16. Voorraadbeheer16.1. Stochastische voorraadmodellen met eenperiode

• eenvoudigste voorraadmodel met stochastischevraag: krantenjongenmodel

• keuze beginvoorraad om optimaal te voldoen aanstochastische vraag in 1 periode

• aan eind van periode⟨ alle voorraad verkocht

overschot⟨

weggooienonder kostprijs verkopen

• toepassingen:

(1) krantenjongen aan begin van elke dag beslis-sen hoeveel kranten inkopen

(2) verkoper van kerstbomen beslist hoeveel bo-men hij begin december in voorraad moet ne-men

(3) inkoper van een warenhuis beslist hoeveelproducten van verschillende types kleding inte kopen voor komend seizoen

• een-periode model: seizoensgebonden of beder-felijke goederen

– Typeset by FoilTEX – 21

16.1.1. Krantenjongenprobleem met een product⇒ basisformule voor optimale bestelgrootte

• hypothesen:

1. een enkele tijdsperiode2. alleen bestellen aan begin van periode ⇒

geen tussentijdse bijbestellingen3. vraag is stochastisch met kansdichtheid f(x)

voor totale vraag in die periode cdf = F (x)4. kosten- en winststructuur

v = inkoopprijs (in EUR/stuk)p = verkoopprijs (in EUR/stuk)s = restwaarde van overgebleven producten

(in EUR/stuk)b = boetekosten voor tekorten (in EUR/stuk)v > s en s < p+ b

• Methode 1:

P (Q) = verwachte nettowinst bij bestelgrootte Q

STELLING: ∀Q > 0

P (Q) = −vQ+ sQ

∫ Q

0

f(x)dx+ (p+ b)Q∫ ∞Q

f(x)dx

+(p− s)∫ Q

0

xf(x)dx− b∫ ∞Q

xf(x)dx

– Typeset by FoilTEX – 22

De functie P (Q) is maximaal voor Q∗ die voldoetaan

F (Q∗) =p− v + b

p− s+ b.

Bewijs

• Methode 2: marginale analyse

maximaliseren van winstfunctie P (Q)

⇔ minimaliseren van kostenfunctie c(Q)

met:

• c(Q) = verwachte kosten bij bestelgrootte Q• overschotkosten c0 = v − s per niet-verkocht

product• tekortkosten ct = p− v + b per eenheid tekort

marginale analyse gebruikt niet formule voorc(Q) maar enkel dat afgeleide van c(Q) inQ∗ (op-timale bestelgrootte) nul moet zijn:

lim4Q→0

c(Q∗ +4Q)− c(Q∗)4Q

= 0

Q∗ +4Q met 4Q > 0 ⇒ c0 ↑ en ct ↓

P{vraag > Q∗} = 1− F (Q∗)

P{vraag ≤ Q∗} = F (Q∗)

– Typeset by FoilTEX – 23

⇒ verwachte stijging in overschotkosten≈ c04QF (Q∗)verwachte daling in tekortkosten≈ ct4Q (1− F (Q∗))

voor 4Q voldoende klein

c(Q∗ +4Q)− C(Q∗)

≈ c04F (Q∗)− ct4Q(1− F (Q∗))

⇒ lim4Q→0

c(Q∗ +4Q)− c(Q∗)4Q

= c0F (Q∗)− ct(1− F (Q∗)) = 0

⇒ F (Q∗) =ct

c0 + ct=p− v + b

p− s+ b.

• Normaal verdeelde vraagstochastische variabele X = totale vraag in een

periodeX ∼ N(µ, σ)

⇒ F (Q∗) = P{X ≤ Q∗}

⇒ P

{X − µσ

≤ Q∗ − µσ

}=

ctc0 + ct

StelQ∗ − µσ

= k ⇔ Q∗ = µ+ kσ

met k = veiligheidsfactor

– Typeset by FoilTEX – 24

dan Φ(k) =ct

c0 + ctmet Φ cdf van standaard normale verdeling

• voorbeeld

E[(Q∗ −X)+] =∫ Q∗

0

(Q∗ − x)f(x)dx

= Q∗ − µ+ σI(Q∗ − µσ

)

met

I(k) =1√2π

∫ +∞

k

(z − k)e−z2

2 dz

= ϕ(k)− k{1− Φ(k)}

normale verliesfunctie

16.1.2. Het krantenjongenprobleem voor meerdereproducten

• meerdere producten in te slaan voor een periode

• inkoopbeslissingen beperkt door budgetrestrictie

• Hoe budget verdelen over verschillende produc-ten zodat totale verwachte nettowinst maximaalis?

– Typeset by FoilTEX – 25

• notaties:

– n producten– winsten/kosten parameters van product i: vi,pi, si en bi

– fi(x) en Fi(x): kansdichtheid resp. cdf van to-tale vraag naar product i

– beschikbare budget: B– optimale bestelgroottes Q1, Q2, . . . , Qn

• optimaliseringsprobleem:

maxn∑i=1

Pi(Qi)

restrictiesn∑i=1

viQi ≤ B

Qi ≥ 0, i = 1, . . . , n

met Pi(Qi) = verwachte nettowinst bij bestelgrootte Qi= −viQi + siQi

RQi0 fi(x)dx

+(p+ b)QiR+∞Qi

fi(x)dx

+(p− s)RQi

0 fi(x)dx− bR+∞Qi

xfi(x)dx

impliciete onderstelling: vragen naar de verschil-lende producten zijn onafhankelijk van elkaar

• niet-lineair programmeringsprobleem metongelijkheidsrestricties⇒ Lagrange-functie en Kuhn-Tucker voorwaar-

– Typeset by FoilTEX – 26

denL(Q1, . . . , Qn, λ) =

n∑i=1

Pi(Qi)− λ(n∑i=1

viQi −B)Qi

∂L

∂Qi= 0 Qi ≥ 0

∂L

∂Qi≤ 0 i = 1, . . . , n

λ∂L

∂λ= 0 λ ≥ 0

∂L

∂λ≥ 0

benaming: λ heet de multiplicator van Langrange

1ste geval

∂L

∂λ= −(

n∑i=1

viQi −B) > 0 ⇔n∑i=1

viQi ≤ B

dan λ = 0 en ongebonden extremumvraagstuk

Qi(0), i = 1, . . . , n: oplossingen van het stelsel{∂

∂Qi

n∑i=1

Pi(Qi) = 0 i = 1, . . . , n

⇔ {P ′i(Qi) = 0 i = 1, . . . , n

⇔{F (Qi) =

pi − vi + bipi − si + bi

i = 1, . . . , n

– Typeset by FoilTEX – 27

2de geval

λ > 0 dan∂L

∂λ= 0 ⇔

n∑i=1

viQi = B

– NOTATIE: voor vaste waarde λ(> 0) zijn Qi(λ),i = 1, . . . , n, de waarden van de Qi’s waarvoorde functie van Lagrange maximaal is

– STELLING: Stel dat het getal λ∗ > 0 zodanig is

datn∑i=1

viQi(λ∗) = B dan vormen de

Qi(λ∗)’s een optimale oplossing van het oor-spronkelijke probleem.Bewijs

– economische interpretaties van de Lagrange-multiplicator:

(1) de optimale waarde λ∗ is een maat voorde gevoeligheid van de totale maximale netto-winst als het beschikbare budget B wijzigt

(2) “schaduwprijs”: prijs voor het budget

– berekening van Qi(λ)’s die L(Q1, . . . , Qn, λ)maximaliseren

Qi = 0 ofwel∂L

∂Qi= 0

– Typeset by FoilTEX – 28

∂L

∂Qi= P ′i(Qi)− λvi = 0

⇔ pi − (1 + λ)vi + bi − (pi − si + bi)F (Qi) = 0

⇔ F (Qi) =pi + (1 + λ)vi + bi

pi − si + bi(∗)

i = 1, . . . , n

Opmerking

L(Q1, . . . , Qn, λ) =n∑i=1

Pi(Qi, λ) + λB

met Pi(Qi, λ) de uitdrukking Pi(Qi) waarin vivervangen werd door vi(1 + λ)

⇒ ∂L

∂Qi=∂Pi∂Qi

(Qi, λ) = 0 i = 1, . . . , n

• algoritme

Stap 1 : Bereken Qi(0)’s (zie 1ste geval)

Alsn∑i=1

viQi(0) < B dan optimale oplossing.

Anders kies λ > 0 en ga naar stap 2.

Stap 2 : Bereken voor huidige waarde van λ,Qi(λ)’s uit (*) waarbij Qi(λ) = 0als (*) geen positieve oplossing heeft.

– Typeset by FoilTEX – 29

Stap 3 : Vergelijkn∑i=1

viQi(λ) met B.

AlsnPi=1

viQi(λ) = B dan optimale oplossing.

AlsnPi=1

viQi < B, naar stap 2 met lagere waarde van λ.

AlsnPi=1

viQi > B, naar stap 2 met hogere waarde van λ.

Methode om λ aan te passen: bissectiemethode

kies λ0(= 0) en λ1 :n∑i=1

viQi(λ0) > B enn∑i=1

viQi(λ1) < B

probeer λ2 =λ0 + λ1

2is

n∑i=1

viQi(λ2) < B dan λ0 < λ∗ < λ2

n∑i=1

viQi(λ2) > B dan λ2 < λ∗ < λ1

deze stap herhalen

snelle convergentie!

16.2. Een stochastisch (s,Q) voorraadmodel

• voorraad te beheren over zeer lange tijdsperiode

• hypothesen

– Typeset by FoilTEX – 30

– parameters van model nagenoeg constant ge-durende deze tijdsperiode

– stochastische vraag

– positieve levertijden

– tekorten kunnen optreden als vraag gedu-rende levertijd groter is dan voorraad op mo-ment van bestellen

• Wanneer bestellen? (bestelpunt)Hoeveel bestellen? (bestelgrootte)

• – voorraad op niveau bestelpunt⇒ nieuwe voor-raad bestellen

– bestelpunt > verwachte vraag gedurende le-vertijd

– verschil = veiligheidsvoorraad= buffer tegen stochastische fluctuaties

van de vraag gedurende levertijd– hoger bestelpunt⇒ lagere kans op uitverkocht

⇒ hoger gemiddeld voorraad-niveau

• terminologie

– vraag tijdens voorraadtekort:1. nalevering: vraag wordt nageleverd zodra

voldoende voorraad aanwezig

– Typeset by FoilTEX – 31

2. verloren vraag: vraag gaat verloren– voorraadconcepten:

1. voorraad op de planken: voorraad die fysiekaanwezig is (≥ 0)

2. netto voorraad = (voorraad op de planken) −(na te leveren orders)

3. economische voorraad = (netto voorraad) +(orders in bestelling)

• voorraadbeheer op basis van eoconomischevoorraad

• hypothesen

1. voorraadpositie continu bijgehoudenaanvulorder op elk moment te plaatsen

2. individuele vraagtransacties zo klein⇒ voorraadniveau continue variabele

3. aanvulorder Q geplaatst als economischevoorraad gedaald tot bestelpunt s

4. levertijd van een bestelling: L∗ > 0 constant5. gevraagde hoeveelheden in disjuncte tijdsin-

tervallen: onafhankelijke stochastische varia-belen

• Notaties

– Typeset by FoilTEX – 32

XL = totale vraag gedurende de levertijdfL(x) = kansdichtheid van de vraag gedurende de levertijdµL = verwachte waarde van de vraag gedurende de levertijdσL = standaardafwijking van de vraag gedurende de levertijd

• Bepaling van µL en σL in praktijk aan de handvan verzamelde data over de vraag

– µ1 en Q1: gemiddelde en standaardafwijkingvan de vraag over standaard tijdsduur

– levertijd = L standaard tijdsduren– µL = Lµ1 en σL =

√Lσ1

16.2.1. Het (s,Q) naleveringsmodel

• exacte analyse: gecompliceerd en praktisch nietbruikbare resultaten

• heuristische analyse

• s > 0 benaderingen voor

– gemiddelde voorraad op de planken– gemiddelde achterstand in levering– kans op voorraadtekort gedurende levertijd– fractie van de vraag die direct uit voorraad ge-

leverd wordt

• langetermijngemiddelden bepalen uit gedrag ge-durende een cyclus

– Typeset by FoilTEX – 33

• een cyclus = tijdsinterval tussen twee opeenvol-gende tijdstippen waarop een aanvulorder toe-komt

•

I1 = E[voorraad op de planken aan einde van een cyclus]I2 = E[voorraad op de planken aan begin van een cyclus]S1 = E[tekort aan einde van een cyclus]S2 = E[tekort aan begin van een cyclus]

s−XL = netto voorraad vlak voordat aanvulorder binnenkomt

• I1 = E[(s−XL)+] S1 = E[(XL − s)+]

I2 = E[(s+Q−XL)+] S2 = E[(XL − s−Q)+]

⇔ I1 =∫ s

0

(s− x)fL(x)dx

I2 =∫ s+Q

0

(s+Q− x)fL(x)dx

S1 =∫ +∞

s

(x− s)fL(x)dx

S2 =∫ +∞

0

(x− s−Q)fL(x)dx

– Typeset by FoilTEX – 34

•∫ a

0

(a− x)fL(x)dx =∫ +∞

0

(a− x)fL(x)dx

−∫ +∞

a

(a− x)fL(x)dx

= a− µL +∫ +∞

a

(a− x)fL(x)dx

⇒ I1 = s− µL + S1, I2 = s+Q− µL + S2

• Gemiddelde voorraad op de planken

≈12

(I1 + I2)

≈ s− µL +12Q+

12

(S1 + S2)

• Gemiddelde achterstand in levering

≈12

(S1 + S2)

in praktijk als tekorten zelden optreden is S2 zeerklein t.o.v. S1 en dus te verwaarlozen

• Kans op voorraadtekort

≈ P{XL > s} =∫ +∞

s

fL(x)dx

– Typeset by FoilTEX – 35

• Fractie direct geleverde vraag

– stochastische variabelen:

D(t) = totale hoeveelheid vraag in (0, t)

V (t) = totale hoeveelheid vraag in (0, t), waar-aan niet direct voldaan wordt

– op lange termijn limt→+∞

V (t)D(t)

is fractie van vraag

NIET direct voldaan uit voorraad

=E[hoeveelheid vraag per cyclus die niet direct leverbaar is]

E[totale vraag in een cyclus]

met teller = S1 − S2

noemer = Q (wegens naleveringen)

⇒teller

noemer=

1

Q

(Z +∞

s(x− s)fL(x)dx−

Z +∞

s+Q(x− s−Q)fL(x)dx

)

• Minimalisering van kosten onder service-eis

– K = vaste kosten verbonden aan aanvulorderr = voorraadkosten per in voorraad geınvesteerde

euros per tijdseenheidv = inkoopkosten per eenheid

– praktijk: voorraadtekortkosten moeilijk tekwantificerenin de plaats ervan service-eisen:

– Typeset by FoilTEX – 36

P1: kans op GEEN tekort gedurende levertijdvan een aanvulorder ≥ α met 0 < α < 1

P2: fractie vraag die direct uit voorraadgeleverd wordt ≥ β met 0 < β < 1

Opmerking: P2 betere servicemaat

– som van gemiddelde voorraadkosten en be-stelkosten minimaliseren onder P1 ofwel onderP2

– stel µ1 = gemiddelde vraag per tijdseenheid

⇒ µ1

Q= gemiddelde aantal aanvulorders per tijds-

eenheid– bestelkosten = K

µ1

Q+ µ1v

voorraadkosten =(

12Q+ s− µL +

12

(S1 + S2))vr

– theorie: Q en s simultaan berekenenpraktijk: eerst Q dan s

• Sequenti ele benadering

1. bestelgrootte Q uit EOQ-formule

Q0 =

√2µ1K

vr

– Typeset by FoilTEX – 37

2. s op basis van service-eis

geval P1:∫ +∞

s

fL(x)dx = 1− α

geval P2:1Q0

{∫ +∞

s

(x− s)fL(x)dx

−∫ +∞

s+Q0

(x− s−Q0)fL(x)dx}

= 1 −

β

Opmerking

1. sequentiele aanpak goed als Q0 > σL

2. tweede integraal (S2) in geval P2 niet verwaar-lozen als

σLµL

> 0.5 en β < 0.9

3. geval P2 niet eenvoudig op te lossen

• Normaal verdeelde vraag– motivatie: vraag van groot aantal onafhanke-

lijke afnemers, limietstelling

– XL ∼ N(µL, σL) metσLµL≤ 0.5

(anders significante kans op negatieve vraag)

– stel s = µL + kσL met k: veiligheidsfactor⇒ kσL = s− µL: veiligheidsvoorraad

– Typeset by FoilTEX – 38

– P{XL > s} = P

{XL − µL

σL> k

}= 1− Φ(k)

⇒ geval P2: 1− Φ(k) = 1− α

– normale verliesfunctie

I(z) =1√2π

∫ +∞

z

(z − z)e−12x

2dx

= ϕ(z)− z(1− Φ(z))

= E[(X − z)+] X ∼ N(0, 1)

en

∫ +∞

a

(x− a)fL(x)dx = E[(XL − a)+]

= σLE

[(XL − µL

σL− a− µL

σL

)+]

= σLI

(a− µLσL

)

⇒ S1 = σLI

(s− µLσL

), S2 = σLI

(s+Q− µL

σL

)⇒ geval P2: σLI

(s− µLσL

)−σLI

(s+Q0 − µL

σL

)= (1− β)Q0

– Typeset by FoilTEX – 39

praktisch: voor β ≥ 0.9 tweede term te ver-waarlozen

⇒ σLI

(s− µLσL

)= (1− β)Q0

• voorbeeldµ1 = 2600 σ1 = 200

L = 3 weken =352

jaarK = 225v = 200r = 0.15β = 0.99? (s,Q)

16.2.2. Het (s,Q) model met verloren vraag

• exacte analyse: moeilijk

• heuristische analyse: benaderingen

• – netto voorraad vlak voor binnenkomst van eenaanvulorde ≈ (s−XL)+

– gemiddelde voorraad op de planken

≈12

(I1 + I2)

– Typeset by FoilTEX – 40

met

I1 ≈ E[(s−XL)+]

= s− µL +∫ +∞

s

(x− s)fL(x)dx

I2 = I1 +Q

⇒ ≈ s− µL +12Q+

∫ +∞

s

(x− s)fL(x)dx

– kans op voorraadtekort gedurende levertijd

≈ P{XL > s} =∫ +∞

s

fL(x)dx

– fractie vraag die verloren gaat

=E[hoeveelheid vraag per cyclus waaraan niet voldaan]

E[totale vraag per cyclus]

teller ≈ E[(XL − s)+]

noemer = E[verloren hoeveelheid vraag per cyclus]

+E[geleverde hoeveelheid vraag per cyclus]

≈ E[(XL − s)+] +Q

fractie ≈

R+∞s (x− s)fL(x)dx

R+∞s (x− s)fL(x)dx+Q

– bestelgrootte Q0 gegevenbestelpunt s gevraagd onder service-eis:

– Typeset by FoilTEX – 41

tenminste fractie β van de vraag direct uit voor-raad te leveren 0 < β < 1

s oplossen uit

∫ +∞

s

(x− s)fL(x)dx =1− ββ

Q

geval normaal verdeelde vraag:

σLI

(s− µLσL

)=

1− ββ

Q0

Opmerkingβ ≈ 1 bestelpunt hetzelfde voor model metverloren vraag als naleveringsmodel

– Typeset by FoilTEX – 42