Тольятти 2007

Тольяттинский государственный университет Физико-технический институт

Кафедра «Общая и теоретическая физика»

Потемкина С.Н.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ФИЗИКЕ

2й семестр

Модуль 5

ПОСТОЯННЫЙ ТОК. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

2

Содержание Глава III. Постоянный электрический ток .......................................................................................3

§18. Условия существования электрического тока и его характеристики ..............................3 §19. Уравнение непрерывности ...................................................................................................4 §20. Сторонние силы. Электродвижущая сила...........................................................................6 §21. Закон Ома. Сопротивление проводников............................................................................8 §22. Закон Ома для неоднородного участка цепи ......................................................................9 §23. Разветвлённые электрические цепи. Правила Кирхгофа.................................................11 §24. Закон Джоуля-Ленца ...........................................................................................................13

24.1. Однородный участок цепи ............................................................................................13 24.2. Неоднородный участок цепи ........................................................................................14

Глава IV. Магнитное поле в вакууме .............................................................................................15 §25. Магнитное поле. Магнитная индукция .............................................................................15 §26. Поле движущегося заряда...................................................................................................17 §27. Закон Био-Савара-Лапласа .................................................................................................19 Пример 27.1. Магнитное поле прямого тока, т.е. тока, текущего по тонкому проводу бесконечной длины.................................................................................................................20 Пример 27.2. Магнитное поле на оси кругового тока, на расстоянии z от центра...........21

§28. Теорема Гаусса для поля вектора Br

.................................................................................22 §29. Теорема о циркуляции вектора B

r для поля постоянных токов в вакууме (или закон

полного тока) ...............................................................................................................................23 §30. Примеры применения теоремы о циркуляции вектора B

r..............................................24

Пример 30.1. Магнитное поле прямого тока........................................................................24 Пример 30.2. Магнитное поле соленоида.............................................................................25 Пример 30.3. Поток вектора B

r через соленоид ..................................................................26

Пример 30.4. Магнитное поле тороида.................................................................................27 §31. Сила Ампера. Закон Ампера...............................................................................................28 §32. Сила взаимодействия электрических токов......................................................................29 §33. Сила Лоренца .......................................................................................................................30 Пример 33.1. Положительный заряд (+q) движущийся со скоростью υr параллельно прямому проводу, по которому течет ток I ..........................................................................31

§34. Эффект Холла ......................................................................................................................32 §35. Дифференциальная форма записи основных законов магнитного поля........................33 §36. Движение заряженных частиц в магнитном поле ............................................................35 §37. Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле .................36

3

Глава III. Постоянный электрический ток

§18. Условия существования электрического тока и его характеристики Электрическим током называют упорядоченное движение заряженных частиц. Для протекания тока необходимо: 1. Наличие заряженных частиц (свободных носителей зарядов) – ими могут быть ионы,

электроны, заряженные пылинки и капельки. 2. Наличие внутри тела электрического поля.

E

Рис. 18.1

Если в проводнике поддерживать внешнее электрическое поле, то свободные электрические

заряды в нем начнут перемещаться (положительные заряды – по полю, отрицательные – против поля), в проводнике возникает ток проводимости.

Количественной характеристикой электрического тока служит сила тока. Сила тока - это скалярная физическая величина, определяемая электрическим заря-

дом, проходящим через поперечное сечение проводника в единицу времени:

dtdqI = . (18.1)

Если ток создается носителями зарядов обоих знаков, то:

dt

qd

dt

qdI

−+

+= . (18.2)

За направление тока принимается направление, в котором перемещаются положи-тельные носители.

Ток, сила и направление которого не изменяется со временем, называется постоянным. Для

постоянного тока: tqI = . Единицей силы тока является [I] = 1 A

Электрический ток может быть распределён неравномерно по поверхности, по которой он течёт. Более детально ток можно характеризовать с помощью вектора плотности тока – j

r.

Плотностью тока называется физическая величина, численно равная силе тока, про-ходящего через единицу площади поперечного сечения проводника, перпендикулярно на-правлению тока.

Модуль вектора плотности тока численно равен силе тока dI через расположенную в данной точке, перпендикулярно к направлению движения носителей, площадку dS , отнесённой к вели-чине этой площадки:

⊥

=dSdIj

r. (18.3)

4

За направление jrпримем направление упорядоченного движения положительных но-

сителей, т.е. по направлению тока. Единицей j

rявляется [j] = 1 А/м2 .

Зная вектор плотности тока в каждой точке пространства, можно найти силу тока I через любую поверхность S:

∫=⇒=⊥ S

SdjIdSdIj

rr,

где dSnSd rr

= ; nr – единичный вектор нормали к площадке dS, составляющей с вектором j

r угол α.

Сила тока – это поток вектора плотности тока через поверхность dS. Выразим силу и плотность тока через скорость упорядоченного движения зарядов в

проводнике. Если концентрация носителей тока равна n:

nnn −+ += – полное количество носителей. +υ

r и −υr – скорости (упорядоченного) движения носителей. За единицу времени dt через поперечное сечение S проводника переносится заряд:

Sdtnedq >

5

dtdq−

Рис. 19.1

nr – вектор положительной нормали nSd rr

↑↑

∫s

Sdjrr

– заряд, выходящий в единицу времени из объема ограниченного поверхностью S.

Поток j сквозь замкнутую поверхность равен убыли заряда в единицу времени внутри объема V.

∫ =S

dtdqSdj

rr. (19.1)

Формула (19.1) – уравнение непрерывности. Оно является выражением закона сохранения электрического заряда. По закону сохранения заряда эта величина равна скорости убывания за-ряда, содержащего в данном объеме.

Для постоянного тока:

∫ =S

Sdj 0rr

, (19.2)

∫=v

dVq ρ ;

тогда

VtdV

tdV

tdV

tSdj

vVS ∂∂

−=∂∂

−=∂∂

−=∂∂

−= ∫∫∫∫ρρρρ

rr, (19.3)

так как плотность заряда может зависеть не только от времени, но и от координат.

t∂∂ρ – знак частной производной подчеркивает, что )(tf=ρ (только от t).

Но

∫ ∫∇=S V

dVjSdjrrr

,

тогда

∫∫ ∂∂

−=∇VV

dVt

dVj ρr

. (19.4)

Дифференциальное уравнение:

t

j∂∂

−=∇ρr . (19.5)

Это уравнение носит название уравнения непрерывности в дифференциальной форме. Дивергенция j

r в некоторой точке равна убыли плотности заряда в единицу времени в той

же точке. В точках, которые являются источниками вектора jr

, происходит убывание заряда.

Для стационарного тока const=jr

; и тогда const=ρ , и 0t

=∂ρ∂ ; и

6

0=∇jr

. (19.6) Формула (19.6) – уравнение непрерывности для стационарного тока.

Рис. 19.2

В случае постоянного тока вектор j

r не имеет источников, т.е. линии постоянного тока ни-

где не начинаются и нигде не заканчиваются. Они всегда замкнуты. Для любого векторного поля выполняется соотношение:

∫∫∫ ∇==VVS

dVadVaSda rrrr div . (19.7)

§20. Сторонние силы. Электродвижущая сила Если в проводнике создать электрическое поле, то носители тока начнут перемещаться от

точки с большим потенциалом к точке с меньшим потенциалом (ϕ1 > ϕ2). Через некоторое вре-мя это приведёт к выравниванию потенциала и к исчезновению электрического поля, и ток пре-кратиться.

ϕ1 ϕ2

Рис. 20.1

Поэтому для существования постоянного тока необходимо наличие в цепи устройства, спо-

собного создавать и поддерживать разность потенциалов за счёт работы сил не электростатиче-ского происхождения. Такие устройства называют источниками тока, а силы не электроста-тического происхождения – называют сторонними.

Сторонние силы способны перемещать заряды от точки с меньшим потенциалом к точке с большим потенциалом. Природа сторонних сил может быть различна, эти силы могут быть обусловлены химическими процессами, электрическими полями (но не электростатическими), порождаемыми меняющимися во времени магнитными полями.

Итак, сторонние силы совершают работу по перемещению электрических зарядов. Характеристикой сторонних сил является ЭДС (ε ): ЭДС – физическая величина равная отношению работы сторонних сил по перемеще-

нию положительного единичного заряда к величине этого заряда:

7

qAСТ=ε . (20.1)

ε как и ϕ выражается в вольтах. Сторонняя сила СТF

r, действующая на заряд q, может быть выражена как:

СТСТ EqFrr

= , (20.2)

где СТEr

– напряженность поля сторонних сил.

Работа сторонних сил на участке цепи 1–2 равна:

∫∫∫ ===2

1

2

1

2

112 ldEqldEqldFA СТСТСТ

rrrrr. (20.3)

Разделив эту работу на q, получим ЭДС, действующую на данном участке 1–2, т.е. q

AСТ=ε ,

∫

∫==

2

1

2

1 ldEq

ldEq

СТ

СТ rr

rr

ε . (20.4)

Для замкнутой цепи имеем:

∫= ldEСТrrε , (20.5)

где ε – ЭДС, действующая в замкнутой цепи. ЭДС, действующая в замкнутой цепи, равна циркуляции вектора напряжённости сто-

ронних сил. В цепи, кроме сторонних сил, действуют ещё и электростатические силы: EqF

rr= . Следова-

тельно, результирующая сила, действующая в каждой точке цепи на заряд q, равна: )( СТСТСТЭЛ EEqEqEqFFF

rrrrrrr+=+=+= .

Работа, совершаемая этой силой над зарядом q на участке цепи 1-2, определяется вы-ражением:

∫ ∫ +−=+=2

1

2

1122112 εϕϕ qqldEqldEqA СТ )(

rrrr. (20.6)

Величина, численно равная работе, совершаемой электростатическими и сторонними сила-ми при перемещении положительного единичного заряда, называется падением напряжения или просто напряжением – U на данном участке цепи.

qAAU СТЭЛ += ; 122112122112 εε ϕϕϕϕ +−=⇒−= + )()( Uq

qqU . (20.7)

Участок цепи, на котором не действуют сторонние силы, называют однородным. Для однородного участка цепи: 2112 ϕϕ −=U напряжение совпадает с разностью потен-

циалов на концах этого однородного участка. Участок цепи, на котором на носители тока действуют сторонние силы, называются

неоднородным, для него: )( 211212 ϕϕε −= +U

8

§21. Закон Ома. Сопротивление проводников Георг Ом экспериментально установил связь между силой тока, сопротивлением и напряже-

нием однородного участка цепи.

RUI = . (21.1)

Формула (21.1) – интегральная форма записи закона Ома для однородного участка цепи. Сила тока текущего по однородному проводнику, пропорциональна падению напряже-

ния U на проводнике. Где R – электрическое сопротивление проводника [R]=1 В/A=1 Ом. 1 Ом – это сопротивление такого проводника, в котором при напряжении в 1 В течёт посто-

янный ток 1 А. Сопротивление проводника зависит от формы и размеров проводника, а так же от свойств

материала, из которого он изготовлен. Для однородного цилиндрического проводника:

SRlρ= , (21.2)

где l – длина проводника, S – площадь поперечного сечение, ρ – удельное сопротивление про-водника (зависит от материала проводника и от to) измеряется в Ом⋅м.

Закон Ома можно представить в дифференциальной форме: подставив выражение для со-

противления SRlρ= в закон Ома R

UI = получим: lρ

USI = или lρ

USI = где величина обратная

удельному сопротивлению σρ

=1 – называется удельной электропроводимостью материала.

[σ ]=[См⋅м] – (симменс на метр).

Учитывая, что EU =l

– напряжённость электрического поля в проводнике (из U=Edl), а

jSI = – плотность тока, тогда формулу можно записать в виде:

Ejrr

σ= , (21.3) т.к. в изотропном проводнике носители тока в каждой точке движутся в направлении вектора Er

, то направления jr

и Er

совпадают. Полученное соотношение и выражает закон Ома в дифференциальной форме. Оно не со-

держит дифференциалов (производных), а своё название получило потому, что в нём устанав-ливается связь между величинами, относящимися к одной и той же точке проводника. Иначе говоря, это соотношение выражает локальный закон Ома.

Сравнив выражения Venjrr

= и Ejrr

σ= , получим, что скорость упорядоченного движения носителей тока пропорциональна напряжённости ЭСП, т.е. силе сообщённой носителям упоря-доченного движения. Пропорциональность скорости приложенной к телу силе наблюдается в тех случаях, когда кроме силы, вызвавшей движение, на тело действует сила сопротивления среды. Эта сила вызывается взаимодействием носителей тока с частицами, из которых построе-но вещество проводника. Наличие силы сопротивления упорядоченному движению носителей тока обуславливает электрическое сопротивление проводника.

Способность вещества проводить электрический ток характеризуется его удельным сопро-тивлением ρ, либо удельной проводимостью σ – они зависят от химического состава вещества и от температуры.

Для большинства металлов ρ∼T (если Т→Тком). При низких температурах наблюдается от-ступление от этой закономерности.

9

В большинстве случаев зависимость ρ от T следует кривой 1 (рис. 21.1). У многих металлов (Pb, Al, Zn) и их сплавов при Тк (критическая) сопротивление скачкообразно уменьшается до нуля (кривая 2), т.е. металл становится абсолютным проводником. Это явление называется сверхпроводимостью.

TTк

1 2

ρ

Рис. 21.1

Явление сверхпроводимости открыто в 1911г. Камерлинг-Оннесом для ртути. Сверхпрово-

дящее состояние проводника при действии на него магнитным полем нарушается. Удельное сопротивление и сопротивление зависят от t:

( )tRR α+= 10 ; (21.4) ( )tαρρ += 10 , (21.5) где ρ и ρ0, R и R0 при to и 0o, а α – температурный коэффициент сопротивления. α=1/273 К-1.

На зависимости электрического сопротивления от температуры основано действие термо-метров сопротивления. Они позволяют определять температуру с точностью до 0,003 К.

§22. Закон Ома для неоднородного участка цепи Рассмотрим неоднородный участок цепи, на котором кроме электростатических сил, дейст-

вуют сторонние силы. Для него:

ЭЛСТ FFFrrr

+= . (22.1) и

ЭЛСТ EEErrr

+= , (22.2) тогда

)( СТЭЛСТЭЛСТЭЛ EEEEjjjrrrrrrr

+=+=+= σσσ . (22.3) Эта формула выражает закон Ома для неоднородного участка цепи в дифференциальной

форме.

Рис. 22.1

Получим формулу закона Ома для неоднородного участка цепи в интегральной форме. Рассмотрим неоднородный участок цепи (рис. 22.1).

10

Пусть электрический ток течёт вдоль тонких проводов. Тогда направление тока совпадает с направлением оси провода и плотность тока j

r одинакова во всех точках сечения провода.

Пусть площадь сечения провода S, а по длине провода S может быть неодинакова. Тогда )( СТЭЛ EEj

rrr+= σ . (22.4)

СТЭЛ EEj rrr

+=σ

, (22.5)

домножим (22.5) на lr

d и проинтегрируем по lr

d от точки 1 до точки 2

∫ ∫∫ +=2

1

1

1

2

1

lrr

lrrl

rr

dEdEdj СТЭЛσ, (22.6)

заменив jr

отношением SI (т.к.

SIj = ), а

ρσ 1= в итоге получится:

∫ ∫∫ +=2

1

1

1

2

1

lll dEdES

dIll СТЭЛ

ρ . (22.7)

Выражение Sdlρ представляет собой сопротивление участка контура длины ld , а интеграл

от этого выражения – суммарное сопротивление R12 участка цепи.

∫ ∫+=2

1

1

112 ll dEdEIR ll CTЭЛ , (22.8)

21 ϕϕ − и 12ε – действующие на участке 122112 εϕϕ +−= )(IR , (22.9) где rRR12 += – полное сопротивление цепи.

rRI ++−= 1221 εϕϕ )( . (22.10)

Формула (22.10) выражает закон Ома в интегральной форме для неоднородного участка це-пи.

- +

Рис. 22.2

Положим 21 ϕϕ = получим выражение закона Ома для замкнутой цепи

rRI +=ε . (22.11)

Как наглядно изобразить процесс, протекающий в замкнутой цепи постоянного тока?

11

A

B

Eст

Рис. 22.3 Точка А – соответствует положительной клемме источника, т. В – соответствует отрица-

тельной клемме источника. Процесс протекания тока можно представить так (рис. 22.3): положительные заряды – носи-

тели соскальзывают по наклонному желобу от точки А к точке В по внешнему участку цепи. Внутри источника от точки В к точке А их перемещают сторонние силы.

§23. Разветвлённые электрические цепи. Правила Кирхгофа Расчет разветвлённых цепей, например нахождение токов в отдельных ветвях, значительно

упрощается, при пользовании правилами Кирхгофа. Узлом разветвлённой цепи называется точка, в которой сходятся три или более проводника.

Ток текущий к узлу считается имеющим знак (+I), из узла – знак (–I). Ветвью электрической цепи – называется участок цепи вдоль которого проходит один и тот

же ток. Первое правило Кирхгофа относится к узлам разветвлённых цепей.

01

=∑=

N

iiI . (23.1)

Алгебраическая сумма токов сходящихся в узле равна 0. Первое правило Кирхгофа вытекает из уравнения непрерывности, т.е. в конечном счёте, из

закона сохранения заряда. Первое правило Кирхгофа можно написать для каждого из N узлов цепи, но независимыми

являются только (N – 1) уравнения, N-е будет следствием из них. Второе правило Кирхгофа относится к любому, выделенному в разветвленной цепи замк-

нутому контуру. Контур – любой замкнутый путь, который можно обойти, перемещаясь по любым ветвям

цепи.

R1 R2

R3

1

2

3

I 1

I 2

+ - +

-

E + -

Рис. 23.1

12

Алгебраическая сумма произведений сил токов в отдельных участках произвольного

замкнутого контура на их сопротивления равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре.

∑∑ =ki

kii RI ε . (23.2)

Для доказательства рассмотрим контур: Пусть обход контура совершается по часовой стрелке: тогда для каждого участка согласно,

закон Ома:

31333

22222

12111

εϕϕεϕϕ

εϕϕ

+−=+−=

+−=

)()(

)(

RIRIRI

(23.3)

∑∑ =⇒++=++k

ki

ii RIRIRIRI εεεε 321332211 . (23.4)

Таким образом, второе правило Кирхгофа является следствием закона Ома для неоднород-ного участка цепи. Составление системы уравнений Правила Кирхгофа в каждом конкретном случае позволяют написать полную систему урав-

нений, из которых могут быть найдены, например, все неизвестные токи.

2

3

4

1

x

x

х

Рис. 23.2

По 1 и 2 правилам Кирхгофа уравнений нужно составлять столько, сколько неизвестных ве-

личин, но надо следить, чтобы одни уравнения не являлись следствием других. По 1 правилу Кирхгофа следует для цепи из N узлов записать (N – 1) независимых уравне-

ний. По второму правилу Кирхгофа составлять уравнения только для независимых контуров. Независимыми контурами являются те, которые нельзя составить наложением уже рас-

смотренных контуров. Число независимых уравнений по второму правилу Кирхгофа оказыва-ется равным числу наименьших разрывов, которые нужно сделать, чтобы нарушить все конту-ры. Для такого контура (рис. 23.2) число независимых уравнений, составленных по 2-ому пра-вилу Кирхгофа – 3. При составлении уравнений по правилам Кирхгофа необходимо поступать так: 1. Произвольным образом выбрать направление токов на всех участках цепи; действитель-

ное направление токов определяется при решении задачи. Если при расчётах искомый ток получается отрицательным, то его истинное направление противоположно выбран-ному.

2. Выбрать направление обхода контура. Произведение Ii⋅Ri считается положительным, ес-ли направление обхода и направление тока на данном участке совпадает, и считается от-рицательным (–Ii⋅Ri), если направление обхода и направление тока на данном участке не совпадают. ЭДС берётся со знаком (+) если она действует в направлении обхода, или со знаком (–) если против.

13

3. Составить столько уравнений по 1 и 2 правилам Кирхгофа, сколько неизвестных, и ре-шить систему уравнений.

Модели: Цепи постоянного тока ОФ 1.0; Видеозадачи: 1) Загадка для лентяев; 2) Задуем

лампочку – Видеозадачник, ч1, 3

§24. Закон Джоуля-Ленца При протекании тока через проводник, обладающий сопротивлением, проводник нагревает-

ся (если он неподвижен и в нём нет химических превращений, то работа тока расходуется на нагревание проводника). Определим количество теплоты, выделяющегося в единицу времени на участке цепи. Рассмотрим однородный и неоднородный участки цепи, будем использовать закон Ома и закон сохранения энергии.

24.1. Однородный участок цепи

Рассчитаем работу, которую совершают силы поля над носителями тока на участке 1–2 за время dt. Сила тока в проводнике I, разность потенциалов между точками 1 и 2 – (ϕ1 – ϕ2). То-гда: Idtdq = – такой заряд протечёт через поперечное сечение участка 1-2.

dtIdqdA )()( 2121 ϕϕϕϕ −=−= (24.1) работа, совершаемая при перенесении заряда dq через поперечное сечение проводника на уча-стке 1–2, силами поля.

dS

dl

E

j

Рис. 24.1

Согласно закону сохранения энергии, энергия, эквивалентная этой работе, выделяется в виде

тепла, если проводник неподвижен и в нём не происходят химические превращения, т.е. про-водник нагревается. Носители тока (в металлах электроны) в результате работы сил поля при-обретают дополнительную кинетическую энергию, а затем расходуют её на возбуждение коле-баний решётки при столкновении с её узлами-атомами. Тогда: RdtIdtIdA 221 =−= )( ϕϕ . (24.2)

Т.к. ( ) IR=− 21 ϕϕ , проинтегрировав, получаем: RtIA 2= , (24.3) но т.к.

R

tUIUtRtIAQ2

2 ==== . (24.4)

Эта формула выражает закон Джоуля-Ленца для однородного участка цепи в интегральной форме записи. Если сила тока изменяется со временем, то количество теплоты, выделяющееся за время t вычисляется по формуле:

14

dtRIQt

∫=0

2 . (24.5)

Получим дифференциальную форму записи закона Джоуля-Ленца.

SIj = ;

SR lρ= ; dVdSdl = – величина элементарного объема.

dVdtpjdtdSdjdSRdtIdAdQ 222 ==== lρ)( . (24.6)

Формула (24.6) определяет тепло, выделяющееся во всём проводнике, можно перейти к вы-ражению, характеризующему выделение тепла в различных местах проводника. Выделим в проводнике элементарный объём в виде цилиндра. Согласно закону Джоуля-Ленца за время dt в этом объеме выделяется тепло.

Разделив это выражение на dV и dt, найдём количество тепла, выделяющееся в единице объ-ема в единицу времени, эту величину назвали удельной тепловой мощностью тока ω.

Удельная тепловая мощность тока – это количество теплоты выделяющееся в едини-цу времени в единице объема проводящей среды.

Тогда:

dVdtdVdtj

dVdtdQ 2ρ= ; (24.7)

ω=dVdtdQ , (24.8)

то 2jρω = . (24.9)

Формула (24.9) – дифференциальная форма записи закона Джоуля-Ленца. Сформулируем его:

Удельная тепловая мощность тока пропорциональна квадрату плотности электриче-ского тока и удельному сопротивлению среды в данной точке.

Уравнение 2jρω = применимо к любым проводникам вне зависимости от их формы, одно-родности и от природы сил, возбуждающих электрический ток. Если на носители тока дейст-вуют только электрические силы, то, согласно закону Ома:

EEjr

rr

σρ

== , и 2jρω = , то

2EEj σω ==rr

. (24.10)

Это уравнение имеет менее общий характер, чем уравнение 2jρω = .

24.2. Неоднородный участок цепи

На неоднородном участке цепи на носители тока действуют не только электрические, но и сторонние силы, т.к. участок цепи содержит источник ЭДС. Тогда по закону сохранения энер-гии в неподвижном проводнике выделяемая теплота равна энергии, т.е. алгебраической сумме работ электрических и сторонних сил. Это же относится и к соответствующим мощностям: теп-ловая мощность должна быть равна алгебраической сумме мощностей электрических и сторон-них сил: IIUIP 1221 )( εϕϕ +−== . (24.11)

UIP = – выделяющаяся на участке тепловая мощность. При наличии сторонних сил вели-чина тепловой мощности определяется по той же формуле, что и для однородного участка цепи. Последнее слагаемое в правой части формулы: I⋅ε – представляет собой мощность, развивае-мую сторонними силами на данном участке цепи, но величина I⋅ε – алгебраическая, в отличие

15

от величины UIP = она изменяет знак при изменении направления тока I. Таким образом, дан-ная формула означает, что тепловая мощность, выделяемая на участке цепи между точками 1 и 2, равна алгебраической сумме мощностей электрических и сторонних сил. Сумму этих мощно-стей, называют мощностью тока на рассматриваемом участке цепи. Тогда можно сказать, что в случае неподвижного участка цепи мощность выделяемой на этом участке теплоты равна мощности тока.

Для полной неразветвлённой цепи 21 ϕϕ = , тогда: IQ ε= – формула определяет общее количество выделяемой за единицу времени во всей

цепи джоулевой теплоты (Q), оно равно мощности только сторонних сил. Итак, теплота производится только сторонними силами, а электрическое поле только пере-

распределяет эту теплоту по различным участкам цепи. Получим выражение закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме записи.

)( СТEEjrr

+= σ ,

разделим на σ,

)( СТEEj rrr

+=σ

,

)( СТEEjrrr

+=ρ , (24.12)

)( СТEEjjrr

+== ρω 2 . (24.13)

Глава IV. Магнитное поле в вакууме

§25. Магнитное поле. Магнитная индукция Как в пространстве, окружающем электрический заряд возникает ЭП, так и в пространстве,

окружающем токи и постоянные магниты, возникает силовое поле, называемое магнитным (МП).

В 1820г. датский физик Эрстед обнаружил, что поле, возбуждаемое током, оказывает ориен-тирующее действие на магнитную стрелку.

Опыт Эрстеда заключался в следующем: над магнитной стрелкой натягивалась проволока, по которой пропускали ток. Магнитная стрелка могла вращаться на игле. При включении тока магнитная стрелка поворачивалась и устанавливалась перпендикулярно к проволоке. При изме-нении направления тока, магнитная стрелка поворачивалась в противоположную сторону и опять устанавливалась перпендикулярно к проволоке.

Из опыта Эрстеда вытекает, что МП имеет направленный характер и должно характеризо-ваться векторной величиной, называемой магнитной индукцией и обозначаемой B

r.

Электрическое поле действует как на неподвижные, так и на движущиеся заряды, а МП – только на движущиеся в этом поле заряды.

Важнейшая особенность МП: оно действует только на движущиеся заряды. Для обнаружения ЭП в него вносят пробный заряд. Для обнаружения МП в него вносят про-

водник с током (плоский замкнутый контур с током) или рамку с током, линейные размеры рамки с током малы по сравнению с расстоянием до токов, порождающих МП.

МП действует на рамку с током и рамка с током поворачивается. Ориентация контура с то-ком в пространстве характеризуется направлением нормали ( nr ), т.е. за направление МП в дан-ной точке принимают направление положительной нормали к рамке.

16

Рис. 25.1

За положительное направление нормали принимается направление, связанное с направлени-

ем тока правилом правого винта, т.е. за положительное направление nr принимается направле-ние поступательного движения правого винта, головка которого вращается в направлении тока, текущего по рамке (рис. 25.1).

МП оказывает на контур с током (рамку с током) рис. 25.1. ориентирующее действие, пово-рачивая его определенным образом. Этот результат связан с определенным направлением маг-нитного поля.

Рис. 25.2

За направление индукции МП ( B

r) в данной точке принимается направление, вдоль которого

располагается положительная нормаль к контуру с током. Пусть ток течет по контуру против хода часовой стрелки, тогда ось магнитной стрелки, по-

мещенной в МП, устанавливается вдоль направления поля (ось магнитной стрелки направлена так, что соединяет южный полюс S магнита с северным N).

На магнитную стрелку действует пара сил, поворачивающая ее до тех пор, пока ось стрелки не установится вдоль направления поля.

Вращающий момент, действующий на рамку с током равен:

[ ]BpM мrrr ,= . (25.1)

Вращающий момент зависит от свойств поля в данной точке и свойств рамки, где pr – век-тор магнитного момента рамки с током, B

r – вектор магнитной индукции.

nISpмrr

= , (25.2) магнитный момент плоского контура с током, где I – сила тока в контуре, S – площадь поверх-ности контура (рамки), nv - единичный вектор нормали к поверхности рамки.

pr м ↑↑ nv , где nr – направление положительной нормали к рамке.

Индукция МП определяется так:

мp

MB rr

rmax= , (25.3)

или

мp

MBB rr

max== . (25.4)

17

Вектор Br

– силовая характеристика МП, но по историческим причинам ее назвали индук-цией МП.

МП можно изображать с помощью линий магнитной индукции – силовых линий МП. Силовыми линиями МП называются линии, касательные к которым в каждой точке совпада-

ют с направлением вектора Bv

. Направление силовых линий задается правилом правого винта: острие винта, движется по

направлению тока, а направление вращения головки винта показывает направление обхода по силовым линиям.

Рис. 25.3

Свойства силовых линий (линий магнитной индукции) МП: 1) Линии магнитной индукции всегда замкнуты и охватывают проводники с током. (Силовые линии ЭСП разомкнуты. Они начинаются на (+q) и заканчиваются на (–q)). Поле, силовые линии которого замкнуты, называется вихревым. МП - вихревое поле. Изобра-

зим линии магнитной индукции полосового магнита. Силовые линии выходят из северного по-люса и входят в южный. Разрезая магнит на части, нельзя разделить полюса магнита. Внутри (установлено на опыте) полосовых магнитов имеется магнитное поле, силовые линии которого являются продолжением силовых линий вне магнита. Т.е. силовые линии МП посто-янных магнитов тоже замкнуты. Свободных магнитных зарядов не существует.

2) Линии МП никогда не пересекаются. Их густота характеризует величину магнитной индукции в данной точке поля. Магнитная индукция зависит от свойств среды.

3) Для магнитного поля справедлив принцип суперпозиции:

∑=

=N

iiBB

1

rr. (25.5)

Поле вектора Br

, порождаемое несколькими движущимися зарядами (токами), равно век-торной сумме полей iB

r, порождаемых каждым зарядом (током) в отдельности.

В СИ единицей измерения магнитной индукции является тесла: 1 Тл = Дж/А·м² = Н·м/А·м² = Н/А·м Магнитной проницаемостью среды является безразмерная величина, показывающая, во

сколько раз МП в среде больше чем МП в вакууме:

B/BB/Bμ осрваксрrrrr

== , (25.6)

где В0 – величина МИ в вакууме, а Вср – величина магнитной индукции в среде. 7104 −⋅= πμο Гн/м – магнитная постоянная.

§26. Поле движущегося заряда

18

Пространство изотропно, и если заряд неподвижен, то все направления оказываются равно-правными. Если же заряд движется со скоростью υr , в пространстве появляется выделенное на-правление. Пусть заряд движется с постоянной скоростью (υr

19

§27. Закон Био-Савара-Лапласа Выясним характер магнитного поля, создаваемого произвольным тонким проводом, по ко-

торому течет ток.

Рис. 27.1

Рассмотрим малый элемент длины провода – dl , пусть S – площадь поперечного сечения

провода (рис. 27.1), тогда число носителей nSdlnυN ==

[ ]

340πr

r,υdqμBd

rrr

= , (27.1)

но ρdυdq = , а enρ = , a >

20

Модуль вектора элементарной магнитной индукции, поля созданного линейным элементом проводника стоком равен:

20

0 sin4 r

IdldB απεµ

= , (27.8)

где α – угол между векторами ldr

и rr . Расчет по формулам (27.3, 27.6, 27.8) индукции МП тока произвольной конфигурации сло-

жен. Но расчет упрощается, если распределение тока имеет некоторую симметрию. Приведем несколько простейших примеров расчета индукции магнитного поля тока.

Пример 27.1. Магнитное поле прямого тока, т.е. тока, текущего по тонкому проводу беско-нечной длины

Рис. 27.2

∆MСD ~ ∆MОА.

αrdDC = , 0rOA = ,

dlDM = , rMA = , rda/dla =sin , (1) /rra 0sin = , (2)

0

2da/rrdl = . Согласно закону Био-Савара-Лапласа, модуль магнитной индукции элемента проводника с

током: 23 4sin4sin π rα/Idl μμπrα/Idl r μμdB οο == . (3)

Все вектора Bdr

в данной точке имеют одинаковое направление: перпендикулярно плоско-сти чертежа, за чертеж (⊗ B

r), поэтому можно ∑ iBd

r заменить на ∑ idB (их модулей)

02

2

4sin0

rπradaIrμμdB = ;

0

24sin0

rπrαdaIμμdB = . (4)

Угол α для всех элементов бесконечно длинного прямого тока изменится от 0 до π, тогда по-лучаем:

( )[ ]0

0

0

0

00

0

42

90coscos14

sin4 πr

Iμμπ

πrIμμada

πrIμμ

dBBπ

=°−−⋅

=∫=∫= ,

21

0

0

2πrIμμ

B = . (5)

Вектор Bdr

всегда направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат ldr

и rr . Направ-ление тока – это направление, связанное правилом правого винта.

[В] = 1Тл = 1 Н/А·м = 1 Дж/А·м2 Линии вектора B

r прямого тока – система охватывающих провод концентрических окруж-

ностей.

Пример 27.2. Магнитное поле на оси кругового тока, на расстоянии z от центра

Определить индукцию МП, создаваемого проводником с током, согнутым в кольцо радиуса R в т. А, лежащий на перпендикуляре к плоскости кольца, восстановленном из его центра (см. рис. 27.3.).

Рис.27.3

Согласно закону Био-Савара-Лапласа:

34][

πrrl,dIμμBd οrrr

= ;

20

4sin

πrαIdl r μμdB = .

Вектор Bdr

перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы rl,d rr

и точка, в которой вычисляется поле.

Пусть т. А начало координат: zx BdBdBdrrr

+= В силу симметрии картины 0=xB

ϕcos⋅= BdBd zrr

, 24cossin πr/αIdl r μμBd οz ϕ=

r,

2/πα = ; ( )rld rr ⊥ .

22

При перемещении элемента с током по кольцу

const=ϕ , ( ) 2π/rl,dα =∠= rr , R/r=ϕcos ; 222 zRr += ,

( ) ( ) 43222

232

2

0

2

2424cos 0

2

00 //

к

zzzR

IRμμzRππRIRμμdlπr/IμμdBB

+⋅=

+

⋅=== ∫∫

π

ϕ .

1. Если z = 0 (т.е. в точке О), то:

RIμμB

20

0 = – магнитная индукция поля, создаваемого кольцом с током.

2. При z >> R 32

0

2 zIRμμBz

⋅= ;

При μ = 1 RIμB

20

0 = .

§28. Теорема Гаусса для поля вектора Br

МП обладает двумя важнейшими свойствами, они связаны с потоком и циркуляцией и вы-

ражают основные законы МП. Основными законами МП являются: теорема Гаусса и теорема о циркуляции. Поток вектора B

r. Теорема Гаусса для поля B

r.

Потоком вектора МП через площадку dS называется скалярная величина dΦ , равная

Рис. 28.1

dSВdΦВ ⋅= , (28.1) или αdSВdΦВ cos⋅⋅= , (28.2)

αBBn cos= .

ndSSd rr

= – вектор, модуль которого равен dS , а направление совпадает с ( nr ) нормалью к площадке.

Поток вектора Br

МП может быть как положительным, так и отрицательным. Положительное направление нормали связано с направлением тока правилом правого вин-

та. Магнитный поток, создаваемый контуром, через поверхность, ограниченную им са-

мим, всегда положителен.

23

∫∫ ==SS

B SdBdSnBΦrrr . (28.3)

Если SdBrr

⊥ , то BSΦB = . [Фв] = 1Вб = 1Тл · 1м2 1 вебер – это магнитный поток, проходящий через поверхность, ограниченную им са-

мим, всегда положителен. Теорема Гаусса для поля B

r: поток вектора B

r сквозь любую замкнутую поверхность равен

нулю.

∫ =S

SdB 0rr

. (28.4)

Теорема Гаусса является обобщением опыта. Она как постулат выражает эксперименталь-ный факт, что линии B

r не имеют ни начала, ни конца, т.е. МП не имеет источников.

Число линийBr

, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегда равно числу линий, входящих в этот объем.

Поток вектораBr

сквозь замкнутую поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности S. Формула (28.4) выражает тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, т.е. МП не

имеет источников.

§29. Теорема о циркуляции вектора Br

для поля постоянных токов в вакууме (или закон полного тока)

Циркуляцией вектора В по заданному контуру называется интеграл:

∫∫ =L

lL

dlBldBrr

, (29.1)

где ldr

– элементарный вектор длины контура, направленный вдоль контура.

αBBl cosrr

= , (29.2)

где Вl – составляющая вектора Br

в направлении касательной к контуру;

( )l,dBα rr∠= – угол между векторами Br и ldr . Теорема о циркуляции B

r, или закон полного тока (для МП постоянных токов в вакууме):

Циркуляцией вектора Br

по произвольному замкнутому контуру L в вакууме равна произве-дению μ0 на алгебраическую сумму токов, охватываемых контуром L.

IμldBL∫ = 0

rr, (29.3)

где

∑=

=N

iiII

1

, (29.4)

где сила тока, величина алгебраическая, N – число проводников с токами, охватываемых конту-ром L.

Каждый ток учитывается столько раз, сколько он охватывается контуром. Ток считается по-ложительным, если его направление связано с направлением обхода правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным.

24

Рис. 29.1

Например: (смотри рис. 29.1)

IIIIIIIIIN

ii 13243321

120 −⋅+=⋅−+++−=∑

=

. (29.5)

Выражение (29.5) справедливо только для поля в вакууме. Формула (29.3) – постулат, под-твержденный экспериментально.

Если ток I распределен по объему, то ∫= jdSI , (29.6) где S – произвольная поверхность, натянутая на контур. И тогда (29.3) можно записать так:

dSjSjdSμBdIL

000 µ==∫ . (29.7) Факт, что циркуляция вектора B

r, вообще говоря, не равна нулю, означает, что поле B

r не

потенциально. Поле Br

называют вихревым или соленоидальным. Закон (29.7) называют еще законом полного тока. Теорема о циркуляции вектора B

rиграет примерно такую же роль, что и теорема Гаусса для

векторов Er

и Dr

. Но циркуляция B

r определяется только теми токами, которые охватывают данный кон-

тур. При наличии специальной симметрии теорема о циркуляции оказывается весьма эффек-тивной, позволяя очень просто находить B

r.

§30. Примеры применения теоремы о циркуляции вектора Br

Пример 30.1. Магнитное поле прямого тока

Рис. 30.1

25

Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом а. Найти индукцию B

rполя снаружи и внутри провода. Линии векто-

ра Br

имеют вид окружностей с центром на оси провода.

r1 = r > 0 r1 ≤ a

0 a

~ r1~ r 2

1~1~rr

r

В

Рис. 30.2. График зависимости B = f (r)

Модуль вектора B

r должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода.

Для круглого контура – Г1 по теореме о циркуляции Br

: IμπrB 012 =⋅ , (30.1) или

1

0

2 rIB

πµ

= , )( 1 ar ≥ , (30.2)

Внутри провода рассмотрим контур Г2 : 2022 2 IrB µπ =⋅ , (30.3) но

2rI

π, (30.4)

– ток, приходящийся на единицу площади. Тогда

2222 raII π

π⋅= , (30.5)

или

2

22

=

arII , (30.6)

2

2

220

2 2 raIrBπ

µ= , (30.7)

220

2 2 aIrB

πµ

= , (r2 ≤ a). (30.8)

Если провод имеет вид трубки, то снаружи индукция Bопределяется формулой (30.8), а внутри – магнитное поле отсутствует.

Пример 30.2. Магнитное поле соленоида

Соленоид – это цилиндрическая катушка, состоящая из большого числа витков, равномерно намотанных на общий сердечник. Пусть ток I течет по соленоиду, имеющему n витков на единицу длины ( lNn= ). Шаг винтовой линии достаточно мал и каждый виток соленоида мож-но приближенно заменить замкнутым витком. Считаем, что сечение проводника настолько ма-ло, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности. Для бесконечно длинного соленоида (как показывает опыт) магнитное поле снаружи соленоида отсутствует вообще.

26

Линии вектора Brвнутри соленоида направлены вдоль его оси, а вектор B

r составляет с на-

правлением тока в соленоиде правовинтовую систему.

B

l

Рис. 30.3

В виде замкнутого контура выберем прямоугольник. Циркуляция вектораB

r по данному кон-

туру равна B·l и контур охватывает ток: INlIn ⋅=⋅⋅0 ; (30.9) по теореме о циркуляции lInμlB ⋅⋅⋅=⋅ 00 , (30.10)

InμllINμB ⋅⋅⋅⋅⋅ == 000 , (30.11)

lNIμB 0= . (30.12) Т.е. поле внутри длинного соленоида однородно, (за исключением областей, примыкающих

к торцам соленоида, но этим при расчетах часто пренебрегают). Произведение:

In0 , (30.13) – называют числом ампер-витков, при n0=2000 (витк/м) и I = 2А магнитное поле соленоида В = 5·10-3 Тл. InμB 00= . (30.14)

[ ] [ ] 100 =⋅⋅= InμB (Гн/м)·(1/м)·А = 1 В·с·А/А·м2 = 1 Тл 1 Гн = 1В·1с/1А

Пример 30.3. Поток вектора Br

через соленоид

Магнитная индукция однородного поля внутри соленоида с сердечником с магнитной про-ницаемостьюµ по теореме о циркуляции равна:

lNIμμB 0= , (30.15) или Iμμ nB 00= , (30.16) где lNn =0 .

Магнитный поток через один виток равен: BSΦ =1 . (30.17)

Полный магнитный поток соленоида равен: lSINμμNBSNΦψ 201 === , (30.18) или

27

IVnμμlISnμμlISlμμ nψ 0200202020 === , (30.19) где 0n – число витков на единицу длины; V – объем поля внутри соленоида.

Пример 30.4. Магнитное поле тороида

Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора или достаточ-но длинный соленоид, свитый в кольцо (рис. 30.4). Из соображений симметрии следует, что си-ловые линии вектора B

r являются окружностями, центры которых расположены на оси ОО' то-

роида. В качестве замкнутого контура возьмем одну из таких окружностей, радиусом R (рис. 30.5). Тогда если контур расположен внутри тороида, имеющего N витков в катушке, а по проводу течет ток I, то контур охватывает ток NI. По теореме о циркуляции:

Рис. 30.4

NIμπRB 02 = => (30.20)

( ) ( )rNIπμB ⋅= 20 , (30.21) длину тороида следует считать по средней линии.

Рис. 30.5

Внутри тороида МП совпадает с полем прямого тока NI , текущего вдоль оси OO'. Если вы-

бранный контур проходит вне тороида, то токов он не охватывает и 02 =πrB . (30.22)

Т.е. вне тороида МП отсутствует. Мы предполагали, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т.е. в плоскостях,

проходящих через ось ОО' тороида. У реального тороида витки не лежат строго в этих плоско-стях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси ОО', она создает дополнительное МП, аналогичное полю кругового тока.

28

§31. Сила Ампера. Закон Ампера Если провод, по которому течет ток, находится в МП, то на каждый из носителей тока дей-

ствует сила:

( )[ ]B,UqF лмrrrr

+= υ , (31.1)

Ur

– скорость теплового движения. υr – скорость упорядоченного движения. И тогда на провод с током действует сила.

Найдем силу Fdr

, действующую на элемент длины проводника dl , по которому течет ток I.

Т.к. Urr

29

αIlBF A sin=r dlSdV = , (31.11)

– модуль силы Ампера. Силы, действующие на токи в МП, называют амперовыми или силами Ампера.

§32. Сила взаимодействия электрических токов

Рис. 32.1

Найдем амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных бесконечно длинных проводника с токами 1I и 2I одного направления, расстояние между проводами равно а. Рассмотрим два бесконечно прямолинейных тока 1I и 2I одного направления, расстояние между токами – а.

Тогда каждый из проводников создает МП, которое, по закону Ампера, действует на другой проводник с током.

Проводник с током 1I создает МП, индукция которого на расстоянии а равна:

πa

IμμB4

2 101 = , (32.1)

а проводник с током 2I –

πa

IμμB4

2 202 = . (32.2)

Тогда сила Ампера, действующая со стороны МП, создаваемого вторым током I2 на элемент тока 1I длиной dl равна:

[ ]2121 B,ldIFd rrr

= ; (32.3)

αdlBIdF sin2121 = . (32.4)

Вектор 2Br

перпендикулярен плоскости листа, направлен на нас (по правилу правого винта): в т. D 2B . Тогда:

2121 dlBIdF = . (32.5)

А на элемент тока dlI2 , помещенный в МП с индукцией 1Br

действует сила Ампера:

[ ]1212 B,ldIFd rrr

= , (32.6)

или учтя, что в т. С 1Br

перпендикулярен плоскости листа, направлен от нас: в т.С 1B⊗ ,

BdlIFd 1212 = ; (32.7)

a

IμμdlIFd

π42 201

21 = , (32.8)

(если токи текут в среде с проницаемостью μ ).

30

πa

IμμdlIFd 4

2 10212 = ; (32.9)

FdFd 2112 = , (32.10) т.е. два параллельных тока одинакового направления притягиваются друг к другу с силой:

πa

dlIIμμπa

dlIIμμdF24

2 210210 == . (32.11)

§33. Сила Лоренца На заряд, движущийся в МП, действует сила, которую будем называть магнитной состав-

ляющей силы Лоренца. Она определяется величиной заряда – q, его скоростью - υr , и Br

в той точке, где находится заряд, в рассматриваемый момент времени. ],[ BqF

rrrυ= . (33.1)

Формула (33.1) была установлена опытным путём. αqF sinυυ= (33.2) – модуль силы Лоренца, где α – угол между вектором скорости и вектором магнитной индук-ции.

Если 0=α , то 0=ЛМF , (33.3) т.е. на заряд, движущийся вдоль силовых линий МП магнитная составляющая силы Ло-ренца не действует.

Направление силы Лоренца ( ЛМFr

), действующей со стороны МП на (+q), определяется пра-вилом левой руки:

если ладонь левой руки расположить так чтобы в неё входил вектор ⊥Br

, а четыре вы-тянутых пальца направлены вдоль вектора νr (для q>0 (рис.33.1) направления I и νr сов-падают, для q

31

Т.к. υrr

⊥ЛМF , то магнитная составляющая силы Лоренца работы над частицей не со-вершает. Следовательно, действуя на заряженную частицу постоянным МП изменить её энергию нельзя.

Если на частицу действуют одновременно ЭП ( Er

) и МП ( Br

), тогда сила, действующая на заряженную частицу равна:

мЭл FFFrrr

+= ; (33.4)

EqFЭлrr

= ; ]Bq[Fмrrr

,υ= ;

],[ BqEqFrrrr

υ+= . (33.5) Это соотношение было получено Лоренцем путём обобщения экспериментальных данных и

носит название сила Лоренца.

Пример 33.1. Положительный заряд (+q) движущийся со скоростью υr

параллельно пря-мому проводу, по которому течет ток I

Если положительный заряд (+q) движется со скоростью υr параллельно прямому проводу, по которому течет ток I, то на заряд действует: ( ) ( )bIπμqBqF 240мп ⋅⋅== υυ

rr, (33.6)

и Fмл направлена к проводу, и от провода, если направления I и υr противоположны.

Рассмотрим два одноименных точечных заряда q1 и q2 движущихся вдоль параллельных прямых с одинаковой скоростью ( )c

32

Fм/Fэ = 9·1010/9·1016 = 10-6, т.е. магнитная составляющая силы Лоренца в 106 раз меньше электрической составляющей силы Лоренца. И стоит ли изучать такие силы? Оказывается, да!

1. Но если υ ~c , то Fлм становится сравнима с Fэл . 2. При движении электронов вдоль проводов их направленная скорость ~10-3 ÷ 10-4 м/с и

Fм/Fэ ≈ 10-24 . Но магнитная составляющая силы в этом случае – это практически вся дей-ствующая сила! Т.к. электрическая составляющая силы исчезает в результате почти иде-ального баланса отрицательных и положительных зарядов, который точнее, чем 10-24 . А громадное число движущихся зарядов, создающих ток, компенсируют малость Fлм .

3. Магнетизм исчез бы, если скорость света оказалась бесконечно большой. Магнитное взаимодействие между движущимися зарядами является релятивистским эффек-том.

§34. Эффект Холла Эффект Холла – это возникновение в металле (или п/п) с током плотностью j, поме-

щенном в магнитное поле В, эл. поля в направлении, перпендикулярном В и j. Поместим металлическую пластинку с током плотностью j

r, в МП B

r. Примем Bj

rr⊥ .

Пусть jr

направлен слева направо. Тогда скорость отрицательных носителей заряда направлена справа налево (в металле). На электроны действует магнитная составляющая силы Лоренца лF

r

направлена вверх. У верхнего края металлической пластинки возникает повышенная концен-трация электронов, он зарядится отрицательно, а у нижнего – недостаток электронов, он заря-дится положительно. Между верхней и нижней гранями пластинки возникает дополнительное поперечное электрическое поле, направленное снизу вверх. Когда напряженность этого попе-речного поля достигнет такой величины, что его действие на заряды будет уравновешивать си-лу Лоренца, то установится стационарное распределение зарядов в поперечном направлении.

Пусть BEr

– напряженность поперечного поля.

B лэл EeFrr

= ; (34.1)

EeEqFrrrrr

υυ == лм ; (34.2)

лм лэл FF = ; (34.3)

BF υ= лэл

nedaIneSIenj ⋅⋅⋅=⋅⋅== ⊥υ nedaBIEВ ⋅⋅⋅⋅=

nedBIaE ⋅⋅⋅=∆=⋅ ϕВ ; (34.4) aE ϕ∆=В , (34.5) где а – высота пластины поперечная, ∆φ – (холловская) разность потенциалов Ba ⋅=∆ υϕ ; (34.6) enSIenjenj ==⇒= υυ ; daS ⋅= ; (34.7)

( ) ( ) dBIRdBInenedaIBaneSIBa x1 =⋅===∆ϕ ; (34.8) neR ⋅=1x , (34.9) где Rx – постоянная Холла, зависящая от вещества. Холловская поперечная разность потенциалов прямо пропорциональна магнитной ин-

дукции В, силе тока I и обратно пропорциональна толщине пластинки.

33

По величине Rx можно: 1) определить концентрацию носителей при неизвестных заряде носителей и характере про-

водимости; 2) знак постоянной Холла совпадает со знаком носителей тока. Эффект Холла применяют в аналоговых вычислительных машинах и датчиках Холла (в из-

мерительной технике).

Рис. 34.1

§35. Дифференциальная форма записи основных законов магнитного поля Теорема Остроградского-Гаусса:

adVadSVS

∇= ∫∫ . (35.1) Теорема Стокса:

[ ] dSaadlSL

⋅∇= ∫∫ , . (35.2) Дивергенция поля B

r.

Магнитных зарядов в природе нет, линии Br

не имеют ни начала ни конца.

Тогда 0==Φ ∫s

B SdBrr

Теорема Гаусса для поля Br

в дифференциальной форме имеет вид: 0=∇B

r, (35.3)

(дивергенция поля Br

всюду равна нулю),

kjieeezyx

zz

yy

xx

rrrrrr

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ . (35.4)

Это означает, как мы говорим, что МП не имеет магнитных зарядов. МП порождает не маг-нитные заряды, а электрические токи.

Этот закон фундаментальный, он справедлив не только для постоянных, но и для перемен-ных полей.

Ротор поля Br

. Дифференциальная форма представления теоремы о циркуляции B

r расширяет ее возможно-

сти как инструмента исследования и расчета. Рассмотрим отношение:

∫L

SBdL , (35.5)

где S – площадь, ограниченная контуром.

34

При S → 0

( )nBSLdBL

S

rrrr rotlim0

=∫→ . (35.6) Этот предел зависит от ориентации контура в д.т. пространства. Ориентация контура задает-

ся вектором нормали nr к плоскости контура. Направление nr связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.

Предел ∫→L

SSLdB

rr

0lim ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали nr

к плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называется ротором поля Br

.

( )nBSLdBL

S

rrrr rotlim0

=∫→ , (35.7)

( )nB rrrot – проекция вектора rot Br на nr . [ ]BB rr ,rot ∇= . (35.8)

В каждой точке векторного поля Br

имеется rot Br

, направление и модуль которого связаны со свойствами самого rot B

r, определяется тем направлением нормали nr площадки S, при кото-

ром достигается максимальное значение rot Br

, являющееся одновременно модулем вектора rot B

r.

В математике rot Br

выражают в координатном представлении. Формально можно рассмат-ривать [ ]BB rrr ,rot ∇= и тогда

[ ]zyx

zyx

BBBzyx

eee

В∂∂

∂∂

∂∂

=∇

rrr

rr, , (35.9)

где ex , еу , еz – орты осей декартовых координат.

[ ] jB nnrr

µ0, =∇ , (35.10)

или

[ ] jB rr µ0, =∇ . (35.11) Векторное поле, ротор которого всюду равен нулю, являет