7/24/2019 1-ana1-20141024

1/2

Faculteit der Exacte Wetenschappen 1e deeltentamen Analysis I

Afdeling Wiskunde 24-10-2014

Vrije Universiteit 15.15-17.15 uur

Geef altijd voldoende uitleg bij je antwoorden! Het gebruik van een

rekenmachine, een formuleblad of aantekeningen is niet toegestaan.

1. In deze opgave zijnx, y en z reele getallen. Toon aan:

Als x y en y x+z dan geldt|x y| z.

2. De rij (an) is gedefinieerd door

a1= 2 en an+1= 1

2(1 + an) , n 1.

a) Toon aan, door middel van volledige inductie, dat an 1 voor alle n N.b) Toon aan dat (an) een dalende rij is.

c) Toon aan dat (an) convergeert en bepaal de limiet.

3. Bereken de volgende limieten:

a) limn

n2

n4 + 3n2 + 2, b) limn

n

n+ 2n.

4. De rij (an) is voor alle n Ngegeven door

an =

1 + 2n2

sin

6+2n

3

.

Bepaal lim supan en liminfan.

Z.O.Z.

1

7/24/2019 1-ana1-20141024

2/2

5. Bereken de som van de reeks:n=1

3n+1

5n.

6. Ga na of de volgende reeksen convergeren. Vermeld in geval van convergentie of dereeks absoluut convergent of relatief convergent is.

a)n=1

(1)n n2

n3 + 1, b)

n=1

(1)n 3n

(n+ 1)!.

7. Toon aan dat de functief : R Rgedefinieerd door

f(x) =

cos

2

x

als x = 0

0 als x= 0

niet continu is in x= 0.

8. Laat f een continue functie zijn met domein [0, 1]. Gegeven is dat f(0) = 1 en

f(1) = 0. Toon aan dat er een c (0, 1) bestaat zo dat f(c) = c.

Normering:

1 : 3

3

2 : a) 2.5b) 2.0

c) 1.5

6

3 : a) 3b) 3

6

4 : 5

5

5 : 3

3

6 : 6

6

7 : 3

3

8 : 4

4

Eindcijfer =# punten

4 + 1

2