1

Міністерство освіти і науки України

Національний університет водного господарства та

природокористування

Кафедра прикладної математики

04-01-03

Методичні вказівки

до виконання практичних робіт з дисципліни

«ТЕОРІЯ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ »

для студентів напряму підготовки 6.040301

«Прикладна математика»

денної форми навчання

Частина 1

Рекомендовані до видання методичною

комісією напряму підготовки 6.040301

«Прикладна математика»

Протокол №2 від 15 квітня 2015 р.

Рівне -2015

2

Методичні вказівки до виконання практичних робіт з дисципліни

«Теорія функцій комплексної змінної» для студентів напряму

6.040301 «Прикладна математика» денної форми навчання. Частина

1 / Гладун Л.В. – Рівне: НУВГП, 2015. - 24 с.

Упорядник: Л.В.Гладун, к.ф.-м.н., доцент кафедри прикладної

математики

Відповідальний за випуск: П.М.Мартинюк, д.т.н., професор,

в.о. завідувача кафедри прикладної математики

© Гладун Л.В., 2015

© НУВГП, 2015

3

ЗМІСТ

Вступ 3

1. Операції над комплексними числами. Множини на

комплексній площині 4

2. Похідна функції комплексної змінної 14

3. Література 24

Вступ

При математичному моделюванні рiзноманiтних процесів, явищ i

залежностей часто отримують задачі, в яких невідомою є функція та

похiднi від неї. Неперервно диференційовані функції на інтервалі

вивчає математичний аналіз. Теорія функцій комплексної змінної

розглядає функції, які мають неперервну похідну в області

комплексної площини, - аналітичні функції. Цей клас функцій

значно вужчий від класу функцій, що мають неперервну похідну на

інтервалі, і тому аналітичні функції мають багато добрих і

важливих властивостей, яких не мають функції в дійсній області.

Теорія функцій комплексної змінної використовується при

розв’язуванні задач гідромеханіки, теорії фільтрації, теорії

пружності, теплотехніки, гідротехніки, електротехніки,

радіотехніки, електронної оптики та ін. У першій практичній роботі, крім операцій над комплексними

числами, розглянуто методи описання множин на комплексній

площині за допомогою співвідношень між комплексними числами.

Друга практична робота містить умови аналітичності функції,

геомеричний зміст модуля та аргумента її похідної, а також способи

відновлення аналітичної функції за відомою дійсною або уявною

частиною.

До кожної практичної роботи приводиться необхідний

теоретичний матеріал. Також наведено приклади розв’язання

найбільш типових задач. В кінці кожної практичної роботи подано

завдання для самостійної роботи.

Задачі, номери яких більші за двадцять чотири, можна віднести

до задач підвищеної складності.

4

Операції над комплексними числами. Множини на

комплексній площині

Комплексним числом z називається вираз iyx + , де yx, -

довільні дійсні числа, 1−=i - це символ, що називається уявною

одиницею, тобто число, квадрат якого дорівнює 1− , 12 −=i . Числа

x і y називаються, відповідно, дійсною та уявною частинами

комплексного числа iyxz += і позначаються символами zx Re= ,

zy Im= . Якщо 0=y , то z - дійсне число; якщо 0,0 ≠= yx , то z

називається уявним числом.

Форма запису комплексного числа у вигляді iyxz +=

називається алгебраїчною.

Комплексне число x iy− називається комплексно спряженим до

z і позначається z .

Множина комплексних чисел позначається

{ : , , }z z x iy x y= = + ∈� � .

Для комплексних чисел встановлюються відношення = , ≠ але

не < і > .

Комплексні числа 111 iyxz += і 2 2 2z x iy= + рівні тоді і тільки

тоді, коли 11 yx = та 2 2x y= .

Сумою 21 zz + комплексних чисел 1z і 2z називається

комплексне число

)()( 212121 yyixxzzz +++=+= .

Добутком 21zz комплексних чисел 1z і 2z називається

комплексне число

)()( 2121212121 xyyxiyyxxzzz ++−== .

Часткою 21 / zz від ділення комплексного числа 1z на

комплексне число 2 0z ≠ називається комплексне число

22

22

2121

22

22

2121

22

21

2

1

yx

yxxyi

yx

yyxx

zz

zz

z

zz

+

−+

+

+=== .

Всі властивості операцій додавання і множення ( комутативність

асоціативність і т.п. ), притаманні � , зберігаються і на множині � .

5

Для геометричної інтерпретації комплексне число iyxz +=

зображають точкою M з координатами ),( yx декартової площини

XOY або вектором , початок якого знаходиться в точці )0,0( , а

кінець в точці ),( yxM (саму площину при цьому називають

комплексною). Вісь X називають дійсною віссю, вісь iY - уявною

(мал. 1). Відповідність між множиною � та комплексною

площиною є взаємно однозначною.

Мал. 1. Зображення комплексних чисел.

Модулем комплексного числа iyxz += називається число

022 ≥+= yxz , (1)

тобто довжина r вектора OM .

Аргументом комплексного числа iyxz += називається кут,

який утворений вектором OM з віссю X . Позначають аргумент

zArg . Аргумент визначається не однозначно, а з точністю до

доданка, кратного π2 . Аргумент числа 0=z взагалі не

визначений.

Значення аргументу, яке належить проміжку ],( ππ− , називають

головним і позначають zarg=ϕ . Тоді

{arg 2 , }Arg z z n nπ= + ∈� .

Головне значення аргументу знаходять за формулою

XO

M

iY

r

ϕ

iy

x

6

<=−

>=

<<−

≥<+

>

=

.0,0,2

,0,0,2

,0,0,

,0,0,

,0,

arg

yx

yx

yxx

yarctg

yxx

yarctg

xx

yarctg

z

π

π

π

π

(2)

При розв’язуванні задач зручно використовувати запис

комплексного числа у вигляді

)sin(cos ϕϕ irz += або ϕirez = ,

які відповідно називають тригонометричною та показниковою

формою запису комплексного числа.

Операції множення та ділення двох комплексних чисел

212222211111 )sin(cos,)sin(cos

ϕϕ ϕϕϕϕ iierrzerrz =+==+= в

цих формах запису мають такий вигляд: )(

212121212121))sin()(cos(

ϕϕϕϕϕϕ +=+++= ierrirrzz ,

0,))sin()(cos( 2)(

2

12121

2

1

2

1 21 ≠=−+−= −re

r

ri

r

r

z

z i ϕϕϕϕϕϕ .

Зв'язок між тригонометричною та показниковою формами

запису комплексного числа встановлює формула Ейлера:

ϕϕϕ sincos iei += .

Для піднесення комплексного числа ϕϕϕ ireirz =+= )sin(cos

до цілого степеня зручно використовувати формулу Муавра:

(cos sin ) ,n n inz r n i n re nφφ φ= + = ∈� . (3)

Комплексне число n zw = називається коренем степеня n із

комплексного числа z , якщо zwn = . Корінь n -го степеня на

7

комплексній площині має n різних значень, які знаходяться за

формулою:

++

+=

n

kzi

n

kzzw n

k

ππ 2argsin

2argcos , 1,...,1,0 −= nk . (4)

Приклад 1. Знайти дійсну та уявну чистину комплексного числа 2

19

9

1

2

+

+=

i

iz .

Розв’язування. Враховуючи, що 12 −=i , 14 =i , маємо ii =9,

ii −=19. Тоді

.2

32

2

32

2

43

121

144

1

2

1

222

19

9

iii

i

i

i

i

i

i

iz +−=−−=

−+

=−−−+

=

−+

=

+

+=

Отже, 2Re −=z , 2

3Im =z .

Приклад 2. Записати комплексне число 5

sin5

cosππ

iz +−= у

тригонометричній та показниковій формі.

Розв’язування. Знайдемо за формулами (1), (2) модуль та

аргумент числа z :

15

sin5

cos 22 =+=ππ

z ,

sin45arg

5 5cos

5

z arctg

ππ π

π ππ

= − + = − + =

.

Тоді тригонометрична форма комплексного числа z має вигляд

5

4sin

5

4cos

ππiz += , а показникова -

i

ez 5

4π

= .

Приклад 3. Обчислити значення ( ) 68 31)1(−

−+= iiz .

8

Розв’язування. Запишемо числа iz += 11 та 312 iz −= в

тригонометричній формі:

2111 =+=z , 4

1arg 1

π== arctgz ;

2312 =+=z , 3

)3(arg 2

π−=−= arctgz .

Тому

+=4

sin4

cos21

ππiz ,

−+

−=3

sin3

cos22

ππiz .

Використавши формулу (3), отримаємо:

( )

.4

1

64

16)2sin2(cos

64

1

)2sin2(cos163

sin3

cos2

4sin

4cos231)1(

6

868

==+×

×+=

−+

−×

×

+=−+=

−

−

ππ

ππππ

ππ

i

ii

iiiz

Приклад 4. Знайти всі значення кореня 4 3128128 i−− .

Розв’язування. Позначимо 4 3128128 iw −−= . Запишемо

комплексне число 3128128 iz −−= в тригонометричній формі.

Знаходимо:

256)3128()128( 22 =−+−=z ,

3

2

128

3128arg

ππ −=−

−−

= arctgz .

Отже,

−+

−=3

2sin

3

2cos256

ππiz .

За формулою (4) отримаємо чотири значення кореня:

iiiw 2322

1

2

34

6sin

6cos40 −=

−=

−+

−=ππ

,

9

,3222

3

2

14

26sin

26cos41 iiiw +=

+=

+−+

+−=ππππ

2 4 cos sin 2 3 2 ,6 6

w i iπ π

π π = − + + − + = − +

3

3 34 cos sin 2 2 3 .

6 2 6 2w i i

π π π π = − + + − + = − −

Приклад 5. Зобразити на комплексній площині множину точок

{ }4: =++−= izizzE .

Розв’язування. Нехай iyxz += , тоді )1( −+=− yixiz ,

)1( ++=+ yixiz . Таким чином, 22 )1( −+=− yxiz та

22 )1( ++=+ yxiz . Згідно умови задачі маємо

4)1()1( 2222 =+++−+ yxyx

або

42121 2222 =++++−++ yyxyyx .

Позначимо 122 ++= yxa , отримаємо:

422 =++− yaya , yaya 242 +−=− ,

yayaya 228162 +++−=− , yya +=+ 422 ,

281684 yyya ++=+ , 164 2 =− ya .

Оскільки 122 ++= yxa , то маємо 1234 22 =+ yx , звідки

143

22

=+yx

.

Отже, множина E - це еліпс з центром в початку координат з

півосями 3 та 2 (мал. 2).

10

Мал. 2.

Приклад 6. Зобразити на комплексній площині множину точок

≤

+−

= 01

1Re:

z

zzE .

Розв’язування. Знайдемо межу множини E , тобто множину

точок z , яка задовольняє рівняння

01

1Re =

+−

z

z. (5)

Із (5) отримаємо, що точка 1−=z не належить межі множини

E . Нехай iyxz += . Тоді

01

1Re

1

1Re =

+++−

=++−+

iyx

iyx

iyx

iyx.

Знайдемо частку від ділення двох комплексних чисел, а потім її

дійсну частину:

.0)1(

1

)1(

21Re

)1)(1(

)1)(1(Re

1

1Re

22

22

22

22

=++

+−=

++

++−=

=−+++−++−

=+++−

yx

yx

yx

iyyx

iyxiyx

iyxiyx

iyx

iyx

Звідки отримаємо, що 01 22 =+− yx або 122 =+ yx . Це

рівняння описує коло з центром в початку координат одиничного

радіуса. Отже, межею множини E буде це коло з виколотою

точкою 1− . Залишилось визначити, множина E - внутрішність або

2

3i

X

iY

E

11

зовнішність побудованого кола. Для цього візьмемо довільну точку

комплексної площини, яка не належить межі E , наприклад, точку

20 =z . З одного боку, точка 0z не належить множині E , так як

03

1

1

1Re

0

0 >=+−

z

z, тобто її координати не задовольняють

нерівність, що визначає E . З іншого боку, точка 0z лежить зовні

одиничного кола, оскільки 20 =z . Це означає, що E - внутрішня

частина побудованого кола разом з межею (мал. 3).

Мал. 3.

Отже, { } { }1\1: −≤= zzE .

Завдання для самостійної роботи

Завдання 1. Обчислити z та знайти zRe , zIm , z , zarg .

Записати отримане число в різних формах.

1. 3

5

)1(

)1(

i

iz

−

+= . 2.

8

22

2

−=

iz 3.

88 )1()1( iiz −++= .

4.

50

30

(1 )

(1 )

iz

i

−=

+. 5.

6

31

2

−=

iz . 6.

34 )1(

1

)1(

1

iiz

−−

+= .

X

iY

1−

E

12

7.

8

22

2

+=

iz . 8.

1010 )1()1( iiz −++= .

9. 36

10

)61(

)31(

i

iz

−

+−= . 10.

55 )1()1( iiz −++= . 11.

6

31

2

+=

iz .

12. 16

15

)31(

)1(

i

iz

+−

+= . 13.

7 7(1 ) (1 )z i i= + + − . 14. 13(12 5 )z i= − .

15.

24

31

2

−=

iz . 16.

88 )1()1( iiz −++= .

17.

40

1

31

−+

=i

iz . 18. )247()21( 4 iiz +−+= .

19. )9628()3( 4 iiz −+= . 20.

40

1

31

+−

=i

iz .

21.

2

222

−+=

iiiz . 22.

+−

−+−

−

+=

i

i

i

i

i

iz

3

2

2

3

)22(

)1(2

3

.

23.

2

333

−+=

iiiz . 24.

5

5

)1(

)1(169

23

51

32

5

i

i

i

i

i

iz

−

+

+−

−+−

= .

25. )225(21

212

ii

iz ++

+

−= . 26. i

i

iz 3

)1(2

)1( 7

+−

+= .

27.

33

2

71

2

71

−+

+=

iiz . 28.

66

53

)1()1(

25)2(

ii

iiz

+−−

−++= .

29. i

i

ii

i

i

iz

+−

−−

−+

=5

321521

1

2

22

3. 30.

ii

i

z

+−

−

=

2

3

2

32

.

13

Завдання 2. .Знайти всі значення кореня.

1. 4 1− . 2. 3 8 . 3. 3 8i .

4. 3

8

i. 5. 3 27i− . 6. 3 8i−

7. 4 16− . 8. 3 64i . 9. 4 256 .

10. 3 216i− . 11. 4

81

1. 12. 3 343i− .

13. 3 64i− . 14. 3

27

i. 15. 4

16

1− .

16. 4

16

1. 17. 3

8

1− . 18. 4 i− .

19. 3

8

1. 20. 3 128i− . 21.

3 388 i−− .

22. 4

2

31 i−−. 23. 4

32

31 i−−. 24. 4

32

31 i+.

25. 3 3128128 i+− . 26.

3 484 i+− . 27. 4 88 i− .

28. 3 3128128 i−− . 29.

3 484 i−− . 30. 4 88 i+ .

Завдання 3. Зобразити на комплексній площині множину точок,

яка задовольняє вказаним обмеженням.

1. 02

2Re ≥

+−

z

z. 2. 1

3

21Im ≤

−++−−

iz

iz. 3. 1Re,22 >≤− ziz .

4. 02

2Re ≤

−+

iz

iz. 5.

4

11Im ≤

z. 6. 12Re3 ≤− zz .

7. 01

1Im =

+−

z

z. 8. 421 ≤−+< iz . 9. 0

3Re ≥

−+−iz

iz.

10. 2

11Im ≥

z. 11. 1Re +< zz . 12. 0

21

2Re ≤

++−

iz

z.

13. 6Im3 ≥− zz . 14. 42

4Re ≥

−++−

iz

iz. 15. 0

1

13Im ≥

+−−

z

iz.

14

16. 41

Re ≤z

. 17. 02

Im ≥−−

+iz

iz. 18. 1,22 ≥≤+ ziz .

19. 2

11Re ≥

z. 20. 4≤++− iziz . 21. 222 ≤+−− zz .

22. 2Im 2 ≤z . 23. 2

arg0π

<+−

<iz

zi. 24. 2≤+−− iziz .

25. 4Re 2 ≥z . 26. 8114 ≤++−≤ zz . 27. Raaz ∈≥ ,Im 2.

28. Raaz

∈= ,1

Re . 29. Raaz

∈= ,1

Im . 30. Raaz ∈≤ ,Re 2.

Похідна функції комплексної змінної

Функція )(zf , визначена в області D ⊂ � , називається

диференційованою в точці Dz ∈0 , якщо вона має в цій точці

скінченну похідну )( 0zf ′ .

Теорема. Для того, щоб функція ),(),()( yxivyxuzf += була

диференційованою в точці Dz ∈0 , необхідно і достатньо, щоб в

точці 0z функції ),( yxu та ),( yxv були диференційованими і,

крім того, виконувались умови Коші-Рімана

y

v

x

u

∂∂

=∂∂

, x

v

y

u

∂∂

−=∂∂

. (1)

Похідну функцій )(zf знаходять за формулою

x

vi

y

v

y

ui

x

u

y

ui

y

v

x

vi

x

uzf

∂∂

+∂∂

=∂∂

−∂∂

=∂∂

−∂∂

=∂∂

+∂∂

=′ )( . (2)

Формули диференціювання функцій комплексної змінної

аналогічні відповідним формулам диференціювання функцій

дійсної змінної.

Функція )(zf називається аналітичною в області D , якщо вона

диференційована в кожній точці області D .

15

Нехай функція )(zf - аналітична в деякому околі точки 0z і

0)( 0 ≠′ zf . Геометричний зміст модуля похідної )( 0zf ′ - це

коефіцієнт розтягу в точці 0z при відображені )(zfw = площини

z на площину w . При 1)( 0 >′ zf має місце розтяг, а при

1)( 0 <′ zf - стиск.

Аргумент похідної )( 0zf ′ геометрично дорівнює куту, на який

потрібно повернути дотичну в точці 0z до довільної гладкої кривої

на площині z , яка проходить через точку 0z , щоб отримати

напрямок дотичної в точці )( 00 zfw = до образу цієї кривої на

площині w при відображені )(zfw = . Якщо 0)(arg 0 >′ zf , то

поворот здійснюється проти годинникової стрілки, а при

0)(arg 0 <′ zf - за годинниковою.

Функція ),( yxϕ називається гармонічною в області D , якщо

вона має в цій області неперервні частинні похідні до другого

порядку включно і задовольняє в цій області рівняння Лапласа

02

2

2

2

=∂

∂+

∂

∂

yx

ϕϕ. (3)

Якщо функція ),(),()( yxivyxuzf += аналітична в області D ,

то її дійсна частина ),( yxu та уявна частина ),( yxv є

гармонічними функціями.

Гармонічні функції ),( yxu і ),( yxv , що задовольняють умови

Коші-Рімана, називаються спряженими гармонічними функціями.

На практиці зручним способом відновлення аналітичної функції

),(),()( yxivyxuzf += за відомою її тільки дійсною частиною

),( yxu або тільки уявною частиною ),( yxv є формули Гурса:

0 00( ) 2 , ( )

2 2

z z z zf z u f z

i

+ − = −

, (4)

)(2

,2

2)( 000 zf

i

zzzzivzf +

−+= . (5)

16

Приклад 1. Знайти ті точки z (комплексної площини), в яких

функція 22

)()( iziizzf ++−= є диференційованою, і обчислити

похідну в цих точках.

Розв’язування. Спочатку виділимо дійсну та уявну частини

функції )(zf :

).)1(())1(2)1(())1(2

)1(()1(),(),()(

2222

2222

+−++−−+=++

++−+−+=+=

yxiyxyxyix

yxiyxyxivyxuzf

Таким чином, маємо )1(2)1(),( 22 +−−+= yxyxyxu ,

22 )1(),( +−= yxyxv . Ці функції мають неперервні частинні

похідні в усіх точках площини і тому всюди диференційовані.

Знайдемо точки, в яких виконуються умови Коші-Рімана (2):

)1(2)1(22 +−=∂∂

=+−=∂∂

yy

vyx

x

u,

xx

vxy

y

u22)1(2 −=

∂∂

−=−−=∂∂

.

Звідси знаходимо, що 0=x , 1=y .

Отже, функція )(zf диференційована лише в одній точці z i= .

За формулою (2) отримаємо:

ixyxx

vi

x

uzf 2)1(22)( ++−=

∂∂

+∂∂

=′ , а 4)( −=′ if .

Приклад 2. Перевірити на аналітичність функцію

)2(22 yxyixyxw −+−−= і, у випадку аналітичності, знайти її

похідну у вигляді )(zfw =′ :

Розв’язування. Нехай iyxz += , ivuw += , тоді

xyxu −−= 22, а yxyv −= 2 .

Знайдемо частинні похідні:

12 −=∂∂

xx

u; y

y

u2−=

∂∂

; yx

v2=

∂∂

; 12 −=∂∂

xy

v.

Вони є неперервними функціями і задовольняють умови Коші-

Рімана, тому функція w аналітична, а її похідна

17

iyxx

vi

x

uw 212 +−=

∂∂

+∂∂

=′ .

Підставивши

2

zzx

+= ,

i

zzy

2

−= ,

отримаємо

122

212

2)( −=−

+−+

==′ zi

zzi

zzzfw .

Приклад 3. Знайти коефіцієнт розтягу і кут повороту при

відображенні 2zw = в точці 0 2 2z i= − + .

Розв’язування. Знаходимо похідну

zzw 2)( 2 =′=′ .

Тоді

2222)22( iiw +−=+−′ .

Запишемо отримане значення в тригонометричній формі:

+=

+−=+−

4

3sin

4

3cos4

2

2

2

242222

ππiii .

Звідси отримаємо

4)22( =+−′ iw , 4

3)22(arg

π=+−′ iw .

Отже, при відображенні 2zw = в точці 220 iz +=

здійснюється розтяг в чотири рази і поворот на кут 4

3π.

Приклад 4. Відновити аналітичну в околі точки 0z функцію

)(zf за відомою її дійсною частиною ),( yxu і значенням )( 0zf ,

якщо 22),( yxxyyxu +−= , 20 iz = , 2)( 0 =zf .

Розв’язування. Перевіримо, що задана функція є дійсною

частиною аналітичної функції )(zf , тобто, що функція ),( yxu -

гармонічна. Знаходимо частинні похідні:

18

xyx

u2−=

∂∂

, 22

2

−=∂

∂

x

u, yx

y

u2+=

∂∂

, 22

2

=∂

∂

y

u.

Оскільки 02

2

2

2

=∂

∂+

∂

∂

y

u

x

u, то функція ),( yxu задовольняє

рівняння Лапласа (3), тобто гармонічна.

Отже, існує така спряжена гармонічна функція ),( yxvv = , що

функція ivuf += буде аналітичною.

Згідно з першою умовою Коші-Рімана y

vxy

x

u

∂∂

=−=∂∂

2 , тоді

∫ +−=−= )(22/)2( 2 xsxyydyxyv ,

де )(xs - невідома функція. Для її знаходження використаємо другу

умову Коші-Рімана y

u

x

v

∂∂

−=∂∂

. Отримаємо:

yxxsyxsxyyx

2)(2))(22/( 2 −−=′+−=+−∂∂

.

Звідки xxs −=′ )( , Cxxs +−= 2/)( 2, де C - довільна стала, і

функція ),( yxv має вигляд

Cxxyyyxv +−−= 2/22/),( 22.

Тоді

)2/22/( 2222 Cxxyyiyxxyivuf +−−++−=+= .

Підставивши 2/)( zzx += , )2/()( izzy −= , дістанемо:

.2

2

22222

222222)(

22

222

Cizi

Cizzi

i

zzzzi

i

zzi

i

zzzz

i

zzzzzf

++

−=+

+−

−⋅

+−

−

−+

−+

+−

−⋅

+=

Для знаходження значення довільної константи C використаємо

умову 2)2( =if . Маємо

19

2)2(2

2 2 =++

− Ciii

,

тобто 1−=C .

Отже, шукана аналітична функція .2

2)( 2 iz

izf −

+−=

Приклад 5. Відновити аналітичну в околі точки 0z функцію

)(zf за відомою її уявною частиною ),( yxv і значенням )( 0zf ,

якщо xyxyxv 23),( += , iz −=0 , 2)( 0 =zf .

Розв’язування. Для відновлення функції )(zf використаємо

формулу Гурса (5). Оскільки згідно умови xyxyxv 23),( += ,

iz −=0 , 2)( 0 =zf , iz =0 , 2)( 0 =zf , то отримаємо

.3222

22

32)( 2zizi

izizizizf +=+

−⋅

++

+=

Завдання для самостійної роботи

Завдання 1. Перевірити на аналітичність задану функцію w і

знайти її похідну у вигляді )(zfw =′ .

1. ixyxyyxyxw )24(222 22 −++++−= .

2. iyx

y

yx

xw

2222 )1()2(

1

)1()2(

2

++−

−−

++−

−= .

3. iyxyxxixewy

)()2sin2(cos2 ++−+−= .

4. ixyyxyxxyw )222(2422 ++−+−+−= .

5. iyx

y

yx

xw

2222 )2()3(

2

)2()3(

3

−++

+−

−++

+= .

6. ixyyxxixewy

)22(22)2sin2(cos2 −++++= −

.

7. iyx

y

yx

xw

2222 )1()2(

1

)1()2(

2

−+−

++

−+−

−= .

20

8. iyx

x

yx

yw

2222 )1()2(

2

)1()2(

1

++−

−+

++−

−= .

9. iyxxyyxxyw )(222 −−−++−= .

10. iyx

x

yx

yw

2222 )2()3(

3

)2()3(

2

−++

++

−++

+= .

11. iyxyxxixewy

)2(2)2cos2sin(2 ++−++−= −

.

12. iyx

x

yx

yw

2222 )1()2(

2

)1()2(

1

−+−

−+

−+−

+= .

13. iyx

y

yx

yxxw

2222

22

)1(

3

)1(

2

+++

++

−+−= .

14. iyxyxxyw )233(2622 +−++= .

15. iyx

y

yx

yxxw

2222

22

)2(

3

)2(

2

+−−

+−

−+−= .

16. ixyyxxixewy

)2(2)2cos2(sin2 −+++−= −

.

17. iyyxxxyw )322(3422 −−+−−= .

18. iyx

x

yx

yw

2222 )2()3(

3

)2()3(

2

−+−

−+

−+−

+= .

19. iyx

yxx

yx

yw

22

22

22 )2(

2

)2(

3

+−

−+−+

+−= .

20. iyyyxxxyxw )23(233223 +−++−= .

21. iyxxyxixewy

)2(2)2cos2(sin2 +−−++= .

22. iyx

x

yx

yyxw

2222

22

)1(

3

)1(

2

−++

−+

−++= .

23. ixyyyxyxxyxw )23(233223 −+−+++−= .

21

24. iyx

yyx

yx

xw

22

22

22 )1(

2

)1(

3

−+

−++−

−+= .

25. ixyxyxixewy

)22(4)2cos2sin(222 −++−−= .

26. ixyxyyxyxxyyxw )2(22222 −++−+++−−= .

27. iyxxyxxyyyxyw )23(2323323 −−−+−+−−= .

28. iyx

xy

yx

yxw

2222

22

)1()1(

22

)1()1(

2

−+−

−+

+++

−+= .

29. ixyxyyxyxxyxyw )22(222222 −+−−+++−−= .

30. iyxxyxxyyxyw )23(232323 −−−+−+−= .

Завдання 2. Знайти коефіцієнт розтягу і кут повороту при

відображенні )(zfw = в точці 0z .

1. izzw 35),5cos( 0 +=−= 2. 2

1, 0

πizew z −−== .

3. iziz

izw −=

++

= 0,3

3. 4.

21, 0

3 πizzw +== .

5. izzw =−= 02 ,)15( . 6. izzw == 0,3sin .

7. 4

2ln, 0

πizew z −== . 8. iz

iz

izw 21,

2

20 +=

−−

= .

9. izizw 21,)3( 07 +=−= . 10. iz

z

izw 2,

120 =

+−

= .

11. izzw 32),2cos( 0 +=−= . 12. iziz

izw 32,

3

30 −=

++

= .

13. izezw i +=−= 3,)3( 04/π

. 14. izz

iw +=

−= 3,

30 .

15. izew iz 34, 02 −== −

. 16. iziz

zw −=

+−

= 1,2

0 .

17. izzw 21,)1( 02 −=−= . 18. iz

iz

izw 21,

2

20 −=

++

= .

22

19. iziz

izw 21, 02

2

+=−

+= . 20.

41, 0

πizew z −−== .

21. iziz

zw +=

−−

= 2,1

0

2

. 22. izzw −== 2, 03

.

23. iziz

izw 73, 02

2

−=−

+= . 24. iz

iz

zw +=

−−

= 2,1

0

2

.

25. 0,exp 0 =+−

= ziz

izw . 26. iz

z

zw −=

+= 3,

)1(02

.

27. izew zz +−== + 7, 0/1

. 28. izz

izw 2,

)1(

102

=−

+= .

29. izzi

zw =

−

= 0,/2

sin . 30. 0,exp 0 =−+

= ziz

izw .

Завдання 3. Відновити аналітичну в околі точки 0z функцію

)(zf за відомою її дійсною ),( yxu або уявною ),( yxv частиною і

значенням )( 0zf .

1. iifyyxu 23)2(,222 −=−−= .

2. ifxxyxv 21)1(,43 23 +−=+−= .

3. 0)1(,323 =+−−−= ifxxyxu .

4. iifxyxv +−=−−= 3)2(,222.

5. 3)1(,3322 22 =++−−= ifyxyxu .

6. iifxxyxv −=+−−= 1)1(,323

.

7. ifyxyxu 5)1(,7722 22 =−+−−= .

8. iifxyxv 52)(,322 +=−−−= .

9. iifxxyxu −=+−+−= )1(,2323

.

10. 4)1(,222 −=−+−= ifxyxv .

23

11. ifxyyxu 31)2(,233 22 −=+−= .

12. iifyxyxv 52)(,522 +=−++−= .

13. 0)21(,323 =−+−= ifyyxyu .

14. iifyyxyv 4)1(,323 −=+−−= .

16. 0)2(,222 =−−−= ifxxyyxu .

17. ifyyxyv 4)1(,2323 −=−−= .

18. 7)0(,3522 22 =+−−= fyxyxu .

19. iifxyxv 61)2(,222 −=−−−= .

20. 3)1(,23322 =++++−= ifyxyxu .

21. iifyyxyv 45)(,3323 −=+−= .

22. 3 2

3 4 , (1) 1 2u x xy x f i= − + = − +

23. π

π1

)(,22

=+

= fyx

xu .

24. 2)1(,22

=+

−= fyx

yyv .

25. 0)0(),sin(2 =−= fxyychxv .

26. 1)0(,cos =+= − fxxeu y.

27. 0)0(,sin2 =−= fxxchyu .

28. 3)0(),sin2(2 =+= fxyyshxv .

29. 0)1(],sincos)1[( =−−+= fyyyxeu x.

30. 2)0(,sin12

=−

= fye

ev

x

x

.

24

Література

1. Білоколос Є.Д., Зайцева Л.Л., Шека Д.Д. Збірник задач з

комплексного аналізу. Частина 1. Функції комплексної змінної. –

Київ : КНУ, 2014. – 71 с.

2. Вища математика. Теорія функцій комплексної змінної :

Навчально-методичний посібник / І.Д. Пукальський, І.П. Лусте. –

Чернівці : ЧНУ, 2001. -106 с.

3. Гольдберг А.А., Шеремета М.М., Заболоцький М.В., Скасків

О.Б. Комплексний аналіз. – Львів : Афіша, 2002. – 205 с.

4. Грищенко О.Ю. Теорія функцій комплексної змінної:

Розв’язування задач: Навчальний посібник / О.Ю. Грищенко, М.І.

Нагнибіда, П.П. Настасієв– Київ: Вища школа, 1994. – 375 с.

5. Мартиненко М.А. Теорія функцій комплексної змінної. – Київ:

Слово, 2008. – 312с.

6. Методичні вказівки до практичних занять з дисципліни

“ Теорія функцій комплексної змінної ” / С.В. Тимченко –

Дніпродзержинськ : ДДТУ, 2009. – 59 с.

7. Навчально-методичні матеріали з теорії функцій комплексної

змінної. / А.І. Щерба, Р.М. Дідковський, Н.В. Олексієнко, В.О.

Щерба. – Черкаси : ЧДТУ, 2008. – 48 с.