 voldoet.Gelukkig bestaat er wél een eerlijke constructie van een raaklijn aan een cirkel.

16a OpgaveGegeven is een cirkel c met middelpunt M en randpunt S.Bewijs dat de lijn door S loodrecht op lijnstuk MS maar één snijpunt heeft met c. De raaklijnaan c door S staat dus loodrecht op de straal.Hint: Een tweede snijpunt S0 zou leiden tot een onmogelijke driehoek 4SMS0.De stelling van Thales luidt: een driehoek ingeschreven in een cirkel, waarbij één van dezijden een middellijn is van de cirkel, is altijd een rechthoekige driehoek.

16b OpgaveGegeven is een punt P buiten de cirkel c. Construeer een nieuwe cirkel met middellijn MPen noem de snijpunten met c respectievelijk S1 en S2. Leg met behulp van de stelling vanThales en onderdeel a) uit waarom de lijnen PS1 en PS2 raken aan de cirkel.

16c OpgaveWat gebeurt er als het punt P op de cirkel ligt? En als het er binnen ligt?

17 OpgaveVan twee gegeven cirkels (niet even groot, niet snijdend of rakend) kun je eenvoudig de viergemeenschappelijke raaklijnen tekenen. Maar kun je ze ook volgens de spelregels construeren?Probeer de vorige opgave te gebruiken, bijvoorbeeld door beide cirkels te krimpen totdat éénvan de cirkels een punt is geworden.In opgave 25 zien we hoe Archimedes een loopje neemt met de spelregels om een hoek indrieën te kunnen delen. Ook in die situatie is het lang niet zo duidelijk of er ook een eerlijkeconstructie als alternatief bestaat..

1.3.2. Onmogelijke constructiesJe stuit wel eens op een constructie die je niet kunt uitvoeren. Dit kan twee oorzaken hebben:je bent ofwel niet handig genoeg geweest bij het verzinnen van een mogelijke constructie, ofde constructie is principieel onmogelijk .

14

Soms is het meteen duidelijk dat een constructie onmogelijk is: je kunt met passer en liniaalnou eenmaal geen ellips construeren. Een interessante vraag is of er ook constructies bestaandie onuitvoerbaar zijn, maar waarvan je dat niet meteen kunt zien. En of je van een onuit-voerbare constructie kunt bewijzen dat dat zo is. Als wiskundigen lange tijd een constructieniet hebben kunnen maken dan bewijst dat natuurlijk nog niets, er zijn genoeg wiskundigestellingen waar pas na eeuwen een bewijs voor is gegeven. Een voorbeeld is de beroemdelaatste stelling van Fermat (1637) die uiteindelijk is bewezen door Andrew Wiles (1994).Op deze bewijsbare onmogelijkheid komen we terug in latere hoofdstukken. In de volgendeparagraaf bespreken we eerst nog de vier beroemde constructies uit de Griekse Oudheid die2000 jaar lang onuitgevoerd bleven. Zijn ze misschien onmogelijk?

15


1.4. Beroemde problemenDe Oude Grieken zijn ware passer–en–liniaal kunstenaars geweest. Toch is er een viertalconstructieproblemen dat zelfs hun pet te boven ging:

(1) De kwadratuur van een cirkel.(2) De constructie van bepaalde regelmatige veelhoeken.(3) De driedeling van een hoek.(4) De verdubbeling van een kubus.

In de komende paragrafen geven we een beschrijving van deze problemen. De Grieken hebbenze niet kunnen oplossen met passer en liniaal, hoe goed ze ook zochten naar constructies.

1.4.1. Kwadratuur van de cirkelDe oppervlakte van een cirkel met straal 1 noemen we ⇡, dit is ongeveer 3, 1415. Het getal ⇡heeft een lange geschiedenis en bijna elke beschaving sinds de Babyloniërs heeft zich ermeebezig gehouden. Soms werd het erg onnauwkeurig benaderd (de bijbel rekent in 2 Kronieken4:2 en 1 Koningen 7:23 bijvoorbeeld met ⇡ = 3), maar soms was een benadering opmerkelijknauwkeurig. Een erg efficiënte methode was die van Archimedes: hij tekende een regelmatigeveelhoek zowel binnen de cirkel (zie figuur 1) als eromheen en hij bedacht dat de oppervlaktevan de cirkel tussen die van de veelhoeken moest liggen. Door een regelmatige n-hoek tegebruiken met grote n wordt de benadering nauwkeuriger.

18 OpgaveBekijk de eenheidscirkel en bereken de oppervlakte van een ingeschreven en omgeschrevenzeshoek, zie figuur 1. Net als Archimedes mag je daarbij de volgende ongelijkheid gebruiken

265

153

<p3 <

1351

780

De methode van Archimedes roept een aantal vragen op:

(1) Hoe construeerde hij een regelmatige veelhoek?(2) Hoe berekende hij de oppervlakte van een regelmatige veelhoek?

In een gegeven cirkel is een regelmatige zeshoek construeerbaar, bijvoorbeeld door alle ge-lijkzijdige driehoeken in figuur 1 te construeren (zie ook opgave 13). Welke veelhoeken welen niet construeerbaar zijn is het volgende beroemde probleem, we richten ons daarom op detweede vraag. De oppervlakte van een regelmatige veelhoek is te reduceren tot een som vanoppervlakten van driehoeken door vanuit het middelpunt lijnen te trekken naar de hoekpunten,zoals gedaan is in figuur 1. Op basis van opgave 12 kun je hier rechthoeken van maken, die jeook nog eens aan elkaar kunt plakken tot één grote rechthoek. De methode van Archimedesgeeft dus een benadering van de oppervlakte van de cirkel in termen van de oppervlakten vaneen rechthoek.Dit leidt tot de essentie van de kwadratuur van de cirkel: kan de ware oppervlakte van eengekromd object als de cirkel evenals zijn benaderingen worden uitgedrukt in termen van deoppervlakte van een rechthoek? Of, omdat er ook een vierkant te construeren is met dezelfdeoppervlakte als een rechthoek (opgave 11): bestaat er een vierkant met dezelfde oppervlakteals de cirkel met straal 1?

Beroemd probleem 1 (Kwadratuur van de cirkel).Gegeven is een cirkel met straal 1. Kun je een vierkant met dezelfde oppervlakte construeren?

16

F�� . Een ingeschreven en omgeschreven regelmatige zeshoek voor eencirkel met straal 1.

Uiteindelijk tekende Archimedes ingeschreven en omgeschreven 96-hoeken (construeerbaar:deel de hoeken van een gelijkzijdige driehoek vijf keer in tweeën) en kwam2 tot de benadering

3

1071 < ⇡ < 3

17

die tot op twee decimalen nauwkeurig is. Archimedes erkende dat zijn methode de kwadratuurvan de cirkel niet oplost: de veelhoeken blijven benaderingen voor de oppervlakte van decirkel. Voor een echte kwadratuur van de cirkel is de constructie van een lijnstuk met lengtep⇡ vereist.

2In de berekening gebruikt Archimedes allerlei afschattingen voor wortels die hij niet uitlegt, zoals de af-schattingen voor

p3. Zie bijvoorbeeld de website van Dick Klingens http://www.pandd.demon.nl/piarchi.htm voor

de hele berekening.

17


1.4.2. De constructie van regelmatige veelhoeken.

We zagen dat Archimedes voor zijn benadering van ⇡ ingeschreven en omgeschreven regelma-tige veelhoeken gebruikte. In opgaven 2, 8 en 10 heb je regelmatige veelhoeken geconstrueerdmet passer en liniaal, bijvoorbeeld een driehoek, vierkant en zeshoek. We gaan nu in stappende nog ontbrekende regelmatige vijfhoek bekijken.

F�� . Een springende kangoeroe

19a Opgave (Constructie van een regelmatige vijfhoek)Gegeven zijn twee halve lijnen die met elkaar een hoek a maken in het punt A. Een kangoeroemaakt telkens even grote sprongen van de ene lijn naar de andere, indien mogelijk naar eenander punt dan waar hij net vandaan kwam, zie figuur 2.Druk de hoeken \a1,\a2 enz. uit in \a (gebruik eventueel de stelling van de buitenhoek).

19b OpgaveLeg uit: als \a = 36

�, dan is 4A2A3A gelijkbenig met tophoek \a. Schets deze situatie.

19c OpgaveLeg uit: als \a = 36

�, dan kunnen A,A2 en A3 worden gebruikt om een regelmatige tienhoekte construeren binnen de cirkel met middelpunt A en straal |A2A|.

19d OpgaveAls \a = 36

� en |A2A| = 1, hoe groot is dan |A1A|? Is deze lengte construeerbaar?Hint: zoek gelijkvormige driehoeken en gebruik verhoudingen tussen lengtes van zijden omeen vergelijking te vinden waaraan x = |A1A| moet voldoen.

19e OpgaveConstrueer een regelmatige vijfhoek in een cirkel met straal 1.

Vrije interepretatie van de kangoeroewedstrijd wizPROF 2010, opgave 25.

De Grieken konden dus een regelmatige drie-, vier-, vijf- en zeshoek construeren. Dit roeptde vraag op of het mogelijk is om elke regelmatige veelhoek te construeren.

Beroemd probleem 2 (Regelmatige veelhoeken).Is het mogelijk om elke regelmatige veelhoek te construeren?

18

F�� . Het standbeeld van Gauss in Braunschweig

20 OpgaveDe Grieken zijn niet verder gekomen dan de drie-, vier-, vijf- en zeshoek en de veelhoekendie je hieruit kunt construeren door hoeken in tweeën te delen. Maak een lijstje van deregelmatige veelhoeken die de Grieken konden construeren. Waar zitten de gaten?Pas toen de wiskundige Carl Friedrich Gauss zich er rond 1800 mee ging bemoeien werddit probleem volledig opgelost: hij gaf een beschrijving van de veelhoeken die wel en nietkunnen worden geconstrueerd. Hij heeft bijvoorbeeld op 18-jarige leeftijd een regelmatige17-hoek geconstrueerd en hierop was hij zo trots dat hij besloot wiskunde te gaan studeren(en geen taalkunde). In het volgende hoofdstuk treed je in zijn voetsporen door zelf in hetcomputerprogramma geogebra een regelmatige zeventienhoek te construeren. In zijn geboor-teplaats Braunschweig staat een standbeeld van Gauss met een sokkel in de vorm van eenzeventienpuntige ster.

De constructie van regelmatige veelhoeken is gerelateerd aan het delen van hoeken, zoalsblijkt uit de volgende opgaven.

21 OpgaveLeg uit: als je een willekeurige hoek in n gelijke hoeken kunt verdelen, dan is iedere regel-matige n-hoek construeerbaar.De vraag of we hoeken in n gelijke stukken kunnen delen is dus algemener dan de vraag ofwe een regelmatige n-hoek kunnen construeren.

22 OpgaveAls we hoeken in drieën kunnen delen, hoe verwacht je dat het lijstje van opgave 20 danverandert?

19


1.4.3. Driedeling van een hoekVia de basisconstructies kunnen we inmiddels lijnstukken en hoeken in tweeën delen. Doordeze weer in tweeën te delen, en deze weer in tweeën, enzovoorts kunnen we dus ieder lijnstuken iedere hoek verdelen in 2

k gelijke delen voor iedere k. Zouden we nu ook een lijnstuk ofeen hoek in drieën kunnen delen?

Stelling: Met passer en liniaal kan een lijnstuk in een willekeurig aantal gelijke stukkenworden verdeeld.

B��. We leggen eerst uit hoe een lijnstuk in drieën kan worden gedeeld, zie figuur 4.Kies twee willekeurige punten A,B op de lijn en een punt C1 dat niet op de lijn ligt. Verlenghet lijnstuk AC1 twee keer en noem de tussenliggende punten C2 en C3. We krijgen dus|AC1| = |C1C2| = |C2C3|. Teken nu de lijnen door C1 en C2 die evenwijdig zijn aan BC3.De snijpunten D1, D2 met AB delen dit lijnstuk op in 3 gelijke delen omdat de driehoekenABC3, AD2C2 en AD1C1 allen gelijkvormig zijn. In figuur 4 staat dit bewijs geïllustreerd. Hetopdelen in meer gelijke stukken gaat analoog, door het lijnstuk AC1 vaker te verlengen. ⇤

Het teken ⇤ geeft aan dat het bewijs hier eindigt.

F�� . De driedeling van een lijnstuk gebruiken voor de driedeling van een hoek?

De driedeling (trisectie) van een hoek is een ander verhaal. De Grieken hadden hier grotemoeite mee. Zijn wij slimmer dan de Grieken?

23 OpgaveBekijk een driehoek 4ABC . Verdeel zijde BC in drie gelijke delen. Kun je dit gebruiken omde hoek \CAB in drieën te delen (zie figuur 4)? Zo ja, geef een bewijs. Zo nee, geef eentegenvoorbeeld.

Dit is dus geen goede algemene strategie. Nu proberen we een bijzonder geval.

24 OpgaveVerzin een constructie om een hoek van 90

� oftewel ⇡

2 in drieën te delen.Hint: Welke regelmatige veelhoek hoort bij een hoek van 30

�?

Het is dus in ieder geval mogelijk om sommige hoeken met passer en liniaal in drieën tedelen. Archimedes (ja, dezelfde van de kwadratuur van de cirkel) heeft een manier bedachtom alle hoeken in drieën te delen. Voor de constructie van de regelmatige vijfhoek maaktenwe in opgave 19 gebruik van figuur 2 waarbij \a = 36

�. Voor de driedeling van Archimedesgebruiken we geen specifieke waarde. In figuur 5 is de volgorde van tekenen anders dan infiguur 2: Archimedes start met de punten B,C en D en tekent daarna E en A.

20

F�� . Driedeling van een hoek volgens Archimedes

25a Opgave (De constructie van Archimedes)Leg uit dat \A en driedeler is van \DBC (zie ook opgave 19).

25b OpgaveLeg uit A dat de tekening van Archimedes geen geldige constructie is met passer en liniaal.Welke stap voldoet niet aan de regels PL1 t/m PL6?De Grieken konden dus wel degelijk alle hoeken in drieën delen, maar ze maakten daarbijgebruik van extra hulpmiddelen naast de gewone passer en liniaal zoals de neusis (Grieks:⌫"��◆&). Dit is een liniaal waarop je streepjes mag zetten (zoals op je geodriehoek) en die jemag schuiven zodat je één streepje op een gegeven lijn mag zetten en een ander streepje opeen andere gegeven lijn of een cirkel.Ruim 2000 jaar lang bleef het onbekend of een hoek in drieën kan worden gedeeld. Het isons derde beroemde passer–en–liniaal probleem.

Beroemd probleem 3 (Driedeling van een hoek).Kun je een willekeurige hoek met passer en liniaal in drieën delen?

Archimedes van Syracuse (287 - 212 v.Chr.) was een Griekswiskundige, natuurkundige, ingenieur, uitvinder en sterren-kundige. In opdracht van de koning moest hij een kroon tes-ten op het goudgehalte zonder deze kapot te maken. Hij zatin bad na te denken, ontdekte in een flits de wet van de op-waartse kracht, sprong uit bad en rende naakt door de stratenvan Syrakuse. Hij schreeuwde: ·urhka (eureka) – ik heb hetgevonden! Hier zie je Archimedes afgebeeld op de FieldsMedaille, de “Nobelprijs” voor de wiskunde.

21


1.4.4. Verdubbeling van een kubusHet laatste beroemde probleem is al uitegebreid aan bod gekomen in de inleiding via eenlegende die ermee samenhangt. In opgave 10 heb je de oppervlakte van een vierkant verdub-beld. Als het oorspronkelijke vierkant zijden met lengte 1 heeft, dan heeft volgens de stellingvan Pythagoras het nieuwe vierkant zijden met lengte

p2. Nu moeten we een soortgelijke

constructie maken voor een kubus:

Beroemd probleem 4 (Het Delische probleem – verdubbeling van een kubus).Is een lijnstuk met lengte 3

p2 construeerbaar?

22

Samenvatting H1

Dit hoofdstuk ging over vlakke meetkunde met passer en liniaal, gebaseerd op het boek deElementen van Euclides. In dit boek doet hij meetkunde volgens het paradigma

Aannames – Logische regels – Stellingen – Constructies – Bewijzen

Wij richten ons in deze module vooral op de constructies. Daarin mag alleen gebruik wordengemaakt van een passer en liniaal volgens de spelregels PL1 t/m PL6.PasserMet de passer mag je bovendien nog een geconstrueerd lijnstuk opmeten en ergens anderseen cirkel met deze straal maken.LiniaalDe liniaal heeft geen streepjes, en je mag er niet mee schuiven om bijvoorbeeld raaklijnen tevinden.Eerder gemaakte constructies dienen als bouwstenen voor nieuwe constructies, bijvoorbeeldde veel gebruikte basisconstructies B1 t/m B6.

Spelregels voor constructie met passer en liniaalPL1. Lijn door twee gegeven punten.PL2. Cirkel met gegeven middelpunt en randpunt.PL3. Willekeurig punt in het vlakPL4. Snijpunt van twee lijnen.PL5. Snijpunt(en) van lijn en cirkel.PL6. Snijpunt(en) van twee cirkels.

BasisconstructiesB1 Midden van lijnstuk.B2 Loodlijn op lijn door punt dat niet op lijn ligt.B3 Loodlijn op lijn door punt dat wel op lijn ligt.B4 Middelloodlijn van lijnstuk.B5 Lijn door punt evenwijdig aan gegeven lijn.B6 Bissectrice van twee gegeven lijnen.

Een paar beroemde constructieproblemen bleven eeuwen lang onopgelost:

Kwadratuur van de cirkel: Kun je een vierkant construeren met dezelfde oppervlakte alseen cirkel met straal 1?

Regelmatige veelhoeken: Kun je iedere regelmatige veelhoek construeren?

Driedeling van een hoek: Kun je een willekeurige hoek met behulp van een constructiein drieën delen?

Het Delische probleem:(verdubbeling van een kubus)

Als een kubus met zijden van lengte 1 gegeven is, kun je daneen kubus construeren met twee keer zo groot volume?

Een aantal constructies bleken uitvoerbaar met passer en liniaal, bijvoorbeeld:

• De raaklijn aan een cirkel door een punt.• Een vierkant met opp. twee keer zo groot als dat van een gegeven vierkant.• Een vierkant met dezelfde opp. als een driehoek, rechthoek of regelmatige veelhoek.• Het verdelen van een lijnstuk in n gelijke stukken• Een regelmatige driehoek, vierhoek, vijfhoek, zeshoek, achthoek, twaalfhoek.

23

Constructies met passer en liniaal, origami en meccano · Ze konden het probleem wel degelijk...

Documents

Transcript of Constructies met passer en liniaal, origami en meccano · Ze konden het probleem wel degelijk...