Московский Авиационный Институт

(государственный технический университет) Факультет радиоэлектроники летательных аппаратов

Кафедра радиофизики, антенн и микроволновой техники

Цикл: «Электродинамика и РРВ»

Тема:

«РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ

ВОЛНЫ В ОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ»

Лабораторная работа № 1:

«Распространение плоской электромагнитной

волны в однородных средах без потерь »

Лабораторная работа № 2:

«Распространение плоской электромагнитной

волны в однородных средах с потерями »

Москва 2009

2

Авторы: профессор, д.т.н. А.Ю. Гринев, доцент, к.т.н. А.И. Гиголо

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ............................................................................................................................................ 4

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ.................................................................................................................................. 4

2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ПОДГОТОВКА К РАБОТЕ.............................................................................. 4

3. ЗАДАНИЕ К МОДЕЛИРОВАНИЮ.................................................................................................. 5

4. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ КОМПЬЮТЕРНОЙ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ............................ 6

4.1. Исследование распространение плоской однородной волны в свободном пространстве

(гармоническое и импульсное возбуждение).................................................................................. 6

4.2. Исследование распространение плоской однородной волны в однородном диэлектрике без

потерь (гармоническое и импульсное возбуждение).................................................................... 13

4.3. Исследование распространение плоской однородной волны в однородном диэлектрике с

потерями (гармоническое и импульсное возбуждение) ............................................................... 14

5. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЁТА................................................................................................................ 15

6. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ.............................................................................................. 15

7. ЛИТЕРАТУРА.................................................................................................................................. 16

ПРИЛОЖЕНИЯ: .................................................................................................................................. 17

П.1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ ................................................................ 17

П1.1. Операторы векторного анализа............................................................................................ 17

П1.2. Система уравнений электродинамики – уравнения Максвелла для произвольной

временной зависимости ................................................................................................................. 17

П1.2.1. Система уравнений электродинамики......................................................................... 17

П1.2.2. Волновые уравнения векторов поля для произвольной временной зависимости.... 19

П1.2.3. Простейшее решение волнового уравнения для произвольной временной

зависимости .............................................................................................................................. 20

П1.3. Система уравнений электродинамики для гармонической временной зависимости в

комплексной форме........................................................................................................................ 21

П1.3.1. Волновые уравнения векторов поля для гармонической временной зависимости в

комплексной форме.................................................................................................................. 22

П1.3.2. Простейшее решение волнового уравнения для гармонической временной

зависимости. ............................................................................................................................. 22

П1.4. Плоские электромагнитные волны в среде с потерями ...................................................... 24

3

П1.4.1. Основные соотношения для плоских электромагнитных волн в среде с

потерями ................................................................................................................................... 24

П1.4.2. Плоские волны в диэлектриках и проводниках .......................................................... 25

П1.4.3. Явление дисперсии и групповая скорость .................................................................. 26

П.2. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ......................................... 28

П2.1. Процедуры конечно-разностной аппроксимации ............................................................... 28

П2.2. Одномерный метод КРВО.................................................................................................... 30

П2.2.1. Алгоритм одномерного метода КРВО ....................................................................... 30

П2.2.2. Выбор пространственного шага x и явление численной дисперсии ....................... 33

П2.2.3. Временной шаг t и стабильность решения............................................................... 34

П2.2.4. Источники возбуждения .............................................................................................. 35

П2.2.5. Граничные условия для открытой области ................................................................. 38

П2.3. Двумерный метод КРВО ...................................................................................................... 39

П2.3.1. Единичная ячейка в двумерном случае....................................................................... 39

П2.3.2. Явление численной дисперсии, анизотропии и выбор пространственного шага... 42

П2.3.3. Ограничение области моделирования......................................................................... 43

П.3. ОПИСАНИЕ И ФУНКЦИИ ПРОГРАММЫ «МАКСВЕЛЛ + »................................................. 47

П 3.1. Знакомство с программой. Интерфейс программы............................................................ 47

П 3.2. Функции главного меню программы «Максвелл +» .......................................................... 50

П.4. СВОДНАЯ ТАБЛИЦА РЕЗУЛЬТАТОВ ВЫПОЛНЕНИЯ

ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ № 1, 2.............................................................................................. 57

4

ВВЕДЕНИЕ

Плоская электромагнитная волна является объектом, достаточно простым для изучения и

вместе с тем очень важным для формирования физических представлений об электромагнитных

явлениях. Основу их изучения составляют уравнения Максвелла. Знание теории плоских волн даёт

даeт аппарат изучения, решения и исследования многих важных практических задач: падение

плоской волны на границу раздела сред, поляризация электромагнитных волн, распространение

плоской волны в неоднородных и анизотропных средах, рассеяние плоской волны различными

объектами и т.п.

Программа «Максвелл +» это программа двумерного электродинамического

моделирования, позволяющая рассчитывать процессы распространения электромагнитных волн в

различных средах, дифракцию и рассеяние на двумерных объектах с различной геометрией и

электрофизическими параметрами. Счетное ядро программы основано на методе конечных

разностей во временной области (КРВО) или в англоязычном варианте Finite-Difference Time-

Domain method (FDTD). Достоинством программы, помимо сказанного выше, является то, что

процессы распространения, дифракции и рассеяния электромагнитных волн можно наблюдать на

экране в реальном масштабе времени.

Численное моделирование позволяет провести виртуальный эксперимент (особенно для

сложных электродинамических объектов) с полнотой и наглядностью, недостижимой при

реализации натурного эксперимента.

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

– Закрепление общих теоретических основ распространения плоской электромагнитной волны в

однородных средах путём наглядного анимационного представления;

– усвоение основных положений современного численного метода электродинамического

моделирования – метода конечных разностей во временной области и ознакомление с описанием и

функциями программы «Максвелл + », реализованной на основе этого метода;

– выполнение процедуры численного моделирования распространения плоской электромагнитной

волны в однородных средах на основе программы «Максвелл + » и понимание того

обстоятельства, что «даже маленькая практика стоит большой теории».

2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ПОДГОТОВКА К РАБОТЕ

При подготовке к компьютерной лабораторной работе №1 или №2 необходимо:

а) изучить основные теоретические соотношения распространения плоской

электромагнитной волны в однородных средах в объеме настоящего учебного пособия: п.п. П1.1–

П.1.3. Приложения 1– для работы №1; п.п. П1.1, П1.2, П1.3– для работы №2. Более углубленно

5

данная тема может быть проработана при обращении к основной литературе [1-3] и

дополнительной [4-6];

б) ознакомиться с методом конечных разностей во временной области (см. Приложение 2),

используемым при численном моделировании [7];

в) ознакомиться с описанием и функциями программы «Максвелл + » (см. Приложение 3);

г) выполнить расчётное задание к моделированию (раздел 3);

д) подготовить ответы на контрольные вопросы по данной лабораторной работе (раздел 6);.

3. ЗАДАНИЕ К МОДЕЛИРОВАНИЮ

Моделирование распространение плоской однородной волны реализуется в свободном

пространстве, однородном диэлектрике и в диэлектрике с потерями.

Основные исходные данные приведены в таблице 3.1 для каждой бригады.

Таблица 3.1 ПАРАМЕТРЫ Размер области моделирования

№ БРИГАДЫ

Частота, [ГГц]

Относительная диэлектрическая проницаемость

среды,

Проводимость среды,

[(Ом·м)-1] по горизонтали X [м]

по вертикали Y [м]

1 1 4 0,02 1 0,8

2 1,25 3,24 0,05 0,8 0,6

3 2 2,56 0,01 0,5 0,4

4 2,5 2,25 0,1 0,4 0,3

5 5 1,96 0,2 0,2 0,15

При домашней подготовке к выполнению лабораторной работы необходимо рассчитать

(оценить) следующие параметры, ориентируясь на таблицу 3.1:

Параметры плоской волны:

– для свободного пространства: длину волны, фазовую скорость, волновое сопротивление

свободного пространства (П1.26 - П1.28);

– для диэлектрика без потерь: длину волны, фазовую скорость, волновое сопротивление

диэлектрика (П1.26- П1.28);

– для диэлектрика с потерями длину волны, фазовую скорость, волновое сопротивление

коэффициент затухания, (П1.37, П1.38).

Параметры для электродинамического моделирования:

– величину шага пространственной дискретизации x = y = 20/0 ( 0 - длина волны в

вакууме), используя рекомендации П2.2.2 и рис.П2.4;

– величину временного шага дискретизации t , используя формулу (П2.34б) (следует

помнить, что временной шаг дискретизации не может превышать «магический шаг»);

– количество пространственных шагов, учитывая заданную область моделирования.

6

4. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ КОМПЬЮТЕРНОЙ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

Перед началом численного эксперимента внимательно ознакомьтесь с описанием

программы двумерного электродинамического моделирования «Максвелл +». Особое внимание

следует уделить вопросам формирования сетки, выбору пространственных и временных шагов

дискретизации, заданию источников возбуждения и их параметров, рисованию объектов

моделирования (см. Приложение 3).

Лабораторная работа №1 «Распространение плоской электромагнитной волны в

однородных средах без потерь» включает выполнение пунктов 4.1 и 4.2.

Лабораторная работа №2 «Распространение плоской электромагнитной волны в

однородных средах с потерями» включает выполнение пункта 4.3.

4.1. Исследование распространение плоской однородной волны в свободном пространстве

(гармоническое и импульсное возбуждение)

Запустите программу электродинамического моделирования «Максвелл +», для этого либо

в меню «Пуск» найдите папку «Кафедра 406» – «Л/р по курсу «Электродинамика и РРВ»», либо с

помощью иконки программы на рабочем столе. Перед Вами появится главное окно программы.

Рис. 4.1. Главное окно

программы «Максвелл +»

4.1.1. Задание параметров сетки, области моделирования, временных и пространственных

шагов дискретизации.

Первым шагом электродинамического моделирования с помощью метода КРВО является

задание пространственной и временной сетки, выбора шагов дискретизации исходя из значений

рабочей частоты.

Указание: Сравните результаты домашних расчетов пространственных и временных

шагов дискретизации с преподавателем и преступайте к работе с программой «Максвелл +». Для

7

удобства регистрации и наблюдения электромагнитного поля величина пространственного шага

уменьшена до значения x = y = 60/0 . Данное излишне мелкое разбиение продиктовано

желанием получить более качественную картину пространственно-временного поля независимо

от диэлектрической проницаемости области моделирования при гармоническом и импульсном

возбуждении.

Выберите пункт главного меню «Параметры» и выберите строку «Пространственная

область». Появится окно «Размер области моделирования», в котором по умолчанию установлено:

единицы измерения – «мм»; размер пространственного шага дискретизации – «1 мм» как по

обеим осям; размер области моделирования – «100» пространственных шагов (рис. 4.2). Таким

образом, программа будет рассчитывать электромагнитное поле в бесконечном (по оси Z)

параллелепипеде с квадратным сечением в плоскости XOY размерами 1мм х100=100 мм или 0,1 м.

Указание: В зависимости от задания установите рассчитанные и согласованные с

преподавателем значения пространственных шагов дискретизации и их число, чтобы задать

область пространственного моделирования.

В пункте главного меню «Параметры» выберите строку «Временная область» (рис.4.3).

Рис. 4.2. Диалоговое окно для установки

пространственного шага дискретизации и

размера области моделирования.

Рис. 4.3. Диалоговое окно для установки

временного шага дискретизации и времени

моделирования.

Указание: Установите рассчитанные в соответствии с заданием и согласованные с

преподавателем значения временных шагов дискретизации и общее количество временных шагов,

в течение которых программа будет рассчитывать электромагнитный процесс.

Параметры полностью согласованного слоя (ПСС), ограничивающие область

моделирования, оптимально определены в соответственно с П2.3.3 и устанавливаются программой

по умолчанию, при этом коэффициент отражения обеспечивается на уровне –80 дБ. Область

моделирования будет уменьшена на ширину поглощающего слоя, т.е. с каждой стороны по 8

8

пространственных ячеек. При желании можно ознакомиться с параметрами ПСС, для этого в

пункте главного меню «Параметры» выберите строку «Параметры ПСС» (рис. 4.4).

Рис. 4.4. Диалоговое окно параметров ПСС.

4.1.2. Задание источников возбуждения и объектов моделирования.

Вторым шагом в подготовке к численному моделированию является задание источников

возбуждения и объектов моделирования.

В соответствии заданием, необходимо сформировать плоскую волну, распространяющуюся

в свободном пространстве вдоль оси ОХ (слева направо относительно главного окна программы).

Создание и редактирование всех объектов в программе «Максвелл +» напоминает работу в

векторном графическом редакторе. Выбирать тот или иной объект можно либо через

соответствующий пункт в главном меню программы, либо нажав кнопку в панели инструментов.

Зажав левую кнопку мыши и перемещая курсор, нарисуем объект. Двойное нажатие на него

вызовет меню, в котором положение объекта и его свойства можно отредактировать. Также

программа позволяет задавать и изменять цвет объектов и выносить их на передний или задний

план.

Задать плоскую волну можно либо выбирая пункт главного меню «Рисование», затем

«Опции», «Плоская волна» (рис. 4.5), либо нажимая соответствующую кнопку в панели

инструментов .

Указание: Установите координаты источника так, чтобы создаваемая им плоская волна

распространялась в положительном направлении оси ОХ (слева направо относительно главного

меню программы), например Х1 = 10, Y1 = 0, Х2 = 10, Y2 = Yмах. Края источника должны быть

погружены в ПСС. Установите частоту согласно заданию. Через пункт главного меню

программы «Параметры», «Возбуждение» установить тип сигнала – «Синусоидальный». В этом

случае получим плоскую волну с гармоническим возбуждением.

Вектора электромагнитного поля должны быть ориентированы в пространстве согласно

рис. П1.3, вектор напряженности электрического поля E вдоль оси ОY, магнитного поля H

вдоль оси ОZ, а вектор Пойнтинга вдоль оси ОХ. Для этого в главном меню программы

«Параметры» – «Поляризация» установите «ТЕ» и выберите здесь же «Компонента поля»–«Еу».

9

Рис. 4.5. Диалоговое окно параметров источника

плоской волны.

4.1.3. Регистрация компонент поля в фиксированной точке пространства.

Для регистрации поля во времени в конкретной точке пространства в программе

предусмотрены зонды. Программа зарегистрирует поле на протяжении всего времени счета в той

точке, в которой установлен зонд. Впоследствии эти результаты можно будет записать в файл для

построения графиков и дальней обработки результатов внешними программами. Для этого через

пункт главного меню программы «Рисование» – «Опции» выбрать «Зонд» и устанавливает его в

области рисования нажатием левой кнопки мыши. Также зонд можно установить использую

кнопку на панели инструментов . Двойным нажатием можно изменить положение зонда,

отредактировав его координаты (рис. 4.6).

Рис. 4.6 Окно рисования. Установка зондов.

10

Указание: Для контроля поля установите пять зондов как показано на рис.4.6. Три из них

расположите вдоль горизонтальной прямой на одинаковом расстоянии друг от друга, а

остальные – вдоль вертикальной прямой. Координаты зондов в общем случае выбираются на

усмотрение студента. Например, установите расстояние между соседними зондами 20 x .

4.1.4. Запуск счета, наблюдение распространения поля и получение результатов.

Указание: Сохраните составленный проект.

Для того чтобы программа «Максвелл +» начала расчет электромагнитного поля,

необходимо нажать либо кнопку на панели инструментов, либо выбрав пункт главного меню

«Моделирование» – «Запуск». При этом программа начнет вычислять электромагнитное поле для

заданных источников возбуждения и объектов моделирования. Произойдет переход из «окна

рисования» в «окно распространения поля» и в реальном масштабе времени программа будет

изображать выбранную компоненту электромагнитного поля, изменяющуюся в процессе

распространения электромагнитных волн в области моделирования. Интенсивность цвета

пропорциональна значению компоненты поля (рис. 4.7).

Рис. 4.7. Вид окна распространения поля в случае гармонического возбуждения.

Указание: Запустите программу на счет. Пронаблюдайте распространение

электромагнитной волны в свободном пространстве.

11

Когда закончится заданное время моделирования, можно будет переключиться в «окно

сигналов во временной области» и посмотреть результаты, записанные в установленных зондах

(рис. 4.8). Если требуется дополнительное время счета, то нажав кнопку , можно продолжить

моделирование на требуемое количество временных шагов.

Рис. 4.8. Вид окна сигналов во временной области в случае гармонического возбуждения.

Указание: Переключитесь в «окно сигналов во временной области» и выполните расчетное

задание.

Расчетное задание:

1. Используя временные сигналы в зондах докажите, что волна является плоской и

однородной.

2. По временному сигналу в любом зонде во временном окне рассчитать период и частоту

напряженности электрического поля волны и сравнить с исходными значениями. Записать

значение амплитуды напряженности электрического поля.

Указание: Для более точного определения временных интервалов в «окне сигналов во

временной области» можно дважды нажать на ось графика, при этом появится окно

«Установить границы» (рис. 4.9). Установите «Максимум» и «Минимум» по оси времени так,

чтобы на графике уместился один или два периода колебания и определите число временных

отсчетов, соответствующих периоду. Умножив получившееся число отсчетов на величину

временного шага дискретизации t , получим период, выраженный в секундах.

12

Рис. 4.9. Окно сигналов во временной области.

Установка границ.

3. Используя временные сигналы в двух соседних зондах, расположенных вдоль прямой

распространения электромагнитной волны, определите временную задержку прихода волны

между зондами. Зная расстояние между зондами L , рассчитайте скорость

распространения электромагнитной волны по формуле /L (рис. 4.10). Рассчитайте

длину волны по формуле (П1.28) и сравните полученные результаты с теоретическими.

a)

б)

Рис. 4.10. К определению скорости распространения электромагнитной волны.

Указание: Измените выводимую на экран компоненту поля с Ey на Hz и повторите

моделирование. Для этого в пункте главного меню выберите «Параметры» – «Компонента

поля»–«Hz».

Расчетное задание:

4. По временному сигналу в любом зонде во временном окне определите амплитуду

напряженности магнитного поля волны, рассчитайте волновое сопротивление свободного

пространства (см. П1.3.2) и сравните с теоретическим значением.

Указание: Измените временной характер распространяющейся электромагнитной волны,

заменив гармоническое возбуждение на гауссовский импульс (см. П.2.2.4). Для этого в пункте

главного меню выбрать «Параметры» – «Возбуждение» – «Гаусс», и заново запустить

программу на счет (рис. 4.11 и 4.12).

13

Частота в задании к моделированию соответствует средней частоте спектра для

импульсного возбуждения (см. П2.2.4 таблица П2.2). В программе длительность гауссова

импульса устанавливается равной 150 временных шагов дискретизации (ТИмп = 150 t ).

Расчетное задание:

5. Рассчитайте скорость распространения электромагнитной волны для случая импульсного

возбуждения по методике, изложенной в расчетном задании п.3 (см. рис. 4.12).

6*. Сохраните временные сигналы, записанные в зондах, в файл и постройте спектр

исследуемого сигнала, используя программу MathCAD (по согласованию с преподавателем).

Рис. 4.11. Вид окна распространения поля в случае

импульсного возбуждения.

Рис. 4.12. Вид окна сигналов во временной области в

случае импульсного возбуждения.

4.2. Исследование распространение плоской однородной волны в однородном диэлектрике

без потерь (гармоническое и импульсное возбуждение).

В этом пункте необходимо рассмотреть распространение плоской волны в однородном

диэлектрике. Для этого область моделирования нужно заполнить средой с отличной от 1

относительной диэлектрической проницаемостью.

Указание: Создайте прямоугольник, так чтобы он закрыл всю область моделирования и

частично попал в поглощающий слой и задайте его диэлектрическую проницаемость согласно

заданию (рис. 4.13 и 4.14).

Повторить серию расчетов, как для гармонического, так и для импульсного возбуждения

для случая распространения электромагнитной волны в однородном диэлектрике.

Расчетное задание:

7. Повторите расчетные задания 2, 3 для случая распространения электромагнитной волны в

однородном диэлектрике и рассчитайте период, частоту, длину волны и скорость

распространения электромагнитной волны по вышеизложенной методике для

гармонического возбуждения.

8. Сделайте вывод об изменениях рассчитанных величин в однородном диэлектрике по

сравнению со свободным пространством.

14

9. Рассчитайте волновое сопротивление диэлектрической среды по методике, изложенной в п.4

расчетного задания.

10. Рассчитайте скорость распространения электромагнитной волны в однородном

диэлектрике для случая импульсного возбуждения по методике, изложенной в расчетном

задании п.3.

11*.Сохраните временные сигналы, записанные в зондах, в файл и постройте спектр сигнала,

распространяющегося в диэлектрике, используя программу MathCAD. Сделайте вывод о

спектральных изменения в сигнале, по сравнению с его распространением в свободно

пространстве.

Рис. 4.13. Вид окна рисования для среды, заполненной

однородным диэлектриком.

Рис. 4.14. Диалоговое окно параметров

объекта.

4.3. Исследование распространение плоской однородной волны в однородном диэлектрике с

потерями (гармоническое и импульсное возбуждение).

В этом пункте необходимо рассмотреть распространение плоской волны в диэлектрике с

потерями.

Указание: В области моделирования заполненной ранее диэлектриком установите

проводимость среды согласно заданию и повторите моделирование для гармонического и

импульсного возбуждения.

Расчетное задание:

12. Повторите расчетные задания 1 - 4 для случая распространения электромагнитной волны в

однородном диэлектрике с потерями и рассчитайте период, частоту, длину волны, скорость

распространения электромагнитной волны и волновое сопротивление по вышеизложенной

методике.

Указание: Установите два зонда на расстоянии 50 x друг от друга вдоль прямой

распространения электромагнитной волны.

15

13. Используя временные сигналы в этих зондах, определите изменение амплитуды сигнала

для гармонического возбуждения. Зная расстояние между зондами определите коэффициент

затухания и сравните его со значением, полученным аналитически по формулам [П1.34,

П1.35,].

14. Сделайте вывод об изменениях рассчитанных величин в однородном диэлектрике с

потерями.

15. Используя временные сигналы в заново установленных зондах, сделайте вывод об

изменениях амплитуды гармонического сигнала и формы импульсного сигнала,

распространяющегося в однородном диэлектрике с потерями.

16*. Сохраните импульсные временные сигналы, записанные в двух зондах, в файл и

постройте спектры этих сигналов, используя программу MathCAD. Сделайте вывод о

спектральных изменения в сигнале, по сравнению с его распространением в свободном

пространстве и диэлектрике без потерь.

5. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЁТА

Отчет к лабораторной работе №1 или №2 должен включать в себя:

1. Титульный лист, с указание названия работы, фамилий студентов, выполнивших работу,

номера бригады и варианта, фамилии преподавателя.

2. Краткое описание цели работы и результатов выполнения домашнего задания.

3. Формулы и графики по каждому пункту расчетного задания, на основании которых

проделаны необходимые вычисления.

4. Выводы о характере распространения плоской однородной волны и об изменениях ее

параметров для рассмотренных сред.

Результаты, полученные в ходе выполнения лабораторной работы №1 и 2, заносятся в

таблицу, приведенную в приложении 4.

6. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Дать определение однородной изотропной среды.

2. Дать определение однородной изотропной среды с потерями. Чем обусловлены потери в среде?

3. Дать определение волновой поверхности или фронта волны.

4. Дать определение плоской волны.

5. Дать определение плоской однородной волны.

6. Записать векторное уравнение плоской волны, распространяющейся в положительном

направлении оси Z, для произвольной временной зависимости, комплексной амплитуды,

комплексного и действительного значений.

16

7. Записать уравнение фронта волны и вывести формулу для фазовой скорости.

8. Как связаны между собой вектора напряжённости электрического и магнитного поля в плоской

волне в среде без потерь?

9. Дать определение основных характеристик плоской однородной волны в среде без потерь:

постоянной распространения, фазовой скорости, волнового сопротивление среды.

10. Дать определение основных характеристик плоской однородной волны в среде с потерями:

постоянной распространения, фазовой скорости, волнового сопротивление среды.

11. Как связаны между собой вектора напряжённости электрического и магнитного поля в плоской

волне в среде с потерями?

12. Дать определение глубины проникновения.

13. Определить уменьшение амплитуды плоской волны в проводнике на расстоянии, равном длине

волны в проводнике.

14. Пояснить причины искажения формы импульсного сигнала при распространении плоской

волны в среде с потерями.

15. Изложить основные этапы применения метода конечных разностей во временной области.

7. ЛИТЕРАТУРА Основная:

1. Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн: Учебн.

пособие для вузов.–М.: Наука , 1989. –544 с.

2. Пименов Ю.В., Вольман В.И., Муравцев А.Д. Техническая электродинамика: Учебн. пособие

для вузов.–М.: Радио и связь, 2000.–536 с.

3. Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн: Учебн. пособие для вузов.–М.:

Высшая школа, 1992.–416 с.

Дополнительная:

4. Петров Б.М. Электродинамика и распространение радиоволн: Учебник для для вузов.– М.:

Горячая линия-Телеком, 2007.–558 с.

5. Неганов В.А., Осипов О.В., Раевский С.Б., Яровой Г.П. Электродинамика и распространение

радиоволн: Учебн. пособие для вузов.–М.: Радио и связь, 2005.–648 с.

6. Трофимова Т.А. Электромагнитные волны в неограниченном пространстве и радиоволноводах.

Учебн. пособие для вузов.–М.: Сайнс-Пресс, 2006.–64 с.

7. Taflove A., Hagness S.C. Computational electromagnetics: The finite-difference time-domain method,

3 rd. ed.– Artech House, Norwood, MA, 2005.–853 p.

17

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ

Плоская электромагнитная волна является объектом, достаточно простым для изучения и

вместе с тем очень важным для формирования физических представлений об электромагнитных

явлениях. Основу их изучения составляют уравнения Максвелла. Знание теории плоских волн дает

аппарат решения многих важных практических задач.

П1.1. Операторы векторного анализа.

В дальнейшем будем использовать форму записи уравнений электродинамики с

использованием так называемого оператора Гамильтона («набла»), который, например, в

декартовой системы координат определяется как

zyx

00 zyx0 , (П1.1)

где 00 zyx ,,0 –единичные векторы декартовой системы координат.

Это символическое обозначение дифференциальной операции, которую можно произвести как над

скалярной , так и над векторной zyx aaa ,,a функцией. В первом случае имеем

gradzyx

00 zyx0 . (П1.2)

Во втором, используя формальное правило скалярного произведения

aa divz

ay

ax

a zyx

, (П1.3)

или векторного произведения

a

zyx

aa

00

rot

aaazyx

zyx

0

, . (П1.4)

Оператор Гамильтона является, таким образом, удобным средством представления операций

векторного анализа, в частности,

graddivzyx

22

2

2

2

22 . (П1.5)

Оператор 2 называется оператором Лапласа. Его очевидным образом можно применять и к

векторным функциям.

П1.2. Система уравнений электродинамики – уравнения Максвелла для произвольной

временной зависимости.

П1.2.1. Система уравнений электродинамики. Основные уравнения электродинамики в

дифференциальной форме для произвольной временной зависимости и изотропной среды имеют

вид [1-3]:

18

JDΗ

t

, (П1.6а)

t

BΕ , (П1.6б)

0 B , (П1.6в) D (П1.6г) где t,rΕ –вектор напряжённости электрического поля, мВ ; t,rΗ –вектор напряжённости

магнитного поля, мА ; t,rD –вектор электрической индукции, 2мКулон ; t,rB –вектор

магнитной индукции, 2мВебер ; t,rJ – вектор плотности электрического тока, 2мА ; –

объёмная плотность электрических зарядов, 3мКулон .

Основные уравнения электродинамики в интегральной форме для произвольной временной

зависимости имеют вид [ 1-3 ]:

SSt

JdsDdsΗdl , (П1.7а)

St

BdsΕdl , (П1.7б)

0SBds , (П1.7в) dV

VS Dds , (П1.7г) где согласованный выбор контура Г и поверхности S для формул (П1.7 а,б) показан на рис.П1.1а;

для формул (П1.7 в, г) согласование S и V –на рис. П1.1б.

Частные случаи электромагнитных полей (электростатических, стационарных и т.п.) вытекают из

(П1.7). Материальные уравнения объединяются и дополняют приведенные выше уравнения:

ΕΕD 0а , (П1.8а) ΗΗB 0а , (П1.8б) ΕJ , (П1.8в) где ,à и ìÔ

120 10854.8

– соответственно абсолютная и относительная диэлектрические

проницаемости среды и вакуума; ,à и мГн7

0 104 –соответственно абсолютная,

относительная магнитные проницаемости среды и вакуума; –удельная электрическая

проводимость среды, мОм 1 . В общем случае параметры ,, aa , характеризующие среду, зависят от координат (неоднородная среда) и частоты.

Уравнения (П1.6) не содержат в соответствии с (П1.8в) возбуждающих (сторонних)

источников, создающих электромагнитное поле. Для этого вводятся следующие векторные

величины:

,стст JΕΕΕJ (П1.9) где стΕ – вектор напряжённости сторонних электрических сил, стJ – вектор плотности стороннего

электрического тока.

19

dS n= dSS

Г

dl= dlτ

dS n= dS

V

qS

а) б) Рис. П1.1. К уравнениям Максвелла.

Из уравнений (П1.6), (П1.7) вытекает закон сохранения заряда Q, где I – ток, протекающий

через замкнутую поверхность S

dtdQI или dV

t VS

Jds (П1.10а)

и уравнение непрерывности (дифференциальная формулировка закона сохранения заряда)

t J , (П1.10б) из которого вытекает, что силовые линии вектора плотности тока начинаются и заканчиваются в

точках, где происходит изменение плотности электрического заряда .

П1.2.2. Волновые уравнения векторов поля для произвольной временной зависимости.

Решая уравнения (П1.6), (П1.8) с заданными сторонними источниками и

соответствующими граничными условиями можно найти вектора электромагнитного поля. Однако

часто более удобным оказывается иной подход. Из системы уравнений (П1.6) можно исключить

все неизвестные величины, кроме напряжённостей поля, а затем исключить Ε или Η . В конечном

счёте получаются дифференциальные уравнения второго порядка относительно одного из

векторов.

Пусть среда является линейной и изотропной, характеризуемой ,, aa . Умножая все

члены первого уравнения на 1 , а второго – на 1 и применяя операцию rot, получаем

.

,

01

10

1

ΗΕ

JΕΗ

t

t (П1.11)

Далее входящие в правые части Ε и Η заменяем выражениями, вытекающими из первых

двух уравнений (П1.6). Это даёт

,

,

02

2

21

12

2

21

ttc

tc

JΕΕ

JΗΗ (П1.12)

20

где 001 c –скорость света. Правые части этих уравнений в общем случае нельзя

рассматривать как известные, но при 0 (среда без потерь) в соответствие с (П1.9) стJJ , т.е.

правые части (П1.12) определяются заданными источниками.

Делаем следующий шаг, полагая среду однородной ( constconst , ). Тогда, используя

векторное тождество 2 aa , приходим к уравнениям

,1

,

00

2

2

22

2

2

22

ttc

tcст

ст

ст

JΕΕ

JΗΗ (П1.13)

где оператор Лапласа 2 определён формулой (П1.5); учтено, что 0,0 DΒ , а также,

что при стJJ имеем ст , которые связаны законом сохранения заряда (П1.10б). Уравнения

с левыми частями вида (П1.13) называются уравнениями Даламбера (в данном случае векторными

уравнениями Даламбера). Если в рассматриваемой области токи и заряды отсутствуют, то правые

части (П1.13) равны нулю, а уравнения называются волновыми.

П1.2.3. Простейшее решение волнового уравнения для произвольной временной

зависимости.

Для простоты будем полагать, что волна распространяется вдоль оси x в однородной

изотропной среде без потерь ( 0 ) при 0стJ и отсутствует изменение поля по осям y и z, т.е.

0,0 zy . Тогда в соответствие со вторым уравнением (П1.13), задав ориентацию

электрического поля y 0yΕ , получим следующее волновое уравнение:

01 22

22

2

txyy , (П1.14)

где aa 1 – скорость распространения волны в среде.

Это же уравнение можно получить обратившись к (П1.6а), (П1.6б), выписав следующие

выражения для y компоненты:

xtxt

yza

zya

, , (П1.15)

и объединяя их.

Общее решение волнового уравнения (П1.14) записывается в виде прямой и обратной волн:

xtxttx yyy , , (П1.16) где y – произвольные дважды дифференцируемые волновые функции. Обсудим первое слагаемое

в (П1.16). Пусть при 0x эта функция tt yy ,0 имеет вид, показанный на рис. П1.1а, тогда

при lx (рис. П1.1б) имеем временную зависимость lttl yy , , отличающуюся лишь

21

сдвигом lttl yy ,0, . На рис. П1.1в для двух моментов времени 1t и 2t построена

величина xttx yy , , как функция времени. Поверхность, на которой волновая функция в

заданный момент времени принимает одинаковые значения, называется волновой поверхностью.

Очевидно, что эта поверхность совпадает с поверхностью равных значений аргумента. В нашем

случае уравнение волновой поверхности имеет вид constxt , откуда вытекает, что эта

поверхность представляет собой плоскость constx , движущуюся в положительном направлении

оси x со скоростью . Такая волна называется плоской волной. Второе слагаемое в (П1.16)

характеризует плоскую волну, движущуюся в отрицательном направлении оси x со скоростью .

tt yy ,0

t0

a

0t а)

/, lttl yy

t0

a

0t /0 lt б)

/, xttx yy

x0

a

1x lxx 12

1t /12 ltt

в)

Рис. П1.1 «Мгновенные снимки» распространения

импульса: а и б – во временной области; в – в

пространственной области

П1.3. Система уравнений электродинамики для гармонической временной зависимости в

комплексной форме.

Основные уравнения электродинамики в дифференциальной форме для гармонической

временной зависимости tit expRecos для комплексных амплитуд естественно вытекают из (П1.6), (П1.8), (П1.9).:

mmm i JDΗ , mm i BΕ , (П1.17а) 0 mB , mm D , (П1.17б) mmаm ΕΕD 0 , mmаm ΗΗB 0 , (П1.17в) стmmm JΕJ , (П1.17г) Переход от комплексных амплитуд mΕ к действительномуΕ осуществляется по правилу

tizyxtzyx m exp,,Re,,, ΕΕ . (П1.18) Уравнения (П1.17), учитывая уравнения непрерывности iJ типа (1.10б), можно

переписать в виде

22

.~

,0~,~

,~

i

i

i

стmmа

mа

mаm

mаст

mm

JΕ

Η

ΗΕ

ΕJΗ

(П1.19)

где ,~,~~ 00 iа 00 ~,~~ mа i – комплексные относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости соответственно. Заметим, что два последние

уравнения (П1.19) являются следствием первых двух.

П1.3.1. Волновые уравнения векторов поля для гармонической временной зависимости в

комплексной форме.

Комплексные аналоги уравнений второго порядка (П1.12) для гармонической временной

зависимости можно получить, исходя из уравнений Максвелла в комплексной форме (П1.19).

Однако проще учесть, что в силу (П1.18) всё сводится к замене: ст

mmtit JJ ,,222 и проницаемости надо рассматривать как комплексные

величины. Делая указанную замену и используя векторное тождество 2 aa и

закон сохранения заряда iJ , приходим к уравнениям

,~~,

22

22

стm

а

стmаmm

стmmm

iik

k

JJΕΕ

JΗΗ

(П1.20)

где ààkikk ~~ – комплексное волновое число (постоянная распространения).

Для тех точек пространства, в которых 0ñòmJ , уравнения (П1.20) переходят в

однородные уравнения Гельмгольца

.0

,022

22

mm

mm

kk

ΕΕΗΗ

(П1.21)

П1.3.2. Простейшее решение волнового уравнения для гармонической временной

зависимости.

Полагая по-прежнему, что волна распространяется вдоль оси x в однородной изотропной

среде 0стmJ , отсутствует изменение поля по осям y и z, т.е. 0,0 zy . Тогда в

соответствие со вторым уравнением (П1.21), задав ориентацию электрического поля mym 0yΕ ,

получим следующее волновое уравнение:

0~~222

myààmy

x

, (П1.22)

решение которого имеет вид:

xiximy àààà eex ~~~~)( , (П1.23а)

23

где ie и ie – неизвестные комплексные константы. Соответственно:

).(~~~~

00xixi

mymàààà ee yyΕ (П1.23б)

Будем далее рассматривать среду без потерь, т.е. aaaa ~,~ , и вводим обозначение

aak . Тогда для (П1.23б) имеем:

)(0ikxikx

m ee yΕ . (П1.24а)

)( )()(0kxtikxtiti

m eee yΕΕ . (П1.24б)

Переходя от комплексных амплитуд к действительным значениям в соответствие с (П1.18)

получаем:

kxtkxt coscos0yΕ . (П1.25) Рассмотрим первое слагаемое в (П1.25). По аналогии со случаем произвольной временной

зависимости поверхность, на которой фаза этого выражения в заданный момент времени

принимает одинаковые значения, называется волновой поверхностью или фронтом волны.

Очевидно, что эта поверхность совпадает с поверхностью равных значений constkxt .

Очевидно, что эта поверхность является плоскостью constx , движущуюся в положительном

направлении оси x с волновой скоростью dtdx , которая находится путём дифференцирования

уравнения фронта волны по времени:

aaaak 1 . (П1.26) Такая волна называется плоской волной. Поскольку амплитуда A постоянна в плоскости

фронта волны, то её характеризуют как однородную. На рис.П1.2 построены два мгновенных

распределения гармонической волны в пространстве для различных моментов времени.

Пространственный период приращения координаты x, при котором фаза волны изменяется на 2 ,

называется длиной волны , таким образом 2k . Следовательно, учитывая (П1.18),

постоянная распространения (волновое число) k имеет два выражения:

2k . (П1.27) Учитывая, что Tf 22 , имеем также:

Tf . (П1.28) Второе слагаемое в (П1.25) характеризует плоскую волну, движущуюся в отрицательном

направление оси x со скоростью .

Для определения структуры электромагнитного поля плоской волны обратимся к уравнения

(П1.15), записав любое из них, например первое, для случая гармонической временной

зависимости в комплексной форме, используя (П1.24б). В результате получим zуa iki , или

Wk aaaaaazу , Ом – волновое сопротивление среды.

Таким образом, для волны, распространяющейся в положительном направлении оси x

можем записать:

24

)()(0 , kxtikxti eWe 0zΗyΕ . (П1.29а) и, переходя от комплексных значений к действительным

kxtWkxt cos,cos 00 zΗyΕ . (П1.29б) Таким образом, для плоской волны в среде без потерь амплитуды связаны волновым

сопротивлением, поля синфазны и ортогональны в пространстве (рис.П1.3).

0

txy ,

x1x lx 1

lk/

t0t

x

y

z

0z

0y0x

E

H П

Рис. П1.2. «Мгновенный снимок» распространения плоской

гармонической волны в среде без потерь

Рис. П1.3. К взаимосвязи электрического и

магнитного векторов в плоской волне.

П1.4. Плоские электромагнитные волны в среде с потерями.

Распространение волн в реальных средах сопровождается в той или иной степени к их

затуханию. Рассмотрим этот процесс на примере плоской электромагнитной волны,

распространяющейся в среде с потерями.

П1.4.1. Основные соотношения для плоских электромагнитных волн в среде с потерями.

В средах, обладающих потерями в соответствие с (П1.19), диэлектрическая

00 ~,~~ ià и магнитная проницаемость имеют комплексный вид. Пренебрегая магнитными потерями в среде (что оправдано в рассматриваемом случае) – волновое число также

будет комплексным:

)(1~ 0 ikikk aaaà . (П1.30) Подставляем комплексное волновое число в (П1.23б), осуществляем традиционный переход от

комплексных амплитуд к действительным значениям векторов и, выделив волну,

распространяющуюся в положительном направлении оси x , получаем по аналогии с (П1.29б):

xkte xki cos0yΕ , Wxki xkteW cos0zΗ ,(П1.31) где учтено, что Wiaa eWW

~ .

Выражение (П1.31) интерпретируется как плоская затухающая волна, распространяющаяся

вдоль оси x с фазовой скоростью (сравнить с (П1.28)):

k , (П1.32) где величина k , называемая коэффициентом фазы, играет в сущности ту же роль, что и

вещественное k в случае волны в среде без потерь.

25

Длина волны по-прежнему представляет собой расстояние, на котором (в

фиксированный момент времени) происходит изменение фазы на 360°, но «пространственным

периодом» поля уже не является (сравни с (П1.27)):

2k . (П1.33) Величина k носит название коэффициента затухания (рис.П1.4). Отношение

)exp( lklxx yy . (П1.34) показывает, во сколько раз уменьшилась амплитуда волны на расстоянии l. Под затуханием L

понимают величину, которая измеряется в неперах [Нп] или децибелах [дБ]:

,)exp(ln lklkL Нп или ,69,8)exp(lg lklkL дБ . (П1.35)

txy ,

x

0t

0

t

Рис. П1.4. «Мгновенный снимок» распространения плоской

гармонической волны в среде с потерями.

П1.4.2. Плоские волны в диэлектриках и проводниках.

Чтобы получить количественную оценку коэффициентов фазы и затухания необходимо

установить их связь с электрофизическими параметрами среды ,, aa . Для этого обратимся к

формуле (П1.30), из которой после разделения действительной и мнимой частей получим

следующие соотношения:

,1121,11

21 22 tgkktgkk (П1.36)

где введены обозначения atg – тангенс угла диэлектрических потерь, aak –

постоянная распространения для среды без потерь. На (рис. П1.5) представлены относительные

величины kk и kk , рассчитанные по точным формулам (П1.36).

Если 1tg , т.е. среда диэлектрик с малыми потерями, тогда 211 22 tgtg и для

(П1.28) получаем следующие приближённые формулы:

22

, tgc

tgkkc

kk aa . (П1.37)

Вычисляя волновое сопротивление, в том же приближении находим:

21

1~

00

tgiWitg

WW aa . (П1.38)

26

0 2 4 6 108

2

1

tg

kkkk /",/'

kk /'

kk /"

2tg

2tg

(диэлектрик)

(проводник)

Рис. П1.5. Зависимости коэффициентов фазы и

затухания от тангенса угла диэлектрических

потерь.

Формула (П1.37) показывают, что вещественная часть комплексного волнового числа

волны, распространяющейся в диэлектрике с потерями, лишь незначительно отличается от

волнового числа волны в идеальном диэлектрике. То же можно сказать о фазовой скорости и

длине волны. Эти величины практически не зависят от частоты, как и коэффициент затухания k ,

пропорциональный тангенсу угла потерь; затухание является слабым ввиду малости последнего.

Пусть теперь 1tg , т.е. среда неидеальный проводник. Соответственно из (П1.36) имеем:

220 tgkkk . (П1.39)

Далее,

21

1~ 0

00 itgiW

itgWW aa

. (П1.40)

Обратимся к графикам на рис. П1.5, которые наглядно демонстрируют области применения

формул (П1.37), (П1.39).

При распространении волны в проводнике ее амплитуда резко убывает (П1.39). Расстояние

, на котором амплитуда волны уменьшается в e раз, называется глубиной проникновения. Из

(П1.34) следует, что

021 k . (П1.41)

П1.4.3. Явление дисперсии и групповая скорость.

Как следует из (П1.26) для случая распространения плоской волны в среде без потерь

фазовая скорость не зависит от частоты. Напомним, что зависимость фазовой скорости от частоты

называется дисперсией. В этом случае (например, в средах с потерями – (П1.37), (П1.39); в

металлических волноводах) при распространении сигнала с конечной полосой частот фазовая

скорость не определена и вводится понятие групповой скорости.

Существование дисперсии необходимо учитывать, оценивая распространение

электромагнитных сигналов – волновых процессов переносящих информацию. Сигналы, как

известно, всегда обладают некоторым спектром частот. В дисперсионной среде скорости

27

распространения каждой из гармоник частотного спектра различны (П1.36). Поэтому, преодолев

некоторое расстояние, эти гармонические составляющие приобретут различные фазовые

запаздывания. Сложение этих гармоник с новыми фазовыми сдвигами обязательно приведет к

искажению сигнала (формы импульса). По мимо этого, в среде с потерями амплитуда каждой из

гармоник затухает по-разному (П1.34) и (П1.36), что также приводит к дополнительным

искажениям. Рассмотренное явление обусловлено характеристиками среды, поэтому назовем его

материальной дисперсией, в отличие от численной дисперсии (см. П2.3.2), обусловленной

пространственно-временной дискретизацией области моделирования. Дисперсия может быть

мала, например, (П1.37), тогда она почти не сказывается на распространении сигналов пока не

велики расстояния.

Для иллюстрации характеристики групповой скорости рассмотрим распространение двух

гармонических сигналов в дисперсионной среде

xtixtiy eetx 00, или

xtetx xtiy cos2, 0 , (П1.42)

где величина играет в сущности ту же роль, что и вещественное k в случае волны в среде без

потерь, –фазовая константа на частоте . Сигнал (П1.42) представлен в виде

произведения двух сомножителей – несущей и огибающей, что отражено на рис. П1.6. Скорость

распространения огибающей xttxS cos, по аналогии с (П1.26) равна . В пределе 0,0 эта скорость распространения огибающей, называемая групповой, равна

ddddгр 1 . (П1.43)

Групповая скорость совпадает со скоростью распространения энергии, определяемой вектором

Пойнтинга

02200 /cos,Re21 Wxt

zΗΕΠ , (П1.44)

где для свободного пространства ОмW ,1200 , - знак сопряжения.

Рис. П1.6. К понятию групповой скорости.

28

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ

Решение любой электродинамической задачи основывается на решении уравнений

электродинамики (или эквивалентных соотношений) с граничными условиями, условиями на

бесконечности (для внешних задач) и дополнительными требованиями, учитывающими

сингулярность решения. Аналитические методы наглядны, как правило, более просты и экономны

при реализации, однако их применение достаточно ограничено. Численные методы позволяют

решать задачи для сложных областей, неоднородных и анизотропных сред, анализировать

процессы в широкой полосе частот и т.д., однако они требуют значительной предварительной

подготовки и существенных вычислительных затрат.

Среди численных методов выделим проекционные методы (моментов–method of moments,

Ритца) и три сеточных метода: метод конечных разностей –МКР (finite difference method –FDM),

метод конечных разностей во временной области–МКРВО (finite difference time-domain method–

FDTD) и метод конечных элементов–МКЭ ( finite element method –FEM ).

МКРВО достаточно прост при формулировке, сеточной дискретизации и реализации, легко

учитывает анизотропные и неоднородные материалы. Эффективность метода обусловлена

отсутствием матричных уравнений и возможностью за один проход с помощью Фурье-

преобразования проанализировать характеристики в полосе частот. Одним из отличительных

свойств метода конечных разностей во временной области (КРВО) является возможность

иллюстрации процесса распространения электромагнитной волны в пространстве с течением

времени, т.е. создав