1.

a. h = -0,06 . 02 + 1,5 . 0 - 6 = -6 b. Bij punt Q is de hoogte weer -6. We lossen daarom de volgende vergelijking op: -0,06a2 + 1,5a - 6 = -6 -0,06a2 + 1,5a = 0 -6a2 + 150a = 0 6a(-a + 25) = 0 6a = 0 of -a + 25 = 0 a = 0 of a = 25 De afstand tussen P en Q is 25 meter. c. Bij punt A en punt B is de hoogte 0. We lossen daarom de volgende vergelijking op: -0,06a2 + 1,5a - 6 = 0 -6a2 + 150a - 600 = 0 6a2 -150a + 600 = 0 a2 - 25a + 100 = 0 (a - 20)(a - 5) = 0 a = 20 of a = 5 De afstand tussen A en B is 20 - 5 = 15 meter. d. Het hoogste punt ligt bij a = 12,5 (midden van punt P (a = 0) en punt Q (a = 25) h = -0,06 . 12,52 + 1,5 . 12,5 - 6 h = -9,375 + 18,75 - 6 = 3,375 meter.

2.

De hoogte bij de linkertoren is h = 0,02 . 02 - 1,4 . 0 + 54 = 54 De hoogte bij de andere toren is ook 54 meter. Daarom lossen we de volgende vergelijking op: 0,02a2 - 1,4a + 54 = 54 0,02a2 - 1,4a = 0 2a2 - 140a = 0 2a(a - 70) = 0 2a = 0 of a - 70 = 0 a = 0 of a = 70 De afstand tussen de twee torens is 70 meter. b. Het laagste punt van de kabel vind je dus bij a = 35 meter h = 0,02 . 352 - 1,4 . 35 + 54 h = 24,5 - 49 + 54 = 29,5 meter.

Wiskunde Vwo Deel 3A Hoofdstuk 6 Vwo 3

Uitwerkingen

3.

a. (x - 4)(x + 6) = 0 x - 4 = 0 of x + 6 = 0 x = 4 of x = -6 De symmetrieas ligt bij x = -1 (midden van 4 en -6) invullen geeft: f(-1) = (-1 - 4)(-1 + 6) = -5 . 5 = -25 De top is (-1, -25) b. x2 - 8x + 7 = 0 (x - 7)(x - 1) = 0 x - 7 = 0 of x - 1 = 0 x = 7 of x = 1 De symmetrieas ligt bij x = 4 (midden van 1 en 7) invullen geeft g(4) = 42 -8 . 4 + 7 = 16 - 32 + 7 = -9 De top is (4, -9) c. -2x2 - 6x = 0 -2x(x + 3) = 0 -2x = 0 of x + 3 = 0 x = 0 of x = -3 De symmetrieas ligt bij x = -1,5 (midden van -3 en 0) invullen geeft h(-1,5) = -2 . (-1,5)2 - 6 . -1,5 = -4,5 + 9 = 4,5 De top is (-1,5 ; 4,5) d. -x2 + 8x = 0 x(-x + 8) = 0 x = 0 of -x + 8 = 0 x = 0 of x = 8 De symmetrieas ligt bij x = 4 (midden van 0 en 8) invullen geeft k(4) = - 42 + 8 . 4 = -16 + 32 = 16 De top is (4, 16) e. x2 + 4x - 21 = 0 (x + 7)(x - 3) = 0 x + 7 = 0 of x - 3 = 0 x = -7 of x = 3 De symmetrieas ligt bij x = -2 (midden van -7 en 3) invullen geeft m(-2) = (-2)2 + 4 . -2 - 21 = 4 - 8 - 21 = -25 De top is (-2,-25)

4.

a. Maak een tekening !!! -2 ligt 5 hokjes recht van de symmetrieas. Het andere punt ligt dan 5 hokjes links van de symmetrieas. Dit punt is daarom (-7,0) b. -5 ligt 3 hokjes links van de symmetrieas Het andere punt ligt dan 3 hokjes rechts van de symmetrieas. Dit punt is daarom (1,-8)

5. 1/8a2 - 2a = 0 a2 - 16a = 0 a(a - 16) = 0 a = 0 of a - 16 = 0 a = 0 of a = 16 Bij a = 0 en a = 16 is de diepte nul b. Het diepste punt ligt bij a = 8 invullen geeft d = 1/8 . 82 - 2 . 8 = 8 - 16 = -8 Het kanaal is dus maximaal 8 meter diep

6.

a. I. x2 + 4x - 12 = 0 (x + 6)(x - 2) = 0 x + 6 = 0 of x - 2 = 0 x = -6 of x = 2. De snijpunten met de x -as zijn (-6,0) en (2,0) II. De symmetrieas is x = -2 (midden van -6 en 2) III. invullen geeft f(x) = (-2)2 + 4.-2 - 12 = 4 - 8 - 12 = -16 De top is (-2,-16) IV.

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 y -7 -12 -15 -16 -15 -12 -7

V. b. I. 2x2 - 4x + 5 = 0 ontbinden lukt niet, dan de abc-formule: a = 2, b = -4 en c = 5 D = (-4)2 - 4.2.5 = 16 - 20 = -4. Er zijn geen snijpunten met de x-as. II. g(0) = 5. 2x2 - 4x + 5 = 5 2x2 - 4x = 0 2x (x - 2) = 0 2x = 0 of x - 2 = 0 x = 0 of x = 2 De symmetrie as is: x = 1 (midden van 0 en 2) III. invullen geeft g(1) = 2. 12 - 4.1 + 5 = 2 - 4 + 5 = 3

De top is (1,3) IV.

x -2 -1 -0 1 2 3 4 y 21 11 5 3 5 11 21

V. c. I. -x2 + 5x - 4 = 0 x2 - 5x + 4 = 0 (x - 4)(x - 1) = 0 x - 4 = 0 of x - 1 = 0 x = 4 of x = 1. De snijpunten met de x-as zijn (1,0) en (4,0) II. De symmetrieas is x = 2,5 (midden van 1 en 4) III. invullen geeft h(2,5) = -2,52 + 5.2,5 - 4 = -6,25 + 12,25 - 4 = 2,25 De top is (2,5 ; 2,25) IV.

x 0 1 2 2,5 3 4 5 y -4 0 2 2,25 2 0 -4

V. d. I. -2x2 + 12x = 0 2x(-x + 6) = 0

2x = 0 of -x + 6 = 0 x = 0 of x = 6 De snijpunten met de x-as zijn (0,0) en (6,0) II. De symmetrieas is x = 3 (midden van 0 en 6) III. invullen geeft k(3) = -2. 32 + 12.3 = -18 + 36 = 18 De top is (3,18) IV.

x 0 1 2 3 4 5 6 y 0 10 16 18 16 10 0

V. e. I. 1/2x2 - x + 5 = 0 x2 - 2x + 10 = 0 ontbinden lukt niet, dan abc-formule: a = 1, b = -2 en c = 10 D = (-2)2 - 4.1.10 = 4 - 40 = -36. Er zijn geen snijpunten met de x-as II. m(0) = 5 1/2x2 - x + 5 = 5 1/2x2 - x = 0 x2 - 2x = 0 x(x - 2) = 0 x = 0 of x - 2 = 0 x = 0 of x = 2. II. De symmetrieas is x = 1 (midden van 0 en 2) III. invullen geeft m(1) = 1/2 12 - 1 + 5 = 0,5 - 1 + 5 = 4,5 De top is (1 ; 4,5) IV.

x -2 -1 0 1 2 3 4 y 9 6,5 5 4,5 5 6,5 9

V. f. I. -11/2x2 -9x - 131/2 = 0 -3x2 - 18x - 27 = 0 3x2 + 18x + 27 = 0 x2 + 6x + 9 = 0 (x + 3)(x + 3) = 0 x + 3 = 0 x = -3 Het snijpunt met de x-as is (-3,0) II. De symmetrieas is x = -3 III. De top is (-3,0) IV.

x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 y -13,5 -6 -1,5 0 -1,5 -6 -13,5

V.

7.

7a 5x2 - 4x - 2 = 0 a = 5; b = -4; c = -2

D = (-4)2 - 4.5.-2 = 16 + 40 = 56

x = (4 + 7,48) / 10 = 1,2 of x = (4 - 7,48) / 10 = -0,35

7b 3x2 + 2x - 1 = 0 a = 3; b = 2; c = -1 D = 22 - 4.3.-1 = 4 + 12 = 16

x = (-2 + 4)/6 = 1/3 of x = (-2 - 4)/6 = -1

7c -8x2 - x + 1 = 0 a = -8; b = -1; c = 1 D = (-1)2 -4.-8.1 = 1 + 32 = 33

x = (1 + 5,74)/-16 = -0,4 of x = (1 - 5,74)/-16 = 0,3

7d x2 - 5x + 6 = 0 (x - 2)(x - 3) = 0 x - 2 = 0 of x - 3 = 0 x = 2 of x = 3

7e x2 + 3x - 41/2 = 0 2x2 + 6x - 9 = 0 a = 2; b = 6; c = -9 D = 62 - 4.2.-9 = 36 + 72 = 108

x =(-6+10,39)/4 = 1,1 of x = (-6 -10,39)/4 = -4,1

7f 1/2x2 + 3x - 4 = 0 x2 + 6x - 8 = 0 a = 1; b = 6; c = -8 D = 62 - 4.1.-8 = 36 + 32 = 68

x = (-6 + 8,25)/2 = 1,1 of x = (-6 - 8,25)/2 = -7,1

7g -x2 + 3x + 5 = 0 a = -1; b = 3; c = 5 D = 32 - 4.-1.5 = 9 + 20 = 29

x = (-3 + 5,39)/-2 = -1,2 of x = (-3 - 5,39)/-2 = 4,2

7h 3x2 - 7x + 2 = 0 a = 3; b = -7; c = 2 D = (-7)2 - 4.3.2 = 49 - 24 = 25

x = (7 + 5)/6 = 2 of x = (7 - 5)/6 = 1/3

7i x2 + 6x - 8 = 0 a = 1; b = 6; c = -8 D = 62 - 4.1.-8 = 36 + 32 = 68

x = (-6 + 8,25)/2 = 1,1 of x = (-6 - 8,25)/2 = -7,1

7j -2,8x2 - 1,2x + 0,4 = 0 a = -2,8; b = -1,2; c = 0,4 D = (-1,2)2 - 4.-2,8.0,4 = 1,44 + 4,48 = 5,92

x = (1,2 + 2,43)/-5,6 = -0,6 of x = (1,2 - 2,43)/-5,6 = 0,2

8.

8a. 3x2 - 2x + 1 = 0 a = 3 ; b = -2 ; c = 1 D = (-2)2 - 4.3.1 = 4 - 12 = -8 8b. -6x2 + 6x + 3 = 0 a = -6 ; b = 6 ; c = 3 D = 62 - 4.-6.3 = 36 + 72 = 108 8c. 4x2 + 4x + 1 = 0 a = 4 ; b = 4 ; c = 1 D = 42 - 4.4.1 = 16 - 16 = 0 8d. 5x2 - x - 4 = 0

8d. 5x2 - x - 4 = 0 a = 5 ; b = -1 ; c = -4

D = (-1)2 - 4.5.-4 = 1 + 80 = 81 Er zijn twee oplossingen

8e. 1/2x2 - 2x + 5 = 0 a = 1/2 ; b = -2 ; c = 5

D = (-2)2 - 4.1/2.5 = 4 -10 = -6 Er zijn geen oplossingen

8f. -x2 - 9x + 6 = 0 a = -1 ; b = -9 ; c = 6

D = (-9)2 - 4.-1.6 = 81 + 24 = 105 Er zijn twee oplossingen

8g. 21/2x2 + 5x + 5 = 0 a = 21/2 ; b = 5 ; c = 5

D = 52 - 4.21/2.5 = 25 - 50 = -25 Er zijn geen oplossingen

8h. x2 + 12x + 36 = 0 a = 1 ; b = 12 ; c = 36

D = 122 - 4.1.36 = 144 - 144 = 0 Er is één oplossing

9.

9a x2 + 5x - 1 = 0 a = 1 ; b = 5 ; c = -1 D = 52 - 4.1.-1 = 25 + 4 = 29 x = (-5 + 5,39) / 2 = 0,2

2

(x - 2)2 = 7 x - 2 = 2,65 of x - 2 = -2,65

9d 7x2 - 4 = 10 7x2 = 14 x2 = 2 x = 1,4 of x = -1,4

9e (x - 8)(3x + 4) = 0 x - 8 = 0 of 3x + 4 = 0 x = 8 of 3x = -4 x = 8 of x = -11/3

9f (x - 4)(x + 2) = 8 x2 - 2x - 8 = 8 x2 - 2x - 16 = 0 a = 1 ; b = -2 ; c = -16 D = (-2)2 - 4.1.-16 = 4 +64 = 68

x = (2 + 8,25)/2 = 5,1 of x = (2 - 8,25)/2 = -3,1

9g x2 - 8 = x - 5 x2 - x - 3 = 0 a = 1 ; b = -1 ; c = -3 D = (-1)2 - 4.1.-3 = 1 + 12 = 13

x = (1 + 3,61)/2 = 2,3 of x = (1 - 3,61)/2 = -1,3

9h x(x - 3) = 10 x2 + 3x - 10 = 0 (x - 2)(x + 5) = 0 x - 2 = 0 of x + 5 = 0 x = 2 of x = -5

9i x2 = 4(x - 1) x2 = 4x - 4 x2 - 4x + 4 = 0 (x - 2)(x - 2) = 0 x = 2

9j 4x2 -7x = 14 - 4x2 -7x = 14 x = -2

9k 4x(x + 1) - 8 = 2(2x - 3) 4x2 + 4x - 8 = 4x - 6 4x2 - 2 = 0 4x2 = 2 x2 = 1/2 x = 0,7 of x = -0,7

9l (5x - 4)(2x + 1)= 2 10x2 - 3x - 4 = 2 10x2 - 3x - 6 = 0 a = 10 ; b = -3 ; c = -6 D = (-3)2 - 4.10.-6 = 9 + 240 = 249

x = (3 + 15,78)/20 = 0,94 of x = (3 - 15,78)/20 = -0,64

9m (x - 5)2 = (2x - 1)2 x2 - 10x + 25 = 4x2 - 4x + 1 -3x2 - 6x + 24 = 0 x2 + 2x - 8 = 0 (x - 2)(x + 4) = 0 x = 2 of x = -4

9n 3x(2x - 4)= 3(2x2 + 5) 6x2 - 12x = 62 + 15 -12x = 15 x = -11

4

9o 4x2 + 13 x - 2 = 0 a = 4 ; b = 13 = 3,61 ; c = -2 D = (3,61)2 - 4.4.-2 = 13 + 32 = 45

x = (-3,61 + 6,71)/8 = 0,4 of x = (-3,61 - 6,71)/8 = -1,3

10.

10a 2x2 + 3x = 2 2x2 + 3x - 2 = 0 a = 2 ; b = 3 ; c = -2 D = 32 - 4.2.-2 = 9 + 16 = 25 x = (-3 + 5) / 4 = 0,5

2

(x - 2)2 = 4 x - 2 = 2 of x - 2 = -2

10g x2 - 3 = 2x + 2 x2 - 2x - 5 = 0 a = 1 ; b = -2; c = -5 D = (-2)2 - 4.1.-5 = 4 + 20 = 24

x = (2 + 4,90)/2 = 3,4 of x = (2 - 4,90)/2 = -1,4

10h x(x - 5) = -6 x2 - 5x + 6 = 0 (x - 2)(x - 3) = 0 x - 2 = 0 of x - 3 = 0 x = 2 of x = 3

10i x2 = 5(x + 2) x2 = 5x + 10 x2 - 5x - 10 = 0 a = 1 ; b = -5 ; c = -10 D = (-5)2 - 4.1.-10 = 25 + 40 = 65

x = (5 + 8,06)/2 = 6,5 of x = (5 - 8,06)/2 = -1,5

10j 5x2 - 10x = 12 + 3x2 2x2 - 10x - 12 = 0 x2 - 5x - 6 = 0 (x - 6)(x + 1) = 0 x - 6 = 0 of x + 1 = 0 x = 6 of x = -1

10k 3x(x + 2) - 8 = 3(2x - 5) 3x2 + 6x - 8 = 6x - 15 3x2 = -9 x2 = -3 geen oplossingen

10l (3x - 2)(x + 3)= 5 3x2 + 7x - 6 = 5 3x2 + 7x - 11 = 0 a = 3; b = 7; c = -11 D = 72 - 4.3.-11 = 49 + 132 = 181

x = (-7 + 13,45)/6 = 1,1 of x = (-7 - 13,45)/6 = -3,4

10m (x - 4)2 = (2x - 3)2 x2 - 8x + 16 = 4x2 - 12x + 9 -3x2 + 4x + 7 = 0 a = -3 ; b = 4 ; c = 7 D = 42 -4.-3.7 = 16 + 84 = 100

x = (-4 + 10)/-6 = -1 of x = (-4 - 10)/-6 = 2,3

10n 2x(x - 6)= 4(3x2 + 2) 2x2 - 12x = 12x2 + 8 -10x2 - 12x - 8 = 0 5x2 + 6x + 4 = 0 a = 5 ; b = 6 ; c = 4 D = 36 - 4.5.4 = 36 - 80 = -44 geen oplossingen

10o 5x2 + 12 x - 4 = 0 a = 5; b = 12 = 3,46; c = -4 D = (3,46)2 - 4.5.-4 = 12 + 80 = 92

x = (-3,46 + 9,59)/10 = 0,61 of x = (-3,46 - 9,59)/10 = -1,31

11.

a. horizontale as: y = 0 -½.x2 - 2.x + 1 = 0 a = -½; b = -2 en c = 1 D = (-2)2 - 4.-½.1 = 4 + 2 = 6 x = (2 + 2,4) / -1 = -4,4 of x = (2 - 2,4) / -1 = 0,4 De snijpunten zijn (-4,4 ; 0) en (0,4 ; 0) b. symmetrieas x = -2 (midden van -4,4 en 0,4) invullen geeft: f(-2) = -½ . (-2)2 -2.-2 + 1 = -2 + 4 + 1 = 3 De top is (-2,3)

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 y -1,5 1 2,5 3 2,5 1 -1,5

c.

d. startgetal = 1 en richtingsgetal = ½

x 0 1 2 3 y 1 1,5 2 2,5

e. zie b. f. horizontale as: y = 0 ½.x + 1 = 0 x + 2 = 0 x = -2 het snijpunt is (-2,0) g. -½.x2 - 2.x + 1 = ½.x + 1 -x2 - 4.x + 2 = x + 2 -x2 - 5.x = 0 -x ( x + 5 ) = 0 -x = 0 of x + 5 = 0 x = 0 of x = -5 vul de antwoorden in het functievoorschrift van de lijn in: x = 0; g(0) = ½ . 0 + 1 = 1 snijpunt is (0,1) x = -5; g(-5) = ½ . -5 + 1 = -1½ snijpunt is (-5,-1½)

12.

a. als je t = 0 invult in de formule komt er 50 uit. De beginhoogte is daarom 50 m. b. bij gelijke hoogte vul je h = 50 in de formule in -5.t2 + 15.t + 50 = 50 -5.t2 + 15.t = 0 5.t (- t + 3) = 0 5.t = 0 of -t + 3 = 0 t = 0 of t = 3 Na 3 sec is de bal weer op gelijke hoogte. c. vul h = 30 in de formule in -5.t2 + 15.t + 50 = 30 -5.t2 + 15.t + 20 = 0 t2 - 3.t - 4 = 0 (t + 1) (t - 4) = 0 t + 1 = 0 of t - 4 = 0 t = -1 of t = 4 De bal is na 4 sec op een hoogte van 30 meter. d. vul h = 0 in de formule in -5.t2 + 15.t + 50 = 0 t2 - 3.t - 10 = 0 (t + 2) (t - 5) = 0 t + 2 = 0 of t - 5 = 0 t = -2 of t = 5 De bal is na 5 sec op de grond.

13.

IV en VI zijn bergparabolen, voor de x2 staat een negatief getal Dat zijn g(x) en l(x) Bij IV hoort g(x), de top ligt bij (0,4), dat zie je aan de +4 in de formule Bij VI hoort l(x) , de top ligt bij (0,-4), dat zie je aan de –4 in de formule De overige parabolen zijn dalparabolen, voor de x2 staat een positief getal Bij II hoort f(x), de top ligt bij (0,-4), dat zie je aan de –4 in de formule De laatste drie parabolen hebben allemaal de top (0,4). Groter getal voor de x2 --> De parabool is steiler. Dus bij I hoort f(x), bij III hoort j(x) en bij V hoort k(x)

14.

a. -x2 – 5x + 4 = 0 a = -1 ; b = -5 ; c = 4 D = (-5)2 -4.-1.4 = 41

x = (5 + 6,40)/-2 = -5,7 of x = (5 – 6,40)/-2 = 0,7 snijpunten met de x-as zijn (-5,7 ; 0) en (0,7 ; 0)

b. symmetrieas: x = -2,5 (-5,7+0,7)/2=-2,5 f(-2,5) = - (-2,5)2 – 5. –2,5 + 4 = 10,25 Top (-2,5 ; 10,25) c. De parabool met c = -1 ligt 5 hokjes lager dan de getekende parabool d. De parabool met c = -7 ligt 11 hokjes lager dan de getekende parabool e. De parabool raakt net aan de x-as als de getekende parabool 10,25 hokjes omlaag gaat (zie top) 4 – 10,25 = -6,25. Dus bij c = -6,25 raakt de parabool de x-as. bij c = -7 zijn er geen snijpunten (zie vraag d) Dus bij c < -6,25 zijn er dan geen snijpunten

15. a. (x+3)2 is het kleinst bij x = -3 --> dan is het kwadraat 0 en een kwadraat kan nooit lager dan 0 zijn Als je x = -3 invult, komt er f(-3) = 0 + 7 = 7 uit De top is (-3,7) b. (x-3)2 is het kleinst bij x = 3 --> dan is het kwadraat 0 en een kwadraat kan nooit lager dan 0 zijn Als je x = 3 invult, komt er g(3) = -2.0 - 4 = -4 uit De top is (3,-4) c. (2x-4)2 is het kleinst bij x = 2 --> dan is het kwadraat 0 en een kwadraat kan nooit lager dan 0 zijn Als je x = 2 invult, komt er h(2) = ½. .0 - 1 = -1 uit De top is (2,-1)

©A. Gottemaker

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2