РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В...
Transcript of РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В...
1
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Оренбургский государственный университет»
Кафедра теоретической и общей электротехники
Н. И. Доброжанова, А. Т. Раимова
РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ С
СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Часть 2
Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом федерального
государственного бюджетного образовательного учреждения высшего
профессионального образования «Оренбургский государственный
университет» в качестве методических указаний для студентов, обучающихся
по программам высшего профессионального образования по инженерно-
техническим неэлектротехническим направлениям подготовки
Оренбург
2014
2
УДК 621.3.01(076.5)
ББК 31.211я7
Д 56
Рецензент – доцент, кандидат технических наук Н. Ю. Ушакова
Доброжанова, Н. И.
Д-56 Расчет переходных процессов в электрических цепях с сосредото-
ченными параметрами: методические указания для практических
занятий по электротехнике: в 2 ч. / Н. И. Доброжанова, А. Т. Раимова;
Оренбургский гос. ун-т – Оренбург: ОГУ, 2014. – Ч. 2. – 43 с.
Методические указания для практических занятий по
электротехнике предназначены для решения задач по разделу
«Переходные процессы» курсов «Теоретические основы электротехники»
и «Электротехника».
Методические указания для практических занятий необходимы для
студентов, обучающихся по направлениям подготовки 140400.62 –
Электроэнергетика и электротехника и 090900 – Информационная
безопасность.
В данных методических указаниях изложены основные
теоретические сведения, примеры решений типовых задач, задачи для
самостоятельного решения и контрольные вопросы.
УДК 621.3.01(076.5)
ББК 31.211я7
Доброжанова Н. И.,
Раимова А.Т., 2014
ОГУ, 2014
3
Содержание
Введение ……………………………………………………………………… 4
1 Анализ переходных процессов в линейных электрических цепях…….. 6
1.1 Возникновение переходных процессов………………………………….. 6
1.2 Операторный метод расчета переходных процессов.
Преобразование Лапласа ………………………………………………...
7
1.3 Изображение простейших функций …………...………………............... 10
1.4 Уравнения электрических цепей в операторной форме ......................... 13
1.5 Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме. Операторы
сопротивления ……………………………………………………………
14
1.6 Эквивалентные операторные схемы ……………………………………. 15
1.7 Определение оригинала функции по ее изображению ……………… 16
2 Примеры расчета задач операторным методом …………………............ 21
3 Задачи для самостоятельного решения…...……………………………... 36
4 Контрольные вопросы …………………………………………………….. 42
Список использованных источников ……………………………………….. 43
4
Введение
Физическое действие электрического тока проявляется в нагреве и
механическом воздействии на токоведущие элементы электротехнического
устройства. В конечном итоге это влияет на долговечность и надежность его
работы.
Перегрев токоведущих элементов устройства в первую очередь вызывает
интенсивный износ изоляции, что, в конечном счете, приводит к короткому
замыканию сопровождаемому, как правило, электрической дугой. Превышение
механических усилий своего допустимого значения приводит к разрушению
устройства, затем – к короткому замыканию. Поэтому первым этапом расчета
электротехнического устройства, ставится задача определения величин токов в
элементах устройства.
В установившемся режиме напряжения и токи на всех участках
электрической цепи остаются неизменными в течение сколь угодно большого
промежутка времени. В понятия неизменных напряжений и токов в данном
случае включаются не только постоянные, но и синусоидальные напряжения и
токи с постоянными амплитудой и частотой.
По условиям эксплуатации и характеру работы электроустановок, или по
другим (в том числе случайным) причинам изменяются режимы в
электрических цепях.
Для перехода от одного установившегося режима к другому требуется
некоторый переходный период, в течение которого изменяются величины токов
и напряжений в электрической цепи. С большей или меньшей скоростью эти
величины приходят в соответствие с условиями нового режима. Во время
переходного процесса могут возникать сверхтоки и перенапряжения. В
теоретических основах электротехники студенты изучают основные законы
коммутации и методы расчета переходных процессов, который является одним
из основных для специальных предметов, таких как «Электрические сети»,
«Переходные процессы в системах электроснабжения», «Релейная защита».
5
В данном практикуме по теоретическим основам электротехники
рассмотрены примеры расчета переходных процессов, а также задачи для
самостоятельного решения.
Практикум предназначен для глубокой самостоятельной проработки и
самоконтроля усвоения курса ТОЭ. Материал подобран и расположен таким
образом, что позволяет студентам эффективно и с минимальными затратами
времени усвоить все вопросы, рассматриваемые на лекциях и лабораторно-
практических занятиях.
6
1 Анализ переходных процессов в линейных электрических
цепях
1.1 Возникновение переходных процессов
Переходный или неустановившийся процесс в электрической цепи – это
процесс перехода из одного установившегося состояния в другое.Причинами
возникновения переходных процессов являются – включения, переключения
цепи, то есть любая коммутация (или изменение параметров).
Рассмотрим простейшую электрическую цепь, представленную на
рисунке 1.1.
Рисунок 1.1 – Электрическая цепь
Представим график изменения тока в цепи как функцию времени, как
показано на рисунке 1.2.
Рисунок 1.2 – График изменения тока
L
1
2
Е
R
R
1 1
1
2
2
Е ЕR R
R
R
Rt=0
i= i=
i(0-)Установившийся режим Установившийся режим
до коммутации после коммутации
Переходный процесс
i
t
.
+
7
Пусть замыкание ключа произошло в момент времениt=0.
Отрезок времени nntt .0 это и есть переходный процесс.
Кривая тока при переходном процессе зависит от вида цепи в нашем
случае это экспонента.
Вводят понятия:
– время до коммутации t );0(
– время после коммутации )0( t ;
– время момента коммутации t(0).
Для расчета переходного процесса могут быть использованы законы
Кирхгофа. Формулировка законов не меняется, только в уравнения входят
падения напряжений на элементах в дифференциальной форме записи:
– напряжение на активном элементе – iRuR ;
– напряжение на индуктивном элементе – dt
diLuL ;
– напряжение на емкостном элементе – dtiC
uC
1.
В этом случае переходные процессы рассчитываются по законам
Кирхгофа в дифференциальной форме. При расчете электрических цепей
используют различные методы расчета. Одним из основных является
операторный метод расчета.
1.2 Операторный метод расчёта переходных процессов.
Преобразование Лапласа
Классический метод расчёта переходных процессов требует в общем
случае многократного решения систем алгебраических уравнений для
определения постоянных интегрирования по начальным условиям и для
нахождения начальных значений функции и её производных, что и
представляет собой основную трудность расчёта этим методом.
8
Так как дифференциальные уравнения переходных процессов в линейных
цепях с сосредоточенными параметрами представляют собой линейные
уравнения с постоянными коэффициентами, то их можно интегрировать также
операторным методом, основанным на преобразовании Лапласа.
Операторный метод применим не только к обыкновенным линейным
дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами и их
системами, но также к линейным уравнениям с переменными коэффициентами
и к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами в частных
производных, т.е. к расчёту переходных процессов в цепях с распределёнными
параметрами.
Сущность операторного метода заключается в том, что некоторой
заданной однозначной ограниченной функции f(t) вещественной переменной
(например, времени t) , называемой оригиналом, удовлетворяющей условиям
Дирихле на любом конечном промежутке времени и равной нулю при t< 0,
сопоставляется другая функция F(p) комплексного переменного jp
называемой изображением. Условие Дирихле заключается в том, что на
любом конечном промежутке функцияf(t) должна быть или непрерывной, или
иметь конечное число разрывов непрерывности первого рода, и, кроме того,
должна иметь на этом же промежутке конечное число максимумов и
минимумов. Пусть задана функция f(t)– оригинал, приведенная на рисунке 1.3.
f(t)
u(t); i(t); e(t)
t
Рисунок 1.3 – Функция времениf(t)
9
Данной функции времени с помощью прямого преобразования Лапласа
соответствует изображение:
0
)()( dtetfpF pt , (1.1)
где jp – комплексная переменная.
Обратно, если нужно по имеющемуся изображениюF(p)найти оригинал
f(t), то это может быть выполнено в общем случае при помощи обратного
преобразованияЛапласа:
j
j
pt dppFej
tf0
0
)(2
1)(
, (1.2)
которое представляет собой решение интегрального уравнения (1.1)
относительно неизвестной функции f(t) и может быть получено методами
теории функции комплексного переменного. Интеграл (1.2) вычисляется по
прямой на плоскости комплексного переменного jp ,параллельной
мнимой оси и расположенной правее всех особенностей функцииF(p),
рассмотренной на рисунке 1.4
j j0
0
j0
Рисунок 1.4 – Функция комплексно-переменной
Переходные процессы, рассмотренные классическим методом в 1части,
описываются системой интегродифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами. Для преобразования их по Лапласу в соответствии с
формулой (1.2) приходится находить изображения производных и интегралов
10
от оригиналов. При этом оказывается, что изображения производных и
интегралов от оригинала выражаются алгебраическими функциями от
изображения и начальных значений самой функции, её производных и
интегралов. Поэтому система интегро-дифференциальных уравнений
относительно оригиналов заменяется системой алгебраических уравнений
относительно их изображений, т.е. производится алгебраизация исходной
системы интегро-дифференциальных уравнений.
При решении полученной системы алгебраических уравнений
определяются изображения искомых функций, а затем при помощи обратного
преобразования Лапласа, вытекающих из него формул или специальных таблиц
– оригиналы, т.е. искомые функции времени. Таким образом, между
оригиналом, т.е. функцией времени и её изображением всегда существует
взаимооднозначная связь. При этом система дифференциальных уравнений
переходит в систему алгебраических уравнений. В чём и заключается главное
преимущество операторного метода, т.е. не надо искать зависимые начальные
условия и постоянные интегрирования.
1.3 Изображение простейших функций
1. Пусть дана функция времени оригинал:
n
k
k tftf1
)()( (1.3)
0 1 1 0
)()()(n
k
n
k
pt
k
pt
k dtetfdtetfpF
Изображение данной функции:
n
k
k pFpF1
)()( (1.4)
2. Пусть дана функция f(t)=A=const (1.5)
11
p
Ae
p
AdtAepF ptpt
00
)( . (1.6)
Изображением постоянной величины является сама постоянная величина,
величина, деленная на ρ:
A )(; pUp
A
)(; pEP
U
P
E
.
3. Изображение показательной функции:
tetf )(
0 0
)()( dtedteepF tрptt
te
p
1 (1.7)
te 1 )(
11
pppp(1.8)
4. Изображение f(t)=еjωt, если j , то эта формула даёт возможность
найти изображение комплекса синусоидального тока:
tjSintCose tj
tje 2222)(
)(1
pj
p
p
jp
jp
jp. (1.9)
tCos 22 p
p (1.10)
tSin 22
p (1.11)
5. Изображение синусоиды с начальной фазой:
SintCosACostSinAtSinA mmm )(
2222
p
SinpA
p
CosA mm
22
)(
p
CosSinpAm
.
12
)( tSinAm 22
cos
p
tSinpAm
.
(1.12)
6. Изображение производной:
dt
tdft
)()( , если известна функция f(t) и её операторное изображение
f(t) F(ρ), то:
dt
df
)0()( fppF , (1.13)
где f(0) – значение функции в момент времени t= 0.
Напряжение на индуктивном элементе в операторной форме:
dt
diLuL
)0()( iLpIpL . (1.14)
7. Изображение интеграла t
dttf0
)( , если известно, что изображение
функции f(t) равно F(ρ) t
dttf0
)(
p
pF )(, то напряжение на ёмкости будет:
t
cc uidtC
u0
)0(1
.
Изображение напряжения на ёмкости:
)(pUc p
U
Cp
pI c )0()( , (1.15)
где Uc(0) – если конденсатор был заряжен;
Uc(0)=0 – если конденсатор не заряжен.
13
1.4 Уравнения электрических цепей в операторной форме
Таблица 1.1 – Операторные схемы замещения
Оригинал Операторные изображения
1 2
1 Резистор R
i(t) uR
ЗаконОма: uR=u(t) = R·i
R
I(р) )( pU R
ЗаконОма: )()( pIRpUR (1.16)
2 Индуктивный элемент
i(t) L
uL(t)
dt
diLuL
I(p) Lp Li(0)
UL(p)
)0()()( LipIpLpUL (1.17)
В операторной схеме появляется
дополнительный источник ЭДС – Li(0) ,
совпадающий по направлению с током,
зависящий от независимых начальных условий.
3 Емкостный элемент
i(t) С
uС(t)
)0(
1)( cc Uidt
Ctu
I(p) Cp
1
p
UC )0(
UL(p)
p
U
Cp
pIpU c
c
)0()()( (1.18)
Если в цепи имеются источники тока или ЭДС
4 Источник ЭДС
e(t)
E(p)
(1.19)
5 Источник тока
i(t)
J(p)
(1.20)
14
1.5 Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме. Операторы
сопротивления
Рассмотрим ветвь, содержащую резистор R, индуктивность L и емкость C.
Таблица 1.2 – Операторные сопротивления
Оригинал Операторные изображения
i(t) R L C
u(t)
cLRuuutu )(
R Lp Li(0) Cp
1
p
UC )0(
I(p)
U(p)
.)0(
)0()1
()(
)0()(
1)0()()(
)()()()(
p
ULi
СppLRpI
p
UpI
CpLipLpIpIR
pUpUpUpU
С
С
СLR
,
)0()0()()()(
p
ULipIpzpU С
где )1
()(Сp
pLRpz – операторное сопротивление
В таблицах 1.1 и 1.2 представлены оригиналы и соответствующие им
операторные изображения.
Уравнение p
ULipIpzpU c )0(
)0()()()( – есть второй закон Кирхгофа в
операторной форме, если начальные условия нулевые i(0)=0 и uc(0)=0, то
).()()( pIpzpU
Для замкнутого контура второй закон Кирхгофа в операторной форме
запишется:
n
k
n
k
внутрkkk epEpIpz1 1
)()()( , (1.21)
где )( рEk – операторная ЭДС источника;
15
n
k
C
kkвнутрp
UiLe K
1
))0(
)0(( представляют собой внутренние ЭДС,
обусловленные законом энергии до коммутации в магнитных полях
катушки и электрических полях конденсатора.
Первый закон Кирхгофа в операторной форме для узла запишется:
n
k
k pI1
0)(
(1.22)
1.6 Эквивалентные операторные схемы
При расчёте переходного процесса операторным методом полезно
составить для заданной цепи эквивалентную операторную схему. Для заданной
электрической схемы,приведенной на рисунке 1.5, составим эквивалентную
L1 R3
E L2 C
R1 J(t)
Рисунок 1.5 – Электрическая схема
L1 pL1i1(0) R1
E/p I1(p) L2(p) I3(p) Cp
1
R1 L2i2(0) J(t)
I2(p) p
UC )0(
Рисунок 1.6 – Операторная схема
16
операторную схему, представленную на рисунке 1.6, для после
коммутационного режима, с учётом начальных условий.
Для данной схемы составим уравнения по законам Кирхгофа для
изображений:
Так как все методы расчёта цепей выводятся из уравнений Кирхгофа, то
для расчёта изображений какого-либо тока или напряжения в схеме 1.6 можно
пользоваться методами контурных токов, узловых потенциалов, активного
двухполюсника, эквивалентных преобразований и т.д.
Решая уравнения цепи в операторной форме, всегда можно найти
изображения искомых величин токов и напряжений, а затем от изображений
перейти к оригиналам, т.е. найти действительные токи и напряжения. При этом
независимые начальные условия входят непосредственно в систему уравнений
и нет необходимости определять какие-либо постоянные интегрирования.
1.7 Определение оригинала функции по ее изображению
Расчёт операторным методом осуществляется в основном в 2 этапа –
запись изображения заданной функции времени и переход от изображения к её
оригиналу, при котором применяют различные приёмы.
Первый – с помощью формул соответствия (обратное преобразование
Лапласа). Переход от изображения к оригиналу осуществляется по формулам
(1.3 – 1.15). Для многих функций решения имеются в справочной литературе по
операционному исчислению.
p
UiLpI
CppIRppIL
iLiLp
EppILpIRppIL
pIpJpIpI
C )0()0()(
1)()(
)0()0()()()(
0)()()()(
2233322
2211221111
321
17
Например, имеем схему, приведенную на рисунке 1.7, а. Данной схеме
соответствует операторная схема, приведенная на рисунке 1.7, б.
R R
+ i + I(p)
U L U pL
Li(0)
– –
а) б)
Рисунок 1.7 – Расчетная (а) и операторная (б) схемы
Определяем начальные условия. Т.к. ток до коммутации был равен нулю,
то i(0)=0 и ЭДС источника (евн=Li(0)=0) не будет, то операторная схема примет
вид, приведенный на рисунке 1.8.
R
+ I(p)
U(p) Lp
–
Рисунок 1.8 – Операторная схема без внутреннего источника
По закону Ома значение тока определится как:
)()()(
)()(
LpRp
U
LpR
p
U
pZ
pUpI
. (1.23)
Данное изображение нужно привести к виду, которое есть в таблице
соответствия. Для этого данное уравнение умножаем на L
R, выносим L и
получим операторное изображение тока:
)(
)(
L
Rpp
L
R
R
UpI
. (1.24)
18
Из таблицы соответствия имеем )1( te )(
pp, т.е. определим
оригинал:
)1()(t
L
R
eR
Uti
. (1.25)
Переход от изображения к оригиналу с помощью таблиц соответствия
трудный метод, поэтому применяется второй метод. В этом методе
применяется формула разложения, получаемая в результате доказательства
теоремы разложения сложных дробей на простейшие.
Если операторное изображение искомого переходного тока или
напряжения можно представить в виде рациональной несократимой дроби:
n
nnn
m
mmm
вpвpвpв
apapapa
pF
pFpF
...
...
)(
)()(
2
2
1
10
2
2
1
10
2
1
, (1.26)
где m
mmm apapapapF ...)( 2
2
1
101
– многочлен числителя;
n
nnn вpвpвpвpF ...)( 2
2
1
102
– многочлен знаменателя.
При этом дробь будет рациональная и несократимая только при
выполнении следующих трёх условий:
1) n <m, степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в
знаменателе;
2) многочлены числителя и знаменателя не имеют одинаковых корней;
3) не имеют кранных корней.
В этом случае для определения оригинала можно пользоваться формулой
разложения:
n
k k
tp
k
pF
epFtf
k
1'
2
1
)(
)()( , (1.27)
где 1p , 2p , 3p , kp – корни многочлена F2 (p),
n– число корней
19
Уравнение 0)(2 pF называют характеристическим. В зависимости от типа
его корней возможны различные виды разложения, приведенные в таблице 1.3.
Таблица 1.3 – Виды разложения
Вид корней
характеристического уравнения
Формула разложения
1.Корень один, вещественный tpe
pF
pFtf 1
)(
)()(
1
'
2
11
2.Два корня, один из корней равен
нулю )(
)(
)(
)0()(
1
'
2
11
'
2
11
pF
epF
pF
Ftf
tp
3.Имеется пара комплексно-
сопряжённых корней
tp
k
k kepF
pFtf
)(
)(Re2)(
'
2
1
Порядок расчёта переходных процессов операторным методом:
1. Определяются независимые начальные условия.
2. Составляется операторная схема замещения (после коммутации).
3. Рассчитывается операторная схема замещения относительно
изображений искомых функций.
4. Определяются оригиналы искомых функций (обратный переход) одним
из двух методов:
- с помощью таблиц соответствия;
- с помощью теоремы разложения с помощью теоремы разложения.
Терема разложения
Любое искомое изображение всегда можно получить в виде
рациональной дроби:
)(
)()(
2
1
pF
pFpF ,
где F1(p) и F2(p) – полиномы числителя и знаменателя соответственно.
20
План пользования теоремой разложения
1. Найти изображение в виде рациональной (не имеющей
многоэтажности) дроби: )(
)()(
2
1
pF
pFpF .
2. Знаменатель полинома (характеристическое уравнение)
приравнивается к нулю: 0)(2 pF .
3. Определяем корни характеристического уравнения –рк .
4. В зависимости от вида корней характеристического уравнения
определяем оригинал по таблице 1.3.
5. Далее находим производную от знаменателя.
6. Используя теорему разложения, согласно таблице 1.3 определяем токи.
В том случае, если операторным методом ведётся расчёт только
свободной составляющей, то в операторных схемах замещения внешние
источники исключаются, а в выражения для внутренних источников
записываются начальные значения свободных составляющих токов через
индуктивность, а напряжений – через ёмкость
21
2 Примеры расчёта задач операторным методом
В данном разделе рассмотрены некоторые примеры и предложены
варианты их решения.
Пример 1. В цепи, приведенной на рисунке 2.1, определить все
переходные токи и переходное напряжение на индуктивности после
коммутации, если известны: R0=25 Ом; R1=25 Ом; R2= R3=30 Ом; L=1 Гн;
U=100 В. Расчёт переходного процесса произвести операторным методом при
замкнутом ключе.
Рисунок 2.1
Решение:
1. Составляем операторную схему замещения (после коммутации),
приведенную на рисунке 2.2 для переходных токов.
Рисунок 2.2
1 R
i k1
i
i
3
k2
2 R
3 R i
i 2
1
L
U
1 R
U p
I
I
I
i
2 2
1 R
R
L L
3 3
3
(p)
(p)
p
(p)
(0)
22
2. В операторной схеме определяем независимые начальные условия. До
коммутации ключ был разомкнут. По первому закону коммутации имеем:
1
3030
30301025
100
2
1
2
1)0(
32
32
10
3
RR
RRRR
Ui А.
В операторной схемеi3 (0) = 1 – независимое начальное условие.
3. Для данной схемы определяем операторные изображения токов по
законам Кирхгофа.
Уравнение по законам Кирхгофа для операторной схемы:
0)()()(
)0()()()(
)()(
321
32233
2211
pIpIpI
LipIRpILpR
P
UpIRpIR
.
0)()()(
1)()30()(30
100)(30)(10
321
32
21
pIpIpI
pIppI
ppIpI
.
).()150040(
6000130
1030030900300
1003000
303000
111
30300
03010
110
30301
030100
)(1 cApp
p
pp
pp
p
p
p
pI
).()150040(
300090
1030030900300
1003000
10
111
30300
03010
101
3010
0100
10
)(2 cApp
p
pp
p
p
p
p
pI
23
).()150040(
600040
1030030900300
103000
30
111
30300
03010
011
1300
1003010
)(2 cApp
p
pp
p
p
p
pI
Операторное изображение напряжения на индуктивности:
)(150040
1500
150040
1500403000401
300040
300040)0()()( 33 cB
pp
pp
p
pLipLpIpU L
.
4. Оригиналы токов находим по формуле разложения, приведенной в
таблице1.3:
tpn
k k
k kepF
pF
F
Ftf
1'
2
1
'
1
1
)(
)(
)0(
)0()(
).()150040(
6000130)(1 cA
pp
ppI
Находим корень характеристического уравнении:
)150040()(
.0)(
2
2
pppF
pF.
Отсюда:
)/1(5,37
0
0150040
0
2
1
2
1
cp
p
p
p
.
Выражение для производной многочлена F'2 (p) имеет вид:
.801500)(2 ppF
Находим значение числителя и производной знаменателя при найденных
корня:
24
.150)5,37(801500)(
.15000801500)(
.1126000)5,37(130)(
.600060000130)(
22
12
21
11
pF
pF
pF
pF
.)75,04(1500
1125
1500
6000 5.375.37
1 Aeei tt
Аналогично определяем токи i2,i3, ur:
.5,37
.)2(
.)25.02(
5,37
5,37
3
5,37
2
Beu
Aei
Aei
t
r
t
t
Пример 2. В схеме, приведенной на рисунке 2.3, заданы параметры:
R1=R3=200Ом; С2=25 мкФ; U =√2·311 sin( 200t - 18025').Определить переходные
токи и переходное напряжение на ёмкости после коммутации для свободного
процесса операторным методом.
Рисунок 2.3
Решение:
1. Определяем независимые начальные условия по второму закону
коммутации. Напряжение на ёмкости скачком измениться не может, т.е.:
uc(0) = uc(- 0).
Ключ до коммутации был разомкнут. Напряжение на ёмкости до
коммутации:
3 3
i
i
2 2
1
R
R
C U
25
).(311200200200
3112)
25200
101(
25200
101200
3112)
1(
1
25,639025,186
6
25,18
1
..
Beej
ej
j
e
cj
cjR
UU jj
jjm
cm
).(278)25,63(311)0( BSinUc
).0(278)0()0()0( прcпрccсвc UUUU
Чтобы определить принужденное напряжение Ucпр(0) , необходимо найти
ток mI 2
.
:
).(2311
3112
200200
)200(200200
311225,18
25,1825,18
1
.
Ae
e
j
j
eI
j
jj
прm
).(200200
2002 452
.
Aej
I jmпр
).(200200)( 4590452
..
ВeeejXIU jjj
cmcmпр
Вtu прс )45200sin(200. .
Вuс 141)45sin(200)0(пр. .
Вu свс 137)141(278)0(. .
2.Cоставляем операторную схему замещения, как на рисунке 2.4.
Рисунок 2.4
3. По методу контурных токов определяем изображения искомых
функций. Т.к. мы определяем свободные токи, то напряжения источника не
учитываются.
1 R
I
I I 2
2 1 R
C
U 3
3
(p)
(p) (p)
p
p
(0)
cв
c
cв
cв
1
-
26
p
UpI
pcRpIR
pIRpIRR
cвc
cвcв
cвcв
)0()(
1)(
0)()()(
2
2
313
23131
.
pC
RRpRR
UR
RpC
RRRRR
p
UR
pCRR
RRR
pCR
p
U
R
pIcвc
cвccвc
cв
2
2131
3
2
3
2
212
331
3
2
33
331
2
3
3
1
)0(
)0(
1
1)0(
0
)(
).(8002
37,1
200200
137200
25
10400 6cA
pp
pRR
URR
pC
RRRR
p
URR
RR
RRR
p
UR
RR
pIcвc
cвc
pc
cвc
cв
31
31
2
21
31
31
133
331
3
31
2
)0(
)0()(
)0(
0
)(
2
).(400
37,1
200200
137400
2510400 6
cApp
).(4002
137
400
37,1
8002
37,1)()()( 213 cA
ppppIpIpI cвcвcв
)400(
)400(13737,1137
)400(
37,1)0()(
1)( 2
1
2
2
2 pp
p
pPрCp
UpI
рCpU
Ccвc
cвcвc
).(400
137
)400(
137cB
ppp
p
4.Оригиналы токов и напряжения на ёмкости находим по формуле:
tPn
k
к keF
рF
рF
рF
1 2
1
2
1 )(
)(
)(.
Из уравнения р+ 400 = 0 определяем р = – 400
c
1.
27
),(37,11
37,1
),(685,02
37,1
400400
2
400400
1
Aeei
Aeei
tt
cв
tt
cв
),(685,02
37,1 400400
3 Aeei tt
cв
)(1371
137 400400 BeеU tt
ccв
.
Пример 3. В цепи, приведенной на рисунке 2.5, параметры которой
C=104 мкФ; R1=R2=R3=200 Ом и приложенное напряжение U=120 В, определить
переходные токи и переходное напряжение на ёмкости после коммутации.
Расчёт произвести операторным методом.
Рисунок 2.5
Решение:
1. Определяем независимые начальные условия по второму закону
коммутации:
Uc(0)=Uc(-0).
Ключ до коммутации был разомкнут. Так как напряжения постоянные, то
всё напряжение приложено к конденсатору:
Uc(0)=Uc(-0)=U=120 В.
2. Составляем операторную схему замещения, как на рисунке 2.6, для
переходных токов.
3
3
R
i
i
i
2 2
1
1
R R
C
U
28
Рисунок 2.6
3. По методу контурных токов определяем изображения токов:
p
UpI
pСRpIR
р
UpIRpIRR
cкк
кк
)0()(
1)(
)()()(
23213
23131
.
2
3
312
313231
332
323
331
32
3
1
)(
)0(1
1
1)0(
)(
RpC
RRRRRRRR
p
UR
pCRR
p
U
pCRRR
RRR
pCRR
p
U
Rp
U
pI
CC
к
4
6
4
6
31
31231
332
10
104020202040
10
10120)2012040120(
)(
)0()(
pp
p
C
RRрRRRRRр
C
UрRURRU c
).(
)103(
306
)40001200(
120002400
10
104020202040
10
10120)2012040120(
4
6
4
6
cApp
p
pp
p
pp
p
pC
RRRRRRR
p
URRR
p
U
pCRRR
RRR
p
UR
p
URR
pI
cc
к
3123231
331
323
331
3
32
2
)(
)0(
1
)0(
)(
p 3
3
I 1 (p)
I I
2 (p) (p)
U
p
(0) c -
C p
1
2
1
R
R
R
U
29
4
631
23231
332
10
104020202040
1202012040
)(
)0()(
ppC
RRpRRRRR
URURR c
).(103
6
40001200
2400cA
pp
).()103(
3012
)103(
6306)()()( 213 cA
pp
p
pp
pppIpIpI кк
).()103(
600360
)103(
1200360600120
)103(10
106)0()(
1)(
4
6
2 cBpp
p
pp
p
pppp
UpI
СppU c
c
Оригиналы находятся по формулам разложения
В этом случае имеем:
0)(2 pF , т.е.р(3р+10)=0.
Тогда значения корней будут равны:
0103
0
2
1
p
p, отсюда
)/1(3,33
10
0
2
1
cp
p
.
Тогда токи примут значения:
).)(6060(3
600360
10
600
);(33
3012
10
30
);(23
6
);(33
306
10
30
3,33,3
310
310
3,33,3
310
310
3
3,33,3
2
3,33,3
310
310
1
Beeu
Aeei
Aeei
Aeei
tt
c
tt
tt
tt
Пример 4. В цепи, приведенной на рисунке 2.7, параметры которой равны
R0=30 Ом, R1=43 Ом; R2=200 Ом; L2=1 Гн и приложенное напряжение
)30200sin(2002 tu В, определить свободные токи и напряжение на
индуктивности после коммутации операторным методом.
30
Рисунок 2.7
Решение:
1. Определяем в данной схеме независимые начальные условияпо
первому закону коммутации. Ток на индуктивности скачком измениться не
может. Ключ разомкнут до коммутации, поэтому ток будет равен:
)0()0( 22 ii .
).(2200
2002
200200
2002004330
2002200230
30
.
30
2
3
10
30
32
32
1
.
1 Ae
e
j
j
e
LjR
LjRRR
e
ZZ
ZZZ
UI
j
jjjm
m
).(200200
2002 45
32
3
12 AejZZ
ZII j
mm
).)(45200(2 AtSini
).(707,0)45()0()0( 22 ASinii
Определим ток mI 2 после коммутации:
).(15,12174
2002
200200
20020043
2002 5
35
30
.
30
32
32
1
.
1 Aee
e
j
j
e
ZZ
ZZZ
UI j
j
jj
m
прm
).(15,1200200
20015,12 505
32
3
12 Aej
eZZ
ZII jj
mnpm
).)(50200(15,12 AtSini пр
).(88,0)50(15,1)0(2 ASini пр
3
R
R
i 1
2 i i 3
U
2
1
R0
L
31
Определяем свободный ток:
).(174,0)881,0(707.0)0()0()0( 222 Aiii прсв
2. Составляем операторную схему замещения для после
коммутационного режима, учитывая, что ЭДС источника равна нулю. Схема
приведена на рисунке 2.8.
Рисунок 2.8
3. В операторной схеме 174,0)0(2 cвi А – независимое начальное условие.
По методу контурных токов имеем:
)0()()()(
0)()(
22313
23131
cвcвcв
cвcв
LipILpRpIR
pIRpIRR.
2
331
2
331
23
33
331
32
3
1)(
)0()0(
0
)(RLpRRRRR
LiR
LpRR
RRR
LpRLi
R
pI cвcв
cв
).(43215,1
174,0
124320043
174,01200cA
pp
).(4,35
174,0
124320043
174,01243
)(
)0()()0(
0
)(3131
231
33
331
23
31
2 cAppLpRRRR
LiRR
LpRR
RRR
LiR
RR
pI cвcв
cв
R
i
I I I
2
2
1
1
R 3
3 (p) (p)
(p)
cв
cв
cв cв
L
L
p
(0)
32
4,35
174,0
431215
174,0)()()( 213
pppIpIpI cвcвcв
).(20064,5
174,0
43215,1
)215,11(174,0
43215,1
174,0215,1174,0cA
ppp
).)(0()()( 22 ВLipLpIpU cвcвLcв
).(4,35
16,6
4,35
4,35174,0174,0174,0174,01
4,35
174,01)( cB
pp
pp
p
ppU Lcв
Оригиналы свободных токов и напряжения на индуктивности находятся
по формулам разложения:
.04.35)(
.0)(
2
2
pрF
рF
Определим корень характеристического уравнения:
.1
4,35c
P
Вычислим мгновенные значения токов по теореме Разложения:
;143,0215,1
174,0 4,354,35
1 Aeei tt
cв
;174,01
174,0 4,354,35
2 Aeei tt
cв
;031,064,5
174,0 4,354,35
3 Aeei tt
cв
.16,61
16,6 4,354,35 BeeU tt
Lcв
Пример 5. В заданной цепи, приведенной на рисунке 2.9, с параметрами
ОмС
ОмLОмLОмRОмRОмR 31
;5;7;3;1;22
31321
и напряжением
BtU )45314sin(2
260 0 включается ветвь с емкостью. Составить операторные
схемы для расчета переходного процесса и для расчета свободного процесса.
Найти величины операторных ЭДС.
33
Рисунок 2.9
Решение:
Операторная схема для переходных токов приведена на рисунке 2.10.
Рисунок 2.10
Операторное изображение приложенного напряжения:
).(314
45cos31445sin
2
260)(
22
00
cBp
ppU
1. Для определения величины операторных ЭДС пользуются 1 и 2
законами коммутации. В режиме до коммутации имеем:
).(13,14
132
260
57322
260 2222
2267
4545
3311
31
0
0
00
Aee
e
j
e
LjRLjR
UII j
j
jjm
mm
.)2222314sin(13,14 0
31 Atii
На основании первого закона коммутации:
)0()0()0()0( 3311 iiиii .
i
i
i
2
1
1 1
R R2
L
L
U
3
3 3
2
R
C
R
3
3 3
2 C
3
p
I 1 (p)
I
I
2
(p)
(p)
(p)
U p (0)
(0)
c -
p 1
i L
2
1
3
1 1
R R
L U
(0)
i L
34
).(38,5)2222sin(13,14)0()0( 0
31 Aii
Имеем:
).(085,0)38,5(314
5)0(
).(12,0)38,5(314
7)0(
33
11
cBtiL
cBiL
2. На основании второго закона коммутации:
0)0()0( 22 cc UU .
Следовательно 0)0(
р
U c .
Операторная схема для свободных токов приведена на рисунке 2.11. Для
определения величины операторных ЭДС необходимо найти принуждённые
токи в первой и третьей ветви и напряжения на ёмкости.
Рисунок 2.11
В принуждённом режиме после коммутации имеем:
)35(31
)53)(31(72
2
260
1
1
045
2
332
33
2
2
11
1
j
jjj
e
cijRR
LjRc
jR
LjR
UI
j
m
m
L R p
(0) i
i
L
L
2
1
1
1 1 1
R R
L
3
3 3
2 C
3
p
I 1 (p)
I
I
2 (p)
(p)
(0)
p 1
U
p
(0)
cв
cв
cв
cв
c cв
cв
-
35
);(8,2686,6
2
260
47,4
73,516,372
2
260
344
7140
45
4326
20594371
45
0
0
0
0
00
0
Aee
e
e
eej
ej
j
j
j
jj
j
);(35,3447,4
73,58,26
1
1137
4326
434344
2
332
33
12
0
0
0
0
Aee
ee
cLjRR
LjRII j
j
j
mm
);(93,1893,1847,4
16,38,26
1
1
53865293
4326
344434
3
332
2
2
13
00
0
0
0
Aeee
ee
cLjRR
cjR
II jj
j
jj
mm
).(103335,341 945290113790
2
22
0000
Beeeec
IU jjjj
mmc
Далее имеем:
.)9452314sin(103
;)5386314sin(93,18
;)344314sin(8,26
0
2
0
3
0
1
BtU
Ati
Ati
npc
np
np
Для определения величин операторных ЭДС имеем:
).(82)9452sin(1030)0()0()0(
);(49,135386sin)93,18(38,5)0()0()0(
);(61,7344sin8,2638,5)0()0()0(
0
222
0
333
0
111
BUUU
Aiii
Aiii
npcccвc
npcв
npcв
Операторные ЭДС в схеме для свободных токов согласно рисунку 2.11:
).(82)0(
);(214,049,13314
5)0(
);(169,0)61,7(314
7)0(
.
33
11
cBPP
U
cBiL
cBiL
свc
cв
cв
36
3 Задачи для самостоятельного решения
В данном разделе предложены варианты заданий для решения с целью
самопроверки.
Вариант 1. Определить операторное изображение тока I1, если U=160 В;
81 R Ом; 32 R Ом; 63 R Ом; L1=56 мГн.
Вариант 2. Составить операторную схему замещения по Лапласу, если
I=1 A; .Ом90Ом;8Ом;2 3120 RRRR L = 60 мГн.
Вариант 3. Определить операторное изображение тока I2, если U=80 В;
21 R Ом; 82 R Ом; 63 R Ом; С = 90 мкФ.
R
L
3 R
R 1 1 1
2
U
3
3
i
i
L L
J
R R
R
R
2
3 U
0 i
1
1
3 C
R
R
R
2
2 i 1
U
37
Вариант 4. Составить операторную схему замещения по Лапласу, если
I=10 A; 10R Ом; С = 31 мкФ.
Вариант 5. Определить операторное изображение тока I3, если U=150 В;
101 R Ом; 52 R Ом; 53 R Ом; С = 51 мкФ.
Вариант 6. Составить операторную схему замещения по Лапласу,
если 045sin200 tu В; 10R Ом; С = 39 мкФ; f=50 Гц.
Вариант 7. Составить операторную схему замещения по Лапласу, если
045314sin200 tu В; 10R Ом; С = 40 мкФ; L= 66 мГн.
2 i J
C
R R
R
R
3 R
R
R 1 1
2 2
U
i
i
C
R
1
U
i
2 i
C C
R
uL R
R
i
i
C
C
U
38
Вариант 8. Составить операторную схему замещения по Лапласу, если
090314sin100 tu В; 4031 RR Ом; 852 R Ом;
L = 51 мГн; С = 80 мкФ.
Вариант 9. Составить операторную схему замещения по Лапласу, если
090314sin100 tu В; 41 R Ом; 82 R Ом; L = 28 мГн;
С = 31 мкФ.
Вариант 10. Составить операторную схему замещения по Лапласу, если
045sin200 tu В; 10R Ом; С = 319 мкФ; f = 50 Гц.
Вариант 11. Составить операторную схему замещения по Лапласу, если
045314sin200 tu В; 10R Ом; С = 49 мкФ; L= 63 мГн.
R
1
U
i
2 i
C C
R
uL R
R
i
i
C
C
U
L
R R
1 1
u
u
2
C
3
3 L R i i
C
L
R
1 1
u
i i
2
2 i
3 R
39
Вариант 12. Определить операторное изображение тока I1, если U=160 В;
81 R Ом; 32 R Ом; 63 R Ом; L1=56 мГн.
Вариант 13. Составить операторную схему замещения по Лапласу, если
I = 1 A; L1=56 мГн; .Ом90Ом;8Ом;2 3120 RRRR
Вариант 14. Определить операторное изображение тока I3, если U = 80 В;
21 R Ом; 82 R Ом; 63 r Ом; С = 60 мкФ.
Вариант 15. Определить операторное изображение тока I1, если U=160 В;
81 R Ом; 32 R Ом; 63 R Ом; L1=56 мГн.
R
L
3 R
R 1 1 1
2
U
3
3
i
i
R
L
3 R
R 1 1 1
2
U
3
3
i
i
L L
J
R R
R
R
2
3 U
0 i
1
1
3 C
R
R
R
2
2 i 1
U
40
Вариант 16. Составить операторную схему замещения по Лапласу, если
I=1 A; L=56 мГн; .Ом90Ом;8Ом;2 3120 RRRR
Вариант 17. Определить операторное изображение тока I3, если U=80 В;
21 R Ом; 82 R Ом; 63 R Ом; С = 60 мкФ.
Вариант 18. Определить операторное изображение тока I1, если U=160 В;
81 R Ом; 32 R Ом; 63 R Ом; L1=56 мГн.
R
L
3 R
R 1 1 1
2
U
3
3
i
i
L L
J
R R
R
R
2
3 U
0 i
1
1
3
C
R
R
R
2
2 i 1
U
41
Вариант 19. Составить операторную схему замещения по Лапласу, если
I=1 A; L=50 мГн; .Ом90Ом;8Ом;2 3120 RRRR
Вариант 20. Определить операторное изображение тока I3, если U=80 В;
21 R Ом; 82 R Ом; 63 R Ом; С = 50 мкФ; f=50 Гц.
L L
J
R R
R
R
2
3 U
0 i
1
1
3 C
R
R
R
2
2 i 1
U
42
4 Контрольные вопросы
1. Что такое переходной процесс?
2. Что называется коммутацией?
3. В чем заключаются причины возникновения переходных процессов?
4. Как читаются законы коммутации?
5. Чем опасны переходные процессы?
6. Сущность операторного метода расчета переходных процессов.
7. Как определить операторное сопротивление цепи?
8. Записать закон Ома в операторной форме.
9. Записать второй закон Кирхгофа в операторной форме.
10. Что характеризует с физической точки зрения внутренний источник
катушки индуктивности в операторной схеме замещения?
11. Что характеризует с физической точки зрения внутренний источник
конденсатора в операторной схеме замещения?
12. Как определить оригинал с помощью таблицы соответствия?
13. Как определить оригинал с помощью теоремы разложения?
14. Зарисовать операторную схему замещения для катушки
индуктивности.
15. Зарисовать операторную схему замещения для конденсатора.
16. Как составить операторную схему замещения для свободного
процесса?
17. Как составить операторную схему замещения для переходного
процесса?
43
Список использованных источников
1 Бессонов, Л. А. Теоретические основы электротехники. Электрические
цепи: учебник для вузов / Л. А. Бессонов. – 11-е изд., испр. и доп. - М. :
Гардарики, 2006. – 701 с.
2 Глотов, А. Ф. Практикум по методам анализа и расчета электронных
схем / А. Ф. Глотов. – Томск :Изд-во ТПУ, 2008. – 138 с.
3 Ганский, П. Н. Методические указания к выполнению расчетно-
графического задания по курсу «Методы анализа и расчета электронных
схем / П. Н. Ганский, А. Т. Раимова. – Оренбург :ОГУ,2003. – 28 с.
4 Семенова, Н. Г. Переходные процессы в линейных целях с
сосредоточенными параметрами: Задания и методические указания к
выполнению расчетно-графического задания № 6 по ТОЭ / Н. Г. Семенова,
Н. Ю. Ушакова.– Оренбург: ГОУ ОГУ, 2009. – 27 с.
5 Чернышова, Т. И. Моделирование электронных схем / Т. И. Чернышова,
Н. Г. Чернышов. – Таганрог : ТГТУ, 2010. – 80 с.