画像工学2007-5印刷用 - Keio...

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Autumn 2007 Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Prof.M.Nakajima KEIO Univ. YagamiYagami

0606NOVEMBERNOVEMBER

画像工学画像工学 20072007年度版年度版

教室教室：： 1414--202202


画像工学画像工学

慶応義塾大学理工学部教授慶応義塾大学理工学部教授

中島真人中島真人

55

2007年度版

Imaging Science and TechnologyImaging Science and Technology

2


§§3. 3. 画像画像のスペクトラムのスペクトラム

3-1. 画像のフーリエ変換と空間周波数の概念

3-2. 簡単な図形のフーリエ変換

3-3. フーリエ変換の重要な性質

3-4. ＭＴＦと画像の評価今週と来週は、あまり面白くない今週と来週は、あまり面白くない．．

耐えてください耐えてください！！

でも、後の講義を理解するために，重要です．でも、後の講義を理解するために，重要です．

ANIMATION


ν（Hz：回／秒）

ξ，η（line/mm：本／mm）

ξ，η（line/mm：本／mm）

f ( t )，g ( t ) ．．． f ( x , y )，g ( x , y ) ．．．

§§33--1.1. 画像のフーリエ変換と画像のフーリエ変換と空間周波数の概念空間周波数の概念

ω＝2πν (rad)

角空間周波数

u ＝2πξ (rad)v ＝2πη (rad)u ＝2πξ (rad)v ＝2πη (rad)

ANIMATION

空間周波数

周波数

信号の形

時間空間上画像空間軸上

角周波数

3


t

T0

時間軸上での波形

周波数軸上の波形

ω

0 ω0-ω0

00 T

1=ν （Hz：回／秒）

ω：角周波数

（）πν2=ω

ANIMATION

00 2πν=ω

0

( ) tsinatf 0ω=

( ) ( ) dtetfF t0ωω −∞

∞−∫=


画像空間での周波数（空間周波数）画像空間での周波数（空間周波数）

Spatial FrequencySpatial Frequency ．．．．．．

Tx

( ) xT2sinuxsiny,xf

x

π==

u：角空間周波数

x

y

ANIMATION

f (x,y)

+ ∞

+ ∞

－ ∞

－ ∞

4


Tx，Ty：周期

ξ，η：空間周波数

u，v：角空間周波数

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== y

T2,x

T2sinvy,uxsin)y,x(f

yx

ππ

TTyy

y

x

xTu ππξ 22 ==

yTv ππη 22 ==

画像を回転してみよう・・・画像を回転してみよう・・・

ANIMATION

TTxx


Tx，Ty：周期

ξ，η：空間周波数

u，v：角空間周波数

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== y

T2,x

T2sinvy,uxsin)y,x(f

yx

ππ

TTyy

y

x

xTu ππξ 22 ==

yTv ππη 22 ==

画像を回転してみよう・・・画像を回転してみよう・・・

TTxx

空間周波数空間周波数単位長さ当たりの濃淡変動の回数単位長さ当たりの濃淡変動の回数

ただし、方向性がある！ただし、方向性がある！

ANIMATION

5


ペン画例ペン画例

画像

は，‘縞

の合

成’と

も言え

るので

は・・

・

頭を柔

らかく

頭を柔

らかく！！


これより・・・これより・・・

画像を定量的に取り扱っていくために必要な画像を定量的に取り扱っていくために必要な

数学的知識を身につけていただく！数学的知識を身につけていただく！

6


0t

δ ( t ) ∞

0t

δ ( t ) ∞

（（ 11 ）デルタ関数：）デルタ関数：δδ ( ( t t ))，，δδ ( ( x x , , y y ))

δ ( t ) 1FT

∫∞

∞−= 1)( dttδ

0t

δ ( t ) ∞

FT

0

1

ω

F [δ ( t ) ]

ANIMATION

§3-2. 簡単な図形のフーリエ変換形§§33--2.2. 簡単な図形のフーリエ変換形

［時間関数の場合］［時間関数の場合］

∫∞

∞−

− = 1)( dtet tjωδ


［画像の場合］［画像の場合］

δ ( x , y ) 1FT

・画像工学的には、大きさ１pixel、明るさ１の点とする．

・数学的には、大きさ∞小、明るさ∞大の光の点．

FT

：２次元のデルタ関数δ ( x , y )

ANIMATION

∫ ∫∞

∞−

∞

∞−= 1),( dxdyyxδ

x

y1

1 pixel

( )∫ ∫∞

∞−

+−∞

∞−= 1),( dxdyeyx vyuxjδ

x

δ ( x , y )

y

F [δ ( x , y ) ] = 1 or constant.

v

u

7


( )t

tsintsinc =ジンク関数：

ANIMATION

（（ 22 ））rectrect 関数：関数：rectrect ( ( t t ))，，rectrect ( ( x x , , y y ))


0

t

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

atrect 1

a

( )ω

ωωω asinasincadteatrect tj ==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −∞

∞−∫

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

atrect ( )

ωωω asinasinca =

FT

FT

0

ω

a sinc ( aω )


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

by,

axrect

ANIMATION


x

y

b

1

a

( ) ( )bv,ausincabdxdyebv,

aurect vyuxj =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−∞

∞−

∞

∞−∫ ∫

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

by,

axrect ( )bv,ausincab

FT

FTx

y⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

by

axrect , v( )byau ,sinc

u

8


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

by,

axrect


x

y

b

1

a


aurect vyuxj =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−∞

∞−

∞

∞−∫ ∫

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

by,


FT

FTx

y⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

by


u

元画像スペクトラム


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

by,

axrect


x

y

b

1

a


aurect vyuxj =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−∞

∞−

∞

∞−∫ ∫

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

by,


FT

FTx

y⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

by


u

元画像スペクトラム

ちょっと一言・・・

その Fourier 変換たる（振幅）スペクトラム F ( u , v ) は，

普通 complex

そこで，以降，本講義で図示されるスペクトラムは，

全て‘パワー・スペクトラム’| F ( u , v ) | 2 であると思って

いただきたい．

因みに，原点対象図形の（振幅）スペクトラム F ( u , v ) は、

Real である． (non-negative ではない )

すなわち，図に描けない！

画像 f ( x , y ) は，普通 real & non-negative

ANIMATION

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Autumn 2007 Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Prof.M.Nakajima KEIO Univ. YagamiYagami ANIMATION

（（ 33 ））circlecircle 関数：関数：circlecircle( ( r r ))

x

y1

r

２次元特有の関数（ 1次元では、rect 関数に同じ）

( ) ( )ρρ

aaJdxdye

arcircle 0vyuxj =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−∞

∞−

∞

∞−∫ ∫

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

arcircle

( )ρρ

aaJ 0

FT

22 yxr += 22 vu +=ρここで、、


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

arcircle

( )ρρ

aaJ 0

FT

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9

( )xJ 0

x

uv

FT

x

y1

a

ANIMATION

10


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

arcircle

( )ρρ

aaJ 0

FT

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9

( )xJ 0

x

uv

FT

x

y1

a

uv

FT

x

y1

a


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

arcircle

( )ρρ

aaJ 0

FT

uv

FT

x

y1

a

FTx

y

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

arcircle

aa

v

u

ANIMATION

11


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

arcircle

( )ρρ

aaJ 0

FT

uv

FT

x

y1

a

FTx

y

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

arcircle

v

uaa

ANIMATION


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

arcircle

( )ρρ

aaJ 0

FT

uv

FT

x

y1

a

FTx

y

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

arcircle

v

u

‘モアレ縞’が出ている‘モアレ縞’が出ている！！

ANIMATION

‘モアレ縞’とは何か？‘モアレ縞’とは何か？

ちょっと，コメント・・・ちょっと，コメント・・・

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Autumn 2007 Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Prof.M.Nakajima KEIO Univ. YagamiYagamiAutumn 2007 Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Prof.M.Nakajima KEIO Univ. YagamiYagami ANIMATION


Autumn 2007 Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Prof.M.Nakajima KEIO Univ. YagamiYagamiAutumn 2007 Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Prof.M.Nakajima KEIO Univ. YagamiYagami ANIMATION

ピッチの近い縞が浅い角度で重なると，ピッチの近い縞が浅い角度で重なると，元画像にはない‘新たな縞模様’が元画像にはない‘新たな縞模様’が見えてしまう現象を，‘モアレ現象’という．見えてしまう現象を，‘モアレ現象’という．

デジタル画像は，デジタル画像は，

モアレ縞を取り除くのが，モアレ縞を取り除くのが，

けっこう難しい！けっこう難しい！

例えば，

ディスプレイの画素ピッチと

表示画像の縞模様の間で

モアレ縞が発生する．


13


（（ 44 ））gaussgauss 関数：関数：2ate− 2ate−


x

2ate−

atjat2

2

ea1dtee

ωω −−∞

∞−

− =∫2ate− a

2

ea1 ω

−FT

ガウス関数は、ガウス関数は、

フーリエ変換してもガウス関数フーリエ変換してもガウス関数となとなる．る．

FT

ω

a

2

ea1 ω

　−

ANIMATION


x

2ate−

FT

ω

a

2

ea1 ω

　−

2ate− a

2

ea1 ω

−FT

x ω

2ate−

FT

a

2

ea1 ω

　−

ANIMATION

14



( )22 byaxe +−

yx

vu

FT

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

+−∞

∞−

∞

∞−

+− =∫ ∫ bv

au

vyuxjbyax

22

22

eab1dxdyee

)byax( 22

e +− )b

va

u(22

eab1 +−FT

ANIMATION



( )22 byaxe +−

yx

vu

FT

ANIMATION

)byax( 22

e +− )b

va

u(22

eab1 +−FT

FTx

y v

u

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( )22 byaxe +−

yx

vu

FT

)byax( 22

e +− )b

va

u(22

eab1 +−FT

FTx

y v

u


（（ 55 ））combcomb 関数：関数：


( )tcombp

FT

( )tcombp

x

y

p

1

v

u

( )ωpcombp

p

1/p

( )ωω ppcombdteptcomb tj =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −∞

∞−∫

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ptcomb ( )ωpcombp

FT

Comb Comb 関数も、フーリエ変換しても関数も、フーリエ変換しても comb comb 関数である．関数である．

ANIMATION

( ) ( )∑∞

−∞=

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ip ipt

ptcombtcomb δ

16


FTFT


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛qy,

pxcomb

1

pq p q

1 / p1 / q

( ) ( )qv,pupqcombdxdyeqy,

pxcomb vyuxj =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−∞

∞−

∞

∞−∫ ∫

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛qy,

pxcomb ( )qv,pucombpq

FT

( )qv,pucombpq

ANIMATION


y

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

p

q

x

v

u

・・

・・

・・

・・

・・

・・

・・

・・

・・

・・

・・

・・

・・

・・

・・

・・

1/p

1/q


FTFT

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛qy,

pxcomb

1

pq p q

1 / p1 / q

( )qv,pucombpq

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛qy,

pxcomb ( )qv,pucombpq

FT

FT

17


( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛qy,

pxcomby,xf ( ) ( )qv,pucombpqv,uF ⊗

FT

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛qy,

pxcomb( )y,xf

・・・・・・・・・・・・

・・・・・・・・・・・・

・・・・・・・・・・・・

・・・・・・・・・・・・

・・・・・・・・・・・・

・・・・・・・・・・・・

・・・・・・・・・・・・

・・・・・・・・・・・・

・・・・・・・・・・・・

x x

x

画像のサンプリング

については，また後で

じっくり学びます！

画像のサンプリング

については，また後で

じっくり学びます！


t

y

ta

FT

v

u

ωa1

ANIMATION

（（ 66 ））双曲双曲関数：関数： ta

ωω

a1dte

ta tj =−∞

∞−∫

ta

ωa1FT

双曲双曲関数も、フーリエ変換しても関数も、フーリエ変換しても双曲双曲関数である．関数である．


18



ra

22 yxr +=ここで、

yx

22 vu +=ρ

uv

ρa1

( )

ρa1dxdye

ra vyuxj =+−∞

∞−

∞

∞−∫ ∫

ra

ρa1FT

FT

ANIMATION



ra

22 yxr +=ここで、

yx

22 vu +=ρ

uv

ρa1

FT

ra

ρa1FT

FT

y

x

v

u

ANIMATION

19


（（ 77 ））正弦波正弦波関数：関数： tsin 0ω tcos 0ω、

x

yt0cos ω

FT

( ) ( )00 ωωδωωδ ++−

uω0-ω0

( ) ( )00tj

0 dtetcos ωωδωωδω ω ++−=−∞

∞−∫

tcos 0ω ( ) ( )00 ωωδωωδ ++−FT

ただし、画像では、負は生じない．ただし、画像では、負は生じない．



ただし、画像では、負は生じない．ただし、画像では、負は生じない．

x

yt0cos ω

FT

( ) ( )00 ωωδωωδ ++−

uω0-ω0

( ) ( )00tj

0 dtetcos ωωδωωδω ω ++−=−∞

∞−∫

tcos 0ω ( ) ( )00 ωωδωωδ ++−FT

（（ 77 ））正弦波正弦波関数：関数： tsin 0ω tcos 0ω、


x

yct +0cos ω

FT u

( ) ( ) ( )ωδωωδωωδ c+++− 00

ω0-ω0

直流分直流分

20


v

u


x

y

Tx0

Ty0FT

v0

u0

20

20 vu +

( )[ ] ( )dxdyecyv,xucos yvxuj00

00 +−∞

∞−

∞

∞−∫ ∫ +

( ) cyv,xucos 00 +

( ) ( )0000 vv,uuvv,uu +++−−= δδFT

( ) ( )0000 vv,uuvv,uu +++−− δδ( )y,xcos 00 ωω

Tx0= 2π / u0 Ty0= 2π /v0

ANIMATION


「画像工学」

2007年度

第 5 回講義おわり

今日は、ここまで・・・今日は、ここまで・・・

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