9 can thuc nc

Căn thức Thầy Hồng Trí Quang

1

Phần 1. Rút gọn căn thức

Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau: A 8 8 20 40

2 2 2A 8 8 20 40 5 2 1 2 2 1 2 5 1 2 2 5 .

= 2

5 2 1 5 2 1 .

Bài 2. Đề thi chuyên ngữ 2014

Cho biểu thức: 2 4 2 1 1 2

: 318 2 1

x x x xA

xx x x x

1. Rút gọn A

2. Tìm giá trị của x để A > 1

Đk: 1; 3; 4; 0x x x x (thiếu đk trừ 0,25đ)

2 4 2 1 1 2: 3

18 2 1

x x x xA

xx x x x

1 1 3( 2) ( 1) 2( 2):

2 1 2

x x x x

x x x

1 1 2 2 1.

3( 2) ( 1) 2( 2)2 1

x x x x x

x x xx x

1 2 1 1.

3 91 3( 1)

x x x x x

xx x

b) Để A > 1 ta có: 1

1 03( 1)

x

x

2 4 20 0 1 2 1 4

3( 1) 1

x xx x

x x

Kết hợp với điều kiện, kết luận: 1 4; 3x x (thiếu x khác 3 trừ 0,25đ)

Bài 3. Hsg Bình Thuận

3 32

2

1 1 . 1 1

2 1

x x x

Ax

a) Rút gọn A

b) Tìm x biết 1

2A


2

Bài 4. Hsg Nam Định. Cho 𝑥 ≠ 0,−1 < 𝑥 < 1, 1 x 1 x

21 x 1 x

. Chứng minh rằng:

112 2 17

1

x

x

Bài 5. Cho y x 2 x 1 x 2 x 1 . CMR, nếu 1 ≤ x ≤ 2 thì giá trị của y là một

hằng số. HD Nếu 1 ≤ x ≤ 2 thì y = 2.

Tự luyện

Bài 6. Tính giá trị của biểu thức sau bằng hai cách: 3 5 3 5A

HD: nhân thêm hoặc bình phương

Bài 7. Cho biểu thức 4 2A 20a 92 a 16a 64 ;

4 3 2B a 20a 102a 40a 200

a) Rút gọn A

b) Tìm a để A + B = 0

HD b) luôn có nhân tử (a + 10)

Bài 8. Hsg Thanh Hóa. Rút gọn

2

4x 1 4x 1

2 2

1 816

x x

A

x x

Bài 9. Cho biểu thức: xxx

xx

xx

xx

x

xP

2122 .1;0 xx

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tính giá trị của thức P khi 223x

c) Chứng minh rằng: với mọi giá trị của x để biểu thức P có nghĩa thì biểu thức P

7 chỉ

nhận một giá trị nguyên.

Đs a) 2 2 2x x

Px

b) 4 2 2P ; c)

14;

4x x

Bài 10. Đề thi CVA& Amsterdam 2003 – 2004

Cho biểu thức: P =

2x x 2x x 2(x 1)

x x 1 x x 1


3

a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị lớn nhất của P.

c) Tìm x để biểu thức Q = nhận giá trị là số nguyên.

Bài 11. Cho biểu thức 3 3

3 3

1 1 2 1 1. :

x y x x y yP

x yx y x y x y xy

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P.

b) Cho 16xy . Xác định x, y để P có giá trị nhỏ nhất.

a) x y

Pxy

b) GTNN của P bằng 1 tại 4x y .

Bài 12. Hsg T.T.Huế. Cho

𝐴 = (6𝑥 + 4

3√3𝑥3 − 8−

√3𝑥

3𝑥 + 2√3𝑥 + 4)(

1 + 3√3𝑥3

1 + √3𝑥− √3𝑥)

a) Rút gọn A

b) Tìm x nguyên để A nguyên

Bài 13. Rút gọn

a)

2

2

2a 1 xC

1 x x

với

1 1 a ax

2 a 1 a

; 0 < a < 1

b) 2 2

2

a 1 b 1D (a b)

c 1

với a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1

HD

a) Trước hết tính x theo a được 1 2a

x2 a(1 a)

. Sau đó tính

21 x được 1

2 a(1 a).

Đáp số : B = 1.

b) Ta có a2 + 1 = a2 + ab + bc + ca = (a + b)(a + c). Tương tự :

b2 + 1 = (b + a)(b + c) ; c2 + 1 = (c + a)(c + b). Đáp số : M = 0.

Phần 2. TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC

Bài 14. Biết a – b = 2 + 1 , b – c = 2 - 1, tìm giá trị của biểu thức :

2 x

P


4

A = a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca.

Bài 15. Tính giá trị biểu thức 3 384 84

1 19 9

Đặt A = 3 384 84

1 19 9

Suy ra :

2 2

33 3

84 84 84 84 84 841 1 3 1 1 3 1 1

9 9 9 9 9 9A

33 3

1 84 1 842 3 1 3 1

27 9 27 9A

3 3

84 842 1 1

9 9

3 22 1 2 0A A A A A 1A

Bài 16. Hsg Hải Dương. Tính giá trị của biểu thức: A = 3 22 3 4 2x x x

với 5 5 5 5

2 2 3 5 12 2

x

Đặt 5 5 5 5

a = 2 + 2 -2 2

, a > 0

2

2 5 5a 4 2 4 4 6 2 5 4 5 1 3 5 3 5

2a

6 2 5 6 2 53 5 3 5 1 1

2 2x

5 1 5 11 2 1

2 2

2x = 2 1 2 1 0x x

B = 2x3 + 3x2 – 4x + 2

B = 2x(x2 + 2x -1 ) - ( x2 + 2x -1 ) + 1 = 1

Bài 17. Gọi a là nghiệm dương của phương trình: 22 1 0x x . Không giải phương trình, hãy

tính giá trị biểu thức:

4 2

2 3

2 2 2 3 2

aC

a a a

HD Từ gt: 4 20 1;2 1 2a a a a . Liên hợp biểu thức C ta có:


5

4 2

4 2

2 3 2 2 2 3 22 3

2(2 3)2 2 2 3 2

a a a aa

Caa a a

2 21 12 2 2

2 2a a

Bài 18. Cho hai số thực x, y thỏa mãn: (√𝑥2 + 1 + 𝑥)(√𝑦2 + 1 + 𝑦) = 1. Tính x + y

Liên hợp, đs x + y = 0

Bài 19. Hsg Hà Tĩnh. Tính tổng 𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑛, với n = 1, 2, … 2005 biết

𝑎𝑛 =1

(𝑛 + 1)√𝑛 + 𝑛√𝑛 + 1

Tự luyện

Bài 20. Cho 3 37 50 7 50x Chứng minh rằng:

a) x là nghiệm của phương trình 3 14 3x x

b) x là số tự nhiên.

c) Tính3 3a 20 14 2 20 14 2 .

Bài 21. a) Cho 1

a8

. Tính giá trị biểu thức: 3 3a 1 8a 1 a 1 8a 1

P a a3 3 3 3

b) Cho 3b 2020 , tính giá trị biểu thức:

3 2 2 3 2 2

3 3b 3b (b 1) b 4 b 3b (b 1) b 4

Q2 2

Bài 22. a) Chứng minh rằng với mọi a, b, c ≠ 0 thì: 2

2 2

2

11

a aa b a b

aabb

b) Tính

2

2 20051 2005

2006

A

Bài 23. Tính giá trị biểu thức:

20122

20125 4 3

5 4 3 2012

31

2

x xA x x x

x x x

khi

5 1

2x

Đs A = 0

Bài 24. Cho hai số thực x, y thỏa mãn: (√𝑥2 + 4 − 𝑥)(√𝑦2 + 4 − 𝑦) = 4. Tính x + y


6

Bài 25. Cho số tự nhiên x, y thỏa mãn 2 2x 1 y y 1 x 1 . Tính giá trị của biểu

thức: 7 7 5 5 3 3P x y 2x 2y 3x 3y 4x 4y 100

Bài 26. Hsg Phú Yên. Cho 1 3

2x

,

1 3

2y

. Tính 𝑥11 + 𝑦11

Phần 3. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC

Bài 27. 1) Cho a + b + c = 0 ; a, b, c ≠ 0. Chứng minh đẳng thức : 2 2 2

1 1 1 1 1 1

a b c a b c

2) Cho a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau. CM

2 2 2

1 1 1S

a b b c c a

là

số hữu tỉ

3) Rút gọn:

2 22 2 4 4 2 2

1 1 1 1 1P

x y x yx y x y

HD 1) bđ bình phương; 2) Áp dụng câu 1 có: 1 1 1

Sa b b c c a

3)

2 2 2 2 24 4 2 22 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1

x y x y x yx y x y x y

22 2

1 1 1 1 1 1P

x y x y x yx y

Bài 28. Hsg Phú Thọ. Cho x, y, z dương thỏa mãn xyz = 100. Tính giá trị biểu thức:

𝐴 =√𝑥

√𝑥𝑦 + √𝑥 + 10+

√𝑦

√𝑦𝑧 + √𝑦 + 1+

10√𝑧

√𝑧𝑥 + 10√𝑧 + 10

Bài 29. *Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: a b c a b c 2 . Chứng minh

rằng:

a b c 2

1 a 1 b 1 c (1 a)(1 b)(1 c)


7

HD Đặt x a; y b; z c; có:

2 2 2x y z x y z 2 suy ra: xy yz zx 1

a b c x y z

1 a 1 b 1 c (x y)(x z) (x y)(y z) (x z)(y z)

2(xy yz zx)

(x y)(y z)(z x)

=

2

(1 a)(1 b)(1 c)

Tự luyện

Bài 30. a) Rút gọn biểu thức: 2 2

1 1A 1

a (a 1)

b) Tính giá trị của: 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1B 1 1 ... 1

1 2 2 3 99 100

HD Áp dụng rút gọn a + b + c = 0 có: 2 2 2

1 1 1 1 1A 1

1 a ( a 1) a a 1

2a a 1 1 1A 1

a(a 1) a a 1

;

1B 100 99,99

100

Bài 31. Với mỗi số nguyên dương 𝑛 ≤ 2008, đặt 𝑆𝑛 = 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 với 3 5

2a

,

3 5

2b

.

Chứng minh rằng:

a) Với 𝑛 ≥ 1, ta có:

𝑆𝑛 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎𝑛+1 + 𝑏𝑛+1) − 𝑎𝑏(𝑎𝑛 + 𝑏𝑛)

b) Với mọi n thỏa mãn điều kiện đề bài, 𝑆𝑛 là số nguyên

c)

2

5 1 5 12

2 2

n n

nS

Tìm tất cả các giá trị của n để 𝑆𝑛 − 2 là số chính phương.

Bài 32. a) **Cho 2 4 2 2 2 43 3P x x y y x y . Chứng minh rằng:

3 32 2 23P x y

b) Cho a, b, c, x, y, z thỏa mãn điều kiện: 3 3 3ax by cz và

1 1 11

x y z . Chứng minh rằng:

2 2 2 3 3 33 ax by cz a b c

21 a xy yz zx x (x y)(x z)


8

HD

3 3 32 2 2 3 333 3 3

ax by cz 1 1 1ax by cz ax ax

x y z x y z

33 33 333 33 33 3 3

byax cz 1 1 1a b c ax ax

x y z x y z

Bài 33. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn: a b c và 2( )a b a b c . Chứng

minh rằng:

2

2

( )

( )

a a c a c

b b c b c

Hướng dẫn

Bài 1 2 2( ) ( ) ( 2 )( )a b a b c a a b c b a b c a c

2 2( ) ( ) (2 )( )a b a b c b a b c a a b c b c

2 2

2 2

( ) ( 2 )( ) ( )

( ) (2 )( ) ( )

a a c a b c a c a c

b b c a b c b c b c

...

a c

b c

Phần 4. BẤT ĐẲNG THỨC

Bài 34. Chứng minh: (HSG 2001) 2 2 2 2 2 1

32 2 2 2

Bài 35. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng tồn tại một số dương trong hai số:

2a b 2 cd và 2c d 2 ab

HD Xét tổng hai số

Bài 36. Tính giá trị của biểu thức x2 + y2 biết rằng : 2 2x 1 y y 1 x 1 .

Áp dụng Bunhia

Bài 37. Chứng minh rằng : 1

2 n 1 2 n 2 n 2 n 1n

. Từ đó suy ra:

1 1 1

2004 1 ... 20052 3 1006009

Ta có : 1 1 1 1 1 1 1 1

k. k k(k 1)k k k 1(k 1) k k k 1 k k 1


9

= k 1 1

1k 1 k k 1

. Do đó :

1 1 12

(k 1) k k k 1

.

Vậy : 1 1 1 1 1 1 1 1 1

... 2 1 2 ... 22 3 2 4 3 (n 1) n 2 2 3 n n 1

= 1

2 1 2n 1

(đpcm).

Bài 38. a) Chứng minh *n N . Ta có :

1 1 1

1 1 1n n n n n n

b) Tính : 1 1 1 1

2 2 3 2 2 3 4 3 3 4 2012 2011 2011 2012S

Bài 39. CMR, n ≥ 1 , n N : 1 1 1 1

... 22 3 2 4 3 (n 1) n

Ta có 1 n 1 1 1 1 1 1

n nn(n 1) n n 1(n 1) n n n 1 n n 1

n 1 1 1 11 2

n 1 n n 1 n n 1

. Từ đó ta giải được bài toán.

Tự luyện

Bài 40. Chứng minh rằng: 2 3 4... 2010 2011 3

Bài 41. Tìm GTNN của biểu thức : 3 3 3 3A x 2 1 x 1 x 2 1 x 1 .

Bài 42. Tìm x, y, z biết rằng : x y z 4 2 x 2 4 y 3 6 z 5 .

Bài 43.

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương k ta có: 1 1 1

2( 1) 1k k k k

b) Chứng minh rằng: 1 1 1 1

... 22 3 2 4 3 ( 1)n n

Bài 44. Tính : 1 1 1 1

A ...2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 100 99 99 100

.


10

Ta hãy chứng minh : 1 1 1 9

A10(n 1) n n n 1 n n 1

Bài 45. Tìm GTLN của biểu thức

a) A = 3 5 7 3x x b) B = 5 23x x

Giải: ĐKXĐ: 5

3 x

7

3

A2 = 3x- 5 + 7- 3x + 2 (3 5)(7 3 )x x

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: A2 2 + ( 3x- 5 + 7 - 3x) = 4

Dấu = xảy ra 3x - 5 = 7 - 3x x = 2

Vậy Max A2 = 4 suy ra Max A= 2 khi x = 2

Bài 46. Chứng minh rằng

a) n Z+ , ta luôn có : 1 1 11 .... 2 n 1 1

2 3 n .

b) S không là số tự nhiên với: 1 1 1

S 1 ...2 3 100

HD nhân 2 cả tử và mẫu, làm trội mẫu

Bài 47. Cho 25 số tự nhiên a1 , a2 , a3 , … a25 thỏa đk :

1 2 3 25

1 1 1 1... 9

a a a a .

Chứng minh rằng trong 25 số tự nhiên đó tồn tại 2 số bằng nhau.

Chứng minh bằng phản chứng. Giả sử trong 25 số tự nhiên đã cho, không có hai số nào bằng

nhau. Không mất tính tổng quát, giả sử a1 < a2 < …. < a25. Suy ra : a1 ≥ 1 , a2 ≥ 2 , …

a25 ≥ 25. Thế thì :

1 2 25

1 1 1 1 1 1.... ....

a a a 1 2 25 (1). Ta lại có :

1 1 1 1 2 2 2.... .... 1

25 24 2 1 25 25 24 24 2 2

2 2 2.... 1 2 25 24 24 23 .... 2 1 1

24 24 23 23 2 2

2 25 1 1 9 (2)


11

Từ (1) và (2) suy ra :

1 2 25

1 1 1.... 9

a a a , trái với giả thiết. Vậy tồn tại hai số bằng

nhau trong 25 số a1 , a2 , … , a25.

Bài 48. Tính tổng A 1 2 3 ... 24

Ta có:

A 1 ... 3 4 ... 8 9 ... 15 16 ... 24

Theo cách chia nhóm như trên, nhóm 1 có 3 số, nhóm 2 có 5 số, nhóm 3 có 7 số, nhóm 4 có 9

số. Các số thuộc nhóm 1 bằng 1, các số thuộc nhóm 2 bằng 2, các số thuộc nhóm 3 bằng 3, các

số thuộc nhóm 4 bằng 4.

Vậy A = 1.3 + 2.5 + 3.7 + 4.9 = 70

Bài 49. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 2 2A x x 1 x x 1

Phần 5. SỐ HỮU TỈ - SỐ VÔ TỈ

Bài 50. Cho a 2

Ma 2

a) Tìm các số nguyên a để M nguyên; b) Tìm các số hữu tỉ a để M nguyên

HD 4

M 1a 2

; a) đs 0; 1; 9; 16; 36; b) Đặt 4

na 2

2n 4a

n

Vì n 02n 4

a 0 0n 2n

. Khi đó

22n 4

an

Vậy

22n 4

an

với n Z \ 0; 1

Bài 51.

a) Chứng minh 3 là số vô tỉ

b) Xác định các số nguyên a, b sao cho một trong các nghiệm của phương trình : 3x3 + ax2 + bx

+ 12 = 0 là 1 3 .

Bài 52. Cho ba số x,y, x y là các số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số x; y đều là các số

hữu tỉ


12

HD đặt x y a, x y b thì a, b hữu tỉ

Nếu b = 0 đpcm

Nếu b khác 0 thì: 1 b

x b2 a

;

1 by b

2 a

đều hữu tỉ.

Bài 53. Chứng minh rằng biểu thức 222221 66666 3 không thể biểu diễn được dưới dạng

2

a1 b 3 với a, b là số nguyên

Bài 54. Cho biểu thức : 1 1 1 1

P ...2 3 3 4 4 5 2n 2n 1

a) Rút gọn P. b) P có phải là số hữu tỉ không ?

Ta có : 1

( a a 1) P ( 2 2n 1)a a 1

.

P không phải là số hữu tỉ (chứng minh bằng phản chứng).

Phần 6. Các bài toán khác

Bài 55. Hãy lập phương trình f(x) = 0 với hệ số nguyên có một nghiệm là : 3 3x 3 9 .

Bài 56. Xác định đa thức bậc 7 có hệ số nguyên nhận 7 73 5

5 3 là một nghiệm.

Bài 57. Cho 𝑐 = √6√3 + 103

, 𝑑 = √6√3 − 103

. Chứng minh rằng 𝑐2, 𝑑2 là hai nghiệm của một

phương trình bậc hai với hệ số nguyên.

𝐻𝐷: 𝑐2 = √(6√3 + 10)23

= √(√3 + 1)63

= (√3 + 1)2= 4 + 2√3, 𝑑2 = 4 − 2√3

Vậy 𝑐2 + 𝑑2 = 8, 𝑐2𝑑2 = 4. Vậy 𝑐2, 𝑑2 là nghiệm của phương trình: 𝑥2 − 8𝑥 + 4 = 0

9 can thuc nc

Education

Transcript of 9 can thuc nc