252

3.7 線形写像 写像について、98 ページを参照（復習）し、さらに第１章連立１次方程式の解法の項目をよく理解した上で先に進んでほしい。

2 つ集合 があり、それらには加法、何倍かするという２種類の演算の構造が入

っているとする。 写像

が次の２つの条件: ( α∈R, x, y∈V ) を満たすとする。このとき写像 は線形性 をもつという。または、 ϕは加

法、スカラー倍の演算を保存するという。このような ϕを線形作用素ともいう。

ϕ(0)=ϕ(0+0)= 2ϕ(0)であるから、 ϕ(0)= 0である。

線形性をもつ写像(線形作用素)の例をいくつか紹介しよう。 １. f :R→R ( x! ax )

2.

ddx

: V→V f ! dfdx

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟,

a

b

∫ :V→R f ! f (x)dxa

b

∫⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

3. L :V→V y! y(n) + pn−1y

(n−1) +"+ p1 ′y + p0y ( )

4. limx→a

:V→ R f ! limx→a

f (x)( )

5. limn→∞

:V→R {an}! a, limn→∞

an = a ( )

6. 内積 Rn→R x! (x,a)( )、外積 R

3→R3 x! x∧ a( )

7.

a j =

a1, j

a2, j

!an, j

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

∈Rn ( j =1,2,",n)について、行列式 det(a1,a2,!,an )は各 a jにつ

いて線形性をもつ。このようなとき、これを多重線形性ともいう。

8. L{ f , x,t} = f (x)e− txdx0

+∞

∫ (ラプラス変換)

9. F

{ f ,t,u}=

12π

f (t)e−iut dt−∞

+∞

∫ (フーリエ変換)

V , ′V

ϕ :V→ ′V

(i) ϕ(x+ y) =ϕ(x)+ϕ(y) (ii) ϕ(αx) =αϕ(x)

ϕ ( linearity )

253

注意：2,３.4.8,9でV は関数の集合で f ,g∈Vについて、 ( f + g)(x) = f (x)+ g(x), (α f )(x) =α f (x)

と加法、 α倍が定義されている。5.で Vは収束する数列の集合である。

さて、線形性を持つ写像 f :Rn→Rmを線形写像（ linear mapping）という。

xi ∈ Rm (i=1,2,!,k)とするとき、

f αixi

i=1

k

∑⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟= f (

i=1

k

∑ αixi )= αi f (i=1

k

∑ xi )である。

たとえば、 A= ai, j( )∈M (m,n :R)とするとき、

写像 f :Rn→Rm x! Ax ( x∈Rn ) ( )

は線形写像である。なぜならば、

f (x1 + x2 )= A(x1 + x2 )= Ax1 + Ax2 = f (x1)+ f (x2 )f (αx)= A(αx)=α(Ax)=α f (x)

実際

y= Ax ⇔

y1y2!ym

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

=

a1,1 a1,2 " a1,na2,1 a2,2 " a2,n! ! # !am,1 am,2 # am,n

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

x1x2!xn

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

である。 Rn = {{e1,e2,!,en}}について

y= f (x)= f x je ji=1

n

∑⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟= x j f (

i=1

n

∑ e j )= f (e1), f (e2 ),! f (en )( )

x1x2"xn

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

A= f (e1), f (e2 ),! f (en )( ) i.e.,

f (e j ) =

a1, j

a2, j

!am, j

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

( j =1,2,",n)

がわかる。 注意： K (実数または複素数体)上の（一般の）ベクトル空間U,Vについて、線形性を持つ写像 f :U→V を線形写像という。 U =V のとき、 f をUの線形変換とか 1 次変

換という。

254

例題 94 （線形変換の例） (i) K（実数または複素数の集合）とする。Kの元を係数とする xの高々 n次の多項式の集合をKn[x]とすると、Kn[x]はK上ベクトル空間である。

ϕu :Kn[x]→ Kn[x] f (x)! f (x+u), f ∈Kn[x],u∈K ( ) と定義すると、 ϕは線形変換である。なぜならば、任意の α,β ∈K について、 ϕu α f (x)+βg(x)( )=α f (x+u)+βg(x+u)=αϕu ( f (x))+βϕu (g(x))

が成立している。また、 (ii) 実数係数の線形漸化式： xn+k + pk−1xn+k−1 +!+ p1xn+1 + p0xn = 0 (n= 0,1,2,!)

を満たす数列{xn}の集合V とすると、V はR上のベクトル空間である。 {xn},{yn}∈V について、 yn+k + pk−1yn+k−1 +!+ p1yn+1 + p0yn = 0であるから、始めの式を α倍して、

この式を βして、辺々加えると、 (αxn +βyn )+ pk−1(αxn+k−1 +βyn+k−1)+!+ p0 (αxn +βyn )= 0

すなわち、 α{xn}+β{yn}∈Vでベクトル空間の公理を満たすのは明らかである。 φ :V→V {xn}! {xn+1} ( 項の順を１つ上げる(先に１シフト) )

と定義すると、これはV の線形変換であることは明らかである。

(iii) 定数係数の微分方程式: y(n) + p1y

(n−1) +!+ pn−1 ′y + pny= 0 の解空間V とすると、V はベクトル空間である。そこで、 D :V→V y! ′y( )と定義すると、 D(α f +βg)=αD( f )+βD(g)

であるから、Dは線形変換である。 定理 35 (線形写像の存在) R

n = {{ a1,a2,!,an }}とする。任意にベクトル bi ∈Rm (i=1,2,!,n)を指定する。

そこで、 f (ai ) = bi (i=1,2,!,n)

を満たすような線形写像 f :Rn→Rmが一意的に存在する。

[証明]

任意のベクトル

x= αiai

i=1

n

∑ ∈Rnについて、

f (x)= αibi

i=1

n

∑ ∈Rmと定義する。ここで、

特に、 αi =1, α1 =α2 =!=αi−1 =αi+1 =!=αn = 0のときを考えると、 f (ai )= bi

(i=1,2,!,n)を満たしている。また、 ′x = ′αiai

i=1

n

∑ ∈Rnとする。

f (αx+ ′α ′x )= f (ααi + ′α ′αi )ai

i=1

n

∑⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟= (ααi + ′α ′αi )bi

i=1

n

∑

255

=α αi

i=1

n

∑ bi + ′α ′αii=1

n

∑ bi =α f (x)+ ′α f ( ′x )

これは f が線形写像であることを意味する。最後に一意性を示す。他の線形写像 gで

g(ai ) = bi (i=1,2,!,n)を満たしているとする。任意のベクトル x= αiai

i=1

n

∑ ∈Rnにつ

いて、

g(x)= g(αiai

i=1

n

∑ )= αig(aii=1

n

∑ )= αibii=1

n

∑ = f (x)である。これは f = gを意味す

る。 注意： a1,a2,!,anの f による像を任意に指定して、線形写像を構成できる。この定理

は一般のベクトル空間についても成立する。 定理 36 線形写像 f :Rn→Rm , g :Rm→ Rl

とする。合成写像 g! f :Rn→Rlも線形写像である。 [証明] 任意のベクトル x1,x2 ∈R

nと任意に実数 α,βについて、 g! f (αx1 +βx2 )= g f (αx1 +βx2 )( )= g α f (x1)+β f (x2 )( )= g α f (x1)( )+ g β f (x2 )( ) =αg f (x1)( )+βg f (x2 )( )=αg! f (x1)+βg! f (x2 ) 線形写像 f :R

n→Rmにおいて、 f (Rn )= { f (x);x∈Rn}をRn

の f による像(image) と

いい、Im f と表す。Im f はRmの部分空間である。なぜならば、任意の b1,b2 ∈ Im f に

ついて、 f (ai ) = bi (i=1,2)であつような ai ∈Rn (i=1,2)が存在する。

αb1 +βb2 =α f (a1)+β f (a2 )= f (αa1 +βa2 ) ∴ αb1 +βb2 ∈ Im f

これは Im f が部分空間であることを意味する。

定理 37 線形写像 f :R

n→Rmが単射のとき、逆写像 f−1 : Im f →Rnも線形写像である。

[証明] 任意のベクトル b1,b2 ∈ f (R

n )について、 f (ai ) = bi (i=1,2)である ai ∈Rnが一意的に

きまる。すなわち、 f−1(bi ) = ai (i=1,2)である。

f (αa1 +βa2 )=α f (a1)+β f (a2 )=αb1 +βb2であるから、

f−1(αb1 +βb2 )=αa1 +βa2 =α f −1(b1)+β f

−1(a1)

線形写像 f :R

n→Rmにおいて、零ベクトル oの原像 f−1(o)⊂Rnは部分空間である。

なぜならば、任意のベクトル x1,x2 ∈ f−1(o)について、

256

f (αx1 +βx2 )=α f (x1)+β f (x2 )= o

であるから、 αx1 +βx2 ∈ f−1(o)。これは f

−1(0)が部分空間であることを意味する。 部分空間 f

−1(o)を線形写像 f の核(kernel)といい、 ker( f )と表す。

明らかに、 f が単射であることと f−1(o)= {0}は同値である。 ∵ f (x1)− f (x2 )=

f (x1− x2 )= 0より、 x1− x2 ∈Ker f である。このことから、f が単射 ⇔ Ker f = {0}

がわかる。 f が全射であるとは Im f =Rmのことであることを注意しておく。 例題 95

線形写像

f :R3→R2 x1

x2

x3

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

! 2 0 11 −2 3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x1

x2

x3

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

と定義する。 f は全射であることを示せ。また、 Im f ,Kerf の次元を求めよ。

ここで、R3,R2の基底は基本ベクトルとする。 [解]

任意のベクトル

ab

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟∈R2に対して、

2x1 + x3 = ax1−2x2 + 3x3 = b⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

の解について考える。

2 0 1 a1 −2 3 b

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟→ 1 −2 3 a

0 4 −5 a−2b

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟→

1 −2 3 a0 1 −5 / 4 (a−2b) / 4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

→

1 0 1/ 2 a / 20 1 −5 / 4 (a−2b) / 4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟より、

x1x2x3

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

=a / 2

(a−2b) / 40

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟+α

−254

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

である。これは f が全射であることを意味している。そして、 a= b= 0のときを考え

ると、

Ker f =−254

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

であることがわかる。また。

f (e1)=

20

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟, f (e2 )=

0−2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

である。そして、

20

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟, 0−2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟は 1次独立で、

Im f = 2

0

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟, 0−2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪がわかる。

ここで、 e1,e2,e3はR3の基本ベクトルである。∴ dim Im f = 2,dim ker f =1である。

注意： 3= dimR3 = dim Im f +dim ker f = 2+1である。一般に次の定理が成立 定理 38 （線形写像の像と核の次元公式）

257

線形写像 f :Rn→Rmについて、

公式： dimRn = dimKer f + dim Im f が成立する。

[証明]

dim Im f = kとする。そして Im f = {{b1,b2,!,bk}}とする。そこで、 f (ai ) = bi (i=1,2,!,k)

である ai ∈Rn (i=1,2,!,k)が存在する。そして、 a1,a2,!,akは 1次独立である。

∵ αi

i=1

k

∑ ai = 0とすると、 f αi

i=1

k

∑ ai⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟= αi f (ai )

i=1

k

∑ = αibii=1

k

∑ = 0であるから、 αi = 0

(i=1,2,!,k)である。つぎに dimKer f = ′k とする。そこで Ker f = {{ a*1,a*2,!,a

*′k }}

とする。そのとき、 a1,a2,!,ak ,a*1,a

*2,!,a

*′k は 1次独立で、任意のベクトル x∈R

nはこ

れらのベクトルの 1次結合として表されることを示せれば証明は完成される。 α1a1 +α2a2 +!+αkak +β1a

*1 +β2a

*2 +!+β ′k a

*′k = 0

とする。

f αiai +

i=1

k

∑ βia*i

i=1

′k

∑⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟= f αiai

i=1

k

∑⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟+ f βia

*i

i=1

′k

∑⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟= f αiai

i=1

k

∑⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟= 0

∴

f αiai

i=1

k

∑⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟= αi f (ai )

i=1

k

∑ = αibii=1

k

∑ = 0、そして、 αi = 0 (i=1,2,!,k)がわかる。

したがって、

βia

*i

i=1

′k

∑ = 0で、 βi = 0 (i=1,2,!, ′k )をうる。

任意の x∈Rnとする。 y= f (x)∈ Im f であるから、

y= αibi

i=1

k

∑ とかける。この α1,!,αk

を使って

x− αiai

i=1

k

∑ を考えると、

f x− αiai

i=1

k

∑⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟= y− αibi

i=1

k

∑ = 0 . ∴ x− αiai

i=1

k

∑

∈Ker f である。したがって、 x− αiai

i=1

k

∑ = βia*i

i=1

′k

∑ , i.e., x= αiai

i=1

k

∑ + βia*i

i=1

′k

∑

とかける。任意の x∈Rnが k+ ′k 個の 1次独立なベクトル a1,a2,!,ak ,a

*1,a

*2,!,a

*′k の

1次結合として表される。これは dimRn = k+ ′k = Im f +Kerf を意味する。

注意 1：この定理から、 dimRn ≥ Im f であることがわかる。

注意 2：部分空間 U ⊆Rnについて、 dimU = dim f (U )+dim ker f ∩U( )が成立する。

上の定理でRn、 ker f をU , ker f ∩Uとみて同様に証明することができる。

定理 39

258

線形写像 f :Rn→Rm

とする。1次独立なベクトル a1,a2,!,an ∈Rnとする。

f (a1), f (a2 ),!, f (an )∈Rmが 1次独立である ⇔ Ker f = {0}である。

[証明] (⇒)を示す。 f (a1), f (a2 ),!, f (an )が 1次独立とする。 f (a1), f (a2 ),!, f (an ) ∈ Im f である。これは Im f は少なくとも n個の 1次独立なベクトルを含むことを示して

いる。上の注意を考え合わせると dimRn = Im f であることが分かる。このことから定

理 38より dimKer f = 0すなわち Ker f = {0}がわかる。

(⇐)を示そう。 Ker f = {0}と仮定する。 αi f (ai )

i=1

n

∑ = 0とする。 f αi

i=1

n

∑ ai⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟= 0

であるから、

αiai

i=1

n

∑ ∈Ker f 。∴ αiai

i=1

n

∑ = 0。 a1,a2,!,anは 1次独立（大前提）より

αi = 0 (i=1,2,!,n)で、 f (a1), f (a2 ),!, f (an )は 1次独立である。

注意１：一般的に、R上のベクトル空間U,Vがあって、 dimU = n,dimV = mとする。そして、線形写像 f :U→Vが全単射のとき、 f を同型写像という。そのとき U ≅V と

表す。勿論、 dimU = dimVである。

注意２：同型写像 f :R

n→Rnとする。 R

n = {{a1,a2,!,an}}に対して、 Rn = {{ f (a1), f (a2 ),!, f (an )}}と理解でき

る。 f を基底の変換という。

定理 40 線形写像 f :R

n→Rm

について、 f (x)= Ax

であるような，行列 A= ai, j( )∈M (m,n;R)が存在する。

[証明] R

n = {{a1,a2,!,an}},Rm = {{b1,b2,!,bm}}

とすると、 f (a j )∈Rmであるから、

f (a j ) = a1, jb1 +a2, jb2 +!+am, jbm = ai, jbi

i=1

m

∑ ( j =1,2,!,n)

と表される。そして任意のベクトル x∈Rnは

x= x1a1 + x2a2 +!+ xnan

259

と表される。そして、

f (x)= f x ja j

j=1

n

∑⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟= x j f (

j=1

n

∑ a j )= x jj=1

n

∑ ai, jbii=1

m

∑⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟= ai, j x jbi

i=1

m

∑⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

j=1

n

∑

= ai, j x j

j=1

n

∑⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟i=1

m

∑ bi

f (x)= y= yibi

i=1

m

∑

とかけている。したがって、

yi = ai, j x j

j=1

n

∑ ( i=1,2,!,m)

すなわち、

y1 = a1,1x1 +a1,2x2 +!+a1,nxny2 = a2,1x1 +a2,2x2 +!+a2,nxn "ym = am,1x1 +am,2x2 +!+am,nxn

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⇔

y1

y2

"ym

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

=

a1,1 a1,2 ! a1,n

a2,1 a2,2 ! a2,n

" " # "am,1 am,2 ! am,n

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

x1

x2

"xn

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

と表される。 線形写像 f :R

n→Rmを f (x)= Axの形に表すことを線形写像の行列表現といい、行列 Aを基底 {a1,a2,!,an},{b1,b2,!,bn}に関する線形写像 f の表現行列という。表

現行列は基底に依存して決まる。 例題 96

各

a1 =3−46

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,a2 =

124

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,a3 =

215

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟を

b1 =−111

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,b2 =

−321

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,b3 =

6−4−1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟の

1次結合として表せ。 [解]

a1 = p1,1b1 + p2,1b2 + p3,1b3a2 = p1,2b1 + p2,2b2 + p3,2b3a3 = p1,3b1 + p2,3b2 + p3,3b3

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

⇔ (a1,a2,a2 )= (b1,b2,b2 )p1,1 p1,2 p1,3p21 p2,2 p2,3p3,1 p3,2 p3,3

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

pi, j( )= (b1,b2,b2 )−1(a1,a2,a2 )=

2 3 0−3 −5 2−1 −2 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

3 1 2−4 2 16 4 5

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=−6 8 723 −5 −211 −1 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

260

∴

a1 =−6b1 +23b2 +11b3a2 = 8b1−5b2−b3a3 = 7b1−2b2 +b3

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

例題 97 (i) R

2 = {{e1,e2}},R3 = {{ ′e1, ′e2, ′e3}} ここで、 e1,e2 , ′e1, ′e2, ′e は基本ベクトルとする

線形写像

f :R2→R3 11

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟!

012

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟, −1

1

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟!

210

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

の表現行列を求めよ。

(ii) 線形写像 f :R3→R2 ′e1!

12

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟, ′e2 !

34

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟, ′e3!

56

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

の表現行列を求めよ。 (iii) 線形写像 f :R4→R4 (x1, x2, x3, x4 )! (y1, y2, y3, y4 ) ( )

y1 y2y3 y4

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟=

a1,1 a1,2a2,1 a2,2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

x1 x2x3 x4

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

と定義する。このとき、表現行列を求めよ。 (iv) Rnの 2つの基底 {{u1,u2,!,un}},{{v1,v2,!,vn}}があったとき、 f (ui ) = vi ( i=1,2,!,n) であるような線形写像 f :R

n→Rnの表現行列を求めよ。

(v) 線形変換： ϕu :K3[x]→ K3[x] f (x)! f (x+u), f ∈K3[x],u∈K ( )

の表現行列を求めよ。ここで、K3[x]は xの高々 3次の多項式の集合である。

[解]

(i)

11

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟= e1 + e2,

−11

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟=−e1 + e2 ,

f (e1 + e2 )= f (e1)+ f (e2 )= ′e2 +2 ′e3f (−e1 + e2 )=− f (e1)+ f (e2 )= 2 ′e1 + ′e2

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

∴ f (e1) =− ′e1 + ′e3, f (e2 ) = ′e1 + ′e2 + ′e3

x= x1e1 + x2e2について、 y1 ′e1 + y2 ′e2 + y3 ′e3 = f (x)= x1 f (e1)+ x2 f (e2 )= (−x1 + x2 ) ′e1 + (0+ x2 ) ′e2 + (x1 + x2 ) ′e3

y1 =−x1 + x2y2 = 0x1 + x2y3 = x1 + x2

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

⇔

y1y2y3

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

=−1 10 11 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

x1x2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

261

求める表現行列は

−1 10 11 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

である。

注意：

f (e1), f (e2 )( ) 1 −11 1

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟= E3

0 21 12 0

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⇔ f (e1), f (e2 )( )=

0 21 12 0

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

1 −11 1

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−1

で、求める表現行列は

f (e1), f (e2 )( )=0 21 12 0

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

12

1 1−1 1

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟=−1 10 11 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ともできる。

(ii)

y=y1y2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟= f (x)= f (x1 ′e1 + x2 ′e2 + x3 ′e3)= x1

12

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟+ x2

34

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟+ x3

56

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

y1 = x1 + 3x2 +5x3y2 = 2x1 + 4x2 +6x3

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

⇔y1y2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟= 1 3 5

2 4 6

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x1x2x3

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

∴求める表現行列は

1 3 52 4 6

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟である。

(iii)

y1 = a1,1x1 +a1,2x3

y2 = a1,1x1 +a1,2x4 y3 = a2,1x1 +a2,2x3 y4 = a2,1x2 +a2,2x4

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⇔

y1

y2

y4

y5

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

=

a1,1 0 a1,2 00 a1,1 0 a1,2

a2,1 0 a2,2 00 a2,1 0 a2,2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

x1

x2

x3

x4

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

a1,1 0 a1,2 00 a1,1 0 a1,2a2,1 0 a2,2 00 a2,1 0 a2,2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

が求める表現行列である。

(iv) 表現行列を Aとする。 f (ui ) = vi ( i=1,2,!,n)⇔ Aui = vi ( i=1,2,!,n)⇔ AU =Vより、 A=VU−1

262

たとえば、

R3 = {{121

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,

13−4

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,−113

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟}},R3 = {{

346

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,124

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,215

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟}}とする。

121

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟!

346

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,

13−4

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟!

124

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,−113

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟!

215

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ である。線形写像 f :R

3→R3

を求めよう。

A=3 1 24 2 16 4 5

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

1 1 −12 3 11 −4 3

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

−1

=119

12 17 1131 17 113 47 17

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

(v) f (x) = a0 +a1x+a2x

2 +a3x3

の形にかけている。 ϕu ( f )(x) = a0 +a1(x+u)+a2 (x+u)2 +a3(x+u)3 = (a3u

3 +a2u2 +a1u+a0 )+ (3a3u

2 +2a2u+a1)x+ (3a3u+a2 )x2 +a3x

3

ϕu ( f )=

1 u u2 u3

0 1 2u 3u2

0 0 1 3u0 0 0 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

a0a1a2a3

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

と見ることができる。∴求める表現行列は

1 u u2 u3

0 1 2u 3u2

0 0 1 3u0 0 0 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

である。 例題 98 R2

の座標系として標準座標系 <O; e1,e2 >を考えるとする。

(i)

f :R2→R2 xy

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟! 0 1

1 0

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

xy

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟ すなわち、 (x, y)! (y, x) ( )

は正則な 1次変換で、幾何学的には、直線 y= xに関する対称変換を意味する。

263

(ii)

f :R2→R2 xy

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟! k 0

0 k

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

xy

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟ (k> 0)

すなわち、 (x, y)! (kx,ky) ( )

は正則な 1次変換で、幾何学的には、相似拡大縮小を意味する。これを相似拡大縮小変換という。

(iii)

fθ :R2→R2 xy

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟! cosθ −sinθ

sinθ cosθ

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

xy

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟ (θ> 0)

は正則な 1次変換で, 幾何学的には,点 (x, y)を原点を中心に θ回転した点 ( ′x , ′y )を対応

させていることを意味する。それは次のようにしてわかる。 x= (x, y), ′x = ( ′x , ′y )とす

ると、

′x = xcosθ− ysinθ, ′y = xsinθ+ ycosθ

で、明らかに x2 = x2 + y2, ′x 2

= x2 + y2である。

(x, ′x )x ′x

=x ′x + y ′yx2 + y2

=(x2 + y2 )cosθ

x2 + y2= cosθ

det(x, ′x )= (x2 + y2 )sinθ ( x, ′x で張られる平行四辺形の面

積)

fα :R2→R2 xy

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟! cosα −sinα

sinα cosα

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

xy

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

264

fβ :R2→R2 xy

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟!

cosβ −sinβsinβ cosβ

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟xy

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

とすると、 fα ! fβ = fα+βである。

fα+β :R2→R2 xy

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟!

cos(α+β) −sin(α+β)sin(α+β) cos(α+β)

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟xy

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

他方、

fα ! fβ :R2→R2 xy

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟"

cosβ −sinβsinβ cosθβ

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟cosα −sinαsinα cosθα

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

xy

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

∴

cosβ −sinβsinβ cosβ

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟cosα −sinαsinα cosα

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

=

cosαcosβ−sinαsinβ −(sinαcosβ+ cosαsinβ)sinαcosβ+ cosαsinβ cosαcosβ−sinαsinβ

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

であるから、

加法定理:

cos(α+β)= cosαcosβ−sinαsinβsin(α+β)= sinαcosβ+ cosαsinβ⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

が得られる。

fθ ! fθ"! fθn# $%%%%%

= fnθすなわち、

cosθ −sinθsinθ cosθ

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

n

= cosnθ −sinnθsinnθ cosnθ

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

より、 n倍角の公式が得られる。たとえば、 n= 3とすると、

cosθ −sinθsinθ cosθ

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

= cos3 θ−3cosθsin2 θ −3cos2 θsinθ+ sin3 θ3cos2 θsinθ−sin3 θ cos3 θ−3cosθsin2 θ

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

= cos3θ −sin 3θ

sin 3θ cos3θ

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

３倍角の公式：

cos3θ= cos3 θ−3cosθsin2 θsin 3θ= 3cos2 θsinθ−sin3 θ

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

が得られる。

265

(iv) R2の座標系として標準座標系 <O; e1,e2 >を考えるとする。

点 (x, y)に直線 y= mx ( m≠ 0 )に関して対称な点 ( ′x , ′y )を対応させる線形写像

f :R2→R2 xy

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟!

′x′y

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

を求めよ。その表現行列を求めよ。

[解] 2 点 (x, y),( ′x , ′y )が直線 y= mx ( m≠ 0 )に関して対称であることは次の関係式

で表される。

y+ ′y2

= m x+ ′x2

, y−′y

x− ′xm=−1

∴ ′x =−(m2−1)x+ 2my

m2 +1, ′y =

2mx+ (m2−1)ym2 +1

′x′y

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟=

1m2 +1

−(m2−1) 2m2m m2−1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

xy

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

と表される。これは正則な 1次変換である。 注意： m=1とすると、(i) と一致する。 m= 0のときは、x軸対称、 m→∞のときは、y軸対称を意味する。 m=−1のとき、原点対称移動して、(i)の変換をしたもの。

定理 41 1次独立なm個のベクトル a1,a2,!,amに対して、これらの 1次結合で表された

ベクトル： a*j = p1, ja1 + p2, ja2 +!+ pm, jam (j =1,2,!,m)

とする。係数から作ったベクトル（係数ベクトル）：

p j =

p1, j

p2, j

!pm, j

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

(j =1,2,",m)、そして P= (p1, p2,!, pm )

とおくと、そのとき、 a

*1,a

*2,!,a

*mが 1次独立 ⇔ 行列 Pが正則である。

[証明] (⇒) Pは正則でないとする。すなわち、 rank(P)<mとする。 斉次連立１次方程式： x1p1 + x2p2 +!+ xm pm = 0

266

が非自明な解 x1 =α1, x2 =α2,!, xm =αmをもつ。この α1,α2,!,αmを係数として、

1次結合： α1a*1 +α2a

*2 +!αma

*m = 0

とする。

α1a

*1 +α2a

*2 +!αma

*m = (α j pi, j )ai

i=1

m

∑⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

j=1

m

∑ = α j pi, jj=1

m

∑⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟i=1

m

∑ ai = 0

を考えると、 a1,a2,!,amは 1次独立（大前提）より、

α j pi, j

j=1

m

∑ = 0 (i=1,2,!,m)

α1a*1 +α2a

*2 +!αma

*m = 0

は非自明な関係式になる。すなわち、 は 1次従属である。

「 Pが非正則 ⇒ a*1,a

*2,!,a

*mは 1次従属である」を示した。この命題の対偶をとれば結

論が得られる。次に (⇐)を示そう。

α1a*1 +α2a

*2 +!αma

*m = 0

とする。

α1a

*1 +α2a

*2 +!αma

*m = α j pi, j

j=1

m

∑⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟i=1

m

∑ ai = 0とかけている。 a1,a2,!,amは 1

次独立（仮定）であるから、

α j pi, j

j=1

m

∑ = 0 (i=1,2,!,m)で、 Pは正則であるから、

α1 =α2 =!=αm = 0を得る。∴ a*1,a

*2,!,a

*mは 1次独立である。

注意： a1,a2,!,amがm次元数ベクトルのとき、

U = (a1,!,am ),V = (a*1,!,a

*m ),P= pi, j( )∈M (m,m;R)

とすると

a*j = p1, ja1 + p2, ja2 +!+ pm, jam (j =1,2,!,m)

!

a*1, ja*2, j!a+m, j

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

= p1, j

a1,1a2,1!am,1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

+ p2, j

a1,2a2,2!am,2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

+"+ pm, j

a1,ma2,m!

am,m

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

=

a1,1 a1,2 ! a1,ma2,1 a2,2 ! a2,m" " # "am,1 am,2 ! am,m

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

p1. jp2, j"pm, j

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

a*1,a

*2,!,a

*m

267

i.e., a*

j =Up j (j =1,2,!,m)⇔V =UP U = (ai, j ), V = (a*i, j ) ( )

であるから、 a1,a2,!,amが 1 次独立 ⇔Uが正則（ U ≠ 0）であることに注意して、

P=U−1V である。 a*1,a

*2,!,a

*mが 1 次独立 ⇔ Pが正則すなわち、 a

*1,a

*2,!,a

*mが 1 次

独立（V が正則） ⇔ Pが正則である。 線形写像 f :Rn→Rm x! Ax( ), g :Rm→ Rl y! By( )

とすると、合成写像 g! f :Rn→Rl x" B(Ax) = (BA)x( )とかける。

すなわち、 f ,gの表現行列を A,Bとするとき、 g! f :Rn→Rlの表現行列は B ⋅Aであ

ることがわかる。 同型写像 f :U→V ( y= f (x) )

とする。 そこで、

f −1 ! f (x) = f −1 f (x)( )= f −1 y( )= x, f ! f −1(y) = f f −1(y)( )= f x( )= y

であることがわかる。すなわち、 f−1 ! f = IU , f ! f −1 = IVは恒等変換である。

恒等変換 I :Rn→Rn x! Enx( )で, Iの表現行列は単位行列ある。

f−1 :Rn→Rn x! Bx( )とすると、

f ! f−1 :Rn→Rn x" x= ABx( )、 f

−1 ! f :Rn→Rn x" x= BAx( )

であるから、 AB= BA= Eである。f の表現行列 Aは正則で、 f−1の表現行列は A−1 で

あることがわかる。 定理 42 線形写像 f :R

n→Rmを Rn = {{a1,a2,!,an}},R

m = {{b1,b2,!,bm}}としての

表現行列を Aとする。また、 Rn = {{a*1,a

*2,!,a

*n}},R

m = {{b*1,b*2,!,b

*m}}としたとき

の表現行列を A*とする。そのとき、 A,A*の関係は A

* =Q−1AP が成立する。ここで、P,Qは

基底の変換： a*j = pi, jai

i=1

n

∑ ( j =1,2,!,n),b*j = qi, jbi

i=1

m

∑ ( j =1,2,!,m)

の係数行列：

P=p1,1 ! p1,n" # "pn,1 ! pn,n

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

,Q=q1,1 ! q1,n" # "qn,1 ! qn,n

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

である。P,Qは正則であることは定理 41で示された。

[証明]

268

線形写像 f :Rn→Rm Rn = {{a1,a2,!,an}},Rm = {{b1,b2,!,bm}} ( )

の表現行列を Aとする。i.e., y = f (x)= Ax x∈Rn , y∈Rm( )とかける。

線形写像 f :Rn→Rm {{a*

1,a*2,!,a*

n}},Rm = {{b*1,b

*2,!,b*

m}} ( )

の表現行列 A*とする。i.e., y* = f (x*) = A*x* x* ∈Rn , y* ∈Rm( )とかける。

a*j = pi, jai

i=1

n

∑ ( j =1,2,!,n),b*j = qi, jbi

i=1

m

∑ ( j =1,2,!,m)

の形にかけている。

任意の x∈ Rnは

x= x ja j

j=1

n

∑ = x*ja*j

j=1

n

∑ , y∈ Rmは

y= yibi

i=1

m

∑ = y*ib*i

i=1

m

∑

の形にかける。

x= x ja jj=1

n

∑ = x*ja*j

j=1

n

∑ = x*j pi, jaii=1

n

∑⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

j=1

n

∑ = pi. j x*j

j=1

n

∑⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟i=1

n

∑ ai

y= yjb jj=1

m

∑ = y*jb*j

j=1

m

∑ = y*i qi, jbii=1

m

∑⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟= qi, j y

*j

j=1

m

∑⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟i=1

m

∑j=1

m

∑ bi

係数比較より

xi = pi. j x

*j

j=1

n

∑ ( i=1,2,!,n ), yi = qi, j y*j

j=1

m

∑ ( i=1,2,!,m )

これは次のように行列で表される。

x1

!xn

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

=p1,1 " p1,n

! # !pn,1 " pn,n

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

x*1

!x*n

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

, y1

!ym

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

=q1,1 " q1,m

! # !qm,1 " qm,m

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

y*1

!y*m

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

これを x= Px*, y=Qy*と表す。そして y= f (x) = Ax, y* = f (x*) = A*x*なる関係にあ

る（仮定）から、

y= Ax= APx*他方、 y=Qy* =Q(A*x*)= (QA*)x*。∴ AP=QA* . i.e., A* =Q−1APが

求める関係である。

注意１: 次のダイアグラム（図式）を参照すると変換の意味もよくわかる。

269

注意 2: 線形写像 f :{{a1,a2,!,an}}→ {{a1,a2,!,an}}の表現行列 A

f :{{a*1,a

*2,!,a

*n}}→ {{a*1,a

*2,!,a

*n}}の表現行列 A*

とするとき、基底の変換Pとすると、

A* = P−1AP なる関係にある。この定理で、 m= nとし Q= Pとすればよい。

注意： 次のダイアグラム参照

例題 99 (i) 例題 97- (i)において、

R2 = {{ 21

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟, 32

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟}},R3 = {{

346

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,124

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,215

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟}}

としたとき、線形写像 f の表現行列を求めよ。

[解]

P= 2 31 2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟,A=

−1 10 11 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,Q=

3 1 24 2 16 4 5

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

であるから、

{{a*1,a

*2, ,a*

n}} {{b*1,b

*2, ,b*

m}}A*

{{a1,a2, ,an}} {{b1,b2, ,bm}}AP Q

AP QA* Q 1AP A*

{{a*1,a*2, ,a*n}} {{a*1,a

*2, ,a*n}}

A*

{{a1,a2, ,an}} {{a1,a2, ,an}}AP P

AP PA* A* P 1AP

270

A* =Q−1AP=112

6 3 −3−14 3 54 −6 2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

−1 10 11 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

2 31 2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟=112

−12 −1532 45−4 −6

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

が求める表現行列である。 例題 100 Hom(Rn ,Rm ) = { f ; 線形写像 f :R

n→Rm } (線形写像の集合)

とする。Hom(Rn ,Rm )はR上のベクトル空間であり、 dimHom(Rn ,Rm )= mnである。 [解] (I) f ,g∈Hom(R

n ,Rm )について、 ( f + g)(x) = f (x)+ g(x) , (− f )(x) =− f (x) , O(x)= 0と定義する。

(i) ( f + g)+h= f + (g+h) f ,g,h∈Hom(Rn ,Rm ) ( )

{( f + g)+h}(x)= ( f + g)(x)+h(x)= f (x)+ g(x)+h(x)( )= { f + (g+h)}(x)

(ii) f + g= g+h f ,g∈Hom(Rn ,Rm ) ( )

( f + g)(x)= f (x)+ g(x)= g(x)+ f (x)= (g+ f )(x)

(iii) f +O= f f ∈Hom(Rn ,Rm ) ( )

( f +O)(x)= f (x)+O(x)= f (x)+0= f (x)

(iv) 任意の f ∈Hom(Rn ,Rm )について、 f +ϕ=Oである ϕ∈Hom(Rn ,Rm )がとれ

る。（マイナス元の存在） ϕ=− f とすればよい。

II f ∈Hom(Rn ,Rm )について、 (α f )(x)=α f (x)と定義し、 f の α倍という。

(i) α( f + g)=α f +αg α∈R, f ,g∈Hom(Rn ,Rm ) ( )

α( f + g)(x)=α f (x)+ g(x)( )=α f (x)+αg(x)= (α f )(x)+αg(x)= (α f +αg)(x)

(ii) (α+β) f =α f +β f α,β ∈R, f ∈Hom(Rn ,Rm ) ( )

{ (α+β) f }(x) = (α+β) f (x) =α f (x)+β f (x) = (α f +β f )(x)

(iii) (αβ) f =α(β f ) α,β ∈R, f ∈Hom(Rn ,Rm ) ( )

(αβ) f }(x)= (αβ) f (x)=α β f (x)( )= {α(β f )}(x)

271

(iv) 1⋅ f = f f ∈Hom(Rn ,Rm ) ( )

以上により、Hom(Rn ,Rm )はR上のベクトル空間である。

Rn = {{a1,!,an}},R

m = {{b1,!,bm}}とするとき、 f ∈Hom(Rn ,Rm ) の表現行列

A= (ai, j )∈M (m,n;R)が一意的にきまる。そして、

f (a j ) = ai, jbi

i=1

m

∑ ( j =1,2,!,n )

とかけている。 f1, f2 ∈Hom(Rn ,Rm )について、

f1(a j ) = a(1)

i, jbii=1

m

∑ ( j =1,2,!,n ),

f2 (a j ) = a(2)

i, jbii=1

m

∑ ( j =1,2,!,n )

のように表現行列 A1 = a(1)i, j( ),A2 = a(2)i, j( )∈M (m,n;R)がきまる。そして、

( f1 + f2 )(a j ) = f1(a j )+ f2 (a j ) = a(1)

i, jbii=1

m

∑ + a(2)i, jbi

i=1

m

∑ = a(1)i, j +a(2)

i, j( )bii=1

m

∑ ( j =1,2,!,n )

f1 + f2の表現行列は A1 + A2である。また、

(α f )(a j ) =α f (a j ) =α ai, jbi

i=1

m

∑ = (αai, j )bii=1

m

∑ ( j =1,2,!,n )

α f の表現行列は αAである。このことから、

線形写像 ϕ :Hom(Rn ,Rm )→M (n,m;R) f ! A= (ai, j )( )

が定まり、 ϕは全単射（同型写像）であることがわかる。 dimM (n,m;R)= mnである

から、 dimHom(Rn ,Rm )= mnである。

さてここで、行列の階数（rank）を線形写像の言葉で表しておこう。 線形写像 f :Rn→Rm y= f (x) = Ax, A∈M(m,n;R)( )

とする。これを A :Rn→Rmと略記することもある。また、 Im f = ARn

, Ker f = Ker Aと略記する。さて、 rank(A)= rとする。

Ker A= { x∈Rn;Ax= 0 } で、Ker f は斉次連立 1次方程式： Ax= 0の解空間である。解空間の次元は n−rであ

ることが、斉次連立 1 次方程式のところで既に学んでいる。定理 38 より、 n=

272

(n−r)+dimIm f であるから、 r= dimIm f .すなわち、 rank(A)= dimIm f = dimARn

であることがわかる。 注意：線形写像 f :Rn→Rm y= f (x) = Ax, A = (a1,a2,!,an )∈M(m,n;R)( )とする、 f (x)= Ax= x1a1 + x2a2 +!+ xnan とかけている。明らかに 0≤ rank(A)≤m,nである。 rank(A)は a1,a2,!,anの極大集

合の個数を表す。このことからも rank(A)= dimARnであることがわかる。 rank(A)= 0は A=O (零行列)を意味する。 rank(A)= nは f が単射であることを意味する。

∵ xiai =

i=1

n

∑ ′xiaii=1

n

∑ ⇔ xi = ′xi (i=1,2,",n)

rank(A)= mは Im f = {{a1,a2,!,am}}で f は全射であることを意味する。 ∵任意の

b∈Rmについて連立 1次方程式：

xiai =

i=1

n

∑ bが解を持つ。

特に m= nのとき、 rank(A)= m ⇔ A ≠ 0（ Aは正則） ⇔ f は全単射であることが

わかる。 また、線形写像 A :Rn→Rm

において、部分空間 U ⊆Rnについて、 AをUに制限し

た写像を AUと表すと、 AU :U→Rmと表し、 AUの像 AU , 核は U ∩Ker Aである。

dimU = dimAU+ dim(U ∩KerA), dimAU ≤ dimU

が成立している。

例題 101 A∈M (n,m;R),B∈M (m,l;R)について、次の評価式が成立する。

rank(AB)≤min{rank(A),rank(B)} [解]

線形写像 B :Rl→Rm , A :Rm→Rnを考える。 合成写像 ABについて、

rank(AB)= dim((AB)Rl )= dim(A(BRl ))

である。 BRl ⊆Rmであるから、

rank(AB)= dim(A(BRl ))≤ dim(ARm )= rank(A) 他方、一般に、 dimAU ≤ dimUであるから、

rank(AB)= dim(A(BRl ))≤ dimBRl = rank(B) をうる。以上まとめると、 rank(AB)≤min{rank(A),rank(B)}

とかける。 注意 1: これは例題 37（61ページ）で初等的に扱っている。

273

注意 2: Pをm次の正則行列、Qを n次の正則行列とする。そのとき、 rank(PAQ)= rank(A)

である。それは次のことから明らかである。

適当な基本行列 !P, !Qを選んで、

!P(PAQ) !Q= ( !PP)A(Q !Q)= EmAEn = Aとできる。 すなわち、基本変形で、 PAQ→!→ Aであることを意味する。。

例題 98

実行列

A=

a1b1 a1b2 ! a1bna2b1 a2b2 ! a2bn" " # "

amb1 amb2 ! ambn

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

ai2

i=1

m

∑ ≠ 0, bi2

i=1

n

∑ ≠ 0⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

の階数を求めよ。 [解]

a =a1

!am

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,b = b1, " ,bn( ) ( a≠ o,b≠ o )

とする。 A= a ⋅b= b1a,b2a,!,bna( )と表されている。 b1a,b2a,!,bnaの中に少なくも１個の零ベクトルでないものがある。すなわち、 1≤ rank(A)を意味する。 他方例題 97より、 rank(a ⋅b)≤min{rank(a),rank(b)}=1

ゆえに、 rank(A)=1をうる。 注意： a≠ o,b≠ oより aibk ≠ 0である i,kがあることに注意して、上の公式を振りかざ

さなくとも、実際に

A→ bka Om,n−1( )→bkai!

bkam

,Om,n−1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟→

1!oOm,n−1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ∴ rank(A) =1

と基本変形で直接容易に計算することもできる。 例題 102 A,B∈M (n,m;R)について、

rank(A+ B)≤ rank(A)+ rank(B)

[解] 任意のベクトル x∈Rnについて、 (A+ B)x= Ax+ Bx∈ ARn + BRnであるから、

(A+ B)Rn ⊆ ARn + BRn

rank(A+ B)≤ dim(A+ B)Rn ≤ dimARn +dimBRn = rank(A)+ rank(B) 注意： rank(A+ B)= rank(A)+ rank(B)⇔ (A+ B)Rn = ARn⊕BRn（直和） これは次元公式から容易にわかる。