Irrationele getallen

B. J. Geels

november 2016

1

Inhoudsopgave1 Het probleem van de stratenmaker 3

2 Oplossingen 3

2.1 Hoe groot is dat grasveld? 3

2.2√2 door proberen 4

2.3√2 zoeken in de gewone breuken 4

2.4 Een recurrente formule 6

3 Wortels 7

4 Archimedes v Syracuse 7

5 Wortelspiraal 8

6 Bewijs dat√2 geen breuk is 8

6.1 Tweede bewijs 10

6.2 Bewijzen uit het ongerijmde 10

7 Irrationele getallen 11

8 De verdubbeling van de kubus 11

9 De irrationele getallen als meetkundige lengte 12

10 Opnieuw zoeken naar de grootte van een wortel 13

10.1 Babylonisch worteltrekken 13

10.2 Staart–worteltrekken 15

10.3 Wortels als kettingbreuken 17

10.3.1 Terugrekenen met breuken 18

10.3.2 Terugrekenen met het kettingschema 19

11 Rekenen met wortels 19

11.1 Wortels optellen & aftrekken 20

11.2 Wortels vermenigvuldigen & delen 20

12 Machtsverheffen en worteltrekken I-4 21

13 Wortels en negatieve getallen 22

13.1 Samenvatting van de rekenregels 23

13.2 Wortels vereenvoudigen 23

14 Proefwerken & so’s 26

2

1 Het probleem van de stratenmaker

Een stratenmaker gaat een vierkant plein aanleggen van 256 vierkante stoeptegels. Dat moetgoed lukken! Bij een plein van 16 bij 16 tegels is de stapel tegels precies opgebruikt!De oplossing kan je vinden door te rekenen:16× 16 = 256 ofwel 162 = 256

Je kunt de oplossing ook vinden door gewoon te beginnen metvier tegels en dan randen eromheen te leggen.Steeds het pleinvierkant houden en dan maar zien hoe het uitkomt.De vraag is natuurlijk lukt dat et 10.000 tegels? En ook gaatdat lukken met 14 tegels? We gaan eerst eens proberen met tweetegels, dan is het probleem op zijn eenvoudigst.

2 Oplossingen

Dit is een goed moment om de lijst van kwadraten uit het hoofd te laten leren.

����❅

❅❅

❅��

��❅❅❅❅

Kan een grasveld, vierkant even groot als 15 tegels wel? of vierkant met opp 2kan dat? Let op een plein van tegels is wezenlijk verschillend van een grasveld.Een plein heeft discrete lengte en breedte maten. Een grasveld kan in principeelke lengte en breedte hebben.Ja, een vierkant grasveld ter grootte van twee tegels kan wel, zie hiernaast.

2.1 Hoe groot is dat grasveld?

������

❄0 10cm 1 2?

We vragen ons af hoe groot de zijde is van zo’n minigrasveld metoppervlakte 2. Het is handig om nu al een notatie voor die lengte tevinden. Het gaat om een getal dat in het kwadraat 2 is. De leerlingenkennen het worteltrekken al uit klas 7 of klas 8. We kunnen dus dezenotatie over nemen en noteren dat de gevraagde lengte

√2 is.

Als eerste kunnen we gaan meten.Teken vierkant van 1 dm en cirkel de diagonaal om. Meet zo nauw-keurig mogelijk deze lengte. De nauwkeurigheid kan vergroot wordendoor een grotere tekening te maken.We kunnen het resultaat testen door te kwadrateren.Met andere methoden is gevonden:√2 = 1, 141 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 7 . . .

en:√3 = 1, 1259 921 049 894 873 164 76 . . .

Zie [3, p. 28]

3

2.2√2 door proberen

Uit de meting volgt dat die lengte zo ongeveer 1, 4 moet zijn. We proberen nog meer decimalen.

probeer 1, 42 = 1, 96

probeer 1, 412 = 1, 9881

probeer 1, 4142 = 1, 999396

probeer 1, 41422 = 1, 99996164

probeer 1, 414212 = 1, 99998992

probeer 1, 4142132 = 1, 99999841

Tijdens het controleren van de decimalen komen we tot een conclusie:1, 414

1, 414 ×5656

14140

565600

1414000 +

1, 999396

Bij deze berekening, zie je dat de laatste decimaal van het antwoord nooit een nul kan zijn.Die 6 ontstaat al direct bij de eerste vermenigvuldiging hier 4× 4 = 16 Daar kan alleen een 0

komen als de laatste decimaal van de benadering van√2 een nul is, maar dan geldt hetzelfde

voor de een na laatste decimaal van de benadering. Er kan dus geen einde aan de decimalenkomen!

Bewijs uit het ongerijmde:Bewering: Ik fiets de weg van Amersfoort naarZeist in 10 minuten!1. Volgens de ANWB is die afstand 15 km2. Mijn snelheid is dan 90 km/uur.3. Dat kan (ik) niet op de fiets.We komen met een geldige redenering tot eenonmoglijkheid, een tegenspraak. Dat betekentdat de oorspronkelijke bewering onjuist is!

Voor het vervolg is het nodig dat de leerlin-gen weten wat een bewijs uit het ongerijmdeis. Zie kader.Huiswerk kan zijn dat de leerlingen zelf zo’nbewijs verzinnen.

2.3√2 zoeken in de gewone breuken

1 12

1 12 3

1 12 35

1 12 35 7

De volgende methode wordt aan Pythagoras toegeschre-ven hij wordt de “ladder van Pythagoras” genoemd. Be-gin met twee willekeurige getallen. Makkelijk is 1 en 1. Jevindt de volgende getallen uit de voorgaande door op tetellen. Zie hiernaast volgens de pijlen.

Overigens vertel ik in de klas nooit hoe de optelling gaat. Dat is een leuk raadsel voor deleerlingen. Ze komen er snel achter.

4

Een langer stukje van de ladder is:1 1

2 3

5 7

12 17

29 41

70 99

169 239In de ladder zien we steeds twee getallen naast elkaar. Het quotient van die getallen komt steedsdichter bij

√2:

(

1

1

)2

=1

1< 2, 1 te klein

(

3

2

)2

=9

4> 2, 1

4te groot

(

7

5

)2

=49

25< 2, 1

25te klein

(

17

12

)2

=289

144> 2, 1

144te groot

(

41

29

)2

=1681

841< 2, 1

841te klein etc

Lees [2, pag 95, 96]De waarde van

√2 wordt (overigens zeer snel!) benaderd als de twee uiteinden van een pincet.

Pythagoras van Samos was de eerste die de irrationaliteit ontdekte, hij was geschokt. “Alles isgetal” ging niet meer op. Daarbij vatte Pythagoras het begrip “getal” op als een geheel getalof hoogstens als een verhouding van twee gehele getallen. Zijn wereldbeeld was gebaseerd opdeze verhoudingen. Een getal (in zijn wiskunde: een lengte) dat niet geschreven kan worden alsde verhouding van twee getallen is onmogelijk!

In de ladder zitten nog op allerlei manieren Pythagoreısche drietallen:7

5=

3+ 4

5en 32 + 42 = 52

17

12=

8+ 9

12en 82 + 92 = 122 + 1

41

29=

20+ 21

29en 202 + 212 = 292

99

70=

49+ 50

70en 492 + 502 = 702 + 1

De eerste sport van de ladder mag ook zijn:1 2 of:2 1 of:2 0

5

Lees [1, pag 33]Je vindt bij deze andere ladders andere benaderingsbreuken voor

√2 maar ze zijn op zich goed.

De benadering is goed, niet dank zij de uitgangsgetallen, maar dankzij het proces. Het procesis sterker dan de uitgangspunten.

De Babyloniers hadden al:√2 ≈ 17

12en

√2 ≈ 1+ 24

60+ 51

602+ 10

603

2.4 Een recurrente formule

Je kan een benadering voor√2 in de vorm van een gewone breuk vinden met behulp van een

rekenvoorschrift.

Je moet uitgaan van een willekeurig getal, neem b.v. het getal 1 als uitgangs punt. Het getal1 is 1

1en dat is als benadering van

√2 nog niet zo goed. Nu vind je uit dit getal het volgende

door: “van dit getal de helft te nemen en het omgekeerde erbij op te tellen” dus:

nieuwe benadering =1

2× 1+

1

1

dat is nog niet zo bijzonder je vindt dan als nieuwe benadering 1 12of 3

2dat is wel beter maar

nog lang niet goed genoeg. Ga dus door met dit nieuwe getal:

nieuwe benadering =1

2× 3

2+

2

3=

17

12

Ga na dat dit al veel beter is. Voor√2 is de formule:

an+1 =1

2an +

1

an

Een goede oefening in het rekenen met breuken! DE opdracht kan zijn: Maak nog een beterebenadering voor

√2

Voor wortels uit andere getallen is de volgende formule geldig, voor√w:

an+1 =

(

w− 1

w

)

an +1

an

Het levert flink wat rekenwerk met breuken op, maar je komt ook wel snel tot een goed resultaat!

6

3 Wortels

Aan het begin van de periode zochten we de zijde van een vierkant met oppervlakte 16. Dezijde is 4. In wiskunde notatie schrijven we

√16 = 4

Het√–teken komt van de r in het latijn van “radix”

√100 = 10

√16 = 4

√25 = 5

Maar wat is nu√2? Dat is de zijde van een vierkant met oppervlakte 2. Het getal bestaat wel,

zoals hierboven is aangetoond. Maar je kunt nooit alle decimalen van dat getal opschrijven.Daar is geen einde aan.

Twee benaderingen zijn:√2 = 1, 4142 . . .

√2 =

239

169

Definitie van de wortel: √a = b⇔ b2 = a ∧ b > 0

In woorden:“De wortel uit een getal a is het positieve getal b dat in het kwadraat gelijk is aan a: b2 = a”

Hieruit volgt direkt de hoofdeigenschap van wortels:√a ·

√a = a

4 Archimedes v Syracuse

Hier is het op zijn plaats om iets van Archimedes te vertellen. Er is veel over hem te vinden.Naast zijn ontdekking van “de wet van Archimedes” zijn de belangrijkste punten:287–212 v Chr.Een van de grootste wiskundigen.Vader was astronoomMogelijk gerelateerd aan koning Hiero van SyracuseAls jongeman in Alandrie samengewerkt met Euclides.Maakt in Punische oorlogen katapulten en oorlogswerktuigen ook brandspiegels om vijandigegaleien in brand te steken met gebundeld zonlicht.Tijdens de val van Syracuse zat hij gebogen over zandbak met meetkundig probleem. Toen eenRomeinse soldaat binnenkwam riep hij alleen maar: ‘Verstoor mijn cirkels niet’, de Romeinsesoldaat was niet onder de indruk en vermoordde Archimedes.

7

Een belangrijk resultaat van zijn wiskundige werk is bv:Een parabool deelt het parallellogram waarin hij beschreven staat in stukken met verhouding1:2.Een ander resultaat vermeldt hij eigenlijk een beetje tussen neus en lippen:

265

153<

√3 <

1351

780

hij moet dus bekend geweest zijn met kettingbreuken zoals:

√3 =

1

3·

5+

1

5+ 1

10+ 1

5+110

...

Verder zijn de 13 halfregelmatige lichamen (De zijvalkken zijn regelmatige veelhoeken, bij elkhoekpunt komen steeds evenveel van dezelfde soort veelhoeken bij elkaar1)

5 Wortelspiraal

Een mooi moment om het periodeschrift op te luisterenmet de wortelspiraal. Begin met een rechthoekig gelijk-benige driehoek, met zijden van 2 cm. De eenheid is dan2 cm. Construeer met de geodriehoek steeds stukjes van1 eenheid loodrecht op de hypothenusa. Opeenvolgendestralen vanuit het centrum hebben lengtes van opeenvol-gende wortels. Enkele zijn geheel!

6 Bewijs dat√2 geen breuk is

Dit wordt een bewijs uit het ongerijmde. Daar was die oefening die hierboven genoemd werdvan belang.Ik vertel ook altijd hoe de lln die natuurlijk hun geo kwijt zijn kunnen bewijzen dat deze nietop hun kamer ligt. Als je hem niet kan vinden, dan kan je spullen verplaatsen. Alles op de gang

1. Niet te verwarren met de 13 halfregelmatige lichamen van Catalan. Alle zijvlakken zijn niet regelmatige

veelhoeken, alle hoekpunten zijn regelmatige piramide punten, niet per se alle gelijk.

8

gooien. Levendig beschrijven. . . Dan is de kamer leeg. Heb je dan nog geen geo gevonden?Scheur het behang van de muur, sloop de vloerbedekking eruit, uiteindelijk zit je op het kalebeton. Dan heb je uitputtend bewezen dat die geo niet op je kamer ligt. Wat nu als je kameroneindig groot is? Dat zouden ze wel willen. . . dan kan je eeuwig blijven zoeken. Dan moet jeeen andere methode zien te vinden om dat te bewijzen.

Dus bewijzen dat√2 geen breuk is is lastig omdat er oneindig veel breuken zijn. In de “kamer

van de breuken” kan je niet bewijzen dat iets er niet is omdat je het niet kan vinden. Het zoekenhoudt nooit op. We moeten iets anders verzinnen.

Eerst even een paar dingen over even en oneven getallen.

even× even = even

even× oneven = even

oneven× even = even

oneven× oneven = oneven

� In een volledig vereenvoudigde breuk zijn teller en noemer niet beide even: 2840

= 1420

= 710

� voor alle getallen a geldt 2a is even.

� voor alle viervouden b geldtb

2is even.

� voor alle even getallen c geldt c2 is een viervoud.� voor alle even kwadraten d2 geldt d is even.√2 is geen breuk

Vooronderstelling:√2 is een breuk, en kan dus geschreven worden als een zo ver mogelijk

vereenvoudigde breuk:√2 =

p

q

1. p en q zijn natuurlijke getallen, niet beide even, anders had de breuk verder vereenvoudigdkunnen worden.

2. Toepassen van de hoofdeigenschap:√2 ·

√2 = 2

p

q· pq= 2

p2

q2= 2

p2 = 2q2

3. Nu is duidelijk dat p2 even moet zijn. Dan moet p ook even zijn.

4. Als p even is dan is p2 een viervoud. Maar we hadden p2 = 2q2, dus 2q2 is ook een viervoud,maar dan moet q2 even zijn. En dan moet q even zijn!

conclusie: We concluderen dat zowel p als q even moeten zijn. De veronderstelling is dus nietjuist.

√2 kan niet geschreven worden als een breuk.

9

6.1 Tweede bewijs

Stel√2 is rationeel, dan kan je

√2 als een breuk schrijven, maar ook

√2− 1. Dus we stellen:

√2− 1 =

p

q

Als tussendoorberekening hebben we nodig dat:

(√2− 1)(

√2+ 1) = (

√2)2 − 1 = 2− 1 = 1

dus er geldt:1√2− 1

=√2+ 1

Maar√2+ 1 is bijna hetzelfde als

√2− 1 dat scheelt 2

1√2− 1

=√2− 1+ 2

Vervolgens vullen we voor√2− 1 weer p

qin:

q

p=

p

q+ 2

Links een breuk met noemer p en rechts een met noemer q. Dan kan het niet anders zijn ofp = q.Dat betekent vervolgens dat

√2 = p

q= 1. Zie hier onze tegenspraak.

√2 is dus geen rationeel

getal.

6.2 Bewijzen uit het ongerijmde

Een bolleboos riep laatst met zwiergewapend met een vel A-vijf:’Er is geen allergrootst getal,dat is wat ik bewijzen ga.Stel, dat ik u nu zou bedriegenen hier een potje stond te jokken,dan ik zou zonder overdrijvenhet grootste kunnen op gaan noemen.Maar ben ik klaar, roept u gemeen:”Vermeerder dat getal met twee!”En zien we zeker en gewisdat dit toch niet het grootste was.En gaan we zo nog door een poos,dan merkt u: dit is onbegrensd.

10

En daarmee heb ik q.e.d.Ik ben hier diep gelukkig door.Zo gaan’, zei hij voor hij bezwijmde,’bewijzen uit het ongedichte’.

Marjolein Kool

7 Irrationele getallen

Een getal als√2 of

√3 heet ‘irrationeel’. Dat betekent ‘er is geen verhouding, geen breuk te

geven’ Het is niet act te zeggen hoe groot het getal is. we weten wel iets:

� Het getal bestaat wel.� Een rekenmachine/computer geeft aan hoe groot het getal ongeveer is.� Je kan geen breuk vinden de precies gelijk is aan het getal.� De hoofdeigenschap geldt.� Het is een oneindige, niet repeterende, decimale breuk.

8 De verdubbeling van de kubus

Hier past het verhaal van de verdubbeling van het altaar van Apollo.

Atheners (430 v.Chr) zuchtten onder een pestepidemie, ze stuurden een afvaardiging naar hetorakel van Delos. Deze kwam met de cryptische tekst “Verdubbel het altaar van Apollo”

Nu was dat altaar een kubusvormig stuk marmer. De Atheners probeerden de epidemie tebestrijden door alle ribben ×2 zo groot te maken. Dat hielp natuurlijk niet want daarmee werdde kubus 8× zo groot.

De vraag was nu natuurlijk hoe groot moeten we de ribben maken om de inhoud ×2 zo grootte laten zijn. Dat komt neer op constructie van 3

√2 En voor de oude grieken was de enige

oplossing een meetkundige constructie. Ze konden het niet vinden!

Meetkundige oplossing construeren met passer en lineaal.Het zoeken naar 3

√2, nu nog steeds bekend als het Delisch probleem, leverde prachtige stukken

wiskunde op

Archytas van Tarentum gebruikte de doorsnijding van kegel, cilinder en torusMenaechmus ontdekte parabool, ellips en hyperboolNicomedes en Diocles construeerden voor dit doel speciale krommen: Conchoıde en Cissoıde.

In 1637 leverde Descartes het bewijs dat het onmogelijk was om deze lengte, 3√2, met passer

en lineaal te construeren.

11

9 De irrationele getallen als meetkundige lengte

▲▲▲▲▲▲▲▲▲

A

B

C

a

b

c

De eerste plaats waar we de irrationele getallen tegenkomen is in de meetkunde.In de wortelspiraal staan ze in principe allemaal, als je maar ver genoeg doorgaat.In allerlei varianten van rechthoekige driehoeken komen de irrationale getallenvoor. Het is voor de leerlingen vaak een leuke uitdaging, als ze eenmaal de smaakte pakken hebben, om snel een bepaalde lengte te construeren.

Een eerste opdracht kan zijn:

Construeer een driehoek met een hoek van 90◦ en met een zijde van√13.

Voor elke rechthoekige driehoek geldt de stelling van Pythagoras: a2 + b2 = c2

❏❏

❏❏

❏❏

❏

3

2

√13

In dit geval is c =√13 dus a2 + b2 = 13. Zoek voor a en b mooie getallen.

Je vindt bv.: a = 2 en b = 3 want 22 + 32 = 13. Construeer nu de driehoek.

nog een paar opdrachten:

Zoek mooie getallen a en b zodat a2 + b2 = 20

Construeer de driehoek die√20 als schuine zijde heeft.

Dezelfde vragen voor a2 + b2 = 10

❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩�

��

��

��

��❇

❇❇❇❇❇❇❇❇

❏❏

❏❏

❏❏

❏❏

❏

✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟

A 2 F 1 G B

E

3

D

MH

I C

Gegeven het vierkant ABCD AB = 6, AF = 2, FG = 1,HC = 3, DE = 3 en DI=2.Bereken: DM, IH, AH, MG, GH.

12

Dan zijn er een paar driehoeken die zo vaak voorkomen dat de bijbehorende lengtes uit hethoofd geleerd moeten worden. Er zijn twee belangrijke driehoeken waarvan de grootte van dehoeken niet geheel is, maar de zijden wel: Leer uit je hoofd:5–12–13 driehoek3–4–5 driehoek

Berekeningen in de gelijkzijdige driehoek en in de “geodriehoek” leveren de waarden van deandere twee belangrijke driehoeken:1–1–

√2 driehoek

1–2–√3 driehoek

Voor opgaven verwijs ik hier naar de opgaven die bij de vaklessen in klas 9 genoemd worden.

10 Opnieuw zoeken naar de grootte van een wortel

Hieronder worden een paar methoden beschreven die leiden naar een benadering van een niettrekbare wortel, zoals

√2. Natuurlijk gaat het er niet om dat de leerlingen dit ook echt kunnen

en gaan gebruiken. Niemand gebruikt deze methoden nog echt. Vroeger gebruikten we eenrekenliniaal of een tabel, tegenwoordig een rekenmachine. Het gaat er vooral om dat de leerlingenzich moeite getroosten. Dat de wil van de leerlingen aangesproken wordt om de berekening ookecht uit te voeren. Volhouden en nauwkeurigheid. Als dat dan tot op zekere hoogte geluktis kunnen de leerlingen ook genieten van de schoonheid van het rekenvoorschrift en van hetvernuft dat de oude rekenmeesters ons door deze voorschriften laten zien.

10.1 Babylonisch worteltrekken

Glockler [1, p. 78] beschrijft een methode om wortel te trekken die mogelijk reeds bij de oudeBabyloniers bekend zou zijn geweest. Het gaat weer met een tabel, uitgangspunt zijn weer tweegetallen, maar nu niet willekeurig, het product moet gelijk zijn aan het getal waaruit de wortelgetrokken moet worden. Desnoods, in het geval van een priemgetal, het getal 1. We bereke-nen steeds de halve som van die twee getallen (het rekenkundig gemiddelde) en de verhouding

13

hiervan tot het grootste getal. Glockler noemt dit “ritmisch rekenen”.Als voorbeeld nemen we

√3

Splits het getal op:√3 =

√1 · 3

3 en 1 zijn dus de begingetallen. Het schema is nu als volgt:

x 12(x + y) . . . ← s = halve som −→>

√N

y3

s. . . N/s −→<

√N

Voor√3 wordt dat:

3 2 74

9756

1 32

127

16897

Als we√6 als volgt opsplitsen

√6 =

√3 · 2 dan krijgen we:

3 52

4920

48011960

2 125

12049

11 7604801

Controle:

(

49

20

)2

=2401

400= 6, 0025 (6× 400 = 2400)

en:

(

120

49

)2

=14400

2401= 5, 9975 . . . (6× 2401 = 14 406)

nog verder:

(

4801

1960

)2

= 6, 000 000 26

en:

(

11760

4801

)2

= 5, 999 999 74

Je ziet dat de derde kolom een aardige en de vierde kolom een extreem goede benadering geeft.

Nog even een benadering voor√2 =

√2 · 1

2 32

1712

577408

1 43

2417

816577

(

577

408

)2

= 1, 414 215 6862 = 2, 000 006 . . .

(

816

577

)2

= 1, 414 211 4382 = 1, 999 994 . . .

14

10.2 Staart–worteltrekken

Weer een heel andere manier om decimale benaderingen van wortels te vinden is het staart-worteltrekken.Om een bepaalde wortel te kunnen bepalen is het noodzakelijk dat we eerst kunnen bepalenhoe groot de uitkomst ongeveer is. Zo ligt 90 tussen twee kwadraten 81 en 100,

√90 ligt dus

in tussen 9 en 10. Net zo ligt 230 in tussen 225 en 256, du√230 ligt in tussen 15 en 16.

Wat is nu de grootte van√40? Je zou kunnen denken dat de waarde iets te maken heeft met√

4 = 2. Dat is geenszins het geval want 40 ligt in tussen 36 en 49 zodat√40 in ligt tussen 6

en 7. Wel heeft√400 = 20 met

√4 = 2 te maken.

We concluderen dat een tra tweetal nullen het karakter van de wortel onveranderd laten:

√4 = 2√

400 = 20√40.000 = 200√

4.000.000 = 2000

Daarentegen geldt:

√40 ligt tussen 6 en 7√

4000 ligt tussen 60 en 70√400.000 ligt tussen 600 en 700√

40.000.000 ligt tussen 6000 en 7000

Iets dergelijks geldt als de decimale komma naar links gaat:√4 = 2√

0, 04 = 0, 2√0, 000.4 = 0, 02√

0, 000.004 = 0, 002

Daarentegen geldt:

√40 ligt tussen 6 en 7√0, 4 ligt tussen 0, 6 en 0, 7√

0, 004 ligt tussen 0, 06 en 0, 07√0, 000.04 ligt tussen 0, 006 en 0, 007

We zien dat het verplaatsen van de komma in het getal onder het wortelteken met stappen vantwee cijfers overeenkomt met een verplaatsing in de waarde van de wortel van telkens een cijfer:√10336225 = 3215√103362, 25 = 321, 5√1033, 6225 = 32, 15√10, 336225 = 3, 215

en

√82369 = 287√823, 69 = 28, 7√8, 2369 = 2, 87√

0, 082369 = 0, 287

Om nu de waarde van een wortel te berekenen kan je de volgende handelingen verrichten. Schateerst hoe groot de wortel moet zijn. Voorbeeld

√8836. De waarde ligt in tussen 90 en 100

want 902 = 8100 en 1002 = 10000.

√88 36 = ·

· × · = · ·

Groepeer de cijfers in tweetallen vanaf de deci-male komma. Zoek het getal waarvan het kwa-draat net iets kleiner is als het eerste groepjevan links. Dat is 9 vul drie keer het gevondencijfer en een keer het kwadraat in.

15

√88 36 = 9

9× 9 = 81−

7 36

Trek af net als bij een gewone staartdeling en“haal” een groepje van twee cijfers “aan”.

√88 36 = 94

9× 9 = 81−

7 36

18 · ×· = · ··

Nu vorm je met het dubbele (18) van de voor-lopige uitkomst (9) het sommetje 18 · ×·, en jezoek naar het grootste cijfer zodat de uitkomstnet kleiner of gelijk aan (hier) 736 is. Dat is 4.vul dat cijfer drie keer in.

√88 36 = 94

9× 9 = 81−

7 36

184× 4 = 7 36−

0

Reken uit en bemerk dat je hier nu al klaar bentomdat je op 0 uitkomt en dat de wortel dus eengeheel getal is.

Hieronder volgt de berekening in voltooide staat van√33124

√3 31 24 = 182

1× 1 = 1−

2 31

28× 8 = 2 24−

7 24

362× 2 = 7 24−

0

opdrachten:Bereken:

√967, 21;

√174, 24;

√1296;

√324;

√655, 36;

√156, 25;

√1232, 01;

√0, 2025

Als de gaat om een getal dat geen kwadraat is dan kunnen we tra decimalen vinden door steedstwee tra nullen 00 aan te halen.

Voorbeeld voor√2

16

√2, 00 00 00 = 1, 414 . . .

1× 1 = 1−

1 00

24× 4 = 96−

4 00

281× 1 = 2 81−

1 19 00

2824× 4 = 1 12 96−

604. . .

Bereken in twee decimalen nauwkeurig.√14;

√23;

√58;

√125

10.3 Wortels als kettingbreuken

Nog een keer een methode om een benadering voor een wortelvorm te krijgen. Ook een methodedie bij het ritmisch rekenen zou kunnen horen. Het idee is:

√10 is groter dan

√9, dat is 3 en

dus is√10 iets groter dan 3: 10 = 32 + 1.

Je kan elk getal N opsplitsen als een som van een kwadraat en nog een klein getal, een kleinbeetje, zodat:

√N =

√a2 + b. Maar dan komt er

√N =

√

a2 + b = a+ c

a2 + b = (a+ c)2

��a2 + b = ��a

2 + 2ac+ c2

b = 2ac+ c2

b = c(2a+ c)

c =b

2a+ c

En nu kan je c herhaald voor zichzelf invullen je krijgt:

√N = a+

b

2a+ b

2a+ b

2a+b

2a+b

2a+b

...

Zo’n uitdrukking wordt een ‘oneindige repeterende kettingbreuk’ genoemd. Hieronder volgenenige kettingbreuken:√2 =

√11 + 1 zodat a = 1 en b = 1

17

√2 = 1+

1

2+ 1

2+ 1

2+1

2+1

2+1

...

√5 =

√21 + 1 zodat a = 2 en b = 1

√5 = 2+

1

4+ 1

4+ 1

4+1

4+1

4+1

...

√7 =

√21 + 3 zodat a = 2 en b = 3

√7 = 2+

3

4+ 3

4+ 3

4+3

4+3

4+3

...

10.3.1 Terugrekenen met breuken

We vinden een benadering door de kettingbreuk gewoon ergens af te breken, hoe langer destaart hoe beter de benadering. (De laatst getoonde decimaal is onjuist)

√5 ≈ 2+

1

4=

9

4= 2, 25

√5 ≈ 2+

1

4+ 14

=38

17= 2, 235

√5 ≈ 2+

1

4+ 1

4+ 1

4

=161

72= 2, 236 1

√5 ≈ 2+

1

4+ 1

4+ 1

4+14

=682

305= 2, 236 065

√5 ≈ 2+

1

4+ 1

4+ 1

4+1

4+1

4

=2889

1292= 2, 236 068

18

Het terugrekenen naar een benaderende breuk is lastig. Je vergist je gauw. Je hebt ook hierweer doorzettingsvermogen en nauwkeurigheid hard nodig.Het gaat iets makkelijker met behulp van een rekenschema.

10.3.2 Terugrekenen met het kettingschema

Uit de gevonden getallen bereken je de volgende, net als in de ladder van Pythagoras.Met een opsplitsing

√N =

√a2 + b krijg je in het algemeen:

b a . . . y . . . . . . . . . aq+ bp . . .

a b . . . x ax+ by . . . p q . . .

Een voorbeeld met√5 is misschien duidelijker:

√5 =

√

22 + 1

Dus a = 2 en b = 1

1 2 (2× 4+ 1× 1 =)9 (2× 17+ 1× 4 =)38 161 682 2889

2 1 (2× 1+ 1× 2 =)4 (2× 4+ 1× 9 =)17 72 305 1292

Dan: √5 ≈ 2889

1292≈ 2.236 068 1

En:(

2889

1292

)2

=834 632 1

166 926 4≈ 5, 000 000 6

Deze benadering is best goed. Hoe goed deze is kan je zien door te berekenen hoe groot deteller zou moeten zijn om precies op 5 uit te komen:

5× 166 926 4 = 834 632 0

11 Rekenen met wortels

In de volgende paragrafen komen we tot het werken met de nieuwe getallen. Didactisch gespro-ken is het natuurlijk niet zo dat we eerst eindeloos bezig zijn met benaderingen voor

√2 e.d.

te vinden en daarna pas overgaan tot het werken met de wortels. De praktijk van het rekenenmet wortels kan je het beste afwisselen met het zoeken naar de benaderingen. Van tijd tot tijdeen fraaie tekening werkt ook heel goed. Ik gebruikte altijd meerder manieren om kegelsnedente construeren.

19

11.1 Wortels optellen & aftrekken

Van alle regels die we leren kan je laten zien dat ze geldig zijn. Meestal gebruiken we dehoofdeigenschap van de wortels:

√a×

√a = a en

3√b× 3

√b× 3

√b = b etc.

Om aan te tonen dat een bepaald bewering niet waar is hebben we alleen maar een tegenvoor-beeld nodig.

√a+

√b 6=

√a+ b

Want:√9+

√4 = 3+ 2 = 5 6=

√13!

Ook moet duidelijk worden dat

√16+

4√16 6= 6

√16

of zoiets;√16+

4√16 = 4+ 2 = 6 6= 6

√16

Voor 3√7+

3√7+

3√7+

3√7+

3√7 schrijven we 5

3√7 en we bedoelen 5 · 3

√7.

Dat betekent dat we alleen gelijksoortge wortels mogen optellen en aftrekken.:

5√7+ 3

√7 = 8

√7

23√9− 3

3√9+ 5

3√9 = 4

3√9

11.2 Wortels vermenigvuldigen & delen

Je ziet direct dat√4 ·

√9 =

√36 want 2 · 3 = 6. Voor hogere machtswortels geldt hetzelfde:

3√27 · 3

√8 =

3√216 want 3 · 2 = 6 en 63 = 216.

Een wat formeler bewijs is als volgt: Stel√a = p en

√b = q

Dan zegt de hoofdeigenschap: a = p2 en b = q2.Vanuit het rekenen met machten weten we dat (p · q)2 = pq · pq = p · p · q · q = p2 · q2

Netjes invullen geeft:(√

a ·√b)2

= ab

en dus:√a√b =

√ab

We mogen dus gelijknamige wortels vermenigvuldigen en delen:

n√a · n

√b =

n√ab en

n√a

n√b= n

√

a

b

net als: 3a · 5b = 15ab geldt: 3√2 · 5

√3 = 15

√6

13a4 · 6b4 = 2a4b4 1

3

4√17 · 6 4

√2 = 2

4√34

30a

15b=

2a

b

√32√2

=

√

32

2=

√16 = 4

20

12 Machtsverheffen en worteltrekken I-4

We ontmoeten het worteltrekken als een volledig omgekeerde bewerking van het machtverhef-fen. Voorlopig alleen binnen de positieve getallen geldt:

Definitie van machtsverheffen als herhaald vermenigvuldigen:

a · a · a . . . · a︸ ︷︷ ︸n factoren

= an

Hierin zijn: an = b a = het grondtaln = de ponentb = de ‘n-de macht van a

Definitie van worteltrekken:n√b = a⇔ an = b

Hierin zijn: n√b = a n = de wortelponent

a = de ‘n-de machtswortel van bAlgemene hoofdeigenschap

n√b · n

√b · n

√b . . . · n

√b

︸ ︷︷ ︸n factoren

=(

n√b)n

= b

Met 2 7√23 bedoelen we 2× 7

√23

Gelijknamige wortels: Wortels met dezelfde wortelponent zijn gelijknamig:2√3 en 7

√17

43√12 en 5

3√17

p123√3ab en q 123

√2pq

Gelijksoortige wortels: Wortels uit dezelfde getallen met dezelfde wortelponent zijn gelijk-soortig:2√3 en 5

√3

−3√12 en 4

3√12

16123√3ab en −16

123√3ab

Notatie: Heel belangrijk is de aanwijzing voor negendeklassers om de notatie nauwkeurig tedoen. Maak het

√–teken groot genoeg:

√1+ 7× 3+ 8

√

1+ 13

1− 13

123√a

Afspraak:

� met√a bedoelen we 2

√a

� we zeggen:– “de tweede machtswortel uit a”– “de vierkantswortel uit a”– “wortel a”

21

13 Wortels en negatieve getallen

Als we gaan worteltrekken dan hebben we met name te letten op wat er met negatieve getallenmoet gebeuren. Eerst nog even herhalen hoe het zit met machten en negatieve getallen.Bekijk de volgende machten:

22 = 4 43 = 64 24 = 32 105 = 100.000

32 = 9 23 = 8 34 = 81 25 = 64

(−5)2 = 25 (−3)3 = −27 (−2)4 = 16 (−1)5 = −1

−12 = 1 (−1)3 = −1 (−3)4 = 81 (−3)5 = −243

Naar aanleiding van deze tabel komen we op een paar vragen.

Vragen:

� Waar komen negatieve machten voor? (oneven ponenten)

� Wanneer zijn die machten negatief? (negatieve grondtallen)

Dat is iets om te onthouden. Maar tegelijkertijd zien we een probleem.

Probleem:

24 = 32 maar ook: (−2)4 = 32

Dus: 4√32 zou 2 of −2 kunnen zijn. Net zo:

√16 zou 4 of −4 kunnen zijn.

Dan komen we aan twee inzichten.

We begrijpen:

“De even–machtswortel uit een negatief getal betaat niet.”

We spreken af:

“De even–machtswortel uit een positief getal is positief.”

22

13.1 Samenvatting van de rekenregels

De rekenregels voor wortelvormen.

Algemene regels Getal–voorbeelden

n√a · n

√b =

n√ab

√4 ·

√9 =

√36 want 2 · 3 = 6

n√a

n√b= n

√

a

b

√900√100

=√9 want 30

10= 3

(

n√a)k

=n√ak = a

k

n

(√4)6

=√46 = 43

n

√

k√a = n×k

√a =

k

√

n√a

3√√

4096 =6√4096 = 4

13.2 Wortels vereenvoudigen

Alle uitdrukkingen met wortels moeten altijd vereenvoudigd worden. Er zijn drie regels:

� Het getal onder het wortelteken moet je zo klein mogelijk maken� je mag geen breuken in de wortelvorm laten staan� er mogen geen wortelvormen in de noemer van een breuk voorkomen.

De eerste regel kan je uitvoeren door te kijken of het getal onder het wortelteken deelbaar isdoor een kwadraat. Zo ja, splits dan het getal onder het wortelteken op en trek de wortel uithet kwadraat.√98 =

√49

√2 = 7

√2√

48 =√16

√3 = 4

√3

maar:√30 blijft zo staan.

VB:√50 =

√25 · 2 =

√25 ·

√2 = 5

√2

Wortelvormen als√a3b2c of

3√a10b5 kan je ook vereenvoudigen:

√a3b2c =

√a2b2

√ac = ab

√ac

3√a10b5 =

3√a9b3 3

√ab2 = a3b

3√ab2

3√a4b5 = ab

3√ab2

23

5√a4b6 · 5

√a2b4 =

5√a6b10 = ab2 5

√a

De tweede regel is dat we (in een eindantwoord) geen breuken in de wortels laten staan.√

3

4=

√3√4= 1

2

√3 en

√

25

7=

5√7

De derde regel is dat je in de noemer van een breuk geen wortel laat staan. Die kan je wegkrijgendoor de teller en noemer van de breuk met hetzelfde getal te vermenigvuldigen. De breukverandert dan niet van waarde, maar de wortel verdwijnt wel uit de noemer:√

25

7=

5√7=

5√7·√7√7=

5√7

7=

5

7

√7

Het volgende voorbeeld komt zo vaak voor dat je dat maar uit je hoofd moet leren. Dan hoefje niet zo vaak al die tussenstappen te doen.√

1

2=

1√2=

1 ·√2√

2 ·√2=

√2

2=

1

2

√2

Dus uit je hoofd:√

12= 1

2

√2 enzovoort:

√

126

= 126

√26

Soms loont het om eerst de wortel in de noemer te vereenvoudigen:√

5

12=

√5√12

=

√5

2√3=

√5 ·

√3

2√3 ·

√3=

√15

2 · 3 =1

6

√15

√

2

3=

√2√3=

√2√3·√3√3=

√6

3=

1

3

√6

4√5=

4√5·√5√5=

4√5

5=

4

5

√5

Ook met letters moet je dat kunnen:√a3b2

√ab

=

√

a3b2

ab=

√a2b = a

√b

3√a4b5

3√a3b

=3√ab4 = b

3√ab

√a2b2

√ab3

=

√

a

b=

√a√b=

√a√b·√b√b=

√ab

b= 1

b

√ab

In sommige gevallen is het zelfs mogelijk om twee wortels tegelijk uit de noemer weg te werken.Daarvoor maken we gebruik van het merkwaardige product: (a+b)(a−b) = a2−b2. Dat kunnen

we toepassen op een vorm als6√

5+√3. Als we de noemer van deze vorm vermenigvuldigen

met√5−

√3 (Let op de min!) Dan krijgen we:

(√5+

√3) · (

√5−

√3) = (

√5)2 − (

√3)2 = 5− 3 = 2

24

6√5+

√2=

6(√5−

√2)

(√5+

√2)(

√5−

√2)

=6(√5−

√2)

5− 2= 2

√5− 2

√2

25

14 Proefwerken & so’s

Periode proefwerk Klas 9

1 Herleid en vereenvoudig:

a.

√

16

25d.

√

111

25b. 2

√7+ 6 · (3

√7+

√5 e.

√6400

c. 6√60 f. 2

√6 · 3

√12

2 Herleid en vereenvoudig:

a. 3 · (2√6− 3

√5) − 2

√5 d.

3√7√6

b. 2

√

6

7+ 2

√7 e. 2

√3 · 5

√10− 3

√15 · 2

√2

c.10√10

f.2√14

3√7

3 Bereken√39, 69 met een ”staartworteltrekking”.

4 Schrijf√7 als een kettingbreuk.

5 Bereken de grootte van de kettingbreuk

Van welke wortel is dit een benadering? 2+6

4+ 6

4+ 6

4

6 Vereenvoudig:

1√7+ 2

√28− 5

√

4

7= . . .

7 Herleid zover als mogelijk:a. 3

√7+ 2

√5− 2

√7 b. 5

√4+ 5− 10 c.

3√125+

√100

8 Herleid zover als mogelijk:a. 3

√7+ 2

√5− 2

√7 b. 4

3√5− 2

√5+ 6

3√5 c.

√18+

√8

9 Herleid zover als mogelijk:

a.4√a3b2 · 4

√a6b2 b. 3

√ab · 3

√a3b2 c.

63√a2b5

23√ab2

10 Herleid zover als mogelijk:

26

a. 65√a4b4c3 · 5 5

√a6b7c2 b.

√

3√a10b2 c.

(

84√a2b3

4 4√a

)2

11 Vereenvoudig:a.

√120 b.

3√375 c.

6√5.000.000

12 Vereenvoudig:a.

√1800 b.

4√162 c.

5√1.200.000

Referenties

[1] G. Glockler. Rekursives Rechnen. Philosophisch–Anthroposophischer Verlag am Goethea-num, Dornach/Schweiz, 1994.

[2] James R. Newman. The world of mathematics. Tempus books, 1988.[3] David Wells. Woordenboek van eigenaardige en merkwaardige getallen. Bert Bakker, Am-

sterdam, 1987.

(Bestandsnaam: ptxt_irr.t)

27