Algebr˘ Liniar˘. a A

8/14/2019 Algebr˘ Liniar˘. a A

http://slidepdf.com/reader/full/algebr-liniar-a-a 1/141

Algebra liniara.

Note de curs

Ioan Radu Peter (Cluj-Napoca)

17 decembrie 2007

Algebra liniara



Cluj Napoca, 2007-2008 Radu

Produs cartezian. Relatii.

I $ r , A multimi, ϕ : I Ñ A se numeste multime indexata de elemente din A.

Notam ϕ p ai q i

I p ai q , cu ai ϕ p i q . Pt. I t 1, . . . , n - finita, notam

p ai q i

I p a1, . . . , an q , n-uplu.

Familie de multimi: elementele lui A sunt multimi (sau submultimi ale unei multimiT ) obctinem notiunea de familie de multimi (resp. familie se submultimi ale lui T ).

Fie p Ai q i

I o familie de multimi,

i

I

Ai t x | h i I, x Ai

£

i I

Ai t x | d i I, x Ai

Algebra l iniara 1




se numesc reuniunea, resp. intersect ¸ia familiei p Ai q i

I .

¡

i

I

Ai t ϕ : I Ñ

i

I

Ai | ϕ p i q Ai, d i I ,

se memeste produs cartezian al familiei p Ai q i

I .

Daca Ai A, d i I , produsul cartezian este AI t ϕ : I Ñ A . Pentru

I t

1, . . . , n

(finita), notam¡

i

I

Ai A1 ¢ A2 ¢ ¤ ¤ ¤ ¢ An t p a1, . . . , an q | ai Ai, i 1, n

Pentru i I , funtia pi :

j

I

Aj Ñ Ai, definita de pi p ϕq ϕp i q Ai, cu ϕ

j

I

Aj

( pi p p xj q j

I q xi), se numeste proiectia canonica produsului cartezian pe multimea Ai

(proiectia pe factorul i).

Axioma alegerii. Daca p Ai q i

I este o familie nevida de multimi nevide, atunci

Algebra l iniara 2




i

I

Ai $ r .

Echivalent cu axioma alegerii este: Daca S este o colectie nevida de mult imi nevide

disjuncte doua cate doua, atunci exista o multime A, numita reuniune selectiva, a.ı. A X

este formata dintr-un singur element, d X S.

Relatii binare. M multime. O submultime a produsului M ¢ M se numeste relat ie

binara pe M .

Fie ρ M ¢ M si x, y M . Daca p x, y q ρ, x si y sunt in relatia ρ, notam xρy.

Relatia binara ρ este:

reflexiva daca xρx, d x M .

simetrica daca pentru x, y M : xρy ñ yρx.

antisimetrica daca pentru x, y M : xρysi yρx ñ x y.

tranzitiva daca pentru x , y , z M a.ı. xρy s yρz ñ xρz.

Relatii de:

Algebra liniara 3




cuasiordine sau preordine : reflexive si tranzitive

ordine (ordine part iala) : reflexive, antisimetrice si tranzitive. echivalent a: reflexive, simetrice si tranzitive.

O rel. de ordine este si de preordine.

Relatii de echivalenta. Fie M multime nevida si ρ o relatie de echivalenta pe M .

Fie x M . Definim

x t y M | xρy ,

clasa de echivalenta a lui x. Notam cu x, classp x q , x s clasa de echivalenta a unui

element.

Teorema 1. Fie M $ r si ρ o relat ¸ie de echivalent a pe A. Clasele de echivalent ¸a

determinate pe M de ρ au proprietat ile:

1. x x for all x M .

2. x y ô xρy.

3. pentru x si y doua clase de echivalent a, atunci x y sau x y r .

Algebra liniara 4




4.

x

M x A.

Dem. (sketch) 1. evident x x, deoarece xρx.

2. Daca x y avem x x si deci xρy. Reciproc, fie a x, deci aρx, cum xρy din

tranzitivitate avem aρy, adica a y. Deci x y. Analog y x, in consecinta x y

4. Pres. ca x y $ r . Fie a x y. Rezulta ca aρx si aρy. Din simetrie rezulta

ca xρY si conform 2 x y.

3 Din 1.

Partitii. Fie M o multime si M i, i I o familie de submultimi ale lui M . Familia

M i, i I se numeste partit ie a lui M daca:

M i M j r pentru i $ j.

i

I M i M .

Teorema anterioara arata o relatie de echivalenta pe o multime determina o partit ie a

ei, elementele partitiei fiind clasele de echivalenta.

Algebra l iniara 5




I Elemente de algebra liniara

1. Spatii vectoriale. Proprietati de baza.

Algebra l iniara 7




Definitia unui spatiu vectorial. Proprietati de baza

Definitia 3. Spat iu vectorial V peste un corp F (sau F spat iu vectorial) este o mult ime

V cu o opert ¸ie (lege de compozit ie interna) a.ı p V, q este grup si o operat ie externa

¤ : F ¢ V Ñ V, p α, v q Ñ α ¤ v αv, (ınmult irea cu scalari), care satisface proprietat ile:

1. αp

v

wq

αv

αw,d

α

F,d

v, w

F2. p α β q v αv βv, d α, β F, d v V

3. α p βv q p αβ q v

4. 1 ¤ v v, d v V

Elementele lui V - vectori, elementele lui F scalari. Inmultirea cu scalari depinde de F.

Observatie. Reguli simple de calcul ıntr-un spatiu vectorial V peste F :

α ¤ 0V 0

Algebra liniara 8




0F ¤ v 0V

α¤

v

0V ñ

α

0F or v

0V . p ¡ aq v ap ¡ v q ¡ av.

Exemple.

V Cn are o structura de R spatiu vectorial, dar si de C spatiu vectorial.

V F X s este un F spatiu vectorial. M m,n p Fq este un F spatiu vectorial.

C 0r a,b

s

este R spatiu vectorial.

Algebra l iniara 9




Subspatii ale unui spatiu vectorial.

Este natural sa studiem submult imi ale unui spatiu vectorial crae sunt inchise fata de

operatiile definite pe spatiu.

Definitia 4. Fie V un spat ¸iu vectorial peste F. O submult ¸ime U V se numeste

subspat ¸iu a lui V (peste F) daca este stabila in raport cu operat iile induse ( adicav u U, d v, u U, si αv U d α F, v U ) si ele verifica axiomele spat iului

vectorial.

Caracterizari ale subspatiilor vectoriale:

Propositia 5. Fie V be a F un spat iu vectorial si U V o submult ime nevida. U este

subspat ¸iu vectorial al lui V peste F daca si numai daca:

v ¡ u U, d v, u U

αv U, d α F, d v U

Algebra l iniara 10




Propositia 6. Fie V un F spat iu vectorial si U V o submult ime nevida a sa. U este

subspat ¸iu vectorial al lui V peste F daca si numai daca αv βu U, d α, β F, d v, u

V .

Urmatoarele propozitii arata cum putem opera cu subspatii vectoriale si cum putem

obtine subspatii pornind de la multimi arbitrare.

Propositia 7. Fie V spat iu vectorial si U, W V subspat ii vectoriale. Mult ¸imile

U W si U W t u w | u U, w W sunt subspat ii vectoriale.

Dem.

Sfarsit Dem.

U W se numeste intersectia subspatiilor, iar U W suma. Bineınteles ca propozit ia

ramıne adevarata pentru un nr. finit de subspatii.

Propositia 8. Fie V un spat ¸iu vectorial peste F si S V nevida. Mult imea x S y

t

°

αivi, finite sum, with αi F and vi S este subspat iu vectorial peste F a lui V .

Algebra l iniara 11




Dem. Sfarsit Dem.

Spatiul vectorial definit in Prop. 8 se numeste spatiul vectorial generat de S, sauinfasuratoarea liniara a multimii S. Este cel mai mic subspatiu cer contine multimea S, ın

sensul ca, d U subspatiu al lui V cu S U rezulta ca x S y U .

O rafinare a notiunii de suma a doua subspatii este cea de suma directa.

Definitia 9. Fie V un spat ¸iu vectorial si U i V subspat ¸ii, i 1, n. Subspat ¸iul

U 1 ¤ ¤ ¤ U n se numeste suma directa daca pentru orice v U 1 ¤ ¤ ¤ U n, din v

u1 ¤ ¤ ¤ un w1 ¤ ¤ ¤ wn cu ui, wi U i, i 1, n rezula ui wi, pentru i 1, n.

Suma directa subspatiilor U i, i 1, n o vom nota cu U 1 ¤ ¤ ¤ U n. Urmatoarea

propozitie caracterizeaza suma directa de doua subspatii:

Proposit ia 10. Fie V un spat iu vectorial si U, W V subspat ii. Suma U W este

directa daca si numai daca U W t ∅ .

Fie V un spatiu vectorial peste F si U V un subspatiu . Pe V definim relatia

binara RU : fie u, v V , uRU v iff u ¡ v U .

Algebra l iniara 12




Lemma 11. Relat ¸ia RU este o relat ie de echivalent a.

Teorema 12. Pe mult imea factor V { U exista o structura naturala de spat iu vectorial

peste F.

Dem.

Sfarsit Dem.

Spatiul vectorial din propozitia precendenta se numeste spatiu vectorial cat.

Algebra l iniara 13




Baza. Dimensiune.

In prima parte am introdus anumite prorietati globale ale spatiilor vectoriale. In speta

am vorbit despre spatii vectoriale, subspatii, sume directe, spatii factor.

Propozitia 8 ridica ın mod natural o serie de intrebari legate de structura unui s.v. V .

Exista o multime S V care genereaza V (adica x S y V )?

Daca da, cat de ”mare” trebuie sa fie? Cat de mare trebuie sa fie o astfel de multime

”minimala”?

Daca exista astfel de multimi, doua astfel de multimi pot fi comparate?

Exista o multime finita care genereaza pe V ?

Vom incerca sa dam raspunsuri la aceste intrebari in cele ce urmeaza.

De ce sunt importante raspunsuri la aceste intrebari? Cel putin un motiv este destul de

simplu. Daca putem controla (descrie) un sistem minimal de generatori (care ne asteptam

Algebra l iniara 14




sa fie si liniar independent), putem descrie unic orice vector din spatiul vectorial, adica

putem controla structura ıntregului spatiu.

Definitia 13. Fie V un F spat iu vectorial. O submult ime nevida S V se numeste

sistem de generatori pentru V daca pentru orice v V exista o submult ime finita

t v1, . . . , vn V si scalarii α1, . . . , αn F a.ı. v α1v1 ¤ ¤ ¤ αnvn (sau altfel

spus v este combinat ie liniara a vectorilor v1, . . . , vn cu scalari ın F). V se numeste finit

dimensional daca admite un sistem finit de generatori.

O submult ¸ime L V se numeste sistem de vectori liniar independent ¸i daca pentru

orice submult ime finita t v1, . . . , vn L, din α1v1 . . . αnvn 0 rezulta ai 0 for

i 1, n.

O submult ime a lui V care nu este liniar independenta se numeste liniar dependenta.

O submult ime B V se numeste baza a lui V daca este sistem de generatori si liniar

independent. ˆ In acest caz orice vector v V se scrie ın mod unic ca si combinat ie liniara

de vectori din baza B.

Teorema 14. (Existent ¸a bazei) Fie V un spat iu vectorial. V are o baza.

Algebra liniara 15




Nu prezentam demonstratia acestei teoreme. In continuare ne limitam la cazul finit

dimensional.

Teorema 15. Fie V $ t 0 un spat iu vectorial finit dimensional peste F. Din orice sistem

de generatori finit, putem extrage o baza.

Dem. Fie S t v1, . . . , vr un sistem finit de generatori. In V exista vectori nenuli

(altfel V 0). Fie 0 $ v1 S. Multimea t v1 este liniar independenta (deoarece

αv1

0ñ

α

0 din v1$

0). Aceasta inseamna ca S contine submultimi liniarindpenedente. Consideram P p S q (multimea partilor lui S), care este finita (S fiind finita).

Intr-un numar finit de pas putem extrage un sistem maximal de vectori liniar independenti,

fie acesta B. Presupunem ca B t v1, . . . , vn , 1 n r.

Demonstram ca B este o baza a lui V . Este suficient sa aratam ca B genereaza V ,

deoarece B este liniar independenta din alegerea ei.Fie v V . Deoarece S este sistem de

generatori rezulta ca este suficient sa aratam ca orice vk S, n k r este combinatieliniara de vectori din B. Presupunem ca vk nu este combinatie liniara de vectori din B.

Rezulta ca multimea B t vk este liniar independenta, contradict ie cu maximalitatea lui

B. Sfarsit Dem.

Algebra liniara 16




Corolar 16. Fie V be a F un spat iu vectorial si S un sistem de generatori a lui V . Orice

mult ime liniar independenta L S poate fi completata la o baza ın V .

Dem. Fie L S o multime liniar indpendenta ın S. Daca L este maximala, conform

Teoremei anterioa rerezulta ca L este baza. Daca L nu este maximala, exista o multime

liniar independenta L1 cu L L1 S. Daca L1 este maximala rezulta ca L1 este baza.

Daca nu este maximala repetam pasul anterior. Deoarece S este finita, dupa un numar

finit de pasi obtinem un sistem de vectori liniar independenti B care este si maximal,

L

B S, deci o baza ı V cu proprietat ile cerute, conform Teoremei anterioare. Sfarsit

Dem.

Teorema 17. Fie V un F spat ¸iu vectorial peste F finit generat. Orice sistem de vectori

liniar independent L poate fi completat la o baza ın V .

Dem. Fie S un sistem finit de generatori. Reuniunea L S este sistem finit de

generatori si L L S. Aplicam corolarul anterior si obtinem ca L poate fi completat

la o baza lui V . Sfarsit Dem.

Teorema 18. (Cardinalul bazei). Fie V un F spat iu vectorial finit generat. Orice baza

Algebra l iniara 17




ın V este finita si are acelasi numar de elemente.

Dem.Fie B t e1, . . . . en o baza a lui V , si fie BI

t e I

1, . . . , eI

m un sistem de

vectori cu m n. Demonstram ca BI nu poate fi o baza ın V .

Sfarsit Dem.

Definitia 19. Fie V $ t 0 un F spat iu vectorial finit generat. Numarul elementelor

dintr-o baza s.v. V se numeste dimensiunea s.v. V (nu depinde de alegerea bazei), si se noteaza dimFV ). Spat ¸iul vectorial V se numeste de dimensiune finita daca dimFV V .

Pentru V t 0 , dim FV 0.

Corolar 20. Fie V un spat iu vectorial peste F de dimensiune finita, dim FV n.

1. Orice sistem liniar independent de n vectori formeaza o baza. Orice sistem de mvectori, m n este liniar dependent.

2. Orice sistem de generatori ai lui V format din n vectori este o baza. Orice sistem liniar

independent de m vectori, m n nu este sistem de generatori.

Algebra l iniara 18




Dem. a) Fie L t v1, . . . , vn un sistem linear independent de n vectori. Din

teorema de completare (Teorema 17) rezulta ca L poate fi completat la o baza a lui V .

Din cardnalul bazei, rezulta ca nu avem de adaugat nici un vector la L, deci L este baza.

Fie LI un sistem de m vectori, m n. Daca LI este linear independent, rezulta ca

L I poate fi completat la o baza (Theorem 17), deci dim FV m n, contradictie.

b) Fie S t v1, . . . , vn un sistem de generatori format din n vectors. Cf. Teoremei

15 din cei n vectori se poate extrage o baza. Din nou din teorema bazei 3 rezulta ca nu enevoie sa extragem nici un vector, deci S este o baza.

Fie S I un sistem de generatori care consta din m vectori, m n. Din Teorema 15

rezulta ca din S I se poate extrage o baza, deci dim FV m n, contradictie. Sfarsit

Dem.

Observatie Dimensiunea unui spatiu vectorial finit dimensional este egala cu unul dinurmatoarele:

Numarul vectorilor dintr-o baza

Algebra l iniara 19




Numarul unui sistem minimal de generatori.

Numaarul maxim de vectori liniar independent.

Algebra l iniara 20




Calcul local.Schimbari de baza.

In aceasta sectiune vom preciza proprietati de calcul ın spatii vectoriale finit dimen-

sionale.

Fie V un F spatiu vectorial finit dimensional, cu o baza B t e1, . . . , en . Orice

vector v V se reprezinta unic

v

n

i 1

aiei a1e1 ¤ ¤ ¤ anen.

Scalarii p a1, . . . , an q se numesc coordonatele vectoruluiv ın baza B. Este clar ca

daca avem o alta baza BI

, coordonatele aceluiasi vector ın baza noua se schimba. Cum

putem masura aceasta schimbare? Porinim cu o situatie putin diferita.

Teorema 21. Fie V s.v. finit dim. peste F cu o baza B t e1, . . . , en . Consider˘ am

vectorii S t eI

1, . . . , eI

m V :

Algebra liniara 21




eI

1 a11e1 ¤ ¤ ¤ a1nen

. . .

eI

m am1e1 ¤ ¤ ¤ amnen

Notam A p aij q

i

1,mj 1,n

Dimensiune subspat iului x S y este egala cu rangul matricii A,

i.e. dimx S y rankA.

Algebra liniara 22




Consideram acum cazul m n. Multimea S t eI

1, . . . , eI

n este o baza d.s.n.d.

rankA n Avem

eI

1 a11e1 ¤ ¤ ¤ a1nen

eI

2 a21e1 ¤ ¤ ¤ a2nen

. . .

eI

n an1e1 ¤ ¤ ¤ annen,

reprezinta scimbarea de baza de la b la noua baza BI

S. Matricea At este notata cu

P p

e,eI

q

¤

¦

¦

¦

¥

a11 a21 . . . an1

a12 a22 . . . an2

. . . . . . . . . . . .

a1n a2n . . . ann

Algebra liniara 23




(are pe coloane componentele noii baze eI

ın vechea baza e).

Observatii.

Matricial putem scrie:

¤

¦

¦

¦

¦

¥

eI

1

e

I

2

. . .

eI

n

A

¤

¦

¦

¦

¥

e1

e2. . .

en

or p eI

q 1,n p P p

e,e

I

q

q

tp eq 1,n

Consideram schimbarile de baze de la B la BI

cu matricea P p e,e

I

q si de la BI

la BP

cu

matriceaP p

eI

,eP

q

. Ne putem gandi la ”compunerea” acestors schimbari, i.e. schimbareade baze de la B la B

P

cu matricea P p e,e

P

q . Este usor de vazut ca avem

P p

e,eI

q

P p

eI

,eP

q

P p

e,eP

q

Algebra liniara 24




In discutia anterioara consideram BP

B si obtinem

P p

e,eI

q

P p

eI

,eq

I n ,

adica

p P p

eI

,eq

q

¡ 1 P

p e,e

I

q

In acest punct ıncercam sa raspundem la urmatoarea ıntrebare, importanta ınaplicatii.Daca aveam doua baze, un vector se reprezinta ın mod unic ın mod unic ın

ambele. Care este relatia dintre coordonatele unui vector ın cele doua baze?

In primul rand sa fixam notatiile. Fie s.v. V , cu bazele B t e1, . . . , en si

BI

t eI

1, . . . , eI

n , iar P p e,eI

q matrcea schimbarii de baza.

Fie v V . Avem

v a1e1 ¤ ¤ ¤ anen b1eI

1 ¤ ¤ ¤ bneI

n,

Algebra l iniara 25




unde p a1, . . . an q si p b1, . . . bn q sunt coordonatele aceluiasi vector v ın cele doua baze.

Avem

p v q

a1 a2 . . . an

¤

¤

¦

¦

¦

¥

e1

e2

. . .en

b1 b2 . . . bn

¤

¤

¦

¦

¦

¦

¥

eI

1

eI

2

. . .

eI

n

Fie

p v q e

¤

¦

¦

¦

¥

a1

a2

. . .

an

Algebra l iniara 26




si

p v q

eI

¤

¦

¦

¦

¥

b1

b2

. . .

bn

matricile coordonatelor lui v ın cele doua baze.

Considerand

p e q 1n

¤

¦

¦

¦

¥

e1

e2

. . .

en

matricea coloana a bazeiB si

p eI

q 1n

¤

¦

¦

¦

¦

¥

e

I

1

eI

2

. . .

eI

n

Algebra liniara 27




matricea coloana a bazei BI

, avem

p v q p v q

te p eq 1n p v q

t

eI

1n

p v q

t

eI

P p

e,eI

q

p e q 1n

Deaorece reprezentarea lui v ıntr-o baza este unica rezulta

p v q

t

eI

P p

e,eI

q

p v q

te ,

sau

p v q

t

eI

p P p

e,eI

q

q

¡ 1p v q

te .

Algebra liniara 28




Linear maps between vector spaces

In acest capitol vom studia aplicatii liniare, aplicatii compatibile cu structura de spatiu

vectorial.

Definitia 22. Fie V si W s.v. peste F. O aplicat ie liniarade la V la W este o aplicat ie

f : V Ñ W cu prop.f p αv βu q αf p v q βf p u q d v, u V and α, β F.

Multimea aplicatiilor liniare de la V la W o vom nota cu LF p V, W q or HomF p V, W q

Obsf p 0V q 0W si

f p

n

i 1

αivi q

n

i 1

αif p vi q , d αi F, d vi V, i 1, . . . , n

ker f f ¡ 1

p 0W q t v V | f p v q 0w , and

imf f p V q t w W | h v V, f p v q w

Algebra liniara 29




Definitia 23. Mult imile ker f si f p V q se numeasc nucleul, resp. imaginea lui f .

Propositia 24. Nucleul si imaginea unei aplicat ii liniare f : V Ñ W sunt subspat ii ale lui V , resp. W .

dem. gata dem.

In cazul finit dimensional avem:

Teorema 25. Fie f : V Ñ W linara, V si W s.v. peste F, V finit dimensional.

dim V dim ker f dim f p V q .

Dem Fie n si m dimensiunile lui V resp. ker f , m n. Fie t e1, . . . em

baza ın ker f . Sistemul de vectori l.i. e1, . . . , em poate fi completat la o baza

t e1, . . . em, em 1, . . . en a lui V .

Aratam ca f p em 1 q , . . . , f p en q formeaza o baza a lui f p V q . este suficient saaratam

ca f p em 1 q , . . . , f p en q sunt l. ind., deoarece genereaza f p V q .

Algebra liniara 30




Pp. ca f p em 1 q , . . . , f p en q nu sunt l.i. Exista am

1, . . . an F a.ı.

n

k

m 1

αkf p ek q 0W ,

iar din liniaritatea lui f ,

f p

n

k

m 1

αkek q 0W ,

adica

vI

n

k

m 1

αkek ker f.

si deci se sunt comb. liniara de e1, . . . em. Dar e1, . . . en formeaza baza in V deci

km 1 ¤ ¤ ¤ kn 0, adica f p em

1 q , . . . , f p en q sunt l.i.. gata dem.

Algebra l iniara 31




Teorema 26. Fie F : V Ñ W liniara V si W s.v., si dim V dim W V . Atunci,

f p V q W d.s.n.d ker f t 0V . In particular f is surj. d.s.n.d. A bij.

Dem Pp. ker f t 0v . f p V q subspatiu a lui W , deci dim V dim f p V q dim W ,

adica dim f p V q dim W , adica f p V q W .

f p V q W implica ker f t 0V analog.

sf. dem

Proposit ia 27. Fie f : V Ñ W liniara V, W s.v. peste F. Daca f este biject ie ,

rezulta ca inversa f ¡ 1 : W Ñ V este liniara.

Dem f bij.ñ d w1, w2 W , h ! v1, v2 V ,a.i. f p vi q wi, i 1.2. Deoarece f liniara

, avem

α1w1 α2w2 a1f p v1 q a2f p v2 q f p a1v1 α2v2 q .

Deci a1v1 α2v2 f ¡ 1p α1w1 α2w2 q , so

f ¡ 1

p α1w1 α2w2 q α1f ¡ 1

p w1 q α2f ¡ 1

p w2 q

Algebra liniara 32




sf. dem

Definitia 28. O aplicat ¸ie liniara bij. f : V Ñ W intre s.v. V, W peste F s.n.izomorfism intre V si W

Un s.v. V s.n. izomorf cu un s.v. W daca exista un izomorfism f : V Ñ W . Daca

s.v. V si W sunt izomorfe, vom nota acest fapt cu V W .

Example

Fie V un F s.v. si V 1, V 2 subspatii suplementare adica V V 1 V 2. d v V avem

descompunerea unica v v1 v2, cu v1 V 1 and v2 V 2. Aplicati a

p : V Ñ V 1, p p v q v1, d v V

s.n. proiectia lui V pe V 1, paralela cu V 2,.

Aplicatia s : V Ñ V, sp v q v1 ¡ v2, d v V s.n.simetria lui V relativa la V 1,

paralela V 2.

Algebra l iniara 33




Avem v V 1, v2 0, adica pp v q v and sp v q v, iar pt. v V 2, v1 0, so

pp v q 0 and sp v q ¡ v.

Algebra l iniara 34




Proprietati ale lui Lp V,W q

Propositia 29. Fie f : V Ñ W lniara intre s.v. V, W peste F.

1. Daca V 1 V subsp. a lui V , atunci f p V 1 q subspat ¸iu a lui W .

2. Daca W 1 subspat ¸iu a lui W , atunci f ¡ 1 subspat ¸iu a lui V .

Dem 1. Let w1, w2 be in f p V q . It follows that there exists v1, v2 V such that

f p vi q wi, i 1, 2. The, for every α, β F we have

αw1 βw2 αf p v1 q βf p v2 q f p αv1 βv2 q f p V q .

2. For v1, v2 f ¡ 1p W 1 q we have that f p v1 q , f p v2 q W , so d αβ F, αf p v1 q

βf p v2 q W . Because F is linear αf p v1 q βf p v2 q f p αv1 βv2 q ñ αv1 βv2

f ¡ 1p W q .

Algebra liniara 35




sf. dem

The next proposition shows that ker and the image of a linear map characterize theproperty injectivity and surjectivity of the map.

Propositia 30. Let f : V Ñ W be a linear map between the linear spaces V, W .

1. f is one to one (injective) ð ñ ker f t 0 .

2. f is onto (surjective)ð ñ

f p

V q

W .3. f is bijective ð ñ ker f t 0 and f p V q W .

Dem 1 Suppose that f is one to one. Because f p 0q 0 W it follows that

ker f t 0 V . For the converse, suppose that ker f t 0 . Let v1, v2 V with

f p v1 q f p v2 q . It follows that f p v1 ¡ v2 q 0 and because ker f t 0 it follows that

v1

v2.

2 and 3 are to be proved in the same manner.

sf. dem

Algebra l iniara 36




Nest we shall study how special maps acts on special systems of vectors.

Propositia 31. Let f : V Ñ W be a linear map between the linear spaces V, W and

S t vi | i I a system of vectors in V .

1. if f is one to one and S is a free system of vectors, then f p S q is a free system of

vectors.

2. if f is onto and S is a system of generators, then f p

Sq

is s system of generators.3. if t is bijective and S is a basis for V , then f p S q is a basis for W .

Dem 1. Let t w1, . . . wn be a finite subsystem from f p S q , and αi F with° n

i 1 aiwi

0. There exists the vectors vi V such that f p vi q wi, d i 1, . . . n. Then° n

i 1 aiwi

° ni

1 aif p vi q f p

° ni

1 aivi q 0, so° n

i 1 aivi 0. Because S is linearly

independent it follows that αi 0d i 1, . . . , n, so f p S q is linearly independent.

2. Let w W . There exists v V with f p v q w. Because S is a system of

generators, there exists a finite family of vectors in S, vi, and the scalars αi F, i1, . . . , n

Algebra l iniara 37




such that° n

i 1 aivi v. It follows that

w f p v q f p

n

i 1

aivi q

n

i 1

aif p vi q ,

3. Because f is bijective and S is a basis for V , it follows that both 1 and 2 holds,

that is f p S q is a basis for W . sf. dem

Definitia 32. Let f, g : V Ñ W be linear maps between the linear spaces V.W over

F, and αinF. We define

1. f g : V Ñ W by p f g q p v q f p v q g p v q . d v V , the sum of the linear maps,

and

2. αf : V Ñ W by p αf q p v q αf p v q , d v V, d α F, the scalar multiplication of a

linear map.

Propositia 33. With the operations above defined Lp V, W q becomes a vector space

over F.

Algebra l iniara 38




In the next we specialize the study of the linear maps, namely we consider the case

V W .

Definitia 34. The set of endomorphisms of e linear space p V q is the set:

End p Lq t f : V Ñ V | f linear

By the results from the previous section, Endp

V q

is an F linear space.

Let W, U another linear spaces over the same field F, f Lp V, W q and g L p W, U q .

We define the product (composition) of f and g by h g ¥ f : V Ñ U ,

hp v q g p f p v q q , d v V.

Proposit ia 35. The product of two linear maps is a linear map.

Moreover if f and g as above are isomorphisms, the product h g ¥ f is an

isomorphism.

Algebra liniara 39




Dem

hp αv1 βv2 q g p f p αv1 βv2 q q g p αf p v1 q βf p v2 q q g p αf p v1 q q g p βf p v2 q q

αh p v1 q βh p v2 q , d v1, v2 V, d α, β F

The last statement follows from the fact that h is a linear bijection. sf. dem

It can be shown that the composition is distributive with respect to the sum of linear

maps, so End p V q becomes an unitary ring.

Proposit ia 36. The isomorphism between two F linear spaces is an equivalence relation.

Definitia 37. Let V be an F linear space. The set

Autp V q t f End p V q | f isomorphism

is called the set of automoprhisms of the vector space V .

Proposit ia 38. Autp V q is a group with respect to the composition.

Algebra liniara 40




Dem It is only needed to list the properties.

1. the identity map 1V is the unit element.

2. g ¥ f is an automorphism for f and g automorphisms.

3. the inverse of an automorphism is an automorphism.

sf. dem

The group of automoprhisms of a linear space is called the general linear group and is

denoted by Gl p V q .

Example

Projectors endomorphisms. An endomorphism p : V Ñ

V is called projector of thelinear space F is p2

p ( p2 p ¥ p). If p is a projector, then:

1. ker p pp V q V

2. the endomorphism q 1V ¡ p s again a projector.

Algebra l iniara 41




Denote v1 pp v q and v2 v ¡ v1, it follows that pp v2 q pp v q ¡ pp v1 q

pp v q ¡ p2p v q 0v, so v2 ker f . It follows that

v v1 v2, d v V, where v1 f p V q and v2 f p V q ,

and moreover the decomposition is unique, so we have the direct sum decompositionker p pp V q V . For the last assertion simply compute q2 p 1V ¡ pq ¥ p 1V ¡ pq

1V ¡ p ¡ p p2 1V ¡ p q, because p is a projector. It can be seen that

q p V q ker p and ker q q p V q . Denote by v1 pp V q and V 2 ker p. It follows

that p is the projection of V on V 1, parallel with V 2, and q is the projection of V on

V 2 parallel with V 1.

Involutive automorphisms. An operator s : V Ñ V is called involutive iff s2 1V .

From the definition and the previous example one have:

1. an involutive operator is an automorphism

Algebra liniara 42




2. for every involutive automorphism, the linear operators:

ps : V Ñ V, ps p v q

12

p v sp v q q

qs : V Ñ V, qs p v q

1

2p v ¡ s p v q q

are projectors and satisfy the relation ps qs 1V .

3. reciprocally, for a projector p : V Ñ V , the operator s p : V Ñ V , given by

s p p v q 2 pp v q ¡ v is an involutive automorphism.

From the previous facts it follows that ps ¥ s s ¥ ps p, s p ¥ p p ¥ s p p.

An involutive automorphism s ia a symmetry of V with respect to the subspace ps p V q ,

parallely with the subspace ker ps.

Algebra liniara 43




Linear maps between finite dimensional subspaces

Up to now we studied the ”global” properties of linear maps. In this section we are

interested to see how they look like locally, for example how they acts on basis, or what

objects characterize the transformation of vectors by linear maps.

All this section is related to finite dimensional spaces. We will write V n for a vectorspace of dimension n.

Let V n a linear space over F, of dimension n, and E t e1, . . . , en a basis. A

vector v V can be uniquely written as v

° ni

1 viei. We will call p v1, . . . , vn q the

coordinates (components) of v in the basis E.

We will start this section with the change of basis. Consider two basis E

t e1, . . . , en and F t f 1, . . . , f n , of the vector space V . It follows that there exists

the scalars aij F, i , j 1, . . . , n such that

Algebra l iniara 44




f j

n

i 1

aijei, j 1, . . . n

For e vector v which has the components p v1, . . . , vn q and p v I

1, . . . , v I

n q resp. we

have its representation in the basis E and F

v

n

j 1

vI

jf j

j 1

vI

i

n

i 1

aijei

n

i 1

n

j 1

aijvI

jei, (1)

that is

n

i 1

viei

n

i 1

p

n

j 1

aijvI

j q ei,

and from the fact that the coordinates in a basis are unique we have that

Algebra liniara 45




vi

n

j 1

aijvI

j, i 1, n

We denote

v s E

¤

¥

v1...

vn

and A p aij q i,j 1,n, we can write

vs E

A

vs F ,

relation which express the change from the basis E to the basis F . Let G

t g1, . . . , gn be third coordinate system, and v s G the coordinates of v in G, we have

Algebra liniara 46




v s F A1 v s G,

for some matrix A1.We deduce that

v s E A v s F AA1 v s G.

Particularly it is true for G E, so in this case we obtain that I n AA1.

Algebra liniara 47




Vectori proprii.

Vectori si valorii proprii. Subspatii invariante. Forma canonica Jordan.

Algebra l iniara 48




Subspatii invariante. Vectori si valori proprii

In acest capitol vom studia ın continuare aplic. liniare. In speta vom studia structura

unui operator liniar.

Pp. ca avem un s.v. V peste F si un operator liniar T End p V q . Mai pp. ca avem

descompunerea:

V

mà

i 1

U i,

cu U i subspatiu a lui V. Pt. a ınt elege comportarea lui T este nec. si suf. sa ıntelegem

T | U j. A studia T | U j

este mai usor decat a studia T deoarece U j este ”mai mic” decat

V . Totusi ramane o problema: dacaa vrem sa aplicam procedee folosite ın pt. aplicatiiliniare (de ex. compunerea) problema este ca in general T U j

nu aplica U j ın el ınsusi, cu

alte cuvinte T U jnu este un operator pe U j. Din acest motiv este natural sa consideram

descompuneri pt, care T duce U j ın el ınsusi.

Algebra l iniara 49




Definitia 39. Fie V un operator pe s.v. V peste F si U subspat ¸iu a lui V . U s.n. T

invariant prin daca T p U q U , adica T este operator pe U .

Apare o alta ıntrebare legata de spatii invariante.Cum se comporta un operator pe

un spatiiu invariant de dimensiune 1? Orice spatiu de dimensiune 1 este de forma

U t βu | β F . Daca U este invariant prin T atunci T p u q este ın U , d u U , si deci

h un scalar λ F a.i. T p u q λu. Reciproc daca exista u V a.i. T p u q λu, λ F,

atunci subspatiul U generat de u este invariant prin T si pt. d v U one has T p v q λv.

Este natural sa dam definitia

Definitia 40. Fir T End p V q un operator pe un s.v. peste un corp F. Un scalar λ F

s.n. valoare proprie pt. T daca exista un vector nenul v V a.i. T p v q λv. Un vector

corespunzator s.n. vector propriu (asociat valorii proprii λ).

Multimea vectorilor proprii ai unui operator T corespunzatori unei val-

ori proprii λ formeaza un s.v., notat cu E p λq , numit subspatiul prporpiucorespunzator valorii proprii λ. In plus E p λ q kerp T ¡ λ1V q .

Pt un spatiu finit dimensional fie At matricea lui T intr-o baza. Egalitatea T p v q λv

Algebra liniara 50




este echivalenta cu Atv λv sau , cu p At¡ λI n q v 0, care este un sistem liniar.

Teorema 41. Fie T End p V q . Pp. ca λi, i 1, m sunt valori proprii distincte ale lui T , si vi, i 1, m sunt vectori proprii corespunzatori. Vectorii t v1, . . . , vm sunt liniar

independent i.

Dem. Pp. ca vectorii t v1, . . . , vm sunt l.d. Exista cel mai mic indice k a.i.

vk

spant

v1, . . . , vk¡

1

.

si scalrii a1, . . . ak¡ 1 a.i.

vk a1v1 . . . ak¡ 1vk

¡ 1

.

Aplicam T si avem

λkvk a1λ1v1 . . . ak¡ 1λk

¡ 1vk¡ 1

Algebra liniara 51




.

Adica0 a1 p λk ¡ λ1 q v1 ¤ ¤ ¤ ak

¡ 1 p λk ¡ λp

k ¡ 1q q vk¡ 1

. Deoarece am ales k sa fie cel mai mic indice a.i. vk a1v1 . . . ak¡ 1vk

¡ 1, rezulta ca

p v1, . . . vk¡ 1 q sunt l.ind, adica toti coeficientii a’s are zero.

Gata Dem.

Corolar 42. Un operator T pe un s.v. finit dimensional V are cel mult dim V valori proprii distincte.

Dem. Este o consecinta imediata a faptului ca ın V putem avea cel mult dim V

vectori l.ind. Gata Dem.

Operatorii care au exact n dim V vectori proprii l. ind. au proprietati simple si

importante. Acesta este cel mai fericit caz care poate fi realizat ın acest context.

Definitia 43. O aplict ie liniara T : V Ñ V s.n. diagonalizabila daca exista o baza a lui

V formata din vectori proprii.

Algebra liniara 52




Polinomul minimal al unui operator

Moticul principal pentru care exista o teorie mai bogata a operatorilor liniari cecat a

aplicatiilor liniare este faprul ca putem considera produsul (compunerea) unui operator prin

el ınsusi.

Fie V un s.v. n-dimensional peste F si A : V Ñ V un operator liniar.

Lp V, V q End p V q este un s.v. n2 dimensional. Putem considera T 2 T ¥ T si,

bineınteles obtinem T n T n¡ 1¥ T inductiv. Definim T 0 identitatea lui V , I I V pe

V . Daca T este inversabil (bijectiv), exista T ¡ 1, deci definim T ¡ m

p T ¡ 1q

m. Avem

bineınteles

T m

T n

T m

n

, for m, n Z.

Pt. T End p V q si p F X s un polinom dat de

pp z q a0 a1z . . . amzm

, z F

Algebra l iniara 53




definim operatorul pp T q dat prin

p p T q a0I a1T . . . amT m

Este o folosire noua simbolului polinomial!Pt. un operator T fixat obtinem o functie def.

pe F X s cu valori ın End p V q , data de p Ñ pp T q , care este liniara. Pt. p, q F X s def.

operatorul pq given by p pq q p T q pp T q q p T q .

Acum ıncepem studiul existentei si prprietat ile unui operator.

Teorema 44. Orice operator peste un spat ¸iu vectorial complex (peste C), nenul, are

vectori proprii.

Dem. Pp. V s.v. finit dimensional complex si T End p V q . Alegem v V , v $ 0.

Consideram multimea

p

v, T p

vq

, T

2p

vq

, . . . T

np

vq q

.Aceasta este l.d. (are cardinalul n 1 si dim V n). Exista nr. complexe, a0, . . . an,

nu toti zero 0, a.i.

0 a0v a1T p v q ¤ ¤ ¤ anT n

p v q .

Algebra liniara 54




Fie m cel mai mare indice a.i. am $ 0. Avem atuci descompunerea

a0 a1z ¤ ¤ ¤ amzm a0 p z ¡ λ1 q . . . p z ¡ λm q .

Rezulta ca

0 a0v a1T p v q . . . anT n

p v q

p

a0I

a1T

. . . anT

nq p

vq

a0 p T ¡ λ1I q . . . p T ¡ λmI q p v q .

adica T ¡ λjI nu este injectiv pentru cel putin un indice j, sau echivalent T are o valoare

proprie. Gata Dem.

Unul din cele mai importante probeleme ale algebrei liniare (la acest nivel) este de aarata ca un operator dat are o matrice rezonabil de simpla inttr-o baza preferentiala. Este

natural sa cugetam ca ”rezonabil de simplu” inseamna ca matricea sa aiba multe elemente

nule, bine ”distribuite”.

Algebra l iniara 55




Reamintim ca t ek, k 1, n ,

T p ek q

n

i 1

ai,kei ,

where A p aij q i 1,m

j 1,n

and At este matricea operatorului.

Teorema 45. Fie T End p V q si t ei, i 1, n o baz˘ a ın V . Sunt echivalente afrimat iile:

1. Matricea lui T , rel. la baza t ei, i 1, n este superior triunghiulara.

2. T p ek q span t e1 . . . ek for k 1, n

3. spant e

1, . . . , e

k

este invariant prinT

pt. orice k 1, n

.

Dem. 1ô 2 obviously follows from a moment’s tought and definition. Again 3ñ 2.

Remains only to prove that 2ñ 3.

Algebra liniara 56




Deci , pp. 2 adevarata. Fixam k t 1, . . . , n . Din 2 avem

T p

e1 q

spant

e1

spant

e1, . . . ek

T p e2 q span t e1, e2 span t e1, . . . ek

. . . . . .

T p e1 q span t e1, dots, ek span t e1, . . . ek .

Deci , pt. v combinatie liniara de t e1, . . . ek , rezulta

T p v q span t e1, . . . ek . ô 3

Gata Dem.

Teorema 46. Fie V s.v. complex si T End p V q . Exista o baza a lui V a.i. matricealui T este superior triunghiulara ıntr-o baza a lui V .

Dem. Inductie dupa dim V . Clar pt. dim V 1.

Algebra l iniara 57




Pp. dim V 1 si ca afirmatia are loc pt. orice s.v. complex de dim mai mica ca dim.

lui V . Fie λ o val. proprie T (exista) si

U imp T ¡ λI q

Deoarece T ¡ λI nu este injectiva, avem dim U dimV . Mai mult, U este prin T

(homework).

DeciT |

U este un operator pe U. Cf. ipotezei de inductieh

o bazat u

1, . . . u

m

a luiU ın care T | U are a matrice sup. diagonala. Deci pt. fiecare j avem

T p uj q ¡ p T | U q p uj q span t u1, . . . um .

Extind baza t u1, . . . um a lui U la o basa t u1, . . . um, v1, . . . vn a lui V . Pt.

orice k 1, n

T p vk q p T ¡ λI q p vk q vk

Algebra l iniara 58




. Din def. lui U , T ¡ λI q p vk q U span t u1, . . . um . Atunci eq. de sus arata ca

T p vk q span t u1, . . . um, v1, . . . vn .

De aici rezula ca T este matrice sup. diagonala rel. la aceatsa baza. Gata Dem.

Unul din punctele bune ale acestei teoreme este ca, in astfel de baze putem decide

usor daca un operator este bijectiv, si-i putem gasi ker si im folosind matricea atasata.

Teorema 47. Pp. ca T End p V q are o matrice sup. triunghiulara ıntr-o baza a lui V .

Atunci T este inversabil iff elementele de pe diagonala sunt diferite de 0.

Dem. Fie t e1, . . . en baza ın V a.i. T are matricea

A

¤

¦

¦

¦

¥

λ1 . . .¦

0 λ2

0 0 . . .

0 0 0 λn

Algebra l iniara 59




Dem. ca T nu este inv. dsndc h un λk’s egal cu zero. Daca λ1 0, atunci

T p v1 q 0, deci T nu este inv.

Pp. λk 0, 1 k n. Atunci T aplica e1, . . . , ek¡ 1 in span t e1, . . . , ek

¡ 1 .

Deoarece λk 0, T p ek q t e1, . . . , ek¡ 1 , vectorii T p e1 q , . . . , T p ek q sunt l.d. (they are

k vectori intr-un k ¡ 1 dimensional s.v., span t e1, . . . , ek¡ 1 , Deci T nu este injectiv,

adica nu este inversabil

Pp. ca T nu este inversabil. Atunci ker T $ t 0 , adica h v V, v $ 0 a.i.

T p v q 0.

v a1e1 ¤ ¤ ¤ anen

Fie k cel mai mare intreg cu ak $ 0. Avem

Algebra l iniara 60




v

a1e1 ¤ ¤ ¤

akek

and

0 T p v q

0 T p a1e1 ¤ ¤ ¤ akek q

p a1T p e1 q ¤ ¤ ¤ ak¡ 1T p ek

¡ 1 q q akT p ek q .

Ultimul termen din paranteza este in span t e1 . . . , ek¡ 1 , din forma lui A. In final

T p vk q span t e1 . . . , ek¡ 1 . Cand T p vk q se scrie ca o combinatie liniara de t e1 . . . , en ,

coef lui ek va fi zero. Adica, λk 0. Gata Dem.

Teorema 48. Pp. T End p V q are o matrice sup. diagonala rel. la o baza a lui V .

Val. proprii ale lui T sunt exact elementele de pe diag. princ. dif. de 0.

Dem Alegem baza t e1, . . . , en a.i. matricea lui T este sup. triungh. in aceasta

baza. Fie λ F, si consider op. T ¡ λI . El are aceaasi matrice exceptand el. de pe

Algebra liniara 61




diagonala care sunt λi ¡ λ daca in matricea lui T sunt λj. Rezulta ca T ¡ λI inversabil

iff λ este egal cu un λj, adica λ este val. proprie iff λ este egal cu un λj, as desired.

Gata Dem.

Algebra l iniara 62




Matrici diagonale

O matrice diagonala este o matrice care are toate elementele egale cu zero, exceptand

eventual pe cele de pe diagonala principala.

Un operator T End p V q are o matrice diagonala

¤

¦

¦

¦

¥

λ1 0

λ2. . .

0 λn

Propositia 49. Daca T End p V q are dim V val. proprii distincte , atunci T are o

matrice diagonala intr-o baza

Dem Pp. ca T are dim V val. proprii distincte, λ1, . . . , λn,n dim V . Legem

vectori proprii corespunzatori e1, . . . , en. Deoarece vectorii nenulicoresp. la valori prorii

Algebra liniara 63




distincte sunt lin. independenti, obtinem un set de vectori de cardinal egal cu dim V , adica

o baza, si in aceasta baza matricea lui T este diagonala.

Gata Dem.

The next prop. gives several conditions on an operator that are equivalent to having a

diagonal matrix.

Propositia 50. Fie T EndV . Notam λ1, . . . , λm valorile proprii distincte ale lui T .

Sunt echivalente afirmatiile:

1. T are o matrice diagonala rel. la o baza a lui V .

2. V are o baza formata din vectori proprii.

3. h U 1, . . . U m of V , fiecare invariant by T such that

V U 1 ¤ ¤ ¤ U m

4. V kerp T ¡ λ1I q ¤ ¤ ¤ kerp T ¡ λmI q

Algebra l iniara 64




5. dim V dim kerp T ¡ λ1I q ¤ ¤ ¤ dim kerp T ¡ λmI q

Dem Am vazut ca 1 ô 2. pp ca 2 adev. Alegem t e1, . . . , en o baza constand din

vectori proprii si U i span t ei d i 1, n. Deci 2 ñ 3.

Pp. ca 3 adev. Alegem o baza ej U j. Rezulta ca ej sunt vectori proprii , deci sunt

liniar independenti , deci sunt baza n (fiindca-s n dim V nene). Atunci 3 implica 2

Acum stim ca 1, 2, 3 sunt echivalente.

Vom demnonstra lantul de implicatii:

2 ñ 4 ñ 5 ñ 2

Pp. 2 adev., atunci V are o baza formata din vectori proprii. Atunci orice vector in V este unica comb. liniara de vectori proprii T , adica

V kerp T ¡ λ1I q ¤ ¤ ¤ kerp T ¡ λmI q .

Algebra l iniara 65




Aratam ca este suma directa. Pp. ca

0

u1

. . . um ,

with uj kerp T ¡ λjI q . Ei sunt liniar indpendenti, deci toti sunt nuli.

4 ñ 5 este clar dupa un moment de cugetare 4 avem suma directa. 5 ñ 2 Homework

♣ Gata Dem.

Propositia 51. Daca λ este o valoare proprie pt un operator (endomorfism) T , si v$

0,v V este vector propriu :

d k N, λk este val proprie pt. T k T ¥ ¤ ¤ ¤ ¥ T ( k ori) si v este vector propriu

If p F X s este polinom cu coef. in F, atunci p p λ q este o val. proprie pp T q si v este

vector propriu.

for T automorfism (liniar si inversabil, λ¡ 1

este val proprie pt. T ¡ 1

si v este vector propriu.

Dem

Algebra l iniara 66




your job ♣

Gata Dem.

Algebra l iniara 67




Subspatii invariante ale spatiilor vectoriale reale.

In cazul cand spatiul V este def. peste corpul F , nu exista in mod necesar vectori

proprii, dar exista subspatii invariante de dim. 1 sau 2.

Teorema 52. Orice operator pe un s.v. real finit dimensional are un subspatiu invariant

de dimansiune 1 sau 2.

Example Let T : F2Ñ F2 given by T p x, y q p ¡ y, x q . It has no eigenvalues and

eigenvectors if F R. Find them for F C ♠.

Teorema 53. Every operator on and odd dimensional real vector space has an eigenvalue.

Algebra liniara 68




Spatii cu produs scalar

Definitia 54. Un produs scalar pe spatiul vectorial V peste F este o functie (forma

bilineara ) x , y : V ¢ V Ñ F cu proprietatile :

(positivity and definiteness) x v, v y 0 and x v, v y 0 iff v 0.

(additivity in the first slot) x u v, w y x u, w y x v, w y , for all u , v , w V

(homogeneity in the first slot) x av,w y ax v, w y for all a F and v, w V

(conjugate symmetry) x v, w y x w, v y for all v, w V .

Un s.v. inzestrat cu un produs scalar se numeste spatiu cu produs scalar.

Cel mai imp. exemplu este Fn. Fie v p v1, . . . , vn q si w p w1, . . . wn q si definim

produsul scalar:

x v, w y v1w1 ¤ ¤ ¤ vnwn.

Algebra l iniara 69




Ex. tipic de produs scalr, numit prod. scalar Euclidean , iar cand ne referim la Fn ca spatiu

cu produs scalar, ne gandim la acest produs scalar Euclidean , daca nu se specifica in mod

expres altul.

Examples

Din def. rezulta :

x v, 0y x 0, v y 0

x u, v w y x u, v y x u, w y

x u, αv y α x u, v y

forallu , v , w V andα F

Definitia 55. Fie V un s.v. peste F. O functie

| | ¤ | | : V Ñ R

s.n. norma pe V daca:

Algebra l iniara 70




(positivity) | | v | | 0, v V Ø v 0 ;

(homogeneity) | | αv | | | α| ¤ | | v | | , d α F, d v V ;

(triangle inequality) | | u v | | | | u| | | | v | | , d u, v V ;

Un spatiu normat este o pereche p V, | | ¤ | | q , cu V s.v. iar | | ¤ | | este norma pe V .

Definitia 56. Fie X nevida . O functie d : X ¢ X Ñ R care satisface proprietatile:

(positivity) d p x, y q 0 and d p x, y q 0 Ø x y

(symmetry) d p x, y q dp y, x q , d x, y X

(triangle inequality) dp x, y q d p x, z q dp z, y q , d x , y , z X

s.n metrica sau distanta pe X. O multime X impreuna cu o metrica definita ea s.n.

Ne vom ocupa cu produse scalare.

Dar observam ca un prod. scalar pe V defineste o norma, prin | | v | |

x v, v y pt.

v V , iar o norma pe V defineste o metricaprin d p v, w q | | w ¡ v | | , pt. v, w V .

Algebra l iniara 71




Pt. un spatiu cu produs scalar p V, x , y q sunt adevarate identitatile:

x

m

i 1

αivi,

n

j 1

βjwj y

m

i 1

n

j 1

αiβj x vi, wj y .

Definitia 57. Doi vectori u, v V se numesc ortogonali daca x u, v y 0.

Teorema 58. (Legea Paralelogramului ) Fie V un spatiu cu produs scalrsi u, v

V .Atunci

| | u v | |

2 | | u ¡ v | |

2 | | u| |

2 | | v | |

2

Dem

| |

u

v| |

2 | |

u¡

v| |

2 x

u

v, u

vy x

u¡

v, u¡

vy x

u, uy x

u, vy x

v, uy x

v,

x u, uy ¡ x u, v y ¡ x v, u y x v, v y

2p | | u| |

2 | | v | |

2q .

Algebra l iniara 72




Gata Dem.

Teorema 59. (Theorem lui nea Pythagoras )Fie V un spatiu cu produs scalar, si u, v V ortogonali. Atunci

| | u v | |

2 | | u | |

2 | | v | |

2.

Dem

| | u v | |

2 x u v, u v y

x u, uy x u, v y x v, u y x v, v y

| | u| |

2 | | v | |

2.

Gata Dem.

Vom demonstra una din cele mai imprtante inegalitati in matematica, inegalitatea

Cauchy-Schwartz. Exista o multime de dem. prez. una care e folositoare prin tehnica si

rationamentul ei.

Algebra l iniara 73




Consideram u, v V . Vrem sa sriem u ca si suma dintre un vector collinear cu v

si un vector ortogonal cu v. Fie αinF si u αv p u ¡ αv q . Impunand conditia ca v

ortogonal cu p u ¡ αv q , avem

0 x u ¡ αv,v y x u, v y ¡ α | | v | |

2,

adica in mode necesar α x u, v y { | | v | |

2, iar descompunerea este

u

x u, v y

| | v | |

2v p u ¡

x u, v y

| | v | |

2v q .

Teorema 60. Cauchy-Scwarz Inequality Fie V un spatiu cu produs scalariar u, v

V . Atunci

| x u, v y | | | u| | ¤ | | v | | .

Egalitatea are loc iff u, v este multiplu scalr de celalalt.

Dem Fie u, v V . Daca v 0 ambii membri ai ineg. sunt 0 si rez. are loc.

Algebra l iniara 74




Pp. v $ 0. Scriem u

x u,v

y

| | v

| |

2 v p u ¡

x u,v

y

| | v

| |

2 v q . Din T. Pitagora

| | u| |

2 | |

x u, v y

| | v | |

2v | |

2 | | p u ¡

x u, v y

| | v | |

2v q | |

2

| x u, v y |

2

| | v | |

2 | | p u ¡

x u, v y

| | v | |

2v q | |

2

| x u, v y |

2

| | v | |

2 ,

ineg. echiv cu cea din teorema.

Avem eg. iff p u ¡

x u,v

y

| | v

| |

2 v q 0, adica iff u este multiplu scalar de v.

Gata Dem.

Algebra liniara 75




Baze ortonormale

Definitia 61. O familie de vectori A t ei | i I, ei V s.n. familie ortogonala daca

x ei, ej y 0 pt orice ei, ej A. Familia A s.n. ortonormala daca este ortogonala si

| | ei | | 1 d ei A.

Motivul esential pt. care studiem familii ortogoonale este ca in baze ortonormale

calculele se fac f. usor.

Propositia 62. Daca p e1, . . . em q este o familie ortonormala de vectori in V , atunci

| | α1e1 . . . αmem | |

2 | α1 |

2 ¤ ¤ ¤ | αm |

2

for all α1, . . . αm F.

Dem Apply Phytagorean Theorem, you at home . Gata Dem.

Corolar 63. Orice familie ortonormala de vectori este liniar independenta.

Algebra l iniara 76




Dem Fie A o familie ortonormala in V si p e1, . . . , em q o parte finita a ei iar

α1, . . . , αm F cu

α1e1 ¤ ¤ ¤ αmem 0.

Rezulta ca | α1 |

2 ¤ ¤ ¤ | αm |

2 0, adica αj 0, d j 1, . . . , m . Gata Dem.

O baza ortonormala intr-un sp. cu produs scalar V este o baza a lui V care este

de asemenea a familie ortonormala in V . Este clar ca o familie ortonormala de lungime

dim V este o baza ortonormala (argumentati ).

Teorema 64. Fie p e1, . . . , en q o baza ortonormala insp. cu produs scalar V . Daca

v α1e1 ¤ ¤ ¤ αnen V , atunci

αi x v, ei y , si

| | v | |

2

n

i 1

| x v, ei y |

2

Algebra liniara 77




Dem Fie v α1e1 ¤ ¤ ¤ αnen. Cons. prod. scalar in ambii termeni cu ei si rezulta

prima afimratie.A doua rezulta din aplicarea repetata a teoremei lui conu’ Pitagora. Gata

Dem.

Up to know we have an image about the usefulness of orthonormal basis. But how one

does go to find them?. The next results give an answer to the question. The algorithm is a

well known algorithm in linear algebra, called Gram-Schmidt procedure. Here is pointed the

procedure, giving a method for turning from a linearly independent list into an orthonormal

one, with the same span as the original one.

Teorema 65. Gram-Schmidt Daca p v1, . . . , vm q este o multime liniar independenta

in V , atunci exista o familie ortonormala et of vectors p e1, . . . em q in V a.i.

span p v1, . . . , vk q span p e1, . . . , ek q

for k

1, m.

Dem Fie p v1, . . . , vm q liniar ind. Vom construi familia ortonormala p e1, . . . , em q

ortonormala inductiv. Fie e1 v1 { | | v1 | | .

Algebra l iniara 78




Pp. ca j 1 si familia p e1, . . . , ej¡ 1 q am ales-o a.i.

span p v1, . . . , vj¡ 1 q span p e1, . . . , ej

¡ 1 q

Consideram

ej

vj ¡ x vj, e1 y e1 ¡ ¤ ¤ ¤ ¡ x vj, ej¡ 1 y ej

¡ 1

| | vj ¡ x vj, e1 y e1 ¡ ¤ ¤ ¤ ¡ x vj, ej¡ 1 y ej

¡ 1 | |

Deoarece p v1, . . . , vm q sunt liniar ind., rezulta ca vj nu este in span p v1, . . . , vj¡ 1 q ,

si deci nici in span p e1, . . . , ej¡ 1 q .

Atunci ej este bine definita si | | ej | | 1.

Prin calcul direct rezulta ca pt. 1 k j avem

Algebra liniara 79




x

ej, ek y x

vj ¡ x vj, e1 y e1 ¡ ¤ ¤ ¤ ¡ x vj, ej¡ 1 y ej

¡ 1


¡ 1 | |

, ek y

x vj, ek y ¡ x vj, ek y


¡ 1 | |

0,

si decip

e1, . . . ekq

este familie ortonormala. Din modul de definire al lui ej studentu’ poasa vada (dupa un moment de cugetare of course) ca vj span p e1, . . . , ej q , care implica,

(impreuna cu ipoteza de inductie), ca

span p v1, . . . , vj q span p e1, . . . , ej q

Ambele multimi fiind liniar independente (prima din ip. si a doua din ortogonalitate),rezulta ce subspatiile au aceeasi dim j, deci sunt egale. Gata Dem.

Now we can state the main results in this section

Algebra liniara 80




Corolar 66. Orice spatiu cu produs scalar, finit dimensional are o baza ortonormala

Dem Alegem o baza in V , applicam Gram-Schmidt si obtinem o lista ortonormala, delungime dim V . Rezulta ca lista este o baza, fiind liniar independenta. Gata Dem.

The next proposition shows that any orthonormal list can be extended to an orthonormal

basis.

Proposit ia 67. Orice familie ortonormala de vectori a unui spatiu cu produs scalar de

poate extinde la o baza ortonormala a lui V .

Dem Pp. ca p e1, . . . em q este o familie ortonormla de vectori. Fiind liniar independenta,

se extinde la o baza p e1, . . . em, vm 1, . . . , vn q . Aplicam algoritmul Gram-Schmidt

vectorilor p e1, . . . em, vm 1, . . . , vn q , si obtinem p e1, . . . em, f m

1, . . . , f n q .

Procedeul Gram Schmidt lasa primii m vectori neschimbati, fiind deja ortonormali.Deciobtinem o extindere la o baza ortonormala. Gata Dem.

Corolar 68. Pp. T End p V q . Daca T are o matrice sup. triunghiulara rel. la o baza

Algebra liniara 81




a lui V , atunci T are o matrice superior triunghiulara relativ la o baza ortonormala a lui

V .

Corolar 69. Pp. ca V este sp. vectorial complex si T End p V q . Atunci T are o

matrice sup. triunghiulara relativ la o baza ortonormala a lui V .

Algebra l iniara 82




Proiectii ortogonala si probleme de minimizare

Fie U V o submultime a unui spatiu cu produs scalr V . Complementul ortogonal

al lui U , notat U u este multimea vectorilor in V care sunt ortogonali la fiecare vector din

U :

U u

t v V | x v, u y 0, d u U .

Homework Verify that U u

is a subspace of V , that V u

0 and 0u

V , thatU 1 U 2 ñ U u

1 U u

2 .

Teorema 70. Daca U este subspatiu al lui V , atunci

V U U u

Dem Suppose tha U este subspatiu al lui V (finit dim.). Aratam ca

V U U u

Algebra l iniara 83




Fie v U U u , atunci v este ortogonal pe fiecare vector din U (fiindca este in U u ,

adica x v, v y 0, echivalent cu v 0. Relatiile V U U u si U U u

t 0 implica

virgula concluzia teoremei.

Gata Dem.

Corolar 71. ( Pt. voi de demonstrat ) Daca U 1, U 2 sunt subspatii in V atunci

U 1 p U u

1 q

u .

p U 1 U 2 q

u

U u

1 U u

2 .

p U 1 U 2 q

u 2 U u

1 U u

2 .

Dem Your job Gata Dem.

Intr-un spatiu vectorial real cu produs scalardefinim unghiul a doi

{

p v, w q arccosx v, w y

} v } ¤ } w }

Algebra liniara 85




Avem

v u w ô

{

p v, w q 0.

Algebra l iniara 86




Varietati liniare

Fie V un s.v. peste F.

Definitia 72. O multime L v0 V L t v0 v | v V L unde v0 V este un vector

iar V L V este subspatiu in V s.n. varietate liniara. Subspatiul V L s.n. subspatiul

director al varietatii liniare iar vectorul v0 s.n. vector director.

Remarks

if v0 V L then L V l.

v0 L because v0 v0 0 v0 L.

for v1, v2 L we have v1 ¡ v2 L.

for every v1

L we have L

v1

L. V L1

V L2iff L1 L2.

Definitia 73. Dimensiunea unei var. liniare este dimensiunea spatiului ei director.

Algebra l iniara 87




Varietatile liniare L1 and L2 se numesc ortogonale daca V L1u V L2

.

Varietatile liniare L1 and L2 se numesc paralele daca V L1

V L2

sau V L2

V L1

.

Ecuatiile unei varitati liniare

Fie L v0 V L o varietate liniara intr-un s.v. finit dimensionala V . Pp. ca

dim L k n dim V putem alege in spatiul director V L o baza (finita) t v1 . . . vk .

Avem

L t v v0 α1v1 ¤ ¤ ¤ αkvk | αi F, i 1, k

Consideram o baza arbitrara (fixa) in V , let’s say t e1, . . . en and iar daca utilizam

vectori coloana pt. coordonatele in baza obtinem ecuatiile parametrice ale varietatii

liniare.

Algebra liniara 88




6

9

9

8

9

9

7

x1

x

0

1

α1v11

. . . αkv1k

. . .

xn x0n α1vn1 . . . αkvnk

Rangul matricii p vij q i 1,n

j

1,k

is k deoarece vectorii v1, . . . vk sunt lin. ind.

1. O varietate liniara de dim. 1 s.n. dreapta.

2. O varietate liniara de dim. 2 s.n. plan.

3. O varietate liniara de dim. k s.n. k-plan

4. O varietate liniara de dim.n ¡ 1 intr-un s,v, de dim n hiperplan.

Fie V si U doua s.v. peste Fn si T : V Ñ U liniara. Vom arata ca orice varietate

liniara in V este nucleul unei aplicatii liniare. Pp. ca V L este subspatiu in V . Alegem o

Algebra l iniara 89




baza t e1, . . . , ek in V L si o completam la o baza in t e1, . . . , ek, ek 1, . . . , en of V .

Consideram U span t ek 1, . . . , en . Fie T : V Ñ U dat de

T p e1 q 0, . . . T p ek q 0, T p ek 1 q ek

1, . . . , T p en q en

si o extindem prin liniaritate. Este clar ca ker T V L and ıT U si T este surjectiva.

Teorema 74. Daca T : V Ñ U este liniara, surjectiva , pt. orice u0 U , multimea

L t v V T p v q u0 este varietate liniara.

dem Fiindca T surjectiva, rezulta ca exista v0 V cu T p v0 q u0 Vom arata ca

t v ¡ v0 | v L ker T .

Fie v L. T p v ¡ v0 q T p v q ¡ T p v0 q 0, so t v ¡ v0 | v L ker T .

Fie v1

ker T , i.e. T p

v1q

0. Sriem v1 p

v1

v0q ¡

v0. T p

v1

v0q

u0, decip v1 v0 q ¡ v0 L, adica t v ¡ v0 | v L ker T . gata dem

Teoremele anterioare ne dau (atsa ar fi un esemplu de Teorema de univesalitate:

Algebra l iniara 90




Un hiperplan are o singura ecuatie

a1v1

. . . anvn

b

Spatiul director poate fi vazut ca

V t v v1e1 . . . vnen | f p v q 0 ,

unde f este aplicatia liniara f : V Ñ

R cu f p

e1q

a1, . . . f p

enq

an.

Daca ne gandim la hiperplan ca si la o varietate liniara in spatiul euclidian Cn, ecuatia

poate fi scrisa ca

x v, ay 0, where a a1e1 ¤ ¤ ¤ anen,

unde a este vectorul normal la hiperplan.

In general ecuatiile unei varietati liniare intr spatiul euclidian sunt:

Algebra l iniara 92




6

9

9

8

9

9

7

x v, v1

y b1

. . .

x v, v p y b p

unde vectorii v1, . . . v p sunt liniar independenti. Subspatiul director este dat de

6

9

9

8

9

9

7

x v, v1 y 0

. . .

x v, v p y 0

deci vectorii v1, . . . v p sunt perpendiculari pe V L.

Determinanti Gram. Distante.

Vom incerca sa gasim o abordare unitara pentru algoritmi de calculare a distantelor in

s.v. cu produs scalar.

Algebra l iniara 93




Fie p V, x , y q in s.v. cu produs scalar si vi V , i 1, k.

Determinantul

G p v1, . . . vk q

˛˛˛˛˛˛˛˛

x v1, v1 y x v1, v2 y . . . x v1, vk y

x v2, v1 y x v2, v2 y . . . x v2, vk y

. . . . . . . . . . . .

x vk, v1 y x vk, v2 y . . . x vk, vk y

˛˛˛˛˛˛˛˛

s.n. det. Gram al vectorilor v1 . . . vk.

Propositia 76. Intr-un spatiu cu produs scalr v1, . . . vk sunt liniar independenti iff

Gp v1, . . . , vk q $ 0.

dem Consideram sistemul

G ¤

¤

¦

¦

¦

¥

x1

x2...

xk

¤

¦

¦

¦

¥

0

0...

0

Algebra l iniara 94




Dansul poa’ sa fie rescris asha

6

9

9

8

9

9

7

x v1, v y 0

. . . where v x1v1 . . . xkvk

x vk, v y 0

gata dem.

Vectorii v1, . . . vk sunt liniar independenti ô h x1, . . . xk F, nu tonti zero v 0

ô . Sistemul are solutie netriviala daca si numai daca ô det G 0.

Propositia 77. Daca t e1, . . . , en sunt liniar independenti iar t f 1, . . . f n sunt vectori

obtinuti prin ortogonalizare Gram Schmidt avem:

G p e1, . . . en q G p f 1, . . . , f n q } f 1 }

2¤ ¤ ¤ ¤ ¤ } f n }

2

Algebra l iniara 95




dem In G p f 1, . . . , f n q inlocuim f n by en ¡ a1f 1 ¡ . . . an¡ 1f n

¡ 1 si obtinem

Gp

f 1, . . . , f nq

Gp

f 1, . . . , f n¡

1, enq

. Recursiv avem realtia din teorema (prima ). Dar Gp f 1, . . . , f n q } f 1 }

2¤ ¤ ¤ ¤ ¤

} f n }

2 deoarece in det. avem numai pe diagonala el. diferite de zero adica astea

x f 1, f 1 y , . . . , x f n, f n y .

Remarks

} f k }

Gp

e1,...ek q

Gp

e1,...,ek¡ 1 q

f k ek ¡ a1f 1 ¡ . . . ak¡ 1f k

¡ 1 ek ¡ vk one obtains ek f k vk,

vk span t e1, . . . , ek¡ 1 and f k span t e1, . . . , ek

¡ 1

u , so f k is the orthogo-

nal complement of ek with respect to the space generated by t e1 . . . , ek¡ 1 .

gata dem

Algebra liniara 96




Distante. Distanta de la un vector la un subspatiu

Fie U un subspatiu in V . Distanta de la un vector v si un subspatiu U este

d p v, U q inf w

U

d p v, w q inf w

U

} v ¡ w }

Propositia 78. Distanta de la un vector la un subspatiu este

d p v, U q } vu

}

d

G p e1, . . . ek, v q

G p e1 . . . ek q

unde v v1 v u , v1 U, v u

U u iar e1 . . . ek este o baza U .

dem Prima data dem. ca } v u

} } v ¡ v1 } } v ¡ u} , d u U . Avem

Algebra liniara 97




x

v

u

, v

u

y x

v

u

v1¡

u, v

u

v1¡

uy ô

x vu

, vu

y x vu

, vu

y x v1 ¡ u, v1 ¡ u y .

A doua parte a inegalitatii rezulta din propoziti anterioara. gata dem.

Definitia 79. Daca e1, . . . , ek sunt vectori in V volumul k- paralelipipedului construit

pe vectorii e1

, . . . ek

este definit de V k

p e1

. . . ek

q

Gp e1

. . . ek

q .

Avem realtia

V k 1 p e1 . . . ek, ek

1 q V k p e1 . . . ek q dp ek 1, spant e1, . . . ek q

Algebra liniara 98




Distanta de la un vector la o varietate liniara.

Fie L v0 V L o varietate liniara si v un vector in s.v. finit dimensional V . Distanta

este invarianta la translatii

d p v1, v2 q d p v1 v0, v1 v0 q ô } v1 ¡ v2 } } v1 v0 ¡ p v2 v0 q }

Aceasta inseamna ca avem

dp v, Lq inf w

L

d p v, w q inf vL

V L

d p v, v0 vL q

inf vL

V L

dp v ¡ v0, vL q

dp v ¡ v0, V L q

In final

Algebra l iniara 99




dp v, Lq d p v ¡ v0, V L q

d

G p e1, . . . ek, v ¡ v0 q

Gp

e1 . . . ekq

,

unde e1, . . . ek is a basis in V L.

Consideram hiperplanul H de ecuatie

x v ¡ v0, ny 0 .

Subspatiul director este V H x v, ny 0 iar distanta de la v la H

d p v, H q dp v ¡ v0, V H q .

Descompunem v ¡ v0

αn vH

, unde vH

este proiectia ortogonala a lui v ¡ v0

pe

V H iar αn este componenta normala a lui v ¡ v0 rel. la V H . Inseamna ca

d p v, H q } αn }

Algebra l iniara 100




Calculam putintel avand la capsor observatiile anterioare :

x

v¡

v0, ny x

αn

vL, ny

αx n, n y x vL, ny

α} n }

2 0

Adica am obtinut;| x v ¡ v0, ny |

} n }

|

α| }

n} }

αn}

adica

dp v, H q

| x v ¡ v0, n y |

} n }

Daca avem o baza ortonormala , ecuatia unui hiperplan H este

a1x1 . . . anxn b 0 ,

adica relatia este in acest caz





d p v, H q

| a1v1 ¤ ¤ ¤ anvn b|

a2

1

. . . a2n

.




Cl j N 200 2008 R d




Daca alegem o baza in V 1 V 2, let’s say e1, . . . , ek rezulta formula

d p L1, L2 q

d

G p e1, . . . , ek, v1 ¡ v2 q

Gp e1 . . . ek q

Geometrie analitica

Vom aplica distante la probleme geometrice in spatii euclidiene. Consideram v.s. Rn

cu produsul scalar canonic: pt. x p x1, . . . xn q and y p y1, . . . , yn q Rn produsul

scalar este

x x, y y

n

i 1

xkyk

Fie D1 , D2 doua drepte (var. lin. 1 dimensional ), M un punct (var. lin. zero dim.)

(il asimilam cu vector 0M , P o var. lin. doi dim. (un plan), iar H o var. lin. n ¡ 1


Cl j N 2007 2008 R d




(hiperplane). Ecuatiile acestora sunt:

D1 : x x1 sd1

D2 : x x2 td2

M : x xM

P : x xP αv1 βv2

H : x x, n y b 0,

unde s , t , α , β , b R. Reamintim ca doua var. liniare sunt paralele d.s.n.d unul din

subspatiile directore este inclus in celalalt.

Acum putem scrie formulele de baza pt. spatii euclidiene (rel. la distante).

Algebra liniara 105

Cl j N 2007 2008 R d




dp M, D1 q

d

G p xM ¡ x1, d1 q

G p d1 q

;

dp M, P q

d

G p xM ¡ xP , v1, v2 q

G p v1, v2 q

;

d p D1, D2 q

d

G p x1 ¡ x2, d1 q , d2

G p d1, d2 q

if D1 D2

d p D1, D2 q

d

G p x1 ¡ x2, d1 q

Gp d1, q

if D1 D2

dp M, H q

| x xM , n y b|

}

n}

dp D1, P q

d

G p x1 ¡ xP , d1, v1 v2 q

G p d1, v1, v2 q

if D1 P

Algebra liniara 106

Cl j N 2007 2008 R d




Bibliografie


Cluj Napoca 2007 2008 Radu




The Jordan canonical form

In a previous chapter we have seen the endomorphisms which are diagonalizable.

Fie V s.v. finit dim. n peste F. Fie T : V Ñ V si consideram λ0 o valoare proprie

a lui T . Consideram forma matriciala a endom. intr-o baza data, T p v q M T v. Valorile

proprii sunt radacini ale polinomului detp M t ¡ λI n q 0. Acest polinom nu depinde de

alegerea bazei (not very hard) (and of the matrix M T ). De aceea il numim polinomulcaracteristica al endomorfismului T , si il vom nota cu P p λ q . E clar ca deg P n.

Sometimes it is called the characteristic polynomial of the matrix, but we understand

that is the matrix associated to an operator.

Fie mp λ0 q multiplicitatea lui λ0 ca si radacina a polinomului caracteristic. Asociat

val. proprii λ0 consideram subspatiul propriu corespunzator lui λ0:

E p λ0 q t v V | T p v q λ0v






Consideram o baza a lui V and let M T be the matricea lui T in aceasta baza. Avem

Teorema 81. dim E p λ0 q n ¡ rank p T ¡ λ0I q mp λ0 q

no proof here

Fie T End p V q , si pp ca rad. pol. caracteristic sunt in F. Fie λ o rad., i.e.

val proprie a lui T . Consideram m multiplicitatea algebrica a lui λ si q dim E p λ q ,

multiplicitatea geometrica λ.

Este pos. sa gasim q vectori proprii si m ¡ q principal vectors, toti liniar independenti.

Un vector propriu v si vectorii principali corespunzatori u1, . . . ur satisfac

T p v q λv,T p u1 q λu1 v , . . . , T p ur q λur ur¡ 1

Acesti vectori proprii si valori proprii asociati lui T considerand toate valorile proprii

ale lui T formeaza o baza in V , numita baza Jordan relativ la T . Matricea lui T relativ

Algebra liniara 109





la o baza Jordan s.n. matrice Jordan, si are forma¤

¦

¦

¦

¥

J 1J 2

. . .

J p

J ’s are matrix, called Jordan cells. Each cell represents the contribution of an

eigenvector v, and the corresponding principal vectors, u1

, . . . ur

, and it has the form

¤

¦

¦

¦

¦

¦

¥

λ 1

λ 1

λ 1. . . 1

λ

Mr 1 p Fq

It is easy to se that the Jordan matrix is a diagonal matrix iff there are no principal

vectors iff mp λ q dim E p λ q for each eigenvalue λ.

Algebra liniara 110

Cluj Napoca 2007-2008 Radu




Let M T be the matrix of T with respect to a given basis B, and J be the Jordan

matrix with respect to a Jordan basis B I . Late C be the transition matrix from B to B I .

Then J

C

¡ 1

T C , hence M T

CJ C

¡ 1

.

Algebra liniara 111

Cluj Napoca 2007-2008 Radu



Cluj Napoca, 2007 2008 Radu

Operatori pe spatii cu produs scalar.Functionale liniare. Adjunctul

unui operator.

O functionala liniara pe un s.v. V este o aplicatie liniara f : V Ñ F.

Ex. f : F3Ñ F data de f p v1, v2, v3

q 3v1 4v2 ¡ 5v3 este functionala liniara pe

F3.

Pt. v V , aplicatia f : V Ñ F data de f p u q x u, v y functionala liniara.

The next fundamental theorem shows that every linear functional on V is of this form.

Teorema 82. Pp. ca f este functionala liniara pe V . Atunci exista un unic vector

v V a.i.

f p u q x u, v y .




Cluj Napoca, 2007 2008 Radu

0 x u, v1 y ¡ x u, v2 y x u, v1 ¡ v2 y d v V

Pt. u

v1¡

v2 it follows that v1

v2, so v is unique. Gata Dem.

Consideram alt s.v. W peste F, si un produs scalar pe el.

Fie T Lp V, W q un operator continuu (ca si functie continua pe sp. normate-sau

metrice) Definim adjunctul lui adjunctul lui T in continuare.

Fixam w W . Consideram functionala liniraa pe V care aplica v in x T p v q , w y W .Rezulta ca exista un unic vector T ¦

p w q V a.i

x v, T ¦

p w q y V x T p v q , w y W d v V

Operatorul T : W Ñ V construit mai sus s.n. adjunctul of T .

Ex. Fie T : R3Ñ R2 dat de T p x , y , z q p y 3z, 2x q .

T ¦ : R3Ñ R2. Fixam p u, v q R2. Rezulta

Algebra liniara 114




j p ,

x p

x , y , zq

, T

¦

p

u, vq y x

T p

x , y , zq

,p

u, vq y

x p y 3z, 2x q , p u, v q y

yu 3zu 2xv

x p x , y , z q , p 2v, u, 3u q y

d p

x , y , zq

R3

. AdicaT

¦

p u, v q p 2v, u, 3uq

In ex. ant. T ¦ nu etse doar aplicatie din R2 in R3, dar este de asemenea liniara.

Vom dem. aceasta in general. Fie T Lp V, W q , deci vrem sa dem. ca T ¦

L p W, V q .

Fie w1, w1 W . Din def. se vede ca:

Algebra liniara 115




j p ,

x T p v q , w1 w2 y x T p v q , w1 y x T v , w2 y

x v, T ¦

p w1 q y x v, T ¦

p w2 q y

adica T ¦

p w1 q T ¦

p w2 q joaca rolul lui T ¦

p w1 w2 q . Din unicitatea dem. anterior avem

ca

T ¦

p w1 q T ¦

p w2 q T ¦

p w1 w2 q .

Ramane sa verificam omogenitatea lui T ¦ . Pt. a F avem

x T p v q , aw y ax T p v q , w y

ax v, T ¦

p w q y

x v,aT ¦

p w q y .





j p

Aceasta arata ca aT ¦

p w q joaca rolul lui T ¦

p aw q , si din nou din unicitate avem

aT ¦

p w q T ¦

p aw q .

Atunci T ¦ este liniara.

Se poate verifica (I kindly ask you to do the job !) ca sunt adevarate proprietatile:

aditivitate p S T q

¦

S ¦

T ¦ for S T Lp V, W q

omogenitate conjugata p aT q

¦

aT ¦

for a F and T Lp V, W q

adjuctul adjunctului p T ¦

q

¦

T for all T Lp V, W q

identitate I ¦

I , if I I V .

produs p ST q

¦

T ¦ S ¦ for all T Lp V, W q and S Lp W, U q .

Proposit ia 83. Pp. ca T Lp V, W q admite cojugat, T ¦ . Atunci

1. ker T ¦

p im T q

u

2. ıT ¦

p ker T q

u

Algebra liniara 117




3. ker T p im T ¦

q

u

4. im T p ker T ¦

q

u

Dem. (a). Fie w W . Atunci

w ker T ¦

ô T ¦

p w q 0

ô x

v, T

¦

p

wq y

0d

v

V

ô x T p v q , w y 0 d v V

ô w p im T q

u

,

adica ker T

¦

p

im T q

u

. Daca virgula consideram complement ortogonal in ambii termeni,obtinem (d). Inlocuind T cu T ¦ in (a) and (d) gives (c) and (b). Gata Dem.

Transpusa conjugata a unei matrici p m, nq este o matrice n, mq obtinuta schimband





liniile cu coloanlele si considerand conjugatul complex in fiecare termen.

Propositia 84. Suppose that T Lp V, W q . If p e1, . . . , en q , and p f 1, . . . , f m q are

orthonormal basis fos V and W resp., and we denote bu=y M T and M T ¦ the matrices of

T and T ¦ in these basis, then M T ¦ is the conjugate transposed of M T .

Dem. The kth column of M T is obtained by writing T p ek q as linear combination

of f j’s, the scalars used became the kth column of M T . Being the basis with f j’s

orthonormal, it follows that

T p ek q x T p ek q , f 1 y f 1 ¤ ¤ ¤ x T p ek q , f m y f m

So on the position p k, j q of M T we have x T p ek q , f j y . Replacing T with T ¦ and

interchanging the roles played by e’s andf ’s, we see that the entry on the position p j, k q of

M T ¦ the entry is x T ¦

p f k q , ej y , which equals to x f k, T p ej q y , which equals to x T p ej q , f k y .

In others words, M T ¦

equals to the complex conjugate of M T . Gata Dem.





Operatori normali

Un operator pe un s.v. cu produs scalar s.n.normal daca el comuta cu adjunctul sau,

adica

T T ¦

T ¦

T .

Ex. Pe F

2

consideram operatorul care in baza canonica are matricea¢

2 ¡ 3

3 2

.

This is a normal operator (vom vedea ca nu este autoadjunct).

Propositia 85. Un operator T L p V q este normal d.s.n.d.

} T p v q } } T ¦

p v q } .





Dem. Fie T Lp V q .

Testenormal ð ñ T ¦

T ¡ T T ¦

0

ð ñ x p T ¦

T ¡ T T ¦

q p v q , v y 0 for all v V

ð ñ x T ¦

T p v q , v y x T T ¦

p v q , v y for allv V

ð ñ } T p v q }

2 } T

¦

p v q }

2 for allv V.

Gata Dem.

Teorema 86. Fie T un operator normal pe V si λ0 o val. prop.a lui T .

1. Subspatiul prpriu E p λ0 q este T ¦ invariant.

2. Daca v0 este vector propriu a lui T corespunzator val. prop. λ0, atunci v0 este vector

propriu a lui T ¦ corespunzator val. proprii λ0.

3. Fie v, w vectori proprii coresp. val. proprii distincte λ, β. Atunci v, w sunt ortogonali.

Dem. Fie v E p λ0 q . De. ca T ¦

p v q E p λ0 q .





T p v q λ0v, avem

T p

T

¦

p

vq q p

T T

¦

q p

vq p

T

¦

T q p

vq

T

¦

p

T p

vq q

T

¦

p

λ0vq

λ0T

¦

p

vq

.

adica T ¦

p v q E p λ0 q .

Pentru a doua parte avem ca T p v0 q λ0v0. Fie w E p λ0. Atunci

x T ¦

p v0 q , w y x v0, T p w q y

x v0, λ0w y λ0 x v0, w y x λ0v0, w y

Adicatelea

x T ¦

p v0 q ¡ λ0v0, w y 0 ,

pt. orice w E p λ0 q . Primul termen in produsul scalr sta in E p λ0 q conform afirmatiei

anterioare. Fie w T ¦

p v0 q ¡ λ0v0 si rezulta ca T ¦

p v0 q λ0v0, i.e. adica a doua parte

in teorema.

Acum ultima afirmatie. Avem T p v q λv and T p β q βw. Din ce am dem. rezulta

Algebra liniara 122




ca T ¦

p w q βw, adica

x T p v q , w y x v, T ¦

p w q

(def. of adjoint), deci λx

v, wy

βx

v, wy . Deoarece λ

$

β, rezulta ca x

v, wy

0.Gata Dem.

Un spatiu unitar este un s.v. cu produs scalar peste C.

Proposit ia 87. Daca U este subspatiu T invariant in V atunci U u este T ¦ invariant in

V .

Dem.

w U u

, v V ù ñ w U u

, T p v q U ù ñ x v, T ¦

p w q y x T p v q , w y .

That is T ¦

p w q U u .

Gata Dem.

Teorema 88. Pp. V este finit dim. unitar , si T L p V q operator pe V . Atunci T

Algebra liniara 123




este normal iff exista o baza ortonormala B in V a.i. matricea in acesta baza sa fie T

diagonala.

Dem. Inductie n dim V . Afirmatia este clara pt. n 1. Pp. ca esteadevarata pt. dimensiuni n. Fie T Lp V q . Atunci T are cel putin o val. proprie

λ. Daca dim E p λ q n este suficient sa construim o baza ortonormala in E p λ q . Pt.

dim E p λ q n, alegem E u p λq , si avem 0 dim E u

p λ q n.

E p λ q este T ¦ invariant, deci E u

p λ q este T invariant. Din ipoteza de inductie, E u

p λ q

are o baza ortonormala formata din vectori proprii a lui T . Adaugam aceasta baza labaza ortonornala a lui E p λq . Rezulta o baza ortonormala in V formata din vectori proprii.

Gata Dem.

Teorema 89. Complex spectral theorem Pp. ca V este s.v. comlex cu produs

scalar. Atunci T are o baza ortonormala formata din vectori proprii iff T este normal.

Dem. Pp. ca T are o matrice diagonala. Matricea lui T

¦

este transpusa conjugata,deci este din nou diagonala .Orice doua matrici diagonale comuta, , adica T este normal.

Pt. cealalta implicatie pp. T normal. Exista o baza in V a.i matricea lui T este sup.

Algebra liniara 124




triunghiulara. Aratam ca matricea este diagonala.

Avem

} T p e1 q } | a1,1 |

2

si

T ¦

p e1 q α1,1 |

2 ¤ ¤ ¤ | a1,n |

2

Deoarece T este normal, normele sunt egale, adica a1,2 ¤ ¤ ¤ a1,n 0,

s.a.m.d(complete the proof on your own please ). Gata Dem.





Izometrii

Un operator T L p V q s.n. izometrie daca

} T p v q } } v , for all v V.

Ex.Fie

I aplicatia identica a lui

V (

V complex v.s.), si

λinC cu

| λ | 1. AplicatiaλI este izometrie.

Daca T este izometrie rezulta ca T este injectiva(prove it please ).

Teorema 90. pp. T L p V q .Sunt echivalente afirmatiile:

1. T este isometrie 2. x T p u q , T p v q y x u, v y for every u, v V .

3. T ¦ T I .

Algebra liniara 126




4. p T p e1 q , . . . , T p em q q este fam. orotnormala daca p e1, . . . em q este familie ortonormala.

5. Exista o baza orotnormala p e1, . . . en q in V a.i. p T p e1 q , . . . , T p en q q este baza

ortonormala.6. T ¦ este izometrie.

7. x T ¦

p uq , T ¦

p v q y x u, v y for all u, v V .

8. T T ¦

I

9. p T ¦

p e1 q , . . . , T ¦

p em q q este familie oronormala daca p e1, . . . em q familie oronotmala.

10. Exista o baza orotnormala p e1, . . . en q of V a.i. p T ¦

p e1 q , . . . , T ¦

p en q q este baza

ortonormala.

11. S ¦ izometrie.

Dem. Pp. (1) adevarata. Folositi problemele de pe fisierul pdf si rezulta (2). Pp. (b)

adevarata. avem

x p T ¦

T ¡ I q p u q , v y x T p uq , T p v q y ¡ x u, v y 0 .

pt. orice u, v V . Fie v p S ¦ S ¡ I q p u q si rezulta ca T ¦ S ¡ I 0. i.e. (3).





Pp. ca are loc (3). Fie p e1 . . . em q o fam. ortonormala in V . Atunci

x T p ej q , T p ek q y x T ¦

T p ej q , ek y x ej, ek x

i.e. (4) adevarata. Clar (4) implies (5).

Pp. (5) adev. Fie o baza ortonormala p e1, . . . en q of V a.i. p T p e1 q , . . . , T p en q q e

baza ortonormala. Pt. v V

}

T p

V q }

2 }

T p x

v, e1y

e1 ¤ ¤ ¤ x

v, eny

enq }

2

} x v, e1 y T p e1 q ¤ ¤ ¤ x v, en y T p en q }

2

| x v, e1 y |

2 ¤ ¤ ¤ | x v, en y |

2

} v }

2.

Rezulta ca T izometrie. Avem 1 ð ñ 2 ð ñ 3 ð ñ 4 ð ñ 5 ð ñ 1. Imlocuim T cu

T ¦ si rezulta ca (6) pana la (10) sunt echivalente. Ramane sa dem. echivalenta a dou din

afirmatii din fiecare grup.

Algebra liniara 128




p 3q ô p 8q se vede usor (prove it yourself please !! q .

Gata Dem.

Teorema arata ca o izometrie este operator normal. Folosind caracterizarea operatorilor

normali putem descrie frumos isometriile.

Teorema 91. Pp. ca V este s.v. complex cu produs scalar si T Lp V q . Atunci T este

izometrie iff exista o baza orotnormala a lui V formata din vectori proprii ai lui T a caror

valori proprii au modul 1.

Dem. Pp, ca exista o baza ortonormala formata din vectori proprii asociati la valori

proprii de modul 1.Daca ne apucam de calculat avem pt orice v V

T p v q αv,e1 y T p e1 q . . . x S v , en y T p en q

λ1 x v, e1 y e1 ¤ ¤ ¤ λn x v, en y en

Acum sa dem. cealalta implicatie.PP. ca T este izometrie. Din teorema de descompunere

spectrala in spatii cimplexe rezulta ca exista o baza formata din vectori proprii . Fie ej un

Algebra liniara 129




astfel de vector propriu, asociat unei valori proprii λj. Rezulta ca

| λj | } λjej } } T p ej q } } ej } 1

Gata Dem.

Teorema 92. Pp. ca V este sp. vect. real cu produs scalar si T L p V q . Atunci T

este izometrie iff exista o baza ortonormala in V in raport cu care matricea lui T este

diagonala cu blocuri iar fiecare bloc este o matrice de tip p 1, 1q formata din 1 sau ¡ 1, sau

o matrice de tip p 2, 2q de forma¢

cos θ ¡ sin θ

sin θ cos θ

with θ p 0, π q .

Dem. you will see it on the net. Gata Dem.

Algebra liniara 130




Operatori autoadjuncti

Un operator T L p V q s.n. autoadjunct daca T T ¦ .

Ex. Fie T un operator pe F2 a carui matrice relativ la baza standard este

¢

2 b

3 5

.

T este autoadjunct iff b 3. Se verifica virgula ca (please do it ), suma a doi

operatori autoadjuncti si produsul unui operator autoadjunct cu un scalar sunt operatori

autoadjuncti.

Important analogy. Keep it in mind please! In special cand F C este urila

analogia ca adjunctul unui operator pe L p V q joaca rolul conjugarii complexe pe C. Un nr.

complex este real iff z z; un operator este autoadjunct T T ¦ este analog cu nr. real.

Analogia este reflectata in anumite proprietati importante ale operatorilor autoadjuncti,

incepand cu valorile lor proprii.

Algebra liniara 131


93



Propositia 93. Valorile proprii ale unui operator autoadjunct sunt reale.

Fie v, w vectori proprii corespunzatori la val proprii distincte. Atunci x v, w y 0.

Dem. Suppose that T is self-adjoint operator on V . Let λ be an eigenvalue of T ,

and v be an eigenvector, that is T p v q λv. The

λ } v }

2 x λv,v y

x

T p

vq

, vy

x v , T v y because T is self adjoint

x v, λv y

λ } v }

2.

Thus λ

λ, i.e. λ is real.

The next assertion cames from the fact that a self-adjoint operator is normal. Gata

Dem.



9



Teorema 94. Let T Lp V q , where V is an inner product space. The following

statements are equivalent.

1. T is self-adjoint

2. There exists an orthonormal basis of V relative to which the matrix of T has the form

T diag p λ1 . . . , λn

Algebra liniara 133


El f



Elements of geometry

following joint notes with I. Rasa and D. Inoan



F t ti



Forme patratice

Consideram Rn si baza canonica E t e1, . . . , en , notam x p x1, . . . , xn q

coordonatele unui vector in baza E. O forma patratica este o aplicatie Q : RnÑ R,

Qp xq a11x21 . . . annx

2n 2a12x1x2 ¤ ¤ ¤ 2aijxixj . . . 2an

¡ 1,nxn¡ 1xn,

unde aij’s sunt reali.

Notam:

X

¤

¦

¦

¦

¥

x1

x2...

xn

, andA

¤

¦

¦

¦

¥

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . . . .

an1 an2 . . . ann



d M t i l i t i A il i t i f i t ti E l



unde aij aji. Matrixul simetric A il vom numi matricea formei patratice. E clar ca

Q p x q XtAX.

Fiind A simetrica (and reala) e matricea unui operator autoadnjuncin baza E.

Operatorul e diagonalizabil. Fie B t β1, . . . , bn o baza formata din vectori proprii

in raport cu care T ar o matrice diagonala formata din vectori proprii , o notam tot

T diag t λ1. . . . , λn .

LFie C matricea de tranzitie de la E la B si p x I

1, . . . xI

n q coordonatele unui vector in

B. Atunci X CX I

We know that T C ¡ 1AC . Now C ¡ 1 C t plzzzzzzzzz prove it Adica

Qp x q XtAX p CX

I

q

tA p CX

I

q p XI

q

tC

tACX

I

XI tT X

I

λ1xI 21 ¤ ¤ ¤ λnx

I 2n.

So we reduced the quadratic form to a canonical form

Algebra liniara 136




Q p x q λ1xI

2

1 ¤ ¤ ¤ λnxI

2

n.

Aceasta e o metoda geometrica, vom vedea altele. Ne intoarcem la A si notam minoriidiagonali

D1 a11 , D2

˛˛˛˛

a11 a12

a21 a22

˛˛˛˛

, Dn det A

Forma patratice s.n.

pozitiv definita daca Qp x q 0 for every x Rnz t 0

negativ definita daca Qp xq 0 for every x Rnz t 0 .

Avem criteriul :

Q este positiv definita iff Di 0 for every i 1, n

Q este negativ definita iff p ¡ 1q

iDi 0 for every i 1, n



C d i



Cuadrice

The general euation of a quadric is

a11x2

a22y2

a33z2

2a12xy 2a13xz 2a23yz

2a14x 2a24y 2a34z a44 0

You will find on the net examples. Plzzz learn them for exams.

STudiem cum sa reducem ecuatia generala la forma canonica folosind:

Q a11

x2

a22

y2

a33

z2

2a12

xy 2a13

xz 2a23

yz

geometric.





The equation becomes



The equation becomes

λ1xI

2 λ1y

I

2 λnz

I

2 2a

I

14xI

2aI

24yI

2aI

34zI

a44 0

(A) Pt λ1 $ 0 avem

λ1 p xI

¡ x0 q

2 λ2 p y

I

¡ y0 q

2 λ3 p z

I

¡ z0 q

2 a

I

44 0

Consideram translatia definita x” x I

¡ x0 , y” y I

¡ y0 , z” z I

¡ z0. In the

new coordinates the equation became

λ1x”2

λ1y”2

λnz”2

aI

44 0

(B) and (C) that is when one or two of λ’s are zero can be treated similarly.

Algebr˘ Liniar˘. a A

Documents

Transcript of Algebr˘ Liniar˘. a A