24 Ley de Gauss24 Ley de Gauss

La ley de Gauss se refiere a Campos electricos en puntos sobre

una superficie gausiana ( cerrada )

Y la carga neta encerrada por esa superficie.

24-1 Una nueva vista de la ley de coulomb

24-2 Flujo24-2 Flujo

(a) La tasa Φes igual a v·A

Av cos(b)

AvvA

cos(c)

(d) Campo velocidad. Flujo significa el producto de un area y un campo a través de esa area.

24-3 24-3 Flujo de un campo eléctricoFlujo de un campo eléctrico

una definición provisional del flujo del campo eléctrico para la superficie gaussiana es

AE

AE

Flujo eléctrico a traves de una superficie gaussiana

AdE

AdE

El flujo eléctrico Φ de una superficie Gaussiana es proporcional al total de líneas del campo eléctrico que pasa a traves de esa superficie.

Ejemplo problemaEjemplo problema 24-1 24-1Cual es el flujo del campo eléctrico a traves de esta superficie cerrada?

cba

AdEAdEAdEAE

EAdAEdAEAdEa

0180cos

EAdAEAdEc

0cos

Paso Uno:Paso Uno:

Paso Dos:Paso Dos:

00 EAEA 00 EAEA

090cos 0 dAEAdEb

090cos 0 dAEAdE

b

Paso Tres:Paso Tres:

Ejemplo problemaEjemplo problema 24-2 24-2

Cual es el flujo eléctrico a traves de la cara derecha, izquierda y superior?Cara Derecha:

idAAd ˆ

idAAd ˆ

Cara Izquierda:

CmNl /12 2 CmNl /12 2

Cara superior:

CmN

jdAjixt

/16

ˆˆ0.4ˆ0.3

2

CmN

jdAjixt

/16

ˆˆ0.4ˆ0.3

2

CmN

dAdAxdA

idAjixAdEr

/36

0.90.30.30.3

ˆˆ0.4ˆ0.3

2

CmN

dAdAxdA

idAjixAdEr

/36

0.90.30.30.3

ˆˆ0.4ˆ0.3

2

24-4 24-4 Ley de GaussLey de Gauss

La ley de Gauss y la ley de colomb, a pesar de que se expresan en forma diferente, son maneras equivalentes de describir la relación entre la carga y el campo eléctrico en situaciones estáticas. La ley de Gauss es :

encq0encq0

Superficies esfericas Gaussianas

a) carga puntual positiva

Flujo Positivo

a) carga puntual negativa

Flujo Negativo

o encqAdE

0 encqAdE

0

Superficie S1

El campo eléctrico esta hacia afuera Para todos los puntos en esta superficie.

Superficie S2

El campo eléctrico esta hacia adentro para todos los puntos en esta superficie.

Superficie S3

Esta superficie no encierra carga y por lo tanto qenc=0

SuperficieS4

Esta superficie no encierra carga neta, porque las cargas positivas y negativas encerradas tienen magnitudes iguales.

Ejemplo problemaEjemplo problema 24-3 24-3

Cual es el flujo eléctrico neto a traves de la superficie si q1=q

4=+3.1nC,q2=q5=-5.9nC,and q3=-3.1nC?

CmNqqqqenc /670 2

0

321

0

CmN

qqqqenc /670 2

0

321

0

24-5 Ley de Gauss y ley de 24-5 Ley de Gauss y ley de coulombcoulombLey de Gauss como:

encqEdAAdE 00

encqEdAAdE 00

qdAE 0 qdAE 0

qrE 20 4 qrE 2

0 4 204

1

r

qE

204

1

r

qE

Ley de

colombLa ley de Gauss es equivalente a la ley de colomb.

24-624-6 Un conductor aislado Un conductor aislado cargadocargado

Si un exceso de cargas es colocado en un conductor aislado, esa cantidad de carga se moverá completamente a la superficie del conductor. Nada del exceso de carga se encontrara dentro del cuerpo del conductor.

Un conductor aislado con cavidad

No hay carga neta en la cavidad de las paredes.

El conductor removido.El campo eléctrico se establece por las cargas u no por el conductor. El conductor simplemente provee una ruta inicial para que las cargas tomen su posición.

El campo eléctrico Externo

Superficie conductora:

0

E0

E

Ejemplo problema Ejemplo problema 24-424-4

Idea clave

El flujo a traves de una superficie Gaussiana debe ser también cero. La carga neta cerrada por la superficie gaussiana debe ser cero. Con un punto de carga de -5.0μC Dentro del casquillo, caparazón o concha, una carga de +5.0 μC debe situarse en la pared interna del casquillo, caparazón o concha.

Puedes pensar en otra idea clave?

24-7 24-7 Aplicación de la ley de Gauss, Aplicación de la ley de Gauss, simetría cilíndricasimetría cilíndrica

)2(0cos)2(

cos

rhErhE

EA

)2(0cos)2(

cos

rhErhE

EA

encq0encq0

hrhE 20 hrhE 20

rE

02

r

E02

Debido a una línea de carga infinita, con carga lineal uniforme de densidad el campo eléctrico en cualquier punto λ, es perpendicular a la línea de carga y su magnitud.

rE

02

r

E02

Donde r es la distancia perpendicular de la línea de carga al punto.

Ejemplo problema 24-5Ejemplo problema 24-5

Si las moléculas de aire se descompone (ionizan) en un campo eléctrico excediendo 3×106N/C, Cual es la columna?

Idea clave

La superficie de la columna de carga debe estar al radio r donde la magnitud de es3 ×106N/C, Porque las moléculas de aire dentro de ese radio se ionizan mientras que las lejanas no.

E

mE

r 62 0

mE

r 62 0

Puedes pensar otra idea clave?

24-8 24-8 Aplicando la ley de Gauss Aplicando la ley de Gauss simetría planasimetría plana

Hoja no conductora

Debido a una hoja no conductora con carga lineal uniforme de densidad σes perpendicular al plano de la hoja y tiene magnitud.

02

E02

E

00

12

E00

12

E

Dos platos conductores:

Ejemplo problemaEjemplo problema 24-6 24-6

CNEEEl /104.1 5 CNEEEl /104.1 5

CNEEEb /103.6 5 CNEEEb /103.6 5

CNE /1084.3

25

0

CNE /1084.32

5

0

CNE /1043.2

25

0

CNE /1043.22

5

0

Paso uno:Paso uno:

Paso dos:Paso dos:

24-9 24-9 Aplicando la ley de Gauss Aplicando la ley de Gauss simetría esféricasimetría esférica

Un casquillo, caparazón o concha de carga uniforme atrae o repele una partícula cargada que se encuentra afuera de la casquillo, caparazón o concha como si toda la carga de casquillo, caparazón o concha estuviera concentrada en el centro de la casquillo, caparazón o concha.

Un casquillo, caparazón o concha de carga uniforme ejerce una fuerza no electrostática sobre una partícula cargada que se encuentra dentro de la casquillo, caparazón o concha.

204

1

r

qE

204

1

r

qE

Casquillo, caparazón o concha esférico, campo a r ≥R

Caparazón esférico r ＜ R

0E 0E

2

'

04

1

r

qE

2

'

04

1

r

qE

Distribución esférica, campo a r ≥R

Carga uniforme, campo a r ≤R

rR

qE )

4(

30

rR

qE )

4(

30

Electric Flux•Electric Flux is the amount of electric field flowing through a surface

•When electric field is at an angle, only the part perpendicular to the surface counts •Multiply by cos

E

E = En A= EA cos

En•For a non-constant electric field, or a curvy surface, you have to integrate over the surface

cosE E dA E dA

•Usually you can pick your surface so that the integration doesn’t need to be done given a constant field

R

Electric Flux•What is electric flux through surface surrounding a charge q?

24E R E

4E ek q

2E ek q 2 ek q4 ek q

4 ek q22

4 ek qR

R

Answer is always 4keq

charge q

Gauss’s Lawin

0E

q

•Flux out of an enclosed region

depends only on total charge inside

A positive charge q is set down outside a sphere. Qualitatively, what is the total electric flux out of the sphere as a consequence?

A) PositiveB) NegativeC) ZeroD) It is impossible to tell from the given information

charge q

R

Gauss’ Law and Coulumb’s•Suppose we had measured the flux as:

24E R E

4E ek q

4 ek q

So Gauss’ law implies

Coulomb’s lawcharge q

•From Gauss’ law:

2R

qKeE

•What if we lived in a Universe with a different number of physical dimensions?

Gauss’s Law

charge q

4E eE dA k q

charge q’charge q’’

4 'ek q 4 'ek q q

4 ''ek q

in4E eE dA k q

in

0

q

Applying Gauss’s Law•Can be used to determine total flux through a surface in simple cases•Must have a great deal of symmetry to use easily

1 2 3 1 20

E S S S E E

q

charge q

Charge in a long triangular channelWhat is flux out of one side?

3 0S

03S

q

Applying Gauss’s Law

•Infinite cylinder radius R charge density •What is the electric field inside and outside the cylinder?

L

R

•Electric Field will point directly out from the axis•No flux through end surfaces

r

•Draw a cylinder with the desired radius inside the cylindrical charge

AE 2 rLE0

V

2

0

r L

0

inq

02

rE

Applying Gauss’s Law

•Infinite cylinder radius R charge density •What is the electric field inside and outside the cylinder?

L

R

•Electric Field will point directly out from the center•No flux through endcaps

r

•Draw a cylinder with the desired radius outside the cylindrical charge

AE 2 rLE0

V

2

0

R L

0

inq

2

02

RE

r

Applying Gauss’s Law

•Sphere radius R charge density . What is E-field inside?

RSphere volume:

V = 4a3/3

Sphere area: A = 4a2

•Draw a Gaussian surface inside the sphere of radius r

r

What is the magnitude of the electric field inside the sphere at radius r?

A R3/30r2

B) r2/30RC) R/30 D) r/30

AE 24 r E

0

V

3

0

4

3

r

0

inq

03

rE

Conductors in Equilbirum•A conductor has charges that can move freely•In equilibrium the charges are not moving•Therefore, there are no electric fields in a conductor in equilibrium

F qE ma

0 0inq E dA

= 0

•The interior of a conductor never has any charge in it•Charge on a conductor is always on the surface

= 0

Electric Fields near Conductors•No electric field inside the conductor•Electric field outside cannot be tangential – must be perpendicular

Surface charge

0 0 AE 0

A

0

inq

Area A

•Add a gaussian pillbox that penetrates the surface

0

ˆE n

•Electric field points directly out from (or in to) conductor

Conductors shield chargesNo net charge

Charge q•What is electric field outside the spherical conductor?

•Draw a Gaussian surface•No electric field – no charge•Inner charge is hidden – except

Charge -q •Charge +q on outside to compensate•Charge distributed uniformlyCharge +q

20

ˆ

4

qrE

r

Flujo eléctricoFlujo eléctricoEl flujo eléctrico se representa por medio del número de líneas de campo eléctrico que penetran alguna superficie.

El número de líneas que penetra una superficie es proporcional a EA. Al producto de la intensidad del campo E por el área de la superficie perpendicular A se le llama flujo eléctrico .

= EA

Área A

E

Si la superficie no es perpendicular al campo, el flujo es igual al producto de la magnitud del campo por el área por el coseno del ángulo entre el campo y la normal a la superficie.

Normal

= EAcos

Ai

Ei

El flujo a través de un pequeño elemento Ai es:

= Ei Ai cos = Ei • Ai

El flujo a través de toda la superficie es:

Superficie

ii di

AEAEA 0lim

Si sin más las líneas que salen, el flujo neto es positivo. Si son más las líneas que entran, el flujo neto es negativo.

Si la superficie es cerrada el flujo es: AE d

Ley de GaussLey de Gauss

r

EdA

q

Considere una carga puntual q. El flujo en una esfera de radio r será:

0

22 44

q

qkrr

qkdAEd e

e AE

La ley de Gauss establece que el flujo eléctrico neto a través de una superficie cerrada es igual a la carga neta dentro de la superficie dividida por 0.

Aplicaciones de la ley de Aplicaciones de la ley de GaussGauss

ra

Esfera gaussiana

r a

Esfera gaussiana

Distribución esférica de carga

Reglas para la aplicación de Reglas para la aplicación de la ley de Gaussla ley de Gauss

1. El valor del campo eléctrico puede considerarse, por simetría, como constante sobre toda la superficie.

2. El producto punto E dA puede escribirse como EdA.

3. El producto punto E dA es cero porque E y dA son perpendiculares.

4. Puede decirse que el campo sobre la superficie es cero.

Conductores en equilibrio Conductores en equilibrio electrostáticoelectrostático

Los conductores tienen las siguientes propiedades:

El campo eléctrico es cero en cualquier punto del interior del conductor.

Cualquier carga reside en su superficie.

El campo eléctrico en la superficie es perpendicular a la superficie y tiene una magnitud de /0.

La carga tiende a acumularse en las partes con radio de curvatura más grande.