10 Zonnestelsel en heelal - vc-science-bovenbouw.nl · 0,0735∙1024 kg dus is de gravitatiekracht...

© ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pagina 1 van 18

Uitwerkingen basisboek

10.1 INTRODUCTIE 1 [W] Bewegingen in het zonnestelsel

2 [W] Kracht en beweging

3 [W] Arbeid en energie

4 [W] Experiment: Bochten nemen

5 [W] Computersimulatie: Satellietbanen

6 Waar of niet waar?

a Niet waar: In een draaimolen is de middelpuntzoekende kracht naar het midden van

de draaimolen gericht.

b Waar

c Waar

d Waar

e Niet waar: De snelheid waarmee een satelliet rond de aarde draait hangt af van de

afstand tussen de satelliet en de aarde.

f Niet waar: De gravitatiekracht op een voorwerp is hetzelfde als de zwaartekracht. Een

synoniem dus.

g Niet waar: De middelpuntzoekende kracht die een satelliet een cirkelbaan laat

beschrijven is de gravitatiekracht.

7

a De afstand tussen de stippen wordt kleiner terwijl de tijd tussen twee stippen gelijk

blijft, dus neemt de snelheid af.

b De grootte van de snelheid blijft gelijk terwijl de richting verandert.

c

8

a De spankracht in het touw.

b Als het touw breekt, beweegt de puck in een rechte lijn verder, de richting is gelijk aan

de richting van de raaklijn aan de cirkel op het punt van het wegvallen van de

spankracht.

9 De middelpuntzoekende kracht die de ijshockeypuck een cirkelbeweging laat beschrijven

wordt geleverd door de spankracht. Deze twee krachten hebben dus dezelfde richting en

10 Zonnestelsel en heelal

Cirkelbaan en gravitatiekracht | vwo


grootte. De middelpuntzoekende kracht zorgt ervoor dat de snelheid voortdurend van

richting verandert. De snelheid is dus alleen constant in grootte en niet in richting.

10

a De wrijvingskracht van het wegdek op de band.

b Dan maakt de motorfiets geen bocht maar gaat rechtuit verder (‘vliegt de bocht uit’).

11

a Groter, als je op dezelfde afstand van de draai-as blijft zitten of liggen.

b Kleiner, als de omwentelingssnelheid van de draaischijf gelijk blijft.

c Je voelt de wrijvingskracht van de draaischijf tegen jou aanduwen richting het centrum

van de draaischijf, net zo als wanneer iemand jou over de stilstaande draaischijf naar

de rand zou duwen. Die duwkracht, die er niet is, denk je te voelen. Een schijnkracht

dus.

12

a De gravitatiekracht.

b Rechtdoor, dus weg van de aarde.

13

a De baan is dan een ellips, de hoogte boven het aardoppervlak is dan niet constant.

b Dan zou het steeds dichter bij de aarde komen en in de dampkring waarschijnlijk

verbranden.

c De snelheid wordt daardoor kleiner.

d De hoogte neemt geleidelijk af, want als de snelheid kleiner is, is de benodigde

middelpuntzoekende kracht kleiner. De gravitatiekracht is dan groter dan de

benodigde middelpuntzoekende kracht voor die baan waardoor de satelliet naar de

aarde toe beweegt.

e Schuin naar beneden en naar achter: naar achter om de snelheid te verhogen en naar

beneden om de hoogte weer te laten toenemen.

14

a De kracht staat voortdurend loodrecht op de richting van de snelheid. Hierdoor kan de

grootte van de snelheid niet veranderen, maar de richting wel.

b De massa, de snelheid en de straal van de cirkelbaan.

c Zie bij d.

d Als de massa 𝑚 groter is, dan is de middelpuntzoekende kracht 𝐹mpz groter,

als de snelheid 𝑣 groter is, dan is de middelpuntzoekende kracht 𝐹mpz groter,

als de baanstraal 𝑟 groter is, dan is de middelpuntzoekende kracht 𝐹mpz kleiner.

15 Eigen antwoord.

16

a 2x zo groot.

b 4x zo groot.

c 0,5x zo groot (of 2x zo klein).

d Als ze elk tweemaal zo groot zijn is Fmpz 4x zo groot en als ze elk tweemaal zo klein

zijn is Fmpz 4x zo klein.


17 A – E – D – C – F – B. De kleinste middelpuntzoekende kracht hoort bij de kleinste

snelheid in combinatie met de grootste straal, dat is situatie A. Een afname van de straal

heeft minder invloed dan een toename van de snelheid, dus is de volgende E, gevolgd

door D. De andere 3 situaties hebben een twee keer zo hoge snelheid, dan is voor

eenzelfde middelpuntzoekende kracht een vier keer zo grote straal nodig dan bij D (dus 8

m), maar die situatie is er niet. De grootste straal heeft nu de kleinste middelpuntzoekende

kracht, dus volgorde C – F – B.

18

a In de formule voor 𝐹mpz staat de straal in de noemer. Een flauwere bocht heeft een

grotere straal, dus is bij dezelfde snelheid een kleinere middelpuntzoekende kracht

nodig.

b In de formule voor 𝐹mpz staat de snelheid in de teller. Dus is bij dezelfde straal en een

grotere snelheid een grotere middelpuntzoekende kracht nodig.

c Als de kracht die werkt als middelpuntzoekende kracht te klein is, zal de fiets of auto

uit de bocht ‘glijden’: de straal van de bocht wordt groter.

19

a Groter, want de maximale kracht is gelijk, de straal (in de noemer) is groter en de

snelheid staat in de teller.

b De maximale kracht is gelijk, de straal is tweemaal zo groot, dan mag 𝑣² ook 2x zo

groot zijn. Dus 𝑣 is √2 keer zo groot.

c De buitenbocht is tweemaal zo lang, de snelheid is √2 keer zo groot. De binnenbocht

is dus sneller.

20

a Als de omlooptijd tweemaal zo groot wordt, wordt de snelheid tweemaal zo klein. Dan

wordt de benodigde middelpuntzoekende kracht viermaal zo klein.

b Als je tweemaal zo ver van het midden gaat zitten wordt de straal tweemaal zo groot.

Als de straal tweemaal zo groot wordt, wordt de snelheid ook tweemaal zo groot. De

middelpuntzoekende kracht is evenredig met de snelheid in het kwadraat en

omgekeerd evenredig met de straal, dus wordt deze dan 22/2 = 2 x zo groot.

21

a Als de baanstraal tweemaal zo groot wordt, wordt de cirkelbaan (dus de afstand)

tweemaal zo groot. Alice blijft in hetzelfde tempo rondjes draaien dus wordt de

baansnelheid ook tweemaal zo groot. De middelpuntzoekende kracht evenredig met

het kwadraat van de baansnelheid en omgekeerd evenredig met de straal, dus zal de

middelpuntzoekende kracht tweemaal zo groot worden.

b De eenheid van 𝐹mpz is: N = kg ∙ m/s2 en de eenheid van 𝑚∙𝑣

𝑟 is:

kg∙m/s

m= kg/s.

De eenheden zijn niet gelijk.

22

a De normaalkracht van de baan.

b Door de zwaartekracht neemt de snelheid af.

c In punt A, daar is de snelheid het grootst. De straal is steeds even groot.

23

a De afstand van het ISS tot het middelpunt van de aarde is 6371 + 342 = 6713 km, dus


𝑟 = 6713 km. Voor de baansnelheid geldt: 𝑣 =2𝜋∙𝑟

𝑇

𝑇 =2𝜋∙𝑟

𝑣=

2𝜋∙6713

7,7= 5478 s = 1,5 uur.

b De gravitatiekracht is de middelpuntzoekende kracht, dus 𝐹mpz = 8,8 N. Bij een

snelheid van 7,7 km/s is 𝐹mpz =𝑚∙𝑣2

𝑟=

1,0∙(7,7∙103)2

6713∙103 = 8,8 N, dus is deze snelheid

precies groot genoeg om de benodigde middelpuntzoekende kracht te leveren.

24

a 𝑟 = 23616 + 6371 = 29987 km en 𝑣 =2𝜋∙𝑟

𝑇=

2𝜋∙29987∙103

5,17∙104 = 3,64 ∙ 103 m/s

𝐹mpz =𝑚∙𝑣2

𝑟=

525∙(3,64∙103)2

29987∙103 = 2,33 ∙ 102 N.

b Veel kleiner, op aarde is de zwaartekracht 5,1·10³ N.

25

a De zwaartekracht bij het maanoppervlak werkt als middelpuntzoekende kracht die

nodig is voor een cirkelbeweging vlak boven het maanoppervlak, dus 𝐹z = 𝐹mpz

𝑚 ∙ 𝑔 =𝑚∙𝑣2

𝑟 𝑚 ∙ 1,63 =

𝑚∙𝑣2

𝑅maan

𝑣 = √1,63 ∙ 𝑅maan = √1,63 ∙ 1,738 ∙ 106 = 1,68 ∙ 103 m/s.

b Op de maan is er geen lucht die de kogel van Newton kan afremmen.

26 𝑟 = 5,0 m en 𝐹mpz = 9 ∙ 9,81 ∙ 𝑚 geeft: 𝑚∙𝑣2

𝑟= 9 ∙ 9,81 ∙ 𝑚

𝑣2

5,0= 9 ∙ 9,81

𝑣 = 21,0 m/s.

Voor de baansnelheid geldt: 𝑣 =2𝜋∙𝑟

𝑇 𝑇 =

2𝜋∙𝑟

𝑣=

2𝜋∙5,0

21,0= 1,50 s. Het maximale

toerental is dus 1

1,50= 0,67 omw/s.

27

a Zie figuur.

b 𝐹N = 𝑚 ∙ 𝑔 = 920 ∙ 9,8 = 9,0 ∙ 103 N = 9,0 kN. Aflezen uit figuur 20:

𝐹w max = 8,3 kN.

𝐹w max = 𝐹mpz 𝐹w max =𝑚∙𝑣max

2

𝑟 8,3 ∙ 103 =

920∙𝑣max2

22

𝑣max = 14,1 m/s = 51 km/h.

28 [W] Computersimulatie: Ellipsbanen

29 [W] Middelpuntzoekende versnelling en kracht


10.3 GRAVITATIEKRACHT

30 [W] Gravitatiekracht

31 [W] Computersimulatie: Planeetbanen


a Waar

b Niet waar: De baansnelheid van planeten neemt af als de baanstraal toeneemt.

c Niet waar: De zwaartekracht aan het oppervlak van een planeet hangt af van de

massa en de straal van de planeet.

d Waar

e Niet waar: Op de maan wordt je ook nog aangetrokken door de aarde, al is die kracht

heel veel kleiner dan de zwaartekracht van de maan.

33

a Elke kg van de aarde oefent op elke kg van de maan 4,52∙10-28

N uit en de massa van

de aarde is 5,98∙1024

kg, dus oefent de aarde op elke kg van de maan 5,98∙1024

x

4,52∙10-28

= 2,7∙10-3

N uit.

b De aarde oefent op elke kg van de maan 2,7∙10-3

N uit en de massa van de maan is

0,0735∙1024

kg dus is de gravitatiekracht van de aarde op de maan 0,0735∙1024

x

2,7∙10-3

= 1,99∙1020

N.

c Elke kg van de aarde oefent op elke kg van de maan een kracht uit van 4,52∙10-28

N.

Omgekeerd oefent dus ook elke kg van de maan een kracht van 4,52∙10-28

N uit op

elke kg van de aarde, het is immers een wisselwerking. De massa van de maan is

0,0735∙1024

kg, dus oefent de maan op elke kg van de aarde 0,0735∙1024

x

4,52∙10-28

= 3,32∙10-5

N uit.

d De maan oefent op elke kg van de aarde 3,32∙10-5

N uit en de massa van de aarde is

5,98∙1024

N dus is de gravitatiekracht van de maan op de aarde 5,98∙1024

x 3,32∙10-5

= 1,99∙1020

N.

34

a 𝐹mpz =𝑚∙𝑣2

𝑟=

0,0735∙1024∙(1,02∙103)2

384∙106 = 1,99 ∙ 1020 N.

b De gravitatiekracht werkt als middelpuntzoekende kracht, dus 1,99∙1020

N.

c Ja, de gravitatiekracht en de benodigde middelpuntzoekende kracht worden beide

tweemaal zo groot.

d Nee, de gravitatiekracht wordt dan tweemaal zo groot, dan zou de snelheid (en dus

ook de middelpuntzoekende kracht) ook groter moeten worden om in dezelfde baan te

kunnen blijven.

35

a Aarde: 𝐹mpz =𝑚∙𝑣aarde

2

𝑟aarde, Saturnus: 𝐹mpz =

(𝑚∙𝑣aarde

3,08)

2

9,53∙𝑟aarde=

1

90,4∙

𝑚∙𝑣aarde2

𝑟aarde.

Op een kg zal de middelpuntzoekende kracht dus 90,4 x zo klein zijn.

b Nee, de afstand wordt 9,53x zo groot en de kracht 90,4 x zo klein, dus het is

omgekeerd kwadratisch (9,532 = 90,8).


36

a 100 x 9,8 = 980 N/kg.

b Omgekeerd kwadratisch

37

a 𝑟Saturnus

𝑟Aarde=

143

15,0= 9,53.

b 𝑣Aarde

𝑣Saturnus=

29,8

9,67= 3,08.

c Als 𝑣 omgekeerd evenredig is met √𝑟, dan geldt dat 𝑣 ∙ √𝑟 = constant:

𝑣Saturnus ∙ √𝑟Saturnus = 9,67 ∙ 103 ∙ √143 ∙ 1010 = 1,16 ∙ 1010 en

𝑣Aarde ∙ √𝑟Aarde = 29,8 ∙ 103 ∙ √15,0 ∙ 1010 = 1,15 ∙ 1010.

d De baanstraal is groter, dus is de omtrek van de cirkel groter en de snelheid kleiner.

Beide factoren zorgen ervoor dat de omlooptijd groter zal zijn.

e 𝑣 =2𝜋∙𝑟

𝑇 𝑇 =

2𝜋∙𝑟

𝑣, de baanstraal is 9,53 x zo groot en de snelheid is 3,08 x zo

klein, dus is de omlooptijd 9,53 x 3,08 = 29,4 x zo groot.

f Als de baanstraal 9,53 x zo groot is, dan is de omlooptijd 29,4 x zo groot en

√9,533 = 29,4.

38

a Van de massa’s van de zon en de planeten en van de afstand tussen de zon en de

planeten.

b Als de massa 𝑀 van de zon groter is, dan is de gravitatiekracht 𝐹g van de zon op de

planeet groter.

Als de massa 𝑚 van de planeet groter is, dan is de gravitatiekracht 𝐹g van de zon op

de planeet groter.

Als de afstand 𝑟 tussen de zon en de planeet groter is, dan is de gravitatiekracht 𝐹g

van de zon op de planeet kleiner.

c Uit opgave 35 en 36 blijkt dat de gravitatiekracht omgekeerd kwadratisch is met de

onderlinge afstand. We weten al dat de gravitatiekracht evenredig is met beide

massa’s, dus 𝐹g = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ∙𝑚∙𝑀

𝑟2 .

39 [W] Computersimulatie: Baanstraal en baansnelheid

40 Eigen antwoord.

41 De gravitatiekracht is een wisselwerking, dus is de gravitatiekracht van de aarde op de zon

ook 3,54∙1022

N.

42 𝐹g = 𝐺 ∙𝑚∙𝑀

𝑟2 dus als 𝑚, 𝑀, en 𝑟 allemaal tweemaal zo groot zijn zal de gravitatiekracht

hetzelfde blijven.

43 Zon - maan: 𝑟 = 0,1496 ∙ 1012 m (gebruik de afstand zon – aarde) en

𝑀 = 1,9884 ∙ 1030 kg dus 𝑀

𝑟2 =1,9884∙1030

(0,1496∙1012)2 = 8,88 ∙ 107.

Aarde - maan: r = 384,4∙106 m en M = 5,972∙10

24 kg dus

𝑀

𝑟2 =5,972∙1024

(384,4∙106)2 = 4,04 ∙ 107.

Dus de gravitatiekracht van de zon op de maan is ongeveer tweemaal zo groot als de

gravitatiekracht van de aarde op de maan.


44 De uitspraak is niet juist: de gravitatiekracht van de zon werkt als middelpuntzoekende

kracht van de cirkelbeweging. Het is één en dezelfde kracht. De naam gravitatiekracht

geeft de oorzaak van de kracht aan en de naam middelpuntzoekend slaat op het gevolg:

een versnelling naar het middelpunt.

45

a Uit 𝐹mpz = 𝐹g volgt: 𝑣2 ∙ 𝑟 = 𝐺 ∙ 𝑀. Als de afstand vijfmaal zo groot is, zal de

baansnelheid √5x zo klein zijn.

b 𝑣 =2𝜋∙𝑟

𝑇 𝑇 =

2𝜋∙𝑟

𝑣, de afstand is 5x zo groot en de baansnelheid √5x zo klein, dus

is de omlooptijd 5∙√5 = 11,2x zo groot, dus 11,2 jaar. Binas: TJupiter = 11,86 jaar.

46

a Als de massa van de aarde 100 x zo groot is, is de gravitatiekracht tussen de zon en

de aarde ook 100 x zo groot, maar ook de middelpuntzoekende kracht is dan 100 x zo

groot en dus blijven de snelheid en de omlooptijd gelijk.

b Als de massa van de ster 100 x zo groot is en de afstand tussen de ster en de planeet

hetzelfde is, dan is de gravitatiekracht tussen de ster en de planeet ook 100 x zo

groot. De middelpuntzoekende kracht hangt niet van de massa van de ster af maar

moet wel 100 x zo groot worden om gelijk te blijven aan de gravitatiekracht. De

middelpuntzoekende kracht is evenredig met 𝑣2 dus moet de snelheid √100 = 10 x

zo groot zijn en dus moet de omlooptijd 10 x zo kort zijn.

47

a Uit de omlooptijd en de afstand van de aarde tot de zon is de omloopsnelheid te

berekenen met 𝑣 =2𝜋∙𝑟

𝑇. Vervolgens kun je met 𝐹g = 𝐹mpz 𝐺 ∙ 𝑀 = 𝑣2 ∙ 𝑟 de

massa van de zon berekenen.

b Je kunt ook de afstand tot een andere planeet en de omlooptijd van die planeet

gebruiken om de massa van de zon te berekenen.

c Voor het bepalen van de massa van de aarde kun je de omlooptijd en afstand van

maan tot de aarde ‘gebruiken’.

d Je kunt op die manier van alle planeten die een maan (of meerdere manen) hebben

de massa bepalen, dus bij Mars en Jupiter. Mercurius, Venus, Saturnus, Uranus en

Neptunus hebben geen maan dus daarbij is het niet mogelijk om op deze manier de

massa te bepalen.

48

a Oriëntatie:

In de af te leiden formule ontbreekt de snelheid 𝑣. Door de formule voor de snelheid:

𝑣 =2𝜋∙𝑟

𝑇 in te vullen in de andere formule: 𝑣2 ∙ 𝑟 = 𝐺 ∙ 𝑀 kunnen we de snelheid uit

de formule halen.

Uitwerking:

(2𝜋∙𝑟

𝑇)

2

∙ 𝑟 = 𝐺 ∙ 𝑀 𝑟3

𝑇2 =𝐺∙𝑀

4𝜋2.

b 𝐺∙𝑀

4𝜋2 =6,674∙10−11∙1,9884∙1030

4𝜋2 = 3,361 ∙ 1018 m3 s2⁄ .

Saturnus: 𝑟 = 1,427 ∙ 1012 m en 𝑇 = 29,45 jaar = 29,45 ∙ 3,156 ∙ 107 =

9,294 ∙ 108 s 𝑟3

𝑇2 =(1,427∙1012)

3

(9,294∙108)2 = 3,374 ∙ 1018 m3/s2.


Mars: 𝑟 = 0,228 ∙ 1012 m en 𝑇 = 687,0 dag = 687,0 ∙ 8,640 ∙ 104 = 5,936 ∙ 107 s

𝑟3

𝑇2 =(0,228∙1012)

3

(5,936∙107)2 = 3,364 ∙ 1018 m3/s2.

c 𝑟3

𝑇2 =𝐺∙𝑀

4𝜋2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡. Als de baanstraal 𝑟 2 x zo groot is, dan is 𝑟3 8 x zo groot.

Dan moet 𝑇2 ook 8 x zo groot zijn om te zorgen dan 𝑟3

𝑇2 constant blijft. Als 𝑇2 8 x zo

groot moet zijn, dan is de omlooptijd √8 = 2,8 x zo groot.

49

a De astronauten draaien, net als het ISS, in een baan rond de aarde. Voor die baan is

een middelpuntzoekende kracht nodig en dat is hier de aantrekkingskracht van de

aarde.

b Nee, de astronaut valt niet naar beneden. Hij heeft net als het ISS een baansnelheid

die precies goed is op die hoogte en valt daardoor niet naar beneden. De

zwaartekracht van de aarde houdt de astronaut in zijn baan.

c Ja, dezelfde snelheid als het ISS.

d Er is geen luchtwrijving die de astronaut afremt.

e Als de astronaut van het ISS afzweeft zal hij steeds verder van het ISS af bewegen,

omdat hij niet wordt afgeremd. Hij kan dan nooit meer terugkomen bij het ISS. (Alleen

door een stuk gereedschap in de tegenoverliggende richting weg te gooien kan hij

weer naar het ruimteschip terugkeren, zoals kapitein Hadock deed in het avontuur van

Kuifje naar de maan.)

f Er is gewichtloosheid omdat er geen normaalkracht in het ISS is, alles valt

voortdurend met dezelfde versnelling naar de aarde toe.

50 Als de komeet dichter bij de zon komt heeft de gravitatiekracht niet alleen een component

loodrecht op de snelheid (die voor de afbuiging zorgt) maar ook een component in de

richting van de snelheid. Hierdoor neemt de snelheid van de komeet toe. Als de komeet

verder van de zon af beweegt heeft de gravitatiekracht juist een component die

tegengesteld aan de richting van de snelheid is, waardoor de snelheid afneemt.

51

a Ze worden allebei door de aarde aangetrokken volgens de gravitatiekracht.

b De maan heeft een snelheid die loodrecht op de gravitatiekracht staat waarbij

gravitatiekracht even groot is als de middelpuntzoekende kracht die nodig is om een

cirkelbaan te beschrijven. Bij de appel is gravitatiekracht veel groter dan de vereiste

middelpuntzoekende kracht omdat de horizontale snelheid veel te klein is.

52 Niet alle bewegingen van sterren en sterrenstelsels zijn te verklaren met alleen de

gravitatiewet. Dit kan een reden zijn om te twijfelen aan de juistheid van de gravitatiewet of

om te zoeken naar aanvullingen op deze wet. Ook is het slecht voor te stellen hoe twee

massa’s op afstand invloed op elkaar kunnen hebben, terwijl daar niets tussen zit (hoe

‘weten’ die massa’s van elkaars bestaan?).

53

a De massa van de maan is 5,976 / 0,0735 = 81,3 x zo klein en de straal is

6,378 / 1,738 = 3,67 x zo klein. 𝐹z = 𝐹g 𝑔 = 𝐺 ∙𝑀

𝑅2 dus zal de valversnelling op de

maan 81,3 / 3,672 = 6,04 x zo klein zijn.


b Voor de aarde is 𝑔 = 𝐺 ∙𝑀

𝑅2 = 6,674 ∙ 10−11 ∙5,976∙1024

(6,378∙106)2 = 9,80 m/s2 en voor

de maan is 𝑔 = 𝐺 ∙𝑀

𝑅2 = 6,674 ∙ 10−11 ∙0,0735∙1024

(1,738∙106)2 = 1,62 m/s2.

(en 9,80 / 1,62 = 6,05).

54 Op zeeniveau is g = G ∙M

R2 = 6,674 ∙ 10−11 ∙5,976∙1024

(6,378∙106)2 = 9,905 m/s2

Op de top van de Mount Everest wordt de afstand dan 6378 + 8 = 6386 km

g = G ∙M

R2 = 6,674 ∙ 10−11 ∙5,976∙1024

(6,386∙106)2 = 9,780 m/s2.

Dat verschil merk je niet.

55

a Voor de baansnelheid geldt: 𝑣 =2𝜋∙𝑟

𝑇=

2𝜋∙1,496∙1011

365,25∙24∙3600= 2,979 ∙ 104 m/s.

𝐹mpz =𝑚∙𝑣2

𝑟=

5,972∙1024∙(2,979∙104)2

1,496∙1011 = 3,543 ∙ 1022 N.

b 𝐹g = 𝐺 ∙𝑚∙𝑀

𝑟2 = 6,674 ∙ 10−11 ∙5,972∙1024∙1,9884∙1030

(1,496∙1011)2 = 3,541 ∙ 1022 N. Dat

klopt dus.

56 De afstand van de aarde tot de zon is 1,496∙1011

m en de omlooptijd is 365,25 dagen

𝑣 =2𝜋∙𝑟

𝑇=

2𝜋∙1,496∙1011

365,25∙24∙3600= 2,979 ∙ 104 m/s.

Gebruik dat: 𝐹g = 𝐹mpz 𝐺 ∙ 𝑀 = 𝑣2 ∙ 𝑟 met 𝐺 = 6,674 ∙ 10−11 Nm2/kg2

𝑀 =𝑣2∙𝑟

𝐺=

(2,979∙104)2

∙1,496∙1011

6,674∙10−11 = 1,989 ∙ 1030 kg.

57

a Voor alle manen geldt dat 𝐹g = 𝐹mpz 𝐺 ∙ 𝑀 = 𝑣2 ∙ 𝑟. 𝑀 en 𝐺 zijn voor alle manen

hetzelfde en dus moet 𝑣2 ∙ 𝑟 steeds dezelfde waarde hebben.

Io: 𝑣 =2𝜋∙𝑟

𝑇=

2𝜋∙4,22∙108

1,53∙105 = 1,73 ∙ 104 m/s

𝑣2 ∙ 𝑟 = (1,73 ∙ 104)2 ∙ 4,22 ∙ 108 = 1,26 ∙ 1017,

Europa: 𝑣 =2𝜋∙𝑟

𝑇=

2𝜋∙6,74∙108

3,07∙105 = 1,38 ∙ 104 m/s

𝑣2 ∙ 𝑟 = (1,38 ∙ 104)2 ∙ 6,74 ∙ 108 = 1,28 ∙ 1017,

Ganymedes: 𝑣 =2𝜋∙𝑟

𝑇=

2𝜋∙10,7∙108

6,18∙105 = 1,09 ∙ 104 m/s

𝑣2 ∙ 𝑟 = (1,09 ∙ 104)2 ∙ 10,7 ∙ 108 = 1,27 ∙ 1017,

Callisto: 𝑣 =2𝜋∙𝑟

𝑇=

2𝜋∙18,8∙108

14,4∙105 = 8,20 ∙ 103 m/s

𝑣2 ∙ 𝑟 = (8,20 ∙ 103)2 ∙ 18,8 ∙ 108 = 1,26 ∙ 1017.

b De gemiddelde waarde van 𝑣2 ∙ 𝑟 is 1,27∙1017

𝑀 =𝑣2∙𝑟

𝐺=

1,27∙1017

6,674∙10−11 = 1,90 ∙ 1027 kg. Binas: m = 1900∙1024

kg.

58 De straal van de aarde is 6,371 ∙ 106 m, dus 𝑟 = 23,616 ∙ 106 + 6,371 ∙ 106 = 29,987 ∙

106 m.

Voor de satellieten geldt dat 𝐹g = 𝐹mpz 𝐺 ∙ 𝑀 = 𝑣2 ∙ 𝑟

𝑣 = √𝐺∙𝑀

𝑟= √

6,674∙10−11∙5,976∙1024

29,987∙106 = 3,647 ∙ 103 m/s.

𝑣 =2𝜋∙𝑟

𝑇 𝑇 =

2𝜋∙𝑟

𝑣=

2𝜋∙29,987∙106

3,647∙103 = 5,166 ∙ 104 s = 861,1 min.


59 De satellieten moeten meedraaien met de aarde, dus moeten ze precies dezelfde

omlooptijd hebben.

De exacte rotatieperiode van de aarde is: 𝑇 = 0,9973 d = 23,935 u = 8,617 ∙ 104 s.

Door 𝑣 =2𝜋∙𝑟

𝑇 te combineren met 𝑣2 ∙ 𝑟 = 𝐺 ∙ 𝑀 is af te leiden dat

𝑟3

𝑇2 =𝐺∙𝑀

4𝜋2 (zie ook

opgave 48), waarbij 𝐺 = 6,674 ∙ 10−11 Nm2

kg2 en 𝑀 = 5,976 ∙ 1024 kg.

Invullen geeft 𝑟3

(8,617∙104)2 =6,674∙10−11∙5,976∙1024

4𝜋2 𝑟 = 4,217 ∙ 107 m.

De geostationaire baan ligt recht boven de evenaar. De straal van de aarde is bij de

evenaar: 𝑟aarde = 6,378 ∙ 106 m, dus de hoogte van de geostationaire baan boven het

aardoppervlak is 4,217 ∙ 107 − 6,378 ∙ 106 = 3,580 ∙ 107 m.

60 [W] Vallen op de maan

61 [W] Wegen van de aarde

62 [W] Gravitatiewet van Newton

63 [W] Computermodel van planeetbanen

10.5 GRAVITATIE-ENERGIE

64 [W] Zwaarte-energie


a Waar

b Niet waar: Het nulpunt van de gravitatie-energie is in de natuurkunde gekozen ‘in het

oneindige’.

c Waar / niet waar: De negatieve gravitatie-energie van een voorwerp wordt steeds

kleiner (dus komt steeds dichter bij 0) naarmate de afstand tot het middelpunt van de

aarde groter is.

d Niet waar: De (negatieve) gravitatie-energie van een voorwerp is omgekeerd

evenredig met de afstand tot het middelpunt van de aarde.

e Waar

f Waar.

66

a De kracht is gelijk en de afgelegde weg is tweemaal zo groot, dus is de arbeid

tweemaal zo groot (𝑊 = 𝐹g ∙ 𝑠).

b Op het eerste stuk vallen van ℎ = 3 ∙ 𝑅 naar ℎ = 2 ∙ 𝑅 is de gravitatiekracht kleiner

dan op het tweede stuk (van ℎ = 2 ∙ 𝑅 tot aan het aardoppervlak). De totale arbeid zal

dus minder dan tweemaal zo groot zijn.

c Hoe groter de afstand van het voorwerp tot het middelpunt van de aarde, hoe kleiner

de gravitatiekracht. De arbeid die verricht wordt door de gravitatiekracht bij een meter

vallen is dan steeds kleiner, er komt dus steeds minder gravitatie-energie

bij als een voorwerp zich verder van het middelpunt van de aarde bevindt.

67


a Trek een rechte lijn om met een driehoek de oppervlakte onder de grafiek af te

schatten: het stuk dat je aan de linkerkant teveel meeneemt, kom je aan de

rechterkant te kort (zie figuur). De oppervlakte van de driehoek is 𝑊g =1

2∙ 9,7 N ∙

(17 − 6,5) ∙ 106 m = 5,1 ∙ 107 Nm = 5,1 ∙ 107 J.

b De gravitatie-energie is 0 in het oneindige, dus is de gravitatie-energie op het

aardoppervlak 𝐸g = −5,1 ∙ 107 J.

Aflezen in figuur 38: 𝐸g = −6,2 ∙ 107 J.

68 [W] Arbeid van de gravitatiekracht

69

a Als de massa van het voorwerp tweemaal zo groot is, is ook de gravitatiekracht

tweemaal zo groot en daarmee ook de arbeid die de gravitatiekracht verricht tijdens

het vallen van het voorwerp vanaf een bepaalde afstand. De gravitatie-energie wordt

dus bij elke afstand tweemaal zo groot. Dit effect is te bereiken door de grafiek in

verticale richting uit te rekken of door de verticale schaal met twee te

vermenigvuldigen.

b Ook als de massa van de aarde tweemaal zo groot is, is de gravitatiekracht tweemaal

zo groot en zal de gravitatie-energie dus bij elke afstand tweemaal zo groot zijn.

c Als de straal van de aarde tweemaal zo groot is, zit het aardoppervlak op tweemaal zo

grote afstand van het middelpunt, dus zal de grafiek beginnen in het punt (13∙106 m,

-3,1∙107 J).

70

a In een ellipsbaan verandert de afstand tussen de planeet en de zon voortdurend en

dus ook de gravitatie-energie. Omdat de som van de kinetische energie en gravitatie-

energie constant is zal de kinetische energie ook voortdurend veranderen en daarmee

ook de snelheid.

b De snelheid is het grootst als de kinetische energie het grootst is en dus waar de

gravitatie-energie het kleinst is en dat is wanneer de planeet het dichtst bij de zon is.

De snelheid is het kleinst als de gravitatie-energie het grootst is dus wanneer de

planeet het verst van de zon verwijderd is.

71

a De gravitatie-energie hangt van de massa van het voorwerp, de massa van de

planeet en van de afstand tussen het voorwerp en de planeet.

b Als één van de massa’s groter is, zal de gravitatie-energie groter zijn.

Als de afstand tussen het voorwerp en de planeet groter is, zal de gravitatie-energie

kleiner zijn.

72 Eigen antwoord.

73 De formule luidt: 𝐸g = −𝐺 ∙𝑀∙𝑚

𝑟. In het oneindige is 𝑟 oneindig groot en aan de formule

is te zien dat dan 𝐸g nul is.

74 [𝐺] = N ∙ m2 ∙ kg−2 [𝐸g] = [−𝐺 ∙𝑀∙𝑚

𝑟] = N ∙ m2 ∙ kg−2 ∙

kg∙kg

m= N ∙ m = J.

75


a De satelliet komt steeds verder van het middelpunt van de aarde, dus neemt 𝑟 toe. De

gravitatie-energie is negatief en de grootte is omgekeerd evenredig met 𝑟 dus wordt

de gravitatie-energie een steeds kleiner negatief getal, dat is dus een toename.

b 𝑟 wordt 3 x zo groot, dus wordt de (negatieve) gravitatie-energie 3 x zo klein.

c 𝑀aarde = 5,972 ∙ 1024 kg en 𝑀maan = 0,0735 ∙ 1024 kg terwijl 𝑟 gelijk blijft.

𝑀 wordt 5,972

0,0735= 81,3 x zo klein, dus de gravitatie-energie wordt 81,3 x zo klein.

76 De gravitatie-energie is evenredig met de massa 𝑚 en de kinetische energie is ook

evenredig met de massa 𝑚, dus zal de ontsnappingssnelheid 𝑣o niet afhangen van de

grootte van de massa 𝑚 van het voorwerp.

77 [𝐺] = N ∙ m2 ∙ kg−2 en 1 N = 1 kg ∙ m ∙ s−2

[𝑣o] = [√2𝐺∙𝑀

𝑅] = √

N∙m2∙kg−2∙kg

m= √

N∙m

kg= √

kg∙m∙s−2∙m

kg= √

m2

s2 = m/s.

78

a 𝑚 = 𝜌 ∙ 𝑉 dus als de dichtheid 𝜌 hetzelfde is en de massa 𝑚 tweemaal zo groot, dan

is het volume 𝑉 ook tweemaal zo groot. Het volume van een bol is te berekenen met

𝑉 =4

3𝜋 ∙ 𝑟3 dus voor een tweemaal zo groot volume moet de straal √2

3= 1,26 x zo

groot zijn.

b 𝑣o = √2𝐺∙𝑀

𝑅 dus als de straal 𝑅 1,26 x zo groot is, dan is de ontsnappingssnelheid 𝑣o

√1,26 = 1,12 x zo klein.

79 De ontsnappingssnelheid 𝑣o is vijfmaal zo klein, dus is de kinetische energie 25 x zo klein,

want 𝐸k =1

2∙ 𝑚 ∙ 𝑣2. Er is dus niet vijfmaal maar vijfentwintigmaal zo weinig energie nodig

om iets vanaf de maan weg te schieten.

80 𝐸g = −𝐺 ∙𝑀∙𝑚

𝑅= −6,674 ∙ 10−11 ∙

5,972∙1024∙1,0

6,371∙106 = −6,3 ∙ 107 J.

Uit figuur 38: 𝐸g = −6,2 ∙ 107 J dus dit is in overeenstemming met elkaar.

81

a De geostationaire baan bevindt zich boven de evenaar, dus 𝑅aarde = 6,378 ∙ 106 m.

𝐸g,aardopp = −𝐺 ∙𝑀∙𝑚

𝑅aarde= −6,674 ∙ 10−11 ∙

5,972∙1024∙100

6,378∙106 = −6,25 ∙ 109 J.

b 𝑟 = 𝑅aarde + 36 ∙ 106 = 6,378 ∙ 106 + 36 ∙ 106 = 42,4 ∙ 106 m

𝐸g,geos baan = −𝐺 ∙𝑀∙𝑚

𝑟= −6,674 ∙ 10−11 ∙

5,972∙1024∙100

42,4∙106 = −9,4 ∙ 108 J.

c De benodigde arbeid om de satelliet in de geostationaire baan te brengen is minimaal

6,25 ∙ 109 − 0,940 ∙ 109 = 5,3 ∙ 109 J energie nodig.

82

a Bij het wegvliegen van de aarde zal de (negatieve) gravitatie-energie afnemen, want

het nulpunt van de gravitatie-energie ligt in het oneindige.

b Vergelijk de energetische situatie direct na het afwerpen (300 km boven het

aardoppervlak) met die wanneer het ruimteschip de maan heeft bereikt.

Op 300 km is

𝑟op 300 km = 𝑅aarde + 0,300 ∙ 106 = 6,371 ∙ 106 + 0,300 ∙ 106 = 6,671 ∙ 106 m.

De afstand aarde-maan is 𝑟aarde−maan = 384,4 ∙ 106 m.


𝐸k op 300 km + 𝐸g op 300 km = 𝐸g op de maan 1

2∙ 𝑚 ∙ 𝑣2 − 𝐺 ∙

𝑀∙𝑚

𝑟op 300 km= −𝐺 ∙

𝑀∙𝑚

𝑟g op de maan

𝑣 = √2 ∙ 𝐺 ∙ 𝑀 ∙ (1

𝑟op 300 km+

1

𝑟g op de maan)

= √2 ∙ 6,674 ∙ 10−11 ∙ 5,972 ∙ 1024 ∙ (1

6,671∙106 +1

384,4∙106)

= 1,1 ∙ 104 m/s = 11 km/s.

c In de energievergelijking moet er dan aan de rechterkant de (negatieve) gravitatie-

energie van de maan op de satelliet bij geteld worden:

𝐸k,300 km + 𝐸g,van aarde,300 km = 𝐸g,van aarde bij maan + 𝐸g,van maan bij maan.

Hierdoor wordt de benodigde kinetische energie kleiner, dus zal de snelheid kleiner

zijn.

d Als de satelliet precies in het midden zit (bij E) zal de gravitatiekracht van de aarde

groter zijn dan de gravitatiekracht van de maan, omdat de massa van de aarde groter

is. Dichter naar de aarde toe neemt de gravitatiekracht van de aarde nog meer toe,

dus B t/m E kunnen niet de plek zijn waar de gravitatiekracht van de aarde gelijk is

aan de gravitatiekracht van de maan.

e 𝐹g,aarde→maan = 𝐹g,maan→aarde. Noem de afstand van de aarde tot satelliet 𝑟a en de

afstand van de maan tot de satelliet 𝑟m. De massa van de aarde

𝑀a = 5,972 ∙ 1024 kg en de massa van de maan 𝑀m = 0,0735 ∙ 1024 kg.

𝐺 ∙𝑚∙𝑀a

𝑟a2 = 𝐺 ∙

𝑚∙𝑀m

𝑟m2

𝑟m2

𝑟a2 =

𝑀m

𝑀a=

0,0735∙1024

5,972∙1024 = 0,0123 𝑟m

𝑟a= 0,11

𝑟m = 0,11 ∙ 𝑟a dus plaats G is de juiste.

83

a 𝑣o,aarde = √2𝐺∙𝑀

𝑅= √

2∙6,674∙10−11∙5,972∙1024

6,371∙106 = 1,12 ∙ 104 m/s = 11,2 km/s.

b 𝑀 is 81 x zo klein 𝑣o is √81 = 9,0 x zo klein, 𝑟 is 3,7 x zo klein 𝑣o is √3,7 = 1,9

x zo groot dus is de ontsnappingssnelheid vanaf de maan is 9,0

1,9= 4,7 x zo klein.

𝑣o,maan = √2𝐺∙𝑀

𝑅= √

2∙6,674∙10−11∙0,0735∙1024

1,738∙106 = 2,38 ∙ 103 m s⁄ = 2,38 km/s.

11,2

2,38= 4,7 dus dat klopt. Binas: 𝑣o,aarde = 11,2 km/s en 𝑣o,maan = 2,38 km/s.

c 𝑣o = √2𝐺∙𝑀

𝑅= √

2∙6,674∙10−11∙1900∙1024

69,91∙106 = 6,02 ∙ 104 m/s = 60 km/s.

Binas: 𝑣o,Jupiter = 60 km/s.

84

a 𝑚 = 𝜌 ∙ 𝑉 𝑉 =𝑚

𝜌=

106∙2∙1030

1019 = 2 ∙ 1017 m3.

𝑉 =4

3𝜋 ∙ 𝑟3 𝑟 = √

3∙𝑉

4∙𝜋

3= √

3∙2∙1017

4∙𝜋

3= 3,6 ∙ 105 m.

b 𝑅aarde = 6,4 ∙ 106 m. De straal van het zwarte gat is 6,4∙106

3,6∙105 = 18 x zo klein.

c 𝑀aarde = 6 ∙ 1024 kg. De massa van het zwarte gat is 2∙1036

6∙1024 = 3 ∙ 1011 x zo groot.

d 𝑣o = √2𝐺∙𝑀

𝑅= √

2∙6,674∙10−11∙2∙1036

3,6∙105 = 3 ∙ 1010 m/s.

85 [W] Gravitatie-energie


10.5 AFSLUITING

86 Eigen antwoord.

87

a Een eenparige cirkelbeweging is een cirkelbeweging met een constante snelheid.

b 𝑣 =2𝜋∙𝑟

𝑇, hierin is 𝑣 de baansnelheid (in m/s), 𝑟 de baanstraal (in m) en 𝑇 de

omlooptijd (in s).

c Voor het uitvoeren van een eenparige cirkelbeweging is een nettokracht nodig die

voortdurend naar het middelpunt van de cirkelbaan is gericht: de middelpuntzoekende

kracht.

d 𝐹mpz =𝑚∙𝑣2

𝑟, hierin is 𝐹mpz de middelpuntzoekende kracht (in N), 𝑚 de massa (in

kg) van het voorwerp, 𝑣 de snelheid (in m/s) en 𝑟 de baanstraal (in m).

e Hier werkt de gravitatiekracht als middelpuntzoekende kracht.

f De gravitatiekracht is een wisselwerking op afstand. Beide voorwerpen trekken elkaar

aan. De gravitatiekrachten die twee voorwerpen op elkaar uitoefenen zijn even groot

en tegengesteld gericht langs de verbindingslijn van de middelpunten (of

zwaartepunten) van de voorwerpen.

g 𝐹g = 𝐺 ∙𝑚∙𝑀

𝑟2 , hierin is 𝐹g de gravitatiekracht (in N), zijn 𝑚 en 𝑀 de massa’s (in kg)

van de twee (hemel)lichamen, en is 𝑟 de afstand (in m) tussen hun twee middelpunten

(of zwaartepunten).

h De snelheid is in een ellipsbaan niet constant. De snelheid is het kleinst in het punt

waar de planeet het verst van de zon verwijderd is. De snelheid is daar te klein voor

een cirkelbaan op die afstand. De planeet valt vervolgens in de richting van de zon.

De snelheid neemt toe doordat de gravitatiekracht niet loodrecht op de baan staat,

maar schuin naar voren is gericht. De snelheid blijft toenemen naarmate de planeet

dichter bij de zon komt. De snelheid is het grootst in het punt waar de planeet het

dichtst bij de zon staat. De snelheid is daar te groot voor een cirkelbaan op die

afstand. De planeet beweegt vervolgens weer van de zon af. De snelheid neemt nu af

doordat de gravitatiekracht schuin naar achteren is gericht.

i De valversnelling 𝑔 aan het oppervlak van de planeet is evenredig met de massa 𝑀

en omgekeerd evenredig met het kwadraat van de straal 𝑅 van de planeet. De

formule voor het verband tussen deze grootheden is af te leiden uit de formule voor

de gravitatiekracht door de zwaartekracht gelijk te stellen aan de gravitatiekracht.

j De baansnelheid 𝑣 van een planeet is omgekeerd evenredig met de wortel van de

baanstraal 𝑟 en evenredig met de wortel van de massa 𝑀 van het hemellichaam waar

het omheen draait. De formule voor het verband tussen deze grootheden is af te

leiden door de middelpuntzoekende kracht gelijk te stellen aan de gravitatiekracht.

k De geostationaire baan van communicatiesatellieten is zodanig dat de satellieten

vanaf de aarde gezien altijd op een vaste plaats boven het aardoppervlak staan. Dit is

alleen mogelijk als de satelliet op 35 786 km boven zeeniveau boven de evenaar

meedraait met de aarde. Alleen dan is de omlooptijd van de satelliet gelijk aan de tijd

van één omwenteling van de aarde.

l De gravitatie-energie van een voorwerp op een bepaalde hoogte is gelijk aan de

arbeid die de gravitatiekracht verricht tijdens het vallen van het voorwerp vanaf die

hoogte.


m De gravitatie-energie van een voorwerp is met behulp van de oppervlaktemethode te

bepalen uit het diagram van de gravitatiekracht als functie van de afstand tot het

middelpunt van het hemellichaam.

n 𝐸g = −𝐺 ∙𝑀∙𝑚

𝑟. Hierin is 𝐸g de gravitatie-energie, 𝐺 de gravitatieconstante

(6,674∙10-11

N∙m2∙kg

-2), 𝑀 de massa van het hemellichaam, 𝑚 de massa van het

voorwerp en 𝑟 hun onderlinge afstand. Het afgesproken nulpunt van de gravitatie-

energie is ‘in het oneindige’.

o De ontsnappingssnelheid van een voorwerp is die snelheid waarmee je het voorwerp

weg moet schieten waarbij het voorwerp niet meer terug komt.

p De ontsnappingssnelheid vanaf het oppervlak van een planeet is evenredig met de

wortel van de massa 𝑀 van de planeet en omgekeerd evenredig met de wortel van de

straal 𝑟 van de planeet. De formule voor het verband tussen deze grootheden is af te

leiden door de som van de kinetische energie en de gravitatie-energie gelijk aan nul te

stellen.

88 Oriëntatie:

Zoek de straal van de maan op in Binas en bereken eerst de baanstraal van de

ruimtecapsule en vervolgens de baansnelheid met 𝑣 =2𝜋∙𝑟

𝑇. Uit 𝐹mpz = 𝐹g volgt dat

𝑣2 ∙ 𝑟 = 𝐺 ∙ 𝑀. Hiermee is de massa 𝑀 van de maan te berekenen.

Uitwerking

De straal van de maan is 1,738∙106 m dus is de baanstraal:

𝑟 = 1,738 ∙ 106 + 0,112 ∙ 106 = 1,850 ∙ 106 m

𝑣 =2𝜋∙1,850∙106

120,5∙60= 1,608 ∙ 103 m/s

𝑀 =𝑣2∙𝑟

𝐺=

(1,608∙103)2

∙1,850∙106

6,674∙10−11 = 7,167 ∙ 1022 kg.

89 Oriëntatie:

De straal van de baan van de Spot-4 is te berekenen met de derde wet van Kepler: 𝑟3

𝑇2 =𝐺∙𝑀

4𝜋2. Deze wet staat in Binas (cirkelbaan van Kepler), maar is ook zelf af te leiden

door de gravitatiewet en de middelpuntzoekende kracht aan elkaar gelijk te stellen en voor

de snelheid de formule voor de baansnelheid 𝑣 =2𝜋∙𝑟

𝑇 in te vullen. Zie opgave 48a.

Uitwerking:

𝑇 = 1 ∙ 3600 + 39 ∙ 60 + 44 = 5984 s.

𝑟 = √𝐺∙𝑀∙𝑇2

4𝜋2

3= √

6,674∙10−11∙5,972∙1024∙59842

4𝜋2

3= 7,124 ∙ 106 m.

De hoogte van de satellietbaan boven het aardoppervlak is

ℎ = 𝑟 − 𝑅aarde = 7,124 ∙ 106 − 6,371 ∙ 106 = 0,753 ∙ 106 m = 753 km.

90

a Doordat het wiel ronddraait, oefent de vloer een kracht uit op de

astronaut in de richting van het middelpunt. De derde wet van

Newton zegt dat de astronaut op zijn beurt ook een kracht uitoefent

op de vloer, naar buiten toe: dit is de 'kunstmatige zwaartekracht' die

in de opgave wordt genoemd.

b De kunstmatige zwaartekracht is even groot maar tegengesteld aan

de middelpuntzoekende kracht: 1

3∙ 𝐹z =

𝑚∙𝑣2

𝑟

1

3∙ 𝑚 ∙ 𝑔 =

𝑚∙𝑣2

𝑟


𝑔

3=

𝑣2

𝑟 𝑣 = √

𝑔∙𝑟

3= √

9,81∙40

3= 11,4 m/s.

𝑣 =2𝜋∙𝑟

𝑇 𝑇 =

2𝜋∙𝑟

𝑣=

2𝜋∙40

11,4= 22 s.

91

a Voor de baansnelheden geldt: 𝑣1 =2𝜋∙𝑟1

𝑇 en 𝑣2 =

2𝜋∙𝑟2

𝑇. De gravitatiekracht die

beide sterren op elkaar uitoefenen is te berekenen met 𝐹g = 𝐺 ∙𝑚1∙𝑚2

(𝑟1+𝑟2)2.

b De middelpuntzoekende krachten van beide sterren worden geleverd door de

gravitatiekracht, dus 𝐹g = 𝐹mpz,1 = 𝐹mpz,2 𝑚1∙𝑣1

2

𝑟1=

𝑚2∙𝑣22

𝑟2. Met de formule voor

de baansnelheid van beide sterren wordt dit: 𝑚1

𝑟1∙ (

2𝜋∙𝑟1

𝑇)

2

=𝑚2

𝑟2∙ (

2𝜋∙𝑟2

𝑇)

2

𝑚1 ∙ 𝑟1 = 𝑚2 ∙ 𝑟2.

c Uit bovenstaande vergelijking volgt: 𝑟1

𝑟2=

𝑚2

𝑚1, dus als 𝑚2 groter is dan 𝑚1, dan zal 𝑟1

groter zijn dan 𝑟2.

d Oriëntatie:

Door bij bovenstaande vergelijking links en rechts er 1 bij op te tellen ontstaat een

nieuwe uitdrukking voor 𝑟2, die ingevuld kan worden in 𝐹g = 𝐹mpz,2.

Uitwerking:

𝑟1

𝑟2+ 1 =

𝑚2

𝑚1+ 1

𝑟1+𝑟2

𝑟2=

𝑚2+𝑚1

𝑚1 𝑚1 ∙ (𝑟1 + 𝑟2) = 𝑟2 ∙ (𝑚1 + 𝑚2)

𝑟2 = 𝑚1 ∙(𝑟1+𝑟2)

(𝑚1+𝑚2)

𝐹g = 𝐹mpz,2 𝐺 ∙𝑚1∙𝑚2

(𝑟1+𝑟2)2 =𝑚2∙𝑣2

2

𝑟2. Met 𝑣2 =

2𝜋∙𝑟2

𝑇 geeft dit:

𝐺 ∙𝑚1∙𝑚2

(𝑟1+𝑟2)2 =𝑚2

𝑟2∙ (

2𝜋∙𝑟2

𝑇)

2

𝐺 ∙𝑚1∙𝑚2

(𝑟1+𝑟2)2 =𝑚2∙4𝜋2∙𝑟2

𝑇2 .

Invullen van: 𝑟2 = 𝑚1 ∙(𝑟1+𝑟2)

(𝑚1+𝑚2) geeft:

𝐺 ∙𝑚1∙𝑚2

(𝑟1+𝑟2)2 =𝑚2∙4𝜋2

𝑇2 ∙ 𝑚1 ∙(𝑟1+𝑟2)

(𝑚1+𝑚2)

𝐺

(𝑟1+𝑟2)2 =4𝜋2∙(𝑟1+𝑟2)

𝑇2(𝑚1+𝑚2)

𝐺∙(𝑚1+𝑚2)

4𝜋2 =(𝑟1+𝑟2)3

𝑇2 .

e 𝑣 =2𝜋∙𝑟

𝑇 𝑟 =

𝑣∙𝑇

2𝜋 dus 𝑟1 =

𝑣∙𝑇

2𝜋=

4,8∙103 ∙2,5∙109

2𝜋= 1,91 ∙ 1012 = 1,9 ∙ 1012 m

en 𝑟2 =𝑣∙𝑇

2𝜋=

3,6∙103∙2,5∙109

2𝜋= 1,43 ∙ 1012 = 1,4 ∙ 1012 m.

f (𝑟1+𝑟2)3

𝑇2 =𝐺∙(𝑚1+𝑚2)

4𝜋2

𝑚1 + 𝑚2 =4𝜋2∙(𝑟1+𝑟2)3

𝐺∙𝑇2 =4𝜋2∙(1,91∙1012+1,43∙1012)

3

6,674∙10−11∙(2,5∙109)2 = 3,53 ∙ 1030 kg.

Uit 𝑚1 ∙ 𝑟1 = 𝑚2 ∙ 𝑟2 volgt dat 𝑚2 = 𝑚1 ∙𝑟1

𝑟2= 𝑚2 ∙

1,91∙1012

1,43∙1012 = 1,34 ∙ 𝑚1

𝑚1 + 𝑚2 = 𝑚1 + 1,34 ∙ 𝑚1 = 2,34 ∙ 𝑚1 dus

2,34 ∙ 𝑚1 = 3,53 ∙ 1030 𝑚1 = 1,5 ∙ 1030 kg en

𝑚2 = 1,34 ∙ 1,5 ∙ 1030 = 2,0 ∙ 1030 kg.

92

a Voor de massa geldt: 𝑚 = 𝜌 ∙ 𝑉 waarbij ρ de dichtheid is. Het volume van de planeet is

evenredig met 𝑟3 dus is 𝑉planeet = 1,83 ∙ 𝑉aarde = 5,8 ∙ 𝑉aarde.

Als de dichtheid van de planeet gelijk is aan die van de aarde, dan is de massa dus

5,8 ∙ 𝑀aarde.


b Aflezen uit figuur 46: 5 jaar duurt 242 – 143 = 99 uur, dus een jaar duurt

99 5⁄ = 19,8 uur. Dat is 19,8 24⁄ = 0,83 dagen. Dit komt overeen met waarde in de

tabel.

c De baanstraal is te berekenen met de derde wet van Kepler: 𝑟3

𝑇2 =𝐺∙𝑀

4𝜋2 (zie ook

opgave 89 en 48). De omlooptijd is 𝑇 = 0,83 dagen = 7,17 ∙ 104 s.

𝑟 = √𝐺∙𝑀∙𝑇2

4𝜋2

3= √

6,674∙10−11∙1,9∙1030∙(7,17∙104)2

4𝜋2

3= 2,5 ∙ 109 m.

d 𝑣 =2𝜋∙𝑟

𝑇=

2𝜋∙2,5∙109

7,17∙104 = 2,2 ∙ 105 m/s.

e De snelheid waarmee de ‘donkere vlek’ langs de ster beweegt is bij benadering gelijk

aan de baansnelheid van de planeet. Dan geldt 𝑠 = 𝑣 ∙ 𝑡, waarbij 𝑠 gelijk is aan de

diameter 𝑑 van de ster en 𝑡 afgelezen kan worden uit figuur 47.

𝑡 = 183,5 − 182,4 = 1,1 h = 1,1 ∙ 3600 = 3,96 ∙ 103 s

𝑠 = 2,2 ∙ 105 ∙ 3,96 ∙ 103 = 8,7 ∙ 108 = 8,7 ∙ 105 km 𝑅ster =1

2𝑑 = 4,4 ∙ 108 m.

f De lichtsterkte neemt af van 100% naar 99,35% op het moment dat de planeet zich

voor de ster bevindt. De (frontale) oppervlakte van de planeet is dus

100% − 99,935% = 0,065% van de (frontale) oppervlakte van de ster. De

oppervlakte is evenredig met het kwadraat van de straal, dus is 𝑅planeet2 = 0,00065 ∙

𝑅ster2 𝑅planeet = 0,025 ∙ 𝑅ster = 0,025 ∙ 4,4 ∙ 108 = 1,1 ∙ 107 m.

𝑅aarde = 6,371 ∙ 106 m dus 𝑅planeet =1,1∙107

6,371∙106 ∙ 𝑅aarde = 1,8 ∙ 𝑅aarde.

g De kans is maar klein dat we de planeet precies voor de ster langs zien bewegen. De

zichtlijn vanaf de aarde moet dan precies in het vlak van draaiing van de planeet

liggen.

93

a 𝐹g = 𝐺 ∙𝑀∙𝑚

𝑟2 dus zou het verband tussen de gravitatiekracht 𝐹g en de afstand 𝑟

omgekeerd kwadratisch moeten zijn. De grafiek laat echter geen oorsprong zien, we

zien nu relatief gezien maar een heel klein stukje van de grafiek en dan lijkt de

gebogen lijn recht te zijn.

b De arbeid is gelijk aan de oppervlakte onder de grafiek tussen 6,371 ∙ 106 m en

6,371 ∙ 106 + 342 ∙ 103 = 6,713 ∙ 106 km: 𝑊 =1

2∙ 𝐹g,gem ∙ ∆𝑟 =

1

2∙ (2,745 + 2,475) ∙ 106 ∙ (6,713 − 6,371) ∙ 106 = 8,93 ∙ 1011 J.

c De gravitatie-energie van het ISS als deze op het aardoppervlak zou staan is:

𝐸g = −𝐺 ∙𝑀∙𝑚

𝑅= −6,674 ∙ 10−11 ∙

5,972∙1024∙2,80∙105

6,371∙106= −1,752 ∙ 1013 J. Als het ISS in zijn

baan rond de aarde wordt gebracht komt daar de bij vraag b berekende arbeid bij, dus

is de gravitatie-energie van het ISS in zijn baan rond de aarde: 𝐸g = −1,752 ∙ 1013 +

0,0893 ∙ 1013 = −1,66 ∙ 1013 J.

d 𝑟 = 𝑅aarde + ℎ = 6,371 ∙ 106 + 342 ∙ 103 = 6,713 ∙ 106 m.

𝐸g = −𝐺 ∙𝑀 ∙ 𝑚

𝑅= −6,674 ∙ 10−11 ∙

5,972 ∙ 1024 ∙ 2,80 ∙ 105

6,713 ∙ 106= −1,66 ∙ 1013 J

94

a De straal van het neutron is 1,25∙10-15

m, dus het volume is

𝑉 =4

3𝜋 ∙ 𝑟3 =

4

3𝜋 ∙ (1,25 ∙ 10−15)3 = 8,181 ∙ 10−45 m3.

De massa van een neutron is 1,675∙10-27

kg (Binas), dus de dichtheid is

𝜌 =𝑚

𝑉=

1,675∙10−27

8,181∙10−45 = 2,05 ∙ 1017 kg/m3.


b De massa van de pulsar is 1,4 x zo groot als de massa van de zon, dus

𝑚 = 1,4 ∙ 1,9884 ∙ 1030 = 2,784 ∙ 1030 kg. De dichtheid is 2,05 ∙ 1017 kg/m3 dus

het volume is 𝑉 =𝑚

𝜌=

2,784∙1030

2,05∙1017 = 1,366 ∙ 1013 m3. Uit 𝑉 =4

3𝜋 ∙ 𝑟3 volgt

𝑟 = √3∙𝑉

4𝜋

3= √

3∙1,366∙1013

4𝜋

3= 1,48 ∙ 104 m = 15 km.

c 𝑔pulsar = 𝐺 ∙𝑀

𝑅2 = 6,674 ∙ 10−11 ∙2,784∙1030

(1,48∙104)2 = 8,48 ∙ 1011 m s2⁄ =

8,48∙1011

9,81∙ 𝑔 = 8,6 ∙ 1010 ∙ 𝑔.

d 𝑣o,pulsar = √2∙𝐺∙𝑀

𝑅= √

2∙6,674∙10−11∙2,784∙1030

1,48∙104 = 1,58 ∙ 108 m/s en

𝑣o,aarde = √2∙𝐺∙𝑀

𝑅= √

2∙6,674∙10−11∙5,972∙1024

6,371∙106 = 1,12 ∙ 104 m/s dus

𝑣o,pulsar =1,58∙108

1,12∙104 ∙ 𝑣o,aarde = 1,4 ∙ 104 ∙ 𝑣o,aarde.

e Als neutronen bolletjes zijn en deze dicht op elkaar gepakt zitten, zal er altijd nog wat

ruimte tussen de neutronen zitten, dus zal de dichtheid van het pulsarmateriaal kleiner

zijn dan de dichtheid van het neutron.

f Een kleinere dichtheid bij dezelfde massa betekent een groter volume, dus de straal

van de pulsar zal in werkelijkheid groter dan 15 km zijn.

10 Zonnestelsel en heelal - vc-science-bovenbouw.nl · 0,0735∙1024 kg dus is de gravitatiekracht...

Documents

Transcript of 10 Zonnestelsel en heelal - vc-science-bovenbouw.nl · 0,0735∙1024 kg dus is de gravitatiekracht...