Statica (WB) college 14Center of gravity Ch. 9.1 – 9.2

Guido Janssen

G.c.a.m.jansse@tudelft.nl

Zwaartepunt

Center of mass = center of gravity = zwaartepunt.

Center of gravity is belangrijk als je wilt weten waar de zwaartekrachtaangrijpt op een lichaam.

Center of mass is belangrijk als je dynamica bedrijft.

Ligging van het zwaartepunt, center of gravity

W = dWV

ò

MR( )y= M yå

xW = xV

ò dW

x =

xdWV

ò

dWV

òy =

ydWV

ò

dWV

òz =

zdWV

ò

dWV

ò

Ligging van het zwaartepunt,center of mass

dW = gdm

x =

xdmV

ò

dmV

ò

Zo ook voor y en z.

Volumetrisch middelpunt,centroid of volume

Als nu het volume dat we beschouwen vervaardigd is van een homogeenmateriaal ( soortelijk gewicht is overal het zelfde) dan kunnen we ooknaar het volume kijken i.p.v. naar de massaverdeling of de infinitissimalebijdragen van de zwaartekracht.

Een tweede reden om naar het volumetrisch middelpunt te kijken is de opwaardse druk: Een lichaam, geheel of gedeeltelijk ondergedompeld in een vloeistof verliest zoveel aan gewicht als de verplaatste vloeistofweegt. (Archimedes 212-287 vC)

De opwaardse druk grijpt aan in het volumetrisch middelpunt van het deel van het lichaam onder de waterspiegel.

Volumetrisch middelpunt 2

x =

xdVV

ò

dVV

òy =

ydVV

ò

dVV

òz =

zdVV

ò

dVV

ò

Symmetrie

De kegel bezit rotatie-symmetrie om de y-as.Het volumetrisch middelpunt, C, moet dientengevolge op de y-as liggen.

Mee eens?

“Volumetrisch middelpunt” van een vlak,centroid of an area

x =

xdAA

ò

dAA

òy =

ydAA

ò

dAA

ò

“Volumetrisch middelpunt” van een vlak 2

Fundamental problem F9.3

Waar ligt het zwaartepuntvan de homogene blauweplaat?

Op de y-as

y =

2 yy

2dy

0

2

ò

2y

2dy

0

2

ò=

2 y3

2 dy0

2

ò

2 y1

2 dy0

2

ò=

2

5y5 2

0

2

( )2

3y3 2

0

2

( )=

2

525 2

2

323 2

=3

522 2 =

6

5=1.2m

Buoyancy

Volumetrisch middelpunt van een lijn, centroid of a line

C kan buiten de lijn liggen.

x =

xdLL

ò

dLL

òy =

ydLL

ò

dLL

ò

dL = dx( )2+ dy( )

2

dL =dx

dx

æ

èç

ö

ø÷

2

dx2 +dy

dx

æ

èç

ö

ø÷

2

dx2 = 1+dy

dx

æ

èç

ö

ø÷

2æ

è

çç

ö

ø

÷÷dx =

dx

dy

æ

èç

ö

ø÷

2

+1

æ

è

çç

ö

ø

÷÷dy

Example 9.1

Waar ligt het massamiddelpunt, C, van de homogene staaf?

Eerste stap: dL uitdrukken in dy.

dL = dx( )2+ dy( )

2=

dx

dy

æ

èç

ö

ø÷

2

+1

æ

è

çç

ö

ø

÷÷dy = 4y2 +1( )dy

x =

xdLL

ò

dLL

ò=

x 4y2 +1( )0

1

ò dy

4y2 +1( )dy0

1

ò=

y2 4y2 +1( )dy0

1

ò

4y2 +1( )dy0

1

ò=

0.6063

1.479= 0.410m

y gaat net zo, zie boek pag.457.

De staaf heeft een massa van 0.5 kg/m.a: Bepaal de lengte van de staaf.b: Bepaal de horizontale afstand vanaf de

oorsprong tot het zwaartepunt.c: Bepaal de reacties in de oorsprong.

dL = dx2 + dy2 = 1+dy

dx

æ

èç

ö

ø÷

2æ

è

çç

ö

ø

÷÷dx

y = x3 2

dy

dx=

3

2x1 2

Problem 9.3a

L = dLL

ò = 1+9

4x

æ

èç

ö

ø÷

0

1

ò dx =1.440m

De staaf heeft een massa van 0.5 kg/m.a: Bepaal de lengte van de staaf.b: Bepaal de horizontale afstand vanaf de

oorsprong tot het zwaartepunt.c: Bepaal de reacties in de oorsprong.

xdL = x 1+9

4x

0

1

ò dx = 0.786L

ò

x =

xdLL

ò

dLL

ò=

0.786

1.440= 0.546m

Problem 9.3b

De staaf heeft een massa van 0.5 kg/m.a: Bepaal de lengte van de staaf.b: Bepaal de horizontale afstand vanaf de

oorsprong tot het zwaartepunt.c: Bepaal de reacties in de oorsprong.

Problem 9.3c

+

®Fx = 0å

+ ­ Fy = 0å

linksom- pos. MO = 0å

Ox = 0N

Oy - 0.5( ) 9.81( ) 1.440( ) = 0

Oy = 7.06N

MO - 0.5( ) 9.81( ) 1.440( ) 0.546( ) = 0

MO = 3.85N.m

Samengestelde lichamen

x =

xiWi

i

å

Wi

i

åy =

yiWi

i

å

Wi

i

åz =

ziWi

i

å

Wi

i

å

Example 9.10 a

Bepaal het zwaartepunt van de homogene plaat.

Example 9.10 b

Verdeel de plaat in drie delen. De kleine rechthoek wordt negatief gerekend.Bepaal van elk deel de massa (oppervlak) en het zwaartepunt.Daarna gewogen optellen.

Example 9.10 c

Example 9.10 d

x =åxA

åA=

-4

11.5= -0.348m

y =åyA

åA=

14

11.5=1.22m

Huiswerk

Kennis nemen van Toets 14: 0.5 uurTerugkijken op paragraaf 9.1 en 9.2: 0.5 uurToets 14 maken*: 4.5 uurVoorbereiden paragrafen 9.3 en 9.4 1.0 uur

______ +Totaal: 6.5 uur

* Als je niet uit de sommen van Toets 11 komt, of geen toegang hebt, begin dan met de “fundamental problems” uit het boek en doe vervolgens watgewone opgaven of de sommen op “Mastering Engineering”(zieannouncement Bb). Ook in schrift, ook meenemen naar werkcollege.