ORIGAMI Y CABRI: DOS HERRAMIENTAS CLAVES PARA LA

CONSTRUCCIÓN Y APREHENSIÓN DE LOS CONCEPTOS DE ÁREA Y

PERÍMETRO

Por: Nora Benítez Manjarrés

Docente Normal Superior de Pasca y

Universidad de Cundinamarca (Colombia)

e-mail: norax23@hotmail.com

RESUMEN

Como docentes se debe admitir que los niños cometen errores en el cálculo de áreas evidenciando dificultades tales como la confusión entre área y perímetro. (TIMMS, 1990). Esta incapacidad de los alumnos para distinguir magnitudes diferentes es considerada por Lunzer (1985) como un obstáculo epistemológico, posiblemente debido a la carencia de previos conocimientos que a la larga crean un conflicto y por tanto una ruptura, entre las imágenes intuitivas y deducciones lógicas de ciertas propiedades relacionadas con la superficie, la longitud o el volumen. Esta inhabilidad se ha visto propiciada por que en muchos casos, los programas oficiales en matemáticas, no incluyen el concepto de magnitud y los pasos necesarios para su constitución, preocupándose únicamente por las fórmulas. Por tanto es necesario que, en primaria y en los primeros años de secundaria, se haga una adecuada construcción de esos dos conceptos para que luego de que esto se haya logrado, la utilización de algoritmos tenga un sentido real para los estudiantes en los grados superiores. Con estos referentes como punto de partida, se presenta una propuesta que articula la práctica del Origami y la utilización de CABRI II plus como herramientas claves en la formalización de estos conceptos. Así mismo se muestran factores de visibilidad que son indispensables a la hora de solucionar algunos problemas relativos a estos conceptos.

ABSTRACT

Origami and Cabri: two key tools for the construction and comprehension of the concepts of area and

perimeter: As educators, we should admit that students make many mistakes when working on concepts of

geometric calculations. Many students, in fact, have demonstrated difficulties with respect to the

construction of a satisfying mathematical awareness on the relationships between “perimeter and area” and

very often, they confused them both while doing their calculations. (TIMMS, 1990). This inability of the

students to differentiate between diverse magnitudes is considered by Lunzer (1985) as an epistemological

obstacle, possibly due to the lack of previous knowledge that in the long run creates a conflict, and therefore

a rupture between intuitive images and logical reasoning of certain properties related to surface, length or

volume. This incompetence has been brought about because in many cases licensed mathematics programs

do not include concepts such as the methods of magnitude and the necessary steps that must be followed in

order to better learned and understand its concept. Most of these programs base their teaching solely on

geometric formulas, therefore, it is imperative that when students begin elementary school and middle

school, an appropriate edification of the concepts of area and perimeter is done, so by the time they begin

high school the use of algorithms has been learned and clearly perceived. After mentioning the above

observations, I would like to disclose my project which promotes as crucial tools in the teaching of

geometric concepts, the adoption of Origami and the CABRI II Plus software. This project also defines the

role of visualisation as a model of development in geometrical reasoning, which is indispensable when

solving some geometrical situations that are related to the concepts of area and perimeter.

1. CONSIDERACIONES GENERALES SOBRE LA CONSTRUCCIÓN DEL CONCEPTO DE ÁREA

Tradicionalmente se enseñan los conceptos de área y perímetro a través de “algoritmos” y “fórmulas” que terminan olvidándose y confundiéndose entre sí al no haber un adecuado proceso de construcción de los mismos. El hecho de que algunos docentes se inclinen por el manejo algorítmico desde la primaria va de la mano con el desconocimiento del papel que como maestros debemos asumir frente a cimentación de estos conceptos y de las dificultades que se evidencian en pruebas nacionales e internacionales. Dada su importancia, la comprensión adecuada de área y perímetro está presente en muchas de las actividades matemáticas que se plantean a lo largo del currículo de matemáticas. Esto hace que sea fundamental que los maestros de esta área nos cuestionemos acerca de las estrategias didácticas que pueden ser utilizadas para contribuir a la solución de este problema A continuación se ilustran razones fundamentales por las cuales abordar un estudio sobre la construcción y aprehensión de los conceptos de área y perímetro

Reafirmando las ideas escritas anteriormente, el doctor Carlos Vasco en una de sus conferencias expresa:

“…Volviendo a las áreas, se sabe ya desde comienzos de siglo que los alumnos creen que las áreas son las fórmulas de las áreas, que el área del cuadrado es el lado elevado al cuadrado, que el área del triángulo es base por altura sobre dos, etc., pero no saben propiamente qué es el área, y si uno les cambia la figura o las unidades, están completamente perdidos. Mucho menos van a poder comprender la densidad areal de una lámina en física, la velocidad areal de un planeta o las integrales dobles y las integrales de área” Carlos Vasco, (1999).

2. DESCRIPCIÓN DEL TRABAJO ¿Qué otras cosas se pueden hacer en vez de empezar enseñando a partir de fórmulas memorísticas y de su aplicación en distintos casos? La respuesta es que existen varias actividades posibles que se pueden explorar y ampliar haciendo uso de herramientas tales como ORIGAMI (o el arte de plegar papel) y CABRI II plus (un software de geometría dinámica). Pero ante todo se hace necesario reflexionar frente a las estrategias que pueden contribuir a la construcción y diferenciación de los conceptos de área y Perímetro.

Para el desarrollo de este proyecto se fijaron como lineamientos los siguientes:

Realizar una reflexión académica sobre teorías, tendencias y modelos estudiados desde la didáctica para la construcción de estos conceptos y revisar la pertinencia de algunas estrategias didácticas

Utilizar como herramientas Cabri y Origami a través de la selección de algunos modelos para su análisis

Diseñar, aplicar y evaluar una serie de actividades a partir de la revisión de documentos y propuestas didácticas estudiadas

Presentar estrategias de visualización pertinentes para el fin propuesto Presentar algunos análisis que pueden darse desde los estudiantes respecto al trabajo

aplicado con origami, fractales y teselados

Este trabajo se ha puesto a prueba con estudiantes en diferentes niveles de educación: en las clases de geometría con estudiantes de grado séptimo, con jóvenes que se preparan para ser maestros de Básica Primaria en el Ciclo Complementario de la Escuela Normal Superior de Pasca (Cundinamarca) en la asignatura Geometría Dinámica y por último, con jóvenes de segundo semestre de Licenciatura en Matemáticas en la Universidad de Cundinamarca UDEC en Fusagasugá.

2.1 REFLEXIÓN ACADÉMICA

Solamente cuando nos enfrentamos a un problema y entendemos que tal vez no tenemos a la

mano el conocimiento ni las herramientas suficientes para solucionarlo es que vislumbramos que

se requiere acudir a otras fuentes que pueden ser nuestros colegas, libros de texto, maestros de

otras instituciones, investigadores y otras personas que han hecho públicos los resultados de sus

trabajos. Luego de revisar diversos documentos se seleccionaron algunos autores que coinciden

en sus apreciaciones respecto al manejo geométrico inicial que debe darse a la construcción de los

conceptos de área y perímetro antes de llegar al manejo numérico. Es así que a continuación se

describen los planteamientos realizados por Chamorro (1996) y la Ingeniería didáctica de Perrin –

Glorian descrita en la tesis doctoral de Corberán (1996).

“Las magnitudes espaciales, tales como la longitud, la superficie y el volumen, constituyen un

campo conceptual propio, cuya particularidad reside en el hecho de que participa tanto de la

geometría como de las estructuras aditivas y multiplicativas”. Chamorro (1996). En estas

condiciones, el cálculo del área de una superficie implica tener en cuenta varios elementos como

son:

Sus aspectos geométricos: forma, disposición espacial, tipo de superficie, si es poligonal o no, etc.

Las estructuras aditivas: encontrar el área de una superficie sirviéndose de una unidad, consiste en pavimentar dicha superficie con esa unidad, contando o sumando, el número total de estas.

Las estructuras multiplicativas: considerando las dos dimensiones de la superficie, se busca el número de veces que se pueden transportar las longitudes de la unidad en cada dimensión respectivamente, el producto de esas dos razones da el número total de unidades de superficie necesarias para pavimentar totalmente.

A lo largo de la Educación básica primaria, secundaria y media es necesario abordar la enseñanza progresiva del área. Lo anterior implica en los primeros niveles prestar mayor atención a: Procesos de medición Conceptos relacionados con unidades de medida Las mediciones en sí La estimación de mediciones Uso de mediciones e ideas geométricas a través del currículo

Dejar para el final: La realización de mediciones para resolver problemas Memorización de equivalencias entre unidades de medida Memorización y manipulación de fórmulas Conversión interna entre varios sistemas de medida.

Para el cálculo de áreas se emplean estrategias tales como la Comparación o la Composición y reconfiguración. Las estrategias de comparación están basadas en el uso de unidades de referencia, ya se trate de unidades estándar o de referencia propias de cada sujeto. Las de composición y reconfiguración consisten en reorganizar una o varias subfiguras diferentes en otra figura. Esta operación requiere tener en cuenta algunos factores de visibilidad, los cuales se podrán apreciar en las actividades que se han diseñado para este fin. También es fundamental que se tenga claridad sobre los conceptos. Según Perrin - Glorian se deben diferenciar los siguientes términos: SUPERFICIE: designa una parte del plano ÁREA: designa la magnitud física, cualidad o propiedad de la superficie MEDIDA: designa el número que representa el lugar ocupado por la superficie del plano.

Considerando el “AREA COMO MAGNITUD” , se define el área como una clase de equivalencia a partir de una aplicación de medida. Un número seguido de una unidad es un medio para designar un área. La ingeniería didáctica propuesta por Perrín Golorán y su secuencia de Enseñanza se han seleccionado para diseñar una serie de actividades que a su vez tendrán como herramientas de trabajo Cabri y algunos modelos de origami que se derivan de múltiples transformaciones del molinete. ¿Cómo justificar la escogencia de Origami y Cabri como herramientas? Según Moreno Armella “Una característica del funcionamiento mental, es que está mediado por instrumentos materiales y por instrumentos simbólicos”, así mismo afirma que la visualización y las representaciones

externas (que son posibles a través de los entornos computacionales), permiten atender al problema de la validación de los enunciados matemáticos.* Luis Moreno Armella. Matemática Educativa, Cinvestav. Por esta razón el software de geometría dinámica Cabri II plus resulta ser clave para generar procesos mentales que van mucho más allá de la simple memorización y pues en realidad contribuyen al desarrollo del pensamiento lógico y geométrico. De otra parte, el trabajo con Origami resulta ser un medio para observar configuraciones en los pliegues de los modelos, los cuales deben ser muy bien analizados por los estudiantes para poder ser representados convenientemente en Cabri, como se observará en la última etapa de este documento.

2.2 MODELOS BÁSICOS

Se plantea la elaboración de siete modelos bidimensionales (un molinete, un florero, una pajarita, un pez, una flor y dos estrellas). Sus imágenes se tomarán como referencia para aplicar algunas estrategias para construir los conceptos de área y perímetro. A continuación se encuentran los pasos básicos para obtener los modelos anteriormente mencionados

s.

Con los pliegues hasta ahora realizados el reto es obtener una casita y un hexágono. Luego, a partir de estas se debe construir el molinete o rehilete.

El molinete es la base para obtener otros modelos que serán usados en las actividades propuestas tales como: El florero, la pajarita, el pez, la flor y dos modelos de estrellas de cuatro puntas.

Para el trabajo con Cabri se plantea a los estudiantes el análisis de algunas de estas figuras por separado, estableciendo propiedades geométrics y numéricas. De otra parte se plantea el uso de transformaciones geométricas para realizar diseños de mosaicos y teselados como los que se ilustran a continuación:

2.3 ACTIVIDADES. A continuación se presentan algunas actividades para ser abordadas a partir de los modelos de origami presentados anteriormente y cuya forma de elaboración ha sido diseñada con ayuda de Cabri. Estas actividades se basan en un trabajo de Perrin Glorian quien propone una Ingeniería didáctica que tiene en cuenta unas “secuencias de enseñanza”, las cuales han sido adaptadas para ser trabajadas con Cabri y origami como se verá en seguida: ACTIVIDAD 1. COMPARANDO SUPERFICIES (Área como magnitud autónoma –independiente de la forma y desligada del número-)

El hexágono ha sido recortado en tres piezas que han sido reorganizadas (sin superponerse) para construir el molinete. Al comparar sus superficies puede afirmarse lo siguiente:

a. Es mayor la del hexágono

b. Es mayor la del molinete

c. Son iguales ACTIVIDAD 2. MEDICIÓN DE SUPERFICIES NO PAVIMENTABLES CON LA UNIDAD (Recorte y pegado; Estrategias de composición y recomposición)

¿Cuántas unidades cuadradas recubren el interior de la curva cerrada? ACTIVIDAD 3. (Actividades Geométrico Numéricas: Cubrimiento con diversas unidades.

Aplicación de las Estrategias de Comparación)

Usando como referencia

las unidades A, B, D y D,

determina el área de

cada una de las figuras y

completa la tabla.

Unidades de medida

UNIDAD A UNIDAD B UNIDAD C UNIDAD D

ACTIVIDAD 4. Área como parte (cantidad) del plano ocupado por la superficie; Estimación de

medidas; Relaciones y diferencias entre áreas y perímetros.

A continuación se presentan las 6 formas que resultaron al plegar papel. Toma como referencia

una unidad que te permita estimar el área de estas figuras y responde las preguntas 1, 2 y 3.

CASITA HEXÁGONO MOLINETE FLORERO PAJARITA PEZ

FIGURA UNIDAD A UNIDAD B UNIDAD C UNIDAD D

MOLINETE

PAJARITA

PIRAÑA

1. Al comparar las superficies de la casita, el hexágono, el molinete y el florero, la que tiene menor área es:

a. La casita b. El hexágono c. El molinete d. El florero

2. Al comparar las superficies del molinete, el florero, la pajarita y el pez, las 2 figuras que tienen

mayor área son:

a. El molinete y el

florero b. El molinete y el pez

c. El molinete y la

pajarita d. El florero y el pez

3. Si se comparan el hexágono y el molinete, puede afirmarse que tienen:

a. Igual área pero

diferente perímetro

b. Igual perímetro

pero diferente área

c. Perímetros iguales

y áreas iguales

d. Áreas y perímetros

diferentes.

ACTIVIDAD 5. Conservación y variación de las medidas por transformaciones. A continuación encontrarás tres figuras. Utiliza la estrategia que consideres adecuada para determinar sus áreas y sus perímetros y escribe frente a los enunciados falso (F) o verdadero (V) según corresponda:

La figura 1 tiene igual área que la figura 2 __________ La figura 1 tiene igual área que la figura 3. __________ La figura 2 tiene igual área que la figura 3. __________

La figura 1 tiene mayor perímetro que la figura 2.________ La figura 1 tiene mayor perímetro que la figura 3._________ La figura 2 tiene mayor perímetro que la figura 3.________

ACTIVIDAD 6. Actividades numéricas. Cuadriculado. Aplicación de las Estrategias de Composición y Recomposición. Determina en unidades cuadradas el área de cada una de las siguientes figuras. Escribe en cada caso tu mejor estimación. A= _____ u2 A= _____ u2 A= _____ u2

FIGURAS FIG. 1 FIG.2 FIG 3

ÁREA

PERÍMETRO

ACTIVIDAD 7. Actividades numéricas: Área del rectángulo y otros polígonos.

Compara el área del rectángulo con las áreas de cada uno de los otros polígonos y completa:

a. Los polígonos cuyas áreas son iguales a la del rectángulo son: _______________________ b. El polígono cuya área es la mitad de la del rectángulo es: ___________________________ c. Si se tienen en cuenta las medidas de las diagonales del rombo y del trapezoide simétrico,

se puede determinar sus área a través de la operación: __________________________ ACTIVIDAD 8. Actividades de comparación y diferenciación de área y perímetro.

2.4 RECONFIGURACIÓN Y FACTORES DE VISIBILIDAD

La reconfiguración es una operación que consiste en reorganizar una o varias sub-figuras

diferentes en otra figura. Según Padilla, V., existen diferentes factores de visibilidad que pueden

intervenir en el proceso de reconfiguración. Algunos se enuncian a continuación:

FACTOR 1. Que el fraccionamiento de la figura de partida en partes elementales sea dado al inicio o deba ser encontrado. Ej: Dividir la superficie del

molinete en:

4 partes de igual forma y tamaño.

8 partes de igual forma y tamaño FACTOR 2. Que el reagrupamiento respectivo de las partes elementales forme una reconfiguración convexa o no convexa

Resulta más difícil destacar una sub-figura no convexa ya que la no convexidad no respeta la ley de simplicidad del contorno

FACTOR 3. El número de modificaciones posicionales (rotaciones y traslaciones) a efectuar sobre la sub-figura clave para llegar a una colocación. Ejemplo: Establece al menos seis maneras de dividir el molinete en cuatro partes de igual forma y área.

FACTOR 4. Que la figura de partida esté sobre un fondo cuadriculado o no Ejemplo: Establece un mecanismo para determinar el área de las siguientes figuras. FACTOR 5. El que todas las sub-figuras deban ser desplazadas al interior de la figura de partida o

que algunas figuras deban salir de ese contorno.

Ejemplo: Recorta y traslada o rota partes de la figura para determinar en unidades cuadradas con

exactitud el área de cada figura.

2.5 APLICACIONES DE LOS FACTORES DE VISIBILIDAD

Los cinco factores de visibilidad descritos anteriormente son esenciales a la hora de diseñar teselas

pues en muchos de los casos estas resultan de construir una figura geométrica que por sí sola

tesele el plano, como un cuadrado, un triángulo equilátero o un hexágono. Luego, se le van

sacando partes de un lado, para luego ponerlas convenientemente en otra parte de la figura

utilizando las transformaciones isométricas (traslación, rotación y simetría). El resultado puede ser

un oso, una flecha o cualquier imagen resultado de la creatividad de quien la diseñe, la cual tiene

exactamente la misma área que la figura original. Esta deberá repetirse n veces y colocarse de

modo que las teselas encajen perfectamente. Los siguientes modelos fueron realizados con

estudiantes del Ciclo complementario y de la UDEC haciendo uso de Cabri II plus.

Así mismo puede aplicarse para el diseño de fractales como el que se ilustra a continuación y que

fue recreado por la estudiante Marcela Bohórquez (del Ciclo Complementario).

2.6 ANÁLISIS REALIZADOS POR ESTUDIANTES

Luego de trabajar algunos talleres con los estudiantes sobre áreas y perímetros es importante

invitarlos a indagar sobre características métricas y geométricas de algunos modelos de Origami.

Para ello es necesario que los estudiantes tengan una experiencia básica con las herramientas de

Cabri para la realización de construcciones y para la toma de medidas. Estas son algunas

conclusiones de estudiantes de Licenciatura en Matemáticas del II semestre en la asignatura

Pensamiento Geométrico.

2.6.1 ANÁLISIS ESTRELLA 1. En el diseño de este modelo de

estrella se encuentran las siguientes particularidades:

Los vértices de las cuatro puntas de la estrella coinciden con los

vértices de un cuadrado y al interior de la estrella se forma un

nuevo cuadrado.

A partir de las bisectrices puede construirse con Cabri el modelo

de estrella y determinar algunas relaciones métricas.

Al determinar la longitud de los segmentos BC y AB se observa que están en razón de raíz de dos.

A

Al construir una estrella con las misma característica uniendo los vértices del cuadrado interno, se

establece que las dimensiones de B’C y A’B’ se mantienen proporcionales a BC y AB. Esto indica

que puede pensarse en reproducir la estrella infinitamente en el interior de la figura como un

efecto cascada.

2.6.2. ANÁLISIS ESTRELLA 2. Al continuar con un

nuevo modelo puede llegarse a análisis más

completos como los que realiza el estudiante

Mario Bermúdez, los cuales transcribo

textualmente:

Antes de mencionar las curiosidades que he

descubierto en esta figura debo mencionar unos

aspectos que me permitirán dar entender mucho

mejor lo descubierto:

En la figura hay principalmente presente:

Un octágono (ABCDEEFGH) que llamaremos

Octágono 1

Un cuadrado (IJKL) que llamaremos cuadrado 1

Una estrella de cuatro puntas (NABOCDPEFMGH) que llamaremos estrella 1

Abreviando un poco quisiera que vieran esta figura:

La diferencia es claramente observable, con los

puntos “libres” de la figura anterior o puntos de

intersección entre las rectas de color verde y los

lados del octágono he construido un cuadrado

(cuadrado 2), pero además aquí también se dejo

algunos puntos “libres” o puntos de intersección del

cuadrado con los lados de algunos triángulos, estos

puntos se han dejado con la siguiente intención:

Se puede construir otro

octágono (octágono 2) con

estos puntos, pero además si

observamos, se ha dejado

remarcado los puntos de

intersección de este octágono

2 con las rectas de color verde

(puntos negros en la figura)

para que puedan observar

cómo se puede desde aquí

repetir el proceso anterior y

en definitiva poder construir

indefinidamente octágonos y

cuadrados, por otra parte,

más adelante mostrare la

relación entre ellos; por el

momento responderé a la

pregunta ¿Qué paso con la

estrella 2?

Rta:

Si observan con atención se encuentra en tono azul la estrella 2, manteniendo una semejanza con

la anterior (estrella 1), al igual que el “Cuadrado 2 y el Octágono 2” con sus respectivas figuras.

¿Será que la construcción

solo se podrá realizar hacia

adentro de la figura inicial?

Rta: ¡NO!; Se pueden

construir internamente

manteniendo su semejanza y

se pueden construir hacia

fuera manteniendo su

semejanza aplicando las

propiedades adecuadas no

muy distintas a la

construcción de la figura

inicial, observar:

A continuación mostraré las características de esta figura y por qué es interesante su estudio:

Si modificamos la figura de tal forma que el segmento AB uno de los lados del polígono tenga una

medida X, entonces detonaremos la medida del segmento A1B1 como X1. De esta forma existirán

medidas, X2, X3, X4, X5 para los subsecuentes octágonos construidos externamente. Luego de

varios procedimientos encontré la relación siguiente:

Siendo X la medida del lado del primer octágono construido, entonces:

1. octágono = x

2. octágono =

3. octágono =

4. octágono =

2x

4x

8x

En este orden de ideas y de forma general podemos decir que:

Locta=

n= 1 primer octágono

n=2 segundo octágono y así sucesivamente.

Para calcular el perímetro:

P=

Luego para saber el área:

Área octágono=

Por otra parte, para hallar el valor del lado del

cuadrado teniendo como base la medida x del lado del octágono tenemos:

Lado del cuadrado=

Perímetro el cuadrado=

Sé que se pueden reducir más pero así me gusta

Área del cuadrado=

12

nx

128

nx

4

2*8*)12(12

n

x

2

222

1

1

n

nxx

2

2824

1

1

n

nxx

21

1

2

222

n

nxx

Recordemos que x es el valor de uno de los lados del octágono

Llegamos a la parte más bonita:

Perímetro de la estrella =

Área de la estrella =

12

12

2**124

2*8*12

n

n

xx

Todo lo anterior en resumidas cuentas nos permite saber algunos datos de figuras que se

construyen a partir del octágono y conociendo una de las longitudes de sus lados

Debo aclarar que estas características se cumplen para las figuras que se construyen

exteriormente con respecto al octágono inicial, si se desea que se cumpla para las que se realizan

internamente entonces, como ya vimos antes que la todas las mediciones se hacen teniendo como

base

Locta=

De igual forma se realizaran teniendo, para las realizadas internamente, la

base:

Y con esta ecuación ya se puede desarrollar todas las demás características o

formulas arriba mencionadas para las construcciones internas de una figura

inicial y la deducción de sus medidas.

“Que pena no continuar escribiendo las otras generalidades pero supongo profe que usted ya las

conoce”

2

2*2*42*4*82*4

12

121

n

nn xxx

12

nx

12

n

x

2.6.3 ANÁLISIS FIGURA 3. Punta de estrella.

Profe trataré de evitar mucha introducción puesto que creo que ya usted conoce las

generalizaciones que saldrán de la figura, así que seré breve:

a= medida del lado del cuadrado inicial

n= numero de la construcción

Hablaré de exteriormente cuando la construcción se haga

hacia fuera y de interiormente cuando la construcción se

haga hacia dentro.

Área del cuadrado:

Exteriormente: Interiormente:

Perímetro del cuadrado

Exteriormente: Interiormente:

Como ya mencione, teniendo como base el lado del cuadrado, expresaré los siguientes datos en

función del mismo lado “a” de esta forma el área de los triángulos dentro del cuadrado será:

X= área del triángulo:

De esta forma para saber el área de otros triángulos conociendo el área del primero:

Exteriormente: Interiormente:

Estas mismas generalizaciones con respecto al área se

pueden aplicar al cuadrilátero cóncavo.

Para hablar del perímetro del triángulo se debe tener en cuenta:

214 a

n

1

2

4n

a

an

421

12

4

n

a

4

2a

x

xn 1

4

14

n

x

Numero áureo.

Entonces:

Perímetro del triángulo

Exteriormente: Interiormente:

Por último solo nos queda mencionar el perímetro del cuadrilátero cóncavo:

Exteriormente: Interiormente:

2.6.4. OBSERVACIONES SOBRE LOS ANÁLISIS REALIZADOS POR LOS ESTUDIANTES

En primera instancia puede apreciarse que los estudiantes han logrado realizar una buena

visualización de las figuras y usado diferentes tipos de aprehensión: Realizan una aprehensión

perceptiva en la medida en que reconocen de manera automática las diferentes unidades figurales

discernibles en las figuras dadas, venciendo la ley gestáltica de cierre. Luego pasan a una

aprehensión operatoria cuando dividen la figura de partida en otras sub-figuras que les facilita

realizar operaciones y por último, hacen uso de la aprensión discursiva cuando plantean hipótesis

y son capaces de realizar un tratamiento matemático a partir de las propiedades observables en

las figuras para llegar a resultados concretos.

Resulta muy interesante que los estudiantes identifiquen con claridad propiedades de las figuras y encuentren relaciones numéricas que los llevan a imaginar y recrear otras construcciones geométricas para así justificar sus apreciaciones. Así mismo identifican y utilizan constantes

matemáticas como y raíz de dos para escribir expresiones matemáticas y son capaces de

establecer generalizaciones.

Al revisar las expresiones utilizadas para generalizar se observa que son correctas aunque pueden escribirse de manera más simplificada. Sin embargo, tal como están escritas dan cuenta de los razonamientos que han realizado para encontrarlas. Por ejemplo, en el análisis de la segunda

2

ay

yn 21

2

1

2

2

n

y

yn

1

2 12

n

y

estrella para facilitar la lectura de lo encontrado sobre el octágono podrían haber organizado los datos en una tabla como la siguiente:

1 2 3 4 n

LADO OCTÁGONO

(L) 1 1.41 2 2.83

APOTEMA (a) 1.21 1.71 2.42 3.42

PERÍMETRO P 8 11.31 16 22.64

ÁREA A 4.8 9.7 19.4 38.8

Para todos los casos x corresponde a la longitud del lado del octágono más pequeño, en este caso x = 1.

Es evidente que han encontrado la inconmensurabilidad entre algunas medidas aplicando el método de extracción alterna, el cual puede explicarse fácilmente usando el pentágono regular:

Al trazar las diagonales del pentágono y unir visualmente sus puntos de intersección, es posible encontrar un nuevo pentágono regular y así sucesivamente, entonces se cumple que en los pentágonos surgidos mediante el encaje, las relaciones AE'=AB' y B'D=B'E' y por eso AD-AE=B'E y análogamente AE=ED'=EA' y B'E'=B'D=B'E y resulta AE-B'E'=B'A' y así sucesivamente, sin que se

llegue al final: la diferencia entre la diagonal y el lado del pentágono mayor es igual a la diagonal del pentágono menor, la diferencia entre el lado del pentágono mayor y la diagonal del pentágono menor es igual al lado del pentágono menor; la diferencia entre la diagonal del pentágono menor y su lado es a su vez igual a la diagonal del pentágono menor inmediato, y así hasta el infinito. El proceso de extracción alterna puede continuarse, y por eso no puede hallarse una medida común máxima para la diagonal y el lado del pentágono regular, por tanto: existen segmentos recíprocamente inconmensurables.

12

nxL

La2

)12(

1288

nxLP

2212 xA

n

CONCLUSIONES

Luego de estudiar diferentes fuentes, diseñar algunas actividades y ponerlas a prueba con

alumnos de secundaria y de educación superior es importante destacar que la construcción del

concepto de área y su diferenciación del concepto de perímetro requieren atención por parte de

los maestros pues existen evidencias de fallas en su comprensión por parte de estudiantes de

todos los niveles.

Sintetizando los planteamientos relevantes realizados por Chamorro (1996) y los aspectos

fundamentales de la Ingeniería didáctica de Perrin – Glorian descritos en la tesis doctoral de

Corberán (1996) se tiene lo siguiente:

Es importante prestar mayor atención en los primeros niveles a los procesos de medición,

los conceptos relacionados con unidades de medida, las mediciones en sí, la estimación de

mediciones y el uso de mediciones e ideas geométricas a través del currículo.

Una vez realizado este proceso debe plantearse la realización de mediciones para resolver

problemas, la memorización de equivalencias entre unidades de medida, la memorización

y manipulación de fórmulas y la conversión interna entre varios sistemas de medida.

Es necesario abordar la enseñanza progresiva del área así: Como parte (cantidad) del

plano ocupado por la superficie, Como magnitud autónoma, Como número de unidades

que recubren la superficie, Como producto de dos dimensiones lineales, Como aplicación

que asocia a cada región del plano un número real positivo (teoría de la medida) y Como el

límite de la suma de áreas de polígonos (cálculo integral).

Es preciso generar actividades didácticas encaminadas a explorar: Concepciones del área;

La unidad de área; El papel de la visualización en la comparación de áreas; La conservación

del área; La relación entre el área y el perímetro; La relación entre el área y la forma de

una superficie; La conservación o variación del área o del perímetro de una superficie

cuando ésta es sometida a una transformación; La bidimensionalidad del área; Las

fórmulas para el cálculo de áreas; La relación existente entre el área de un rombo, un

romboide y un trapecio con el área de un rectángulo y, Los procedimientos utilizados en la

comparación y medida de áreas.

En cuanto a los resultados del trabajo realizado por los estudiantes es preciso decir que no solamente fueron capaces de plantear y probar hipótesis a través de un tratamiento matemático lógico y secuencial, sino que además disfrutaron el proceso. Los estudiantes realizaron diversas exploraciones conducentes a solucionar algunos ejercicios y problemas de tipo geométrico y numérico relacionados con área y perímetro, en los que la posibilidad de trabajar a través de la mediación de herramientas como Cabri y el plegado de papel fue lo que contribuyó a evidenciar la coordinación entre el tratamiento figural y el proceso de visualización utilizados para justificar sus resultados.

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