борник индивидуальных заданий по...

ГАОУ ВО «Дагестанский государственный

университет народного хозяйства»

КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ

Миспахов Арсен Шарафидинович

Сборник индивидуальных заданий

по математике. Раздел: Тригонометрические функции.

(для студентов 1 курса всех специальностей Бизнес-колледжа)

Махачкала 2017

2

Миспахов А.Ш. Сборник индивидуальных заданий по математике. Раздел:

Тригонометрические функции – Махачкала: ДГУНХ, 2017г., 59 с.

Пособие содержит задачи и упражнения по всем основным темам

раздела «Тригонометрические функции». По всем темам приведен в краткой

форме теоретический материал. Подробные решения примеров помогут

студентам при подготовке к практическим, лабораторным занятиям, при

сдаче зачетов и экзаменов, а также для выполнения самостоятельных работ.

Сборник индивидуальных заданий по математике. Раздел:

«Тригонометрические функции» на сайте www.dgunh.ru.

Одобрено на заседании кафедры

математики 27 декабря 2016г.,

протокол № 10

Зав. кафедрой к.ф.м.н., доцент

Назаров А.Д.

http://www.dgunh.ru/

3

Содержание.

§ 1. Единичная тригонометрическая окружность. Тригонометрические

функции числового аргумента. Основные формулы тригонометрии………....4

ИЗ №1…………………………………………………………..………………….9

§2. Тригонометрические функции, их свойства и графики. Построение

графиков тригонометрических функций с помощью геометрических

преобразований графиков…………………………………………….................17

2.1. Тригонометрические функции, их свойства и графики………………..…17

2.2. Построение графиков тригонометрических функций с помощью

геометрических преобразований графиков……………………….…………...19

ИЗ №2…………………………………………………………………………….27

§ 3. Обратные тригонометрические функции…………………………………30

ИЗ №3…………………………………………………………………………….33

§ 4. Тригонометрические уравнения…………………………………………....36

4.1. Простейшие тригонометрические уравнения……………………….….....36

4.2. Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным……………..37

4.3. Однородные тригонометрические уравнения……………………...….….38

4.4.Решение тригонометрических уравнений, введением вспомогательного

угла……………………………………………………39

4.5. Решение тригонометрических уравнений, используя формулы

преобразования произведения в сумму и обратно…………………….………40

4.6.Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной

подстановки……………………………………………………………….….…..41

ИЗ №4…………………………………………………………...……………….42

§ 5. Тригонометрические неравенства…………………………………….…...47

5.1 . Неравенства вида ax sin , ax sin , ax sin , ax sin …………….…….48

5.2. Неравенства вида ax cos , ax cos , ax cos , ax cos …….……….........50

5.3. Неравенства вида atgx , atgx , atgx , atgx ……….……...………....52

5.4. Неравенства вида actgx , actgx , actgx , actgx ………………….…54

ИЗ №5…………………………………………………………………………….56

4

§ 1. Единичная тригонометрическая окружность.

Тригонометрические функции числового аргумента.

Основные формулы тригонометрии.

Единичная тригонометрическая окружность – это окружность, с

радиусом 1 и центром в начале координат.

Горизонтальный (ось Ох) и вертикальный (ось Оу) диаметры делят

числовую окружность на четыре четверти.

Начальная точка А единичной тригонометрической окружности

находится на оси x и имеет координаты (1; 0).

Отсчет по единичной тригонометрической окружности может вестись

как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки.

Отсчет от точки А против часовой стрелки называется

положительным направлением. Отсчет от точки А по часовой стрелке

называется отрицательным направлением.

Возьмем точку В(х;у) на окружности.

Вектор OB , соединяющий начало координат с произвольно выбранной

точкой плоскости В(х,y), называется радиус-вектором этой точки . Опустим

перпендикуляры на оси координат. Проекции точки В(х;у) на оси координат

равны х и у соответственно. Рассмотрим прямоугольный треугольник ОАВ.

xx

OB

OA

1cos ; y

y

OB

AB

1sin

5

Синус угла , образованного радиус-вектором точки на единичной

окружности с положительным направлением оси Ox, есть ордината этой

точки, т.е. : ysin .

Косинус угла , образованного радиус-вектором точки на единичной

окружности с положительным направлением оси Ox, есть абсцисса этой

точки: ycos .

Синус и косинус определены для любого угла и связаны между собой

(по теореме Пифагора) равенством: 1cossin 22 , которое называется

основным тригонометрическим тождеством.

Отношение синуса угла к косинусу того же угла называется

тангенсом угла :

cos

sintg или

x

ytg .

Тангенс определен для всех углов, кроме n

2

, Zn , где

02

cos

n

, Z - множество целых чисел.

Отношение косинуса угла к синусу угла называется котангенсом

угла :

sin

costg или

y

xtg .

Котангенс определён для всех углов, кроме n , Zn , где 0sin n ,

Z - множество целых чисел.

Так как точка В лежит на единичной тригонометрической окружности

11,11 yx . Следовательно, 1cos,1sin .

Отрезок на оси Оx от -1 до 1 называется линией косинусов.

Отрезок на оси Оy от -1 до 1 называется линией синусов.

0cos,cos

sin

x

y

OA

ABtg , 0sin,

sin

cos

y

x

AB

OActg .

Линия тангенсов параллельна оси Оy и проходит через точку (1;0)

Линия котангенсов параллельна оси Оx и проходит через точку (0;1)

6

Радианная мера угла.

Угол в 1 радиан – центральный угол, длина дуги которого равна

радиусу окружности. Радианная и градусная меры связаны зависимостью

0180 радиан.

.180

1,180

1 00

радианрадиан

Периодичность тригонометрических функций .

Период косинуса равен 2 : cos)2( nсos .

Период синуса равен 2 : sin)2sin( n .

Период тангенса равен : tgntg )( .

Период котангенса равен : ctgnctg )( .

Четность и нечетность тригонометрических функций.

cos)( сos , sin)sin( , tgtg )( , ctgctg )(

Знаки тригонометрических функций.

Значения тригонометрических функций при некоторых углах.

0

00

6

030

4

045

3

060

2

090 3

2

0120

4

3

0135

6

5

0150

0180

sin 0

2

1

2

2

2

3

1

2

3

2

2

2

1

0

cos 1

2

3

2

2

2

1

0 -

2

1 -

2

2 -

2

3

-1

tg 0

3

3

1 3 - - 3 -1 -

3

3

0

7

ctg - 3 1

3

3

0 -

3

3

-1 - 3 -

Формулы приведения.

Функции Угол

2

2

3 2

sin cos sin -cos sin

cos sin -cos sin cos

tg ctg tg ctg tg

ctg tg ctg tg ctg

Основные тригонометрические тождества.

1sincos 22 , ,cos

11

2

2

tg ,

sin

11

2

2

ctg

,cos

sin

tg

sin

cosctg ,

tgctg

1 .

Формулы для суммы и разности элементов.

sincoscossin)sin( , sincoscossin)sin( ,

sinsincoscos)cos( , sinsincoscos)cos( ,

tgtg

tgtgtg

1)( ,

tgtg

tgtgtg

1)( ,

ctgctg

ctgctgctg

1)( ,

ctgctg

ctgctgctg

1)( .

Формулы двойных, тройных и половинных аргументов.

cossin22sin , 1cos2sin21sincos2cos 2222 ,

21

22

tg

tgtg

,

ctg

ctgctg

2

12

2 ,

2

2cos1cos,

2

2cos1sin 22

,

2sin

2cos1

2cos1

2sin

tg ,

3sin4sin33sin , cos4cos43cos 3 .

Формулы преобразования произведения в сумму и обратно.

,)sin()sin(2

1cossin ,)cos()cos(

2

1coscos

.)cos()cos(2

1sinsin

2cos

2sin2sinsin

2cos

2sin2sinsin

2sin

2sin2coscos

2cos

2cos2coscos

8

Примеры.

1. Выразите в радианной мере величины углов: 000 72,216,50 .

Решение: ,18

5

18050500

,5

6

1802162160

5

2

18072720

.

2. Выразите в градусной мере величины углов: 12

7 ,

4

5, 2,0 .

Решение: 00

10512

1807

12

7

, 0

0

2254

1805

4

5

, 0

0

365

180

52,0

3. Приведите тригонометрическую функцию произвольного аргумента к

тригонометрической функции острого угла: 0405sin , 0863tg , 5

18cos

,

4

21ctg .

Решение: 0000 55sin)55360sin(415sin ,

00000 3737371805863 tgtgtgtg ,

5

2cos

5

2cos

5

24cos

5

18cos

,

4

5

45

4

21

ctgctgctg

.

4. Найдите значения других трех основных тригонометрических функций,

если 5

3sin ,

2

3 .

Решение: Из основного тригонометрического тождества получим

2sin1cos . Угол : 2

3 находится в III четверти,

следовательно 0cos , 0tg , 0ctg . Таким образом,

5

4

25

16

25

91

5

31sin1cos

2

2

.

4

3

5

4:

5

3

cos

sin

tg ,

3

4

5

3:

5

4

sin

cos

ctg .

5. Упростите выражение

sin2sin

2coscos1

.

Решение:

1cos2sin

1cos2cos

1cos2sin

coscos2

sincossin2

1cos2cos1

sin2sin

2coscos1 22

tg

cos

sin.

9

6. Упростите выражение 22

5

3sin

10sin

5

3cos

10cos

5

2sin

10

3cos

5

2cos

10

3sin

.

Решение:

22

5

3sin

10sin

5

3cos

10cos

5

2sin

10

3cos

5

2cos

10

3sin

110

7cos

10

7sin

5

3

10cos

5

2

10

3sin 22

22

.

7. Докажите тождество

2

tg

tgtg

tg

tgtg.

Решение:

tgtg

tgtgtgtg

tgtg

tgtgtgtg

tg

tgtg

tg

tgtg

1:

1:

2111

1

1

1

tgtgtgtg

tgtg

tgtgtgtg

tgtg

tgtgtgtg.

ИЗ № 1.

1. Выразите в радианной мере величины углов.

1.1. 000 60,135,10 ;

1.2. 000 90,150,18 ;

1.3. 000 130,144,30 ;

1.4. 000 36,135,54 ;

1.5. 000 180,120,15 ;

1.6. 000 36,125,20 ;

1.7. 000 30,225,40 ;

1.8. 000 18,240,45 ;

1.9. 000 210,150,36 ;

1.10. 000 252,72,60 ;

1.11. 000 270,108,72 ;

1.12. 000 144,135,120 ;

1.13. 000 36,210,75 ;

1.14. 000 90,54,100 ;

1.15. 000 75,160,45 ;

1.16. 000 60,15,216 ;

1.17. 000 180,72,130 ;

1.18. 000 150,120,54 ;

1.19. 000 30,108,18 ;

1.20. 000 240,45,252 ;

1.21. 000 60,15,210 ;

1.22. 000 120,144,50 ;

1.23. 000 300,135,108 ;

1.24. 000 36,315,30 ;

1.25. 000 18,216,10 ;

1.26. 000 135,150,55 ;

1.27. 000 30,54,72 ;

1.28. 000 144,75,60 ;

10

1.29. 000 90,50,210 1.30. 000 100,300,15 .

2. Выразите в градусной мере величины углов.

2.1.

3,0,5

,6

7 ;

2.2.

2,0,9

7,

18

5 ;

2.3.

4,1,18

11,

9

5 ;

2.4.

5,1,5

4,

36

5 ;

2.5.

8,0,3

2,

9

7 ;

2.6.

7,1,18

5,

36

7 ;

2.7.

25,0,5

4,

3

2 ;

2.8.

125,0,6

,9

8 ;

2.9.

6,0,5

6,

18 ;

2.10.

4,1,36

11,

9

2.11.

5,0,9

2,

4

3

2.12.

9,0,9

5,

5

2

2.13.

7,0,5

3,

9

4

2.14.

2,1,36

13,

18

7

2.15.

3,1,5

2,

36

17

2.16.

4,0,3

,3

5

2.17.

1,1,6

7,

36

19

2.18.

25,1,18

13,

3

2.19.

125,1,5

3,

6

11

2.20.

6,0,36

29,

5

4

2.21.

8,1,9

5,

18

19

2.22.

3,0,4

,36

5

2.23.

9,0,4

3,

18

11

2.24.

7,1,9

4,

36

23

2.25.

4,1,9

11,

5

2

2.26.

2,1,5

,36

17

2.27.

1,0,36

19,

9

8

2.28.

25,1,4

3,

18

5

2.29.

4,0,36

11,

9

13

2.30. 46,1,9

5,

18

3. Приведите тригонометрическую функцию произвольного

аргумента к тригонометрической функции острого угла:

3.1. 7

18),523(,

9

11cos,340sin 00

ctgtg

;

11

3.2. 6

11,447,

8

13sin,295cos 00

tgctg

;

3.3.

6

17,392,

8

15cos),305sin( 00

ctgtg ;

3.4.

5

11),682(,

3

13cos,)267sin( 00

tgctg ;

3.5.

5

9,287,

4

17sin),305cos( 00

tgctg ;

3.6.

5

7),451(,

4

13sin,365cos 00

ctgtg ;

3.7.

5

12),341(,

7

15cos),319sin( 00

tgctg ;

3.8.

3

10,700,

4

17sin,279cos 00

ctgtg ;

3.9.

3

13),507(,

4

17cos,351sin 00

ctgtg ;

3.10. 6

17),451(,

7

16sin,284cos 00

ctgtg

;

3.11. 5

12),605(,

3

14cos,)353sin( 00

tgctg ;

3.12. 3

16),361(,

7

12sin),500cos( 00

ctgtg ;

3.13. 6

19),235(,

4

11sin,423cos 00

ctgctg

;

3.14. 5

12),506(,

5

16cos,)289sin( 00

ctgtg ;

3.15. 3

11),521(,

6

19sin,304cos 00

ctgtg

;

3.16. 5

12),424(,

9

15cos,312sin 00

ctgtg

;

3.17. 3

10,308,

8

15sin,312cos 00

tgctg

;

3.18.

6

15,289,

7

17cos),316sin( 00

ctgtg ;

3.19.

5

14),603(,

5

12cos,)209sin( 00

tgctg ;

12

3.20.

5

11,247,

6

13sin),235cos( 00

tgctg ;

3.21.

5

13),521(,

4

11sin,284cos 00

ctgtg ;

3.22.

6

17),311(,

5

14cos),306sin( 00

tgctg ;

3.23.

7

12,600,

5

21sin,299cos 00

ctgtg ;

3.24.

5

14),520(,

6

17cos,451sin 00

ctgtg ;

3.25. 5

18),423(,

7

17sin,286cos 00

ctgtg

;

3.26. 6

19),612(,

7

12cos,)344sin( 00

tgctg ;

3.27. 5

18),345(,

7

13sin),501cos( 00

ctgtg ;

3.28. 5

11),335(,

4

15sin,403cos 00

ctgctg

;

3.29. 5

11),516(,

5

13cos,)279sin( 00

ctgtg ;

3.30. 3

10),552(,

6

17sin,334cos 00

ctgtg

.

4. Найдите значения других трех основных тригонометрических

функций, если

4.1. 13

12sin ,

2;

4.2. 6,0cos ,

2

;

4.3. 5

3sin ,

2

2

3 ;

4.4. 8,0sin , 2

3 ;

4.5. 13

5cos ,

2

3 ;

4.6. 13

12cos ,

2

2

3 ;

4.7. 6,0sin , 2

3 ;

4.8. 13

5sin ,

2;

4.9. 5

3cos ,

2;

4.10. 13

12sin ,

2

2

3 ;

4.11. 8,0cos ,

2

;

4.12. 13

12sin ,

2

3 ;

13

4.13. 6,0cos , 2

3 ;

4.14. 5

4cos ,

2;

4.15. 13

5sin ,

2

3 ;

4.16. 5

3sin ,

2;

4.17. 13

12cos ,

2

3 ;

4.18. 5

3cos ,

2

3 ;

4.19. 5

4sin ,

2;

4.20. 6,0sin ,

2

;

4.21. 13

5cos ,

2;

4.22. 8,0sin ,

2

;

4.23. 5

4cos ,

2

2

3 ;

4.24. 5

4sin ,

2

3 ;

4.25. 8,0cos , 2

3 ;

4.26. 5

3sin ,

2

3 ;

4.27. 5

4cos ,

2

3 ;

4.28. 8,0cos ,

22

3 ;

4.29. 5

4sin ,

2

2

3 ;

4.30. 13

12cos ,

2.

5. Упростите выражение

5.1. 2sincossin2 ;

5.2.

sin

cos1cos1 ;

5.3.

cos1

sin1

tg;

5.4.

cos

cossin

cossin21

;

5.5.

cos

)sin1)(sin1( ;

5.6. 2)(cos2cos

2sin1

tg

;

5.7. ctgβtgβctgα

tgα ;

5.8.

ctgtg

2

2

cos1

sin1 ;

5.9. 22 1sin1 tg ;

5.10. 2222 sinsincos ctg ;

5.11. 442 sincoscos ;

5.12. ctgtg 222 sinsin ;

5.13.

sincos

cos21 2

;

5.14.

2

4

2

cos

1sintg

;

5.15.

sin2sin

2coscos1

;

5.16. 22 cos2cos1 ctg ;

5.17. 2222 sinsin tgtg ;

5.18. 22cos3sin2cos2sin3

;

5.19.

cos

sin

cos2

ctgtg

;

14

5.20. 2sincossin2 ;

5.21. 22 1cos1 ctg ;

5.22.

sin

sin

2sin ctg ;

5.23.

ctg2cos

2sin;

5.24. 2

cossin

2sin1

;

5.25.

sincos

2cos

;

5.26. 44 sincos ;

5.27.

sincos

2sin1

;

5.28. tgsctg 1co1sin 22 ;

5.29.

2cos

sincos 44 ;

5.30.

2

2

cos1

cos2cos

.

6. Упростить выражение.

6.1. sin3sin2cos3cos2sin ;

6.2. 5cos3cos2cos3sin2sin ;

6.3. 5

sin15

2cos

5cos

15

2sin

;

6.4. 42

sin7

sin42

cos7

cos

;

6.5. 2

21

4sin

7cos

21

4cos

7sin

;

6.6. 29sin54sin9cos54cos 0000 ;

6.7. 0000 18sin12cos18cos12sin2 ;

6.8. 0000

0000

8sin17cos8cos17sin

40sin65sin40cos65cos

;

6.9. xxxxx 2coscos3sin2sinsin ;

6.10. 2000020000 10sin40sin10cos40cos12sin38cos12cos38sin ;

6.11. xxxxx sin2cossin2sincos ;

6.12. xxxxx3

1cos

2

1

3

2sin

3

1sin

3

2cos

3

1cos ;

6.13. 11cos7cos4cos4sin7sin ;

6.14. 0000

0000

13sin10cos13cos10sin


;

6.15. 11sin37cos4sin4cos7sin ;

15

6.16. 2

12sin

3cos

12cos

3sin

;

6.17. 42

5sin

7

2sin

42

5cos

7

2cos

;

6.18.

15sin

5

2cos

15cos

5

2sin2

;

6.19. 220

sin5

sin20

cos5

cos

;

6.20. 0000

0000

20sin5sin20cos5cos


;

6.21. 20000 33sin123cos33cos123sin ;

6.22. xxxxx 3sin2cos5sin23cos2sin ;

6.23. 0000

0000



;

6.24. xxxxx 5,2sin5,1sincos5,1cos5,2cos ;

6.25. 2000020000 10sin15sin10cos15cos10sin35cos10cos35sin ;

6.26. xxxxx 7sin4sin3cos7cos4cos ;

6.27. 30000 14sin104sin14cos104cos ;

6.28. 2

40sin12sin28cos12cos28sin 00000 ;

6.29. 0000

0000



;

6.30. xxxxx 3sin4cos7sin3cos4sin .

7. Докажите тождество.

7.1. 2cossincossin22 ;

7.2.

2

2

22 sinsin

1cos ctg ;

7.3. 4sin2

12coscossin2 ;

7.4.

sincossin

1 ctg ;

7.5.

tg

sin1

cos

sin1

cos

2

1;

7.6. 4sinsincos2cos4 ;

7.7.

cossincos

1 tg ;

16

7.8.

ctg

2sin2cos1

2sin2cos1;

7.9.

ctg2cos

cos1

sin

cos1

sin

;

7.10.

22

2

2

coscoscos

sin1

tg ;

7.11.

sin

1

cos1

sin1

tg;

7.12.

sincos

cossin

1sin2 2

;

7.13.

cossin

cossin1

sincos 33

;

7.14.

2

2

coscos

sincos

tgctg ;

7.15. 12cos

sincos 44

;

7.16.

tg

2cos2sin1

2cos2sin1;

7.17.

1cossin

2sin12

;

7.18.

2

2

2

2

2 1

1tg

ctg

ctg

tg

tg

;

7.19. 2cossincos 44 ;

7.20.

cossin

sincos

2cos

;

7.21.

2

2

22 coscos

1sin tg ;

7.22.

ctg

cos1

sin

sin

1;

7.23.

cossin

cossin

sin21 2

;

7.24.

cos2

cossinsin

2sincos222

;

7.25.

2cos

12sin22cos

tgctg;

7.26. tgctgtg 222 sinsin ;

7.27. 2442 sinsincoscos ;

7.28.

sincos

cossin

2sin1

;

7.29. 111 2

2

2

2

ctg

ctg

tg

tg;

7.30. 2222 cos1 ctgtgctg .

17

§2. Тригонометрические функции, их свойства и графики.

Построение графиков тригонометрических функций с помощью

геометрических преобразований графиков.

2.1. Тригонометрические функции, их свойства и графики.

Основными тригонометрическими функциями являются функции

y=sin(x), y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x).

1. Функция y=sin(x). График функции y=sin(x) – синусоида:

Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось.

2. Функция ограниченная. Множество значений – отрезок [-1;1].

3. Функция нечетная.

4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом

равным 2π.

5. Нули функции: (πk;0) , где k – целое.

6. Интервалы знакопостоянства: 0sin x при nnx 2;2 , Zn ;

0sin x при nnx 22;2 , Zn .

2. Функция y= cos(x). График функции y= cos(x):


1. Область определения вся числовая ось.

2. Функция ограниченная. Множество значений – отрезок [-1;1].

3. Функция четная.


равным 2π.

18

5. Нули функции:

０;

2k

, где k – целое.

6. Интервалы знакопостоянства: 0cos x при

nnx

2

2;2

2, Zn ;

0cos x при

nnx

2

2

3;2

2, Zn .

3. Функция y=tg(x).

График функции y=tg(x) – тангенсоида:


1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида

kx

2, где k – целое.

2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.



равным π.

5. Нули функции: (πk;0) , где k – целое.

6. Интервалы знакопостоянства: 0tgx при

nnx

2; , Zn ;

0tgx при

nnx

;

2, Zn .

4. Функция y=ctg(x).

График функции y=ctg(x):

19

Основные свойства: 1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида

x=πk, где k – целое.

2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.



равным π.

5. Нули функции:

０;

2k

, где k – целое.

6. Интервалы знакопостоянства: 0ctgx при

nnx

2; , Zn ;

0ctgx при

nnx

2;

2, Zn .

2.2. Построение графиков тригонометрических функций с

помощью геометрических преобразований графиков.

Виды преобразований графиков функций.

1. Сжатие графика к оси ординат.

Правило: чтобы построить график функции kxf , где 1k , нужно

график функции xf сжать к оси Оу в k раз.

Пример 1

Построить график функции xy 2sin . Сначала строим график

xy sin . Период 2T .

Сжимаем синусоиду к оси Оу в 2 раза:

20

Таким образом, график функции xy 2sin получается путём сжатия

графика xy sin к оси ординат в два раза.

Период функции xy 2sin равен .

В целях самоконтроля можно взять 2-3 значения «икс» и устно либо

на черновике выполнить подстановку:

Смотрим на чертёж, и видим, что это действительно так.

Пример 2

Построить график функции xy 3cos .

График функции xy cos сжимается к оси Оу в 3 раза:

Период T функции xy cos равен 2 , период функции xy 3cos

составляет 3

2.

2. Растяжение графика функции от оси ординат

Правило: чтобы построить график функции

x

kf

1, где 1k , нужно

график функции xf растянуть от оси Оу в k раз.

Пример 3 Построить график функции 2

sinx

y . Строим

график xy sin .

21

Период 2T .

И растягиваем синусоиду от оси Оу в 2 раза:

То есть, график функции 2

sinx

y получается

путём растяжения графика xy sin от оси ординат в два раза.

Период итоговой функции увеличивается в 2 раза: 422 T .

3. Сдвиг графика влево/вправо вдоль оси абсцисс

Если к аргументу функции добавляется постоянная, то происходит

сдвиг (параллельный перенос) графика вдоль оси Ох.

Рассмотрим функцию )(xfy и положительное число b :

Правило:

1) чтобы построить график функции )( bxfy , нужно

график )(xfy сдвинуть вдоль оси Ох на b единиц влево;

2) чтобы построить график функции )( bxfy , нужно

график )(xfy сдвинуть вдоль оси ОХ на b единиц вправо.

Пример 4

Построить график функции

2sin

xy .

График синуса xy sin сдвинем вдоль оси Ох на 2

влево:

22

Внимательно присмотримся к полученному красному

графику

2sin

xy Это в точности график косинуса xy cos . Мы

получили геометрическую иллюстрацию формулы

приведения xx cos2

sin

.

График функции xy cos получается путём сдвига

синусоиды xy sin вдоль оси Ох на 2

единиц влево.

Рассмотрим композиционное правило, когда аргумент

представляет собой линейную функцию: )( bkxf , при этом 0,0 bk .

Функцию )( bkxf необходимо представить в

виде

k

bxkfbkxf )( и последовательно выполнить следующие

преобразования:

1) График функции )(xf сжимаем (или растягиваем) к оси (от оси)

ординат: )(kxf .

2) График полученной функции )(kxf сдвигаем влево (или вправо)

вдоль оси абсцисс на k

b единиц, в результате чего будет построен

искомый график )( bkxf .

Пример 5

Построить график функции

22sin

xy

Представим функцию в виде

42sin

xy и выполним следующие

преобразования: синусоиду xy sin сожмём к оси Оу в два

раза: xy 2sin .

2) сдвинем вдоль оси Ох на 4

влево:

22sin

xy .

http://www.mathprofi.ru/trigonometricheskie_tablicy.pdf

http://www.mathprofi.ru/trigonometricheskie_tablicy.pdf

23

Пример, вроде бы, несложный, а сделать ошибку в параллельном

переносе легко. График сдвигается на4

, а вовсе не на

2

.

4. Растяжение графика вдоль оси ординат.

Правило: чтобы построить график функции )(xmfy , где 1m ,

нужно график функции )(xfy растянуть вдоль оси Оу в m раз.

Пример 6

Построить график функции xy sin2 . Строим график функции

xy sin :

И вытягиваем синусоиду вдоль оси Оу в 2 раза:

Период функции xy sin2 не изменился и составляет 2T , а вот

24

значения (все, кроме нулевых) увеличились по модулю в два раза.

Область значений функции xy sin2 : 2;2)( yE .

5. Сжатие графика вдоль оси ординат.

Правило: чтобы построить график функции m

xfy

)( , где 1m ,

нужно график функции )(xfy сжать вдоль оси Оу в m раз.

Пример 7

Построить график функции xy sin2

1 .

Строим график функции xy sin :

Теперь сжимаем синусоиду вдоль оси Оу в 2 раза:

Аналогично, период 2T не изменился, а область значений

функции xy sin2

1 :

2

1;

2

1)(yE .

6. Симметричное отображение графика относительно оси

абсцисс

Правило: чтобы построить график функции )(xfy , нужно

график )(xfy отобразить симметрично относительно оси Ох.

Пример 8

Построить график функции xy sin .

Отобразим синусоиду симметрично относительно оси Ох:

25

7. Сдвиг графика вверх/вниз вдоль оси ординат

Правило:

1) чтобы построить график функции cxfy )( , нужно

график )(xfy сдвинуть ВДОЛЬ оси Оу на c единиц вверх;

2) чтобы построить график функции cxfy )( , нужно

график )(xfy сдвинуть ВДОЛЬ оси Оу на c единиц вниз.

Пример 9.

Построить графики функций 2sin xy , 1sin xy .

Комбинационное построение графика cxmfy )( в общем

случае осуществляется очевидным образом:

1) График функции )(xfy растягиваем (сжимаем) вдоль оси Оу.

Если множитель отрицателен, дополнительно осуществляем

симметричное отображение относительно оси Ох.

2) Полученный на первом шаге график )(xmfy сдвигаем вверх или

вниз в соответствии со значением константы c .

Пример 10

Построить график функции 2cos2

3 xy

Строим график косинуса xy cos :

26

1) Растягиваем вдоль оси Оу в 1,5 раза: xy cos2

3 ;

2) Сдвигаем вдоль оси Оу на 2 единицы вниз: 2cos2

3 xy .

Общая схема построения графика функции

с помощью геометрических преобразований

Рассмотрим функцию cbkxmfy )( , которая «базируется» на

некоторой функции )(xfy .

Для построения графика функции cbkxmfy )(

– на первом шаге выполняем преобразования, связанные с

аргументом функции, в результате чего получаем график

функции )( bkxfy ;

– на втором шаге выполняем преобразования, связанные с самой

функцией, и получаем график функции cbkxmfy )( .

Пример 11. Найдите множество значений функции 3sin 5 0,1y x .

Решение:

Область значений функции xy 5sin , как и функции xy sin равна

1;1 . Так как при умножении на -3 происходит растяжение в 3 раза

вдоль Оу графика функции xy 5sin и симметричное отображение

графика функции xy 5sin3 относительно оси абсцисс, область

значений функции xy 5sin3 - отрезок 3;3 . А после сдвига вдоль

Оу вниз на 1,0 графика последней функции, получаем окончательный

ответ 9,2;1,3 .

Пример 12. Используя четностью/нечетность тригонометрических

функций, исследовать на четностью/нечетность функцию

x

xxxy

cos3

sin)(

.

27

Решение:

Поменяем знак аргумента, получим,

)(cos3

sin

cos3

sin

)cos(3

)sin()( xy

x

xx

x

xx

x

xxxy

, следовательно функция

нечетная.

ИЗ № 2.

1. Построить график функции

1.1.

62sin

xy

1.2.

62cos

xy

1.3.

63sin

xy

1.4.

6

52cos

xy

1.5.

32sin

xy

1.6.

3

2

2

1cos

xy

1.7.

32sin

xy

1.8.

63cos

xy

1.9.

3

22sin

xy

1.10.

3

2

2

1cos

xy

1.11.

3

22sin

xy

1.12.

6

5

2

1cos

xy

1.13.

6

53sin

xy

1.14.

63cos

xy

1.15.

6

52sin

xy

1.16.

62cos

xy

1.17.

1.18.

32

1sin

xy

1.19.

6

52cos

xy

1.20.

32

1sin

xy

1.21.

32

1cos

xy

1.22.

62

1sin

xy

1.23.

32

1cos

xy

1.24.

63sin

xy

1.25.

63cos

xy

1.26.

32cos

xy

1.27.

3

2

2

1sin

xy

1.28.

3

2

2

1sin

xy

1.29.

62

1cos

xy

1.30.

6

5

2

1sin

xy

1.31.

3

22cos

xy

28

2. Построить график функции.

2.1.

6sin2

xy

2.2.

3

2cos3

xy

2.3.

6sin2

xy

2.4.

3

2cos

2

1 xy

2.5.

3sin3

xy

2.6.

6cos

2

1 xy

2.7.

3sin2

xy

2.8.

6

5cos2

xy

2.9.

3

2sin2

xy

2.10.

6cos2

xy

2.11.

3

2sin2

xy

2.12.

3cos2

xy

2.13.

6

5sin2

xy

2.14.

6

5cos3

xy

2.15.

6

5sin3

xy

2.16.

6cos3

xy

2.17.

6sin

2

1 xy

2.18.

3cos

2

1 xy

2.19.

6sin3

xy

2.20.

3cos3

xy

2.21.

3sin

2

1 xy

2.22.

6

5cos2

xy

2.23.

3sin

2

1 xy

2.24.

3

2cos2

xy

2.25.

3

2sin3

xy

2.26.

3

2cos

2

1 xy

2.27.

3

2sin

2

1 xy

2.28.

6

5cos

2

1 xy

2.29.

6

5sin

2

1 xy

2.30.

6cos

2

1 xy

3. Построить график функции

3.1. 13

2

2

1cos

xy

3.2. 12

1sin2 xy

3.3. 13

sin3

xy

3.4. 16

sin2

xy

3.5. 13

22sin

xy

3.6. 26

5sin3

xy

3.7. 26

52sin

xy

3.8.

6

53cos2

xy

3.9. 26

3sin

xy

3.10. 23cos2 xy

29

3.11. 26

2cos

xy

3.12. 13

sin2

1

xy

3.13. 16

3cos

xy

3.14. 26

52cos

xy

3.15. 26

sin2

xy

3.16. 22

1sin3 xy

3.17. 12sin2

1 xy

3.18. 13

2

2

1sin

xy

3.19. 12cos3 xy

3.20. 26

3sin

xy

3.21. 13

cos2

xy

3.22. 26

5cos2

xy

3.23. 16

5cos2

xy

3.24. 162

1sin

xy

3.25. 16

cos2

xy

3.26.

6

53cos2

xy

3.27.

3

2

2

1cos3

xy

3.28.

32sin2

xy

3.29.

62sin

2

1 xy

3.30.

6

53cos2

xy

4. Найдите область значений функции.

4.1. 2,03

cos2

1

xy ;

4.2. 4,06

sin5,2

xy ;

4.3. 7,03cos5 xy ;

4.4. 2,24

2cos

xy ;

4.5. 5,12

sin4,3 x

y ;

4.6. 13

cos2

xy

;

4.7. 5,23

sin2,4 x

y ;

4.8. 1,04

sin6,0

xy

;

4.9.

6

5sin23

xy ;

4.10. 7,22cos4 xy ;

4.11. 6,15

3sin

xy ;

4.12. xy 2cos31 ;

4.13. 2,33

2cos1,7

xy ;

4.14. 3,24

cos5 x

y ;

4.15. 34

sin2,5

xy

;

4.16. 4,03

cos2

xy ;

4.17. 6,06

sin2

xy ;

4.18. 7,35cos2 xy ;

4.19. 4,24

32sin

xy ;

4.20. 35

cos5

4

xy ;

4.21. 5,14

sin2

xy

;

4.22. 5,03

cos1,4 x

y ;

30

4.23. 1,53

2sin2,2

xy

;

4.24.

3sin35

xy ;

4.25. 22cos5,0 xy ;

4.26. 4,35

24sin

xy ;

4.27. xy 3cos5,34 ;

4.28. 53

2cos2,3

xy ;

4.29. 24

3cos5,0

xy ;

4.30. 36

sin5,2

xy

.

5. Исследуйте функцию на четностью/нечетность.

5.1. x

xtgxxy

cos

sin3)(

;

5.2. xctgxtgxxy 2sin)( ;

5.3. tgxxxxy sincos3)( ;

5.4. x

tgxcgxxy

sin3)(

;

5.5. x

xxtgxy

sin

cos5)(

2 ;

5.6. xctgxxxy cos2)( ;

5.7. tgxxxxxy 32 cossin)(

;

5.8. x

xtgxxy

cos7

2)(

3

;

5.9. xxxy cossin2)( ;

5.10. xtgxxxy cos6)( 3 ;

5.11. x

ctgxtgxxy

2sin

2)(

;

5.12. xx

xxxy

cos

sin)(

3

;

5.13. tgxxxxy 2cos5)( ;

5.14. tgxxxxxy 5cossin2)( ;

5.15. xctg

tgxxxy

2

2)(

;

5.16. x

xxtgxy

cos

sin)(

22 ;

5.17. xctgxxxy 25sin3)( ;

5.18. ctgxxxtgxy 5sin)( 2 ;

5.19. x

xctgxxy

3sin

4)(

;

5.20.

5sin3

cos1)(

x

xtgxxy ;

5.21. xxctgxxxy cos23)( 2 ;

5.22. 3

2

7

cossin)(

x

xxxy

;

5.23. xx

tgxxy

cos7

2)(

4 ;

5.24. xxxxy cos5sin)( 2 ;

5.25. ctgx

tgxxxy

71)(

3

;

5.26. x

xxtgxy

sin

22)(

3 ;

5.27. xx

tgxxxy

cos

2sin)(

;

5.28. ctgxxxxxy 3cos5)( 2

;

5.29. xxxxy cossin2)( 2 ;

5.30. 22 5sin

3)(

xx

tgxxxy

.

§ 3. Обратные тригонометрические функции.

Арксинусом числа 1;1a называется угол

2;

2

x , синус

которого равен a . Т.е. axxa sinarcsin ,

2;

2

x .

График функции xy arcsin .

31

Арккосинусом числа 1;1a называется угол ;0x , косинус

которого равен a . Т.е. axx cosarccos , ;0x .

График функции xy arccos .

Арктангенсом числа ;a называется угол

2;

2

x ,

тангенс которого равен a . Т.е. atgxxarctga ,

2;

2

x .

График функции arctgxy .

32

Арккотангенсом числа ;a называется угол ;0x ,

котангенс которого равен a . Т.е. actgxxarcctga , ;0x .

График функции arcctgxy .

Формулы, связывающие обратные тригонометрические функции.

xx arcsin)arcsin( , xx arccos2

arcsin

0,1

1arccosarcsin2

2

xx

xarctgxx

xx arccos)arccos( , xx arcsin2

arccos

0,1

1arcsinarccos2

2

xx

xarcctgxx

arctgxxarctg )( , arcctgxarctgx 2

0,1

1arccos

1arcsin

1

22

x

xx

x

xarcctgarctgx

arcctgxxarcctg )( , arctgxarcctgx 2

0,1

arccos1

1arcsin

1

22

x

x

x

xxarctgarcctgx

Примеры.

1. Вычислите 3

3

2

2arccos2

2

3arcsin arctg

.

Решение:

62

3

364

32

33

3

2

2arccos2

2

3arcsin

arctg

3

5

6

10

6

92

.

2. Вычислите

5

4arcsincos , )2(sin arcctg .

Решение:

33

25

9arccoscos

25

161arccoscos

5

41arccoscos

5

4arcsincos

2

5

3

5

3arccoscos

;

5

1

21

1arcsinsin)2sin(2sin)2(sin

2

arcctgarcctgarcctg .

ИЗ № 3.


1.1. 30arccos3

32 arcctgarctg

;

1.2. 1

2

1arccos

2

2arcsin

arctg

;

1.3. 3

3)3(1arccos2 arcctgarctg ;

1.4. )1(2

3arccos

2

1arcsin

arcctg ;

1.5. 0arccos

2

1arcsin

3

3

arcctg

;

1.6. 0arccos2

2arcsin23

arctg ;

1.7. 02

3arccos

2

1arcsin3 arcctg

;

1.8. 1

0arcsin2

2arccos

arctg

;

1.9. )1(2

3arccos

2

1arcsin

arcctg ;

1.10. )3(2

2arccos2

3

33

arcctgarctg ;

1.11.

2

2arcsin

2

1arccos3

arctg

;

34

1.12. )1(42

2arccos1arcsin

arcctg ;

1.13. 3

323

2

1arccos2 arcctgarctg ;

1.14. 32

3arccos

2

2arcsin2 arcctg

;

1.15.

3

3

2

1arcsin

2

3arccos

arctg

;

1.16. 2

3arcsin0

2

2arccos2

arctg ;

1.17.

2

1arcsin

)1(2

2arccos

arctg

;

1.18. 2

3arccos)3(

2

1arcsin2

arctg ;

1.19. )3(2

2arccos

2

1arcsin

arcctg ;

1.20.

2

2arccos

1arcsin3

3

arctg

;

1.21. 0arcsin32

2arccos2)1(

arcctg ;

1.22. 02

3arcsin

2

1arccos3 arctg

;

1.23. )1(

0arccos2

2arcsin2

arctg;

1.24. )3(2

3arccos

2

1arcsin2 arctg ;

1.25. )1arcsin(2

2arccos2

3

3

arcctg ;

35

1.26.

2

2arcsin

2

3arccos)3(

arcctg

;

1.27. )3(2

3arccos

2

1arcsin

arcctg ;

1.28. 3

323

2

1arcsin2 arcctgarctg ;

1.29. 32

3arccos

2

2arcsin2 arctg

;

1.30. 1

2

1arccos

2

3arcsin

arcctg.


2.1. )6,0arcsin(,13

12arccossin

tg ;

2.2.

5

3arcsin,)2(cos ctgarctg ;

2.3. )8,0arcsin(cos,3sin arctg ;

2.4. )3(cos,13

5arccos

arcctgtg ;

2.5. 2sin,5

4arccos arctgctg

;

2.6.

13

12arcsin,)3(cos tgarcctg ;

2.7. 6,0arcsin,5

3arccossin tg

;

2.8.

5

3arcsin,3cos ctgarctg ;

2.9.

13

5arcsincos,)3(sin arcctg ;

2.10. 2cos,13

5arccos arcctgtg

;

2.11. 2sin,5

4arccos arctgctg

;

2.12.

5


2.13.

13

12arcsin,)8,0arccos(sin tg ;

2.14.

5

4arcsin,4cos ctgarctg ;

2.15. )8,0arcsin(cos,3sin arctg ;

2.16.

2

1cos,

13

12arccos arcctgtg ;

2.17. 4sin,13

12arccos arctgctg

;

2.18. 8,0arcsin,2

1cos tgarcctg

;

2.19. )6,0arcsin(,13

12arccossin

tg ;

2.20. 8,0arcsin,2

1cos

ctgarctg ;

2.21.

13

5arcsincos,2sin arcctg ;

2.22. 5cos,6,0arccos arcctgtg ;

2.23.

2

1sin,

5

3arccos arctgctg ;

36

2.24.

13

12arcsin,4cos tgarcctg ;

2.25. 6,0arccos,2

1cos

ctgarcctg ;

2.26.

13

12arcsincos,5,0sin arctg ;

2.27.

2

1cos,

5

3arccos arcctgtg ;

2.28. 3sin,13

5arccos arctgctg

;

2.29.

13


2.30. )4(cos,8,0arccossin arctg .

§ 4. Тригонометрические уравнения.

Определение: Тригонометрическим называется уравнение, в

котором неизвестные находятся под знаком тригонометрических

функций.

4.1. Простейшие тригонометрические уравнения.

Простейшими тригонометрическими уравнениями

называют уравнения вида: ax sin , ax cos , atgx , actgx .

Решить простейшее тригонометрическое уравнение – значит

найти множество всех углов (дуг), имеющих данное значение

тригонометрической функции.

1) ax sin

Если 1a уравнение корней не имеет.

Если 1a , решение находим по формуле: nax n arcsin)1( ,

Zn .

Частные случаи:

.22

1sin

;22

1sin

;0sin

nxx

nxx

nxx

2) ax cos

Если 1a уравнение корней не имеет.

Если 1a , решение находим по формуле: nax 2arccos , Zn .

Частные случаи:

.21cos

;21cos

;22

0cos

nxx

nxx

nxx

3) atgx narctgax , Zn .

37

4) actgx narcctgax , Zn .

Примеры.

1. Решить уравнение 2

2sin x .

Решение: Znnxn

,2

2arcsin1 , т.е. Znnx

n ,

41

.

2. Решить уравнение 2

3

42cos

xx

Решение:

Znnx

,2

2

3arccos

42

;

Znnx ,26

5

42

;

Znnx ,6

5

8

.

4.2. Тригонометрические уравнения, приводимые к

квадратным.

Уравнения вида 0sinsin 2 CxBxA , где 0A , решаются

приведением к квадратному путем замены yx sin . (аналогично

решаются уравнения с другими тригонометрическими функциями).

Примеры.

3. Решить уравнение 01sinsin2 2 xx .

Решение:

Введем новую переменную xy sin . Тогда данное уравнение можно

записать в виде 012 2 yy . Мы получили квадратное уравнение. Его

корнями служат 2

11 y и 12 y . Следовательно,

2

1sin x или 1sin x .

В первом случае получим решения

nxk

2

1arcsin1 ,

т.е. nxn

61 , Zn .

Во втором случае имеем: nx

22 , Zn .

4. Решить уравнение 02cos5sin6 2 xx .

Решение:

Заменяя xx 22 cos1sin , получим относительно cos x квадратное

уравнение 02cos5)cos1(6 2 xx

04cos5cos6 2 xx

04cos5cos6 2 xx

38

Введем новую переменную xy cos . Тогда 0456 2 yy , откуда

2

11 y или

3

112 y . Уравнение

3

11cos x не имеет решений, т.к. 1

3

11 .

Решая уравнение 2

1cos x находим:

Znnxnx

,2

3

22

2

1arccos

.

5. Решить уравнение 03 ctgxtgx .

Решение: Заменяя tgx

ctgx1

, получим 03

tgx

tgx , откуда, т.к.

0tgx , получаем 032 xtg . Введем новую переменную tgxy .

Тогда 32 y , откуда 31 y или 32 y . Следовательно,

Znnxtgx ,3

3

и Znnxtgx ,3

3

.

4.3. Однородные тригонометрические уравнения.

Однородные тригонометрические уравнения имеют ту же

структуру, что и однородные уравнения любого другого вида.

Отличительные признаки однородных уравнений: а) все одночлены имеют одинаковую степень,

б) свободный член равен нулю,

в) в уравнении присутствуют степени с двумя различными

основаниями.

Однородное тригонометрическое уравнение – это уравнение

двух видов:

0,0cossin baxbxa (однородное уравнение первой степени)

либо

0,0coscossinsin 22 cbaxcxxbxa (однородное уравнение

второй степени).

Алгоритм решения однородного уравнения первой степени:

1) разделить обе части уравнения на xcos (или на xsin ). Делить

можно на число, не равное 0, а 0cos x , т.к. в противном случае

00sin bxa и 0sin x , следовательно 0cossin 22 xx , что неверно;

2) воспользоваться формулой x

xtgx

cos

sin (

x

xctgx

sin

cos );

3) решить получившееся уравнение.

Пример.

6. Решить уравнение 0cos3sin xx .

Решение:

0cos3sin xx - однородное уравнение. Разделить обе части

уравнения на xcos .

Получим xx

x

x

x

cos

0

cos

cos3

cos

sin , 03 tgx , 3tgx

39

Znnarctgx ,)3( , Znnx ,3

.

Ответ: Znnx ,3

Алгоритм решения однородного уравнения второй степени:

1) разделить обе части уравнения на x2cos (или на x2sin ). Делить

можно на число, не равное 0, а 0cos 2 x , т.к. в противном случае

0cos x , 000sinsin 2 cxbxa и 0sin x , следовательно

0cossin 22 xx , что неверно;

2) воспользоваться формулой x

xtgx

cos

sin (

x

xctgx

sin

cos );

3) решить получившееся уравнение.

Примеры.

7. Решить уравнение 0cos7cossin3sin4 22 xxxx .

Решение:

0cos7cossin3sin4 22 xxxx - однородное уравнение. Разделим обе

части уравнения на x2cos .

Получим 0cos

cos7

cos

cossin3

cos

sin4

2

2

22

2

x

x

x

xx

x

x.

0734 2 tgxxtg . Замена переменной : tgxy

0734 2 yy

121112942 acbD , 8

113

2

a

Dby , 11 y ,

4

312 y

1tgx , Znnx ,4

;

4

31tgx , Znnarctgx

,

4

31 .

Ответ: Znnx ,4

; Znnarctgx

,

4

31 .

8. Решить уравнение 1cos22sinsin2 22 xxx .

Решение:

Применим формулы xxx cossin22sin , xx 22 sincos1 . Получим

xxxxxx 2222 sincoscos2cossin2sin2 , 0cos3cossin2sin 22 xxxx -

однородное уравнение. Разделим обе части уравнения на x2cos .

Получим 0cos

cos3

cos

cossin2

cos

sin2

2

22

2

x

x

x

xx

x

x.

0322 tgxxtg . Замена переменной : tgxy

0322 yy

11 y , 32 y

1tgx , Znnx ,4

;

3tgx , Znnarctgx ,3 .

40

Ответ: Znnx ,4

; Znnarctgx ,3 .

4.4. Решение тригонометрических уравнений, введением

вспомогательного угла.

Рассмотрим уравнение вида: 0,,,cossin cbacxbxa .

Разделим обе части уравнения на 22 ba . Получим

C

ba

cx

ba

bx

ba

a

22

sin

22

cos

22cossin

.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и кос

инуса, а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не

больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их

соответственно как cos и sin ( здесь - так

называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид:

Cxx cossinsincos или Cx sin и его решение

ZnnCxn

,arcsin1 , где 2222

arcsinarccosba

b

ba

a

.

Заметим, что cos и sin взаимно заменяемы.

Пример.

9. Решить уравнение 1cossin3 xx .

Решение: Здесь 2,1,3 22 baba .

Делим обе части уравнения на 2. Получим 2

1cos

2

1sin

2

3 xx ,

откуда

2

1cos

6sinsin

6cos xx

и

2

1

6sin

x .

Решив последнее уравнение, получим

Znnxn

,2

1arcsin1

6

;

Znnxn

,66

1

.

4.5. Решение тригонометрических уравнений, используя

формулы преобразования произведения в сумму и обратно.

Примеры.

10. Решить уравнение xxx 4cos6sin2sin2

Решение: Используя формулу )cos()cos(2

1sinsin ,

41

получим xxxxxx 8cos4cos8cos)4cos(2

126sin2sin2 . Тогда

уравнение примет вид xxx 4cos8cos4cos , откуда 08cos x ,

Znnx ,2

8

, Znn

x ,816

.

11. Решить уравнение 08cos6cos4cos2cos xxxx

Решение: 08cos6cos4cos2cos xxxx

Применим формулу 2

cos2

cos2coscos

.

0cos5cos23cos5cos2 xxxx 0)cos3(cos5cos2 xxx

Еще раз применим формулу 2

cos2

cos2coscos

, получим

0cos2cos5cos4 xxx 05cos x или 02cos x или 0cos x

Znnx ,2

5

Znnx ,2

2

Znnx ,2

Znn

x ,510

Zn

nx ,

24

4.6. Решение тригонометрических уравнений с помощью

универсальной подстановки

21

22

sin2 x

tg

xtg

x

,

21

21

cos2

2

xtg

xtg

x

.

Пример.

12. Решить уравнение 3cos4sin3 xx .

Решение: Возможны 2 случая:

1) 2

xtg не существует, т.е. k

x

22, kx 2 . Тогда

34)2cos(4)2sin(3 kk .

2) 2

xtg существует и

21

22

sin2 x

tg

xtg

x

,

21

21

cos2

2

xtg

xtg

x

.

Тогда уравнение примет вид: 3

21

21

4

21

22

32

2

2

x

tg

xtg

xtg

xtg

.

Откуда

2

332

442

6 22 xtg

xtg

xtg ;

42

072

62

2 x

tgx

tg .

Делаем замену: yx

tg 2

. Имеем 0762 yy , 7,1 21 yy .

Тогда Znnxx

tg ,22

12

и Znnarctgxx

tg ,27272

.

ИЗ № 4.

1. Решите простейшее тригонометрическое уравнение.

1.1. 02sin2 x ;

1.2. 033 ctgx ;

1.3. 03cos2 x ;

1.4. 033 tgx ;

1.5. 0sin23 x ;

1.6. 033 ctgx ;

1.7. 02cos2 x ;

1.8. 0cos21 x ;

1.9. 03sin2 x ;

1.10. 033 ctgx ;

1.11. 033 ctgx ;

1.12. 01sin2 x ;

1.13. 02sin2 x ;

1.14. 033 tgx ;

1.15. 0cos23 x ;

1.16. 033 tgx ;

1.17. 03cos2 x ;

1.18. 0cos22 x ;

1.19. 033 tgx ;

1.20. 033 tgx ;

1.21. 0sin23 x ;

1.22. 0sin21 x ;

1.23. 03sin2 x ;

1.24. 01sin2 x ;

1.25. 0sin22 x ;

1.26. 03 tgx ;

1.27. 02cos2 x ;

1.28. 0cos23 x ;

1.29. 033 ctgx ;

1.30. 01cos2 x .

2. Решите простейшее тригонометрическое уравнение.

2.1. 2

1

62

1sin

х ;

2.2. 2

2

42

1cos

х ;

2.3. 2

3

6

5

2

1sin

х ;

2.4. 2

1

32

1sin

х ;

2.5. 2

1

62

1cos

х ;

2.6. 2

3

4

3

2

1sin

х ;

2.7. 2

1

62sin

х ;

2.8. 2

3

4

3

2

1cos

х ;

2.9. 2

2

3

2

2

1sin

х ;

2.10. 2

1

32

1cos

х ;

2.11. 2

1

32sin

х ;

2.12. 2

1

32cos

х ;

43

2.13. 2

2

3

2

2

1cos

х ;

2.14. 2

2

3

22cos

х ;

2.15. 2

2

42sin

х ;

2.16. 2

3

6

52cos

х ;

2.17. 2

2

42cos

х ;

2.18. 2

2

42

1sin

х ;

2.19. 2

3

4

32cos

х ;

2.20. 2

1

3

23sin

х ;

2.21. 2

3

6

5

2

1cos

х ;

2.22. 2

2

63sin

х

;

2.23. 2

1

62cos

х ;

2.24. 2

3

43sin

х

;

2.25. 2

1

6

53cos

х ;

2.26. 2

2

3

22sin

х ;

2.27. 2

2

3

2

3cos

х;

2.28. 2

3

6

52sin

х ;

2.29. 2

3

63cos

х

;

2.30. 2

3

4

32sin

х .

3. Решить простейшее тригонометрическое уравнение.

3.1. 3

3

3

22

хtg ;

3.2. 13

2

3

хctg ;

3.3. 36

52

хtg ;

3.4. 3

3

63

х

ctg ;

3.5. 3

3

42

хctg ;

3.6. 142

1

хtg ;

3.7. 34

32

хctg ;

3.8. 13

23

хtg ;

3.9. 3

3

6

5

2

1

хctg ;

3.10. 163

х

tg ;

3.11. 06

2

хctg ;

3.12. 343

х

tg ;

3.13. 162

1

хctg ;

3.14. 3

3

42

1

хctg ;

3.15. 06

5

2

1

хtg ;

3.16. 132

1

хtg ;

3.17. 062

1

хctg ;

3.18. 34

3

2

1

хctg ;

3.19. 16

2

хtg ;

3.20. 3

3

4

3

2

1

хctg ;

44

3.21. 33

2

2

1

хtg ;

3.22. 132

1

хctg ;

3.23. 13

2

хtg ;

3.24. 33

2

хctg ;

3.25. 2

2

3

2

2

1cos

х ;

3.26. 3

3

3

22

хctg ;

3.27. 14

2

хtg ;

3.28. 06

52

хctg ;

3.29. 34

32

хtg ;

3.30. 13

23

хctg .

4. Решить тригонометрическое уравнение:

4.1. 02sin5sin2 2 xx ;

4.2. 02cos3cos2 xx ;

4.3. 01sin3sin2 2 xx ;

4.4. 0232 tgxxtg ;

4.5. 02cos3cos2 2 xx ;

4.6. 0cos2cos2 2 xx 4.7. 03sin4sin4 2 xx ;

4.8. 03sin5sin2 2 xx

4.9. 02sin3sin2 2 xx 4.10. 01sinsin2 2 x ;

4.11. 02coscos2 xx 4.12. 0sinsin2 2 xx ;

4.13. 01cos3cos2 2 xx ;

4.14. 03cos8cos4 2 xx ;

4.15. 0253 2 ctgxxctg ;

4.16. 03sin4sin4 2 xx ;

4.17. 01coscos2 2 xx ;

4.18. 0sin2sin2 2 xx

4.19. 02sin3sin2 2 xx

4.20. 023 2 tgxxtg ;

4.21. 03coscos2 2 xx 4.22. 01sin3sin2 2 xx ;

4.23. 03sin4 2 x ;

4.24. 03cos8cos4 2 xx ;

4.25. 02sinsin 2 xx ;

4.26. 0652 ctgxxctg ;

4.27. 0coscos2 2 xx ;

4.28. 02sin3sin 2 xx ;

4.29. 03cos5cos2 2 xx ;

4.30. 03sinsin2 2 xx .


5.1. 01sincos2 2 xx ;

5.2. 07cos8sin4 2 xx ;

5.3. 03sin3cos2 xx ;

5.4. 43 ctgxtgx ;

5.5. 01cossin2 2 xx ;

5.6. 06cos6sin5 2 xx ;

5.7. 054 ctgxtgx ;

5.8. 01sincos2 xx ;

5.9. 03sin3cos2 2 xx ;

5.10. 012 ctgxtgx ;

5.11. 0cos3sin2 2 xx

5.12. 054 ctgxtgx ;

5.13. 01cossin8 2 xx ;

5.14. 054 ctgxtgx ;

5.15. 01sincos2 2 xx ;

5.16. 04cossin 2 xx ;

5.17. 034 ctgxtgx ;

5.18. 0sin5cos2 2 xx ;

5.19. 032 ctgxtgx ;

5.20. 01cos3sin 2 xx ;

45

5.21. 03sin3cos2 2 xx ;

5.22. 0cos3sin2 2 xx ;

5.23. 0532 tgxctgx ;

5.24. 01sin4cos4 2 xx ;

5.25. 05sin5cos2 2 xx

5.26. 32 ctgxtgx ;

5.27. 02cos5sin6 2 xx ;

5.28. 03cos3sin2 2 xx ;

5.29. 01sincos2 2 xx ;

5.30. 065 ctgxtgx .


6.1. 0cos5sin xx ;

6.2. 0cos3sin xx ;

6.3. 0cos2sin xx ;

6.4. 0cossin xx ;

6.5. 0cossin4 xx ;

6.6. 0cossin5 xx ;

6.7. 0cos2sin3 xx ;

6.8. 0cossin3 xx ;

6.9. 0cos3sin3 xx ;

6.10. 0cossin2 xx ;

6.11. 0cossin xx ;

6.12. 0cos3sin5 xx ;

6.13. 0cos3sin xx ;


6.15. 0cos5sin xx ;

6.16. 0cossin3 xx ;


6.18. 0cos4sin xx ;

6.19. 0cossin3 xx ;

6.20. 0cos2sin xx ;


6.22. 0cossin4 xx ;


6.24. 0cossin3 xx ;

6.25. 0cossin2 xx ;

6.26. 0cos3sin xx ;

6.27. 0cos4sin xx ;

6.28. 0cossin5 xx ;


6.30. 0cos3sin2 xx .


7.1. 0cos5cossin3sin2 22 xxxx ;

7.2. 0cos2cossinsin3 22 xxxx ;

7.3. 0cos5cossin4sin 22 xxxx ;


7.5. 0coscossin2sin3 22 xxxx ;

























7.30. 0cos9cossin5sin4 22 xxxx .


46

8.1. 32sinsin4 2 xx ;

8.2. 5sin82sin 2 xx ;

8.3. 32sin2cos10 2 xx ;

8.4. xxx 2sin26sin82cos 2 ;

8.5. 12cos22sin xx ;

8.6. xxx 2cos22cos2sin ;

8.7. 22cos2sincos6 2 xxx 8.8. xxx 2sin2sin3cos 22 ;

8.9. 52sin2sin6 2 xx ;

8.10. 12sinsin4 2 xx ;

8.11. 022sin22cos xx ;

8.12. 32sin2cos2 2 xx ;

8.13. xxx 2sin45sin22cos2 2 ;

8.14. 1cos42sin 2 xx ;

8.15. xx 2sin232sin2 ;

8.16. xxx 2sin3sin2cos4 22 ;

8.17. xx 2sin3sin41 2 ;

8.18. 1cos22sin2 2 xx ;

8.19. 22sinsin3 2 xx ;

8.20. 32cos22sin4cos2 2 xxx ;

8.21. 1sin42sin 2 xx ;

8.22. 012sin2sin2 2 xx ;

8.23. xxx 2sinsin42cos 2 ;

8.24. 02sin32cossin6 2 xxx ;

8.25. 2cos82sin22cos 2 xxx ;

8.26. xxx cossin23sin4 2 ;

8.27. 12sincos4 2 xx ;

8.28. 12sin2sin2 2 xx ;

8.29. xx 2sin31cos4 2 ;

8.30. xx 2sin23sin10 2 .


9.1. 1cossin3 xx ;

9.2. 2cos3sin xx ;

9.3. 1cossin3 xx ;

9.4. 1cossin xx ;

9.5. 2cossin3 xx ;

9.6. 1cos3sin xx ;

9.7. 2cossin3 xx ;

9.8. 2cos3sin xx ;

9.9. 3cossin3 xx ;

9.10. 2cos3sin xx ;

9.11. 3cossin3 xx ;

9.12. 2cos3sin xx ;

9.13. 2cossin3 xx ;

9.14. 1cossin xx ;

9.15. 2cossin3 xx ;

9.16. 1cossin xx ;

9.17. 2cos3sin xx ;

9.18. 2cossin3 xx ;

9.19. 2cos3sin xx ;

9.20. 1cos3sin xx ;

9.21. 3cossin3 xx ;

9.22. 2cossin3 xx ;

9.23. 3cos3sin xx ;

9.24. 1cossin3 xx ;

9.25. 3cos3sin xx ;

9.26. 2cossin3 xx ;

9.27. 1cossin xx ;

9.28. 3cossin3 xx ;

9.29. 3cos3sin xx ;

9.30. 2cossin3 xx


10.1. 02cos5sin3sin2 xxx ;

10.2. 06cos4cos2cos2 xxx ;




10.6. 02sin4sin2cos2 xxx ;


10.8. 06cos5sinsin2 xxx ;





10.13. 04sin3cossin2 xxx ;

47



10.16. 02sin3cossin2 xxx ;

10.17. 04cos3coscos2 xxx ;



10.20. 06sin5sincos2 xxx ;





10.25. 03cos2coscos2 xxx 10.26. 04sin7cos3sin2 xxx ;




10.30. 03cos4coscos2 xxx .


11.1. 07sin5sin3sinsin xxxx ;

11.2. xxx 4cos6cos2cos ;

11.3. xxx 4cos3sin5sin ;

11.4. 07sin5sin3sinsin xxxx ;

11.5. xxx 2cos3coscos ;


11.7. 08cos6cos4cos2cos xxxx ;


11.9. xxx 3sin5coscos ;


11.11. xxx 5sin8sin2sin ;

11.12. xxx 4cossin7sin ;

11.13. xxx 5cos29coscos ;

11.14. 08sin6sin4sin2sin xxxx ;

11.15. xxx 4sinsin7sin ;

11.16. xxx sin5cos3cos ;


11.18. xxx 3coscos7cos ;

11.19. xxx 7cos210cos4cos ;

11.20. 07cos5cos3coscos xxxx ;



11.23. xxx 4sin6cos2cos ;


11.25. xxx 4sin27coscos ;



11.28. 07cos5cos3coscos xxxx ;

11.29. xxx 3cossin5sin ;

11.30. xxx 5sin29coscos .



12.2. 3cossin3 xx ;

12.3. 1sincos2 xx ;


12.5. xx cos2sin33 ;



12.8. 1cos2sin xx ;


12.10. 3cos4sin3 xx ;

12.11. 2sin2cos3 xx ;

12.12. 7cos5sin7 xx ;

12.13. 4sin4cos5 xx ;

12.14. xx sin4cos34 ;

12.15. xx sin4cos34 ;

12.16. 4cos5sin4 xx ;

12.17. 1sincos5 xx ;

12.18. 1sincos3 xx ;

12.19. 3sin3cos7 xx ;

12.20. 3sin3cos xx ;

12.21. 3sin3cos5 xx ;

12.22. 3cossin3 xx ;

12.23. 5sin5cos7 xx ;


12.25. 3cos5sin3 xx ;

12.26. xx cos35sin5 ;


12.28. xx sin2cos2 ;

48

12.29. 7cos9sin7 xx ; 12.30. 7sin7cos9 xx .

§ 5. Тригонометрические неравенства.

Определение: Неравенство, в котором неизвестная переменная

находится под знаком тригонометрической функции, называется

тригонометрическим неравенством.

К простейшим тригонометрическим неравенствам относятся

следующие 16 неравенств:

ax sin , ax sin , ax sin , ax sin ;

ax cos , ax cos , ax cos , ax cos ;

atgx , atgx , atgx , atgx ;

actgx , actgx , actgx , actgx ;

Здесь x является неизвестной переменной, a может быть любым

действительным числом.

5.1. Неравенства вида ax sin , ax sin , ax sin , ax sin .

Рис.1 Рис.2

1. Неравенство ax sin .

При 1a неравенство ax sin не имеет решений.

При 1a решением неравенства ax sin является любое

действительное число.

При 11 a решение неравенства ax sin выражается в виде

Znnaxna ,2arcsin2arcsin (рис.1).





При 1a решение неравенства ax sin сводится к решению

уравнения 1sin x

49













При 1a решение неравенства ax sin сводится к решению

уравнения 1sin x .



Примеры.

1. Решить неравенство 2

3sin x .

Решение.

Отмечаем на оси синусов значение2

3 . Все значения xsin

большие 2

3 расположены выше точки

2

3 на оси синусов.

32

3arcsin

,

3

4

32

3arcsin

.

Ответ: Znnxn ,23

42

3

.


2

4

3

3

1sin

x .

50

Решение.

Обозначим 4

3

3

1 x за u . Получим неравенство

2

2sin u .

Отмечаем на оси синусов значение2

2. Все значения usin

меньшие 2

2 расположены ниже точки

2

2 на оси синусов.

42

2arcsin

,

4

5

42

2arcsin

.

Znnun ,24

24

5

;

Znnxn ,244

3

3

12

4

5

;

Znnxn ,24

3

43

12

4

3

4

5

;

Znnxn ,223

122

;


366

.

5.2. Неравенства вида ax cos , ax cos , ax cos , ax cos .

Рис.3 Рис.4

1. Неравенство ax cos .

51

При 1a неравенство ax cos не имеет решений.

При 1a решением неравенства ax cos является любое


При 11 a решение неравенства ax cos выражается в виде

Znnaxna ,2arccos2arccos (рис.3).





При 1a решение неравенства ax cos сводится к решению

уравнения 1cos x













При 1a решение неравенства ax cos сводится к решению

уравнения 1cos x .



Примеры.


1cos x .

Решение.

Отмечаем на оси косинусов значение 2

1. Все значения xcos

меньшие 2

1 расположены левее точки

2

1 на оси косинусов.

32

1arccos

,

3

5

32

2

1arccos2

.

52


52

3


2

3

53cos

x .

Решение.


53

x за u . Получим неравенство

2

2cos u .

Отмечаем на оси косинусов значение 2

2 . Все значения ucos

большие 2

2 расположены правее точки

2

2 на оси косинусов.

4

3

2

2arccos

,

4

3

2

2arccos

.

Znnun ,24

32

4

3

;

Znnxn ,24

3

3

532

4

3

;

Znnxn ,23

5

4

332

3

5

4

3

;

Znnxn ,212

2932

12

11

;

Ответ: Znn

xn

,3

2

36

29

3

2

36

11 .

5.3. Неравенства вида atgx , atgx , atgx , atgx .

53

Рис.5 Рис.6

1. Неравенство atgx .

При любом действительном a решение неравенства имеет вид:

Znnxnarctga ,2

(рис.5).



Znnxnarctga ,2

(рис.5).



Znnarctgaxn ,2

(рис.6).



Znnarctgaxn ,2

(рис.6).

Примеры.

5. Решить неравенство 1tgx .

Решение.

Отмечаем на оси тангенсов значение 1. Указываем все значения

тангенса, меньшие 1 –ниже 1.

54

Отмечаем все точки тригонометрического круга, значение тангенса в

которых будет меньше 1. Для этого мы соединяем каждую точку оси

тангенсов ниже 1 с началом координат; тогда каждая проведенная

прямая пересечет дважды тригонометрический круг.

Учитывая, что период тангенса равен , запишем ответ в

виде: Znnxn ,42

.


22

xtg .

Решение.


22

x за u . Получим неравенство 3tgu .

Отмечаем на оси тангенсов значение 3 . Указываем все

значения тангенса, большие 3 – выше 3 .

Znnun ,23

;

Znnxn ,23

22

3

;

Znnxn ,3

2

22

3

2

3

;

Znnxn ,6

72

3

;

Ответ: Znn

xn

,212

7

26

.

5.4. Неравенства вида actgx , actgx , actgx , actgx .

55

Рис.7 Рис.8

1. Неравенство actgx .


Znnarcctgaxn , (рис.7).



Znnarcctgaxn , (рис.7).



Znnxnarcctga , (рис.8).



Znnxnarcctga , (рис.8).

Примеры.


3ctgx .

Решение:

Отмечаем на оси котангенсов значение 3

3. Указываем все значения

котангенса, большие 3

3 – правее

3

3.

56

Учитывая, что период котангенса равен , запишем ответ в виде:

Znnxn ,3

.


3

xctg .

Решение:


3

x за u . Получим неравенство 1ctgu .

Отмечаем на оси котангенсов значение -1. Указываем все значения

котангенса, меньшие -1 – левее -1.

Znnun ,4

3

;

Znnxn ,6

34

3

;

Znnxn ,6

364

3

;

Znnxn ,6

73

12

11

;

Ответ: Znn

xn

,318

7

336

11 .

ИЗ № 5.

1. Решите простейшее тригонометрическое неравенство.

1.1. 033 tgx ;

1.2. 03cos2 x ;

1.3. 0cos22 x ;

1.4. 033 tgx ;

1.5. 033 tgx ;

1.6. 0sin23 x ;

1.7. 0sin21 x ;

1.8. 03sin2 x ;

1.9. 01sin2 x ;

1.10. 0sin22 x ;

1.11. 03 tgx ;

1.12. 02cos2 x ;

1.13. 0cos23 x ;

1.14. 033 ctgx ;

1.15. 01cos2 x ;

1.16. 02sin2 x ;

1.17. 033 ctgx ;

1.18. 03cos2 x ;

57

1.19. 033 tgx ;

1.20. 0sin23 x ;

1.21. 033 ctgx ;

1.22. 02cos2 x ;

1.23. 0cos21 x ;

1.24. 03sin2 x ;

1.25. 033 ctgx ;

1.26. 033 ctgx ;

1.27. 01sin2 x ;

1.28. 02sin2 x ;

1.29. 033 tgx ;

1.30. 0cos23 x .

2.

3. Решить тригонометрическое неравенство.

3.1. 3

3

3

22

хtg ;

3.2. 13

2

3

хctg ;

3.3. 36

52

хtg ;

3.4. 3

3

63

х

ctg ;

3.5. 3

3

42

хctg ;

3.6. 142

1

хtg ;

3.7. 34

32

хctg ;

3.8. 13

23

хtg ;

3.9. 3

3

6

5

2

1

хctg ;

3.10. 163

х

tg ;

3.11. 16

2

хctg ;

3.12. 343

х

tg ;

3.13. 162

1

хctg ;

3.14. 3

3

42

1

хctg ;

3.15. 16

5

2

1

хtg ;

3.16. 132

1

хtg ;

3.17. 362

1

хctg ;

3.18. 34

3

2

1

хctg ;

3.19. 16

2

хtg ;

3.20. 3

3

4

3

2

1

хctg ;

58

3.21. 33

2

2

1

хtg ;

3.22. 132

1

хctg ;

3.23. 13

2

хtg ;

3.24. 33

2

хctg ;

3.25. 2

2

3

2

2

1cos

х ;

3.26. 3

3

3

22

хctg ;

3.27. 14

2

хtg ;

3.28. 3

3

6

52

хctg ;

3.29. 34

32

хtg ;

3.30. 13

23

хctg .

59

Литература.

1. Абылкасымова А.Е., Шойынбеков К.Д. «Алгебра и начала

анализа». Учебник для 10 класса естественно - математического

направления общеобразовательных школ. Алматы: Мектеп, 2010.

2. Алгебра и начала анализа. 10–11 кл.: Учеб.-метод. пособие/ М.И.

Башмаков, Т.А. Братусь, Н.А. Жарковская и др. – М.: Дрофа, 2001. – 240

с.: ил. – (Дидактические материалы).

3. Галицкий М.Л. Сборник задач по алгебре и началам анализа 10-11

класс: Учеб. пособие. – М.: Просвещение, 1999.

4. Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные

работы по алгебре и началам анализа для 10–11 классов. М.: Илекса,

2005г.

5. Колмогоров А.Н. «Алгебра и начала анализа» 10-11 класс. - М.:

Просвещение, 2010г.

6. Контрольные и самостоятельные работы по алгебре: 10 класс: к

учебнику А.Г. Мордковича «Алгебра и начала анализа. 10–11 классы» /

М.А. Попов. – М.: Издательство «Экзамен», 2008.

7. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа 10-11 класс: задачник для

общеобразовательных учреждений. – М. Мнемозина, 2006.

7. Шыныбеков А.Н. «Алгебра и начала анализа».Учебник для 10-11

классов общеобразовательной школы. «Атамура», 2011.

8. Сканави М.И. «Математика в задачах для поступающих в вузы», –

М.: издательство «АСТ», 2010г.

борник индивидуальных заданий по...

Documents

Transcript of борник индивидуальных заданий по...