6 ontbinden in factoren Merkwaardige producten en€¦ · 103 A B C Verder oefenen? 1 a ( a 5) 2 a7...
16
103 A B C Verder oefenen? 1 ( a 5 ) 2 a 7 a 25 a oef. 317 - 318 2 2a 2 b · 4ab 2 16a 6 b 6 8a 6a 2 b 2 oef. 397 3 15x 4 y 3 : (5x 2 y 3 ) 3x 2 y 3x 6 y 6 3x oef. 406 4 (a + b) (c – d) ac – bd ac – ad + bc – bd ac + ad – bc – bd oef. 465 5 (3ab + 6ad) : 3a (a ≠ 0) b + 6ad 3ab + 2d oef. 471 Inhoud G28 Merkwaardig product: kwadraat van een tweeterm p. 104 G29 Merkwaardig product: product van toegevoegde tweetermen p. 106 G30 Ontbinden in factoren: afzonderen van gemeenschappelijke factoren p. 110 G31 Ontbinden in factoren: een tweeterm ontbinden p. 112 G32 Ontbinden in factoren: een drieterm ontbinden als een kwadraat van een tweeterm p. 114 Dit heb je nodig • leerwerkboek p. 103 - 116 • oefenboek nr. 489 - 563 Test jezelf Elke vraag heeft maar één juist antwoord. Controleer je antwoord in de correctiesleutel. Achter elke vraag staat een verwijzing naar extra oefeningen in je oefenboek. Dit kun je al 1 een macht tot een macht verheffen 2 eentermen vermenigvuldigen 3 eentermen delen 4 veeltermen vermenigvuldigen 5 een veelterm delen door een eenterm Merkwaardige producten en ontbinden in factoren 6 a 10 8 a 3 b 3 3 x 2 b + 2d ac – ad + bc – bd
Transcript of 6 ontbinden in factoren Merkwaardige producten en€¦ · 103 A B C Verder oefenen? 1 a ( a 5) 2 a7...
103
A B C Verder oefenen?
1 ( a 5 ) 2 a 7 a 25 a 10 oef. 317 - 318
2 2 a 2 b · 4a b 2 16 a 6 b 6 8 a 3 b 3 6 a 2 b 2 oef. 397
3 15 x 4 y 3 : (5 x 2 y 3 ) 3 x 2 y 3 x 6 y 6 3 x 2 oef. 406
4 (a + b) (c – d) ac – bd ac – ad + bc – bd ac + ad – bc – bd oef. 465
5 (3ab + 6ad) : 3a (a ≠ 0) b + 2d b + 6ad 3ab + 2d oef. 471
Inhoud
G28 Merkwaardig product: kwadraat van een tweeterm p. 104
G29 Merkwaardig product: product van toegevoegde tweetermen p. 106
G30 Ontbinden in factoren: afzonderen van gemeenschappelijke factoren p. 110
G31 Ontbinden in factoren: een tweeterm ontbinden p. 112G32 Ontbinden in factoren: een drieterm ontbinden
als een kwadraat van een tweeterm p. 114
Dit heb je nodig• leerwerkboek p. 103 - 116• oefenboek nr. 489 - 563
Test jezelfElke vraag heeft maar één juist antwoord. Controleer je antwoord in de correctiesleutel. Achter elke vraag staat een verwijzing naar extra oefeningen in je oefenboek.
Dit kun je al1 een macht tot een macht verheffen2 eentermen vermenigvuldigen3 eentermen delen4 veeltermen vermenigvuldigen5 een veelterm delen door een eenterm
Merkwaardige producten en ontbinden in factoren6
a10
8a3b3
3x2
b + 2d
ac – ad + bc – bd
G28
104 Merkwaardige producten en ontbinden in factoren
Op verkenning
Merkwaardig product: kwadraat van een tweeterm
De varkens in ‘Animal Farm’ zijn boos. Hun territorium heeft nu de vorm van een vierkant met zijde a, maar dat is veel te klein. Het gebied dat ze willen inpalmen is echter van de paarden, niet zo eenvoudig dus. Maar de varkens nemen, na enige discussie, een kordaat besluit. Elke zijde van hun vierkant moet met een lengte b groter gemaakt worden (b<a)!
• Wat is de oppervlakte van het nieuwe gebied?
– Hoe bereken je de oppervlakte van een vierkant? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– Wat is de zijde van het oorspronkelijke gebied? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– Wat is de zijde van het nieuwe gebied? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
kwadraat van een tweeterm (meetkundige voorstelling)
kwadraat van een tweeterm (product van twee tweetermen)
• Bereken de oppervlakte van elk gebied.
aa + b b
b
a I II
IVIII
a + b =
S = (a + b ) 2 S = SI + SII + SIII + SIV
S = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SI = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SII = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SIII = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SIV = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• Noteer de resultaten als een gelijkheid.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• Noteer elk kwadraat als een product van twee tweetermen en reken uit.
(x – 3)² = (x – 3) (x – 3)
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(–2 + b)² = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(x + 2)² = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(–5 – y)² = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• Hoeveel termen zijn er telkens in het resultaat? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• Je kunt deze termen ook onmiddellijk berekenen.
vraag antwoord voorbeeld (x–4) 2
Hoe bereken je de eerste term?Wat is het teken? Verklaar.
Hoe bereken je de tweede term (het dubbelproduct)?Wat is het teken? Verklaar.
Hoe bereken je de derde term?Wat is het teken? Verklaar.
Is de volgorde van de termen belangrijk?
�������������
���������
z · z = z2
aa + b
(a + b) (a + b) a · a = a2
x2 – 3x – 3x + (–3)2
x2 – 6x + 9
(–2 + b) · (–2 + b)(–2)2 – 2b – 2b + b2
4 – 4b + b2
(x + 2) · (x + 2)x2 + 2x + 2x + 22
x2 + 4x + 4
(–5 – y) · (–5 – y)(–5)2 + 5y + 5y + (–y)2
25 + 10y + y2
b · b = b2
a2 + ab + ba + b2 a · b = ab
a2 + ab +ab + b2 = a2 + 2ab + b2
a2 + 2ab + b2 a · b = ab
(a + b)2 = a2 + 2ab +b2
Drie
Je berekent het kwadraat van de 1e term. Altijd + omdat een kwadraat
altijd postief is.x2
Je neemt het kwadraat van de 2e term. Altijd + omdat een kwadraat
altijd positief is.(–4)2 = 16
Neen, want het optellen is commuta-tief in q. x2 – 8x + 16 = x2 + 16 – 8x
Je berekent het product van de 1e en de 2e term en je vermenigvuldigt dit product met 2. Dit dubbelproduct is positief als de
2 termen hetzelfde teken hebben.
2 · x · (–4) = –8x
105
Rekenregel – het kwadraat van een tweeterm berekenen
Het kwadraat van een tweeterm is gelijk aan de som van drie termen:
• het kwadraat van de eerste termteken: altijd +
• het dubbelproduct van beide termenteken:+ als beide termen hetzelfde teken
hebben– als beide termen een verschillend
teken hebben• het kwadraat van de tweede term
teken: altijd +
(a + b)²= a² + 2ab + b²
a b
b
a a 2 ab
b 2 ab
(x – 3) 2 = (x) 2 + 2 · x · (–3) + (–3) 2
= x 2 – 6x + 9
(–5 + a) 2 = (–5) 2 + 2 · (–5) · a + (a) 2
= 25 – 10a + a 2
( – 1 ��2 – p ) 2 = ( – 1 ��2 ) 2 + 2 · ( – 1 ��2 ) · (–p) + (–p) 2
= 1 ��4 + p + p 2
Je berekent hier telkens een product dat men ‘merkwaardig’ noemt. Deze merkwaardige producten komen regelmatig voor in de wiskunde. Ze worden merkwaardig (vreemd) genoemd wegens hun symmetrie in zowel de opgave als de uitkomst.Het is belangrijk deze merkwaardige formules uit het hoofd te leren. Zo kun je veel sneller en handiger rekenen.
Weetj
e
Oefeningen
1 • Reken de merkwaardige producten uit.• Noteer de formule die je gebruikt: (a + b)² = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
WEER?489 - 492
MEER?493 - 499
a (2 + x)²
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b (–c + 4)²
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c (x – 1)²
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d (6 + q)²
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e (–5 – y)²
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f (p – 2)²
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Vul de ontbrekende termen in.
a (. . . . . . . . . . + x)² = 25 + . . . . . . . . . . + . . . . . . . . . .
b (a – . . . . . . . . . .)² = . . . . . . . . . . – . . . . . . . . . . + 16
c (. . . . . . . . . . + 6)² = 4x² – . . . . . . . . . . + . . . . . . . . . .
d (. . . . . . . . . . – . . . . . . . . . .)² = 16x² + . . . . . . . . . . + 9y²
e (. . . . . . . . . . + 0,2)² = . . . . . . . . . . + 0,4a + . . . . . . . . . .
f (–p + . . . . . . . . . .)² = . . . . . . . . . . – 6pq + . . . . . . . . . .
WEER?500501
3 Wat past niet in het rijtje? Verklaar.(b – a) · (b – a) (a – b) · (a + b) a² – 2ab + b² (–a + b) · (–a + b)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
WEER?502 - 505
Wat moet je kunnen?
� het kwadraat van een tweeterm berekenen m.b.v. de formule
a2 + 2ab + b2
22 + 2 · 2 · x + x2
4 + 4x + x2
x2 + 2 · x · (–1) + (–1)2
x2 – 2x + 1(–5)2 + 2 · (–5) · (–y) + (–y)2
25 + 10y + y2
(–c)2 + 2 · (–c) · 4 + 42
c2 – 8c + 1662 + 2 · 6 · q + q2
36 + 12q + q2
p2 + 2 · p · (–2) + (–2)2
p2 – 4p + 4
5 10x x2
8a–2x 24x 36
–4x 3ya a2 0,04
24xy
9q2p23qa24
(a – b) · (a + b)Dit is niet het product van twee gelijke tweetermen. Als je dit merkwaardig product uitwerkt bekom je a2 – b2. De andere drie producten zijn gelijk aan a2 – 2ab + b2
G29
106 Merkwaardige producten en ontbinden in factoren
Op verkenning
Merkwaardig product: product van toegevoegde tweetermen
De opperhengst van ‘Animal Farm’ reageert furieus en zegt: ‘Uitbreiden ok, maar als één zijde met b uitbreidt, dan moet de andere zijde met b inkrimpen!’
a Toegevoegde tweetermen• Wat is de oppervlakte van het nieuwe stuk grond
van de varkens?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– De factoren bestaan uit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . – Zijn deze tweetermen gelijk aan elkaar?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– Wat is verschillend?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b Product van toegevoegde tweetermen
product van een toegevoegde tweeterm (meetkundige voorstelling)
product van een toegevoegde tweeterm (berekenen)
a
a
b
b
• Wat is de oppervlakte van het gekleurde deel?
S = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .• Knip het oranje gedeelte af en verplaats het
onder de stippellijn.
Onderstreep telkens de termen die hetzelfde teken hebben. Reken uit.
(x – 2)(x + 2) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(3 + a)(3 – a) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• Vergelijk deze tweetermen. Wat zie je of wat stel je vast? 2 + y en 2 – y 4p + 6 en –4p + 6 a – 5b en a + 5b 2k – 7t en 2k + 7t
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wiskundetaal - Begrippen
Toegevoegde tweetermen zijn twee tweetermen die alleen verschillen door het teken van één term.
a + b en a – b 6 – y en 6 + y3a + 5 en –3a + 5–1 + m en –1 – m
CONTROLE 23 Zijn deze tweetermen toegevoegde tweetermen? Indien ja, onderstreep de termen die hetzelfde teken hebben.
1 –5 – a en 5 – a ja / neen2 –2x + 5 en –2x + 5 ja / neen3 y – 7 en 7 + y ja / neen
4 –4 – 3x² en –4 + 3x² ja / neen5 –a + 3 en 3 – a ja / neen6 –p – q en p – q ja / neen
a
a
b
b
S = (a + b) · (a – b)tweetermen
Neen
Het teken voor b
Het zijn voorbeelden van tweetermen die alleen verschillen door het teken van één term.
x · x + 2 · x + x · (–2) + (–2) · 2x2 + 2x – 2x – 4x2 – 4
3 · 3 + 3 · (–a) + a · 3 + a · (–a)9 – 3a + 3a – a2
9 – a2
107
a
a
b
b
• De oppervlakte van het gekleurde deel is gelijk aan [de oppervlakte van het vierkant met zijde a] – [de oppervlakte van het witte vierkant].
S = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .• Noteer de resultaten als een gelijkheid.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(–p + 6) (–p – 6) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(–5 – s) (5 – s) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• Hoeveel termen zijn er telkens in het eindresultaat? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• Je kunt deze termen ook onmiddellijk berekenen.
vraag antwoord voorbeeld
Onderstreep in de opgave de ter-men met hetzelfde teken.
(3+a) (3–a)
Hoe bereken je de eerste term?
Wat is het teken? Verklaar.
Hoe bereken je de tweede term?
Wat is het teken? Verklaar.
Rekenregel – het product van twee toegevoegde teweetermen berekenen
Het product van twee toegevoegde tweetermen is gelijk aan het verschil van twee kwadraten.
(a + b) (a – b) = a² – b² (x + 3) (x – 3) = x² – 9(–5 + b) (–5 – b) = 25 – b 2 (–2 + a) (2 + a) = a² – 4(p – 4) (–p – 4) = 16 – p 2
(–p) · (–p) + (–p) · (–6) + 6 · (–p) + 6 · (–6)
p2 + 6p – 6p – 36p2 – 36
–5 · 5 + (–5) · (–s) + (–s) · 5 + (–s) · (–s)
–25 + 5s – 5s + s2
–25 + s2
a2 – b2
(a + b) · (a – b) = a2 –b
Je berekent het product van de termen met hetzelfde
teken uit de opgave.
+, want de termen hebben hetzelfde teken
3 · 3 = 32 = 9
Je neemt het product van de termen met het verschil-
lend teken uit de opgave.
–, want de termen hebben een verschillend teken.
a · (–a) = –a2
Twee
G29
108 Merkwaardige producten en ontbinden in factoren
Merkwaardig product: product van toegevoegde tweetermen
(vervolg)
5 Vul aan tot een toegevoegde tweeterm.WEER?507
MEER?508
a 3 – x en x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b 5 + a en 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c –y – 7 en –y . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d 4x – 6 en 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e –2a – 8 en 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f 1 ��3 + 4b en 4b . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Vul de ontbrekende termen in.WEER?515
a ( . . . . . . . . . . . . + (. . . . . . . . . . . .) ) (–x – 8) = . . . . . . . . . . . . – x²
b (–. . . . . . . . . . . . – b) (. . . . . . . . . . . . + b) = 49 – . . . . . . . . . . . .
c ( 2a + (–. . . . . . . . . . . .) ) ( –2a + (. . . . . . . . . . . .) ) = 16 – . . . . . . . . . . . .
d (r + 3q) (. . . . . . . . . . . . + . . . . . . . . . . . .) = . . . . . . . . . . . . – r²
6 • Reken de merkwaardige producten uit.• Noteer de formule die je gebruikt: (a+b) (a–b) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
WEER?509 - 511
MEER?512 -514 a (5 – x) (5 + x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b (–p + 7) (p + 7) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c (4 – b) (b + 4) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d (y – 6) (–6 – y) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e (–8 – r) (–r + 8) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f (–4 + q) (4 + q) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Oefeningen
4 • Zijn de gegeven tweetermen toegevoegde tweetermen?• Verklaar je antwoord als het geen toegevoegde tweetermen zijn.
WEER?506
a 12 – x² en –x² – 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b a – 1 ��4 en a + 1 ��5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c –8 + 2b en –8 – 2b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d –4y + 2x en 4y – 2x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e –a² – 8a en –8a + a² . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f 2p – 4 en –2p – 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ja.
Neen, beide termen hebben een verschillend teken.
Neen, de tweetermen verschillen niet alleen door het teken van één term.
Ja.
Ja.
Ja.
+ 3 + 4x
– a – 2a
+ 7 – 1 ��3
a2 – b2
25 – x2 36 – y2
49 – p2 r2 – 64
16 – b2
x –8 64 4 –4 4a2
9q23q–rb2–77
q2 – 16
109
Wat moet je kunnen?
� toegevoegde tweetermen herkennen � het product van toegevoegde tweetermen berekenen m.b.v. de formule
8 Wat past niet in het rijtje? Verklaar.
(–1 + n) · (–1 – n) (1 – n) · (1 + n) 1 – n² (–1 – n) · (–1 – n)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
WEER?516
9 • Reken de merkwaardige producten uit.• Noteer eerst het merkwaardig product dat je toepast: formule (1) of formule (2).
WEER?517 - 519
MEER?520 - 528
a (–3 + 4a)² . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b (5x – 2y) · (–5x – 2y) . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c ( 1 ��2 – 3x ) 2 . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d (–0,5a + b) · (b + 0,5a) . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e (x² – 6x)² . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f (–7p + t) · (–7p + t) . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
���� ���� ������� �������������� � �������������������� ����������������������� ���������
��������� ��������������� �!��������������"���� ����"���� ���
(–1 – n) · (–1 – n) Dit is het merkwaardig product (–1 – n)2. De andere drie zijn gelijk aan 1 – n2.
1
2
1 1
12
(–3)2 + 2 · (–3) · 4a + (4a)2
9 – 24a + 16a2
(–2y)2 – (5x)2
(–2)2 y2 – 52x2
4y2 – 25x2
( 1 ��2 ) 2 + 2 · 1 ��2 · (–3x) + (–3x)2
1 ��4 – 3x + 9x2
(x2)2 + 2 · x2 · (–6x) + (–6x)2
x2 + 2 · (–6) x2 · x + (–6)2 x2
x4 – 12x3 + 36x2
(–7p + t)2
(–7p)2 + 2 · (–7p) · t + t2
49 p2 – 14 pt + t2
b2 – (0,5a)2
b2 – 0,52 a2
b2 – 0,25 a2
G30
PRODUCT VEELTERM
PRODUCT VEELTERM
110 Merkwaardige producten en ontbinden in factoren
Op verkenning
Ontbinden in factoren:
afzonderen van gemeenschappelijke factoren
a Ontbinden in factoren• Schrijf de producten als een veelterm.
product (factoren) veelterm (som van termen)
a · (b + c) =
(a + b) (a – b) =
(x + 3) (x + 6) =
(a + b) (a + b) =
Wat staat er telkens in de linkerkolom?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wat staat er telkens in de rechterkolom?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wiskundetaal – ontbinden in factoren
Een veelterm ontbinden in factoren betekent dat je de veelterm schrijft als een product van factoren.
ab + ac = a(b + c)
veelterm product
5a + 5c = 5(a + c)
b Afzonderen van gemeenschappelijke factoren• Vul aan.
Bereken de oppervlakteMethode 1
(de som van de oppervlakten van de twee deelfiguren berekenen)
Methode 2(de totale lengte met de totale
breedte vermenigvuldigen)
b
a
c
ab + ac a(b + c)
b
2a
c
a
a
b
b
2a
3c
ab + aca2 – b2
x2 + 6x + 3x + 18 = x2 + 9x + 18a2 + 2ab + b2
Een product van twee factoren. Een som van twee of meer termen.
2ab + 2ac
a2 + ab
2a · b + 2a · 3c = 2ab + 6ac
2a(b + c)
a(a + b)
2a(b + 3c)
111
Oefeningen
• Noteer de resultaten als een gelijkheid.
– Wat staat er telkens links van het gelijkheidsteken?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– Wat staat er telkens rechts van het gelijkheidsteken?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• Welke eigenschap pas je toe om van een product naar een veelterm te gaan?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– Welke bewerking heb je hiervoor uitgevoerd?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• Hoe kun je de gemeenschappelijke factoren weer afzonderen?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– Door welk getal kun je elke term delen in deze veelterm: 27x + 18y – 36z?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– Hoe noem je dat getal?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– Door welke letterfactoren kun je elke term delen in deze veelterm: 3x² + 4x³ – x4?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rekenregel – een veelterm ontbinden in factoren door gemeenschappelijke factoren af te zonderen
Een veelterm ontbinden in factoren• Schrijf de factoren die in elke term voorkomen voor
de haakjes.• Schrijf binnen de haakjes het quotiënt van de gege-
ven veelterm met de gemeenschappelijke factoren.
Gemeenschappelijke factoren zijn: – de ggd van de getallen; – gemeenschappelijke letterfactoren, elk met hun kleinste exponent.
ab + ac = a(b + c) 3x – 3y = 3(x – y)
ax – ay + az = a(x – y + z)
4a + 8b – 12c = 4(a + 2b – 3c)
9ab + 6a = 3a(3b + 2)
12x²y – 2 x 4 y² + 6 x 3 y 3 = 2x²y (6 – x²y + 3xy²)
10 • Ontbind in factoren door de gemeenschappelijke factor af te zonderen.• Onderstreep indien nodig de gemeenschappelijke factor.
WEER?529530
a 4x + 4y = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b –3p + 3q = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c –15r – 30s = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d 21a + 7ab = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e 10x – 20x² = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f 15xy + 9x – 30y = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 • Ontbind in factoren door de gemeenschappelijke factor af te zonderen.• Onderstreep indien nodig de gemeenschappelijke factor.
WEER?531
MEER?532 - 536a 25 a 4 + 5 a 8 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b 4x – 12xy + 4xz = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c 8a³ – 16a² = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d –3x³ + 9x – 12x² = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e –14ab² – 21a²b = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f ax³ – bcx² = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wat moet je kunnen?
� een veelterm ontbinden door gemeenschappelijke factoren af te zonderen
ab + ac 2ab + 2ac a2 + ab 2ab + 6aca(b + c) 2a(b + c) a(a + b) 2a(b + 3c)
Een som van twee termen.
Een product van twee factoren.
De distributieve eigenschap
De term buiten de haakjes werd vermenigvuldigd met elke term binnen de haakjes.
Door elke term te delen door de gem. factoren en deze voor de haakjes te plaatsen.
Door 9.
De grootste gemeenschappelijke deler, ggd (27, 18, 36)
Door x2.
4(x + y)
5a4(5 + a4)
7a(3 + b)
–3x (x2 – 3 + 4x)
3(–p + q) of –3(p – q)
4x(1 – 3y + z)
10x(1 – 2x)
–7ab(2b + 3a)
–15(r + 2s) of 15(–r – 21)
8a2(a – 2)
3(5xy + 3x – 10y)
x2(ax – bc)
G31
112 Merkwaardige producten en ontbinden in factoren
Op verkenning
Ontbinden in factoren: een tweeterm ontbinden
Oefeningen
• Schrijf het product als een veelterm. (a + b) . (a – b) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
PRODUCT VEELTERM
Wat staat er in het linkerlid?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wat staat er in het rechterlid?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
PRODUCT VEELTERM
• Hoe kun je een tweeterm ontbinden als een product van toegevoegde tweetermen? – Controleer of de tweeterm een verschil is van twee kwadraten.
x 2 – 16 –p 2 + s 2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . – Wat zijn de vierkantswortels uit de kwadraten?
� De vierkantswortel uit een getal ken je al. √___
16 = . . . . . . . . . omdat . . . . . . . . . = 16
� Hoe kun je de vierkantswortel uit een letterfactor berekenen?
› Bereken het kwadraat van a 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
› Wat heb je met de exponent 3 gedaan? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
› Wat moet je doen om de vierkantswortel uit a 6 te berekenen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
› Wat is de voorwaarde voor de exponent
om de vierkantswortel te kunnen berekenen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
� Bereken de vierkantswortels uit de onderstreepte termen. Noteer eerst de tweeterm als een verschil van twee kwadraten.
x 4 – 16 49 – a 10 – p 2 + s 6 = s 6 – p 2 � � � � � � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– Noteer het verschil van de twee kwadraten als het product van twee toegevoegde tweetermen: � Noteer de vierkantswortels uit de onderstreepte termen als een som. � Noteer de vierkantswortels uit de onderstreepte termen als een verschil. � Vermenigvuldig de tweetermen.
x 4 – 16 49 – a 10 s 6 – p 2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rekenregel – een verschil van twee kwadraten ontbinden in factoren
Het verschil van twee kwadraten kun je ontbinden als een product van toegevoegde tweetermen.
a 2 – b 2 = (a +b) (a – b) 2 termen 2 factoren
9 y 2 – x 2 = (3y)² – x² = (3y + x) (3y – x)
12 • Zijn volgende opgaven een verschil van twee kwadraten?• Indien ja, ontbind als een product van toegevoegde tweetermen.• Indien neen, verklaar.• Noteer de formule die je gebruikt: a² – b² = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
WEER?537538
a x² – 49 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b q² – 81 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a2 – b2
Het product van twee toegevoegde twee-
termen , hier staan factoren.
Een verschil van twee kwadraten,hier
staan termen.
s2 – p2
4 42
(a3)2 = a6
Vermenigvuldigd met 2
De exponent delen door 2.
De exponent moet even zijn.
x2 7 s34
(x2 + 4) (x2 – 4) (7 + a5) (7 – a5) (s3 + p) (s3 – p)
(a + b) · (a – b)Ja (x + 7) (x – 7) Ja (q + 9) · (q – 9)
a5 p
113
Wat moet je kunnen?
� een verschil van twee kwadraten ontbinden als een product van toegevoegde tweetermen
c 1 – b² = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d –16 x 4 y 2 – 81 a 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e 16a² – 9 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f 9a² + b² = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
g –100 a 6 b 4 + 25 c 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
h 25 x 7 – 4 a 6 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i 64a² – 1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 3² – x² = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b a² – 16 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c –b² + 100 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d 4a² – 1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e –64 – 49a² = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f –25 b 4 + 0,81 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 9a² – b²
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b –16y² + 81 a 6
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c 25 x 8 – 4 a 6
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d –100 a 6 + 49 b 4
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e 121 x 2 – 36 y 12
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f 4 a 4 b 6 – 1 ��16
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 3x² – 12y²
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b 2a³ – 8a
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c – 25 ��7 a 4 + 9 ��7 b²
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d 0,25 x 6 – 1
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e 5 a 6 b – 45a²b³
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f 2 p 4 q – 32 q 13
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13 • Ontbind indien mogelijk in factoren.• Noteer de formule die je gebruikt: a² – b² = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
MEER?539
14 Ontbind indien mogelijk in factoren. MEER?540
15 Ontbind in factoren.• Zonder de gemeenschappelijke factoren af, indien mogelijk.• Ontbind de veelterm tussen haakjes in factoren.
WEER?541
MEER?542543
Ja (1 + b) · (1 – b)Neen, 25x7 is geen kwadraat.Ja (8a + 1) (8a – 1)
(a + b) (a – b)(3 – x) (3 + x) (2a – 1) (2a + 1)(a – 4) (a + 4) Niet mogelijk100 – b2 = (10 – b) (10 + b) 0,81 – 25b4 =
(0,9 – 5b2) (0,9 + 5b2)
Ja (4a + 3) (4a – 3)
Neen, het is een som van twee kwadraten, geen verschil.
Neen, er is geen positieve term.
Ja (5c2 + 10a3b2) (5c2 – 10a3b2)
(3a)2 – b2
(3a + b) (3a – b)
81a6 – 16y2
(9a3)2 – (4y)2
(9a3 + 4y) (9a3 – 4y)
(5x4)2 – (2a3)2
(5x4 + 2a3) (5x4 – 2a3)
3(x2 – 4y2)3(x + 2y) (x – 2y)
(0,5x3)2 – 12
(0,5x3 + 1) (0,5x3 – 1)
5a2b(a4 – 9b2)5a2b(a2 + 3b) (a2 – 3b)
2q(p4 – 16q12)2q(p2 + 4q6) (p2 – 4q6)2q (p2 + 4q6) (p + 2q3) (p – 2q3)
2a(a2 – 4)2a(a + 2) (a – 2)
1 ��7 (–25a4 + 9b2) 1 ��7 (9b2 – 25a4) 1 ��7 (3b + 5a2) (3b – 5a2)
49b4 – 100a6
(7b2)2 – (10a3)2
(7b2 + 10a3) (7b2 – 10a3)
(11x)2 – (6y6)2
(11x + 6y6) (11x – 6y6)
(2a2b3)2 – ( 1 ��4 ) 2
( 2a2b3 + 1 ��4 ) ( 2a2b3 – 1 ��4 )
G32
114 Merkwaardige producten en ontbinden in factoren
Op verkenning
Ontbinden in factoren: een drieterm ontbinden als
een kwadraat van een tweeterm
• Schrijf het product als een veelterm. (a + b) 2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
PRODUCT VEELTERM
Wat staat er in het linkerlid?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wat staat er in het rechterlid?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
PRODUCT VEELTERM
• Hoe kun je een drieterm ontbinden als een kwadraat van een tweeterm?
– Controleer of twee termen van de veelterm kwadraten zijn. Onderstreep die kwadraten.
x² + 8x + 16 y² – 10y + 25 a 2 – 16a + 2
– Wat zijn de vierkantswortels van deze kwadraten?
x² + 8x + 16 y² – 10y + 25 p² + 5p + 25� �� � � �� � � �� � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– Wat is het teken van de overgebleven term?
� Het dubbel product is positief als de termen van de tweeterm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
� Het dubbel product is negatief als de termen van de tweeterm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– Controleer of de overgebleven term gelijk is aan het dubbel product van de vierkantswortels.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– Noteer elke drieterm als het kwadraat van een tweeterm.
x² + 8x + 16 y² – 10y + 25 p² + 5p + 25
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Samenvatting – een veelterm ontbinden in factoren
Zonder de gemeenschappelijke factoren af door de distributieve eigenschap toe te passen.
De opgave is …
een tweeterm en van de vorm a² – b²
Zet de positieve term vooraan. Neem de positieve vierkantswortel van de eerste en de tweede term
en noteer als: (a + b) (a – b).
een drieterm en van de vorm a² + 2ab + b²
Rangschik de veelterm. Neem de positieve vierkantswortel van de eerste en de laatste term
en noteer als: (a + b)². Controleer het dubbelproduct.
Rekenregel – een drieterm ontbinden als een kwadraat van een tweeterm
Een drieterm van de vorm a 2 + 2ab + b 2 kun je ontbinden als een kwadraat van een twee-term.
a 2 + 2ab + b 2 = (a +b) 2 3 termen 2 factoren
16 + 24a + 9 a 2 = (4 + 3a) 2 � � 4 3a
Controle: 2 · 4 · 3a
25 x 2 – 30x + 9 = (5x – 3)²�� � 5x 3
Controle: 2 · 5x · (–3)
a2 + 2ab + b2
Het product van twee gelijke factoren.
Een drieterm
x y p
niet mogelijk
4 5 5
hetzelfde teken hebben.
8x = 2 · 4 · x 10y = 2 · 5 · y 5p ≠ 2 · 5 · p
een verschillend teken hebben.
(x + 4)2 of (–x – 4)2 (y – 5)2 of (5 – y)2
115
Wat moet je kunnen?
� een drieterm ontbinden als een kwadraat van een tweeterm
Oefeningen
16 Ontbind in factoren, indien mogelijk. WEER?544
MEER?545 - 550a 9a² – 24a + 16 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b x 2 + 25 +10x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c 4 a 4 – 12 a 2 b 3 + 9 b 6 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d 1 ��16 + 1 ��2 y 3 + y 9 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
18
• Controleer of je de veelterm als een kwadraat van een tweeterm (product) kunt schrijven.• Indien niet, verklaar waarom.
veelterm product controle juist/fout verklaring
x² + 8x + 64 (x + 8)² x² + 16x + 64 fout 8x ≠ 16x
a² + 6b + 9
1 + 2y + y²
4x² – 20x + 25
16 + 48y – 36y²
WEER?551
• Ontbind in factoren, indien mogelijk.• Noteer de formule die je gebruikt: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
WEER?552 - 553
MEER?554 - 563
a a² + 6ab + 9b² =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b 9x² – 6x + 1 =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c 4p² + 36q² – 24pq =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d p 5 – 25 =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e –100 s 4 + 400 t 2 =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f 4a²b² – ab + 1 ��16 =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
g 75 x 2 – 3 y 2 =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
h 0,01 + 0,6b² + 9 b 4 =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i 49 x 4 – 4 6 =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
j –64 + a 10 =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(3a – 4)2 of (4 – 3a)2 (2a2 – 3b3)2 of (3b3 – 2a2)
(x + 5)2 of (–x – 5)2
(a + 3)2 fouta2 + 6a + 9 6a ≠ 6b
(1 + y)2 juist1 + 2y + y2
(2x – 5)2 juist4x2 – 20x + 25
(4 – 6y)2 fout16 – 48y + 36y2 –36y2 is een negatief getal en dus geen kwadraat
niet ontbindbaar
(a + 3b)2 of (–a – 3b)2 (2ab – 1 ��4 )2 of ( 1 ��4 – 2ab ) 2
(3x – 1)2 of (1 – 3x)2 3(25x2 – y2) = 3(5x + y)(5x – y)
4(p2 + 9q2 – 6pq) = 4(p – 3q)2 (0,1 + 3b2)2 of (–0,1 – 3b2)2
Niet ontbindbaar (7x2 + 43) (7x2 – 43) = (7x2 + 64) (7x2 – 64)
400t2 – 100s4 = 100(4t2 – s4) = 100(2t + s2) (2t –s2)
a10 – 64 = (a5 + 8) (a5 – 8)
a2 + 2ab + b2 = (a + b) 2
116 problemsolving
Problemsolving
19 Een rechthoek van 25 x 49 is in drie stukken gesneden. Van de drie stukken kun je een vierkant maken.Hoe lang is a?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20 Een vierkant is verdeeld in vier stukken: twee vierkanten en twee rechthoeken. Van twee stukken staat in de figuur hoe groot de opper-vlakte is: 25 cm2 en 10 cm2. Hoe lang is de zijde van het hele vierkant?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21 Wie is met wie getrouwd?• De drie mannen: Jorge, Peter en Amed• De drie vrouwen: Lorna, Tori en Nele• De drie koppels trouwden elk in een verschillende maand, nl. mei, juni en augustus.
Eén koppel is 11 jaar gehuwd, een ander koppel is 12 jaar gehuwd en het derde koppel is 13 jaar gehuwd.• Jorge en zijn vrouw zijn niet in augustus getrouwd.
Ze zijn nog niet zo lang getrouwd als Tori en haar echtgenoot.• Nele en haar echtgenoot zijn in juni getrouwd en zij zijn langer getrouwd dan Amed en zijn vrouw.
Jorge Peter Amed mei juni augustus 11 12 13
Lorna
Tori
Nele
11
12
13
mei
juni
augustus
22 Hiernaast zie je de plattegrond van een kamer. Alle hoeken zijn recht.Enkele afmetingen zijn gegeven. Wat is de oppervlakte van deze kamer?
A 4a + 2(a – 2) B 6(2 + a) – 4 C 12a D 6(a – 2) + 4 E 6a
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
2
2 2
22
25 cm 2 10 cm 2
49
25
a
a
Oppervlakte rechthoek = 25 · 49 = 52 · 72
Oppervlakte vierkant = (49 – a) · (49 – a) = (49 – a)2
Oppervlakte vierkant is gelijk aan oppervlakte rechthoek.
(5 – 7)2 = (49 – a)2 � 5 · 7 = 49 – a � 35 = 49 – a � a = 14
De zijde van het vierkant is 5 cm. De rechthoek heeft dus
een lengte van 5 cm. De breedte moet dan 2 cm zijn. De
zijde van het hele vierkant is dan 5 cm + 2 cm = 7 cm
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+
–
–
–
–
––
–
–
––
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
––
–
–
– –
–
–
–
–
–
–
–
–
–
+
–+
+
+
+
+
Het vierkant rechtsonder past links in het midden van de figuur. De oppervlakte is dan a · (2 + 2 + 2) = a · 6 =6a
E 6a
117
leerwerkboek pagina
leerwerkboek pagina
register
Aafzonderen vangemeenschappelijke factoren 110
Bbasisbreuk 8bewijs van de hoofdeigenschap
van evenredigheden 46bewijsvoering 3bewijzen 46breuk 8breuken aftrekken 8breuken delen 8breuken optellen 8breuken vermenigvuldigen 8
Ccijfergedeelte 85coëfficiënt 85commutatief 47
Ddecimaal getal 16decimale schrijfwijze 17distributief 31drieterm ontbinden als kwadraat
van een tweeterm 85dubbele pijl 23, 46, 48
Eeenterm 84, 85eenterm tot een macht verheffen 117eentermen aftrekken 88eentermen delen 91eentermen optellen 88eentermen vermenigvuldigen 90eigenschap 10, 21, 22, 44eigenschappen in symbolen noteren 23eigenschappen van gelijkheden 22evenredigheid 42evenredigheidsfactor 51exponent 12, 70
Fformule 84formules omvormen 38
Ggegeven 47gelijkheid 22gelijknamige breuken 8gelijksoortige eentermen 85, 96gelijkvormige figuren 62gelijkvormige veelhoeken 62gelijkvormigheid 62gelijkvormigheidsfactor 67getalwaarde bepalen 85ggd 111grondtal 12, 70grootheid 51
Hhaakjes 10, 31, 96haakjes wegwerken 10, 31, 96handig rekenen met eigenschappen 10hoe meer, hoe meer 51hoe minder, hoe meer 52hoofdeigenschap van evenredigheden 45, 46hyperbool 52
Kkgv 34kruisproduct 45kwadraat 13, 67kwadraat van een tweeterm 104
Llettergedeelte 85linkerlid 22
Mmacht 12, 71macht van een eenterm 94machten delen 72machten met een gehele exponent 12machten tot een macht verheffen 74machten vermenigvuldigen 71merkwaardig product 104, 106, 108middelpuntshoek 57middelste termen 42
Nniet evenredig 53
noemer 34
Register
118
Wiskunde wandeling
REGISTER
leerwerkboek pagina
leerwerkboek pagina
Oomgekeerd evenredig 52omgekeerde 12onbekende 26ontbinden in factoren 110, 112, 114overeenkomstige hoeken 63overeenkomstige maatgetallen 50overeenkomstige zijden 63
Ppraktische schikking 96product tot een macht verheffen 76product van toegevoegde tweetermen 106
Qquotiënt tot een macht verheffen 77
R recht evenredig 51rechterlid 22rekenen met breuken 8rekenregels van machten in
symbolen noteren 80
Sschaal 62schijfdiagram 57strookdiagram 56
Tte bewijzen 47tegengestelde 10, 26tegenvoorbeeld 23teller 42toegevoegde tweetermen 106tweeterm ontbinden 112
Uuiterste termen 42
Vveelterm 85veelterm herleiden 96veeltermen aftrekken 96veeltermen delen door een eenterm 99veeltermen optellen 96veeltermen rangschikken 96veeltermen vermenigvuldigen 98vergelijking 22vergelijking van de vorm ax + b = c 27vergelijking van de vorm ax + b = cx + d 30vergelijking van de vorm ax = b 26vergelijking van de vorm x + a = b 26vergelijkingen met breuken 34vergelijkingen met haakjes 31verhouding 42verschil van twee kwadraten
ontbinden in factoren 112vierkantswortel 110vierkantswortels van rationale getallen 13, 112vraagstuk 26, 41
Wwetenschappelijke schrijfwijze 16
