Vaaglogica en haar toepassingen

Chris Cornelis

Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003

Overzicht

• Situering• Vaaglogica• Vaagfeiten en vaagregels• Vaaginferentie• Defuzzificatie

Vanuit het abstracte ...

• “Zich bewust zijn dat men redeneert, is zich bewust zijn dat men bestaat” (Aristoteles, 350 v. Chr.)

• “Het menselijk denken is te herleiden tot wiskundige

structuren” (Boole, 1854)

Vanuit het abstracte ...

• “Het moet mogelijk zijn robots intelligenter te maken dan de mens, want intelligentie bestaat uit logica en gezond verstand dat wiskundig kan worden voorgesteld.” (John McCarthy)

• “Benaderend redeneren (~vaaglogica) is een bepaald soort redeneren dat noch erg exact, noch erg inexact is”(Zadeh, 1973)

… naar het concrete

De vaaglogische rijstkoker

Vaaglogische airconditioning

De vaaglogische wasautomaat

… naar het concrete

- camera’s, ijskasten, droogmachines, …- vloeistofcontrole, beveiliging kerncentrales, luchtvaartnavigatie, ...

Het succes van vaaglogica

• “Fuzzy logic” werd uitgevonden in de Verenigde Staten

• De meest prominente onderzoeks-groepen zijn gevestigd in Europa

• Patenten voor toepassingen zijn nagenoeg allemaal in het bezit van Oostaziatische bedrijven!

De schaduwkant: What ’s in a name?

“Look, this [Al Gore] is a man, he's got great numbers. He talks about numbers. I'm beginning to think not only did he invent the Internet, but he invented the calculator. It's fuzzy math.”

“Does the U.S. Nuclear Posture Review Use Fuzzy Math?”(WWW, 2002)

Oost vs. West: deYin-Yang theorie

“The term “fuzzy” carries a negative connotation in the western culture. The term “fuzzy logic” seems to both misdirect the attention and to celebrate mental fog. On the other hand, eastern culture embraces the concept of coexistence of contradictions as it appears in the Yin-Yang symbol. While Aristotelian logic preaches A or Not-A, Buddhism is all about A and Not-A” (S.Mohaghegh,2000)

De vaaglogische wasautomaat

• Probleemstelling - benodigde wastijd is sterk afhankelijk van het type en de mate van vuilheid - energie besparen waar we kunnen: wastijd minimaliseren

• Middelen - sensor mechanisme om relevante parameters te bepalen - vaagcontrole-eenheid om de wastijd te berekenen

Overzicht

• Situering• Vaaglogica• Vaagfeiten en vaagregels• Vaaginferentie• Defuzzificatie

Vaaglogische operatoren

• Uitbreiding van de klassieke logische negatie (), conjunctie () en disjunctie () :

- negatoren (complement-operatoren)

- driehoeksnormen (doorsnede-operatoren)

- driehoeksconormen (unie-operatoren)

• Hier voegen we nu aan toe: implicatoren (uitbreiding van de klassieke logische implicatie )

Implicatoren op [0,1]

• I is een implicator indien I voldoet aan de volgende randvoorwaarden:

I(0,0) = 1 I(1,0) = 0 I(0,1) = 1 I(1,1) = 1

en de volgende monotoniciteitsvoorwaarden:

eerste partiële afbeeldingen van I zijn dalend, tweede partiële afbeeldingen van I zijn stijgend

Classificatie van Implicatoren

• Een randimplicator I is een implicator die bijkomend voldoet aan

(x [0,1])(I(1,x) = x)

• Een modelimplicator I is een randimplicator die contrapositief is m.b.t. zijn geïnduceerde negator NI , gedefinieerd door NI(x) = I(x,0) , en voldoet aan het uitwisselingsbeginsel

(x,y [0,1])(I(x,y) = I(NI(y),NI(x)))(x,y,z [0,1])(I(x,I(y,z)) = I(y,I(x,z)))

Classificatie van Implicatoren

• S-implicatoren:

IS,N (x,y) = S(N(x),y)

(S een driehoeksconorm, N een negator)

• R-implicatoren:

IT(x,y) = sup{ [0,1] |T(x,) y}

(T een driehoeksnorm)

• QL-implicatoren, reciprocale R-implicatoren, ...

Typische Implicatoren

Kleene-Dienes S I(x,y) = max(1-x,y)

Gödel R I(x,y) = min(1-x,y) als x <= y

I(x,y) = y andersReichenbach S I(x,y) = 1 - x + xyLukasiewicz S, R I(x,y) = min(1,1-x+y)

Yager - I(x,y) = yx

Overzicht

• Situering• Vaaglogica• Vaagfeiten en vaagregels• Vaaginferentie• Defuzzificatie

Voorstelling van linguïstische informatie

• Vaagfeiten (toestandsbeschrijving)

“de pollutiegraad is redelijk hoog en het pollutietype is medium-vettig”

• Vaagregels (linguïstische omschrijving van deductieprincipes)

“Als de pollutiegraad hoog is en het pollutietype medium-vettig dan is de wastijd lang”

Vaagfeiten

• Beschrijven de toestand van een linguïstische veranderlijke (bv. pollutiegraad)

• Compacte representatie:

X is A

(X een linguïstische veranderlijke, A een vaagverzameling)

De vaaglogische wasautomaat • Vaaglogische wasautomaat heeft twee

invoerveranderlijken:

Pollutiegraad (X)Pollutietype (Y)

• Als universum kiezen we de schaal [0,100]

• Er is ook één uitvoerveranderlijke:

Wastijd (Z)

• Het universum is het interval [0,90] (minuten)

« Pollutietype is medium-vettig »

Samengestelde vaagfeiten

• Zij X en Y linguïstische veranderlijken in de universa U en V. Dan is

X is A en Y is B

een samengesteld vaagfeit.

• Interpretatie: (X,Y) is AxB• Voorbeeld

“Pollutiegraad is hoog en Pollutietype is medium-vettig”

Vaagregels

• Vaagregels laten toe om op basis van waarnemingen acties te ondernemen, die op hun beurt weer nieuwe waarnemingen kunnen induceren

• Compacte representatie: if-then regel

Als aan een gegeven stel voorwaarden is voldaan,Dan mag een gegeven stel acties ondernomen worden

Als X is A, Dan Y is B

Genereren van vaagregels

Modellen van if-then regels

• De regel

Als X is A, Dan Y is B

specificeert een verwantschap tussen de veranderlijken X en Y

• Een handige manier om dit verwantschap vast te leggen is aan de hand van een vaagrelatie R (een vaagverzameling in UV) opgebouwd met behulp van A en B.

Modellen van if-then regels

• op basis van een implicator I:

R(u,v) = I(A(u), B(v))R = I(A,B)

• op basis van een driehoeksnorm T:

R(u,v) = T(A(u),B(v))R = T(A,B)

• voordeel van de laatste aanpak: bewerking “conjunctie” heeft vaak lagere complexiteit dan bewerking “implicatie”

Overzicht

• Situering• Vaaglogica• Vaagfeiten en vaagregels• Vaaginferentie• Defuzzificatie

Veralgemeende Modus Ponens (VMP)

• Modus Ponens (MP):

A, A B B

• MP vereist exacte overeenkomst tussen de waarneming en het antecedent van de regel!

• “Als de weg smal is moet de snelheid vertragen.”“De weg is zeer smal”

??

Veralgemeende Modus Ponens (VMP)

• Modus Ponens (MP):

A, A B B

• MP vereist exacte overeenkomst tussen de waarneming en het antecedent van de regel!

• “Als de weg smal is moet de snelheid vertragen.”“De weg is zeer smal”

??

Veralgemeende Modus Ponens (VMP)

• VMP:

Als X is A, dan Y is B X is A’ Y is B’

• A’ noemen we de waarneming, B’ het vaaginferentieresultaat

Hoe ontstaat B’ ?

• Ter herinnering: direct beeld van een vaagverzameling A in X onder een vaagrelatie R van X in Y

R : Y [0,1] y sup{min(A’(x),R(x,y))|x X}

• B’ wordt gedefinieerd als het direct beeld van A’ onder de regel R (R = I(A,B) of R=T(A,B))

B’ = R(A’)

Hoe ontstaat B’ ?

• Voor de eenvoud: R = min(A,B) en A’ = {(,1)}(A’ is de scherpe waarde )

R(A’)(y) = sup min(A’(x),A(x),B(y)) xX

= min(1,A(),B(y))= min(A(),B(y))

• B’ ontstaat dus door B af te kappen op hoogte A()

De vaaglogische wasautomaat

• Elke regel levert een vage uitvoer

• Nummer de regels en noem B’i de uitvoer van regel i

• Voorbeeld: pollutiegraad = 75 en pollutietype = 40

Regel 5:

“Als pollutiegraad is medium en pollutietype is medium-vettig dan wastijd is medium-lang”

• medium(75) = 0.5medium-vettig(40) = 0.8

X = 75, Y = 40

X = 75, Y = 40

• medium x medium-vettig (75,40) = min(0.5,0.8) = 0.5

• B’5 ontstaat dan alsvolgt:

B’5(y) = min(0.5,B5(y))

• Met andere woorden door B5 = “medium wastijd” af te kappen op hoogte 0.5

X = 75, Y = 40

X = 75, Y = 40

Parallelle uitvoering van regels

• De vage inferenties voor elke regel worden gecombineerd met het maximum:

B’(y) = max{B’i(y) | i = 1, …, 9}

X = 75, Y = 40

Overzicht

• Situering• Vaaglogica• Vaagfeiten en vaagregels• Kennismanipulatie• Defuzzificatie

Defuzzificatie

• Principe: uit een vaagverzameling A in X een scherpe waarde D(A) X distilleren (“to de-fuzzify”)

• D(A) moet in zekere zin de meest representatieve waarde voor A zijn

Defuzzificatie

Defuzzificatie

Defuzzificatiemethoden

• Oppervlakte-methode: defuzzificatiewaarde D(A) voldoet aan

• Zwaartepunt-methode:

)(

)(

)()(AD

AD

dxxAdxxA

dxxA

dxxAx

AD

)(

)(.

)(

Defuzzificatiemethoden

• Maximummethoden

– D(A) = min(M(A))– D(A) = max(M(A))– D(A) = (min(M(A)) + max(M(A)) / 2

M(A) = {x in X |(yX)(A(y) A(x))}

Zwaartepuntmethode: X = 75, Y = 40